Analiza elektronskih kola - leda.elfak.ni.ac.rsleda.elfak.ni.ac.rs/education/PEK_stari/literatura/predavanja PEK... · 31.03.2014. 1 Analiza kola Analiza elektronskih kola 1. Uvod

31.03.2014. 1

Analiza kola

Analiza elektronskih kola1. Uvod2. Analiza linearnih kola u DC domenu

(jednosmerni režim)3. Analiza linearnih kola u AC domenu

(frekvencijski domen)4. Analiza nelinearnih kola u DC domenu5. Analiza linearnih kola u TR domenu

(vremenski domen)6. Analiza nelinearnih kola u TR domenu

31.03.2014. 2

Analiza kola





31.03.2014. 3

Analiza kola

Matematički model3. Linearne

diferencijalne jednačine

Ponašanje linearnih reaktivnih kola u vremenskom domenu opisuje se

sistemom linearnih diferencijalnih jednačina

0)()(

0)(C)(R

)()(

)(iR

)()(

L2

21L

1

12

1

21

=−

=++−

=−

dttdiLtv

dttdvtitvtv

ttvtv

v1(t)

1 2

v2 (t)L1INDUCTOR

R1 1k

C1

1nF

I

I(t)=Isin(ωt)

iL(t)

Tip kola i analize3. Linearna reaktivna u

TR domenu

31.03.2014. 4

Analiza kola

Matematički model1. i 2. Linearne jednačine

(realne i kompleksne)

3. Nelinearne algebarske jednačine

4. Linearne diferencijalne jednačine

5. Nelinearne diferencijalne jednačine

Način rešavanja sistema j-na1. i 2. LU faktorizacija

(Gauss)3. Linearizacija - Iterativno

svođenje na linearne algebarske (Newton-Kantorovič)

4. Numeričko integraljenje -diskretizacija - svođenje na linearne algebarske (Euler)

5. Diskretizacija - svođenje na nelinearne algebarske i linearizacija - Iterativno svođenje na linearne

31.03.2014. 5

Analiza kola

0)()(

0)(C)(R

)()(

)(iR

)()(

2

21L

1

12

1

21

=−

=++−

=−

dttdiLtv

dttdvtitvtv

ttvtv1 2

v1(t) v2 (t)L1INDUCTOR

R1 1k

C1

1nF

I

I(t)=Isin(ωt)

iL(t)

)(xfdtdxx ==&

hxx

h)x(t)tx(

tt)x(t)tx()t(x

n1nn1n

n1n

n1n1n

−=

−=

−−

=++

+

++&

Diskretizacija vremenske ose

31.03.2014. 6

Analiza kola

0)()(

0)(C)(R

)()(

)(iR

)()(

2

21L

1

12

1

21

=−

=++−

=−

dttdiLtv

dttdvtitvtv

ttvtv1 2


R1 1k

C1

1nF

I

I(t)=Isin(ωt)

iL(t)

0)()()(

0)()(C)(R

)()(

)(iR

)()(

L1L12

21211L

1

1112

11

1211

=−

−

=−

++−

=−

++

++

++

+++

htitiLtv

htvtvtitvtv

ttvtv

nnn

nnn

nn

nnn

31.03.2014. 7

Analiza kola

1 2


R1 1k

C1

1nF

I

I(t)=Isin(ωt)

iL(t)

nL

nL

n

nnL

nn

nn

ihLi

hLv

vh

ivh

v

vv

−=−

=+++−

=−

++

+++

+++

112

2111

21

1

11

1

1n12

1

11

1

C)CR1(

R1

iR1

R1

)(

)(

)(

11

121

2

111

1

++

++

++

=

=

=

nLnL

nn

nn

tiitvvtvv

31.03.2014. 8

Analiza kola

1 2


R1 1k

C1

1nF

I

I(t)=Isin(ωt)

iL(t)

nL

nL

n

nnL

nn

nn

ihLi

hLv

vh

ivh

v

vv

−=−

=+++−

=−

++

+++

+++

112

2111

21

1

11

1

1n12

1

11

1

C)CR1(

R1

iR1

R1

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

+−

−+

+

+

+

nL

n

n

nL

n

n

ihL

vh

C

i

v

v

hL

h

1

21

1

1

12

11

110

111

011 i

CR

R

R

R

111

11

Sistem linearnih jednačina

nn ivG~

=⋅ +1

31.03.2014. 9

Analiza kola

Linearne diferencijalne jednačine

Linearne algebarske jednačine

Dis

kre

tiza

cija

vrem

ensk

a pe

tlja

31.03.2014. 10

Analiza kola

Diskretizacija vremenske ose.

Da bi se našlo rešenje u trenutku t=tn+1, potrebno je da se zna rešenje za trenutak t=tn.

Potrebno je definisati granične uslove za t=0.

Za analizu kola u intervalu do 50ms sa korakom 5μs potrebno je formirati i rešiti sistem linearnih algebarskih jednačina 10 000 puta!

31.03.2014. 11

Analiza kola

Primena Eulerove formule na kapacitivnu granu

nC

1nC

1nC

nC

1nC

1nC

nC

1nC1n

C

CC

vhCv

hCi

)v(vhCi

h)v(vCi

dtdvCi

−=

−=

−=

=

++

++

++

31.03.2014. 12

Analiza kola


Struja iC(tn+1) ima dve komponente:Jedna zavisi od napona vC (tn+1) a druga od vC(tn)

nC

1nC

1nC v

hCv

hCi −=

++

hCG C =

1nCv +

1nCi

+(t)iC

(t) vC nC

nC v

hCi =

31.03.2014. 13

Analiza kola


)v(v hC n

jni

−−

j / v Vin+1 vj

n+1 SV

i

j

hC

hC

hC −

hC −

)v(v hC n

jni

−

31.03.2014. 14

Analiza kola

Primena Eulerove formule na induktivnu granu

nL

1nL

1nL

nL

1nL

1nL

nL

1nL1n

L

LL

ihLi

hLv

)i(ihLv

h)i(iLv

dtdiLv

−=

−=

−=

=

++

++

++

1nCi

+

31.03.2014. 15

Analiza kola


Napon vL(tn+1) ima dve komponente:Jedna zavisi od struje iL (tn+1) a druga od iL(tn)

nL

1nL

1nL i

hLi

hLv −=

++

hLRL =

v 1nL

+

nL

nLs i

hL v =

1nLi

+)(tiL

(t)vL

31.03.2014. 16

Analiza kola


nLs

1nLL

nL

1nL

1nj

1ni

1nL viRi

hLi

hLvvv +=−=−=

+++++

nLs

1nLL

1nj

1ni viRvv =−−

+++

31.03.2014. 17

Analiza kola


vn

Ls

j / v vi n+1 vj

n+1 iL n+1 SV

i 1

j -1

NJL 1 -1 -RL

nLs

1nLL

1nj

1ni viRvv =−−

+++11

U čvor j utiče struja iLn+1 -1 iL

n+1

Nova jednačina

Iz čvora i ističe struja iLn+1 1 iL

n+1

hLRL =

v 1nL

+

nL

nLs i

hL v =

1nLi

+)(tiL

31.03.2014. 18

Analiza kola


Napon vL(tn+1) ima dve komponente:Jedna zavisi od struje iL (tn+1) a druga od iL(tn)

nL

1nL

1nL iv

Lhi +=

++

v 1nL

+

LhG L =

nLi

1nLi

+)(tiL

(t)vL

31.03.2014. 19

Analiza kola


i nL−

j / v vi n+1 vj

n+1 iL n+1 SV

i 1

j -1

NJL h/L -h/L -1

nL

1nL

1nL iv

Lhi +=

++

31.03.2014. 20

Analiza kola

Primena Eulerove formule na spregnute induktivnosti

31.03.2014. 21

Analiza kola


31.03.2014. 22

Analiza kola


n222

1n222

n121

1n121

1n2

n212

n111

1n212

1n111

1n1

n2

21n2

2n1

1n1

1n2

n2

1n2

n1

11n1

11n1

iRiRiRiRv

iRiRiRiRv

ih

Lih

LihMi

hMv

ihMi

hMi

hLi

hLv

−+−=

−−+=

−+−=

−+−=

+++

+++

+++

+++

31.03.2014. 23

Analiza kola


nMS2

1n222

1n121

1n2

nMS1

1n212

1n111

1n1

viRiRv

viRiRv

++=

++=

+++

+++

31.03.2014. 24

Analiza kola


nMS2

1n222

1n121

1n2

nMS1

1n212

1n111

1n1

viRiRv

viRiRv

++=

++=

+++

+++

31.03.2014. 25

Analiza kola


j / v vi n+1 vj

n+1 vpn+1 vq

n+1 i1 n+1 i2

n+1 SV

i 1

j -1

p 1

q -1

NJ1 1 -1 -R11 -R12 vms1n

NJ2 1 -1 -R21 -R22 vms2n

31.03.2014. 26

Analiza kola

Algoritam

31.03.2014. 27

Analiza kola

Zadavanje graničnih uslova, t=0, n=0Vi

n= Vi0, i=1,…,N

Rešavanje sistema linearnih jednačina, Vi

n+1, i=1,…,N

Formulacija sistema linearnih algebarskih jednačina

t > Tkraj

Štampanje Vin+1

t=t+h, n = n +1

Vin =Vi

n+1, i=1,…,N

kraj

ne

da31.03.2014. 28

Analiza kola

Analiza greške diskretizacije

Intuitivno je jasno (a znanja iz numeričke matematike to potvrđuju) da diskretizacija unesi određenu grešku, i da može da se očekuje da greška bude manja ako je korak diskretizacije manji i ako je promena sporija.Želimo da utvrdimo

-koliko iznosi greška i -od čega zavisi.

31.03.2014. 29

Analiza kola


Neka je x(tn+1) tačna vrednost a xn+1 izračunata vrednost pomenljive x.

Tada je lokalna greška zaokruživanja (Local trncation Error, LTE)

εTx= x(tn+1) - xn+1

31.03.2014. 30

Analiza kolaAnaliza greške diskretizacije

Razvojem funkcije x(t) u Tajlorov red u okolini tačke t=tn+1 dobija se

...xh21xh)x(t)x(t

...xh21xh)x(t)x(t

tth

...x)t(t21x)t(t)x(t)x(t

tt za

...x)t(t21x)t(t)x(tx(t)

1n1n

1n1n

1n1n

1n1n

tt2

ttn1n

tt2

tt1nn

n1n

tt2

1nntt1nn1nn

n

tt2

1ntt1n1n

−−+=

++−=

−=

+−+−+=

=

+−+−+=

++

++

++

++

==+

==+

+

=+=++

=+=++

&&&

&&&

&&&

&&&

,

31.03.2014. 31

Analiza kola


Na osnovu

1nttn1n xhxx

+=+ += &

sledi da je približna vrednost promenljive x u trenutku t=tn+1

hxx

h)x(t)tx(

tt)x(t)tx()t(x

n1nn1n

n1n

n1n1n

−=

−=

−−

=++

+

++&

( )1ntt1ntt

n1ntt

21nttnTx

1n1nTx

xh21xhxxh

21xh)x(tε

x)x(tε

+=+=+=+=

++

−=+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

−=

&&&&&& 2

Ako se pretpostavi da je u t=tn, poznato tačno rešenje i da jex(tn)=xn, tada je

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+≅

++ ==+1n1n tt

2ttn1n xh

21xh)x(t)x(t &&&

31.03.2014. 32

Analiza kola


1ntt1n

1nTx xhx)x(tε+=

++ −=−= &&2

21

Lokalna greška zaokruživanja (local truncation error LTE)proporcionalna je kvadratu veličine koraka h i

brzini promene signala

LTEVremenski korak hPromena brzine odziva

31.03.2014. 33

Analiza kola

...xh21

h)x(t)x(t)(txx

tth

...x)t(t21x)t(t)x(t)x(t

tt za

...x)t(t21x)t(t)x(tx(t)

1n1n

1n1n

1n1n

ttn1n

1ntt

n1n

tt2

1nntt1nn1nn

n

tt2

1ntt1n1n

++−

==

−=

+−+−+=

=

+−+−+=

++

++

++

=+

+=

+

=+=++

=+=++

&&&&

&&&

&&&

,


Tokom izračunavanja izvoda pravi se, takođe, lokalna greška zaokruživanja izvoda

1n1nTd x)(txε +

+ −= &&

31.03.2014. 34

Analiza kolaAnaliza greške diskretizacije

Znajući da je

1n

1n

1n

ttTd

ttTd

n1ntt

n1nTd

1n1nTd

xh21ε

...xh21ε

h)x(t)x(t...xh

21

h)x(t)x(tε

x)(txε

+

+

+

=

=

+=

+

++

≈

+=

−−++

−=

−=

&&

&&

&&

&&

h)x(t)x(tx n1n1n −

= ++&

sledi

31.03.2014. 35

Analiza kola

LTE izvodaVremenski korak hPromena brzine odziva

Lokalna greška zaokruživanja izvoda (LTE izvoda)proporcionalna je veličini koraka h i

brzini promene signala


31.03.2014. 36

Analiza kola


Greška je manja za monotone odzive jer se izvod aproksimira pravom linijom

1ntt1n

1nTx xhx)x(tε+=

++ −=−= &&2

1nttTd xh21ε

+== &&

31.03.2014. 37

Analiza kola

Izbor koraka diskretizacije

Izbor koraka diskretizacije

Kako izabrati pravu veličinu koraka?Korak se bira na osnovu vrednosti

elemenata kola i/ili na osnovu brzine promene signala pobude.

31.03.2014. 38


Naravno, ako je ograničavajuća promena u kolu diktirana brzinom pobude, tada se izabere korak

koji je u stanju da prati pobudu.

Brzina promene signala u kolu zavisi od vrednosti vremenskih konstanti u kolu.

Dobra je praksa da se izabere korak h < τ/100 gde je τ lokalna vremenska konstanta.

Bira se najmanji korak

31.03.2014. 39

Primer

RC kolo τ=1ms

Analiza linearnih kola u vremenskom domenu

31.03.2014. 40

Primer

RC kolo τ=1ms

Analiza linearnih kola u vremenskom domenu

t tačno

0 0

1E-5 9.900498

1E-4 9.04837

1E-3 3.67879

h=0.01ms

0

9.0099

9.05287

3.69711

h=0.1ms h=1ms

0 0

9.09091

3.85543 5.00000

31.03.2014. 41

Odziv RC kola τ=1ms

•Analiza linearnih kola u vremenskom domenu

31.03.2014. 42

h=10-3

h=10-4

apsolutna greška


31.03.2014. 43

relativna greška•Analiza linearnih kola u vremenskom domenu

31.03.2014. 44



Greška je proporcionalna veličini koraka h i brzini promene signala x&&

Da bi se zadržala konstantna greška, treba smanjiti korak tamo gde je brzina promene signala veća i

obrnuto.Ovo je iskorišćeno u algoritmima za automatsku

kontrolu koraka (Spice)

31.03.2014. 45


Analiza greške diskretizacijePrimer:

Neka je odziv sinusna funkcija sa amplitudom V=4V i periodom T=5ms. Odrediti minimalni korak da bi

maksimalna LTE bila εTx= 10-4V dobija se:

sin 2V/s106,3tT2π

T2π4x

x2εh

62

Txmin

⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

&&

&&

8925,6μ5ms

hTN ≈==

sZa jednu periodu !!!

s 5,6μhmin =⇒

31.03.2014. 46



Greška može da se nagomilava Ukoliko se ne povećava greška kaže se da je rešenje

stabilno

31.03.2014. 47


Višekoračna integraciona pravila

Bolja tačnost - manje LTEza isti korak postiže se boljom aproksimacijom izvoda

k - broj koraka

( )∑=

+−+−+ +−=k

j

jnj

jnj

o

n xhbxaa

x1

111 1

Dodatak

31.03.2014. 48


Primer Oscilator

07.04.2014. 4949

Analiza kola





07.04.2014. 5050

Analiza kola





07.04.2014. 5151

Analiza kola

Matematički model5. Nelinearne

diferencijalne jednačine

Ponašanje nelinearnih reaktivnih kolau vremenskom domenu domenu opisuje se sistemom nelinearnih

diferencijalnih jednačina

0)(C)1(eIR

)()(

)(iR

)()(

2V)(

s1

12

1

21

2

=∂

∂+−+

−

=−

ttvtvtv

ttvtv

T

tv1nF

V2

1 2

V1id

R1 1kC1

D1

DIODE PIN

i(t)=510-3cos(2πft+ϕ)

Tip kola i analize5. Neinearna reaktivna

u TR domenu

07.04.2014. 5252

Analiza kola

Tipovi kola i analize

1. Linearna otporna DC domen

2. Linearna reaktivna AC domen

3. Linearna reaktivna TR domen

4. Nelinearna otporna DC domen

5. Nelinearna reaktivna TR domen

Matematički model

1. Linearne algebarske jednačine

2. Linearne algebarske jednačine (kompleksne)

3. Linearne diferencijalne jednačine



07.04.2014. 5353

Analiza kola

Matematički model1. i 2. Linearne jednačine

(realne i kompleksne)3. Linearne diferencijalne

jednačine



Način rešavanja sistema j-na1. i 2. LU faktorizacija (Gauss)3. Numeričko integraljenje -

diskretizacija - svođenje na linearne algebarske (Euler)

4. Linearizacija - Iterativno svođenje na linearne algebarske (Newton-Kantorovič)

5. Diskretizacija - svođenje na nelinearne algebarske i linearizacija - Iterativno svođenje na linearne algebarske 07.04.2014. 5454

Analiza kola

Nelinearne diferencijalne jednačine

Nelinearne algebarske jednačine

Linearne algebarske jednačine

Lin

eari

zaci

jaD

iskre

tiza

cija

itera

tivna

pet

lja

vrem

ensk

a pe

tlja

07.04.2014. 5555

Analiza kolaIzračunavanje graničnih uslova, t=0, n=0

Vin= Vi

0, i=1,…,N

Formulacija i rešavanje sistema linearnih algeb.jednačina, Vi

n+1,m+1, i=1,…,N

t > Tkraj

Štampanje Vin+1,m+1

t=t+h, n = n +1, m = 0

Vin =Vi

n+1,m+1, i=1,…,N

kraj

ne

da

m = m +1

Izračunavanje greške δ=| Vi

n+1,m+1 /Vin+1,m-1|

δ < ε ne

da

Vin+1,m =Vi

n+1,m+1, i=1,…,N

07.04.2014. 5656

Analiza nelinearnih kola u vremenskom domenu

Nelinearna kapacitivna granaDodatak

07.04.2014. 5757



07.04.2014. 5858



07.04.2014. 5959


Nelinearna kapacitivna grana

hqq

hi

ncn

cn

c += ++ 11 1

( )11 ++ = nc

nc vfq

Dodatak

07.04.2014. 6060



R m1,nq +

m1,n

Cq+

s

1,1 ++ mnCv

mncs

mnc

mnq

mnc qvRq ,11,1,11,1 ++++++ +=

,,1

,1

mnc

vcvc

cmnq v

qR+=

∂∂=+

( )mnc

mnc

mnq

mnc

mnc vvRqq ,11,1,1,11,1 +++++++ −+=

mnmnq

mnc

mncs c

vRqq ,1,1,1,1 ++++ ⋅−=

11 ++ ,mncq

1,1 ++ mnCv

( )11 ++ = nc

nc vfq

Dodatak

07.04.2014. 6161



mnq

mnc

mnq

mnc iqGv ,11,1,11,1 ++++++ +=

mnq

mncs

mnq

mnq

mnq

Rqi

RG,1,1,1

,1,1

/

,/1+++

++

−=

= q ,mnC

11 ++

m1,nq +G

m1,n+qi

1m1,nC

++v

R m1,nq +

m1,n

Cq+

s

1,1 ++ mnCv

11 ++ ,mncq

1,1 ++ mnCv

mncs

mnc

mnq

mnc qvRq ,11,1,11,1 ++++++ +=

Dodatak

07.04.2014. 6262



mnq

mnc

mnq

mnc iqGv ,11,1,11,1 ++++++ +=

hqq

hi

ncmn

cmn

c −= ++++ 1,11,1 1

mnq

mncs

mnq

mnq

mnq

Rqi

RG,1,1,1

,1,1

/

,/1+++

++

−=

=

m1,nq +G

m1,n+qi

1m1,nC

++v

1m1,n ++cq 1m1,n

c ++i

hqc

n

1m1,nC

++v

1m1,n1 ++cq

h

Dodatak

07.04.2014. 6363



mnq

mnc

mnq

mnc iqGv ,11,1,11,1 ++++++ +=

hqq

hi

mncmn

cmn

c

,11,11,1 1 +

++++ −=

)( c ti

)(C tv

j

i

SLVi 1/h +qc

n/hj -1/h -qc

n/hn.j.qC -1 1 Gq

n+1,m -iqn+1,m

1,1 ++ mniv

m1,nq +G

m1,n +qi

1m1,nC

++v

1m1,n ++cq 1m1,n

c ++i

hqc

n

1m1,nC

++v

1m1,n1 ++cq

h

j

i

1,1 ++ mniv

1,1 ++ mnjv

1,1 ++ mnCq

Dodatak

07.04.2014. 6464


Nelinearna induktivna granaDodatak

07.04.2014. 6565



07.04.2014. 6666



07.04.2014. 6767


Problemi primene

1. Početak analizeKrene se sa jednokoračnim pravilom sa h/8

h/8

h/4h/2

h2h

3hNastavi se sa dvokoračnim

Dvokoračno

07.04.2014. 6868


Problemi primene

2. h može da se izračuna za naredni korak, ali ta vrednost ne mora da bude prihvatljiva

suviše veliko h – nestabilno suviše malo h, dugo traje analiza ali i C/h može da postane suviše veliko

Zato se u algoritmima ograničava ho/100 < h < 100 ho

07.04.2014. 6969


Problemi primene

3. Iterativni postupak u trenutku t=tn+1 počinje sa rešenjem dobijenim u t=tn (prediktor);

ovo ne mora da bude dobro

• ako je korak veliki ili

• ako se signal brzo menja

07.04.2014. 7070


Problemi primene

4. Skokovita promena pobude korekcija, polovi se korak, ako to ne pomogne,

Modifikacija kola: G prema masi (poveća se vrednost lokalnih vremenskih konstanti)

u trenucima za koje postoji prekid prvog izvoda pobude, počinje se jednokoračnim pravilom (unutar algoritma)

07.04.2014. 7171


Problemi primene

5. Uštede u formiranju matrice (unutar algoritma)

Ne modifikuju se elementi matrice čija vrednost ne zavisi od vremena (n)

Ne modifikuju se elementi matrice čija vrednost ne zavisi od iteracije (m)

07.04.2014. 7272

I. Uvod: Šta smo naučili?

Šta treba da znamo?Elementarno (za potpis)

Koliko puta se formira i rešava sistem jednačina pri jednoj analizi nelinearnog reaktivnog kola u vremenskom domenu ako se zna da je T=10ms, h=0.1ms, a potrebno je prosečno 8 iteracija za analizu u jednom trenutku?

Osnovna (za 6)1. Analiza linearnih reaktivnih kola – opšti

algoritam?2. Analiza nelinearnih reaktivnih kola – opšti

algoritam?

LEDA - Laboratory for Electronic Design Automation http://leda.elfak.ni.ac.yu/

Analiza linearnih kola u DC domenu

.

07.04.2014. 7373

Šta treba da znamo?Ispitna pitanja

a) Doprinos matrici sistema jednačina linearne kapacitivne grane vezane između čvorova i i jpri analizi u vremenskom domenu.

b) Kojim parametrom se u Spice definišu granični uslovi za struju kroz kalem i napon na kondenzatoru u trenutku t=0?

c) Analiza greške diskretizacije.

LEDA - Laboratory for Electronic Design Automation http://leda.elfak.ni.ac.yu/ 73.


07.04.2014. 7474

Šta treba da znamo?Ispitna pitanjad) Izbor koraka diskretizacije.e) Koja vrednost se uzima za početno

rešenje u trenutku tn+1 pri analizi nelinearnih kola u vremenskom domenu?

f) Problemi vezani za analizu nelinearnih reaktivnih kola u vremenskom domenu.

LEDA - Laboratory for Electronic Design Automation http://leda.elfak.ni.ac.yu/ 74.


07.04.2014. 7575

Sledeće nedelje:Optimizacija elektronskih kola 1-Izračunavanje koeficijenata osetljivosti-Telegenova teorema

Documents

Analiza elektronskih kola - leda.elfak.ni.ac.rsleda.elfak.ni.ac.rs/education/PEK_stari/literatura/predavanja PEK... · 31.03.2014. 1 Analiza kola Analiza elektronskih kola 1. Uvod