50
APIM7 - 1 Spatiul scalar

APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

  • Upload
    others

  • View
    55

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 1

Spatiul scalar

Page 2: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 2

Generalitati

• Scalarea – concept esential in vederea umana

• Oameni pot:

– vedea instantaneu obiecte la diferite

scari

– sterge detalii la scara mica

– uni obiecte la scara mica

Page 3: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 3

Generalitati

Piata San Marco

(Canaletto)

Page 4: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 4

Cum includem scalarea in proc.im?

• majoritatea nucleelor studiate pana acum

sunt de 3x3 -> actioneaza pe structuri la

scara mica

• exista constructii care controleaza scara la

care poate fi privita o imagine

Page 5: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 5

Scalarea in procesarea imaginilor

256 x 256 25 x 25

• ajustarea scarii -> alterarea rezolutiei imaginii

• un nucleu de 3x3 actioneaza la o scara mai mare pe

imag. din dreapta

Page 6: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 6

Scalarea in procesarea imaginilor (2)

• imag. la o scara mai mica este creata prin contopirea

unui bloc de pixeli intr-un singur pixel

• valoarea noului pixel = media pixelilor din bloc (sau

maximul, minimul, val. mediana, etc.)

Page 7: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 7

Scalarea in procesarea imaginilor (3)

• scaderea rezolutiei -> detalii inexistente in

imaginea originala

Page 8: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 8

Scalarea in procesarea imaginilor (4) • scaderea rezolutiei fara crearea detaliilor fantoma -> convolutia cu nucleul Gaussian:

• numarul de pixeli ramane neschimbat

2

22

21

2 2

1),(

yx

eyxg

Page 9: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 9

Spatiul

scalar

Gaussian

Page 10: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 10

Spatiul scalar Gaussian • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru

scaderea rezolutiei

• nucleul Gaussian este unic daca se cere ca diminuarea rezolutiei cu o cantitate a si apoi cu o cantitate b sa poata fi realizata intr-un singur pas prin scaderea ei cu a+b

• imaginea pe scara σ a unei imagini f se noteaza fσ si este calculata:

Page 11: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 11

Spatiul

scalar

Gaussian

Page 12: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 12

Utilizarea spatiului scalar Gaussian

• utilizarea spatiului scalar pentru adaptarea unui operator la scara dorita se poate realiza prin:

–aplicarea directa a operatorului asupra imaginii fσ - nu este eficienta (nr. de pixeli e acelasi ca in imaginea initiala)

–esantionarea imaginii fσ - utila, dar tot va da o imagine “patratoasa”

–operatori diferentiali (sau de alt fel) - utilizeaza proprietatile speciale ale convolutiei

Page 13: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 13

Operatori diferentiali scalari

• calcularea derivatei dupa x:

Page 14: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 14

Operatori diferentiali scalari

• derivatele scalare ne permit sa evitam derivarea unei imagini digitale (discretizata): trebuie derivata doar functia lui Gauss

Derivata unei imagini digitale ->

problema gresit definita

Derivata unei functii ->

problema corect definita

Page 15: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 15

Exemplu – derivata dupa x σ=2

σ=16

σ=1

σ=4 σ=8

256x256

Page 16: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 16

Caracteristicile derivatelor scalare

• multe caracteristici ale imaginilor (laturi, varfuri,etc.) pot fi descrise in termenii geometriei diferentiale

• utilizarea operatorilor diferentiali permite adaptarea trasaturilor extrase la o anumita scara

• concepte utile: invarianti si cadre in coordonate locale

Page 17: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 17

Invarianti • O operatie este invarianta la o anumita transformare

daca:

Transformare -> Operatie -> Inversa transformarii

si

Operatie

sunt egale (dau acelasi rezultat)

• matematic: T-1gT(f)=g(f)

• “operatie invarianta la o transformare” = invariant

Page 18: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 18

Sistemul de coordonate bazat pe gradient

• multe caracteristici diferentiale se bazeaza pe gradient -> un sistem de coordonate bazat pe gradientul (local) ar fi util:

• deseori e numit cadru Frenet

Page 19: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 19

Sistemul de coordonate bazat pe gradient

Page 20: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 20

Derivate directionale

• derivatele in raport cu v si w se noteaza fv, fw,

fvv, etc.

• calculul lor se face pe baza derivatelor carteziene:

unde a este un vector si

Page 21: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 21

Derivate directionale

• forma generala

Page 22: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 22

Laturi

• determinarea laturilor se poate face pe baza

modulului gradientului:

sau a Laplacianului:

Δf = fxx + fyy

• se pot scrie derivatele in spatiul scalar, de ex.:

fσ , x = gσ , x * f

Page 23: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 23

Exemplu – modulul gradientului σ=1

σ=4 σ=8

256x256

Page 24: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 24

Exemplu – laplacianul σ=1

σ=4 σ=8

256x256

Page 25: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 25

Exemplu – modulul gradientului σ=16

σ=16

σ=1

256x256 σ=1

256x256

Page 26: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 26

Creste

• definitii diferite (d.p.d.v. al geometriei diferentiale)

Page 27: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 27

Creste • se poate defini ca fiind concavitatea profilului

valorilor de gri in directia lui v -> fvv

Page 28: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 28

Exemplu

σ=1 σ=4

256x256

Page 29: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 29

Creste • se poate defini ca fiind -fvv/fw (curbura izofotei)

• punctul de intoarcere al gradientului

• orientarea gradientului in raport cu axa x:

θ = arctan(fy/fx)

• viteza de intoarcere:

Page 30: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 30

Exemplu – creste si vai

Page 31: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 31

Invarianti • determinarea laturilor, fw

• determinarea crestelor, fvv

• curbura izofotei -fvv/fw

• determinarea varfurilor, fvv fw2

• curbura liniei de flux, -fvw/fw

• densitatea izofotei, fww sau -fww/fw

• umbilicitate

• nenetezimea

Page 32: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 32

Exemplu – varfuri σ=16

σ=16

σ=1

256x256 σ=1

256x256

Page 33: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 33

Exemplu – densitatea izofotei σ=1

σ=4 σ=8

256x256

Page 34: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 34

Exemplu – umbilicitatea σ=1

σ=4 σ=8

256x256

Page 35: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 35

Spatiul scalar si difuzia • difuzia si conductia caldurii ofera o noua

persectiva a spatiului scalar

• ecuatia difuziei (1D):

ft = α2 fxx

adica

Page 36: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 36

Spatiul scalar si difuzia (2)

• convolutia cu un Gaussian rezolva ecuatia difuziei

Page 37: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 37

Spatiul scalar si difuzia (3)

• ecuatia difuziei pentru 2D (imagine):

Page 38: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 38

Spatiul scalar si difuzia (4)

• conductivitatea termica este variabila atunci

ecuatia difuziei devine:

• c poate fi utlizata pentru a controla fluxul de

caldura (neclaritatea) local

Page 39: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 39

Spatiul scalar si difuzia (5)

• c poate fi facut dependent de laturi -> se poate

controla neclaritatea laturilor

• c poate fi facut dependent de creste -> se poate

controla neclaritatea crestelor (centrului obiectelor)

• etc.

Page 40: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 40

Spatiul scalar si difuzia (6)

• Perona-Malik -> c poate fi mai mic daca pixelul se

afla pe latura (fw mare):

Page 41: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 41

Exemplu – Perona-Malik

original

Page 42: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 42

Spatiul scalar si difuzia (7)

• alte spatii scalare pot fi create din ecuatiile

diferentiale unde schimbarile in timp (ft) sunt

corelate direct cu trasaturi diferentiale locale,

de ex.:

ft = fw , difuzia pe laturi

ft = fvv , difuzia pe creste (in centrul

obiectelor)

ft = (fvv fw2)1/3 , difuzia la varfuri

Page 43: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 43

Exemplu

original

Page 44: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 44

Spatiul scalar si difuzia (8)

• calcularea spatiilor scalare neliniare:

– in general nu exista o metoda directa

(nucleul de convolutie ar trebui sa fie

variabil)

– cel mai bine este sa utilizam o metoda

numerica; se rezolva ecuatia pentru un

anumit timp t

Page 45: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 45

Exemplu – reducerea zgomotului

original

Page 46: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 46

Exemplu – reducerea zgomotului

original

Page 47: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 47

Piramida rezolutiei • rezolutie mica <- prin contopirea blocurilor de pixeli

• niveluri diferite de rezolutie -> piramida

• lipsesc proprietati matematice utile pe care le are spatiul scalar

• simplu de implementat si utilizat

Page 48: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 48

Utilizari practice ale piramidei rezolutiei

• procesarea imaginii se face la nivelul cel mai inalt al piramidei (rezolutie mica):

– rapida (dimensiuni mici)

– grosiera (imaginea a pierdut mult din calitatea originala)

• rezultatul este utilizat pentru ghidarea procesarii imaginii de la un nivel inferior al piramidei

• se continua cu prelucrarea imaginii de la nivelul cel mai de jos (imaginea originala)

Page 49: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 49

Piramida rezolutiei Rapid si imprecis

Rafinare

Incet si precis

Page 50: APIM - Analiza si prelucrarea imaginilor medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim7.pdf · • exista si alte nuclee ce pot fi utilizate pentru scaderea rezolutiei • nucleul Gaussian

APIM7 - 50

Exemplu – registrarea

32x32