of 89 /89
APIM4 - 1 Morfologie matematica

APIM - Analiza si Prelucrarea Imaginilor Medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim4.pdf · • O eroziune care nu sterge complet componentele • Eroziunile se aplica fiecarei structuri

  • Author
    others

  • View
    21

  • Download
    1

Embed Size (px)

Text of APIM - Analiza si Prelucrarea Imaginilor Medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim4.pdf · • O...

  • APIM4 - 1

    Morfologie matematica

  • APIM4 - 2

    Astazi discutam despre…

    • ce inseamna morfologia

    • complementul si proprietatile operatorului

    • relatia dintre seturi si imagini

    • dilatarea si erodarea

    • inchiderea si deschiderea

    • operatii geodezice si reconstructie

    • reziduri

  • APIM4 - 3

    Definitie

    • morfologie = studiul formei

    • morfologia matematica

    - teoria matematica de descriere a formelor

    utilizand seturi

    - algebra neliniara

    • in cadrul prelucrarii imaginilor – interactiunea

    dintre o imagine si un element structural ales

  • APIM4 - 4

    Conditii de aplicare

    Morfologia poate fi aplicata unui set finit P daca:

    1. Elementele sale se pot ordona partial ≤, de

    ex. pt. toate elementele a, b, cP:

    a ≤ a

    (a ≤ b, b ≤ a) a = b

    (a ≤ b, b ≤ c) a ≤ c

    2. Fiecare subset nevid al setului P are un

    maxim si un minim

  • APIM4 - 5

    Exemplu (1)

    • ordonarea ≤ este definita ca in calculul

    obisnuit:

    2 ≤ 5, 4 ≤ 15

    • maxim {7, 4, 2} = 7

    • minim {7, 4, 2} = 2

    • imaginea este o multime de valori de gri ->

    este un set de valori ordonate, cu subseturi ->

    se poate aplica morfologia

  • APIM4 - 6

    Exemplu (2) • Setul tuturor subseturilor unui set S este un set

    adecvat S: • ordonarea partiala este realizata de relatia de

    incluziune dintre seturi: • maximul este definit de reuniune • minimul este definit de intersectie

    p1 p2 max(p1, p2) = p1 p2 min(p1, p2) = p1 p2

    O imagine binara = un set adecvat

  • APIM4 - 7

    De la seturi la imagini

    • imaginii binare i se poate aplica morfologia

    • o imagine cu valori de gri = stiva de imagini binare

    Putem aplica morfologia unei imagini cu valori de

    gri aplicand-o tuturor seturilor din stiva

  • APIM4 - 8

    Simplificare pentru imagini

    • Pentru doua imagini f si g, relatia ≤ este adevarata daca ea este adevarata pentru toti pixelii:

    • Imaginea maxima si minima este definita tot pe baza pixelilor:

  • APIM4 - 9

    In concluzie

    • Operatiile morfologice se pot aplica unui set adecvat P

    • O imagine poate fi considerata ca o colectie de seturi adecvate Ps

    ! Singurele operatii de baza care se pot aplica in morfologia imaginilor sunt operatorii max si min

    Operatiile morfologice se pot aplica imaginilor

  • APIM4 - 10

    Complement

  • APIM4 - 11

    Complement - exemplu

    Daca f este:

    Intervalul de gri este {0,…,8} =>

  • APIM4 - 12

    Proprietatile operatorilor

    • Dualitate:

    • Operatorii pot fi duali cu ei insusi

    • Extensivitate:

    • Anti-extensivitate:

    • Idempotenta:

  • APIM4 - 13

    Exemplu de operatori duali

    • max si min sunt operatori duali

    max(fc)=4 si min f =0, (min f)c=4, deci operatorii sunt duali

    imaginea f imaginea fc

  • APIM4 - 14

    Elemente structurale

    • operatiile morfologice utilizeaza elemente structurale (mici)

    • de obicei sunt aproximari de patrate, cercuri, etc.

  • APIM4 - 15

    Dilatarea unei imagini binare (1)

    • elementul structural (simetric) se plaseaza cu originea pe un pixel

    • daca atinge setul atunci centrul elementului devine parte a dilatatiei

  • APIM4 - 16

    Dilatarea unei imagini binare (2) • definitie:

    unde: - X este setul (imaginea binara) - S este elementul structural - (X) este dilatarea imaginii X

    X S (X)

  • APIM4 - 17

    Dilatarea unei imagini binare (3)

    • trasaturile fundalului si golurile din obiecte se micsoreaza

    • colturile ascutite sunt rotunjite

  • APIM4 - 18

    Dilatare - exemplu

    Dilatare utilizand un element structural patrat

  • APIM4 - 19

    Erodarea unei imagini binare (1)

    Operatorul dual dilatarii este erodarea

    • elementul structural (simetric) se plaseaza cu originea pe un pixel

    • daca este complet inclus in set atunci centrul elementului devine parte a erodarii

  • APIM4 - 20

    Erodarea unei imagini binare (2) • definitie:

    unde: - X este setul (imaginea binara) - S este elementul structural - (X) este erodarea imaginii X

    X S (X)

  • APIM4 - 21

    Erodarea unei imagini binare (3)

    • trasaturile fundalului si golurile din obiecte cresc

    • colturile se ascutesc

  • APIM4 - 22

    Erodarea - exemplu

    Erodare utilizand un element structural patrat

  • APIM4 - 23

    Imagini cu valori de gri (1)

    Se aplica setul de definitii pentru toate seturile:

  • APIM4 - 24

    Imagini cu valori de gri (2)

    Erodarea:

    • elementul structural (simetric) S se plaseaza cu originea pe un pixel din imaginea f;

    • se ia minimul dintre toti pixelii imaginii f care ating elementul structural S.

    Dilatarea:

    • elementul structural (simetric) S se plaseaza cu originea pe un pixel din imaginea f

    • se ia maximul dintre toti pixelii imaginii f care ating elementul structural S

  • APIM4 - 25

    Imagini cu valori de gri - exemplu

    Erodarea Dilatarea

  • APIM4 - 26

    Exemplul 1 - dilatare

    Dilatare cu un element structural patrat de 3x3

    Dilatare cu un element structural patrat de 5x5

  • APIM4 - 27

    Exemplul 2 - dilatare

    Dilatare cu un element structural patrat de 3x3

    Dilatare cu un element structural patrat de 5x5

  • APIM4 - 28

    Exemplul 2 - dilatare

    Valorile de gri in imaginea originala

    Valorile de gri dupa dilatare

  • APIM4 - 29

    Exemplul 3 - dilatare

    dilatare cu un element structural patrat de 3x3

    diferenta celor doua imagini (ideala pentru imag care contin zgomot)

    imag. originala

  • APIM4 - 30

    Exemplul 4 - dilatare

    dilatare cu un element structural patrat de 3x3

    dupa mai multe dilatari

    imag. originala

  • APIM4 - 31

    Exemplul 1 - erodare

    Erodarea cu un element structural patrat de 3x3

    Erodarea cu un element structural patrat de 5x5

  • APIM4 - 32

    Exemplul 2 - erodare

    erodare cu un element structural patrat de 3x3

    dupa doua erodari

    imag. originala

  • APIM4 - 33

    Exemplul 3 - erodare

    imagine segmentata (binarizata pe baza unei valori de prag)

    dupa erodare

    imag. originala

  • APIM4 - 34

    Proprietatile erodarii si dilatarii

    • Operatori duali:

    • Dilatarea este extensiva:

    • Erodarea este anti-extensiva:

    • Separabilitate:

  • APIM4 - 35

    Deschidere si inchidere (1)

    • Deschidere: erodare urmata de dilatare

    • Inchidere: dilatare urmata de erodare

  • APIM4 - 36

    Deschidere si inchidere (2)

    imaginea f:

    erodarea imaginii, (f) dilatarea imaginii, (f)

  • APIM4 - 37

    Deschidere si inchidere (3)

    erodarea imaginii, (f) dilatarea imaginii, (f)

    deschiderea imaginii, (f) = ((f))

    inchiderea imaginii, (X) = ((f))

  • APIM4 - 38

    Deschidere si inchidere (4)

    imaginea f:

  • APIM4 - 39

    Deschidere si inchidere (5)

  • APIM4 - 40

    Deschidere si inchidere (6)

    deschidere inchidere imag. originala

  • APIM4 - 41

    Deschidere si inchidere (7)

    dupa deschidere cu un element circular

    imag. originala

  • APIM4 - 42

    Deschidere si inchidere (8)

    dupa inchidere cu un element circular

    imag. originala

  • APIM4 - 43

    Proprietatile deschiderii si inchiderii

    • Operatori duali

    • Deschiderea este anti-extensiva

    • Inchiderea este extensiva

    • Idempotente:

  • APIM4 - 44

    Operatii geodezice

    • Dilatarea geodezica:

    • Eroziunea geodezica :

  • APIM4 - 45

    Exemplu

    f g

    pt. un elem.

    structural

    patrat de

    5x5

  • APIM4 - 46

    Alt exemplu

  • APIM4 - 47

    Exemplu - o functie unidimensionala

  • APIM4 - 48

    Reconstructie

    • Aplicarea iterativa a dilatarii geodezice va converge intotdeauna la un rezultat stabil = reconstructie

  • APIM4 - 49

    Deschidere prin reconstructia eroziunii

    • este o eroziune urmata de reconstructie

    • permite eliminarea structurilor mici fara a schimba structurile mari

    γrec

  • APIM4 - 50

    Exemplu

    imaginea

    originala eroziunea

    imaginii

    dilatare geodezica reconstructie

  • APIM4 - 51

    Alt exemplu

    • permite extragerea structurilor mici prin scaderea reconstructiei din imaginea originala

    - =

    original reconstructie

  • APIM4 - 52

    Exemplu – imagine in nuante de gri

    original eroziune reconstructie

  • APIM4 - 53

    Reconstructie pe baza markerilor

    • Markerii pot fi obtinuti prin – alegerea de catre utilizatori – procesarea imaginii

  • APIM4 - 54

    Stergerea obiectelor de pe margine

    • Obiectele care intersecteaza marginea imaginii pot deveni nedorite deoarece, de ex., influenteaza masurarea dimensiunii

    original marker original - reconstructie

  • APIM4 - 55

    Stergerea unor obiecte

    • In cazul imaginilor in nuante de gri, marcarea maximelor poate fi folosita pentru a extrage sau sterge anumite obiecte

  • APIM4 - 56

    Reziduri

    • Utilizarea diferentelor (reziduri) dintre operatiile obisnuite pot genera multe filtre morfologice utile

    • Tipuri de reziduri:

    – diferenta a doua primitive (gradientul morfologic, laplacianul morfologic, filtrul “top-hat”)

    – diferenta a doua familii de primitive (skeletul si ultima eroziune)

    – transformarea “hit-or-miss” (subtiere si ingrosare)

  • APIM4 - 57

    Gradienti morfologici (1) • Si eroziunea si dilatarea actioneaza asupra muchiilor

    => pot fi utilizate la localizarea muchiilor

  • APIM4 - 58

    Gradienti morfologici (2)

    • Gradientul morfologic:

    • Gradientul interior si exterior:

    se mai poate scrie:

  • APIM4 - 59

    Exemplu

    imaginea

    originala

    gradientul

    morfologic gradientul

    exterior

    gradientul

    interior

  • APIM4 - 60

    Exemplu – imagine CT

    original gradientul gradientul morfologic interior

  • APIM4 - 61

    Exemplu – imagine MR

    original gradientul gradientul morfologic exterior

  • APIM4 - 62

    Laplacianul morfologic

    • echivalentul morfologic al Laplacianului este definit ca rezidul gradientului exterior si interior:

  • APIM4 - 63

    Exemplu – imagine MR

    original laplacianul morfologic

  • APIM4 - 64

    Filtre “top-hat”

    • Rezidurile imaginii originale si deschiderii sau inchiderii sunt denumite filtre “top hat”

    • Filtru “top hat” alb: original minus deschidere

    • Filtru “top hat” negru: inchidere minus original

  • APIM4 - 65

    Filtre “top-hat” albe • Deschiderea elimina structurile mici (referitoare

    la elementul structural) => – filtrul scoate in evidenta structurile mici cu

    valori mari de gri – filtrul scoate in evidenta structurile referitor la

    fondul local

  • APIM4 - 66

    Exemplu

    original

    threshold

    imagine filtrata cu filtrul “top

    hat” alb

    threshold

    al imaginii filtrate

  • APIM4 - 67

    Familii de operatii

    • O familie este un set de operatii morfologice {ψi} unde elementul structural depinde de i

    • de exemplu: familia eroziunilor{εi}

    • Pentru un set S, rezidurile R a doua familii de primitive {ψi} si {φi} este definit astfel:

  • APIM4 - 68

    Exemplu

  • APIM4 - 69

    Eroziunea finala (1)

    • O eroziune care nu sterge complet componentele

    • Eroziunile se aplica fiecarei structuri pana cand inca o eroziune ar sterge structura

  • APIM4 - 70

    Exemplu

  • APIM4 - 71

    Transformarea “hit-or-miss”

    • Utilizeaza un element structural format din doua

    parti:

    X=(X1,X2)

    • Centrul elementului X este parte a tranformarii

    hit-or-miss daca X1 se potriveste in setul S si X2

    se potriveste in fundal (SC)

  • APIM4 - 72

    Exemplu

    S HX(S)

  • APIM4 - 73

    Subtiere si ingrosare

    • Subtierea este rezidul unui set si a transformarii ”hit-or-miss”:

    • Ingrosarea este reuniunea unui set si a transformarii ”hit-or-miss”:

  • APIM4 - 74

    Exemplu

    S HX(S) thinX(S)

  • APIM4 - 75

    Elementul Golay L

    • Este cel mai utilizat element al alfabetului Golay

    • Este folosit in 8 variante rotationale

    • Subtierea cu L1,…,L8 pana la stabilitate

    genereaza un schelet (continuu)

  • APIM4 - 76

    Scheletul • Scheletul este o figura compusa din linii cu

    forma de baza a unui set:

    • Poate fi vazut ca rezultatul “arderii ierbii”

    • Conserva topologia

  • APIM4 - 77

    Exemplul 1

    S thinX(S)

  • APIM4 - 78

    Exemplul 2

    • Subtierea cu elementul L1, L3,L5 si L7 pana la

    convergenta

  • APIM4 - 79

    Sfera maxima • O sfera Bi(x) este dilatarea unui punct x cu δi

    • Bi(x) este maxima daca

    • Este maxima fiindca nici o alta sfera de dimensiune mai mare si cu acelasi centru nu poate fi tangenta obiectului

  • APIM4 - 80

    Sfera maxima (2)

  • APIM4 - 81

    Scheletul • Reuniunea tuturor centrelor sferelor maxime

    • Deseori este discontinuu => nefolositor in practica

  • APIM4 - 82

    Functia quench

    • Fiecare punct din schelet are asociata o sfera maxima de dimensiune i => functia quench, i reprezinta nivelul de gri

  • APIM4 - 83

    Functia quench

  • APIM4 - 84

    SKIZ

    • SKIZ = scheletul zonelor de influenta =

    scheletul fundalului imaginii

    • O zona de influenta = toate regiunile de puncte

    cel mai apropiate de un obiect

  • APIM4 - 85

    SKIZ

    Imag.originala SKIZ suprapunere

  • APIM4 - 86

    Filtru secvential alternativ (ASF)

    • Combina doua familii de operatori

    • Este util in practica doar daca

    • Uneori este util pentru imaginile cu mult zgomot

  • APIM4 - 87

    Exemplu

    ASF

    (deschideri si

    inchideri de

    dimensiuni 7

    pana la 3)

    Threshold

    ASF

    Original

    Threshold

    original

  • APIM4 - 88

    Granulometrie • Distributia dupa dimensiune a obiectelor

    • Exemplu:

    1. Deschidere cu un element de o anumita

    dimensiune

    2. Masurarea dimensiunii

    3. Marirea elementului structural

    4. Repeta pasii 1-4 pana cand imaginea este goala

    • poate fi utilizata orice familie descrescatoare daca are urmatoarea proprietate:

  • APIM4 - 89

    Exemplu

    256x256 original granulometria deschiderilor (x pixeli in 103)