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ANGOLITEORIA
PROBLEMI RISOLTI O
SOLTANTO PROPOSTI
O
A
B
ANGOLO. E' la parte di piano compresa fra due semirette che hanno l'origine comune. L'origine si chiama vertice .
ELEMENTI DI UN ANGOLO:
0º < < 180º 0º < < 180º
0º < < 90º0º < < 90º
CLASSIFICAZIONE SECONDO L'AMPIEZZA
a) ANGOLO CONVESSO
a.1) ANGOLO ACUTO
= 90º = 90º
90º < < 180º 90º < < 180º
a.2) ANGOLO RETTO
a.3) ANGOLO OTTUSO
= 90º = 90º
+ = 180º + = 180º
CLASSIFICAZIONE SECONDO LA SOMMA
a) ANGOLI COMPLEMENTARI
b) ANGOLI SUPPLEMENTARI
c) ANGOLI ESPLEMETARI
La somma dei due angoli è
360°
CLASSIFICAZIONE SECONDO LA SOMMA
CLASSIFICAZIONE SECONDO LA POSIZIONE
a) ANGOLI CONSECUTIVI b) ANGOLI CONSECUTIVI
ANGOLI OPPOSTI AL VERTICE
Sono congruenti
Possono formare più angoliUn lato comune
01. Angoli alterni interni: m 3 = m 5; m 4 = m 6
02. Angoli alterni esterni: m 1 = m 7; m 2 = m 8
03. Angoli coniugati interni: m 3+m 6=m 4+m 5=180°
04. Angoli coniugati esterni: m 1+m 8=m 2+m 7=180°
05. Ángoli corrispondenti: m 1 = m 5; m 4 = m 8 m 2 = m 6; m 3 = m 7
ANGOLI GENERATI DA RETTE PARALLELE CON UNA RETTA SECANTE
1 2
34
5 6
78
+ + = x + y + + = x + y
x
y
01.-Angoli che si formano con una línea spezzata fra due rette parallele.
PROPIETA' DEGLI ANGOLI
+ + + + = 180° + + + + = 180°
02.- ANGOLI FRA DUE RETTE PARALLELE
+ = 180° + = 180°
03.- ANGOLI AVENTI, OGNUNO, I LATI PERPENDICOLARI A QUELLI DELL'ALTRO
Il complementare della differenza tra il supplementaree il complementare di un angolo "X" è uguale aldue volte il complementare dell'angolo "X". Calcolare ilmisura dell'angolo "X".
90 - { ( ) - ( ) } = ( )180° - X 90° - X 90° - X2
90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X
90° - 90° = 180° - 2X
2X = 180° X = 90°X = 90°
RISOLUZIONE
Problema Nº 01
Secondo l'enunciato dovrebbe essere:
Il suo sviluppo dà:
Che si riduce a:
La somma delle misure di due angoli è 80 ° e il complementare del primo angolo è il doppio del secondo angolo. Calcolare la differenza delle misure degli angoli.
Gli angoli siano: e + = 80° Dato che: = 80° - ( 1 )
( 90° - ) = 2 ( 2 )
Sotitundo la(1) con la (2):
( 90° - ) = 2 ( 80° - )
90° - = 160° -2
= 10°
= 70°
- = 70°-10°
= 60°
Problema Nº 02
RISOLUZIONE
Dato che:
Diferenza fra le misure
Risolvebdu
La suma de sus complementos de dos ángulos es 130° y la diferencia de sus suplementos de los mismos ángulos es 10°.Calcule la medida dichos ángulos.
Sean los ángulos: y
( 90° - ) ( 90° - ) = 130°+ + = 50° ( 1 )
( 180° - ) ( 180° - ) = 10°- - = 10° ( 2 )
Resolviendo: (1) y (2)
+ = 50° - = 10°
(+)
2 = 60°
= 30°
= 20°
Problema Nº 03
RESOLUCIÓN
Del enunciado:
Del enunciado:
Dati due angoli consecutivi AOB e BOC (AOB<BOC), disegna la bisettrice OM dell' angolo AOC. Se gli angoli BOC e BOM misurano 60° e 20° rispettivamente qual'è la misura dell'angolo AOB?
A B
O C
M
60°
20°X
Dalla figura:
= 60° - 20°
Allora:
X = 40° - 20°
= 40°
X = 20°X = 20°
Problema Nº 04
RISOLUZIONE
La differenza delle misure di due angoli consecutivi AOB e BOC è di 30 °. Calcola la misura dell'angolo formato dalla bisettrice dell'angolo AOC e dal lato OB.
A
O
B
C
X
(- X)
( + X) ( - X) = 30º
2X=30º
X = 15°X = 15°
Problema Nº 05
RISOLUZIONE
M
Esecuzione del disegno secondo l'enunciato del problema
Dall'enunciato:
AOB - OBC = 30°
-
Successivamente AOB si sostituisce cosìcome si vede nel disegno
Dati gli angoli consecutivi AOB, BOC e COD tali che gli angoliAOC e BOD misurino ognuno 90°. Calcula la misura dell'angolo formato dalle bisettrici degli angoli AOB e COD.
A
C
BM
X
Dal disegno:
2 + = 90° + 2 = 90°
( + )
2 + 2 + 2 = 180° + + = 90°
X = + + X = + +
X = 90°X = 90°
Problema Nº 06
RISOLUZIONEEsecuzione del disegno secondo l'enunciato
Se m // n . Calcola la misura dell'angolo “X”
80°
30°
X
m
n
Problema Nº 07
2 + 2 = 80° + 30°
Per la propietà
Propietà del quadrilatero concavo
+ = 55° (1)
80° = + + X (2)
Inserendo la (1) nella (2)
80° = 55° + X
X = 25°X = 25°
80°
30°
X
m
n
RISOLUZIONE
Se m // n . Calcula la misura dell'angolo “X”
5
4 65°
X
m
n
Problema Nº 08
5
4 65°
X
m
n
Per la proprietà:
4 + 5 = 90°
= 10° = 10°
Angolo esterno del triangolo
40° 65°
X = 40° + 65°
X = 105°X = 105°
RISOLUZIONE
Se m // n . Calcola la misura dell'angolo ”X”
2
x
m
n
2
Problema Nº 09
3 + 3 = 180°
+ = 60° + = 60°
Angoli formati da una línea spezzata fra due rette parallele
X = + X = 60° X = 60°
RISOLUZIONE
2
x
m
n
2
x
Angoli coniugati interni
PROBLEMA 01.- Se L1 // L2 . Calcola la misura
dell'angolo x
A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50°
x
4x
3x L1
L2
m
n
30°
X
PROBLEMA 02.- Se m // n . Calcola x
A) 18° B) 20° C) 30° D) 36° E) 48°
PROBLEMA 03.- Se m // n . Calcola
A) 15° B) 22° C) 27° D) 38° E) 45°
3
33
m
n
PROBLEMA 04.- Se m // n . Calcula il valore di “x”
A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°
40°
95°
2x
m
n
PROBLEMA 05.- Calcola la misura di x
A) 99° B) 100° C) 105° D) 110° E) 120°
3
6
x
4
4
Xm
n
PROBLEMA 06.- Se m // n . Calcula la misura di x
A) 22° B) 28° C) 30° D) 36° E) 60°
A) 24° B) 25° C) 32° D) 35° E) 45°
PROBLEMA 07.- Se m // n. Calcola la misura di x
88°
24°
x
m
n
PROBLEMA 08.- Se m // n . Calcula la misura di x
20°
30°
X
m
n
A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 30°
PROBLEMA 09.-Si m//n y - = 80°. Calcule la mx
A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80°
x
m
n
PROBLEMA 10.- Se m // n . Calcola la misura di x
A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60°
x
x
x
m
n
PROBLEMA 11.- Se m // n . Calcola la misura di
A) 46° B) 48° C) 50° D) 55° E) 60°
180°-2
2m
n
PROBLEMA 12.- Se m // n . Calcola la misura di x
A) 30° B) 36° C) 40° D) 45° E) 50°
x
80°
m
n
PROBLEMA 13.- Se m // n . Calcola la misura di x
A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70°
80°
m
n
x
RISULTATI DEI PROBLEMI PROPOSTI
1. 20º 8. 50º
2. 30º 9. 80º
3. 45º 10. 30º
4. 10º 11. 60º
5. 120º 12. 40º
6. 36º 13. 50º
7. 32º