ANTOLOGIA 6MECA

Calle Flores Magn, Esq. Filemn Jimnez Mrquez, Col.Las Granjas, Venustiano Carranza, Pue. C.P. 73040Tels. (746) 88 1 07 68

http://vcarranza.cecytepuebla.edu.mx

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTFICOS YTECNOLGICOS

DEL ESTADO DE PUEBLAVENUSTIANO CARRANZA

"2015, Ao del Generalsimo Jos Mara Morelos y Pavn"

5 PRELIMINARES

Presentacin ......................................................................................................................................................... 7 Mapa de asignatura .............................................................................................................................................. 8 BLOQUE 1: UTILIZA DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA ....................................................... 9 Secuencia Didctica 1: La diferencial ................................................................................................................10 La diferencial de una funcin .....................................................................................................................14 Teoremas sobre diferenciales ....................................................................................................................22 Secuencia Didctica 2: La integral indefinida ....................................................................................................33 Definicin de antiderivada ..........................................................................................................................34 Integral indefinida........................................................................................................................................36 BLOQUE 2: APLICA EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO ................................................. 47 Secuencia Didctica 1: La integral definida .......................................................................................................48 rea bajo la curva .......................................................................................................................................51 Integral de Riemann ....................................................................................................................................58 Secuencia Didctica 2: Aplicaciones de la integral definida en Economa.......................................................67 Ganancia de productores y consumidores ................................................................................................68 BLOQUE 3: EMPLEA LOS MTODOS DE INTEGRACIN .................................................................. 77 Secuencia Didctica 1: Mtodo de cambio de variable y mtodo de integracin por partes..........................78 Integracin por cambio de variable o regla de sustitucin ........................................................................79 Integracin por partes.................................................................................................................................88 Secuencia Didctica 2: Mtodo de integracin de potencias de funciones trigonomtricas y mtodo por fracciones parciales ..............................................................................................................101 Integracin de potencias de funciones trigonomtricas ..........................................................................103 Integracin mediante fracciones parciales ..............................................................................................113 Bibliografa ........................................................................................................................................................128

ndice





"2015, Ao del Generalsimo Jos Mara Morelos y Pavn"MATEMTICA APLICADA





"2015, Ao del Generalsimo Jos Mara Morelos y Pavn"

Una competencia es la integracin de habilidades, conocimientos y actitudes en un contexto especfico.

El enfoque en competencias considera que los conocimientos por s mismos no son lo ms importante, sino el usoque se hace de ellos en situaciones especficas de la vida personal, social y profesional. De este modo, lascompetencias requieren una base slida de conocimientos y ciertas habilidades, los cuales se integran para unmismo propsito en un determinado contexto.

Esta antologa est organizada a travs de bloques de aprendizaje y secuencias didcticas. Una secuencia didcticaes un conjunto de actividades, organizadas en tres momentos: Inicio, desarrollo y cierre. En el inicio desarrollarsactividades que te permitirn identificar y recuperar las experiencias, los saberes, las preconcepciones y losconocimientos que ya has adquirido a travs de tu formacin, mismos que te ayudarn a abordar con facilidad eltema que se presenta en el desarrollo, donde realizars actividades que introducen nuevos conocimientos dndotela oportunidad de contextualizarlos en situaciones de la vida cotidiana, con la finalidad de que tu aprendizaje seasignificativo.

Posteriormente se encuentra el momento de cierre de la secuencia didctica, donde integrars todos los saberesque realizaste en las actividades de inicio y desarrollo.

En todas las actividades de los tres momentos se consideran los saberes conceptuales, procedimentales yactitudinales. De acuerdo a las caractersticas y del propsito de las actividades, stas se desarrollan de formaindividual, binas o equipos.

Para el desarrollo del trabajo debers utilizar diversos recursos, desde material bibliogrfico, videos, investigacinde campo, etc.

La retroalimentacin de tus conocimientos es de suma importancia, de ah que se te invita a participar de formaactiva, de esta forma aclarars dudas o bien fortalecers lo aprendido; adems en este momento, el docente podrtener una visin general del logro de los aprendizajes del grupo.

Recuerda que la evaluacin en el enfoque en competencias es un proceso continuo, que permite recabar evidenciasa travs de tu trabajo, donde se tomarn en cuenta los tres saberes: el conceptual, procedimental y actitudinal conel propsito de que apoyado por tu maestro mejores el aprendizaje. Es necesario que realices la autoevaluacin,este ejercicio permite que valores tu actuacin y reconozcas tus posibilidades, limitaciones y cambios necesariospara mejorar tu aprendizaje.

Se presenta actividades de aprendizaje, que nos sirve para corregir los posibles errores del estudiante, as comoverificar sus avances e implementar diversas estrategias didcticas a travs del desarrollo de los contenidostemticos.

As tambin, es recomendable la coevaluacin, proceso donde de manera conjunta valoran su actuacin, con lafinalidad de fomentar la participacin, reflexin y crtica ante situaciones de sus aprendizajes, promoviendo lasactitudes de responsabilidad e integracin del grupo.

Nuestra sociedad necesita individuos a nivel medio superior con conocimientos, habilidades, actitudes y valores,que les permitan integrarse y desarrollarse de manera satisfactoria en el mundo social, profesional y laboral. Paraque contribuyas en ello, es indispensable que asumas una nueva visin y actitud en cuanto a tu rol, es decir, de serreceptor de contenidos, ahora construirs tu propio conocimiento a travs de la problematizacin ycontextualizacin de los mismos, situacin que te permitir: Aprender a conocer, aprender a hacer, aprender a ser yaprender a vivir juntos.

PRESENTACIN

Tiempo asignado: 16 horas

Utiliza diferenciales e integral indefinida.

Competencias disciplinares: Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos aritmticos, algebraicos, geomtricos y

variacionales, para la comprensin y anlisis de situaciones reales, hipotticas o formales. Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemticos y los contrasta con modelos establecidos o

situaciones reales. Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grficos, analticos o variacionales, mediante el

lenguaje verbal, matemtico y el uso de las tecnologas de la informacin y la comunicacin. Analiza las relaciones entre dos o ms variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemticamente las magnitudes del espacio y las propiedades fsicas de los

objetos que lo rodean. Interpreta tablas, grficas, mapas, diagramas y textos con smbolos matemticos y cientficos.

Unidad de competencia: Aplica los conceptos de diferencial, para resolver problemas prcticos, tras conocer las reglas de diferenciacin; mostrando una actitud

analtica y participativa. Utiliza el concepto de integral indefinida para obtener las antiderivadas de funciones.

Atributos a desarrollar en el bloque: 4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingsticas, matemticas o grficas. 5.1. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cmo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de

un objetivo. 5.4. Construye hiptesis y disea y aplica modelos para probar su validez. 5.6. Utiliza las tecnologas de la informacin y comunicacin para procesar e interpretar informacin. 6.1. Elige las fuentes de informacin ms relevantes para un propsito especfico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y

confiabilidad. 7.1. Define metas y da seguimiento a sus procesos de construccin de conocimientos. 8.1. Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de accin con pasos

especficos. 8.2. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos

de trabajo.

10 UTILIZA DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA

Secuencia didctica 1. La diferencial.

Inicio

Deriva las siguientes funciones mediante el uso de teoremas:

1.

2.

3.

4.

5.

Actividad: 1

11 BLOQUE 1

Evaluacin

Actividad: 1 Producto: Ejercicios. Puntaje:

Saberes

Conceptual Procedimental Actitudinal

Identifica la derivada de una funcin.

Calcula la derivada de una funcin. Es respetuoso con sus compaeros.

Autoevaluacin C MC NC Calificacin otorgada por el

docente

6.

7.

8.

9.

10.

Actividad: 1 (continuacin)


Desarrollo

En equipo realicen lo que se les solicita.

1. Dibujen en la siguiente cuadrcula un cuadrado y calculen su permetro y rea.

2. Si la longitud de sus lados se incrementa media unidad, cunto se incrementar su permetro?

3. Si la longitud de sus lados se incrementa un cuarto de unidad, cunto se incrementar su rea?

4. Comprueben algebraicamente las respuestas anteriores.

5. Fueron acertadas tus respuestas?, por qu?

Actividad: 2

13 BLOQUE 1

Evaluacin

Actividad: 2 Producto: Cuestionario. Puntaje:

Saberes


Distingue la dependencia entre los incrementos de las variables.

Argumenta el incremento de la variable dependiente con respecto al incremento de la variable dependiente.

Es respetuoso, aporta ideas y tiene apertura con las aportaciones de sus compaeros.


docente

6. De qu forma se incrementan el permetro y el rea del cuadrado, cuando se

incrementan sus lados?

7. Expresa el permetro del cuadrado como funcin de uno de sus lados.

8. Expresa el rea del cuadrado como funcin de uno de sus lados.

9. De qu manera puedes relacionar las dos funciones con los clculos que realizaron para la comprobacin?

10. Si la longitud de sus lados se incrementa en 0.05 unidades, cunto se incrementar su rea y su permetro?



La diferencial de una funcin. En la actividad anterior realizaste clculos para obtener el incremento tanto del rea como del permetro de un cuadrado, ahora se te presentar una forma ms sencilla de obtenerlo utilizando la derivada de una funcin, para ello se abordar el tema de la diferencial de una funcin y posteriormente se te proporcionarn algunos ejemplos de su utilidad. La diferencial de una funcin (dy) en un punto (xo, yo) es el incremento de la ordenada medido sobre la tangente a la curva representativa en ese punto

Si f(x) es una funcin que representa una medida fsica, su diferencial es una estimacin del error absoluto de dicha medida. El error absoluto es la diferencia entre el valor aproximado y el valor exacto. La diferencia entre la diferencial de la funcin dy, y el incremento de la funcin y, se le conoce como el error, el cual se visualiza en la siguiente grfica:

Al observar la grfica de la recta tangente trazada en el punto xo, se tiene que el ngulo de inclinacin es la razn que existe entre dy y x. El ngulo de inclinacin de una recta equivale a la pendiente de la recta tangente en el punto mencionado, este tema lo estudiaste en Matemticas 3 y se expresa como sigue:

x

dymtan

x

dyxf

Ahora bien si se denota a x como dx, se obtiene:

dx

dyxf

Despejando dy se logra la forma de obtener la diferencial de la funcin.

dxxfdy

dy

xo+x

yo

xo

yo+y

e=|y dy|

x dy

15 BLOQUE 1

Anteriormente se mencion que para resolver problemas de incrementos, como el mencionado en la actividad 2, era ms sencillo de resolverlo con la diferencial, es por ello que se retomar ese problema y se resolver utilizando la diferencial. Ejemplo 1. Tomando en cuenta que se traz un cuadrado cuyo lado mide 3 unidades. a) Si la longitud de sus lados se incrementa media unidad, cunto se incrementar su permetro?

Cuando se posee la cuadrcula es sencillo contar de forma directa el incremento del permetro cuando son unidades enteras, pero cuando no lo son, se puede recurrir a la diferencial, como se muestra a continuacin. Se denominar a:

L : como la longitud del lado del cuadrado. P : es el permetro del cuadrado. Considerando que se solicita el incremento del permetro, se expresa la funcin correspondiente:

L4P

Tomando la frmula de la diferencial dxxfdy , ajustndola a la notacin de este problema, se expresa:

dLLPdP Donde:

dP significa el incremento del permetro. )L(P es la derivada de la funcin permetro.

dL es el incremento de la longitud de su lado. Por lo tanto al tomar en consideracin que la longitud del lado se increment en una unidad y la derivada del permetro, se obtiene:

2dP

5.04dP

dL4dP

dLLPdP

El permetro se increment 2 unidades. b) Si la longitud de sus lados se incrementa un cuarto de unidad, cunto se incrementar su rea?


Se denominar a:

L : como la longitud del lado del cuadrado. A : es el rea del cuadrado. El rea del cuadrado se expresa como:

2LA La diferencial del rea queda de la siguiente forma:

dLLAdA Donde:

dA significa el incremento del rea.

)L(A es la derivada de la funcin rea.

dL es el incremento de la longitud de su lado. Al tomar en consideracin que la longitud del lado se increment en dos unidades y la derivada del rea, se obtiene:

5.1dA

25.032dA

LdL2dA

dLLAdA

El rea se increment 1.5 unidades cuadradas.

Analiza la siguiente grfica, la cual representa el rea de un cuadrado cuya longitud de lado mide x cm y contesta los cuestionamientos posteriores.

a) Si la longitud del lado es 2 cm, cunto mide el rea del cuadrado?

Actividad: 3

17 BLOQUE 1

Evaluacin

Actividad: 3 Producto: Complementacin de la tabla y conclusin.

Puntaje:

Saberes


Identifica los incrementos de las variables dependiente e independiente, adems de la diferencial de la funcin.

Infiere acerca de la aproximacin del incremento de la variable dependiente a travs de la diferencial.

Es participativo, respetuoso y tiene apertura con las aportaciones de sus compaeros.


docente

b) Completa la siguiente tabla tomando como base el cuadrado de longitud de 2 cm de lado, para calcular los incrementos.

Longitud del lado

x

rea A(x)

Incremento de longitud

x

Incremento de rea A

Diferencial del rea dA

Error |A dA|

2

2.5

3

4

A qu conclusin llegas observando el comportamiento del error?



Ejemplo 2.

Obtener el valor aproximado del incremento en el volumen de un cubo, cuyos lados miden (o tienen una longitud de) 2 m, considerando un aumento de 0.003 por lado. Se hace un bosquejo del problema para entender qu se est pidiendo.

El volumen original del cubo es:

3LV

LadoLadoLadoV

Entonces el diferencial del volumen es:

dLL3dV 2

Entonces, dV representa el incremento de volumen y dL representa el aumento del lado, as que sustituyendo los valores se obtiene:

3

2

2

m036.0dV

m003.0m23dV

dLL3dV

Esto significa que el cubo aument 0.036 m3.

Ejemplo 3. Hallar el valor aproximado del volumen de una cscara esfrica de 200 mm de dimetro exterior y 1 mm de espesor. Primero se tiene que bosquejar el dibujo que representa el problema, para entenderlo mejor. Se muestra la esfera: Se hace un corte para visualizar el espesor.

19 BLOQUE 1

El volumen de la cscara es la parte slida de la esfera, la cual se visualiza como un incremento del volumen que ocupa la esfera en su interior, por lo tanto, es lo mismo que obtener el incremento de volumen de una esfera de radio inicial 99 mm con un aumento de 1 mm de radio.

La frmula del volumen de una esfera es:

3r3

4V

drr4dV

drr33

4dV

2

2

Sustituyendo los datos se obtiene:

3

2

2

mm204,39dV

mm1mm994dV

drr4dV

El volumen de la cscara es aproximadamente de 123,163 mm3

Ejemplo 4. Al calentar una placa cuadrada metlica de 15 cm. de longitud, su lado aumenta 0.04 cm. Cunto aument aproximadamente su rea?

Encontrar el aumento de rea es lo mismo que encontrar el dA. La frmula del rea de un cuadrado es:

2LA Donde L es la longitud uno de los lados del cuadrado.

dLL2dA

Sustituyendo los datos se tiene:

2cm2.1dA

cm04.0cm152dA

Por lo tanto, el rea presenta un aumento de 1.2 cm2

Ejemplo 5. Al enfriar una placa cuadrada metlica de 20 cm. de longitud, su lado disminuye un 0.03%. Cunto disminuir porcentualmente su rea?


Utilizando diferencial de rea para resolver el problema se tiene: El 0.03% que disminuye equivale a 0.006 cm, para verificar esto se multiplica 20 cm por 0.0003.

Para calcular cunto disminuy porcentualmente el rea, se tiene que dividir el diferencial del rea entre el rea inicial y multiplicarlo por cien.

2LA

2cm239928.0dA

cm006.0cm994.192dA

dLL2dA

Por lo tanto su disminucin porcentual se obtiene de la siguiente forma:

%06.00006.0

cm400

cm239928.0

cm20

cm239928.0

A

dA2

2

2

2

Si el lado de la lmina disminuye el 0.03%, su rea disminuye el 0.06%

Resuelve los siguientes problemas utilizando la diferencial.

1. La pared lateral de un depsito cilndrico de radio 50 cm y altura 1 m, debe revestirse con una capa de concreto de 3 cm de espesor. Cul es aproximadamente la cantidad de concreto que se requiere?

Actividad: 4

21 BLOQUE 1

2. Calcula el incremento del rea de un cuadrado cuyos lados tienen una longitud de 7 m, considerando que stos aumentaron 3 mm.

3. Calcula el incremento aproximado del volumen de un cubo cuyos lados miden 7.3 m, considerando un aumento de 0.007 m por lado.

4. Si la medida de la arista de un cubo es 12 pulgadas, con un posible error de 0.03 pulgadas, estimar mediante diferenciales el mximo error posible cometido al calcular: a) El volumen del cubo.



Evaluacin

Actividad: 4 Producto: Problemas aplicados. Puntaje:

Saberes


Convierte un problema de la forma cotidiana a su expresin como funcin, para resolverlo mediante la diferencial.

Aplica la diferencial para resolver problemas cotidianos.

Aprecia la facilidad de resolver problemas mediante la diferencial de una funcin.


docente

Teoremas sobre Diferenciales.

Considerando que la diferencial de una funcin es el producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente, se acepta que a cada frmula de derivacin (vistas en la asignatura de Clculo Diferencial e Integral I), le corresponde una diferenciacin que se detallar a continuacin.

Frmulas diferenciales generales Para )x(gy)x(f , funciones derivables de x :

1. Constante: 0cd

2. Mltiplo constante: dx)x(gc)x(cgd

3. Potencia: dxxnxd 1nn

4. Suma o diferencia:

dx)x(gdx)x(f

))x(g(d))x(f(d)x(g)x(fd

b) El rea del cubo.


23 BLOQUE 1

5. Producto:

dx)x(f)x(gdx)x(g)x(f

)x(fd)x(g)x(gd)x(f)x(g)x(fd

6. Cociente:

2

2

)x(g

dx)x(g)x(fdx)x(f)x(g

)x(g

)x(gd)x(f)x(fd)x(g

)x(g

)x(fd

7. Regla de la cadena: dx)x(g))x(g('f)x(g(fd)x(gfd Frmulas diferenciales de funciones trascendentales.

I. Funciones trigonomtricas

1. dx))x(g(Cos)x(g))x(g(Send 2. dx))x(g(Sen)x(g))x(g(Cosd

3. dx))x(g(Sec)x(g))x(g(Tand 2

4. dx))x(g(Csc)x(g))x(g(Cotd 2 5. dx))x(g(Tan))x(g(Sec)x(g))x(g(Secd 6. dx))x(g(Cot))x(g(Csc)x(g))x(g(Cscd II. Funcin exponencial natural

1. dxe)x(ged )x(g)x(g III. Funcin logaritmo natural

1. 0)x(gcondx)x(g

)x(g)x(g(Lnd

A continuacin se presentan varios ejemplos donde se calcula la diferencial de funciones, utilizando las frmulas de

diferenciacin.

Ejemplos:

1. 2x6y 2

dxx12dy


2. 21

x7y

dxx2

7dy

dx

x2

7dy

dxx2

7dy

21

21

dxx2

7dy

3. 1x

1xy

dx

1x

2dy

dx1x

1x1xdy

dx1x

11x1x1dy

dx1x

1x1x1x1xdy

2

2

2

2

dx

1x

2dy

2

4. 8x6x4y 23

dxx12x12dy 2

5. 32 )1x2x(y

Este problema se puede resolver de dos formas:

a) 32 )1x2x(y Se puede expresar como: 23

)1x2x(y 2

dx)1x2x(3x3dy

dx)1x2x(2

6x6dy

dx)1x2x(2

)2x2(3dy

dx)2x2()1x2x(2

3dy

dx)1x2x()1x2x(2

3dy

21

21

21

21

23

2

2

2

2

212

dx1x2x3x3dy 2

25 BLOQUE 1

b) Si identificas que el polinomio que est dentro del radical es un trinomio cuadrado perfecto, por lo que la funcin se puede expresar como:

332 )1x())1x((y y se resuelve:

3)1x(y

dx3x6x3dydx)1x2x(3dy

dx1)1x(3dy

2

2

2

Los dos procedimientos dan el mismo resultado, slo se tiene que seguir simplificando en el primer procedimiento:

dx3x6x3dy

dx3x3x3x3dy

dx1x3x3dy

dx1x3x3dy

dx1x2x3x3dy

2

2

2

2

As que el resultado es:

dx3x6x3dy 2

6. )2x5)(1x2(y 2

dx5x10x8x20dy

dx)5)(1x2()2x5)(x4(dy

dx)2x5)(1x2()2x5()1x2(dy

22

2

22

dx5x8x30dy 2

7. 2)3x2(y

dx)2)(3x2(2dy

dx)3x2()3x2(2dy 12

dx)12x8(dy

8. 1x2y Se puede expresar como: 21

1x2y

dx

1x2

1dy

dx1x22

2dy

dx21x22

1dy

dx1x21x22

1dy

21

21

21

21 1

dx1x2

1dy


9. 2)1x(

2y

Se puede expresar como: 2)1x(2y

dx)1x(

)1(4dy

dx)1()1x(4dy

dx)1x()1x(22dy

3

3

12

dx)1x(

4dy

3

10. 1x

1xy

Se puede expresar como:

21

1x

1xy

dx

1x1x

1dy

dx1x1x

1dy

dx1x1x1x2

2dy

dx1x

2

1x1x

1

2

1dy

dx1x

11x1x1

1x

1x

2

1dy

dx1x

1x1x1x1x

1x

1x

2

1dy

dx1x

1x

1x

1x

2

1dy

3

2

2

2

2

1

23

21

21

21

21

21

21

21

21

21

dx

1x1x

1dy

3

11. )1x3(Seny 2

dx)1x3(Cos)1x3(dy 22

dx)1x3(Cosx6dy 2

27 BLOQUE 1

12. )x2(Lny 3

dxx2

x6y

dxx2

)x2(y

3

2

3

3

dxx

3y

13. )3x4(Cot

2y

Se puede expresar como: )3x4(Tan2y

dx)3x4(Sec)4(2dy

dx)3x4(Sec)3x4(2dy

2

2

dx)3x4(Sec8dy 2

14. 1x1x

ey

dxe

1x

2dy

dxe1x

11x1x1dy

dxe1x

1x1x1x1xdy

dxe1x

1xy

1x

1x

2

1x

1x

2

1x

1x

2

1x

1x

dx

1x

e2dy

2

1x

1x

15. )6x7x(Secy 2

dx)6x7x(Tan)6x7x(Sec)6x7x(dy 222

dx)6x7x(Tan)6x7x(Sec)7x2(dy 22


Utilizando los teoremas, calcula las diferenciales de las siguientes funciones.

Actividad: 5

29 BLOQUE 1

Evaluacin


Saberes


Reconoce la diferencial de una funcin.

Obtiene la diferencial de una funcin.

Aprecia la utilidad de las derivadas para obtener diferenciales de funciones.


docente



Cierre

En equipo resuelvan los siguientes problemas:

1. Un fabricante de pelotas de plstico realiza la produccin de 1000 pelotas de cierto modelo,

cuya caracterstica de diseo implica un dimetro de 30 cm y un espesor de 2 mm. Por motivo de un desajuste en la maquinaria, los encargados de control de calidad afirman que las pelotas han salido con un espesor de 2.3 mm. Cunto plstico en exceso se ha gastado aproximadamente en la produccin?

2. Obtener el valor aproximado en el aumento que tendr el rea de una esfera de 8cm de radio cuando el

radio aumenta 3cm.

Actividad: 6

31 BLOQUE 1

3. La pared lateral de un depsito cilndrico con radio de 60 cm y altura de 1.20m, debe

revestirse con una capa de concreto de 3 cm de espesor. Cul es aproximadamente la cantidad de concreto que se requiere?

4. Un tanque de almacenamiento de aceite en forma de cilindro circular vertical tiene una altura de 5m. el radio

mide 8m, con un error posible de 0.25m.Utilice diferenciales para calcular el error mximo en el volumen. Encuentre el error relativo aproximado y el porcentaje aproximado de error.



Evaluacin

Actividad: 6 Producto: Problemas aplicados. Puntaje:

Saberes


Comprende la utilidad de la diferencial de una funcin en la solucin de problemas cotidianos.

Aplica la diferencial de una funcin para resolver problemas cotidianos.

Es respetuoso con sus compaeros y aporta ideas para la resolucin de los problemas.


docente

5. Una lata de aluminio para bebidas gaseosas mide 2.54 cm de radio y 17.3 cm de alto,

mientras el espesor de la lmina con que est hecha es de 0.74 mm. Si simultneamente se provocara un error mximo en radio, altura y espesor del k% en cada magnitud: a) Cunto vara en porcentaje el peso de la lata? b) Cunto vara en porcentaje la cantidad de lmina empleada para construir la lata? c) Cunto vara en porcentaje el volumen que puede contener la lata? d) En cada caso Qu magnitud al variar resulta la ms crtica: la altura, el radio o el

espesor de la lata? e) Qu valor mximo puede tener k si ninguna de las magnitudes mencionadas en los

incisos a, b y c, debe de modificar su valor ms de un 1.5%?


33 BLOQUE 1

Secuencia didctica 2. La integral indefinida.

Inicio

Evaluacin

Actividad: 1 Producto: Complementacin de la tabla y cuestionario.

Puntaje:

Saberes


Identifica el proceso inverso de la derivada de una funcin.

Describe el proceso inverso de la derivada de una funcin.

Se interesa por realizar la actividad.


docente

Completa la siguiente tabla y contesta lo que se te solicita:

Funcin Derivada

a) Qu puedes decir de los resultados que obtuviste en la tabla?

b) Si sabes que la derivada de F(x) es la funcin , cmo es F(x)?

c) Si sabes que la derivada de F(x) es la funcin , cmo es F(x)?

Actividad: 1


Desarrollo En el transcurso de tus estudios de bachillerato te has dado cuenta que en Matemticas se habla de procedimientos inversos, en los cuales se puede incluir a las operaciones bsicas, as como tambin algunos temas de lgebra, por ejemplo, en las operaciones bsicas, se identifica la suma como el inverso de la resta, la multiplicacin como el inverso de la divisin, la potenciacin como la inversa de la radicalizacin y viceversa. Otro ejemplo que se puede observar es el de los productos notables como lo inverso de la factorizacin y viceversa. En el curso de Clculo Diferencial e Integral 1 trabajaste con el concepto de derivada, en el cual derivaste algunas funciones, no te has preguntado: cul ser el proceso inverso a derivar una funcin? Es decir, si se conoce la derivada de una funcin, cmo se puede conocer la funcin cuya derivada es la funcin que se conoce?

Definicin de antiderivada.

Una antiderivada de una funcin )x(f es otra funcin )x(F que cumple:

)x(f)x(F

Ejemplo1.

Al calcular la antiderivada de la funcin x2)x(f se obtiene 2x)x(F .

La justificacin de lo anterior es debido a que x2)x(F .

Pero sta no es la nica antiderivada que puede tener x2)x(f , porque tambin puede ser 2x)x(F 2 , debido a

que x2)x(F .

Esto significa que si se aade cualquier constante a 2x)x(F , se formarn una infinidad de funciones, las cuales

sern la antiderivada de x2)x(f .

Geomtricamente se puede visualizar de la siguiente forma:

En la grfica se observa varias funciones cuadrticas que se diferencian entre si debido a que se desplaza verticalmente dos unidades cada vez, es decir se tiene:

2x)x(F

2x)x(F 2

4x)x(F 2

6x)x(F 2

Tambin se grafic la recta tangente en cada una de ellas, cuando x=1; ntese que todas las rectas son paralelas, es decir tienen la misma pendiente, por lo tanto, al ser la derivada de una funcin la pendiente de la recta tangente, se deduce que todas funciones anteriores tienen la misma derivada.

En este caso x2)x(F

35 BLOQUE 1

Como puedes observar, la antiderivada de una funcin f(x) no es nica, ya que se puede encontrar una infinidad de funciones cuya derivada ser f(x), sin embargo, es importante observar que todas esas funciones se diferenciarn nicamente por una constante, de tal forma que en general se dice que: La antiderivada de la funcin f(x) es una funcin F(x) = g(x) + cte.

Donde cte. es la constante arbitraria y )x(f)x(F .

1. 2x3)x(h , la antiderivada es H(x) = x3 + cte., pues 2x3)x(H .

2. 3x4)x(m , la antiderivada es .ctex)x(M 4 , pues 3x4)x(M .

3. 9)x(g , la antiderivada es .ctex9)x(G , pues 9)x(G .

4. 4

1)x(r , la antiderivada es .ctex

4

1)x(R , pues

4

1)x(R .

5. 9x3x4)x(f 23 , la antiderivada es .ctex9xx)x(F 34 , pues 9x3x4)x(F 23 .

Evaluacin

Actividad: 2 Producto: Ejercicio. Puntaje:

Saberes


Reconoce la antiderivada de una funcin.

Calcula la antiderivada de una funcin.

Analiza y se interesa por realizar la actividad.


docente

Encuentra la antiderivada de las siguientes funciones.

1.

2.

3.

4.

5.

Actividad: 2


Integral indefinida. La antidiferenciacin es el proceso de determinacin de todas las antiderivadas de una funcin dada.

El smbolo denota la operacin de antidiferenciacin y se escribe de la siguiente manera:

.ctexFdxxf

donde:

)x(f)x(F

y dx)x(f)x(Fd

A dxxf se le llama tambin integral indefinida de )x(f . A continuacin se ejemplificarn cmo calcular la integral indefinida de algunas funciones: Ejemplos

1. x2)x(f

.tecxxdx2dx)x(f 2

2. 2x3)x(h

.tecxdxx3dx)x(h 32

3. 5x2x3x5x6x7)x(m 2456

.cte2xxxxdx5x2x3x5x6x7dx)x(m 35672456

Realiza lo que se pide.

1. Describe, paso a paso, el procedimiento para derivar la funcin .

Actividad: 3

37 BLOQUE 1

Evaluacin

Actividad: 3 Producto: Descripcin. Puntaje:

Saberes


Reconoce el proceso inverso de la derivada de una funcin.

Obtiene el proceso inverso de la derivada de una funcin.

Se interesa por realizar la actividad.


docente

2. Desarrolla el proceso inverso del punto anterior, para que describas la forma de encontrar

la integral indefinida de .

3. Comprueba el procedimiento que describiste integrando la funcin , a su vez, comprueba la

integral anterior derivando el resultado que obtuviste.



As como el procedimiento que descubriste, se realizan otros para encontrar los teoremas que facilitan el clculo de la integral indefinida, los cuales se enuncian en el siguiente cuadro.

Teoremas de integracin directa.

.cteaxdxadxa.1

1nsi.cte1n

xdxx.2

1nn

.ctexnLdxxdxx

1.3 1

dx)x(gdx)x(fdx)x(g)x(f.4

.ctexdxx.5 ee

.ctexscodxxsen.6

.ctexsendxxsco.7

.ctexntadxxcse.8 2 .ctextcodxxccs.9 2

.ctexcsedx)xnta()xcse(.10 .ctexccsdx)xtco()xccs(.11

A continuacin se muestran varios ejemplos en los cuales se utilizan los teoremas de integracin directa.

Ejemplos:

.ctexdx.1

.ctex9dx9.2

.ctex2

1dx

2

1.3

.cte4

x

.cte13

xdxx.4

4

133

.cte8

x

.cte17

xdxx.5

8

177

39 BLOQUE 1

.ctex

.cte3

x3

.ctexc12

x3dxx3dxx3.6

3

3

312

22

.ctex

.ctex

.ctex

.cte1

xdxxdxx.7

3

3

2

2

3

3

2

2

3

2

3

2

1

12

1

2

1

.ctex

1c

1

x

.tec12

xdxxdx

x

1.8

1

122

2

.ctexnL5dxx

15dx

x

5.9

.ctex33

xdx3dxxdx)3x(.10

322

.ctex112

x9

3

x8

4

x

5

x

dx11dxx9dxx8dxxdxxdx)11x9x8xx(.11

2345

234234

.ctexsenxdxxscodxxdxxscox.12 eee

.ctexxscoxtco

dxxdxxsendxxccsdxxxsenxccs.13

e

ee 22


Evaluacin


Saberes


Distingue la antiderivada de una funcin, para expresar su integral indefinida.

Calcula la integral indefinida de una funcin.

Expresa sus dudas y corrige sus errores.


docente

Calcula las integrales de las funciones, utilizando los teoremas.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Actividad: 4

41 BLOQUE 1

En los ejemplos anteriores se integraron paso a paso algunas funciones, pero esto se puede simplificar, al igual que se pueden realizar varias operaciones para poder facilitar la integracin, como se muestra en los siguientes ejemplos:

.ctex8x2

3x

2

3

.ctex82

x3

4

x6dx)8x3x6(.1

24

243

.ctex16x2x3

20x

4

5

.ctex162

x4

3

x20

4

x5

dx16x4x20x5dx)4x)(4x5(.2

234

234

232

.ctex4x2

5

x

3xLn

.ctex42

x5

1

x3xLn

dx4x5x3x

1dx4x4x9

x

3

x

1.3

2

21

2

2

.ctex49x21x3

.ctex492

x42

3

x9

dx49x42x9dx)7x3(.4

23

23

22

.ctexx2

15x25

4

x125

.ctex12

x15

3

x75

4

x125

dx1x15x75x125dx)1x5(.5

234

234

233

.ctexcot5edx)xcsc5e(.6 x2x


.ctexx3

2

.ctexx3

2

.ctex1x

dx)1x(dx)1x(.7

3

23

23

23

21

.ctexcscxtanxsenxcosdx)xcotxcscxsecxcosxsen(.8 2

.ctex2

3

x

2x

2

5x

3

4

.cte2

x3

1

x2

2

x5

3

x4

dxx3x2x5x4dxx

3x2x5x4.9

2

23

2123

322

3

45

.ctexx3x3

2xLnxxx

4

1

.ctex1xx

xLn2

x2

3

x3

4

xdx)1xxxx2x3x(.10

33234

31

23

2343

22

1123

31

23

Sitios Web recomendados: Ingresa a la siguiente liga, en ella se te ofrecen varios videos que te pueden ayudar a practicar las integrales. Tambin se te ofrece la liga para descargar el programa Derive y as comprobar los resultados. http://www.youtube.com/results?search_query=juanmemol+integrales&aq=3&oq=juanmemol http://derive.softonic.com/

43 BLOQUE 1

Cierre

Resuelve las siguientes integrales y, posteriormente, comprubalas mediante derivacin o utilizando el programa Derive.

1.

2.

3.

4.

5.

Actividad: 5


6.

7.

8.

9.

10.

11.


45 BLOQUE 1

Evaluacin


Saberes


Ubica los teoremas sobre integrales indefinidas, para realizar los clculos necesarios.

Calcula las integrales indefinidas utilizando los teoremas.

Aprecia la facilidad de los teoremas para la obtencin de integrales indefinidas.


docente

12.

13.

14.

15.



Aplica el teorema fundamental del Clculo.


variacionales, para la comprensin y anlisis de situaciones reales, hipotticas o formales. Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemticos y los contrasta con modelos establecidos o

situaciones reales. Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grficos, analticos o variacionales, mediante el

lenguaje verbal, matemtico y el uso de las tecnologas de la informacin y la comunicacin. Analiza las relaciones entre dos o ms variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemticamente las magnitudes del espacio y las propiedades fsicas de los

objetos que lo rodean. Interpreta tablas, grficas, mapas, diagramas y textos con smbolos matemticos y cientficos.

Unidad de competencia: Aplica la integral definida y el teorema fundamental del clculo a la solucin de problemas de rea bajo una grfica en situaciones de

aplicacin de las ciencias naturales y sociales; a partir del conocimiento de las propiedades de la integral definida; mostrando una actitud analtica, reflexiva y colaborativa.

Atributos a desarrollar en el bloque: 4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingsticas, matemticas o grficas. 5.1. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cmo cada uno de sus pasos contribuye al alcance

de un objetivo. 5.4. Construye hiptesis y disea y aplica modelos para probar su validez. 5.6. Utiliza las tecnologas de la informacin y comunicacin para procesar e interpretar informacin. 6.1. Elige las fuentes de informacin ms relevantes para un propsito especfico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y

confiabilidad. 7.1. Define metas y da seguimiento a sus procesos de construccin de conocimientos. 8.1. Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de accin con pasos

especficos. 8.2. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos

de trabajo.

48 APLICA EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO

Secuencia didctica 1. La integral definida.

Inicio

Desarrolla lo que se solicita.

1. Observa la siguiente expresin:

a) Qu significa el smbolo ? b) Qu representa n? c) Escribe cmo se traduce la expresin completa. d) Qu resultado se obtiene de dicha expresin?

2. Mediante rectngulos calcula el rea de la siguiente figura.

3. Dibuja rectngulos inscritos que llenen la mayor cantidad de rea en la siguiente figura.

4. Qu puedes hacer para abarcar ms rea al dibujar los rectngulos inscritos en el planteamiento anterior?

Actividad: 1

49 BLOQUE 2

Evaluacin

Actividad: 1 Producto: Cuestionario y dibujos. Puntaje:

Saberes


Reconoce la notacin sumatoria e identifica el rea de figuras geomtricas.

Describe la notacin sumatoria y obtiene el rea de figuras geomtricas mediante la aproximacin de reas de rectngulos.

Muestra inters al realizar la actividad.


docente

Desarrollo

Evaluacin

Actividad: 2 Producto: Ejemplos. Puntaje:

Saberes


Describe sumas finitas e infinitas de una sucesin.

Ejemplifica las sumas finitas e infinitas de una sucesin de trminos.

Expresa su punto de vista y es respetuoso con la aportacin de sus compaeros.


docente

En equipo investiguen lo siguiente: 1. Qu es una sucesin? 2. Cmo se representa la suma finita de los trminos de una sucesin? 3. Cmo se representa la suma infinita de los trminos de una sucesin? 4. Escribe 3 ejemplos de una suma finita de los trminos de una sucesin. 5. Escribe 3 ejemplos de la suma infinita de los trminos de una sucesin. Comenten en el grupo las conclusiones.

Actividad: 2


Esta asignatura es la culminacin de tus estudios en el campo de las Matemticas a nivel medio superior, habrs notado que en este ltimo semestre has necesitado recuperar mltiples conocimientos previos de los semestres anteriores. Para iniciar la presente secuencia, se requiere que hayas aprendido el tema de sucesiones y series que viste en la asignatura de Matemticas 1.

Evaluacin


Saberes


Identifica la notacin sumatoria.

Obtiene la sumatoria de trminos finitos, as como expresa en notacin sumatoria, la suma de trminos finitos.



docente

Resuelve las siguientes sumas.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Expresa mediante notacin de sumatoria, las siguientes sumas.

1.

2.

3.

4.

Actividad: 3

51 BLOQUE 2

rea bajo la curva. Dos problemas motivaron las dos ms grandes ideas del Clculo. El problema de la tangente que condujo a la derivada y el problema del rea que llevar a la integral definida. Para encontrar reas de polgonos no es dificultad, debido a que se empieza por definir el rea de un rectngulo como el producto de su longitud por su ancho (ambas medidas con las mismas unidades) y a partir de esto se deducen en sucesin reas de polgonos. El problema se presenta cuando se considera obtener el rea limitada por una curva. Sin embargo, hace ms de 2000 aos, Arqumedes dio la clave para su solucin, considrese, dijo, una sucesin de polgonos inscritos que se aproximen a la regin curva con una precisin cada vez ms grande. Por ejemplo, para el crculo de radio 1, considrense polgonos inscritos P1, P2, P3,, de 4 lados, 8, 16,, como se muestra a continuacin:

El rea del crculo es el lmite cuando n de las reas de nP , por lo tanto:

nn

PAlimcrculoA

Siendo A, el rea.

Analiza la siguiente situacin y desarrolla lo que se solicita. Fernanda es estudiante del Colegio de Bachilleres del plantel Nogales. Ella pretende estudiar en la Universidad de Sonora. Para transportarse requiere comprar un auto de $60,000.00; para ello, solicit trabajo en una maquiladora de la localidad con el fin de ahorrar todo su salario. La licenciada de Recursos Humanos de la empresa le inform que su sueldo se incrementar cada mes en los primeros 3 aos laborados, de acuerdo a la siguiente funcin:

Donde S es el salario mensual, x representa el mes laborado y T es el salario mnimo que se aplica en este momento. Tambin le coment que despus de los 3 aos, su salario se incrementa de acuerdo al aumento salarial del Distrito Federal. a) Investiga cunto es el salario mnimo. b) Expresa la funcin S(x) sustituyendo el valor del salario mnimo.

Actividad: 4


Evaluacin

Actividad: 4 Producto: Cuestionario. Puntaje:

Saberes


Relaciona el valor de la funcin con el rea bajo la curva que describe la misma.

Aplica el rea bajo la curva en la solucin de una situacin.

Aporta sus resultados en la retroalimentacin de la actividad.


docente

c) Traza la grfica correspondiente a S(x).

d) Ubica un punto cualquiera sobre la funcin y expresa sus coordenadas. e) Qu significa la abscisa del punto dibujado?

f) Qu significa la ordenada del punto dibujado?

g) Cmo puedes representar en la grfica la cantidad que Fernanda ahorr en medio ao?

h) De qu forma podras obtener dicha cantidad?

i) En cunto tiempo podr comprar su auto? j) Podr obtenerlo antes de iniciar sus estudios superiores, si est iniciando el tercer semestre de Bachillerato?


53 BLOQUE 2

Para encontrar el rea de cualquier superficie sin importar su forma, como se muestra en la siguiente figura:

Observa que la regin est comprendida entre la funcin, el eje X, la recta x=a y la recta x=b. Para calcular el rea de la regin, se divide en una serie de rectngulos de base x , con el propsito de sumar todos los rectngulos y obtener una aproximacin del rea total.

Considerando que ya se vio la notacin sumatoria, se puede enunciar la suma de los rectngulos en una sola

expresin, para ello se toma un valor xi, dentro del intervalo a,b, tal que exista xi y un f(xi), de tal manera que se cumpla que:


De esta manera se puede calcular el rea de ese rectngulo:

ii xxfA Esto es, la altura del rectngulo por su base. Si se considera a xi , como cualquier particin del eje X que determina un rectngulo dentro del rea, entonces:

n

1iii xxf

Representa el rea aproximada de la regin que se desea. Ejemplo 1.

Calcular el rea aproximada bajo la funcin 2x)x(g entre 1x y 5.4x , con rectngulos cuya base mide la

mitad de la unidad. La funcin g(x) es lineal; al trazarla y dibujar los rectngulos cuya base miden 0.5 u se obtiene una buena aproximacin, sin embargo, a medida que se tomen rectngulos ms pequeos se obtendr una mejor aproximacin.

La altura de cada uno de los rectngulos es el valor correspondiente al extremo derecho de la base del rectngulo sustituido en la funcin, por ejemplo si se toma uno de los rectngulos, se tiene como base y altura:

Por lo tanto, el rea de esta pequea seccin es (0.5)(4.5)=2.25 unidades cuadradas. Ahora se obtendr el rea total, la cual se obtiene mediante la suma de las reas de los rectngulos es:

25.19A

5.065.05.55.055.05.45.04

5.05.35.035.05.25.025.05.15.01A

5.04g5.05.3g5.03g5.05.2g5.02g

5.05.1g5.01g5.05.0g5.00g5.05.0g5.01gA

x)x(gA11

1iii

0.5

4.5

55 BLOQUE 2

El resultado obtenido (19.25 u2 ) es una aproximacin al valor real del rea de la regin deseada. En este caso, al ser una funcin lineal, se puede conocer el rea exacta, ya sea obteniendo las sumas de los tringulos que faltaron, o bien, utilizando la frmula del rea de un trapecio, cuya frmula es:

2u625.20A

2

5.515.6A

2

alturamenorbasemayorbaseA

Si notas en la aproximacin obtenida mediante la particin y la medida exacta, hay 1.375 unidades de diferencia, esta cantidad se puede hacer menor si se toman particiones mucho ms pequeas. Ahora te preguntars para qu realizar particiones si se tiene una frmula, como la del rea del trapecio, que proporciona el rea exacta. Pues bien, sta se puede utilizar siempre y cuando la funcin sea una recta, de no ser as, se tiene que recurrir a la particin, para muestra de ello, se realiza el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.

Calcular el rea aproximada bajo la funcin 2x)x(f entre 0x y 2x , con rectngulos cuya base mide un cuarto de

unidad. Primero se traza la funcin y los rectngulos que cubrirn el rea que se desea, como se muestra en la figura.


Posteriormente, se calculan cada una de las reas de los rectngulos dibujados, cuya base mide 0.25 u, y su altura mide lo correspondiente al valor de la funcin evaluada en el extremo derecho de la base de cada rectngulo, como se muestra en ambas figuras:

Por lo tanto el rea correspondiente es la suma de las reas de los rectngulos.

1875.2

765625.05625.0390625.025.0140625.00625.0015625.00

25.00625.325.025.225.05625.125.0125.05625.025.025.025.00625.025.00

25.075.1f25.05.1f25.025.1f25.01f25.075.0f25.05.0f25.025.0f25.00fA

xxfA8

1iii

Por lo tanto, el rea aproximada por debajo de la funcin 2x)x(f entre 0x y 2x , es 2.1875 u2.

Ntese que en los dos ejemplos anteriores, los rectngulos que aproximan al rea estn por debajo de la funcin, por lo que tambin se podra obtener una aproximacin con rectngulos que se tomen por encima de la funcin, como en el siguiente ejemplo.

57 BLOQUE 2

Ejemplo 3.

Calcular el rea aproximada bajo la funcin 3x

1)x(h entre 1x y 3x , con rectngulos cuya base mide un tercio

de unidad. Esta funcin es racional y su grfica es la siguiente:

Ahora haciendo un acercamiento al rea que interesa y considerando rectngulos por encima de la funcin, la particin queda:


Posteriormente, se calculan cada una de las reas de los rectngulos dibujados, cuya base mide 1/3 u, y su altura mide lo correspondiente al valor de la funcin evaluada en el extremo derecho de la base de cada rectngulo.

2179.7

4

hh2hhh1hA

xxfA

2802021

89

78

67

56

45

34

31

827

31

724

31

27

31

518

31

415

31

31

38

31

37

31

31

35

31

34

31

6

1iii

Por lo tanto, el rea aproximada por debajo de la funcin 3x

1)x(h entre 1x y 3x es 7.2179 u2.

Integral de Riemann.

Ahora bien, volviendo a una funcin cualquiera y recordando que xi representa cada una de las particiones de la regin, si sta se hace tan pequea como se pueda, se obtendrn un mayor nmero de rectngulos que dar una mejor aproximacin al rea que se busca, como se puede observar en la siguiente figura:

De aqu se puede deducir que si se halla el lmite cuando el nmero de rectngulos sea muy grande o cuando las longitudes de las bases de esos rectngulos sean muy pequeas, se lograr la mejor y ms exacta aproximacin del rea. Esto se representa as:

n

1iii

nxxflim

Con esto ya se encontr la mejor aproximacin del rea. Ahora s se puede enunciar la integral definida ya que:

b

a

n

1iii

nxxflimdx)x(f

59 BLOQUE 2

Por lo tanto, se puede deducir que la integral definida es una suma, de esta manera, tambin se ha mostrado la primera aplicacin de la integracin definida, hallar el rea bajo una curva. La notacin de la integral definida y las partes que la componen, son:

b

a

dx)x(f

Toda la expresin se lee: Integral de f(x) desde a hasta b

Donde a y b son los lmites de integracin, donde a es el lmite inferior y b es el lmite superior. A esta integral se le conoce como la integral de Riemann. Es preciso aclarar que la definicin anterior es hasta cierto punto muy intuitiva, si tienes oportunidad de consultar un libro de clculo de nivel superior te dars cuenta que para comprender bien el concepto de integral definida, se requiere de definiciones ms elaborados tales como sumas de Riemann, particiones irregulares, etc. Para este fin es suficiente la anterior definicin. Es importante notar que las integrales definidas y las indefinidas son identidades diferentes. Una integral definida es un nmero mientras que una integral indefinida es una familia de funciones. De la misma forma que en las derivadas, existen teoremas que permiten calcularla de manera prctica y sencilla, en el caso de la integral definida tambin se cuenta con herramientas que facilitan su clculo, tal es el caso del teorema Fundamental del Clculo Integral, el cual se enuncia a continuacin. Si una funcin f(x) es continua sobre el intervalo cerrado [a,b] y F(x) es una integral indefinida de f(x) sobre el intervalo [a,b], entonces:

b

a

b

a)a(F)b(F)x(Fdx)x(f

Esto es, si se desea obtener la integral en un intervalo cerrado, se requiere restar la integral indefinida evaluada en el lmite superior del intervalo menos la evaluada en el lmite inferior del intervalo. Con este procedimiento se estara obteniendo el rea bajo la curva de una forma exacta. A continuacin se mostrarn algunos ejemplos. Ejemplo 1.

Obtener 3

0

2 dx)1x( .

Primero se obtiene la integral indefinida y posteriormente se evaluan los lmites del intervalo, que en este caso son 0 y 3.

120390

3

03

3

3x

3

xdx)1x(

333

0

33

0

2

Este resultado representa el rea que se muestra en la siguiente grfica.


Ejemplo 2.

Calcula

1

1

23 dx)1xx5x4(

A continuacin se procede a obtener la integral indefinida para evaluarla en los lmites de integracin indicados.

217

613

319

21

35

21

35

2213

3542

213

354

1

1

2213

354

1

1

23

1111

11111111xxxxdx)1xx5x4(

Ejemplo 3.

Calcular

2

0

senxdx .

Recuerda que tienes que basarte en los teoremas de integrales.

0coscosxcossenxdx 200

2

2

Para evaluar la funcin tangente, es preciso que utilices tu calculadora en modo de radianes, de lo contrario, obtendrs un resultado errneo.

1

10

0coscossenxdx 20

2

61 BLOQUE 2

Ejemplo 4.

Calcular el valor de la integral

23

2

dxxcos

Al graficar la funcin se visualiza el rea deseada.

Las races correspondientes son 2

3

22,,

, las cuales cortan a la funcin en el eje X en el intervalo

2

3

2, ,

mismo que determina los lmites de la integral definida.

Si notas, existe una seccin por encima del eje X:

22, ; tambin existe una seccin por debajo del eje X:

2

3

2, .

Para calcular el rea, se tomarn las integrales por intervalos.

211sensenxsendxxcos22

2

2

2

2

211sensenxsendxxcos22

32

3

2

23

2

El hecho que se haya obtenido el resultado negativo, es debido a que esta seccin se encuentra por debajo del eje X, pero se sabe que no existen reas negativas, as que el resultado final es:

422dxxcosdxxcosdxxcos2

3

2

2

2

23

2

Calcula el valor de las siguientes integrales definidas.

1)

2)

Actividad: 5


3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)


63 BLOQUE 2

Evaluacin


Saberes


Distingue la integral definida de varias funciones.

Practica la integral definida de varias funciones.



docente

As como al derivar la funcin velocidad, que describe un vehculo, se obtiene la funcin aceleracin, en sentido inverso, si se integra la funcin aceleracin se obtiene la velocidad y a su vez, si se integra sta, se obtiene la distancia recorrida, como se muestra en los siguientes ejemplos. Ejemplo 5. Calcular la distancia recorrida por un cuerpo que se mueve con una velocidad constante de 3 m/s, durante los primeros 6 segundos de movimiento. El hecho que la velocidad sea constante indica que es un caso de Movimiento Rectilneo Uniforme (MRU), por lo que al trazar la grfica de velocidad-tiempo del cuerpo, se obtiene la siguiente figura.

Si se considera la frmula que se utiliza en el MRU:

t

dv

La distancia recorrida se obtiene de multiplicar la velocidad por el tiempo recorrido.

tvd

Esto es:

m18

s6s/m3d

La cual coincide con el rea del rectngulo coloreado, en ste caso se puede realizar la multiplicacin directa de la base por la altura o bien, calcularlo mediante la integral definida, como se muestra a continuacin:

180363x3dx36

0

6

0


Con esto se concluye que tanto el rea bajo la lnea que describe la velocidad (funcin), la frmula y la integral definida confluyen en el mismo resultado el cual es: que la distancia recorrida por el cuerpo es 18 m/s. Ejemplo 6. Calcular el espacio recorrido por un cuerpo con movimiento rectilneo y cuya velocidad la describe la funcin:

1t2t2tv 2 En este caso se observa la grfica de la funcin que describe la velocidad del cuerpo, y se percibe la dificultad de obtener el valor del rea de forma rectangular, de tal forma que se recurre a la integral definida.

Para utilizar la integral definida es necesario definir sus lmites, en este caso es a partir de 0 segundos y se tendra que obtener el instante donde la velocidad es 0 m/s, la cual se visualiza en la grfica, en el corte que tiene la funcin con el eje horizontal. Al hacer la velocidad 0 m/s se obtiene una ecuacin cuadrtica que se puede resolver mediante la frmula general, como se muestra a continuacin.

1t2t20

1t2t2)t(v

2

2

La frmula general queda:

1c

2b

2a

37.1t37.0t

4

122t

4

122t

4

122t

22

12422t

a2

ac4bbt

2

2

65 BLOQUE 2

El tiempo a considerar como lmite superior de la integral es t=1.37 s, dado que es el resultado positivo en la solucin de la ecuacin cuadrtica, por lo tanto la integral definida a resolver es:

53.1003

0237.137.1

3

37.12tt

3

t2dt1t2t2 2

32

337.1

0

2337.1

0

2

Con este resultado se puede concluir que el espacio recorrido es de 1.53 m.

Cierre

En equipo resuelvan los siguientes problemas. 1. Se supone que durante los primeros cinco aos que un producto se puso a la venta en el

mercado la funcin f(x) describe la razn de venta cuando pasaron x nmero de aos desde que el producto se present en el mercado por primera vez.

Se sabe que . Calcula las ventas totales durante los primeros cuatro aos.

2. Se espera que la compra de una nueva mquina genere un ahorro en los costos de operacin. Cuando la mquina tenga x nmero de aos de uso, la razn de ahorro sea de f(x) pesos al ao donde

a) Cunto se ahorrar en costos de operacin durante los primeros seis aos? b) Si la mquina se compr a $67,500, cunto tiempo tardar la mquina en pagarse por s sola?

3. Un mvil lleva una velocidad en m/s, en funcin del tiempo, segn la funcin:

Donte t se mide en segundos. Calcula el espacio que recorre el mvil entre los segundos 2 y 5 del movimiento.

Actividad: 6


Evaluacin

Actividad: 6 Producto: Problemas de aplicacin. Puntaje:

Saberes


Expresa la integral definida que describen problemas cotidianos.

Utiliza la integral definida para resolver problemas cotidianos.

Aprecia la utilidad de la integral definida en la solucin de mltiples situaciones.


docente

4. La funcin que mide el caudal que sale de un depsito es:

Donde f(x) est dado en litros por segundo y x en segundos.

5. Una moto cuando arranca lleva un movimiento uniformemente acelerado, en el que la aceleracin es de 2 m/s2. a) Calcula la velocidad al cabo de 30 segundos. b) Calcula el espacio que habr recorrido en esos 30 segundos.


67 BLOQUE 2

Secuencia didctica 2. Aplicaciones de la integral definida en Economa.

Inicio

Resuelve lo que se solicita.

1. Dibuja el rea de la regin plana limitada por la recta y la parbola .

2. Dada la funcin , calcular:

a) Las races de la funcin. b) La grfica de la funcin. c) El rea de la regin plana limitada por la grfica de la funcin y el eje X.

Actividad: 1


Evaluacin

Actividad: 1 Producto: Grficas. Puntaje:

Saberes


Identifica la regin delimitada por funciones.

Obtiene los lmites del rea delimitada por funciones.

Muestra inters para realizar la actividad.


docente

Desarrollo

Ganancia de productores y consumidores. La integral definida tambin se utiliza en la Administracin y Economa para hacer modelos de situaciones de mercado, en el estudio de las funciones de oferta y demanda. Funcin de oferta: Una empresa que fabrica y vende un determinado producto utiliza esta funcin para relacionar la cantidad de productos que est dispuesta a ofrecer en el mercado con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad. Se puede decir que en respuesta a distintos precios, existe una cantidad correspondiente de productos que los fabricantes estn dispuestos a ofrecer en el mercado en algn perodo especfico. Cuanto mayor es el precio, mayor ser la cantidad de productos que la empresa est dispuesta a ofrecer. Al reducirse el precio, se reduce la cantidad ofrecida; esto permite asegurar que la funcin de oferta es una funcin creciente. Funcin de demanda: La empresa utiliza esta funcin para relacionar la cantidad de productos demandada por los consumidores, con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad, de acuerdo con la demanda. En general, si el precio aumenta, se produce una disminucin de la cantidad demandada del artculo porque no todos los consumidores estn dispuestos a pagar un precio mayor por adquirirlo. La demanda disminuye al aumentar el precio por eso esta funcin es una funcin decreciente. Supervit de consumidores y productores. El mercado determina el precio al que un producto se vende. El punto de interseccin de la curva de la demanda y de la curva de la oferta para cada producto da el precio de equilibrio. En el precio de equilibrio, los consumidores comprarn la misma cantidad de producto que los fabricantes quieren vender. Sin embargo, algunos consumidores aceptarn gastar ms en un artculo que el precio de equilibrio. El total de las diferencias entre el precio de equilibrio del artculo y los mayores precios que todas las personas aceptan pagar se considera como un ahorro de esas personas y se llama supervit de los consumidores. El rea entre la curva que describe la funcin demanda d(q) y la recta p=po es el supervit de los consumidores y el rea delimitada por debajo de la recta p=po y la funcin demanda, es la cantidad de consumidores que gastarn en el precio de equilibrio, como se muestra en la siguiente grfica.

http://www.bing.com/images/search?q=OFERTA+Y+DEMANDA&view=detail&id=BAEE9D967A88191A8C734CCEBBC6E10613BBB714&first=91&FORM=IDFRIR

69 BLOQUE 2

Entonces el valor del supervit de los consumidores est dado por la integral definida de esta forma:

0q

0

o dqpqp

Donde p(q) es una funcin demanda con precio de equilibrio po y demanda de equilibrio qo. Ejemplo 1. Encontrar el supervit o ganancia de los consumidores si el nivel de venta asciende a 20 unidades y la curva de

demanda est dada por 2q06.050)q(p .

Se tiene que el supervit est representado por el rea que se visualiza en la grfica de la funcin.

Como la cantidad de unidades es 20, es decir, 20qo , su precio asciende a:

262006.050)20(p 2 Resolviendo la integral, la ganancia de los consumidores resulta:

320002.00242002.020243

q06.0x24dqq06.024dq26q06.050 33

20

0

320

0

220

0

2


La ganancia de los consumidores asciende a $320 si el nivel de venta asciende a veinte unidades. De la misma manera, si algunos fabricantes estuviesen dispuestos a proporcionar un producto a un menor precio que el precio de equilibrio, el total de las diferencias entre el precio de equilibrio y los precios ms bajos a los que los fabricantes venderan el producto se considera como una entrada adicional para los fabricantes y se llama el supervit de los productores, como lo muestra la grfica que a continuacin se muestra.

El rea total bajo la curva de oferta entre q=0 y q=qo es la cantidad mnima total que los fabricantes estn dispuestos a obtener por la venta de qo artculos. El rea bajo la recta s=so es la cantidad realmente obtenida. La diferencia entre estas dos reas es el supervit de los productores, tambin est dada por la integral definida. Si S(q) es una funcin de oferta con precio So de equilibrio y oferta qo de equilibrio, entonces el supervit de los productores est dado por:

0q

0

o dqqss

Ejemplo 2. Encontrar la ganancia de los productores si la produccin asciende a diez artculos y la curva de la oferta para un

producto est dada por 72

qqS .

Si la produccin asciende a 10 artculos, el precio es:

1272

1010S

La ganancia o el supervit de los productores se calcula resolviendo la siguiente integral definida.

254

005

4

10105

4

qq5dq

2

q5dq7

2

q12

2210

0

210

0

10

0

La ganancia de los productores asciende a $25, si la produccin es de diez artculos. Ejemplo 3. Calcular el exceso de oferta y el exceso de demanda para las curvas de demanda y ofertas dadas, si la funcin de

demanda est dada por 2q4.01000qp y la funcin de oferta es q42qS .

71 BLOQUE 2

El exceso de oferta y el de demanda estn representados por las reas que muestra la grfica.

La oferta coincide con la demanda en el punto de equilibrio, es decir, cuando )q(p)q(S .

Para encontrar dicho punto, primero se requiere resolver la ecuacin cuadrtica:

01000q42q4.0

q42q4.01000

2

2

Resolviendo mediante la frmula general, se tiene:

1000c

42b

4.0a

20q125q

8.0

5842q

8.0

5842q

8.0

5842

8.0

336442q

4.02

10004.044242q

a2

ac4bbq

2

2

Finalmente se sustituye q=20, el cual es el valor positivo de los resultados obtenidos, en cualquiera de las funciones, en este caso se elegir la funcin de oferta, dada la facilidad de la sustitucin.

840204220S

q42qS

El punto de equilibrio obtenido es (20, 840), es decir, si se producen 20 artculos el precio de equilibrio es de $840.


El excedente de demanda o supervit de los consumidores se obtiene al resolver la siguiente integral definida:

33.21333

04.00160

3

204.020160

3

q4.0q160dqq4.0160dq840q4.01000

3320

0

320

0

220

0

2

El excedente de demanda asciende a $2133.33. El excedente de oferta se obtiene al resolver la siguiente integral definida:

840002108402021208402

q42q840dqq42840 22

20

0

220

0

El supervit de oferta alcanza $8400.

En equipo, realiza una investigacin sobre costo, ingreso y utilidad marginal y cmo se aplica la integral definida en la economa. Posteriormente, analiza y escribe 3 ejemplos que cumplan con lo siguiente:

1. Ser claros. 2. Tener un nivel de complejidad adecuado, para comentarlo con tus compaeros. 3. Mostrar la bibliografa o sitio web que se haya consultado.

Actividad: 2

73 BLOQUE 2

Evaluacin

Actividad: 2 Producto: Ejemplos. Puntaje:

Saberes


Reconoce los trminos de anlisis marginal en problemas cotidianos.

Ejemplifica la integral definida aplicada al anlisis marginal.

Reporta una investigacin clara y de acuerdo a las especificaciones dadas.


docente


Sitios Web recomendados: Ingresa a las siguientes ligas, para que refuerces tu aprendizaje. http://www.xtec.cat/~jlagares/integral.esp/integral.htm#E1 http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/.

http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm6.html http://integrandoconpaco5.blogspot.com/

http://www.xtec.cat/~jlagares/integral.esp/integral.htm#E1http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm6.htmlhttp://integrandoconpaco5.blogspot.com/


Cierre

En equipo resuelvan los siguientes problemas.

1. Una funcin de costo marginal est definida por y el costo fijo es de

$6. Determina la funcin costo total correspondiente.

2. Se espera que la compra de una nueva mquina genere un ahorro en los costos de operacin. Cuando la

mquina tenga x nmero de aos de uso, la razn de ahorro ser de f(x) pesos al ao donde

.

a) Cunto se ahorra en costos de operacin durante los primeros seis aos? b) Si la mquina se compr $67500, cunto tiempo tardar la mquina en pagarse por s sola?

3. Una fbrica produce objetos de decoracin. La funcin de ingreso marginal est dada por:

Donde x es el nmero de objetos vendidos e i(x) est expresado en dlares. Cul es el incremento de los ingresos obtenidos cuando se pasa de vender 100 a vender 200 objetos?

Actividad: 3

75 BLOQUE 2

Evaluacin

Actividad: 3 Producto: Problemas de aplicacin. Puntaje:

Saberes


Identifica la integral definida en problemas aplicados a la economa.

Emplea la integral definida para resolver problemas de economa.

Aprecia la utilidad de la integral definida en la solucin de problemas de economa.


docente

4. Sea la funcin de demanda y la funcin de oferta , calcula la

ganancia del consumidor y del productor.

5. La funcin de demanda de un producto es . Calcula la ganancia del

consumidor cuando el nivel de ventas es de 500.

6. Si las funciones de demanda y oferta estn definidas por y . Calcular los

excedentes de consumidores y de productores para un equilibrio de mercado.



Emplea los mtodos de integracin.


variacionales, para la comprensin y anlisis de situaciones reales, hipotticas o formales. Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemticos y los contrasta con modelos establecidos

o situaciones reales. Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grficos, analticos o variacionales, mediante el

lenguaje verbal, matemtico y el uso de las tecnologas de la informacin y la comunicacin. Analiza las relaciones entre dos o ms variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemticamente las magnitudes del espacio y las propiedades fsicas de

los objetos que lo rodean. Interpreta tablas, grficas, mapas, diagramas y textos con smbolos matemticos y cientficos.

Unidad de competencia: Aplica los mtodos de integracin (cambio de variable, integracin por partes, integracin de potencias de funciones trigonomtricas y

fracciones parciales) a diferentes tipos de funciones, mostrando una actitud analtica, reflexiva y de cooperacin.

Atributos a desarrollar en el bloque: 4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingsticas, matemticas o grficas. 5.1. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cmo cada uno de sus pasos contribuye al alcance

de un objetivo. 5.4. Construye hiptesis y disea y aplica modelos para probar su validez. 5.6. Utiliza las tecnologas de la informacin y comunicacin para procesar e interpretar informacin. 6.1. Elige las fuentes de informacin ms relevantes para un propsito especfico y discrimina entre ellas de acuerdo a su

relevancia y confiabilidad. 7.1. Define metas y da seguimiento a sus procesos de construccin de conocimientos. 8.1. Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de accin con pasos

especficos. 8.2. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos

equipos de trabajo.

78 EMPLEA LOS MTODOS DE INTEGRACIN

Secuencia didctica 1. Mtodo de cambio de variable y

mtodo de integracin por partes.

Inicio

Evaluacin


Saberes


Reconoce el teorema de derivacin que le corresponde a cada funcin.

Aplica los teoremas de derivacin y la regla de la cadena, para derivar diferentes funciones.

Se muestra dispuesto a realizar la actividad.


docente

Derivar las siguientes funciones:

1.

2.

3.

4.

5.

Actividad: 1

79 BLOQUE 3

Desarrollo En esta secuencia estudiars los mtodos de integracin de funciones compuestas, las cuales no se puedan integrar mediante los teoremas bsicos que se abordaron en el bloque anterior. Ahora debers elegir de entre varios mtodos, el ms adecuado para resolver las integrales que se te planteen. En cada uno de los mtodos de integracin, se presentan ejemplos que van desde los casos ms sencillos, pero ilustrativos, que permiten llegar de manera gradual hasta los que tienen mayor grado de dificultad. El principal objetivo de los mtodos de integracin, consiste en reducir la integral original a una integral ms sencilla y fcil de obtener. Es indispensable que para que aprendas los mtodos de integracin te apoyes en tus conocimientos de lgebra, Trigonometra y Clculo Diferencial. Ubica los Materiales de Apoyo en la plataforma del Colegio para que puedas reforzar tus conocimientos previos.

Integracin por cambio de variable o regla de sustitucin. Hasta ahora las integrales se han resuelto de forma directa, sin embargo no siempre es as, por ejemplo, cmo integrar la siguiente funcin:

dx)1x2(x532

Para ello primero se analizar el cambio de variable que se haca al derivar una funcin compuesta, debido a que el proceso inverso de la integracin es la derivacin y viceversa.

Imagnate la funcin xF que tienes que derivar para obtener como resultado: 32 )1x2(x5)x(f Suponiendo que se conoce la funcin F(x), una forma de comprobar que realmente sta es el resultado de la integral, sera derivarla.

Si, 42 1x216

5)x(F , demostrar que su derivada es igual a 32 )1x2(x5)x(f .

Esto se llevar a cabo mediante la utilizacin de la regla de la cadena, para lo que se requiere de un cambio de variable, con el fin de que la funcin resulte ms sencilla. El cambio de variable puede ser el siguiente:

42 u16

5)x(F,entonces,1x2uSi .

Por lo tanto, uu4

5uu

16

54)x(F 314

Adems, x4u y sustituyendo se tiene:

32

323

1x2x5xF

x41x24

5uu

4

5)x(F

Efectivamente, xf)x(F .


Por lo tanto se puede decir que .cte1x216

5dx)1x2(x5

4232

Pero esto fue sencillo porque ya se conoca el resultado y slo se comprob utilizando derivacin. Ahora bien, se puede utilizar de forma anloga el cambio de variable, para utilizar los teoremas bsicos de la integracin. A continuacin se mostrar cmo se realiza el cambio de variable para integrar la funcin anterior.

dx)1x2(x532

1x2uSi 2 , entonces queda:

dx)u(x5dx)1x2(x5332

El propsito es tener la integral solamente en trminos de u. Para ello se calcula el diferencial de u.

1x2u 2

xdx4ud

Si se acomoda la integral de la siguiente forma:

xdx5)u(dx)1x2(x5332

Se nota que du no corresponde, debido a que debe ser 4xdx. Para resolver este problema, se despeja dx del diferencial du, como se muestra:

dxx4

du

xdx4ud

Ahora se sustituye dx en la integral y se simplifican trminos.

du)u(4

5

du4

5)u(

x4

dux5)u(

xdx5)u(dx)1x2(x5

3

3

3

332

Como se ve en el resultado anterior, la integral se resuelve con el segundo teorema bsico de integracin, y queda de la siguiente forma:

.cteu16

5

.cte4

u

4

5du)u(

4

5dx)1x2(x5

4

4332

81 BLOQUE 3

Sustituyendo el valor de u, se obtiene:

.cte1x216

5dx)1x2(x5

4232

Formalizando el mtodo de cambio de variable para integrar una funcin, se tiene:

Sea dx)x(g)x(gf , si se toma a:

)x(gu entonces dx)x(gdu

Sustituyendo este cambio de variable en la integral original se obtiene:

du)u(f , donde )x(gu y )x(gdu

Como puedes observar, la integral original era la de una funcin composicin, es decir, la de una funcin f que dependa de otra funcin g, al hacer el cambio de variable, la integral se transforma en otra funcin que depende ahora de una sola variable y no de una funcin, lo que permitir (de ser posible) calcular la integral ms fcilmente.

El mtodo de cambio de variable o sustitucin, no indica qu parte de la funcin a integrar se debe cambiar por u, se requiere de habilidad para seleccionar dicho cambio, la cual adquirirs a medida de que practiques este mtodo. A continuacin se presentan algunos ejemplos de integracin utilizando el mtodo de cambio de variable. Ejemplo 1.

Calcular dx)2()x21(4

Al observar la funcin que se desea integrar, nota que hay una funcin elevada a una potencia, la cual se conoce

como una funcin compuesta, es por ello que se elige como u la funcin que est siendo elevada, como se

muestra:

x21u

Tambin se ocupa obtener la diferencial de u, de la siguiente forma.

dx2du

De tal manera que al observar la funcin se tiene que se encuentra el diferencial completo, quedando la sustitucin de la siguiente forma:

duudx)2()x21(44

Ahora que se simplific la integral, se puede resolver de forma directa, utilizando los teoremas enunciados en el

bloque 1.

.cte5

uduudx)2()x21(

544

Una vez resuelta la integral, se vuelve a sustituir el valor de u, para obtener el resultado en trminos de x.

.cte

5

x21dx)2()x21(

54


Ejemplo 2.

Calcular dx)x2(x9 2 . En este caso se expresa el radical como potencia, con el propsito de visualizar el cambio de variable y de utilizar la integracin directa.

dx)x2(x9dx)x2(x9 21

22

De esta forma se nota que la funcin que est elevada a una potencia es 2x9 , es por ello que: 2x9u , adems, xdx2du

En este caso tambin se tiene la diferencial completa, as que se procede a realizar el cambio de variable.

duudx)x2(x9dx)x2(x9 21

21

22

Ahora se procede a integrar de forma directa.

.cteu

.cte1

uduudx)x2(x9

23

21

12

23

21

21

Sustituyendo el valor de u, se obtiene el resultado que posteriormente se expresa en forma de radical.

.ctex93

2

.cte3

x92

.ctex9

dx)x2(x9

32

2

23

22

23

23

Ejemplo 3.

Calcular dx)3x(x243 .

Se elige el cambio de variable y se obtiene la diferencial.

3xu 4

dxx4du 3 Al observar la funcin a integrar, se tiene que la diferencial est incompleta y para resolver este problema, se despeja dx de la diferencial de u.

dxx4

du

dxx4du

3

3

Se sustituye u y dx en la integral, como se muestra a continuacin:

323243

x4

duuxdx)3x(x

83 BLOQUE 3

Se procede a realizar la simplificacin de trminos. Si el mtodo est bien empleado, se deben cancelar todas las variables x, tenindose as la integral slo en trminos de u.

duu41

4

duudx)3x(x 22243

Una vez extrado el coeficiente fuera de la integral, se procede a realizar la integracin directa.

.cte3x12

1

.cteu12

1

.cte3

u

4

1duu

4

1dx)3x(x

34

3

32243

Ejemplo 4

Calcular dx)x1(

x32

.

Es conveniente que la potencia que est en el denominador, se pase al denominador. Recuerda que cuando se realiza este procedimiento la potencia se cambia de signo.

dxx)x1(dx

)x1(

x 3232

Se elige el cambio de variable y se obtiene la diferencial.

2x1u

xdx2du Como el diferencial de la funcin est incompleto, se despeja dx de la diferencial de u, quedando:

dxx2

du

Ahora se integra de forma directa.

.cte

x14

1

.cteu4

1

.cte2

u

2

1

.cte13

u

2

1duu

2

1dx

)x1(

x

22

2

2

133

32

duu

2

1

x2

duxudxx)x1(dx

)x1(

x 333232

323243

x4

duuxdx)3x(x


Ejemplo 5.

Documents

ANTOLOGIA 6MECA