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Analysis III f¨ ur Physik Prof. Dr. Uwe Jannsen Wintersemester 2014/15 Inhaltsverzeichnis 0 Erinnerung/Einstimmung 1 1 Komplexe Funktionen 4 2 Komplexe Differenzierbarkeit 6 3 Komplexe Potenzreihen 10 4 Der Cauchy’sche Integralsatz 15 5 Cauchy’sche Integralformel und Entwicklung in Potenzreihen 22 6 Isolierte Singularit¨ aten 29

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Analysis III fur Physik

Prof. Dr. Uwe JannsenWintersemester 2014/15

Inhaltsverzeichnis

0 Erinnerung/Einstimmung 1

1 Komplexe Funktionen 4

2 Komplexe Differenzierbarkeit 6

3 Komplexe Potenzreihen 10

4 Der Cauchy’sche Integralsatz 15

5 Cauchy’sche Integralformel und Entwicklung in Potenzreihen 22

6 Isolierte Singularitaten 29

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0 Erinnerung/Einstimmung

Analysis I fur Physiker: reelle Funktionen f : I → R (I Intervall [a, b], [a, b[, ]a, b],]a, b[, [a,∞[, . . .)

• Stetigkeit: fur alle ε > 0 ex. δ > 0 : |x− x0| < δ ⇒ |f(x)− f(x0)| < ε

• Differenzierbarkeit: limx→x0

f(x)−f(x0)x−x0

existiert; Wert := f ′(x0)

• stetige Differenzierbarkeit: zusatzlich ist x 7→ f ′(x) stetig

• Zwischenwertsatz fur stetige Funktionen

f(a) ≤ y ≤ f(b)∃ ξ ∈ [a, b]f(ξ) = y

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

a bξ

y

• Mittelwertsatz fur differenzierbare Funktionen in ]a, b[ stetig in [a, b]

∃ ξ ∈ [a, b]f(b)−f(a)

b−a= f ′(ξ)

.......

...................................................................................

......... .................. ..................................................................................................

a bξ

• Integralb∫a

f(x)dx

Hauptsatz der Differential- und Integralrechung:

b∫a

F ′(x)dx = F (b)− F (a) und

x∫a

f(t)dt

= f(x)

• uneigentliche Integraleb∫a

f(x)dx, f(x) nicht definiert bei a und/oder b

• Potenzreihen∞∑n=0

anxn,

∞∑n=0

an(x− x0)n

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• Taylorreihe∞∑n=0

f (n)(x0)n!

(x− x0)n = f(x), falls die Restglieder Rn(x, x0) →

n→∞0

Formel fur Restglieder

• Potenzreihe konvergiert ⇒ ist gleich Taylorreihe

Analysis II fur Physiker:

• Funktionen (Abbildungen)

Rn Rm

∪| ∪|f : U → V

offen offen(x1, . . . , xn) 7→ (f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn))

• Norm auf Rn: x = (x1, . . . , xn)

⇒ ||x|| =√

⟨x, x⟩ =√

x21 + . . .+ x2

n

⇒ Metrik d(x, y) = ||x− y||

• Dreiecksungleichung d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)

• •

x y

z

• offene ε-Umgebung Uε(x0) = {y ∈ Rn | ||y − x0|| < ε}

x0ε

• U ⊆ Rn offen ⇔ fur jedes x ∈ U gibt es ein ε > 0 mit Uε(x) ⊆ U .

• f stetig bei x0: fur alle ε > 0 existiert δ > 0 : ||x− x0|| < δ ⇒ ||f(x)− f(x0)|| < ε.

• f total differenzierbar bei a: Es existiert eine Matrix A ∈ M(m × n,R) (∧= lineare

Abbildung L : Rn → Rm) mit

limx→a

f(x)− f(a)− A(x− a)

||x− a||= 0

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• ⇒ f partiell differenzierbar bei a, d.h.,

∂fi∂xj

(a) = limh→0

fi(a1, . . . , ai−1, ai + h, ai+1, . . . an)

h

existiert fur alle i, j; und es ist A = Df(a) =(

∂fi∂xj

(a))= Jacobi-Matrix von f bei a

• Aber: Umkehrung gilt nicht!

• f stetig partiell differenzierbar (partielle Ableitungen existieren und sind stetig) ⇒ ftotal differenzierbar.

• f 2x stetig partiell differenzierbar ⇒ ∂2f∂xi∂xj

= ∂2f∂xj∂xi

(im Allgemeinen falsch)

• Hoherdimensionale Taylorreihe fur f : U → R bei a ∈ U ⊆ Rn

∑α=(α1,...,αn)

∂αf(a)

α!(x− a)α

• ⇒ Notwendige und hinreichende Bedingungen fur lokale Minima und Maxima mit

Hesse-Matrix(

∂2f∂xi∂xj

(a)).

• Satz uber implizite Funktionen/Diffeomorphismen

Koordinatentransformation

Polar

Zylinder

Kugel

Koordinaten•

• Hoherdimensionale Integration/Transformationssatz

• Differenzierbare Mannigfaltigkeiten M/Untermannigfaltigkeiten M ⊆ Rn

• Integralsatze Gauß, Stokes, Green

• Differentialgleichungen

– gewohnliche

– lineare

– Anfangswertprobleme

– autonome

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1 Komplexe Funktionen

Definition 1.1 Der Korper C der komplexen Zahlen hat die Elemente z = x+iy mit x, y ∈ Rund i2 = −1. Dabei heißt x = Re(z) der Realteil von z und y = Im(z) der Imaginarteilvon z.

Es ist(x+ iy) + (x′ + iy′) = (x+ x′) + i(y + y′)

und(x+ iy) · (x′ + iy′) = xx′ + ixy′ + iyx′ + i2yy′

= (xx′ − yy′) + i(xy′ + x′y) .

Damit wird C zu einem Korper: Fur z = 0 ist z−1 = z||z||2 . Fur z = x + iy heißt z = x − iy

das komplex Konjugierte von z.

Es ist z · z = (x + iy)(x − iy) = x2 + y2 ≥ 0, und |z| =√zz =

√x2 + y2 heißt die Norm

oder der Betrag von z. Es gilt |z| = 0 genau dann wenn z = 0. d(z1, z2) = |z1 − z2| ist eineMetrik, d.h., es gilt die Dreiecksgleichung. Fur z0 ∈ C und ε > 0 heißt

Uε(z0) = {z ∈ C | |z − z0| < ε}

die offene ε-Umgebung von z0. Eine Menge U ⊆ C heißt offen, wenn es fur jedes x0 ∈ U einε > 0 gibt mit Uε(x0) ⊆ U .

..................

....

............................................

...........................................................

..... ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

............................................

..............................

.......

....................................................................................................................

Uε(x0)x0

εU

Anschauliche Beschreibung: Gaußsche Zahlenebene

6

-

...........................................................................

• z = r(cosφ+ i sinφ)

y

x1 x

φi

r

Polarkoordinaten: z = r(cosφ+ i sinφ).

Fur U ⊆ C offen nennen wir eine Abbildung

f : U → C

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eine komplexe Funktion auf U . Wir schreiben fur z = x+ iy

f(z) = u(z) + iv(z) = u(x, y) + iv(x, y) ,

mit u(x, y), v(x, y) ∈ R, also u = Re(f) und v = Im(f).

Definition 1.2 f : U → C heißt stetig bei z0 ∈ U , wenn gilt: Fur alle ε > 0 existiert einδ > 0 mit

|z − z0| < δ ⇒ |f(z)− f(z0)| < ε .

Lemma 1.3 f, g : U → C stetig ⇒ f · g und f + g stetig.

Beweis fur f + g : z0, ε > 0 gegeben ⇒ ∃ δ1, δ2 > 0 mit

(1)|z − z0| < δ1 ⇒ |f(z)− f(z0)| < ε|z − z0| < δ2 ⇒ |g(z)− g(z0)| < ε

Fur |z − z0| < min(δ1, δ2) gilt also

(2) |f(z) + g(z)− (f(z0) + g(z0))| ≤ |f(z)− f(z0)|+ |g(z)− g(z0)| < 2ε

wegen der Dreiecksungleichung |a+ b| ≤ |a|+ |b|. Dies zeigt die Stetigkeit von f + g: Wenn|z − z0| klein ist, ist |(f + g)(z) − (f + g)(z0)| klein. Zum Beispiel fange mit ε′ = ε/2 an,dann erhalten wir am Ende die Abschatzung < ε.

Beweis fur f · g: Es ist

|f(z) · g(z)− f(z0)g(z0)|

= |f(z) · g(z)− f(z0)g(z) + f(z0)g(z)− f(z0)g(z0)|

≤ |f(z)− f(z0)| · |g(z)|+ |f(z0)|g(z)− g(z0)|

< ε(|g(z0)|+ ε) + |f(z0)| · ε = M · ε ,

mit M = |g(z0)|+ ε+ |f(z0)| > 0. Wieder konnen wir mit ε′ = ε/M anfangen.

Corollar 1.4 Jede polynomiale Funktion f(z) = anzn + an−1z

n−1 + . . .+ a1z+ a0 ist stetig.

Beweis: g(z) = z und konstante Funktionen h(z) = a ∈ C sind stetig; wende 1.3 wiederholtan.

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2 Komplexe Differenzierbarkeit

Definition 2.1 Eine komplexe Funktion f : U → C (U ⊆ C offen) heißt komplex diffe-renzierbar bei z0 ∈ U , wenn der Limes

limz→z0

f(z)− f(z0)

z − z0=: f ′(z0)

existiert. Gilt dies fur alle z0 ∈ U , so heißt f holomorph (oder analytisch) auf U .

Beispiele 2.2 (a) Jede konstante Funktion ist komplex differenzierbar

(b) f(z) = z ist komplex differenzierbar, mit f ′(z) = 1.

(c) f(z) = z ist nicht komplex differenzierbar: Fur x ∈ R ist

limx→0

f(z0 + x)− f(z0)

z0 + x− z0= lim

x→0

x

x= 1 ,

und fur ix ist

limx→0

f(z0 + ix)− f(z0)

z0 + ix− z0= lim

x→0

−ix

ix= −1 .

Der Limes muss aber bei Differenzierbarkeit fur alle Folgen zn → z0 derselbe sein.

Satz 2.3 Fur holomorphe Funktionen f, g : U → C gilt

(a) (Additivitat) f + g ist holomorph mit (f + g)′ = f ′ + g′.

(b) (Produktregel) f · g ist holomorph mit (f · g)′ = f ′g + fg!

(c) (Quotientenregel) fgist holomorph auf U ′ = {z ∈ U | g(z) = 0} mit(

f

g

)′

=f ′g − fg′

g2.

Beweis (a) ist klar wegen der Additivitat von Limiten.

(b) Es ist

limh→0

f(z0+h)g(z0+h)−f(z0)g(z0)h

= limh→0

((f(z0+h)−f(z0))

hg(z0 + h) + f(z0)

g(z0+h)−g(z0)h

)= f ′(z0)g(z0) + f(z0)g

′(z0) .

(c): selbst (Ubungsaufgabe).

Weiter gilt

Satz 2.4 (Kettenregel) Fur holomorphe Funktionen

f : U → V ⊆ Cg : V → W ⊆ C

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ist die Komposition g ◦ f : U → W ⊆ C [(g ◦ f)(z) = g(f(z))] holomorph mit Ableitung

(g ◦ f)′(z) = g′(f(z)) · f ′(z) .

Beweis: Sei z0 ∈ U . Es ist

(g ◦ f)′(z0) = limh→0

g(f(z0+h))−g(f(z0))h

= limh→0

[g(f(z0+h))−g(f(z0))

f(z0+h)−f(z0)

]∗f(z0+h)−f(z0)

h

= limh→0

[g(f(z0+h))−g(f(z0))

f(z0+h)−f(z0)

]∗· limh→0

f(z0+h)−f(z0)h

(∗)= g′(f(z0)) · f ′(z0) .

Hierbei sei fur y ∈ V

[g(y)− g(f(z0))

y − f(z0)

]∗=

g(y)−g(f(z0))

y−f(z0), y = f(z0) ,

g′(f(z0)) , y = f(z0) .

Dann ist diese Funktion wohldefiniert auf V und stetig bei y = f(z0), da g differenzierbarbei f(z0) ist, so dass

limy→f(x0)

g(y)− g(f(z0))

y − f(z0)= g′(f(z0)) .

Es folgt die Gleichheit (∗), dalimh→0

f(x0 + h) = f(x0)

wegen der Stetigkeit von f und

limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h= f ′(x0)

wegen Differenzierbarkeit von f .

Wir kommen nun zu einer anderen Charakterisierung der komplexen Differenzierbarkeit.Identifizieren wir C mit R2 mittels der Zuordnung x+ iy 7→ (x, y) (die die Metriken identifi-ziert!), so konnen wir eine komplexe Funktion f : U → C auch als eine Abbildung f : U → R2

mit U ⊆ R2 offen ansehen. Wir sagen, dass f reell differenzierbar bei z0 = x0 + iy0 ist,wenn letztere Abbildung reell differenzierbar bei (x0, y0) im Sinne der Analysis II ist, alsowenn es eine lineare Abbildung A : R2 → R2 gibt mit

lim(h1,h2)→0

f(x0 + h1, y0 + h2)− f(x0, y0)− A(h1, h2)

|(h1, h2)|= 0

Satz 2.5 f ist genau dann komplex differenzierbar bei z0, wenn f reell total differenzierbarist und die lineare Abbildung A in der Definition der totalen Differenzierbarkeit durch dieMultiplikation mit einer komplexen Zahl α (vermoge der Isomorphie C ∼→ R2) gegeben ist.Es ist dann α = f ′(z0).

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Beweis Existiert

limh→0

f(z0 + h)− f(z0)

h= f ′(z0) ,

so gilt

limh→0

f(z0 + h)− f(z0)− f ′(z0) · hh

= 0

und damit auch

limh→0

f(z0 + h)− f(z0)− f ′(z0) · h|h|

= 0

(Betrage sind gleich!), und wir haben die reelle (totale) Differenzierbarkeit, mit linearerAbbildung A= Multiplikation mit f ′(z0).

Gilt umgekehrt

limh→0

f(z0 + h)− f(z0)− α · h|h|

= 0

mit einer komplexen Zahl α, so ist

limh→0

f(z0 + h)− f(z0)− αh

h= 0

(Betrage sind gleich!), und es existiert

limh→h

f(z0 + h)− f(z0)

h= α = f ′(z0) .

Wir erhalten:

Satz 2.6 Mit z = x+ iy schreibe

f(z) = u(x, y) + iv(x, y) .

Dann ist f genau dann komplex differenzierbar bei z0, wenn gilt

(a) f ist reell (total) differenzierbar bei z0, und

(b) Es gelten die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

∂u∂x

(z0) = ∂v∂y

(z0)

∂v∂x

(z0) = −∂u∂y

(z0)

Beweis (a) ist die erste Bedingung im Satz 2.5, und wir haben zu zeigen, dass (b) aquivalentzur zweiten Bedingung in 2.5 ist. Es ist aber A bekanntlich die Jacobi-Matrix

A =

∂u∂x

(z0)∂u∂y

(z0)

∂v∂x

(z0)∂v∂y

(z0)

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und andererseits ist die Multiplikation mit α = a+ ib auf C gegeben durch

(a+ ib)(x+ iy) = ax− by + i(bx+ ay) ,

also in der R-Basis (1, i) durch die Matrix(a −bb a

),

denn es ist (a −bb a

)(xy

)=

(ax− bybx− ay

).

Also ist A genau dann die Multiplikation mit einem α ∈ C, wenn ∂u∂x

∂u∂y

∂v∂x

∂v∂y

=

(a −bb a

)

fur die Jacobimatrix bei z0 und reelle Zahlen a, b, also wenn die Cauchy-RiemannschenDifferentialgleichungen gelten.

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3 Komplexe Potenzreihen

Eine komplexe Potenzreihe ist eine Reihe der Form∞∑n=0

anzn

mit an ∈ C und z ∈ C. Wir wollen die Konvergenz dieser Reihe untersuchen.

Wie im Fall reeller Reihen hat man das folgende Konvergenkriterium.

Lemma 3.1 (Majorantenkriterium) Sei∞∑n=0

bn

eine Reihe mit bn ∈ C. Gibt es relle Zahlen λn ≥ 0 fur alle n ∈ N0 mit |bn| ≤ λn, so dass diereelle Reihe

∞∑n=0

λn

konvergiert, so konvergiert∞∑n=0

bn absolut, d.h.,∞∑n=0

|bn| konvergiert, und damit auch∞∑n=0

bn.

Dasselbe gilt, wenn |bn| ≤ λn fur alle n ≥ N fur ein N ≥ 0.

BeweisDie erste Aussage folgt aus demMajoranten-Kriterium fur relle Reihen, und die zwei-te Behauptung folgt mit der Dreiecksungleichung: Es ist zu zeigen, dass die Partialsummen

Pm =m∑

n=0

bn eine Cauchy-Folge bilden. Aber nach Voraussetzung bilden die Partialsummen

P ′m =

m∑n=0

|bn| eine Cauchyfolge, d.h., zu jedem ε > 0 gibt es ein N > 0, so dass |P ′r −P ′

s| < ε

fur alle r, s ≥ N . Fur r ≥ s ist dann auch |Pr − Ps| = |r∑

n=s

bn| ≤r∑

n=s

|bn| = |P ′r − P ′

s| < ε,

d.h., die Pm bilden eine Cauchyfolge.

Die letzte Behauptung ist klar, da es auf die ersten N Reihenglieder nicht ankommt.

Satz 3.2 (vom Konvergenzradius) Sei∞∑n=0

anzn eine komplexe Potenzreihe.

1) Konvergiert diese Reihe fur ein z0, so konvergiert sie auch fur alle z mit |z| < |z0|.

2) Daher gibt es eine reelle Zahl ρ ∈ [0,∞], so dass∞∑n=0

anzn fur alle r mit 0 ≤ r < ρ auf

{z | |z| ≤ r} absolut und gleichmaßig konvergiert und fur alle z mit |z| > ρ divergiert. Diesesρ heißt heißt der Konvergenzradius der Reihe.

Beweis 1) Konvergiert∞∑n=0

anzn0 , so bilden die anz

n0 insbesondere eine Nullfolge. Daher wird

|anzn0 | ≤ 1 fur n ≥ N mit N genugend groß. Daher wird∞∑n=0

anzn =

∞∑n=0

anzn0

(z

z0

)n

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fur alle z mit |z| < |z0| durch die geometrische Reihe

∞∑n=0

(|z||z0|

)n

mit |z||z0| = q < 1 majorisiert, konvergiert also absolut nach Lemma 3.1.

2) Wir konnen setzen:

ρ = sup {γ | es existiert ein z mit |z| = γ so dass∞∑n=0

anzn konvergiert}︸ ︷︷ ︸

M

Nach Definition giltγ ∈ M ⇒ γ ≤ ργ < ρ ⇒ γ ∈ Mγ > ρ ⇒ γ /∈ M .

Fur ρ gelten also die Eigenschaften in 2).

Die gleichmaßige Konvergenz folgt ebenfalls aus dem Majoranten-Kriterium: Ist r < ρ, sohat man auf {z | |z| ≤ r} die globale Majorante

∑| an | rn.

Bemerkung 3.3 Uber das Verhalten fur |z| = ρ kann man im Allgmeinen nichts sagen:

(a)∞∑n=0

zn hat Konvergenzradius ρ = 1, und konvergiert fur kein z mit |z| = 1.

(b)∞∑n=0

zn

n2 hat Konvergenzradius ρ = 1, und konvergiert fur alle z mit |z| = 1.

Lemma 3.4 (Quotientenkriterium) Sei∞∑n=0

bn eine Reihe mit bn ∈ C und bn = 0 fur alle n.

Gibt es eine reelle Zahl t mit 0 < t < 1, so dass

(∗)∣∣∣∣bn+1

bn

∣∣∣∣ ≤ t fur alle n ≥ N

fur ein N ≥ 0, so konvergiert die Reihe absolut.

Beweis Da es auf die ersten Glieder nicht ankommt, konnen wir N = 0 annehmen. Aus (∗)folgt dann durch Induktion

|bn| ≤ |b0| · tn .

Daher ist∞∑n=0

|b0| · tn = |b0|∞∑n=0

tn eine konvergente Majorante fur∞∑n=0

bn, und wir konnen 3.1

anwenden.

Corollar 3.5∞∑n=0

anzn eine Potenzreihe mit Konvergenzradius ρ. Dann ist die durch

f(z) =∞∑n=0

anzn

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auf D = {z | |z| < ρ} gegebene komplexe Funktion holomorph, und die Ableitung ist die aufD konvergente Potenzreihe

f ′(z) =∞∑n=0

nanzn−1 ,

die durch gliedweises Differenzieren gewonnen wird.

BeweisWir zeigen zunachst, dass∞∑n=0

nanzn−1 wieder fur |z| ≤ r < ρ absolut und gleichmaßig

konvergiert. Sei 0 < |z0| = r < ρ. Da∞∑n=0

anzn0 fur solches z konvergiert, bilden die anz

n0 eine

Nullfolge, es gibt also ein M > 0 mit |anzn0 | < M fur alle n. Fur 0 ≤ |z| = s < |z0| = r giltdann

|anzn| ≤ |anzn0 | ·∣∣∣∣ zz0

∣∣∣∣n ≤ M · tn

mit t = sr< 1. Daher ist

|nanzn+1| ≤ nMtn−1 ,

und nach dem Quotientenkriterium 3.4 konvergiert

∞∑nMtn−1

(da (n+1)Mtn

nMtn−1 = n+1nt < 1 fur n → ∞; denn lim

n→∞n+1n

= 1 und t < 1).

Nach dem Majorantkriterium 3.1 konvergiert also∞∑n=0

nanzn−1 absolut und gleichmaßig fur

|z| ≤ s. Da r < ρ beliebig war, gilt dies fur alle s < ρ.

Dass∞∑n=0

nanzn−1 = f ′(z), zeigt man mit ahnlichen Schlussen [siehe Janich, Funktionentheo-

rie, Abschnitt Potenzreihen].

Aus dem Quotientenkriterium folgt leicht:

Lemma 3.6 Der Konvergenzradius von∞∑n=0

anzn ist

R = limn→∞

|an||an+1|

falls dieser Limes existiert.

Lemma/Definition 3.7 Die folgenden Potenzreihen konvergieren auf ganz C und definierenalso dort holomorphe Funktionen:

(a) Die Exponentialfunktion exp(z) = ez =∞∑n=0

zn

n!.

(b) Die komplexe Sinusfunktion sin z =∞∑n=0

(−1)nz2n+1

(2n+1)!.

(c) Die komplexe Cosinusfunktion cos z =∞∑n=0

(−1)nz2n

(2n)!

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Beweis (a) Es ist limn→∞

(n+1)!n!

= limn→∞

n+ 1 = ∞.

(b) und (c): analog.

Satz 3.8 Es ist ez · ew = ez+w.

Beweis Absolut konvergente Reihen kann man umordnen und “ausmultiplizieren”. Also ist

ez · ew =∞∑n=0m=0

znzm

n!m!=

∞∑s=0

s∑t=0

ztws−t

t!(s− t)!=

(st

)1

s!ztws−t Binomische Formel

=∞∑s=0

(z + w)s

s!= ez+w .

Satz 3.9 Es gilt (fur z ∈ C beliebig)

eiz = cos z + i sin z .

Beweis Folgt, durch Summation, aus 3.7 (a), (b) und (c).

Corollar 3.10 Fur z = x+ y mit x, y ∈ R gilt:

(a) ex+iy = ex · eiy = ex(cos y + i sin y).

(b) ex+iy ist periodisch in y (Periode 2π).

(c) e0 = 1, eiπ2 = i, eiπ = −1, ei

32π = −i,

(d) cos z = eiz+e−iz

2, sin z = eiz−e−iz

2

(e) cos z = 0 ⇔ z = k π2mit k = ±1,±3,±5, . . .

(f) sin z = 0 ⇔ z = kπ mit k ∈ Z(g) ez1 = ez2 ⇔ ez1−z2 = 0 ⇔ z1 − z2 ∈ 2πiZ.

Definition 3.11 Definiere den komplexen Logarithmus auf Cr {0} durch

ℓn z = ℓn r + iφ fur z = r · eiφ, r > 0 .

Dies ist nur wohldefiniert bis auf Addition von 2πik mit k ∈ Z, ist also eine sogenanntemehrdeutige Funktion. Es gilt aber immer

eℓn z = z .

Damit kann man auch Potenzen definieren: Fur z ∈ Cr {0}, a ∈ C, setze

za := ea ℓn z .

Dies ist wohldefiniert bis auf einen Faktor eak2πi mit k ∈ Z.Der sogenannte Hauptwert (oder Hauptzweig) des Logarithmus wird eindeutig definiertdurch

Log : Cr 0∼→ R+× ]− π, π]i ⊆ C

z = r · eiφ 7→ ℓn r + iφfur r ∈ R+ und φ ∈]− π, π].

13

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......................................................................•0

φ

Diese Funktion ist nicht stetig bei den Punkten x ∈ R<0 = {x ∈ R | x < 0}, definiert alsonur eine holomorphe Funktion auf der negativ geschlitzten komplexen Ebene

Cr R≤0 ,

wobei R≤0 = {z ∈ C | z ∈ R, z ≤ 0}.

14

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4 Der Cauchy’sche Integralsatz

In der Funktionentheorie betrachtet man vor allem sogenannte Kurvenintegrale.

Definition 4.1 Sei U ⊆ C offen.

(a) Eine stetig differenzierbare Kurve in U ist eine stetig differenzierbare Abbildung

γ : [t0, t1] → U ,

wobei [t0, t1] ein reelles Intervall ist (dies heißt, dass Realteil γ1 und Imaginarteil γ2 vonγ stetig differenzierbare reelle Funktionen sind (differenzierbar mit stetiger Ableitung) undγ(t) = γ1(t) + iγ2(t) ∈ U fur alle t ∈ [t1, t2].

(b) Ist f : U → C eine stetige komplexe Funktion, so nennt man

∫γ

f(z)dz :=

t1∫t0

f(γ(t))·γ (t)dt ∈ C

das Kurvenintegral von f uber γ. (Hierbei ist·γ (t) = dγ

dt= dγ1

dt+ idγ2

dt.

(c) Sei γ : [t0, t1] → U allgemeiner ein stuckweise stetig differenzierbarer Weg in U , d.h.,es gebe τ0 < τ1 < . . . < τn = t1, so dass γi := γ|[τi−1,τi] jeweils stetig differenzierbar ist,i = 1, . . . , n. Dann setze ∫

γ

f(z)dz =n∑

i=1

∫γi

f(z)dz .

Bild

................................

...................................................................................................

.................................................................................................................................................................... .... ........

.................................................

.......

.......

.......

........................................

γ4

γ3

γ2

γ1

Bemerkung 4.2 Dies hangt nicht von der Parametrisierung des Weges ab: Ist [s0, s1]φ→

[t0, t1] stetig differenzierbar, so folgt aus der Kettenregel, dass∫γ

f(z)dz =

∫γ◦φ

f(z)dz .

Wir bemerken:

15

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Lemma 4.3 Besitzt f(z) eine Stammfunktion auf U , d.h., gibt es eine differenzierbarekomplexe Funktion F (z) : U → C mit F ′(z) = f(z), so gilt∫

γ

f(z)dz = F (γ(t1))− F (γ(t0)) ,

insbesondere ist das Integral unabhangig vom Weg γ und hangt nur von den Endpunktenab.

Beweis ∫γ

f(z)dz =t1∫t0

F ′(γ(t))·γ (t)dt

=t1∫t0

ddtF (γ(t))dt = F (γ(t1))− F (γ(t0))

nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (angewandt auf Real- und Ima-ginarteile).

Bemerkung 4.4 (a) Sei c ∈ C. Fur n = −1 besitzt f(z) = c · zn eine Stammfunktion aufUε(0) fur alle ε > 0, denn es ist (

c

n+ 1zn+1

)′

= czn .

(b) 1zbesitzt fur kein ε > 0 eine Stammfunktion auf Uε(0)r{0}: Nach 3.11 besitzt 1

zauf der

negativ geschlitzten komplexen Ebene C r R≤0 die Stammfuktion Log(z) (den Hauptzweigdes Logarithmus). Dieser lasst sich aber nicht stetig auf Cr {0} ∩ Uε(0) fortsetzen. Da sichalle Stammfunktionen nur durch Konstanten unterscheiden, gibt es keine Stammfunktion.

Satz 4.5 Cauchyscher Integralsatz fur Rechtecke. Sei U ⊆ C offen, f : U → C holomorphund γ : [a, b] → U eine stuckweise C1-Parametrisierung des Randes eines achsenparallelenRechtecks Q in U

...................................................................

......................... ... ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................

6

�? -

-

U

z3z4

z2z1

Dann ist ∫γ

f(z)dz = 0 .

Beweis Unterteile das Rechteck in 4 Teile wie folgt

16

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� �

6?

? ??- -

--6?

6

��

Q4 Q3

Q1 Q2

Q

und integriere uber diese. Die Anteile entlang des inneren Kreuzes heben sich auf; es ist also∫∂Q

f(z)dz =4∑

i=1

∫∂Qi

f(z)dz

und damit ∣∣∣∣∣∣∫∂Q

f(z)dz

∣∣∣∣∣∣ ≤ 4 ·

∣∣∣∣∣∣∣∫

∂Q1

f(z)dz

∣∣∣∣∣∣∣ ,wobei Q1 das Rechteck unter Q1, . . . , Q4 ist fur welches

∣∣∣∣∣ ∫∂Qi

f(z)dz

∣∣∣∣∣ am großten ist. Tei-

len wir Q1 genauso auf und wiederholen dies, so erhalten wir eine Folge von RechteckenQ,Q1, Q2, Q3, . . . , Qn, . . . mit Randkurven γn so dass∣∣∣∣∣∣

∫γ

f(z)dz

∣∣∣∣∣∣ ≤ 4n

∣∣∣∣∣∣∫γn

f(z)dz

∣∣∣∣∣∣..........................

............................................

.............................

.................................................... .......

..... ................................................................ .......

usw.

Die Mittelpunkte der Rechtecke bilden eine Cauchyfolge, die daher gegen einen Grenzwertz0 konvergiert, der in allen Qi liegt.

Wegen der komplexen Differenzierbarkeit von f(z) bei z0 ist

f(z) = f(z0) + f ′(z0)(z − z0) + φ(z)

mit

limz→z0

φ(z)

|z − z0|= 0 .

17

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Nach 4.3 und 4.4 (a)ist∫γ

(f(z0)+f ′(z0)(z−z0))dz = 0, da der Integrand eine Stammfunktion

besitzt und der Weg γ geschlossen ist, d.h., γ(a) = γ(b) = z1. Es ist also∣∣∣∣∣∣∫γ

f(z)dz

∣∣∣∣∣∣ ≤ 4n

∣∣∣∣∣∣∫γn

f(z)dz

∣∣∣∣∣∣ = 4n

∣∣∣∣∣∣∫γn

φ(z)dz

∣∣∣∣∣∣fur alle n. Sei nun ε > 0 gegeben. Dann gibt es ein δ > 0 mit

|φ(z)| < ε · |z − z0|

fur |z − z0| < δ.

Ist ρ der Durchmesser von Q und ℓ sein Umfang, so hat Qn den Durchmesser 2−nρ und denUmfang 2−nℓ.

Sei nun n so groß, dass 2−nρ < δ. Dann ist der Integrand φ auf Qn und damit langs γnbetragsmaßig kleiner als ε · 2−nρ und daher∣∣∣∣∣∣

∫γ

f(z)dz

∣∣∣∣∣∣ ≤ 4n

∣∣∣∣∣∣∫γn

φ(z)dz

∣∣∣∣∣∣ ≤ 4nε2−nρ · 2−nℓ = ε · ρ · ℓ .

Da dies fur alle ε > 0 gilt, folgt∫γ

f(z)dz = 0.

Satz 4.6 (Cauchy’scher Integralsatz fur Bilder von Rechtecken) Sei f : U → C holomorph,Q ⊆ C ein achsenparalleles Rechteck mit Rand γ, und φ : Q → U eine stetig differenzierbareAbbildung [stetig partiell differenzierbar]. Dann ist∫

φ◦γ

f(z)dz = 0 .

Beweis Wir konstruieren wieder Q ⊃ Q1 ⊃ Q2 ⊃ . . . wie oben, so dass∣∣∣∣∣∣∫φ◦γ

f(z)dz

∣∣∣∣∣∣ ≤ 4n

∣∣∣∣∣∣∫

φ◦γn

f(z)dz

∣∣∣∣∣∣ .Sei nun C > 0 eine obere Schranke fur die Norm (Absolutbetrag der Determinante) derJacobi-Matrix von φ. Diese existiert, da Q kompakt und φ stetig differenzierbar ist. Dannist der Durchmesser von φ(Qn) ≤ C · ρ · 2−n und die Lange von φ ◦ γn ≤ C · ℓ · 2−n.

Fur das Bild z0 des Grenzwerts der Rechteckfolge (bezuglich des Integrals von f) wahlen wirδ > 0 nun so, dass ρ · C · 2−n < δ. Dann ist∣∣∣∣∣∣

∫φ◦γ

f dz

∣∣∣∣∣∣ ≤ 4n

∣∣∣∣∣∣∫

γ◦γn

f dz

∣∣∣∣∣∣ ≤ 4n2−n2−nC2ℓρε = C2ℓρε .

Da ε beliebig war, folgt∫

φ◦γf(z)dz = 0.

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Bemerkung 4.7 In der Funktionentheorie integriert man oft uber Kreise; ist nichts anderesgesagt, so sollen diese immer im mathematisch positiven Sinne durchlaufen werden, alsogegen die Uhrzeigerrichtung. Zum Beispiel kann man fur den Kreis

Kr(z0) = {z ∈ C | |z − z0| = r}

um z0 mit Radius r die Parametrisierung

γ : [0, 2π] → C

γ(t) = z0 + r · eit

wahlen.

......

..........

φ

z0z0 + ri0 = z0 + r

z0 + r · eiφ

r

Wir schreiben einfach∫

|z−z0|=r

f(z)dz fur∫γ

f(z)dz.

Corollar 4.8 Sei f : U → C holomorph, und sei der Kreisring um z0

{z ∈ C | r ≤ |z − z0| ≤ R}

ganz in U enthalten.

.....................

........................................................................

.......... .......................................................................

............. ...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........................................

........................................

...........................

..........................................

....................................................

.........................................

.....................

....................................................................................................................................

U

Rrz0

Dann ist ∫|z−z0|=r

f(z)dz =

∫|z−z0|=R

f(z)dz ,

d.h., das Integral uber den kleinen Kreis ist gleich dem Integral uber dem großen Kreis.

Beweis Der Kreisring ist Bild eines Rechtecks

?6

?6

?6

.......................

..........................

z0•

Kr

KR

19

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Die Beitrage auf dem Verbindungsweg heben sich auf; daher ist∫KR

f(z)dz −∫Kr

f(z)dz = 0 .

(Das Vorzeichen kommt daher, dass Kr in mathematisch negativer Richtung durchlaufenwird). Dies war gerade die Behauptung.

Corollar 4.9 (Cauchy’scher Integralsatz fur eine Kreisscheibe) Ist f : U → C holomorphund die Kreisscheibe {z ∈ C | |z − z0| ≤ R} ganz in U enthalten, so ist∫

|z−z0|=R

f(z)dz = 0 .

Beweis: Fur 0 < r < R ist ∫|z−z0|=R

f(z)dz =

∫|z−z0|=r

f(z)dz .

Da f(z) stetig ist, existiert ein δ > 0 mit δ < 1 und |f(z)− f(z0)| < 1 fur |z − z0| < δ, also|f(z)| < |f(z0)|+ 1. Fur r < δ gilt dann∣∣∣∣∣∣∣

∫|z−z0|=r

f(z)dz

∣∣∣∣∣∣∣ ≤ (|f(z0)|+ 1) · r .

Da r beliebig klein gewahlt werden kann, folgt die Behauptung.

Bemerkung 4.10 Ein Weg γ : [t0, t1] → C kann immer durch einen Weg γ : [0, 1] → Cersetzt werden: Man schalte die stetig differenzierbare Abbildung

[0, 1] → [t0, t1]s 7→ t0 + s(t1 − t0)

vor und wende Bemerkung 4.2 an.

Definition 4.11 Zwei Wege γ0, γ1 : [0, 1] → C mit gleichen Anfangspunkt a und gleichemEndpunkt b heißen C1-homotop, wenn es eine stetig differenzierbare Abbildung

H : [0, 1]× [0, 1] → C

gibt, mitH(0, t) = γ0H(1, t) = γ1H(s, 0) = aH(s, 1) = b

fur alle s, t .

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.........................................

............................................................................... .............................................................................. ............

.................................................................................................................................................................................................................

..............................................

...............................................................................

.......................

.................................

......................................................

....................................

t

s

a•

b

H heißt Homotopie von γ0 nach γ1.

Satz 4.12 Sei f : U → C holomorph. Sind die zwei Wege γ0, γ1 : [0, 1] → U C1-homotop inU (d.h., es gibt eine Homotopie mit Werten ganz in U), so gilt∫

γ1

f(z)dz =

∫γ2

f(z)dz .

Beweis: Dies ist eine direkte Konsequenz von 4.6 (Cauchy’scher Integralsatz fur Bilder vonRechtecken): Man nehme H fur φ in 4.6.

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5 Cauchy’sche Integralformel und Entwicklung in Po-

tenzreihen

Satz 5.1 (Cauchysche Integralformel fur eine Kreisscheibe) Sei U ⊆ C offen, f : U → Cholomorph und {z | z − z0| ≤ r} eine Kreisscheibe mit Radius r um z0, die ganz in Uenthalten ist.

Dann gilt fur jedes a im Inneren der Kreisscheibe (also a ∈ Ur(z0))

f(a) =1

2πi

∫|z−z0|=r

f(z)

z − adz

(Man beachte, dass |z − a| = r, so dass der Integrand auf dem Rand {z | |z − z0| = r} derKreisscheibe definiert ist.

Beweis Aus dem Cauchyschen Integralsatz fur Rechteckbilder (oder aus 4.12) folgt, dass∫|z−z0|=r

f(z)

z − adz =

∫|z−a|=ε

f(z)

z − adz ,

falls ε > 0 genugend klein ist (so dass {z | |z − a| ≤ ε} ⊆ {z | |z − z0| < r}).

................................

•z0

r

ε

a•

Insbesondere ist letzteres Integral unabhangig von ε, und damit gleich

limε→0

∫|z−a|=ε

f(z)

z − adz = lim

ε→0

∫|z−a|=ε

f(z)− f(a)

z − adz + lim

ε→0

∫|z−a|=ε

f(a)

z − adz .

Der erste Grenzwert auf der rechten Seite ist null, da der Integrand beschrankt bleibt (da ergegen den Limes f ′(a) konvergiert) und ε gegen null geht. Fur den zweiten Grenzwert rechtsberechnen wir mittels der Parametrisierung aus 4.7

∫|z−a|=ε

f(a)

z − adz) = f(a)

2π∫0

1

εeitεieitdt = f(a)2πi ,

und die Behauptung folgt.

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Satz 5.2 (Potenzreihenentwicklungssatz) Sei f : U → C holomorph und z0 ∈ U .

(a) Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Potenzreihe

∞∑n=0

an(z − z0)n

mit postivem Konvergenzradius, die f(z) in einer Umgebung von z0 darstellt.

(b) Die Potenzreihe konvergiert auf jeder Kreissscheibe {z | |z − z0| ≤ r} ⊆ U .

(c) Es gilt die Cauchy’sche Koeffizientenformel

an =1

2πi

∫|z−z0|=r

f(z)

(z − z0)n+1dz ,

fur jedes r > 0 mit {z | |z − z0| ≤ r} ⊆ U .

Beweis: (a) Gibt es eine solche Potenreihe, so ist f(z) nach 3.5 auf einer offenen Umgebungvon z0 beliebig oft komplex differenzierbar, und es gilt

an =1

n!f (n)(z0) .

Daher ist die Potenzreihe eindeutig bestimmt. Zum Beweis der Existenz sei also ohne Ein-schrankung z0 = 0 (betrachte sonst f(z−z0)). Falls aber {z | |z| ⊆ r} ⊆ U , so gilt fur |z| < rnach der Cauchyformel

f(z) =1

2πi

∫|ζ|=r

f(ζ)

ζ − zdζ =

1

2πi

∫|ζ|−r

f(ζ)

ζ

1

1− zζ

dζ .

Fur∣∣∣ zζ ∣∣∣ = |z|

r< 1 ist aber 1

1− zζder Grenzwert der geometrischen Reihe

∞∑n=0

(z

ζ

)n

.

Diese konvergiert fur festes z mit |z| < r absolut und gleichmaßig auf dem Kreis |ζ| = r,also konvergiert auch die Reihe

∞∑n=0

f(ζ)

ζ

(z

ζ

)n

absolut und gleichmaßig auf |ζ| = r, da f(ζ)ζ

stetig von ζ abhangt. Daher ist das Integral

uber |ζ| = r mit der Summe vertraglich, so dass gilt:

f(z) =1

2πi

∫|ζ|=r

∞∑n=0

f(ζ)

ζn+1zndζ =

∞∑n=0

1

2πi

∫|ζ|=r

f(ζ)

ζn+1dζ

zn .

Damit ist der Satz bewiesen.

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Corollar 5.3 (Satz von Goursat) Eine holomorphe Funktion f : U → C ist beliebig oftkomplex differenzierbar.

Beweis Dies gilt nach 3.5 fur jede konvergente Potenzreihe auf dem Inneren des Konver-genzkreises, folgt also nach 5.1 auf ganz U .

Corollar 5.4 (Cauchysche Ungleichung) Sei f : U → C holomorph und {z | |z − z0| ≤r} ⊆ U . Sei |f(z)| ≤ M auf {z | |z − z0| = r}. Dann gilt fur die Potenzreihenentwicklung∞∑n=0

an(z − z0)n von f(z) um z0

|an| ≤M

rn.

Beweis Nach der Chauchyschen Koeffizientenformel 5.2(c) gilt

|an| ≤1

M

rn+1· 2πr = M

rn.

Definition 5.5 Eine komplexe Funktion, die auf ganz C holomorph ist, heißt ganze Funk-tion.

Satz 5.6 (Satz von Liouville) Jede beschrankte ganze Funktion ist konstant.

Beweis Ist f(z) ganz, so besitzt f(z) nach 5.2 (c) eine auf ganz C konvergente Potenzreihen-Entwicklung

f(z) =∞∑n=0

anzn .

Ist zusatzlich |f(z)| ≤ M auf ganz C, so gilt

|an| ≤M

rn

fur alle r > 0. Da r beliebig groß sein kann, folgt |an| = 0, also an = 0 fur alle n ≥ 1, so dassf(z) = a0.

Satz 5.7 (‘Fundamentalsatz der Algebra’) Jedes nicht konstante Polynom hat mindestenseine Nullstelle.

Beweis Sei p(z) = anzn+an−1z

n+1+ . . .+a1z+a0 mit an = 0 und n ≥ 1 (f nicht konstant!).Wegen

p(z) = zn(an + an+11

z+ . . .+ a0

1

zn)

gilt limz→∞

|p(z)| = ∞. Nehmen wir an, dass p(z) keine Nullstelle hat, so ist

f(z) =1

p(z)

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eine ganze Funktion (Quotientenregel) mit

limz→∞

|f(z)| = 0 .

Daher ist f(z) beschrankt: Es gilt ein r > 0, so dass |f(z)| < 1 fur |z| > r. Da f(z) stetigund {z ∈ C | |z| ≤ r} kompakt ist, nimmt |f(z)| ein Maximum M auf dieser Kreisscheibean; also ist |f(z)| ≤ max{1,M}. Nach 5.6 ist f(z) konstant – Widerspruch!

Corollar 5.8 Jedes komplexe Polynom vom Grad n zerfallt in ein Produkt von n Linear-faktoren, hat also n Nullstellen, mit Vielfachheit gezahlt.

Beweis Polynomdivision.

Definition 5.9 (Nullstellenordnung) Sei f(z) eine holomorphe Funktion auf der offenen

Menge U ⊆ C, sei z0 ∈ U , und sei∞∑n=0

an(z − z0)n die lokale Potenzreihenentwicklung bei z0

(a) f(z) hat unendliche Nullstellenordnung bei z0, wenn die Potenzreihe gleich null ist.

(b) f(z) hat endliche Nullstellenordnung bei z0, wenn die Potenzreihe nicht null ist. Indiesem Fall heißt n0 = min{n ∈ N0 | an = 0} die Nullstellenordnung von f(z) bei z0.

Lemma 5.10 (a) f(z) hat genau dann eine unendliche Nullstellenordnung bei z0, wenn eseine offene Umgebung Uε(z0) gibt auf der f(z) null ist.

(b) f(z) hat genau dann die endliche Nullstellenordnung n0 bei z0, wenn f(z) = (z − z0)n0 ·

g(z), wobei g(z) holomorph auf einer Umgebung Uε(z0) ist, mit g(z0) = 0.

Beweis(a) folgt daraus, dass die Potenzreihe f(z) lokal darstellt.

(b) Es ist genau dann lokal f(z) =∞∑

n=n0

an(z − z0)n, mit an0 = 0, wenn f(z) = (z − z0)

n ·∑n=n0

an(z − z0)n−n0 , wobei fur g(z) =

∞∑n=n0

an(z − z0)n−n0 gilt, dass g(z0) = an0 = 0.

Corollar 5.11 Hat f endliche Nullstellenordnung bei z0, so gibt es eine offene UmgebungUε(z0) mit f(z) = 0 auf Uε(z0)r {z0}.

Beweis Ist f(z) = (z − z0)n · g(z) mit g(z) holomorph und g(z0) = 0, so gibt es wegen der

Stetigkeit von g(z) eine Umgebung Uε(z0) mit g(z) = 0, und dort gilt dann fur z = z0

f(z) = (z − z0)n · g(z) = 0 .

Erinnerung 5.12 Eine offene Menge V in Rn oder Cn (oder in einem metrischen Raum,oder in einem topologischen Raum) heißt zusammenhangend, wenn sie nicht Vereinigungvon zwei disjunkten offenen Mengen ist.

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................................

...........................

..............

............ ...............................................................................................................................................................................................................................................

..............................

............................................................................................

...........................

.......................................................

.......................

..................................................................................

..................... ...............................................................................................................................................................................................

............................

.............................

.................................

................................

.......................................

oder

nicht zusammenhangend

zusammenhangend

Definition 5.13 Eine zusammenhangende offene Teilmenge U ⊆ C heißt ein Gebiet.

Satz 5.14 (Identitatssatz fur holomorphe Funktionen) Sei G ein Gebiet und seine f, g : G →C zwei holomorphe Funktionen. Gibt es eine Teilmenge H ⊆ G, die einen Haufungspunkt inG besitzt und auf der f und g ubereinstimmen, so ist f = g.

Bemerkung 5.15 Die Bedingung an H bedeutet: Es gibt einen Punkt z0 ∈ G und eineFolge (zn) in H mit zn = z0 fur alle n, so dass in jeder Umgebung Uε(z0) (mindestens) einz0 liegt.

• • • • ••• •z1 z2 z3 z4 z0

Beweis von Satz 5.14 Durch Betrachtung von f − g genugt es, eine Funktion f zu be-trachten, die auf H null ist, und zu zeigen, dass diese auf G null ist.

Sei dies gegeben und seiM ⊆ G die Menge der Nullstellen von f(z) mit unendlicher Ordnung.Nach 5.10 (a) ist dann M offen: Ist z ∈ M , so ist f(z) = 0 auf einer offenen UmgebungV von z, aber dann ist die Potenzreihenentwicklung von f(z) gleich 0 auf ganz V , d.h.,die Nullstellenordnung unendlich auf ganz V . Andererseits ist auch G rM , die Menge derNullstellen mit endlicher Nullstellenordnung (dies schließt die Nullstellenordnung 0, also diePunkte mit f(z) = 0 ein), offen nach .

Schließlich ist M nicht-leer, denn es ist z0 ∈ M : Hatte z0 endliche Nullstellenordnung, sogabe es nach 5.11 eine offene Umgebung Uε(z0) mit f(z) = 0 fur z ∈ Uε(z0) r {z0}, abernach Vorraussetzung gibt es ein zn ∈ Uε(z0) mit f(zn) = 0. Da G ein Gebiet ist. kann Gnicht disjunkte Vereinigung von zwei offenen nicht-leeren Mengen M und GrM sein, alsoist GrM = ∅, da M nicht-leer ist; es folgt also G = M , also f(z) = 0 auf G.

Satz 5.16 (Maximumsprinzip) Sei f auf dem Gebiet G holomorph, und es sei

M := supz∈U

|f(z)| < ∞ .

Dann ist f konstant, oder es gilt

|f(z)| < M fur alle z ∈ U .

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Bemerkung 5.17 Dies heißt also, dass das Supremum nicht auf G selbst angenommenwird. Ist zum Beispiel K = {z | |z − z0| ≤ R} eine in G enthaltene Kreisscheibe, so wirddas (wegen der Kompaktheit von K existierende) Maximum von |f(z)| auf K auf dem Rand{z | |z − z0| = R} angenommen.

Beweis von Satz 5.16 Angenommen, das Supremum M wird auf G angenommen. Seiz0 ∈ G mit |f(z0)| = M , sei die Kreisscheibe {z | |z − z0| ≤ ρ} in U enthalten, und sei 0 <r < ρ. Nach der Cauchyschen Ungleichung 5.4 (fur a0) ist fur die Potenzreihenentwicklung∞∑n=0

an(z − z0)n von f(z) und z0

|f(z0)| = |a0| ≤ sup|z−z0|=r

|f(z)| ≤ M .

Nach der Cauchyschen Integralformel 5.1 gilt dann

M = |f(z0)| =

∣∣∣∣∣∣∣1

2πi

∫|z−z0|=r

f(z)

z − z0dz

∣∣∣∣∣∣∣ ≤∫

|z−z0|=r

1

|f(z)|r

dz ≤ 1

M

r2πr = M .

Damit gilt uberall Gleichheit. Das bedeutet aber, dass |f(z)| = M fur |z − z0| = r ist, dennware irgendwo auf dem Kreis |f(z′)| < M , so gabe auch das Integral∫

|z−z0|=r

1

|f(z)|r

dz

einen Wert kleiner als M . Denn fur zwei stetige Funktionen f1, f2 auf einem Intervall [a, b]mit f1(t) ≤ f2(t) fur alle t und f1(t0) < f2(t0) fur ein t0 ∈ [a, b] ist auch

b∫a

f1(t)dt <

b∫a

f2(t)dt .

Denn durch Betrachtung von f2(t) − f1(t) haben wir nur zu zeigen: Ist f(t) ≥ 0 und stetigauf [a, b] und f(t0) > 0 fur ein t0, so ist

b∫a

f(t)dt > 0 .

Dies folgt so: Sei ε = f(t0). Wegen der Stetigkeit von f(t) gibt es ein δ > 0 mit

|t− t0| < δ ⇒ |f(t)− f(t0)| <ε

2.

Dann ist I = [t0 − δ, t0 + δ] ∩ [a, b] ein echtes Intervall, hat also eine Lange ℓ > 0, und nachder Dreiecksungleichung gilt

|f(t)| ≥ |f(t0)| − |f(t0)− f(t)| > ε− ε

2=

ε

2

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auf I, also bereits ∫I

f(t)dt ≥ ε

2· ℓ > 0 ,

und daher erst rechtb∫a

f(t)dt > 0.

Es gilt also |f(z)| = M fur alle z mit |z − z0| < ρ. Hieraus folgt, dass f(z) konstant ist:

(i) Fur M = 0 ist f(z) = 0 fur |z − z0| < ρ, also fur alle z ∈ G nach dem Identitatssatz, da{z | |z − z0| < ρ} den Haufungspunkt z0 besitzt.

(ii) Fur M > 0 betrachten wir log f(z) in einer hinreichend kleinen Umgebung von z0 (woalso noch f(z) = 0 wie fur f(z0)). Da log f(z) = log |f(z)| + iφ, ist der Realteil dieserFunktion konstant, also auch der Imaginarteil nach dem Cauchy-Riemannschen Differenti-algleichungen. Daher ist auch f(z) in einer kleinen Umgebung von z0 konstant, nach demIdentitatssatz also auf ganz G.

Corollar 5.18 Besitzt f auf G ein lokales Maximum, so ist f ebenfalls konstant.

Beweis: Die Voraussetzung bedeutet, dass es ein z0 ∈ G gibt und eine offene UmgebungUε(z0), so dass |f(z)| ≤ |f(z0)| fur alle z ∈ Uε(z0)r {z0}. Nach 5.6 ist dann f konstant aufUε(z0), also auch auf G nach dem Identitatssatz 5.14.

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6 Isolierte Singularitaten

Definition 6.1 Sei U ⊆ C offen und f : U → C holomorph. Eine isolierte Singularitat vonf ist ein Punkt z0 ∈ Cr U , fur den es eine Umgebung Uε(z0) gibt, so dass Uε(z0)r {z0} inU liegt.

.............................................................................

................................................................... .................................................................................................................................................................................................................. ..............................................................................

.....................................................................................................................................................................................

..............................................................................

.................................................................................................................................................................................

•∈ U

z0 /∈ U

Es ist also f(z) nicht definiert bei z0, aber definiert auf Uε(z0)r {z0}.

Definition 6.2 Eine isolierte Singularitat z0 von f : U → C heißt

(a) hebbar, wenn es ein a ∈ C gibt, so dass die Funktion

f : U ∪ {z0} → C

f(z) =

{f(z) , z ∈ Ua , z = z0

holomorph ist (Aquivalent ist: Es gibt eine holomorphe Funktion f : U ∪ {0} → C mitf |U = f).

(b) z0 heißt ein Pol von f , wenn f nicht hebbar bei z0 ist, aber wenn es ein m ∈ N gibt, sodass

(z − z0)mf(z)

eine hebbare Singularitat bei z0 hat. Das kleinste derartige m heißt die Polordnung von f(z)bei z0.

(c) z0 heißt eine wesentliche Singularitat, wenn z0 weder hebbar noch ein Pol ist.

Beispiele 6.3 (a) Fur f : C r {0} → C mit f(z) = z ist z0 = 0 eine hebbare isolierteSingularitat, denn f : C → C mit f(z) = z ist holomorph (wir haben f(0) = 0 gesetzt).

(b) Ist g eine bei z0 holomorphe Funktion, so hat

f(z) =g(z)

(z − z0)m

einen Pol m-ter Ordnung bei z0.

(c) Die auf Cr {0} definierte Funktion

f(z) = sin

(1

z

)

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ist holomorph (Kettenregel). Sie hat eine wesentliche Singularitat bei 0, denn hatte f(z)oder zmf(z) eine holomorphe Fortsetzung g(z), so musste g(z) = 0 sein, denn die Menge derNullstellen

1

2π,

1

4π,

1

6π, . . .

von g(z) = zm sin(1z

)hatte einen Haufungspunkt, namlich 0, und nach dem Identitatssatz

5.14 musste g(z) = 0 auf C sein, was offenbar nicht gilt.

Definition 6.4 Ist eine Funktion f bis auf hebbare Singularitaten oder Pole holomorph aufU , so heißt f meromorph auf U .

Lemma 6.5 (a) Ist f eine meromorphe Funktion auf U , so gibt es fur jedes z0 ∈ U auf eineroffenen Umgebung V von z0 holomorphe Funktionen g und h mit

f(z) =g(z)

h(z)auf V r {z0} .

(b) Gibt es umgekehrt fur eine Funktion in f(z) auf U eine lokale Beschreibung bei z0 wiein (a), wobei g(z) eine Nullstelle der Ordnung k ∈ N0 hat (k = 0 bedeutet g(z0) = 0) undh(z) eine Nullstelle der Ordnung ℓ ∈ N0, so hat f(z) bei z0 die Ordnung k − ℓ ∈ Z: Diessoll bedeuten:

f hat bei z0 eine hebbare Singularitat mit einer Nullstelle der Ordnung k − ℓ falls k ≥ ℓ, fhat bei z0 einen Pol der Ordnung ℓ− k = |k − ℓ|, falls ℓ < k. Insbesondere ist f meromorphbei z0.

Beweis (a) Hat f eine hebbare Singularitat bei z0, so ist nichts zu zeigen. Hat f einen Polder Ordnung m bei z0, so gilt auf einer Umgebung V von z0, dass

(z − z0)mf(z)

eine hebbare Singularitat hat, also durch eine holomorphe Funktion g(z) auf V fortgesetztwerden kann. Dann ist

f(z) =g(z)

(z − z0)m

auf V r {z0}.

(b) Schreibeg(z) = (z − z0)

kg0(z), h(z) = (z − z0)ℓh0(z)

mit g0(z0) = 0 und h0(z0) = 0. Dann haben g und h auf einer Umgebung V von z0 keineanderen Nullstellen als (eventuell) z0, und es ist auf V r {z0}

f(z) =g(z)

h(z)=

g0(z)

h0(z)(z − z0)

k−ℓ ,

wobei g0(z)h0(z)

holomorph (und ungleich null) auf V ist. Hieraus folgt die Behauptung.

Corollar 6.6 Die meromorphen Funktionen auf einem Gebiet bilden einen Korper.

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Beweis: Mit den Charakterisierungen in 6.5 folgt sofort, dass mit meromorphen Funktionenf, g auf U auch f + g und f · g meromorph sind. Wir erhalten also einen Ring. Weiter hateine meromorphe Funktion f das Inverse 1

f.

Wir zeigen jetzt, dass sich komplexe Funktionen bei einer isolierten Singularitat in eineLaurentreihe entwickeln lassen.

Definition 6.7 (a) Eine Laurentreihe um z0 ist eine Summe von Reihen der Form

(i)∞∑n=1

a−1(z − z0)−n +

∞∑n=0

an(z − z0)n.

Dies wird auch abgekurzt durch

(ii)∞∑

n=−∞an(z − z0)

n.

Die erste Reihe in (i) heißt der Hauptteil und die zweite Reihe in (i) heißt der Nebenteilder Laurentreihe.

(b) Eine Laurentreihe heißt konvergent (bzw. absolut konvergent, gleichmaßig konvergentusw.), wenn dies fur beide Reihen zutrifft, also fur den Hauptteil und den Nebenteil.

Der Nebenteil ist also eine Potenzreihe, und der Hauptteil ist eine “Potenzreihe in 1z−z0

Analog zum Satz 3.2 uber den Konvergenzsradius von Potenzreihen haben wir das Folgende,wobei wir zur Vereinfachung z0 = 0 annehmen (sonst ersetzen wir z durch z − z0).

Satz 6.8 Sei∞∑n=1

a−nz−n +

∞∑n=0

anzn

eine Laurentreihe. Hat die Reihe∞∑n=1

a−nζn

den Konvergenzradius 1r∈ [0,∞] und der Nebenteil

∞∑n=0

anzn

den Konvergenzradius R, so konvergiert die Laurentreihe auf dem offenen Kreisring

{z | r < |z| < R}

und stellt dort eine holomorphe Funktion dar (Hierbei setzen wir 10= ∞ und 1

∞ = 0). Siedivergiert fur |z| < r oder |z| > R. Fur alle r1, r2 mit r < r1 < r2 < R ist die Konvergenzabsolut und gleichmaßig auf

{z | r1 ≤ |z| ≤ r2} .

Beweis: Dies folgt sofort aus Satz 3.2, indem wir fur den Hauptteil ζ = 1zsetzen.

Beachte: Der Nebenteil konvergiert per Definitionen fur |z| < R, und der Hauptteil fur|ζ| < 1

r, also fur |z| > r.

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........................

R

Konvergenz Nebenteil

r

Konvergenz Hauptteil

zusammen:

r R

fur r > RnirgendsKonvergenz!

Die Holomorphie wissen wir fur den Nebenteil aus 3.5, und fur den Hauptteil wegen 3.5 fur∞∑n=1

a−aζn und der Kettenregel mit ζ = 1

z. Dies liefert wegen 3.5 auch:

Lemma 6.9 Die Ableitung der Laurentreihe kann durch gliedweises Differenzieren gewonnenwerden.

Lemma 6.10 (Cauchyformel fur Laurentreihen) Konvergiert die Laurentreihe

∞∑n=−∞

anzn

im Kreissring {z | r < |z| < R}, so gilt fur die dargestellte holomorphe Funktion f(z)

an =1

2πi

∫|z|=r′

f(z)

zn+1dz

fur alle n ∈ Z und jeder r′ mit r < r′ < R.

...................................................

r

R

r′

Beweis Wegen der gleichmaßigen Konvergenz auf dem Kreis {z | |z| = r′} konnen wirSummen und Integration vertauschen. Da in der Laurentreihe

f(z)

zn+1=

∞∑k=−∞

akzk−(n+1)

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alle Glieder akzk−(n+1) mit k = n eine Stammfunktion besitzen (siehe 4.4 (a)), so dass∫

|z|=r′akz

k−(n+1)dz = 0, folgt also

1

2πi

∫|z|=r′

f(z)

zn+1dz =

1

2πi

∫|z|=r′

anzdz = an ,

siehe die explizite Rechnung am Ende des Beweises der Cauchy’schen Integralformel (Satz5.1).

Bemerkung 6.11 Hier war der Mittelpunkt des Kreisrings 0, aber indem wir z uberalldurch z − z0 ersetzen, erhalten wir das analoge Ergebnis fur den Kreisring um z0. Fur einekonvergente Laurentreihe

∞∑n=−∞

an(z − z0)n

auf {z | r < |z − z0| < R} gilt also fur alle n ∈ Z und alle r′ mit r > r′ < R .

an =1

2πi

∫|z−z0|=r′

f(z)

(z − z0)n+1dz

Oben haben wir immer eine konvergente Laurentreihe angenommen. Wir zeigen nun:

Satz 6.12 (Laurentreihenentwicklung) Sei eine komplexe Funktion f in einem Kreisring

Kr,R(z0) = {z | r < |z − z0| < R}

holomorph. Dann ist dort

f(z) =∞∑

n=−∞

an(z − z0)n

mit einer Laurentreihe, die auf {z | r < |z − z0| < R} konvergiert.

Beweis Indem wir zu f(z−z0) ubergehen, konnen wir ohne Einschrankung annehmen, dassz0 = 0. Sei also z aus dem Kreisring, der durch r < |z| < R gegeben ist. Dann gilt furgenugend kleines ε > 0

{z′ | |z′ − z| < ε} ⊆ Kr,R(z0)

.....................

rR

εz •

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und

f(z) =1

2πi

∫|ζ−z|=ε

f(ζ)

ζ − zζ

nach der Cauchy’schen Integralformel 5.1.

Dieses Integral ist durch eine geeignete Homotopie gleich dem Integral uber den Rand einesRechteckbilds

..................

.................................

.................

........................................................

.........................................................................................

........................................

........................ ......

................

......

......

..........................................

rR

•δ

δ

und durch eine weitere Homotopie gleich dem Integral uber den Rand des folgenden Recht-eckbildes

.......................................

....................................

.......................................

.................................................................

7............................./

6 6·

also gleich dem Integral

1

2πi

∫|ζ|=R−δ

f(ζ)

ζ − zdζ − 1

2πi

∫|ζ|=r+δ

f(ζ)

ζ − zdζ ,

da sich die beiden Integrale entlang des mit den Pfeilen gekennzeichneten Verbindungswegswegheben. Nun gehen wir genauso vor wie beim Beweis des Potenzreihenentwicklungssatzes5.2:

(i) Im ersten Integral entwickeln wir1

1− zζ

(mit |z| < |ζ| = R − δ, also∣∣∣ zζ ∣∣∣ < 1) in die geometrische Reihe in z

ζund erhalten den

Nebenteil.

(ii) Den zweiten Integranten schreiben wir als

1

2πi

∫|ζ|=r+δ

f(ζ)

z − ζdζ

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und entwickeln (1 − ζz)−1 mit |ζ| < |z|, also

∣∣ ζz

∣∣ < 1 in die geometrische Reihe in ζz, wo-

durch sich der Hauptteil ergibt (Beweis: selbst!), wobei nun analog zum Beweis von 5.2 dieCauchyformel fur die Laurentkoeffizienten folgt.

Analog wie bei der Cauchyschen Ungleichung 5.4 folgt nun auch

Corollar 6.13 (Cauchysche Ungleichung fur die Laurententwicklung) Ist f(z) holomorphauf dem Kreissring {z | r < |z − z0| < R} und ist r < r′ < R und |f(z)| ≤ M auf dem KreisKr′(z0) = {z | |z − z0| = r′} vom Radius r′, so gilt

|an| ≤M

(r′)n

fur alle Koeffizienten an (n ∈ Z) der Laurententwicklung von f(z) bei z0.

Wir konnen die obigen Ergebnisse insbesondere auf isolierte Singularitaten anwenden.

Sei f(z) holomorph auf U und sei z0 eine isolierte Singularitat von f(z). Fur genugend kleinesε > 0 ist dann die punktierte Kreisscheibe

Uε(z0)r {z0} = {z | 0 < |z − z0| < ε}

in U enthalten. Auf diesem “entarteten Kreisring”, der alle Kreisringe {0 < r < |z−z0| < ε}enthalt

r •

ε

z0

konnen wir also f(z) in eine Laurentreihe

∞∑n=−∞

an(z − z0)n

entwickeln. Der Hauptteil (bzw. Nebenteil) dieser Laurentreihe heißt dann auch der Haupt-teil bzw. Nebenteil von f bei z0.

Wir werden nun sehen, dass man am Hauptteil den Typ der Singularitat ablesen kann.

Lemma 6.14 Die Singularitat von f(z) bei z0 ist

(a) hebbar genau dann, wenn der Hauptteil verschwindet (also an = 0 fur alle n ≤ −1),

(b) ein Pol genau dann, wenn der Hauptteil nicht-trivial ist und endlich viele Terme besitzt.(also an = 0 fur N << 0),

(c) eine wesentliche Singularitat genau dann, wenn der Hauptteil unendlich viele Termebesitzt (an = 0 fur unendlich viele n ≤ −1).

Beweis (a) ist klar: Ist f hebbar bei z0, so haben wir eine holomorphe Funktion, die in seinePotenzreihe entwickelbar ist; umgekehrt gibt jede konvergente Potenzreihe eine holomorpheFunktion.

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(b) f hat genau dann einen Pol bei z0, wenn f nicht holomorph ist, aber es ein m > 0 gibt,so dass (z − z0)

m · f(z) holomorph fortsetzbar bei z0 ist, also eine Potenzreihenentwicklung∞∑n=0

bn(z − z0)n besitzt. Dies bedeutet gerade, dass f(z) eine Laurententwicklung

−m∑n=−1

an(z − z0)n +

∞∑n=0

am(z − z0)n

(mit an = bn+m) besitzt.

(c) Dies ist gerade der noch verbleibende Fall.

Satz 6.15 (Riemannscher Hebbarkeitssatz) Ist f in einer Umgebung einer isolierten Singu-laritat beschrankt, so ist die Singularitat hebbar.

Beweis Nach Voraussetzung gibt es ein ε > 0 so dass |f(z)| ≤ M fur alle z mit 0 < |z−z0| <ε. Nach der Cauchy’schen Ungleichung 6.12 fur die Laurententwicklung

∞∑n=−∞

an(z−z0)n gilt

|a−n| ≤M

r−n= M · rn

fur alle 0 < r < ε und alle n ≥ 1, also a−n = 0 fur alle n ≥ 1, d.h., der Hauptteil ist null.

Bemerkung 6.16 (Partialbruchzerlegung) Sei

f(z) =P (z)

Q(z)

eine gebrochen rationale Funktion, d.h., es seien P (z) und Q(z) Polynome mit Koeffizientenin C, wobei Q(z) nicht das Nullpolynom ist.

Sei S ⊆ C die (endliche) Nullstellenmenge von Q(z). Die Singularitaten in S sind hebbaroder Pole. Fur s ∈ S sei

rs := −min{ord(f, s), 0}

die Polstellenordnung von f bei s. Dann ist

f(z) = R(z) +∑s∈S

rs∑n=1

as,n(z − s)n

,

wobei R(z) ein Polynom ist, namlich der Rest bei der Polynomdivision von P durch Q, d.h.,

P = T (Z)Q(Z) +R(Z)

mit Polynomen T (Z), R(Z), wobei degR(Z) < degQ(z), und

∑s∈S

rs∑n=1

as,n(z − s)n

die Summe der Hauptteile bei allen s ∈ S.

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