ANNEAUX DE VALUATION DISCRETE COMPLETS … · taines constructions sur les anneaux d'opérateurs différentiels et les anneaux de séries formelles tordues à coefficients dans un

transactions of theamerican mathematical societyVolume 267, Number 1, September 1981

ANNEAUX DE VALUATION DISCRETECOMPLETS NON COMMUTATIFS

BY

ROBERT VIDAL1

Abstract. On construit, grace au concept de bimodule au sens de M. Artin, unebonne gnralisation non commutative de la notion d'anneau de valuation discrtecomplet; puis on tudie la validit du thorme de structure de I. S. Cohen en galecaractristique. Lorsque l'anneau de valuation possde un corps de reprsentantsqui est un corps local (commutatif) corps rsiduel de caractristique nulle etalgbriquement clos, on donne une classification des dviations de commutativitengendres par une drivation continue de ce corps local. Enfin, on propose unemthode gnrale de construction d'anneaux sans corps de Cohen en galecaractristique et l'article se termine par des problmes ouverts dans cette thorie.

Introduction. Dans ce travail, on se propose de dfinir et d'tudier une classed'anneaux de valuation discrte complets, essentiellement non commutatifs, quiconstitue une bonne gnralisation de la situation commutative et prolonge cer-taines constructions sur les anneaux d'oprateurs diffrentiels et les anneaux desries formelles tordues coefficients dans un corps gauche. Voir, par exemple,[P.M.C.l et 2].

Dans le 1, on donne les dfinitions et les premires proprits de ces anneaux;puis on caractrise dans le 2 les anneaux qui vrifient le thorme de structure deI. S. Cohen en gale caractristique. On conjecture alors que, contrairement cequi se passe en algbre commutative, il existe des anneaux de valuation discrtecomplets, en gale caractristique, qui ne sont pas des anneaux de Cohen.

Le 3 est consacr l'tude des anneaux de Cohen lorsque le corps dereprsentants K est un corps local, commutatif, corps rsiduel k de caractristiquenulle et algbriquement clos et que la dviation de commutativit est engendrepar une drivation continue 8 de K; c'est dire: s = 2>0 8"X". Un tel anneau estnot: K[[X, 8]] et appel anneau de Cohen drivation. Le thorme central donneune classification de ces anneaux en fonction de la valuation et du rsidu d'uneforme diffrentielle canoniquement associe la drivation considre.

Dans le 4, on applique certains rsultats du 3 l'tude des anneaux: K[[X, 8]],o K dsigne la clture algbrique (corps de Puiseux) du corps local K. On obtientainsi une premire gnralisation lorsque le corps de reprsentants est de valuationdense.

Received by the editors May 30, 1980 and, in revised form, September 11, 1980.1980 Mathematics Subject Classification. Primary 16A04, 16A05, 16A39; Secondary 12F05, 12F20.1 Cet article contient une partie de la Thse de Doctorat es Sciences mathmatiques soutenue le 16

mars 1978 auprs de l'Universit Pierre et Marie Curie-Paris VI-devant le jury compos de: L.Schwartz, M. Artin, M. P. Malliavin, J. P. Lafon, F. Aribaud, M. Guillaume.

1981 American Mathematical Society

0002-9947/81/0000-0404/$0 5.2 5

65License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use

66 ROBERT VIDAL

Le 5 donne l'ide d'une mthode gnrale de construction, en gale caractris-tique, d'anneaux sans corps de Cohen. Deux exemples concrets sont traits.

L'appendice regroupe un certain nombre de remarques et de problmes ouvertsdans cette thorie ainsi que les directions dans lesquelles ce travail peut trepoursuivi.

1. Anneaux de valuation discrte complets. On appelle anneau de valuationdiscrte complet, un anneau local A, non ncessairement commutatif, d'idalmaximal 911, qui vrifie:

A est spar, complet et non discret pour la topologie de Krull.91C/9IC2 est un A-bimodule simple. (Ce qui signifie que 91L/91c2 est engendr

par tout lment non nul de son centralisateur; voir M. Artin [MA.].)Soit -ir un relvement dans 911 d'un lment non nul du centralisateur de

91t/91t2; un tel lment est appel une uniformisante de A. On a alors

VA G A, ttX - Xtt G 91t2 et Ait + 9tt2 = wA + 91t2 = 91t.L'anneau A tant spar et complet, il s'ensuit que: A77 = wA = 91L, et paritration

V/7 > 0, VA G A, tr"X - Xtt" G 91U,+ 1 et Att" = ir"A = 91t".Soit o: A {0} ->N la fonction d'ordre de l'anneau A relative la filtration

91t-adique et convenons de poser: o(0) = + 00. On montre, comme dans le cascommutatif que les (91t")n>0 sont les seuls idaux ( droite ou gauche) nontriviaux de l'anneau A et que tout lment A non nul de A s'crit A = utt^ =tt^X)v avec u, v inversibles dans A. La topologie tant non discrte, m est nonnilpotent et l'anneau A est intgre. Il s'ensuit que A est un domaine d'intgritprincipal droite et gauche, donc c'est un anneau de Ore droite et gauche et iladmet un corps des fractions droite et gauche; voir [P.M.C1 et 2]. La fonctiond'ordre o est la valuation associe. Par analogie avec la situation commutative, onappelle corps local, le corps des fractions d'un anneau de valuation discrtecomplet.

On obtient ainsi une bonne gnralisation de la notion commutative d'anneau devaluation discrte complet; toutefois la dfinition d'une uniformisante est plusrestrictive. Cependant si le corps rsiduel A/91t est commutatif tout lment devaluation un est une uniformisante. On le vrifie en remarquant qu'alors VA,u G A, Aft - ixA G 911.

La notion suivante est de manire vidente propre au cas non commutatif.Dfinition 1. On appelle dviation de commutativit associe l'uniformisante tt,

Fautomorphisme s: A A dfini par

VA G A, s(X) = i avec ttX = itt.Par dfinition de it, cet automorphisme vrifie

VA G A, o(s(X) - A) > 1.Si on dsigne par s" la n-ime puissance de composition de s, on obtient par

itration

V > 0, VA G A, tt"X = s(X)tt" et o(s(X) - X) > 1.

License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use

ANNEAUX DE VALUATION 67

Une uniformisante tt de la valuation o est centrale lorsque la dviation decommutativit associe sw est l'identit. La proposition suivante caractrise l'ex-istence d'une uniformisante centrale dans l'anneau A.

Proposition 1. Les proprits suivantes sont quivalentes.(i) L'anneau A possde une uniformisante centrale.(ii) Pour toute uniformisante tt de la valuation, s^ est un automorphisme intrieur de

l'anneau A.(iii) Il existe une uniformisante tt de la valuation telle que s soit un automorphisme

intrieur de A.

La preuve est laisse au lecteur.Donnons, en dehors du cas commutatif, quelques exemples simples d'anneaux de

valuation discrte complets:L'anneau des sries formelles une indtermine TCflA']] coefficients dans un

corps gauche est un anneau de valuation discrte complet avec uniformisantecentrale et corps rsiduel non commutatif.

De faon plus gnrale, soient K un corps non ncessairement commutatif, 8 unedrivation de K et formons le "skew power series ring" .r[[A', 1, avec a, G K.

Dfinition 2. 5"// existe dans A un systme de reprsentants K de A/9It qui estun sous corps de A, on dit que A est un anneau de Cohen et que K est un corps dereprsentants, ou corps de Cohen de A.

Il s'ensuit que K est ncessairement isomorphe A/91t et en particulier A etA/91t ont mme caractristique.

Soit K un corps non ncessairement commutatif. Dsignons par 7C[[A]] leT-espace vectoriel gauche des sries formelles en l'indtermine X, considrnaturellement comme un groupe additif oprateurs droite dans le monode libreengendr par X. Notons o la fonction d'ordre attache X avec la conventiono(0) = + oo.

Soit s: K[[X]]^ 7C[[A]] un endomorphisme du groupe additif oprateurs droite vrifiant les deux proprits

s(l) =1 et VA G K[[X]], o(s(X) - X) > 1.


(,S ROBERT VIDAL

Alors on a pour toute srie A = 2;>0 aX' ou a, e ^ SQ) = 2/>0i(a,)A". Re-marquons qu'en gnral, mme si a G K, s(a) est une srie formelle en X et non unlment de K.

La donne de la fontion s permet de dfinir un produit sur 7C[[']] en posant

Va G K, Xa = s(a)Xd'o VA G K[[X]\, XX = s(X)X et si A = 2,>0 ,*'. M = 2,>o /3,Jf ' alors

V= 2 (E ,*'(_,) W.7>0 \/=0 /

Il est facile de vrifier que s est une isomtrie de 7i"[[A]]; il s'ensuit que ceproduit est continu pour la valuation dfinie par la fonction d'ordre; ce qui s'crit

VA, /x G K[[X]}, o(Au) = o(X) + o( u).

D'autre part, ce produit est associatif si, et seulement si, la fonction s estmultiplicative; c'est dire

Va,/? G K, s(a) = s(a)s().Dans ces conditions, on construit ainsi sur l'espace ultramtrique des sries

formelles une structure d'anneau de valuation discrte complet, en gnral noncommutative, de corps rsiduel K, qui est un anneau de Cohen et que l'on notera7C[[A, s]]. Rciproquement on a le

Thorme 1. Tout anneau de valuation discrte complet qui est un anneau deCohen est isomorphe un K[[X, s]] o K est un corps de Cohen, X une uniformisantede la valuation et s la dviation de commutativit associe X.

La vrification est laisse au lecteur.

Corollaire 1. Tout anneau de Cohen non commutatif, corps rsiduel commutatifest sans uniformisante centrale.

Un problme important est celui de savoir si, comme en algbre commutative,tout anneau de valuation discrte complet de mme caractristique que son corpsrsiduel est un anneau de Cohen. Nous donnons dans le 5 une rponse ngative cette conjecture, qui n'est pas un contre exemple isol mais met en videncel'existence d'une nouvelle classe d'anneaux de valuation discrte complets: ceux quine sont pas de Cohen en gale caractristique.

Pour des contre exemples isols, voir [R.V.5 et 6].Nous terminons cette section en donnant quelques proprits de la dviation de

commutativit d'un anneau de Cohen.Soit K[[X, s]] un anneau de Cohen et posons 5 = 2>0 nXn> u est C^T clue 'a

donne de j est quivalente celle d'une suite (8)n>0 d'endomorphismes additifsde K, lis entre eux par des quations traduisant que s est une fonction multiplica-tive. Notons que 0 est appele une suite de "hautes drivations" deK, et 8n est la drivation d'ordre n.


ANNEAUX de valuation 69

En particulier, si 8 est une drivation de K, et si on prend pour tout n > 0: 8n =8" (la n-ime puissance de composition), alors la fonction j = 2n>0"'A'" dfinitune structure d'anneau de Cohen dans lequel le produit s'obtient partir de

Va G K, Xa- aX = X8(a)X.En effet la fonction s est gale 1 + 15 et on vrifie aisment qu'elle estmultiplicative.

L'anneau ainsi obtenu, not 7C[[A, fi]], est appel anneau de Cohen drivation.Donnons un exemple:

Soit K un corps local (commutatif) d'gale caractristique, k son corps rsiduel;alors pour toute uniformisante Y de la valuation, K s'identifie au corps des sriesde Laurent: k((Y)). Si nous notons DY la /c-drivation continue de K qui est ladrive par rapport Y, l'anneau de Cohen drivation K[[X, DY]] est sansuniformisante centrale. Le produit s'obtient partir de la loi XY YX = X2; et ilest facile de voir en rsolvant en A les quations A y = yA et A'A = XX qu'encaractristique nulle le centre de cet anneau se rduit k et qu'en caractristique ppremire son centre est le sous anneau (commutatif) k((Yp))[[Xp]].

3. Anneaux de Cohen drivation sur un corps local. Nous nous proposonsd'tudier les anneaux de Cohen drivation 7C[[A, S]], lorsque K est un corps local(commutatif), corps rsiduel k de caractristique nulle et algbriquement clos, et fiune >drivation continue de K (relativement la valuation de K); voir [J.P.S.l]-[J.P.S3]. Rappelons qu'un corps local est un corps muni d'une valuation discrte,note v, complet pour la topoplogie dfinie par la valuation. La caractristique ducorps rsiduel tant nulle, le thorme classique de Cohen nous permet, pourchaque choix d'une uniformisante Y, d'identifier K au corps des sries deLaurent: k(( Y)). Si nous notons DY la fc-drivation continue de K qui est la drivepar rapport Y, l'anneau de Cohen: A:((T))[[A, DY]\, donn en exemple la fin dela section prcdente, servira de guide tout au long de cette tude. Le problmepos ici est de construire pour les anneaux K[[X, 8]] de "bonnes reprsentations"en fonction de la drivation . Ce travail est annonc dans [R.V.7].

Rappelons d'abord, afin de fixer les notations, des rsultats plus ou moins bienconnus que l'on trouve dans [J.P.S.1]-[J.P.S3], [A.G.], [J.P.L.].

Soit K un corps local corps rsiduel k de caractristique nulle; on note par 0l'anneau des entiers de K et par p son idal maximal, de sorte que 0 /p = k. Latopologie dfinie par la valuation discrte sur K est la topologie p-adique.

Dfinition 3. On appelle K-espace vectoriel des k-diffrentielles topologiques de Kle couple universel Slk(K), d: K-^Qk(K) constitu d'un K-espace vectoriel &k(K)topologique, spar, pour la topologie p-adique (p'd(&))i>0 et d'une applicationk-linaire continue d, vrifiant

Va, G K, da = da- + a d.Le lemme suivant se trouve dans [J.P.S.l].

Lemme 1. Uk(K) est un K-espace vectoriel de dimension un. Soit Y une uniformi-sante de la valuation et pour tout a E K, notons DY a la drive par rapport Y; ona alors da = DYa dY et dY forme une base de ik(K) sur K.


70 ROBERT VIDAL

Dfinition 4. On appelle K-espace vectoriel des k-drivations continues de K, notDerk(K), l'ensemble des applications k-linaires, continues, fi: K- K vrifiant

Va, E K, 8(a) = 8(a) + a8( ).

Le lemme suivant se trouve dans [A.G., E.G.A.IV].

Lemme 2. Derk(K) est isomorphe au dual de ik(K)

HomK(k(K), K) s* Dcrk(K).

Il s'ensuit que Devk(K) est un TC-espace vectoriel de dimension un, et si Y est uneuniformisante de la valuation, 7)y forme une base de Der^TC) sur K.

Dfinition 5. On appelle diffrentielle de K, tout lment w G k(K); si Y est uneuniformisante, il existe a E K tel que co = adY. Le coefficient de Y~x dans ledveloppement de a en srie de Laurent par rapport Y s'appelle le rsidu de w et estnot rs w. Cette notation est justifie car le rsidu de w est indpendant du choix deY. La valuation p() de a diffrentielle w est dfinie en accord avec la topologiep-adique de &k(K) et on a v(co) = v(a), si w = adY. Il est facile de vrifier que cettedfinition ne dpend pas du choix de Y.

Si 5 dsigne une k -drivation continue de K, non identiquement nulle, on a la

Proposition 2. Il existe une correspondance bijective entre Der^(TC) {0} ettik(K) - {0} dfinie par

VS G Der^(T) - {0}posons ccs = dY/8(Y) G 2k(K) - {0}.Vu G Qk(K) - {0}, w = adY,posons 8a(Y) = l/a G Der^AT) - {0}.

La dmonstration, simple, est laisse aux soins du lecteur.Dfinition 6. La diffrentielle cos dfinie par la Proposition 2 sera appele la

diffrentielle topologique associe la k-drivation continue fi de K.Donnons maintenant le rsultat de reprsentation.

Thorme 2. Soient K un corps local de valuation v, corps rsiduel k decaractristique nulle et algbriquement clos, et fi une k-drivation continue de K dediffrentielle associe us. On obtient la classification suivante:

(1) v(s) > -1 (et donc en particulier rs ics = 0) est quivalent : Il existe uneuniformisante Y de la valuation v telle que, si on identifie K k(( Y)), il existe unisomorphisme d'anneaux de K[[X, S]] sur :((y1/("(^)+1)))[[A', DY\], qui induit l'iden-tit sur k et qui transforme X en X, Y en Y '/W"*)"1"1) et 8 en DY la drive par rapport Y.

(2) f(us) < -1 et rs us = 0 est quivalent : Il existe une uniformisante Y de lavaluation v telle que, si on identifie K k(( Y)), il existe un isomorphisme d'anneauxde K[[X, fi]] sur k((Yx/(y(u*)+X)))[[X, DY,]], qui induit l'identit sur k et qui trans-forme X enX,Y en y-/(K*)+D et g en )y_, a drive par rapport Y~\

(3) f(o}s) -l est quivalent :Il existe une uniformisante Y de la valuation v telle que, si on identifie K k(( Y)), lak-drivation 8 est gale >Log y/rs u>s o Dhog Y dsigne la drive par rapport aulogarithme formel de Y.



(4) v(ics) < -l et rs us = 0 est quivalent :Il existe:* Un corps local L extension continue transcendante de K dont le corps rsiduel l est

extension transcendante pure monogne de k.* Une uniformisante Y de la valuation de L, qui n'est pas dans K, et qui permet

d'identifier L l(( Y)) et l k(Log Y) (o Log Y dsigne le logarithme formel de Y).* Un prolongement continu de la k-drivation 8 L, vrifiant S(Log Y) = ( Y)/ Y.Alors on peut construire un plongement d'anneaux de K[[X, fi]] dans

/((y-i/(K^)+i)))rr^ flr,]]i qui transforme X en X et 8 en Dy.,. Ce plongement estobtenu comme compos du plongement naturel de K[[X, fi]] dans L[[X, fi]] laissant Xfixe et de Visomorphisme d'anneaux de l((Y))[[X, fi]] sur /((y-'/(K^)+ D))[[X, Z)y.,]]qui induit l'identit sur l et qui transforme X en X, Y en y^'AK^+i) et g en )Y_U

La dmonstration, assez longue, se subdivise en plusieurs parties. Montronsd'abord les assertions (1) et (2) qui correspondent une forme diffrentielle sansrsidu.

Le corps k tant de caractristique nulle, il en est de mme de K et l'hypothsers a>s = 0 implique que la diffrentielle topoplogique u>$ admet une primitiveunique a G K {0} de valuation non nulle (car v(us) = -1). donc: da = ws etv(a) = v(us) + 1. Le corps k tant algbriquement clos, il existe au moins une (etexactement \v(tos) + 1|) uniformisante Y de la valuation de K telle que y("*)+1 = aet v( Y) = 1. On a alors

us = da = dY"^) + x = (p(a8) + l)y**> dY

et donc

i>(4)+ i)y**>-

Dans le cas (1), soit k(( Y '/(,,(w)+ '>)) le corps des sries de Laurent en l'indtermineyi/("("5)+i) pUiSque p(u>s) > -1; il s'agit de l'extension algbrique (galoisienne) dedegr v(us) + 1 de k((Y)). La substitution de Y en y1/("(/

72 ROBERT VIDAL

positif la drivation DY (respectivement DY .) sur le corps local k((Yx/")) admetpour diffrentielle associe wD = dY (respectivement uD _, = dY~x). Il s'agitd'une diffrentielle de valuation n (respectivement de valuation -(n + 1)) quiadmet une primitive donc qui est sans rsidu.

Montrons maintenant l'assertion (3).Si t est une uniformisante quelconque de la valuation de K, on peut crire

us dt , .,-= + to avec v(u) > 0.res )s t

Le corps k tant de caractristique nulle, on a comme dans la dmonstration de (1)os = da avec a G T et v(a) > 1. Si ea dsigne la srie formelle en / obtenue ensubstituant a la variable formelle, Y = tea est une uniformisante de la valuationde K qui vrifie dY = eadt + te"da et donc

dY _ Q3SY rs us '

Par dfinition de w6, il s'ensuit que

fi(y)=-J^-.res us

Si on dfinit formellement Log Y (par e1^8 Y = Y) on peut convenir de noter^Log y y = y et 5 s'crit alors fi = Du>6 y/rs cos. Rciproquement, pour toutx G k (0), xDU) y est une drivation sur k((Y)) dont la diffrentielle associedY/xY est de valuation -1.

Dmonstration de l'assertion (4). Soit / une extension transcendante puremonogne de k et notons par L le corps des sries de Laurent une indtermineet coefficients dans /. C'est un corps local qui peut tre considr naturellementcomme une extension continue transcendante de K. Le corps L peut aussi treobtenu en compltant une extension transcendante pure monogne de K pour lavaluation qui prolonge trivialement celle de K (c'est dire qui s'annule sur unebase pure de l'extension; voir [N.B., Chapitre VI, 10, 1, Proposition 2]).

La valuation de L sera encore note v.Dfinissons une fonction logarithme sur le corps local L. Si t est une uniformi-

sante de la valuation de K, c'est aussi une uniformisante de la valuation de L, ettout lment a G L {0} admet la reprsentation a = yt*a)(l + e) o y G / {0}, e G Lctp(e) > 1.

Notons Log(l + e) la srie formelle classique obtenue par substitution de e lavariable formelle, c'est dire 2,-> i( 1)'- *e'/' et sit v une Dase pure de L sur K;on a alors

Lemme 3. La fonction Log: L {0} > L qui a G L {0} associe v(a)v +Log(l + e) G L est une fonction continue pour la topologie de la valuation. Cettefonction vrifie les proprits suivantes:

Va, tEL {0}, Log(oT) = Log a + Log t, Log t = v,Vy G / - {0}, Logy = 0.

Cette fonction sera appele fonction logarithme sur le corps local L.License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use


Preuve. Les proprits de la fonction Log sont immdiatement vrifies;montrons la continuit au point a G L {0}.

Vt G L tel que v(t) > p(a) + 1, on a

Log(a + t) - Log a = Logil + -) = - M I^7V al a >x t a' x

et en passant aux valuations

v{Log(a + t) Log a) = v(t) v(a)

ce qui achve la dmonstration.Il s'ensuit que si t est une uniformisante de la valuation de K, le corps rsiduel /

admet une reprsentation sous la forme k(Log t) et le corps local L une reprsenta-tion sous la forme k(Log ()((())

D'aprs un rsultat gnral, sur le prolongement des drivations aux extensionstranscendantes, on sait que toute /c-drivation continue de K se prolonge defaon unique en une /c-drivation continue de L en posant 5(Log t) 8(t)/t; enparticulier D, se prolonge L en posant 7),(Log ) = 1/r. De faon prcise, si = ^i>-xyt G L oyi e 'alors

i-lS(a)= S (fi(y,)i'+y,S(V)) = 2 (W*) + iy,)t'-8(t).i>-oo L i>-oo

Il s'ensuit, par dualit, une extension du 7v-espace vectoriel des /c-diffrentiellestoplogiques de K selon le L-espace vectoriel des /c-diffrentielles topologiques deL: Slk(K) 1. Alors Log u est transcendant surk((u)). Le corps rsiduel l est isomorphe (Log u) et le corps local L est isomorpheau corps local A;(Log u)((u)).

Preuve. De u = xt(l + e), on dduitLog u = Log / + Log(l + e) d'o

A(Log u) = - + -fT7- =-^nr^-.Or D,u = x(l + e + tD,(l + e)) donc

D,u D.uD^ = (TT)=^--

Mais on sait que D,(Log u) = Du(Log u)Dtu d'o Du(Log u) = \/u.License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use

7-1 ROBERT VIDAL

k tant algbriquement clos, si Log u tait algbrique sur k((u)), d'aprs lethorme de Puiseux, il existerait un entier n > 0 tel que Log u G k((ux/")); ce quis'crirait

Log = 2 x^u'l" ox, G k,i > -oo

d'o

Du(hogu)= 2 {*i"m~,-~:>O-oo " "

ce qui est contradictoire.Il s'ensuit que le plus petit sous corps de L engendr par k((u)) et Log u est

l'extension transcendante pure monogne k((u))(Log u). Son complt pour latopologie de la valuation de L est le corps local k(Log u)((u)), voir [N. B., ChapitreVI]; qui est un sous corps ferm de L. Montrons que Zc(Log )(()) est dense dansL ce qui achvera de prouver qu'il concide avec L.

Puisque m est une uniformisante de la valuation de L, on peut reprsenter lecorps local L sous la forme /c(Log /)((")); et il suffit de montrer que Log t est limited'une suite d'lments de k(Log u)((u)) pour la topologie de la valuation de L.Ecrivons / en fonction de u

t = x~xu(l + -ri) ox~x G k - {0} et tj G (Log t)((u)) avec v(r\) > 1.

d'o Log / = Log u + Log(l + tj).Log(l + tj) est une srie formelle en u que l'on peut crire

Log(l + tj) = 2 yu' o y, G k (Log r)>i

et donc Log / = Log u = S^y,-'.Etablissons un lemme prliminaire.

Lemme 4. Pour tout entier i > 0, on a l'quivalence(i) 3a, G /c(Log u)((u)) tel que c(Log t - a,) > /'.(ii) Vy G (Log i), 3t, G (Log u)((u)) tel que v(y - t,) > /.

Preuve. Il est bien clair qu'il suffit d'tablir que (i) => (ii). L'hypothsep(Log t a,) > i implique p(a) = 0, c'est dire a, G k(Log u)[[u]]. Si y est unlment de Zc(Log /), convenons de notery(a) sa valeur dans /c(Log )((")) obtenueen substituant a, Log /.

Si a est un polynme de k[Log t], alors il est facile de voir que

a - a(a) = (Log t - a)9 avec 9 G Zc(Log *)[["]]

et donc v(a a(a)) > p(Log t a,) > i.Comme prcdemment v(a) = 0 implique v(a(a)) = 0 et en particulier a(a) est

diffrent de zro.Si y = a/b est un lment de k(Log t), alors en posant t, = y(a) on a

a a(a,) (a - a(a,))>(a,.) - a(a,)(> - (a,)),-T,=,-,(a,.) =____ =-__-.



Passons aux valuations et utilisons l'ingalit ultramtrique

(y - t,) > Min{,(\{a - a(ai)))j, ^-^~(b ~ H*,)))

ora(at)il)- = 0bb(a)

d'o v(y t,) > i, ce qui achve la preuve du lemme. Afin de terminer ladmonstration de la proposition, nous montrons, par rcurrence sur l'entier y, quel'on peut approximer Log i par une suite (aj>x vrifiant r(Log / a >j oOj E (Log u)((u)).

Si j = 1, la formule Log / = Log u + 1,i>xyu' montre que l'on peut prendrea, = Log u.

Supposons que pour tout i une diffrentielle topologiquevrifiant v(u>) = v(us) < -1 et rs w = 0. Le corps k tant de caractristique nulle,il existe a G K {0} tel que da = co et v(a) = v(cos) + 1 < 0. La diffrentielle usqui ne s'intgre pas dans K, admet une primitive a dans L, reprsent sous la forme(Log t)((t)), en posant: a = (rs ws)Log / + a. On a da = us et v(a) = v(a) =v(ug) + 1 < 0.

Le corps k tant algbriquement clos, il est facile de voir qu'il existe uneuniformisante Y de la valuation de L, telle que y(*)+1 = a. Y est du typey = xt(l + e) o x G k - {0} et e G L avec p(e) > l. Y n'appartient pas K, cara n'appartient pas K (on peut aussi voir directement que e n'appartient pas K).

De faon analogue aux dmonstrations des prcdentes assertions, on a

w8 = do = dY"^)+x = (v(ws) + l)Y"M dY

avec dY E tik(K) K L et en utilisant notre remarque sur le prolongement desdrivations et des diffrentielles topologiques

18(Y) =(v(Ug) + l)Y-^


76 ROBERT VIDAL

La Proposition 3 que nous venons d'tablir nous permet d'identifier L (Log Y)((Y)) note l((Y)). Le corps des sries de Laurent /((y-'A^)+i))) est uneextension galoisienne de degr -(v(u>s) + 1) de l((Y)) et la substitution de Y eny-i/(()+i) dfinit un isomorphisme de corps values entre l((Y)) et/(( y-1 A"+ '>)). La drivation fi devient par cet isomorphisme l'application DY-.

Remarquons que la substitution de Y en y-'AK^+i) ne change pas / car(Log Y) = (Log(y-'A"^)+i))).

La rciproque est immdiate; si n est un entier positif, la drivation DY \ sur lecorps local (Log Y)((Yx/n)), qui est suppose tre le prolongement d'une -drivation continue de K avec Y K, admet pour diffrentielle associe uD _, =dY x (on suppose donc que uD _, G tik(K)). Il s'agit d'une diffrentielle de valua-tion -(n + 1) dont la primitive Y~x n'appartient pas AT; il s'ensuit que cettediffrentielle possde un rsidu diffrent de zro.

4. Application un cas de valuation dense: corps de Puiseux. Si K est un corpslocal, corps rsiduel k de caractristique nulle et algbriquement clos, sa clturealgbrique K dfinie un isomorphisme prs est appele corps de Puiseux du corpsK. On sait, voir [J.P.S3], que pour chaque choix d'une uniformisante Y de lavaluation de K, on a la reprsentation K = U1>0 k((Yx/')). On introduit ainsi,pour chaque entier i positif le corps local K = k((Yx/')), dfini un isomorphismeprs (et qui donc ne dpend pas de Y), extension galoisienne de degr i de K; et ona K = U />0 K. On considre K comme un corps de valuation dense, muni de lavaluation v, qui prolonge celle des diffrents K et on se propose d'tendre l'anneau K[[X, 8]], o 5 est une -drivation continue de K, le rsultat obtenu dansle paragraphe prcdent.

Donnons d'abord quelques prcisions sur les -drivations continues et sur les-diffrentielles topologiques de K. On sait par un rsultat gnral sur le prolonge-ment des drivations dans les extensions algbriques separables, que tout lmentd'un Deik(K) se prolonge de faon unique en un lment de Der^(AT). On sepropose d'tablir ici la rciproque, savoir que l'on atteint par ce procd tous leslment de Derk(K).

Lemme 5. Toute drivation continue 8 de K est le prolongement unique K d'unedrivation continue d'un Kn pour n entier convenable.

Preuve. Si fi G Derk(K), il existe un entier n tel que 8(Y) G Kn; comme estune drivation

8(Yx/n) = - Yx/"~l8(Y) = -y(1-">/nfi(y)n n

et donc 8(Yx/n) G Kn; il s'ensuit que la restriction de fi Kn appartient Der^TQet fi en est l'unique prolongement dans Der^AT).

A chaque corps local K, on associe le 7


inductive des tensoriss

Qk(K) = Lim(fi,(7) = n 1 + vn(a) d'o v(w)/n + l/n = v(oi) + 1. Ceci permet de dfinir lersidu de to G Qk(K), not rs u, comme le coefficient de Y~x dans le dveloppe-ment de a selon les puissances rationnelles de Y, car si on note rs w le rsidu de

7 ROBERT VIDAL

Les assertions (3) and (4) sont quivalentes:(3) v(wg) < -1 et rs toa = 0.(4) Il existe une uniformisante Y de la valuation de K telle que, si on identifie K

U1>0 ((y1/!))> H existe un isomorphisme d'anneaux de K[[X, fi]] sur K[[X, DY->]]qui induit l'identit sur k et qui transforme X en X, Y en y'AK^+i) et g en p^, adrive par rapport Y'x.

La preuve utilise le Thorme 2 prcdent; elle est laisse au lecteur.

5. Anneaux sans corps de Cohen en gale caractristique. Nous nous proposons dedonner ici l'ide d'une mthode assez gnrale de construction, en gale caractris-tique (nulle et premire), d'anneaux sans corps de Cohen.

Soient K un corps, non ncessairement commutatif, et 5 une drivation de K.Associons le corps local, en gnral non commutatif, K((X, 8)), corps des fractionsde l'anneau de Cohen drivation K[[X, 8]]. Ce corps est constitu des sries deLaurent en la variable X, et le produit est obtenu partir de la loi Va G K,Xa aX = X8(a)X.

Remarquons que la drivation fi de K se prolonge K((X, 8)) selon unedrivation intrieure (induite par X~x).

Ce procd permet, en algbre non commutative, d'associer un corps munid'une drivation, une extension transcendante de ce corps selon un corps local, engnral non commutatif. Rptons ce procd. A partir d'un corps K0 muni d'unedrivation d0, on construit une suite d'extensions transcendantes de corps locaux

K0CKXE K2C E Kn E Kn+X C . condition de se donner chaque fois une drivation d sur le corps K. On a pourtout entier n > 0, Kn+X = Kn((Xn, dn)). Le corps 7Cn+1 peut aussi tre considrcomme un corps (diffrentiel) de sries de Laurent en variables non commutatives, coefficients dans K0, dans lequel le produit se calcule grace aux drivations d^dx, . . . , dn; ce que l'on notera Kn+X = K0((X0, Xx, . . . , Xn; d0, dx, . . ., dn)).

Les anneaux de valuation discrte complets contenus dans Kn + l et admettantKn + X pour corps des fractions correspondent bijectivement certaines valuations"bien faites" de ce corps. Moyennant certaines hypothses sur K0, et surd0, dx, . . ., dn, on peut ainsi construire, en gale caractristique, des anneaux sanscorps de Cohen. Donnons deux exemples.

(i) Anneau sans corps de Cohen, avec uniformisante centrale et corps rsiduelcommutatif. Prendre K0 = k corps commutatif; d0 = dx = 0 et d2 drivation deK2 = k((X0, Xx)) vrifiant d2(X0) = Xx, d2(Xx) = 0. Dans le corps 7C3 =((A0, Xx, X2; 0, 0, d2)) considrons la valuation vx qui est la fonction d'ordreattache Xx et notons A, l'anneau de cette valuation. Cet anneau est noncommutatif car X2X0 XX2 = XXX2, avec uniformisante centrale A,, et soncorps rsiduel est isomorphe au corps commutatif ((x0, x) (o x0 et x2 sont lesclasses de X0 et X2 modulo Xx). A, n'admet pas de corps de Cohen.

(ii) Anneau sans corps de Cohen, sans uniformisante centrale et corps rsiduelcommutatif. Nous nous contentons d'indiquer la mthode; les vrifications, mmenon videntes, sont laisses au lecteur. Prendre K0 = k corps commutatif; dQ = 0,


ANNEAUX DE VALUATION 7!)

dx = DXo (drive par rapport A0) et d2 drivation de K2 = k((X0))((Xx, DXJ)vrifiant d2(XQ) = Xx, d2(Xx) = 0.

Dans le corps K3 = k((X0, Xx, X2, 0, Dx , d2)) considrons la valuation vx qui estla fonction d'ordre attache Xx et A, l'anneau de cette valuation. Cet anneau estnon commutatif XXX0 X0Xl = X2 et X2XQ XqX2 = XXX2, sans uniformisantecentrale, et son corps rsiduel est isomorphe, comme prcdemment, au corpscommutatif ((x0, x). On peut montrer que A, ne possde pas de corps de Cohen.

Appendice. Problmes ouverts. 1. On peut gnraliser l'tude faite ici enremplaant dans la dfinition d'un anneau de valuation discrte complet lecentralisateur de 91t/91t2 not ZA(91t/91t2) par

ZAT(91t/91t2) = {x G (91t/9lt2)A(A)x = x\, VA G A}

o t est un automorphisme de A.Si K est un corps, t un automorphisme de K, 8 une drivation de K, le "skew

power series ring" K[[X, t, fi]] dans lequel le produit est dfini par Va G K,Xa = t(o)X + X8(a)X soit encore

Va G AT, Xa = t(o)X + i-(S(a))A2

+ r(fi2(a))A3 + +T(fi'-l(a))A' +

est un exemple qui illustre la situation nouvelle. Voir [P.M.C. 1,2].2. En ce qui concerne les anneaux de valuation discrte complets qui ne sont pas

des anneaux de Cohen, le problme reste entirement ouvert en ingale caractris-tique. L'analogue commutatif est constitu par l'tude des anneaux de vecteurs deWitt.

3. Dans le 3, K dsigne un corps local corps rsiduel k de caractristique nulleet algbriquement clos et une -drivation continue de K. La classification duThorme 2 donne l'chantillonnage des anneaux de Cohen drivation que l'onpeut construire sur l'espace ultramtrique complet des sries formelles 7f"[[A]]. Ceproblme compltement lucid en caractristique nulle, reste pos en caractris-tique premire. La difficult provient de la perte du moyen "transcendant" qu'est lecalcul de la primitive d'une forme diffrentielle.

Toutefois les diffrentes structures dveloppes dans le Thorme 2 peuvent sedduire les unes des autres par des isomorphismes d'anneaux; comme le montre laproposition suivante:

Proposition 4. Soient K un corps local corps rsiduel k de caractristique nulleet algbriquement clos et 8 une k-drivation continue de K. Pour chaque uniformisantet de la valuation de K, l'anneau de Cohen drivation K[[X, 8]] est isomorphe l'anneau K[[Z, D,]] o Z est une indtermine et D, dsigne la drive par rapport t.

Preuve. Identifions K au corps ((0). des sries de Laurent; le Lemme 2 du 3nous permet d'crire

Va G K 8(a) = 8(t)D,a.


80 ROBERT VIDAL

On construit un homomorphisme d'anneau de K[[X, S]] vers K[[Z, >,]] en sub-stituant dans toute srie formelle du premier anneau Z/8(t) la variable formelleX. On obtient ainsi une srie formelle en Z que l'on calcule avec la rgle du produitdu deuxime anneau

Va G K Xa- aX = X8(a)X = X8(t)D,aX

substituons, il vient1 1 1

Za aZ = -T-T-T- ZD.aZ8(t) 8(t) 8(t) '

d'o Za aZ = ZDtaZ.Il est clair que cet homomorphisme est un isomorphisme d'anneau; son inverse

est obtenu partir de la substitution Z = 8(t)X.4. Aucun travail n'a t encore entrepris sur les anneaux de Cohen "hautes

drivations" du 2. Pour l'anneau K[[X, s]] il s'agit du cas o l'automorphisme s estle plus gnral possible s = "2n>0 8nX" et les fi ne sont plus engendres par unedrivation fi, mais simplement lies par des quations traduisant que s est multi-plicatif. Lorsque K est un corps local corps rsiduel k de caractristique nulle etalgbriquement clos et les 5 des hautes drivations -linaires et continues pour latopologie de K, certains anneaux K[[X, s]] sont isomorphes un anneau driva-tion K[[Z, DY]\, et d'autres pas. L'isomorphisme, lorsqu'il existe, est obtenu parconstruction d'une bonne uniformisante Z de la valuation de faon analogue celle de la Proposition 4. Il serait intressant d'entreprendre une tude fine danscette direction. Donnons deux exemples. ^

(i) L'anneau (( y))[[A]] muni du produit dfini par

XY - YX = X2 + X4 + +X2i + est isomorphe un anneau drivation. En effet XY YX X(XY YX)X =X2 ce qui s'crit Ay(l + X2) - (1 + X2)YX = X2 et en multipliant des deuxcts par la srie entire 1/(1 -t- X2), on obtient

YY - Y-

1 + X2 1 1 + X2

La bonne uniformisante est Z = X/(l + X2).(ii) L'anneau (( Y))[[X]] muni du produit dfini par XY - YX = X2 + X3 n'est

pas isomorphe un anneau drivation.La dmonstration procde par l'absurde. S'il existe une uniformisante Z telle que

ZY YZ = Z2 alors on peut crire X = uZ o u est une srie formelle inversible;d'o

uZY - YuZ = (1 + uZ)uZuZ.

Dans l'anneau k((Y))[[Z, DY]] il est facile d'tablir

uY- Yu = ^=Z2, Zu-uZ=Z^-ZdZ dY



o du/dZ (respectivement du/dY) dsigne la drive premire formelle de u parrapport Z (respectivement Y) d'o

u(ZY - YZ) + -^Z3 = (1 + uZ)(u2 + uZ^\z2

ce qui s'crit, aprs simplification par Z2

.+*-o+ .*)(. *).Posons u = *2,n>oanZn o an G k((Y)). L'quation prcdente donne pour lestermes de valuation nulle en Z a0 = al d'o a0 = 1 (car a0 t^ 0) et pour les termesde valuation un en Z 2a, = 2a, + 1, ce qui est impossible!

Bibliographie

[M.A.] M. Artin, On azumaya algebras and finite dimensional representations of rings, J. Algebra 11(1969).

[N.B.] N. Bourbaki, Algbre commutative, Hermann, Paris, 1964.[P.M.C.1] P. M. Cohn, Free rings and their relations, Academic Press, New York, 1971.[P.M.C.2]_, Skewfield constructions, Cambridge Univ. Press, London, 1977.[A.G.] A. Grothendieck, Elments de gomtrie algbrique. IV, Inst. Hautes Etudes Sei. Publ. Math. 20

(1964).[J.P.L.] J. P. Lafon, Algbre commutative, Hermann, Paris, 1977.[P.S.-O.Z.] P. Samuel et O. Zariski, Commutative algebra. Vols. I, II, Van Nostrand, New York, 1958.[J.P.S.1] J. P. Serre, Groupes algbriques et corps de classes, Hermann, Paris, 1959.[J.P.S.2]_, Sur les corps locaux corps rsiduel algbriquement clos, Bull. Soc. Math. France 89

(1961).[J.P.S.3]_, Corps locaux, Hermann, Paris, 1962.[R.V.1] R. Vidal, Anneau principal non ncessairement commutatif, C. R. Acad. Sei. Paris Sr. A-B 282

(1976).[R.V.2] _, Anneaux principaux, non ncessairement commutatifs, separes et complets pour la

topologie de Krull, C. R. Acad. Sei Sr. A-B 283 (1976).[R.V3]_, Anneaux de valuation discrte, complets, non ncessairement commutatifs, C. R. Acad.

Sei. Paris Sr. A-B 283 (1976).[R.V.4] _, Reprsentation d'anneaux principaux, non ncessairement commutatifs, spares et

complets pour la topologie de Krull, Colloq. d'algbre commutative de l'Univ. Rennes (1976), U. E. R.Mathmatiques et Informatique, Rennes, 1976.

[R.V.5] _, Contre exemple, non commutatif, dans la thorie des anneaux de Cohen, C. R. Acad.Sei. Paris Sr. A-B 284 (1977).

[R.V.6] _, Un exemple d'anneau de valuation discrte complet, non commutatif qui n'est pas unanneau de Cohen, C. R. Acad. Sei. Paris. Sr. A-B 284 (1977).

[R.V.7] _, Anneaux de Cohen, non commutatifs, sur un corps local, C. R. Acad. Sei. Paris Sr.A-B 288 (1979).

Universit de Clermont II, U.E.R. Sciences, Mathmatiques Pures, 63170-Aubiere, France

Current address: Flat, 63500 Issoire, France


Documents

ANNEAUX DE VALUATION DISCRETE COMPLETS … · taines constructions sur les anneaux d'opérateurs différentiels et les anneaux de séries formelles tordues à coefficients dans un