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Analysis PVK 2019 1 © Crameri/Grass

Analysis PVK

Fabio Crameri

[email protected]

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Analysis PVK 2019 2 © Crameri/Grass

Vorwort

Dieses Skript dient der Wiederholung des Stoffes von Analysis I/II für D-MAVT/D-MATL. Leider kann

ich weder für die Vollständigkeit noch für die Korrektheit der Inhalte garantieren. Es können sich

kleine Fehler eingeschlichen haben. Ich bin froh um jede Rückmeldung zu Fehlern, so dass ich

diese korrigieren kann. Auch über Verbesserungsvorschläge würde ich mich freuen.

Ich wünsche euch einen guten PVK und viel Erfolg bei der Prüfung!

Sommer 2019

Fabio Crameri [email protected]

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Analysis PVK 2019 3 © Crameri/Grass

Inhaltsverzeichnis

1 Folgen und Reihen ................................................................................................................................. 7

1.1 Folgen ............................................................................................................................................... 7

Definition einer Folge ................................................................................................................ 7

Monotonie .................................................................................................................................. 7

Beschränktheit ........................................................................................................................... 7

Sätze ............................................................................................................................................ 7

1.2 Grenzwerte von Folgen berechnen ........................................................................................... 8

Regeln ......................................................................................................................................... 8

Bei Brüchen: Durch die grösste Potenz des Nenners teilen ............................................... 8

Bei Wurzeln: erweitern .............................................................................................................. 8

1.3 Reihen ............................................................................................................................................... 9

Arithmetische Folge und Reihe .............................................................................................. 9

Geometrische Folge und Reihe ............................................................................................. 9

Weitere nützliche Summen ................................................................................................... 10

2 Vollständige Induktion ........................................................................................................................ 11

2.1 Vorgehen ...................................................................................................................................... 11

2.2 Beispiele ......................................................................................................................................... 11

Beispiel: Summenformel beweisen ..................................................................................... 11

Beispiel: Teilbarkeit ................................................................................................................. 11

Beispiel: Ungleichung ............................................................................................................ 12

3 Grenzwerte von Funktionen ............................................................................................................... 13

3.1 Regeln ............................................................................................................................................ 13

3.2 Regel von Bernoulli-De-L’Hôpital .............................................................................................. 13

3.3 Einige wichtige Grenzwerte ....................................................................................................... 13

3.4 Grenzwerte berechnen .............................................................................................................. 14

Bei Brüchen: Durch die grösste Potenz des Nenners teilen ............................................ 15

Bei sin/cos ................................................................................................................................ 15

Bei Wurzeln: erweitern ........................................................................................................... 15

Bei Brüchen: Ausklammern und kürzen .............................................................................. 15

Fast immer anwendbar: l’Hôpital........................................................................................ 16

Links-Rechts Grenzwerte und Betragsstriche .................................................................... 16

4 Differentialrechnung ............................................................................................................................ 17

4.1 Ableitungsregeln .......................................................................................................................... 17

4.2 Linearisieren .................................................................................................................................. 17

4.3 Fehlerrechnung ............................................................................................................................ 18

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Analysis PVK 2019 4 © Crameri/Grass

5 Parameterdarstellung von Kurven ..................................................................................................... 19

5.1 Einige wichtige Kurven ............................................................................................................... 19

5.2 Steigung, Tangentialvektor, Normalenvektor ........................................................................ 20

5.3 Parametrisierung nach der Bogenlänge ................................................................................ 21

5.4 Krümmung, Krümmungskreis, Evolute ...................................................................................... 23

6 Mehrdimensionale Differentialrechnung .......................................................................................... 24

6.1 Funktionen von mehreren Variablen ....................................................................................... 24

2D .............................................................................................................................................. 24

3D .............................................................................................................................................. 24

Niveaulinien ............................................................................................................................. 24

Niveauflächen ........................................................................................................................ 24

6.2 Partielle Ableitungen................................................................................................................... 24

6.3 Satz von Schwarz & Integrabilitätsbedingung ....................................................................... 25

6.4 Gradient & Richtungsableitung ................................................................................................ 25

6.5 Tangentialebenen ....................................................................................................................... 26

Grundsätzliches zu Ebenen (Hessesche Normalform) .................................................... 26

Tangentialebene .................................................................................................................... 26

1. Methode: Mit der Formel (Linearisieren) ........................................................................ 26

2. Methode: Mit dem Gradienten ...................................................................................... 27

6.6 Extremalstellen bei Funktionen mehrerer Variablen ............................................................. 28

6.7 Fehlerrechnung ............................................................................................................................ 29

7 Integrieren ............................................................................................................................................ 30

7.1 Regeln ............................................................................................................................................ 30

7.2 Einige wichtige Integrale............................................................................................................ 30

7.3 Partielle Integration ..................................................................................................................... 30

7.4 Integration durch Substitution ................................................................................................... 31

7.5 Integration von gebrochenrationalen Funktionen ............................................................... 34

Partialbruchzerlegung ........................................................................................................... 34

7.6 Bestimmte Integrale von 𝑠𝑖𝑛𝑛 und 𝑐𝑜𝑠𝑛 ................................................................................... 38

7.7 Bestimmte Integrale von geraden und ungeraden Funktionen ........................................ 39

7.8 Ableitungen von Integralen ...................................................................................................... 39

7.9 Uneigentliche Integrale .............................................................................................................. 39

8 Mehrdimensionale Integralrechnung ............................................................................................... 41

8.1 Allgemeines .................................................................................................................................. 41

8.2 Integrationsgrenzen finden und Reihenfolge vertauschen ................................................ 41

8.3 Koordinatentransformationen ................................................................................................... 42

9 Anwendungen der Integralrechnung ............................................................................................... 44

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Analysis PVK 2019 5 © Crameri/Grass

9.1 Bogenlänge .................................................................................................................................. 44

9.2 Fläche ............................................................................................................................................ 44

9.3 Volumen ........................................................................................................................................ 46

9.4 Masseschwerpunkt ...................................................................................................................... 47

9.5 Volumenschwerpunkt ................................................................................................................. 48

9.6 Flächenschwerpunkt................................................................................................................... 48

9.7 Massenträgheitsmomente ......................................................................................................... 49

9.8 Flächenträgheitsmomente ........................................................................................................ 49

9.9 Trägheitsmomente eindimensionaler Körper (Stäbe) .......................................................... 49

10 Vektoranalysis ...................................................................................................................................... 50

10.1 Begriffe ........................................................................................................................................... 50

10.2 Übersicht und Identitäten .......................................................................................................... 51

10.3 Fluss ................................................................................................................................................. 51

10.4 Satz von Gauss ............................................................................................................................. 52

10.5 Arbeit .............................................................................................................................................. 52

10.6 Satz von Stokes ............................................................................................................................. 53

10.7 Potentialfelder .............................................................................................................................. 54

10.8 Das Arbeits-Berechnen Flowchart ............................................................................................ 55

11 Komplexe Zahlen ................................................................................................................................. 56

11.1 Allgemeines .................................................................................................................................. 56

Definition .................................................................................................................................. 56

Darstellungsformen ................................................................................................................ 56

Umrechnungen ....................................................................................................................... 56

Konjugiert Komplexe.............................................................................................................. 57

11.2 Rechenarten................................................................................................................................. 57

Addition/Subtraktion ............................................................................................................. 57

Multiplikation ........................................................................................................................... 57

Division ...................................................................................................................................... 58

Potenzieren .............................................................................................................................. 58

Wurzelziehen ........................................................................................................................... 59

11.3 Quadratische Gleichungen ...................................................................................................... 60

11.4 Polynome höherer Ordnung ..................................................................................................... 60

11.5 Zusammenhang zu Sin und Cos ............................................................................................... 61

12 Potenzreihen ......................................................................................................................................... 62

12.1 Allgemeines .................................................................................................................................. 62

12.2 Rechenregeln ............................................................................................................................... 62

12.3 Konvergenz ................................................................................................................................... 62

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Analysis PVK 2019 6 © Crameri/Grass

12.4 Methoden um Koeffizienten zu finden .................................................................................... 63

Taylorreihenentwicklung ....................................................................................................... 63

Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich ................................................................... 64

Aus bekannten Reihen aus Tabelle umformen ................................................................ 65

Verallgemeinerter Binomialkoeffizient ............................................................................... 65

Partialbruchzerlegung ........................................................................................................... 66

Zuerst Integral oder Ableitung entwickeln ........................................................................ 66

12.5 Potenzreihenansatz für Differentialgleichungen ................................................................... 66

12.6 Tabelle ........................................................................................................................................... 67

13 Differentialgleichungen ...................................................................................................................... 68

13.1 Definitionen ................................................................................................................................... 68

13.2 Allgemeine Eigenschaften von DGL ........................................................................................ 68

Lineare DGL ............................................................................................................................. 68

13.3 DGL 1. Ordnung – Homogene Lösung .................................................................................... 69

Separation der Variablen ..................................................................................................... 69

Substitutionen .......................................................................................................................... 70

13.4 DGL 1. Ordnung – Partikuläre Lösung ...................................................................................... 70

𝒚𝒑 mittels Ansatz ..................................................................................................................... 71

Variation der Konstanten ...................................................................................................... 72

13.5 Exakte DGL .................................................................................................................................... 72

13.6 Orthogonaltrajektorien ............................................................................................................... 72

13.7 Enveloppen................................................................................................................................... 73

13.8 DGL höherer Ordnung – Homogene Lösung ......................................................................... 74

DGL mit konstanten Koeffizienten ....................................................................................... 74

Euler-differentialgleichungen............................................................................................... 74

13.9 DGL höherer Ordnung – partikuläre Lösung .......................................................................... 75

𝒚𝒑 mittels Ansatz ..................................................................................................................... 75

Variation der Konstanten 2. Ordnung ................................................................................ 76

14 Systeme von Differentialgleichungen ............................................................................................... 77

14.1 Methode 1: „Entkopplungsmethode“ („Linalg-Methode“) ............................................... 77

Beispiele DGL-Systeme mit Linalg-Methode (Nur wenn A diagonalisierbar) ............. 78

14.2 Methode 2: „Eliminationsmethode“ ........................................................................................ 79

Beispiel DGL-Systeme mit Entkopplungsmethode ............ Error! Bookmark not defined.

14.3 Stabilität und Gleichgewicht..................................................................................................... 81

14.4 Phasenportrait .............................................................................................................................. 81

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Analysis PVK 2019 7 © Crameri/Grass

1 Folgen und Reihen

1.1 Folgen

Definition einer Folge

Eine Folge ist eine Abbildung von den natürlichen Zahlen ℕ auf die reellen Zahlen ℝ .

𝑎𝑛 bezeichnet man als das n-te Glied der Folge.

Eine Folge kann explizit oder rekursiv definiert werden:

Explizit: 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 1 (𝑛 = 1, 2, 3, … )

Die gleiche Folge rekursiv: 𝑎1 = 3; 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 2 oder auch 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 2

Monotonie

Eine Folge heisst monoton wachsend, wenn die Glieder immer grösser werden, oder gleich

bleiben: 𝑎𝑛+1 ≥ 𝑎𝑛

Eine Folge heisst strikt monoton wachsend, wenn die Glieder immer grösser werden: 𝑎𝑛+1 > 𝑎𝑛

Analog dazu monoton fallend: 𝑎𝑛+1 ≤ 𝑎𝑛

Und strikt monoton fallend: 𝑎𝑛+1 < 𝑎𝑛

Beschränktheit

Eine Folge heisst nach oben/unten beschränkt, wenn alle Glieder 𝑎𝑛 (für alle n) nicht

oberhalb/unterhalb eines bestimmten Wertes liegen. Nach oben beschränkt ist gleichbedeutend

damit, dass die Folge nicht nach +∞ divergiert d.h. 𝑎∞ <∞ . Analog bedeutet nach unten

beschränkt, dass die Folge nicht nach −∞ divergiert 𝑎∞ > −∞.

Falls der Grenzwert lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = 𝐿 existiert, so sagt man, die Folge konvergiert gegen den Grenzwert 𝐿.

Ist dieser Grenzwert 𝐿 = 0 so heisst die Folge eine Nullfolge.

Sätze

Eine konvergente Folge ist immer auch beschränkt (nach oben und nach unten).

Ist eine Folge beschränkt und monoton steigend oder fallend, so ist sie immer auch

konvergent.

Eine konvergente Folge ist nicht unbedingt monoton steigend/fallend.

Beispiel dazu: eine Folge kann sich z.B. alternierend von beiden Seiten dem

Grenzwert annähern. Beispielsweise ist 𝑎𝑛 = (−1)𝑛 ·

1

𝑛 eine Nullfolge (konvergiert also

gegen den Grenzwert 0); sie ist aber nicht monoton.

Zieht man von einer konvergenten Folge von jedem Glied den Grenzwert 𝐿 ab, so ist die

neu entstehende Folge eine Nullfolge.

Eine nicht beschränkte Folge ist immer divergent d.h. ihr Grenzwert ist ±∞. Umgekehrt ist

aber nicht jede divergente Folge nicht beschränkt (z.B. 𝑎𝑛 = (−1)𝑛 divergiert, ist aber

beschränkt).

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Analysis PVK 2019 8 © Crameri/Grass

1.2 Grenzwerte von Folgen berechnen

Regeln

Falls die jeweiligen Grenzwerte lim𝑛→∞

𝑎𝑛 und lim𝑛→∞

𝑏𝑛 existieren, d.h. nicht divergieren, so gelten

folgende Rechenregeln:

Summe lim𝑛→∞

(𝑎𝑛 + 𝑏𝑛) = lim𝑛→∞

𝑎𝑛 + lim𝑛→∞

𝑏𝑛

konstanter Faktor lim𝑛→∞

(𝑐 · 𝑎𝑛) = 𝑐 · lim𝑛→∞

𝑎𝑛

Produkt lim𝑛→∞

(𝑎𝑛 · 𝑏𝑛) = lim𝑛→∞

𝑎𝑛 · lim𝑛→∞

𝑏𝑛

Quotient lim𝑛→∞

(𝑎𝑛

𝑏𝑛) =

lim𝑛→∞

𝑎𝑛

lim𝑛→∞

𝑏𝑛

Bei Brüchen: Durch die grösste Potenz des Nenners teilen

Dieses Vorgehen ist sinnvoll wenn man lim𝑛→∞

von Brüchen berechnen will.

𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

7𝑛2 + 5

2𝑛3= 𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

7𝑛2

𝑛3+5𝑛3

2𝑛3

𝑛3

=0 + 0

2= 0

𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

7𝑛3 + 5

2𝑛3= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→∞

7𝑛3

𝑛3+5𝑛3

2𝑛3

𝑛3

=7 + 0

2=7

2

Bei Wurzeln: erweitern

Diese Methode ist oft hilfreich bei Termen mit Wurzeln. Der Trick besteht darin einen Bruch so zu

erweitern dass man die 3. Binomische Formel (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 anwenden kann.

Beispiel:

𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

𝑛(√1 +1

𝑛− 1) =?

Wenn man hier 𝑛 = ∞ einsetzt, kriegt man ∞ ∙ 0 raus, was nicht definiert ist. Darum muss man zuerst

ein wenig umformen, bevor man 𝑛 = ∞ einsetzen kann.

𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

𝑛(√1 +1

𝑛− 1) = 𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞𝑛(√1 +

1

𝑛− 1) ∙

(√1 +1𝑛+ 1)

(√1 +1𝑛+ 1)

= 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

𝑛 (1 +1𝑛− 1)

√1 +1𝑛+ 1

= 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

1

√1 +1𝑛+ 1

Jetzt kann man 𝑛 = ∞ einsetzen und erhält

1

√1 + 0 + 1=1

2

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Analysis PVK 2019 9 © Crameri/Grass

1.3 Reihen

Eine Reihe ist eine Folge deren Glieder 𝑠𝑛 als Summen der ersten 𝑛 Glieder 𝑎𝑛 einer anderen Folge

gegeben sind. Also 𝑠𝑛 = ∑ 𝑎𝑛𝑘=𝑛𝑘=1 . Je nach Definition ist es auch möglich, dass die Summe bei 𝑘 = 0

anfängt.

Arithmetische Folge und Reihe

Zur arithmetischen Folge 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) 𝑑 Gehört die Reihe

𝑠𝑛 =∑𝑎1 + (𝑘 − 1) 𝑑

𝑛

𝑘=1

= 𝑛𝑎1 +𝑛(𝑛 − 1)

2𝑑 =

𝑎1 + 𝑎𝑛2

𝑛

Beispiel:

∑3𝑘

5

𝑘=2

=?

Hier könnte man jetzt ganz einfach 6 + 9 + 12 + 15 = 42 ausrechen. Wäre die Summe aber länger,

wäre dies sehr rechenaufwendig. In diesem Fall bietet es sich dann an, die Summe mittels obiger

Formeln auszurechnen. Man kann dazu z.B. die folgende Umformung machen:

∑3𝑘

5

𝑘=2

= 6 + 9 + 12 + 15 = ∑ 6⏟=𝑎1

4 }=𝑛

𝑘=1

+ (𝑘 − 1) · 3⏟=𝑑

Benutzt man jetzt die erste Formel von oben (𝑠𝑛 = 𝑛𝑎1 +𝑛(𝑛−1)

2𝑑) so erhält man:

∑3𝑘

5

𝑘=2

= 4 · 6 +4(4 − 1)

23 = 42

Alternativ kann man auch die zweite Formel von oben verwenden (d.h. 𝑠𝑛 =𝑎1+𝑎𝑛

2𝑛) damit folgt:

∑3𝑘

5

𝑘=2

=6 + 15

2· 4 = 42

Ein Spezialfall einer Arithmetischen Folge ist die Folge der natürlichen Zahlen.

∑𝑘

𝑛

𝑘=1

= 1 + 2 +⋯+ 𝑛 =𝑛(𝑛 + 1)

2

Geometrische Folge und Reihe

Zur geometrischen Folge 𝑎𝑛 = 𝑎1𝑞𝑛−1 gehört die Reihe

𝑠𝑛 =∑𝑎1𝑞𝑘−1

𝑛

𝑘=1

= 𝑎1(1 − 𝑞𝑛)

1 − 𝑞

Falls |𝑞| < 1 ist, dann konvergiert auch die unendliche Reihe: (𝑞∞ wird dann 0)

𝑠∞ = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

𝑠𝑛 =∑𝑎1𝑞𝑘−1

𝑘=1

= 𝑎11

1 − 𝑞 (𝑓ü𝑟 |𝑞| < 1)

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Analysis PVK 2019 10 © Crameri/Grass

Beispiel:

Für 𝑎1 = 24 und 𝑞 =1

2 erhalten wir

𝑎𝑛 = 24 · (1

2)𝑛−1

𝑎1 = 24, 𝑎2 = 12, 𝑎3 = 6, 𝑎4 = 3…

𝑠4 = 24 + 12 + 6 + 3 = 24 ·1 − (

12)4

1 −12

= 45

𝑠∞ = 24 ·1

1 −12

= 48

Weitere nützliche Summen

∑𝑘2𝑛

𝑘=1

= 12 + 22 +⋯+ 𝑛2 =𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)

6

∑𝑘3𝑛

𝑘=1

= 13 + 𝑛3 +⋯+ 𝑛3 = (𝑛(𝑛 + 1)

2)

2

= (∑𝑘

𝑛

𝑘=1

)

2

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Analysis PVK 2019 11 © Crameri/Grass

2 Vollständige Induktion

Die vollständige Induktion ist eine Beweismethode, um eine für alle natürlichen Zahlen formulierte

Aussage zu beweisen.

2.1 Vorgehen

1. Induktionsanfang: Zeige, dass die Aussage zu Beginn erfüllt ist, meist für 𝑛 = 0 oder 𝑛 = 1.

2. Induktionsschritt: Man nimmt an, dass die Aussage für irgendein 𝑛 ∈ ℕ erfüllt ist und zeige

mit dieser Annahme, dass die Behauptung dann auch für 𝑛 + 1 gilt.

Sind diese zwei Beweise erbracht, gilt die Aussage folglich für alle 𝑛.

2.2 Beispiele

Beispiel: Summenformel beweisen

Zu zeigen ist, dass für alle 𝑛 ∈ ℕ gilt, dass:

∑(2𝑘 − 1)

𝑛

𝑘=1

= 𝑛2

1. Induktionsanfang

Für 𝑛 = 1 ergibt die linke Seite: ∑ (2𝑘 − 1)1𝑘=1 = 2 · 1 − 1 = 1 und die rechte Seite 12 = 1 .

Die Aussage gilt somit für 𝑛 = 1.

2. Induktionsschritt

Man nimmt an, die Aussage ∑ (2𝑘 − 1)𝑛𝑘=1 = 𝑛2 gilt. Man muss nun damit zeigen dass dann

auch gilt ∑ (2𝑘 − 1)𝑛+1𝑘=1 = (𝑛 + 1)2.

Bei solchen Induktionsbeweisen beweisen mit Summenformeln schreibt man nun die neue

Summe ∑𝑛+1𝑘=1 mit Hilfe der alten Summe ∑𝑛𝑘=1 plus das (𝑛 + 1)-te Glied. Danach formt man

so um, dass die zu zeigende Gleichung resultiert:

∑(2𝑘 − 1)

𝑛+1

𝑘=1

= ∑(2𝑘 − 1)

𝑛

𝑘=1⏟ =𝑛2 (𝑙𝑎𝑢𝑡 𝐴𝑛𝑛𝑎ℎ𝑚𝑒)

+ (2(𝑛 + 1) − 1) = 𝑛2 + (2(𝑛 + 1) − 1) = 𝑛2 + 2𝑛 + 1 = (𝑛 + 1)2

Damit ist der Induktionsbeweis erbracht.

Beispiel: Teilbarkeit

Folgende Aussage ist durch Induktion zu zeigen: 32𝑛+4 − 2𝑛−1 ist durch 7 teilbar. D.h wenn man

32𝑛+4 − 2𝑛−1 durch 7 teilt, ist das Resultat eine natürliche Zahl.

1. Induktionsanfang

Für 𝑛 = 1 erhalten wir 32·1+4 − 21−1 = 728 und 728 ÷ 7 = 104. Somit gilt die Aussage für 𝑛 = 1.

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Analysis PVK 2019 12 © Crameri/Grass

2. Induktionsschritt

Wir nehmen an dass 32𝑛+4 − 2𝑛−1 durch 7 teilbar ist. Damit gilt 32𝑛+4 − 2𝑛−1 = 7𝑚 für irgendein

𝑚 ∈ ℕ. Nun müssen wir zeigen, dass damit auch 32(𝑛+1)+4 − 2(𝑛+1)−1 durch 7 teilbar ist.

32(𝑛+1)+4 − 2(𝑛+1)−1 = 32𝑛+4 · 32 − 2𝑛

= (7𝑚 + 2𝑛−1) · 9 − 2𝑛

= 9 · 7𝑚 + 2𝑛−1(9 − 2)

= 7 · 9𝑚 + 2𝑛−1 · 7

= 7 · (9𝑚 + 2𝑛−1)⏟ ∈ℕ

Dieser Term ist wiederum durch 7 teilbar. Und damit ist der Induktionsbeweis fertig.

BEMERKUNG: diese Aufgaben sind meist etwas schwieriger, da man oft ein einige Tricky

Umformungen machen muss. Oft versucht man die Zahl, durch die man teilen soll irgendwie

auszuklammern.

Beispiel: Ungleichung

Zeige für alle 𝑛 ∈ ℕ ab 𝑛 ≥ 4 dass gilt: 𝑛! > 2𝑛

1. Induktionsanfang

Für 𝑛 = 4 erhalten wir 4! = 24 und 24 = 16 und weil 24 > 16 gilt die Aussage für 𝑛 = 4.

2. induktionsschritt

Wir nehmen an 𝑛! > 2𝑛 und müssen damit zeigen, dass (𝑛 + 1)! > 2𝑛+1

Dazu fangen wir links mal mit (𝑛 + 1)! an, versuchen dann nur > und = zu verwenden und

wollen schliesslich rechts 2𝑛+1 rauskriegen:

(𝑛 + 1)! = (𝑛 + 1) · 𝑛! >⏟𝐴𝑛𝑛𝑎ℎ𝑚𝑒:𝑛!>2𝑛

(𝑛 + 1) · 2𝑛 > 𝑛 · 2𝑛 >⏟𝑛≥4

2 ∙ 2𝑛 = 2𝑛+1

Damit ist die Ungleichung bewiesen.

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Analysis PVK 2019 13 © Crameri/Grass

3 Grenzwerte von Funktionen

3.1 Regeln

Falls die jeweiligen Grenzwerte lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) und lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) existieren d.h. nicht divergieren, so gelten

folgende Rechenregeln:

Summe lim𝑥→𝑎

(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) + lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)

konstanter Faktor lim𝑥→𝑎

(𝑐 · 𝑓(𝑥)) = 𝑐 · lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

Produkt lim𝑥→𝑎

(𝑓(𝑥) · 𝑔(𝑥)) = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) · lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)

Quotient lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)

3.2 Regel von Bernoulli-De-L’Hôpital

Falls lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) = 0 oder lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = ± lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) = ±∞ dann gilt:

𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→𝑎

𝑓′(𝑥)

𝑔′(𝑥)

BEMERKUNG: Wenn nach Anwendung dieser Regel immer noch Zähler und Nenner beide gegen

Null, oder beide gegen ± unendlich streben, kann diese Regel auch mehrfach angewendet

werden.

ACHTUNG: Zähler und Nenner je separat ableiten. Keine Quotienten-Regel!

3.3 Einige wichtige Grenzwerte

Basics

𝑙𝑖𝑚𝑥→∞

𝑥 =∞; 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞

1

𝑥= 0; 𝑙𝑖𝑚

𝑥→0+

1

𝑥=∞; 𝑙𝑖𝑚

𝑥→0−

1

𝑥= −∞

Trigonometrische

𝑙𝑖𝑚𝑥→0

𝑠𝑖𝑛 𝑥

𝑥= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→0

𝑥

𝑠𝑖𝑛 𝑥= 1; 𝑙𝑖𝑚

𝑥→0

𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑥)

𝑥= 𝑎 ; 𝑙𝑖𝑚

𝑥→0

𝑥

𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑥)=1

𝑎; 𝑙𝑖𝑚

𝑥→0

𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 1

𝑥= 0

Unterschiedlich schnell wachsende Funktionen

𝑙𝑖𝑚𝑥→∞

𝑒𝑚𝑥

𝑥𝑎 =∞ 𝑏𝑧𝑤. 𝑙𝑖𝑚

𝑥→∞

𝑎𝑎

𝑒𝑚𝑥= 0 (𝑒𝑥 𝑤ä𝑐ℎ𝑠𝑡 𝑠𝑐ℎ𝑛𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑎𝑙𝑠 𝑗𝑒𝑑𝑒 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑧) 𝑓ü𝑟 𝑎,𝑚 ∈ ℝ+

𝑙𝑖𝑚𝑥→∞

𝑙𝑛(𝑥)

𝑥𝑎= 0 𝑏𝑧𝑤. 𝑙𝑖𝑚

𝑥→∞

𝑥𝑎

𝑙𝑛(𝑥)=∞ (𝑙𝑛(𝑥)𝑤ä𝑐ℎ𝑠𝑡 𝑙𝑎𝑛𝑔𝑠𝑎𝑚𝑒𝑟 𝑎𝑙𝑠 𝑗𝑒𝑑𝑒 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑧)

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Analysis PVK 2019 14 © Crameri/Grass

𝑙𝑖𝑚𝑥→0

𝑥𝑎 · 𝑙𝑛(𝑥) = 0

Die Folgende Abbildung gibt eine Übersicht darüber, wie schnell unterschiedliche Funktionen

Wachsen.

𝑎 > 1 ∈ ℝ

Euler’sche Zahl

𝑙𝑖𝑚𝑥→∞

(1 +1

𝑥)𝑥

= 𝑒; 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞

(1 −1

𝑥)𝑥

=1

𝑒; 𝑙𝑖𝑚

𝑥→∞(1 +

𝑎

𝑥)𝑥

= 𝑒𝑎

Weitere Spezielle Grenzwerte

𝑙𝑖𝑚𝑥→1

𝑙𝑛(𝑥)

𝑥 − 1= 1; 𝑙𝑖𝑚

𝑥→0

𝑒𝑥 − 1

𝑥= 1; 𝑙𝑖𝑚

𝑥→0

𝑙𝑛(1 + 𝑥)

𝑥= 1; 𝑙𝑖𝑚

𝑥→0

𝑎𝑥 − 1

𝑥 = 𝑙𝑛 𝑎

BEMERKUNG: Ein Grossteil dieser Formeln kann man ziemlich einfach mit der Regel von Bernoulli

l’Hôpital herleiten.

3.4 Grenzwerte berechnen

Bei einem Grenzwert sollte man zunächst immer versuchen einfach den Wert einzusetzen. Falls der

Term dann definiert ist, hat man den Grenzwert schon gefunden

Beispiele:

𝑙𝑖𝑚𝑥→3

𝑥2 − 2

𝑥 + 3=9 − 2

3 + 3=7

6

𝑙𝑖𝑚𝑥→3+

𝑥2 − 2

𝑥 − 3=9 − 2

0=∞

Da der letzte Grenzwert gegen unendlich strebt, sagt man der Grenzwert existiert nicht!

Meistens sind aber Grenzwertaufgaben etwas komplizierter und wenn man den Wert einsetzt,

bekommt man einen der folgenden nicht definierten Ausdrücke:

0

0,

∞,

−∞

∞, 0 ·∞, ∞ −∞

In diesem Fall müssen andere Methoden verwendet werden, um den Grenzwert (falls dieser

existiert) zu berechnen. Die meisten Grenzwerte kann man mit Hilfe von l’Hôpital berechnen. Kann

oder darf man dies nicht tun, so gibt es noch einige Alternativen.

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Analysis PVK 2019 15 © Crameri/Grass

Bei Brüchen: Durch die grösste Potenz des Nenners teilen

Diese Methode eignet sich für Grenzwerte mit lim𝑥→∞

von Brüchen mit Polynomen im Zähler und

Nenner

𝑙𝑖𝑚𝑥→∞

7𝑥2 + 5

2𝑥3= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→∞

7𝑥2

𝑥3+5𝑥3

2𝑥3

𝑥3

=0 + 0

2= 0

𝑙𝑖𝑚𝑥→∞

7𝑥3 + 5

2𝑥3= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→∞

7𝑥3

𝑥3+5𝑥3

2𝑥3

𝑥3

=7 + 0

2=7

2

Bei sin/cos

Bei Grenzwerten mit sin und cos sind die folgenden Identitäten oft hilfreich:

𝑙𝑖𝑚𝑥→0

𝑠𝑖𝑛 𝑥

𝑥= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→0

𝑥

𝑠𝑖𝑛 𝑥= 1; 𝑙𝑖𝑚

𝑥→0

𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑥)

𝑥= 𝑎 ; 𝑙𝑖𝑚

𝑥→0

𝑥

𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑥)=1

𝑎; 𝑙𝑖𝑚

𝑥→0

𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 1

𝑥= 0

Beispiel:

𝑙𝑖𝑚𝑥→0

𝑡𝑎𝑛 (6𝑥)

𝑠𝑖𝑛 (2𝑥)= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→0

𝑠𝑖𝑛 (6𝑥)

𝑐𝑜𝑠(6𝑥) 𝑠𝑖𝑛 (2𝑥)= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→0[𝑠𝑖𝑛(6𝑥)

6𝑥⏟ →1

·2𝑥

𝑠𝑖𝑛(2𝑥)⏟ →1

·1

𝑐𝑜𝑠(6𝑥)⏟ →1

·6

2] =

6

2= 3

TIPP: Hier sind auch oft Substitutionen hilfreich. Dabei darf man nicht vergessen auch den Wert,

gegen den die Variable strebt, anzupassen!

Bei Wurzeln: erweitern

Diese Methode ist oft hilfreich bei Brüchen mit Wurzeln. Der Trick besteht darin einen Bruch so zu

erweitern dass man die 3. Binomische Formel (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 anwenden kann. Oft kann

man dann nachher etwas kürzen:

Beispiel:

𝑙𝑖𝑚𝑥→7

√𝑥 + 2 − 3

𝑥 − 7= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→7

(√𝑥 + 2 − 3)(√𝑥 + 2 + 3)

(𝑥 − 7)(√𝑥 + 2 + 3)= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→7

(𝑥 + 2) − 9

(𝑥 − 7)(√𝑥 + 2 + 3)= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→7

𝑥 − 7

(𝑥 − 7)(√𝑥 + 2 + 3)

= 𝑙𝑖𝑚𝑥→7

1

√𝑥 + 2 + 3=

1

√7 + 2 + 3=1

6

Bei Brüchen: Ausklammern und kürzen

𝑙𝑖𝑚𝑥→2

𝑥2 + 𝑥 − 6

𝑥 − 2= ?

Man sieht dass, wenn man 𝑥 = 2 setzt, man 0

0 erhält, was nicht definiert ist. Dies liegt daran, dass

der Linearfaktor (𝑥 − 2) Probleme bereitet. Man versucht in so einem Fall, diesen Linearfaktor

rauszukürzen. Nützliche Dinge dafür sind: Polynomdivision, Binomische Formeln, Mitternachtsformel

für quadratische Gleichungen usw.

𝑙𝑖𝑚𝑥→2

𝑥2 + 𝑥 − 6

𝑥 − 2= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→2

(𝑥 − 2)(𝑥 + 3)

𝑥 − 2= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→2

𝑥 + 3

1=2 + 3

1= 5

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Analysis PVK 2019 16 © Crameri/Grass

Fast immer anwendbar: l’Hôpital

𝑙𝑖𝑚𝑥→0

𝑥3 · 𝑙𝑛(𝑥2) = ?

Setzt man hier 𝑥 = 0 ein, so erhält man den undefinierten Ausdruck 0 · (−∞) . Um l’Hôpital

anzuwenden, braucht man aber einen Ausdruck der Form ±∞

±∞ oder

0

0. Der Trick besteht nun darin

einen der Beiden Faktoren in den Nenner zu bringen:

𝑙𝑖𝑚𝑥→0

𝑥3 · 𝑙𝑛(𝑥2) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→0

𝑙𝑛(𝑥2)

𝑥−3=⏟

𝐻ô𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙

𝑙𝑖𝑚𝑥→0

1𝑥2· 2𝑥

−3 · 𝑥−4= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→0

2𝑥

−3𝑥4

= 𝑙𝑖𝑚𝑥→0

2𝑥3

−3

setzt man nun 𝑥 = 0 ein, so erhält man 0

−3 dieser Term ist nun definiert und ergibt 0.

Links-Rechts Grenzwerte und Betragsstriche

𝑙𝑖𝑚𝑥→1−

|𝑥 − 1|

(𝑥 − 1)(𝑥2 + 1)

Hier nähern wir uns von links dem Grenzwert 1. Man stellt sich vor, dass der Wert den wir einsetzten

ein bisschen kleiner ist als 1 (daher 𝑥 → 1−). Wir umgehen die Betragsstriche, indem wir vor den

Term der in Betrasstrichen stand das Vorzeichen so setzen, dass dieser Term positiv wird wenn wir

den Wert einsetzen, gegen den x strebt:

𝑙𝑖𝑚𝑥→1−

|𝑥 − 1|

(𝑥 − 1)(𝑥2 + 1)= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→1

(−1) ∙ (𝑥 − 1)

(𝑥 − 1)(𝑥2 + 1)= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→1

−1

𝑥2 + 1=

−1

1 + 1= −

1

2

Nähern wir uns von rechts an (𝑥 → 1 +) ergibt das

𝑙𝑖𝑚𝑥→1+

|𝑥 − 1|

(𝑥 − 1)(𝑥2 + 1)= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→1

+1 ∙ (𝑥 − 1)

(𝑥 − 1)(𝑥2 + 1)= 𝑙𝑖𝑚

𝑥→1

1

𝑥2 + 1=

1

1 + 1=1

2

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4 Differentialrechnung

4.1 Ableitungsregeln

Summe: (𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥))′= 𝑓′(𝑥) ± 𝑔′(𝑥)

Konstanter Faktor: (𝑐 · 𝑓(𝑥))′= 𝑐 · 𝑓′(𝑥)

Produktregel: (𝑓(𝑥) · 𝑔(𝑥))′= 𝑓′(𝑥) · 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) · 𝑔′(𝑥)

Quotientenregel: (𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥))′

=𝑓′(𝑥)·𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)·𝑔′(𝑥)

(𝑔(𝑥))2

Kettenregel: 𝑓(𝑔(𝑥))′= 𝑓′(𝑔(𝑥)) · 𝑔′(𝑥)

Ableitung der Inversen: 𝑓−1′(𝑥) =

1

𝑓′(𝑓−1(𝑥))

4.2 Linearisieren

Eine Funktion 𝑓(𝑥) kann in einem kleinen Bereich um eine Stelle 𝑥0 durch Ihre lineare Ersatzfunktion

(auch Tangente genannt) approximiert werden. Die Tangente 𝑡(𝑥) ist gegeben durch die

Gleichung 𝑡(𝑥) = 𝑓(𝑥0) + 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0). Für kleine |𝑥 − 𝑥0| gilt dann: 𝑓(𝑥) ≈ 𝑓(𝑥0) + 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0)

𝑓′(𝑥0) stellt die Steigung der Funktion 𝑓 an der Stelle 𝑥0 dar. Das heisst wenn man das Argument

der Funktion von 𝑥0 um eine kleine Grösse 𝑑𝑥 auf 𝑥0 + 𝑑𝑥 vergrössert, so nimmt der Funktionswert

um 𝑑𝑓 zu. Daher kann man die Ableitung auch schreiben als 𝑓′(𝑥) =𝑑𝑓(𝑥)

𝑑𝑥. Die Ausdrücke 𝑑𝑥 und

𝑑𝑓 nennt man Differentiale.

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4.3 Fehlerrechnung

Man stelle sich vor wir messen eine Grösse 𝑥 und berechnen damit mit irgendeiner Formel

(=Funktion) eine Grösse 𝑓, d.h. 𝑓 = 𝑓(𝑥).

Nun sei die gemessene Grösse 𝑥 mit einem kleinen Fehler 𝑑𝑥 behaftet, d.h. das gemessene 𝑥 ist

um 𝑑𝑥 grösser als das wahre 𝑥 𝑥 = 𝑥𝑤𝑎ℎ𝑟 + 𝑑𝑥. Damit wird auch die mit 𝑥 berechnete Grösse 𝑓 mit

einem Fehler behaftet sein. Diesen nennen wir 𝑑𝑓. Wir wollen nun abschätzen wie gross 𝑑𝑓 in

Abhängigkeit von 𝑑𝑥 ist. Dazu verwenden wir die lineare Eratzfunktion

Es gilt für kleine Fehler 𝑑𝑥:

𝑑𝑓 = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥𝑤𝑎ℎ𝑟) ≈ 𝑓′(𝑥) · 𝑑𝑥

Dieses 𝑑𝑓 nennt man den absoluten Fehler.

Der relative Fehler ist das Verhältnis vom absoluten Fehler 𝑑𝑓 zum Wert der Grösse 𝑓:

𝑑𝑓

𝑓=𝑓′(𝑥) ∙ 𝑑𝑥

𝑓(𝑥)

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5 Parameterdarstellung von Kurven

Eine Kurve in Parameterdarstellung ist durch einen Ortsvektor 𝑟 gegeben, der von einem

Parameter (meist 𝑡 oder 𝜑) abhängt. D.h. zu jedem Wert vom Parameter 𝑡 „gehört“ ein besimmter

Punkt in der x-y-Ebene: 𝑟(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)). In der Physik stellt der Parameter meist die Zeit dar, daher

𝑡. Bei uns stellt der Parameter meist eine geometrische Grösse dar (z.B. einen Winkel)

Eine explizit gegeben Kurve 𝑦 = 𝑓(𝑥) kann immer in eine Parametrisierung umgewandelt werden,

indem man einfach 𝑥 als Parameter nimmt: 𝑥(𝑡) = 𝑡 und 𝑦(𝑡) = 𝑓(𝑡).

Eine umgekehrte Umwandlung einer Parametrisierten Kurve in eine explizite oder implizite

Darstellung ist meist schwieriger und auch nicht immer möglich.

5.1 Einige wichtige Kurven

Kreis mit Mittelpunkt (𝒙𝟎, 𝒚𝟎) und Radius R

Parameterdarstellung: (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) = (𝑥𝑜 + 𝑅 cos 𝑡 , 𝑦0 + 𝑅 sin 𝑡)

Implizit: (𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)

2 = 𝑅2

Ellipse mit Mittelpunkt (𝒙𝟎, 𝒚𝟎) und Halbachsen 𝒂 und 𝒃

Parameterdarstellung: (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) = (𝑥0 + 𝑎 cos 𝑡 , 𝑦0 + 𝑏 sin 𝑡)

Implizit: (𝑥−𝑥0)

2

𝑎2+(𝑦−𝑦0)

2

𝑏2= 1

Hyperbel

Parameterdarstellung: (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) = (± a cosh 𝑡 , 𝑏 sinh 𝑡)

Implizit: 𝑥2

𝑎2−𝑦2

𝑏2= 1

Hyperbel

Parameterdarstellung: (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) = (𝑡,𝑎

𝑡)

Explizit: 𝑦 =𝑎

𝑥

Parabel

Parameterdarstellung: (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) = (𝑡, 𝑎𝑡2)

Explizit: 𝑦 = 𝑎𝑥2

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Analysis PVK 2019 20 © Crameri/Grass

5.2 Steigung, Tangentialvektor, Normalenvektor

Wenn man sich die Parametrisierung (𝑥(𝑡)𝑦(𝑡)

) vorstellt als Ort, an dem sich ein Teilchen zum Zeitpunkt

𝑡 befindet, so ist der Geschwindigkeitsvektor (��(𝑡)

��(𝑡)) immer Tangential zur Bahnkurve dieses

Teilchens.

D.h. der Tangentialvektor an eine Parametrisierte Kurve ist

𝑡 = (��(𝑡)

��(𝑡))

Die Steiung in einem Punkt (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)):

𝑆𝑡𝑒𝑖𝑔𝑢𝑛𝑔 =��(𝑡)

��(𝑡)

Und der Normalenvektor ist

�� = (−��(𝑡)

��(𝑡))

Jedes Vielfache von 𝑡 ist natürlich auch tangential zur Kurve, sowie auch jedes Vielfache von ��

senkrecht zur Kurve ist. Die Kurve verläuft senkrecht überall dort wo �� = 0 und �� ≠ 0 . Analog

verläuft die Kurve horizontal überall wo �� = 0 und �� ≠ 0.

Benötigt man einen Tangentialvektor oder einen Normalenvektor mit Länge 1, so muss der

entsprechende Vektor noch normiert werden.

Tangentialeinheitsvektor:

𝑡0 =𝑡

|𝑡|=

±1

√��2 + ��2(��(𝑡)

��(𝑡))

Normaleneinheitsvektor:

��0 =��

|��|=

±1

√��2 + ��2(−��(𝑡)

��(𝑡))

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Analysis PVK 2019 21 © Crameri/Grass

Die Folgende Tabelle gibt eine Übersicht über einige wichtige Eigenschaften solcher Kurven.

Beschreibung der Kurve Normalenvektor Tangentialvektor Steigung

Explizit: 𝑦 = 𝑓(𝑥) �� = (−𝑓′(𝑥0)1

) 𝑡 = (1

𝑓′(𝑥0)) 𝑓′(𝑥0)

Implizit: 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝐶 �� = (𝑔𝑥 (𝑥0, 𝑦0)

𝑔𝑦 (𝑥0, 𝑦0)) 𝑡 = (

−𝑔𝑦(𝑥0, 𝑦0)

𝑔𝑥 (𝑥0, 𝑦0)) −

𝑔𝑥 (𝑥0, 𝑦0)

𝑔𝑦 (𝑥0, 𝑦0)

Parametrisiert: (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) �� = (−��(𝑡0)

��(𝑡0)) 𝑡 = (

��(𝑡0)

��(𝑡0))

��(𝑡0)

��(𝑡0)

ACHTUNG: �� ist nicht normiert (|��| ≠ 1). Um den Einheitsnormalenvektor ��0 zu erhalten muss

man �� noch durch seinen Betrag Teilen: ��0 =��

|��|; |��0| = 1

BEMERKUNG: Hat man ein Vektor in 2D und will einen Vektor der senkrecht auf diesem steht,

so muss man nur die zwei Komponenten vertauschen und bei einer der beiden das

Vorzeichen wechseln.

BEMERKUNG: Ist eine Kurve in Polardarstellung (Abstand vom Ursprung = 𝜌(𝜑)) gegeben, kann

diese in der Form (𝑥(𝜑), 𝑦(𝜑)) = (𝜌(𝜑) · cos𝜑 , 𝜌(𝜑) · sin 𝜑) als normale Parametrisierung

betrachtet werden und dann die Steigung (oder was auch immer) ausgerechnet werden.

5.3 Parametrisierung nach der Bogenlänge

Eine Kurve (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) , bei welcher der Tangentenvektor (��(𝑡), ��(𝑡)) die Länge 1 hat, d.h.

√��2 + ��2 = 1 heisst nach der Bogenlänge parametrisiert. Das bedeutet dann auch, dass die

Bogenlänge bis zum Ort mit Parameter 𝑡 genau 𝑡 entspricht:∫ √��2 + ��2𝑡

0𝑑𝑡 = 𝑡 . Eine typische

Aufgabenstellung besteht darin, dass eine Parametrisierung gegeben ist, und die

Parametrisierung nach der Bogenlänge gefragt ist. Das Vorgehen hierfür lautet:

1. Berechne den Tangentenvektor (��(𝑡), ��(𝑡))

2. Berechne die Länge 𝑙 des Tangentenvektors: 𝑙 = √��(𝑡)2 + ��(𝑡)2. Im Allgemeinen ist 𝑙 nun eine

Funktion von 𝑡. Falls 𝑙 konstant ist, ist das weitere Vorgehen ziemlich simpel. Hängt 𝑙 hingegen

von 𝑡 ab, ist das ganze etwas komplizierter

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Analysis PVK 2019 22 © Crameri/Grass

Falls 𝒍 = 𝒌𝒐𝒏𝒔𝒕.:

3.a Substituiere in der ursprünglichen Parametrisierungen alle 𝑡 durch 𝑠

𝑙. Der neue Parameter ist

nun 𝑠 und es gilt √��(𝑠)2 + ��(𝑠)2 = 1, die Kurve ist also nach der Bogenlänge parametrisiert.

Falls 𝒍 = 𝒍(𝒕) von 𝒕 abhängt:

3.b Berechne die Bogenlänge 𝑠(𝑡) der Kurve von 0 bis 𝑡: 𝑠(𝑡) = ∫ 𝑙(��)𝑡

0𝑑��

4.b Bilde die Umkehrfunktion von 𝑠(𝑡): 𝑠 = 𝑠(𝑡) ↝ 𝑡 = 𝑡(𝑠)

5.b Substituiere in der ursprünglichen Parametrisierung alle 𝑡 durch 𝑡(𝑠). Der neue Parameter ist

nun 𝑠 und es gilt √��(𝑠)2 + ��(𝑠)2 = 1, die Kurve ist also nach der Bogenlänge parametrisiert.

Beispiel l=konst.

Es soll der Kreis (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) = (𝑅 cos 𝑡 , 𝑅 sin 𝑡) nach der Bogenlänge Parametrisiert werden.

1. (��(𝑡), ��(𝑡)) = (−𝑅 sin 𝑡 , 𝑅 cos 𝑡)

2. 𝑙 = √��(𝑡)2 + ��(𝑡)2 = √𝑅2 sin2 𝑡 + 𝑅2 cos2 𝑡 = 𝑅 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.

3.a 𝑡 ersetzten durch 𝑠

𝑙=

𝑠

𝑅 also (𝑥(𝑠), 𝑦(𝑠)) = (𝑅 cos (

𝑠

𝑅) , 𝑅 sin (

𝑠

𝑅))

Überprüfen: √��(𝑠)2 + ��(𝑠)2 = √(− sin (𝑠

𝑅))2

+ (cos (𝑠

𝑅))2

= 1

Beispiel l=l(t)≠konst.

Es soll die Kurve (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) = (𝑡, cosh 𝑡) nach der Bogenlänge parametrisiert werden

1. (��(𝑡), ��(𝑡)) = (1, sinh(𝑡))

2. 𝑙(𝑡) = √��(𝑡)2 + ��(𝑡)2 = √1 + sinh2 𝑡 = cosh 𝑡

3.b 𝑠(𝑡) = ∫ cosh ��𝑡

0𝑑�� = sinh 𝑡

4.b 𝑠 = sinh 𝑡 ↝ 𝑡 = Arsinh 𝑠

5.b Ersetze 𝑡 in (𝑡, cosh 𝑡) durch Arsinh(𝑠) also (𝑥(𝑠), 𝑦(𝑠)) = (Arsinh 𝑠 , cosh(Arsinℎ 𝑠))

Mit cosh(Arsinh 𝑠) = √1 + sinh2(Arsinh 𝑠) = √1 + 𝑠2 erhält man dann

(𝑥(𝑠), 𝑦(𝑠)) = (Arsinh 𝑠 , √𝑠2 + 1).

Überprüfen: (��(𝑠), ��(𝑠)) = (1

√𝑠2+1,

2𝑠

2√𝑠2+1)

und damit √��(𝑠)2 + ��(𝑠)2 = √(1

√𝑠2+1)2

+ (2𝑠

2√𝑠2+1)2

= √1

𝑠2+1+

𝑠2

𝑠2+1= √

1+𝑠2

1+𝑠2= 1

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5.4 Krümmung, Krümmungskreis, Evolute

Die Krümmung 𝜅(𝑥) an der Stelle 𝑥 einer Funktion 𝑓(𝑥) ist gegeben durch

𝜅(𝑥) =𝑓′′(𝑥)

(1 + (𝑓′(𝑥))2)

32

Will man die Krümmung am Punkt (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) einer durch 𝑡 parametrisierten ebenen Kurve so gilt

𝜅(𝑡) =��(𝑡)��(𝑡) − ��(𝑡)��(𝑡)

(��(𝑡)2 + ��(𝑡)2)32

Die Krümmung einer Kurve in Polarkoordinaten 𝜌 = 𝜌(𝜑) ist

𝜅(𝜑) =𝜌2 + 2(𝜌′)2 − 𝜌𝜌′′

(𝜌2 + (𝜌′)2)32

Der Radius 𝜌 des Krümmungskreises Ist der Kehrwert der Krümmung

𝜌 =1

𝜅

Die Evolute beschreibt den Mittelpunkt des Krümmungskreises. Die Koordinaten davon seien 𝑥𝐸

und 𝑦𝐸 .

Falls die Kurve als explizite Funktion 𝑦 = 𝑓(𝑥) gegeben ist, gilt

𝑥𝐸(𝑥) = 𝑥 −𝑓′(𝑥)(1 + (𝑓′(𝑥))2)

𝑓′′(𝑥) 𝑢𝑛𝑑 𝑦𝐸(𝑥) = 𝑓(𝑥) +

1 + (𝑓′(𝑥))2

𝑓′′(𝑥)

Ist die Kurve hingegen durch (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) parametrisiert gilt

𝑥𝐸(𝑡) = 𝑥(𝑡) −��(𝑡)(��(𝑡)2 + ��(𝑡)2)

��(𝑡)��(𝑡) − ��(𝑡)��(𝑡) 𝑢𝑛𝑑 𝑦𝐸(𝑡) = 𝑦(𝑡) +

��(𝑡)(��(𝑡)2 + ��(𝑡)2)

��(𝑡)��(𝑡) − ��(𝑡)��(𝑡)

Für die Evolute einer Kurve in Polarkoordinaten 𝜌 = 𝜌(𝜑) schreibt man die Kurve am besten zuerst

als Parametrisierung: 𝑥(𝜑) = 𝜌(𝜑) cos𝜑 und 𝑦(𝜑) = 𝜌(𝜑) sin𝜑 und benutzt anschliessend die Formel

für die Parametrisierte Kurve, wobei 𝜑 dann 𝑡 entspricht.

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6 Mehrdimensionale Differentialrechnung

6.1 Funktionen von mehreren Variablen

Die Funktionen, die wir im Folgenden betrachten hängen nicht mehr wie früher nur von einer

Variablen ab: 𝑓 = 𝑓(𝑥), sondern von mehreren. Wir beschränken uns mehrheitlich auf Funktionen

von zwei 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦) und drei 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) Variablen.

2D

Eine Funktion 𝑓(𝑥, 𝑦) ordnet jedem Pkt. in der x,y-Ebene einen Funktionswert (=eine Höhe) 𝑓(𝑥, 𝑦)

zu. Den Graphen der Funktion kann man sich anschaulich als eine Fläche über der x,y-Ebene

vorstellen.

3D

Eine Funktion 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) ordnet jedem Punkt im dreidimensionalen Raum einen Funktionswert

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) zu. Als Beispiel kann man sich eine Temperaturverteilung vorstellen: 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) sagt uns, wie

warm es am Pkt. (𝑥, 𝑦, 𝑧) ist.

Niveaulinien

Die Gleichung 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐶 (mit 𝐶 ∈ ℝ) beschreibt eine Kurve in der x,y-Ebene. Die Funktion 𝑓 ordnet

allen Punkten auf dieser Kurve den gleichen Funktionswert 𝑓(𝑥, 𝑦) zu. Darum heisst diese Kurve

auch Niveaulinie der Funktion 𝑓 zum Niveau C. Anschaulich: Stellt man sich eine Landkarte vor

und ist 𝑓(𝑥, 𝑦) eine Funktion, die von jedem Punkt die Höhe über dem Meer angibt, so haben alle

Punkte auf einer Niveaulinie die gleiche Höhe, d.h. die Niveaulinien sind die Höhenkurven dieser

Karte.

Niveauflächen

Niveauflächen einer Funktion 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) sind eigentlich das gleiche wie Niveaulinien einer Funktion

𝑓(𝑥, 𝑦), einfach „eine Dimension höher“. D.h. es sind Flächen im 3D-Raum, die von 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) jeweils

die gleiche Grösse zugeordnet bekommen. Man kann sich hierfür z.B. Flächen im 3D-Raum

vorstellen, auf denen überall die gleiche Temperatur herrscht.

6.2 Partielle Ableitungen

𝜕𝑓

𝜕𝑥= 𝑓𝑥 heisst Partielle Ableitung der Fkt. 𝑓 nach 𝑥 . Beim Ableiten nach 𝑥 fasst man nur 𝑥 als

Variable auf und alle anderen allfälligen Variablen (𝑦, 𝑧) als Konstanten.

Beispiel:

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦2 𝑠𝑖𝑛(𝑥𝑦) + 𝑧 + 𝑥2 𝑠𝑖𝑛 𝑦 + 5

𝜕𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕𝑥= 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦

3 𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦) + 2𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦

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Analysis PVK 2019 25 © Crameri/Grass

6.3 Satz von Schwarz & Integrabilitätsbedingung

Der Satz von Schwarz besagt, dass es nicht draufankommt, in welcher Reihenfolge man die

partiellen Ableitungen bildet:

𝑓𝑥𝑦𝑧𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑓𝑧𝑦𝑥𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑓𝑦𝑦𝑥𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ⋯

Bei Aufgaben mit Integrabilitätsbedingung sind typischerweise die partiellen Ableitungen einer

Funktion gegeben, gesucht ist dann die Funktion.

Theoretisches Beispiel:

Gegeben sind die partiellen Ableitungen 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) und 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) gesucht ist die Funktion 𝑓(𝑥, 𝑦).

Diese Funktion existiert nur, wenn gilt 𝑓𝑥𝑦 = 𝑓𝑦𝑥; andernfalls ist die Aufgabe nicht lösbar. Die Fkt. 𝑓

erhält man dann durch bilden der unbestimmten Integrale ∫ 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 und ∫ 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 und

anschliessendem Vergleich der Terme.

ACHTUNG: Beim Integrieren nach 𝑥 kriegt man (wie immer bei unbestimmten Integralen)

eine „Konstante“ (sagen wir 𝐶) dazu. Da aber beim partiellen ableiten nach 𝑥, 𝑦 Konstant

ist, kann diese „Konstante“ eine Funktion von 𝑦 sein: 𝐶 = 𝐶(𝑦)

Konkretes Beispiel:

Gesucht ist 𝑓(𝑥, 𝑦) mit

𝑓𝑥 = 2𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦 und 𝑓𝑦 = 𝑥2 𝑐𝑜𝑠 𝑦 − 2𝑒−2𝑦

1. Integrabilitätsbedingung überprüfen:

𝑓𝑥𝑦 = 2𝑥 · 𝑐𝑜𝑠 𝑦 𝑓𝑦𝑥 = 2𝑥 · 𝑐𝑜𝑠 𝑦 ⇒ 𝑓𝑥𝑦 = 𝑓𝑦𝑥

2. Integrieren:

∫ 𝑓𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 · 𝑠𝑖𝑛 𝑦 + 𝑪𝟏(𝒚) ∫ 𝑓𝑦 𝑑𝑦 = 𝑥

2 𝑠𝑖𝑛 𝑦 + 𝑒−2𝑦 + 𝑪𝟐(𝒙)

3. Koeffizienten Vergleichen:

∫ 𝑓𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 · 𝑠𝑖𝑛 𝑦 + 𝐶1(𝑦) ∫ 𝑓𝑦 𝑑𝑦 = 𝑥

2 𝑠𝑖𝑛 𝑦 + 𝑒−2𝑦 + 𝐶2(𝑥)

⇒ 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 𝑠𝑖𝑛 𝑦 + 𝑒−2𝑦 + 𝑪 Konstante nicht vergessen!

6.4 Gradient & Richtungsableitung

Der Gradient 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)) = ��𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (

𝑓𝑥𝑓𝑦𝑓𝑧

) ist eine Abbildung, die einer Funktion von

mehreren Variablen ein Vektorfeld zuordnet. Hierbei ist �� ≔

(

𝜕

𝜕𝑥𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧)

der sogenannte Nabla-

Operator. Die Richtung des Gradienten gibt an, in welcher Richtung 𝑓 die grösste

Richtungsableitung aufweist. Der Betrag |𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓| gibt den Betrag dieser maximalen

Richtungsableitung an. Stellt man sich z.B. vor 𝑓(𝑥, 𝑦) wäre die Funktion die jedem Punkt einer

Landschaftskarte eine Höhe zuordnet, so würde �� ≔ 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑓) uns für jeden Punkt sagen in welche

Richtung (Richtung von ��) es die grösste Steigung gibt, und wie steil (|��|) diese Steigung ist.

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Analysis PVK 2019 26 © Crameri/Grass

HINWEIS: 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 zeigt in Richtung der stärksten Steigung, daraus folgt (– 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓)

(entgegengesetzte Richtung) zeigt in Richtung des stärksten Gefälles.

Der Gradient steht immer senkrecht auf der Niveaufläche/-linie. Dies bedeutet z.B. dass die

grösste Steigung immer in Richtung senkrecht zur Tangente an die Höhenlinie zeigt.

Eine Richtungsableitung in Richtung ��0 berechnet man durch

��0 ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧))

Die Richtungsableitung sagt uns wie stark die Steigung von 𝑓 in Richtung von ��0 ist.

ACHTUNG: ��0 muss ein normierter Richtungsvektor sein, d.h. |��0| = 1.

Der Gradient steht senkrecht auf der Niveaufläche/linie, daraus folgt dass das Skalarprodukt

zwischen dem Gradienten und einem Vektor parallel zur Niveaufläche/linie immer Null ergibt. Dies

bedeutet, dass die Richtungsableitung in eine Richtung parallel zur Niveaufläche/linie Null ist und

die Funktion somit in diese Richtung konstant bleibt.

6.5 Tangentialebenen

Grundsätzliches zu Ebenen (Hessesche Normalform)

Eine Ebene im 3D-Raum wird durch eine Gleichung der Form

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 = 𝐷 (wobei 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 ∈ ℝ) beschrieben. Hierbei ist der Vektor �� = (𝐴𝐵𝐶) ein

Normalenvektor der Ebene. Der Vektor ��0 =��

|��|=

1

√𝐴2+𝐵2+𝐶2(𝐴𝐵𝐶) ist dann der

Einheitsnormalenvektor auf die Ebene. Dieser hat Länge 1 (|n0| = 1).

Tangentialebene

Die Tangentialebene an eine Fläche im 3D-Raum ist das Analogon zur

Tangente an eine Kurve in der 2D-Ebene. D.h. sie approximiert die Funktion

in einem nahen Umfeld eines Punktes. Es gibt grundsätzlich zwei Methoden

eine Tangentialebene zu bestimmen.

1. Methode: Mit der Formel (Linearisieren)

Ist eine Fläche im 3D-Raum explizit durch eine Gleichung 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) gegeben, und soll die

Tangentialebene im Punkt (𝑥0, 𝑦0 , 𝑓(𝑥0, 𝑦0)) bestimmt werden, so ist die Tangentialebene

beschrieben durch die Gleichung:

𝑧 = 𝑓(𝑥0, 𝑦0) + 𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0)(𝑦 − 𝑦0)

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Analysis PVK 2019 27 © Crameri/Grass

2. Methode: Mit dem Gradienten

Diese Methode ist sehr gut geeignet, wenn die Tangentialebene im Pkt. (𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0) an eine Fläche

gesucht ist und die Fläche nur implizit durch eine Koordinatengleichung 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐶 (mit 𝐶 ∈ ℝ)

gegeben ist.

Man kann die Fläche als Niveaufläche (zum Niveau 𝐶) einer Funktion 𝑔 = 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) auffassen. Der

Gradient 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (

𝑔𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑔𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝑔𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)

) steht dann in jedem Pkt. (𝑥, 𝑦, 𝑧) der Fläche, senkrecht auf

dieser Fläche. D.h. 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑔(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) = (

𝑔𝑥(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0)𝑔𝑦(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0)

𝑔𝑧(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0)

) ist gerade ein Normalenvektor an die Fläche

im Pkt. (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) und somit auch ein Normalenvektor der gesuchte Tangentialebene. Die

Komponenten von 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑔(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) sind somit gerade die Koeffizienten A, B, C in der

Ebenengleichung 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 = 𝐷 (siehe oben). Das 𝐷 bestimmt man indem man den Punkt

(𝑥0, 𝑦0 , 𝑧0) einsetzt.

Beispiel:

Gesucht ist die Tangentialebene im Pkt. (1,4,2) an die Fläche, die durch die Gleichung

𝑦𝑥2 = 3𝑧 − 2 beschrieben ist.

1. Methode (Formel)

Für diese Methode muss man die Ebene zuerst auf eine explizite Form ( 𝑧 =... ) bringen:

𝑧 =1

3(𝑦𝑥2 + 2) ≔ 𝑓(𝑥, 𝑦)

Funktionswert an der Stelle (𝑥0, 𝑦0):

𝑓(𝑥0, 𝑦0) =1

3(4 · 13 + 2) = 2 = 𝑧0

Dann braucht man die partiellen Ableitungen am gesuchten Punkt (𝑥 = 1, 𝑦 = 4)

𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0) =2

3𝑦0𝑥0 =

2

3· 4 · 1 =

8

3 𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0) =

𝑥02

3=12

3=1

3

Die Tangentialebene ist dann:

𝑧 = 𝑓(𝑥0, 𝑦0) + 𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0)(𝑦 − 𝑦0) = 2 +8

3(𝑥 − 1) +

1

3(𝑦 − 4)

↝ 3𝑧 = 6 + 8𝑥 − 8 + 𝑦 − 4 ↝ 8𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 6

2. Methode (Gradient)

Zunächst muss man die Gleichung auf die Form 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. bringen. D.h. man nimmt alle

nicht-konstanten Terme auf eine Seite:

𝑦𝑥2 − 3𝑧 ≔ 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = −2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

Man könnte auch noch das -2 auf die andere Seite nehmen, dies würde aber keinen Unterschied

machen, da es sowieso bei allen Ableitungen wegfällt. Wichtig ist, dass rechts eine Konstante

steht.

Der Gradient ist dann:

𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (

𝑔𝑥𝑔𝑦𝑔𝑧) = (

2𝑥𝑦

𝑥2

−3

)

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und in unserem gesuchten Punkt:

𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑔(1,4,2) = (81−3) ⇒ 𝐴 = 8, 𝐵 = 1, 𝐶 = −3

Die Tangentialebene ist dann:

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 = 8𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 𝐷

D durch einsetzen von Punkt (1,4,2) bestimmen:

8 · 1 +· 2 = 6 = 𝐷

Die Tangentialebene ist damit: 8𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 6

Häufig ist die zweite Variante die einfachere.

6.6 Extremalstellen bei Funktionen mehrerer Variablen

Zum Finden von Maxima und Minima von Funktionen 𝑓(𝑥, 𝑦) geht man nach folgendem Schema

vor:

1. Mache eine Skizze des Definitionsgebietes. (sehr empfehlenswert!)

2. Inneres Untersuchen: Orte im Innern, die als Extremalstellen in Frage kommen erfüllen die

Gleichung 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 = (𝑓𝑥𝑓𝑦) = (

00) . Falls dabei ein Punkt auf dem Rand oder ein Eckpunkt

herauskommt, kann man ihn vorerst weglassen, da man diese sowieso separat untersuchen

muss.

3. Rand Untersuchen: Den Rand des Gebietes kann man auf zwei Arten auf Extremalstellen

untersuchen: durch Parametrisieren oder mittels Lagrangemultiplikatoren.

3.1. Parametrisieren:

Parametrisiere den Rand des Gebietes (ist der Rand parallel zu einer Koordinaten

Achse, kann man gerade diese Koordinate als Parameter nehmen)

Setzte die Parametrisierung in die Funktion ein (ist z.B die Fkt. 𝑓(𝑥, 𝑦) und die

Parametrisierung (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) erhält man nach einsetzen 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))

Leite nach dem Parameter (in diesem Fall 𝑡) ab

Setze das ganze = 0 und löse nach dem Parameter auf

Berechne den Funktionswert für den gefundenen Parameterwert

3.2. Lagrangemultiplikatoren: Ist eine Extremalstellen auf dem Rand vorhanden, so muss der

Gradient 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 = (𝑓𝑥𝑓𝑦) dort senkrecht auf der Kurve stehen, die den Rand beschreibt. D.h:

(𝑓𝑥𝑓𝑦) ∥ �� ⇔ (

𝑓𝑥𝑓𝑦) = 𝜆 · ��

𝜆 ∈ ℝ ist der sogenannte Lagrange-multiplikator.

Man erhält aus obiger Beziehung 2 Gleichungen für die drei Unbekannten 𝑥, 𝑦, 𝜆. Die

dritte Gleichung erhält man dadurch dass das Extremum 𝑥, 𝑦 auf dem untersuchten Rand

liegen muss. Löst man diese 3 Gleichungen nach 𝑥 und 𝑦 hat man die Extremalstelle

gefunden.

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Analysis PVK 2019 29 © Crameri/Grass

4. Eckpunkte Untersuchen: Die Funktionswerte für alle Eckpunkte (falls vorhanden) ausrechnen

5. Globales Maximum/Minimum bestimmen.

HINWEIS: Ganz analog geht man auch vor für eine Funktion 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧), bei der man die

Extremalstellen auf einer Fläche bestimmen muss. Hierbei ist dann die Methode mit

Lagrangemultiplikatoren meist die bessere Wahl als eine Parametrisierung. Die Skizze lässt

man in 3D lieber sein.

6.7 Fehlerrechnung

Wie messen die drei Grössen 𝑎, 𝑏 und 𝑐 und wollen damit die Grösse 𝑓 berechnen. Dies tun wir

mittels einer Funktion: 𝑓 = 𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐) . Nun sind aber die Grössen 𝑎, 𝑏, 𝑐 mit kleinen Messfehlern

𝑑𝑎, 𝑑𝑏, 𝑑𝑐 behaftet. (ACHTUNG: 𝑑𝑎, 𝑑𝑏, 𝑑𝑐 sind die absoluten Messfehler. 𝑑𝑎

𝑎,𝑑𝑏

𝑏,𝑑𝑐

𝑐 sind die relativen

Messfehler).

Nun will man herausfinden wie sich diese Messfehler auf die zu berechnende Grösse 𝑓 auswirken.

Dazu linearisiert man die Funktion 𝑓. Der Absolute Fehler 𝑑𝑓 der Berechneten Grösse ist:

𝑑𝑓 = 𝑓𝑎(𝑎, 𝑏, 𝑐) · 𝑑𝑎 + 𝑓𝑏(𝑎, 𝑏, 𝑐) · 𝑑𝑏 + 𝑓𝑐(𝑎, 𝑏, 𝑐) · 𝑑𝑐

Der Relative Fehler 𝑑𝑓

𝑓 ist dann:

𝑑𝑓

𝑓=𝑓𝑎(𝑎, 𝑏, 𝑐) · 𝑑𝑎 + 𝑓𝑏(𝑎, 𝑏, 𝑐) · 𝑑𝑏 + 𝑓𝑐(𝑎, 𝑏, 𝑐) · 𝑑𝑐

𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐)

Ganz analog geht man vor falls mehr oder weniger Grössen gemessen werden.

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7 Integrieren

7.1 Regeln

∫(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 =∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥

∫𝑐 · 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑐 · ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

= −∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎

𝑏

7.2 Einige wichtige Integrale

∫𝑥𝑠 𝑑𝑥 =1

𝑠 + 1𝑥𝑠+1 + 𝐶 (𝑓ü𝑟 𝑠 ≠ −1)

∫1

𝑥𝑑𝑥 = ln | 𝑥| + 𝐶

∫cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶

∫sin 𝑥 𝑑𝑥 = −cos 𝑥 + 𝐶

∫sinh 𝑥 𝑑𝑥 = cosh 𝑥 + 𝐶

∫cosh 𝑥 𝑑𝑥 = sinh 𝑥 + 𝐶

∫1

1 + 𝑥2𝑑𝑥 = arctan 𝑥 + 𝐶

∫1

1 − 𝑥2𝑑𝑥 = Artanh 𝑥 + 𝐶

∫𝑓′(𝑥) · 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =1

2(𝑓(𝑥))

2+ 𝐶 𝑧. 𝐵: ∫ cos 𝑥 · sin 𝑥 𝑑𝑥 =

1

2𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝐶

∫𝑓′(𝑥)

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ln|𝑓(𝑥)| + 𝐶 𝑧. 𝐵: ∫

2𝑥 + 5

𝑥2 + 5𝑥 + 2𝑑𝑥 = ln |𝑥2 + 5𝑥 + 2 | + 𝐶

𝑜𝑑𝑒𝑟 ∫ tan 𝑥 𝑑𝑥 = ∫sin 𝑥

cos 𝑥𝑑𝑥 = − ln | cos 𝑥 | + 𝐶

Diese und viele weitere nützliche Integrale finden sich auf Tabellen in Formelsammlungen. Mit

diesen Tabellen kann man sich oft sehr viel Rechenaufwand ersparen!

7.3 Partielle Integration

Produkte von Funktionen lassen sich oft partiell integrieren

∫𝑢′(𝑥) · 𝑣(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑢(𝑥) · 𝑣(𝑥) − ∫𝑢(𝑥) · 𝑣′(𝑥) 𝑑𝑥

∫ 𝑢′(𝑥) · 𝑣(𝑥)𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = [𝑢(𝑥) · 𝑣(𝑥)]𝑎𝑏 −∫ 𝑢(𝑥) · 𝑣′(𝑥) 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

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Analysis PVK 2019 31 © Crameri/Grass

Beispiel :

∫𝑥⏟𝑣

· 𝑐𝑜𝑠(𝑥)⏟ 𝑢′

𝑑𝑥 = 𝑥 𝑠𝑖𝑛(𝑥) − ∫𝑠𝑖𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑠𝑖𝑛(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝐶

Beispiel: (Trick: Gleichung für das Integral)

∫𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫𝑠𝑖𝑛 𝑥⏟𝑢′

· 𝑠𝑖𝑛 𝑥⏟𝑣

𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + ∫𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + ∫(1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥)𝑑𝑥

Daraus folgt die Gleichung

∫𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑥 − ∫𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑑𝑥 𝑢𝑛𝑑 𝑑𝑎𝑚𝑖𝑡: 2∫ 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑥

⇒ ∫𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑑𝑥 =1

2(𝑥 − 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥) + 𝐶

Beispiel: (Trick: mit 1 multiplizieren)

∫𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 1⏟𝑢′

· 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥⏟ 𝑣

𝑑𝑥 = 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥) − ∫𝑥

1 + 𝑥2𝑑𝑥 = 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥) −

1

2∫

2𝑥

1 + 𝑥2

= 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥) −1

2𝑙𝑛(1 + 𝑥2) + 𝐶

7.4 Integration durch Substitution

Die Integration durch Substitution funktioniert, indem man einen geeigneten Term in 𝑥 (d.h. ein

Term, welcher 𝑥 als Variable enthält) durch einen geeigneten Term in 𝑢 ersetzt. Um zu sehen was

geeignete Terme sind, braucht es etwas Übung. Man kann aber die folgende Tabelle als

Hilfestellung verwenden:

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Analysis PVK 2019 32 © Crameri/Grass

Wichtig ist jeweils, dass nach der Substitution das komplette Integral nur noch von 𝑢 abhängt, also

kein 𝑥 mehr enthält. Ausserdem muss auch das 𝑑𝑥 durch einen Term mit 𝑢 ersetzt werden. Dies

kann man auf zwei verschiedene Arten tun. (siehe Beispiele unten). Bei einem bestimmten Integral

müssen auch die Integrationsgrenzen angepasst werden.

Beispiel 1:

∫𝑥 · 𝑐𝑜𝑠(𝑥2 + 2) 𝑑𝑥 = ?

Eine Substitution funktioniert oft gut, wenn die Ableitung des Terms, den man substituieren will, im

Integrand vorkommt. Dieser kürzt sich dann nachher oft raus. Bei diesem Beispiel versuchen wir die

Substitution 𝑢(𝑥) ≔ 𝑥2 + 2 . Dass dies eine gute Idee sein könnte, sieht man daran, dass die

Ableitung 𝑢′(𝑥) = 2𝑥 ein Vielfaches von dem Term 𝑥 ist, der im Integrand schon vorkommt.

Es gibt nun zwei Varianten das 𝑑𝑥 zu ersetzten:

1. Variante: 𝒖′(𝒙) =𝒅𝒖

𝒅𝒙 berechnen

𝑢(𝑥) = 𝑥2 + 2 Ableiten nach x: 𝑢′(𝑥) =𝑑𝑢

𝑑𝑥= 2𝑥 ↝ 𝑑𝑥 =

𝑑𝑢

2𝑥

2. Variante: 𝒙′(𝒖) =𝒅𝒙

𝒅𝒖 berechnen

𝑢(𝑥) = 𝑥2 + 2 Umkehrfunktion: 𝑥(𝑢) = √𝑢 − 2

Ableiten nach u: 𝑥′(𝑢) =𝑑𝑥

𝑑𝑢=

1

2 · √𝑢 − 2⏟ =𝑥

=1

2𝑥 ↝ 𝑑𝑥 =

𝑑𝑢

2𝑥

Die zweite Variante ist jetzt bei diesem Beispiel unnötig kompliziert. Es gibt aber Integrale, bei

denen diese einfacher ist.

Setzt man die Substitutionen in das ursprüngliche Integral ein, so erhält man:

∫𝑥 · 𝑐𝑜𝑠(𝑥2 + 2)𝑑𝑥 = ∫𝑥 · 𝑐𝑜𝑠(𝑢) ·𝑑𝑢

2𝑥⏟=𝑑𝑥

=1

2∫𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑑𝑢 =

𝑠𝑖𝑛 𝑢

2=𝑠𝑖𝑛 (𝑥2 + 2)

2+ 𝐶

Wäre nun das bestimmte Integral ∫ 𝑥 · cos(𝑥2 + 2)𝑑𝑥2

0 gesucht, kann man entweder die gleichen

Integrationsgrenzen (also 0 bis 2) erst nach der Rücksubstitution einsetzen, oder man kann die

Integrationsgrenzen der Substitution anpassen und muss dann nichts mehr Rücksubstituieren.

Mit Rücksubstitution:

∫ 𝑥 · 𝑐𝑜𝑠(𝑥2 + 2)𝑑𝑥2

0

= [𝑠𝑖𝑛(𝑥2 + 2)

2]0

2

=𝑠𝑖𝑛(6)

2−𝑠𝑖𝑛(2)

2

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Mit Grenzen anpassen: 𝑢(𝑥) = 𝑥2 + 2 untere Grenze: 𝑢(0) = 02 + 2 = 2 obere Grenze: 𝑢(2) = 22 + 2 = 6

∫ 𝑥 · 𝑐𝑜𝑠(𝑥2 + 2)𝑑𝑥2

0

= ∫ 𝑥 · 𝑐𝑜𝑠 𝑢 ·𝑑𝑢

2𝑥

6

2

=1

2∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑑𝑢6

2

= [𝑠𝑖𝑛 𝑢

2]2

6

=𝑠𝑖𝑛(6)

2−𝑠𝑖𝑛(2)

2

Ein zweites etwas komplizierteres Beispiel:

Man soll folgendes Integral ohne Integraltabelle lösen.

∫√𝑥2 − 4𝑑𝑥 = ?

Bei solchen Wurzeln ist die Idee, dass man unter der Wurzel sowas wie 1 − sin2 𝑢 = cos2 𝑢 ,

1 + sinh2𝑢 = cosh2 𝑢 oder cosh2 𝑢 − 1 = sinh2 𝑢 zu stehen bekommt. Davon kann man dann leicht

die Wurzel ziehen, und das Integral wird lösbar.

Zunächst formen wir ein wenig um:

∫√𝑥2 − 4 𝑑𝑥 = ∫√4(𝑥2

4− 1)𝑑𝑥 = 2∫√

𝑥2

4− 1𝑑𝑥

Nun substituieren wir: 𝑥2

4= cosh2(u) bzw. 𝑥 = 2 cosh𝑢

BEMERKUNG: Diese Substitution wird für unser Integral auch von obiger Tabelle vorgeschlagen.

Hier geht nun die Berechnung von 𝑑𝑥 einfacher mit 𝑑𝑥

𝑑𝑢 als mit

𝑑𝑢

𝑑𝑥:

Ableiten von 𝑥 = 2 cosh𝑢 nach 𝑢 ergibt: 𝑥′(𝑢) =𝑑𝑥

𝑑𝑢= 2 sinh 𝑢 ↝ 𝑑𝑥 = 2 sinh 𝑢 · 𝑑𝑢

2∫√𝑥2

4⏟=𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑢

− 1 · 𝑑𝑥⏟2 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑢 𝑑𝑢

= 2∫√𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑢 − 1⏟ =𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑢

2 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑢 𝑑𝑢 = 4∫𝑠𝑖𝑛ℎ2 𝑢 𝑑𝑢

Dieses Integral kann dann durch partielle Integration und mithilfe von cosh2 𝑢 − sinh2 𝑢 = 1 gelöst

werden:

∫𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑢⏟ 𝑢′

· 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑢⏟ 𝑣

𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑢 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑢 −∫𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑢 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑢 −∫(1 + 𝑠𝑖𝑛ℎ2 𝑢)⏟ =𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑢

𝑑𝑢

Formt man diese Gleichung um, so erhält man:

2∫𝑠𝑖𝑛ℎ2 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑢 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑢 − ∫ 1𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑢 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑢 − 𝑢 + 𝐶

Damit folgt für unser Integral

∫√𝑥2 − 4𝑑𝑥 = 4∫ 𝑠𝑖𝑛ℎ2 𝑢 𝑑𝑢 = 2 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑢 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑢 − 2𝑢 + 𝐶

Die Rücksubstitution ergibt

∫√𝑥2 − 4𝑑𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠ℎ (𝐴𝑟𝑐𝑜𝑠ℎ (𝑥

2)

⏟ =𝑢

)𝑠𝑖𝑛ℎ (𝐴𝑟𝑐𝑜𝑠ℎ (𝑥

2)) − 2𝐴𝑟𝑐𝑜𝑠ℎ (

𝑥

2) + 𝐶

= 𝑥 𝑠𝑖𝑛ℎ (𝐴𝑟𝑐𝑜𝑠ℎ (𝑥

2)) − 2𝐴𝑟𝑐𝑜𝑠ℎ (

𝑥

2) + 𝐶

Dies ist eigentlich schon eine Lösung. Wenn man Zeit und Lust hat, kann man das Ergebnis noch

etwas umformen. Dafür verwenden wir folgende zwei Beziehungen:

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Analysis PVK 2019 34 © Crameri/Grass

𝐴𝑟𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑎) = 𝑙𝑛 (𝑎 + √𝑎2 − 1)

𝑐𝑜𝑠ℎ2 − 𝑠𝑖𝑛ℎ2 = 1 ⇒ 𝑠𝑖𝑛ℎ (𝐴𝑟𝑐𝑜𝑠ℎ (𝑥

2)) = √𝑐𝑜𝑠ℎ2 (

𝑥

2) − 1 = √

𝑥2

4− 1

Setzen wir diese Beziehungen in die Lösung von oben ein, erhalten wir

𝑥 𝑠𝑖𝑛ℎ (𝐴𝑟𝑐𝑜𝑠ℎ (𝑥

2)) − 2𝐴𝑟𝑐𝑜𝑠ℎ (

𝑥

2) + 𝐶 =𝑥√

𝑥2

4− 1 − 2 · 𝑙𝑛 (

𝑥

2+ √

𝑥2

4− 1) + 𝐶

=𝑥

2√𝑥2 − 4 − 2 · 𝑙𝑛 (

1

2(𝑥 + √𝑥2 − 4)) + 𝐶

=𝑥

2√𝑥2 − 4 − 2 𝑙𝑛 (𝑥 + √𝑥2 − 4) − 2 · 𝑙𝑛 (

1

2) + 𝐶

⏟ ≔𝐶 (𝑛𝑒𝑢𝑒 𝐾𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒)

=𝑥

2√𝑥2 − 4 − 2 𝑙𝑛 (𝑥 + √𝑥2 + 4) + 𝐶

7.5 Integration von gebrochenrationalen Funktionen

Gebrochenrationale Funktionen sind Brüche, deren Zähler und Nenner Polynome sind. Um diese

zu Integrieren, sollte man folgendes Schema verwenden:

1. Ist der Grad des Zählerpolynoms höher oder gleich dem Grad des Nennerpolynoms, so

muss zuerst eine Polynomdivision durchgeführt werden

2. Danach das Polynom so weit wie möglich in Partialbrüche zerlegen

3. Diese Partialbrüche können dann (evtl. durch Substitutionen, Ausklammern oder andere

Umformungen) auf eine der folgenden Standardintegrale zurückgeführt werden:

∫1

𝑥𝑑𝑥 = ln |𝑥| + 𝐶

∫1

1 + 𝑥2𝑑𝑥 = arctan 𝑥 + 𝐶 bzw. ∫

1

𝑎2 + 𝑥2𝑑𝑥 =

1

𝑎arctan (

𝑥

𝑎) + 𝐶;

∫1

1 − 𝑥2𝑑𝑥 = Artanh 𝑥 + 𝐶 bzw. ∫

1

𝑎2 − 𝑥2𝑑𝑥 =

1

𝑎Artanh (

𝑥

𝑎) + 𝐶

∫1

𝑥𝑠𝑑𝑥 =

−1

𝑠 − 1·1

𝑥𝑠−1+ 𝐶 (für s ≠ 1)

∫1

𝑥2 + 2𝑏𝑥 + 𝑐𝑑𝑥 =

1

√𝑐 − 𝑏2arctan (

𝑥 + 𝑏

√𝑐 − 𝑏2) + 𝐶

(Diese Letzte Formel gilt nur, wenn 𝑏2 − 𝑐 < 0 ⇔ 𝑥2 + 2𝑏𝑥 + 𝑐 keine reelle Nullstelle hat. )

Partialbruchzerlegung

Um eine Partialbruchzerlegung durchzuführen, muss zuerst der Nenner in Linearfaktoren zerlegt

werden. Dies bedeutet, man muss alle Nullstellen des Nenners finden. Dabei kann es sein, dass

man eine Nullstelle erraten muss und die restlichen mit Polynomdivision findet. Danach macht

man je nach Art der Nullstellen die folgenden Ansätze für die Partialbruchzerlegung:

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Analysis PVK 2019 35 © Crameri/Grass

1

(𝑥 − 3)(𝑥 − 4)=

𝐴

𝑥 − 3+

𝐵

𝑥 − 4

Bei mehrfachen Nullstellen:

1

(𝑥 − 3)3(𝑥 − 4)=

𝐴

𝑥 − 3+

𝐵

(𝑥 − 3)2+

𝐶

(𝑥 − 3)3+

𝐷

𝑥 − 4

Falls es komplexe Nullstellen gibt lässt man im Nenner den quadratischen Term stehen. Für den

Zähler muss dann ein Ansatz 𝐴𝑥 + 𝐵 gemacht werden

1

(𝑥2 + 2𝑥 + 5)(𝑥 − 3)=

𝐴𝑥 + 𝐵

𝑥2 + 2𝑥 + 5+

𝐶

𝑥 − 3

Oder Falls mehrfache:

1

(𝑥2 + 2𝑥 + 5)2(𝑥 − 3)=

𝐴𝑥 + 𝐵

𝑥2 + 2𝑥 + 5+

𝐶𝑥 + 𝐷

(𝑥2 + 2𝑥 + 5)2+

𝐸

𝑥 − 3 𝑢𝑠𝑤.

Beispiel:

∫1 + 𝑥

𝑥3 − 7𝑥2 + 15𝑥 − 9𝑑𝑥 = ?

Zunächst müssen wir alle Nullstellen von 𝑥3 − 7𝑥2 + 15𝑥 − 9 finden. Da wir für Polynome 3. Ordnung

keine allgemeine Lösungsformel haben, müssen wir mindestens eine Nullstelle erraten.

Einige Tipps zum erraten von Nullstellen: Oft ist -1 oder 1 eine Nullstelle. Falls es weitere ganzzahlige

Nullstellen gibt, sind diese immer Teiler des Konstanten Glieds des Polynoms (hier also Teiler von 9).

Wir würden für dieses Polynom also zuerst mal -1, 1, -3, 3,-9 und 9 als Nullstellen ausprobieren. Wir

sehen dann durch einsetzen dass 1 und 3 tatsächlich Nullstellen sind. Die dritte Nullstelle kann

dann z.B. durch Polynomdivision gefunden werden:

(𝑥 − 3)(𝑥 − 1) = 𝑥2 − 4𝑥 + 3

(𝑥3—7𝑥2 + 15𝑥 − 9) ÷ (𝑥2 − 4𝑥 + 3) = (𝑥 − 3)

3 ist also eine doppelte Nullstelle. Die Faktorisierung des Nenners lautet:

𝑥3 − 7𝑥2 + 15𝑥 − 9 = (𝑥 − 1)(𝑥 − 3)2. Der Ansatz für die Partialbruchzerlegung ist damit

1 + 𝑥

(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)2=

𝐴

𝑥 − 1+

𝐵

𝑥 − 3+

𝐶

(𝑥 − 3)2

Um die Konstanten 𝐴, 𝐵 und 𝐶 zu bestimmen bringt man zunächst alle Brüche auf den gleichen

Nenner

1 + 𝑥

(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)2=

𝐴(𝑥 − 3)2

(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)2+𝐵(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)

(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)2+

𝐶(𝑥 − 1)

(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)2

Daraus folgt dann die Gleichung

1 + 𝑥 = 𝐴(𝑥 − 3)2 + 𝐵(𝑥 − 1)(𝑥 − 3) + 𝐶(𝑥 − 1)

Um daraus 𝐴, und 𝐶 zu bestimmen gibt es folgende zwei Möglichkeiten:

Möglichkeit 1: Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich

Ausmultiplizieren und Zusammenfassen der Terme Gleicher Potenz bei obiger Gleichung

ergibt

𝑥 + 1 = (𝐴 + 𝐵)𝑥2 + (−6𝐴 − 4𝐵 + 𝐶)𝑥 + (9𝐴 + 3𝐵 − 𝐶)

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Analysis PVK 2019 36 © Crameri/Grass

vergleicht man jeweils die Terme mit 𝑥2, und die Konstanten Terme links und recht ergibt

sich das Gleichungssystem

𝐴 + 𝐵 = 0−6𝐴 − 4𝐵 + 𝐶 = 19𝐴 + 3𝐵 − 𝐶 = 1

Dieses hat die Lösung 𝐴 =1

2, 𝐵 = −

1

2, 𝐶 = 2

Möglichkeit 2: Geeignete Werte für x einsetzten

Unsere Gleichung 1 + 𝑥 = 𝐴(𝑥 − 3)2 + 𝐵(𝑥 − 1)(𝑥 − 3) + 𝐶(𝑥 − 1) muss für alle Werte von 𝑥

erfüllt sein. Oft bekommt man sehr einfache Gleichungen wenn man „geschickte“ Werte

für 𝑥 einsetzt. Geschickte Werte sind meist die Nullstellen des Nennerpolynoms (da dann

viel wegfällt). Weitere geschickte Werte sind einfache Werte wie 0 oder 1.

Für 𝑥 = 3 wird die Gleichung zu: 4 = 𝐶 · 2 ↝ 𝐶 = 2

Für 𝑥 = 1 wird die Gleichung zu: 2 = 𝐴 · (−2)2 = 4𝐴 ↝ 𝐴 =1

2

Und für 𝑥 = 0 erhalten wir 1 = 9𝐴 + 3𝐵 − 𝐶 =9

2+ 3𝐵 − 2 ↝ 𝐵 = −

1

2

BEMERKUNG: Die 2. Variante ist oft deutlich weniger rechenaufwendig, da nicht ausmultipliziert

und kein Gleichungssystem gelöst werden muss.

Für unser Integral folgt schlussendlich

∫1 + 𝑥

𝑥3 − 7𝑥2 + 15𝑥 − 9𝑑𝑥 = ∫(

12

𝑥 − 1−

12

𝑥 − 3+

2

(𝑥 − 3)2) 𝑑𝑥 =

1

2𝑙𝑛|𝑥 − 1| −

1

2𝑙𝑛|𝑥 − 3| −

2

𝑥 − 3+ 𝐶

Beispiel:

Hat man einen quadratischen Term der sich nicht weiter faktorisieren lässt (=komplexe Nullstelle)

so hilft oft die Identität ∫1

𝑎2+𝑥2𝑑𝑥 =

1

𝑎arctan (

𝑥

𝑎). Meist muss man vorher noch etwas umformen und

substituieren.

∫1

𝑥2 − 2𝑥 + 3𝑑𝑥 = ∫

1

(𝑥 − 1)2 + 2𝑑𝑥

Nun substituieren wir 𝑥 − 1 = , leiten ab 𝑑𝑢

𝑑𝑥= 1 und erhalten 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥. Damit wird das Integral zu

∫1

(𝑥 − 1)2 + 2𝑑𝑥 = ∫

1

𝑢2 + 2𝑑𝑢

Jetzt können wir die Formel ∫1

𝑎2+𝑥2𝑑𝑥 =

1

𝑎arctan (

𝑥

𝑎) mit 𝑎 = √2 und 𝑥 = 𝑢 verwenden.

∫1

𝑢2 + 2𝑑𝑢 =

1

√2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (

𝑢

√2) + 𝐶 =

1

√2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (

𝑥 − 1

√2) + 𝐶

BEMERKUNG: Dieses Integral geht auch schneller mit der oben aufgelisteten Formel

∫1

𝑥2 + 2𝑏𝑥 + 𝑐𝑑𝑥 =

1

√𝑐 − 𝑏2arctan (

𝑥 + 𝑏

√𝑐 − 𝑏2) + 𝐶

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Analysis PVK 2019 37 © Crameri/Grass

Beispiel:

Hat man einen Nenner, der sich nicht faktorisieren lässt und steht im Zähler nicht nur eine

Konstante steht, sondern irgendwas nerviges mit 𝑥, können Umformungen wie die im folgenden

Beispiel hilfreich sein.

∫𝑥 + 1

𝑥2 − 2𝑥 + 3𝑑𝑥 =?

Bei solchen Integralen versuchen wir zuerst den Zähler so „herzurichten“, dass ein Teil davon der

Ableitung des Nenners entspricht, so dass wir die Formel ∫𝑓′(𝑥)

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ln|𝑓(𝑥)| verwenden können:

∫𝑥 + 1

𝑥2 − 2𝑥 + 3𝑑𝑥 =

1

2∫

2𝑥 + 2

𝑥2 − 2𝑥 + 3𝑑𝑥 =

1

2∫2𝑥 − 2 + 4

𝑥2 − 2𝑥 + 3𝑑𝑥

=1

2[∫

2𝑥 − 2

𝑥2 − 2𝑥 + 3𝑑𝑥

⏟ 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙1

+∫4

𝑥2 − 2𝑥 + 3𝑑𝑥

⏟ 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙2

]

Integral1 kann mit ∫𝑓′(𝑥)

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ln|𝑓(𝑥)| berechnet werden. Integral2 wird analog zum vorherigen

Beispiel berechnet.

𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙1 = ∫2𝑥 − 2

𝑥2 − 2𝑥 + 3𝑑𝑥 = 𝑙𝑛( 𝑥2 − 2𝑥 + 3)

𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙2 = ∫4

𝑥2 − 2𝑥 + 3𝑑𝑥 = 4∫

1

(𝑥 − 1)2 + 2𝑑𝑥 =

4

√2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (

𝑥 − 1

√2)

Daraus folgt für die Gesamtlösung

∫𝑥 + 1

𝑥2 − 2𝑥 + 3𝑑𝑥 =

1

2[𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙1 + 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙2] =

1

2𝑙𝑛( 𝑥2 − 2𝑥 + 3) + √2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (

𝑥 − 1

√2) + 𝐶

Beispiel:

Wenn der Grad des Zählerpolynoms ≥ Grad des Nennerpolynoms ist, muss zuerst Polynomdivision

durchgeführt werden.

∫𝑥2 + 1

𝑥2 − 2𝑥 + 3𝑑𝑥 =?

Mit einer Polynomdivision erhält man: (𝑥2 + 1) ÷ (𝑥2 − 2𝑥 + 3) = (1 +2𝑥−2

𝑥2−2𝑥+3)

∫𝑥2 + 1

𝑥2 − 2𝑥 + 3𝑑𝑥 = ∫1 +

2𝑥 − 2

𝑥2 − 2𝑥 + 3𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑙𝑛(𝑥2 − 2𝑥 + 3) + 𝐶

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Analysis PVK 2019 38 © Crameri/Grass

7.6 Bestimmte Integrale von 𝑠𝑖𝑛𝑛 und 𝑐𝑜𝑠𝑛

Bestimmte Integrale der Form

∫ 𝑠𝑖𝑛𝑛 𝑥𝑠·𝜋2

𝑟·𝜋2

𝑑𝑥 𝑜𝑑𝑒𝑟 𝑎𝑢𝑐ℎ ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑛 𝑥𝑠·𝜋2

𝑟·𝜋2

𝑑𝑥 𝑤𝑜𝑏𝑒𝑖 𝑟, 𝑠 ∈ ℤ 𝑢𝑛𝑑 𝑛 ≥ 2

Kann man mit folgenden Rekursionsformeln ziemlich effizient berechnen

∫ 𝑠𝑖𝑛𝑛 𝑥𝑠·𝜋2

𝑟·𝜋2

𝑑𝑥 =𝑛 − 1

𝑛∫ 𝑠𝑖𝑛𝑛−2 𝑥𝑠·𝜋2

𝑟·𝜋2

𝑑𝑥

∫ 𝑐𝑜𝑠𝑛 𝑥𝑠·𝜋2

𝑟·𝜋2

𝑑𝑥 =𝑛 − 1

𝑛∫ 𝑐𝑜𝑠𝑛−2 𝑥𝑠·𝜋2

𝑟·𝜋2

𝑑𝑥

ACHTUNG: Die Grenzen müssen ganzzahlige vielfache von 𝜋

2 sein und 𝑛 muss ≥ 2 sein! Die Formel

kann auch mehrfach angewendet werden.

Beispiele:

∫ 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 𝑑𝑥

𝜋2

0

=2

3· ∫ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥

𝜋2

0

=2

3· [− 𝑐𝑜𝑠 𝑥]0

𝜋2 =

2

3· 1 =

2

3

∫ 𝑠𝑖𝑛7 𝑥 𝑑𝑥

𝜋2

0

=6

7· ∫ 𝑠𝑖𝑛5 𝑥 𝑑𝑥

𝜋2

0

=6

7·4

5· ∫ 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 𝑑𝑥

𝜋2

0

=6

7·4

5·2

3· ∫ 𝑠𝑖𝑛1 𝑥 𝑑𝑥

𝜋2

0⏟ =1

=16

35

Im folgenden Beispiel wird ausgenutzt, dass die Formel auch für 𝑛 = 2 gilt

∫ 𝑐𝑜𝑠4 𝑥 𝑑𝑥

3𝜋2

𝜋

=3

4· ∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝑑𝑥

3𝜋2

𝜋

=3

4·1

2· ∫ 𝑐𝑜𝑠0 𝑥⏟

=1

𝑑𝑥

3𝜋2

𝜋

=3

4·1

2· ∫ 1𝑑𝑥

3𝜋2

𝜋

=3

8· (3𝜋

2− 𝜋) =

3𝜋

16

7.7 Integral Tabelle sin/cos

∫ ∫

𝜋2

0

∫𝜋

0

∫2𝜋

0

𝜋2

−𝜋2

∫𝜋

−𝜋

sin x 1 2 0 0 0

sin2 x 𝜋/4 𝜋/2 𝜋 𝜋/2 𝜋

sin3 x 2/3 4/3 0 0 0

sin4 x (3 𝜋)/16 (3 𝜋)/8 (3 𝜋)/4 (3 𝜋)/8 (3 𝜋)/4

cos x 1 0 0 2 0

cos2 x 𝜋/4 𝜋/2 𝜋 𝜋/2 𝜋

cos3 x 2/3 0 0 4/3 0

cos4 x (3 𝜋)/16 (3 𝜋)/8 (3 𝜋)/4 (3 𝜋)/8 (3 𝜋)/4

sin x cos x 1/2 0 0 0 0

sin2 x cos x 1/3 0 0 2/3 0

sin x cos2 x 1/3 2/3 0 0 0

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Analysis PVK 2019 39 © Crameri/Grass

7.8 Bestimmte Integrale von geraden und ungeraden Funktionen

Ein bestimmtes Integral über ein symmetrisches Intervall (d.h. z.B. von -3 bis 3) von einer

ungeraden Funktion ergibt 0.

∫ 𝑢𝑛𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑒𝑓𝑘𝑡(𝑥)𝑎

−𝑎

𝑑𝑥 = 0

𝑓(𝑥) ist ungerade, wenn 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)

Ein bestimmtes Integral über ein symmetrisches Intervall (d.h. z.B. von -3 bis 3) von einer geraden

Funktion kann man wie folgt etwas vereinfachen:

∫ 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑒𝑓𝑘𝑡(𝑥)𝑑𝑥𝑎

−𝑎

= 2∫ 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑒𝑓𝑘𝑡(𝑥)𝑑𝑥𝑎

0

𝑓(𝑥) ist gerade, wenn 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥)

7.9 Ableitungen von Integralen

Falls man die Ableitung von Integralen berechnen soll ist es oft einfacher den Hauptsatz der

Infinitesimalrechnung zu benutzen, anstatt das Integral auszurechnen und anschliessend

abzuleiten:

Falls eine Grenze 𝑎 des Integrals Konstant ist gilt:

𝑑

𝑑𝑥∫ 𝑓(𝑡)𝑥

𝑎

𝑑𝑡 = 𝑓(𝑥) 𝑏𝑧𝑤.𝑑

𝑑𝑥∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎

𝑥

= −𝑓(𝑥)

Falls die Grenzen Funktionen von 𝑥 sind:

𝑑

𝑑𝑥∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑏(𝑥)

𝑎(𝑥)

= 𝑓(𝑏(𝑥)) · 𝑏′(𝑥) − 𝑓(𝑎(𝑥)) · 𝑎′(𝑥)

Im allgemeinsten Fall hängt auch der Integrand 𝑓 von 𝑥 ab. Dann gilt:

𝑑

𝑑𝑥∫ 𝑓(𝑡, 𝑥)𝑑𝑡 = 𝑓(𝑏(𝑥), 𝑥) · 𝑏′(𝑥) − 𝑓(𝑎(𝑥), 𝑥) · 𝑎′(𝑥) + ∫

𝜕

𝜕𝑥𝑓(𝑡, 𝑥)𝑑𝑡

𝑏(𝑥)

𝑎(𝑥)

𝑏(𝑥)

𝑎(𝑥)

7.10 Uneigentliche Integrale

Uneigentliche Integrale braucht man in den folgenden drei Fällen:

1. Eine oder beide Integrationsgrenzen ist/sind ∞ oder −∞

2. Die zu Integrierende Funktion ist an der einen Grenze nicht definiert. Dies ist zum Beispiel

der Fall, wenn eine Grenze bei einer Polstelle (Nullstelle des Nennerpolynoms) liegt.

3. Das integral verläuft über eine Stelle, an der die Funktion nicht definiert ist, z.B. wenn eine

Polstelle innerhalb des Integrationsbereichs liegt. In diesem Fall muss man das Integral

aufteilen.

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Analysis PVK 2019 40 © Crameri/Grass

Allgemein gesagt braucht man uneigentliche Integrale immer dann, wenn ein Teil einer Fläche

„bis ins Unendliche“ reicht. In diesem Fall ersetzt man die entsprechende Grenze durch eine

Variable und bildet dann den Grenzwert dieser Variable gegen den entsprechenden Wert. Wie

man Grenzwerte bildet kannst du im Kapitel über Grenzwerte nachlesen. Existiert dieser

Grenzwert, so sagt man: das Integral konvergiert. Wird dieser Grenzwert ±∞, so ist die Funktion

nicht integrierbar.

Beispiel zu 1:

∫1

𝑥2

1

𝑑𝑥 = 𝑙𝑖𝑚𝑎→∞

∫1

𝑥2

𝑎

1

𝑑𝑥 = 𝑙𝑖𝑚𝑎→∞

[−1

𝑥]1

𝑎

= 𝑙𝑖𝑚𝑎→∞

(−1

𝑎+1

1) = 0 + 1 = 1

Beispiel zu 2:

∫1

𝑥2𝑑𝑥

1

0

= 𝑙𝑖𝑚𝑎→0+

∫1

𝑥2𝑑𝑥

1

𝑎

= 𝑙𝑖𝑚𝑎→0+

[−1

𝑥]𝑎

1

= 𝑙𝑖𝑚𝑎→0+

(−1

1+1

𝑎) = −1 +∞ =∞

Somit konvergiert dieses Integral nicht.

Beispiel zu 3:

∫1

1 − 𝑥𝑑𝑥

2

0

=?

Wichtig hier ist zu erkennen, dass der Integrand eine Polstelle bei 𝑥 = 1 besitzt. Dies liegt im

Integrationsbereich. Somit muss das Integral aufgeteilt und mittels zwei uneigentlichen Integralen

gelöst werden. Ausserdem muss man beachten, von welcher Seite man sich dem Grenzwert

annähert!

∫1

(1 − 𝑥)2𝑑𝑥

2

0

= ∫1

(1 − 𝑥)2𝑑𝑥

1

0

+∫1

(1 − 𝑥)2𝑑𝑥

2

1

= 𝑙𝑖𝑚𝑎→1−

∫1

(1 − 𝑥)2𝑑𝑥

𝑎

0

+ 𝑙𝑖𝑚𝑎→1+

∫1

(1 − 𝑥)2𝑑𝑥

2

𝑎

= 𝑙𝑖𝑚𝑎→1−

[1

1 − 𝑥]0

𝑎

+ 𝑙𝑖𝑚𝑎→1+

[1

1 − 𝑥]𝑎

2

= 𝑙𝑖𝑚𝑎→1−

[1

1 − 𝑎−1

1] + 𝑙𝑖𝑚

𝑎→1+[1

1 − 2−

1

1 − 𝑎] (𝐴𝐶𝐻𝑇𝑈𝑁𝐺: 𝑙𝑖𝑛𝑘𝑠 − 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑡𝑠𝑔𝑟𝑒𝑛𝑧𝑤𝑒𝑟𝑡𝑒 𝑏𝑒𝑎𝑐ℎ𝑡𝑒𝑛!)

= +∞ − 1 − 1 +∞ =∞

Dieses Integral konvergiert nicht.

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Analysis PVK 2019 41 © Crameri/Grass

8 Mehrdimensionale Integralrechnung

8.1 Allgemeines

Bei mehrdimensionalen Integralen integriert man nicht mehr über ein Linienelement 𝑑𝑥 sondern

über ein Flächenelement 𝑑𝑥𝑑𝑦 oder ein Volumenelement 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 . Mehrfachintegrale sind

ineinander „verschachtelte“ Integrale.

Zum folgenden Beispiel

∭𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 =𝐵

∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑏(𝑦,𝑧)

𝑎(𝑦,𝑧)

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑(𝑧)

𝑐(𝑧)

𝑓

𝑒

beachte man die folgenden Punkte:

Die inneren Integrationsgrenzen dürfen nur von äusseren Integrationsvariablen abhängen!

(Heisst hier etwa 𝑎 und 𝑏 dürfen nur von 𝑦 und 𝑧 abhängen, nicht von 𝑥. Und 𝑐 und 𝑑

dürfen nur von 𝑧 abhängen, nicht von 𝑥, 𝑦.

Um z.B. die Integrationsgrenzen 𝑎 und 𝑏 zu bestimmen, muss man sich überlegen, welche

Werte von 𝑥 für fixe 𝑦, 𝑧 zum Integrationsbereich gehören.

Sind die Integrationsgrenzen Funktionen von äusseren Variablen, kann man die

Reihenfolge nicht einfach so vertauschen (siehe unten)

Sind die Integrationsgrenzen hingegen konstant, so kann die Integrationsreihenfolge

beliebig vertauscht werden:

∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑏

𝑎

𝑑𝑦𝑑

𝑐

𝑑𝑧𝑓

𝑒

= ∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑦𝑑

𝑐

𝑑𝑧𝑓

𝑒

𝑑𝑥𝑏

𝑎

= ⋯ (a, b, c, d, e, f = const. )

Beim Lösen von * würde man zuerst das Integral ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑏(𝑦,𝑧)

𝑎(𝑦,𝑧)𝑑𝑥 lösen. Danach darf die

Variable 𝑥 nicht mehr im Integranden vorkommen!

8.2 Integrationsgrenzen finden und Reihenfolge vertauschen

Bei einigen Aufgaben ist es extrem mühsam ein Mehrfachintegral in der gegebenen Form zu

lösen. Es kann sein, dass es einfacher wird, wenn man die Integrationsreihenfolge vertauscht. Oft

muss man dafür zuerst die Umkehrfunktionen der Grenzen berechnen. Es empfiehlt sich dafür

immer eine Skizze des Integrationsgebiets zu machen. Es kann auch vorkommen, dass man das

Integral in mehrere Integrale aufteilen muss, um die Reihenfolge ändern zu können. Oft ist eine

Skizze sehr hilfreich!

Beispiel:

Gesucht ist die Fläche des Gebietes 𝐴. D.h. man muss ∬ 1 𝑑𝐴𝐴

berechnen.

Integration 𝑑𝑦𝑑𝑥:

∬𝑑𝐴𝐴

= ∫ (∫ 1 𝑑𝑦𝑥2

0

)𝑑𝑥2

−2

= ∫ 𝑥2𝑑𝑥2

−2

=16

3

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Analysis PVK 2019 42 © Crameri/Grass

Falls man nun aus irgendwelchen unerfindlichen Gründen die Reihenfolge vertauschen möchte

(macht hier wenig Sinn) geht man folgendermassen vor:

Umkehrfunktion: 𝑦 = 𝑥2 ↝ 𝑥 = ±√𝑦

Integration 𝑑𝑥𝑑𝑦:

∬𝑑𝐴𝐴

= ∫ (∫ 1 𝑑𝑥−√𝑦

−2

) 𝑑𝑦𝟒

𝟎

+∫ (∫ 12

√𝑦

𝑑𝑥) 𝑑𝑦𝟒

𝟎

= ∫ (−√𝑦4

0

+ 2)𝑑𝑦 + ∫ (2 − √𝑦4

0

)𝑑𝑦

= ∫ (4 − 2√𝑦4

0

)𝑑𝑦 =16

3

BEMERKUNG: Es empfiehlt sich immer (auch bei nicht kartesischen Koordinaten) in positive

Koordinatenrichtungen zu integrieren. Andernfalls muss man noch berücksichtigen, dass die

infinitesimalen Elemente 𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧 negativ werden: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎

𝑏

𝑏

𝑎

8.3 Koordinatentransformationen

Oft ist es viel einfacher eine Aufgabe nicht in kartesischen, sondern in anderen Koordinaten zu

lösen. (eigentlich ist es bei solchen Aufgaben meist unmöglich, das Problem in kartesischen

Koordinaten zu lösen ;-) )

Werden die kartesischen Koordinaten 𝑥, 𝑦, 𝑧 durch neue Koordinaten 𝑢, 𝑣, 𝑤 ersetzt muss man

aufpassen, dass die infinitesimalen Flächenelemente 𝑑𝑥𝑑𝑦 oder Volumenelemente 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 nicht

einfach zu 𝑑𝑢𝑑𝑣 bzw. 𝑑𝑢𝑑𝑣𝑑𝑤 werden, sondern es kommt noch ein Verzerrungsfaktor hinzu. (Man

muss ja auch beim eindimensionalen Integral das 𝑑𝑥 der Substitution anpassen.)

Den Verzerrungsfaktor berechnet man durch die Jacobideterminante:

𝑑𝑉 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝑑𝑒𝑡(𝐽) · 𝑑𝑢𝑑𝑣𝑑𝑤 = |

𝑥𝑢 𝑥𝑣 𝑥𝑤𝑦𝑢 𝑦𝑣 𝑦𝑤𝑧𝑢 𝑧𝑣 𝑧𝑤

| 𝑑𝑢𝑑𝑣𝑑𝑤

Oder in 2D:

𝑑𝐴 = 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑑𝑒𝑡(𝐽) 𝑑𝑢𝑑𝑣 = |𝑥𝑢 𝑥𝑣𝑦𝑢 𝑦𝑣

| 𝑑𝑢𝑑𝑣

Dafür muss man zuerst die alten Koordinaten 𝑥, 𝑦, 𝑧 mithilfe der neuen ausdrücken: 𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣, 𝑤),

𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣, 𝑤), 𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣, 𝑤) , dann alle partiellen Ableitungen bilden und die Determinante

berechnen. (Kann sehr mühsam sein)

Beispiel: Zylinderkoordinaten

𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2; 𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (𝑦

𝑥) ; 𝑧 = 𝑧

⇒ 𝑥 = 𝑟 · 𝑐𝑜𝑠 𝜑 ; 𝑦 = 𝑟 · 𝑠𝑖𝑛 𝜑 ; 𝑧 = 𝑧

Jacobideterminante:

|𝐽| = |

𝑥𝑟 𝑥𝜑 𝑥𝑧𝑦𝑟 𝑦𝜑 𝑦𝑧𝑧𝑟 𝑧𝜑 𝑧𝑧

| = |𝑐𝑜𝑠 𝜑 −𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜑 0𝑠𝑖𝑛 𝜑 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑 00 0 1

| = 1 · (𝑟 𝑐𝑜𝑠2(𝜑) + 𝑟 𝑠𝑖𝑛2(𝜑)) = 𝑟

Das ergibt: 𝑑𝑉 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝑟 · 𝑑𝑟𝑑𝑧𝑑𝜑

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Analysis PVK 2019 43 © Crameri/Grass

Für die gängigsten Koordinaten lohnt es sich, das Ganze auf die Zusammenfassung zu schreiben:

Zylinder/Polar (𝑟, 𝜑, 𝑧) Kugel (𝑟, 𝜑, 𝜃) Ellipse/Ellipsenzylinder

(𝑟, 𝜑, 𝑧)

𝑥 = 𝑟 ∙ cos𝜑

𝑦 = 𝑟 ∙ sin𝜑

𝑧 = 𝑧

𝑑𝐴 = 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜑

𝑑𝑉 = 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜑 𝑑𝑧

𝑑𝑂 = 𝑅 𝑑𝜑𝑑𝑧

𝑥 = 𝑟 sin 𝜃 cos 𝜑

𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 sin𝜑

𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑑𝑉 = 𝑟2 sin 𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝜃

𝑑𝑂 = 𝑅2 sin 𝜃 𝑑𝜑𝑑𝜃

𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑟 ∙ cos 𝜑

𝑦 = 𝑏 ∙ 𝑟 ∙ sin𝜑

𝑧 = 𝑧

𝑑𝐴 = 𝑎 𝑏 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜑

𝑑𝑉 = 𝑎 𝑏 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜑 𝑑𝑧

𝑑𝑂 = 𝑎𝑏𝑑𝑧𝑑𝜑

ACHTUNG: Falls der Winkel 𝜃 bei den Kugelkoordinaten von der 𝑥, 𝑦-Ebene aus nach oben

gemessen wird, ist das Volumenelement 𝑑𝑉 = 𝑟2 cos(𝜃) 𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝜃 und auch gilt z.B.

𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 cos 𝜑!

Das 𝑑𝑂 in obiger Tabelle bezeichnet ein infinitesimales Stück der Oberfläche eines

dreidimensionalen Kreiszylinders/Kugel/Ellipsenzylinders (siehe Abschnitt Berechnung von

Oberflächen: 𝑑𝑂 = |𝑟𝑢 × 𝑟𝑣| 𝑑𝑢𝑑𝑣) Das R (als Grossbuchstabe) steht dabei für den fixen Radius des

Zylinders / der Kugel. Das R ist also eine konstante, im Gegensatz zu r das eine koordinate

bezeichnet.

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Analysis PVK 2019 44 © Crameri/Grass

9 Anwendungen der Integralrechnung

Im Folgenden werden einige typische Anwendungen von Mehrfachintegralen dargestellt. Am

Ende jedes Unterkapitels sind jeweils noch Formeln aufgelistet, auf die man zwar auch mit

Mehrfachintegralen kommen kann, die es sich aber lohnt direkt zu verwenden, um Zeit zu sparen.

Nachfolgend steht 𝑓(𝑥) jeweils für eine explizit gegebene Kurve in der 2D-Ebene, also 𝑦 = 𝑓(𝑥).

𝑓′(𝑥) sei deren Ableitung und 𝑥 = 𝑓−1(𝑦) die Umkehrfunktion. Des Weiteren stehen 𝑥(𝑡) und 𝑦(𝑡) für

eine Parametrisierung einer ebenen Kurve, also 𝑟(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)).Es sind dann ��(𝑡) und ��(𝑡) die

Ableitungen nach dem Parameter 𝑡. Ausserdem steht 𝜌 = 𝜌(𝜑) für eine Kurve in Polarkoordinaten

und �� = 𝜌′(𝜑) wiederum für die Ableitung.

Es gelten dann die folgenden Zusammenhänge:

Will man eine explizit gegebene Kurve 𝑓(𝑥) als Parameterdarstellung schreiben, so geht

dies am einfachsten, wenn man 𝑥 als Parameter nimmt: 𝑟(𝑥) = (𝑥, 𝑓(𝑥)). Die Ableitung

nach dem Parameter 𝑥 ist dann: ��(𝑥) = (1, 𝑓′(𝑥))

Will man eine Kurve in Polarkoordinaten in eine Parameterdarstellung mit Parameter 𝜑

überführen, so ergibt sich: 𝑟(𝜑) = (𝜌 ∙ cos 𝜑 , 𝜌 ∙ sin𝜑) und für die Ableitung mit der

Produktregel: ��(𝜑) = (�� cos 𝜑 − 𝜌 sin𝜑 , �� sin𝜑 + 𝜌 cos𝜑)

Die Formeln sind nachfolgend jeweils für diese drei Darstellungsarten von Kurven angegeben.

9.1 Bogenlänge

𝐿 = ∫ |��(𝑡)|𝑡2

𝑡1

𝑑𝑡 = ∫ √��(𝑡)2 + ��(𝑡)2𝑑𝑡𝑡2

𝑡1

= ∫ √1 + (𝑓′(𝑥))2𝑑𝑥

𝑥2

𝑥1

= ∫ √𝜌2 + ��2𝑑𝜑𝜑2

𝜑1

9.2 Fläche

Um eine Teilfläche 𝐵 der 2D-Ebene zu berechnen Integriert man einfach die Funktion 𝑓 ≡ 1 über

das interessierende Gebiet 𝐵:

𝐴 =∬1 𝑑𝐴𝐵

Verzerrungsfaktor nicht vergessen, falls nicht in kartesischen Koordinaten gerechnet wird!

Fläche zwischen Kurve und x-Achse: (𝑑𝑥 =𝑑𝑥

𝑑𝑡∙ 𝑑𝑡 = ��(𝑡)𝑑𝑡)

𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑥2

𝑥1

= ∫ 𝑦(𝑡) ��(𝑡) 𝑑𝑡𝑡2

𝑡1

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Analysis PVK 2019 45 © Crameri/Grass

Fläche zwischen Kurve und y-Achse: (𝑑𝑦 =𝑑𝑦

𝑑𝑡∙ 𝑑𝑡 = ��(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥)

𝐴 = ∫ 𝑥(𝑡)��(𝑡)𝑑𝑡𝑡2

𝑡1

= ∫ 𝑓−1(𝑦)𝑑𝑦𝑦2

𝑦1

= ∫ 𝑥 ∙ 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥𝑥2

𝑥1

Sektorfläche (siehe Skizze) einer ebenen Kurve:

𝐴 = | 1

2∫ (𝑥(𝑡)��(𝑡) − ��(𝑡)𝑦(𝑡)) 𝑑𝑡𝑡2

𝑡1

| =1

2∫ (𝜌(𝜑))

2𝑑𝜑

𝜑2

𝜑1

Falls die Kurve geschlossen ist, d.h. (𝑥(𝑡1)𝑦(𝑡1)) = (𝑥(𝑡2), 𝑦(𝑡2)) kann auch die folgende Formel für

die Sektorfläche verwendet werden:

𝐴 = |∫ ��(𝑡)𝑦(𝑡)𝑑𝑡𝑡2

𝑡1

| = |∫ ��(𝑡)𝑥(𝑡)𝑑𝑡𝑡2

𝑡1

|

Etwas komplizierter wird es, falls eine zweidimensionale Oberfläche in einem 3D Raum berechnet

werden muss. In diesem Fall muss man die Fläche zuerst mit zwei Parametern (z.B. 𝑢, 𝑣 )

parametrisieren. D.h. man stellt alle Punkte 𝑟 der Fläche als Fkt. von 𝑢 und 𝑣 dar (𝑟 = 𝑟(𝑢, 𝑣)). Das

infinitesimale Oberflächenelement ergibt sich dann zu:

𝑑𝑂 = |𝑟𝑢 × 𝑟𝑣| 𝑑𝑢𝑑𝑣

Man muss also die partiellen Ableitungen bilden, das Kreuzprodukt ausrechnen und dann den

Betrag des resultierenden Vektors berechnen. (kann ziemlich mühsam sein)

Die Oberfläche ist dann:

𝐴 = ∬|𝑟𝑢 × 𝑟𝑣|𝐵

𝑑𝑢𝑑𝑣

Auf die gleiche Art können auch Funktionen über Oberflächen im 3D-Raum integriert werden

(kommt allerdings eher selten vor):

∬𝑓(𝑢, 𝑣) 𝐵

|𝑟𝑢 × 𝑟𝑣| 𝑑𝑢𝑑𝑣

HINWEIS: Bei einer Kugel mit Radius 𝑅 ist die Parametrisierung

𝑟 = 𝑟(𝜃, 𝜑) = (𝑅 sin 𝜃 cos𝜑𝑅 sin 𝜃 sin 𝜑𝑅 cos 𝜃

) und 𝑑𝑂 = |𝑟𝜃 × 𝑟𝜑|𝑑𝜃𝑑𝜑 = 𝑟2 sin 𝜃 𝑑𝜃𝑑𝜑 (𝜃 von oben gemessen)

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Analysis PVK 2019 46 © Crameri/Grass

Ist die Oberfläche explizit durch eine Funktion 𝑓(𝑥) gegeben, ist deren Parametrisierung

𝑟(𝑥, 𝑦) = (

𝑥𝑦

𝑓(𝑥, 𝑦)) und die Oberfläche wird zu:

𝐴 =∬ √𝑓𝑥2 + 𝑓𝑦

2 + 1𝐵

𝑑𝑥𝑑𝑦

Oberfläche von Rotationskörper einer Kurve um die x-Achse:

𝐴 = 2𝜋∫ 𝑦(𝑡)√��(𝑡)2 + ��(𝑡)2𝑡2

𝑡1

𝑑𝑡 = 2𝜋∫ 𝑓(𝑥)√1 + 𝑓′(𝑥)2𝑥2

𝑥1

𝑑𝑥

Oberfläche von Rotationskörper einer Kurve um die y-Achse:

𝐴 = 2𝜋∫ 𝑥(𝑡)√��(𝑡)2 + ��(𝑡)2𝑡2

𝑡1

𝑑𝑡 = 2𝜋∫ 𝑥√1 + 𝑓′(𝑥)2𝑥2

𝑥1

𝑑𝑥

9.3 Volumen

Bei Volumen gilt das analoge zu Flächen. Man integriert die Funktion 𝑓 ≡ 1 über den

interessierenden Bereich 𝐵:

𝑉 =∭1 𝑑𝑉𝐵

Volumen des Rotationskörpers einer ebenen Kurve um die x-Achse (𝑑𝑥 =𝑑𝑥

𝑑𝑡𝑑𝑡 = ��(𝑡)𝑑𝑡):

𝑉 = 𝜋∫ 𝑦(𝑡)2��(𝑡) 𝑑𝑡𝑡2

𝑡1

= 𝜋∫ 𝑓(𝑥)2𝑑𝑥𝑥2

𝑥1

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Analysis PVK 2019 47 © Crameri/Grass

Volumen des Rotationskörpers einer ebenen Kurve um die y-Achse (𝑑𝑦 =𝑑𝑦

𝑑𝑡∙ 𝑑𝑡 = ��(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥)

𝑉 = 𝜋∫ 𝑥(𝑡)2��(𝑡)𝑑𝑡𝑡2

𝑡1

= 𝜋∫ (𝑓−1(𝑦))2𝑑𝑦

𝑦2

𝑦1

= 𝜋∫ 𝑥2 𝑓′(𝑥) 𝑑𝑥𝑥2

𝑥1

Oder falls der „äusserer Bereich“ um die y-Achse rotiert (𝑑𝑥 =𝑑𝑥

𝑑𝑡∙ 𝑑𝑡 = ��(𝑡)𝑑𝑡):

𝑉 = 2𝜋∫ 𝑥(𝑡)𝑦(𝑡)��(𝑡)𝑑𝑡𝑡2

𝑡1

= 2𝜋∫ 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑥2

𝑥1

9.4 Masseschwerpunkt

Der Schwerpunkt eines Körpers 𝐵 ist der Mittelpunkt aller Massenelemente. Man muss jede

Schwerpunktkoordinate separat ausrechnen. Zunächst berechnet man das Integral über alle

Massenelemente 𝑑𝑚 gewichtet mit der jeweiligen Koordinate (∭ 𝐾𝑜𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡𝑒 · 𝑑𝑚𝐵

), dieses teilt

man dann durch die Gesamtmasse 𝑀 (∭ 𝑑𝑚𝐵

):

𝑀 =∭ 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧⏟ =𝑑𝑉⏟

=𝑑𝑚

𝐵

𝜌 = 𝐷𝑖𝑐ℎ𝑡𝑒

𝑥𝑠 =

∭ 𝑥 · 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧⏟ =𝑑𝑚

𝐵

𝑀; 𝑦𝑠 =

∭ 𝑦 · 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧⏟ =𝑑𝑚

B

𝑀; 𝑧𝑠 =

∭ 𝑧 · 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧⏟ =𝑑𝑚

𝐵

𝑀

BEACHTE: Falls der Körper und die Dichteverteilung Symmetrien besitzen muss man nicht alle diese

Intergrale ausrechen. Der Schwerpunkt liegt dann auf der Symmetrieachse. Solche Symmetrien

gibt es eigentlich bei fast allen Aufgaben.

ACHTUNG: Falls der Körper zwar symmetrisch ist, aber die Dichteverteilung nicht, muss man

trotzdem das Integral berechnen!

Hat man mehrere Körper, berechnet man zunächst deren einzelne Schwerpunkte 𝑥𝑠 𝑖 und Massen

𝑀𝑖. Der Gesamtschwerpunkt ist dann:

𝑥𝑠 =∑ 𝑥𝑠 𝑖 · 𝑀𝑖𝑖

∑ 𝑀𝑖𝑖

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Analysis PVK 2019 48 © Crameri/Grass

9.5 Volumenschwerpunkt

Der Volumenschwerpunkt ist der Mittelpunkt aller Volumenelemente. Hier bildet man zuerst das

Integral über die Koordinaten gewichtet mit den Volumenelemente 𝑑𝑉 und teilt dieses dann

durch das Gesamtvolumen 𝑉:

𝑉 =∭ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧⏟ =𝑑𝑉𝐵

𝑥𝑠 =∭ 𝑥 · 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝐵

𝑉; 𝑦𝑠 =

∭ 𝑦 · 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝐵

𝑉 ; 𝑧𝑠 =

∭ 𝑧 · 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝐵

𝑉

Bei mehreren Körpern wieder:

𝑥𝑠 =∑ 𝑥𝑠 𝑖 · 𝑉𝑖𝑖

∑ 𝑉𝑖𝑖

Auch hier unbedingt Symmetrien ausnutzen

Ist die Dichte konstant, fallen der Masseschwerpunkt und der Volumenschwerpunkt zusammen!

9.6 Flächenschwerpunkt

Hier wird der Mittelpunkt aller Flächenelemente in einer 2D-Ebene gesucht. Die Koordinaten

werden mit dem Flächenelement 𝑑𝐴 = 𝑑𝑥𝑑𝑦 gewichtet:

𝐴 =∬𝑑𝑥𝑑𝑦𝐵

𝑥𝑠 =∬ 𝑥 · 𝑑𝑥𝑑𝑦𝐵

𝐴; 𝑦𝑠 =

∬ 𝑦 · 𝑑𝑥𝑑𝑦𝐵

𝐴

Bei mehreren Flächen:

𝑥𝑠 =∑ 𝑥𝑠 𝑖 · 𝐴𝑖𝑖

∑ 𝐴𝑖𝑖

Der Schwerpunkt (𝑥𝑠, 𝑦𝑠) eines ebenen Körpers mit Fläche 𝐴 = ∫ 𝐻(𝑥)𝑑𝑥𝑥2𝑥1

= ∫ 𝐵(𝑦)𝑦2𝑦1

𝑑𝑦 ist gegeben

als:

𝑥𝑠 =1

𝐴∫ 𝑥𝐻(𝑥)𝑑𝑥 𝑥2

𝑥1

𝑦𝑠 =1

𝐴∫ 𝑦𝐵(𝑦)𝑑𝑦𝑦2

𝑦1

Hierbei ist 𝐻(𝑥) die „Höhe“ der Fläche im Abstand 𝑥 zur y-Achse und analog 𝐵(𝑥) die „Breite“ der

Fläche im Abstand 𝑦 zur x-Achse. 𝐻(𝑥)𝑑𝑥 und 𝐵(𝑦)𝑑𝑦 sind dann jeweils infinitesimale

Flächenelenente.

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9.7 Massenträgheitsmomente

Masseträgheitsmoment bezüglich x-Achse des Körpers 𝐵 mit Dichte 𝜌:

𝐼𝑥 =∭ (𝑦2 + 𝑧2)⏟ =𝐴𝑏𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑2

· 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧⏟ =𝑑𝑚𝐵

Analog: 𝐼𝑦 =∭ (𝑥2 + 𝑧2) · 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝐵

; 𝐼𝑧 =∭ (𝑥2 + 𝑦2) · 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝐵

Massenträgheitsmoment bzgl. x-Achse des Rotationskörpers der expliziten Fkt. 𝑦 = 𝑦(𝑥) um die x-

Achse mit konstanter Dichte 𝜌:

𝐼𝑥 =1

2𝜌𝜋∫ 𝑦(𝑥)4

𝑥2

𝑥1

𝑑𝑥

Bei Rotation der parametrisierten Kurve (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) um die x-Achse:

𝐼𝑥 =1

2𝜌𝜋∫ 𝑦(𝑡)4 |��(𝑡)| 𝑑𝑡

𝑡2

𝑡1

9.8 Flächenträgheitsmomente

Flächenträgheitsmoment der Fläche 𝐵 bzgl. x-Achse resp. y-Achse:

𝐼𝑥 =∬𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝐵

; 𝐼𝑦 =∬𝑥2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝐵

ACHTUNG: Falls zu Polarkoordinaten gewechselt wird, wird z.B. 𝑥2 zu 𝑟2 cos2 𝜑 und 𝑑𝐴 = 𝑑𝑥𝑑𝑦 zu

𝒓𝑑𝑟𝑑𝜑. D.h. man hat dann insgesamt 𝑟𝟑!

Polares Flächenträgheitsmoment:

𝐼𝑝 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 =∬(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦𝐵

=∬𝑟3𝑑𝑟𝑑𝜑𝐵

9.9 Trägheitsmomente eindimensionaler Körper (Stäbe)

Es sei ein dünner Stab gegeben, der auf der x-Achse liegt und von 𝑥1 bis 𝑥2 ausgedehnt ist. Seine

Längendichte sei 𝜆(𝑥) [𝑘𝑔

𝑚] . (Oft ist 𝜆 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. oder sogar ganz vernachlässigbar: 𝜆 = 1 ) Das

Trägheitsmoment des Stabes bezüglich der y-Achse ist dann:

𝐼𝑦 = ∫ 𝑥2𝜆(𝑥)𝑥2

𝑥1

𝑑𝑥

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10 Vektoranalysis

10.1 Begriffe

Im Folgenden werden als anschauliche Beispiele eine strömende Flüssigkeit im dreidimensionalen

Raum sowie eine Landschaftskarte (2D) verwendet.

Ein Skalarfeld 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) ist eine Funktion die jedem Punkt im Raum eine Skalare Grösse

zuordnet. Dies könnte in unserem Beispiel die Temperatur der Flüssigkeit an einem Ort sein,

oder z.B. die Kinetische Energie eines Wasserpartikels an diesem Ort. Oder bei der Karte

wäre z.B. 𝑓(𝑥, 𝑦) ein Skalarfeld, das jedem Ort in der Ebene eine Höhe über dem Meer

zuordnet.

Ein Vektorfeld �� = (

𝑣1(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑣2(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝑣3(𝑥, 𝑦, 𝑧)) ordnet jedem Punkt im Raum ein Vektor, also eine Grösse in

eine gewisse Richtung zu. Das wäre z.B. die Geschwindigkeit eines Wasserpartikels in

jedem Punkt.

Ein Skalarfeld oder ein Vektorfeld heissen stationär, wenn ihre Werte nur vom Ort

(𝑥, 𝑦, 𝑧) und nicht von der Zeit 𝑡 abhängen. Wir werden uns eigentlich nur mit solchen

Vektorfeldern beschäftigen.

Die Divergenz 𝑑𝑖𝑣(��(𝑥, 𝑦, 𝑧)) = ∇ ∙ �� =𝜕��1

𝜕𝑥+𝜕��2

𝜕𝑦+𝜕��3

𝜕𝑧 ist eine Abbildung, die einem Vektorfeld

ein Skalarfeld zuordnet. Die Divergenz sagt etwas über die Quellstärke eines Vektorfeldes

aus. D.h. bei unserer Flüssigkeit, wo �� das Vektorfeld der Geschwindigkeit wäre, würde die

Divergenz (𝑑𝑖𝑣 ��) uns sagen, wie viel Flüssigkeit an einem Ort „produziert“ wird.

Die Rotation 𝑟𝑜𝑡(��(𝑥, 𝑦, 𝑧)) = ∇ × �� =

(

𝜕𝑣3

𝜕𝑦−𝜕𝑣2

𝜕𝑧

𝜕𝑣1

𝜕𝑧−𝜕𝑣3

𝜕𝑥𝜕𝑣2

𝜕𝑥−𝜕𝑣1

𝜕𝑦)

ist eine Abbildung,

die einem Vektorfeld

eine neues Vektorfeld zuordnet. Die Rotation sagt etwas über die Verwirbelung eines

Vektorfeldes aus. D.h. bei unserer Flüssigkeit wo �� das Vektorfeld der Geschwindigkeit

wäre, würde uns die Rotation 𝑟𝑜𝑡 �� sagen, ob es Wirbel gibt, wie stark diese sind, und in

welche Richtung sie zeigen. Die Rotation steht in jedem Punkt senkrecht auf der

Verwirbelung, wobei deren Umlaufsinn durch die Rechte-Hand-Regel gegeben ist. D.h.

der Rotationsvektor ist sozusagen die Rotationsachse der Verwirbelung und bildet mit

dieser eine Rechtsschraube.

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10.2 Übersicht und Identitäten

Gradient: 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)) =

(

𝜕

𝜕𝑥𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧)

⏟ =��

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (

𝑓𝑥𝑓𝑦𝑓𝑧

) SkalarfeldVektorfeld

Divergenz: 𝑑𝑖𝑣(��) =

(

𝜕

𝜕𝑥𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧)

∙ (

𝑣1𝑣2𝑣3) =

𝜕��1

𝜕𝑥+𝜕��2

𝜕𝑦+𝜕��3

𝜕𝑧 VektorfeldSkalarfeld

Rotation: 𝑟𝑜𝑡(��) =

(

𝜕

𝜕𝑥𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧)

× (

𝑣1𝑣2𝑣3) =

(

𝜕𝑣3

𝜕𝑦−𝜕𝑣2

𝜕𝑧

𝜕𝑣1

𝜕𝑧−𝜕𝑣3

𝜕𝑥𝜕𝑣2

𝜕𝑥−𝜕𝑣1

𝜕𝑦)

Vektorfeld Vektorfeld

𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑓𝑔) = 𝑓 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑔) + 𝑔 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑓)

𝑟𝑜𝑡(𝑓��) = 𝑓 𝑟𝑜𝑡(��) + 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑓) × ��

𝑑𝑖𝑣(𝑓��) = 𝑓 𝑑𝑖𝑣(��) + 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑓) ∙ ��

𝑑𝑖𝑣(�� × ��) = −�� ∙ 𝑟𝑜𝑡(��) + �� ∙ 𝑟𝑜𝑡(��)

𝑑𝑖𝑣(𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑓)) = 𝑓𝑥𝑥 + 𝑓𝑦𝑦 + 𝑓𝑧𝑧 =: 𝛥𝑓 𝛥 =Laplaceoperator

𝑑𝑖𝑣(𝑟𝑜𝑡 ��) = 0 (Wirbelfelder sind quellenfrei)

𝑟𝑜𝑡(𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑓)) = 0 (Potentialfelder sind wirbelfrei/konservativ)

𝑟𝑜𝑡(𝑟𝑜𝑡 ��) = 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑑𝑖𝑣 ��) − (𝛥𝑣1, 𝛥𝑣2, 𝛥𝑣3)𝑇

10.3 Fluss

Bei einem Vektorfeld kann man dessen Fluss durch eine Fläche berechnen. Im Beispiel einer

strömenden Flüssigkeit sagt der Fluss z.B. aus wie viel Liter Wasser pro Sekunde durch eine Fläche

fliessen. Der Fluss eines Vektorfelds ist definiert als:

𝛷 =∬ �� ∙ 𝑑𝐴 = ∬�� ∙ ��0 𝑑𝐴𝐴𝐴

Wobei ��0 hier ein normierter Normalenvektor auf die Fläche ist d.h. |𝑛0| = 1 . Diese Art der

Berechnung brauchen wir allerdings nur wenn die betrachtete Fläche eine Ebene ist. Ansonsten

müssen wir die betrachtete Fläche durch 𝑟 = 𝑟(𝑢, 𝑣) parametrisiere. Der Fluss ist dann:

𝛷 =∬ ��(𝑢, 𝑣) ∙ 𝑟𝑢(𝑢, 𝑣) × 𝑟𝑣(𝑢, 𝑣)⏟ =��𝐴

𝑑𝑢 𝑑𝑣

ACHTUNG: hier muss �� = 𝑟𝑢 × 𝑟𝑣 nicht normiert werden. Da der Betrag von �� gerade der

Korrekturfaktor des Oberflächenelementes ist (𝑑𝑂 = |𝑟𝑢 × 𝑟𝑣| 𝑑𝑢𝑑𝑣)

ACHTUNG: beachte die Richtung von 𝑟𝑢(𝑢, 𝑣) × 𝑟𝑣(𝑢, 𝑣)

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Analysis PVK 2019 52 © Crameri/Grass

MERKE: Der Fluss durch eine Fläche in eine Richtung ist genau das negative wie der Fluss durch die

gleiche Fläche in die entgegengesetzte Richtung:

∬�� ∙ ��𝐴

= −∬�� ∙ (−��𝐴

)

10.4 Satz von Gauss

Der Satz von Gauss besagt, dass der Fluss durch eine geschlossene Fläche von innen nach aussen

das gleiche ist wie die Divergenz integriert über das Volumen, das diese Fläche einschliesst:

𝛷 =∯�� ∙ ��0 𝑑𝐴 =∭𝑑𝑖𝑣(��)𝑉

𝑑𝑉

Was im Volumen an Flüssigkeit produziert wird fliesst aussen raus

Bei Aufgaben wo der Fluss durch komplizierte Flächen gesucht ist, ist es oft gut zuerst mit dem Satz

von Gauss den Fluss durch ein Volumen zu berechnen und danach die nichtgewollten Teile

abzuziehen!

Beispiel:

Berechne den Fluss von unten nach oben (innen nach aussen) des

Vektorfledes �� = (𝑥 + 1, 3𝑦, 2𝑧 − 2) durch den Mantel (ohne Boden, der

rote Fluss in der Skizze) des Kreiskegels mit Grundfläche 𝑥2 + 𝑦2 < 4 bei

𝑧 = 0 und Spitze in (0,0,3).

Der Fluss von innen nach aussen durch das gesamte Volumen (Mantel und Boden) lässt sich mit

dem Satz von Gauss berechnen

𝛷𝐺𝑒𝑠𝑎𝑚𝑡 =∭ 𝑑𝑖𝑣(��)𝑑𝑉𝐾𝑒𝑔𝑒𝑙

=∭ 6 𝑑𝑉𝐾𝑒𝑔𝑒𝑙

= 6 ∙ 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛(𝐾𝑒𝑔𝑒𝑙) = 6 ∙1

3∙ 22𝜋 ∙ 3 = 24𝜋

Den Fluss von oben nach unten (innen nach aussen) durch den Boden erhält man mit der

Definition des Flussintegrals (Aufpassen muss man hier auf das Voreichen! Da wir den Fluss von

oben nach unten suchen, muss der Normalenvektor (0,0, −1) sein und nicht (0,0,1)

𝛷𝐵𝑜𝑑𝑒𝑛 =∬ �� ∙ (00−1)

𝐵𝑜𝑑𝑒𝑛

𝑑𝐴 = ∬ (−2𝑧 + 2)𝑑𝐴𝐵𝑜𝑑𝑒𝑛

=⏟𝑧=0

∬ 2𝑑𝐴𝐵𝑜𝑑𝑒𝑛

= 2 ∙ 𝐹𝑙ä𝑐ℎ𝑒(𝐵𝑜𝑑𝑒𝑛) = 2 ∙ 22𝜋

= 8𝜋

Der Gesuchte Fluss ist dann

𝛷𝑀𝑎𝑛𝑡𝑒𝑙 = 𝛷𝐺𝑒𝑠𝑎𝑚𝑡 − 𝛷𝐵𝑜𝑑𝑒𝑛 = 24𝜋 − 8𝜋 = 16𝜋

10.5 Arbeit

Die Arbeit W, die ein Vektorfeld entlang eines Weges 𝛾 verrichtet, ist gegeben durch das

Wegintegral entlang 𝛾 vom Start- bis zum Endpunkt:

𝑊 = ∫��(𝑟) ∙ 𝑑𝑟𝛾

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Analysis PVK 2019 53 © Crameri/Grass

Um dieses Integral konkret auszurechnen parametrisiert man den Weg 𝛾 . Es ist dann 𝑟(𝑡) die

Parametrisierung von 𝛾 mit Parameter 𝑡 . 𝑑𝑟 wird dann zu 𝑑𝑟

𝑑𝑡𝑑𝑡 = �� 𝑑𝑡 und ��(𝑟) zu ��(𝑟(𝑡)). Das heisst

falls �� vorher von 𝑥, 𝑦, 𝑧 abhängig war, hängen jetzt 𝑥, 𝑦, 𝑧 entlang von 𝛾 vom Parameter 𝑡 ab. D.h.

�� hängt jetzt auch nur noch von 𝑡 ab. Das Integral wird dann zu (der Anfangsort von 𝛾 sei 𝑟(𝑡1) und

das Ende 𝑟(𝑡2)):

𝑊 = ∫ ��(𝑟(𝑡)) ∙𝑡2

𝑡1

�� 𝑑𝑡

Beispiel:

Berechne die Arbeit des Vektorfeldes �� = (𝑦, 3, 𝑒𝑦 ∙ 𝑧) entlang des geraden Weges von (1,1,2) nach

(3,5,2).

Die Parametrisierung der Geraden erhält man durch

𝑟(𝑡) = (112) + 𝑡 ((

352) − (

112)) = (

1 + 2𝑡1 + 4𝑡2

) ��(𝑡) = (240) 𝑡 ∈ [0,1]

Die Arbeit lässt sich dann folgendermassen berechnen.

𝑊 = ∫ (𝑦(𝑡)

3𝑒𝑦(𝑡)𝑧(𝑡)

)

⏟ =��(𝑟(𝑡))

∙ ��(𝑡)𝑑𝑡1

0

= ∫ (1 + 4𝑡3

𝑒1+4𝑡 ∙ 2 )

1

0

∙ (240)𝑑𝑡 = ∫ (14 + 8𝑡)𝑑𝑡

1

0

= 18

10.6 Satz von Stokes

Der Satz von Stokes besagt, dass die Arbeit eines Vektorfeldes entlang eines geschlossenen

Weges 𝜕𝐴 das gleiche ist wie die Rotation dieses Vektorfeldes über die eingeschlossene Fläche 𝐴

integriert. (𝜕𝐴 ist der Rand von 𝐴)

𝑊 = ∮ �� ∙ 𝑑𝑟 = ∬𝑟𝑜𝑡 �� · 𝑑𝐴𝐴𝜕𝐴

=∬𝑟𝑜𝑡 �� · ��0𝐴

𝑑𝐴

Wobei der Normaleneinheitsvektor ��0 Länge 1 haben muss und mit der Orientierung des Weges

eine Rechtsschraube bilden muss.

Beispiel:

Berechne die Arbeit des Vektorfeldes �� = (𝑒𝑦𝑧 + 5𝑥, 2𝑥 + 𝑦2, 5) entlang des Kreises 𝑥2 + 𝑦2 = 4 bei

𝑧 = 0 im Uhrzeigersinn.

Die Rotation des Vektorfeldes ist

𝑟𝑜𝑡(��) =

(

𝜕

𝜕𝑥𝜕

𝜕𝑦𝜕

𝜕𝑧)

× (𝑒𝑦𝑧 + 5𝑥2𝑥 + 𝑦2

5

) = (0𝑒𝑦

2 − 𝑒𝑦𝑧)

Da der Weg (ein Kreis) geschlossen ist, kann der Satz von Stokes angewendet werden. (Achtung:

da man die Arbeit im Uhrzeigersinn berechnen will muss der Normalenvektor hier (0,0, −1) sein,

damit die Orientierung mit dem Normalenvektor eine Rechtsschraube bildet!

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Analysis PVK 2019 54 © Crameri/Grass

𝑊 =∬ 𝑟𝑜𝑡(��) ∙ ��𝐾𝑟𝑒𝑖𝑠

𝑑𝐴 =∬ (0𝑒𝑦

2 − 𝑒𝑦𝑧) ∙ (

00−1)𝑑𝐴

𝐾𝑟𝑒𝑖𝑠

=∬ (−2 + 𝑒𝑦𝑧)𝑑𝐴𝐾𝑟𝑒𝑖𝑠

=⏟𝑧=0

∬ (−2)𝑑𝐴 = (−2) ∙ 𝐹𝑙ä𝑐ℎ𝑒(𝐾𝑟𝑒𝑖𝑠)𝐾𝑟𝑒𝑖𝑠

= −2 ∙ 22𝜋 = −8𝜋

10.7 Potentialfelder

Erfüllt ein Vektorfeld die Bedingung 𝑟𝑜𝑡(��) = 0 für jeden Ort (𝑥, 𝑦, 𝑧) (und ist das Definitionsgebiet

von �� einfach zusammenhängend), dann sagt man �� ist ein Gradientenfeld eines Potentialfeldes

𝑃. D.h. es gilt

𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑃) = �� (

𝑣1𝑣2𝑣3) = (

𝑃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧

)

Das Potential 𝑃 findet man durch Integrieren von ∫ 𝑣1𝑑𝑥, ∫ 𝑣2𝑑𝑦 und ∫ 𝑣3𝑑𝑧 und anschliessendes

vergleichen der Terme (siehe Kapitel Integrabilitätsbedingung).

Da 𝑟𝑜𝑡 (��) überall Null ist, ist das Integral ∬ 𝑟𝑜𝑡 �� · 𝑑𝐴𝐴

immer Null und somit die Arbeit entlang jedes

geschlossenen Weges Null. Daraus folgt, dass die Arbeit eines Weges zwischen zwei Punkten nur

vom Startpunkt (𝑟1) und Endpunkt (𝑟2) abhängt. Man nennt solche Vektorfelder konservativ oder

wirbelfrei. Die Arbeit ist dann:

𝑊 = 𝑃(𝑟2) − 𝑃(𝑟1)

Beispiel:

Berechne die Arbeit des Vektorfeldes �� = (2 cos(𝑥) 𝑧, 2 ln(𝑧) 𝑦 + 2𝑦,𝑦2

𝑧+ 2 sin(𝑥)) entlang eines

beliebigen Weges vom Punkt (0,3,1) zum Punkt (𝜋

2, 1,2)

Da man den Weg beliebig wählen darf, liegt die Vermutung nahe, dass die Arbeit unabhängig

vom Weg ist. Wir beweisen diese Vermutung in dem wir zeigen dass 𝑟𝑜𝑡(��) = 0 ist.

𝑟𝑜𝑡(��) =

(

𝜕

𝜕𝑥𝜕

𝜕𝑦𝜕

𝜕𝑧)

× (

2 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑧

2 𝑙𝑛(𝑧) 𝑦 + 2𝑦

𝑦2

𝑧+ 2 𝑠𝑖𝑛(𝑥)

) = (

2𝑦

𝑧−2𝑦

𝑧2 𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 2 𝑐𝑜𝑠(𝑥)

0

) = (000)

Nun suchen wir das Potential 𝑃. Die Partiellen Ableitungen entsprechen dabei den Komponenten

des Vektorfeldes, also 𝑃𝑥 = 2 cos(𝑥) 𝑧; 𝑃𝑦 = 2 ln(𝑧) 𝑦 + 2𝑦; 𝑃𝑧 =𝑦2

𝑧+ 2 sin (𝑥).

𝑃 = ∫ 𝑃𝑥𝑑𝑥 = ∫2 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑧𝑑𝑥 = 2 𝑠𝑖𝑛(𝑥) 𝑧 + 𝛼(𝑦, 𝑧)

𝑃 = ∫ 𝑃𝑦𝑑𝑦 = ∫(2 𝑙𝑛(𝑧) 𝑦 + 2𝑦)𝑑𝑦 = 𝑙𝑛(𝑧) 𝑦2 + 𝑦2 + 𝛽(𝑥, 𝑧)

𝑃 = ∫ 𝑃𝑧𝑑𝑧 = ∫(𝑦2

𝑧+ 2 𝑠𝑖𝑛(𝑥)) 𝑑𝑧 = 𝑦2 𝑙𝑛(𝑧) + 2 𝑠𝑖𝑛(𝑥) 𝑧 + 𝛾(𝑥, 𝑦)

Wobei 𝛼, 𝛽, 𝛾 hier drei beliebige Funktionen von den jeweiligen Koordinaten sind. Durch

Vergleichen aller Terme erhält man nun

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Analysis PVK 2019 55 © Crameri/Grass

𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2 𝑠𝑖𝑛(𝑥) 𝑧 + 𝑦2 𝑙𝑛(𝑧) + 𝑦2 + 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.

Die Arbeit entspricht der Potentialdifferenz

𝑊 = 𝑃 (𝜋

2, 1,2) − 𝑃(0,3,1)

= 2 𝑠𝑖𝑛 (𝜋

2) ∙ 2 + 12 𝑙𝑛(2) + 12 + 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. −2 𝑠𝑖𝑛(0) ∙ 1 − 32 𝑙𝑛(1) − 32 − 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.

= 𝑙𝑛(2) − 4

Die Konstante beim Potential fällt dabei weg und spielt somit keine Rolle.

10.8 Das Arbeits-Berechnen Flowchart

𝑊 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡∬ 𝑑𝐴 𝑊 = ∬ 𝑟𝑜𝑡�� · �� parametrisieren

→ 𝑟(𝑡) → ��(𝑡)

einsetzen in ��

𝑊 = ∫ ��(𝑟(𝑡)) ·𝑡2

𝑡1

��(𝑡)𝑑𝑡

𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑃 = ��

𝑓𝑥 = 𝑣1

𝑓𝑦 = 𝑣2,

𝑓𝑧 = 𝑣3 𝑊 = 𝑃(𝐸𝑛𝑑𝑒) − 𝑃(𝑆𝑡𝑎𝑟𝑡)

Weg geschlossen?

berechne 𝑟𝑜𝑡�� · �� ≔ 𝐶 ist 𝑟𝑜𝑡 �� = (0,0,0) ?

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Analysis PVK 2019 56 © Crameri/Grass

11 Komplexe Zahlen

11.1 Allgemeines

Definition

Eine komplexe Zahl 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 · 𝑖 besteht aus einem Realteil 𝑅𝑒(𝑧) = 𝑥 und einem Imaginärteil

𝐼𝑚(𝑧) = 𝑦. Der Imaginärteil wird mit der Imaginären-Einheit 𝑖 multipliziert. Diese ist definiert durch:

𝑖2 = −1

BEMERKUNG: Für die Wurzel aus -1 gibt es zwei mögliche Lösungen: √−1 = ±𝑖

Darstellungsformen

Eine komplexe Zahl kann man sich als einen Punkt in der Gauss’schen-Zahlenebene vorstellen.

Oder alternativ auch als Pfeil vom Ursprung zu diesem Punkt. Es gibt drei verschiedene Arten eine

komplexe Zahl zu schreiben (Es sind jeweils noch die Zahlen für obiges Bsp. angegeben):

Kartesische Form: 𝑧 = 𝑅𝑒 + 𝐼𝑚 · 𝑖 = 𝑥 + 𝑦 · 𝑖 = 3 + 4 · 𝑖

Polarform: 𝑧 = |𝑧| · (cos𝜑 + 𝑖 · sin 𝜑) = 𝑟 · (cos𝜑 + 𝑖 · sin𝜑)

= 5 · (cos (53°) + 𝑖 · sin(53°)) = 5 · (cos (0.93) + 𝑖 · sin(0.93))

Exponentialform: 𝑧 = |𝑧| · 𝑒𝑖·𝜑 = 𝑟 · 𝑒𝑖·𝜑 = 5 · 𝑒𝑖·0.93 (𝜑 im Bogenmass)

Die Gleichung 𝑟 · (cos 𝜑 + 𝑖 · sin𝜑) = 𝑟 · 𝑒𝑖·𝜑 heisst Eulerformel und lässt sich mithilfe von

Potenzreihen herleiten.

Umrechnungen

𝑟 = |𝑧| = √𝑥2 + 𝑦2

Wegen der Periodizität des Tangens muss man bei der Berechnung von 𝜑 etwas aufpassen:

𝜑 = {𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (

𝑦

𝑥) (𝑓ü𝑟 𝑥 > 0 𝑎𝑙𝑠𝑜 𝑧 𝑖𝑛 𝑑𝑒𝑟 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑡𝑒𝑛 𝐻𝑎𝑙𝑏𝑒𝑏𝑒𝑛𝑒 )

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (𝑦

𝑥) + 𝜋 (𝑓ü𝑟 𝑥 < 0 𝑎𝑙𝑠𝑜 𝑧 𝑖𝑛 𝑑𝑒𝑟 𝑙𝑖𝑛𝑘𝑒𝑛 𝐻𝑎𝑙𝑏𝑒𝑏𝑒𝑛𝑒 )

𝑥 = 𝑟 · 𝑐𝑜𝑠 𝜑 , 𝑦 = 𝑟 · 𝑠𝑖𝑛 𝜑

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Analysis PVK 2019 57 © Crameri/Grass

Konjugiert Komplexe

Die zu einer komplexen Zahl 𝑧 konjugiert komplexe 𝑧 ist die Zahl 𝑧 mit negativem Imaginärteil.

Geometrisch betrachtet erhält man 𝑧 indem man 𝑧 an der reellen Achse spiegelt:

𝑧 = 𝑥 + 𝑦 · 𝑖 ⇒ 𝑧 = 𝑥 − 𝑦 · 𝑖

𝑧 = 𝑟 · (𝑐𝑜𝑠 𝜑 + 𝑖 · 𝑠𝑖𝑛 𝜑) ⇒ 𝑧 = 𝑟 · (𝑐𝑜𝑠 𝜑 − 𝑖 · 𝑠𝑖𝑛 𝜑)

𝑧 = 𝑟 · 𝑒𝑖·𝜑 ⇒ 𝑧 = 𝑟 · 𝑒−𝑖·𝜑

Sätze:

𝑧 · 𝑧 = (𝑥 + 𝑖 · 𝑦) · (𝑥 − 𝑖 · 𝑦) = 𝑥2 − (𝑖 · 𝑦)2 = 𝑥2 + 𝑦2 = |𝑧|2

𝑧 ± 𝑤 = 𝑧 ± ��

𝑧 · 𝑤 = 𝑧 · ��

(𝑧

𝑤)

=𝑧

��

𝑧 = 𝑧

11.2 Rechenarten

Addition/Subtraktion

Die Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen funktioniert am besten in der Kartesischen

Darstellung. Man addiert bzw. subtrahiert einfach jeweils einzeln den Realteil und den

Imaginärteil. Stellt man sich eine Komplexe Zahl als ein Pfeil in der Gaussebene vor, so funktioniert

die Addition von zwei komplexen Zahlen genau gleich wie die Addition von Vektoren.

Beispiel:

𝑧1 = 3 + 𝑖, 𝑧2 = 1 + 2𝑖

𝑧1 + 𝑧2 = 3 + 𝑖 + 1 + 2𝑖 = 4 + 3𝑖

𝑧1 − 𝑧2 = 3 + 𝑖 − (1 + 2𝑖) = 2 − 𝑖

Multiplikation

Multiplikation in der kartesischen Form kann schnell mühsam werden, da man alles

ausmultiplizieren muss:

Beispiel:

𝑧1 · 𝑧2 = (3 + 𝑖) · (1 + 2𝑖) = 3 + 3 · 2𝑖 + 𝑖 · 1 + 𝑖 · 2𝑖 = 3 + 7𝑖 − 2 = 1 + 7𝑖

Einfacher geht’s in Polar- oder Exponentialform: Die Beträge werden multipliziert und die Winkel

Addiert. In der Exponentialform gelten also die normalen Potenzgesetzte.

𝑧1 · 𝑧2 = 𝑟1(𝑐𝑜𝑠 𝜑1 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝜑1) · 𝑟2(𝑐𝑜𝑠 𝜑2 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝜑2) = (𝑟1 · 𝑟2) · (𝑐𝑜𝑠(𝜑1 + 𝜑2) + 𝑖 𝑠𝑖𝑛(𝜑1 + 𝜑2))

𝑧1 · 𝑧2 = 𝑟1𝑒𝑖𝜑1 · 𝑟2𝑒

𝑖𝜑2 = 𝑟1𝑟2𝑒𝑖(𝜑1+𝜑2)

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Analysis PVK 2019 58 © Crameri/Grass

Beispiel:

𝑧1 = 3𝑒𝑖·𝜋3 𝑧2 = 2𝑒

𝑖·𝜋6

𝑧1 · 𝑧2 = (3 · 2)𝑒𝑖·(𝜋3+𝜋6) = 6𝑒𝑖·

𝜋2 = 6𝑖

Division

Auch die Division ist in kartesischer Form mühsam. Man schreibt die zwei komplexen Zahlen als

Bruch und erweitert diesen dann mit der konjugiert-komplexen des Nenners. Im Nenner bleibt

dann nachher das Betragsquadrat des ursprünglichen Nenners übrig.

Beispiel:

3 + 𝑖

1 + 2𝑖=3 + 𝑖

1 + 2𝑖·1 − 2𝑖

1 − 2𝑖=3 − 6𝑖 + 𝑖 + 𝑖(−2𝑖)

12 + 22=5 − 5𝑖

5= 1 − 𝑖

Auch die Division ist wiederum einfacher in Polar oder Exponentialform. Sie verhält sich analog zur

Multiplikation: Die Beträge werden dividiert und der Winkel subtrahiert:

𝑧1𝑧2=𝑟1(𝑐𝑜𝑠 𝜑1 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝜑1)

𝑟2(𝑐𝑜𝑠 𝜑2 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝜑2)=𝑟1𝑟2(𝑐𝑜𝑠(𝜑1 − 𝜑2) + 𝑖 𝑠𝑖𝑛(𝜑1 − 𝜑2))

𝑧1𝑧2=𝑟1𝑒

𝑖𝜑1

𝑟2𝑒𝑖𝜑2

=𝑟1𝑟2𝑒𝑖(𝜑1−𝜑2)

Beispiel:

𝑧1 = 4𝑒𝑖·𝜋6 𝑧2 = 2𝑒

𝑖·𝜋3

𝑧1𝑧2=4

2𝑒𝑖·(

𝜋6−𝜋3) = 2𝑒−𝑖

𝜋6

Potenzieren

Auch das Potenzieren ist einfacher in Polarform. Es ist einfach eine mehrfache Anwendung des

Gesetztes für die Multiplikation:

𝑧𝑛 = (𝑟 · (𝑐𝑜𝑠 𝜑 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝜑))𝑛= 𝑟𝑛 · (𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜑 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜑)

𝑧𝑛 = (𝑟𝑒𝑖𝜑)𝑛 = 𝑟𝑛𝑒𝑖𝑛𝜑

Beispiel:

(√3 + 𝑖)6= (2 · 𝑒𝑖

𝜋6)6

= 26 · 𝑒𝑖6𝜋6 = 64 · 𝑒𝑖𝜋⏟

=−1

= −64

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Analysis PVK 2019 59 © Crameri/Grass

Wurzelziehen

Will man die 𝑛-te Wurzel einer komplexen Zahl 𝑧 ziehen, so tut man dies auch wieder in der

Polar-/Exponentialform. Es gilt √𝑧𝑛

= 𝑧1

𝑛 und man kann daher das gleiche Gesetz wie beim

Potenzieren verwenden. Es gibt immer genau 𝑛 voneinander verschiedene Lösungen. Diese

liegen auf einem Regelmässig angeordneten 𝑛-eck. Ausserdem liegen alle 𝑛 Lösungen auf einem

Kreis mit dem Radius √|𝑧|𝑛

und Mittelpunkt im Ursprung (siehe Abbildung unten).

Man beachte, dass 𝑧 = 𝑟 · 𝑒𝑖𝜑 = 𝑟 · 𝑒𝑖(𝜑+𝑘·2𝜋) (für 𝑘 = 0,1,2, . . . ). D.h. nach einer Drehung um 2𝜋 in

der Gaussebene hat man wieder dieselbe Zahl.

Beispiel:

Gesuch ist die 5-te Wurzel von √3 + 𝑖, also √√3 + 𝑖5

=?

Da man die 5-te Wurzel sucht, wird es 5 verschiedene Lösungen geben. Zuerst berechnen wir die

Exponentialform von √3 + 𝑖:

𝑟 = |√3 + 𝑖| = √3 + 1 = 2 𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (1

√3) =

𝜋

6= 30°

Die 5 gesuchten Lösungen befinden sich also alle auf einem Kreis mit Radius √25

= 21

5 ≈ 1.15 um

den Ursprung. D.h. alle Lösungen haben einen Betrag von 1.15. Die 5 Lösungen findet man dann

wie folgt:

√√3 + 𝑖5

= √2𝑒𝑖(𝜋6+𝑘·2𝜋)

5

= √25

· 𝑒𝑖(𝜋6·5+𝑘·2𝜋5) = √2

5· 𝑒𝑖

𝜋+𝑘·12𝜋30

Unsere 5 Lösungen bekommen wir, indem wir für k 0,1,2,3 und 4 einsetzen:

√√3 + 𝑖5

= √25

· 𝑒𝑖𝜋30, √2

5· 𝑒𝑖

13𝜋30 , √2

5· 𝑒𝑖

25𝜋30 , √2

5· 𝑒𝑖

37𝜋30 , √2

5· 𝑒𝑖

49𝜋30

Für k=5 hätten wir wiederum die gleiche Lösung wie für k=0, da wir uns dann einmal um 2𝜋

gedreht haben:

√25

· 𝑒𝑖61𝜋30 = √2

5· 𝑒𝑖(

130+2𝜋) = √2

5· 𝑒𝑖

𝜋30 𝑤𝑖𝑒𝑑𝑒𝑟 𝑔𝑙𝑒𝑖𝑐ℎ 𝑤𝑖𝑒 𝑑𝑖𝑒 𝑒𝑟𝑠𝑡𝑒 𝐿ö𝑠𝑢𝑛𝑔

Man sieht schön, dass ich die erste Lösung bei einem Winkel von 𝜑

𝑛 liegt. Die weiteren n Lösungen

befinden sich von dort aus jeweils 𝑘 ·2𝜋

𝑛 weiter im Gegenuhrzeigersinn (k=1,2,...,n-1).

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11.3 Quadratische Gleichungen

Falls die Diskriminante (𝑏2 − 4𝑎𝑐) einer quadratischen Gleichung 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 negativ wird, so

besitzt die Gleichung zwei konjugiert-komplexe Lösungen.

Beispiel:

Die Lösungen der Gleichung x2 + 2x + 3 = 0 findet man mit der Mitternachtsformel:

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=−2 ± √4 − 4 · 3

2=−2 ± √−8

2=−2 ± √−1 · √8

2=−2 ± 𝑖 · 2√2

2= −1 ± √2𝑖

Will man nun die komplexe Linearfaktorzerlegung von 𝑥2 + 2𝑥 + 3 finden so ergibt sich:

𝑥2 + 2𝑥 + 3 = (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = (𝑥 − (−1 + √2𝑖))(𝑥 − (−1 − √2𝑖))

11.4 Polynome höherer Ordnung

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jedes Polynom n-ten grades

(𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 +⋯+ 𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0) in der Menge der komplexen Zahlen ℂ genau n Nullstellen

hat. Falls die Koeffizienten 𝑎𝑖 alle reell sind (ist bei uns eigentlich immer der Fall ;) ) so gilt zusätzlich,

dass diese Nullstellen entweder reell sind oder in konjugiert-komplexen Paaren auftreten.

Weiterhin gilt: Multipliziert man zwei komplex-konjugierte Linearfaktoren aus, so bekommt man

immer ein quadratisches Polynom mit reellen Koeffizienten.

Beispiel:

Finde alle 5 komplexen Nullstellen von 𝑥5 − 4𝑥4 + 10𝑥3 − 14𝑥2 + 9𝑥 − 10 . Wenn eine Nullstelle

𝑥1 = 1 + 2𝑖 bereits bekannt ist.

Da unser Polynom reelle Koeffizienten hat muss auch die konjugiert komplexe von 𝑥1 eine Nullstelle

sein. Also 𝑥2 = 𝑥1 = 1 − 2𝑖 . So haben wir schon 2 Linearfaktoren gefunden: (𝑥 − (1 + 2𝑖)) und

(𝑥 − (1 − 2𝑖)). Nun multiplizieren wir diese Beiden aus:

(𝑥 − (1 + 2𝑖))(𝑥 − (1 − 2𝑖)) = 𝑥2 − 2𝑥 + 5

Durch Polynom-Division findet man dann:

(𝑥5 − 4𝑥4 + 10𝑥3 − 14𝑥2 + 9𝑥 − 10) ÷ (𝑥2 − 2𝑥 + 5) = 𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 − 2

Nun haben wir immer noch ein Polynom 3. Ordnung von dem wir die Nullstellen bestimmen

müssen. D.h. jetzt müssen wir noch mindestens eine Nullstelle „erraten“. Danach bleibt uns dann

nur noch ein quadratisches Polynom übrig, das wir mit der Mitternachtsformel auflösen können.

Einige Tipps zum erraten von Nullstellen:

Versuche immer zuerst 1,−1, 𝑖 und – 𝑖.

Versuche danach weitere reelle Ganze Zahlen. Beachte dabei, dass diese ein Teiler des

Konstanten Glieds des Polynoms (hier -2) sein müssen. (Das muss so sein, damit die

Polynom-Division aufgeht!) In unserem Fall würden wir also als Nullstellen noch 2 und -2

ausprobieren.

Wir finden, dass 2, 𝑖 und −𝑖 die drei Nullstellen von 𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 − 2 sind.

Die gesuchten 5 Nullstellen sind somit: 𝑥1 = 1 + 2𝑖; 𝑥2 = 1 − 2𝑖; 𝑥3 = −𝑖; 𝑥4 = 𝑖 und 𝑥5 = 2.

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11.5 Zusammenhang zu Sin und Cos

Man stelle sich die komplexe Zahl 𝑒𝑖𝜑 mit Betrag 1 in der Gaussebene vor (siehe Abbildung). Diese

hat den Realteil cos 𝜑 und den Imaginärteil sin 𝜑. Addiert man zu 𝑒𝑖𝜑 nun die konjugiert-komplexe

𝑒−𝑖𝜑dazu, so erhält man als Resultat den doppelten Realteil: 𝑒𝑖𝜑 + 𝑒−𝑖𝜑 = 2 cos𝜑. Subtrahiert man

hingegen die konjugiert komplexe, so erhält man den doppelten Imaginärteil multipliziert mit 𝑖:

𝑒𝑖𝜑 − 𝑒−𝑖𝜑 = 2 sin 𝜑 · 𝑖 . Dies kann man benutzen, um 𝑠𝑖𝑛𝜑 und 𝑐𝑜𝑠𝜑 durch komplexe Zahlen

auszudrücken:

cos𝜑 = 𝑅𝑒(𝑒𝑖𝜑) =𝑒𝑖𝜑 + 𝑒−𝑖𝜑

2

sin𝜑 = 𝐼𝑚(𝑒𝑖𝜑) =𝑒𝑖𝜑 − 𝑒−𝑖𝜑

2𝑖

BEMERKUNG: Es gilt auch für eine ganz allgemeine komplexe Zahl 𝑧:

𝑅𝑒(𝑧) =𝑧 + 𝑧

2

𝐼𝑚(𝑧) =𝑧 − 𝑧

2𝑖

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Analysis PVK 2019 62 © Crameri/Grass

12 Potenzreihen

12.1 Allgemeines

Die Potenzreihe der Funktion 𝑓(𝑥) um den Entwicklungspunkt/Zentrum 𝑥0 lautet:

𝑓(𝑥) = ∑𝑎𝑛

𝑛=0

(𝑥 − 𝑥0)𝑛

Die 𝑎𝑛 heissen Koeffizienten der Potenzreihe.

12.2 Rechenregeln

Im Folgenden seien 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑎𝑛𝑥𝑛∞

𝑛=0 und 𝑔(𝑥) = ∑ 𝑏𝑛𝑥𝑛∞

𝑛=0 zwei Potenzreihen.

Potenzreihen dürfen Gliedweise addiert/subtrahiert werden:

𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) = ∑𝑎𝑛𝑥𝑛

𝑛=0

±∑𝑏𝑛𝑥𝑛

𝑛=0

= ∑(𝑎𝑛 ± 𝑏𝑛) 𝑥𝑛

𝑛=0

Potenzreihen dürfen Gliedweise abgeleitet werden:

𝑓′(𝑥) =𝑑

𝑑𝑥[∑𝑎𝑛𝑥

𝑛

𝑛=0

] = ∑𝑛𝑎𝑛𝑥𝑛−1

𝑛=𝟏

Potenzreihen dürfen Gliedweise integriert werden:

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ [∑𝑎𝑛𝑥𝑛

𝑛=0

] 𝑑𝑥 = ∑1

𝑛 + 1𝑎𝑛𝑥

𝑛+1

𝑛=0

+ 𝐶

Potenzreihen dürfen nicht Gliedweise multipliziert oder dividiert werden! Beim

multiplizieren muss man wie bei jeder „normalen“ Summe mühsam ausmultiplizieren:

𝑓(𝑥) · 𝑔(𝑥) = ∑𝑐𝑛𝑥𝑛

𝑛=0

mit 𝑐𝑛 =∑𝑎𝑘𝑏𝑛−𝑘

𝑘=0

Beim dividieren nimmt man normalerweise eine Funktion auf die andere Seite, so dass

man anschliessend multiplizieren kann (siehe Methode Ausmultiplizieren und

Koeffizientenvergleich)

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= ∑𝑐𝑛𝑥

𝑛

𝑛=0

↝ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ·∑ 𝑐𝑛𝑥𝑛

𝑛=0

Man sieht: Es gelten mehr oder weniger die gleichen Gesetze wie für normale Summen.

12.3 Konvergenz

Für jede Potenzreihe gibt es einen Konvergenzbereich. Das sind diejenige Werte von 𝑥, für welche

die Reihe gegen 𝑓(𝑥) konvergiert, also nicht ∞ wird. Der Konvergenzbereich wird begrenzt durch

den Konvergenzradius, d.h. die Reihe konvergiert für |𝑥 − 𝑥0| < 𝜌 und divergiert für |𝑥 − 𝑥0| > 𝜌.

Der Konvergenzradius kann entweder durch die Formel:

𝜌 = lim𝑛→∞

|𝑎𝑛𝑎𝑛+1

|

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Analysis PVK 2019 63 © Crameri/Grass

berechnet werden, oder falls man die Reihe mithilfe von Tabellen aus mehreren Reihen

„zusammenbaut“ entspricht 𝜌 dem kleinsten Konvergenzradius der verwendeten Reihen.

Kurze, mathematisch wohl nicht ganz korrekte, Herleitung obiger Formel

Für Konvergenz müssen die Summanden immer kleiner werden:

𝑓ü𝑟 𝑛 →∞: |𝑎𝑛+1𝑥𝑛+1| < |𝑎𝑛𝑥

𝑛| |(𝑥𝑛 𝑘ü𝑟𝑧𝑒𝑛)

|𝑎𝑛+1𝑥| < |𝑎𝑛| (𝑛 →∞) ↝ |𝑥| ≔ 𝜌 < 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞

|𝑎𝑛𝑎𝑛+1

|

12.4 Methoden um Koeffizienten zu finden

Als allererstes sollte immer geprüft werden, ob die Funktion gerade oder ungerade ist.

Gerade Funktion (𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥)) 𝑎1 = 𝑎3 = 𝑎5 = ⋯ = 0;

Ungerade Funktion (𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)) 𝑎0 = 𝑎2 = ⋯ = 0

Taylorreihenentwicklung

𝑓(𝑥) = ∑𝑓(𝑛)(𝑥0)

𝑛!

𝑛=0

(𝑥 − 𝑥0)𝑛 = 𝑓(𝑥0) + 𝑓

′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) +𝑓′′(𝑥0)

2!(𝑥 − 𝑥0)

2 +⋯

heisst Taylorreihe der Fkt. f mit Entwicklungspunkt/Zentrum 𝑥0

Diese Methode sollte man eigentlich möglichst vermeiden. Da man die n-te Ableitung braucht, ist

es ziemlich schwierig falls man die Koeffizienten bis zum allgemein n-ten Glied bestimmen muss.

Auch wenn man beispielsweise „nur“ die ersten 5 Glieder bestimmen muss, wird diese Methode

schnell sehr aufwendig. Ein Beispiel für eine Anwendung, wo diese Methode relativ gut funktioniert

sind 𝑓(𝑥) = (irgendwelche Trigonometrische Funktionen). Da die Ableitungen sich immer

wiederholen (sin ′ = 𝑐𝑜𝑠; 𝑐𝑜𝑠′ = −𝑠𝑖𝑛; −𝑠𝑖𝑛′ = −𝑐𝑜𝑠 usw.)

Beispiel:

Finde die Potenzreihe der Funktion 𝑓(𝑥) = sin2 𝑥 um das Zentrum 𝑥0 = 0.

Als Allererstes stellt man fest dass 𝑓(−𝑥) = sin2(−𝑥) = (− sin 𝑥)2 = sin2 𝑥 = 𝑓(𝑥) d.h. 𝑓(𝑥) ist gerade

und darum 𝑎𝑢𝑛𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑒 = 0

Dann bildet man die Ableitungen:

𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 → 𝑓(0) = 0

𝑓′(𝑥) = 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 → 𝑓′(0) = 0 (was zu erwarten war da 𝑎1 = 𝑎𝑢𝑛𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑒 = 0)

𝑓′′(𝑥) = 2[𝑐𝑜𝑠2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥] → 𝑓′′(0) = 2

𝑓′′′(𝑥) = 2[−2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥] = −8 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = −4 · 𝑓′(𝑥) → 𝑓′′′(0) = 0

D.h. die 3 Ableitung ist -4 mal die erste Ableitung.

wenn man diese wiederum ableitet erhält man -4 mal die zweite Ableitung und dann wieder

-4· -4=16 mal die erste Ableitung usw.

𝑓(4)(𝑥) = −4 ·𝑑

𝑑𝑥𝑓′(𝑥) = −4𝑓′′(𝑥) = −8[𝑐𝑜𝑠2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥] → 𝑓(4)(0) = −8

𝑓(5)(𝑥) = −8[𝑐𝑜𝑠2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥] = −8 · −4 · 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 → 𝑓(5)(0) = 0

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Analysis PVK 2019 64 © Crameri/Grass

𝑓(𝑛)(𝑥) = −4𝑓(𝑛−2)(𝑥)

Man erhält also:

𝑓(0) = 0, 𝑓′(0) = 0, 𝑓′′(0) = 2, 𝑓′′′(0) = 0, 𝑓(4)(0) = −8, 𝑓(5)(0) = 0, 𝑓(6)(0) = 32,…

Die Taylorreihe ist dann:

𝑓(𝑥) =2𝑥2

2!−8𝑥4

4!+32𝑥6

6!∓ ⋯ =∑

(−1)𝑗−1 · 24𝑗−1 · 𝑥2𝑗

(2𝑗)!

𝑗=1

wobei 𝑛 = 2𝑗 ersetzt wurde, um nur die geraden Terme zu erhalten.

Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich

Diese Methode ist meiner Meinung nach die effektivste, falls man nur eine bestimmte Anzahl

Koeffizienten bestimmen muss.

Beispiel:

Finde die ersten drei nicht-verschwindenenden Koeffizienten der Potenzreihe von

𝑓(𝑥) =sin 2𝑥

𝑒𝑥.

𝑍𝑖𝑒𝑙: 𝑠𝑖𝑛 2𝑥

𝑒𝑥= 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥

2 + 𝑎3𝑥3 + 𝑎4𝑥

4 +⋯ |𝑒𝑥

𝑠𝑖𝑛 2𝑥 = (𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥

3 + 𝑎4𝑥4 +⋯) · 𝑒𝑥

Aus der Tabelle setzten wir die ersten paar Terme der Potenzreihen von𝑒𝑥 und sin 2𝑥 (ersetze

einfach 𝑥 = 2𝑥 bei der Reihe für sin 𝑥) ein:

(2𝑥 −4

3𝑥3 +

4

15𝑥5 + −⋯) = (𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥

2 + 𝑎3𝑥3 + 𝑎4𝑥

4 +⋯) · (1 +𝑥

1+𝑥2

2+𝑥3

6+𝑥4

24+ ⋯)

Ausmultiplizieren und nach Potenzen ordnen:

(2𝑥 −4

3𝑥3 +

4

15𝑥5 + −⋯) = 𝑎0 + (𝑎0 + 𝑎1)𝑥 + (

𝑎02+ 𝑎1 + 𝑎2) 𝑥

2 + (𝑎06+𝑎12+ 𝑎2 + 𝑎3) 𝑥

3 +⋯

Koeffizientenvergleich:

𝑎0 = 0

𝑎0⏟=0

+ 𝑎1 = 𝑎1 = 2

𝑎02+ 𝑎1⏟ =2

+ 𝑎2 = 0 ↝ 𝑎2 = −2

𝑎06+𝑎12+ 𝑎2⏟

=−1

+ 𝑎3 = −4

3 ↝ 𝑎3 = −

1

3

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Analysis PVK 2019 65 © Crameri/Grass

Aus bekannten Reihen aus Tabelle umformen

Schauen ob die zu entwickelnde Funktion einer aus der Tabelle ähnlich sieht, und durch

Umformungen versuchen die Funktion auf diese Form zu bringen. Braucht etwas Übung.

Beispiel:

Gesucht ist die Potenzreihe von 𝑥

9+𝑥2 um Zentrum 𝑥0 = 0.

Aus der Tabelle am Ende des Kapitels entnehmen wir:

1

1 + 𝑥= ∑(−1)𝑛𝑥𝑛∞

𝑛=0

Wir versuchen den Term auf diese Form zu bringen:

𝑥

9 + 𝑥2=𝑥

1

1 + (𝑥3)2 =

𝑥

9·∑(−(

𝑥

3)2

)𝑘∞

𝑘=0

BEMERKUNG: Wie man an diesem Beispiel sieht kann man ganz einfach eine komplette Reihe mit

𝑥𝑛 multiplizieren.

Verallgemeinerter Binomialkoeffizient

Diese Formel ist gut wenn Reihen von Termen der Form (𝟏 + 𝑥)𝛼 gesucht sind. ACHTUNG: vorne

muss eine 1 stehen (sonst allenfalls dividieren). 𝑥 kann auch irgendeine Funktion ℎ(𝑥) sein. In

diesem Fall gilt dann auch für die Konvergenz |ℎ(𝑥) | < 1

(𝟏 + 𝑥)𝛼 =∑(𝛼𝑛) · 𝑥𝑛

𝑛=0

mit (𝛼𝑛) =∏

𝛼 − 𝑗 + 1

𝑗

𝑛

𝑗=1

=𝛼(𝛼 − 1)(𝛼 − 2)…⏞

𝑛−𝐹𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟𝑒𝑛

1 · 2 · 3 · …⏟ 𝑛−𝐹𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟𝑒𝑛

und (𝛼0) = 1 konvergiert für |𝑥| < 1

BEMERKUNG: Ist 𝛼 hier eine natürliche Zahl, entspricht diese Formel genau dem Binomischen

Lehrsatz (d.h. die Reihe ist dann endlich, weil ja ein Faktor im Zähler (𝛼 − 𝛼) ist). 𝛼 muss hier aber

nicht ∈ ℕ sein, daher erweiterter Binomialkoeffizient.

Beispiel:

Finde die Potenzreihe von 𝑓(𝑥) = √1 − 2𝑥2 um 𝑥0 = 0.

𝑓(𝑥) = [1 + (−2𝑥2)]1 2⁄ =∑(1 2⁄ 𝑛) · (−2𝑥2)𝑛

𝑛=1

= 1 +12⁄

1· (−2𝑥2) +

(1 2⁄ ) · (−12⁄ )

1 · 2· (−2𝑥2)2 +

(1 2⁄ ) · (−12⁄ ) · (−

32⁄ )

1 · 2 · 3· (−2𝑥2 )3…

1 − 𝑥2 −1

2𝑥4 −

1

2𝑥6 −

5

8𝑥8 −⋯

Diese Aufgabe ginge alternativ auch mit der Formel aus der Tabelle für √1 + 𝑥.

Für den Konvergenzradius gilt: |−2𝑥2| < 1 ↝ |𝑥| < √1

2

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Analysis PVK 2019 66 © Crameri/Grass

Partialbruchzerlegung

Die Idee dieser Methode ist, den zu entwickelnden Term zuerst durch eine Partialbruchzerlegung

zu trennen und dann als Summe von Potenzreihen (siehe Rechenregeln) darzustellen.

Beispiel:

Gesucht ist die Potenzreihe von 𝑓(𝑥) =5

𝑥2+𝑥−6. Für welche 𝑥 konvergiert diese Reihe?

Eine Partialbruchzerlegung ergibt:

𝑓(𝑥) =1

𝑥 − 2−

1

𝑥 + 3

Nun wissen wir aus der Tabelle:

1

1 − 𝑥= ∑𝑥𝑛∞

𝑛=0

(𝑘𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒𝑟𝑡 𝑓ü𝑟 |𝑥| < 1) 𝑠𝑜𝑤𝑖𝑒 1

𝑥 + 1= ∑(−𝑥)𝑛∞

𝑛=0

(𝑘𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒𝑟𝑡 𝑓ü𝑟 |𝑥| < 1)

Für 𝑓(𝑥) folgt damit

𝑓(𝑥) =1

𝑥 − 2−

1

𝑥 + 3= −

1

2·1

1 −𝑥2

−1

3·1

1 +𝑥3

= −1

2·∑ (

𝑥

2)𝑛

−1

3∑(−

𝑥

3)𝑛

𝑛=0

𝑛=0

= −∑𝑥𝑛 (1

2)𝑛+1

+∑𝑥𝑛 (−1

3)𝑛+1∞

𝑛=0

𝑛=0

=∑[( −1

3)𝑛+1

− (1

2)𝑛+1

] 𝑥𝑛∞

𝑛=0

Die erste Reihe konvergiert für |𝑥

2| < 1 ↝ |𝑥| < 2 und die zweite für |

𝑥

3| < 1 ↝ |𝑥| < 3 . Damit die

gesamte Reihe konvergiert, darf keine der beiden einzelnen Reihen divergieren. Also konvergiert

die Reihe für |𝑥| < 2 ⟺ −2 < 𝑥 < 2

Zuerst Integral oder Ableitung entwickeln

Diese Methode beruht darauf, dass man Potenzreihen ganz einfach Gliedweise integrieren und

ableiten kann. Ist also die Potenzreihe der Ableitung oder des Integrals der Reihe einfacher

bestimmbar, kann man zuerst dies tun und danach wieder integrieren bzw. ableiten.

ACHTUNG: wenn man am Schluss noch integriert muss man noch die Integrationskonstante

bestimmen. Dies tut man am besten indem man einen Bestimmten Wert für 𝑥 einsetzt.

12.5 Potenzreihenansatz für Differentialgleichungen

1. Ansatz für die Lösung: 𝑦 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥

3 +⋯ ;

2. Ableitungen bilden: 𝑦′ = 𝑎1 + 2𝑎2𝑥 + 3𝑎3𝑥2 +⋯; 𝑦′′ = 2𝑎2 + 6𝑎3𝑥 + ⋯ usw.

3. in DG einsetzen Koeffizientenvergleich 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, … bestimmen

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12.6 Tabelle

für 𝑥 ∈ ℝ

für 𝑥 ∈ ℝ

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Analysis PVK 2019 68 © Crameri/Grass

13 Differentialgleichungen

13.1 Definitionen

Differentialgleichungen (DGL) sind Gleichungen, die Funktionen und deren Ableitungen

enthalten.

Eine DGL heisst linear, falls die gesuchte Funktion und deren Ableitungen nur in linearer

Form vorkommen. Das heisst ist 𝑦(𝑥) z.B. die gesuchte Funktion, darf nirgends in der

Gleichung ein sin 𝑦 , 𝑦2, 𝑒𝑦, 𝑦′2, tan(𝑦′ ′) oder dergleichen stehen. Die unabhängige Variable

(in diesem Fall 𝑥) darf aber durchaus in nichtlinearer Form vorliegen. (Bsp: 3𝑦′ + 𝑥2𝑦 = sin 𝑥

linear √𝑦′ + 𝑦2 = 0 nicht linear)

Eine lineare DGL ist homogen, falls alle Terme (Summanden) die gesuchte Funktion oder

eine Ableitung davon enthalten. Ansonsten heisst die DGL inhomogen und den Term, der

ohne 𝑦 da steht nennen wir Störterm. (Bsp: 4𝑦′ + sin 𝑥 · 𝑦 = 0homogen; 𝑦′′ + 3𝑦 + 𝑒𝑥 = 0

inhomogen, Störterm: 𝑒𝑥)

Zur besseren Übersicht nimmt man normalerweise alle Störterme separat auf eine Seite.

Man schreibt also obige DGL z.B. 𝑦′′ + 3𝑦 = −𝑒𝑥.

Die Ordnung einer DGL ist die höchst Ableitung, die in der Gleichung vorkommt. (Bps:

3𝑦′′′ + 5𝑦 = 𝑥 Ordnung=3)

Die Koeffizienten einer DGL heissen konstant, falls sie unabhängig von der gesuchten Fkt.

(𝑦) und ihrer Variable (𝑥) sind. (Bsp: 4𝑦′ + 3𝑦 = sin 𝑥 konstante Koeffizienten

𝑥2𝑦 + sin 𝑥 · 𝑦 = 4 nicht konstante Koeffizienten)

13.2 Allgemeine Eigenschaften von DGL

Lineare DGL

Die Art der Differentialgleichungen bestimmen ihre Eigenschaften und die Vorgehensweise bei

der Lösung:

Ist eine DGL linear, so ist es sinnvoll den homogenen teil links vom =-Zeichen und den Störterm

rechts davon zu schreiben. Dann sucht man zuerst einzelne Lösungen der homogenen Gleichung,

d.h. Lösungen, die Null ergeben, wenn man sie im rechten Teil einsetzt. Diese Lösungen nennt

man dann Basislösungen. Da die Gleichung linear ist, ergeben Linearkombinationen dieser

Basislösungen auch wieder Null, wenn man sie im rechten Teil einsetzt (Vgl. Linearität in Linalg).

Man sagt darum, dass die Lösungen einer linearen, homogenen DGL einen Vektorraum bilden. Ist

die lineare DGL von der Ordnung n, muss man genau n linear unabhängige Lösungen finden, um

die komplette Lösung der homogenen DGL zu erhalten. Die Linearkombination davon ist dann die

Allgemeine Lösung der homogenen DGL:

𝑦ℎ = 𝐶1 · 𝑦ℎ1 + 𝐶2 · 𝑦ℎ2 +⋯+ 𝐶𝑛 · 𝑦ℎ𝑛 𝐶𝑖 = 𝐾𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛 ; 𝑦ℎ𝑖 = 𝐵𝑎𝑠𝑖𝑠𝑙ö𝑠𝑢𝑛𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑟 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑛 𝐷𝐺𝐿

Die komplette Lösung der inhomogenen linearen DGL findet man dann indem man noch eine

Partikuläre Lösung (𝑦𝑝) dazu addiert:

𝑦(𝑡) = 𝐶1 · 𝑦ℎ1 + 𝐶2 · 𝑦ℎ2 +⋯+ 𝐶𝑛 · 𝑦ℎ𝑛 + 𝑦𝑝

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Analysis PVK 2019 69 © Crameri/Grass

Die Konstanten 𝐶1, 𝐶2, … , 𝐶𝑛 findet man mit Hilfe der Angangsbedingungen. Man braucht also

immer gleichviele Anfangsbedingungen wie die Ordnung der DGL.

ACHTUNG: Die Unterteilung in homogener Teil, partikulärer Teil, Linearkombination usw.

macht nur für lineare DGL Sinn. Für nicht-lineare DGL unterscheidet man nicht zwischen

homogen und inhomogen!

13.3 DGL 1. Ordnung – Homogene Lösung

Separation der Variablen

Separierbare DGL sind erster Ordnung, und lassen sich in folgender Form schreiben:

𝑦′(𝑥) · 𝑔(𝑦) = 𝑓(𝑥)

BEMERKUNG: Alle linearen, homogenen DGL 1. Ordnung sind separierbar. Allerdings sind

umgekehrt nicht alle separierbaren DGL von dieser Form.

Es gibt so zwei „Philosophien“ um eine DGL zu separieren. An und für sich sind aber beide das

Gleiche. Ich persönlich bevorzuge die 1. Variante:

Variante 1: Mit der inneren Ableitung

Man betrachtet das 𝑦′ als innere Ableitung vom 𝑔(𝑦), d.h. nach der allgemeinen Kettenregel: 𝑑

𝑑𝑥[𝐺(𝑦(𝑥))] = 𝐺′(𝑦)⏟

=𝑔(𝑦)

·𝑑

𝑑𝑥(𝑦(𝑥)) = 𝑔(𝑦) · 𝑦′(𝑥)

Bei dieser Methode integriert man beide Seiten nach 𝑥 und löst dann nach 𝑦 auf.

Allgemein sieht das folgendermassen aus:

𝑦′(𝑥) · 𝑔(𝑦) = 𝑓(𝑥) |∫ 𝑑𝑥

𝐺(𝑦) = 𝐹(𝑥) + 𝑪 nach y auflösen (evt. Konstanten neu zusammenfassen)

Hierbei sind 𝐺 und 𝐹 die Stammfunktionen von 𝑔 und 𝑓 und 𝐶 eine Integrationskonstante diese

nie vergessen!

Beispiel:

𝑥𝑦′ + 𝑦 = 0 |𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑖𝑒𝑟𝑒𝑛

𝑦′ ·1

𝑦= −

1

𝑥 |∫ 𝑑𝑥 Wichtig: 𝑦′ muss oberhalb vom Bruchstrich stehen!

𝑙𝑛|𝑦| = − 𝑙𝑛|𝑥| + 𝐶1 = 𝑙𝑛 |1

𝑥| + 𝐶1 |𝑒^

𝑦 =𝐶

𝑥

Wobei hier 𝑒𝐶1 durch eine neue Konstante 𝐶 ersetzt wurde.

Variante 2: 𝒚′ =𝒅𝒚

𝒅𝒙

Man schreibt 𝑦′ als 𝑑𝑦

𝑑𝑥 und tut dann alles mit 𝑦 zudammen mit dem 𝑑𝑦 auf eine Seite, alles mit 𝑥

zusammen mit dem 𝑑𝑥 auf die andere Seite und integriert auf einer Seite nach 𝑥, auf der anderen

nach 𝑦.

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Analysis PVK 2019 70 © Crameri/Grass

Allgemein:

𝑦′(𝑥) · 𝑔(𝑦) = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑦

𝑑𝑥· 𝑔(𝑦) = 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑦) · 𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥) · 𝑑𝑥 |∫

𝐺(𝑦) = 𝐹(𝑥) + 𝐶 nach y auflösen (evt. Konstanten neu zusammenfassen)

Beispiel:

𝑥𝑦′ + 𝑦 = 0

𝑥 ·𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 0 |𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑖𝑒𝑟𝑒𝑛

𝑑𝑦

𝑦= −

𝑑𝑥

𝑥 | ∫ Auch hier sollen 𝑑𝑥 und 𝑑𝑦 im Zähler bleiben!

𝑙𝑛|𝑦| = −𝑙𝑛|𝑥| + 𝐶1 |𝑒^

𝑦 =𝐶

𝑥.

Hätte man jetzt z.B. noch die Anfangsbedingung 𝑦(2) = 5 gibt das:

𝑦(2) =𝐶

2= 5 ↝ 𝐶 = 10 ↝ 𝑦(𝑥) =

10

𝑥

Substitutionen

Manchmal können DGL mithilfe von Substitutionen auf eine separierbare DGL zurückgeführt

werden. Häufige Substitutionen sind:

DGL der Form 𝑦′(𝑥) = ℎ (𝑦

𝑥) kann man oft mit der Substitution 𝑢(𝑥) ≔

𝑦(𝑥)

𝑥 lösen. Dabei darf

man nicht vergessen auch die Ableitung zu substituieren

(Achtung Kettenregel und Produktregel: 𝑦(𝑥) = 𝑢(𝑥) · 𝑥 ↝ 𝑦′(𝑥) = 𝑢′(𝑥) · 𝑥 + 𝑢(𝑥);

wobei 𝑢′ =𝑑𝑢

𝑑𝑥)

DGL der Form 𝑦′(𝑥) = 𝑓(𝑎 · 𝑥 + 𝑏 · 𝑦(𝑥) + 𝑐) kann man oft durch 𝑢(𝑥) ≔ a𝑥 + 𝑏𝑦(𝑥) + 𝑐 lösen.

Kommen in einer DGL nur Ableitungen vor kann man die Ableitung Substituieren. Bsp: 𝑦′′ +

𝑥2𝑦′ = 5𝑥 wird mit 𝑧(𝑥) ≔ 𝑦′(𝑥) zu 𝑧′ + 𝑥2𝑧 = 5𝑥 Dies kann man nach z auflösen. Die Lösung

für 𝑦 ist dann das integral 𝑦(𝑥) = ∫ 𝑧(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑪. Auch hier: Integrationskonstante nicht

vergessen! Falls die kleinste Ableitung 𝑦′′ ist (also kein 𝑦 und kein 𝑦′ vorkommt), kann man

auch 𝑧(𝑥) ≔ 𝑦′′(𝑥) substituieren usw.

13.4 DGL 1. Ordnung – Partikuläre Lösung

Für das finden einer Partikulären Lösung gibt es zwei Arten: 1. Finden von 𝑦𝑝 mittels Ansatz. 2.

Methode der Variation der Konstanten (Auch Lagrange Verfahren genannt). Grundsätzlich ist die

Methode mit Ansatz schneller und weniger Aufwendig zu rechnen. Allerdings funktioniert sie nicht

immer. Variation der Konstanten funktioniert immer, kann allerdings ziemlich aufwendig werden.

Als Faustregel gilt: Sind die Koeffizienten einer DGL nicht Konstant, sollte man eher Lagrange

wählen.

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𝒚𝒑 mittels Ansatz

Man nimmt als Ansatz für die partikuläre Lösung eine Funktion die dem Störterm „ähnlich“ ist. Die

folgende Tabelle kann dafür als Orientierungshilfe genommen werden:

Störterm Ansatz für 𝒚𝒑

Polynom mit Grad n

Polynom mit Grad n

(Falls nicht schon Teil der homogenen Lsg.)

Polynom mit Grad n+1

(Falls Polynom mit Grad n Teil der homogenen Lsg. ist.)

𝐀 · 𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒙) 𝐵 sin(𝜔𝑥) + 𝐶 cos(𝜔𝑥)

𝑨𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒙) 𝐵 sin(𝜔𝑥) + 𝐶 cos(𝜔𝑥)

𝑨𝐬𝐢𝐧(𝝎𝒙 − 𝝋) 𝐵 sin(𝜔𝑥 − 𝜑) + 𝐶 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑥 − 𝜑)

𝑨𝒆𝒃𝒙 𝐶 𝑒𝑏𝑥

𝑨𝐬𝐢𝐧𝐡(𝝎𝒙) 𝐵𝑒𝜔𝑥 + 𝐶𝑒−𝜔𝑥 oder 𝐵 sinh(𝜔𝑥) + 𝐶 cosh(𝜔𝑥)

𝑨𝐜𝐨𝐬𝐡(𝝎𝒙) 𝐵𝑒𝜔𝑥 + 𝐶𝑒−𝜔𝑥 oder 𝐵 sinh(𝜔𝑥) + 𝐶 cosh(𝜔𝑥)

Falls der Ansatz den man laut Tabelle nehmen müsste schon eine Lösung der homogenen

Gleichung (oder eine Linearkombination mehrerer 𝑦ℎ) ist, wird er nicht funktioniere, denn

es wird ja Null rauskommen wenn man ihn links einsetzt. Es ist dann oft eine gute Idee, den

Ansatz noch mit x zu multiplizieren.

Man muss immer den ganzen Ansatz nehmen. D.h. ist der Störterm z.B. 3𝑥2 muss man 𝑦𝑝 =

𝐴 𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 als Ansatz nehmen und nicht nur 𝑦𝑝 = 𝐴𝑥2

Ist der Sörterm sin2 𝑥 oder eine sonstige Potenz einer Trigofunktion empfiehlt es sich diesen

mithilfe Trigonometrischer Identitäten auf lineare Trigofunktionen umzuformen (BSP: 𝑦′′ −

2𝑦′ = sin2 𝑥 =1

2−cos(2𝑥)

2

→ Ansatz: 𝑦𝑝 = 𝐴 + 𝐵 cos 2𝑥 + 𝐶 𝑠𝑖𝑛 2𝑥)

Bei Summen von Störtermen Summe aller Ansätze verwenden

Bei Produkten von Störtermen Produkte aus Ansätzen verwenden (funktioniert aber

leider nicht immer)

Beispiel:

𝑦′ + 2𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥

1. Homogene DGL 𝑦′ + 2𝑦 = 0 durch Separation der Variablen lösen:

↝𝑦′

𝑦= −2 |∫ 𝑑𝑦

𝑙𝑛|𝑦| = −2𝑥 + 𝐶 |𝑒^

𝑦ℎ = 𝐶 𝑒−2𝑥

2. Ansatz 𝑦𝑝 = 𝐴 sin 𝑥 + 𝐵 cos 𝑥 𝑦𝑝′ = 𝐴 cos 𝑥 − 𝐵 sin 𝑥

3. Einsetzen:

𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝐵 𝑠𝑖𝑛 𝑥⏟ 𝑦𝑝′

+ 2 ( 𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝑥)⏟ 𝑦𝑝

= 𝑠𝑖𝑛 𝑥

4. Koeffizientenvergleich: 𝐴 + 2𝐵 = 0 ; −𝐵 + 2𝐴 = 1 ⇒ 𝐴 =2

5; 𝐵 = −

1

5

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𝑦𝑝 =2

5𝑠𝑖𝑛 𝑥 −

1

5𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑦(𝑥) = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝 = 𝐶𝑒

−2𝑥 +2

5𝑠𝑖𝑛 𝑥 −

1

5𝑐𝑜𝑠 𝑥

Variation der Konstanten

Beispiel:

𝑦′ + 2𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥

1. Wieder zuerst homogene Lösung finden: 𝑦ℎ = 𝐶 𝑒−2𝑥

2. Jetzt machen wir den Ansatz dass die Konstante 𝐶 eine Funktion von 𝑥 ist, d.h. 𝐶 = 𝐶(𝑥)

Daraus folgt dann: (ACHTUNG Kettenregel!)

𝑦 = 𝐶(𝑥)𝑒−2𝑥 ↝ 𝑦′ = 𝐶′(𝑥)𝑒−2𝑥 − 2𝐶(𝑥)𝑒−2𝑥

3. Einsetzen:

𝐶′(𝑥)𝑒−2𝑥 − 2𝐶(𝑥)𝑒−2𝑥⏟ =𝑦′

+ 2(𝐶(𝑥)𝑒−2𝑥⏟ =𝑦

) = 𝑠𝑖𝑛 𝑥

Es muss sich immer so ein Term wegkürzen, andernfalls habt ihr wohl etwas falsch

gerechnet.

𝐶′(𝑥) =sin 𝑥

𝑒−2𝑥

4. Partiell integrieren ... ⇒ 𝐶(𝑥) = 𝑒2𝑥 (−1

5cos 𝑥 +

2

5sin 𝑥) + 𝑪

Auch hier Integrationskonstante nicht vergessen!

5. 𝑦(𝑥) = 𝐶(𝑥)𝑒−2𝑥 = −1

5cos 𝑥 +

2

5sin 𝑥 + 𝐶𝑒−2𝑥

13.5 Exakte DGL

Eine Exakte DGL ist ein Spezialfall einer DGL 1. Ordnung. Diese muss nicht linear sein.

Eine exakte Differentialgleichung ist von der Form

𝐺𝑥(𝑥, 𝑦) + 𝐺𝑦(𝑥, 𝑦) · 𝑦′ = 0

Und sie ist genau dann exakt, wenn gilt:

𝜕𝐺𝑥𝜕𝑦

=𝜕𝐺𝑦

𝜕𝑥

Man erhält die Lösungsschar 𝐺(𝑥, 𝑦) = 𝐶 indem man die Integrale ∫ 𝐺𝑥(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 und

∫ 𝐺𝑦(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 ausrechnet. Die Konstante 𝐶 lässt sich mit der Randbedingung (falls vorhanden)

bestimmen.

13.6 Orthogonaltrajektorien

Die Orthogonaltrajektorien einer Kurvenschar, sind diejenigen Kurven, die in jedem Punkt

senkrecht auf der ursprünglichen Kurvenschar liegen.

Um die Orthogonaltrajektorien einer Kurvenschar zu finden, braucht man diese in der Form einer

folgenden DGL:

𝑦′(𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝑦)

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Analysis PVK 2019 73 © Crameri/Grass

Die Steigung 𝑦⊥′ die senkrecht auf der Steigung 𝑦′ ist bekommt man allgemein durch: 𝑦⊥

′ = −1

𝑦′

Somit kriegt man die Orthogonaltrajektorien durch lösen der DGL

𝑦𝑂𝑇′ = −

1

𝑦′= −

1

𝑓(𝑥, 𝑦)

BEMERKUNG: Bei vielen Aufgaben ist die Kurvenschar nicht durch eine Differentialgleichung

gegeben, sondern durch eine Gleichung mit Scharparameter. Um von dieser Darstellung

auf eine DGL wie oben zu kommen, muss man die Gleichung nach 𝑥 ableiten und den

Scharparameter aus dem Gleichungssystem eliminieren.

Beispiel:

Gegeben: Kurvenschar 𝑦2 = 2𝐶𝑥 wobei 𝐶 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 hier der Scharparameter ist.

Gesucht: Orthogonaltrajektorien

Ableiten nach x (ACHTUNG Kettenregel; y ist eine Funktion von x):

2𝑦𝑦′ = 2𝐶

Man will nun eine DGL mit 𝑦’ aber ohne 𝐶 haben. Also obere Geleichung nach 𝐶 auflösen: 𝐶 =𝑦2

2𝑥

und in untere einsetzen: 𝑦𝑦′ =𝑦2

2𝑥↝ 𝑦′ =

𝑦

2𝑥

Die Gleichung für die Orthogonaltrajektorien wäre dann:

𝑦𝑂𝑇′ = −

1

𝑦′= −

2𝑥

𝑦𝑂𝑇

Diese lässt sich durch Separation der Variablen lösen:

𝑦𝑂𝑇′ · 𝑦𝑂𝑇 = −2𝑥 ∫ 𝑑𝑥

(𝑌𝑂𝑇)2

2= −𝑥2 + ��

𝑦𝑂𝑇 = √−2𝑥2 + 𝐷 Schar der OT mit 𝐷 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. als Scharparameter

13.7 Enveloppen

Die Enveloppe ist die umhüllende einer Kurvenschar.

Man erhält die Enveloppe einer Kurvenschar mit Scharparameter C und der Darstellung als

Koordinatengleichung 𝐺(𝑥, 𝑦, 𝐶) = 0 durch das lösen des Gleichungssystems

𝐺(𝑥, 𝑦, 𝐶) = 0

𝜕

𝜕𝐶𝐺(𝑥, 𝑦, 𝐶) = 0

Man muss also die Gleichung partiell nach dem Scharparameter ableiten und anschliessend 𝐶

aus den zwei Gleichungen eliminieren. Die resultierende Gleichung (die nur noch 𝑥 und 𝑦 enthält)

ist die Koordinatengleichung der Enveloppe.

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Analysis PVK 2019 74 © Crameri/Grass

13.8 DGL höherer Ordnung – Homogene Lösung

Um die homogene Lösung 𝑦ℎ einer Differentialgleichung höherer Ordnung zu finden gibt es für uns

eigentlich nur zwei Möglichkeiten (Ausser es sind so fiese DGL mit irgendwelchen komischen

Substitutionen o.Ä) Die 2 Möglichkeiten sind: 1.Bei konstanten Koeffizienten Ansatz 𝑦ℎ = 𝐴𝑒𝜆𝑥 2.

Eulerdifferentialgleichungen.

DGL mit konstanten Koeffizienten

Für DGL der Form 𝑎𝑛𝑦(𝑛) + 𝑎𝑛−1𝑦

(𝑛+1) +⋯+ 𝑎2𝑦′′ + 𝑎1𝑦

′ + 𝑎0y = 0 macht man den Ansatz 𝑦 = 𝑒𝜆𝑥 .

Einsetzen führt auf

𝑎𝑛𝜆𝑛𝑒𝜆𝑥 + 𝑎𝑛−1𝜆

𝑛−1𝑒𝜆𝑥 +⋯+ 𝑎2𝜆2𝑒𝜆𝑥 + 𝑎1𝜆𝑒

𝜆𝑥 + 𝑎0𝑒𝜆𝑥 = 0

Dies führt dann auf die charakteristische Gleichung:

𝑎𝑛𝜆𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝜆

𝑛−1 +⋯+ 𝑎2𝜆2 + 𝑎1𝜆 + 𝑎0 = 0

Die Lösungen 𝜆 dieser Gleichung heissen Eigenwerte der DGL. Je nach Eigenwerte ergeben sich

folgende Lösungen für 𝑦:

a) 𝜆1 ≠ 𝜆2 ≠ 𝜆3 ≠ ⋯𝑟𝑒𝑒𝑙𝑙 → 𝑦 = 𝐶1𝑒𝜆1𝑥 + 𝐶2𝑒

𝜆2𝑥 + 𝐶3𝑒𝜆3𝑥 +⋯

b) 𝜆1 = 𝜆2 = 𝜆3 = ⋯𝑟𝑒𝑒𝑙𝑙 → 𝑦 = 𝐶1𝑒𝜆𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒

𝜆𝑥 + 𝐶3𝑥2𝑒𝜆𝑥 +⋯

c) 𝜆1 = 𝜆2 = 𝜆3 = ⋯ = 0 → 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2𝑥 + 𝐶3𝑥2 +⋯

d) 𝜆1,2 = 𝑎 ± 𝑏𝑖 → 𝑦 = 𝑒𝑎𝑥(𝐶1 cos(𝑏𝑥) + 𝐶2 sin(𝑏𝑥))

e)𝜆1,2 = 𝜆3,4 = ⋯ = 𝑎 ± 𝑏𝑖 → 𝑦 = 𝑒𝑎𝑥(𝐶1 cos(𝑏𝑥) + 𝐶2 sin(𝑏𝑥)) + 𝑒𝑎𝑥𝑥(𝐶3 cos(𝑏𝑥) + 𝐶4 sin(𝑏𝑥)) +⋯

Auch hier gilt also wieder die Regel, dass man die Lösung mit 𝑥 multipliziert, falls man zweimal

dieselbe Lösung hat.

Wie man von 𝜆1, = 𝑎 ± 𝑏𝑖 auf 𝑦 = 𝑒𝑎𝑥(𝐶1 cos(𝑏𝑥) + 𝐶2 sin(𝑏𝑥)) kommt:

Sind zwei Eigenwerte 𝜆1,2 = 𝑎 ± 𝑏𝑖 , so wären die zugehörigen Basislösungen ja eigentlich:

𝑦1 = 𝑒(𝑎+𝑏𝑖)𝑥 und 𝑦2 = 𝑒

(𝑎−𝑏𝑖)𝑥. Nun ist aber wegen der Linearität der DGL jede Linearkombination

von Basislösungen auch wieder eine Basislösung. D.h:

1

2𝑦1 +

1

2𝑦2 =

𝑒𝑎𝑥(𝑒𝑏𝑥𝑖 + 𝑒−𝑏𝑥𝑖)

2= 𝑒𝑎 · 𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥)

1

2𝑖𝑦1 −

1

2𝑖𝑦2 =

𝑒𝑎𝑥(𝑒𝑏𝑥𝑖 − 𝑒−𝑏𝑥𝑖)

2𝑖= 𝑒𝑎 · 𝑠𝑖𝑛(𝑏𝑥)

Sind wieder zwei unabhängige Basislösungen. Deren Linearkombination

𝑦 = 𝑒𝑎𝑥(𝐶1 cos(𝑏𝑥) + 𝐶2 sin(𝑏𝑥)) ist dann auch wiederum die Allgemeine Lösung!

Euler-differentialgleichungen

Eulerdifferentialgleichungen sind von der Form:

𝑎𝑛𝑥𝑛𝑦(𝑛) + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1𝑦(𝑛−1) +⋯+ 𝑎1𝑥𝑦′ + 𝑎0𝑦 = 0

Für diese macht man den Ansatz 𝑦 = 𝑥𝛼 und setzt ihn in die Gleichung ein. Dann kann man die

gesamte Gleichung durch 𝑥𝛼 teilen und kommt dann auf das Indexpolynom:

𝐼(𝛼) = 𝑎𝑛 𝛼(𝛼 − 1)… (𝛼 − (𝑛 − 1))⏟ 𝑛 𝐹𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟𝑒𝑛

+ 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛−1𝛼(𝛼 − 1)… (𝛼 − (𝑛 − 2))⏟ 𝑛−1 𝐹𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟𝑒𝑛

+⋯+ 𝑎1𝛼 + 𝑎0 = 0

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Analysis PVK 2019 75 © Crameri/Grass

Je nach Nullstellen 𝛼 des Indexpolynoms ergeben sich die Folgenden Lösungen:

a) 𝛼1 ≠ 𝛼2 ≠ 𝛼3…𝑟𝑒𝑒𝑙𝑙 → 𝑦 = 𝐶1𝑥𝛼1 + 𝐶2𝑥

𝛼2 + 𝐶3𝑥𝛼3 +⋯

b) 𝛼1 = 𝛼2 = 𝛼3 = α…𝑟𝑒𝑒𝑙𝑙 → 𝑦 = 𝐶1𝑥𝛼 + ln(𝑥) 𝐶2𝑥

𝛼 + (ln 𝑥)2𝐶3𝑥𝛼 +⋯

c) 𝛼1 = 𝛼2 = 𝛼3 = ⋯ = 0 → 𝑦 = 𝐶1 + ln(𝑥) 𝐶2 + (ln 𝑥)2𝐶3 +⋯

d) 𝛼1,2 = 𝑎 ± 𝑏𝑖 → 𝑦 = 𝑥𝛼(𝐶1 cos(𝑏 ∙ ln 𝑥) + 𝐶2 sin(𝑏 ∙ ln 𝑥)

e) 𝛼1,2 = 𝛼3,4 = 𝑎 ± 𝑏𝑖 → 𝑦 = 𝑥𝑎(𝐶1 cos(𝑏 ∙ ln 𝑥) + 𝐶2 sin(𝑏 ∙ ln 𝑥)) +

ln(𝑥) · [𝑥𝑎(𝐶3 cos(𝑏 ∙ ln 𝑥) + 𝐶4 sin(𝑏 ∙ ln 𝑥)]

Hier multipliziert man also mit ln(𝑥)𝑛 falls Lösungen mehrfach vorkommen.

Beispiel:

𝑥𝑦′′ + 𝑦′ +𝑦

𝑥= 3 | · 𝑥 (𝑢𝑚 𝑎𝑢𝑓 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟 − 𝐹𝑜𝑟𝑚 𝑧𝑢 𝑘𝑜𝑚𝑚𝑒𝑛)

𝑥2𝑦′′ + 𝑥𝑦′ + 𝑦 = 3𝑥

Die homogene DGL 𝑥2𝑦′′ + 𝑥𝑦′ + 𝑦 = 0 lösen wir durch den Euler-Ansatz: 𝑦ℎ = 𝑥𝛼 Einsetzen gibt:

𝑥2 𝛼(𝛼 − 1)𝑥𝛼−2⏟ =𝑦′′

+ 𝑥 𝛼𝑥𝛼−1⏟ =𝑦′

+ 𝑥𝛼 = 0

𝛼(𝛼 − 1)𝑥𝛼 + 𝛼𝑥𝛼 + 𝑥𝛼 = 0

Daraus folgt das Indexpolynom:

𝛼(𝛼 − 1) + 𝛼 + 1 = 𝛼2 + 1 = 0 ⇒ 𝛼1,2 = ±𝑖

Und damit die homogene Lösung:

𝑦ℎ = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑛 𝑥) + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛(𝑙𝑛 𝑥)

Für die partikuläre Lösung machen wir den Ansatz 𝑦𝑝 = 𝐴𝑥 + 𝐵

Eingesetzt ergibt das:

𝑥𝐴 + 𝐴𝑥 + 𝐵 = 3𝑥 ⇒ 𝐵 = 0; 𝐴 =3

2 ⇒ 𝑦𝑝 =

3

2𝑥

𝑦(𝑥) = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝 = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠(𝑙𝑛 𝑥) + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛(𝑙𝑛 𝑥) +3

2𝑥

𝐶1, 𝐶2 allenfalls mit Anfangsbedingungen bestimmen.

13.9 DGL höherer Ordnung – partikuläre Lösung

Auch für Differentialgleichung höherer Ordnung kann man die partikuläre Lösung (𝑦𝑝) entweder

mittels Ansatz oder mit dem Verfahren von Lagrange lösen.

𝒚𝒑 mittels Ansatz

Das finden einer partikulären Lösung mittels Ansatz funktioniert für DGL höherer Ordnung gleich

wie für solche erster Ordnung (siehe entsprechendes Kapitel). Auch die Tabelle kann wieder

dieselbe genommen werden. Bei DGL höherer Ordnung muss man aber noch besser aufpassen,

dass man nicht eine Lösung (oder Linearkombination mehrerer Lösungen) der homogenen

Gleichung als Ansatz nimmt. Ist der Ansatz den man laut Tabelle nehmen müsste schon r-fache

Lösung der homogenen Gleichung multipliziert man den Ansatz mit 𝑥𝑟 (bei

Eulerdifferentialgleichungen entsprechend mit (ln 𝑥)𝑟).

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Analysis PVK 2019 76 © Crameri/Grass

Variation der Konstanten 2. Ordnung

Das Lagrange-Verfahren (Variation der Konstanten) funktioniert auch für DGL höherer Ordnung

immer. Allerdings wird es hier sehr schnell extrem mühsam, also lieber zuerst 100 verschiedene

Ansätze ausprobieren ;) Es funktioniert zwar auch für DGL von Ordnung >2 aber für uns ist dieses

Verfahren für DGL 2. Ordnung vorerst das höchste der Gefühle.

1. Zuerst brauchen wir die homogene Lösung: 𝑦ℎ(𝑥) = 𝐶1𝑢(𝑥) + 𝐶2𝑣(𝑥) (Wir haben eine DGL 2.

Ordnung und daher zwei Basislösungen, die wir hier 𝑢(𝑥) und 𝑣(𝑥) genannt haben).

2. Wir machen den Ansatz (Variation der Konstanten):

𝑦(𝑥) = 𝐶1(𝑥)𝑢(𝑥) + 𝐶2(𝑥)𝑣(𝑥)

3. Wir machen folgende zwei Annahmen:

𝐶1′𝑢 + 𝐶2

′𝑣 = 0 und 𝐶1′𝑢′ + 𝐶2

′𝑣′ = 𝑔(𝑥)

4. Danach rechnet man mal für eine Weile (muss man an der Prüfung nicht machen) und

kommt dann auf folgende Formeln für 𝐶1(𝑥) und 𝐶2(𝑥):

𝐶1′(𝑥) =

−𝑔(𝑥) ∙ 𝑣

𝑢𝑣′ − 𝑢′𝑣 𝐶2

′(𝑥) =𝑔(𝑥) ∙ 𝑢

𝑢𝑣′ − 𝑢′𝑣

5. 𝐶1(𝑥) und 𝐶2(𝑥) bestimmt man nun durch Integrieren

ACHTUNG: Wiedermal die Integrationskonstante nicht vergessen!

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Analysis PVK 2019 77 © Crameri/Grass

14 Systeme von Differentialgleichungen

Ein lineares System von DGL

��(𝑡) = 𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑏1

��(𝑡) = 𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑏2

kann man auch mit Matrizen und Vektoren schreiben als:

�� = 𝐴𝑧 + �� 𝑚𝑖𝑡 𝑧(𝑡) = (𝑥(𝑡)

𝑦(𝑡)) ; 𝐴 = (

𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

) 𝑢𝑛𝑑 �� = (𝑏1𝑏2)

Auch hier sucht man zuerst wieder die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung ( �� = 0) und

sucht dann wieder eine Partikuläre Lösung (meist mit Ansatz). Zum lösen des homogenen DGL-

Systems gibt es die folgenden 2 Möglichkeiten:

14.1 Methode 1: „Linalg-Methode“

In Linalg häufig die beste Wahl. Diese Methode ist nur zu empfehlen, wenn die A-Matrix

diagonalisierbar ist. In diesem Fall ist die Methode dann aber ziemlich effizient.

Von wo das Zeugs kommt:

Man hat das System �� = 𝐴𝑧

Man findet Alle Eigenwerte 𝜆𝑖 und die zugehörigen Eigenvektoren ��𝑖 von A und definiere

𝐷 ≔ 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑛) und 𝑇 ≔ (��1, ��2, … , ��𝑛).

Dann gilt 𝑇−1𝐴𝑇 = 𝐷.

Nun substituiert man 𝑧 = 𝑇�� setzt dies ein: 𝑇�� = 𝐴𝑇�� multipliziert mit 𝑇−1 von links:

𝑇−1𝑇⏟ =𝕀

�� = 𝑇−1𝐴𝑇⏟ =𝐷

�� ↝ �� = 𝐷�� und kriegt damit ein entkoppeltes System für ��

Man löst dieses System für �� und macht die Rücktransformation 𝑧 = 𝑇��

Was man schlussendlich rechnet:

1. Finde EW (𝜆𝑖) und EV (��𝑖) von A

2. Baue Lösung nach folgendem Schema zusammen:

a) 𝜆1 ≠ 𝜆2 ≠ ⋯𝑟𝑒𝑒𝑙𝑙 → 𝑧ℎ = 𝐶1𝑒𝜆1𝑡 ∙ 𝑣1 + 𝐶2𝑒

𝜆2𝑡 ∙ 𝑣2 + ⋯

b) 𝜆1 = 𝜆2 = ⋯ = λ 𝑟𝑒𝑒𝑙𝑙 → 𝑧ℎ = 𝐶1𝑒𝜆𝑡 ∙ 𝑣1 + 𝐶2 𝑒

𝜆𝑡 ∙ 𝑣2 + 𝐶3 eλtv3 + ⋯

ACHTUNG: Solange 𝐴 diagonalisierbar ist, wird hier nicht irgendwie mit 𝑡 multipliziert, auch

wenn ein Eigenwert mehrfach vorkommt. Multiplikation mit 𝑡 macht man nur dann, wenn A

nicht diagonalisierbar ist. In diesem Fall ist aber die „Entkopplungsmethode“ nicht zu

empfehlen.

c) konjugiert komplexe 𝜆 und ��

MERKE: ist A reell treten komplexe EW 𝜆 und EV �� immer in komplex konjugierten Paaren auf!

man betrachtet jetzt nur den positiven* EW und den zugehörigen EV:

𝜆1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 → ��1 = (𝑐𝑑𝑖)

Mit diesem Schreibt man die Lösung für 𝑧(𝑡) als:

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Analysis PVK 2019 78 © Crameri/Grass

𝑧(𝑡) = (𝑐𝑑𝑖) 𝑒(𝑎+𝑏𝑖)𝑡 = (

𝑐𝑑𝑖) 𝑒𝑎𝑡(cos(𝑏𝑡) + 𝑖 sin(𝑏𝑡)) = (

𝑐 ∙ 𝑒𝑎𝑡 cos(𝑏𝑡) + 𝑖 𝑐 𝑒𝑎𝑡 sin(𝑏𝑡)

𝑑𝑖 𝑒𝑎𝑡 cos(𝑏𝑡) − 𝑑𝑒𝑎𝑡 sin(𝑏𝑡)) =

(𝑒𝑎𝑡 𝑐 cos(𝑏𝑡)

−𝑒𝑎𝑡 𝑑 sin(𝑏𝑡) ) + 𝑖 (

𝑒𝑎𝑡 𝑐 sin(𝑏𝑡)

𝑒𝑎𝑡 𝑑 cos(𝑏𝑡) )

Als nächstes trennt man den Realteil und den Imaginärteil und nimmt eine Linearkombination

davon (mit Konstanten 𝐶1 und 𝐶2) als Lösung

𝑧(𝑡) = (𝑥(𝑡)

𝑦(𝑡)) = C1 · 𝑅𝑒 + 𝐶2 · 𝐼𝑚 = 𝐶1𝑒

𝑎𝑡 (c cos(𝑏𝑡)−𝑑 sin(𝑏𝑡)

) + 𝐶2𝑒𝑎𝑡 (

𝑐 sin(𝑏𝑡)𝑑 cos(𝑏𝑡)

)

*man kann auch den negativen EW 𝜆2 und zugehörigen negativen EV ��2 nehmen. Man darf aber

nicht z.B. 𝜆1 und ��2 nehmen!

Erklärung wieso das bei c) so geht

Hier gilt wieder das gleiche wie bei normalen DGL: Da das System linear ist, ist jede

Linearkombination von Lösungen auch wieder eine Lösung. Der Realteil und der Imaginärteil einer

komplexen Zahl sind jeweils Linearkombinationen der Komplexen Zahl und Ihrer komplex-

konjugierten (𝑅𝑒(𝑧) =1

2𝑧 +

1

2𝑧; 𝐼𝑚(𝑧) =

1

2𝑖𝑧 −

1

2𝑖𝑧). Daher sind der Realteil und Imaginärteil jeweils für

sich auch wieder Basislösungen. Da die EW und die EV immer in komplex konjugierten Paaren

auftreten, hat man in einem EW+EV sozusagen schon zwei linear unabhängige Lösungen drin.

Beispiele DGL-Systeme mit Linalg-Methode (Nur wenn A diagonalisierbar)

Beispiel 1: (A diagonalisierbar, 2 reelle EW)

Man bestimme die Funktionen 𝑥(𝑡) und 𝑦(𝑡) welche folgendes DGL-System erfüllen:

�� = 𝑥 + 4𝑦

�� = 2𝑥 + 3𝑦

mit den Anfangsbedingungen 𝑥(0) = 0 und 𝑦(0) = 3

Lösung:

Das System lässt sich in Matrixschreibweise schreiben als:

(����) = (

1 42 3

)⏟ ≔𝐴

(𝑥𝑦)

Nun muss man die Eigenwerte (𝜆𝑖) und Eigenvektoren (��𝑖) von 𝐴 finden. Man erhält:

𝜆1 = 5 𝑚𝑖𝑡 ��1 = (11) 𝑢𝑛𝑑 𝜆2 = −1 𝑚𝑖𝑡 ��2 = (

−21)

Tipp: Die folgenden zwei Eigenschaften sind oft nützlich um Eigenwerte zu finden oder zu

überprüfen, ob die gefundenen Eigenwerte stimmen:

∑𝜆𝑖𝑖

= 𝑠𝑝𝑢𝑟(𝐴) 𝑖𝑛 𝑑𝑖𝑒𝑠𝑒𝑚 𝐹𝑎𝑙𝑙: 5 − 1 = 𝑠𝑝𝑢𝑟(𝐴) = 3 + 1 = 4

∏𝜆𝑖𝑖

= 𝑑𝑒𝑡(𝐴) 𝑖𝑛 𝑑𝑖𝑒𝑠𝑒𝑚 𝐹𝑎𝑙𝑙: 5 · (−1) = 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 1 · 3 − 2 · 4 = −5

Bemerkung: Natürlich sind alle vielfachen der ��𝑖 auch Eigenvektoren. Für die Lösung des DGL-

Systems kann man auch diese vielfachen verwenden. Die Allgemeine Lösung wird dann zwar

unterschiedlich sein, ist aber dennoch die gleiche, da es nur auf das „Verhältnis“ der Konstanten

draufankommt. Die spezielle Lösung zu den gegebenen Anfangsbedingungen ist dann eindeutig.

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Analysis PVK 2019 79 © Crameri/Grass

Die Allgemeine Lösung lautet:

(𝑥𝑦) = 𝐶1𝑒

5𝑡 (11) + 𝐶2𝑒

−𝑡 (−21)

𝑥(𝑡) = 𝐶1𝑒5𝑡 − 2𝐶2𝑒

−𝑡

𝑦(𝑡) = 𝐶1𝑒5𝑡 + 𝐶2𝑒

−𝑡

Aus den Anfangsbedingungen erhalten wir das Gleichungssystem:

{𝐶1 − 2𝐶2 = 0𝐶1 + 𝐶2 = 3

Dieses hat die Lösung 𝐶1 = 2 und 𝐶2 = 1. Die Endlösung ist somit:

{𝑥(𝑡) = 2𝑒5𝑡 − 2𝑒−𝑡

𝑦(𝑡) = 2𝑒5𝑡 + 𝑒−𝑡

Beispiel 2: (A diagonalisierbar, komplex konjugierte Lösungen)

Man finde die Allgemeine Lösung des folgenden DGL-Systems:

(����) = (

−1 2−2 −1

)⏟

≔𝐴

(𝑥𝑦)

Lösung:

Die Eigenwerte mit ihren dazugehörigen Eigenvektoren lauten:

Bemerkung: Auch jedes vielfache, also auch z.B. das 𝑖-Fache(!) eines Eigenvektors ist wiederum

ein Eigenvektor.

𝜆1 = −1 + 2𝑖 𝑚𝑖𝑡 ��1 = (−𝑖1) 𝑢𝑛𝑑 𝜆2 = −1 − 2𝑖 𝑚𝑖𝑡 ��2 = (

𝑖1)

Bemerke, dass EW und EV immer in komplex konjugierten Paaren auftreten. Für die Lösung

betrachten wir jetzt nur 𝜆1 und ��1

(𝑥𝑦) = (

−𝑖1) · 𝑒(−1+2𝑖)𝑡 = (

−𝑖1) 𝑒−𝑡 · [𝑐𝑜𝑠(2𝑡) + 𝑖 𝑠𝑖𝑛(2𝑡)]⏟

=𝑒2𝑡𝑖

= (−𝑖 · 𝑒−𝑡 𝑐𝑜𝑠(2𝑡) + 𝑒−𝑡 𝑠𝑖𝑛(2𝑡)

𝑒−𝑡 𝑐𝑜𝑠(2𝑡) − 𝑖 · 𝑒−𝑡 𝑠𝑖𝑛(2𝑡))

Nun trennen wir den Real- und Immaginärteil

= (𝑒−𝑡 𝑠𝑖𝑛(2𝑡)

𝑒−𝑡 𝑐𝑜𝑠(2𝑡))

⏟ =𝑅𝑒

+ 𝑖 (−𝑒−𝑡 𝑐𝑜𝑠(2𝑡)

𝑒−𝑡 𝑠𝑖𝑛(2𝑡))

⏟ =𝐼𝑚

Die Allgemeine Lösung ist dann 𝐶1 · 𝑅𝑒 + 𝐶2 · 𝐼𝑚:

(𝑥(𝑡)𝑦(𝑡)

) = 𝐶1 (𝑒−𝑡 𝑠𝑖𝑛(2𝑡)

𝑒−𝑡 𝑐𝑜𝑠(2𝑡)) + 𝐶2 (

−𝑒−𝑡𝑐𝑜𝑠 (2𝑡)

𝑒−𝑡 𝑠𝑖𝑛(2𝑡))

14.2 Methode 2: „Eliminationsmethode“

In Analysis ist diese Methode häufig die bessere Wahl. Sie funktioniert auch falls A nicht

diagonalisierbar ist. Hierbei rechnet man nichts mit Matrizen oder Eigenwerten, sondern versucht

ein System von 𝑛 Differentialgleichungen 1. Ordnung auf eine Differentialgleichung n-ter Ordnung

zu bringen. Dafür muss man meistens eine DGL nach einer Funktion auflösen, diese dann Ableiten

und in die andere DGL einsetzen.

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Analysis PVK 2019 80 © Crameri/Grass

Beispiel:

�� = 5𝑥 + 𝑦

�� = −4𝑥 + 𝑦

Erste DGL nach 𝑦 auflösen:

𝑦 = �� − 5𝑥 ↝ �� = �� − 5��

Einsetzen in zweite DGL

�� − 5��⏟ =��

= −4𝑥 + (�� − 5𝑥)⏟ =𝑦

↝ �� − 6�� + 9𝑥 = 0

𝜆2 − 6𝜆 + 9 = (𝜆 − 3)2 ⇒ 𝜆1,2 = 3

𝑥(𝑡) = 𝐶1𝑒3𝑡 + 𝐶2𝑡𝑒

3𝑡 ↝ �� = 3𝐶1𝑒3𝑡 + 𝐶2𝑒

3𝑡 + 3𝐶2𝑡𝑒3𝑡

𝑦 = �� − 5𝑥 = 3𝐶1𝑒3𝑡 + 𝐶2𝑒

3𝑡 + 3𝐶2𝑡𝑒3𝑡 − 5(𝐶1𝑒

3𝑡 + 𝐶2𝑡𝑒3𝑡)

= (𝐶2 − 2𝐶1)𝑒3𝑡 − 2𝐶2𝑡𝑒

3𝑡 = 𝑦(𝑡)

BEMERKUNG: Es kommt nicht drauf an, ob man zuerst 𝑥 oder 𝑦 berechnet. Die Allgemeine Lösung

wird zwar verschieden aussehen, aber da 𝐶1 und 𝐶2 Konstanten sind kommt es hier nur auf das

Verhältnis an. Eine spezielle Lösung zu zwei Anfangsbedingungen ist dann eindeutig.

TIPP: Falls es Anfangsbedingungen hat, kann man oft schon eine Konstante bestimmen nach dem

man erst eine Funktion gefunden hat. Dies sollte man dann auch tun, da man nachher nur noch

eine Konstante „mitschleppen“ muss, was die Rechnung einfacher macht.

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Analysis PVK 2019 81 © Crameri/Grass

14.3 Stabilität und Gleichgewicht

An Gleichgewichtpunkten gibt es keine Bewegung. D.h. alle Ableitungen sind dort Null.

Ggw-Pkte dort wo (��(𝑡)��(𝑡)

) = (00) , also keine Geschwindigkeit in 𝑥 oder 𝑦

Nun sei z.B. der Punkt (𝑥0, 𝑦0) ein solcher Gleichgewichtspunkt. Dann kann man Aussagen über die

Stabilität dieses Punktes machen. Dies tut man wie folgt:

1. Falls das System nicht linear ist, muss man es zunächst um den Gleichgewichtspunkt

linearisieren:

Nicht lineares System: ��1 = 𝑓1(𝑦1, 𝑦2) ��2 = 𝑓2(𝑦1 , 𝑦2)

Partielle Ableitungen am Ggw-Pkt. (𝑥0, 𝑦0) bilden

Neues Koordinatensystem (𝜉, 𝜂) mit Ursprung (𝑥0, 𝑦0) einführen:

Daraus folgt dann das lineare System:

ξ =𝜕𝑓1𝜕x(𝑥0, 𝑦0) ∙ ξ +

𝜕𝑓1𝜕y(𝑥0, 𝑦0) ∙ η

η =𝜕𝑓2𝜕x(𝑥0, 𝑦0) ∙ ξ +

𝜕𝑓2𝜕y(𝑥0, 𝑦0) ∙ η

2. Von diesem System (𝜉, 𝜂) dann die EW (𝜆) und damit Stabilität bestimmen

Es gilt:

𝑅𝑒(𝜆𝑖) < 0 Asymptotisch stabil

𝑅𝑒(𝜆𝑖) ≤ 0 Grenzstabil

𝑅𝑒(𝜆𝑖) > 0 Instabil

14.4 Phasenportrait

Man stelle sich irgendwelche Partikel vor, die sich in der 𝑥, 𝑦-Ebene bewegen. Dann beschreiben

die zwei Gleichungen

�� = 𝑓(𝑥, 𝑦)

�� = 𝑔(𝑥, 𝑦)

Die Geschwindigkeit jedes Partikels in Abhängigkeit vom Ort, an dem sich dieser Partikel befindet.

��(𝑥, 𝑦) = (𝑓(𝑥, 𝑦)

𝑔(𝑥, 𝑦)) ist dann das Vektorfeld das die Geschwindigkeit der Partikel beschreibt. Da in

diesem Fall 𝑓 und 𝑔 nur von 𝑥 und 𝑦 und nicht von 𝑡 abhängen, spricht man von einem

stationären Strömungsfeld. Zu jedem Startwert (𝑥0, 𝑦0) eines Partikels gibt es genau eine Kurve auf

der sich der Partikel bewegen wird. Diese Kurve heisst Trajektorie. Die Menge aller Trajektorien

nennt man dann das Phasenportrait.

Das Phasenportrait eines Systems berechnet man durch lösen der Differentialgleichung für 𝑦′:

𝑦′(𝑥, 𝑦) =��(𝑥, 𝑦)

��(𝑥, 𝑦)=𝑔(𝑥, 𝑦)

𝑓(𝑥, 𝑦)

Den Durchlaufsinn des Phasenportraits findet man indem man das ursprünglich gegebene DGL-

System betrachtet und schaut, für an welchen Orten �� und �� jeweils positiv oder negativ sind.