CAPITOLUL 1

ANALIZA DIMENSIONAL I

SIMILITUDINEA HIDRODIMAMIC

NOTAII I SEMNIFICAII FIZICE

p-presiunea, n N/m2

v-viteza, n m/s2

-densitatea mediului lichid, n kg/m3

m-masa, n kg

V-volumul, n m3

S-aria suprafeei, n m2

F-fora, n N

G-greutatea, n N

g=9,80665 m/s2 acceleraia gravitaional

-greutatea specific, n N/m3

-coeficientul cinematic de viscozitate, n m2/s

-coeficientul dinamic de viscozitate, n Ns/m2 sau Pas

-tensiunea superficial, n N/m

E-modul de elasticitate, n N/m2

Q-debit volumic, n m3/s

l-lungime, n m

d-diametrul conductei, n m

lo-scara lungimilor

So-scara suprafeelor

Vo-scara volumelor

to-scara timpilor

vo-scara vitezelor

ao-scara acceleraiilor

Fo-scara forelor

mo-scara maselor

Fr-numrul Froude

Sh-numrul Strouhal

Eu-numrul Euler

Re-numrul Reynolds

Ma-numrul Mach

Ga-numrul Galilei

We-numrul Weber

Ne-numrul Newton

Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic

10

1.1. INTRODUCERE

Este practic imposibil de a rezolva toate problemele curgerii unui fluid dat

numai pe cale teoretic. La stadiul actual al cunotinelor n domeniu, cercetarea

experimental ocup un loc important. Teoria matematic i datele experimentale au

furnizat soluii practice pentru mai multe probleme de hidraulic. Aplicaiile analizei

dimensionale i ale similitudinii hidraulice permit inginerului organizarea i

simplificarea experimentelor i analizarea rezultatelor obinute.

n acest capitol se vor prezenta principiul ce st la baza analizei dimensionale

i cteva aplicaii ce servesc la nelegerea modului de utilizare a analizei

dimensionale n stabilirea formulelor pentru anumite mrimi fizice, specifice mecanicii

fluidelor. De asemenea, se vor prezenta relaiile de similitudine cu aplicaii specifice.

1.2. NOIUNI TEORETICE

Problemele de mecanica fluidelor pot fi abordate pe calea analizei

dimensionale, care este n esen o procedur matematic care studiaz n exclusivitate

dimensiunile mrimilor fizice. n cadrul ei se pornete de la nelegerea fenomenelor

curgerii pentru a stabili parametrii care o influeneaz i se ajunge la gruparea acestor

parametrii n combinaii dimensionale, la o mai bun cunoatere i explicare a

fenomenelor. Analiza dimensional este de un real folos n studiile experimentale

pentru c poate indica mrimile sau parametrii ce influeneaz cu adevrat desfurarea

fenomenelor fizice.

Conform principiului omogenitii dimensionale toate relaiile matematice,

care exprim fenomene fizice, trebuie s fie omogene din punct de vedere dimensional

(toi termenii ecuaiei trebuie s aib aceleai dimensiuni).

Dac termenii unei ecuaii omogene din punct de vedere dimensional se mpart

cu o cantitate care se exprim n aceleai dimensiuni va rezulta o adimensionare a

termenilor, ecuaia devenind o relaie adimensional ntre grupuri de numere i de o

form mai simpl. n acest mod se procedeaz n cadrul unei analize dimensionale,

grupndu-se toate variabilele implicate ntr-o ecuaie care conine grupuri de numere

adimensionale, evitnd cercetarea experimental, grupurile adimensionale fiind n

numr mult mai redus dect variabilele.

Aplicaiile analizei dimensionale constau n:

- transformarea dintr-un sistem de uniti n altul; - stabilirea ecuaiilor; - reducerea numrului de variabile necesare la un program experimental; - stabilirea principiilor de concepere a unui model. Teorema Pi (Teorema lui Buckingham)

Aceast teorem reprezint o generalizare a metodei analizei dimensionale avnd o

larg utilizare n prezent. Teorema Pi are principalul avantaj c reduce numrul de

variabile la grupuri de mrimi adimensionale.

1- Analiz dimensional i similitudine hidrodinamic

11

Dac x1, x2, , xn reprezint n variabile dimensionale care sunt implicate n

desfurarea unui fenomen fizic i ntre ele exist o legtur implicit de forma:

0x,...,x,xf n21 atunci se poate exprima aceast legtur sub forma unei dependene:

0,...,, kn21 unde i reprezint combinaii adimensionale ale variabilelor xi .

Aplicarea teoremei Pi presupune parcurgerea a apte etape:

Prima etap

- Se evideniaz fenomenului fizic i factorii care l pot influena, cu stabilirea celor n variabile.

A doua etap

- Dimensiunile mrimilor fizice sunt exprimate n SI n combinaia de uniti

fundamentale mas lungime timp (MLT), sau n combinaia for lungime timp

(FLT). Se alege n Sistemul Internaional SI unul din modurile de exprimare (MLT sau

FLT) i se stabilesc dimensiunile fiecrei variabile, gsindu-se i numrul m al

dimensiunilor fundamentale ale variabilelor.

A treia etap

- Se va gsi numrul k (care de obicei este egal cu m, niciodat mai mare i rareori mai mic).

A patra etap

Se determin numrul grupurilor adimensionale kn,i i se poate scrie:

0,...,, kn21 A cincea etap

Din numrul total de variabile se selecteaz un numr de k, denumite variabile

primare. Acestea trebuie s conin toate cele m dimensiuni fundamentale i nu trebuie

s formeze grupuri ntre ele. Se formeaz grupurile prin nmulirea variabilelor primare ntre ele, fiecare cu un exponent necunoscut.

A asea etap

Pentru satisfacerea omogenitii dimensionale se formeaz un sistem de ecuaii

care are la baz egalitatea exponenilor variabilelor primare din ambele pri ale

ecuaiilor, deoarece i nu au dimensiuni pot fi nlocuii cu MoL

oT

o. Se verific

adimensionalizarea factorilor i .

A aptea etap

Se rearanjeaz grupurile i dup dorin. Teorema Pi arat c grupurile i

sunt legate ntre ele:

kn3211 ,...,,f

Analiza dimensional nu ofer o rezolvare complet a problemei, ci numai o

soluie parial, iar reuita depinde de cele mai multe ori de abilitatea n selectarea

parametrilor i mrimilor.

Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic

12

n multe situaii dezvoltarea experimentului are loc n laborator pe instalaii

care difer constructiv de cele industriale, dar permit o desfurare identic sau

similar a fenomenelor studiate. Pentru a utiliza rezultatele de laborator la instalaiile

industriale, s-au stabilit relaii matematice cunoscute sub denumirea de legi de

similitudine. Acestea permit desfurarea experimentului cu un fluid convenabil pentru

utilizare i aplicarea rezultatelor la un fluid mai puin convenabil pentru utilizare

experimental. Aceste legi sunt deosebit de utile pentru c se pot utiliza pe o instalaie

sau main mai simpl i de dimensiuni reduse (modelul), fiind posibil reducerea

substanial a costurilor de cercetare i permit transpunerea rezultatelor de la model la

instalaia sau maina n mrime natural (prototip). Pentru ca rezultatele stabilite pe

modele s poat fi utilizate la instalaia n natur, trebuie respectate condiiile de

similitudine.

Dou micri sunt asemenea cnd traiectoriile lor sunt geometric asemenea i

cnd exist raporturi determinante ntre mrimile cinematice i dinamice ale celor dou

fenomene n dou puncte omoloage.

Pentru a realiza similitudinea dinamic a dou fenomene nu este suficient ca

raportul dimensiunilor liniare s fie constant. Trebuie ca i rapoartele mrimilor

cinematice i dinamice s fie constante.

Similitudinea geometric se realizeaz atunci cnd raportul dintre dimensiunile

liniare de pe prototip i cele de pe model este constant. Raportul:

m

p

ol

ll

se numete scara lungimilor sau scar geometric. Se poate stabili i scara

suprafeelor :

2

o

m

p

o lS

SS

i scara volumelor:

3

o

m

p

o lV

VV

Similitudinea cinematic implic, n punte omoloage, similitudinea geometric

a cmpului hidrodinamic i raport constant al mrimilor cinematice de acelai tip

(viteze, acceleraii). Odat stabilit scara lungimilor, rezult un raport constant al

timpului n care se desfoar fenomenul pe prototip i timpul n care se desfoar

fenomenul pe model, adic scara timpului:

m

p

ot

tt

1- Analiz dimensional i similitudine hidrodinamic

13

Cu acestea se pot determina scrile tuturor mrimilor cinematice n funcie de

lo i to. Astfel avem scara vitezelor:

1

oo

m

p

o tlv

vv

i scara acceleraiilor:

2

oo

m

p

o tla

aa

Similitudinea dinamic impune ca raportul tuturor forelor din natur, de pe

prototip i de pe model, s fie constant. Rezult, astfel, scara forelor:

m

p

oF

FF

Din similitudinea mecanic se poate defini i o scar a maselor, i anume:

m

p

om

mm

Numrul Froude:

lg

vFr

2

Numrul Strouhal:

l

tvSh

Numrul Euler:

2v

pEu

Numrul Reynolds:

lvRe

Numrul Mach:

sv

vMa

unde vs este viteza sunetului n mediu considerat.

Numr Weber:

2vlWe

Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic

14

Numrul Galilei:

2

3lgGa

Numrul Newton:

vS

FNe

Aceste mrimi se mai numesc i criterii de similitudine.

Teorema lui Newton afirm c ntr-un grup de fenomene asemenea, fiecare

criteriu de similitudine are cte o valoare unic pentru toate fenomenele grupului.

Respectarea simultan a tuturor acestor criterii ne conduce la o similitudine

complet. Dar n realitate respectarea simultan a acestor criterii nu este posibil

practic. Similitudinea nu se va realiza dup toate criteriile, ci numai dup anumite

criterii, care sunt determinante n desfurarea unui fenomen. Astfel se realizeaz o

similitudine incomplet.

Transpunerea rezultatelor de pe un model la prototip va fi din aceast cauz

afectat de erori, iar influena parametrilor neglijai apare n aa numitul efect de scar.

Vom prezenta unde se utilizeaz fiecare din criteriile de similitudine ca i

criteriu determinant.

Similitudinea Strouhal se utilizeaz n cazul micrilor nepermanente

periodice. Acestea apar cnd vrtejurile formate se desprind alternativ de pe o parte sau

alta n spatele unui corp, cnd fluidul se afl ntr-o micare de val i cnd un corp situat

n fluid are o micare periodic. Deoarece n tehnic cele mai multe micri

nepermanente ale fluidelor sunt micri periodice, criteriul lui Strouhal este considerat

de obicei drept criteriul de similitudine al micrilor periodice ale fluidelor. n multe

cazuri odat cu criteriul Strouhal trebuie asigurat i criteriul Reynolds.

Similitudinea Froude se utilizeaz n cazul n care n timpul micrii elementul

determinant este greutatea. Aceasta apare ca element predominant la curgerea apei

peste deversoare, la micarea valurilor, la determinarea componentei de val a

rezistenei la naintare a navelor de suprafa. Apare n general cnd micrile au suprafee libere care nu sunt plane orizontale, deoarece la aceste micri efectul

greutii proprii este determinant pentru forma suprafeei libere. n cazul micrii

lichidelor peste deversoare sau n cazul micrii valurilor, efectul vscozitii i efectul

capilaritii sunt neglijate n raport cu efectul greutii proprii a lichidului. Alteori, ns,

pe lng efectul greutii proprii a lichidelor, trebuie luate n considerare i alte efecte. Astfel, n micarea lichidelor n canale, pe lng efectul greutii proprii trebuie luat n

considerare i efectul vscozitii, iar la deversoarele avnd o lam deversant foarte

subire i la valurile de dimensiuni mici, pe lng efectul greutii proprii trebuie luat n

considerare i efectul capilaritii.

Similitudinea Reynolds trebuie asigurat dac frecarea vscoas are un rol

predominant. Cu ct numrul Reynolds este mai mic cu att influena vscozitii

asupra micrii fluidului este mai mare. Se aplic la curgerea lichidelor n conducte sub

presiune, la curgerea n mainile hidraulice i la curgeri n tunele aerodinamice la

1- Analiz dimensional i similitudine hidrodinamic

15

viteze la care se poate neglija compresibilitatea fluidului. n general, ca lungime de

referin se alege diametrul conductei, grosimea unui strat de fluid, coarda unui profil

aerodinamic.

Criteriul Euler este satisfcut automat dac sunt ndeplinite simultan criteriile

Strouhal, Froude i Reynolds. Apare n studiul fenomenului de cavitaie.

Criteriul de similitudine Mach se aplic n cazul n care viteza curentului este

mare i compresibilitatea fluidului datorit vitezei curentului nu poate fi neglijat (la

micarea cu viteze foarte mari a unui gaz, n cazul loviturii de berbec).

Criteriul de similitudine de tip Weber se respect n cazul micrilor la care

sunt determinante forele de tensiune superficiale (picturi, deci la pulverizarea

lichidelor, valuri de dimensiuni mici, la studiul curgerii lichidelor n tuburi capilare sau

n canale cu adncime foarte mic). n aplicaiile curente, forele de tensiune

superficial sunt ns cu totul neglijabile, n raport cu celelalte tipuri de fore.

Criteriul Galilei intervine la micarea liber a lichidelor. Acest numr este de

fapt o combinaie a criteriilor de similitudine.

Fr

ReGa

2

Criteriul Newton se utilizeaz la modelarea fenomenelor hidrodinamice la care

forele de inerie joac un rol important, adic la studiul pe model al curgerii n jurul

corpurilor (studiul rezistenelor la naintare, studiul aciunii curentului asupra profilelor

hidrodinamice utilizate n mainile hidraulice, n aviaie).

1.3. APLICAII

1.3.1 Probleme rezolvate

1.1 S se exprime dimensiunile mrimilor fizice folosite n hidraulic n funcie

de masa M, lungimea L i timpul T.

REZOLVARE

Mrimile fizice ce le folosim n hidraulic, respectiv dimensiunea lor n funcie

de MLT se pot deduce n funcie de relaiile de definiie ale acestor mrimi, i le

trecem direct n tabelul urmtor. Pentru toate aceste mrimi se pot gsi similar

dimensiunile n funcie de FLT.

Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic

16

Nr.

crt.

Mrimea fizic Simbol Uniti de

msur

Dimensiunea

(Relaia n MLT)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25

Masa

Lungimea

Timp

Aria

Volumul

Viteza

Acceleraia

Acceleraia gravitaional

Viteza unghiular

Fora

Greutatea

Moment

Puterea

Densitatea masic

Greutate specific

Presiunea

Tensiunea

Tensiunea superficial

Vscozitatea dinamic

Vscozitatea cinematic

Modul de elasticitate

Coeficient de

compresibilitate

Debit volumic

Debit masic

m

l

t

A

V

V

a

g

F

G

M

P

p

E

Q

m

Kg

m

s

m2

m3

m/s

m/s2

m/s2

rad/s

N=kg m /s2

N

Nm

W

kg/m3

kg/(m2s

2)

Pa=N/m2

N/m2

N/m

Pa s

m2/s

N/m2

m2/N

m3/s

kg/s

M

L

T

L2

L3

LT-1

LT-2

LT-2

T-1

MLT-2

MLT-2

ML2T

-2

ML2T

-3

ML-3

ML-2

T-2

ML-1

T-2

ML-1

T-2

MT-2

ML-1

T-1

L2T

-1

ML-1

T-2

ML-1

T-2

L3T

-1

MT-1

1.2 S se arate prin analiz dimensional relaia dintre numrul Reynolds i densitatea , vscozitatea cinematic , viteza v a unui fluid i o lungime

caracteristic l.

REZOLVARE

Folosind analiza dimensional pentru stabilirea relaiei dintre numrul

Reynolds i mrimile enumerate pornim de la faptul c numrul Reynolds este n

funcie de mrimile , , v i l, adic:

l,v,,fRe Analiza dimensional se bazeaz pe faptul c o relaie ntre mrimile fizice

trebuie s fie omogen dimensional. Utilizm metoda Rayleigh care presupune c

mrimea rezultant, n cazul nostru numrul Re, se poate scrie ca fiind proporional cu

un produs de puteri al mrimilor care o determin, adic: dcba lvkRe

1- Analiz dimensional i similitudine hidrodinamic

17

unde k este coeficientul de proporionalitate. Puterile a,b,c,d se gsesc impunnd

condiia ca aceast relaie s fie omogen dimensional:

dc1b12a3ooo LLTTLMLkTLM cbdcb2a3aooo TLMkTLM

adic s avem urmtoarele egaliti:

cb0

dcb2a30

a0

Rezolvnd acest sistem de ecuaii obinem:

bd

bc

0a

adic: b

bbbo lvklvkRe

OBSERVAIE: Valorile lui k i b se determin prin analiz experimental. n

condiiile noastre 1k i 1b i atunci pentru numrul Re se obine relaia cunoscut:

lvRe

1.3 Pentru un lichid ideal s se exprime debitul Q care trece printr-un orificiu mic n funcie de densitatea lichidului , diferena de presiune i diametrul

orificiului.

REZOLVARE

Folosind analiza dimensional pentru stabilirea relaiei:

d,p,fQ

cba dpkQ

cb21a313 LTMLMLkTL

Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic

18

Adic avem sistemul:

b21

cba33

ba0

i rezult:

2c2

1b

2

1a

i obinem relaia:

pdkdpkQ 222/12/1

OBSERVAIE: Din experimente i considernd c pentru un orificiu situat pe

o parte a unui rezervor la adncimea H avem relaia Hgp se constat c avem

42k

, deci:

Hg2d4

1Hgd

42Q 22

1.4 Folosind analiza dimensional s se determine presiunea unui fluid incompresibil asupra unui obiect imersat admind c presiunea este funcie de

densitate i de vitez.

REZOLVARE

Cutm o dependen de forma:

v,fp

ba vkp

b1a321 LTMLkTML

bba3a21 TLMkTML

1- Analiz dimensional i similitudine hidrodinamic

19

adic obinem sistemul:

b2

ba31

a1

2b

1a

Obinem: 2vkp

1.5 Admind c puterea furnizat de o pomp este funcie de greutatea specific a lichidului , de debit Q i de nlimea de pompare H, stabilii o ecuaie prin

analiz dimensional.

REZOLVARE

H,Q,fP cba HQkP

cb13a2232 LTLTMLkTML b2a2cb3a2a32 TLMkTML

Avem deci sistemul:

ba23

cb3a22

a1

care rezolvat d soluia:

1c

1b

1a

Obinem astfel pentru putere relaia:

HQkP

Pentru 1k i innd cont c g obinem relaia cunoscut:

HQgP

Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic

20

1.6 S se stabileasc relaia de calcul pentru puterea furnizat de o pomp prin analiz dimensional tiind c aceasta se va exprima n funcie de densitatea

lichidului vehiculat, acceleraia gravitaional, debitul Q i nlimea de pompare H.

REZOLVARE

Aceast problem este asemntoare cu problema anterioar, ea va ajunge

practic la acelai rezultat. Se pornete deci de la legtura dintre mrimile fizice

precizate n enun.

H,Q,g,fP dcba HQgkP

adic:

dc13b2a332 LTLLTMLkTML cb2dc3ba3a32 TLMkTML

i se ajunge la sistemul:

cb23

dc3ba32

a1

3cb2

5dc3b

1a

Pentru rezolvarea sistemului se observ c avem 3 ecuaii i 4 necunoscute. De

aceea ne folosim de faptul c rezolvnd problema anterioar am obinut c 1b i pentru acest caz avem:

1d

1c

1b

1a

adic:

HQgP

deci am obinut i n acest caz rezultatul problemei anterioare.

1.7 Admind c fora cu care acioneaz un fluid n micare asupra unui corp este funcie de densitate, vscozitatea dinamic, viteza fluidului i o lungime

caracteristic a corpului stabilii ecuaia general a forei.

REZOLVARE

Folosind tot analiza dimensional pentru for avem:

l,v,,fF

1- Analiz dimensional i similitudine hidrodinamic

21

dcba lvkF

dc1b11a32 LLTTMLMLkMLT cbdcba3ba2 TLMkMLT

adic:

cb2

dcba31

ba1

b2d

b2c

b1a

Adic: b2b2bb1 lvkF

nmulim i mprim cu 2 i punem expresia sub forma:

2

vl

lvk2F

22

b

OBSERVAIE: Recunoatem n parantez numrul Reynolds i tiind c l2

este o arie obinem:

2

vARek2F

2b

sau echivalent cu o relaie cunoscut:

2

vACF

2

p

1.8 S se stabileasc o expresie a tensiunii tangeniale vscoase a unui fluid care curge printr-o conduct admind c aceasta depinde de diametrul conductei,

rugozitatea relativ a peretelui, de densitatea fluidului, de viscozitate i viteza fluidului.

REZOLVARE

Vrem s stabilim o legtur ntre tensiunea tangenial i diametrul d,

rugozitatea relativ a peretelui k, densitatea , vscozitatea dinamic i viteza

fluidului v.

v,,,k,df

edcba vkdC

i am notat cu C coeficientul de proporionalitate.

Rugozitatea relativ a peretelui este o mrime adimensional.

Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic

22

e1d11c3b

a21 LTTMLMLL

LLCTML

eddcedc3a21 TMLCTML

Relaia trebuie s fie omogen dimensional, deci avem:

ed2

edc3a1

dc1

Rezolvnd sistemul n funcie de d avem:

d2e

d1c

da

Deci am obinut o relaie de forma: d2dd1bd vkdC

Grupm termenii i obinem:

2b

d

vkdv

C

Se observ n parantez c avem numrul Reynolds. 2bd vkReC

OBSERVAIE: Am pus astfel n eviden o relaie de legtur ntre i

numrul Re i rugozitatea relativ a pereilor, de aici fiind necesare i corelrile ce se

pot face cu rezultatele experimentale.

1.9 S se stabileasc expresia cderii de presiune p ce apare ntr-o conduct de diametru d, lungime l, rugozitatea relativ a peretelui k, ce transport un

fluid cu densitatea i vscozitatea dinamic cu viteza medie pe seciune v folosind

analiza dimensional.

REZOLVARE

Avnd date mrimile de care depinde cderea de presiune p putem considera:

v,,,k,l,dfp sau:

fedcba vkldCp

1- Analiz dimensional i similitudine hidrodinamic

23

unde k este rugozitatea relativ a peretelui d

k

, adic este o mrime adimensional,

raportul dintre nlimea asperitilor superficiale i diametrul d al conductei.

v,,k,l,dfp fedcba vkldCp

f1e11d3c

ba21 LTTMLMLL

LLLCTML

fefed3baed21 TLMCTML

fe2

fed3ba1

ed1

Considerm 1b . Obinem:

f2e

1fd

1b

3fa

ff21fc3f vkldCp

mprim cu g

ff21f

c2f

vkld

d

g

1C

g

p

2c

2f

2f2f2f

vkd

lvd

g

1C

g

p

g

vdvk

d

l

2

2C

g

p 22f

c

g

v

d

lk

dvC2

g

p 2c2f

Se observ n parantez numrul

dvRe

g

v

d

lConst

g

p 2

adic s-a ajuns la relaia lui Darcy.

Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic

24

OBSERVAIE: Se observ c metoda Rayleigh se folosete uor cnd

numrul mrimilor studiate este mai mic dect cinci sau ase. Astfel se obine un

sistem de ecuaii cu mult mai multe necunoscute i chiar dac se mai fac anumite

ipoteze simplificatoare cazul este mai complicat matematic. n acest caz este de

preferat s se aplice Teorema Pi. Aceeai problem este rezolvat mai jos n problema

urmtoare folosindu-se Teorema Pi.

1.10 S se stabileasc expresia cderii de presiune p ce apare ntr-o conduct de diametru d, lungime l, rugozitatea relativ a peretelui k, ce transport un

fluid cu densitatea i vscozitatea dinamic cu viteza medie pe seciune v folosind

teorema Pi n cadrul analizei dimensionale.

REZOLVARE

Vrem s stabilim urmtoarea dependen:

v,,,k,l,dfp Teorema Pi sau teorema Vaschy-Buckingham arat c orice relaie ce conine n

mrimi fizice din care p mrimi primare i s mrimi secundare, poate fi pus

sub forma unei relaii ntre s produse adimensionale.

Se aleg mrimile primare dintre mrimile ce guverneaz fenomenul astfel nct

s ndeplineasc urmtoarele cerine:

- s fie independente adimensional; - s permit exprimarea tuturor unitilor fundamentale. Mrimile care apar n relaie se scriu ntr-o matrice dimensional ce conine

exponenii mrimilor fundamentale L, M, T astfel:

Dimensiune/Mrime p d l k v

M 1 0 0 0 1 1 0

L -1 1 1 0 -3 -1 1

T -2 0 0 0 0 -1 -1

S-a inut cont de observaia fcut i n problema anterioar i anume c k este

rugozitatea relativ a peretelui d

k

, adic este o mrime adimensional.

n aceast matrice mrimile primare ce trebuie alese trebuie s asigure un

detzerminant diferit de zero.

Dac se aleg mrimile d, , v avem ndeplinite cele dou cerine pentru mrimi

primare, iar determinantul:

01

100

131

010

1- Analiz dimensional i similitudine hidrodinamic

25

Avem deci trei mrimi primare(d, , v) din cele apte, i deci celelalte patru sunt

mrimi secundare i se pot forma patru produse adimensionale.

Vom grupa mrimile primare la sfritul relaiei:

v,,d,,k,lfp Matricea dimensional se reduce la:

Dimensiunea Exponent

dimensional

A1

p

A2

l

A3

k

A4

A5

d

A6

A7

v

M

i

1 0 0 1 0 1 0

L i

-1 1 0 -1 1 -3 1

T i -2 0 0 -1 0 0 -1

Produsele adimensionale care se formeaz sunt de forma:

oooKKKK

7

K

6

K

5

K

4

K

3

K

2

K

1 TLMTLMAAAAAAAiiii1i7654321

unde i , i , i sunt exponenii dimensiunilor M, L, T pentru fiecare mrime Ai i

care rezult din matrice. Produsul este adimensional, deci exponenii dimensionali ai

produsului sunt nuli i avem:

0KKK2K

0KK3KKKKK

0KKKK

741ii

765421ii

641i

Avem format un sistem de trei ecuaii cu ase necunoscute (K3 nu apare n sistem).

0KKK2

0KK3KKKK

0KKK

741

765421

641

de unde rezult:

425

417

416

KKK

KK2K

KKK

n matricea soluiilor se va da succesiv valoarea 1 uneia din mrimile K1, K2, K3,

K4 i celelalte se iau zero. i calculm valorile lui K5, K6, K7 n funcie de primele pe

baza relaiilor stabilite mai sus.

Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic

26

Deci s-au format urmtoarele produse adimensionale:

2

21

1v

pvp

D

ldl 12

k3

vdvd 1114

Aceste produse adimensionale exprim de fapt mrimile secundare cnd s-au

stabilit cele primare. Atunci avem obinut relaia:

v

v,,

d

d,

vd,k,

d

lf

v

p2

adic o dependen de forma:

vd,k,

d

lf

v

p12

OBSERVAIE: tiind c p este direct proporional cu lungimea conductei,

deci i cu l/d se mai poate scrie:

vd,kf

d

l

v

p22

i innd cont de criteriile de similitudine, avem:

Re,kfd

lEu 2

sau

2

v

d

lkRe,

2

v

d

lRe,kf2vRe,kf

d

l

2

2p

22

2

2

2

p

K1

l

K2

k

K3

K4

d

K5

K6

v

K7

1 1 0 0 0 0 -1 -2

2 0 1 0 0 -1 0 0

3 0 0 1 0 0 0 0

4 0 0 0 1 -1 -1 -1

1- Analiz dimensional i similitudine hidrodinamic

27

adic relaia lui Darcy. Funcia se determin fie experimental, fie din considerente

teoretice. Deci prin analiz dimensional s-au stabilit doar parametrii adimensionali ce

guverneaz fenomenul.

1.11 S se determine folosind teorema Pi formula debitului peste un deversor triunghiular dac acesta depinde de nlimea lamei deversante h, unghiul la

vrf , densitatea lichidului , vscozitatea cinematic a lichidului , tensiunea

superficial i acceleraia gravitaional g.

REZOLVARE

Dorim s gsim o dependen de forma:

g,,,,,hfQ Considernd explicaiile fcute pe larg la problema anterioar putem scrie:

Q h g

M 0 0 0 1 0 1 0

L 3 1 0 -3 2 0 1

T -1 0 0 0 -1 -2 -2

Dac alegem h, , g mrimile primare avem determinantul:

02

200

131

010

Deci avem mrimile primare h, , g i avem patru mrimi secundare, deci patru

produse adimensionale.

Procednd ca la problema anterioar se va ajunge la urmtoarea dependen:

g

g,

hg,

hgh,,,

h

hf

hgh

Q22

Ca exemplificare considerm:

ooo322 TLMLMTLLTMgh Adic se obine:

022

03

01

1

1

2

Deci ca s exprimm termenul adimensional care-l conin pe am obinut:

2hg

Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic

28

Analog se procedeaz i pentru i pentru . Se ajunge la dependena mai simpl:

212 hg

,hgh

,fhgh

Q

Deci avem: 2/12/5

1

2

1 ghfhghfQ

1.12 Pentru studiul unui deversor s-a construit un model avnd dimensiunile de 20 de ori mai mici dect ale prototipului. S se stabileasc scrile pentru viteze i

debite. Considernd debitul deversorului Qp=250 m3/s s se determine debitul necesar

pe model.

REZOLVARE

n cadrul unui deversor criteriul determinant n realizarea similitudinii este criteriul

Froude:

lg

vFr

2

Conform teoremei lui Newton pentru fenomene ce formeaz un grup de

similitudine, criteriile de similitudine de acelai nume au valori unice pentru toate

fenomenele grupului. Aceasta nseamn n cazul nostru c numrul Froude pentru

prototip i pe model are aceeai valoare.

mp FrFr

mm

2

m

pp

2

p

lg

v

lg

v

Dar acceleraia cmpului gravitaional terestru este practic constant, deci

mp gg

i se obine:

m

p

2

m

2

p

l

l

v

v

De unde scara corespunztoare vitezelor, adic raportul dintre viteza de pe prototip

i cea de pe model, rezult c este:

472,420l

l

v

vv

m

p

m

p

o

Scara debitelor se calculeaz innd cont de ecuaia de continuitate SvQ

1- Analiz dimensional i similitudine hidrodinamic

29

854,178820ll

l

l

l

l

l

l

l

v

v

Sv

Sv

Q

QQ 2/52/5o

5,2

m

p

2

m

p

m

p

2

m

2

p

m

p

mm

pp

m

p

o

Debitul necesar pe model va fi:

1397,020

250

Q

QQ

2/5

o

p

m m3/s

1.13 ntr-o conduct cu diametrul 250 mm curge ap la 15C cu viteza de 5 m/s. Cu ce vitez trebuie s curg un combustibil la temperatura de 32C (c=2,9710

-6

m2/s) ntr-o conduct de 150 mm pentru ca cele dou curgeri s fie din punct de vedere

dinamic asemenea?

REZOLVARE

n cazul micrii n conduct efectul vscozitii nu poate fi neglijat i de aceea

trebuie respectat criteriul de similitudine de tip Reynolds. nseamn c pentru a avea o

similitudine hidrodinamic ntre cele dou fenomene trebuie ca cele dou numere

Reynolds pentru cele dou curgeri s fie egale.

lcombustibiapa ReRe

c

cc

a

aa dvdv

unde indicele a este pentru ap i indicele c corespunde combustibilului. Vscozitatea apei la 15 se determin cu formula lui Poiseuille:

2

6

t00022,0t0337,01

1078,1

[m2/s]

t fiind temperatura apei n [C].

Pentru ap la 15C se obine vscozitatea cinematic:

6

2

6

a 101447,11500022,0150337,01

1078,1

m2/s

Rezult n final:

621,21101447,1

1097,2

150

2505

d

dvv

6

6

a

c

c

a

ac

m/s

1.14 Pentru golirea modelului unui rezervor sunt necesare 6 minute prin deschiderea ventilului de evacuare. S se determine timpul necesar golirii unui rezervor

de 225 de ori mai mare dect modelul.

Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic

30

REZOLVARE

n acest caz greutatea este fora dominant i deci criteriul de similitudine care

trebuie respectat este cel al lui Froude. Aceasta nseamn c pentru model i prototip

avem:

pm FrFr

pp

2

p

mm

2

m

lg

v

lg

v

Dar pm gg

i avem n continuare:

p

m

2

n

2

m

l

l

v

v o

p

m

p

m ll

l

v

v

Adic oo lv sau:

o

1

oo ltl

oo lt

Adic:

15225lt

to

m

p

Timpul necesar golirii prototipului este:

9015615tt mp minute

1.15 n cazul unui ajutaj Venturi ce funcioneaz cu ap la temperatura de 20C se dorete o vitez n seciunea contractat de 450 mm de 5 m/s. Se construiete

un model de 4 ori mai mic dect prototipul care va funciona cu ap la 40C. S se

determine care este debitul necesar pentru model.

REZOLVARE

Criteriul de similitudine n acest caz care trebuie respectat este:

pm ReRe

p

pp

m

mmdvdv

Din relaia lui Poiseuille se determin vscozitatea cinematic a apei la cele dou

temperaturi (20C i 40C). 6

20p1001,1o

m2/s

6

40m1066,0o

m2/s

1- Analiz dimensional i similitudine hidrodinamic

31

07,131001,1

1066,045

d

dvv

6

6

p

m

m

p

pm

m/s

1299,04

4

450,0

07,134

dvSvQ

2

2

mmmmm

m3/s

1.16 ntr-un prototip se va folosi ulei cu vscozitatea cinematic p=4,7010

-5 m

2/s. Considernd c dominante n prototip sunt fora de greutate i

forele de frecare vscoase se dorete s se construiasc un model la scara 1/10. Care

va fi vscozitatea lichidului necesar pentru model?

REZOLVARE

innd cont c dominante sunt fora de greutate i forele de frecare vscoas

nseamn c att numrul Froude ct i numrul Reynolds trebuie s fie acelai pentru

model i prototip. Aceasta nseamn c avem:

mp FrFr adic mm

2

m

pp

2

p

lg

v

lg

v

i mp gg

Rezult c avem m

p

2

m

2

p

l

l

v

v

Aceast relaie dac o scriem considernd scara lungimilor m

p

ol

ll i scara

vitezelor m

p

ov

vv devine: o

2

o lv oo lv

A doua condiie care trebuie ndeplinit este:

mp ReRe adic m

mm

p

pp dvdv

de unde:

2/3

o

p

oo

p

oo

p

p

m

p

mpm

ll

1

l

1

l

1

v

1

d

d

v

v

Fcnd nlocuirile obinem:

6

2/3

5

2/3

o

mm 10486,1

10

1070,4

l

m2/s

Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic

32

1.17 Se consider un prototip ajutaj convergent ce se dorete s se foloseasc pentru un debit Qp=80 l/s de ap cu viteza vp=50 m/s. S-a construit i

ncercat un model cu diametru la ieire dm=40 mm la o diferen de presiune pm=3 bar

tot cu ap i s-a obinut un debit Qm=20 l/s i viteza medie pe seciunea contractat a

ajutajului vm=25 m/s. S se determine pentru prototip care este diferena de presiune i

diametrul seciunii de ieire din ajutaj.

REZOLVARE

Criteriul de similitudine care trebuie luat n considerare innd cont c avem cdere

de presiune este Euler. Astfel putem scrie pentru model i prototip:

pm EuEu

adic:

2

pp

p

2

mm

m

v

p

v

p

Pentru c att modelul ct i prototipul sunt ncercate cu acelai lichid (apa) avem

pm i rezult:

2

m

p

m

p

v

v

p

p

Astfel obinem:

bar12Pa101225

50103

v

vpp 5

2

5

2

m

p

mp

Cunoscnd debitele pentru prototip i model putem considera i raportul:

2

o

m

p2

o

m

p

mm

pp

m

pl

p

pl

v

v

Sv

Sv

Q

Q

i rezult scara lungimilor:

4142,1250

25

20

80

v

v

Q

Q

p

p

Q

Ql

p

m

m

p

p

m

m

p

o

Dar scara lungimilor nseamn:

2d

dl

m

p

o mm57,56m05657,02040,02dd mp

1- Analiz dimensional i similitudine hidrodinamic

33

1.18 La etalonarea unei diafragme avnd D=250 mm i d=150mm pentru msurat aerul se folosete apa. S-a determinat debitul minim de ap de la care

coeficientul de debit rmne constant Qmin=19 l/s la o diferen de presiune pm=65

mm col Hg. Care este debitul minim de aer i diferena de presiune n mm col Hg

pentru Q minim de aer. Se dau apa=1,0110-6

m2/s, aer=18,1810

-6 Pas,

aer=1,17 kg/m3.

REZOLVARE

Pentru cele dou fenomene putem scrie:

pm ReRe

p

pp

m

mmdvdv

Fiind vorba de aceeai diafragm avem pm dd .

Astfel obinem:

p

m

p

m

v

v

Raportul debitelor se poate scrie:

p

m

p

m

2

p

m

p

m

p

m

v

v

d

d

v

v

Q

Q

i obinem:

2923,01001,1

17,1

1018,18

019,0QQ6

6

m

p

mp

m3/s

Cderea de presiune apare n criteriul Euler i putem scrie pentru model i prototip

egalitatea:

pm EuEu

2

pp

p

2

mm

m

v

p

v

p

2

6

6

2

m

p

m

p

m

2

m

p

m

p

mp1001,1

17,1

1018,18

1000

17,165p

v

vpp

= 18 mm Hg

Noiuni teoretice i probleme de hidrodinamic

34

1.3.2 Probleme propuse spre rezolvare

1.19 S se stabileasc relaia dintre numrul Reynolds i densitatea , vscozitatea dinamic , viteza v a fluidului i o lungime caracteristic l folosindu-se

analiza dimensional.

R:

lvRe

1.20 S se determine dependena dintre rezistena la naintare a unui corp ntr-un fluid, tiind c depinde de viteza v, o dimensiune caracteristic a corpului l,

rugozitatea suprafeei acesteia k, densitatea fluidului , vscozitatea dinamic i

modulul de compresibilitate E.

R:

MaRe,,

l

k

lv

F22

1.21. S se determine viteza ntr-un punct al unui deversor, dac s-a construit

un model al deversorului funcionnd n condiii similare, fiind de 30 de ori mai mic i

corespunztor a dou puncte omoloage de pe model i prototip, n punctul

corespunztor modelului viteza este v=0,5 m/s.

R: vp=2,739 m/s

1.22. Printr-o conduct avnd diametrul de 100 mm curge ap cu viteza de 1,5

m/s la 20C (apa 20oC=1,0110

-6 m

2/s). Cu ce vitez va curge petrolul (p=410

-6 m

2/s)

prin aceeai conduct considernd cele dou curgeri similare.

R: vp=5,94 m/s

1.23 Printr-o conduct cu diametrul de 500 mm se transport aer cu o vitez de

2,5 m/s. Pentru a asigura o similitudine dinamic care trebuie s fie dimensiunile unei

conducte care transport ap la 15C cu o vitez de 1,5 m/s? (aer=1,4910-5

m2/s i

apa=1,1410-6

m2/s).

R: dapa=63,76 mm