Analyse de 2 variables

qualitatives

Joël QuinquetonUniversité Paul Valéry

Master 1 IDS

QuestionnaireQuestionnaire

• Q1: Quelle est la couleur de vos yeux?

• Q2: quelle est la couleur de vos cheveux?

• population: 300 individus

RésultatRésultatYeux/cheveux

brun chatain blond

bleus 20 30 40

marrons 60 50 40

verts 10 20 30

Le test du Khi-2Le test du Khi-2• Entre 2 variables qualitatives• Savoir si elles sont indépendantes l’une de l’autre ou non

• Si le résultat du questionnaire est peu probable lorsque les variables sont indépendantes, on rejettera cette hypothèse

Mise en œuvre du test

Mise en œuvre du test

• Calcul des marges• Calcul des effectifs théoriques• Calcul des valeurs de Khi-2• Calcul des degrés de liberté• Consultation de la table• Interprétation (s’il y a lieu).

Calcul des margesCalcul des margesYeux/cheveux

brun chatain blond

bleus 20 30 40

marrons 60 50 40

verts 10 20 30

Total

90

150

60

Total 90 100 110 300

Calcul des effectifs théoriques

Calcul des effectifs théoriques

Yeux/cheveux brun chatain

blond total

bleus 90

marrons 150

verts 60

total 90 100 110 300

90x90/300

90x100/300

90x110/300

150x90/300

150x100/300

150x110/300

60x90/300

60x100/300

60x110/300

27 30 33

45 50 55

18 20 22

€

Ndroite ×Nbas

Total

Calcul des valeurs du Khi-2

Calcul des valeurs du Khi-2

Yeux/cheveux

brun chatain blond

bleus

marrons

verts

Total

3,3

9,1

6,5

Total 10,4 0 8,5 18,9

€

Eff .théo− Eff .obs( )2

Eff .théo

(27-20)2

/27(30-30)2

/30(40-33)2

/33

(45-60)2

/45(50-50)2

/50(55-40)2

/55

(18-10)2

/18(20-20)2

/20(22-30)2

/22

1,8 0 1,5

5 0 4,1

3,6 0 2,9

Calcul des degrés de liberté

Calcul des degrés de liberté

ddl.quest = nb.valeurs - 1ddl = ddl.ligne x ddl.colonne

Yeux/cheveux

brun chatain

blond

bleus

marrons

verts

3-1=2

3-1=2

2x2=4

Consultation de la table

Consultation de la table

ddl 10% 5% 1% 0,1%

3 … … … …

4 7,78 9,49 13,3 18,5

5 … … … …

• Probabilité d’obtenir « au hasard » une valeur donnée du Khi-2

• En fonction du nombre de ddl

InterprétationInterprétationYeux/cheveux

brun chatain

blond total

bleus 20|271,8

30|300

40|331,5 3,3

marrons 60|455

50|500

40|554,1 9,1

verts 10|183,6

20|200

30|222,9 6,5

total 10,4 0 8,5 18,9

Si je fais l’hypothèse que la couleur des yeux et celle des cheveux

ne sont pas indépendantes, j’ai moins d’1 chance sur 1000

de me tromper

Cette valeur du Khi-2, pour 4 ddl, a moins de 0,1% de chance de se produire par hasard

Regardons maintenant les cases où le Khi-2 a une valeur élevée

Les gens aux yeux marron ont souvent

les cheveux bruns(60 fois au lieu de 45)

Les gens aux yeux marron ont rarement

les cheveux blonds(40 fois au lieu de 55)

InterprétationInterprétation• On peut continuer à interpréter ainsi les cases qui ont un Khi-2 élevé

• La couleur des yeux des 100 aux cheveux châtain est répartie de la même façon que celle de la population (les 300): le Khi-2 est nul

• Quand on garde l’hypothèse d’indépendance, il n’y a pas à interpréter les cases