Prof. dr. sc.Marija Pecina, Agronomski fakultet Sveuilita u
Zagrebu1ANALIZA VARIJANCEANALIZA VARIJANCEANOVAANOVAAnAnalysis
alysis oof f vavariance riance AnAnalysisalysis ooff means
usingmeans using vavariancerianceMaterijal za olegij !"tatisti#o
u#enje$Materijal za olegij !"tatisti#o u#enje$ %&rof' (r' sc'
)ojana *al+elo )a,i-.%&rof' (r' sc' )ojana *al+elo )a,i-.
/oslije(i&lomsi stu(ij 0ER1 23' 45' 6447' /oslije(i&lomsi
stu(ij 0ER1 23' 45' 6447' Prof. dr. sc.Marija Pecina, Agronomski
fakultet Sveuilita u Zagrebu2ANALIZA VARIJANCEANALIZA
VARIJANCEANOVA je tehnika upotrebe razlika izmeu prosjeka uzoraka u
zakljuivanju o postojanju (ili ne) razlika izmeu prosjeka
populacijaJedinstveni postupak kojim je Jedinstveni postupak kojim
je mogue ra!laniti i procijeniti mogue ra!laniti i procijeniti
varijabilnosti uvjetovane razliitim varijabilnosti uvjetovane
razliitim imbenicima " izvorima imbenicima " izvorima Prof. dr.
sc.Marija Pecina, Agronomski fakultet Sveuilita u Zagrebu
Pretpostavke za Pretpostavke za ANOVAANOVA-u-uOpaaji (Opaaji
(oobservationsbservations)) su su normalnonormalno distribuirani
unutar distribuirani unutar svake populacijesvake
populacijeVarijance populacija su jednake Varijance populacija su
jednake homogenehomogene (h(homogeneity of omogeneity of variance
or homoscedasticityvariance or homoscedasticity))Opaaji su Opaaji
su neovisnineovisni Prof. dr. sc.Marija Pecina, Agronomski fakultet
Sveuilita u Zagrebu!ANALIZA VARIJANCEANALIZA
VARIJANCE"vr8a9"vr8a9:s&ore(+a ve-eg +roja &rosje#ni8
:s&ore(+a ve-eg +roja &rosje#ni8 vrije(nosti
o(je(nomvrije(nosti o(je(nomNulta 8i&oteza;Nulta 8i&oteza;4
499prosjeci svih populacija su jednakiprosjeci svih populacija su
jednakiAlternativna 8i&oteza ;Alternativna 8i&oteza ;2
299nisu svi prosjeci populacija jednaki nisu svi prosjeci
populacija jednaki nnx x x x HH= = = == = = =... :... :3 2 1 03 2 1
0 Prof. dr. sc.Marija Pecina, Agronomski fakultet Sveuilita u
Zagrebu"ANALIZA VARIJANCEANALIZA VARIJANCE Prof. dr. sc.Marija
Pecina, Agronomski fakultet Sveuilita u
Zagrebu#Kalkulacija:Kalkulacija:Definirati Sume kvadrata
(Definirati Sume kvadrata (Sum of Sum of SquaresSquares - - SSSS) )
SS SStotal totalSS SSgrup grupa aSS SSerror errorIra!unati
stupnjeve slobode (Ira!unati stupnjeve slobode (degrees degrees of
freedomof freedom - - dfdf))Ira!unati srednje kvadrate tj"
varijance Ira!unati srednje kvadrate tj" varijance ((mean mean
squaressquares SS) i ) i FF vrijednostvrijednost Kont. Prof. dr.
sc.Marija Pecina, Agronomski fakultet Sveuilita u
Zagrebu$Kalkulacija SS:Kalkulacija SS:( )grupa total
errorjgrupatotalSS SS SSX X n SSX X SS = = =2..2..) ( Prof. dr.
sc.Marija Pecina, Agronomski fakultet Sveuilita u Zagrebu%izmeANOVA
2Je(nosmjerna analiza varijance>ANOVA 2Nulta hipoteza: Nulta
hipoteza: Prof. dr. sc.Marija Pecina, Agronomski fakultet Sveuilita
u Zagrebu12( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0 , 42 20 18 ... 20 23
17 20 ... 17 195 , 22 5 , 18 20 5 5 , 18 17 55 , 64 5 , 18 18 ... 5
, 18 14 5 , 18 192 2 2 2.2 2.2 2 2= + + + + + == + == + + + =grupa
unutargrupa izmeduukupnoSSSSSSgru(aA gru(a) *ku(no19 2314 1915 1917
2120 18 x %",' 1'',' 1%",'1$,' 2',' 1%,"n " " 1' =2) ( x x SS Prof.
dr. sc.Marija Pecina, Agronomski fakultet Sveuilita u Zagrebu1( )0
, 42 5 , 22 5 , 645 , 221018551005855 , 641018518 ... 14 19. .2 2
2.22 2 2= = == + == + + + =grupa izmedu ukupno grupa unutargrupa
izmeduukupnoSS SS SSSSSS( ) =nxx SS22gru(aA gru(a) *ku(no19 2314
1915 1917 2120 18 x %",' 1'',' 1%",'1$,' 2',' 1%,"n " " 1' Prof.
dr. sc.Marija Pecina, Agronomski fakultet Sveuilita u
Zagrebu1!Izvori varijabilnosti df SS s2F expFtab0.05 Ftab0.01Ukupno
9 64.5 Izmeu grupa 1 22.5 22.50 4.29ns5.32 11.26Unutar grupa 8 42.0
5.25Ta!"#a ana!"ze $ar"%an#e&' 22.50 & 5.25o("tat" "z pr$og
stup#a " osmog re)a * ta!"#a= SS : df Prof. dr. sc.Marija Pecina,
Agronomski fakultet Sveuilita u Zagrebu1"Zalju#a iza 0 testa u
Zalju#a iza 0 testa u ANOVA?i 29ANOVA?i 29# # e$p e$p % # % # tab
tab&&'' se prihvaase prihvaagrupe A i ( pripadaju istoj
populacijigrupe A i ( pripadaju istoj populacijiprosjeci grupa A i
( se ne razlikuju prosjeci grupa A i ( se ne razlikuju
signi)kantnosigni)kantno Prof. dr. sc.Marija Pecina, Agronomski
fakultet Sveuilita u Zagrebu1#gru&e gru&e AA i i ))
gra@#igra@#i++ + + +, , , , , 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23A)A ? )A
*eB& ns Prof. dr. sc.Marija Pecina, Agronomski fakultet
Sveuilita u Zagrebu1$+edan dio ukupne varijabilnosti (ri(ada
ra,likama "zmeu grupa -tretiranje, gnojidba...., a ostatak
varijabilnosti (ri(ada ra,likama unutar grupa -error.- Prof. dr.
sc.Marija Pecina, Agronomski fakultet Sveuilita u Zagrebu1%/ICANJA
'''/RE*AAA;'''/ICANJA '''/RE*AAA;'''C8e )iologist1 t8e
"tatistician1 t8e C8e )iologist1 t8e "tatistician1 t8e
Mat8ematician1 an( t8e Com&uter Mat8ematician1 an( t8e
Com&uter "cientist"cientistA biologist* a statistician* a
mathematician* and aA biologist* a statistician* a mathematician*
and a computer scientist are on a photo+sa,ari incomputer scientist
are on a photo+sa,ari in A,rica- .he/ drive out into the savannah
in theirA,rica- .he/ drive out into the savannah in their jeep*
stop* and scour the horizon 0ith theirjeep* stop* and scour the
horizon 0ith their binoculars-binoculars- .he biologist1 23ook4
.here5s a herd o, zebras4 And.he biologist1 23ook4 .here5s a herd
o, zebras4 And there* in the middle1 a 0hite zebra4 6t5s
,antastic4there* in the middle1 a 0hite zebra4 6t5s ,antastic4
.here are 0hite zebras4 7e5ll be ,amous42.here are 0hite zebras4
7e5ll be ,amous42 .he statistician1 26t5s not signi)cant- 7e onl/
kno0.he statistician1 26t5s not signi)cant- 7e onl/ kno0 there5s
one 0hite zebra-2there5s one 0hite zebra-2 .he mathematician1
2Actuall/* 0e kno0 there.he mathematician1 2Actuall/* 0e kno0 there
e$ists a zebra 0hich is 0hite on one side-2e$ists a zebra 0hich is
0hite on one side-2 .he computer scientist1 2Oh no4 A special
case42 .he computer scientist1 2Oh no4 A special case42 Prof. dr.
sc.Marija Pecina, Agronomski fakultet Sveuilita u
Zagrebu1&8odjela pokusa18odjela pokusa1&rema struturi
tretiranja %#lanova &rema struturi tretiranja %#lanova
&ousa.&ousa."je(nofatorijalnije(nofatorijalni
"vi,efatorijalni %6 ili D. vi,efatorijalni %6 ili D.&rema
struturi (izajna %osnovni &lanovi.&rema struturi (izajna
%osnovni &lanovi."&ot&uno slu#ajni ras&ore(
&ot&uno slu#ajni ras&ore("slu#ajni +loni ras&ore(
slu#ajni +loni ras&ore("latinsi va(rat latinsi va(rat Prof. dr.
sc.Marija Pecina, Agronomski fakultet Sveuilita u
Zagrebu2'EE"/ERIMENCIRANJE?/ro+lemi i EE"/ERIMENCIRANJE?/ro+lemi i
ciljeviciljevioje je mogu-e rije,iti &ousnom oje je mogu-e
rije,iti &ousnom te8niomte8niomhoe li uvoenje nekog novoghoe li
uvoenje nekog novog agrotehnikogagrotehnikog zahvata zahvata dati
bolji uinak od do tada kori!tenog dati bolji uinak od do tada
kori!tenogje li novaje li nova sorta ili hibrid sorta ili hibrid
prinosniji (bolji poprinosniji (bolji po kvaliteti i sl-) od
dosada!njih kvaliteti i sl-) od dosada!njihu kojemu kojem roku
sijati ili saditi roku sijati ili saditi da se postigneda se
postigne optimalni rezultat optimalni rezultatkojikoji pesticid
pesticid (ili u kojoj dozi) primijeniti u(ili u kojoj dozi)
primijeniti u suzbijanju razliitih !tetoinja suzbijanju razliitih
!tetoinjakoje koliinekoje koliine gnojiva gnojiva treba primijeniti
i kojihtreba primijeniti i kojih ,ormulacija ,ormulacijakoji je
optimalnikoji je optimalni sklop sklop (br- biljaka po jedinici(br-
biljaka po jedinici povr!ine) za pojedine kulture povr!ine) za
pojedine kulture Prof. dr. sc.Marija Pecina, Agronomski fakultet
Sveuilita u Zagrebu219azlog za eksperimentiranje 9azlog za
eksperimentiranje : varijabilnost eksperimentalnog : varijabilnost
eksperimentalnog materijalamaterijalaFlanovi &ousa A Cretiranja
Flanovi &ousa A Cretiranja su &lanirane &romjene #iji
se efetisu &lanirane &romjene #iji se efeti (varijable)
(varijable) &rate i mjere u &ousu &rate i mjere u
&ousu(sorte* hibridi* gnojidbe* sklopovi* gnojiva*(sorte*
hibridi* gnojidbe* sklopovi* gnojiva* insekticidi* rokovi
sjetve;sadnje* obrade tla
