89
APIM4 - 1 Morfologie matematica

APIM - Analiza si Prelucrarea Imaginilor Medicaleusers.utcluj.ro/~simona/apim/apim4.pdf · • O eroziune care nu sterge complet componentele • Eroziunile se aplica fiecarei structuri

  • Upload
    others

  • View
    56

  • Download
    1

Embed Size (px)

Citation preview

APIM4 - 1

Morfologie matematica

APIM4 - 2

Astazi discutam despre…

• ce inseamna morfologia

• complementul si proprietatile operatorului

• relatia dintre seturi si imagini

• dilatarea si erodarea

• inchiderea si deschiderea

• operatii geodezice si reconstructie

• reziduri

APIM4 - 3

Definitie

• morfologie = studiul formei

• morfologia matematica

- teoria matematica de descriere a formelor

utilizand seturi

- algebra neliniara

• in cadrul prelucrarii imaginilor – interactiunea

dintre o imagine si un element structural ales

APIM4 - 4

Conditii de aplicare

Morfologia poate fi aplicata unui set finit P daca:

1. Elementele sale se pot ordona partial ≤, de

ex. pt. toate elementele a, b, cP:

a ≤ a

(a ≤ b, b ≤ a) a = b

(a ≤ b, b ≤ c) a ≤ c

2. Fiecare subset nevid al setului P are un

maxim si un minim

APIM4 - 5

Exemplu (1)

• ordonarea ≤ este definita ca in calculul

obisnuit:

2 ≤ 5, 4 ≤ 15

• maxim {7, 4, 2} = 7

• minim {7, 4, 2} = 2

• imaginea este o multime de valori de gri ->

este un set de valori ordonate, cu subseturi ->

se poate aplica morfologia

APIM4 - 6

Exemplu (2) • Setul tuturor subseturilor unui set S este un set

adecvat S: • ordonarea partiala este realizata de relatia de

incluziune dintre seturi: • maximul este definit de reuniune • minimul este definit de intersectie

p1 p2

max(p1, p2) = p1 p2

min(p1, p2) = p1 p2

O imagine binara = un set adecvat

APIM4 - 7

De la seturi la imagini

• imaginii binare i se poate aplica morfologia

• o imagine cu valori de gri = stiva de imagini binare

Putem aplica morfologia unei imagini cu valori de

gri aplicand-o tuturor seturilor din stiva

APIM4 - 8

Simplificare pentru imagini

• Pentru doua imagini f si g, relatia ≤ este adevarata daca ea este adevarata pentru toti pixelii:

• Imaginea maxima si minima este definita tot pe baza pixelilor:

APIM4 - 9

In concluzie

• Operatiile morfologice se pot aplica unui set adecvat P

• O imagine poate fi considerata ca o colectie de seturi adecvate Ps

! Singurele operatii de baza care se pot aplica in morfologia imaginilor sunt operatorii max si min

Operatiile morfologice se pot aplica imaginilor

APIM4 - 10

Complement

APIM4 - 11

Complement - exemplu

Daca f este:

Intervalul de gri este {0,…,8} =>

APIM4 - 12

Proprietatile operatorilor

• Dualitate:

• Operatorii pot fi duali cu ei insusi

• Extensivitate:

• Anti-extensivitate:

• Idempotenta:

APIM4 - 13

Exemplu de operatori duali

• max si min sunt operatori duali

max(fc)=4 si min f =0, (min f)c=4, deci operatorii sunt duali

imaginea f imaginea fc

APIM4 - 14

Elemente structurale

• operatiile morfologice utilizeaza elemente structurale (mici)

• de obicei sunt aproximari de patrate, cercuri, etc.

APIM4 - 15

Dilatarea unei imagini binare (1)

• elementul structural (simetric) se plaseaza cu originea pe un pixel

• daca atinge setul atunci centrul elementului devine parte a dilatatiei

APIM4 - 16

Dilatarea unei imagini binare (2) • definitie:

unde: - X este setul (imaginea binara) - S este elementul structural - (X) este dilatarea imaginii X

X S (X)

APIM4 - 17

Dilatarea unei imagini binare (3)

• trasaturile fundalului si golurile din obiecte se micsoreaza

• colturile ascutite sunt rotunjite

APIM4 - 18

Dilatare - exemplu

Dilatare utilizand un element structural patrat

APIM4 - 19

Erodarea unei imagini binare (1)

Operatorul dual dilatarii este erodarea

• elementul structural (simetric) se plaseaza cu originea pe un pixel

• daca este complet inclus in set atunci centrul elementului devine parte a erodarii

APIM4 - 20

Erodarea unei imagini binare (2) • definitie:

unde: - X este setul (imaginea binara) - S este elementul structural - (X) este erodarea imaginii X

X S (X)

APIM4 - 21

Erodarea unei imagini binare (3)

• trasaturile fundalului si golurile din obiecte cresc

• colturile se ascutesc

APIM4 - 22

Erodarea - exemplu

Erodare utilizand un element structural patrat

APIM4 - 23

Imagini cu valori de gri (1)

Se aplica setul de definitii pentru toate seturile:

APIM4 - 24

Imagini cu valori de gri (2)

Erodarea:

• elementul structural (simetric) S se plaseaza cu originea pe un pixel din imaginea f;

• se ia minimul dintre toti pixelii imaginii f care ating elementul structural S.

Dilatarea:

• elementul structural (simetric) S se plaseaza cu originea pe un pixel din imaginea f

• se ia maximul dintre toti pixelii imaginii f care ating elementul structural S

APIM4 - 25

Imagini cu valori de gri - exemplu

Erodarea Dilatarea

APIM4 - 26

Exemplul 1 - dilatare

Dilatare cu un element structural patrat de 3x3

Dilatare cu un element structural patrat de 5x5

APIM4 - 27

Exemplul 2 - dilatare

Dilatare cu un element structural patrat de 3x3

Dilatare cu un element structural patrat de 5x5

APIM4 - 28

Exemplul 2 - dilatare

Valorile de gri in imaginea originala

Valorile de gri dupa dilatare

APIM4 - 29

Exemplul 3 - dilatare

dilatare cu un element structural patrat de 3x3

diferenta celor doua imagini (ideala pentru imag care contin zgomot)

imag. originala

APIM4 - 30

Exemplul 4 - dilatare

dilatare cu un element structural patrat de 3x3

dupa mai multe dilatari

imag. originala

APIM4 - 31

Exemplul 1 - erodare

Erodarea cu un element structural patrat de 3x3

Erodarea cu un element structural patrat de 5x5

APIM4 - 32

Exemplul 2 - erodare

erodare cu un element structural patrat de 3x3

dupa doua erodari

imag. originala

APIM4 - 33

Exemplul 3 - erodare

imagine segmentata (binarizata pe baza unei valori de prag)

dupa erodare

imag. originala

APIM4 - 34

Proprietatile erodarii si dilatarii

• Operatori duali:

• Dilatarea este extensiva:

• Erodarea este anti-extensiva:

• Separabilitate:

APIM4 - 35

Deschidere si inchidere (1)

• Deschidere: erodare urmata de dilatare

• Inchidere: dilatare urmata de erodare

APIM4 - 36

Deschidere si inchidere (2)

imaginea f:

erodarea imaginii, (f) dilatarea imaginii, (f)

APIM4 - 37

Deschidere si inchidere (3)

erodarea imaginii, (f) dilatarea imaginii, (f)

deschiderea imaginii, (f) = ((f))

inchiderea imaginii, (X) = ((f))

APIM4 - 38

Deschidere si inchidere (4)

imaginea f:

APIM4 - 39

Deschidere si inchidere (5)

APIM4 - 40

Deschidere si inchidere (6)

deschidere inchidere imag. originala

APIM4 - 41

Deschidere si inchidere (7)

dupa deschidere cu un element circular

imag. originala

APIM4 - 42

Deschidere si inchidere (8)

dupa inchidere cu un element circular

imag. originala

APIM4 - 43

Proprietatile deschiderii si inchiderii

• Operatori duali

• Deschiderea este anti-extensiva

• Inchiderea este extensiva

• Idempotente:

APIM4 - 44

Operatii geodezice

• Dilatarea geodezica:

• Eroziunea geodezica :

APIM4 - 45

Exemplu

f g

pt. un elem.

structural

patrat de

5x5

APIM4 - 46

Alt exemplu

APIM4 - 47

Exemplu - o functie unidimensionala

APIM4 - 48

Reconstructie

• Aplicarea iterativa a dilatarii geodezice va converge intotdeauna la un rezultat stabil = reconstructie

APIM4 - 49

Deschidere prin reconstructia eroziunii

• este o eroziune urmata de reconstructie

• permite eliminarea structurilor mici fara a schimba structurile mari

γrec

APIM4 - 50

Exemplu

imaginea

originala eroziunea

imaginii

dilatare geodezica reconstructie

APIM4 - 51

Alt exemplu

• permite extragerea structurilor mici prin scaderea reconstructiei din imaginea originala

- =

original reconstructie

APIM4 - 52

Exemplu – imagine in nuante de gri

original eroziune reconstructie

APIM4 - 53

Reconstructie pe baza markerilor

• Markerii pot fi obtinuti prin – alegerea de catre utilizatori – procesarea imaginii

APIM4 - 54

Stergerea obiectelor de pe margine

• Obiectele care intersecteaza marginea imaginii pot deveni nedorite deoarece, de ex., influenteaza masurarea dimensiunii

original marker original - reconstructie

APIM4 - 55

Stergerea unor obiecte

• In cazul imaginilor in nuante de gri, marcarea maximelor poate fi folosita pentru a extrage sau sterge anumite obiecte

APIM4 - 56

Reziduri

• Utilizarea diferentelor (reziduri) dintre operatiile obisnuite pot genera multe filtre morfologice utile

• Tipuri de reziduri:

– diferenta a doua primitive (gradientul morfologic, laplacianul morfologic, filtrul “top-hat”)

– diferenta a doua familii de primitive (skeletul si ultima eroziune)

– transformarea “hit-or-miss” (subtiere si ingrosare)

APIM4 - 57

Gradienti morfologici (1) • Si eroziunea si dilatarea actioneaza asupra muchiilor

=> pot fi utilizate la localizarea muchiilor

APIM4 - 58

Gradienti morfologici (2)

• Gradientul morfologic:

• Gradientul interior si exterior:

se mai poate scrie:

APIM4 - 59

Exemplu

imaginea

originala

gradientul

morfologic gradientul

exterior

gradientul

interior

APIM4 - 60

Exemplu – imagine CT

original gradientul gradientul morfologic interior

APIM4 - 61

Exemplu – imagine MR

original gradientul gradientul morfologic exterior

APIM4 - 62

Laplacianul morfologic

• echivalentul morfologic al Laplacianului este definit ca rezidul gradientului exterior si interior:

APIM4 - 63

Exemplu – imagine MR

original laplacianul morfologic

APIM4 - 64

Filtre “top-hat”

• Rezidurile imaginii originale si deschiderii sau inchiderii sunt denumite filtre “top hat”

• Filtru “top hat” alb: original minus deschidere

• Filtru “top hat” negru: inchidere minus original

APIM4 - 65

Filtre “top-hat” albe • Deschiderea elimina structurile mici (referitoare

la elementul structural) => – filtrul scoate in evidenta structurile mici cu

valori mari de gri – filtrul scoate in evidenta structurile referitor la

fondul local

APIM4 - 66

Exemplu

original

threshold

imagine filtrata cu filtrul “top

hat” alb

threshold

al imaginii filtrate

APIM4 - 67

Familii de operatii

• O familie este un set de operatii morfologice {ψi} unde elementul structural depinde de i

• de exemplu: familia eroziunilor{εi}

• Pentru un set S, rezidurile R a doua familii de primitive {ψi} si {φi} este definit astfel:

APIM4 - 68

Exemplu

APIM4 - 69

Eroziunea finala (1)

• O eroziune care nu sterge complet componentele

• Eroziunile se aplica fiecarei structuri pana cand inca o eroziune ar sterge structura

APIM4 - 70

Exemplu

APIM4 - 71

Transformarea “hit-or-miss”

• Utilizeaza un element structural format din doua

parti:

X=(X1,X2)

• Centrul elementului X este parte a tranformarii

hit-or-miss daca X1 se potriveste in setul S si X2

se potriveste in fundal (SC)

APIM4 - 72

Exemplu

S HX(S)

APIM4 - 73

Subtiere si ingrosare

• Subtierea este rezidul unui set si a transformarii ”hit-or-miss”:

• Ingrosarea este reuniunea unui set si a transformarii ”hit-or-miss”:

APIM4 - 74

Exemplu

S HX(S) thinX(S)

APIM4 - 75

Elementul Golay L

• Este cel mai utilizat element al alfabetului Golay

• Este folosit in 8 variante rotationale

• Subtierea cu L1,…,L8 pana la stabilitate

genereaza un schelet (continuu)

APIM4 - 76

Scheletul • Scheletul este o figura compusa din linii cu

forma de baza a unui set:

• Poate fi vazut ca rezultatul “arderii ierbii”

• Conserva topologia

APIM4 - 77

Exemplul 1

S thinX(S)

APIM4 - 78

Exemplul 2

• Subtierea cu elementul L1, L3,L5 si L7 pana la

convergenta

APIM4 - 79

Sfera maxima • O sfera Bi(x) este dilatarea unui punct x cu δi

• Bi(x) este maxima daca

• Este maxima fiindca nici o alta sfera de dimensiune mai mare si cu acelasi centru nu poate fi tangenta obiectului

APIM4 - 80

Sfera maxima (2)

APIM4 - 81

Scheletul • Reuniunea tuturor centrelor sferelor maxime

• Deseori este discontinuu => nefolositor in practica

APIM4 - 82

Functia quench

• Fiecare punct din schelet are asociata o sfera maxima de dimensiune i => functia quench, i reprezinta nivelul de gri

APIM4 - 83

Functia quench

APIM4 - 84

SKIZ

• SKIZ = scheletul zonelor de influenta =

scheletul fundalului imaginii

• O zona de influenta = toate regiunile de puncte

cel mai apropiate de un obiect

APIM4 - 85

SKIZ

Imag.originala SKIZ suprapunere

APIM4 - 86

Filtru secvential alternativ (ASF)

• Combina doua familii de operatori

• Este util in practica doar daca

• Uneori este util pentru imaginile cu mult zgomot

APIM4 - 87

Exemplu

ASF

(deschideri si

inchideri de

dimensiuni 7

pana la 3)

Threshold

ASF

Original

Threshold

original

APIM4 - 88

Granulometrie • Distributia dupa dimensiune a obiectelor

• Exemplu:

1. Deschidere cu un element de o anumita

dimensiune

2. Masurarea dimensiunii

3. Marirea elementului structural

4. Repeta pasii 1-4 pana cand imaginea este goala

• poate fi utilizata orice familie descrescatoare daca are urmatoarea proprietate:

APIM4 - 89

Exemplu

256x256 original granulometria deschiderilor (x pixeli in 103)