ANALIZA TOKA RACIONALNE FUNKCIJE I CRTANJE GRAFIKA

Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije :

1) 2

3

)1(2

x

xy , 2)

2

3

)2(

2

x

xy , 3)

4

22

3

x

xy , 4)

122

3

x

xy , 5)

2

3

2

)1(

x

xy

,

6) 2

3

)2(3

)2(

x

xy , 7)

2

31

x

xy

, 8)

32

3

x

xy , 9)

2

96 2

x

xxy , 10)

4

3 2

x

xxy ,

11) 4

32

x

xxy , 12)

1

442

x

xxy , 13)

3

1032

x

xxy , 14)

3

542

x

xxy ,

15) 2

652

x

xxy , 16)

2

22

x

xxy , 17)

2

32 2

x

xxy , 18)

1

65 2

x

xxy ,

19) 2

22

x

xxy , 20)

1

12

x

xxy , 21)

2

2

1

4

x

xy

, 22)

12

862

2

xx

xxy ,

23) 2

2

2

32

xx

xxy

, 24)

2

2

)4(

3

x

xxy , 25)

2

2

)1(

12

x

xy , 26)

2

2

)1(

3

x

xxy ,

27) 1

12

2

x

xy , 28)

2

2

)2(

2

x

xy , 29)

1

122

2

x

xxy , 30)

2

2

)1(

x

xy , 31)

xx

xy

35

12

2

,

32) 32

2

x

xy , 33)

2

2

)2(

2

x

xy , 34)

3

2

)1(

)1(

x

xy , 35)

3

2

)1(

)1(

x

xy

36) 32

22

xx

xy

37) 3

32

xx

xy , 38)

29

5

x

xy

, 39)

3

2 13

x

xy

, 40)

2

3

)1(

)1(

x

xy , 41)

3

2

)1(

)1(

x

xy ,

42) 3

2

)1(

)1(

x

xy

REŠENI ZADACI

1. 3

542

x

xxy . 1) Oblast definisanosti: Kako deljenje nulom nije definisano, racioanlna

funkcija nije definisana za one vrednosti za koje je izraz u imeniocu (ispod razlomačke crte) jednak

nuli. x – 3 = 0 za x = 3. Dakle ),3()3,(3 xRxDf .

2) Nule funkcije i presek sa y osom. Vrednosti argumenta x za koje je funkcija jednaka nuli,

nazivaju se nule funkcije (presek sa x osom). Racionalna funkcija je jednaka nuli za one vrednosti

za koje je izraz u brojiocu (iznad razlomačke crte) jednak nuli. 0540 2 xxy . Izraz u

brojiocu je kvadratna funkcija. Nule kvadratne funkcije se dobijaju rešavanjem kvadratne jednačine.

Opšti oblik kvadratne jednačine je 02 cbxax . Rešenja se dobijaju po sledećem obrascu

a

acbbx

2

42

2,1

. Ako je diskriminanta acbD 42 0, jednačina ima dva rešenja, ako je

D = 0, jednačina ima jedno rešenje, a ako je D 0, jednačina nema rešenja.

U ovom primeru je D = 16 + 20 = 36, pa jednačina ima dva rešenja 2

3642,1

x .

,12

641

x a 5

2

642

x . To znači da ova funkcija ima dve nule, odnosno dva preseka

sa x osom N1(1, 0) i N2(5, 0).

Presek sa y osom se dobija kad se za vrednost argumenta x uzme nula i izračuna vrednost funkcije.

3

5

3

50

yx . Presek sa y osom je tačka M(0, 5/3).

3) Znak funkcije. Znak kvadratne funkcije cbxaxy 2 zavisi od znaka konstante a.

Ako je a 0 i D 0, y 0 za ),(),( 21 xxx , a y 0 za ),( 21 xxx .

+ + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + +

x1 x2

Ako je a 0 i D = 0, jednačina ima samo jedno rešenje i kvadratna funkcija je pozitivna za svako x

iz oblasti definisanosti, osim za rešenje x1 = x2.

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

x1 = x2

Ako je a 0 i D 0, jednačina nema rešenje, pa kvadratna funkcija cbxaxy 2 nema presek

sa x osom i y 0 za svako x iz oblasti definisanosti.

Ako je a 0 i D 0, y 0 za ),( 21 xxx , a y 0 za ),(),( 21 xxx .

- - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - -

x1 x2

Ako je a 0 i D = 0, jednačina ima samo jedno rešenje i kvadratna funkcija ima negativan znak za

svako x iz oblasti definisanosti, osim za rešenje x1 = x2.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

x1 = x2

Ako je a 0 i D 0, jednačina nema rešnje, pa kvadratna funkcija cbxaxy 2 nema presek

sa x osom i y 0 za svako x iz oblasti definisanosti.

U našem primeru znak određujemo na sledeći način:

+ + + + + + + _ _ _ _ _ _ _ _ + + + + + + + +

x2 + 4x – 5

-5 1

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ + + + + +

x – 3

3

3

542

x

xx - - - - - - - + + + + + + - - - + + + + +

-5 1 3

Dakle y 0 za ),3()1,5( x , a y 0 za )3,1()5,( x .

4) Asimptote.

Ako funkcija nije definisana u tački a, funkcija ima u toj tački vertikalnu asimptotu ukoliko važi

)(lim xf

ax

i/ili

)(lim xf

ax

.

U našem slučaju funkcija nije definisana u a = 3. Ispitaćemo kakve vrednosti funkcija dobija u

okolini te tačke.

.h

hh

h

hhh

h

hh

h,h

hx

x

xx

limlim

limlim

hh

hx

0

161610541269

33

5343

00

3

3

54

2

0

2

0

2

0

2

3

Za određivanje granične vrednosti upotrebili smo smenu x = 3 + h, gde je h mala pozitivna veličina

koja teži nuli. Na osnovu dobijene granične vrednosti, zaključujemo da kad x teži ka 3 sa desne

strane funkcija teži +.

.0

161610

541269

33

5)3(4)3(

0,0

3

3

54

2

0

2

0

2

0

2

3

lim

limlimlim

h

hh

h

hhh

h

hh

hh

hx

x

xx

h

hhx

Sada smo upotrebili smenu x = 3 – h, gde je h mala pozitivna veličina koja teži nuli. Na osnovu

dobijene granične vrednosti, zaključujemo da kad x teži ka 3 sa leve strane funkcija teži -. Dakle

prava x = 3 je vertikalna asimptota funkcije i sa leve i sa desne strane grafika.

Ukoliko važi bxfx

)(lim i/ili bxfx

)(lim , onda je prava y = b, horizontalna asimptota.

Granična vrednost racionalne funkcije kad x , određuje se na sledeči način:

Opšti oblik racionalne funkcije je mm

mm

nnnn

bxbxbxb

axaxaxa

11

10

11

10

.

U našem primeru je n =2, m = 1, pa je

3

542

x

xxlimx

Što znači da vertikalna asimptota ne postoji. Vertikalna i kosa asimptota se uzajamno isključuju,

ako postoji jedna ne postoji druga. U ovom primeru ne postoji horizontalna asimptota, pa ćemo

ispitati da li postoji kosa asimptota.

Opšti obrazac za kosu asimptotu je y = ax +b, gde je x

)x(fa lim

x

, a )ax)x(f(b limx

.

U našem primeru je

13

54

3

543

54

2

22

2

xx

xx

xx

xx

x

x

xx

a limlimlimxxx

0 0 0 0

0 0 0

73

57

3

354

3

54 222

x

x

x

xxxxx

x

xxb limlimlim

xxx

pa je kosa asimptota y = x + 7. Da bi nacrtali kosu asimptotu, dovoljne su nam bilo koje dve njene

tačke. y(0) = 7, y(7) = 0. Kosa asimptota prolazi kroz tačke K1(0, 7) i K2(-7, 0).

5) Monotonost funkcije i ekstremne vrednosti.

Da bi odredili ekstremne vrednosti i intervale monotonosti, potrebno je da nađemo prvi izvod

funkcije i nule prvog izvoda.

Za nalaženje izvoda racionalne funkcije upotrebićemo formulu za izvod količnika.

2v

vuvu

v

u

. U našem slučaju je 542 xxu , 1 ,42 ,3 vxuxv .

2

2

2

22

2

2

2

222

)3(

76

)3(

5412462

)3(

1)54()3)(42(

)3(

)3)(54()3()54(

3

54

x

xx

x

xxxxx

x

xxxx

x

xxxxxx

x

xxy

221

2,12

)3(

)1)(7(1

2

2 ,7

2

14

2

86

2

646

2

283660760

x

xxyxx

xxxy

Dakle, nule prvog izvoda su x1 = 7 i x2 = 1. Sada treba odrediti znak prvog izvoda. Kako je u

imeniocu funkcije y, izraz (x – 3)2 koji je pozitivan za svaki realan broj (zbog toga što je izraz na

kvadrat), znak funkcije y zavisi samo od znaka kvadratne funkcije u brojiocu

)1)(7(762 xxxx .

y 0 za x(-, -1)(7, -), pa je funkcija monotono rastuća na tim intervalima;

y 0 za x(1, 7), pa je funkcija monotono opdajuća na tom intervalu. U tački x = 1, funkcija

menja svoju monotonost, iz monotono rastuće prelazi u monotono opadajuću, pa u toj tački funkcija

ima lokalni maksimum. U tački x = 7 iz monotono opadajuće, funkcija prelazi u monotono rastuću,

pa u toj tački ima lokalni minimum. y koordinatu maksimuma dobijamo kad za vrednost argumenta

u funkciji zamenimo x = 1.

1 7

+ + + + + + - - - - - - - - - + + + + + + +

24

8

31

5)1(4)1()1(

2

max

yy , Pmax(1, 2) - koordinate maksimuma

,184

72

37

5747)7(

2

min

yy Pmin(7, 18) – koordinate minimuma

7) konveksnost, konkavnost i prevojne tačke 33

32

xy ; drugi izvod funkcije nema nule, pa

funkcija nema prevojne tačke; funkcija je konkavna za 3 ,x , konveksna za ,x 3

(x – 3)3

+ + + + + +

3

2. 2

2

)3(

2

x

xxy , Rešenje: 1) oblast definisanosti ),3()3,( ;

2) nule funkcije N1(2,0), N2(1,0); presek grafika funkcije sa y-osom M(0,2/9);

3) znak funkcije 0),1,2( za a ,0 ,),1()2,( za yxyx ;

4) asimptote: vertikalna asimptota x = 3; horizomtalna asimptota y = 1;

5) monotonost i ekstremne vrednosti3)3(

75

x

xy ; ),5/7()3,( za x funkcija je

monotono rastuća, )5/7,3( za a x , funkcija je monotono opadajuća; funkcija ima minimum u

tački Pmin(-7/5,-9/16);

6) konveksnost i prevojne tačke 4)3(

)35(2

x

xy , funkcija je konveksna za )5/3,( x ,

konkavna za ),5/3( x i ima prevojnu tačku P(-3/5,-17/8).

3. 3

1682

x

xxy , Rešenje: 1) oblast definisanosti ),3()3,( ;

2) nule funkcije N(4,0); presek grafika funkcije sa y-osom M(0,16/3);

3) znak funkcije 0),,3( za a ,0 ,)3,( za yxyx ;

4) asimptote: vertikalna asimptota x = 3; kosa asimptota y = x – 5;

5) monotonost i ekstremne vrednosti2

2

)3(

86

x

xxy ; ),4()2,( za x funkcija je

monotono rastuća, )4,2( za a x funkcija je monotono opadajuća; funkcija ima minimum u tački

Pmin(4, 0) i maksimum u tački Pmax(2, 4);

6) konveksnost i prevojne tačke 3)3(

2

xy , funkcija je konkavna za )3,( x , konveksna za

),3( x i nema prevojnu tačku.

4. 4

22

3

x

xy , Rešenje:

1) oblast definisanosti ),2()2,2()2,( ;

)(4

2

4)(

)(2)(

2

3

2

3

xfx

x

x

xxf

, funkcija je

neparna što znači da je grafik simetričan u odnosu na

koordinatni početak;

2) nula funkcije i presek grafika funkcije sa y-osom je ista

tačka N(0,0);

3) znak funkcije

0202 za a ,0202 za y),,(),(xy),(),(x 4) asimptote: funkcija ima dve

vertikalne asimptote

x = 2 i x = 2 i kosu asimptotu y = 2x;

5) monotonost i ekstremne vrednosti22

22

)4(

)12(2

x

xxy ; ),32()32,( za x funkcija je

monotono rastuća, )32,32( za a x funkcija je monotono opadajuća; funkcija ima minimum u

tački 36 32 ,Pmin i maksimum u tački )36,32(max P ;

6) konveksnost i prevojne tačke 32

2

)4(

)12(16

x

xxy , funkcija je konkavna za )2,0()2,( x ,

konveksna za ),2()0,2( x i ima prevojnu tačku P(0,0);

5. 1

12

x

xxy , Rešenje: 1) oblast definisanosti ),1()1,( ;

2) kvadratna jednačina 12 xx nema realna rešenja, pa funkcija nema nule; presek grafika funkcije

sa y-osom M(0,1);

3) znak funkcije 0),,1( za a ,0 ,)1,( za yxyx ;

4) asimptote: vertikalna asimptota x = 1; kosa asimptota y = x ;

5) monotonost i ekstremne vrednosti2

2

)1(

2

x

xxy ; ),2()0,( za x funkcija je monotono

rastuća, )2,0( za a x funkcija je monotono opadajuća; funkcija ima minimum u tački Pmin(2, 3) i

maksimum u tački Pmax(0, 1);

6) konveksnost i prevojne tačke 3)1(

2

xy , funkcija je konkavna za )1,( x , konveksna za

),1( x i nema prevojnu tačku.

6. 3

32

xx

xy , Rešenje: 1) kvadratna jednačina 032 xx nema realna rešenja, pa je oblast

definisanosti ),( ;

2) nula funkcije N(3,0); presek grafika funkcije sa y-osom M(0,1);

3) znak funkcije 0),,3( za a ,0 ,)3,( za yxyx ;

4) asimptote: funkcija nema vertikalne asimptote jer je definisana na celom skupu realnih brojeva;

horizontalna asimptota y = 0 ;

5) monotonost i ekstremne vrednosti22 )3(

)6(

xx

xxy ; ),0()6,( za x funkcija je

monotono rastuća, )0,6( za a x funkcija je monotono opadajuća; funkcija ima minimum u tački

Pmin(0, 1) i maksimum u tački Pmax(6, 1/11);

6) konveksnost i prevojne tačke 32

23

)3(

)99(2

xx

xxy , teško je izračunati nule drugog izvoda pa

samim tim i odrediti njegov znak. grafik može da se nacrta i bez ovih elemenata.

7.

22

1

4

122

2

2

xx

x

x

xxy ,

Rešenje: 1) oblast definisanosti ,,, 22 22 ;

2) nula funkcije N(1,0); presek grafika funkcije sa y-osom M(0,1/4);

3) znak funkcije 022 za a ,0 ,2,2 za y,,xy,x ; 4) asimptote: funkcija ima

dve vertikalne asimptote x = 2 i x = 2; horizontalna asimptota y = 1 ;

5) monotonost i ekstremne vrednosti 22

2

4

8102

x

xxy ; nule prvog izvoda x = 1 i x = 4;

,,x 41 za funkcija je monotono rastuća, 41 za a ,x funkcija je monotono

opadajuća; funkcija ima minimum u tački Pmin(4, 3/4) i maksimum u tački Pmax(1, 0);

6) konveksnost i prevojne tačke

32

23

4

20241522

x

xxxy , teško je izračunati nule drugog

izvoda pa samim tim i odrediti njegov znak. Grafik može da se nacrta i bez ovih elemenata.

8.

82

12

2

xx

xy

Rešenje: 1) oblast definisanosti ,,, 44 22 ;

2) nula funkcije N(1,0); presek grafika funkcije sa y-osom M(0,1/8);

3) znak funkcije 042 za a ,0 ,4,2 za y,,xy,x ; 4) asimptote: funkcija ima

dve vertikalne asimptote x = -2 i x = 4; horizontalna asimptota y = -1 ;

5) monotonost i ekstremne vrednosti

22 82

118

xx

xy ; nula prvog izvoda x = 1;

1 22 za ,,x funkcija je monotono opadajuća, ,,x 44 1 za a funkcija je

monotono rastuća; funkcija ima minimum u tački Pmin(1, 0);

6) konveksnost i prevojne tačke

32

2

82

4254

xx

xxy , jednačina 422 xx nema realna rešanja,

pa drugi izvod nema nule. Znak drugog izvoda

konveksna je funkcija042 za a konkavna, je funkcija ,0 ,4,2 za ,y,,xy,x

9. 3

45 2

x

xxy , Rešenje: 1) oblast definisanosti ,, 33 ;

2) nule funkcije N1(-1,0), N2(5, 0); presek grafika funkcije sa y-osom M(0, 5/3);

3) znak funkcije 0513 za a ,0 ,5 1,3 za y,,,xy,x ;

4) asimptote: vertikalna asimptota x = -3; kosa asimptota y = x + 7;

5) monotonost i ekstremne vrednosti 2

2

3

76

x

xxy ; 17 za ,,x funkcija je

monotono opadajuća, 1 337 za a ,,x funkcija je monotono rastuća; funkcija ima

minimum u tački Pmin(7, 18) i maksimum u tački Pmax(1, 2);

6) konveksnost i prevojne tačke 33

32

xy , funkcija je konveksna za 3 ,x , konkavna za

,x 3 i nema prevojne tačke.

10.

6

22

2

xx

xy ,

Rešenje: 1) oblast definisanosti ,,, 33 22 ;

2) nula funkcije N(2,0); presek grafika funkcije sa y-osom M(0,-2/3);

3) znak funkcije 03 2 za a ,0 ,3,2 za y,,xy,x ;

4) asimptote: funkcija ima dve vertikalne asimptote x = -2 i x = 3; horizontalna asimptota y = 1 ;

5) monotonost i ekstremne vrednosti:

2222

2

6

1432

6

22203

xx

xx

xx

xxy ; nule prvog izvoda

x = 2 i x = 14/3; ,/,x 3142 za funkcija je monotono rastuća, 341 2 za a /,x

funkcija je monotono opadajuća; funkcija ima minimum u tački Pmin(14/3, 16/25) i maksimum u

tački Pmax(2, 0);

6) konveksnost i prevojne tačke:

32

23

6

88843032

xx

xxxy , teško je izračunati nule drugog

izvoda pa samim tim i odrediti njegov znak. Grafik može da se nacrta i bez ovih elemenata.

11. 2

762

x

xxy , Rešenje: 1) oblast definisanosti ,, 22 ;

2) nule funkcije N1(1, 0), N2(7, 0); presek grafika funkcije sa y-osom M(0; 3,5);

3) znak funkcije 021 7 za a ,0 ,2 17 za y,,,xy,x ;

4) asimptote: vertikalna asimptota x = 2; kosa asimptota y = x + 8 ;

5) monotonost i ekstremne vrednosti: 22

2

54

x

xxy ; 51 za ,,x funkcija je

monotono rastuća, 5 1 za a ,x funkcija je monotono opadajuća; funkcija ima minimum u tački

Pmin(5, 16) i maksimum u tački Pmax(1, 4);

6) konveksnost i prevojne tačke 32

18

xy , funkcija je konkavna za 2 ,x , konveksna za

,x 2 i nema prevojnu tačku.

12.

54

22

2

xx

xy ,

Rešenje: 1) oblast definisanosti ,,, 11 55 ;

2) nula funkcije N(2, 0); presek grafika funkcije sa y-osom M(0,4/5);

3) znak funkcije 01 5 za a ,0 ,1,5 za y,,xy,x ;

4) asimptote: funkcija ima dve vertikalne asimptote x = 5 i x = 1; horizontalna asimptota y = 1 ;

5) monotonost i ekstremne vrednosti:

22 54

218

xx

xy ; nula prvog izvoda x = 2 ;

2- 55 za ,,x funkcija je monotono rastuća, ,,x 11 2 za a funkcija je

monotono opadajuća; funkcija ima maksimum u tački Pmax(2, 0);

6) konveksnost i prevojne tačke:

32

2

54

7454

xx

xxy , jednačina 0742 xx nema realna

rešenja, pa funkcija nema prevojne tačke; funkcija je konveksna za ,,x 15

konkavna. je funkcija 1 5 za a ,x

13. 2

2

1

12

x

xy , Rešenje: 1) oblast definisanosti ,), 11 ;

2) nule funkcije

0

2

1 0

2

121 ,N,,N , presek grafika funkcije sa y-osom M(0,1);

3) znak funkcije 02

1

2

1 za a ,0 ,

2

1

2

1 za

y,,xy,,x ;

4) asimptote: vertikalna asimptota x = 1; horizomtalna asimptota y = 2;

5) monotonost i ekstremne vrednosti

31

122

x

xy ; 121 za ,/,x funkcija je

monotono opadajuća, 1 21 za a ,/x , funkcija je monotono rastuća; funkcija ima minimum u tački

Pmin(1/2,2);

6) konveksnost i prevojne tačke

41

142

x

xy , funkcija je konkavna za 41 /,x , konveksna

za ,/x 41 i ima prevojnu tačku P(1/4,-14/9).

14.

2

3

2

1

x

xy , Rešenje: 1) oblast definisanosti ,, 22 ;

2) nule funkcije N(1, 0); presek grafika funkcije sa y-osom M(-1/2, 0);

3) znak funkcije 01 za a ,0 ,1 za y,,xy,x ;

4) asimptote: vertikalna asimptota x = 2; kosa asimptota y = x + 1 ;

5) monotonost i ekstremne vrednosti:

3

2

2

41

x

xxy ; 42 za ,,x funkcija je

monotono rastuća, 4 2 za a ,x funkcija je monotono opadajuća; funkcija ima minimum u tački

Pmin(6, 27/4);

6) konveksnost i prevojne tačke

42

16

x

xy , funkcija je konkavna za 1 ,x , konveksna za

,x 1 i ima prevojnu tačku P(1, 0).

15. 2

3

12

x

xy , Rešenje: 1) oblast definisanosti ,, 11 ;

2) nula funkcije i presek grafika funkcije sa y-osom je ista tačka N(0, 0);

3) znak funkcije 00 za a ,0 ,0 za y,,xy,x ;

4) asimptote: vertikalna asimptota x = 1; kosa asimptota y = x/2 1 ;

5) monotonost i ekstremne vrednosti:

3

2

12

3

x

xxy

; 13- za ,,x funkcija je

monotono rastuća, 1- 3 za a ,x funkcija je monotono opadajuća; funkcija ima maksimum u

tački Pmax(3, 27/8);

6) konveksnost i prevojne tačke 41

3

x

xy

, funkcija je konkavna za 0 ,x , konveksna za

,x 0 i ima prevojnu tačku P(0, 0).