Analyse 1 Noter

Analyse 1 – Forår 2010 – Matematisk Institut, Københavns Universitet Anders Munk-Nielsen

1

Analyse 1 noter

Abstract / disclaimer: Disse noter er mine personlige noter, som er taget til forelæsningerne under faget

Analyse 1 ved Matematisk Institut, Københavns Universitet, i foråret 2011. Alle fejl heri er mine egne, forelæsere

mv. har intet ansvar osv. Jeg håber du får lige så svedige lulz af faget, som jeg fik;) Copyrights osv., men del

endelig løs som en gal så længe du sender undertegnede og resten af verden en solid gang god karma når du gør!

Anders Munk-Nielsen


2

Indhold 1 Mere sjov med rækker .............................................................................................................................. 9

1.1 Vigtige eksempler ................................................................................................................................. 9

1.1.1 Den geometriske række (TL sætn. 12.1.1) ................................................................................... 9

1.2 Divergenstesten (12.1.4) – kan kun vise divergens ............................................................................ 10

1.2.1 Eksempel: den harmoniske række .............................................................................................. 10

1.3 Sætning 12.1.7 .................................................................................................................................... 11

1.4 Værktøjer til at afgøre konvergens/divergens – positive rækker ........................................................ 11

1.4.1 Sætning 12.2.1 ............................................................................................................................ 12

1.5 Lol, nu skal vi sml. med integraler ..................................................................................................... 12

1.5.1 Sætning 12.2.3: integraltesten .................................................................................................... 12

1.5.2 Sætning 12.2.4: n^-p ................................................................................................................... 13

1.5.3 Eksempel: Harmoniske række igen ............................................................................................ 13

1.5.4 Sammenligningstestet ................................................................................................................. 13

1.5.5 Grænsesammenligningstesten: 12.2.8 ........................................................................................ 14

1.6 Forholdstesten (kvotientkriteriet), sætning 12.2.12 ............................................................................ 14

1.6.1 Ad (iii): når a = 1 kan det gå begge veje .................................................................................... 15

1.7 Rodkriteriet/rodtesten, 12.2.6 ............................................................................................................. 16

1.7.1 Eksempel på anvendelse af rodtesten ......................................................................................... 16

1.8 Alternerende rækker – Skiftende fortegn ............................................................................................ 16

1.8.1 Eksempel: alternerende harmoniske række – konvergent .......................................................... 17

1.8.2 Sætn. 12.3.1, alternerende-række-test ........................................................................................ 17

1.9 Absolut konvergens (definition 12.4.1) .............................................................................................. 18

1.9.1 Sætning 12.4.2: abs. konv ⇒ konv. ............................................................................................ 18

1.9.2 Def 12.4.3: betinget konvergens ................................................................................................. 18

1.9.3 Sætn. 12.4.9 mv.: Ej abs., men dog alm. konv rækker: handle with care ................................... 19

1.9.4 Sætn. 12.4.12 .............................................................................................................................. 20

2 Konvergens ............................................................................................................................................. 20

2.1 Uniform konvergens ........................................................................................................................... 20

2.1.1 Punktvis & uniform konvergens med kvantorer ......................................................................... 20

2.2 Integration og differentiation af funktionsfølger ................................................................................ 21

2.2.1 Sætning 11.4.1 ............................................................................................................................ 22


3

2.3 Man kan ikke slutte om differentiation ud fra uniform konvergens ................................................... 23

2.4 Sætning 11.4.3 .................................................................................................................................... 23

2.4.1 Bevis for sætning 11.4.3 ............................................................................................................. 24

3 FL 2 – rækker af funktioner .................................................................................................................... 25

3.1 Funktionsrækker ................................................................................................................................. 25

3.2 Regneregler ......................................................................................................................................... 26

3.2.1 Sætning A ................................................................................................................................... 26

3.2.2 Sætning B ................................................................................................................................... 26

3.2.3 Sætning C ................................................................................................................................... 27

3.3 Sætn. 12.5.1 Weierstrass’ M-test ........................................................................................................ 27

3.3.1 Eksempel .................................................................................................................................... 29

4 Potensrækker – en konkret funktionsrække ............................................................................................ 30

4.1 Intro..................................................................................................................................................... 30

4.1.1 Eksempel .................................................................................................................................... 30

4.1.2 Eksempel .................................................................................................................................... 31

4.1.3 Eksempel .................................................................................................................................... 31

4.2 Teorem 12.6.1 ..................................................................................................................................... 32

4.2.1 Lemma 12.6.7 ............................................................................................................................. 32

4.2.2 Bevis for 12.6.1 .......................................................................................................................... 33

5 Potensrækker og summer ........................................................................................................................ 33

5.1 Recap af det sidste fra sidste gang ...................................................................................................... 33

5.2 Skitse af beviset for eksistens af konvergensradius ............................................................................ 33

5.3 Sætning 12.6.8 (kontinuitet af sumfunktion for en potensrække) ....................................................... 34

5.3.1 Sætning 12.6.9 (Abels sætning) .................................................................................................. 34

5.4 Differentiation / integration ................................................................................................................ 34

5.4.1 Sætning 12.7.1: Integration af potensrækker .............................................................................. 34

5.4.2 Lemma 12.1.2: Den differentierede række er konvergent .......................................................... 35

5.4.3 Sætning 12.7.3: Differentiation af potensrækker ........................................................................ 35

5.4.4 Konvergensradius ændrer sig ikke ved diff/int ........................................................................... 36

5.5 Löl ....................................................................................................................................................... 36

5.5.1 Eksempel .................................................................................................................................... 36


4

5.5.2 Eksempel .................................................................................................................................... 37

5.5.3 ** Grinern eksempel ** afleveringsrelevant ** ......................................................................... 37

5.6 Taylorrækker – recap .......................................................................................................................... 38

5.7 Sætning 12.8.2: Taylor formelsamling ............................................................................................... 38

5.7.1 Sætning 12.8.3 ............................................................................................................................ 39

5.7.2 Implikation ................................................................................................................................. 40

5.8 Substitutionsmetoden .......................................................................................................................... 40

5.9 Nu skal vi fæsde .................................................................................................................................. 41

6 Fourierrækker .......................................................................................................................................... 43

6.1 Recap potensrækker ............................................................................................................................ 43

6.2 Fourierrækker ..................................................................................................................................... 43

6.3 Vores fremgang................................................................................................................................... 44

6.3.1 Overgangsformlerne................................................................................................................. 45

6.3.2 Videre, videre ............................................................................................................................. 45

6.3.3 Smart notation ............................................................................................................................ 46

6.4 Ortonomalitetsrelationer, lemma 2.7 .................................................................................................. 46

7 Fourierrækker videre ............................................................................................................................... 46

7.1 PC2π (piecewisely continuous 2π-per.) ............................................................................................. 47

7.2 Smarte resultater ................................................................................................................................. 48

7.2.1 Sætning 2.8 ................................................................................................................................. 49

8 Fourierrækker .......................................................................................................................................... 49

8.1 Sætning 2.8 ......................................................................................................................................... 49

8.2 Definition 2.7 ...................................................................................................................................... 50

8.3 Bessel’s ulighed (sætning 2.11) .......................................................................................................... 51

8.4 Riemann’s lemma (lemma 2.12) ......................................................................................................... 51

8.5 Tilstrækkelige betingelser for (punktivs) konvergens af Fourierrækker ............................................. 52

9 Anden forelæsningstime ......................................................................................................................... 53

9.1 Højdepunkt: Sætn. 3.2: Kriterium for punktvis konvergens af en Fourierrække ................................ 54

9.1.1 Indskud: egenskab ved Dirichlet’s kerne .................................................................................... 54

9.1.2 Bevis for sætning 3.2 .................................................................................................................. 54

9.2 Stykvis differentiable funktioner ........................................................................................................ 56


5

9.2.1 Definition: stykvis differentiabel funktion ................................................................................. 56

9.3 Videre ................................................................................................................................................. 56

9.4 Eksempel fra tavlen ............................................................................................................................ 56

10 Fourierrækker – uniform konvergens...................................................................................................... 57

10.1 Lölen ............................................................................................................................................... 57

10.2 Kombo ............................................................................................................................................ 57

10.2.1 Eksempel .................................................................................................................................... 57

10.3 Lemma 4.2: Fourierkoefficienter for f’ ........................................................................................... 58

10.4 Sætning 4.3: .................................................................................................................................... 59

11 Fourierrækker & varmeledningsligningen .............................................................................................. 60

11.1 Funktioner def’et på intervaller ...................................................................................................... 60

11.2 Skørt ............................................................................................................................................... 61

11.3 Lige / ulige funktioner .................................................................................................................... 61

11.3.1 Opsummering ............................................................................................................................. 63

12 Varmeledningsligningen ......................................................................................................................... 63

12.1 Introduktion: fysik .......................................................................................................................... 63

13 Varmeledningsligningen ......................................................................................................................... 64

13.1 Recap – begynd / randværdiproblemet ........................................................................................... 64

13.2 Sætning 6.1: Eksistens af løsning til begyndelses- og randværdiproblm ....................................... 65

13.3 Bevis ............................................................................................................................................... 66

13.3.1 Trin 1: er uniformt konvergent. ............................................................................................. 66

13.3.2 Trin 2: De ledvist diff’ede rækker (af ) er uniformt konvergente ........................................... 66

13.3.3 Trin 3: afrunding ........................................................................................................................ 68

13.4 Betydning af randværdi / intitialværdi betingelserne ...................................................................... 68

14 Metriske rum ........................................................................................................................................... 68

14.1 Indledning ....................................................................................................................................... 68

14.2 Abstrakt griner ................................................................................................................................ 69

14.2.1 Eksempel: Talrum ...................................................................................................................... 69

14.3 Danne nye metriske rum ................................................................................................................. 69

14.3.1 Eksempel: enhedskuglen (/sfæren) ............................................................................................. 70

14.3.2 Definition 1.2: E, vektorrum over L ........................................................................................... 70


6

14.4 En norm på et vektorrum inducerer en metrik ................................................................................ 70

14.4.1 Normer i de reelle tal .................................................................................................................. 71

14.4.2 P-normen .................................................................................................................................... 71

14.4.3 Bevis for at 1-normen er en norm ............................................................................................... 71

14.5 Vildere abstraktionsniveau ............................................................................................................. 71

14.6 Videre ............................................................................................................................................. 72

15 FL2 .......................................................................................................................................................... 72

15.1.1 Eksempel hvor M er en uendelig mængde ................................................................................. 73

15.1.2 Eksempel ∷ .................................................................................................................... 73

15.1.3 Eksempel: M = [0;1] ................................................................................................................... 74

15.2 Nedarvede metrikker ...................................................................................................................... 74

15.3 Generelle ting: Kugle i metrisk rum ............................................................................................... 74

15.3.1 Eksempel K(0,1) ......................................................................................................................... 75

15.4 Kuglelemmaet ................................................................................................................................. 75

15.5 Def 18: Konvergens i metrisk rum ................................................................................................. 76

15.5.1 Reality check: kan en følge have mere en én grænse med denne definition? ............................. 76

15.5.2 Sætning 1.11: Uniform konvergens ............................................................................................ 76

16 Topologi i metriske rum .......................................................................................................................... 76

16.1 Elementær mængdelære.................................................................................................................. 77

16.2 Löl................................................................................................................................................... 77

16.2.1 Indre, ydre, … ............................................................................................................................ 77

16.2.2 Notation og sammenhænge mellem begreberne ......................................................................... 78

16.3 Eksempler ....................................................................................................................................... 79

16.3.1 Finder mængderne ...................................................................................................................... 79

16.3.2 Eks: betydning af M ................................................................................................................... 79

16.3.3 Eks med löl ................................................................................................................................. 79

16.4 Def.: åben og afsluttet mængde ...................................................................................................... 79

16.5 Abstrakte (men grinern) sætninger ................................................................................................. 79

16.5.1 Sætning 2.5 A afsluttet hvis CA åben......................................................................................... 79

16.5.2 Sætn. 2.6: Egenskaber ved systemet af åbne mængder .............................................................. 80

17 Topologi .................................................................................................................................................. 80


7

17.1 Indledning ....................................................................................................................................... 80

17.2 Sætning 2.7 ..................................................................................................................................... 80

17.2.1 Eksempel på forskellen mellem (ii) og (iii) ................................................................................ 81

17.3 Kuglerne er åbne ............................................................................................................................. 81

17.4 Sætn. 2.8: Karakterisation af det indre ........................................................................................... 82

17.4.1 Korollar 2.9 ................................................................................................................................ 82

17.5 Sætning 2.9 (karakteristik af lukket mængde ved følger) ............................................................... 83

17.6 Kontinuitet (karakteristik via åbne mængder) ................................................................................ 83

17.6.1 Sætning 3.1 (følgekarakterisation af kontinuitet) ....................................................................... 83

17.6.2 Sætn. 3.2: (topologisk karakterisation af kontinuitet – ved åbne mængder) .............................. 84

17.6.3 Kontinuitet af sammensat funktion............................................................................................. 87

17.6.4 Kontinuerte funktioner, der er ens på tætte delmængder ............................................................ 87

17.7 Regneoperationerne ........................................................................................................................ 88

17.7.1 Eksempel .................................................................................................................................... 88

17.8 Sætning 3.16 ................................................................................................................................... 89

18 Fuldstændighed ....................................................................................................................................... 90

18.1 Intro: motivation ............................................................................................................................. 90

18.1.1 Illustrativt eksempel ................................................................................................................... 90

18.2 Definition 5.1: Cauchy-følge / fundamentalfølger .......................................................................... 91

18.2.1 Påstand: enhver konvergent følge er en Cauchy-følge ............................................................... 91

18.3 Def. 5.2: Fuldstændigt metrisk rum ................................................................................................ 92

18.3.1 Påstand: Enhver Cuachy følge er begrænset (dvs. indeholdt i en kugle) .................................... 92

18.3.2 Sætn. 6.4 (b): Hvis en Cauchy følge har en konvergent delfølge, da er den selv konvergent .... 92

18.4 Cauchy er konvergent i de reelle tal: Egenskaber for (alle) følger i de reelle tal............................ 92

18.4.1 Opg. 5.2: ..................................................................................................................................... 93

18.5 Fuldstændighed og afsluttethed ...................................................................................................... 93

18.5.1 Sætn. 5.3: .................................................................................................................................... 93

19 Opsamling fra sidst ................................................................................................................................. 94

19.1 Advarende eksempel ....................................................................................................................... 94

19.2 Sætn. 5.7: Funktionsrum med sup-normen er fuldstændige ........................................................... 94

19.3 Definitioner ..................................................................................................................................... 95


8

19.3.1 Definition 6.1: Fortætningspunkt ............................................................................................... 95

19.3.2 Definition 6.2: delfølge .............................................................................................................. 95

19.4 Lemma 6.4: Fortætningspunkt iff konvergent delfølge .................................................................. 95

19.5 Lemma 6.4: ..................................................................................................................................... 96

19.6 Sætn. 6.5: Begrænsede følger har konvergente delfølger (Bolzano-Weierstrass) .......................... 96

19.7 De reelle tal er en fuldstændig mængde ...................................................................................... 97

19.8 Sætning 6.6: i talrum er kompakt iff afsluttet og begrænset ........................................................... 97

19.9 Def. 6.7: Kompakt mængde ............................................................................................................ 99

19.9.1 Advarsel: I det diskrete rum er afsluttede og begrænsede mængder ikke nødvendigvis kompakte

99

19.10 Sætn. 6.9 (ej eksamensrelevant) ..................................................................................................... 99

19.11 Sætn. 6.10 (Weierstrass) ............................................................................................................... 100

19.12 Sætning 6.11 (ej eksamensrelevant) ............................................................................................. 100


9

1 Mere sjov med rækker

Rækker, tænker vi på som repræsenterednde en anden følge, nemlig følgen af afsnitssummer,

hvor .

Vi siger, at den uendelige italrække konvergerer, hvis punktfølgen – dvs. – konvergerer,

og i så fald skriver vi

- (men vi bruger altså udtrykket når den er konvergent og divergent… men i så fald

repræsenterer ’symbolet’ kun selve rækken)

Det gør ingen forskel om vi starter i eller .

1.1 Vigtige eksempler

1.1.1 Den geometriske række (TL sætn. 12.1.1)

Rækken er konvergent hvis og kun hvis . For er rækken altså divergent.

⇒

Bevis

Beviset udnytter, at vi kan opskrive eksplicit

⇒

⇒

Udnyt nu, at ⇒ for og for alle

→ da har altså en grænseværdi, og følgelig er

konvergent, og

⇒

Til gengæld ⇒ for (men bemærk, at så kan gå alle vegne hen)

Nu bliver det lidt tricky… når kan altså ligge på den komplekse enhedscirkel. MEN! Når man

ganger et komplekst tal med sig selv så ganger man modulus med modulus (længde), men det er jo bare ,

så længden er den samme, og så lægger man vinklerne sammen, dvs. kommer til at køre rundt på

cirkelperiferien af den komplekse enhedscirkel.

Men hvad nu hvis ? Jamen så er det jo oplagt → så er rækken jo

.

Hvis vil vi bare fare ud gennem det komplekse plan (forlænger bare vores komplekse vektor).

Lad os indsætte værdier

Se eksempelvis på


10

Høhø, men vi kan jo skrive rækken op,

Se nu på 9× den række

Aha, så vi kan også gå den anden vej og sige

1.2 Divergenstesten (12.1.4) – kan kun vise divergens

Selvom den hedder divergenstesten vil vi formulere den således

⇒

IDÉ ∷ Når må rækken være divergent.

Bevis

Hvis så konvergerer den. Men hvis dette er opfyldt, så vil følgen når .

Men så vil (differencen mellem to konvergente rækker er konvergent

og går mod differencen mellem deres grænseværdier.

MEN . Dermed har vi vist, at ∎

BEMÆRK! KUN EN NØDVENDIG BETINGELSE!

Bare fordi har vi ikke en konvergent række, se bare på .

1.2.1 Eksempel: den harmoniske række

Vigtig række, så vi skal se på to beviser for at den er divergent.

Den vokser som logaritmen af det antal led, man har. Den vokser kun som logaritmen af det antal led, man

summer.

Bevis @ modstrid

Antag konvergent, at

Betragt ift. .

Dvs. den sidste halvdel af leddene i . Men disse led kan vi sige noget om.

Men bemærk, at vi har led, som alle er større end .


11

MEN! Hvis så vil – , men vi har jo lige vist, at

…MODSTRID! ∎

HUSK! , men er divergent

Fortolkning: leddene skal gå tilpas hurtigt til 0.

1.3 Sætning 12.1.7

Del 1

Det interessante ved dette er, at konvergente ⇒ konvergent.

MEN! Pas på igen, summen af to divergente kan godt være konverngent. Det lyder altså

⇒

Del 2

Det medfører

⇒

ADVARSEL

Del griner

⇒ det er halen, der afgør konvergens.

1.4 Værktøjer til at afgøre konvergens/divergens – positive rækker

Sprogbrug ∷ bogen mener ikke-negativ, når den siger positiv.

OBS!

er ok selvom for nogle … bare den ikke er det i grænsen.

Nu skal vi se på rækker, , hvor .


12

1.4.1 Sætning 12.2.1

⇒

Dvs.

Bevis

”⇐ ”

Vi vil vise, at hvis den er begrænset, så er den også konvergent

⇒

er voksende (vi lægger hele tiden noget positivt til)

En voksende, begrænset følge er konvergent, og .

”⇒”

⇒

∎

1.5 Lol, nu skal vi sml. med integraler

POINTE: Integraler er sværere at definere, men nemmere at udregne.

1.5.1 Sætning 12.2.3: integraltesten

Betragt som er positiv, aftagende og kontinuert.

Da gælder der, at

Bemærk, at implikationen går begge veje, men det er typisk nemmere at se om integralet er konvergent (kan

vi ofte udregne)

Bevis

(Se på tegningerne i bogen)

”⇒”

Betragt

Vi kan danne en masse opretstående rektangler, som har bredde 1 og højde .

Da danner integralet en oversum til

.


13

Men det betyder, at

⇒

Ved at se på tegningerne kan vi se, at

”⇐”

Her ’vender’ vi bare rektanglerne og kigger på undersummerne til integralet

Nu er integralet (arealet under f-kurven) større end hvad rektanglernes areal tilsammen er.

⇒ men hvis integralet så er konvergent er dets areal jo endeligt, og så må specielt noget, der er mindre, have

endelig sum.

Sammenfattende

Alt i alt er altså

1.5.2 Sætning 12.2.4: n^-p

Bevis

Vi viste jo at

er konvergent

OBS! Så skal vi først lige tjekke, at

er positiv, aftagende og kontinuert.

Men det er den jo.

MAN SKAL ALTID TJEKKE FORUDSÆTNINGERNE FOR EN SÆTNING!

∎

Hurra, integraltesten gør det altså meget nemt

1.5.3 Eksempel: Harmoniske række igen

Bemærk ud fra

at

1.5.4 Sammenligningstestet

(i) Lol,

⇒

(ii) Lol igen

⇒


14

Bevis

(i)

(ii)

Denne følger af at vende uligheden om i og og så følger (ii) af modstrid med (i).

1.5.5 Grænsesammenligningstesten: 12.2.8

(husk at vi ser på positive rækker, )

⇒

⇒

BEVIS

Vi sætter navn på tingene og sætter

Det betyder, at der findes et så ⇒

(eller mindre end … bare et fast tal)

⇒ men det betyder, ta

⇒ så kan vi bruge sammenligningskriteriet… desværre kan vi bare kun se på halen… men NÅ JA, det var jo

kun halen, der betød noget.

1.6 Forholdstesten (kvotientkriteriet), sætning 12.2.12

Et af de mest benyttede test (evt. sammen med integraltesten)

Vi ser på her fordi vi gerne senere vil dividere med

(i) ⇒ konvergent

(ii) ⇒ divergent

(iii) ⇒ ingen konklusion

Bevis

Idé: sammenlign (sætning) med den geometriske række (eksempel)

(i)

Vi har altså en grænse for

⇒ ⇒

Så vil vi bruge det til at sige, hvor stor er


15

⇒

⇒

⇒

Se nu på flg. 2 rækker

1. dvs.

2. dvs.

Vi ved her, at da er konvergent.

Men er i alle elementer mindre end denne, så den er også konvergent

Men så har vi en sætning, der siger, at når halen er konvergent, så er rækken konvergent.

Ergo er konvergent

(ii)

der findes og et så

⇒

Dette gælder altså specielt for

Men så har vi, at de enkelte elementer, , ikke går mod 0, og for en positiv række skal dette være tilfældet.

1.6.1 Ad (iii): når a = 1 kan det gå begge veje

Vi vil i det følgende bevise, at vi ikke kan konkludere noget når ved at give et eksempel på en divergent

række og et eksempel på en konvergent række.

Betragt

Her er og derfor er selvfølgelig

, men den er altså alligevel divergent.

Betragt nu

Her er

⇒

, men rækken er alligevel konvergent.

Og se denne

Her er så


16

1.7 Rodkriteriet/rodtesten, 12.2.6

Her er det ikke så vigtigt, om , når blot .

Antag, at

(i) ⇒ konvergent

(ii) ⇒ divergent

(iii) ⇒ ingen konklusion

Beviset for (i) bygger på at sammenligne med en geometrisk række

Bevis

Antager altså, at grænseværdien er

⇒ det betyder, at der findes et og et så

⇒

⇒

KONKLUSION: er konvergent, da i hvert eneste led er begrænset.

→ da halen er konvergent er hele rækken det.

(iii)

Her kommer han igen med et eksempel på hver konklusion og konkluderer at vi ikke kan sige noget

generelt… undervejs udnytter han flg. sammenligningskriterium:

Dvs.

vinder over logaritmen.

1.7.1 Eksempel på anvendelse af rodtesten

Normalt bruger vi kun rodtesten når

Betragt

Her er

Derfor er

Da

er rækken

konvergent

BEMÆRK! Spørgsmålet er, om det er tæller- eller nævnerpolynomiet, der dominerer.

1.8 Alternerende rækker – Skiftende fortegn

Vi skal se på en test, som netop udnytter, at leddene skifter fortegn.


17

1.8.1 Eksempel: alternerende harmoniske række – konvergent

1.8.2 Sætn. 12.3.1, alternerende-række-test

VIGTIGE FORUDSÆTNINGER

Betragter rækken alternerende, dvs. har alle samme fortegn, og er en aftagende følge,

og

⇒ da er konvergent.

Sætningen giver os, at den alternerende harmoniske række er konvergent.

Bevis

Vi laver en tegning.

Betragt de lige afsnitssummer:

Og de ulige

Lad nu

Vi vil vise, at . Betragt nu

Fordi vi benytter, at

Vi får desuden flg. betragtning


18

Hvis vi altså vil inden for 10% af den sande sum, skal vi altså tage led med indtil det næste led er højst 10%.

1.9 Absolut konvergens (definition 12.4.1)

En række, der er konvergent når vi putter absolut værdi på leddene.

BEMÆRK! Den alternerende harmoniske række er ikke absolut konvergent, selvom den er konvergent (når vi

tager absolut værdi af den bliver det jo den harmoniske række, og den er jo divergent.

Hvis en række er konvergent, men ikke absolut konvergent, så siges den at være betinget konvergent.

1.9.1 Sætning 12.4.2: abs. konv ⇒ konv.

⇒

Bevis

Indfør , dvs. den ser kun på de positive ’er og sætter resten til 0.

.

Desuden .

EKSEMPEL

Indse nu, at og

Antag at er konvergent.

Men da er

konvergent og

er konvergent

Men da har vi en sætning, som siger, at differencen mellem dem er konvergent.

1.9.2 Def 12.4.3: betinget konvergens

En række, der er konvergent, men ikke absolut konvergent, kaldes betinget konvergent.

Tænk: der skal ikke meget forstyrrelse til før det kikser.


19

Forholdstest til afgørelse af absolut konvergens

Udvidelse: vi har en forholdstest, der virker for absolut konvergens… vi tager simpelthen betingede værdier

og så har vi en positiv række, og så kan vi bruge vores forholdstest.

Husk: forholdstesten så på

Her tester man i stedet

(i) ⇒ er absolut konvergent

(ii) ⇒ er divergent (overraskende, husk at ej abs.konv ikke nødv. betyder div… fx er

alt.harm. en ej abs. konv., men dog konv. række)

(iii) ⇒ ingen konklusion.

1.9.3 Sætn. 12.4.9 mv.: Ej abs., men dog alm. konv rækker: handle with care

For Absolut konvergente rækker

→ her er ombytning ok

Dvs. hvis vi laver en ombytning, en permutation

- bijektiv: en-entydig=forskellige værdier til forskellige input, surjektiv (eller på, onto): alle

værdier rammes)

Sætning 12.4.9:

(altså i en anden rækkefølge

Bevis

Se på

Vælg

Da er

- Vi skal bruge dette til at sige,

Vi ved, at

Og så må der gælde lighedstegn hele vejen igennem.

Eksempel på betinget konvergent række

Lemma 12.4.11:

betinget konvergent.

Da gælder der, at

begge er divergente.

Bevis

Bemærk, at


20

- Kort bevis, Antag konvergent og omskrive

konv konv, så må

være konv da den er sum af to konv ⇒ MODSTRID

1.9.4 Sætn. 12.4.12

Antag, at er betinget konvergent.

Algoritme: Start med alle de positive led, . Denne række er divergent. Det betyder, at vi skal bare tage nok

led med, så kommer vi over . Men nu skal vi have bragt vores sum ned igen. Det gør vi ved at med tage

negative led, dvs. led fra indtil summen igen er nede på .

Sådan fortsætter vi. Det vil gøre, at vi kan ramme .

Men hvorfor kommer vi tættere og tættere på?

⇒ fordi vi stopper præcis når vi er kommet forbi, så ved vi at afstanden mellem ’et og der, hvor vi har ramt

end – dvs. det sidste skridt vi har taget – er større end den afstand, der var tilbage. Vi var nemlig ikke kommet til

før, og nu er vi over.

Intuition ang. ombytning: Den oprindelige række går mod 0. Dvs. der er kun endeligt mange led i denne

følge, som er større end ethvert . Men der skal jo være mange led i følgen. Så må der være mange, der er

mindre end.

2 Konvergens

Punktvis konvergens:

Man definerer punktfølgen af delsummer, , og punktvis konvergens er så når er konvergent

2.1 Uniform konvergens

funktionsfølge, ,

konvergerer uniformt mod på hvis

(og husk: når vi har skal vi bruge

Bemærk at er en talfølge!

2.1.1 Punktvis & uniform konvergens med kvantorer

⇒

- Denne er sværest fordi vi lægger os fast på et og så skal sætningen holde for alle de ’er der kan være

⇒


21

- Her vælger jeg ’et efter ’et

- Sætning fra tirsdags (hvor jeg ikke var der):

Uniform konvergens bevarer kontinuitet

- Kontinuitet kræver noget struktur på den underliggende mængde

- Dvs. grænsefunktionen er også kontinuert

- Derimod bevarer punktvis konvergens ikke nødvendigvis beholder kontinuitet

- Uniform konvergens er specielt også punktvis konvergent

(uniform er strengere)

Målet i dag ∷ hvad bevares ellers ved uniform konvergens → kan vi fx differentiere / integrere? (ja!)

2.2 Integration og differentiation af funktionsfølger

Punktvis konvergens

Betragt funktionen , hvor for uden for

og indenfor intervallet går den lineært op til

og så tilbage ned til 0

Vi har, at konvergerer punktvis til 0 (fordi intet bliver indenfor intervallet)

Integration

Betragt tilfældet , thi så er endepunktet under 1

Hvad er så integralet? → tja det er jo arealet under kurven

- Men vi ved jo alle sammen hvad arealet af en trekant er (halv grund × højde)

- Dvs.

Men hvad så med grænsefunktionen? Tja

⇒

BEMÆRK! GRÆNSEN AF INTEGRALET ER FORSKELLIGT FRA INTEGRALET AF

GRÆNSEN!

Lad os lige finde

FUCK! Så er funktionen ikke bare ej uniformt konvergent… dens går mod !

(husk er den største afstand mellem de to argumenter)


22

2.2.1 Sætning 11.4.1

, , kontinuerte

Antag, at konvergerer uniformt mod

Lad . Definér ved

Konklusion: Da vil funktionsfølgen konvergere uniformt imod , hvor

.

⇒ specielt hvis og , så vil være grænsen af intengralet fra til

Advarsel: Stamfunktionen tili en uniformt konvergent følge af funktioner er ikke nødvendigvis konvergente

Problemet er nemlig, at vi jo bare kan lægge konstanter til.

Bevis

er kontinuert, da kontinuitet bevares ved uniforme grænser.

Derfor kan vi definere som stamfunktionen til

Vi vil vise, at ’erne konvergerer uniformt mod

→ det betyder, givet skal vi kunne finde så for alle

I bogen ∷ der vælger man sit og viser at det duer… i stedet vil vi regne baglæns og finde ud af, hvordan

skal vælges.

Lad os regne på det

(det er ok pga. kontinuerte funktioner)

PROBLEM! Hvilken side af ligger på? Vi har jo, at

MEN ∷ Vi har jo, at for en funktion . Her er det underforstået, at . Så når vi skriver

integralet

. Her kan man vise, at

. Vi skal bruge dette, men håndtere, at kan

være større eller mindre end

(indholdet bag dette er, at hvis vi kommer til at vende grænserne forkert ift. hvilket tal, der er størst ⇒ så vil

der bare komme et minus ud, og det håndterer vi så ved at tage absolut værdi…)

Vælg nu så der for alle og for alle gælder

⇒

(vi så jo på og skulle få det mindre end … men når vi ser på et integral er det jo et interval

under en kurve, så vi vil sørge for, at det er mindre end arealet under)


23

Men det er jo kun rigtigt, hvis vi ved, at uligheden gælder for alle … men det ligger (åbenbart) i uniform

konvergens!

(fordi da )

∎

2.3 Man kan ikke slutte om differentiation ud fra uniform konvergens

Eksempel: , med og lad os antage, at konvergerer uniformt mod 0.

Eksempel

∷ i nævneren sikrer os, at funktionen bliver mindre og mindre ( -intervallet bliver

mindre og mindre), men inde i gør, at den svinger hurtigere og hurtigere

(fordi .

Med andre ord er

Men lad os så differentiere den og se, at den faktisk kan være stor.

Se fx på

Som ikke har nogen grænse

Derfor konvergerer ikke.

(kuriositet, hvad hvis vi havde set på . Den har så

.)

2.4 Sætning 11.4.3

Hvis vi ved at differentialkvotienterne konvergerer uniformt, kan vi sige noget.

Dvs. vi skal se på en sætning helt tilsvarende til den forrige, men vi siger nu noget om de differentierede i

stedet for om funktionen selv.

JSP: bogens formulering er for upræcis, så her kommer en mere præcis griner, hvor vi håndterer funktionernes

opførsel i endepunkterne lidt bedre.

Vi vil gøre antagelserne på et åbent interval og så ikke sige noget om endepunkterne (i modsætning til bogen)

Betragt defineret som og lad os antage, at er kontinuerte,


24

Vi siger , dvs. er differentiabel og er kontinuert

Antag at konvergerer uniformt mod

Antag at der findes et punkt så konvergerer

(dvs. at den punktfølge der kommer når man evaluerer alle erne i )

Da findes et således, at konvergerer uniformt mod på og

(altså: konvergerer mod )

(wow, vi laver antagelser om den afledte og kan så vise noget om den opridnelige)

2.4.1 Bevis for sætning 11.4.3

Bevis

Lad (som vi antog var konvergent)

Men mellem og er alt dette ok, da vi antog, at kontinuert for alle

Og det er altså følgen, vi ved noget om.

Og vi vil godt vise noget om følgen – dvs. vi skal finde en kandidat til en grænsefunktion

Den naturlige kandidat til grænsefunktion:

Påstand: konvergerer uniformt mod .

Bemærk, jf. almindelig

.

Nu kører bussen

Givet et skal vi finde et

pga. trekantsuligheden.

Vælg nu så ⇒ (vi fordeler bare ligeligt mellem de to)

Vælg så for alle og alle

Lille problem: spørgsmålet er om vi ser på et åbent eller lukket interval.


25

3 FL 2 – rækker af funktioner

Vi får brug for et trick…

Trick: en voksende, begrænset følge er konvergent.

OBS! Meget af nedenstående er kun flygtigt berørt i pensum → læs ugesedlen…

3.1 Funktionsrækker

, , hvor er en generel mængde.

Til en følge af funktioner hører en række, , hvilket er en funktionsfølge af afsnitssummer,

hvor , og er en funktion deffineret ved

- Hurra! Nu har vi fået skrevet funktionsrækken op vha. afsnitssummer og derfor kan vi bruge vores

begreber om talrækker (uniform konvergens, punktvis konvergens, …)

- Vi skal altså se på, om funktionsfølgen nærmer sig en funktion… idéen er fuldkommen den samme

som for ralrækker, hvor vi ud fra talrækken definerede talfølgen

. Nu skal vi bare

ud fra funktionsrækken danne funktionsfølgen, og så er det bare et spørgsmål om, hvorvidt den ”nærmer

sig en eller anden funktion”.

Definition

Hvis konvergerer punktvis (uniformt) mod ,

da siges at konvergere punkvis (uniformt) på mod . Vi skriver

PAS PÅ! Når vi skriver er det ikke klart, om funktionsfølgen konvergerer punktvist eller

uniformt. Det må vi anføre i teksten.

MAN SKAL ANFØRE HVILKEN AF DELENE DEN ER!

Eksempel

Hvad er så funktionsrækken?

Men er jo en geometrisk række, så

for , men

er divergent for

.

MEN! Så kunne vi jo definere funktionen som

for .

STRINGENT NOTATION: på hvor .

Sætningerne i dag


26

- Når nu vi ser på funktioner i vores rækker ku det jo være griner at se hvad differentiation og integration

ku være for noget skidt…

3.2 Regneregler

Hvis og

er punktvis (uniformt) konvergente,

da vil

konvergere punktvis (uniformt)

(bemærk, at vi specificerer hvilken type konvergens, der er tale om)

Desuden er

Regnereglerne kommer fra regnereglerne for talrækker.

3.2.1 Sætning A

, , kontinuerte

Antag, at uniformt konvergent

Da er kontinuert.

Bevis

Vi ved, at konvergerer uniformt mod , hvor .

Regnereler for kontinuitet giver, at er kontinuert på

- Fordi summen af kontinuerte funktioner også er kontinuert.

Derfor må være kontinuert, fordi vi har bevist, at kontinuitet bliver bevaret ved uniform konvergens.

3.2.2 Sætning B

, kontinuerte

Antag, at konvergerer uniformt på

Eller

HVIS vel at mærke vi har uniform konvergens.


27

Bevis

Men det betyder, at

Men det betyder, at

3.2.3 Sætning C

,

Antag

-

konvergerer uniformt på

- er konvergent for et

Da vil være uniformt konvergent og

som jo altså er en uniformt konvergent række.

Beviset kører ved at oversætte til følger og så bruge vores resultater for dem. Man definerer og

.

3.3 Sætn. 12.5.1 Weierstrass’ M-test

Vigtig sætning. Åndssvagt navn, man har bare næsten altid brugt som symbol i testet

Betragt fkt.følgen , , funktionsfølge

Givet en talrække som er konvergent sådan at

Da er uniformt, absolut konvergent på

HUSK at angive på hvilken mængde den er konvergent!

Bevis

Trin 1: er punktvis absolut konvergent.

Det følger af sammenligningskriteriet.

Hvis får vi talrækken som vi skal vise er absolut konvergent.


28

Det følger af sammenligningskriteriet, da

Definér nu funktionen ved, at .

Men er så den punktvise og absolutte grænse for .

Trin 2: er uniformt konvergens.

Lad

Vil vise konvergerer uniformt modd .

Lad os gøre som vi plejer og tage forskellen mellem og vise, at vi kan vælge stor nok til at

denne afstand er mindre end et givent for alle .

Hvor er en grænseværdi og

bare er et tal

Nu trækker vi uden for , da absolut værdi er en kontinuert funktion

Nu vil vi bruge trekantsuligheden

Men nu kan vi bruge vores antagelse, at

Men vi har jo antaget at var konvergent

Nå, givet , vælg da så

⇒

og derfra

∎


29

3.3.1 Eksempel

Eksempel: hvad er summen af ?

TRIK: vi kigger i stedet på

Vi ved, at den er konvergent og

når

Vi vil nu konkludere 2 ting:

1) er uniformt konvergent på

(vi holder os bevidst fra hvor det går galt)

2)

er uniformt konvergent på

Bevis for 1)

Vi har altså og vi vil bruge Weierstrass’ M-test

⇒ så vi tager absolut værdi,

(spiller rollen af den)

Men

(da det er en geometrisk række).

Men da har vi vha. W M-test vist 1) ∎

Bevis for 2)

, ok ved brug af Weierstrass, hvis

.

Men det kan vi jo nemt tjekke vha. forholdstesten,

Derfor giver forholdstesten os, at rækken

er konvergent, og dermed er (@M-test)

konvergent

MEN! Når nu den differentierede række konvergerer uniformt, og rækken selv konvergerer uniformt i bare et

enkelt punkt, så har vi, at

Lad os skrive dette ud

Hurra! Nu er vi klar!


30

OBSOBS! Det er et tilfælde, at han er kommet til at lave rækkerne så de havde den samme sum…

4 Potensrækker – en konkret funktionsrække

4.1 Intro

Sidst så vi på:

- Punktvis konvergens ∷ konvergens for enkelte punkter

- Uniform konvergens ∷ ”konv går lige hurtigt for alle punkter”

I dag: Potensrækker, dvs. funktionsrækker (af ) på formen

Ofte kan vi nøjes med at se på i teorien (i praksis er det mere relevant, hvad er)

INTUITION ∷ tænk på rækken som et polynomium af grad .

SPØRGSMÅL ∷ for hvilke er potensrækken konvergent?

KORT SVAR ∷ vi kan opskrive en konvergenscirkel, så rækken konv’er for alle i den.

LANGT SVAR ∷ der findes et tal (løst sagt… er jo egentlig ikke et tal), som afhænger af

potensrækken (af ), så er konvergent inden for cirklen i den komplekse tal med centrum

i ( ) og radius ( ), men ikke nødvendigvis på randen.

(reelt tilfælde ( ) ∷ her har man et konvergensinterval. Det forenkler sagen beltydeligt, da vi så kun har 2

endepunkter (disse skal nemlig tjekkes separat))

En kort bemærkning om komplekse tal

Det er tilladt, at ’erne er komplekse tal.

Meget af det, vi siger, holder også for

MEN ∷ i alle opgaver vi skal se på, vil

4.1.1 Eksempel

Dvs. ,

Vi vil bruge forholdstesten, MEN så skal vi kunne undtage . Men når er rækken en sum af 0’er på

nær det første led. Men så er summen . (gælder generelt når i alle led – så er

det kun det første led, hvor )

→ den er altså konvergent for

Se nu på .


31

Dvs. divergent

Ergo har rækken konvergensmængden med konvergensradius .

4.1.2 Eksempel

Rækken er

For er , dvs. konvergent.

Vi bruger igen forholdstesten med

Da giver forholdstesten os, at rækken konvergerer. Men det gør den for alle , ergo er

konvergensradius (konvention at skrive sådan).

4.1.3 Eksempel

Her er og

Betragt først ; her har vi oplagt konvergens. Det betyder, at cirklen har centrum i .

For bruger vi forholdstesten

Nu siger forholdstesten, at

⇒

⇒

Dvs.

⇒

MEN! Vi mangler at undersøge randen‼

- PROBLEM! For er der ∞ mange tal (det er en kompleks cirkelperiferi)

For tilfældet:

Men denne række er absolut konvergent (alm. potensrække med med ) og dermed også

konvergent


32

Denne er absolut konvergent og dermed også konvergent.

Samlet set er konvergensintervallet .

4.2 Teorem 12.6.1

Sætningen siger, at vi altid vil få et resultat frem, der kan skrives på formen med en konvergensradius og med et

interval. ⇒ det betyder fx, at konvergensmængden aldrig vil være delt i 2.

Postensrækken har 3 muligheder for konvergens

1) Potensrækken er konvergent for alle

2) Potensrækken er kun konvergent for

3) Der findes et så potensrækken er konvergent for og divergent for .

For har vi ingen konklusion.

Før vi kan bevise det skal vi bruge Lemma 12.6.7. For at lette skriveriet vil vi se på .

4.2.1 Lemma 12.6.7

Hvis er konvergent for , da er den konvergent for alle med , og rækken er

uniformt konvergent på alle mængderne af formen hvor .

(komplekst tilfælde: uniform konvergens på , dvs. kun på den reelle akse)

Bevis

Vi vil bruge Weierstrass’ M-test og finde et tal , som alle led er mindre end.

Da er konvergent giver divergenstesten, at

(en række kan ikke være konvergent, hvis leddene ikke går mod 0)

Men når de alle går mod 0, kan vi gå langt nok ud til, at for alle kommende led… men blandt de

tilbageværende forrige led før må der så findes et største. Det betyder, at der må findes et så

(egentlig udnytter vi, at en konvergent følge er en begrænset følge)

Men lad os så se på

Hvis nu vi har et , for alle vil der så gælde, at

Men vi havde jo valgt , da har vi, at . Men da har vi


33

Nu kan vi bruge Weierstrass’ M-test med

har vi altså uniform konvergens for alle i ,

men vi ved ikke, hvad der sker når går ud imod ↷ vi ved ikke, om konvergensen ”går i takt” derude.

4.2.2 Bevis for 12.6.1

Antag 1) eller 2) ikke gælder.

Det betyder, at rækken konvergerer for nogle ’er, men ikke alle ’er.

Altså findes et hvor rækken er konvergent, og hvor den er divergent

(husk, at så er rækken)

Vi vil nu beskrive mængden

Vi ved, at .

Men vi ved også, at

Men det betyder, at er opad til begrænset.

Lad , dvs. det mindste overtal for

Påstand:

Konvergens for ⇒

og divergens for ⇒ . Nu siger lemmaet jo, at konvergens i ⇒ konvergens i

(da ), men det er jo en modstrid med, at . Dermed må den være divergent for .

5 Potensrækker og summer

5.1 Recap af det sidste fra sidste gang

Vi betragter potensrækken (idet vi har centreret i 0)

Antag at rækken er konvergent i et tal ,

⇒ for alle vil være uniformt konvergent på

⇒ så er punktivs konvergent på (åbent interval… abs.værdier @ kender ikke fortegnet

på )

Fortolkning af sætningerne:

Jo større er, des flere punkter har vi, som skal marchere med i takt mod grænsen…

⇒ men hver gang vi tager et nyt punkt med vil det også gå mod grænsen, så rækken må være punktvis

konvergent i dette nye punkt…

Problemet er altså, at vi ikke kan være sikre på, at uniform beholdes i grænsen – kun punktvis

5.2 Skitse af beviset for eksistens af konvergensradius

Antag, at er divergent for

Betragt


34

Om ved vi, at (fordi potensrækker centreret i 0 altid har sum 0 og dermed er konvergente), men at

pr. antagelse

Vi ved således, at

- Hvorfor? Fordi antag, at et med . Men da siger vores sætning fra før, at alle intervaller

i det indre af ligger i . Men så ligger også i og det er en modstrid.

Lad nu . Da er (dvs. kun endepunkterne kan vi ikke sige noget om.

(bemærk, at hvis så ved vi, som nævnt ovenfor, at altid, dvs. (og ikke )

5.3 Sætning 12.6.8 (kontinuitet af sumfunktion for en potensrække)

Hvis har konvergensradius (evt. eller ), da vil

være en kontinuert funktion på det åbne interval .

Bevis:

Antag , beviset for er trivielt.

Lol, bemærk at er kontinuert (det er et polynomium).

Vi ved, at punktvis på … men det giver ikke umiddelbart kontinuitet.

MEN ∷ den er til gengæld uniformt konvergent på for alle .

- Argument ∷ når rækken er punktvis konvergent på må der være et lille så den specielt er

konvergent i . Men så siger sætningen fra før, at på intervallet , for alle

, er rækken uniformt konvergent. Men så er den kontinuert i .

5.3.1 Sætning 12.6.9 (Abels sætning)

Sumfunktionen for en potensrække er kontinuert på hele konvergensmængden.

5.4 Differentiation / integration

5.4.1 Sætning 12.7.1: Integration af potensrækker

Antag at har konverngensradius :

Bevis:

Betragt . Hvis er (talrækken) konvergent.

Faktisk er uniformt konvergent på .

Men når vi har uniform konvergens, så må vi lave ledvis integration, dvs.


35

AHA! Men vi har vist, at den række, der kommer frem ved ledvis integration er konvergent. Det beviser .

5.4.2 Lemma 12.1.2: Den differentierede række er konvergent

Den generelle sætning siger, at selvom en række kan integreres let hvis bare den er konvergent, så er verden

ikke så simpel for differentiation… her følger konvergensen af summen af differentierede led ikke umiddelbart af

konvergensen af den oprindelige række.

Sætning:

Hvis rækken har konvergensradius ,

så konvergerer rækken på

Bevis:

Ser på . Vi vil vise konvergens for for .

Vælg så . Vi ved, at er konvergent.

⇒ faktisk er absolut konvergent, dvs.

er konvergent (vi viste sidst, at potensrækker er

absolut konvergente på deres konvergensmængder)

Betragt nu og lad os forsøge at vurdere det ved

PÅSTAND ∷

, hvor er en konstant (må godt afhænge af , men skal være konstant mht. .

Bemærk, at

for , men hvorfor?

- fordi var valgt så , dvs. .

- Nu er der konkurrence mellem og . Men da ved vi, at en potens altid vil vinde over en

multiplikativ konstant (”i det lange løb”).

Men så har vi vist det ønskede, fordi

og er konvergent.

Dermed er den differentierede række absolut konvergent og den er så også konvergent.

5.4.3 Sætning 12.7.3: Differentiation af potensrækker

Antag, at har konvergensradius : Da vil

Bevis:

Vi skal bruge sætningen fra i torsdags ∷ vi kan differentiere rækken, hvis (i) den oprindelige række

konvergerer i mindst et punkt og (ii) den differentierede er uniformt konvergent.

Vi vil vise, at for alle gælder


36

Hvis vi har vist og for alle ’er i , så svarer det til, at funktionen er differentiabel i hele det

åbne interval .

Bevis:

∷ Da er konvergensradius for er den konvergent for alle punkter i .

∷ Vi ved fra lemmaet, at har konvergensradius mindst lig med .

- Men det betyder jo, at konvergerer uniformt… den er jo en potensrække. Dermed

er et afsluttet delinterval af konvergensmængden.

5.4.4 Konvergensradius ændrer sig ikke ved diff/int

Både ved integration og differentiation kan konvergensradius kun gå op. Men så kan vi regne ud, at den må

være den samme altid (ellers kunne man bare skiftevis diffe frem og integrere tilbage og øge intervallet!

MEN ∷ i endepunkterne kan der ændre sig noget.

- Integration ⇒ kan give konvergens i endepunkterne

- Differentiation ⇒ kan give dårligere konvergens i endepunkterne.

5.5 Löl

Lol, betragt den geometriske række

SEJT ∷ vi kan få forskellige rækker frem ved at differentiere/integrere disse

Vi skal bruge Abels sætning til at sige, at når noget konvergerer i endepunkterne, så konv’er det også

uniformt.

5.5.1 Eksempel

⇒

Hvad med endepunkterne?


37

Konklusion:

Lad os nu bruge Abels sætning.

→ den siger, at

er kontinuert på .

MEN! Logaritmen er jo kontinuert på det samme interval! (selvom ikke er defineret for ,

men den er jo heller ikke med)

Men når to funktioner er ens i det indre af et interval og kontinuerte, så må de også være ens i endepunktet,

dvs.

, dvs. logaritmen til 2 er summen af den alternerende harmoniske række.

5.5.2 Eksempel

Led vis diff. giver

på .

5.5.3 ** Grinern eksempel ** afleveringsrelevant **

Find sumfunktionen til potensrækken

Hmm, se på ’erne foran… for at få dem derned ligner det, at der har været differentieret.

→ vi ser på den almindelige geometriske række

⇒

Men vi skal bruge et mere…

⇒


38

⇒

På intervallet .

Men det kan vi sagtens udregne

5.6 Taylorrækker – recap

Husk ∷ Taylorpolynomium af grad højst for en funktion i et punkt

Den er valgt så , , ,

(men højere ordens diff’er giver ikke længere samme diff-kvotient)

Hvis er mange gange differentiabel i da er Taylorrækken for i potensrækken

(pas på, kan både repræsentere rækken og sumfunktionen (når denne eksisterer))

MÅL ∷ hvad er sumfunktionen for en Taylorrække?

→ er lig med ?

ADVARSEL ∷ er muligt selvom konvergerer

Eksempel – Tf konv gør ikke nødvendigvis, at Tf = f

(grafen er smooth – også i 0)

Den er bøvlet at differentiere → vi er nødt til at gå tilbage til definitionen af diff.kvot.

Men man kan vise, at , …,

⇒ men så er bare 0-rækken, dvs.

5.7 Sætning 12.8.2: Taylor formelsamling

Taylorformelsamlingen giver os


39

Og det viser sig, at rækkerne faktisk er Taylor-grinere

Bevis for (ii): formlen for sin(x)

Beviset bruger Taylorrækkens restled

Ladd os udregne grinerne omkring

Dvs. Taylor-koefficienterne hedder (lige # diff ⇒ 0, ulige # diff ⇒ ±1)

→ dvs.

Dermed er

Vi kan nemt (fx forholdstesten) vise, at den er konvergent, men at er mere subtilt

Vi bruger

Ud fra definitionen på restleddet… men vi har en vurdering på restleddet

(fordi diff-kvotienterne altid vil havne som enten eller , som er ≤ 1.)

Men da har vi

(hvor dette gælder fordi vokser langsommere end , idet man med fakultet hele tiden ganger et nyt tal

på, som er større end det forrige)

5.7.1 Sætning 12.8.3

Antag, at har en positiv konvergensradius .

Hvis er sumfunktionen for

⇒ så er en Taylorrække for , dvs.

Men hvad betød advarslen?? AT PILEN KUN GÅR ÉN VEJ‼

- Dvs. vi kan ikke slutte fra en Taylorrække til, hvad er, men hvis vi først har en potensrække, så har vi

fundet Taylorrækken.


40

- POINTE ∷ det eksempel vi så på var en funktion der var , men for alle , så

Taylorrækken kunne ikke indfange den… man kalder det ”eksponentielle små fejl”, som Taylorrækken

ikke kan opfange.

Bevis

Men så har vi jo vist, at vi kan differentiere ledvist.

Nu kan vi bare sætte ind for

5.7.2 Implikation

Vi fandt i morges, at

. Men da finder sætningen netop anvendelse

→ er altså Taylor-rækken for funktionen

Lad os se på de funktioner, vi fandt tidligere

For :

5.8 Substitutionsmetoden

Find Taylorrækken for


41

… MEGET BESVÆRLIG!

I stedet vil vi bruge formlen for men så sætte i formlen

Hvad så med

?

Lol, lad os prøve at finde dens stamfunktion

Lol,

Lol, men så kan vi finde Taylorrækken til arcus tangens!

⇒

Man kan vise, at denne række er konvergent på hele

MEN ∷ da er jf. Abels sætning kontinuert på hele .

- og er veldefinerede og velkendt lig med

5.9 Nu skal vi fæsde

Hvad er

?

Det er en talrække – men kan vi alligevel bestemme dens sumfunktion?

Hmm, vi ka prøve at lave den om til en potensrække…

Vi ved, at rækken er konvergent for , så lad os bruge vores teknik til at finde sumfunktionen for den

→ METODE ∷ omskrive rækken til den geometriske række

- dvs. kan vi omskrive så vi får den??

- TRICK ∷ når der står noget med et polynomium i er det en god ide at prøve med den geometriske…


42

- TRICK ∷ hvis står i nævneren skal vi ud i noget integration normalt.

- VORES TRICK ∷ vi vil prøve at komme fra den oprindelige række ned til den geometriske… så skal vi

nemlig ud i noget differentiation, og det kan være væsentligt nemmere.

Let’s go

Vi kan se, at konvergensradius er … det kan ikke være større… men den er konvergent i endepunkterne

fordi er konvergent.

(TRICK ∷ dette illustrerer, at det ofte kan være nemmere at starte med den givne funktion… så kan vi

hurtigere se, hvordan vi slipper af med de dumme ting…)

⇒

⇒

Men den er bare et led væk

Vi har altså

⇒

Hvordan kan vi bestemme den arbitrære konstant, ?

→ tja, vi ved, at

⇒

Altså

⇒

ÅH NEJ! Hvad hvis ?? Ah, men det er ok, fordi … man kan vise @ L’Hopital’s regel, at

det faktisk er en fin funktion for …

⇒

Men her må da …

Eller, hvis vi vælger netop den stamfunktion, der er for ,

⇒

KONKLUSION


43

Men her siger Abels sætning, at dette må gælde for alle , dvs. på det lukkede interval.

SVARET

Så nu har vi erstattet en sum, vi ikke kunne udregne, med et integral, vi ikke kan udregne.

Metoden

1. Se på funktionen som en potensrække

2. Ligner den noget vi kender? → i så fald: massér den (eller det, den ligner) indtil det passer

3. Så får vi noget, der gælder på det åbne interval

4. ⇒ så siger Abel, at det også gælder i det lukkede interval (når der er konvergens)

6 Fourierrækker

6.1 Recap potensrækker

Sidst så vi på

Hvis holder i et interval om , da er potensrækken Taylorrækken for .

INTUITION ∷ vi ved alt om i punktet ⇒ ønsker at vide noget om i en omegn af

NU ∷ Fourier er en anden måde at tilnærme en sådan funktion.

6.2 Fourierrækker

Vi prøver at udtrykke en funktion over det hele på samme tid.

Lad os sige er defineret på et interval . Den må godt være diskontinuert

BYGGESTEN: De rene svingninger

- Tænk på lydbølger ∷ ræssonans er når et rum (fx flaske) ”plukker” den (rene) svingning ud, som den

”kan lide” fra den mystiske funktion det luft, man puster ind over den, udgør.

Rene svingninger

Vi vil bruge kompleks notation


44

⇒

PAS PÅ! Brugen af disse overgange går ofte galt.

6.3 Vores fremgang

Vi vil skrive en vilkårlig funktion som en uendelig række af og ’er…

Hvis man ønsker at gøre det for en funktion, der lever på hele , så får man brug for alle frekvenser – så skal

λ gennemløbe alle tal… men det er ret svært…

Vi vil i stedet se på periodiske funktioner – så kan vi nøjes med at se på

DEFINITION 2.3: (periodisk funktion) ∷ siges at være periodisk med perioden ,

hvis .

OBS! Den behøver ikke være kontinuert osv… simpleste eksempler:

og

, hvor

Tjekker lige, at cos og sin er periodiske

fordi for alle

Kompleks notation:

for

Normalt skriver vi bare

Vi kalder disse funktioner de -periodiske rene svingninger

- Bemærk! Hvis en funktion er -periodisk, så er den også -periodisk (derfor taler man også om den

korteste periode…

NAVNGIVNING ∷ Vi kalder både cos/sin og exp for rene svingninger

DEFINITION 2.6: (trigonometrisk polynomium og række) ∷

Et trigon. polyn. hørende til perioden er en funktion, der kan skrives som en endelig sum på formen

OBS! Det er ikke et polynomium (potensfunktioner)

- Det er funktioner, hvor den variable, , står inde i cos og sin leddene.


45

Trigonometrisk række: Funktionsrække på formen

Her går altså summen til ∞.

Kompleks notation:

Med

menes rækken med afsnitssummerne

.

- VIGTIGT ∷ vi summer symmetrisk… vigtigt fordi mange af rækkerne kun er betinget konvergente

og ikke absolut konvergente…

6.3.1 Overgangsformlerne

Resultatet kommer af Euler’s formler

Betragt

og husk, at

og

Passer det?

Se på summen

- Summen går fra – til , så alle led kommer 2 gange – en gang med + og en gang med – dvs. vi får

og .

- Ved at lægge sammen får vi

Dvs. koefficienten til bliver (CHECK) og til er den (CHECK)

6.3.2 Videre, videre

Sumfunktion for en trigonometrisk række

(hørende til perioden ) må have perioden

Mao ∷ hvis en funktion kan skrives

⇒ da har perioden .

- SMART ∷ ved at se på funktioner med perioden kan vi nummerere funktionerne ⇒ så bliver det muligt

at se på summer… ellers er man nødt til at se på integraler.


46

6.3.3 Smart notation

Lave om til periodisk funktion

Hvis vi har en funktion kan udvides til en periodisk funktion med perioden .

(man gentager bare funktionen)¨

→ dvs. trigonometriske funktioner er især relevante for funktioner defineret på et interval, som er periodisk.

Antagelse: fremover ses kun på 2π-periodiske funktioner

Dvs. fra nu af er

Byggestenene skriver vi som

SPG ∷ Hvilke -periodiske funktioner kan skrives som sumfunktion for en række

?

6.4 Ortonomalitetsrelationer, lemma 2.7

(hvor er den kompleks-konjungerede, hvor )

Bevis

7 Fourierrækker videre

Husk: vi ser på -periodiske renesvingninger skrevet på kompleks form:

Fordel ∷ regneregler er simplere for end for cos/sin.

Mirakel: Ortonormalitetsrelatione

→ dette tillader os at skrive generelle funktioner på en snedig vis.

GOD IDÉ ∷ introducer lineær algebra-notation.

- Vi vil tænke på funktioner som vektorer i et bestemt vektorrum ↷ giver os geometrisk tolkning af visse

problemer.


47

- Vi vil bruge som vores enhedsvektorer, der er ortonormale på hinanden.

DEFINITION 2.1: Stykvis kontinuitet

- Det betyder, at den er kontinuert på alle delintervaller… vi er lige glade med, hvad der sker i

delepunkterne.

- ’erne skal godt nok have værdier i endepunkterne, men de behøves (selvfølgelig) ikke være det samme

som selv.

Bemærk ∷ findes for alle .

- Hvis er et kontinuitetspunkt for .

Hvis er stykvis kontinuert, hvis den er stykvis kontinuert på alle afsluttede og begrænsede

delintervaller.

Normaliseret funktion ∷

- Bemærk – ofte er det svært / umuligt at bedømme springpunkter…

- → Lebesgue-agtig idé ∷ to funktioner er ens hvis de er ens i endeligt mange punkter.

Hvorfor arbejde med stykvis kont?

- De er integrable (en fkt. er integrabel, hvis den er det på delintervaller)

- → men stadig nemmere at arbejde med end bare at se på integrabilitet

7.1 PC2π (piecewisely continuous 2π-per.)

Vi ser på mængden af stykvis konktinuerte -periodiske funktioner .

⇒ specielt er på intervallet stykvis kont. (⇒ kun endeligt mange diskont.pkt.)

MEN ∷ fordi er periodisk er har den uendeligt mange springpunkter på …

- dvs. hvis den springer i eller – , så må den springe til den samme værdi som i det andet endepunkt.

PÅSTAND ∷ er et vektorrum med regnereglerne

(skal vises torsdag → dvs. tjekke at , dvs. tjekke at funktionerne stadig er stykvis

kontinuerte og stadig har periode)

Del 2: Definér

som det indre produkt på .

Lölen


48

Desuden er er en ortonormla familie fordi jo netop opfyldet, at den er 0 for og 1 for

.

⇒ husk ∷ ortonormal familie er specielt lineært uafhængig…

- så da dimmensionen af et vektorrum er det største antal lineært uafhængige vektorer i det, er

7.2 Smarte resultater

Lemma ∷ hvis er en -periodisk og stykvis kontinuert funktion, er middelværdien

er uafhængig af .

Bevis

Betragt et skift af periode, og lad os bruge indskudsreglen

Nu vil vi bruge subst. med ⇒

∎

Mængden af de trigonometriske polynomier hørende til perioden

.

→ men fail… vi har jo diskontinuerte funktioner i , men de kan jo ikke skrives som (endelige summer

af) kontinuerte funktioner.

⇒ dermed er ikke en basis for

BEMÆRK, at hvis

Da vil (idet vi vælger )

For at komme videre her skal vi udnytte, at er kompleks-konj. lineært på anden plads…

fordi ⇒ den ”går bare ind i det indre produkt”.


49

Udnyt nu,a t blev defineret i starten, så

7.2.1 Sætning 2.8

Antag, at

(sumfunktion for trigon.række)

som er uniformt konvergent, da er kontinuert (uniform grænse) og -periodisk (trigon.fkt’er er 2π-

periodiske), og der gælder 2 ting:

- (når er sumfunktion for en trigonometrisk række kan koefficienterne kun være dem givet oven for)

- resultatet er ligesom for Taylor-rækker ∷ hvis en potensrække konvergerede mod en funktion, så vidste

vi, at koefficienterne var de ’te afledte (fordi rækken måtte være Taylorrække for funktionen)

- PROBLEM ∷ for potensrækker vidste vi, at konvergensen var uniform

8 Fourierrækker

8.1 Sætning 2.8

Hvis er uniformt konvergent, da er

kontinuert og -periodisk og

og Parsevals identitet,

gælder. (tænk på den som en udvidelse af Pythagoras’ sætning. Intuitionen er, at siden , så giver

den første lighed, at

Bevis:

Afsnitssummen er et trigonometrisk polynomium.

Antagelse om uniform konvergens? → uniformt på

Men vi ved, at for alle er kontinuert.

→ da uniform bevarer kontinuitet, er da også kontinuert.

Ad periodicitet:

da er -periodisk.


50

Ad griner:

Påstand: uniformt for

Tja uniformt, så skal vi kunne gøre flg. småt:

fordi er et punkt på den komplekse enhedscirkel.

Men siden uniformt, kan vi for alle finde et så

Da integralet bevares ved uniforme grænser

fordi følgen kan skrives som

fordi hvis , 0 ellers.

Ad Parsevals identitet:

Vi skal nu vise

Følger hvis

Rigtig fordi

∎

8.2 Definition 2.7

Hvis er -periodisk stykvis kontinuert, kaldes rækken

hvor

, for Fourierrækken for .

Vi er ret interesserede i, hvornår vi ud fra kendskab til kan sige noget om konvergensegenskaberne for

Fourierrækken.


51

8.3 Bessel’s ulighed (sætning 2.11)

Hvis er -periodisk og stykvis kontinuert, da vil

Vi ved jo, at der gælder ”=” ved uniform konvergens. Faktisk gælder der altid ”=”, men det er svært at vise.

Bevis:

husk, at , hvor altså

⇒

(da reelle tal er sig selv konjugerede)

Se nu, at

Men så kan vi vise det, vi vil; nemlig

fordi (tjek selv eller se noterne)

Dermed er opadtil begrænset af

, og så er den konvergent.

→ men så må være konvergent.

→ da giver divergenstestet, at leddene må gå til 0

→ dvs. , dvs.

8.4 Riemann’s lemma (lemma 2.12)

stykvis kontinuert, da vil

Bemærk dog, at kun er defineret på et lille interval

→ men vi kan jo ”bare” udvide den til at være -periodisk…

- aaarh, dvs. kan have forskellige værdier i enderne så . Men integralet ændres jo ikke af

et enkelt punkt, så det kan vi bare gør.

Bevis:

Bessel giver, at


52

så integralerne er konvergente.

Så giver divergenskriteriet os, at koefficienterne går til nul, og koefficienterne kan netop skrives som

integralet, der går til 0 fra sætningen.

8.5 Tilstrækkelige betingelser for (punktivs) konvergens af Fourierrækker

Hvis ⇒ så er

uniformt konvergent.

Fra W’s M-test har vi nemlig, at

OBS! Vi ved, at er begrænset og dermed konvergent (?)…

- Så vi ved at summen af de kvadrerede koefficienter er endelig → men vi skal bruge, at summen af

koefficienterne er endelig (så har vi uniform konvergens)

Vi skal altså se på, hvornår

Vi vil bare regne løs på og finde en formel, som vi senere i dag vil kunne bruge til at vise punktvis

konvergens (bemærk, Fourierrækken har et plus i eksponenten til , mens Fourierkoefficienterne har et minus)

Formel 1:

Afsnitssummen i Fourierrækken for er

Bemærk, at er en kontinuert funktion (sum af kontinuerte) med .

Hvis får vi

Men her kan vi se på some n endelig geometrisk række, der som bekendt har sum

Men husk nu, at


53

Dvs.

Nå, nu er vi tilbage til integralet

Lad os få den besværlige ind i i stedet for i . Vi bruger substitution med ⇒ . Men så

skal vi bare skifte grænserne, når vil

Men nu kan vi bruge vores regneregel om, at siden er -periodisk, så er det ligegyldigt, ”hvor vi måler

integralet”, dvs. vi kan trække fra (bare et tal) i begge integrationsgrænserne

Hvilket er nemmere at se på, idet er en eksplicit funktion som vi fandt tidligere…

9 Anden forelæsningstime

Vi ser altså på Fourierrækken

Vi ser på afsnitssummerne

Og udnytter at koefficienterne kan skrives som

så vi i stedet kan omskrive som

som vi splitter op over to intervaller


54

og ved at substituere ↷ så ↷ og ↷ og ↷

og her tager vi ud foran og udnytter

Nu mangler vi bare at omskrive . Dette gælder fordi en af egenskaberne ved Dirichlet’s

kerne er, at det er en lige funktion

og ved at samle ud fra

9.1 Højdepunkt: Sætn. 3.2: Kriterium for punktvis konvergens af en Fourierrække

Hvis er en -periodisk og stykvis kontinuert funktion og hvis flg. grænseværdi eksisterer for et :

så konvergerer Fourierrækken punktvis mod (i punktet ).

9.1.1 Indskud: egenskab ved Dirichlet’s kerne

Vi får brug for endnu en egenskab ved Dirichlet’s kerne:

Bevis: Vi tænker på

∎

9.1.2 Bevis for sætning 3.2

Bevis:

Nu vil vi bruge vores smarte trick og udregne


55

lad os skrive som og så udnytte at Dirichlets kerne kan give 1 på en festlig måde

Nu kan vi skrive

som vi fandt før (idet vi ser på ??)

Vi skal vise, at dette går mod 0 når går mod . Når dette sker vil oscillationerne bare ske hurtigere og

hurtigere… så vil det gå mod nul! det er essencen af Riemanns lemma. Vi vil omskrive så vi kan bruge dette.

så er

Betragt det første led:

Riemann’s lemme afortæller os, at det går mod 0 for hvis funktionen er stykvis kontinuert.

Indfør

Hvis er stykvis kontinuert, så er vores grinern funktion det.

- hvor kan tingene kikse med ?

- På når er det ok. Fordi og er kontinuerte på og dermed stykvis kontinuerte og er

antaget stykvis kontinuert. Og for er alt godt fordi funktionen er konstant og dermed

kontinuert.


56

- Hvad med , og

- Her er

- Ja vi antog jo, at

eksisterede. Siden

og

også har

grænseværdier

- HURRA!

∎

9.2 Stykvis differentiable funktioner

Fourierrækken kan defineres for alle stykvis kontinuerte funktioner, men den er ikke nødvendigvis kontinuert.

9.2.1 Definition: stykvis differentiabel funktion

kaldes stykvis differentiabel, hvis der findes en deling

og funktioner , som er differentiable for sådan at

Det er svært at komme med eksempler på funktioner, der ikke er stykvis differentiable. Numerisk værdi er fx

stykvis differentiable.

Alternativ formulering af stykvis diff

Hvis en funktion er stykvis diff, skal flg. grænseværdier eksistere:

idet vi er er nødt til at tage højde for, at funktionen kan springe i selve punktet

FAIL! Word har knaldet filen

9.3 Videre

9.4 Eksempel fra tavlen

Når han approksimerer med Fourierrækker (afsnitssummer), så forbliver der nogle ”djævleører” (Gibbs-

fænomenet), som ikke rammer ned på funktionen…


57

10 Fourierrækker – uniform konvergens

10.1 Lölen

Lad være stykvis differentiabel, normaliseret og -periodisk. Da konvergerer Fourierrækken punktvis mod .

- MEN ∷ hvis virkelig har springpunkter, så er den jo diskontinuert, og så kan Fourierrækken ikke

konvergere uniformt mod .

→ men hvis er kontinuert, så er Fourierrækken næsten altid uniformt konvergent.

- Eksempel: Betragt

. er diff i alle punkter, men dens diff.kvotient er ikke

kontinuert (den er differentiabel, men ikke stykvis )

- SÅ ∷ der findes altså stykvis kontinuerte, men ikke diff funktioner, men de er svære at hitte på…

10.2 Kombo

DEFINITION 4.2: Hvis med , kontinuert, stykvis differentiabel

Den normaliserede afledte definerer vi ved

(hvis den er stykvis diff., eksisterer og

i alle punkter)

Hvis er stykvis kontinuert, så kaldes for stykvis .

10.2.1 Eksempel

Funktionen er kontinuert (også i 0), ikke differentiabel på (hele) , men den er stykvis differentiabel!


58

Bemærk, at er en stykvis kontinuert funktion.

10.3 Lemma 4.2: Fourierkoefficienter for f’

Hvis er stykvis kontinuert kan vi jo udregne dens Fourierkoefficienter!

Lemma 4.2:

er -periodisk, kontinuert, stykvis .

Da er den normaliseret afledte en -periodisk, stykvis kontinuert funktion og

FORTOLKNING ∷ differentiation ↷ multiplikation

- lidt ligesom laver produkter om til summer.

- det kan også bruges til at give en mere moderne definition af en differentialkoefficient

Bevis:

er stykvis okntinuert er def på at er

Bemærk: ( da er kontinuert

Derfor er en 2π periodisk og derfor er periodisk.

Da er stykvis findes deling –

så på intervallet er en funktion

Men på hvert af disse intervaller er ok, så vi kan bruge partiel integration

- Vi ønsker at finde stamfunktionen til

- Men

(duer ikke på det store interval, men ok på delintervallerne)

Men her får vi en teleskopisk sum, hvor leddene

kommer til at gå ud med

hinanden parvist.

MEN ∷ og , så


59

10.4 Sætning 4.3:

er -periodisk, kontinuert, stykvis ,

da er Fourierrækken for uniformt konvergent mod

→ Så kan vi bl.a. bruge Parsevals identitet (gælder for uni.konv)

Bevis:

Vi ved, punktvis konvergens, og da den uniforme grænse må være den samme som den punktvise, skal vi blot

vise, at grænsen også er uniform.

Vi vil bruge Weierstrass’ M-test

- ⇒ vi skal altså finde en konvergent majorantrække (af tal)

Betragt de numeriske led, som vi ønsker at vurdere mindre end et tal

Dvs. leddene i Fourierrækken er i absolut værdi uafhængige af .

→ så hvis vi kan vise, at disse tal udgør en konvenrngent række, er vi glade.

Dvs. flg. række skal være konvergent:

(⇒ så er Fourierrækken uniformt konvergent @ W’s M-test)

Krølle ∷ Vi ved fra Bessel’s ulighed, at er konvergent, og summen

. → men det kan vi ikke bruge…

- Så vi ved, at kvadraterne er konvergente… men det er jo nemmere end for tallene selv (i første) fordi for

er .

MEN ∷ for vil

(funktionen er jo stykvis )

TRICK ∷ Brug Bessel’s ulighed på de afledte i stedet for funktionen selv.

- Ok fordi jo også er en stykvis kontinuert funktion (? konv?)

Brug nu flg. fjollede regneregel

Derfor er (idet vi stadig ser på )

Men da

konv og konv (jf. Bessel), er opadtil begrænset af et tal.

Dermed er konvergent og ligeså

er konvergent.

∎


60

Faktisk kan man lidt ca. bum-bum sige, at jo flere gange diff kont, des hurtigere går Fourierkoefficienterne til

nul! (fordi vi så kan lave Bessel’s med en højere potens af i nævneren og noget i tælleren, der går mod nul)

11 Fourierrækker & varmeledningsligningen

11.1 Funktioner def’et på intervaller

stykvis kontinuert

Definér Fourierrækken for (selvom ikke er -periodisk funktion!)

Denne række er også Fourierrække for den -periodiske funktion , som opfylder, at

Og vi ved ∷

- Hvis er stykvis differentiabel, så konvergerer rækken mod den funktion , der opnås ved at normalisere

. Konvergensen er uniform, hvis er kontinuert.

EKSEMPEL

- Funktionen for .

- Start med at udvide den til hele ↷ vi gentager bare stregerne

- → MEN ∷ Den springer måske i punktet . Men hvilken værdi skal ’s udvidelse have i

endepunkterne?

- → SVAR ∷ i springpunktet må den tage værdien mellem de to , dvs. .

- f:

- udvidet


61

-

11.2 Skørt

Der er masser af måder, at skrive en funktion som en sum af en trigonometrisk række.

Skørt ∷ vi kunne udvide vores funktion til et større interval → hvis vi kan finde en Fourierrække, der

konvergerer mod vores funktion på det brede interval, så vil den specielt konvergere på et lidt mindre interval.

→ frådern, så har vi ramt vores oprindelige (spørgsmålet er bare om det har været lettere!

Fourierrækken på reel form

Husk, koefficienterne er

Here’s why

Dermed er for , men også for

Og på tilsvarende vis kan man indse

BEMÆRKNINGER:

- Det er nemt at huske formlerne ∷ indgår i formlen for koefficienten til leddet med cosinus

- Pas på, det er og ikke der står foran her…

11.3 Lige / ulige funktioner

Antag, at er -periodisk, stykvis kontinuert og lige (dvs. ), da vil alle , hvorimod alle

overlever og bliver

, og rækken bliver


62

(fordi

, hvor )

Omvendt, hvis er periodisk, stykvis kontinuert og ulige ( ) så er , mens alle

overlever med

(fordi )

Löl

Betragt , stykvis kontinuert.

Vi udvider den i to trin ↷ først til en lige funktion , så til en -periodisk.

Se nu på , som er den -periodiske udvidelse af

Men siden er en lige funktion, er Fourierrækken en ren cosinusrække

→ hvordan bestemmes koefficienterne? jo det skrev vi før:

- AHA! Vi integrerer jo kun over , og her er

- Hvis nu er stykvis differentiabel, så konvergerer Fourierrækken punktvis imod normaliseret

RESULTATET VAR

Hvis er stykvis diff, normaliseret og kontinuert i endepunkterne, da er stykvis differentiabel

og normaliseret. Altså vil rækken konvergere punktvis mod på intervallet (og punktvis mod over det

hele). Hvis er stykvis og kontinuert, da er konvergensen uniform.

(se tegning i ”pensum” (har tegnet på en tom side))

Hvis er kontinuert i endepunkterne, så får automatisk normaliserede ”samlinger”, så Fourierrækken får

den konvergens, der direkte kan aflæses af .

Sinusrækker

Hvis er stykvis diff., og ,

Da vil rækken

konvergere punktvis mod . Hvis er kontinuert og stykvis er konvergensen uniform.

Bevis for påstand:

Lad


63

- åh-åh, 0 er med begge steder‼ nå ja, vi antog jo , dvs. samme værdi i ndepunkter

- Bemærk, at

f:

Men så er den ulige funktion: , som automatisk er normaliseret‼ Wow!

bliver en ulige -periodisk griner, og den oprindelige række giver

WOW!

om det bliver en sinus eller cosinus række afhænger af, om funktionen er kontinuert … (?)

11.3.1 Opsummering

Vi har en funktion defineret på intervallet → vi kan gøre 3 ting:

1. Vi kan skrive den som en række med begge typer led

2. Skrive som ren cosinusrække

3. Skrive som ren sinusrække

OBS! 1) giver os en π-periodisk række, mens 2) og 3) giver os en 2π-periodisk funktion.

12 Varmeledningsligningen

12.1 Introduktion: fysik

Varmeledning i 1 dimmension (Fourier kan sagtens håndtere højere dimmensioner)

Lang stand ( lang), fortæller hvor på stangen, vi er ( ).

Vi interesserer os for temperaturen, , til tiden i punktet ↷

- Fx er stangen varm på et par bestemte steder på stangen (fx dem, der har ligget i solen).

Tidsudviklingen af temperaturen er givet ved varmeledningsligningen,

som er en 2.-ordens lineær partiel diff.ligning. VLL kaldes også den parabolske ligning.

- Koefficienten kaldes en materialekonstant, men irrellevant for matematikeren.


64

Andre modeller beskrevet af samme ligning:

(1) Brownsk bevægelse ∷ std. eksempel på stokastisk proces. Inspireret af et blomsterkorn i noget væske,

som ikke ville ligge stille. Her repræsenterer sandsynlighedsfordelingen til tiden af, hvor

”blomsterkornet har bevæget sig hen”? Der er en sandsynlighedsfordeling for, hvor man kan finde kornet.

I starten er sandsynlighedsmassen koncentreret om, hvor kornet er, og jo længere tid, der går, jo længere

kan kornet have bevæget sig væk.

(2) Diffusionsprøven ∷ smider blæk ned i noget vækse og ser, hvordan det spreder sig ud i vandet.

(3) Black-Scholes ∷ prisfastsættelse af optioner. pris(option; tid , pris på den underlæggende

aktie).

Hvad betyder i de forskellige situationer?

(1) …

(2) Materialet… noget med, hvor hurtigt væskerne går i forbindelse med hinanden.

(3) handler om aktien → noget med aktiens volatilitet.

Karakterisering af problemet:

Matematisk ∷ begyndelses- og randværdiproblem.

Tænk på stang med længde . Lad os fastholde temperaturen i endepunkterne til 0 grader.

Vi søger altså , som opfylder

… vi kræver intet i endepunkterne.

hvor er en givet fordeling af temperaturen

endepunkterne fastholdes til temperatur 0.

Hvorfor navn?

Fordi angiver en begyndelsesværdi og angiver en randbetingelse.

- For blomsterkornet svarer faktisk til, at blomsterkornet ville klistre fast i endepunkterne (dvs. i

kanten)

- Interessant ∷ den, hvor kornet hænger fast skal løses ved sinusrække, den hvor den reflekteres ved en

cosinusrække!

13 Varmeledningsligningen

13.1 Recap – begynd / randværdiproblemet

Vi formulerede begyndelses-o g randværdiproblemet:

Givet , med

Søger så


65

Her er begyndelsesværdien og er randværdi.

⇒

IDE – separation af de variable

(hvis hedder det altså )

Dvs. -periodisk trigonometrisk række.

GÆT ∷ har samme form, men hvor

BEMÆRK ∷ RAND: opfyldt (rækken er konvergent med sum nul.

PROBLEM ∷ find

Begyndelsesbetingelsen ∷ ⇒ for alle

FØRST ∷ lad os regne uden at tænke os om og lave ledvis differentiation uden at tænke os om

Ledvis diff (tilladt?) giver:

Men dette er jo et grinern udtyrk for en Fourierrække. skal altså løse

Men dette er en ”almidnelig diff.ligning”, og den løses kun af flg. eksponentialfunktion

og dermed er

løsningen (hvis den uendelige sum da eksisterer!)

13.2 Sætning 6.1: Eksistens af løsning til begyndelses- og randværdiproblm

Hvis er kontinuert, stykvis , , da vil med


66

være uniformt konvergent på hele intervallet , og sumfunktionen løser .

(i øvrigt er løsningen entydig‼)

13.3 Bevis

13.3.1 Trin 1: er uniformt konvergent.

For at vise dette, giver det god mening at bruge W’s M-test.

- Men vi skal her bruge testet på en ”underlig” mængde, nemlig af formen og funktionen

skal være af 2 variable…

- Men læs beviset ∷ det bruger ingen struktur på mængden .

Numeriske led ∷ husk, at

og er bare et tal.

HUSK nu beviset for uniform konvergens af Fourierrækker.

og husk, at .

Og vi har netop vist da kontinuert og strykvis er konvergent.

Dvs. rækken er konvergent.

MEN

Vi har altså vurderet leddene ved noget, som giver en konvergent række, og derfor er uniformt

konvergent.

13.3.2 Trin 2: De ledvist diff’ede rækker (af ) er uniformt konvergente

Trin 2: De ledvist diff’ede rækker (af ) er uniformt konvergente på for alle

OBS! Dvs. ikke på … dvs. uniformiteten gælder ikke helt ned til nul.

- Men så snart vi går bare et lille stykke op fra nul får vi uniform konvergens af de ledvist diff’ede rækker.

- Men konvergensen bliver dårligere og dårligere som

- MEN der er stadig punktvis konvergens

Beviset – sketch

Vi har en sætning (12.7.3), der siger, at hvis den ledvist differentierede række er uniformt konvergent og

rækken selv er punktvis konvergent i bare et enkelt punkt, da er den oprindelige række konvergent mod en

funktion, hvis’ afledte er lig summen af de afledte.

Tænk på som en fkt. af (dvs. for et fast )

- ⇒ den konvergerer i hvert fald i et punkt.

- Lad os nu differentiere mht. den og tjekke om den afledte konvergerer uniformt.

Tænk nu […]

- diff mht. og tjek om rækken er uniformt konv.


67

- diff nu igen og vis, at den også konv’er.

Trin 2 giver, at

på for alle , og dermed på hele mængden

På samme måde:

Og

gælder på

Nå, vi skal altså vise, at 3 rækker er uniformt konvergente. Vi starter med den tidsafledte.

Bevis for trin 2

Lol,

Vi vil vise, at rækken er uniformt konvergent, lad os bruge W’s M-test. Vi ser på

Fordi er

(klart at

)

Men dette er

Hvorfor var det altså nødv. med ε? tja fordi for (se selv i noterne).

Derfor er vi nødt til at bruge et ε og kan ikke se på mængden fra 0.

Men griner, nu er jo

som er konvergent. Dermed giver W’s M-test det, vi skulle bruge.

x-delen


68

Men nu er jo

, dvs.

Og så kører W’s M-test, at vi er hjemme.

xx-delen

Han gider ikke diff’e igen… det giver jo det samme som at diff’e én gang mht. (på nær en konstant )

⇒ W’s M-test kører bussen for os igen.

13.3.3 Trin 3: afrunding

Vi tjekker at randværdi- og begyndelsesværdierne er opfyldt.

13.4 Betydning af randværdi / intitialværdi betingelserne

Vi har holdt temperaturen i enderne af stangen fast = 0.

Man kunne også antage, at ”varmen ikke kom ud af lokalet”

I stedet for en betingelse på u bliver det en betingelse på og

→ her bliver i stedet cosinus-rækken en løsning.

Den rene række med både sinus og cosinus led svarer til, at man laver en ring ud af stangen

→ så er betingelsen, at og .

14 Metriske rum

14.1 Indledning

Vi prøver at sætte konvergens ind i en bredere ramme og bevise nogle ting mere generelt

AFGØRENDE ∷ afstandsmål

Hvad skal der gælde ved en afstand?

- Det er et tal

- Afstanden til sig selv må være nul

Vi starter med en helt generel mængde

→ vi vil så lægge noget struktur på den ↷ metrisk rum

- Men fx behøver vi ikke kunne addere elementer i mængden

Typiske opgaver ∷ lette – vi har nemlig så lidt struktur, at der er grænser for, hvor svære opgaver, der kan

stilles.


69

14.2 Abstrakt griner

Definition 1.1 ∷ . En metric på er en afbildning af et par af punkter ind i , dvs. , så for

alle

hvor er trekantsuligheden – den vigtigste egenskab.

Parret kaldes et metrisk rum hvis opfylder og

14.2.1 Eksempel: Talrum

Talrummene ∷ her def’er vi afstanden

Et patologisk eksempel ∷ Diskret metrisk rum,

Påstand ∷ dette er en afstand

- Kommentar ∷ hvis den er det, så kan vi definere en metrik på en helt vilkårlig mængde!

Bevis ∷

oplagt opfyldt, den er netop defineret så det er opfyldt

klart, rækkefølgen er vilkårlig i gaffeldefinitionen

givet .

- Antag ∷ så er og da altid, er trekantsuligheden altid opfyldt.

- Antag ∷ da må enten eller (transitiviteten af lighedstegnet)

- Derfor og enten eller evt. begge

- Men så er oplagt

∎

OBS! Det diskrete rum er et godt eksempel til at tjekke om noget holder.

- Det er det mest banale / underlige metriske rum – og det kan ofte aflive en generalisering af noget, som så

åbenbart kun holder pga. egenskaber ved talrummene

14.3 Danne nye metriske rum

HUSK ∷ vektorrum og underrum

- Her var et underrum robust for operationerne.

Hvis er et metrisk rum ( opfylder de 3 betingelser og ) og hvis og , kan vi

definere ved for alle

→ Da vil være et metrisk rum


70

- det betyder, at ”underrum” af metriske rum også selv er metriske rum.

14.3.1 Eksempel: enhedskuglen (/sfæren)

Enhedssfæren i

- Nogle gange skriver man (fordi den er dimmensionel… tænk fx på kugleflade i 3d: den er

2d!)

Betragt 2 punkter på kuglefladen

- Fordi kan vi definere som afstanden mellem de to punkter i det dimmensionale

rum…

- MEN! Man kunne også måle afstanden som vinklen mellem de to punkter målt i radianer.

→ overflademetrikken

- Hvor den almindelige afstand er den korteste kurve mellem to punkter i talrummet, så er

overflademetrikken den korteste kurve, der stadig bliver i mængden

14.3.2 Definition 1.2: E, vektorrum over L

Talmængder er enten eller ↷ fællesbetegnelse: (kommer fra Legeme)

Lad En norm på er en afbildning

så for alle og

14.4 En norm på et vektorrum inducerer en metrik

Hvis er en norm på et vektorrum . Da er en metrik:

Bevis:

- er oplagt fra , følger af :

- følger af

HUSK ∷ definerer et indre produkt på et vektorrum, da er en norm.

- Følger af Cauchy-Schwartz ulighed:

SPG ∷ hvorfor giver denne ulighed alene at normen definerer en metrik??

Bevis for, at trekantsuligheden (N3) følger af Cauchy

∎

KONKLUSION ∷ Indre produkt → norm → metrik


71

- retningen ”→” er en retning af faldende struktur

- HUSK ∷ indre produkt vi kan tale om afstande og vinkler

- Norm ∷ afstande som er de translationsinvariante, dvs. afstanden mellem to punkter er uafh. af hvor i

rummet vi er ( )

- Metrik ∷ næsten ingen struktur

14.4.1 Normer i de reelle tal

Betragt vektorrummet .

Her har vi tre normer, som vi kan finde på at interessere os for (og som er nummererede)

Lad

Vi siger

- kommer fra prikproduktet

14.4.2 P-normen

For alle defineres

(man kan vise, at for )

14.4.3 Bevis for at 1-normen er en norm

(N1) er ”oplagt”

- Men hvorfor = 0 kun når alle koordinater er 0 (nulvektoren)

- Tja en sum af ikke-negative tal er ikke negativ og kun nul når alle tal er nul

(N2) er oplagt

(N3) er her nem (er den ellers sjældent)

- , men opfylder jo trekantsuligheden…

∎

Komplekse tal?

Det vi har snakket om går direkte over

MEN ∷ vi kompleks konjungerer det andet tal så (kompleks-konjungeret)

14.5 Vildere abstraktionsniveau

mængde


72

Se nu på dvs. mængden af funktioner fra ind i talrummet (hvor altså eller

)

er et vektorrum fordi og

- Det er et meget stort vektorrum!

BEMÆRK ∷ hvis , så er

(dvs. ”=” opfattet ”på den rigtige måde”)

- se nemlig

- da er med (”funktionen” der tilordner koordinater)

Bemærk ∷

14.6 Videre

Definér (wow, ∞ er med! ok fordi vi ikke definerer en egentlig norm) for generel

BEMÆRK ∷ hvis er endelig, så er det et maksimum og så er altså

- MEN hvis er uendelig, så kan supremum være ∞, det er derfor vi tillader det i output for

BEMÆRK ∷ hvis

Vi vil senere vise, at er et underrum og at er en norm på

- Pointe ∷ vi er nødt til at gå til lidt mindre rum for at kunne definere normer og få dem til at virke.

15 FL2

Vi så på vektorrummet

Vi definerede

- Her er ikke en norm fordi det kan have værdien …

Men i er det en norm!

Påstand ∷ er et underrum af

BEVIS ∷

- Lad ,

- Vi skal vise at gange og plus bliver inden for

(N3)

- Vi vil gøre det ved at se på

- Og her udnytte trekantsuligheden på . Og hvis indmaden i sup bliver større, så bliver sup mindst større

Men det der gør summen størst er ik nødvendigvis det , der gør dem hver for sig størst… det er

det måske men det er nok usandsynligt.

Som netop er trekantsuligheden! ∎


73

(N2)

- Lad os også vise det med skalar

Nu vil vi bruge, at dette også skal holde for , og hvis så så er meninsgløs så

vi kan ikke trække ud for. Men det ka vi i hvor f er < ∞

∎

(N1)

- er oplagt. for alle .

- ∎

∎

Specielt ahr vi vist, at er en norm på fordi når er en endelig mængde, så er

og (altså hvis )

15.1.1 Eksempel hvor M er en uendelig mængde

15.1.2 Eksempel ∷

BEMÆRK ∷ mængden af talfølger med elementer fra .

- For sådanne funktioner er en ægte delmængde fordi det er mængden af begrænsede

følger (og den er ægte fordi der findes ubegrænsede følger)

- Man skriver ind imellem

Andet eksempel på underrum

- Altså mængden af absolut konvergente følger

- Husk at vi ifm. Fourierrækker vist, at det var et skrappere kriterium at end at

- Dvs.

- Man kalder fx de kvadratisk summable følger

Og vi har, at

- definerer en norm på

- definerer en norm på

- …

- definerer en norm på (wtf? norm-k?)


74

BEMÆRK

- På havde vi 3 normer: , , .

15.1.3 Eksempel: M = [0;1]

Dette er en overtællelig mængde

Men alligevel kan vi stadig definere samt , og på får vi normen (altså et

underrum med en norm)

Hvad så med fordi kontinuerte funktioner antager maksimum og minimum på et

lukket begrænset interval. angiver et underrum.

→ kan vi angive en norm på ? Ja i hvert fald u-normen

Men derudover kan vi på definere yderligere to normer

- Snedig definition, vi vil senere bevise at det er en norm… det er en dårlig ide med en uendelig sum fordi

det bare auto bliver divergent…

Bevis for at 2-normen er en norm på C

Nemt at vise fordi

er et indre produkt og så er den en norm. ∎

Bevis for at 1-normen er en norm på C

(N1)

- Vi skal vise, at

, jamen det er jo et integral ef en ikke-negativ…

- Hvad med kun nul hvis funktionen? ja, det er en velkendt egenskab ved integralet

(N2)

-

(N3)

-

fordi integralet er voksende i

integranden når denne er positiv og trekantsuligheden gælder for numerisk værdi.

15.2 Nedarvede metrikker

Hvad med nedarvning når det ikke er underrum?

- Vi så fx på kuglefladen, som er en delmængden af , men det er ikke et underrum.

- I stedet så vi på den nedarvede metrik fra afstanden i , men den kommer jo så ikke fra noget indre

produkt

15.3 Generelle ting: Kugle i metrisk rum

Definer etrisk rum , . Kurglen med centrum og radius er mængden


75

15.3.1 Eksempel K(0,1)

Hvis vi er i

- Så er det den almindelige cirkelflade med centrum nul og radius 1.

Hvis

- Da skal både første og anden koordinaten ligge under 1 numerisk.

- Dvs. vi ser på kvadratet med sidelængde 2 og centrum i nul.

- Det er altså en ”kugle” i vores nye forstand.

Hvis

- Da skal summen af (numerisk) koordinaterne være mindre end eller lig 1.

- Det er jo så rette linjer.

- Dermed er det en rombe (rette linjer der forbinder punkterne (0,1), (1,0), (-1,0), (0,-1).

15.4 Kuglelemmaet

Vi ser på et punkt b i K(a,r) og vil se hvor lille en kugle vi kan lave om b som stadig vil holde hele kuglen inden i

K(a,r)

Vi vil vise nogle egenskaber ved kugler udelukkende ved at bruge egenskaberne for metrikker.

(i) . Hvis da vil

(ii) ⇒

(bemærk: i talrum er (ii) hvis og kun hvis)

BEVIS (som øvelse i metriske rum)

Bevis for (i)

Vi skal vise, at en mængde er inde i en anden. Det gør vi ved at vise, at alle elementer i den ene er

inde i den anden.

dvs. ∷ givet vil vise at

⇒

Hvis skal ligge i skal vi se på afstanden til .

Og det betyder netop, at ∎

Bevis for (ii)

Vælg

Vi skal vurdere og bruger trekantsuligheden

pr. definition på, at ligger i begge kugler

men det var jo det vi skulle vise. ∎

ADVARSEL

- I (ii) gælder der hvis og kun hvis når vi er i talrummene.

- Huskeregel: I generelle mængder må jeg jo se på . Da er afstanden mellem punkterne -1

og 2 på 3, og kuglerne med dem som centrum og radius

, dvs.

og

, de har

ingen fælles punkter fordi ikke er med i .


76

15.5 Def 18: Konvergens i metrisk rum

Følge elementer fra et metrisk rum . Vi siger at konvergerer mod (eller at følgen har

grænseværdien ), og vi skriver (eller går mod for gående mod ) hvis:

Eksempel: diskret metrisk rum

Her betyder konvergens at alle elementer i følgen fra et vist trin skal være lig med grænsen. Dvs. det er utrolig

simpelt at være konvergent i det diskrete metriske rum.

15.5.1 Reality check: kan en følge have mere en én grænse med denne definition?

Påstand: En følge i et metrisk rum har højest en grænseværdi:

Bevis: Antag, at og for . Vil vise at ved at bruge trekantsuligheden.

Men og og .

Men så må siden ikke ændrer sig må . Men så giver (M1) at . ∎

15.5.2 Sætning 1.11: Uniform konvergens

BEMÆRK ∷ du kan ikke definere en metrik så konvergens i denne metrik svarer til punktvis konvergens.

MEN ∷ uniform konvergens kan godt reproduceres ved en metrik.

Betragt det metriske rum .

Påstand: konvergerer mod i dette metriske rum hvis og kun hvis konvergerer uniformt mod på

mængden

Bevis: (skriv definitionerne op)

uniformt på betyder, at for .

Men konvergens i metrisk forstand betyder, at

for

- Det er altså den samme definition! ∎

BEMÆRK ∷ der findes ikke en metrik på så konvergens svarer til punktvis konvergens (svær

opgave)

MEN ∷ der findes en metrik på så konvergens svarer til punktvis konvergens! (lidt nemmere opgave)

POINTE ∷ illustrerer forskellen på en tællelig og en overtællelig mængde.

16 Topologi i metriske rum

ETYMOLOGI ∷ topologi: fx ballon, når den pustes op ændrer man ikke på hvad det vil sige at ligge tæt på

hinanden på ballonen… vi siger man ændrer ikke på topologien af ballonen.


77

16.1 Elementær mængdelære

Se på ( modermængden, definerer vores univers ⇒ vi kan tale om

Sammenhæng med fællesmængden og foreningsmængden

hvor er en abstrakt indeksmængde – kan have vilkårligt mange (/ få) elementer… det er smartere end

fordi det giver plads til overtælleligt mange elementer)

REGNEREGEL

BEVIS

Når man skal vise at to mængder er ens: vis at venstreside indeholdt i højre og højreside indeholdt i venstre

→ tag et , dvs. dvs. for alle .

- MEN så vil for alle , ⇒ og så vil

Den anden vej:

⇒ ⇒ ⇒

∎

REGNEREGEL

16.2 Löl

metrisk rum. Givet vil vi beskrive om punkter ”ligger tæt på ” uden at snakke afstand.

HUSK ∷ kugle i metrisk rum

16.2.1 Indre, ydre, …

ADVARSEL ∷ pas på graferne – i visse eksempler giver de denne helt forkerte intuition!

kaldes et indre punkt i , hvis

kaldes et ydre punkt for hvis er indre i :


78

kaldes et randpunkt for hvis er hverken indre eller ydre:

kaldes et kontaktpunkt for , hvis enten er et indre eller et randpunkt

kaldes isoleret hvis

(dvs. et enkelt punkt, der ligger alene, afskåret fra resten af mængden)

16.2.2 Notation og sammenhænge mellem begreberne

Det gælder at

og

- (dvs. hvert punkt ligger i et og kun et)

Og vi kan skrive

Bemærk slutlig (følger af den disjunkte forening)

og til alle raller sidst (følger af den disjunkte forening.


79

16.3 Eksempler

16.3.1 Finder mængderne

, den almindelige ( )

Lad og bestemme alle mængderne

kan ikke indeholde fordi der så kommer punkter i omegnen af 2 med. Ligeledes er 0 heller ikke med.

Dvs. .

- Lad . Vælg så , så er

- BEMÆRK‼ METODE ∷ vi finder det , der får det til at virke

2 er det eneste isolede punkt i fordi fx

(kan fås ud fra sammenhængene fra før)

16.3.2 Eks: betydning af M

Nu lader vi og og standard

OBS! Nu er 0 i det indre af fordi de negative tal ikke er med i universet

16.3.3 Eks med löl

og standard,

→ wow! fordi der altid vil ligge et irrationalt tal lige ved siden af.

har ingen isolerede punkter! der vil også være rationale tal uanset hvor tæt vi går på centrum

og

16.4 Def.: åben og afsluttet mængde

er et metrisk rum

kaldes åben, hvis

kaldes afsluttet eller lukket, hvis

16.5 Abstrakte (men grinern) sætninger

16.5.1 Sætning 2.5 A afsluttet hvis CA åben

Dvs. åben og afsluttet er duale begreber

BEVIS

afsluttet (pr. def) (def) er åben

∎


80

16.5.2 Sætn. 2.6: Egenskaber ved systemet af åbne mængder

Lol, i et metrisk rum er dette en sætning, men i et topologisk rum, er det en definition!

⇒

⇒

OBS! Man kan ikke tage fællesmængder af uendeligt mange mængder og så stadig få en åben mængde.

→ men man kan det med foreningsmængden!

BEVIS

er oplagt. Ø er ok, fordi åbenhed går på ”for alle punkter i mængden – ” stop! der er ingen… den er ok

For hele mængden: ingen kugler kan jo have flere elementer end hele mængden… win!

Givet . Da vil for alle . Derfor findes så . Men vælg så

. Da er

Givet da vil for et . Men så findes så (fordi var åben). Men

så må være åben

∎

Griner: hvorfor bryder sætningen sammen i for uendeligt mange? → modstrid @ grænsemængden kan være

og så kan ingen kugle dannes.

17 Topologi

17.1 Indledning

Lad være et metrisk rum.

kaldes åben hvis (dvs. findes et så

Struktursætninger ∷ vil blive vist i dag

Lukket eller afsluttet mængde:

17.2 Sætning 2.7

Systemet af afsluttede mængder i opfylder

⇒

⇒

(hvor notationen er en vilkårlig familie… dvs. specielt kan der være uendeligt mange)


81

Tilsvarende for åbne mængder, men da skal vi ombytte ↷ , dvs. man kan kun tage fællesmængder for endeligt

mange men foreningsmængder for vilkårlige familier.

BEVIS:

Bruger resultatet for åbne mængder (det som vi beviste sidste gang… dvs. vi prøver at omskrive til et

komplement til en åben mængde)

Vi ved og så komplementærmængden til en åben må være lukket og omvendt og er

lukket

Men vi viste sidst, at når F’erne er åbne bliver deres foreningsmængde det også

⇒ så er LHS det også

⇒ dvs. kmplementet til LHS er lukket SOM SKULLE VISES!

og er åben.

17.2.1 Eksempel på forskellen mellem (ii) og (iii)

Vi vil altså se, at vi i ikke kunne have set på vilkårlige famlier

Vi skal altså se på en familie af afsluttede mængder hvor foreningen ikke er det

er klart afsluttet, men hvad er foreningsmængden?

Bemærk først, at og bemærk at , men for noget

⇒ men det betyder, at og dermed er foreningen altså en åben mængde

(kuriositet: hvad er , som er afsluttet)

BEMÆRK! Det var omvendt for åbne mængder… her kunne man tage vilkårlige forenings men kun endelige

fællesmængder.

Eksempel for åbne mængder

Bemærk at åben og

Men bemærk at

så 0 er med… dvs. , som er lukket!

MEN! for endeligt mange går det ok.

17.3 Kuglerne er åbne

PÅSTAND: Kuglerne er åbne

BEVIS:


82

er åben. Det viser vi ved:

givet find så .

Det gælder, hvis vi vælger lille nok ↷ vælg

Det fungerer fordi fordi .

- Bemærk: man kunne have sat , så er kuglen inden i… vi gør os bare endnu mere sikre

ved at vælge ”<”

17.4 Sætn. 2.8: Karakterisation af det indre

Pointe: vi ønsker at udtrykke ”egenskaber” ud fra om mængder er åbne eller lukkede og ikke være nødt til at se på

metrikker.

Mål ∷ karakterisere det indre som den største åbne mængde, der er delmængde af den oprindelige mængde

(a) Hvis og er åben, da er (G er i det indre af A, hvis G er en åben delmængde af A)

(HUSK: den disjunkte forening og samt

er åben og den må jo så være den største åbne delmængde

(b) Hvis og er afsluttet, da er

er afsluttet ( er den mindste afsluttede mængde, der har delmængde)

BEVIS:

(a)

Mål ∷ vise at en mængde er indeholdt i det indre. Dvs. tag et punkt i G og vis at det også er i A

→ givet vil vise, at

Da er åben findes der et så .

MEN , så dvs. , men det betyder jo netop, at

Dermed er

Vi viser nu, at er åben

Givet , skal finde så

Vi ved, at der findes et så … på en eller anden måde skal vi have klemt kuglen ind i det

indre.

MEN ∷ er åben og vi ved, at enhver mængde i som er åben ligger i det indre.

Men så må

∎

(b)

(b) vises ved dualitet:

⇒

Udnyt nu, at afsluttet ⇒ åben ⇒ ⇒

17.4.1 Korollar 2.9

er åben, er afsluttet ( , og en fællesmængde af afsluttede er selv afsluttet)


83

17.5 Sætning 2.9 (karakteristik af lukket mængde ved følger)

BEVIS:

Vi skal vise at to mægnder er lig hinden ⇒ dvs. vi skal vise inklusionen hver vej

Pointen: vælge kugler med radius

” ”

Givet skal vi finde en følge fra så .

For alle vil

Men så kan vi altså vælge

→ det gør vi for alle

⇒ MEN SÅ HAR VI OS EN FØLGE!

Og hvad ved vi? → fordi .

Med andre ord vil for , som pr. definition betyder, at

”⊇”

Givet fra så . Vil vise, at .

Dvs. for alle skal vi vise, at

→ vi bruger som vores ε i definitionen af konvergens (lim)

⇒ dvs. vi kan vælge så .

Men da vil jo og dvs. som altså ikke er tom.

Löl

kaldes tæt hvis

(f.eks. , dvs. de rationelle tal ligger tæt i )

- hele vejen fra til og går vi med regneoperationer…

- men til er blot afslutningen af

- TÆNK ∷ man ved stort set alt om et metrisk rum, når man har en tæt delmængde

17.6 Kontinuitet (karakteristik via åbne mængder)

Vi har defineret konvergens af følger i metriske rum – nu vil vi have kontinuitet

ANTAG at vi har to metriske rum,

kaldes kontinuert i punktet , hvis

⇒

⇒ Vi vil nu karakterisere kontinuitet ved afsluttede mængder

17.6.1 Sætning 3.1 (følgekarakterisation af kontinuitet)

er kontinuert i hvis og kun hvis det for alle følger i , at

⇒

BEVIS:


84

Metode: skriv op hvad tingene betyder, så står det der…

”⇒”

Dvs. antag kontinuert i og at .

Vi vil nu vise, at .

Dvs. vi skal vise, at

dvs. givet vil vi finde et så ⇒

Brug nu kontinuiteten ∷ givet dette ε kan vi vælge et δ så ⇒

Men fordi kan vi vælge så vil med det vi fandt før.

Men dermed vil ⇒ ⇒

∎

”⇐”

Antag ⇒

MODSTRIDSBEVIS

→ antag ikke er kontinuert i ⇒ )

Vælg så

For vælger vi så og

- (for alle disse n’er tilordner vi et δ, nemlig 1/n)

Dvs. men , altså

MODSTRID!

∎

17.6.2 Sætn. 3.2: (topologisk karakterisation af kontinuitet – ved åbne mængder)

Betragt .

Vi ønsker at tale om urbilledet af ved funktionen er mængden

For kalder vi billedet ved for

siges at være kontinuert, hvis er kontinuert i alle punkter.

Sætning 3.2: er kontinuert i alle punkter er åben, hvis er åben

ADVARSEL ∷ kont betyder ikke at åbenhed bevares, men

BEVIS:

B MÆ K ∷ kontinuitet i udtrykt ved kugler :

”⇒”

Antag kontinuert og åben

Vil vise, at er åben.

Givet skal vi altså finde så

dvs. betyder, at (vil vise, at )

Der findes et så fordi er antaget åben.


85

Brug nu kontinuitet → så ⇒

Men det må betyde, at hvis vi vælger

”⇐”

Antag urbilledet er åbent ⇒ vis kontinuitet

Givet og , find så

Bemærk: er åben i (fordi alle kugler er åbne).

Men så er urbilledet åbent pr. antagelse: .

Vi har også, at , idet så

Men siden er åben, findes der et så

∎

BEMÆRK

Mængden består af alle ’er, som bliver afbilledet uden for , og er mængden af ’er, der

afbildes ind i . Men da må de jo være hinandens komplementer, da kriteriet ”afbilder ind i ” giver en

klassedeling af .

DERFOR:

Eksempel: hvorfor skal urbilledet og ikke billedet være åbent?

Betragt med standardmetrik på .

Her er åben, men ikke åben


86

Hvad så med

(sidstnævnte fordi komplementet er som er en lukket mængde)

(obs! denne funktion’s inverse funktion findes ikke)

Andet eks.

diskret metrisk rum (afstand til selv er nul, afstand 1 til alle andre punkter)

vilkårligt

Hvad er de åbne mængder i ?

Hvad er de lukkede mængder i ?

Hvad er de kontinuerte funktioner ?

Aha, husk at

- Dvs. alle mængde er åbne. Fordi

- Alle mængder er også lukkede (de kan hver især skrives som komplementer til åbne)

- Alle funktioner fra det diskrete metriske rum er kontinuerte, for alle urbilleder er åbne!

Modeks.: den inverse (når den findes)

Lad og

- Afgørende: vi tænker på som det metriske rum… ikke som et delrum (gør man nogle gange)

og

HUSK ∷

- husk nemlig, at slutter ved … dvs. kuglen har kun positive værdier i sig.

HUSK ∷

- Fordi ⇒

HUSK ∷

- Bevis: fordi og er afsluttet

HUSK ∷ vi har altid, at er både åbne og afsluttede… men nogle gange er det de eneste mængder, som er

åbne og afsluttede… vi kalder dem de sammenhængdende metriske rum, hvor det er afsluttet.

Her er mængderne

Se nu funktionen


87

Den inverse er givet ved

Men den er ikke kontinuert idet mens (som er )

17.6.3 Kontinuitet af sammensat funktion

og . kont i og kont i .

Da er kontinuert i

BEVIS

Brug følgekarakterisation. Antag .

er kont for

er ’s kont

Men det betyder netop, at

og så er

17.6.4 Kontinuerte funktioner, der er ens på tætte delmængder

Lad kontinuert, så (dvs. er tæt)

og hvis for alle ,

da er på hele .

Eksmpel på brug ∷ hvis to kontinuerte funktioner er ens på alle rationelle tal er de også ens på alle reelle tal ( er

tæt i ).

Teknikken kaldes at udvide ved kontinuitet

VIRKELIG anvendt…

BEVIS

Givet vælge følge i så (så ka følgerne jo ramme afslutningen)

Ved kontinuiteten ved vi, at og .

MEN for alle ⇒

entydighed af grænsepunkt giver nu, at

∎


88

Vigtig pointe!

Det kan være svært at vise, at en mængde er åben… prøv i stedet at vise, at mængden er urbillede til en åben

mængde ved en kontinuert funktion, for sådan en er altid åben.

Eksempel

og en afbildning kontinuert.

Så ved man at er åben, fordi urbilledet af er åbent

og at er åben, fordi mængden er urbillede til

Skarpe ulighedstegn: så bliver det afsluttet i stedet.

Vi ved altid at er lukket fordi er lukket.

17.7 Regneoperationerne

lol, man kan vise, at de almindelige regneoperationer er kontinuerte

BEVIS

(kan ikke nå det her)

∎

⇒

Vi kan bruge

resultatet fra før ved at dele på i to:

17.7.1 Eksempel

er vores metriske rum og lad

Definer nu

Dvs.

PÅSTAND ∷ er kontinuert (dvs. metrikken er kontinuert)

BEVIS ∷

Vi har flg. uligheder

Omskriv nu

og


89

Dvs.

Dvs.

dvs. afstanden mellem og i er mindre end eller lig (numerisk) end afstanden målt ved

Lad os bevise det formelt.

er kontinuert i .

Givet vælg .

⇒

∎

Bogen vser det i det specialtilfælde, hvor normeret vektorrum, her er afbildningen af over i

er kontinuert.

BEVIS

fordi

og det giver, at normen også er afstandsformindskende

er kontinuerte

BEVIS

Vi udnytter alt det seje skidt, vi har vist

Dette har vi altså udtrykt som sammensatte funktioner (og plus, ×½ samt er kontinuerte funktioner)

Betragt nemlig den sammensatte afbildning

17.8 Sætning 3.16

metrisk, følge , (hvor eller )

Hvis uniformt, dvs.

da er kontinuert (sætning 11.3.et-eller-andet)

- BEMÆRK! Hvis skal vælges før vi vælger , så er det sværest, og det giver uniform… det bliver

punktvis hvis man bytter om på de to.


90

BEVIS:

Givet

Givet . Vi ønsker at vælge sådan at ⇒

Start med at bruge den uniforme grænse til at vælge så for alle

Vælg så ⇒

Nu viser vi kontinuiteten.

Hvis da vil

Her er og blot eksempler på, hvad kunne være, og den midterste er under ε på grund af kovnergensen

18 Fuldstændighed

18.1 Intro: motivation

Hvorfor giver alt dette mening? → i praksis bruger man ofte iterative, approksimerende algoritmer ⇒ så har vi

brug for et konvergensbegreb.

→ desværre har vi brug for at kende grænsepunktet for at kunne undersøge om elementernes afstand til dette går

modm nul

⇒ vi ønsker betingelser, der sikrer konvergens alligevel.

18.1.1 Illustrativt eksempel

Problem:

Løsningen er , men hvad er dette?

Algoritme:

- lad os starte med

- så kan vi vælge

→ denne følge vil faktisk konvergere mod

MEN ∷ hvordan argumenterer man for konvergensen?

FORDI:

- Bemærk: fordi

- Bemærk desuden, at følgen er overalt aftagende

- Men en aftagende, nedadtil begrænset følge vil jf. supremumsegenskaben for , at

findes)

- (supremumsegenskaben: enhver nedadtil begrænset følge vil være konvergent)


91

METODEN

- Angiv løsningsstrategi

- Bevis, at der findes en løsning

- Brug dette til at finde resultatet fra løsningsstrategien.

Sværere

Varmeledningsligningen,

Vi kunne ikke eksplicit skrive løsningen, men skrev den som en sinusrække, , som vi kunne vise

var konvergent.

Løsningen var her grænsen af en følge i et funktionsrum med uniform norm (uniform knovergens)

Addendum ∷ supremumsegenskaben hører til konstruktionen af … man konstruerer nemlig ved at udvide

med dens rand.

I modsætning til er et fuldstændigt metrisk rum (sammen med en (hvilken?) norm)

I brugte vi ordningen ”<” da vi fandt løsningen til .

Vi kan ikke bruge ”<” som ordning af funktioner (vi har typisk ikke, at eller altid)

NORMALT ∷ ikke nogen ordning.

18.2 Definition 5.1: Cauchy-følge / fundamentalfølger

En måde at genkende, at en følge bør være konvergent (eksistens)

→ bemærk: formuleres i et vilkårligt metrisk rum.

En følge i et metrisk rum kaldes en Cauchy-føle, hvis

18.2.1 Påstand: enhver konvergent følge er en Cauchy-følge

Påstand: konvergent ⇒ Cauchy

Dvs. en nødvendig betingelse

(senere: spg = hvornår går pilen ”⇐”?

Intuition ∷ når følgeelementerne nærmer sig det samme punkt, må de også nærme sig hinanden

Bevis:

Antager

Givet skal vi finde et så sætningen gælder.

Men pr. antagelse findes så

Da gælder, at

⇒

∎


92

OBS! ”⇐” gælder ikke altid, dvs. der gælder ikke nødvendigvis Cauchy ⇒ konvergens… men det gælder nogle

gange

Smart brug

Hvis med standard metrik ,

da vil følgen fra før ( ) være en Cauchy følge.

- (bemærk: dens konvergenspunkt ligger uden for )

MEN ∷ og følgen med grænse er en konvergent følge og er dermed en Cauchy-

følge.

⇒ så må også være Cauchy betragtet i (‼)

- METODE ∷ udnytter, at er delmængde af et større rum

- → er en følge i men ikke konvergent i dette… men i det større rum er den konvergent og dermed

også Cauchy. Men Cauchy er en egenskab ved en vilkårlig følge.

- Husk nemlig, at der gives divergente Cauchy-følger

18.3 Def. 5.2: Fuldstændigt metrisk rum

Det metriske rum kaldes fuldstændigt, hvis enhver Cauchy-følge er konvergent.

Vi viste altså før, at ikke er fuldstændigt.

18.3.1 Påstand: Enhver Cuachy følge er begrænset (dvs. indeholdt i en kugle)

Påstanden siger løst sagt (for ), at supremumsegenskaben giver, at de reelle tal er fuldstændige.

Bevis:

Lad være Cauchy.

Vælg så ⇒ (bemærk, vælges vilkårligt (>0))

Først skal vi lige bekymre os om for , men det er nemt da der kun er endeligt mange

→ vælg

Da gælder for alle , at

- de første opfylder det (mindst 2 mindre end), og alle efterfølgende har afstand mindre end 1)

så ligger i .

∎

18.3.2 Sætn. 6.4 (b): Hvis en Cauchy følge har en konvergent delfølge, da er den selv konvergent

Bevis: torsdag

18.4 Cauchy er konvergent i de reelle tal: Egenskaber for (alle) følger i de reelle tal

På gælder


93

(a) Alle begrænsede, monotone følger er konvergente (følger af supremumsegenskaben)

(b) Alle følger har en monoton delfølge

Enhver Cauchy-følge er konvergent i .

- Enhver Cauchy-følge er begrænset.

- Enhver følge har en monoton delfølge på .

- Enhver begrænset monoton følge er konvergent.

- Så har enhver Cauchy-følge en monoton delfølge (i ).

- Så er enhver Cauchy-følge konvergent (i ).

Interessant opgave fra pensum: opg. 5.2

Først: beæmrk, at er fuldstændig med alm.

Heraf følger, at , , er også fuldstændige (følge af argument ala konvergens i iff koordinatvis

konvergens)

18.4.1 Opg. 5.2:

Givet metrisk rum findes et rum ⊇ med en metrik så (læs: set på er identisk

med ). Så er fuldstændig.

Anvendelse ∷ antag vi er i og ser på . Så danner vi som (og , evt.

udvidet på passende vis).

→ det er faktisk sådan man konstruerer !

18.5 Fuldstændighed og afsluttethed

18.5.1 Sætn. 5.3:

Lad være et fuldstændigt metrisks rum og en delmængde .

er fuldstændigt hvis og kun hvis er afsluttet. Dvs.

Bevis

”⇒”

Vi skal vise, at .

Vil bruge karakterisationen, at

Givet så vil vi vise, at .

⇒ er Cauchy i .

→ Dermed er Cauchy i , da dette er en egenskab ved følgen og ikke grænsen

Men pr. antagelse er fuldstændigt, og så er pr. definition af fuldstændighed konvergent i , dvs.

, som skulle vises.

”⇐”

Antager afsluttethed, skal vise fuldstændighed.

Givet Cauchy følge i da er den Cauchy i (egenskab ved følgen),


94

Derfor , da (modermængden) er fuldstændig pr. antagelse.

Men derfor , da er antaget at være afsluttet.

∎

Hvorfor duer det ikke med ? → fordi den ikke er afsluttet.

19 Opsamling fra sidst

19.1 Advarende eksempel

Hvis når har vi ikke nødvendigvis en Cauchy-følge;

Cauchy kræver:

→ dvs. specielt skal det gælde for

EKSEMPEL ∷ Harmoniske række

- , giver den harmoniske række

- Her er

- Så selvom er fuldstændigt er den harmoniske række ikke konvergent.

19.2 Sætn. 5.7: Funktionsrum med sup-normen er fuldstændige

(bemærk: vi kan se som et vektorrum)

(a)

generel mængde,

med er et fuldsændigt metrisk rum

(bogen: et Banach-rum = normerede vektorrum, der er fuldstændige)

HUSK ∷ fuldsændighed: følger, der ser ud til at være konvergente, er det også.

→ specielt: Cauchy er konvergente i Banach

(b)

metrisk, da er , dvs. de kontinuerte, begrænsede funktioner, et

fuldstændigt metrisk rum.

- dvs. har vi et metrisk rum → kan tage de kontinuerte begrænsede funktioner på det ⇒ fuldstændigt.

BEVIS:

(a)

Givet i og antag Cauchy. Vil vise, at der findes et så i .

Betragt ↷ vi skal finde

→ men hvis uniformt, så også punktvis

For at vise, at følgen er Cauchy vil vi udnytte, at er det. Siden nemlig

vil , og sidstnævnte er Cauchy

Givet det derfor ⇒ giver ⇒


95

Da er fuldstændig findes . Definér . Def giver . For alle

har vi et så vil .

Lad nu i denne ulighed, da vil og for alle og for alle .

Vi ved nu 2 ting:

Derfor vil altså vil

Desuden er . Da dte gælder at vi kan finde for alle må i

∎

(b)

er et underrum.

er fuldstændig, hvis

METODE ∷ vi finder altid afslutningerne ved at bruge følgebeskrivelsen.

Vi vil vise, at hvis er en følge i , så i ,

da er

- (det er fordi kontinuitet bevares ved grænseovergangen) ∎

19.3 Definitioner

19.3.1 Definition 6.1: Fortætningspunkt

Lad være et metrisk rum og en følge i .

Et punkt kaldes et fortætningspunkt for , hvis mængden

er uendelig for alle .

- dvs. der kommer ∞ mange elementerrundt om , dvs. de fortætter sig om .

Eksempler:

følgen 1,1,1,… har som fortætningspunkt

- POINTE ∷ denne følge har kun et følgeelement nær fortætningspunktet

- Det er altså ikke antal elementer, men antal indices!

Følgen 1,-1,1,-1,1,-1,… da er både 1 og -1 fortætningspunkter.

19.3.2 Definition 6.2: delfølge

følge kaldes en delfølge hvis

hvor følgen er en strengt voksende følge og .

19.4 Lemma 6.4: Fortætningspunkt iff konvergent delfølge

er fortætningspunkt for en følge har en delfølge, der konvergerer mod .


96

BEVIS:

”⇐”

Antag delfølge . Givet vil vise er uendelig.

Der findes så ⇒ .

⊇ som er uendelig.

”⇒”

Antager er fortætningspunkt. Vil finde så

når .

Vælg (siden er fortætningspunkt er der ∞ mange at vælge imellem.

Vælg . Hvorfor kan vi det? Fordi der er uendelig mange elementer i ,

så specielt er der uendelig mange, hvor indekset er større end det forrige (OBS! det er ikke der skal være

større end , men )

∎

19.5 Lemma 6.4:

(a) konvergent mod ⇒ alle delfølger er konvergente mod .

(b) En Cauchy-følge, der har en konvergent delfølge, er selv konvergent med samme grænse.

BEVIS:

(a)

Givet en delfølge . Vil vise, at givet findes så ⇒

.

Vi har allerede så ⇒ fordi følgen selv er konvergent.

Men sæt så , thi for er .

- her kræves jf. bogen induktion.

- er klart.

- Hvis da vil derfor .

(b)

Lad være en konvergent delfølge af Cauchy-følgen , og antag

. Vi vil nu vise, at .

Givet skal vi altså finde så ⇒ .

Vi ved 2 ting: delfølge konv. og er Cauchy.

For dette kan vi vælge så ⇒

(@ konvergens).

Vælg så ⇒

(@ Cauchy).

Lad , hvad sker der, hvis ?

⇒

⇒

⇒

19.6 Sætn. 6.5: Begrænsede følger har konvergente delfølger (Bolzano-Weierstrass)

Alle begrænsede, monotone følger er konvergente

Alle begrænsede følger har monotone delfølger


97

⇒ alle begrænsede følger har konvergente delfølger.

Beviset bruger en lolkat og er meget smukt.

- Beviset i Kalkulus er bøvlet og uelegant.

Sætning: En begrænset, reel talfølge har et fortætningspunkt.

BEVIS:

er en begrænset følge, dvs. for alle .

Bemærk, at så har åbenbart (mindst) et fortætningspunkt.

Betragt mængden .

Lol, han tegner mængden.

Observationer:

Hvis er ”stor”, er (vælg fx den øvre begrænsning for ⊇ )

- Hvis den øvre grænse for er fortætningspunkt, så får vi pludselig uendelig mange elementer med

Hvis er ”lille”, er (vælg fx den nedre begrænsning for ⊇ , så indeholdes alle

følgeelementer i )

Dvs.

Antag, at har supremums (infinimums) egenskaben ⇒ Dermed må der findes et

Vi har også, at

- fordi hvis er for stor giver det ikke problemer… så bliver nemlig meget lille, men det er jo

ok, for den skal bare være endelig for at være med i .

Konklusion

er fortætningspunkt.

Fordi for alle vil indeholdeelementer for uendelig mange .

Sagt med andre ord er uendelig.

19.7 De reelle tal er en fuldstændig mængde

- Cauchy følge er begrenset

- En begrænset talfølge har mindst et fortætningspunkt (Bolzano-Weierstrass)

- (OBS! bygger, at har supremumsegenskaben (faktisk infinimumsegenskaben))

- En Cauchy følge, der har en konvergent delfølge, er selv konvergent

19.8 Sætning 6.6: i talrum er kompakt iff afsluttet og begrænset

Lad . Følgende 2 sætninger er ækvivalente (iff)

(a) Enhver punktfølge i har et fortætningspunkt i (kompakthed)

(b) er afsluttet og begrænset

(obs: (a) ⇒ (b) kræver ikke tal-rum, den gælder i generelle metriske rum)

BEVIS:

(a)⇒(b)


98

Antag, at er afsluttet og begrænset.

Givet en følge,

i . Vil vise, at den har en konvergent delfølge.

Første koordinatfølge: , som er en følge i

Da er begrænset er begrænset.

Så giver Bolzano-Weierstrass, at der findes en konvergent delfølge,

.

Dvs.

når

→ bemærk: dette foregår i

Vi kan nu vælge styk delfølger af typen

MEN ∷ det kan være, at vores delfølger ”ikke passer sammen”

→ hvis fx vi til 1.koordinatfølgen vælger de ulige elementer og til 2.koordinaten vælger de lige.

og vi skal jo vælge en delfølge, som har det samme indeks før den duer på .

METODE: successiv udvælgelse

Betragt delfølgen

af

. Denne følge ved vi ikke om er begrænset.

MEN ∷

må være begrænset (af samme argument som at er det)

⇒ derfor har

en konvergent delfølge, kald den

, så

Bemærk, at for førstekoordinaten er

er en delfølge af

, som pr. konstruktion var konvergent

⇒ derfor er

konvergent (hvis en følge konv’er så konv’er alle delfølger af den)

Så

Nu har vi en følge med to koordinater,

som er konvergent mod .

Vi kan fortsætte og vælge

som er konvergent, og siden

og

stadig er konvergente, vil

Sådan fortsætter man.

MANGLER ∷ vil ?

Ja, thi grænsepunktet for ligger i og siden vi antog, at er afsluttet, er så grænsepunktet må ligge i

.

(a)⇒(b) (gælder i generelle metriske rum)

Antag, at enhver punktfølge i har et fortætningspunkt i

Modstridsbevis ∷ antag modstriden til (b), dvs.

→ antag: ikke er afsluttet eller ikke er begrænset

Antag ikke er afsluttet

⇒ så findes .

Men for alle findes en følge i så

Men konvergente følger har kun et fortætningspunkt

⇒ dvs. er det eneste fortætninsgpunkt for


99

⇒ men så må fordi vi antog, at enhver følge havde et fortætningspunkt i .

MODSTRID

Antag ikke er begrænset

Da er begrænset er specielt

Vælg

Da ej begrænset kan vi vælge ,

(idet sammensætningen af to endelige mængder (kugler) er endelig)

… vælg .

Denne følge fra opfylder, at for alle

MEN en sådan følge kan ikke være en Cauchy-følge.

Altså kan ikke have en delfølge, der er Cauchy og specielt ikke have en delfølge, der er konvergent.

Dermed kan den ikke have noget fortætningspunkt.

HVORFOR IKKE?

19.9 Def. 6.7: Kompakt mængde

Lad være et metrisk rum.

kaldes kompakt, hvis alle følger i har et fortætningspunkt i .

Faktisk er kompakthed en topologisk egenskab, men det er svært at vise.

Sætning 6.6 siger, at de kompakte mængder i er de afsluttede og begrænsede mængder.

(gælder ikke i ethvert metrisk rum)

19.9.1 Advarsel: I det diskrete rum er afsluttede og begrænsede mængder ikke nødvendigvis kompakte

Kompakte mængder er afsluttede og begrænsede

Eksempel: Lad være en mængde med uendelig mange elementer og diskret metrik.

- Alle delmængder af er begrænsede (største afstand er så specielt er alle afstande ≤ 1).

- Alle delmængder er afsluttede (fordi alle kugler med radius ½ indeholder kun centrum (så randen må

være i delmængden))

- Konvergente følger: skal blive det samme element fra et vist trin

- De kompakte mængder:

- er endelige: ellers kunne vi vælge alle følgeelementer forskellige og så ville de aldrig blive den

samme fra et trin

- ⇒ dvs. den følge ville aldrig have noget fortætningspunkt. ∎

19.10 Sætn. 6.9 (ej eksamensrelevant)

og metriske rum. , er kontinuert. Da er kompakt.

Lol, husk: kont er åben for åben


100

MEN ∷ nu ser vi på en mængde i billederne…

BEVIS:

følge i og kompakt. Vi skal vise, at den har en konvergent delfølge, som har grænsepunkt i

⇒

→ dvs. vi kan danne som rammer

Vi har antaget, at er kompakt.

B ⇒ så har en konvergent delfølge og pga. afsluttet.Men

er en

delfølge af , nemlig

Men da er kontinuert er .

Ergo har vi vist, at . Da er desuden .

∎

19.11 Sætn. 6.10 (Weierstrass)

metrisk rum, kompakt, kontinuert.

Da er begrænset og antager max og min (sætnin fra mat A)

BEVIS:

følger direkte af 6.9

19.12 Sætning 6.11 (ej eksamensrelevant)

Sætning er et kompakt metrisk rum (dvs. metrisk rum, der i sig selv er kompakt, dvs. alle følger har

konvergente delfølger)

Da er et fuldstændigt metrisk rum med metrikken fra

BEVIS:

er et fuldstændigt metrisk rum.

Men når er kompakt (jf. sætning 6.10 (generaliseret så også er mulig))

∎

Documents

Analyse 1 Noter