Anticka matematika

7/17/2019 Anticka matematika

http://slidepdf.com/reader/full/anticka-matematika 1/29

Antička matematika Andrija Petrović

XIII beogradska gimnazija

Predmet: Matemtika

Maturski rad:

Antička matematika

Predmetni profesorUčenik

Prof. Jadranka Janković Andrija

Petrović

0




Beograd, jun 2010. god.

1




Sadržaj

Strana

UVOD 2

1 Stari Grci, kratak pregled istorije i kulture 3

2 r!i "ilo#o"i i $ate$ati%ari &

3 itagorejci i ula#ak $ate$atike 'na !elika !rata( u

Gr%ku kulturu

)

3.1 Pitagorina teorema 10

* redeuklidski period Gr%ke $ate$atike 12

*.1 Kvadratura kruga 13

*.2 Udvostručenje kocke 1*

*.3 Trisekcija ugla 1+

+ ri st!araoca Gr%ke klasi%ne "ilo#o"ije 1+

& -eleni#a$ 1&

/uklid i njego!i /le$enti 1

.1 Euklidov V postulat 20

ri$ed 21

.1 Arhimedova matematika i i!ika 23

) asni period elenske $ate$atike i njego! kraj 2*

10 4aklju%ak 2+

5iteratura 2&

"




UVOD

#vaj rad predstavlja poku$aj da se na jedan sa%et način o&jasni !načaj antičkematematike u savremenom dru$tvu'

(to se same istorije matematike tiče ona je eg!aktna naučna disciplina' )e*utim ona je neraskidivim ve!ama spojena sa samom matematikom+ konkretan doka! le%i u primeru da ne mo%emo da čitamo ako ne !namo slova' U istoriju matematike pose&noranog do&a pored matematike kao teorijske i praktične discipline mo%e se svrstati iilo!oska matematika koja se &avi ilo!oskim pitanjima pove!anim sa prirodommatematike i pretpostavkama o njenom o&imu i sadr%aju' ,&og toga je u ovom radu!astupljeno dosta ilo!oije+ ali sa moje tačke gledi$ta i i! prethodno o&ja$njenogilo!oija je tu sa pravom'

-ama antička matematika po se&i je veoma diskuta&ilno područije !a proučavanje!ato $to je !u& vremena ostavio svoje do&ro vidljive posledice' Prema tome+ podaci otačnom %ivotu matematičara nisu sasvim pou!dani+ pro&lem je u tom $to se i sumnja u

postojanje pojedinaca' .edino $to je sigurno tačno u ovom radu jeste samamatematika'

/




1. Stari Grci, kratak pregled istorije i kulture

Anticka rčka ili preci!nije -tara rčka predstavlja na!iv koji se koristi !a deo sveta u kojemse govorilo staro rčkim je!ikom u antickim vremenima' Taj na!iv se ne odnosi samo na

prostor dana$nje rčke+ već i okolnih dr%ava koje su &ile naseljene rcima kao sto suAl&anija+ egejska !apadna o&ala )ale A!ije 2tada po!nata .onija+ 3orida+ Eolida4+ -icilija+.u%na 5talija 2tada po!nata kao Velika rčka4+ 6ugarska+ .u%na 7rancuska+ 3almacija+ kao io&ala 8rnog mora u dana$njoj Ukrajini i 9usiji'

Antički rci su po mi$ljenjima mnogih istoričara postavili temelj !apadnoevropskojcivili!aciji' rčka kultura je i!vr$ila sna%an uticaj na kulturu 9imskog carstva koja je prenelanjen o&lik na narode $irom Evrope' 8ivili!acija antičke rčke je imala veliki uticaj na je!ik+

o&ra!ovanje+ ilo!oiju+ umetnost+ arhitekturu+ politiku i matematiku'rci su se kao narod prvi put pojavili na jugu 6alkanskog poluostrva početkom drugogmilenijuma pre nove ere' Poreklo samih rka se praktično ne !na ali se sa dosta osnova

pretpostavlja da su se na 6alkan doseljavali sa severa+ istina taj proces nije &io u nekomkratkom i sna%nom talasu+ već je po pretpostavkama trajao nekoliko stotina godina' Poslednjaistorijski potvr*ena je &ila naje!da rčkog plemena 3orana u periodu nastanka prvihcivili!acija na ovom prostoru'

5storija stare rčke je podeljena na nekoliko delova kako &ih lak$e ra!umeli i shvatili jednuod najva%nijih ali i naj!animljivijih civili!acija'

Prvi period od 1:;0 do 1"00 godine pre nove ere po!nat je kao mikenska kultura, a ime jedo&io po )ikeni gradu na severoistoku Pelopone!a+ jednom od naj!načajnijih arheolo$kihnala!i$ta i! te epohe' )ikensku kulturu karakteri$u ogromne kamene gra*evine+ na rčkomkopnu one su prisutne u gradovima kao sto su )ikena+ Te&a+ Tirinis+ Pila' 8entar mikenskekulture se nala!i na ostrvu Krit na kome i srećemo najvi$e ovih velikih kamenih tvr*ava odkojih je najpo!natija u Knososu' U istoriograiji ovi o&jekti se !ovu <palate='

i

-lika1: Palata u Knososu

>




3etaljniji istorijski podaci o ovom perioda nisu po!nati !&og nemogućnosti de$irovanja)ikenskog pisma' Prema tome sve se !asniva na mitovima i legendama ili usmenim i!vorimakoje su rci prenosili sa kolena na koleno' Tako se u legendama kao !načajan vladar Krita

pojavljuje mitska ličnost )inos+ koji je po nekim rčkim i!vorima vladao čak nekoliko

stotina godina? Po njemu je verovatno i nastala legenda o )inotauru @ mitskom &iću+ polačovek+ a pola &ik @ koji vlada lavirintom koji se nala!i ispod palate u Knososu' rci suverovatno &ili !adivljeni slo%eno$ću+ veličinom i lepotom palate u Knososu i !&ognemogućnosti da shvate arhitekturu takvog !danja stvorili su mit o lavirintu' -am )inosverovatno nije &io jedan vladar+ već vi$e njih' 5!me*u ostalih mnogi istoričari smatraju da)inos u stvari predstavlja vladarsku titulu na!vanu po egipatskoj dinastiji )enes kojom suKrićani &ili impresionirani' U periodu mikenske kulture nema nikakvih istorijskih i!vora o!ačetku racionali!ma i naučnog prila%enja pro&lemima koji su kasnije dominirali rčkimsvetom'

3rugi period rčke civili!acije počinje negde oko 1"00 godine pre nove ere+ raspadom)ikene+ pa traje sve do : veka pre nove ere+ preporodom rčke' #vaj period je po!nat kaomračno doba ili Grčka rupa' Preci!ni ra!lo!i koji su doveli do raspada mikenske kulture nisuu potpunosti po!nati+ ali je jesno da je raspad &io veoma nasilan i praćen ni!om ratova i

paljevina čijim je arheolo$kim ostacima &ila prekrivena rčka' Po mi$ljenju mnogiharheologa jedini u!rok nestanka mikenske kulture mora &iti praćen smanjenjem o&radivih

povr$ina ili nesta$icom hrane+ koja je verovatno &ila praćena kako ekonomskom tako i političkom kri!om' ,a vreme ovog perioda ne samo da do nas ne dospevaju nikakvi pisanii!vori nego već skoro i da nema materijalnih nala!a ili usmenih predanja+ $to !nači da jedo$lo do veliki depopulacije i osiroma$enja+ tako da kamene gradjevine+ koje !a ra!liku oddrvenih mogu odoleti !u&u vremena+ nisu ni gradjene' 3o$lo je do velikih migracijastanovni$tva i nasljavanja .onije i !apadnih o&ala )ale A!ije 2dana$nje Turske4 i ostrva u.onskom )oru' #&ale rčkog kopna &ile su u potpunosti opusto$ene+ ostali su naseljenisamo pojedini gradovi kao $to je Atina' ajtragičnija posledica mračnog do&a predstavljagu&itak pismenosti'

egde krajem 10 veka pre nove ere rci polako počinju da i!la!e i! kri!e' .onija i ostalarčka ostrva počinju da se oporavljaju ne$to ranije od ostalih+ dok na rčko kopno oporavak sti%e tek vek i po kasnije' U B veku pre nove ere rci o&navljaju pismenost+ pri tome

prisvajaju i u maloj meri modiikuju pismo njihovih suseda 7eničana' U : veku pre nove ereCidijci+ rcima tako*e susedan narod+ počinju da kuju novac prvi put po!nat nama u istoriji'rci tako*e ovu ve$tinu prisvajaju' )o%da i najva%niji dogadjaj koji je omogućio rčkoj da

postane velika civili!acija jeste gvo%*e' vo%*e je rcima re$ilo mnoge pro&leme+ !ato $to jemnogo jetinije+ čvr$će od &akra+ &r%e i jednostavnije se proi!vodi' U : veku pre nove ere

pojavljuju se prvi pisani dokumenti' To nisu administrativna dela kao kod Egipćana ili naroda)esopotamije+ već kapitalna dela koja predstavljaju osnovu početka racionalnog+ logičkogmi$ljenja' Detiri !načajna dela se javljaju u ovom periodu'

Prvo i drugo delo je nastalo sredinom : veka pre nove ere to su dve o&imne poeme koje

opisuju mitologiju 2Teogonija4 ali i o&ičaje načina %ivota rka+ u toj epohi 2 Radovi i dani4'

;




jihov autor je -esiod koji svoje tekstove pro%ima &iograskim podacima o se&i i porodici+tačnije on je prvi knji%evnik čije nam je ime i poreklo preci!no po!nato'

Preostala dva dela su dve velike poeme Ilijada i Odiseja+ one su mnogo !načajnije odesiodovih dela' #&a dela opisuju doga*aje koji su se desili !a vreme raspada mikenske

kulture i o&a dela su !asnovana na mitovima' Autor ovog dela je -o$er+ najslavniji pisacstare rčke' # njemu se jako malo !na+ čak $ta vi$e mnogi istoričari smatraju da to nije &iosamo jedan pisac nego vi$e njih' a 5lijadi i #diseji je nastalo nekoliko slojeva rčke kulture'

Prvi sloj je religijski !ato $to se rci prvi put &olje upo!naju sa svojim &ogovima i njihovimulogama'

U drugom sloju 5lijada i #diseja o&jedinjuje sve rke+ pa tako i ako %ive u ra!ličitim polisimaoni imaju osećaj pripadnosti istom narodu'

5 treći sloj je najva%niji !a nastajanje rčke matematike i ilo!oije+ odnosi se na načinmi$ljenja i komuniciranja junaka unutar omerovih dela' Pa tako+ na primer+ Poliem jednooki div pitao je #diseja kako se !ove' #disej njemu odgovara de se !ove Outis 2u prevodu: „niko=4' To mu !atim koristi u o&računu prilikom &ekstva !ato $to #disej pro&ijaoko Poliemu' Poliem očajan do!iva &raću kiklope da mu pomognu' a pitanje ko ga je

povredio Poliem odgovara „niko='

Period od F;0 do otprilike ;00 godine pre nove ere se na!iva u istoriji arhejsko doba ili starinsko doba' Počinje ponovnim otkrivanjem pismenosti+ dakle preporodom rčke'a!avr$ava se klasičnim dobom

Arhejsko do&a je o&ele%eno političkim i ekonomskim promenama unutar gradova@dra%ava'radovi vi$e nisu &ili administrativni centri u kojima se ra!vijala !emljoradnja' To su &ilimesta gde su !emljoposednici &ili osudjeni na propast od strane trgovaca' Trgovac@putnik koji je %iveo u to vreme imao je slo&odnog vremena s o&!irom na svoje &ogatstvo i radro&ova+ pa je mogao ra!mi$ljati o svetu koji ga okru%uje' Kao re!ultat toga dola!i do procvatarčkih polis @ samoupravnih gradova@dr%ava G $to je predstavljalo novu dru$tvenu pojavu'

Klasično do&a počinje od ;00 godine pre nove ere+ a !avr$ava se /"/ godine pre nove erekada je umro Aleksandar )akedonski' jega karakteri$e procvat Atine kao najmoćnijeg

kulturnog i političkog centra+ ali i procvat svih o&lasti nauke i kulture' Taj period je o!načenkulminacijom rčke civili!acije'

elenistička rčka je period koji traje od /"/ godine pre nove ere pa do 1>H godine pre noveere+ i predstavlja rčku od smrti Aleksandra )akedonskog do rimskog osvajanja'Uspostavljanje rimske vlasti nije naru$ilo kontinuitet helenističkog dru$tva i kulture kojeostaju nepromenjene sve do pojave hri$ćanstva' 5pak rimska vlast je o!načila kraj rčke

političke ne!avisnosti' Tokom ovog perioda smanjen je !načaj matične rčke+ tačnijeteritorije koje su rci naseljavali pre ovog perioda' Veliki centri helenističke kulture suAleksandrija+ Antiohila+ prestonice ptolomejskog Egipta i -eleukidske -irije'

H




-lika ": !"#$#% & '()#*& +&%#*&, +"-" &. $"+%#) /(0(%&.1"

2. r!i "ilo#o"i i $ate$ati%ari

Počeci rčke matematike i ilo!oije ve!ani su !a Talesa i! )ileta' Prema Apolodoru+ rodjen je u )iletu+ u rčkoj koloniji na o&ali )ale A!ije H">' godine pre nove ere+ a istoričar 3iogen tvrdi da je umro u svojoj F:' godini u vreme ;:' olimpijade' U to vreme jo$ uvek nije

postojala reč ilo!o 2 o!načava u prevodu„ljubitelj mudrosti24+ pa je Tales smatran jednimod -edam mudraca' Kao ilo!o &io je po!nat po tome $to je prvi put poku$ao da o&jasni i!čega je nastao kosmos' Po njegovom mi$ljenju voda prestavlja osnovni element prirode i!čega je nastalo sve !ato se on i smatra prvim <materijalistom= me*u ilo!oima' Talesov i!&or vode kao elementa G rčki stoiheja jeste trenutak nastanka ilo!oije' #n smatra da je valjano

F




misliti da je voda element+ !ato $to se ona nala!i u va!duhu u vidu vodene pare+ celom %ivomsvetu je voda potre&na radi opstanka u %ivotu i voda se nala!i svuda oko nas u vidu ra!ličitihamornih o&lika'

(to se tiče matematike Talesu se kao ocu rčke matematike pripisuju pet teorema ili pet

otkrića u geometriji

1' Prečnik polovi krugI

"' Uglovi na osnovici jednakokrakog trougla su jednakiI

/' aspramni uglovi koje ormiraju dve prave koje se seku su jednakiI

>' Ugao upisan u polukrug je pravI

;' Trougao je odre*en jednom stranicom i uglovima naleglim na njuI

U geometriji Talesova teorema 2do&ila ime po Talesu i! )ileta4 tvrdi da ako su A+ 6+ 8 tačkena krugu gde je A8 prečnik+ tada je ugao A68 prav ugao'

#vu teoremu doka!aćemo na sledeći način

-lika / Gra3ičko obja4njenje Talesove teoreme

eka je # centar kruga' eka su #A J #6 J #8+ #A6 i #68 su jednakokraki trouglovi i po jednakosti uglova jednakokrakog trougla #68 J #86 i 6A# J A6#' eka je J 6A# 5 L J#68'

" M N J 1:0O

"L M L N J 1:0O

N M L N J 1:0O

:




Ako se sa&eru prve dve jednačine i od njih odu!me treća do&iće se

" M N M "L M L N 2 N M L N4 J 1:0O

(to nakon skraćivanja N i L N doka!uje da je

M L J B0o

5nteresantno je da Tales nije prvi primetio ovu činjenicu+ jer su je Egipćani i Vavilonci po!navali empirijski' U svakom slučaju oni je nisu doka!ali+ veravatno !ato $to ih to nije!animalo'

Po!nate su i mnogo &rojne legende o Talesu+ jedna od njih ka%e da je tačno procenio kada ćedoći do pomračenja -unca' 5ako mnogi dana$nji naučnici smatraju ovo mitom+ neki pisci i!

njegovog do&a kao na primer Ksenoan ostavili su !apis o tačnosti ovog doga*aja'

rci su i!a&rali Talesa !a <o5a na5ije=+ i oni su prvi narod koji su i!a&rali mislioca+ ilo!oa+matematičara a ne vojskovodju ili osvajača !a osnivača nacije'

,a Talesom su sledili njegovi naslednici i oni su po verovanju mnogih &ili njegovinastavljači' ,a ra!liku od Talesa oni se nisu toliko &avili matematikom već su se &aviliilo!oijom ili &olje reći kos$ologijo$'

.edan od njih je Anaksimandar rodjen u )iletu oko H10 godine pre nove ere+ a umro ;>H ili;>; godine pre nove ere' #n je prvo&itni osnov &ića video u neograničenom ili rčkiapeiron' Apeiron je predstavljena kao neka vrsta nepromenljive i &eskonačne materije+ koja usvom stalnom kretanju o&uhvata svetove' eprekidnim vrtlo%nim kretanjem i! njega sei!dvajaju suprotnosti+ koje u!rokuju nastajanje pojedinačnih stvari'

Posle njega se pojavljuju ilo!oi koji su u manjoj ili većoj meri &avili istim stvarima+ t'j postankom sveta+ a to su Anaksimen+ eraklit+ Empedokle+ Ceukip i 3emorkit 2atomisti4'

akon njih sledi druga linija rčke ilo!oije koja se !asniva na Parmenidovom nasle*u+ a to je Elejska $kola' )nogi ilo!oi svrstavaju Parmenida u Elejce+ me*utim nigde nema pismenih predanja koji &i potvrdili ovu činjenicu' #sim samog Parmenida istaknuti Elejci su injegova dva učenika ,enon i )elisus' #snova Elejaca se !asnivala u tvr*enju da &iće jeste+da ono ne nastaje ili propada G ono je večno' #ni i!jednačavaju &iće sa mi$ljenjem i kakoParmenid ka%e < 6edno te isto je misliti i biti=' Tako*e Elejci prave ra!liku i!me*u &ića i ne

&ića+ oni ka%u da je &iće nastalo ni i! čega+ a ne &iće prestavlja u stvari ni$tavilo ili ni$taodre*eno' Parmenidova i Elejska učenja su &ila i!lo%ena kritikama tada$njeg dru$tva+medjutim ona su stvorila &a!u ili osnov nastanka Pitagorejaca i ulaska matematike <na velikavrata= u rčku kulturu'

B




3. itagorejci i ula#ak $ate$atike 'na !elika !rata( u

Gr%ku kulturu

Pitagorejci su &ili ilo!oska $kola i religio!no &ratstvo u isto vreme' 5me su do&ili po svomosnivaču Pitagori koji je ro*en negde oko ;H0 godine pre nove ere na -amosu' Pitagorin otac

je &io rčki trgovac )nesarh poreklom i! rčke kolonije u Tiru 2danas o&ala Ci&ana4+ amajka Pitija rodjena na -amosu' #tac je do$ao na -amos u vreme velike gladi i doneo jehranu+ !a u!vrat nagradjen je dr%avljanstvom' Pitagora je svoje detinjstvo proveo na -amosu+a !atim je u ranoj mladosti putovao sa ocem po celom istočnom )editeranu' egde oko ;/;godine pre nove ere u vreme kada je tiranin Polikrat u!eo prevlast na ostrvu -amos+ Pitagora

je oti$ao na put u Egipat 2tada$nji save!nk Polikrata4' U Egiptu upo!naje &rojne sve$tenike iod njih uči ra!ličite religije i poglede na svet' Persija ;"; godine pre nove ere napada Egipat iPitagora je &io !aro&ljen' arednih godina kao !atočenik u Vavilonu Pitagora upo!naje

persijske sve$tenike i od njih do&ija nova !nanja+ koja su mu omogućila da već ;1: godine pre nove ere otvori Pitagorejsku $kolu na Krotonu' 9a!lo!i !a$to nije to učinio na -amosunisu u potpunosti po!nati+ me*utim smatra se da posle smrti Polikrata ;"0 godine pre noveere nije &io po$tovan od strane naroda na ovom ostrvu' U Krotonu dola!i do procvataPitagorine $kole+ koja je stekla mnogo sled&enika' Unutra$nji krug sled&enika na!ivao sematematičarima 2rčki mathematikoi4' #ni su %iveli stalno u !ajednici+ pridr%avali su se

striktnih pravila reda+ &ili vegetarijanci &e! privatne i lične svojine' 5 %enama i ro&ovima je &ilo do!voljeno da pripadaju redu' -polja$nji sloj činili su aku!matičari 2rčki aku7matikoi

ili <oni koji %ive u svojim kućama=4+ oni su !ajednicu mogli da posete samo tokom dana'

-koro svi i!vori sa!nanja se sla%u da su osnovna Pitagorina učenja mogla sa%eti u sledećanačela

1' 3a je na najdu&ljem nivou+ svet po svojoj prirodi matematičkiI"' 3a se ilo!oija mo%e upotre&iti samo !a duhovno proči$ćenjeI/' 3a se du$a mo%e u!dići do jedinstva sa &o%anskimI>' 3a i!vesni sim&oli imaju mistično !načenjeI

;' 3a se i!vesni pripadnici reda moraju striktno pridr%avati lojalnosti itajnosti redu'

,&og prirode svojih učenja+ a i !&og očigledne Pitagorine sklonosti da se me$a u javni i politički %ivot+ Pitagorejci su se u Krotonu na$li u suko&u sa lokalnim vo*ama' Pitagora &e%iu )etapont gde i umire oko ;00 godine pre nove ere'

Po mnogim istoričarima Pitagora je skovao reč )atematika i ona je tre&ala da o!načava <ono$to se uči=' #va reč je u$la mnogo kasnije u praktičnu upotre&u po$to su rci dosta dugomatematiku ra!dvajali na aritmetiku 2 od rčke reči arithmos !a <&roj=4 i geometriju

2doslovno <merenje+ premeravanje !emlje=4'

10




Pitagorejska $kola ima nekoliko va%nih praktičnih i teorijskih dostignuća

1' ,&ir uglova u trouglu jednak je !&iru dva prava ugla' Pitagorejci su tako*e!nali i da je !&ir unutra$njih uglova u n@trouglu jednak !&iru "n@> pravihuglova'

"' Po!navanje oso&ina pet pravilnih poliedara+ a to su pravilni tetraedar+kocka+ oktaedar+ dodekaedar i iksoaedar' )o%e se poverovati u tvrdnjesavremenika da je Pitagora umeo da konstrui$e prva tri poliedra ali malo

je verovatno da je umeo da konstrui$e i preostala dva'/' U astronomiji je Pitagora tvrdio da je !emlja sernog o&lika i nala!i se u

centru vasione' )edjutim pravilno je !aključio da je or&ita )esecanagnuta u odnosu na ,emljin ekvator i prvi je shvatio da je Venera i

jutarnja 2,ornjača4 i večernja 2Večernjača4 !ve!da'>' Pitagora je prvi umeo da nadje tačku preseka hiper&ole i prave';' #tkriće nesamerljivosti s tranice i dijagonale kvadrata i + uop$te otkriće

nesamerljivosti+ odnosno iracionalnih &rojeva' #vde tre&a napomenuti dase medju istra%ivačima vodi spor oko autorstva' ,a ovaj re!ultat se smatrada ga Pitagora uop$te nije ni prona$ao+ !ato $to &i na ovaj način o!&iljnou!drmao ideolo$ke osnove pitagorejskog reda po kome je svaka du%morala &iti i!meriva racionalnim &rojem'

-lika > Pitagorina bista koja se danas nala7i u Rimu

3.1. itagorina teore$a

Pitagorina teorema Qe Qedna od osnovnih i naQ!načaQniQih matematičkih teorema'

Prepo!natljiva slika pravouglog trougla sa konstruisanim kvadratima nad sve tri stranice+kori$ćena !a vi!uelni prika! samog tvr*enja+ poslu%ila Qe kao osnova !a generisanje raktala

11




koQi se na!iva Pitagorino drvo' Pitagorino drvo Qe ravanski raktal konstruisan pomoćukvadrata' 3o&io Qe ime po Pitagori !ato $to svaka troQka susednih kvadrata svoQim!aQedničkim temenima odre*uQe pravougli trougao+ u o&liku koQi se tradicionalno koristi !a

prika! Pitagorine teoreme'

-lika ; Pitagorino drvo konstruisao 89; godine <lbert =osman

Prema teoremi

U &ilo kom pravouglom trouglu+ povr$ina kvadrata konstruisanog nad hipotenu!om2stranicom koQa se nala!i nasuprot pravog ugla4 Qe Qednaka !&iru povr$ina kvadratakonstruisanih nad katetama 2stranicama koQe se sustiču u pravom uglu trougla4'

#vaj iska! se o&ično navodi u sledećem o&liku

„Kvadrat nad hipotenuzom јednak јe zbiru kvadrata nad katetama“

Ukoliko Qe sa 5 o!načena du%ina hipotenu!e+ a sa a i b du%ine preostale dve stranice+ teoremase mo%e !apisati pomoću sledeće Qednakosti

5ako postoQe materiQalni i vi!uelni doka!i da Qe ve!a i!me*u kateta i hipotenu!e pravouglog

trougla &ila po!nata Qo$ drevnim civili!aciQama+ ono $to Qe odlučilo da teorema ponesePitagorino ime Qe činjenica da Qu Qe on prvi doka!ao' )e*utim+ kako u njegovo vreme niQe &ilo adekvatnog materiQala !a !apisivanje+ stečena !nanja su se kod PitagoreQaca prenosilausmenim putem+ te ne postoQi pou!dan i!vor na osnovu koga &i sa sigurno$ću moglo da setvrdi kako Qe i!gledao originalni Pitagorin doka!' Prve doka!e o teoremi nam daje Euklid usvojoj knji!i <Elementi= o čemu će se kasnije govoriti'

1"




-lika H >i7uelni doka7 Pitagorine teoreme

*. redeuklidski period Gr%ke $ate$atike

#d Pitagorine smrti pa sve do Euklida nisu pro$le ni pune dve stotine godina+ taj period sena!iva predeuklidski period i on je postavio temelje svih kasnijih procesa u rčkojmatematici' lavni i!vor !a čitav ovaj period+ kao i !a istoriju rčke matematike je Prokle2rodjen >11 u Konstantinopolju %iveo do >:; u Atini4'

3anas je op$te prihvaćeno da su u ovom periodu rci stvorili matematiku u teorijskom

smislu kakvom je i mi danas prihvatamo' To o&uhvata dve oso&enosti1' 3a su matematička tvr*enja op$te va%eća"' 3a se njihova istinitost potvr*uje doka!om'

Prvi !adataci matematike su &ili praktični ili &olje reći rci su se &avili u početkumatematikom kao Egipćani i stanovnici )esopotamije' Uticaj da je matematika starih rka

&ila oduvek vi$e teorijska nego praktična disciplina posledica je nedostataka materijalnihi!vora kao doka!a njene praktičnosti' a primer u staroj rčkoj pronadjeno je samo nekolikodesetina kamenih a&akusa ili a&aka' A&akus je sprava !a računanje+ najstarija računarskama$ina u istoriji i legitimni <predak= svih dana$njih računarskih ma$ina' #sim a&akusa !aračunanje u .u%noj 5taliji i .oniji se kao standardna du%ina pominje mera od F0 pletri 2pletra

je oko 100 stopa ili /0 metara4 kao dijagonala kvadrata stranice ;0 pletri' To !nači da su rciumesto dijagonale ;0 R" koristili FS; $to je pri&li%no jednako R"' #vo svedoči o priličnoniskoj ra!vijenost praktične matematike u rčkoj+ !ato $to je u to vreme kvadratni koren &io

primenjiv u )esopotamiji &ar hiljadu godina' U vreme Pitgorejaca+ rci su smatrali da sesvaki geometrijski o&jekat i svaka mera mo%e i!ra!iti &rojem' Pod &rojem rci su

podra!umevali samo prirodne &rojeve' ,natno kasnije rci su prihvatili i racionalne &rojeve+ra!lomke čiji su imenioci i &rojioci prirodni &rojevi ali je !a njih kori$ćen na!iv <odnos

&rojeva=' -vaka du%ina se !aista i!ra%avala prirodnim &rojevima i eventualno ostatkom koji

je &io ra!lomak' #tuda uverenje Pitagorejaca da je ceo svet sačinjen od &rojeva' 6a$ u ovovreme rci otkrivaju iracionalne &rojeve ili nesamerljivosti stranice i dijagonale kvadrata+ $to

1/




uvodi &urne promene u mi$ljenjima' 3oka! o iracionalnim &rojevima koji i danas glasi isto+ prvi je i!veo jedan od poslednjih matematičara i! do&a eleni!ma+ ap 2;' vek na$e ere4'#vaj doka! glasi ovako

?eka je du@ina strani5e kvadrata 1 O7načimo sa d du@inu dijagonale Tada je prema

Pitagorinoj teoremi, d 2=12+12 Aakle kvadrat du@ine dijagonale kvadrata strani5e 1 jednak je

2 Pretpostavimo da je ta du@ina ra5ionalan broj odnosno ra7lomak, ili d=p/q , gde su p i q

u7ajamno prosti brojevi Bsvaki ra7lomak se mo@e svesti na imenila5 i brojila5 koji su

u7ajamno prostiC Tada je d 2=(p/q)2=2 pa je p2=2q2 , odakle sledi da je kvadrat broja p paran

pa je i sam broj p paran To 7nači da je p oblika 2a 7a neki 5eo broj a Aakle, (2a)2=4a2=2q2

Odavde sledi da je q2=2a2 , 4to 7nači da je D paran broj Aakle i brojila5 i imenila5 pola7nog

ra7lomka su parni, 4to je suprotno pretpostav5i da su u7ajamno prosti te takav ra7lomak ne

mo@e postojati Au@ina dijagonale kvadrata dakle nije ra5ionalan broj ili nije odnos brojeva,

kako bi Gr5i rekli

#vo je sa stanovni$tva logike doka! koji se !ove redu5tio ab absurdum ili svo*enje na protivrečnost' Koliki su !načaj pitagorejci davali ovom doka!u svedoči i legenda o 7ilonu i!)etaponta' 7ilon je navodno ovaj doka! o iracionalnim &rojevima saop$tio nekom ko nije &iočlan reda Pitagorejaca i !&og toga je osu*en i prisiljen da nad samim so&om i!vr$i smrtnuka!nu skokom sa visoke litice' )edjutim sasvim je i!vesno da je Teetet i! Atine+ lični prijateljPlatonov i saradnik i!lo%io re!ultat po kome Ra nije odnos &rojeva i samim tim i!a!vao

intelektualni skandal u rčkim polisima' Većina istra%ivača smatra da je &a$ ovo otkrićei!a!valo skandal unutar rčke !a stvaranje teorijske matematike koja je u sledeća dva vekastvorila vrhunsku skoro nepreva!i*enu matemtiku sve do skoro 1F veka' 9eligija je mnogodoprinela ra!vijanju matematike u staroj rčkoj+ pa tako mnogi matematički termini potiču i!religije' Tako na primer+ dana$nja reč !a sredi$te kruga+ centar+ potiče od rčke reči kentron+koja je o!načavaka gvo!deni $tap koji se po&ijao u sredi$te magijskog kruga po o&odu kojegsu u nekoj vrsi ritualnog kola+ igrali učesnici religio!ne svečanosti' ,a vreme ovog perioda

pojavljuju se najpo!natiji pro&lemi koji veoma dugo nisu re$eni+ a to su risekcija ugla+!adratura kruga i Ud!ostru%enje kocke' #va tri pro&lema su po!natija od jednima

imenom a to je ri klasi%na pro6le$a.

*.1. !adratura kruga

Kvadratura kruga je jedan od najpo!natijih pro&lema u matematici+ koji praktično opsedamatematičare od samog nastanka matematike' Pod ovim pro&lemom se podra!umevakonstruisanje kvadrata čija je povr$ina jednaka povr$ini datog kruga

1>




Ahmes daje prvo pri&li%no re$enje ovog pro&lema+ odnosno metod konstruisanje kvadrata jednakog po povr$ini krugu' jegov recept glasi <#d prečnika kruga valja <odseći= 1SB i nadostatkom konstruisati kvadrat=' re$ka i nije velika po$to !a E daje /+1H0;+ $to je u odnosu navrednost /+1>1;B <sasvim pristojna= procena'

Pap u ; veku nove ere daje / načina re$avanja ovog i drugih geometrijskih pro&lema' Ponjegovom mi$ljenju pro&lemi mogu &iti <ravni=+ <čvrsti= i <linearni= ' <9avni= se mogu re$itikrugom i pravom odnosno linijama čije je i!vori$te u ravni' <Dvrsti= su oni koji se mogure$iti pomoću linija nastalih kao konusni preseci te se u njima koriste geometrijska tela poputkupe' Konačno <linearni= se re$avaju pomoću ra!novrsnih krivih nastalih ra!ličitimkonstrukcijama i kretanjima'

9a!matraćemo samo prvi način konstrukcije koja se praktično svodi na konstruisanje<lenjirom i $estarom=' 3anas mo%emo !asigurno reći da je ovaj pro&lem nemoguće re$iti

pomoću $estara i lenjira' Arhimed je u trećem veku pre nove ere re$io ovja pro&lem koristećispirale+ me*utim ovo spada u treću klasu po Papovoj klasiikaciji' )e*utim rčkimmatematičarima je ostalo nejasno da li se ovaj pro&lem mo%e re$iti jednostavnije pa su &ila

potre&no skoro čitava dva milenijuma da se doka%e da je pro&lem nere$iv <ravnom=metodom'

-likaF Gra3ički prika7 ko5ke jednake po povr4ini krugu

*.2. Ud!ostru%enje kocke

a prvi pogled ovaj pro&lem i!gleda mnogo jednostavniji nego prethodni' U principu !adatak je konstruisati kocku čija je !apremina dva puta veća od neke druge kocke+ $to !nači da postojeću kocku ivice a+ koja ima !apreminu a/ tre&a transormisati u kocku ivice b čija je

1;




!apremina jednaka b/J"a/' #vu konstrukciju je jednostavno i!vesti <linearnim= načinom+ alite%ina pro&lema se nala!i o oprvogavanju ili doka!ivanju konstruisanja <ravnom= ili<čvrstom= metodom' 5 ovde je &ilo potre&no "000 godina da &i se tek u 1B veku doka!alo da

je ovu konstrukciju nemoguće re$iti lenjirom i $estarom'

*.3. risekcija ugla

.o$ jedan od nere$ivih pro&lema !a rke predstavljala je trisekcija ugla' 8ilj je podeliti ugaona tri jednaka ugla' #vaj pro&lem je &io re$iv na primer !a uglove od H0 0+ me*utim !a ostaleuglove nije moguće re$iti ovaj pro&lem' Arhimed je tako*e prvi re$io ovaj pro&lem<linearnom= metodom pomoću spirala+ ipak uvek je postavljano pitanje da li je ovaj pro&lem

moguće re$iti nekom drugom metodom' -avremena matematičkom sim&olikom tokom 1Bveka doka!ano je da je pro&lem ne moguče re$iti $estarom i lenjirom'

+. ri st!araoca Gr%ke klasi%ne "ilo#o"ije

U tri stvaraoca rčke klasične ilo!oije se u&rajaju tri čoveka koja nisu samo dali svojdoprinos rčkoj ilo!oiji+ već se i! njihovih učenja u kasnijim periodima ra!vijaju ra!ličitinaučni pravci i učenja+ čak se i pojedine religije pronala!e u njima' #va tri velikana suSokrat+ laton i ristotel'

Sokr7t 2>' jun+ >F0' pre nov ere G /BB' pre nove ere4 2rčki WXYZ[4 je &io rčki 2\tinski4ilo!o i jedn\ od n\j!n\č\jnijih ličnosti !\p\dnj\čke ilo!oske tr\dicije' jegovn\j!n\č\jniji doprinos !\p\dnj\čkoj misli je njegov\ dij\lo$k\ metod\ istr\%iv\nj\+ po!n\t\k\o sokr\tski metod ili metod elenhos 2elenchos4+ koji je on $iroko primenjiv\o u ispitiv\njuključnih mor\lnih koncep\t\ \ prvi put je opis\n u Pl\tonovim Fokr"tskim dij"lo7im"' ,&ogovog\ se -okr\t o&ično sm\tr\ ocem etike ili mor\lističke ilo!oije+ i ilo!oije uop$te'

l7ton 2rčki ]^XY_4+ ro*en >"F' pre nove ere u AtiniI umro />F' pre nove ere4+ &io jenei!merno utic\j\n st\rogrčki ilo!o i &esednik+ -okr\tov učenik+ \ Aristotelov učitelj+ iosniv\č Ak\demije u Atini' Pl\ton je pred\v\o n\ Ak\demiji+ i pis\o u ormi dij\log\ omnogim ilo!oskim tem\m\' jegovo postoj\nje n\m je po!n\to preko njegovih ilo!oskihi dr\mskih del\ koj\ su očuv\n\ u rukopisim\ o&novljenim i i!d\tim u mnogim i!d\njim\ od

početk\ hum\nističkog pokret\' .edn\ od Pl\tonovih tekovin\+ mo%d\ č\k n\j!n\č\jnij\+ jenjegov\ du\lističk\ met\i!ik\+ često n\!iv\n\ 2u met\i!ici4 pl\toni!mom+ ili2preuvelič\nim4 re\li!mom'

ristotel 2rč' `WbYY^Z[4I /:>' pre nove ere /""' pre nove ere4+ st\rogrčki ilo!o i &esednik+ Pl\tonov učenik i jedn\ od n\jutic\jnijih ličnosti u istoriji evropske misli'

1H




,\hv\ljujući svojoj svestr\nosti i hr\&rosti+ Aristotel je uspeo d\ o&uhv\ti i sinteti!uje o&\ pr\vc\ u dot\d\$njoj rčkoj ilo!oiji učenje o prirodi i učenje o mor\lu' T\ko*e je+ n\osnovu ilo!oske misli prethodnik\ svojih učitelj\+ pron\$\o i!gu&ljenu nit n\učnog r\!voj\<dosokr\tovske= rčke+ n\st\vio to delo doslednim i det\ljnim prouč\v\njim\ i

sveo&uhv\tnim posm\tr\njim\+ te od do&ijenih pod\t\k\ s\gr\dio velič\nstvenu gr\*evinuorg\ni!ov\ne n\uke' \jpo!n\tiji i n\jorigin\lniji Aristotelov doprinos ilo!oiji je njegovoučenje o silogi!mim\'

&. -eleni#a$

5storijska epoha koja počinje osvajanjem Aleksandra )akedonskog+ pa traje sve do rimskogosvajanja rčke se na!iva eleni!am' U rčkoj se pojavila nova dr%ava+ )akedonija+ koja jevremenom postajala sve moćnija i uticajnija' jen procvat+ kao i procvat čitave rčke je &io!a vreme vladavine Aleksandra Velikog 2od /;H' godine pre nove ere do /"/' godine pre noveere4' ,a ra!liku od starog rčkog shvatanja po kome se celokupno stanovni$tvo 2starog4 svetadeli na rke i varvare+ Aleksandar je proklamovao ideju heleni!acije varvara' U ovom

periodu pored toga $to je veliki &roj ljudi heleni!ovano+ teritorija -tare rčke se pro$irila svedo Avganistana i Pakistana' rčka je o&uhvatala istočnu o&alu mediterana !ajedno saEgiptom+ -irijom+ Vavilonom' 3ola!i da uspona gradova kao $to su Antiohija+ Aleksandrija+

prestonice Ptolomejskog Egipta i -eleukidske -irije' U ovoj epohi pose&no se akcenat stavljana kulturni+ ekonomski+ naučno@ilo!oski procvat' 3ola!i do prihvatanja rčkog je!ika odstrane stanovni$tva na ovim prostorima+ tako da veliki &roj knji%evnika+ pesnika+ ilo!oa+naučnika stvara na rčkom je!iku' .edan od osnovnih u!roka procvata matematike i samenauke uop$te &ila je gradnja )u!eja u Aleksandriji "B0 godine pre nove ere' 5nstitucija jedo&ila ime po mu7ama rčkim &oginjama ve$tina i umetnosti' )u!ej je pose&no u do&aeleni!ma vr$io veliki uticaj na tada$nju ilo!oiju i mo%e se svrstati u / najveće rčke $kole

pored Akademije i Ciceja' )u!ej je predstavljao sedi$te i radionicu skoro svih intelektualacau regionu'

)u!ej je napravljen kao grandio!ni arhitektonski o&jekat sa prostorijama !a rad i stanovanje' jegov najimpo!antniji deo činila je =iblioteka projektovana tako da u nju mo%e stati oko;00 000 knjiga i papirusnih svitaka' To je &ila svojevrsna enciklopedija svih !nanja+ tomo%emo pou!dano da tvrdimo !ato $to je njen osnivač Ptolomej ":; godine pre nove ere!atra%io <svim vladarima sveta= da mu po$alju sve knjige ili njihove kopije' a%alost velika6i&lioteka je potpuno uni$tena pojavom hri$ćanstva+ kada su se hri$ćani osvetili paganima iuni$tili vi$e hiljada knjiga i na taj način !akočili napredak čovečanstva'

U ovom periodu najva%nija je pojava dela koje je sumiralo celokupna matematička !nanja togdo&a' 3elo se naravno !ove lementi+ a autor je /uklid'

. /uklid i njego!i /le$enti

1F




Euklid je prvi pisac matematičkih rasprava' jegovo delo Elementi+ u trinaest knjiga+ sadr%iosnovna načela geometrije' Euklid je predavao u jednoj od najpo!natijih antičkih $kola+ kojase nala!ila u Aleksandriji u Egiptu' jegova dela poka!uju kako je taj genijalni matematičar umeo da iskoristi iskustvo egipatskih graditelja i da i! njega i!vuče deinicije i pravila koja semogu doka!ati i !ahvaljujući kojima je gaometrija eg!aktna nauka 2 eg!aktne nauke su onekoje nam daju tačno odre*ena sa!nanja @ sa!nanja koja se mogu doka!ati eksperimentima imatematičkim putem+a to su+ pre svega i!ika+ hemija+ matematika i astronomija 4' PosleEuklida stvoreni su i drugi sistemi u geometriji+ ali Euklidova geometrija je vekovima &ilaop$te prihvaćena i primenjivana+ a i danas se jo$ predaje u $kolama'

U savremenom o&liku Elementi su prvi put $tampani u Veneciji 1>:"' godine' 3o tada su &ili po!nati samo rukopisni primerci tog dela' aj&olji rukopis+ 8odef P+ nala!i se u &i&lioteci uVatikanu' -em Elemenata+ Euklidu se pripisuju i neki drugi radovi+ npr' <Podatak=+ rad sa B;

stavova o geometrijskim unkcionalnim ve!ama koji sadr%i primenu alge&re u geometriji+!atim <eometrijske teoreme=+ <#ptika= sa osnovama perspektive i dr' apisao je i jednodelo koje se odnosi na teoriju mu!ike i harmonije' -em ovih sačuvanih+ Euklid je napisao idruge radove o kojima sa!najemo uglavnom od njegovih prvih komentatora' Prema Proklu on

je napisao jedno delo koje &i slu%ilo !a logičku gimnastiku *aka i jedan rad o podeli slika ukojem su tretirana pitanja tipa podeliti povr$inu trougala pravom datog pravca u datomodnosu' Prema Papovim podacima napisao je i !&irku matematičkih !aključaka i pomoćnihteorema'

)esto Euklidovog ro*enja nije tačno utvr*eno 2 navode se ra!ličiti podaci 4+ a najveći deo

%ivota pro%iveo je u Aleksandriji' -avremenici su ga opisali kao tihog i skromnog čoveka koji je &io &lagonaklon prema svakome ko je te%io usvajanju novih matematičkih !nanja'Po$tovao je svoje prethodnike i prilikom i!laganja njihovih re!ultata te%io je da vr$iminimalne+ samo neophodne i!mene' #danost Euklida geometriji do&ro ilustruje ovaanegdota' .edan početnik+ koji je učio geometriju kod Euklida+ kada je naučio prvu teoremu

!apitao je svog učitelja <(ta ja imam od toga $to sam ovo naučio ?=' Euklid je po!vao svogro&a i rekao mu <3onesi mu tri o&ola 2 rčki sitan novac 4+ jer on uči !ato da &i imao

koristi!=

#ko /00' godine stare ere+ Euklid+ učenik Platonove Akademije napisao je najčuveniju inajčitaniju i najuticajniju raspravu sa naslovom Elementi'

)otiv !a pisanje ovakve rasprave+ &io je+ donekle+ stvaranje deduktivnih teorija' Prvi poku$ajistvaranja deduktivne teorije &ili su pre dve i po hiljade godina' Počev$i sa Elementimaipokrata sa iosa 2sredina ;@tog veka stare ere4+ po!natog trgovca koga su gusari opljačkalina moru+ pa se !adr%ao u Atini i odao nauci+ preko -implikija 2V5' vek nove ere4+ koji je &ioneoplatoničar i predavao na Platonovoj akademiji i komentarisao je ipokratove Elemente ukomentarima Aristotelove i!ike' Podatak o ipokratu sačuvan je u knji!i koja se tokomistorije i!gu&ila' 3o$lo se do neoplatoničara Prokla 2 >10@>:; 4+ koji je citirao i!vesne delove

Eudemove istorije geometrije+ i Ceona koji je pod uticajem Prokla+ jednog od naj!načajnijihmislioca starog veka+ oko /F0' godine stare ere sastavio nove Elemente' ,a potre&e Platonove

1:




$kole+ jo$ potpunije Elemente napisao je Teudije i! )agne!ije+ a dopunio ih je eromtim i!Kolona' )e*utim ova dela su tokom istorije i!gu&ljena+ ali je njihov !načaj ostao da seogleda u Euklidovom naj!načajnijem naučnom delu'

Euklidovo delo je dugo va%ilo !a osnov svakog o&ra!ovanja' -vi ud%&enici pre njega &ili su

od&ačeni+ a posle njega dugo nije ni &ilo poku$aja da se načini neko novije+ va%nije delo'Euklidovi Elementi su često &ili prepisivani' #d Aleksandrijskog vremena 2 /00 godina prenove ere 4 pa sve do dana dana$njeg+ Euklidovi Elementi su &ili i ud%&enik i ne$to vi$e' #vodelo je prvi primer sistemati!ovanog !nanja i !ato ga je &ilo te$ko nadma$iti'

Prvih $est knjiga se odnose na planimetriju i+ najkraće rečeno+ u njima se ra!vija geometrijatrouglova+ četvorouglova+ krugova+ poligona+ proporcija i sličnosti' aredne četiri se odnosena geometrijsku teoriju &rojeva' Poslednje tri knjige odnose se na strereometriju@jedanaestaknjiga je uvod u stereometriju+ dvanaesta se &avi piramidama+ konusima i cilindrima+ atrinaesta pravilnim poliedrima'

avedene deinicije su deinicije i! Euklidovih Elemenata

1. Tačka je ono $to nema delova'2. Cinija je du%ina &e! $irine'3. Krajevi linije su tačke'4. Prava je linija ona+ koja tačke na njoj podjednako le%e'5. Povr$ina je ono $to ima samo du%inu i $irinu'6. Krajevi povr$ine su linije'

7. 9avan je povr$ina koja !a prave na njoj podjednako le%i'8. Ugao u ravni je u!jamni nagi& dveju linija u ravni koje se seku i koje ne le%e uistoj pravoj'

9. Ako su linije koje o&ra!uju ugao prave+ ugao se !ove pravolinijski'10. Ako prava+ koja stoji na drugoj pravoj+ o&ra!uje sa ovom dva susedna jednaka

ugla+ svako od njih je prav+ a podignuta prava !ove se normala na onoj na kojoj stoji'11. Tup ugao je onaj koji je veći od pravog'12. #$tar je onaj koji je manji od pravog'13. ranica je ono $to je kraj ma čega'14. 7igura je ono $to je ome*eno ili sa jednom ili sa vi$e granica'

15. Krug je ravna igura ome*ena takvom jednom linijom 2 koja se !ove perierija 4+ da su sve prave povučene i! jedne tačke+ koja se nala!i u samoj iguri+ prema tojliniji 2 prema perieriji kruga 4 me*uso&no jednake'

16. #va tačka !ove se sredi$te kruga'17. Prečnik kruga je svaka prava $to prola!i kro! sredi$te kruga+ a ograničena je sa

svake strane perierijom krugaI on polovi krug'18. Polukrug je igura ograničena prečnikom i njime odvojenom perierijom

krugaI sredi$te polukruga je isto kao i sredi$te kruga'19. Pravolinijske igure su one koje su ograničene pravamaI trostrane su

ograničene sa tri+ četvorostrane sa četri+ mnogostrane sa vi$e od četiri prave'

1B




20. #d trostranih igura jednakostrani trougao ima samo dve jednake strane+ ara!nostrani ima tri nejednake strane'

21. 3alje+ od trostranih igura je pravougli trougao onaj koji ima prav ugao+tupougli koji ima tup ugao+ a o$trougli koji ima tri o$tra ugla'

22. #d četvorostranih igura kvadrat je jednakostran i sa pravim uglovimaI pravougaonik je sa pravim uglovima+ no nije sa jednakim stranicamaI rom& sa jednakimstranama+ no nije sa pravim uglovimaI rom&oid sa jednakim naspramnim stranama+ no nije

jednakostran ni sa pravim uglovima' #stale četvorostrane igure neka se !ovu trape!i'23. Paralelne su one prave+ koje se nala!e u istoj ravni i koje se+ produ%ene u

&eskrajnost na o&e strane+ ne seku jedna sa drugom'

#snovne stavove Euklid je podelio na aksiome i postulate' Euklid je !asnovao geometriju na; postulata i : aksioma' Postulati glase 2neka se pretpostavi4

1. 3a se mo%e povući od svake tačke ka svakoj drugoj tački prava linija'2. 5 da ograničena prava mo%e &iti produ%ena u svom pravcu neprekidno'3. 5 da se mo%e opisati od svakog sredi$ta svakim rastojanjem krug'4. 5 da su svi pravi uglovi jednaki me*uso&no'5. 5 da će se+ ako jedna prava u preseku sa drugim dvema o&ra!uje sa iste strane

dva unutra$nja ugla čiji je !&ir manji od dva prava ugla+ te dve prave+ &eskrajno produ%ene+seći i to sa one strane sa koje su ovi uglovi manji od dva prava'

Postulati iska!uju geometrijske istine' Kao i postulati+ i aksiome su osnovna tvr*enja'

avodimo ih

1. #ni 2 o&jekti 4 koji su jednaki istom 2 o&jektu 4 jednaki su me*uso&no'2. 5 ako se jednakim 2 o&jektima 4 dodaju jednaki 2 o&jekti 4 celine su jednake'3. 5 ako se od jednakih 2 o&jekata 4 odu!mu jednaki 2 o&jekti 4 ostaci su jednaki'4. 5 ako se nejednakim 2 o&jektima 4 dodaju jednaki 2 o&jekti 4 celine su

nejednake'5. 5 udvostručeni jednaki 2 o&jekti 4 jednaki su me*uso&no'6. 5 polovine od jednakih 2 o&jekata 4 jednake su me*uso&no'7. 5 oni 2 geometrijski o&jekti 4 koji se mogu poklopiti jednaki su me*uso&no'8. 5 celina je veća od dela'

"0




.1. /uklido! V postulat

#vaj postulat je najva%nije mesto u Elementima' Poslu%io je kao pola!na tačka !a nastajanjeneeuklidskih geometrija+ a veliki uticaj je imao i na logički pregled svih deduktivnih sistema ina ormiranje aksiomatike' avodim prevod

= eka se pretpostavi

;' 5 da će se+ ako jedna prava u preseku sa drugim dvema o&ra!uje sa iste strane dvaunutra$nja ugla čiji je !&ir manji od dva prava ugla+ te dve prave+ &eskrajno produ%ene+ seći ito sa ove strane sa koje su ovi uglovi manji od dva prava ugla'=

Ako je α M β < π+ tada se prave a i & seku u poluravni p)'

-lika : Aoka7ivanje uklidovog > postulata

avedena ormulacija ne menja samo stilski i!vornu Euklidovu ormulaciju' Tvrdi se da se prave a i & seku+ iako je Euklid tvrdio da se prave samo sastaju+ pri&li%avaju' )e*utim+ načinna koji se Euklid koristio svojim petim postulatom jasno doka!uje da je pod !&li%avanjem

podra!umevao i to da se dve navedene prave seku' 3alje+ &roj π se pojavljuje kao meraopru%enog ugla' Euklid je ispru%eni ugao u deinisanju pojma = Ugao = neposredno isključio'

,ato nije mogao upotre&iti njegovu meru π i morao je svuda umesto toga da pi$e <dva prava='

eposredno posle Euklida i njegovih Elemenata nastavlja se period ekspan!ije matematike iostalih nauka pose&no i!ike koju prati dola!ak jednog od najvećih ljudi tada$njice Arhimeda'

"1




. ri$ed

Arhimed je ro*en ":F' godine pre nove ere u -iraku!i' jegov otac 7idija+ matematičar iastronom+ &io je siroma$an+ o&ičan gra*anin' )aterijalni polo%aj nije &io ote%avajućaokolnost po osnovno o&ra!ovanje Arhimeda jer su tada &ogati i vi*eniji ljudi svojoj deci

pru%ali o&ra!ovanje sa akcentom na ilo!oiju i knji%evnost+ a matematika se učila tek tolikoda &i se ra!umela ilo!oija' asuprot tome+ antički o&ični gra*ani su upućivali svoju decu odrane mladosti u tajne svojih !anata do potpunog savr$enstva' ,ahvaljujući tome i svojojgenijalnosti Arhimed je odlično savladao osnove matematičke nauke'

Veliki !načaj u o&ra!ovanju Arhimeda imaju ud%&enici od kojih su sigurno naj!načajnijiEuklidovi <Elementi i <Konusni preseci' Kada je Arhimed usvojio sva očeva !nanja &ilo je potre&no da ode u neki od centara tada$njeg o&ra!ovanja 2Atinu+ Aleksandriju ili Pergam u)aloj A!iji4 radi !avr$etka svog $kolovanja' Aleksandrija je &ila centar prirodnih nauka+ dok

je Atina imala prevlast u o&lasti ilo!oije i knji%evnosti'

3olaskom na presto -iraku!e ijerona+ Arhimedovog ro*aka+ popravilo se materijalno stanje7idijine porodice tako da je mogao poslati svog sina u Aleksandriju na univer!itet' UAleksandriji je upo!nao svoje savremenike+ velike matematičare i astronome Konona iEratostena' -a njima će celog %ivota ostati u ve!i ra!menjujući pisma i otkrića' -a druge

strane+ i!me*u Arhimeda i Apolonija i! Perge odnosi nisu &ili do&ri' Arhimed+ iako jeodr%avao %ivu prepisku sa velikim matematičarima svog do&a i pominjao ih u svojim delima i

pismima nikada nije direktno pomenuo Apolonija'

.edan od ra!loga lo$ih me*uso&nih odnosa verovatno je &ila politička situacija togdo&a' -vaki naučnik+ pesnik+ ilo!o tog vremena koji je %iveo na dvoru morao je pisati svojadela u slavu svog vladara1' ,atim+ Pergamsko carstvo stvorilo je save! sa 9imskim dok je-iraku!a &ila u save!u sa Kartaginom @ !akletim neprijateljem 9ima' 3akle+ ni matematičariovog do&a nisu &ili imuni na politiku' etrpeljivost i!me*u Arhimeda i Apolonija kulminirala

je kada je Apolonije parodirajući na naslov Arhimedovog dela =# merenju kruga napisaodelo sa satiričnim naslovom =-redstvo !a u&r!avanje poro*aja' i Arhimed nije ostaodu%an pa je napisao pismu svom drugu Eratostenu pismo sa !agonetkama koje su &ileupućene Apoloniju' ajpo!natija anegdota ve!ana !a Arhimeda je ona kada je re$avao

pro&lem ijeronove krune' aime+ ijeron je po!vao Arhimeda da utvrdi da li je kruna koju je napravio kujund%ija 3ioklo od čistog !lata' 8ara je mučila sumnja+ koju je potkrepiodvorski ri!ničar Era!istratos tvrdeći da je četvrtina !lata namenjena i!radi krune !amenjenasre&rom' Arhimed je posavetovao ro*aka da ne prenagljuje u ka%njavanju 3iokla !najući dasu 3ioklo i Era!istratos u sva*i' Tako se primio te$ke du%nosti da i!vr$i anali!u količine !latau kruni' U!eo je i! ri!nice jednu polugu !lata i jednu polugu sre&ra+ i!računao im !apreminu ite%inu' Tako je do&io speciične te%ine koje su se !natno ra!likovale 2/;1B+ tj' !lato je skorodva puta te%e4' Te%inu krune je lako i!merio+ ali je najte%i deo posla tek dola!io @ tre&alo je

1 Za ra!ik" od #rato$tena% &onona i A'o!onija% Ar(imed to nije morao jer je )io v!adarevro*ak% a " to +ijeron nije vo!eo dodvoravanja i ,enio je $vo- ro*aka.

""




i!računati !apreminu krune' Pojedini delovi krune+ naročito njeni lovorovi listići+ &ili sunepravilni+ uvijeni+ tanji+ de&lji+ pa je &ilo nemoguće i!računati im tačno !apreminu+ a odtačnosti i!računavanja !avisio je %ivot kujund%ije' 5scrpljen+ Arhimed je o&avestio cara danjegovi napori ne daju re!ultate i !atim oti$ao u javno kupatilo' Kada je !akoračio u kadu

primetio je da se povr$ina vode i!di!ala postepeno kako je on ula!io u kadu' #dmah mu je

sinula ideja !a re$enje !adatka @ kasnije ormulisani osnovni !akon statike luida <-vako telo potopljeno u tečnost ili gas gu&i od svoje te%ine onoliko koliko i!nosi te%ina istisnutetečnosti ili gasa' Taj gu&itak te%ine je u stvari+ sila potiska koja deluje i! unutra$njosti tečnostika telu koje je uronjeno=' Ushićen+ istrčao je i! kupatila vičući <Eureka+ Eureka ?= 2 =a$aosam+ na$ao sam? 4' 5!računao je da je kujund%ija četrdesetinu !lata !amenio !a sre&ro'3ioklo je pri!nao da je !amenio !lato u tačno onoj količini koju je Arhimed i!računao+ ali nei! namere da potkrade cara' aime+ iskustvo mu je poka!alo da tako mala primesa sre&ra čini!lato čvr$ćimi %ilavijim+ a tu tajnu nije hteo da oda konkurenciji' Kada je Arhimedeksperimentom utvrdio da je !lato stvarno jače ako mu se doda primesa sre&ra+ 3ioklo je &iooslo&o*en sumnje'U trećoj godini opsade -iraku!e 2 "1"' godine pre nove ere 4 9imljani su uspeli u noćnom

napadu da prodru u grad' Arhimed je &io !aokupljen svojim radom i to nije primetio' 3onjega je do$ao 3ioklo i predlo%io mu da krene sa njim' 5mao je ra!ra*en plan i! -iraku!e &ii!a$li kro! pod!emni vodovod koji vodi do planine' Vodovod je &io pra!an i suv jer su ga9imljani isključili kada su !apočeli opsadu' U !alivu ih je čekala la*a kojom &i neopa%eno

po&egli !a Aleksandriju+ jer su rimski vojnici &ili !au!eti pljačkanjem grada' Arhimed jeod&io predlog da odmah po*e sa 3ioklom+ !amolio ga je da odnese pismo u Aleksandriju+ aon će kada !avr$i rad poći !a njim' )e*utim+ Arhimed nije stigao da !avr$i rad'Cegenda govori da ga je u&io rimski legionar koga su ra!&esnele Arhimedove poslednje reči<e diraj moje krugove?=

eki i!vori ka!uju da ga je u&io rimski vojnik kada je Arhimed od&io da po*e sa njim ka!apovedniku )arcelu' 3rugi ka%u da je Arhimed po$ao ka )arcelu noseći u sanduku svoje

&lago @ sunčani sat+ ne&eski glo&us i uglomere !a merenje veličine -unca' Vojnici koji su gasreli u&ili su ga jer su mislili da je u sanduku !lato'9imljani su !a&ranili -iraku%anima da javno pričaju o Arhimedu i da gaje uspomene nanjega+ jer je on &io heroj od&rane -iraku!e' Vremenom je njegov gro& pokrio korov sve dok ga 8iceron nije prona$ao' a stu&u mu je uklesana sera upisana u valjak'" Arhimedova dela !a koja se !na da je napisao su

14 <-era i cilindar= @ dve knjige"4 <)erenje kruga=/4 <Konoide i seroide=>4 <-pirale=

;4 <6roj pe$čanih !rnaca=H4 <# telima koja plivaju= @ dve knjigeF4 <Kvadratura para&ole=:4 <Eod 2 ili <)etod=4B4 <# ravnote%i ravnih povr$ina= @ dve knjige104 <-tomahijon=114 <# poliedrima=1"4 <Katoptrika=1/4 <# pravljenju ne&eske sere=

2 a $voj re"!tat i de!a / $feri i ,i!indr" o odno$" a'remine !o'te i va!jka o'i$ano-oko !o'te Ar(imed je )io veoma 'ono$an i $matrao -a je najvanijim.

"/




.1. ri$edo!a $ate$atika i "i#ika

Knjiga =# merenju kruga sastoji se i! samo tri teoreme i nije sačuvana u svojoj originalnojormi+ na doranskom akcentu na kom je pisao Arhimed+ pa je verovatno samo deo neke većerasprave' Teoreme su

Teorema1 Povr$ina kruga jednaka je povr$ini pravouglog trougla kome je jedna kateta jednaka poluprečniku+ a druga o&imu kruga'

Teorema" Povr$ina kruga odnosi se prema kvadratu prečnika pri&li%no kao 11 prema 1>'/

Teorema/ #dnos o&ima kruga prema prečniku je manji od / 1SF+ a veći od / 10SF1'

Teorema 1 je doka!ana primenom metode ekshaustije @ iscrpljivanja' Arhimed pola!i od suprotne pretpostavke da je povr$ina kruga veća ili manja od povr$ine navedenogtrougla !a neku konačnu veličinu i doka!uje da su o&e pretpostavke nemoguće' #n jeaproksimirao povr$inu kruga u o&a smera

a4 upisujući u!astopno pravine poligone u krug udvostučavajući im strane počev$iod kvadrata

&4 opisivanjem ni!a pravilnih poligona oko kruga udvostučavajući im &roj strana počev$i od kvadrata

,atim je primenio teoremu koja je postala osnova metode ekshaustije =Ako se od vi$kakojim veća povr$ina prema$a manju+ odu!me vi$e od polovine+ od do&ivenog ostatka odu!me

ponovo vi$e od polovine itd' onda se na kraju krajeva mo%e do&iti ostatak koji će &iti manjima od koje date ograničene povr$ine'U delu <6roj pe$čanih !rnaca= on ra!matra pojam &eskonačnosti+ tj' predstavljanja

&eskonačno velikih &rojeva' jega je !animalo koliko &i !rnaca peska &ilo potre&no da se popuni svemir' ,a ovaj račun on koristi sistem &rojeva koji je on predlo%io u = #snovamaaritmetike+ &rojevi !a koje postoji na!iv 2mirijada mirijada ili 10: 4 on na!iva &rojevima

prvog reda ili prve oktade' Arhimed je i!računao da je &roj pe$čanih !rnaca u svemiru 10H/+dok je u teoriji relativnosti i!računat pri&li%ni &roj elektrona u svemiru i!nosio 10FF',atim+ Arhimed je procenio veličinu -unca u odnosu na veliki krug -unčevog sistema'

jegov re!ultat &io je &li%i Aristarhovom 1SF"0+ nego 7idijinom 1S10:0 i i!nosio je i!me*u1SH;H i 1S:00' Knjiga <# poliedrima= tako*e nije sačuvana' U njoj je Arhimed doka!ao

postojanje 1/ uniormnih 2polupravilnih4 poliedara pored već po!natih ; pravilnih poliedarakoji se !ovu Platonovim telima' Arhimedova tela su poliedri koji su ograničeni sa pravilnimmnogouglovima'3elo <Katoptrika=+ koje je i!gu&ljeno+ sadr%i ra!matranja i! optike' Arhimed je u ovom deludoka!ao da je ugao pod kojim svetlost pada jednak uglu od&ijanja' Tako*e se i! sačuvanihcitata mo%e sa!nati da je !adovoljavajuće o&jasnio povećanje usled rerakcije'U delu <# pravljenju sere= 2ne&eskog modela4 Arhimed opisuje kostrukciju sere kojaimitira kretanje -unca+ )eseca i planeta' Posmatranjem <sere= mogle su se videti )esečevemene+ pomračenje -unca i )eseca+ kretanje planeta u -unčevom sistemu' -era jenajverovatnije &ila napravljena od &akra+ a pokretana je pomoću vode' Veoma je &itna

33 ek$t ove teoreme je neadovo!javaj"ći i 'ret'o$tav!ja $e da je Ar(imed nije mo-ao$taviti i$'red teoreme 3 od ije- re"!tata avi$i.

">




činjenica da je Arhimed !astupao ideju Aristarha o eliocentričnom sistemu+ koja je mnogokasnije proslavila Kopernika'

). asni period elenske $ate$atike i njego! kraj

Troje matematičara koji !avr$avaju heleni!am ali i o&ele%avaju kraj 9imske imperije su ap

Aleksandrijski 2od "B0' godine do /;0' godine nove ere4+ eon Aleksandrijski 2od //;'godine do >0;' odine nove ere4 i Teonova kći -ipatija 2od /F0' godine do >;0' godine prenove ere4'

Pap je poslednji !načajni grčki geometar' ,a&ele%en je po svom delu <)atematički !&ornik='3elo nije sastavljeno kao ni! me*uso&no pove!anih tema+ već svaka tema ima svoj

predgovor+ ra!radu i !aključak' U nekim delima Pap se &avi geometrijom+ u nekim delimaaritmetikom+ a u nekim i linijama i krivima' ,&ornik sadr%i na prvi pogled ni! originalnihre!ultata ali nije ni &li!u po svom !načaju knjigama koje su nastajale pre $est i vi$e vekova'

Teon i njegova kći u početku su radili !ajedno+ o&oje su se &avili matematikom i ilo!oijom'6ili su sled&enici ilo!oa Plotina osnivača „neoplatoni7ma2' -am Teon je &io do&ar ali ne ioriginalan matematičar' 6io je do&ar matematički kritičar+ dok !a ipatijom nije ostalosopstvenih radova ali mnogi !načajni istoričari matematike smatraju da je ona većim delomučestvovala u očevim kritikama'

ipatija je &ila prva %ena matematičar i ilo!o' 5mala je veliku hari!mu jer je oko >00'godine nove ere postala predvodnik platonističke $kole u Aleksandriji' Po nekim i!vorima

&ila je i poslednji &i&liotekar Aleksandrijske &i&lioteke' ipitija je %ivela u vreme suko&a

i!me*u ri$ćana i pagana+ koje je do%ivelo i svoju kulminaciju kada su hri$ćani !apalili &i&lioteku Aleksandrije'

-mrt ipitijine o!načava i pad hri$ćanske Evrope u hiljadugodi$nji san'

";




10. 4aklju%ak

U ovom radu predstavljen je period antičke matematike od njenog nastanka pa do njenogkraja' Antička matematika je ostavila veliki uticaj na dan$njicu u mnogim o&lastima &e! kojihdanas ne &i mogli da !amislimo %ivot' 5! navedenog mo%emo !aključiti da se osnovestarogrčke matematike prisutne u ekonomiji+ politici 2političkoj ilo!oiji4 pa čak i u kulturi'

#vaj period se mo%e na!vati <,latno do&a matematike=+ a o tome svedoče i prethodnonapomenuti matematičari od kojih &ih pre svega istakao Pitagoru+ Arhimeda i Euklida'

Pitagora je doprineo matematici i dan$njoj tehnici' Arhimed veliki astronom+ matematičar ii!ičar koji je podstaknuo kasnije mnoge ljude da ra!mi$ljaju o njegovim teoremama da ihdopunjuju i ispravljaju sve u !naku prosperiteta i napredka 5 naravno Euklid čiji su Elementi

&ili nepreva!i*eni gotovo čitav jedan milenijum i koji predstavljaju !ačetka aritmetike+geometrije i ostalih matematičkih disciplina'

"H




5iteratura8

1'3r Ernest -tipanić <Putevima ra!vitka matematike=+ Vuk Kard%ić+6eograd+ 1B::'

"')ilan 6o%ić <Pregled istorije i ilo!oije matematike=+ ,avod !aud%&enike i nastavna sredstva+ 6eograd+ "00"'

/' httpSSikipedia'rsS

>' '!nanje'orgS

;' 'alas'mat'&g'ac'rs

"F

http://wikipedia.rs/

http://www.znanje.org/

http://wikipedia.rs/

http://www.znanje.org/



i

Documents

Anticka matematika