UNIVERZA V LJUBLJANI

FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO

ODDELEK ZA FIZIKO

FIZIKALNA MERILNA TEHNIKA

Antal Zupanc

NAČRTOVANJE IN IZDELAVA NMR SONDE

ZA MERJENJE TEMPERATURNE

ODVISNOSTI DIFUZIJE

Zaključna naloga

MENTOR: izred.prof. dr. Igor Serša

Ljubljana, 2016

IZJAVA O AVTORSTVU

Spodaj podpisani Antal Zupanc, študent Fakultete za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani,

izjavljam, da sem avtor zaključne naloge z naslovom Načrtovanje in izdelava NMR sonde za

merjenje temperaturne odvisnosti difuzije, pripravljene pod mentorstvom izred. prof. dr. Igorja

Serše.

Izrecno izjavljam, da v skladu z določili Zakona o avtorski in sorodnih pravicah (Ur. l. RS, št.

21/1995 s spremembami) dovolim objavo elektronske oblike zaključne naloge na fakultetnih in

univerzitetnih spletnih straneh.

Ljubljana, dne Podpis avtorja:

ZAHVALA

Zahvaljujem se metorju dr. Igorju Serši, za pomoč pri izdelavi sonde in opravljanu meritev ter

za vodenje pri pisanju zaključne naloge. Za tehnično pomoč v laboratoriju in upravljanju

naprave za jedrsko magnetno resonanco, se zahvaljujem tudi Ani Sepe in dr. Urši Mikac.

IZVLEČEK

Difuzijo ali prosto naključno gibanje molekul v kapljevinah je skorajda nemogoče opazovati s

prostim očesom. Za ta namen je nadvse priročna metoda jedrske magnetne resonance (NMR).

Metoda temelji na uporabi močnih gradientov magnetnega polja s pomočjo katerih dosežemo z

difuzijo povezan upad signala magnetne resonance. Pogosto meritev difuzije izvedemo s

pomočjo NMR zaporedja s spinskim odmevom s pulznimi gradienti (PGSE), pri kateri

uporabljamo dva simetrično glede na 180° radiofrekvenčni pulz postavljena gradienta

magnetnega polja enakih amplitud in trajanja. Če je difuzija počasna oziroma bi radi dosegli

zadostno difuzijsko obtežbo s kratkimi gradientnimi pulzi, potem običajno tem potrebam

gradientne tuljave, ki jih uporabljamo za slikanje, ne morejo zadostiti. Zaradi tega razloga smo

se v tem delu odločili narediti lastno gradientno tuljavo z močnimi gradienti magnetnega polja,

ki bo namenjena le za merjenje difuzije. Odločili smo se, da bo tuljava bila tipa Maxwellovega

para tuljav za ustvarjanje gradienta magnetnega polja, to je dveh razmaknjenih krožnih zank na

skupni osi, po katerih teče električni tok v nasprotno smer.

V delu je najprej predstavljen teoretični izračun, kakšen gradient lahko dosežemo s to tuljavo,

kako je ta odvisen od dimenzije tuljave, toka skozi tuljavo ter razmika med zankama tuljave.

Gradientna tuljava je bila po teh načrtih tudi izdelana. Nadalje pa sledi še meritev difuzije vode

v odvisnosti od temperature z novo sondo, saj je bilo potrebno preveriti, če izdelana sonda

resnično deluje pravilno.

ABSTRACT

Diffusion or random movement of molecules in liquids is almost impossible to observe with

the naked eye. Therefore, the nuclear magnetic resonance (NMR) is a very convenient method

for this purpose. This method is based on the use of strong magnetic field gradients with the

help of wich the decrease in diffusion-related magnetic resonance signal is achieved. The

measurement of diffusion is frequently carried out by means of the NMR spin-echo sequence

with pulsed gradients (PGSE), for the purpose of wich we use two symmetrically – with respect

to the 180° radio frequency pulse – positioned magnetic field gradients of the same amplitude

ad duration. If diffusion is slow, or if sufficient diffusion load with short gradient pulses is to

be generated, then the coil used for imaging usually cannot meet the requirements. For this

reason, it was decided to build our own coil with strong magnetic field gradients, the purpose

of which will be only measuring diffusion. We opted for the Maxwell coil pair for creating

magnetic field gradient, consisting of two separated coaxially positioned circular windings

through which electrical current flows in the opposite direction.

This thesis first presents a theoretical calculation as to what gradient can be generated with the

said coil, how the gradient depends on the dimension of the coil, the current flowing through

the coil, and the distance between the two windings of the coil. Based on these calculations, the

construction of the gradient coil follows. This is followed by the measurement of the diffusion

of water as a function of temperature with the new RF probe as proper functioning of the latter

needs to be tested.

11

KAZALO

UVOD ...................................................................................................................................... 13

1. MAGNETNA RESONANCA .......................................................................................... 14

1.1. SNOV V MAGNETNEM POLJU ............................................................................ 14

1.2. RELAKSACIJA JEDER ........................................................................................... 14

1.3. PRECESIJA JEDER .................................................................................................. 15

1.4. SIGNAL IN SPEKTER PROSTE PRECESIJE ........................................................ 16

1.5. SPINSKI ODMEV .................................................................................................... 16

1.6. GRADIENTI MAGNETNEGA POLJA IN SLIKANJE Z MAGNETNO

RESONANCO ...................................................................................................................... 17

2. DIFUZIJA ......................................................................................................................... 19

2.1. BROWNOVO GIBANJE .......................................................................................... 19

2.2. FICKOV ZAKON ..................................................................................................... 20

2.3. DIFUZIJA MOLEKUL V ODVISNOSTI OD TEMPERATURE ........................... 20

2.4. UPAD SIGNALA SPINSKEGA ODMEVA ZARADI DIFUZIJE .......................... 21

3. IZDELAVA MERILNEGA INŠTRUMENTA ................................................................ 25

3.1. ZASNOVA ................................................................................................................ 25

3.2. IZRAČUN KARAKTERISTIK GRADIENTNE TULJAVE ................................... 29

4. METODE .......................................................................................................................... 32

4.1. PRIPRAVA POSKUSA ............................................................................................ 32

4.2. NMR APARATURA ................................................................................................. 33

5. REZULTATI MERITEV .................................................................................................. 35

6. DISKUSIJA ...................................................................................................................... 37

ZAKLJUČEK ........................................................................................................................... 38

VIRI IN LITERATURA .......................................................................................................... 39

12

13

UVOD

Jedrska magnetna resonanca (nuclear magnetic resonance - NMR) je fizikalni pojav, s katerim

s primerno opremo lahko vplivamo na atomska jedra v snovi. Snov podvržemo močnemu

magnetnemu polju ter s tem jedra poravnamo vzdolž osi magnetnega polja. Jedra nato

vzbudimo oziroma jih zasukamo, z dovedeno energijo v obliki radiofrekvenčnega (RF) pulza.

Ko začnejo jedra izgubljati dovedeno energijo, vrnejo informacijo v obliki signala, ki ga lahko

zajamemo oziroma posnamemo in primerno obdelamo.

Slikanje z magnetno resonanco (magnetic resonance imaging - MRI) je danes ena od

pomembnih vej jedrske magnetne resonance, ki je našla svojo uporabo predvsem v medicini

kot nepogrešljiva radiološka diagnostična metoda. MRI slovi po neinvazivnosti, saj vzorec med

slikanjem ne prejme škodljivega sevanja, MR slike pa nosijo pomembne informacije o mehkih

tkivih, ki jih z ostalimi metodami, kot sta rengensko slikanje ali ultrazvočno slikanje ne moremo

dobiti. Danes lahko z MRI opazujemo delovanje srca, pretakanje krvi po žilah, lahko

spremljamo aktivnost možgan in celo odkrijemo možgansko kap. Detekcija slednje je

omogočena ravno na osnovi slikanja difuzije.

Difuzija je fizikalni pojav, pri katerem se zaradi notranje energije snovi, molekule gibljejo po

prostoru. Ker pa molekule nimajo proste poti, vendar so jim na poti druge molekule, pride do

naključnih trkov med njimi. Naključnih zato, ker imajo molekule v kapljevini različne velikosti,

smeri in hitrosti ter trkajo med seboj pod različnimi koti, zato je verjetnost da bi dve molekuli

izbrali enako pot skoraj nična. Difuzija je odvisna od gostote kapljevine in povprečne hitrosti

njenih molekul – temperature. Ločiti moramo tudi med difuzijo v neomejeni tekočini od slučaja,

ko je tekočina ujeta v porozni snovi. V prvem primeru govorimo o neomejeni difuziji in to

bomo spremljali v tej nalogi, v drugem primeru pa je difuzija omejena.

V nadaljevanju bom razložil osnove magnetne resonance in difuzije. Predstavil bom izračun za

izdelavo sonde ter opisal poskus merjenja lastne difuzije vode z novo sondo. Na koncu sledijo

še rezultati meritev in diskusija.

14

1. MAGNETNA RESONANCA

1.1. SNOV V MAGNETNEM POLJU

Snov je sestavljena iz atomov. Atomi so dalje sestavljeni iz jedra in elektronskega ovoja. Jedra

so zopet sestavljena, in sicer iz protonov in nevtronov. Število protonov določa vrsto elementa,

število nevtronov pa njegov izotop. Glede na to, da sem z magnetno resonanco meril difuzijo

vode, se bom osredotočil na jedro vodika, ki je sestavljeno le iz enega protona. Proton ima

pozitiven osnovni naboj.

Jedro si lahko predstavljamo kot majhno kroglico, po kateri je na njenem obodu razporejen

pozitiven naboj. Nekatera jedra imajo tudi to lastnost, da se vrtijo. Pravimo, da imajo spin. Ko

se jedro vrti okoli svoje osi, se vrti tudi njegov naboj in s tem opisuje pot po zaključeni tirnici.

Zaradi spina pridobijo jedra tudi magnetni dipolni moment in se torej idealizirano gledano

obnašajo kot majhni paličasti magnetki, ki bi se istočasno še vrteli okoli svoje osi [1].

Jedra atomov snovi, ki je izven magnetnega poja so povsem naključno orientirana, saj njihova

energija ni odvisna od njihove orientacije. Ko vstavimo vzorec v zunanje magnetno polje, se to

spremeni. S tem ko smo vklopili magnetno polje, smo v vzorec dovedli energijsko razlikovanje

med različnimi orientacijami jeder. Ker je stanje z nižjo energijo vedno stabilnejše, se tudi jedra

orientirajo v magnetnem polju v stanje z nižjo energijo. Pri tem magnetenju jedra oddajo višek

energije nihanju kristalne mreže, kar pomeni, da se pri tem vzorec segreje, vendar zanemarljivo

malo.

Magnetizacija jeder je definirana kot prostorska gostota dipolnih momentov jeder. To pomeni

da je magnetizacija enaka nič, kadar vzorec ni v zunanjem magnetnem polju, in različna od nič,

ko je vzorec v magnetnem polju. Teoretično bi največjo možno magnetizacijo lahko dosegli pri

temperaturi absolutne ničle (0 K), ko bi nihanje v molekulah in kristalni mreži prenehalo in bi

se vsa jedra orientirala popolnoma vzporedno s silnicami magnetnega polja. Ker pa vzorcev ne

moremo ohlajati na absolutno ničlo, predvsem ne v medicini, je potrebno imeti za dovolj veliko

magnetizacijo vzorca dovolj močan magnet, kot na primer magnet na katerem sem opravljal

meritve, ki ustvari magnetno polje z gostoto 2,35 T.

1.2. RELAKSACIJA JEDER

Relaksacija jeder ali jedrska relaksacija je pojav pri katerem se vzorec razmagneti, ko ga

odstranimo iz magnetnega polja, oziroma namagneti, ko ga vstavimo v magnetno polje.

Poznamo longitudinalno in transferzalno relaksacijo.

Longitudinalna relaksacija jeder obravnava spreminjanje magnetizacije jeder vzdolž smeri

statičnega magnetnega polja in je odvisna od intenzivnosti sklopitve jeder z nihanji mreže. Zato

so največje razlike v karakterističnem času T1, med tekočimi in trdnimi vzorci. Karakterističen

čas T1 nam pove, kdaj longitudinalna magnetizacija doseže približno 2

3 končne vrednosti po

vstavitvi vzorca v magnetno polje. Značilni relaksacijski časi T1 za tekočine so od nekaj 100 ms

15

do nekaj sekund, za trdne vzorce pa lahko tudi več ur. Longitudinalno relaksacijo lahko

zapišemo [2]:

𝑀𝑧 (𝑡) = 𝑀𝑧(0)𝑒−

𝑡

𝑇1 + 𝑀0 (1 − 𝑒−

𝑡

𝑇1) (1.1)

kjer je Mz komponenta magnetizacije v smeri vzdolž zunanjega magnetnega polja in M0

ravnovesna vrednost magnetizacije.

Transverzalna relaksacija obravnava spreminjanje magnetizacije v smeri pravokotno na

zunanje magnetno polje. Pri transverzalni relaksaciji ne pride do izmenjave energije med jedri

in kristalno mrežo, saj se pri spreminjanju transverzalne magnetizacije ne spreminja energija

jeder. Transverzalna relaksacija je posledica interakcij med jedri, saj sama nase vplivajo z

lastnimi magnetnimi polji, nanjo pa vpliva tudi nehomogenost zunanjega magnetnega polja.

Transverzalna relaksacija je vedno hitrejša od longitudinalne, njen karakterističen čas pa

označimo s T2 in nam pove kdaj transverzalna magnetizacija pade približno na 1

3 začetne

vrednosti. Značilni relaksacijski časi T2 so za tekočine od nekaj 10 ms do nekaj sekund, za trdne

vzorce pa lahko trajajo tudi le nekaj µs. Transverzalno relaksacijo zapišemo z enačbo [2]:

𝑀𝑥𝑦 = 𝑀0𝑒−

𝑡

𝑇2 (1.2)

kjer je Mxy komponenta magnetizacije v smeri pravokotno na smer zunanjega magnetnega polja.

1.3. PRECESIJA JEDER

Jedra nekaterih atomov imajo vrtilno količino ali spin. To povzroči da se obnašajo podobno kot

vrtalka, ki bi imela hkrati še dipolni magnetni moment. Če uspemo jedro odkloniti od smeri

statičnega magnetnega polja, se bo poleg tega, da se bo vrtelo okoli lastne osi, vrtelo tudi tako,

da bo njegova os opisovala pot po osnovni ploskvi navideznega stožca. Temu gibanju pravimo

precesija jeder in je posledica magnetnega navora na jedro ter vrtilne količine (spina) jedra.

Zaradi navora nenehno prihaja do spremembe smeri vrtilne količine v smeri navora, to je v

smeri pravokotno na magnetno polje in na smer trenutne vrtilne količine, ki je istočasno tudi

smer magnetnega dipola. Rezultat tega navora je jedrska precesija, katere frekvenca je poznana

tudi kot Lamorjeva frekvenca in je podana z enačbo [3]:

𝜔0 = 𝛾 𝐵0 (1.3)

Tu je γ giromagnetno razmerje in B0 gostota magnetnega polja, v katerem se nahajajo jedra.

Giromagnetno razmerje je razmerje med magnetnim dipolnim momentom jedra in njegovim

spinom ter je karakteristično za posamezno vrsto jeder. Frekvenca precesije jeder je torej

odvisna od gostote magnetnega polja in vrste jeder. Vodikova jedra pri gostoti magnetnega

16

polja 1,5 T precesirajo s frekvenco 64 MHz, kar jih uvršča v področje, pri katerem v

elektromagnetnem spektru, delujejo radijske postaje.

1.4. SIGNAL IN SPEKTER PROSTE PRECESIJE

Signal posnamemo tako, da najprej vzbudimo jedra. To storimo z RF tuljavo, v kateri se nahaja

vzorec, oboje pa je v magnetnem polju. Na RF tuljavo nato pripeljemo kratkotrajni RF sunek

Lamorjeve frekvence. Če sta trajanje in jakost sunka pravilno izbrani, lahko s sunkom jedra

odklonimo od zunanjega magnetnega polja, tako da začno precesirati. Pri tem se skozi RF

tuljavo spreminja magnetni pretok, ki povzroči indukcijo napetosti. Napetost pa predstavlja

NMR signal [4].

Če jedra odklonimo od začetne smeri za kot 90° ima magnetizacija največjo možno projekcijo

v smeri pravokotno na zunanje magnetno polje in takrat je tudi signal največji. Kot za katerega

zasučemo jedro je pogojen s trajanjem sunka tp ter gostoto magnetnega polja B1:

𝜃 = 𝛾 𝑡𝑝 𝐵1 (1.4)

Najpogosteje sta uporabljena sunka s katerima magnetizacijo odklonimo za 90° in 180°.

Pravimo jima kar RF sunek 90° in RF sunek 180°.

S spremljanjem induciranja napetosti med potekom transverzalne relaksacije jeder spremljamo

posledično razpad trasverzalne komponente magnetizacije. Temu pravimo, da smo posneli

signal proste precesije. Signal proste precesije zajamemo v digitalni obliki in ga računalniško

obdelamo s Fourierevo transformacijo (FT), ki nam časovno odvisni signal pretvori v

frekvenčno odvisnega. Tako pretvorjen časovni signal, ki mu pravimo tudi NMR spekter, je

veliko bolj uporaben in pregleden od časovnega signala. Če bi sicer snemali precesijo izoliranih

jeder s tem ne bi imeli težav, kadar pa imamo vzorec, v katerem so jedra v molekuli različno

vezana, bi bil časovno odvisen signal videti prezapleten za interpretacijo.

Vzorca med slikanjem ne bi bilo priročno ves čas obračati, zato imamo znotraj glavnega

magnetnega polja dodatno tuljavo, s katero s pulzom vplivamo na jedra tako, da jih zasučemo

iz zunanjega magnetnega polja.

1.5. SPINSKI ODMEV

Spinski odmev je pojav pri magnetni resonanci, ki ga dosežemo s pravilnim zaporedjem RF

sunkov. Najprej ustvarimo RF sunek 90°, da jedra zasučemo v ravnino pravokotno na smer

zunanjega magnetnega polja. Če bi lahko ustvarili popolnoma homogeno magnetno polje, bi

magnetizacija jeder v vseh delih vzorca ostala enako usmerjena tudi po daljšem času,

spremenila bi se le velikost magnetizacije zaradi poteka transverzalne relaksacije jeder. Ker pa

nobeno magnetno polje ni popolnoma homogeno in se znotraj njega pojavijo odstopanja od

njegove povprečne smeri, se magnetizacija v različnih delih vzorca suče z različnimi

precesijskimi hitrostmi. Jedra izgubijo fazno koherenco in se razporedijo po ravnini pravokotni

17

na zunanje magnetno polje. Zaradi tega tudi signal proste precesije ne pada več s

karakterističnim časom T2, ampak nekoliko krajšim časom T2*. Takoj po RF sunku 90° imajo

vsa jedra enako fazo precesije in signal je takrat najmočnejši. V času τ po RF sunku 90°,

določeno jedro pridobi recimo fazo β. V tem času so razlike med fazami jeder že tako velike,

da signala ne vidimo več. Sedaj pa ustvarimo RF sunek 180° in s tem spremenimo predznak

fazam, ki so jih jedra pridobila. Tako ima jedro, ki je prej imelo fazo β, sedaj fazo -β. Takoj po

RF sunku 180° zopet vsa jedra precesirajo z enako hitrostjo in bodo v času τ ponovno pridobila

enako fazo kot po RF sunku 90°. Torej bo jedro, ki je imelo fazo -β po sunku 180° sedaj

pridobilo fazo β. (-β + β = 0). Vsa jedra bodo imela v času 2τ po sunku 90° ponovno enako

fazo, kar se pokaže kot odmev signala. Temu odmevu pravimo spinski odmev. Njegova višina

signala je vedno manjša od signala takoj po RF sunku 90°. Metoda slikanja s spinskim

odmevom je najpogosteje uporabljana metoda za slikanje z magnetno resonanco, saj slovi po

dobro definiranem signalu in neobčutljivosti na homogenost magnetnega polja [5].

1.6. GRADIENTI MAGNETNEGA POLJA IN SLIKANJE Z MAGNETNO RESONANCO

Za ustvarjanje slike v pravem pomenu besede, potrebujemo poleg zunanjega magnetnega polja

še dodatna magnetna polja, ki jim pravimo gradientna magnetna polja. Znotraj glavnega

magneta so namreč nameščene dodatne gradientne tuljave, za ustvarjanje gradientnih

magnetnih polj. Najbolj priročna gradientna magnetna polja so polja, ki linearno naraščajo v

smereh x, y in z, ter so vsa enako usmerjena kot zunanje magnetno polje, to je v smeri osi z. Z

vklopitvijo gradientnega magnetnega polja v smeri x, smo ustvarili novo polje, ki ga lahko

zapišemo [2]:

𝐵(𝑥) = 𝐵0 + 𝐺𝑥𝑥 (1.5)

Slika 1: Grafična predstavitev zunanjega homogenega magnetnega polja.

Slika 2: Grafična predstavitev gradienta magnetnega polja.

18

Slika 3: Seštevek zunanjega magnetnega polja in dodanega gradienta.

S kombinacijo vseh treh gradientov, lahko ustvarimo magnetno polje, ki linearno narašča v

poljubni smeri prostora. V takem magnetnem polju postanejo precesijske frekvence jeder

odvisne od kraja. Njihove frekvence namreč linearno naraščajo v smeri gradienta magnetnega

polja.

Pri spektru signala proste precesije valja vode, bi v homogenem magnetnem polju dobili eno

ozko črto pri frekvenci ω0, saj bi imela vsa jedra enako hitrost precesije. Z vklopom gradienta

na primer v smeri x, pa zaradi različnih hitrosti precesij jeder dobimo spekter, ki ustreza krivulji

in se razteza med frekvencami (ω0 - γGxa) in (ω0 + γGxa), kjer je a polmer valja. Močnejše kot

je gradientno magnetno polje, več imamo različnih hitrosti precesij jeder in slika ima boljšo

ločljivost. S tem smo dobili sliko vzorca v eni dimenziji.

Za slikanje v dveh dimenzijah je potrebno sukati gradiente in posneti več slik v eni dimenziji

pod različnimi koti. Nato lahko z računalnikom rekonstruiramo sliko vzorca v dveh dimenzijah.

Za slikanje v več dimezijah uporabimo tako frekvenčni kot fazni signal. S pravilnim zaporedjem

vklapljanja in izklapljanja gradientov v smereh x in y, ter časom njihovega trajanja, lahko

posnamemo celotno sliko vzorca v xy ravnini.

19

2. DIFUZIJA

2.1. BROWNOVO GIBANJE

Prvi zapisi o opazovanju naključnega gibanja majhnih delcev ali difuziji, sežejo celo v leta pred

našim štetjem. Odkritje difuzije pa pripisujemo Robertu Brownu, ki je z mikroskopom opazoval

delec cvetnega prahu v vodi leta 1827. Kljub temu je opisano gibanje ostalo bolj ali manj

nerešeno, dokler ga ni Albert Einstein leta 1905 razložil s kinetično teorijo atomov in molekul

[6].

Brownovo gibanje obravnavano kot slučajno, na podlagi naključnih premikov, lahko zapišemo

kot vsoto vseh premikov [7]:

𝑋𝑛 = Δ𝑋1 + Δ𝑋2 + Δ𝑋3+.…+ Δ𝑋𝑛 = ∑ Δ𝑋𝑗𝑛𝑗=1 (2.1)

ali:

𝑥(𝑛𝜏) = ∑ 𝑎 𝜉𝑖𝑛𝑖=1 (2.2)

Kjer je 𝜉𝑖 naključno število z vrednostjo 1 ali -1, a dolžina naključnega premika in x seštevek

premikov v eni dimenziji. Iz tega zapisa lahko nadaljujemo in zapišemo:

𝑥2(𝑛𝜏) = (∑ 𝑎 𝜉𝑖𝑛𝑖=1 )(∑ 𝑎 𝜉𝑗

𝑛𝑗=1 ) = 𝑎2 ∑ ∑ 𝜉𝑖𝜉𝑗 =𝑛

𝑗=1 𝑎2𝑛𝑛𝑖=1 (2.3)

Pri tem velja:

𝜉𝑖𝜉𝑗 = 0 ⇒ 𝑖 ≠ 𝑗, (2.4)

𝜉𝑖𝜉𝑗 = 1 ⇒ 𝑖 = 𝑗 . (2.5)

Difuzija je po definiciji podana z enačbo:

𝐷 ≡𝑎2

2𝜏 (2.6)

Skupni čas vseh korakov zapišemo:

𝑡 = 𝑛𝜏 (2.7)

In združimo enačbe:

𝑥2(𝑡) = 𝑎2𝑛 = 𝐷 2𝜏 𝑛 = 2 𝐷𝑡 (2.8)

20

S tem smo določili povprečni premik delca zaradi difuzije v eni dimenziji. Enako velja tudi za

preostali dve dimenziji, zato moramo za povprečni premik po prostoru le sešteti prispevke vseh

treh dimenzij:

𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 2𝐷𝑡 + 2𝐷𝑡 + 2𝐷𝑡 = 6𝐷𝑡 (2.9)

2.2. FICKOV ZAKON

Fickov prvi zakon pravi, da je difuzijska gostota toka delcev j nasprotno sorazmerna gradientu

koncentracije delcev 𝜌 [6]:

𝑗 = −𝐷𝑑𝜌(𝑥)

𝑑𝑥 (2.10)

Pri tem je sorazmernostni faktor enak difuzijski konstanti D. Do drugega Fickovega zakona, to

je difuzijske enačbe, pridemo z upoštevanjem kontinuitetne enačbe, ki pravi, da je časovni

prirast koncentracije delcev nasprotno enak divergenci gostote toka delcev:

𝜕𝑗

𝜕𝑥= −

𝜕𝜌

𝜕𝑡 (2.11)

Sedaj lahko izračunamo divergenco enačbe (2.10):

𝜕𝑗

𝜕𝑥= −𝐷

𝜕2𝜌(𝑥)

𝜕𝑥2 (2.12)

in nato povežemo enačbi (2.11) in (2.12) ter tako dobimo difuzijsko enačbo:

𝜕𝜌

𝜕𝑡= 𝐷

𝜕2𝜌

𝜕𝑥2 (2.13)

2.3. DIFUZIJA MOLEKUL V ODVISNOSTI OD TEMPERATURE

Pri različnih agregatnih stanjih se hitrosti difuzije bistveno razlikujejo. Tako je na primer tipičen

difuzijski koeficient v zraku 10.000x večji kot v vodi. Difuzijski koeficient D za trdne snovi, v

splošnem najbolje opiše Arrheniusova enačba [8]:

𝐷 = 𝐷0𝑒−

𝐸𝐴𝑘𝐵𝑇, (2.14)

kjer je 𝐷0 največji možni difuzijski koeficient (pri potencialno neskončni temperaturi), 𝐸𝐴 je

aktivacijska energija izražena v [J/atom], 𝑘𝐵 Boltzmannova konstanta in T absolutna

temperatura.

21

Za kapljevine se najpogosteje uporablja Stokes-Einsteinova enačba [9]:

𝐷 = 𝜇𝑘𝐵𝑇, (2.15)

ki jo lahko zapišemo kot razmerje med dvema deloma kapljevine z različnima temperaturama:

𝐷𝑇1

𝐷𝑇2

=𝑇1

𝑇2 𝜇𝑇1

𝜇𝑇2

, (2.16)

kjer sta T1 in T2 absolutni temperaturi in 𝜇 viskoznost.

Kadar imamo opravka s plini lahko difuzijski koeficient izrazimo z Chapman-Enskogovo

teorijo, a so njene napovedi natančne le na okoli 8% [10]:

𝐷 =1,858∙10−3 𝑇3/2 √

1

𝑀1+

1

𝑀2

𝑝 𝜎122 Ω

, (2.17)

kjer je p tlak, M1 in M2 pa molski masi dveh različnih plinov. Ω predstavlja temperaturno odvisni

integral, povprečen polmer med trki molekul pa zapišemo [11]:

𝜎12 =1

2(𝜎1 + 𝜎2). (2.18)

2.4. UPAD SIGNALA SPINSKEGA ODMEVA ZARADI DIFUZIJE

Takoj po RF sunku je magnetizacija vzdolž x osi največja, nato pa se zaradi transverzalne

relaksacije razleze po ravnini xy. Skupno magnetizacijo lahko zapišemo:

𝑀𝑥𝑦 = 𝑀𝑥 + 𝑖𝑀𝑦 (2.19)

Slika 4: Magnetizacija se po RF sunku razleze po xy ravnini.

22

Signal je sorazmeren povprečni magnetizaciji v xy ravnini in ravno tako tudi funkciji [12]:

𝑒𝑖𝜑̅̅ ̅̅ = ∫ 𝑃(𝜑)𝑒𝑖𝜑𝑑𝜑 = 𝑒−𝜎𝜑2

2∞

−∞ (2.20)

Porazdelitvena funkcija 𝑃(𝜑), ki smo jo vstavili v Fourierevo transformacijo je normalna ali

Gaussova porazdelitev, kjer je 𝜎𝜑 standardni odklon in je njena verjetnostna porazdelitev

določena z [5]:

𝑃(𝜑) =1

√2𝜋𝜎𝜑2𝑒

−𝜑2

2𝜎𝜑2

(2.21)

Da bi si lažje predstavljali kako je signal odvisen od difuzije, zapišemo frekvenco v vrtečem

koordinatnem sistemu:

𝜔(𝑥) = 𝛾𝐺𝑥𝑥 (2.22)

Ter povprečni premik:

𝑥(𝑚𝜏) = ∑ 𝑎𝜉𝑖𝑚𝑖=1 , (2.23)

kjer je 𝜉𝑖 lahko le +1 ali -1, saj gre le za premik vzdolž x osi v eni dimenziji. Enačbo (2.23)

vstavimo v enačbo (2.22) in dobimo:

𝜔(𝑚𝜏) = 𝛾𝐺𝑥𝑎 ∑ 𝜉𝑖𝑚𝑖=1 (2.24)

Fazo precesije lahko zapišemo kot vsoto frekvenc:

𝜑 = ∫𝜔𝑑𝑡, (2.25)

ali kot vsoto frekvenc po korakih:

𝜑(𝑛𝜏) = ∑ 𝜔(𝑚𝜏)𝜏𝑛𝑚=1 (2.26)

Sedaj enačbo (2.24) vstavimo v enačbo (2.26) in dobimo izraz za fazo precesije:

𝜑(𝑛𝜏) = 𝛾𝐺𝑥𝑎𝜏∑ ∑ 𝜉𝑖𝑚𝑖=1

𝑛𝑚=1 = 𝛾𝐺𝑥𝑎𝜏 ∑ 𝜉𝑖

𝑛𝑖=1 (𝑛 − 𝑖 + 1) (2.27)

Za povprečno fazo precesije je potrebno enačbo (2.27) kvadrirati:

𝜑2(𝑛𝜏)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 𝛾2𝐺𝑥2𝑎2𝜏2(∑ 𝜉𝑖

𝑛𝑖=1 (𝑛 − 𝑖 + 1)) (∑ 𝜉𝑗

𝑛𝑗=1 (𝑛 − 𝑗 + 1)) (2.28)

23

Nekaj računanja nas privede do izraza:

𝜑2(𝑛𝜏)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 𝛾2𝐺𝑥2𝑎2𝜏2 ∑ (𝑛 − 𝑖 + 1)2𝑛

𝑖=1 , (2.29)

kjer je člen z vsoto enak:

∑ (𝑛 − 𝑖 + 1)2𝑛𝑖=1 =

𝑛3

3+

𝑛2

2+

𝑛

6 ≃

𝑛3

3 (2.30)

V nadaljevanju lahko uporabimo le približek iz enačbe (2.30), saj prvi člen, ki vsebuje 𝑛3daleč

največ doprinese k celotni vsoti. Torej lahko kvadrat standardnega odklona zapišemo:

𝜎𝜑2 = 𝜑2(𝑛𝜏)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 𝛾2𝐺𝑥

2𝑎2𝜏2 𝑛3

3 (2.31)

ter člena 𝜏 in n zamenjamo z enačbama (2.6) in (2.7), da dobimo standardni odklon v odvisnosti

od časa, difuzije in gradienta magnetnega polja. Giromagnetno razmerje se ne spreminja, saj je

odvisno od vrste jeder ki jih opazujemo:

𝜎𝜑2 =

2

3𝛾2𝐺𝑥

2𝑡3𝐷 (2.32)

Sedaj lahko ugotovimo, da je signal, ki ga zajamemo v konstantnem gradientu, sorazmeren

eksponentno padajoči funkciji 𝑒−𝛾2𝐺𝑥

2𝑎2𝜏2

3 . V primeru zaporedja za merjenje difuzije na osnovi

zaporedja s spinskim odmevom z dodanimi pulznimi gradienti (PGSE) je izraz za signal

nekoliko drugačen.

Slika 5: Shematičen prikaz slikanja s PGSE. Slika prikazuje zaporedje RF pulzov, vklop

gradientov magnetnega polja ter zajemanje signala na časovni osi.

24

Signal bo sorazmeren s funkcijo 𝑒−𝑏𝐷, kjer je:

𝑏 = 𝛾2𝐺𝑥2𝛿2 (Δ −

𝛿

3) (2.33)

Za določanje difuzije iz prejetega signala uporabimo enačbo:

𝑆(𝑏1)

𝑆(𝑏2)= 𝑒−(𝑏1−𝑏2)𝐷 (2.34)

Da bi dobili čim bolj natančno meritev difuzije, potrebujemo čim večjo razliko med fazami

precesij jeder zaradi njihvega difuzijskega gibanja, kar pa pomeni, da potrebujemo čim večji

gradient magnetnega polja, ki strmo narašča ali pada.

25

3. IZDELAVA MERILNEGA INŠTRUMENTA

3.1. ZASNOVA

RF sonda je bila zasnovana na podlagi Maxwellovega para tuljav za ustvarjanje gradientnega

magnetnega polja. Da bi videli kako se gradiento magnetno polje obnaša v okolici tuljave, si

lahko pomagamo z Biot-Savartovim zakonom, izpeljanim iz Amperovega zakona [13]:

Slika 6: Prikazuje vektorski produkt (𝑟′⃑⃑ ⃑ − 𝑟 ) × 𝑑𝑟′⃑⃑ ⃑ ter krožno pot vektorja 𝑑𝑟′⃑⃑ ⃑ v smeri toka I.

𝐵 =𝜇0𝐼

4𝜋∫

(𝑟′⃑⃑⃑⃑ −𝑟 )×𝑑𝑟′⃑⃑⃑⃑

|𝑟′⃑⃑⃑⃑ −𝑟 |3 (3.1)

Enačba nam pove kolikšno gostoto magnetnega polja ustvari enosmerni tok I v okolici vodnika,

kjer je 𝜇0 indukcijska konstanta. V našem primeru je vodnik v obliki tuljave ali navitja, zato

tok opisuje krožno pot. Za dolžino vektorja 𝑟′⃑⃑ ⃑ vzamemo polmer tuljave a, za dolžino vektorja

𝑟 pa z. Za zapis dolžine vektorja |𝑟′⃑⃑ ⃑ − 𝑟 |, si pomagamo s Pitagorovim izrekom:

|𝑟′⃑⃑ ⃑ − 𝑟 | = √𝑎2 + 𝑧2 (3.2)

in vstavimo v enačbo (3.1):

𝐵 =𝜇0𝐼

4𝜋∫

√𝑎2+𝑧2 ∙ 𝑎 ∙cos𝛼

(𝑎2+𝑧2)3/2

2𝜋

0𝑑𝜑 (3.3)

cos 𝛼 =𝑎

√𝑎2+𝑧2 (3.4)

26

Enačbo (3.4) vstavimo v enačbo (3.3) ter izračunamo integral:

𝐵 =𝜇0𝐼

4𝜋∫

√𝑎2+𝑧2 ∙𝑎∙𝑎

(𝑎2+𝑧2)3/2∙√𝑎2+𝑧2

2𝜋

0𝑑𝜑 =

𝜇0𝐼

4𝜋∫

𝑎2

(𝑎2+𝑧2)3/2

2𝜋

0𝑑𝜑 (3.5)

Po integraciji dobimo enačbo, ki opisuje gostoto magnetnega polja v osi z nad tuljavo:

𝐵 =𝜇0𝐼

4𝜋

2𝜋𝑎2

(𝑎2+𝑧2)3/2=

𝜇0𝐼

2𝑎(1+(𝑧

𝑎)2 )

3/2 (3.6)

Ker imamo v našem primeru dve tuljavi z polmerom a, odmaknjeni vsaka v svojo smer za

razdaljo b od izhodišča koordinatnega sistema, bo gostota magnetnega polja:

𝐵(𝑧) =𝜇0𝐼

2𝑎(

1

(1+(𝑏−𝑧

𝑎)2)3/2 −

1

(1+(𝑏+𝑧

𝑎)2)3/2) (3.7)

Slika 7: Prikazuje postavitev tuljav vzdolž z osi.

Z odvajanjem gostote magnetnega polja po osi z pa dobimo gradient le tega:

𝐺𝑧 =𝑑𝐵

𝑑𝑧=

3𝜇0𝐼

2𝑎2(

𝑏−𝑧

𝑎

(1+(𝑏−𝑧

𝑎)2)5/2 +

𝑏+𝑧

𝑎

(1+(𝑏+𝑧

𝑎)2)5/2) (3.8)

V večini primerov se za slikanje z NMR uporabljajo gradientne tuljave s konstantnim

gradientom magnetnega polja, saj dobro izničijo neželjene sferične harmonične pogoje, ki

ustvarjajo dodatna polja [14]. Da bomo lahko določili razmerje med polmeroma tuljav in

njunima oddaljenostma pri katerem je gradient magnetnega polja konstanten, je potrebo

gradientno magnetno polje teh tuljav razviti s pomočjo Taylorjeve vrste [15]:

1

(1+𝑧)5/2 = (1 + 𝑧)−5/2 = 1 −5

2𝑧 +

35

8𝑧2 −

105

16𝑧3 + ⋯+ 𝑂(𝑧) (3.9)

27

Vsak naslednji člen doprinese bistveno manj od prejšnjega k skupni vsoti.

Gradient magnetnega polja torej lahko zapišemo:

𝐺𝑧 =3𝜇0𝐼

2𝑎2 (𝑏−𝑧

𝑎(1 −

5

2(𝑏−𝑧

𝑎)2

+35

8(𝑏−𝑧

𝑎)4

− ⋯) +𝑏+𝑧

𝑎(1 −

5

2(𝑏+𝑧

𝑎)2

+35

8(𝑏+𝑧

𝑎)4

− ⋯))

(3.10)

Z nekaj računanja pridemo do izraza:

𝐺𝑧 =𝜇0𝐼

2𝑎(

6𝑏

𝑎2(1+(𝑏

𝑎)2)5/2 −

15𝑎2𝑏(3𝑎2−4𝑏2)

(𝑎2+𝑏2)4√𝑎2+𝑏2

𝑎2

𝑧2 + ⋯+ 𝑂(𝑧)) (3.11)

Gradient magnetnega polja bi bil najbolj konstanten, če bi imeli le prvi člen vsote. Med

računanjem se je člen z z sam sebe izničil, členu z 𝑧2 pa lahko določimo vrednost nič in

izračunamo razmerje 𝑎

𝑏 za čim bolj enakomerno naraščujoč gradient magnetnega polja:

15𝑎2𝑏(3𝑎2−4𝑏2)

(𝑎2+𝑏2)4√𝑎2+𝑏2

𝑎2

= 0

(3𝑎2 − 4𝑏2) = 0

𝑏 =√3

2𝑎 (3.12)

Slika 8: Jakost gradienta magnetnega polja, odvisnega od z osi, kjer je za a izbrana vrednost 1.

Gradientni tuljavi se nahajata v točkah −√3

2 in +

√3

2 na horizontalni z osi in na sredini ustvarjata

konstanten gradient magnetnega polja.

0.6 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 0.6z

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

3

20 el .tok

28

Kadar za MR slikanje potrebujemo čimbolj konstanten gradient magnetnega polja, je potrebno

uporabiti tako gradientno tuljavo, ki ima razmerje med polmeroma tuljav in njuno medsebojno

oddaljenostjo enako enačbi (3.12).

Za boljši signal pri merjenju difuzije sem se na pobudo svojega mentorja odločil izdelati novo

RF sondo, ki ima čim večji gradient magnetnega polja. Da bi izrazil gradient magnetnega polja

na sredini med obema tuljavama, kjer bo največji, je najprej potrebno v enačbo (3.8) vstaviti za

z vrednost nič:

𝐺 =3𝜇0𝐼

𝑎3

𝑏

(1+(𝑏

𝑎)2)5/2 (3.13)

Kadar bo odvod gradienta magnetnega polja po b enak nič, bo gradient magnetnega polja

dosegel ekstrem. V našem primeru doseže gradient svoj maksimum, ko je izpolnjen pogoj:

𝑑𝐺

𝑑𝑏=

3𝜇0𝐼

𝑎3(

1

(1+(𝑏

𝑎)2)5/2 −

5(𝑏

𝑎)2

(1+(𝑏

𝑎)2)7/2) = 0 (3.14)

Sedaj lahko trivialno določimo razmerje med a in b za čim večji gradient magnetnega polja:

1 + (𝑏

𝑎)2

− 5(𝑏

𝑎)2

= 0

1 = 4 (𝑏

𝑎)2

𝑏 =𝑎

2 (3.15)

Slika 9: Jakost gradienta magnetnega polja, odvisnega od z osi, kjer je za a izbrana vrednost 1.

Gradientni tuljavi se nahajata v točkah −1

2 in +

1

2 na horizontalni z osi in na sredini ustvarjata

največji gradient magnetnega polja.

0.6 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 0.6z

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

3

20 el .tok

29

Za čim večji gradient magnetnega polja je tako potrebno uporabiti gradientno tuljavo, ki ima

razmerje med polmeroma tuljav in njune medsebojne oddaljenosti enako enačbi (3.15).

3.2. IZRAČUN KARAKTERISTIK GRADIENTNE TULJAVE

Slika 10: Prikazuje razmerje med polmeroma tuljav in njuno medsebojno razdaljo, ki je bilo

izbrano za čim večji gradient magnetnega polja.

Zaradi dimenzij NMR aparature za slikanje ter po zgledu predhodno narejene gradientne tuljave

za slikanje s konstantnim gradientom, ki je bila v uporabi že pred izdelavo te tuljave, ki sem jo

želel izdelati, sem se odločil, da bo tako polmer tuljav in kot njuna medsebojna oddaljenost

enaka dolžini 1 cm.

Za določitev števila ovojev gradientne tuljave je potrebno poznati induktivnost take tuljave na

katero so prilagojeni gradientni ojačevalniki. V našem primeru je bila ta induktivnost enaka 150

𝜇𝐻. Induktivnost gradientne tuljave lahko ocenimo z uporabo izraza za induktivnost dveh

tuljav, ki induktivno součinkujeta tudi ena na drugo:

𝐿 = 𝐿1 + 𝐿2 − 𝐿12 (3.16)

Tu L1 in L2 predstavljata induktivnost posamezne tuljave, to je krožne zanke polmera a z N

ovoji žice. To lahko ocenimo na:

𝐿1 = 𝐿2 =𝜇0𝜋𝑎𝑁2

2 (3.17)

Medsebojna induktivnost obeh tuljav 𝐿12 ima negativen predznak zaradi nasprotnih smeri

navitij obeh tuljav. Medsebojno induktivnost lahko ocenimo na:

𝐿12 =𝜇0𝜋𝑎4𝑁2

(𝑎2+4𝑏2)3/2 (3.18)

30

Z upoštevanjem 𝑏 = 𝑎/2, pridemo na koncu do izraza za induktivnost, ki je enak:

𝐿 = 𝜇0𝜋𝑎𝑁2 (1 −1

2√2) = 0,65 𝜇0𝜋𝑎𝑁2 (3.19)

Sedaj lahko na podlagi dimenzij tuljav izračunamo število ovojev:

𝑁2 = 𝐿

𝜇0 𝜋𝑎 (1−1

2√2)=

1,5∙10−4

4𝜋∙10−7𝜋 0,01∙0,65 [

𝑉 𝑠 𝐴 𝑚

𝐴 𝑉 𝑠 𝑚] = 5850 (3.20)

𝑁 = √5850 = 76 (3.21)

Pričakovano jakost gradienta magnetnega polja lahko ocenimo na osnovi največjega toka, ki ga

zmorejo ustvariti gradientni ojačevalniki. Ta tok znaša 10 A in od tod:

𝐺 = 𝜇0 𝐼 𝑁

𝑎2 ∙ 0,85 = 4𝜋∙10−7∙76∙10

0,012 [𝑉 𝑠 𝐴

𝐴 𝑚 𝑚2] = 9,5𝑇

𝑚 ≃ 950

𝐺

𝑐𝑚 (3.22)

Potrebna dolžina žice za navitje gradientne tuljave:

𝑙 = 2𝑁 2𝜋𝑎 = 2 ∙ 76 ∙ 2𝜋 ∙ 0,01𝑚 = 9,5𝑚 (3.23)

V naslednjem koraku lahko na osnovi znane upornosti dosedanjih gradientnih tuljav, ki znaša

2,4 Ω določimo debelino žice, ki ustreza dani upornosti in kjer je 𝜉specifična upornost bakrene

žice:

𝑅 = 𝜉𝑙

𝑆 (3.24)

𝑆 =𝜉 𝑙

𝑅=

0,017∙9,5

2,4[𝑚𝑚2 𝑚 𝐴

𝐴 𝑚 𝑉] = 0,068𝑚𝑚2 (3.25)

𝑆 = 𝜋𝑟2, 𝑟 = √𝑆

𝜋= √

0,068𝑚𝑚2

𝜋= 0,147𝑚𝑚 ⇒ 𝑑 = 0,3𝑚𝑚 (3.26)

Moč segrevanja gradientne tuljave pri polni obremenitvi je torej:

𝑃 = 𝑅 𝐼2 = 2,4 ∙ 102 [𝑉 𝐴2

𝐴] = 240𝑊 (3.27)

31

Slika 11: Izdelana gradientna sonda. Lepo vidni sta gradientni tuljavi, malce manj pa na sredini

med njima RF tuljava, v katero se vstavi vzorec za slikanje.

32

4. METODE

4.1. PRIPRAVA POSKUSA

Poskus oziroma mertive so potekale na Inštitutu Jozef Stefan, natančneje na odseku za fiziko

trdne snovi – F5. Uporabil sem 100 MHz sistem za slikanje z magnetno resonanco, ki je

podrobneje opisan v naslednjem poglavju in se nahaja v Laboratotiju za slikanje z magnetno

resonanco odseka F5.

Vodo na kateri sem opravljal meritve, sem natočil v stekleno epruveto ter vanjo vstavil še

uporovni termometer. Epruveto sem nato vstavil v izdelano gradientno sondo, znotraj tuljave

za ustvarjanje RF pulzov in beleženje povratnega signala. Sondo z vzorcem sem vstavil v 15

cm veliko odprtino v magnetu za slikanje.

Sonda je bila načrtovana tako, da je možno skozi njo prepihavati zrak. Na ta način lahko vzorec

veliko bolj enakomerno segrejemo, kot na primer z grelnikom znotraj epruvete, ki bi povzročil

konvekcijo vode. Naprava za gretje zraka in ventilator sta bila postavljena zunaj magneta,

zračni tok pa je bil speljan skozi magnet. Temperaturo vpihavanega zraka sem nastavil na

željeno temperaturo, ter nato po korakih vsakih nekaj stopinj zabeležil trenutno temperaturo in

izvedel meritev. Meritev sem izvajal med segrevanjem in ohlajanjem vzorca. Tako sem pri

določenih temperaturah odčital vrednosti difuzije vode izračunane na podlagi skripte in

računalniškega programa OriginLab.

Med opravljanjem meritev sem za parametre PGSE (slika 5) uporabil različne vrednosti. Čas

trajanja posameznega gradienta 𝛿 je bil 1 ms, čas med vklopom obeh gradientov Δ pa 21 ms.

Čas spinskega odmeva TE, ko se zajema signal je bil 25 ms in čas ponovitve sekvence TR 10 s.

Za b iz enačbe (2.33) sem uporabil 11 različnih vrednosti in sicer: 0,00, 0,05, 0,21, 0,47, 0,83,

1,29, 1,86, 2,54, 3,31, 4,20 in 5,18. Vse vrednosti so podane v enotah [109 s/m2]. Pri vsaki

odčitani temperaturi, ko sem pognal meritev, sem torej uporabil vseh 11 vrednosti, da sem dobil

11 točk za fitanje po krivulji 𝑒−𝑏𝐷 in s tem natančneje lahko določil difuzijo vode.

33

Slika 12: Na tleh je postavljen grelnik in iz njega speljana cevka za prepihavanje zraka med

opravljanjem meritev, na stolu pa je uporovni termometer.

4.2. NMR APARATURA

Magnetnoresonančni tomograf, ki sem ga uporabil za opravljanje meritev, je osnovan okoli

superprevodnega horizontalnega magneta, ki ustvari magnetno polje z gostoto 2,35 T [16]. Da

dosežemo superprevodno stanje magneta, ga je potrebno hladiti s tekočim helijem na

temperaturo 4 K (-269 °C). Za boljšo izolacijo helijevega rezervoarja se med tekočim helijem

in zunanjim okoljem nahaja še rezervoar s tekočim dušikom pri temperaturi 77 K (-196 °C).

Magnetno polje kljub temu ni dovolj homogeno, prav tako homogenost magnetnega polja zavisi

od razlike med vzorci, zato se v magnetu nahajajo dodatne tuljave, s katerimi povečamo

homogenost.

V magnetu se nahajajo tudi gradientne tuljave, s katerimi lahko ustvarimo linearno naraščujoče

magnetno polje v poljubni smeri, a usmerjeno z zunanjim magnetnim poljem superprevodnega

magneta.

RF sonda je tuljava, ki oddaja RF sunke in sprejema signal. Uglašena mora biti na Lamorjevo

frekvenco jeder, ki jih opazujemo.

RF oscilator ustvarja stabilne referenčne RF signale, ki se uporabljajo pri ustvarjajnu RF sunkov

in faznem zajemanju signala.

RF oddajnik ojači RF sunke, ki jih ustvari pulzni generator. Gradientni ojačevalnik pa ojačuje

obliko gradientnega pulza. Za vsako gradientno tuljavo, je potreben svoj gradientni ojačevalnik.

34

Namizni računalnik je potreben za upravljanje z zgoraj našteto opremo, torej za določanje

različnih algoritmov vklapljanja in izklapljanja tuljav, za zajem signala, obdelavo podatkov in

izračun slik.

Slika 13: Aparatura za slikanje z magnetno resonanco. Na vrhu so priključki za dolivanje

tekočega helija in dušika, na sredini pa odprtina, v katero iz zadnje strani vstavimo gradientno

sondo z vzorcem, za slikanje.

35

5. REZULTATI MERITEV

Rezultate meritev, ki sem jih dobil v tekstovni datoteki sem vnesel v program Windows Excel

in za lažjo predstavo narisal grafe. Vsi grafi predstavljajo hitrost difuzije vode v odvisnosti od

temperature. V prvi meritvi sem vodo segreval le do 50°C, pri drugi meritvi pa, da bi dobil več

podatkov, do 70°C. Meritve sem opravljal med segrevanjem in ohlajanjem vode.

Poskus merjenja difuzije vode je bil že izveden s podobnimi metodami, vendar na novejši in

boljši opremi, zato sem rezultate skupine ljudi, ki je opravila te meritve vzel za referenčno

meritev (Graf 4) [17].

Graf 1: Prva meritev difuzije vode med segrevanjem in ohlajanjem vzorca

Graf 2: Prva meritev difuzije vode le med ohlajanjem vzorca

2,2

2,4

2,6

2,8

3

3,2

3,4

3,6

3,8

4

4,2

19 24 29 34 39 44 49

D [

10

^-9

m^2

s^-

1]

T [°C]

Lastna difuzija vode v odvisnosti od temperature

2,2

2,4

2,6

2,8

3

3,2

3,4

3,6

3,8

4

4,2

19 24 29 34 39 44 49

D [

10

^-9

m^2

s^-

1]

T [°C]

Lastna difuzija vode v odvisnosti od temperature

36

Graf 3: Druga meritev difuzije vode med segrevanjem in ohlajanjem vzorca, poleg pa je dodana

še krivulja referenčnih vrednosti.

Graf 4: Referenčna krivulja difuzije vode [17].

2,2

2,7

3,2

3,7

4,2

4,7

5,2

5,7

6,2

0 10 20 30 40 50 60 70 80

D [

10

^-9

m^2

s^-

1]

T [°C]

Lastna difuzija vode v odvisnosti od temperature

D - meritev

D - referenca

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

D [

10

^-9

m^2

s^-

1]

T [°C]

Lastna difuzija vode v odvisnosti od temperature -referenčni graf

37

6. DISKUSIJA

Kot je razvidno iz rezultatov meritev, se meritve dokaj dobro ujemajo z referenčno meritvijo, a

je vendarle nekaj odstopanja. V garfu 1 pri temperaturi 25°C, gre verjetno za mojo napako pri

odčitavanju temperature, saj nikjer drugje ni toliko odstopanja.

Meritve med segrevanjem in ohlajanjem vzorca se ravno tako dobro ujemajo, saj se na nekaterih

mestih celo prekrivajo, razliki, ki je nastala pa je najverjetneje botrovala temperaturna

nestabilnost. Izdelana RF sonda ni imela nikakršnega hlajenja navitja, ki se segreje zaradi lastne

upornosti, ko skozenj teče enosmerni eletrični tok. Ravno tako sem temperaturo lahko odčital

le na 1°C natančno. Vzorec in posledično tudi RF sondo sem segreval in ohlajal s

prepihovanjem zraka, z določeno temperaturo.

Gradient magnetnega polja za merjenje difuzije mora biti dovolj močan, da povzroči dovolj

veliko razliko v fazi precesij jeder. Mehanizem spinske relaksacije pa omejuje trajanje gradienta

magnetnega polja. Kadar je difuzija počasna, se pravi pri nižjih temperaturah, potrebujemo

močnejši gradient magnetnega polja, da bi dobili zadovoljiv signal. S tem, ko smo uporabili RF

sondo z močnejšim gradientom magnetnega polja, smo dobili večji signal, a z manjšo

natančnostjo, kot če bi uporabili RF sondo s konstantnejšim gradientom magnetnega polja. Pri

ne konstantnem gradientu magnetnega polja se smer le tega po Maxwellovih enačbah stalno

spreminja [18], kar tudi vpliva na natančnost meritev.

Kot zanimivost si poglejmo, kaj bi se spremenilo če bi uporabili drugačne dimenzije tuljav. Z

večanjem polmera tuljav jakost gradienta magnetnega polja začne padati pri konstantnem

električnem toku, zato ne bi bilo smotrno uporabiti večje tuljave, predvsem ne za merjenje

difuzije. Nasprotno bi z manjšim polmerom tuljav lahko ustvarili še močnejši gradient

magnetnega polja, a smo na tej strani omejeni z velikostjo vzorcev. Poleg tega se znotraj na

sredini gradientnih tuljav nahaja še RF tuljava, ki ustvari kratka RF sunka 90° in 180°.

S spreminjanjem razdalje med tuljavama pri konstantnem polmeru pa je stvar rahlo drugačna.

Ko razdaljo manjšamo, jakost gradienta magnetnega polja zopet pada. Če pa razdaljo

povečamo, spremenimo obliko gradienta magnetnega polja. Ko je razdalja med tuljavama

približno tako velika kot premer tuljav, konvekcijska funkcija (Slika 9) postane konkavna, kar

pomeni, da je jakost gradienta magnetnega polja na sredini med tuljavama manjša, kot na

sredini posamezne tuljave.

Za primer merjejnja difuzije vode, je tako še najprimernejša gradientna sonda s čim večjim

gradientom magnetnega polja, čeprav ni konstanten.

38

ZAKLJUČEK

V zaključni nalogi sem razložil zakaj je pri merjenju difuzije potrebno uporabiti RF sondo, ki

ustvari čim večji gradient magnetnega polja in opisal računski postopek za njeno izdelavo.

Sonda dobro deluje pri nižjih – sobnih temperaturah. Bi pa bilo zanimivo, če bi grelnik in

oprema za slikanje z NMR dopuščala pogoje, da bi vzorec vode lahko segreli do vrelišča, kot

so to storili v poskusu, ki sem ga vzel za referenčno meritev. Ravno tako bi bilo zanimivo

poskusiti opraviti meritev s RF sondo z konstantnim gradientom, pri višjih temperaturah, kjer

bi morda že dobili zadovoljiv signal za izračun difuzije vode.

Želel bi se še opravičiti vsem, ki sem jim povzročil nevšečnosti s pozno oddajo zaključne

naloge, a ker se v vsaki slabosti najde nekaj dobrega, sem vsaj videl, da je gradientna sonda, ki

sem jo izdelal, še vedno v uporabi, kar mi je izredno všeč.

39

VIRI IN LITERATURA

[1] Slichter, C. (1996). Principles of Magnetic Resonance. Berlin: Springer.

[2] Vladimir Jevtič. (2014). Diagnostična in intervencijska radiologija. Ljubljana: Belin

grafika.

[3] M. T. Vlaardingerbroek, J. A. (1999). Magnetic Resonance Imaging. Berlin: Springer.

[4] Stepišnik, J. (1985/1986). Slikanje z magnetno resonanco. PRESEK, List za mlade

matematike, fizike, astronome in računalnikarje., 13 (3), 135 – 143

[5] Bernard C. Castleman. (2007). New Research on Magnetic Resonance Imaging. New

York: Nova Science Publishers, Inc.

[6] Stepišnik, J. (2012). Lastna difuzija molekul. Najdeno 1.junij 2016 na spletni strani

http://www.fmf.uni-lj.si/~stepisnik/2012_conf/Seminar_Difuzija.pdf

[7] Callaghan, Paul T. (1991). Principles of Nuclear Magnetic Resonance Microscopy.

Oxford: Oxford University Press

[8] Kuščer, I., Kodre A. (2006). Matematika v fiziki in tehniki. Ljubljana: DMFA –

založništvo

[9] Dill, Ken A., Bromberg S. (2011). Molecular Driving Forces: Statistical

Thermodynamics in biology, chemistry, physics and nanoscience. New York: Garland Science

[10] Cussler, E. L. (2009). Diffusion: Mass transfer in fluid systems. Cambridge [etc.]:

Cambridge University Press

[11] Hirschfelder, Joseph O., Curtis, Charles F., Bird, Robert Byron. (1954). Molecular

theory of gases and liquids. New York: John Wiley

[12] Pieter Wesseling. (2001). Principles of Computational Fluid Dynamics. Berlin:

Springer.

[13] Jackson, D. J. (1962). Classical Electrodynamics. New York[etc.]: John Wiley

[14] Hodalgo-Tobon, S. S. (2010). Theory of Gradient Coil Design Methods for Magnetic

Resonance Imaging. Concepts in Magnetic Resonance Part A, Vol. 36A (4), 223 – 242

[15] Vidav, I. (1994). Višja matematika I. Ljubljana: Društvo matematikov, fizikov in

astronomov Slovenije

[16] Serša, I. Slikanje z magnetno resonanco, skripta

[17] Holz, M., Heil, S.,Sacco, A. (2000). Temperature-dependent Self-diffusion Coefficients

of Water and Six Selected Molecular Liquids for Calibration in Accurate 1H NMR PFG

Measurements. PHYSICAL CHEMISTRY CHEMICAL PHYSICS.

[18] Stepišnik, J., Kos, M., Planinšič, G., Eržen, V. (1994). Strong Nonuniform Magnetic

Field for Self-Diffusion Measurement by NMR in the Earths Magnetic field. Journal of Magnetic

Resonance, Series A107, 167-172