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Angoli e loro misure
Angolo giro 360o 2 270o 3/2 piatto 180o retto 90o /2 60o /3 45o /4 30o /6
s
R
R
s (rad)α
Unità di misura: • gradi, minuti, secondi 1o=60' 1'=60'' Es: 35o41'12'' • radianti
Angolo giro = 360o = 2R/R = 2 rad
R=1 arco rad
RπR
24
2
se R=1 2
Es.: angolo retto Arco:
rad
Angoli e loro misure
Conversione da gradi a radianti
α°:360° = αrad: 2π
Quindi:
o
o
rad
o
rad
o
180
180
Conversione gradi radianti
1 rad : x gradi = 2 : 360o 2360o
28o rad? 2 : 360o = x : 28o
oo
x
28360
2
0,49 20,078 2360
28
o
o
x
xo
o 360
228
Angoli e loro misure
Determiniamo
a) La misura in gradi dell’angolo che misura π/3 rad
b) La misura in radianti dell’angolo che misura 135°
L’ampiezza di un angolo è 75,347°, esprimila in gradi, primi e secondi e in radianti.
Angoli e loro misure
Come usare la calcolatrice:
la lettera D (degree) sta per gradi
la lettera R (radiant) sta per radianti
Le funzioni goniometriche
O 1
1
-1
-1
cos
cos sen
0o 1 0
30o = /6 1/2
45o = /4
60o = /3 1/2
90o = /2 0 1
180o = -1 0
270o = 3/2 0 -1
2/3
2/2 2/2
2/3
sen2+cos2=1
1 θ cos , θ sen 1-
y
x
Le funzioni goniometriche
θ tgθ cos
θsen
Le funzioni goniometriche
Calcoliamo con la calcolatrice e rappresentiamo gli angoli sulla circonferenza goniometrica
)78,2tan(
)3,2cos(
5
3sin
)9,63tan(
)34,15cos(
)6,25sin(
Proprietà
Zkk
Zkk
Zkk
con tan)tan(
con cos)2cos(
con sin)2sin(
1sincos 22
Grafici delle funzioni goniometriche
La funzione seno
Grafici delle funzioni goniometriche
La funzione coseno
Grafici delle funzioni goniometriche
La funzione tangente
Triangoli
a
b
c
Triangolo rettangolo Teorema di Pitagora
222 cba
22 cba 22 bac
Triangolo rettangolo isoscele
d
l
l ld 2
22 2 ld
45o
Triangolo equilatero
60o
60o
60o
l l h
ll
lh2
3
4
22
l/2 l/2
I teoremi sui triangoli rettangoli
In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell’ipotenusa moltiplicata per il seno dell’angolo opposto al cateto, o moltiplicata per il coseno dell’angolo acuto adiacente
A B
C
AC = CB·sen
AB = CB·cos
AC2+AB2=CB2(sen2+cos2)=CB2
I teoremi sui triangoli rettangoli
In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell’altro cateto moltiplicata per la tangente dell’angolo opposto al primo cateto
A B
AC = CB·sen
AB = CB·cos
tg
cosCB
sen CB
AB
AC
AC = AB·tg
AC2+AB2=CB2(sen2+cos2)=CB2
Esercizi
Determina la lunghezza dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo, in cui un angolo acuto è 25°, sapendo che il perimetro del rettangolo è 25 cm.
Nel triangolo rettangolo ABC l’ipotenusa BC è lunga 6 cm e
Determina perimetro e area del triangolo.
22)ˆtan( CBA
Grandezze vettoriali
Una grandezza vettoriale, o semplicemente vettore, è una grandezza descritta in modo completo dall’insieme di tre informazioni:
il modulo, o intensità, ossia il valore della misura in relazione all’unità propria della grandezza
la direzione
il verso
A
Esempi
Grandezze scalari
massa
lunghezza
tempo
temperatura
energia
potenza
carica elettrica
Grandezze vettoriali
forza
spostamento
velocità
accelerazione
quantità di moto
momento angolare
campo elettrico
Moltiplicazione di un vettore per uno scalare
Il prodotto di un numero k per un vettore è un vettore che ha:
o il modulo uguale al prodotto di A per il valore assoluto di k
o la stessa direzione del vettore
o il verso di se k è positivo e verso opposto se k è negativo
AkB
A
A
A
Addizione e differenza di vettori
La somma di due vettori è il vettore che corrisponde all’azione complessiva di essi
Due metodi
metodo punta-coda
metodo del parallelogramma
Il vettore differenza di due vettori è la somma del primo con l’opposto del secondo
Somma di vettori
Metodo grafico
(regola del parallelogramma)
a
b
Es: spostamento da A a C passando per B
A
B
C
AB + BC = AB + AD = AC
D
a + b = c
Differenza tra vettori
Metodo grafico
(regola del parallelogramma) a – b = c
a
c
c
b
b + c = a
a
c
b
-b
a – b = a + ( -b ) = c
Componenti di un vettore
x
vx = |v| cos
vy = |v| sen vx
2 + vy2 =
= v2 cos2 + v2 sen2 = = v2 (cos2+sen2) = v2
2
y
2
x v v v v
v
y
vy
vx
Nel piano cartesiano bidimensionale (x,y) un vettore può essere scomposto nelle sue due componenti ortogonali vx e vy
Somma e differenza
v1
v2
o
y
v1x
v1y
v2x
v2y
v3
v3x
v3y
v3 = v1 + v2
v3x = v1x + v2x v3y = v1y + v2y
23y
23x33 vv v v
3x
3y
v
v α tg
Somma di vettori
Differenza di vettori v3 = v1 - v2
v3x = v1x - v2x v3y = v1y - v2y
Il prodotto scalare
vettoridue dai formato angolol' è dove
,cos numero il è e vettoridue di scalare prodotto Il
θ
θABBA
Proprietà
commutativa
distributiva rispetto all’addizione
ABBA
CBCACBA
)(
Il prodotto scalare
b
a
b'
a•b = |a||b|cos
b' = |b|cos :
componente di b lungo a
= 0o a b = ab cos f=ab
b
a
= 90°
a b = ab cos =0
b
a
= 180° a b = ab cos =– ab
a
b
Es.:
Esempio
Il lavoro è una grandezza scalare ottenuta a partire da due vettori: una forza e uno spostamento
cosFssFL
Prodotto vettoriale
B
A
BA
θθABC
BACBA
o
di versonel dita
altre le e di versonel posto è pollice il se destra mano della palmo
dal uscente versoil cioé destra, mano della regola dalla dato verso
e vettorii contiene che piano al icolareperperpend direzione
vettoridue dai formato angolol' è180 dove ,sin modulo
:ha che vettoreil è e vettoridue di e vettorialprodotto Il
Prodotto vettoriale
a
b
c
b"
c = a b
Modulo di c :
|c| = |a||b|sen = |a|b” b’’: componente di b ortogonale ad a
b” Direzione di c: ortogonale ad a e b
Verso di c:
verso di avanzamento di una vite che ruota sovrapponendo a su b
a
b
b''
Regola della mano destra
a
b
a × b
Prima formulazione
Si dispone il pollice lungo il primo vettore
Si dispone l’indice lungo il secondo vettore
Il verso del medio individua il verso del prodotto vettoriale
Seconda formulazione
Si chiude a pugno la mano destra mantenendo sollevato il pollice
Le dita chiuse a pugno devono indicare il verso in cui il primo vettore deve ruotare per sovrapporsi al secondo in modo che l’angolo θ di rotazione sia minore di 180°
Il verso del pollice individua il verso del prodotto vettoriale
a
b
a × b
