ANALIZA AKUSTYCZNYCH OBRAZÓW FALOWYCH W ASPEKCIE

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie

Wydział Geologii, Geofizyki i Ochrony Środowiska

Zakład Geofizyki

PRACA DOKTORSKA

ANALIZA AKUSTYCZNYCH OBRAZÓW FALOWYCH

W ASPEKCIE ZWIĘKSZENIA INFORMACJI

O PARAMETRACH

SPRĘŻYSTYCH I ZBIORNIKOWYCH SKAŁ

mgr inż. Kamila Wawrzyniak

promotor:

prof. dr hab. inż. Jadwiga Jarzyna

Kraków, 2007

ii

Mojej Mamie

Streszczenie

iii

Streszczenie

Analiza akustycznych obrazów falowych w aspekcie zwiększenia

informacji o parametrach sprężystych i zbiornikowych skał

W pracy przedstawiono zastosowanie analiz czasowo-częstotliwościowych do przetwarzania

akustycznych obrazów falowych (AOF). Zaproponowano oryginalne procedury prowadzące do

dokładnego określenia fal na AOF, rozdzielenia pola falowego oraz do wskazania stref o zmienionych

własnościach sprężystych. Założono, że poprawna identyfikacja fal użytecznych (P, S i Stoneleya)

oraz dysponowanie pakietami falowymi wolnymi od interferencji, przyczyni się do dokładniejszego

i bardziej wiarygodnego wyznaczenia parametrów sprężystych i zbiornikowych skał.

W części kompilacyjnej pracy zawarto podstawy teoretyczne transformat czasowo-

częstotliwościowych, omówiono profilowanie akustyczne z pełnym obrazem falowym wraz ze

szczegółową charakterystyką fal akustycznych oraz krótko opisano wykorzystane w pracy dane.

W dalszej części dokładnie zreferowano przeprowadzone na danych syntetycznych i rzeczywistych

rejestracjach badania z wykorzystaniem dyskretnej (DWT) i ciągłej transformaty falkowej (CWT)

oraz metody pogoń za dopasowaniem (MP). Szczegółowo przedstawiono opracowaną dla każdej

analizy metodykę przetwarzania obrazów falowych i przeprowadzono wnikliwą dyskusję wyników.

Wykonane badania wykazały, że najlepszą rozdzielczością charakteryzuje się metoda pogoń za

dopasowaniem. Pozwala ona na rozdzielenie pola falowego i wykonanie interpretacji ilościowej

(określenie czasów interwałowych poszczególnych fal akustycznych oraz częstotliwości). Czasowo-

częstotliwościowe reprezentacje AOF wykorzystano również do opracowania procedur

wspomagających interpretację jakościową. Na podstawie CWT sporządzono wykresy czasowo-

głębokościowo-częstotliwościowe, a metody CWT i MP wykorzystano do obliczenia map atrybutów

chwilowych obrazujących lokalne zmiany ośrodka geologicznego.

Praca ma charakter metodyczny i przedstawia nowatorskie podejście do przetwarzania AOF.

Prezentowane procedury są uniwersalne i mogą być wykorzystane do przetwarzania i analizy

sygnałów rejestrowanych innymi sondami akustycznymi (np. Full Wave Sonic) oraz danych

pochodzących z innych metod geofizycznych, np. sejsmiki otworowej, powierzchniowej płytkiej

i głębokiej oraz każdego rodzaju sygnałów wykazujących zróżnicowanie czasowo-częstotliwościowe.

Abstract

iv

Abstract

Analysis of acoustic full waveforms in terms of improving information

about elastic and reservoir parameters of rocks

PhD thesis presents application of time-frequency methods to acoustic full waveforms (AFW)

processing. The goals of the research are: precise determination of acoustic waves from AFW, wave

field decomposition into separate waves and pointing out zones of different elastic parameters. It is

assumed that proper identification of P, S and Stoneley waves and interference-free waves extracted

from AFW are necessary conditions of reliable and accurate determination of elastic and reservoir

properties of rocks.

First part of the thesis includes: theoretical background of time-frequency methods, information

on full waveform acoustic logs and brief description of the data. Second part is devoted to detailed

description of time-frequency analyses of acoustic full waveforms. Discrete wavelet transform,

continuous wavelet transform and matching pursuit algorithm are applied to AFW. Simulations,

developed methodology and results of each method are discussed in detail. From proposed methods

matching pursuit reveals the best resolution and makes wave extraction possible. Results are used for

transit interval time calculation (DTP, DTS and DTSt), which are compared with the counterpart

parameters obtained from the original waveforms (i.e. not decomposed with matching pursuit).

Additionally, decompositions are used for determination of frequency content of each wave packet.

Time-frequency representations of AWF are also used to improving qualitative interpretation. On the

basis of continuous wavelet transform time-depth-frequency plots for a given frequency are

constructed. What is more, continuous wavelet transform and matching pursuit decomposition are

used to calculating instantaneous attributes that indicate local changes of geological formation.

Presented research is a kind of methodological work. Developed procedures are innovative and

universal. They can be successfully applied to acoustic full waveforms recorded with different sonic

tools. Procedures can be adapted also to other type of acoustic measurements, seismic data and any

other geophysical signals that are characterized by changeable frequency and time.

Spis treści

v

Spis treści

Streszczenie

Analiza akustycznych obrazów falowych w aspekcie zwiększenia informacji o parametrach sprężystych

i zbiornikowych skał .......................................................................................................................................iii

Abstract

Analysis of acoustic full waveforms in terms of improving information about elastic and reservoir

parameters of rocks ......................................................................................................................................... iv

Rozdział 1 Wstęp ................................................................................................................................................... 1

1.1 Wprowadzenie.................................................................................................................................................. 1

1.2 Teza pracy ........................................................................................................................................................ 3

Rozdział 2 Metody czasowo-częstotliwościowe ................................................................................................... 4

2.1 Wprowadzenie do analizy czasowo-częstotliwościowej sygnałów.................................................................. 4

2.1.1 Sygnał .................................................................................................................................................... 4

2.1.2 Analiza sygnałów .................................................................................................................................. 4

2.1.3 Klasyfikacja sygnałów........................................................................................................................... 5

2.1.4 Analiza częstotliwościowa i czasowo–częstotliwościowa sygnałów .................................................... 8

2.1.5 Zasada nieoznaczoności ...................................................................................................................... 10

2.1.6 Przegląd najpopularniejszych metod analizy czasowo-częstotliwościowej......................................... 11

Krótkoczasowa transformata Fouriera STFT ...................................................................................... 11

Transformata Wignera (Wignera-Ville’a) ........................................................................................... 11

Transformacja falkowa WT................................................................................................................. 12

Pogoń za dopasowaniem MP............................................................................................................... 13

2.1.7 Podsumowanie analizy czasowo-częstotliwościowej sygnałów niestacjonarnych .............................. 14

2.2 Transformata falkowa .................................................................................................................................... 16

2.2.1 Ciągła transformata falkowa................................................................................................................ 17

2.2.2 Dyskretna transformata falkowa.......................................................................................................... 19

2.3 Pogoń za dopasowaniem ................................................................................................................................ 21

2.3.1 Algorytm pogoni za dopasowaniem .................................................................................................... 22

2.3.2 Dobór elementów słownika ................................................................................................................. 23

2.3.3 Pogoń za dopasowaniem z dyskretnym słownikiem Gabora............................................................... 24

2.3.4 Gęstość energii w przestrzeni czas - częstotliwość.............................................................................. 25

Rozdział 3 Akustyczne obrazy falowe................................................................................................................ 27

3.1 Profilowanie akustyczne z pełnym obrazem falowym ................................................................................... 27

3.1.1 Podstawy profilowania akustycznego.................................................................................................. 27

Spis treści

vi

3.1.2 Budowa sondy LSS ............................................................................................................................. 30

3.1.3 Schemat obliczania czasów interwałowych dla sondy LSS................................................................. 32

3.2 Fale akustyczne generowane w otworach wiertniczych................................................................................. 36

Fale objętościowe ................................................................................................................................ 37

Fale prowadzone.................................................................................................................................. 40

Fala w płuczce ..................................................................................................................................... 43

Inne fale ............................................................................................................................................... 45

3.3 Metody interpretacji akustycznych obrazów falowych .................................................................................. 47

Rozdział 4 Dane ................................................................................................................................................... 50

4.1 Otwór K6........................................................................................................................................................ 50

4.1.1 Litostratygrafia otworu K6 .................................................................................................................. 50

4.1.2 Charakterystyka akustycznych obrazów falowych w otworze K6 ...................................................... 52

4.1.3 Podział akustycznych obrazów falowych na strefy odpowiadające skałom o różnych własnościach

sprężystych i zbiornikowych ............................................................................................................... 53

4.1.4 Przygotowanie danych do analiz czasowo-częstotliwościowych ........................................................ 56

Rozdział 5 Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych z zastosowaniem wybranych metod

czasowo-częstotliwościowych.............................................................................................................................. 58

5.1 Parametry sygnałów syntetycznych oraz sygnały testowe ............................................................................. 58

5.2 Analiza składu częstotliwościowego akustycznych obrazów falowych za pomocą transformaty Fouriera ... 60

5.3 Zastosowanie dyskretnej transformaty falowej .............................................................................................. 66

5.3.1 Wprowadzenie ..................................................................................................................................... 66

5.3.2 Badania na danych syntetycznych ....................................................................................................... 66

5.3.3 Badania na danych rzeczywistych ....................................................................................................... 71

5.4 Zastosowanie ciągłej transformaty falkowej .................................................................................................. 75

5.4.1 Wprowadzenie ..................................................................................................................................... 75

5.4.2 Skala a częstotliwość w ciągłej transformacie falkowej...................................................................... 75


5.4.4 Badania na danych rzeczywistych ....................................................................................................... 80

5.4.5 Wykresy czasowo-głębokościowo-częstotliwościowe akustycznych obrazów falowych dla

wybranych, pojedynczych częstotliwości............................................................................................ 83

5.5 Zastosowanie metody pogoń za dopasowaniem............................................................................................. 89

5.5.1 Wprowadzenie ..................................................................................................................................... 89

5.5.2 Wrażliwość metody pogoń za dopasowaniem na przesunięcia sygnału wzdłuż osi czasu

(rozdzielczość czasowa) ...................................................................................................................... 90

5.5.3 Rozdzielczość częstotliwościowa algorytmu MP................................................................................ 91

5.5.4 Dobór ilości atomów dekompozycji .................................................................................................... 95


Spis treści

vii

5.5.6 Parametryzacja atomów Gabora pod kątem wydzielenia fal akustycznych z obrazów falowych ..... 100

Częstotliwość..................................................................................................................................... 100

Oktawa............................................................................................................................................... 100

Położenie ........................................................................................................................................... 101

Amplituda .......................................................................................................................................... 101

Faza ................................................................................................................................................... 101

5.5.7 Schemat rozdzielenia pola falowego w oparciu o parametryzację atomów Gabora.......................... 101

5.5.8 Wyniki dekompozycji akustycznych obrazów falowych metodą pogoń za dopasowaniem: analizy

czasu interwałowego i częstotliwości wydzielonych fal ................................................................... 105

Analiza czasu interwałowego ............................................................................................................ 105

Analiza częstotliwości ....................................................................................................................... 107

5.6 Atrybuty chwilowe obliczone w oparciu o mapy czasowo-częstotliwościowe............................................ 110

5.6.1 Wprowadzenie ................................................................................................................................... 110

5.6.2 Badania parametryczne i na danych syntetycznych dla transformaty falkowej................................. 114

Badania na danych syntetycznych ..................................................................................................... 114

Badania parametryczne...................................................................................................................... 122

5.6.3 Atrybuty chwilowe otrzymane dla danych rzeczywistych za pomocą transformaty falkowej .......... 126

5.6.4 Badania na danych syntetycznych dla metody pogoń za dopasowaniem .......................................... 140

5.6.5 Atrybuty chwilowe otrzymane dla danych rzeczywistych za pomocą

metody pogoń za dopasowaniem....................................................................................................... 140

Rozdział 6 Podsumowanie ................................................................................................................................ 147

Spis rysunków.................................................................................................................................................... 150

Spis tabel ............................................................................................................................................................ 155

Literatura........................................................................................................................................................... 156

Podziękowania ................................................................................................................................................... 163

1. Wstęp

1

Rozdział 1

Wstęp

1.1 Wprowadzenie

W otworach wiertniczych wykonuje się szereg pomiarów opierających się na rozchodzeniu fal

sprężystych w ośrodku skalnym. Profilowania akustyczne ukierunkowane na uzyskanie informacji

o czasach interwałowych, tj. prędkościach fal w ośrodku geologicznym, wykonywane są w otworach

niezarurowanych za pomocą różnego rodzaju sond. Mogą to być sondy kompensacyjne BHC (ang.

Borehole Compensated Tool) (Kokesh et al. 1964), o wydłużonym rozstawie LSS (ang. Long Spaced

Sonic) (Williams et al. 1984) oraz sondy wieloodbiornikowe (ang. Array Sonic Tool) (Arditty et al.

1991). Powyższe urządzenia pomiarowe wyposażone są w źródła monopolowe, które generują fale

objętościowe (P, S) i prowadzone (leaky modes, pseudo-Rayleigha, Stoneleya). W utworach,

w których powstanie fali S jest utrudnione lub niemożliwe, stosowane są sondy ze źródłem

dipolowym lub kwadrupolowym (Zemanek et al. 1991). Pierwsze generują fale określane w języku

angielskim jako flexural waves, drugie wytwarzają fale nazywane screw waves. W otworach

zarurowanych wykonywane są pomiary stanu zacementowania otworu CBL (ang. Cement Bond Log)

(Broding i Buchanan 1986). Inny rodzaj pomiarów akustycznych to wysokorozdzielcze obrazowanie

ścianki otworu telewizorem akustycznym BHVT (ang. Borehole Televiewer) (Zemanek et al. 1970).

Wymieniając pomiary w otworach wiertnicznych wykorzystujące fale sprężyste, należy

wspomnieć o pionowych profilowaniach sejsmicznych PPS (ang. Vertical Seimic Profiling – VSP)

i profilowaniu prędkości średnich (ang. Check Shot Survey) (Dillon i Collyer 1985). Jednak z uwagi na

wykorzystanie w tych pomiarach fal o częstotliwościach rzędu kilkudziesięciu, rzadziej kilkuset Hz,

metody te zaliczane są do metod sejsmicznych. Częstotliwości stosowane w otworowych

profilowaniach akustycznych są rzędu kilku–kilkudziesięciu kHz, co pozwala na uzyskanie zasięgu od

kilkunastu do kilkudziesięciu cm i rozdzielczości pionowej od kilkudziesięciu mm do kilkudziesięciu

cm. Wyjątkiem jest telewizor akustyczny pracujący w zakresie ultradźwiękowym (od kilkuset kHz do

kilku MHz).

1. Wstęp

2

Jednym z pomiarów akustycznych wykonywanych w otworach jest profilowanie akustyczne

z pełnym obrazem falowym. Polega ono na rejestracji wszystkich fal przychodzących do odbiornika

w określonym przedziale czasowym. Wykorzystuje prędkość i tłumienie fal sprężystych, które zależą

od wielu czynników obejmujących m.in. strukturę i teksturę skały, skład mineralny, gęstość, wielkość

i rodzaj nasycenia przestrzeni porowej. W konsekwencji obrazy falowe mogą być wykorzystane do

pozyskania szerokiej informacji o ośrodku geologicznym i określenia szeregu parametrów

charakteryzujących własności sprężyste oraz zbiornikowe skał. Na podstawie pomiarów akustycznych

obrazów falowych in situ można wnioskować o prędkościach fal akustycznych, dynamicznych

modułach sprężystości, współczynniku Poissona, własnościach tłumiących ośrodka, porowatości,

przepuszczalności, nasyceniu węglowodorami, litologii, strefach szczelin i spękań. Bogactwo

informacji zawarte w rejestrowanych sygnałach, z jednej strony czyni akustyczne obrazy falowe

niezwykle cennymi w ocenie własności ośrodka geologicznego, z drugiej sprawia trudności

interpretacyjne. Podniesienie efektywności wyznaczenia parametrów sprężystych i zbiornikowych

skał może być zrealizowane poprzez udoskonalenie metodyki przetwarzania sygnałów akustycznych,

ukierunkowanej na dokładne rozpoznanie pola falowego. Metodą na pozyskanie informacji

o poszczególnych pakietach falowych rejestrowanych na obrazach falowych jest dekompozycja, czyli

rozdzielenie pomierzonych sygnałów. Potraktowanie akustycznych obrazów falowych jako sygnałów

niestacjonarnych, których zmiany częstotliwości w czasie są związane z rejestracją fal akustycznych

o zróżnicowanym składzie częstotliwościowym i różnej prędkości propagacji (tj. różnym czasie

przyjścia do odbiornika sondy), otwiera drogę analizom czasowo-częstotliwościowym.

Metody czasowo-częstotliwościowej analizy sygnałów stosunkowo niedawno znalazły

zastosowane w geofizyce. Najbardziej popularne są dyskretna i ciągła transformata falkowa (ang.

Discrete and Continuous Wavelet Transforms). Coraz częściej stosowana jest również metoda pogoń

za dopasowaniem (ang. Matching Pursuit). Metody te są przede wszystkim wykorzystywane

w szeroko rozumianym przetwarzaniu danych sejsmicznych (Chakraborty i Okaya 1995, Faqi et al.

1995, Dessing 1997, Castagna i Sun 2006, Droujinine 2006), poszukiwaniach węglowodorów

(Castagna et al. 2003, Sinha et al. 2005, Zabihi i Siahkoohi 2006) oraz interpretacji geologicznej

danych sejsmiki 3D (Verhelst 1998). Rzadziej używane są w analizie pól potencjalnych (Cooper 2006,

Audet i Mareschal 2007) oraz geofizyce otworowej (Li 1998). Przedstawiając metody czasowo-

częstotliwościowe należy wspomnieć o najnowszych osiągnięciach. Popularna staje się transformata S

(Stockwell et al. 1996). W ostatnich latach intensywnie rozwijane są narzędzia przetwarzania

sygnałów i obrazów będące uogólnieniem i rozszerzeniem transformaty falkowej. Powstały takie

transformaty jak: chirplet, curvelet, seislet, contourlet, ridgelet, które w geofizyce są jak dotąd

pioniersko wykorzystywane do obrazowania i analizy danych sejsmicznych. Pojawiły się pierwsze

publikacje w czasopismach geofizycznych (Bardainne et al. 2006). Większość informacji i materiałów

na temat tych metod jest głównie dostępna w Internecie na domowych stronach badaczy: Douma H.,

Herve C., Herrmann F. J., Fomel S. (w spisie literatury podano odnośniki do stron).

1. Wstęp

3

Możliwości wykorzystania metod czasowo-częstotliwościowych do przetwarzania i interpretacji

danych geofizycznych są bardzo szerokie. W prezentowanej pracy zaproponowano zastosowanie

transformaty falkowej i metody pogoń za dopasowaniem w analizie akustycznych obrazów falowych.

1.2 Teza pracy

Następujące fakty były podstawą sformułowania tezy pracy:

− Stosowane w sondach akustycznych nadajniki powodują powstanie fal sprężystych w otworach

wiertniczych.

− Ilość i rodzaj wygenerowanych fal zależy od kilku czynników: typu źródła (źródło monopolowe,

dipolowe, kwadrupolowe), charakterystyki częstotliwościowej sygnału źródłowego

(częstotliwości środkowej i pasma częstotliwości), warunków panujących w otworze (geometrii

otworu, warunków pomiarowych) oraz własności sprężystych ośrodka geologicznego.

W przypadku sondy LSS (Halliburton Energy Services), pracującej

z wysokoczęstotliwościowym źródłem monopolowym, mogą powstać fale objętościowe

(podłużne, poprzeczne), prowadzone (leaky modes, fale pseudo-Rayleigha, Stoneleya), fale

odbite i wielokrotnie odbite, fala biegnąca w płuczce oraz fala bezpośrednia.

− Wyżej wymienione fale propagują z różną prędkością i są rejestrowane przez odbiorniki sondy

w różnym czasie od emisji sygnału z nadajnika. Oznacza to, że fale akustyczne występują

w różnych miejscach (tj. na różnych czasach) na akustycznych obrazach falowych. Na czas

rejestracji fal wpływ mają własności sprężyste ośrodka, w którym propagują fale (m.in.

prędkość) oraz geometria układu pomiarowego (odległość miedzy nadajnikiem a odbiornikiem,

średnica sondy, średnica otworu).

− Poszczególne fale akustyczne różnią się także pod względem charakterystyki

częstotliwościowej. Skład częstotliwościowy zależy od częstotliwości środkowej i pasma

sygnału źródłowego oraz własności sprężystych ośrodka, w którym rozchodzą się fale.

− Akustyczne obrazy falowe można potraktować jako sygnały niestacjonarne, których zmiany

częstotliwości w czasie są związane z rejestracją fal akustycznych o zróżnicowanym składzie

częstotliwościowym i różnej prędkości propagacji (tj. różnym czasie przyjścia do odbiornika).

Naturalną metodą przetwarzania tego typu sygnałów są transformaty czasowo-

częstotliwościowe pozwalające wyodrębnić elementy składowe sygnału.

Powyższe stwierdzenia uzasadniają postawienie tezy: akustyczne obrazy falowe można rozdzielić na

składowe fale akustyczne za pomocą czasowo-częstotliwościowych metod analizy sygnałów

niestacjonarnych. Podniesienie dokładności wydzielania pakietów fal użytecznych (P, S i Stoneleya)

oraz zwiększenie efektywności przetwarzania akustycznych obrazów falowych przyczyni się do

poprawnej oceny parametrów sprężystych i zbiornikowych, wyznaczanych w oparciu znane zjawiska

fizyczne.

2. Metody czasowo - częstotliwościowe

4

Rozdział 2

Metody czasowo-częstotliwościowe

2.1 Wprowadzenie do analizy czasowo-

częstotliwościowej sygnałów

2.1.1 Sygnał

Słowo „sygnał” w analizie sygnałów rozumiane jest jako dowolna funkcja zależna od jednej lub wielu

zmiennych. Najczęściej sygnałem jest pewna wielkość fizyczna zmieniająca się w czasie s(t) lub

w przestrzeni s(x, y, z). Sygnałem mogą być także zmiany zachodzące w funkcji temperatury, ciśnienia

lub innego dowolnego argumentu.

Sygnały generowane wokół nas można traktować jako fizyczną postać informacji. Umożliwiają

jej przenoszenie (np. transmisja radiowa), przechowywanie (np. fotografie), ale także służą do

zbierania informacji o otaczającym nas świecie. Przykładem niech będzie dowolna metoda

geofizyczna, np. sejsmika, w której wysyłane w głąb Ziemi fale sprężyste (sygnały) wykorzystuje się

do poszukiwań węglowodorów. Można zadać pytanie, czy każdy sygnał niesie informację? Owszem,

ale czasem może być ona niezwykle trudna do odczytania, nieistotna lub wręcz niepożądana, na

przykład szum.

2.1.2 Analiza sygnałów

Wydobyciem informacji z sygnału zajmuje się analiza sygnałów. Zwięzły, trafny i kompletny opis

sygnału to cel, który próbujemy osiągnąć stosując poszczególne metody analizy sygnałów. Jest wiele

metod służących temu celowi: analiza częstotliwości, metody czasowo-częstotliwościowe, metody

statystyczne, algorytmy genetyczne, sztuczne sieci neuronowe i wiele innych. Każda z nich

charakteryzuje się wrażliwością na inne cechy sygnału, i jest bardziej lub mniej odpowiednia do

analizy danego przypadku, a ich duża różnorodność pozwala na wybór optymalnej.


5

Analizę sygnałów można ogólnie podzielić na dwie grupy: pierwsza polega na wyodrębnieniu

składowych sygnału, druga zajmuje się badaniem cech lub struktur zjawiska oraz zachodzących

między nimi związków.

W pierwszym przypadku dążyć będziemy do przedstawienia badanego sygnału za pomocą

liniowej kombinacji pewnych znanych funkcji (np. sinusów, kosinusów, funkcji Gabora), czyli

dążymy do rozłożenia sygnału na elementy składowe:

∑=n

nn gcts )( (2.1)

gdzie { }ng jest zbiorem znanych funkcji, a współczynniki cn określają ich wkład, tzn. intensywność

występowania w badanym sygnale danej funkcji. Dokładne odgadnięcie reprezentacji sygnału bez

pewnej wiedzy a priori o sygnale jest niemożliwe. Problem pojawia się już przy wyborze funkcji

analizującej. Jaki rodzaj, spośród nieskończonej ilości funkcji, będzie najlepiej opisywać sygnał?

Dobór parametrów tych funkcji jest kolejnym poważnym problemem. Różnice występujące między

rzeczywistym sygnałem a założeniami teoretycznymi opisu matematycznego, niezerowe

współczynniki transformat poza analizowanym fragmentem sygnału i wreszcie szum, powodują, że

w praktyce musimy zadowolić się reprezentacjami przybliżonymi typu:

∑≈n

nn gcts )( (2.2)

W drugim przypadku analizy sygnałów będziemy starać się ustalić związek między wartością sygnału

w danej chwili t i w chwilach poprzednich, w postaci zależności:

∑ ∆−=n

n tktscts )()( (2.3)

Uwzględniając element przypadkowy (niedokładność pomiarów, szum) należy dodać do wzorów (2.1)

i (2.3) element stochastyczny ε, nie podlegający opisowi w ramach modelu.

Na założeniach o liniowości i stacjonarności w czasie opiera się klasyczna analiza sygnałów, do

której należą m.in. analiza widmowa i teoria filtrów. Zrezygnowanie z warunku stacjonarności

sygnału rozszerza analizę sygnałów o metody czasowo-częstotliwościowe. Natomiast uwzględnienie

nieliniowości otwiera drogę takim dziedzinom jak chaos deterministyczny i fraktale.

2.1.3 Klasyfikacja sygnałów

Szczegółową klasyfikację sygnałów wraz z wybranymi metodami analizy można znaleźć w wielu

pozycjach, m.in. w: Bendat i Piersol (1976), Zieliński (2002), Roberts (2004). W tej pracy poruszony

zostanie jedynie podział sygnałów mający odniesienie do danych wykorzystanych

w przeprowadzonych badaniach.

Sygnały generowane m.in. przez układy biologiczne, społeczne i techniczne można najogólniej

podzielić na sygnały zdeterminowane, czyli takie, które da się opisać za pomocą ścisłych zależności

matematycznych, oraz losowe (stochastyczne), opisywane za pomocą uśrednionych charakterystyk

statystycznych (rys. 2.1). Te ostatnie dzielą się na stacjonarne i niestacjonarne. Sygnały stacjonarne


6

(niezmienne w czasie) posiadają dla każdej chwili czasowej stałe wartości podstawowych

charakterystyk statystycznych (np. średnia, wariancja) w zbiorze ich wielu realizacji, natomiast

sygnały niestacjonarne tej własności nie posiadają. Ujmując to inaczej, odpowiedź częstotliwościowa

sygnału stacjonarnego nie będzie zmieniać się w czasie, w przeciwieństwie do odpowiedzi

częstotliwościowej sygnału niestacjonarnego.

Inną klasyfikacją sygnałów, istotną z punktu widzenia tej pracy, jest podział na sygnały ciągłe

(analogowe) s(t) oraz dyskretne sk(t), s(n) i s[n] (rys. 2.2).

Sygnały analogowe (ciągłe czasu ciągłego) s(t) (rys. 2.3a) są opisane funkcjami czasu, przyjmującymi

wartości ze zbioru liczb rzeczywistych.

Sygnały dyskretne czasu ciągłego sk(t) (rys. 2.3b) są sygnałami ciągłymi w czasie,

przyjmującymi wartości dyskretne. W tym przypadku dyskretyzacja sygnału związana jest

z kwantyzacją amplitudy dokonywaną w przetwornikach analogowo-cyfrowych. Wartości amplitudy

sygnału wejściowego (analogowego) mogą przyjmować dowolne wartości pomiędzy minimum

i maksimum. W procesie kwantyzacji zostają one zamienione na jedną z wartości ze zbioru

skończonego, którego liczba elementów zdefiniowana jest przez rozdzielczość przetwornika.

Sygnały ciągłe czasu dyskretnego s(n) (rys. 2.3c) powstają w wyniku spróbkowania w czasie

sygnałów ciągłych, tzn. z sygnału analogowego wybierane są wartości (próbki) tylko w wybranych

Sygnały

deterministyczne losowe(stochastyczne)

stacjonarne niestacjonarne

Rys. 2.1 Klasyfikacja sygnałów – podział na sygnały deterministyczne i losowe

Sygnały

ciągłes(t)

dyskretne

dyskretneczasu

ciągłego(kwantowanie

amplitudy)s (t)k

dyskretneczasudyskretnego(cyfrowe)s[n]

ciągłeczasu

dyskretnego(próbkowanie)

s(n)

Rys. 2.2 Klasyfikacja sygnałów – podział na sygnały ciągłe i dyskretne


7

odstępach czasu. Najczęściej próbkowanie dokonywane jest ze stałym interwałem czasowym (tzw.

próbkowanie równomierne). Wtedy odstęp ∆t między próbkami nazywa się okresem lub krokiem

próbkowania, a jego odwrotność 1/∆t częstotliwością próbkowania fs. Sygnał ciągły może być

ponownie odtworzony z sygnału dyskretnego, jeśli był próbkowany zgodnie z twierdzeniem Nyquista

(Bendat i Piersol 1976, Roberts 2004), tzn. z częstotliwością, co najmniej dwa razy większą od

granicznej częstotliwości swego widma.

Sygnały dyskretne czasu dyskretnego s[n] (rys. 2.3d), czyli sygnały cyfrowe, to sygnały ciągłe,

które poddano najpierw procesowi próbkowaniu a następnie kwantyzacji. Sygnały cyfrowe są bardzo

rozpowszechnione z powodu szybkiego rozwoju komputeryzacji.

a) b)

c) d)

-0,5

0,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1-1

0

1

am

plit

ud

a

-0,5

0,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1-1

0

1

am

plit

ud

a

-0,5

0,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1-1

0

1

am

plit

ud

a

-0,5

0,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1-1

0

1

am

plit

ud

a

Rys. 2.3 Ilustracja graficzna sygnału analogowego (a) oraz sygnałów dyskretnych:

dyskretnego czasu ciągłego – powstałego w wyniku kwantyzacji amplitudy (b),

ciągłego czasu dyskretnego – powstałego w wyniku próbkowania osi czasu (c)

i dyskretnego czasu dyskretnego – powstałego w wyniku kwantyzacji

i próbkowania sygnału analogowego (d)


8

2.1.4 Analiza częstotliwościowa i czasowo–częstotliwościowa

sygnałów

Jedną z najpopularniejszych metod analizy sygnałów w naukach technicznych i przyrodniczych jest

transformata pozwalająca przestawić sygnał w domenie częstotliwości i badać jego własności

widmowe. Dziedzina ta rozwijana jest od lat i jest szeroko opisywana w literaturze, m.in. w: Bendat

i Piersol (1976), Zieliński (2002), Roberts (2004).

Analizy częstotliwościowe, zgodnie ze wzorem 2.1, polegają na rozłożeniu sygnału na pewne

funkcje bazowe gn, a następnie minimalizacji niezerowych współczynników cn. Istotny jest zatem

wybór odpowiedniego zestawu funkcji bazowych. Im kształt tych funkcji będzie lepiej dopasowany do

elementów składowych sygnału, tym mniej będzie ich potrzebnych do jego opisu, a tym samym

będzie mniej współczynników cn reprezentujących sygnał.

Dla sygnałów stacjonarnych, niezmiennych w czasie, odpowiednie są funkcje bazowe

o charakterze stacjonarnym. Przykładem są funkcje sinus i kosinus, doskonale zlokalizowane

w dziedzinie częstotliwości, ale za to nieskończone w dziedzinie czasu (tzw. nieskończony nośnik).

Analogicznie, dla sygnałów niestacjonarnych lepsze są funkcje o dobrej lokalizacji w czasie, czyli

o skończonym (selektywnym) nośniku.

Najpopularniejszą i podstawową metodą analizy sygnałów stacjonarnych, zarówno ciągłych jak

i dyskretnych, jest transformata Fouriera, w wyniku której otrzymywane jest zespolone widmo

Fouriera. Powstaje ono poprzez wymnażanie analizowanego sygnału z funkcjami bazowymi sinus

i kosinus postaci: )2sin()2cos(2tfitfe

tfi πππ −=− i całkowanie tego iloczynu. Każda z funkcji

bazowych posiada inne częstotliwości f. Tak obliczone widmo Fouriera można interpretować jako

miarę podobieństwa sygnału do poszczególnych funkcji bazowych, czyli sprawdzenia „ile” jest

w sygnale danej częstotliwości f. Z uwagi na to, że funkcje bazowe wykorzystywane w transformacie

Fouriera, tj. sinus i kosinus, rozciągają się od plus do minus nieskończoności w dziedzinie czasu, nie

wiadomo nic o ich lokalizacji w czasie częstotliwości. Ta informacja jest jednak nieistotna dla

sygnałów stacjonarnych, ponieważ ich skład częstotliwościowy nie zmienia się czasie.

W przypadku sygnałów niestacjonarnych, tj. takich, których częstotliwość elementów

składowych sygnału ulega zmianie w czasie, transformata Fouriera nie jest najlepszą metodą analizy.

Jeśli interesuje nas, gdzie w sygnale występuje dana częstotliwość, musimy sięgnąć po analizy

czasowo-częstotliwościowe (Durka 1999-2004), które pozwalają na śledzenie zmienności widma

chwilowego. Odgrywają one coraz większą rolę z uwagi na powszechne występowanie sygnałów

niestacjonarnych. Metody czasowo-częstotliwościowe są narzędziem pozwalającym zlokalizować

zjawiska obecne w sygnale, zarówno w domenie czasu jak i częstotliwości oraz dają informację

o rozkładzie gęstości energii sygnału w przestrzeni czas – częstotliwość.

W analizie sygnałów domena czasowo–częstotliwościowa jest zdefiniowana jako płaszczyzna

z czasem na osi poziomej i częstotliwością na osi pionowej. W przypadku sygnałów skończonych


9

i niestacjonarnych, czyli takich, z jakimi mamy najczęściej do czynienia, reprezentacja gęstości energii

sygnału na tej płaszczyźnie jest jedynie aproksymacją obarczoną błędami statystycznymi.

W przeciwieństwie do analizy sygnałów stacjonarnych, gdzie reprezentacja sygnału jest

przybliżana sumą nieskończonych w czasie drgań o różnych częstotliwościach (rys. 2.4a), w analizie

czasowo-częstotliwościowej sygnał aproksymowany jest sumą ograniczonych w czasie przebiegów

impulsowych, występujących w różnych chwilach czasowych i posiadających różne pasmo

częstotliwościowe (rys. 2.4b). Ponieważ każdy z przebiegów impulsowych „pokrywa” określony

przedział czasowy i częstotliwościowy, w wyniku wyznacza się ilość sygnału, przypadającą na

określoną komórkę czasowo-częstotliwościową, zwaną atomem, z uwagi na jego niepodzielność. Pola

wszystkich atomów nie powinny się pokrywać, a po zsumowaniu dać całą przestrzeń czasowo-

częstotliwościową. Podział przestrzeni czas – częstotliwość (rys. 2.5) powinien być odpowiednio

dobrany w zależności od rodzaju sygnału oraz celu analizy, a pole atomu być jak najmniejsze.

am

plit

uda

am

plit

uda

am

plit

ud

a

po

zio

m d

ekom

pozycji

j

j =

3j =

2j =

1

a) b)

Rys. 2.4 Przykłady funkcji analizujących w transformacie Fouriera (a) oraz przykład dekompozycji sygnału

względem falek Morleta (b).

Rozciągające się od plus do minus nieskończoności przebiegi sinusoidalne o określonej częstotliwości dają

dokładną informację o częstotliwościach w sygnale, ale nie mówią nic o ich lokalizacji w czasie.

W transformacie falkowej funkcje analizujące są zlokalizowane zarówno w domenie czasu i częstotliwości

pozwalając na uzyskanie czasowo-częstotliwościowej reprezentacji sygnału


10

2.1.5 Zasada nieoznaczoności

Podobnie jak w fizyce kwantowej, w analizie sygnałów również obowiązuje zasada nieoznaczoności

Heisenberga. W fizyce kwantowej zasada ta stwierdza, że cząstka nie może mieć jednocześnie dobrze

określonego położenia i pędu. W analizie czasowo-częstotliwościowej oznacza, że nie jest możliwe

jednoczesne dokładne poznanie położenia na osi czasu i częstotliwości elementów składowych

sygnału, tzn. nie można ich przedstawić w postaci punktów na płaszczyźnie czas – częstotliwość. Ta

nieoznaczoność jest własnością sygnału i nie jest spowodowana ograniczeniami przyrządów

pomiarowych czy matematyki. Konsekwencje zasady nieoznaczoności w metodach czasowo-

częstotliwościowych zostały omówione w bardzo przejrzysty sposób w artykule Hall (2006).

W analizie czasowo-częstotliwościowej zasada nieoznaczoności mówi, że iloczyn szerokości

pasma częstotliwościowego i czasu trwania sygnału nie może być mniejszy od pewnej minimalnej

wartości (Zieliński 2002, Augustyniak 2003):

π

σ2

12222 ≥⋅⋅≥+= BABA (2.4)

gdzie:

∫∫

∫

∫

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

+∞

∞−

==

=

=

dffGdttgE

dffGfE

B

dttgtE

A

22

222

222

)()(

)(1

)(1

(2.5)

oznaczają średniokwadratową szerokość czasową (A) i częstotliwościową (B) funkcji g(t) i jej

zespolonego widma Fouriera G(f). Dowód tego twierdzenia przedstawiony jest przez Bracewell’a

(1968). Równość we wzorze (2.4) jest spełniona tylko dla funkcji Gaussa:

a) b)

czas

częs

totliw

ość

czas

częs

totliw

ość

duża

ska

la

ma

łaskala

Rys. 2.5 Przykłady konfiguracji atomów na płaszczyźnie czas – częstotliwość

dla krótkoczasowej transformaty Fouriera STFT (a) i transformaty falkowej (b)


11

2

4

1

)2()( tetg

παα −⋅= (2.6)

gdzie a jest parametrem funkcji Gaussa. Funkcja Gaussa zapewnia minimalną powierzchnię atomu na

płaszczyźnie czas – częstotliwość, gdyż charakteryzuje się najmniejszym możliwym iloczynem AB.

Jest zatem optymalną funkcją z punktu widzenia precyzji lokalizacji komponentów sygnału.

2.1.6 Przegląd najpopularniejszych metod analizy czasowo-

-częstotliwościowej

Krótkoczasowa transformata Fouriera STFT

Krótkoczasowa transformata Fouriera (ang. Short-Time Fourier Transform) polega na wycinaniu

kolejnych odcinków sygnału za pomocą funkcji okna g(t) (||g|| = 1), a następnie obliczaniu ich

transformat Fouriera (Zieliński 2002). Inaczej można te operacje przedstawić jako iloczyny skalarne

sygnału s z oknem g modulowanym częstotliwością f:

∫∞

∞−

−∗ ⋅−⋅= τττ τπdetgsftSTFT

fi2)()(),( (2.7)

Symbol * oznacza funkcję sprzężoną. W STFT zakłada się, że sygnał jest stacjonarny w obrębie

każdego z fragmentów. Okno transformaty ma stałą szerokość, zmieniana jest tylko jego częstotliwość

(rys. 2.6a). Z tego powodu podział płaszczyzny czas – częstotliwość jest równomierny (rys. 2.5a).

Podstawową niedogodnością STFT jest jednokrotnie dobierana szerokość okna analizy. Dobór

szerokości okna jest nierozerwalnie związany z rozdzielczością czasową i częstotliwościową analizy.

Szerokie okno daje dużą rozdzielczość częstotliwościową, ale mniejszą w domenie czasu. Wąskie

okno transformaty STFT daje efekt odwrotny. Z powodu obowiązującej tu zasady nieoznaczoności

niemożliwe jest jednoczesne uzyskanie dużej rozdzielczości w obu domenach. Dobór szerokości okna

w STFT odbywa się metodą prób i błędów. Zastosowanie zbyt wąskiego okna pozbawia możliwości

wykrycia niższych częstotliwości obecnych w sygnale, natomiast zbyt szerokie okno analizy

powoduje, że wysokie częstotliwości są lokalizowane w czasie z wciąż tą samą precyzją, niższą od

optymalnej.

STFT jest transformatą, którą można zastosować do sygnałów niestacjonarnych (rys.2.7a, b, c).

Daje ona czasowo-częstotliwościową reprezentację sygnału, ponieważ okna transformaty

umiejscawiane są na konkretnych czasach i dla każdego czasu obliczana jest transformata Fouriera.

Spektrogram (rys. 2.7d), kwadrat modułu krótkoczasowej transformaty Fouriera, jest

dwuwymiarowym wykresem widma amplitudowego sygnału i mówi o zawartości energii sygnału

w okolicy częstotliwości f i danego czasu τ.

Transformata Wignera (Wignera-Ville’a)

Problem doboru długości okna w STFT zmuszał do kompromisów pomiędzy zbliżeniem precyzji

analizy do teoretycznie możliwej wartości a objęciem analizą wszystkich częstotliwości


12

występujących w sygnale. Transformata Wignera-Ville’a (ang. Wigner-Ville transform) rozwiązuje

ten problem, gdyż rolę okna odgrywa tutaj sam sygnał:

τττ τπ

detstsftWfi

s2

22),( −∗

∞

∞−

⋅

−⋅

+= ∫ (2.8)

gdzie s(t) oznacza sygnał rzeczywisty (definicja Wignera) lub analityczny1 (definicja Ville’a)

(Zieliński 2002).

Chociaż transformata Wignera-Ville’a jest metodą dającą najlepszą precyzję reprezentacji

sygnału w dziedzinie czas – częstotliwość, to jej zastosowanie jest ograniczone przez pasożytnicze

interferencje wzajemne. Ich obecność jest związana z wyrazami mieszanymi, powstającymi przy

obliczaniu kwadratowej transformaty sygnału, jaką jest transformata Wignera-Ville’a. Obliczając taką

transformatę sygnału, złożonego z sumy elementów a i b, dostajemy reprezentację występujących

w sygnale składników a i b oraz wyraz mieszany 2ab: (a + b)2 = a

2 + b

2 + 2ab. Na podstawie samego

rozkładu energii na płaszczyźnie czas – częstotliwość można by podejrzewać, że w analizowanym

sygnale pomiędzy strukturami a i b znajduje się jeszcze struktura o pośredniej częstotliwości

reprezentowana przez wyraz mieszany 2ab (rys. 2.7e).

Interferencje pasożytnicze mają najczęściej charakter oscylacyjny i można zmniejszyć ich wkład

poprzez lokalne uśrednianie transformaty po czasie i częstotliwości. Różne realizacje tego uśredniania

tworzą bogatą klasę reprezentacji z grupy Cohena (nie omawiane w tej pracy), w których dobra

rozdzielczość reprezentacji Wignera jest poświęcana na rzecz jej większej czytelności: im mniejszy

wpływ interferencji (większe uśrednianie) tym gorsza rozdzielczość. Przegląd reprezentacji z grupy

Cohena wraz z krótkim komentarzem na temat możliwości ich zastosowania do przetwarzania danych

geofizycznych można znaleźć w pracy Leśniak (1999).

Transformacja falkowa WT

Odmiennym podejściem do doboru okna analizy charakteryzuje się transformata falkowa (ang.

Wavelet Transform) (Daubechies 1992, Kaiser 1994, Mallat 1998, Białasiewicz 2000). W STFT

funkcja okna miała stałą szerokość a zmienianą jedynie częstotliwość (rys. 2.6a). Jest to powodem

jednakowej rozdzielczości stosowanej dla wszystkich częstotliwości obecnych w sygnale (rys. 2.5a).

Transformata falkowa wykorzystuje okna o różnej długości i różnej częstotliwości (rys. 2.6b), stąd

charakteryzuje się zmienną rozdzielczością czasowo-częstotliwościową (rys. 2.5b).

Funkcja okna w transformacie falowej nazywana jest falką, z uwagi na jej oscylujący charakter

oraz zwarty nośnik (tzn. wszędzie poza skończonym odcinkiem jest równa zeru). WT analizuje różne

częstotliwości z różną rozdzielczością: wysokie częstotliwości lokalizuje z wysoką precyzją w czasie,

natomiast niskie częstotliwości bada z wysoką rozdzielczością w domenie częstotliwości

(rys. 2.7f, g). Transformata falkowa zostanie przedstawiona szczegółowo w rozdziale 2.2.

1 Sygnał analityczny jest sygnałem zespolonym, którego część rzeczywistą stanowi sygnał rzeczywisty s(t),

natomiast jego część urojona powstaje w wyniku transformaty Hilberta sygnału s(t).


13

Pogoń za dopasowaniem MP

Algorytm Matching Pursuit, w języku polskim tłumaczony jako „pogoń za dopasowaniem” lub

„technika poszukiwania dopasowań”, oferuje inne podejście do dekompozycji sygnału niż wcześniej

przedstawione metody (Mallat i Zhang 1993).

Omawiając metodę MP często korzysta się z analogii do języka, jakim się posługujemy: jest

w nim wiele słów o zbliżonym znaczeniu (mówimy, że jest redundantny). Używając jedynie

podstawowych słów jesteśmy wprawdzie w stanie wyrazić niemal dowolnie skomplikowane idee, ale

zastępując niedostępne słowa całymi zdaniami będziemy tworzyć niezgrabne konstrukcje. Nasza

wypowiedź stanie się mało elegancka i niespójna. Używając słownika wzbogaconego o wyrażenia

fachowe czy słowa języka literackiego, wyrazimy się jasno i trafnie. Stosując rozszerzony słownik

będziemy musieli wybierać spośród wielu podobnych słów takie, które najlepiej wyrażają daną treść.

Korzystając dalej z tej analogii, zbiór znanych funkcji, za pomocą których analizujemy sygnał,

możemy nazwać słownikiem. Dekompozycje sygnałów w oparciu o słowniki z małą redundancją (lub

też względem baz, będących słownikami bez redundancji), charakteryzują się wygodą obliczeniową

i prostotą interpretacji. Wadą jest to, że poszczególne komponenty sygnału reprezentowane są przez

kilka, a często znacznie więcej, współczynników o niezerowych wartościach. Współczynniki

dekompozycji złożonego sygnału nie będą odzwierciedlać jego cech jasno i wyraźnie, ponieważ

informacja zostanie „rozmyta” w całej bazie. Pominięcie któregoś o niższych energiach może

a) b) c)

Rys. 2.6 Przykłady funkcji analizujących wykorzystywanych w krótkoczasowej transformacie Fouriera

STFT (a), transformacie falkowej (b) i pogoni za dopasowaniem (c).

W pierwszym przykładzie funkcje okna mają stałą obwiednię, zmieniana jest jedynie częstotliwość

modulacji. Falki to rozciągane i przesuwane wzdłuż sygnału wersje falki podstawowej. Elementy słownika

w metodzie pogoń za dopasowaniem charakteryzują się zmienną obwiednią i zmienną częstotliwością

modulacji (na podstawie Durka 1999-2004, zmienione)


14

pozbawić sygnał istotnych składników. Taka reprezentacja jest podobna do tekstu napisanego za

pomocą ubogiego słownictwa.

Rozwiązaniem może być zastosowanie słowników nadmiarowych, zawierających dużą liczbę

elementów („słów” o podobnym znaczeniu), nazywanych słownikami z redundancją. Korzystanie

z takich słowników wiąże się z poszukiwaniem najlepiej dopasowanych elementów do analizowanego

sygnału według przyjętego kryterium. Praktyczne rozwiązanie tego problemu zaproponowali w 1993

roku Mallat i Zhang przedstawiając metodę Matching Pursuit.

Algorytm MP opiera się na dużym, redundantnym słowniku funkcji analizujących, z którego

iteracyjnie wybierane są funkcje (zwane atomami), najlepiej pasujące do składowych sygnału.

Przewagą atomów słownika nad funkcjami analizującymi z innych metod jest zmienna długość okna

oraz zmienna częstotliwość modulacji (rys. 2.6c). Dzięki temu MP pozwala na adaptacyjną, tzn.

dopasowującą się do lokalnych struktur, reprezentację sygnału. Dodatkową zaletą tej metody jest

wykres gęstości energii wolny od interferencji występujących w transformacie Wignera (rys. 2.7h).

Szczegóły dekompozycji MP przedstawiono w rozdziale 2.3.

2.1.7 Podsumowanie analizy czasowo-częstotliwościowej sygnałów

niestacjonarnych

Podsumowując analizę czasowo-częstotliwościową można stwierdzić, że sprowadza się ona do dwóch

zagadnień. Pierwsze związane jest z odpowiednim dla danego problemu i sygnału wyborem

rozmieszczenia komórek (atomów) na płaszczyźnie czas –c zęstotliwość. Implikuje to określoną

rozdzielczość czasową i częstotliwościową danej metody analizy. W każdej metodzie obowiązuje

zasada nieoznaczoności: im z większą dokładnością będziemy lokalizować częstotliwości w czasie,

tym z mniejszą precyzją będziemy mieć tą częstotliwość określoną.

Drugim aspektem analizy czasowo-częstotliwościowej jest wybór funkcji analizujących. Im ich

kształt będzie lepiej odpowiadał naturze sygnału, tym mniej tych funkcji potrzeba do jego

aproksymacji.

Dodatkowo, stosowanie metod adaptacyjnych, tzn. dopasowujących się do lokalnych cech

sygnału, podnosi efektywność dekompozycji sygnału i zmniejsza ilość niezerowych współczynników

reprezentacji sygnału.


15

Sygnał LFM2

am

plit

ud

a

Sygnał sumaryczny LFM1 + LFM2

am

plit

ud

a

Sygnał LFM1

am

plit

ud

a

czas

Metoda pogoń za dopasowaniem

częs

totliw

ość

CWT

czę

sto

tliw

ość

DWT

czę

sto

tliw

ość

Transformata Wignera

częs

totliw

ość

Krótkoczasowa transformata Fouriera STFT

czę

sto

tliw

ość

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Rys. 2.7 Reprezentacje gęstości energii sygnału niestacjonarnego uzyskanych

różnymi metodami czasowo–częstotliwościowymi.

Dwa elementy o liniowo modulowanej częstotliwości LFM1 (a) i LMF2 (b) (ang. Linear Frequency-

Modulated signal) tworzą sygnał testowy (c), dla którego policzono transformaty: krótkoczasową Fouriera

STFT (d), Wignera (e), falkową ciągłą CWT (ang. Continuous Wavelet Transform) (f) i dyskretną DWT

(ang. Discrete Wavelet Transform) (g) oraz metodą pogoń za dopasowaniem (h). Oś częstotliwości

skierowana jest górze, długość sygnału wnosi 1000 punktów. Większe zaciemnienie oznacza wyższe

wartości współczynników uzyskanych w wyniku obliczaniu transformat


16

2.2 Transformata falkowa

Transformata falkowa WT jest obecnie jednym z najpopularniejszych i najbardziej dynamicznie

rozwijanych narzędzi analizy sygnałów niestacjonarnych. Dzięki zmiennej rozdzielczości czasowo-

częstotliwościowej znalazła bardzo szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach nauki i techniki, m.in.

w filtracji, dyskryminacji szumu oraz kompresji sygnału i obrazu. Opis metody od strony

matematycznej wraz z przykładami zastosowania można znaleźć w pracach: Daubechies (1992),

Kaiser (1994), Mallat (1998), Białasiewicz (2000), Augustyniak (2003). Doskonałym wprowadzeniem

do metody bez szczegółowego ujęcia matematycznego jest pozycja Polikar (1994).

Transformata falkowa, podobnie jak analizy częstotliwościowe, przedstawia sygnał jako sumę

funkcji bazowych: falek. Wyróżniającą cechą tego zbioru funkcji jest wzajemnie powiązanie,

realizowane przez proste operacje skalowania a i translacji b funkcji prototypowej, zwanej falką

podstawową (ang. mother wavelet).

Własności lokalizacyjne falek (lub ogólnie: funkcji bazowych) zależą od tego, na ile są one

„rozciągnięte” w czasie i częstotliwości. Funkcje szerokie w czasie mają zdolność wykrycia

długotrwałych cech sygnału, funkcje wąskie mogą identyfikować krótkotrwałe zachowanie się

sygnału. Stopień „rozciągnięcia” falki jest kontrolowany przez operację skalowania, polegającą na

rozciąganiu falki podstawowej, a tym samym zmianę jej pasma częstotliwości. W transformacie

falkowej przyjęto, że im wyższy numer skali tym szersza falka i niższe pasmo częstotliwości

(rys. 2.4b, rys. 2.8). Z uwagi na proces skalowania, transformata falkowa przedstawia sygnały

w reprezentacji czas – skala. Dzięki powiązaniu skali z częstotliwością możliwe jest lokalizowanie

w czasie występujących w sygnale częstotliwości.

Drugim parametrem falki jest translacja b. Oznacza ona przesuwanie falki wzdłuż sygnału

w domenie czasu, przy ustalonym poziomie skali.

Reprezentacja falkowa sygnału s(t) jest zatem funkcją dwóch zmiennych: stanowi kombinację

liniową skalowanej (parametr a) i przesuwalnej (parametr b) falki podstawowej ψab(t):

∫ ∫ ⋅=a b

ab dadbtabWts )(),()( ψ (2.9)

gdzie: W(b, a) są współczynnikami transformaty falkowej. Falka podstawowa jest określona dla skali

a = 1 i przesunięcia b = 0. Wzór (2.9) można interpretować dwojako. Po pierwsze jako sposób

przedstawienia sygnału w postaci superpozycji falek ψab(t), przy czym współczynniki tej superpozycji

są określone przez transformatę falkową sygnału s(t). Z drugiej strony wzór ten można traktować jako

przepis na rekonstrukcję sygnału s(t), gdy znana jest jego transformata falkowa.

Transformata falkowa jest również przykładem analizy wielorozdzielczej MRA (ang.

MultiResolution Analysis), tzn. analizuje różne częstotliwości sygnału z różną rozdzielczością (Polikar

1994, Augustyniak 2003). Dla wysokich częstotliwości WT charakteryzuje się wysoką rozdzielczością

w czasie, natomiast niską w domenie częstotliwości. Niskie częstotliwości sygnału są badane

z wysoką rozdzielczością w domenie częstotliwości, lecz z niską w domenie czasu. Takie podejście


17

ma sens dla sygnałów, których komponenty wysokoczęstotliwościowe trwają przez krótki okres,

natomiast niskoczęstotliwościowe charakteryzują się długim czasem trwania. Szczęśliwie, większość

sygnałów, jakie spotyka się w praktyce, są sygnałami tego typu, tzn. składowe o względnie niskich

częstotliwościach przebiegają przez większą część sygnału, natomiast krótkotrwałe „incydenty” są

reprezentowane przez względnie wysokie częstotliwości.

Kryterium stawiane przed funkcją kandydującą do roli falki podstawowej określa tzw. warunek

dopuszczalności (ang. admissibility condition):

∞<=Ψ∫∞

Ψ0

2)(

Cdωω

ω (2.10)

gdzie: ( )ωΨ jest transformatą Fouriera funkcji ( )tψ Warunek dopuszczalności wymaga, aby przy

ω dążącym do nieskończoności ( ) 2ωΨ dążyło do zera szybciej niż 1/ω . Z tego warunku oraz przy

założeniu całkowalności z kwadratem wynika, że:

∫∞

∞−

= 0)( dttψ (2.11)

co jest równoważne z równością:

( ) 00 =Ψ (2.12)

Biorąc pod uwagę, że falka podstawowa jest dobrze skoncentrowana w czasie i w częstotliwości,

zarówno (2.11) jak i (2.12) oznaczają, że funkcja ( )tψ ma przynajmniej kilka oscylacji. Jest to więc

„krótka” fala i stąd pochodzi nazwa falka.

Pojęcie „falka” określa funkcję o skończonej energii i o zwartym nośniku, oscylującą

i charakteryzującą się ograniczonym pasmem częstotliwości (rys. 2.8). Te cechy pozwalają na

zbadanie częstotliwości sygnału przy jednoczesnym umiejscowieniu ich w czasie. Dzięki temu

możliwe jest analizowanie sygnałów niestacjonarnych i przejściowych, których odpowiedź

częstotliwościowa zmienia się w trakcie trwania sygnału.

2.2.1 Ciągła transformata falkowa

W ciągłej transformacie falkowej CWT (ang. Continuous Wavelet Transform) zarówno skala a jak

i przesunięcie falki wzdłuż sygnału b zmieniane są w sposób ciągły. Rodzina falek tworzona jest

z falki podstawowej według następującej relacji:

−=

a

bt

atab ψψ

1)( (2.13)

Ciągła transformata falkowa sygnału s(t) zdefiniowana jest jako iloczyn skalarny sygnału i falki:

( ) dta

btts

adtttsabCWT abs

−⋅=⋅= ∫∫

∞

∞−

∞

∞−

∗ *)(1

)()(, ψψψ (2.14)


18

Czynnik a

1 zapewnia, że energia falki nie zmienia się ze zmianą skali (służy normalizacji energii)

i współczynniki CWT ciągłej transformaty falkowej mogą być wtedy rozpatrywane jako miara

korelacji falki z analizowanym sygnałem, przy ustalonym poziomie skali. Wysokie wartości

współczynników CWT świadczą o wysokim podobieństwie falki i sygnału pod względem kształtu.

Współczynnik skali a oprócz relacji z częstotliwościami badanymi przez daną falkę, mówi o poziomie

rozdzielczości analizy falkowej. Wysokie wartości skali (niskie częstotliwości falki) odpowiadają

globalnemu spojrzeniu na sygnał. Natomiast niskie wartości a, (wysokie częstotliwości) pozwalają na

podanie detalicznej informacji o sygnale, w szczególności na wykrycie krótkotrwałych,

wysokoczęstotliwościowych składowych. Schemat realizacji CWT przestawia rysunek 2.9.

-10 -5 0 5 10-1

-0,5

0

0,5

1

-10 -5 0 5 10-1

-0,5

0

0,5

1

0 10 20 300

10

20

30

40

0 10 20 300

10

20

30

40

czas

am

plit

uda

am

plit

uda

czas

częstotliwość częstotliwość

Falka Morleta

Widmo amplitudowe falki Morleta

skala = 1 skala = 2

skala = 1 skala = 2

a)

b)

|(t

)|Ψ|

(t)|

Ψ

Rys. 2.8 Przykład falek stosowanych w transformacie falkowej:

falka Morleta i jej przeskalowana wersja (a) wraz z ich widmami amplitudowymi (b).

Rozciągnięta falka (a = 2) charakteryzuje się niższą częstotliwością i węższym widmem amplitudowym,

dzięki czemu ma lepszą rozdzielczość w domenie częstotliwości. Węższa falka (a = 1) zapewnia lepszą

lokalizację badanych częstotliwości w czasie


19

2.2.2 Dyskretna transformata falkowa

Odwzorowanie ( ) ),( abCWTts → reprezentuje funkcję jednej zmiennej za pomocą dwóch zmiennych.

Dodatkowo obliczenie CWT dla każdej możliwej skali generuje ogromną liczbę danych. W efekcie

uzyskujemy nadmiar informacji, która może być korzystna w pewnych sytuacjach, np. przy

interpretacji subtelnych cech sygnału. Redundancja prowadzi do wzmocnienia takich cech, a tym

samym czyni je lepiej widocznymi. CWT ułatwia interpretację, ale odbywa się to koszem dużej ilości

danych.

Nie w każdym przypadku konieczne jest obliczanie współczynników CWT, aby uzyskać

wystarczająco dokładną reprezentację. Jeśli falka podstawowa spełnia warunek dopuszczalności

i sygnał ma skończoną energię, nie jest wymagana znajomość wszystkich wartości dekompozycji, aby

możliwa była dokładna rekonstrukcja sygnału. W takiej sytuacji dyskretna transformata jest

wystarczająca oraz zapewnia oszczędność czasu obliczeniowego i miejsca.

1. ( = 0)a, b

2. ( , + )a b db

3. ( + , + )a da b db

Sygnał

Falka

CWT = 0,0102

CWT = 0,2911

CWT = 0,3025

Sygnał

Falka

Sygnał

Falka

Rys. 2.9 Schemat realizacji ciągłej transformaty falkowej CWT.

Falka jest przesuwana wzdłuż sygnału z krokiem db przy ustalonym poziomie skali a. Następnie zmieniana

jest skala o da i przeskalowana falka ponownie jest przesuwana wzdłuż sygnału. Dla każdej skali a

i każdego położenia b obliczane są współczynniki CWT – wzór (2.14), będące miarą podobieństwa między

falką a sygnałem. Im kształt falki lepiej oddaje zmienność sygnału, tym większe wartości będą przyjmować

współczynniki CWT (na podstawie Misiti et al. 1997-2006)


20

Dyskretną formę transformaty otrzymuje się w wyniku spróbkowania parametrów CWT, tzn.

czasu b i współczynnika skali a, otrzymując współczynniki szeregu falkowego. Po podstawieniu:

m

m

nb

a

−

−

=

=

2

2 (2.15)

uzyskuje się szereg falkowy, który nosi nazwę dyskretnej transformaty falkowej DWT (ang. Discrete

Wavelet Transform). Najczęściej stosowana jest zmiana skali z potęgą dwójki, tak jak we wzorze

(2.15). W takim przypadku mówimy o skalowaniu diadycznym. Wtedy funkcje bazowe dyskretnej

transformaty falkowej mają postać:

)2(2)( 2/ntt

mmmn −= −− ψψ (2.16)

a współczynniki DWTmn są obliczane ze wzoru:

∫∞

∞−

∗= dtttsDWT mnmn )()( ψ (2.17)

Cechą charakterystyczną dyskretnej transformaty falkowej jest stałość podstawowej komórki

czasowo-częstotliwościowej (atomu). Kiedy parametr skali m zwiększa się o 1, (czyli zmieniamy skalę

o oktawę), falki stają się dwa razy krótsze a ich widmo częstotliwościowe jest dwa razy szersze (rys.

2.4b, rys. 2.5b), czyli pole atomu pozostaje niezmienne. Ponadto, częstotliwość środkowa (ang. centre

frequency) falki fm zmieni się zgodnie z relacją:

mm ff 20 ⋅= (2.18)

gdzie f0 jest częstotliwością środkową falki podstawowej.

W praktycznej realizacji numerycznej diadycznej transformaty falkowej w ogóle nie

wykorzystuje się falek, tylko związane z nimi filtry. Zależność między falkami a filtrami jest

wzajemnie jednoznaczna. Wyjaśnia ją teoria wielorozdzielczej aproksymacji sygnału związana z

transformatą falkową opisana m.in. w pozycjach literaturowych: Kaiser (1994), Mallat (1998),

Białasiewicz (2000), Zieliński (2002), Augustyniak (2003). DWT realizowana jest za pomocą filtracji

cyfrowej rozwiniętej przez Mallata, wywodzącej się z algorytmu „two-channel subband coding”

(Kaiser 1994, Mallat 1998, Zieliński 2002, Augustyniak 2003). Algorytm dokonuje analizy

częstotliwościowej sygnału przez iterację dwukanałowego (dolno- i górnoprzepustowego) zespołu

kwadraturowych filtrów lustrzanych QMF (ang. Quadrature Mirror Filters). Sygnał uzyskany w

wyniku filtracji dolnoprzepustowej w poprzednim kroku iteracji poddawany jest ponownej filtracji

dolno- i górnoprzepustowej (rys. 2.10). Po każdej filtracji sygnał poddawany jest operacji

zmniejszenia częstotliwości próbkowania (ang. downsampling), polegającej na usuwaniu co drugiej

próbki. Dzięki temu algorytm nie wprowadza zmian długości analizowanego sygnału, a jednocześnie

nie powoduje zniekształceń przenoszonej informacji (umożliwia pełną rekonstrukcję sygnału). W

wyniku każdej iteracji j, odpowiadającej jednemu poziomowi dekompozycji, tzn. jednej oktawie,

otrzymuje się składową wielkoczęstotliwościową zwaną detalem (Dj), nie poddawaną dalszej filtracji

oraz składową małoczęstotliwościową (Aj), zwaną aproksymacją analizowanego sygnału.


21

Aproksymacje, będące zgrubnym przybliżeniem sygnału, oraz detale, odpowiadające elementom

sygnału o wysokich częstotliwościach, pozwalają na rekonstrukcję sygnału s na dowolnym poziomie

dekompozycji:

∑+=j

jj DAs (2.19)

2.3 Pogoń za dopasowaniem

W przypadku skomplikowanych sygnałów, zawierających elementy przejściowe i charakteryzujące się

szerokim zakresem kształtów, reprezentacje liniowe względem jednej bazy (np. krótkoczasowa

transformata Fouriera czy transformata falkowa) mogą być niedostatecznie elastyczne, aby trafnie

wyrazić zmienność badanego sygnału. Analogią jest użycie ubogiego słownika do opisu

skomplikowanych idei. Pomocne mogą być słowniki, z których w oparciu o przyjęte kryterium

wybiera się te elementy, które najlepiej odpowiadają strukturze sygnału. Optymalną reprezentację

sygnału można uzyskać przez wybór takiego podzbioru elementów słownika, którego liniowa

kombinacja tłumaczy największy procent energii sygnału wśród wszystkich podzbiorów o tej samej

liczebności.

s

H (z)0

H (z)1

A1

D1

A2

D2

A3

D3

H (z)0

H (z)0

H (z)1

H (z)1

2

2

2

2

2

2f = 0 ~ π

f = π/2 ∼ π

f = 0 ∼ π/2

f = π/4 ∼ π/2

f = 0 ∼ π/4f = 0 ∼ π/8

f = π/8 ∼ π/4

Rys. 2.10 Schemat obliczania dyskretnej transformaty falkowej DWT.

Sygnał s poddawany jest iteracyjnej filtracji dolnoprzepustowej H0(z) i górnoprzepustowej H1(z), a następnie

operacji zmniejszania częstotliwości próbkowania sygnału (ang. downsampling), polegającej na usuwaniu co

drugiej próbki sygnału. Operację tą obrazuje symbol: ↓2. W wyniku dyskretnej transformaty falkowej

otrzymuje się aproksymacje sygnału A i detale D. Na rysunku zaznaczono również przedziały częstotliwości

f [rad/s] dla każdego poziomu dekompozycji, przy czym częstotliwość próbkowania sygnału

wynosi fs = 2π [rad] (na podstawie Polikar 1994)


22

2.3.1 Algorytm pogoni za dopasowaniem

Sposób wyboru sub-optymalnej reprezentacji sygnału (tj. stabilnej ze względu na ilość wybranych do

reprezentacji funkcji) zaproponowali Mallat i Zhang (1993). Opracowany przez nich algorytm pogoni

za dopasowaniem MP (ang. Matching Pursuit), to iteracyjna, nieliniowa procedura rozkładająca

sygnał na liniową sumę znanych funkcji analizujących wybranych z bardzo dużego i redundantnego

słownika. Słownik G = {g1(t), g2(t), …, gn(t)} jest zbiorem funkcji nazywanych atomami czasowo-

częstotliwościowymi. Ogólną rodzinę atomów tworzy się z pojedynczej funkcji okna g(t) poprzez

operacje: skalowania a, translacji b, oraz, w przeciwieństwie do transformaty falkowej, modulacji

częstotliwościowej ξ:

tiI e

a

btg

atg

ξ

−=

1)( (2.20)

Czynnik a

1 służy normalizacji energii, takiej, że ||g|| = 1. Indeks I = (a, b, ξ) określa zestaw

parametrów danego atomu: skalę, translację (przesunięcie) i modulację częstotliwościową. Zwykle

g(t) jest funkcją parzystą, stąd )(tg I jest skoncentrowane wokół odciętej b. Zatem, energia atomu

)(tg I jest skupiona w otoczeniu przesunięcia b, którego rozmiar jest proporcjonalny do skali a.

Podobnie jest w domenie częstotliwości. Transformata Fouriera GI(ω) atomu gI(t) wynosi:

( )( ) ( )biI eaGaG

ξωξωω −−−=)( (2.21)

i jest scentrowana wokół częstotliwości ξω = . Energia atomu jest wtedy skupiona wokół

częstotliwości ξ o rozmiarze proporcjonalnym do 1/a. Efektywne użycie słownika G do reprezentacji

sygnału s(t) wymaga wybrania takiego podzbioru atomów NnnI tg ∈)}({ , gdzie: ( )nnnn baI ξ,,= , aby

funkcja s(t) mogła być przedstawiona w postaci:

)()( tgctsnI

n

n∑∞

−∞=

= (2.22)

W zależności od wybranych atomów )(tgnI współczynniki rozwinięcia cn reprezentują różne cechy

sygnału s(t). Atomy ze słownika wybiera się w sposób adaptacyjny, zależny od lokalnych własności

sygnału s(t).

Kolejne aproksymacje sygnału s dokonuje się za pomocą rzutów ortogonalnych na atomy

czasowo-częstotliwościowe słownika G. W pierwszym kroku dekompozycji MP ze słownika

( ){ }tgG I= wybierany jest atom 0Ig najlepiej dopasowany do sygnału s. Sygnał s możemy

przedstawić jako sumę rzutu ortogonalnego sygnału na 0Ig i pozostałej zawartości sygnału R

1s (tzw.

residuum pierwszego rzędu):

sRggss II1

00, += (2.23)


23

Najlepsze dopasowanie uzyskamy wybierając 0Ig tak, by iloczyn skalarny

0, Igs był jak

największy. Residuum zerowego rzędu tworzy sam sygnał: s = R0s. W kolejnej iteracji residuum

pierwszego rzędu R1s zajmuje miejsce sygnału s i proces poszukiwania elementu

1Ig jest powtarzany.

W kroku iteracji n dokonywana jest aproksymacja residuum rzędu n poprzez wybranie i dopasowanie

atomu nIg i wyznaczane jest residuum rzędu n+1 (R

n+1s):

sRggsRsRn

nInInn 1, ++= (2.24)

Atom dobierany ze słownika w każdym kroku iteracji spełnia warunek:

iI

n

iIgiI gsRg ,maxarg= (2.25)

tzn. wyszukiwany jest taki element słownika iIg , na który rzut ortogonalny jest maksymalny.

Po m-iteracjach algorytmu MP sygnał s można wyrazić jako sumę residuów:

( ) sRsRsRsm

m

n

nn +−= ∑−

=

+1

0

1 (2.26)

którą zgodnie z równaniem (2.24) można przestawić w postaci:

sRggsRsm

m

nnInI

n += ∑−

=

1

0

, (2.27)

Wynikiem algorytmu MP jest reprezentacja sygnału s będąca sumą składowych rozwinięcia względem

elementów słownika, wybranych z uwzględnieniem najlepszego dopasowania do jego residuów.

W miarę dekompozycji poszczególne wzorce są wyczerpywane z sygnału a residua zawierają coraz

mniej energii, tzn.:

0lim =∞→

sRm

m (2.28)

więc reprezentacja sygnału jest coraz bliższa sygnałowi oryginalnemu. Jeśli słownik jest kompletny,

procedura jest zbieżna do s:

∑∞

∞−

=nInI

nggsRs , (2.29)

W praktycznych zastosowaniach nie obliczamy nieskończonego rozwinięcia sygnału. Algorytm

zatrzymywany jest, gdy reprezentacja sygnału „wyjaśnia” zdefiniowaną ilość energii sygnału (np.

90%) bądź po ustalonej liczbie iteracji. Pozostałe residuum rzędu m nazywane jest błędem

aproksymacji.

2.3.2 Dobór elementów słownika

W zależności od zawartości sygnału i funkcji analizujących tworzących słownik, na pewnym etapie

dekompozycji poszukiwanie kolejnych wzorców skutkuje niewielkimi współczynnikami dopasowania,

a energia residuum kolejnego rzędu jest nieznacznie tylko mniejsza niż w poprzedniej iteracji.

Sytuacja taka zachodzi wtedy, gdy wszystkie komponenty sygnału zostały już „wyjaśnione”, ale


24

w sygnale pozostają jeszcze składowe niepodobne do żadnego elementu słownika. Niewłaściwy

wybór funkcji słownika może spowodować, że duża porcja sygnału będzie tworzyć błąd aproksymacji.

Wybór optymalnego zestawu funkcji analizujących tworzących reprezentację słownika jest

obliczeniowo NP-trudny (Durka 1999-2004). Oznacza to, że złożoność obliczeniowa rośnie szybciej

niż dowolny wielomian2.

Pozostaje intuicyjny dobór elementów słownika lub stosowanie słowników Gabora. Nazwę swą

zawdzięczają atomom Gabora, tj. funkcjom Gaussa modulowanych sinusem. Upada wprawdzie

podstawowa zaleta techniki poszukiwania dopasowań, jaką jest reprezentacja sygnałów

o skomplikowanych kształtach za pomocą niewielkiej liczby współczynników, ale słowniki Gabora

zapewniają optymalną rozdzielczość czasowo-częstotliwościową, tzn. minimalizują nieoznaczoność

wynikającą z zasady Heisenberga.

2.3.3 Pogoń za dopasowaniem z dyskretnym słownikiem Gabora

W większości zastosowań sygnał s jest funkcją rzeczywistą. Dodatkowo, jest to sygnał cyfrowy

(dyskretny). Analizę dyskretnych sygnałów o wartościach rzeczywistych, przeprowadza się w oparciu

o dyskretny słownik rzeczywistych atomów Gabora ( ) )(, ng φγ , gdzie n oznacza dyskretną oś czasu:

( ) ( ) ( )

+−= φπφγφγ n

N

kpngKng j 2cos)( ,, (2.30)

Czynnik ( )φγ ,K , będący amplitudą funkcji okna, jest tak dobrany, aby ( ) 1, =φγg . Indeks γ = (j, p, k)

jest dyskretnym odpowiednikiem indeksu ciągłego I = (a, b, ξ). Załóżmy, że analizowany sygnał

składa się z N = 2L próbek, gdzie L jest liczbą całkowitą. Wprowadzając diadyczne skalowanie, tj.

zmianę skali a z potęgą dwójki a = 2j mamy nowy parametr – oktawę j, 0 ≤ j ≤ log2N, która określa

szerokość atomu w czasie; Dla parametrów p i k, 0 ≤ p < N i 0 ≤ k < N, przyjmujemy ten sam okres

próbkowania 2j. Przy tak wybranej zmienności parametrów mamy bardzo ograniczony słownik, ale

w zamian zyskujemy prostotę obliczeniową. Parametr p jest położeniem środka obwiedni atomu; k –

częstotliwością modulacji atomu. Faza φ, φ ∈ [0, 2π), występująca tutaj explicite, jest zwykle

przedmiotem osobnej optymalizacji dla każdej dopasowywanej funkcji. Struktury sygnału są w pełni

opisane zestawem parametrów: amplituda (energia atomu), częstotliwość, położenie, oktawa oraz faza.

Ilustrację tych parametrów na przykładzie atomu Gabora przedstawia rysunek 2.11. Jak pokazali

Mallat i Zhang w swej pracy (Mallat i Zhang 1993) przedstawiona dyskretyzacja słownika przy

zastosowaniu atomów Gabora pozwala na efektywną implementację numeryczną algorytmu MP.

2 Klasycznym przykładem problemu NP-trudnego (ang. NP-hard) jest problem komiwojażera, polegający na

znalezieniu najkrótszej drogi łączącej określoną liczbę miast.


25

2.3.4 Gęstość energii w przestrzeni czas - częstotliwość

Metoda pogoń za dopasowaniem nie oferuje dekompozycji w pełni ortogonalnej. Ortogonalne są tylko

kolejne rzuty, dzięki czemu spełniona jest zasada zachowania energii. Ponieważ residuum Rn+1

s jest

ortogonalne do atomu nIg w każdym kroku zachodzi związek określający zachowanie energii:

2

21

0

2, sRgsRs

mm

nnI

n += ∑−

=

(2.31)

Zestaw parametrów określających cechy wybranych atomów zawiera pełną informację o rozwinięciu

sygnału. Wizualizacji elementów strukturalnych sygnału służy rozkład gęstości energii przedstawiony

na płaszczyźnie czasowo-częstotliwościowej. Taką „mapą” dla krótkoczasowej transformaty Fouriera

STFT jest spektrogram, dla transformaty falkowej – skalogram, a dla metody pogoń za dopasowaniem

– rozkład energii uzyskany za pomocą dystrybucji Wignera, zwany również mapą Wignera (rys. 2.7).

Z definicji transformaty Wignera (wzór (2.8)) oraz rozwinięcia sygnału s uzyskanego metodą

MP (wzór (2.29)) można skonstruować estymatę gęstości energii sygnału w przestrzeni czas –

częstotliwość. Transformata Wignera równania (2.29) daje:

( )

∑ ∑

∑

∞

=

∞

≠

∗

∞

=

+

+=

0

,

0

2

),(,,

),(,,

n nmmIg

nIgmIm

nIn

nIg

nnI

ns

ftWgsRgsR

ftWgsRftW

(2.32)

Podwójna suma zawiera wyrazy mieszane, będące pasożytniczymi interferencjami w klasycznej

dystrybucji Wignera i pochodnych. W celu uzyskania jasnego obrazu rozkładu energii sygnału s(t)

w płaszczyźnie czas – częstotliwość usuwamy z równania (2.32) wyrazy mieszane, zachowując tylko

pierwszą sumę. W ten sposób definiujemy wielkość ( )ftEs , , która jest gęstością energii sygnału s(t)

w płaszczyźnie czasowo-częstotliwościowej:

zmodyfikowana amplituda

zmodyfikowana częstotliwość zmodyfikowane położenie (czas)

zmodyfikowana oktawa zmodyfikowana faza

atom Gabora

Rys. 2.11 Parametry atomów Gabora


26

∑∞

=

=0

2

),(,),(n

nIgnI

ns ftWgsRftE (2.33)

Definicja ta ma następujące uzasadnienie. Dystrybucja pojedynczego atomu gI spełnia warunek:

( ) 1,2

==∫ ∫∞

∞−

∞

∞−IIg gdfdtftW (2.34)

co w połączeniu z zachowaniem energii rozwinięcia sygnału s(t) metodą MP (równanie (2.31)) daje:

( ) 1,2

==∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

sdfdtftEs (2.35)

Oznacza to, że wielkość ( )ftEs , można interpretować jako gęstość energii sygnału s(t) na

płaszczyźnie czas – częstotliwość.

3. Akustyczne obrazy falowe

27

Rozdział 3

Akustyczne obrazy falowe

3.1 Profilowanie akustyczne z pełnym obrazem

falowym

3.1.1 Podstawy profilowania akustycznego

Profilowanie akustyczne (ang. Sonic Log, Acoustic Log) oraz profilowanie akustyczne z pełnym

obrazem falowym (ang. Fullwave Sonic Log, Full Waveform Acoustic Log, Full Wavetrain Acoustic

Log) są metodami, które wykorzystują fale akustyczne generowane w otworach niezarurowanych

(Minear i Fletcher 1983, Paillet et al. 1992, Jarzyna et al. 1999, Hearst et al. 2000, Serra i Serra 2004).

Wynikiem pomiaru przy standardowym profilowaniu akustycznym jest czas interwałowy fali

podłużnej w funkcji głębokości, będący odwrotnością prędkości. W przypadku profilowania

akustycznego z pełnym obrazem falowym określa się również czasy interwałowe fali poprzecznej

i fali Stoneleya.

W obu wymienionych typach profilowania akustycznego w nadajnikach sond stosowane jest

źródło monopolowe. Zachowuje się ono jak źródło punktowe, które emituje sygnał promieniście we

wszystkich kierunkach. Fale akustyczne generowane są przez magnetostrykcyjny lub piezoelektryczny

nadajnik umieszczony w sondzie. Zmiana pola magnetycznego lub elektrycznego wywołuje drgania

w kryształach niektórych minerałów lub materiałów ceramicznych. Drgania te oddziałują na ośrodek

skalny poprzez płuczkę, w której rozchodzą się jako koncentryczne fale podłużne w postaci lokalnych

zmian ciśnienia. Przy wzbudzeniu źródłem monopolowym można rejestrować również fale

poprzeczne, jako tzw. fale przemienne. Propagują one przez płuczkę jako fale P i na ścianie otworu

generują drgania cząstek ośrodka charakterystyczne zarówno dla dla fali podłużnej, jak i poprzecznej.

Jest to możliwe, gdy prędkość fali poprzecznej w ośrodku skalnym VS jest większa od prędkości fali

podłużnej w płuczce Vpł. Ośrodki te określane są w literaturze angielskiej jako szybkie, bądź twarde


28

(ang. fast formation, hard formation). W takich utworach powstają również fale pseudo-Rayleigha.

We wszystkich typach utworów tworzą się natomiast fale typu leaky modes oraz fale Stoneleya.

Przykładowy obraz falowy przedstawia rysunek 3.1. Szczegółowy opis dotyczący powstawania,

rozchodzenia i charakterystyki fal akustycznych przedstawiony zostanie w rozdziale 3.2.

Odbiorniki sond akustycznych są zbudowane z piezoelektrycznych kryształów (kwarc, turmalin) lub

materiałów ceramicznych (tytanian baru BaTiO2, ceramika PZT, tj. układ związków tytanianu ołowiu

i cyrkonianu ołowiu), które przekształcają zmiany ciśnienia płuczki na sygnały elektryczne. Sygnały

są wzmacniane, a następnie przesyłane do aparatury. Impulsy emitowane przez nadajniki mają

częstotliwości między 5 a 40 kHz. Wysyłane są w równych odstępach czasu, co kilkadziesiąt

milisekund. Czas trwania impulsu jest krótki, rzędu kilkudziesięciu mikrosekund.

W przypadku profilowania akustycznego z pełnym obrazem falowym sygnał przychodzący do

odbiornika jest zapisywany w wybranym interwale czasowym, np. 4000 µs. Dokładne wartości tych

parametrów (tj. częstotliwość sygnału, częstotliwość wysyłania sygnału, czas trwania impulsu, czas

rejestracji sygnału) są różne dla różnych sond akustycznych.

Sondy do profilowania akustycznego zwykle są centralizowane, ale używa się jedynie

gumowych centralizatorów, które nie zawsze są w stanie utrzymać sondę w osi otworu.

Obecnie standardowe profilowanie akustyczne przeprowadzane jest za pomocą sondy

kompensacyjnej, w której istnieją przynajmniej dwa układy składające się z jednego nadajnika (N)

i dwóch odbiorników: bliższego (O1) i dalszego (O2). Ich rozmieszczenie przedstawia rysunek 3.2.

Rejestrowany jest jedynie czas pierwszego wstąpienia fali P do odbiorników, odpowiednio T1 i T2.

P S

faleleaky modes

fala Stoneleya

fala pseudo - Rayleigha

am

plit

uda

czas

fala w płuczcefale odbite

i wielokrotnie odbite

Rys. 3.1 Akustyczny obraz falowy (na podstawie Minear i Fletcher 1983, zmienione)


29

Z różnicy czasów prostych, oblicza się czas interwałowy DT (ang. transit interval time, slowness) ze

wzoru:

Vl

TTDT

112=

∆

−= (3.1)

gdzie: ∆l jest bazą sondy i oznacza odległość między odbiornikami, V jest prędkością fali. Tak

obliczony czas interwałowy odpowiada prędkości fali w ośrodku skalnym na odcinku między

odbiornikami, natomiast nie zależy od przejścia fali przez płuczkę, gdy średnica otworu naprzeciw

elementów sondy jest stała.

Podczas profilowania akustycznego z pełnym obrazem falowym rejestrowane są wszystkie fale

przychodzące do odbiorników w zadanym przedziale czasowym. Falami użytecznymi, dla których

określa się czas interwałowy (prędkość) są: fala podłużna (P), fala poprzeczna (S) i fala Stoneleya.

Profilowania z pełnym obrazem falowym wykonuje się sondami umożliwiającymi obliczenie czasu

interwałowego dla więcej niż jednego rozstawu nadajnik-odbiornik. Zapis czterech par obrazów

falowych, tzn. czterech kombinacji N – O1 – O2 lub N1 – N2 – O, umożliwiają sondy wyposażone

w jeden nadajnik i cztery odbiorniki lub dwa nadajniki i dwa odbiorniki. Przykładem tego typu sond

będących na wyposażeniu polskich spółek geofizycznych są urządzenia: LSS (ang. Long Spaced

N

O1

O2

czas

czas

T1

czas

T2

Tpł

Tpł

Tpł

TNO1

TO1O2

∆l

= DT=T2 - T1 1

l V∆

am

plit

ud

a

Ba

dan

afo

rmacja

T1 T T T= + +pł NO1 pł

T2 T T + T T= + ( ) +pł NO1 O1O2 pł

∆l V

T2 - T1 T = = O1O2 =>

Punktzapisusondy

Rys. 3.2 Zasada obliczania czasu interwałowego DT w standardowych profilowaniach akustycznych


30

Sonic), przedstawione na rysunku 3.3 (Gądek et al. 1997) oraz FWS (ang. Full Wave Sonic) (Baudzis

2002). Schemat obliczania czasu interwałowego, nieco inny niż w przypadku standardowych

profilowań akustycznych, przedstawiony jest na rysunku 3.4 i omówiony w podrozdziale 3.1.3.

3.1.2 Budowa sondy LSS

Sonda LSS firmy Halliburton Energy Services jest narzędziem służącym do rejestracji akustycznych

obrazów falowych w otworach niezarurowanych. Została skonstruowana w celu dokładnego

określenia rzeczywistego czasu interwałowego fali podłużnej rozchodzącej się w niezmienionym

ośrodku skalnym.

Sonda LSS składa się z trzech podstawowych zespołów: górnego zespołu elektroniki, izolatora

i dolnego zespołu elektroniki (rys. 3.3).

Górny zespół elektroniki zawiera układy służące do sterowania czasem w sondzie oraz do

generowania i przesyłania na powierzchnię sygnałów złożonych z pomiarów akustycznych oraz

profilowania gamma i średnicy3.

Zespół izolatora (środkowa część sondy) zbudowany jest ze stalowej rury osłonowej, w której

wycięto otwory służące wytłumieniu i opóźnieniu fal biegnących od nadajników do odbiorników,

bezpośrednio po obudowie. Wewnątrz rury osłonowej znajdują się dwa magnetostrykcyjne nadajniki

i dwa piezoelektryczne odbiorniki. Rdzeń każdego nadajnika i odbiornika umieszczony jest

w specjalnej osłonie olejowej z kompensacją ciśnienia, która zapewnia dobre sprzężenie akustyczne

z płuczką wypełniającą otwór. Nadajniki są tak zaprojektowane, aby energia wysyłanej fali

akustycznej była największa pod kątem padania fali na ściankę otworu, około 30°.

Podobnie, kształt odbiorników został tak zaprojektowany, aby zapewnić jak najlepszy odbiór

sygnałów akustycznych padających na nie pod kątem około 30°.

Dolny zespół elektroniki odpowiada za ładowanie i wyzwalanie nadajników sondy.

Nadajniki sondy LSS emitują co 66 ms wąskopasmowe sygnały akustyczne o częstotliwości

środkowej 20 kHz. Rejestrowany przez odbiorniki sygnał jest próbkowany co 4 µs. Długość

zapisywanego sygnału wynosi 1100 próbek. Po przejściu przez odbiorniki sygnały są wstępnie

wzmacniane, a następnie przepuszczane przez filtr górnoprzepustowy 5 kHz i przesyłane dalej na

wzmacniacz liniowy regulowany przez operatora (Dokumentacja techniczna sondy LSS 1992).

Dokumentacja techniczna sondy nie podaje szerokości pasma emitowanego sygnału ani

charakterystyk częstotliwościowych odbiorników.

3 Pomiary sondą LSS wykonuje się w zestawie z innymi sondami. Możliwe są konfiguracje: LSS/DIL/MSFL/GR

oraz LSS/XYCAL/GR. W chwili obecnej pomiary sondą LSS wykonuje się tylko w zestawie z korelacyjną

sondą gamma (Gądek et al. 1997).


31

Dolny zespół elektroniki

Kompensator ciśnieniaw nadajnikach

Nadajnik N2

Nadajnik N1

wf4

wf1, wf2

wf3

Położenie punktów zapisuobrazów falowych

Izolator akustyczny

Odbiornik O1

Odbiornik O2

Kompensator ciśnieniaw odbiornikach

Górny zespół elektroniki

Punkt zapisu sondy,DT8, DT10

2 s

top

y8

stó

p2

sto

py

102 mm

Rys. 3.3 Schemat sondy Long Spaced Sonic firmy Halliburton Energy Services

(na podstawie Gądek et al. 1997)


32

Cechą charakterystyczną sondy LSS jest zwiększony rozstaw między nadajnikami i odbiornikami

w stosunku do tradycyjnych sond akustycznych. Odległość między nadajnikiem i odbiornikiem

wpływa na zasięg radialny sond wyposażonych w źródła monopolowe. W standardowych sondach

typu BHC stosowane rozstawy 3 i 5 stóp (0,915 m i 1,524 m) zapewniają bardzo płytką głębokość

penetracji, rzędu kilku cm. Stąd pomiary tymi sondami niosą najczęściej informację tylko ze strefy

najbliższej otworu, zmienionej procesem wiercenia (Baker 1984). Sonda LSS pracuje na rozstawach:

8, 10 i 12 stóp (2,438 m, 3,048 m i 3,658 m). Według dokumentacji technicznej maksymalny zasięg

radialny penetracji ośrodka sondą LSS wynosi 27 cali (0,686 m).

Wydłużone rozstawy uzyskano dzięki odpowiedniemu ułożeniu nadajników i odbiorników

w sondzie. W dolnej części izolatora umieszczono dwa nadajniki N1 i N2, odległe od siebie o 2 stopy

(0,6096 m). W odległości 10 i 12 stóp (3,048 m i 3,658 m) od dolnego nadajnika N2 znajdują się

odpowiednio odbiorniki: O1 i O2 (rys. 3.3). Dłuższe rozstawy sondy LSS zwiększają jej zasięg

radialny, dzięki czemu sonda może sięgać poza strefę filtracji. Wpływa to na jakość uzyskiwanej

informacji, gdyż pochodzi ona z większego i mniej zmienionego obszaru wokół otworu. Powyższa

konfiguracja nadajników i odbiorników umożliwia rejestrację czterech obrazów falowych: wf1, wf2,

wf3 i wf4. Schemat budowy sondy wraz z zaznaczonymi rozstawami i rejestrowanymi obrazami

falowymi przedstawiono na rysunku 3.3. Szczegóły dotyczące budowy sondy oraz parametrów

technicznych zebrano w tabeli 3.1.

Inną przyczyną stosowania długich rozstawów w sondach akustycznych, również w sondzie

LSS, jest rozdzielenie wstąpienia fali S od fali P (Snyder i Fleming 1985). Dłuższa droga oznacza

dłuższy czas przebiegu fal czołowych (fali P i S). Przy jednoczesnej różnicy w prędkościach tych fal

(VS < VP), pierwsze wstąpienie fali S jest wyraźniej oddzielone na obrazie falowym od fali P niż

w standardowych urządzeniach.

3.1.3 Schemat obliczania czasów interwałowych dla sondy LSS

Pomiary sondą LSS, podobnie jak większość profilowań geofizyki otworowej, wykonywane są od

spodu otworu ku górze. Interwał (krok) pomiarowy wynosi 0,5 stopy (0,1524 m).

W punktach pomiarowych sonda LSS rejestruje cztery obrazy falowe w1÷wf4, każdy

pochodzący od innej konfiguracji nadajnik – odbiornik (tab. 3.2, rys 3.3) oraz automatycznie wylicza

czasy interwałowe fali podłużnej: DT8 i DT10. Dla danego położenia sondy obrazy falowe odnoszone

są do środka odległości między odpowiednim nadajnikiem i odbiornikiem, natomiast czasy

interwałowe odnoszone są do punktu zapisu sondy, który jest zlokalizowany w połowie odległości

miedzy nadajnikami (rys. 3.3).

Ponieważ punkty zapisu obrazów falowych wf1÷wf4 są różne od punktu zapisu sondy, czasy

interwałowe DT8 i DT10 obliczane są w oparciu o obrazy falowe wybrane z dwóch położeń

głębokościowych sondy. Przesunięcie to wynosi 9,5 stopy i jest uwarunkowane konstrukcją sondy,

kątem padania sygnału na ściankę otworu oraz występowaniem strefy zmienionej wokół odwiertu.


33

DT8 jest czasem interwałowym wyznaczanym dla rozstawów 8 i 10 stóp na podstawie czasów

prostych odczytanych z zapisów wf1, wf3 i wf4. Do obliczenia czasu interwałowego DT10,

określanego dla rozstawów 10 i 12 stóp, wykorzystuje się czasy proste odczytane z obrazów falowych

wf2, wf3 i wf4. Schemat obliczania DT8 i DT10 przedstawia rysunek 3.4.

Tabela 3.1

Parametry techniczne sondy LSS

(na podstawie: Gądek et al. 1997, Dokumentacja techniczna sondy LSS 1992)

Wymiary sondy:

Długość sondy

Średnica sondy

7,24 m (23,75 stopy)

0,102 m (4 cale)

Parametry techniczne sondy

Typ źródła Dwa nadajniki magnetostrykcyjne,

źródło monopolowe

Częstotliwość środkowa źródła 20 kHz

Typ odbiorników Dwa odbiorniki piezoelektryczne

Częstotliwość wysyłania sygnału co 66 ms

Krok próbkowania sygnału 4 µs

Czas rejestracji sygnału 4400 µs (1100 próbek)

Zakres pomiarowy czasu interwałowego 131-689 µs/m (40-200 µs/ft)

Dokładność pomiaru czasu interwałowego ± 3,28 µs/m (± 1 µs/ft)

Zasięg penetracji ośrodka 27 cali

Odległości między elementami sondy

N1 – N2

O1 – O2

N1 – O1 (sygnał wf1)




0,6098 m (2 stopy)

0,6098 m (2 stopy)

2,438 m (8 stóp)

3,658 m (12 stóp)

3,048 m (10 stóp)

3,048 m (10 stóp)

Tabela 3.2

Wykaz obrazów falowych rejestrowanych sondą LSS

z odpowiadającymi im parami nadajnik – odbiornik oraz długością rozstawu

Obraz falowy Konfiguracja:

nadajnik – odbiornik Długość rozstawu

wf1 N1O1 8 stóp (2,44 m)

wf2 N2O2 12 stóp (3,66 m)

wf3 N1O2 10 stóp (3,05 m)

wf4 N2O1 10 stóp (3,05 m)


34

Zapisy rejestrowane przez sondę LSS są grupowane w cztery pary obrazów falowych: wf1-wf3, wf1-

wf4, wf4-wf2 i wf3-wf2. Dwie pierwsze pary mają krótszy rozstaw (odległość do bliższego

odbiornika wynosi 8 stóp), dwie pozostałe – dłuższy (10 stóp). Pary obrazów falowych służą do

obliczenia czasów interwałowych fali P (DTP), S (DTS) i Stoneleya (DTSt). DTP obliczone na

podstawie pary pierwszej i drugiej są odpowiednikami „aparaturowego” czasu interwałowego DT8,

analogicznie, DTP obliczone na podstawie pary trzeciej i czwartej są odpowiednikami DT10.

Pary: wf1-wf3 i wf1-wf4 oraz wf4-wf2 i wf3-wf2, choć mają takie same rozstawy, są utworzone

przez inną konfigurację nadajników i odbiorników (tab. 3.3). Para wf1-wf3 charakteryzuje się tym, że

obrazy falowe pochodzą od tego samego nadajnika N1 i są rejestrowane przez odbiorniki O1 i O2.

W przypadku pary wf1-wf4 obrazy falowe pochodzą od różnych nadajników, ale rejestrowane są

przez ten sam odbiornik O1. Podobnie jest z parami o dłuższym rozstawie. Para wf4-wf2 ma wspólny

nadajnik N2, natomiast para wf3-wf2 – wspólny odbiornik O2.

Otrzymywane z akustycznych obrazów falowych czasy interwałowe: DT8, DT10

i odpowiadające im DTP obliczane z czterech par obrazów falowych, mogą się różnić między sobą.

Przyczyną są następujące czynniki:

− Sygnały analogowe, rejestrowane przez odbiorniki, w celu przesłania ich na powierzchnię Ziemi

składane są w tzw. zespolone sygnały analogowe. Zespolony sygnał składa się z 8 podobnych

sekwencji (Gądek et. al. 1997). Cztery pierwsze sekwencje zawierają sygnały akustyczne

zarejestrowane w skali logarytmicznej, cztery kolejne zarejestrowane są w skali liniowej. Na

podstawie zapisów w skali logarytmicznej obliczane są czasy DT8 i DT10, natomiast z zapisów

liniowych po zdekodowaniu wzmocnienia otrzymuje się scyfrowane przebiegi falowe,

wykorzystywane do obliczenia m.in. czasu interwałowego DTP. Może być to przyczyną różnic

między czasem interwałowym „aparaturowym” a otrzymanym w wyniku interpretacji par

obrazów falowych.

− Zarejestrowane obrazy falowe są zdominowane przez charakterystyki odbiorników, co objawia

się obserwowanym podobieństwem cech kinematycznych i charakterystyk widmowych obrazów

falowych zarejestrowanych tym samym odbiornikiem oraz zróżnicowaniem obrazów

pochodzących od wspólnego nadajnika (Bała et al. 1997). Jest to przyczyną różnic między

czasami interwałowymi DTP obliczonymi dla obu par mających ten sam rozstaw (np. DTP

z pary wf1-wf3 i pary wf1-wf4).

− Głęboko sięgająca strefa zmieniona wokół otworu jest przyczyną różnic między czasami

interwałowymi obliczonymi dla rozstawów 8 i 10 stóp (np. między DT8 i DT10 oraz różnic

między DTP obliczonym dla obu rozstawów). Jest to spowodowane większą głębokością

penetracji ośrodka osiąganą przez dłuższe rozstawy (Serra i Serra 2004).


35

O1

O2

N2

N1

O1

O2

N2

N1 Punktzapisusondy

O1

O2

N2

N1

O1

O2

N2

N1

Położenie sondy:A

Położenie sondy:B

Położenie sondy:A

Położenie sondy:B

DT8 = ( - ) + ( - )T3 T1 T4 T1

B B A A

4DT10 =

( - ) + ( - )T2 T4 T2 T3B B A A

4

Bad

an

afo

rma

cja

a) b)

Rys. 3.4 Schemat obliczania czasów interwałowych DT8 (a) i DT10 (b) dla sondy LSS

(na podstawie: Gądek et al. 1997)


36

3.2 Fale akustyczne generowane w otworach

wiertniczych

Geometria otworu wiertniczego wpływa na powstawanie i rozchodzenie fal akustycznych. Otwór jest

modelowany jako cylinder wypełniony cieczą, umieszczony w jednorodnym i izotropowym ciele

sprężystym, z sondą w tym cylindrze (otworze) (White i Zechman 1968) albo bez niej (Rosenbaum

1974, Tsang i Rader 1979) lub jako warstwa cieczy umieszczona pomiędzy dwoma sprężystymi

jednorodnymi i izotropowymi półprzestrzeniami (Paillet i White 1982, Hearst et al. 2000). Warunki

graniczne określane dla fal sprężystych w otworze są podobne do tych, jakie stawiane są w sejsmice:

składowe radialne wektora (tensora) naprężenia i odkształcenia muszą być ciągłe na ściance otworu,

czyli powierzchni oddzielającej ośrodki o zróżnicowanych własnościach sprężystych. W praktyce

oznacza to, że naprężenia ścinające zanikają, ponieważ ciecze nie przenoszą tego typu naprężeń4.

Powstały liczne prace teoretyczne, zapoczątkowane przez Biota (Biot 1952, Biot 1956a, Biot 1956b),

w których udowodniono, że rozchodzenie się fali w otworze, pomimo podobieństwa warunków

granicznych, jest zasadniczo różne od rozchodzenia się fali sejsmicznej w pobliżu granicy rozdziału

ośrodków o różnych własnościach sprężystych (Tsang i Rader 1979, Cheng i Toksöz 1981, Paillet

i White 1982, Kurkijan 1985, Paillet i Cheng 1986).

Otwór wiertniczy zachowuje się jak falowód, będący rezonatorem dla wybranych częstotliwości

(Paillet et al. 1992), które są zdeterminowane: średnicą otworu, kątem padania fali na ściankę otworu,

długością i prędkością fali w płuczce:

4 Konsekwencją tego jest zerowy moduł ścinania µ w cieczach, co oznacza, że fale poprzeczne S nie rozchodzą

się w tego typu ośrodkach.

Tabela 3.3

Charakterystyka par obrazów falowych

Para obrazów falowych

Rozstaw pary* Konfiguracja nadajników

i odbiorników

wf1-wf3 8 stóp (2,44 m) wspólny N1

wf1-wf4 8 stóp (2,44 m) wspólny O1

wf4-wf2 10 stóp (3,05 m) wspólny N2

wf3-wf2 10 stóp (3,05 m) wspólny O2

*) odległość od nadajnika do bliższego odbiornika


37

plVm

a ωλθ

λ==

⋅;cos (3.2)

gdzie:

a – połowa szerokości falowodu,

ω – częstotliwość,

λ – długość fali,

θ − kąt padania fali na granicę rozdziału,

Vpł – prędkość fali w płuczce,

m – dowolna liczba naturalna, określająca wzbudzany mod.

W odległości kilkunastu długości fal od nadajnika wzdłuż osi otworu (w tzw. polu dalekim) mierzony

sygnał jest już całkowicie zdominowany przez preferencyjnie powstałe mody falowe. Fizyczne

własności akustycznych obrazów falowych można rozpatrywać jako superpozycję modów

wzbudzonych przez nadajnik emitujący sygnał źródłowy o określonym widmie częstotliwościowym

w otworze o danej średnicy, dla płuczki i skały o określonych prędkościach fal akustycznych (Paillet

1981, Paillet i White 1982, Paillet 1983, Paillet et al. 1992). Własności modów falowych różnią się od

własności sygnału emitowanego przez nadajnik, będącego źródłem wszystkich fal wygenerowanych

w otworze. Stąd wniosek, że na charakter rejestrowanych obrazów falowych oprócz własności sygnału

źródłowego ogromny wpływ mają również cechy otworu i skał otaczających otwór. Numeryczne

modelowania przebiegów falowych pozwoliły na zbadanie wpływu różnych czynników na powstające

w otworze mody falowe. Paillet (1981) wykazał, że obecność sondy w otworze jest przyczyną

powstawania rezonansów w płuczce. Natomiast Cheng i Toksöz (1981) udowodnili, że obecność

sondy w otworze daje odpowiedź równoważną do takiej, jaką otrzyma się modelując otwór bez sondy,

ale o mniejszej średnicy. Stąd do obliczania teoretycznych przebiegów falowych

(mikrosejsmogramów) istotnym parametrem jest tzw. średnica efektywna, która jest różnicą średnicy

otworu i sondy.

Proste zjawisko wzbudzania częstotliwości rezonansowych w otworze jest przyczyną

skomplikowanego charakteru akustycznych obrazów falowych. Poznanie tego mechanizmu jest

pomocne w interpretacji rejestrowanych przebiegów falowych. W świetle teorii powstawania

i rozchodzenia modów falowych w otworze przedstawiono poniżej krótki opis cech fal obecnych na

obrazach falowych, istotnych z punktu widzenia analizy czasowo-częstotliwościowej. Zwrócono

uwagę przede wszystkim na dwa aspekty:

1) Prędkość rozchodzenia się fali, która decyduje o czasie przyjścia fali do odbiornika, a tym

samym o miejscu (czasie) pojawienia się danej fali na obrazie falowym.

2) Charakterystykę częstotliwościową.

Fale objętościowe (ang. body waves)

Jako pierwsza na obrazie falowym pojawia się fala podłużna P (ang. compressional, longitudinal,

dilatational, pressure, primary wave). Jest najszybszą falą sprężystą. Prędkość fali P (VP) jest


38

określona przez moduły sprężystości oraz gęstość skały i medium porowego. Następna, zwykle

o większych amplitudach, rejestrowana jest fala poprzeczna S (ang. shear, transverse, rotational,

distortional, secondary wave). Jest to fala przemienna i powstaje z fali podłużnej biegnącej w płucze,

kiedy ta ulega załamaniu na ściance otworu. Warunkiem zarejestrowania fali S na sejsmogramie jest,

by prędkość VS w ośrodku skalnym była większa niż fali w płuczce Vpł. Prędkość fali S zależy od

własności sprężystych i gęstości skały i jest zawsze mniejsza od prędkości fali P. W skałach twardych,

zbitych fala P jest 1,6-1,9 razy szybsza od fali S, w osadach nieskonsolidowanych może być nawet 4-5

razy szybsza. Stosunek prędkości fali podłużnej do poprzecznej5 zależy tylko od współczynnika

Poissona ν:

12

222

−

−=

νν

S

P

V

V (3.3)

Powstanie fal P i S związane jest z krytycznym kątem padania fali na granicę dwóch ośrodków:

płuczki w otworze i skały. Sygnał akustyczny wyemitowany przez źródło punktowe rozchodzi się

promieniście w płuczce jako fala podłużna. Część energii, która pada na ściankę otworu pod kątem

krytycznym, ulega załamaniu pod kątem 90 stopni: nie wnika do ośrodka, lecz „ślizga” się po granicy

rozdziału z prędkościami fal sprężystych w ośrodku skalnym, odpowiednio VP i VS. Fale takie

nazywają się falami czołowymi (ang. head waves) i są one rejestrowane jako fale P i S na

5 VP/VS jest istotnym parametrem w geofizyce poszukiwawczej, gdyż jest dobrym wskaźnikiem nasycenia

gazem.

O2

O1

NiP iS

S

S’

P

P’

P

S

Fale prowadzone

Rys. 3.5 Przebieg promieni w otworze wiertniczym fal: P, S i prowadzonych

(na podstawie Minear i Fletcher 1983).

iP, iS – kąty krytyczne, dla których tworzą się fale czołowe P i S,

PP’ i SS’ – odcinki ośrodka skalnego, dla których określane są odpowiednio prędkości fal P i S


39

akustycznych obrazach falowych. Kąt krytyczny dla fali P jest inny niż dla fali S, stąd fale te

przebiegają przez różne odcinki ośrodka skalnego (rys. 3.5). Pozostała część energii wyemitowana

przez nadajnik, niesiona przez fale, dla promieni których kąty padania są mniejsze od kąta

krytycznego, wnika do ośrodka (ulega załamaniu) i jest tracona. Dla kątów padania większych od kąta

krytycznego zachodzi całkowite wewnętrzne odbicie. Energia tych fal uczestniczy w tworzeniu fal

prowadzonych (rys. 3.5).

Częstotliwości fal P i S związane są z częstotliwościami odcięcia stowarzyszonych z nimi fal

prowadzonych, odpowiednio z falami typu leaky modes i pseudo-Rayleigha (Paillet 1981, Paillet

i White 1982). Teoretyczne widmo częstotliwościowe otrzymane dla fal czołowych wykazuje szereg

pików związanych na przemian z falami P i S (rys. 3.6). Piki na widmie amplitudowym występują tuż

poniżej częstotliwości odcięcia modów fal prowadzonych rzędu m = 1, 2, …, i są skoncentrowane

w wąskim przedziale częstotliwości. Ilość modów fal prowadzonych wygenerowanych w otworze,

a tym samym ilość pików odpowiadających falom czołowym na widmie, zależy od charakterystyki

częstotliwościowej sygnału emitowanego przez nadajnik. Stąd widmo częstotliwościowe fal

czołowych zależy również od widma częstotliwościowego sygnału źródłowego. Stowarzyszenie fal

czołowych z częstotliwościami związanych z nimi odpowiednich fal prowadzonych wyjaśnia

0 10 20 30

częstotliwość [kHz]

1,0

10

wid

mo

am

plit

udo

we

częstotliwościodcięciamodów falprowadzonych

P1

S1

P2S2

Rys. 3.6 Teoretyczne widmo amplitudowe obrazu falowego zawierającego fale czołowe

(na podstawie Hearst et al. 2000).

Widmo amplitudowe charakteryzuje się pikami występującymi w pobliżu częstotliwości odcięcia modów fal

prowadzonych: fal leaky modes dla fali P oraz fali pseudo-Rayleigha dla fali S.

Ilość modów, a tym samym ilość pików na widmie, zależy od składu częstotliwościowego sygnału

źródłowego, emitowanego przez nadajnik. Zaznaczone na rysunku P1 i S1 oraz P2 i S2 to składowe fal P i S

związane z modami fal prowadzonych odpowiednio rzędu pierwszego (m = 1) i drugiego (m = 2)


40

nieznacznie zróżnicowany skład częstotliwościowy fal P i S, co eksperymentalnie wykazali

i przedstawili w pracy Scarascia et al. (1976).

Fale prowadzone (ang. guided waves)

Powstanie modów fal prowadzonych w otworze jest wynikiem oddziaływania ośrodka skalnego

z całkowicie odbitymi falami w falowodzie (tj. w pierścieniu między sondą a ścianką otworu),

wzbudzonymi dla częstotliwości rezonansowych. Fale prowadzone, do których zaliczamy fale pseudo-

Rayleigha, fale Stoneleya i fale typu leaky modes, są falami uwięzionymi w otworze, dlatego

charakteryzują się wysokimi amplitudami i dominują na obrazach falowych rejestrowanych w pewnej

odległości od nadajnika.

W tzw. szybkich formacjach, tj. gdy VS > Vpł, na akustycznych obrazach falowych obserwowany jest

kolejny pakiet falowy: fala pseudo-Rayleigha, nazywana poprzecznymi modami normalnymi, lub

skrótowo modami normalnymi. W literaturze angielskiej fala ta występuje pod licznymi nazwami:

shear normal modes, shear surface wave, multiple-reflected conical, reflected conical. Podobnie jak

fala S, fala ta nie jest wzbudzana w wolnych formacjach. Fala pseudo-Rayleigha jest silnie

dyspersyjna, o dyspersji normalnej, co oznacza, że mody wyższego rzędu, tzn. o niższych

częstotliwościach, poruszają się z większą prędkością. Dyspersja oznacza, że prędkość propagacji fali

zależy od częstotliwości. Prędkości fazowe modów fali pseudo-Rayleigha zawierają się między

0 10 20 30 40 50

VS

3,0

2,0

1,0


prę

dkość

[km

/s]

Vpł

Prędkość fazowa modów fali pseudo-Rayleigha

Prędkość grupowa modów fali pseudo-Rayleigha

Prędkość grupowa modów fali Stoneleya

Mod rzędupierwszego

( = 1)m

Mod rzędudrugiego( = 2)m

Mod rzędutrzeciego( = 3)m

Fala Stoneleya

częstotliwości odcięciakolejnych modów fali pseudo-Rayleigha

Rys. 3.7 Krzywe dyspersji fal pseudo-Rayleigha i Stoneleya (na podstawie Paillet i White 1982)


41

prędkością fali biegnącej w płuczce i prędkością fali poprzecznej w ośrodku: Vpł < Vps-R < VS (rys.

3.7). Charakter dyspersji fali pseudo-Rayleigha sprawia, że niskoczęstotliwościowe mody rozchodzą

się z prędkością zbliżoną do VS i dominują na obrazie falowym w końcowej partii obszaru

występowania fali S.

0 200 400 600 800

czas [ s]µ

am

plit

ud

a

tP tpł

a)

b)

c)


wid

mo

am

plit

ud

ow

esyg

na

łu ź

ród

łow

eg

o

a) b) c)

0 10 20 30 40 50 60

Rys. 3.8 Charakterystyka fali Stoneleya w zależności od częstotliwości środkowej

i szerokości widma sygnału źródłowego (na podstawie Paillet i White 1982, zmienione).

Najwyższe amplitudy fala Stoneleya osiąga dla niskich częstotliwości sygnału źródłowego (a). Im wyższe

częstotliwości nadajnika, tym amplitudy fali są niższe (b, c). Gdy widmo częstotliwościowe sygnału

źródłowego jest szerokie wtedy fala Stoneleya zapisuje się jako impuls na obrazach falowych (c). Wąskie

pasmo częstotliwości wzbudza falę oscylującą z częstotliwością nadajnika (a).

(Obliczenia fali Stoneleya przeprowadzono dla uproszczonego modelu, w którym za początek emisji

impulsu (czas t = 0) przyjęto maksimum symetrycznego sygnału źródłowego. Dlatego jako przyjście fali

Stoneleya należy przyjąć maksimum amplitudy wymodelowanej fali (zaznaczone strzałkami))


42

Amplitudy fali pseudo-Rayleigha są większe od amplitud fali poprzecznej, niosą dużą energię i nie są

tłumione w wyniku rozwierania sferycznego, zatem nie maleją ze wzrostem odległości nadajnik –

odbiornik. Fala pseudo-Rayleigha szybko zanika w głąb ośrodka, w płuczce ma charakter oscylacyjny.

Nakładanie się modów fali pseudo-Rayleigha na pakiet fali S utrudnia jego rozpoznanie. Fala pseudo-

Rayleigha posiada częstotliwość odcięcia, która wzrasta wraz z numerem (rzędem) moda. Jeżeli

częstotliwość sygnału emitowanego przez nadajnik jest poniżej częstotliwości odcięcia dla moda

pierwszego rzędu, to nie zostaną wygenerowane żadne mody fali pseudo-Rayleigha. Kształt fali

pseudo-Rayleigha, jej prędkość fazowa i grupowa oraz liczba modów jest przede wszystkim funkcją

częstotliwości sygnału emitowanego przez nadajnik oraz promienia efektywnego otworu. Zależy

również w skomplikowany sposób od własności ośrodka i płuczki (Paillet 1981, Paillet i White 1982).

Kolejną falą prowadzoną, dla której falowodem jest pierścień między sondą a ścianką otworu,

jest fala Stoneleya. Powstaje zarówno w szybkich jak i wolnych formacjach. Fala Stoneleya jest lekko

dyspersyjna (rys. 3.7). W wolnych formacjach charakteryzuje się dyspersją normalną, natomiast

w szybkich formacjach niewielką dyspersją odwróconą. Nie ma częstotliwości odcięcia, a wszystkie

mody rozchodzą się z podobną prędkością, stąd krzywe dyspersji są płaskie. W konsekwencji fala

Stoneleya pojawia się jako impuls na obrazach falowych, gdy sygnał źródłowy zawiera szerokie

pasmo częstotliwości (rys. 3.8). W przypadku wąskopasmowego sygnału fala Stoneleya będzie

oscylowała z częstotliwością źródła (Minear i Fletcher 1983). Prędkość fazowa fali Stoneleya jest

zawsze mniejsza od prędkości fali w płuczce: VSt < Vpł. Gdy VS > Vpł, tj. w szybkich formacjach,

VSt ≅ 0,9 Vpł. W rezultacie często fala w płuczce jest mylnie identyfikowana z falą Stoneleya. Gdy

prędkość fali poprzecznej spada i zbliża się do prędkości fali w płuczce, to spada również prędkość

fali Stoneleya (rys. 3.9) (Minear i Fletcher 1983).

Amplitudy fali Stoneleya zależą od kilku czynników: średnicy efektywnej otworu,

charakterystyki częstotliwościowej sygnału emitowanego przez nadajnik oraz własności ośrodka

skalnego. Zwiększenie średnicy efektywnej, np. wskutek kawern i wymyć, powoduje spadek amplitud

fali Stoneleya (Cheng i Toksöz 1981, Paillet i White 1982). Fala Stoneleya jest wzbudzana dla

wszystkich częstotliwości (nie ma częstotliwości odcięcia), ale większe amplitudy ma dla niskich

częstotliwości (rys. 3.8). Tak więc fala Stoneleya może być silnie wzbudzona tylko wtedy, gdy sygnał

emitowany przez nadajnik zawiera niskie częstotliwości (rys. 3.10). Część autorów nazywa

wysokoamplitudowe, niskoczęstotliwościowe składowe fali Stoneleya falami rurowymi (ang. tube

waves) (Paillet i White 1982, Paillet et al. 1992, Hearst et al. 2000). Amplitudy fali Stoneleya zależą

również od przepuszczalności. Zjawisko tłumienia fali Stoneleya jest wykorzystywane do

identyfikacji stref szczelin i spękań (Paillet 1991).

Trzecim rodzajem fal prowadzonych rozchodzących się po ściance otworu są fale zwane leaky

modes lub PL, w literaturze angielskiej występujące również pod nazwami: leaky compressional,

compressional normal modes, surface compressional waves. Powstają w podobny sposób do fali

pseudo-Rayleigha, z tą różnicą, że są generowane w wyniku oddziaływania formacji skalnych

z całkowicie odbitymi falami podłużnymi w płuczce. Podążają za czołową falą P i tworzą jej


43

oscylujący ogon. Amplitudy fal leaky modes zależą od współczynnika Poissona formacji skalnej ν,

w taki sposób, że wzrost ν powoduje wzrost amplitud tej fali (Minear i Fletcher 1983). Fala ta jest

najwyraźniejsza w bardzo wolnych formacjach, dużych otworach i otworach ze znaczącą strefą

zniszczenia. Jest to fala dyspersyjna o dyspersji normalnej. Prędkość fazowa VPL zawiera się między

prędkością fali podłużnej w płuczce a prędkością fali P: Vpł < VPL < VP. Liczba wzbudzanych modów

zależy od częstotliwości nadajnika. Gdy częstotliwość sygnału źródłowego będzie odpowiednio niska

nie powstaną żadne mody fal leaky modes. Może być wzbudzana zarówno w szybkich, jak i wolnych

formacjach.

Fala w płuczce (ang. fluid compressional wave, fluid wave, mud wave)

Jest to objętościowa fala podłużna generowana przez źródło monopolowe, która przebiega przez

płuczkę w otworze, bezpośrednio od nadajnika do odbiorników. Propaguje ze stałą prędkością, ze

względnie wysokimi energiami (Crain 2004). Prędkość fali w płuczce zależy m.in. od zasolenia

tpł tSt

S

S

S

P

P

fala Stoneleya

czas

am

plit

ud

a

czas

czas

VS = 2280 m/s

VS = 2010 m/s

VS = 1900 m/s

a)

b)

c)

V

VP

pł

= 3620 m/s

= 1830 m/s

Rys. 3.9 Syntetyczne obrazy falowe w utworach o niskich prędkościach fal sprężystych (łupkach)

otrzymane dla różnych prędkości fali S (na podstawie Minear i Fletcher 1983).

Gdy VS maleje i zbliża się do Vpł, to zanika pakiet fali S oraz obserwowany jest spadek prędkości fali

Stoneleya


44

płuczki (Jarzyna (1989)). Wzrost zasolenia powoduje zwiększenie prędkości propagacji fali

w płuczce.

Fala Stoneleya jest niewidoczna, zamaskowana przez składoweo wysokich częstotliwościach.

Obrazy falowe mają skomplikowanycharakter.

Charakter obrazów falowychuległ zmianie. Pojawia się falaStoneleya o niższych częstotliwościach.

a) Częstotliwość nadajnika: 30 kHz

b) Częstotliwość nadajnika: 15 kHz

c) Częstotliwość nadajnika 7 kHz

Zanika fala P. Fala Stoneleystaje się coraz bardziej wyraźna.

Rys. 3.10 (część I) Charakter obrazów falowych w zależności od częstotliwości nadajnika

(na podstawie 2SAA-1000/F Sonic Probe Operator Manual 2002)


45

e) Częstotliwość nadajnika: 2 kHz

d) Częstotliwość nadajnika: 4 kHz

Fala Stoneleya dominuje naobrazach falowych.Fala P prawie całkowicie zniknęła.

Fala P zniknęła całkowicie,na obrazach falowych występujejedynie fala Stoneleya.

Rys. 3.10 (część II) Charakter obrazów falowych w zależności od częstotliwości nadajnika

(na podstawie 2SAA-1000/F Sonic Probe Operator Manual 2002)

Inne fale

W końcowej części obrazu falowego występują fale odbite (ang. reflected waves), wielokrotnie odbite

(ang. muliple-reflected waves) oraz inne – interferencyjne, biegnące po skomplikowanej drodze.

W ośrodkach niejednorodnych mogą występować fale dyfrakcyjne. Fala bezpośrednia (ang. direct tool

wave) biegnąca po obudowie przychodzi do odbiorników bardzo późno i jest silnie wytłumiona przez

wycięcia w obudowie. Dzięki temu nie interferuje z falami użytecznymi i nie zakłóca akustycznych

obrazów falowych.

Podsumowując, mody normalne poprzeczne (pseudo-Rayleigha) i podłużne (leaky modes) mają

charakterystyczną dla siebie częstotliwość odcięcia, poniżej której nie mogą być wzbudzane. Mody te

są silnie dyspersyjne z prędkością fazową osiągającą prędkość fal czołowych (odpowiednio S i P), gdy

ich częstotliwość osiąga częstotliwość odcięcia. Dlatego obserwuje się wysokie amplitudy fal

czołowych dla częstotliwości bliskich częstotliwościom odcięcia (2SAA-1000/F Sonic Probe Operator

Manual 2002). Zatem, badania ukierunkowane na rejestrację fal P i S powinny być prowadzone przy


46

wykorzystaniu częstotliwości nadajnika tak dobranej, aby obejmowała tylko częstotliwości odcięcia

modów prowadzonych rzędu pierwszego m = 1 (wzór (3.2)) (Paillet et al. 1992). W takim przypadku

niechciane mody nie są wzbudzane, amplitudy fal czołowych są wysokie, a złożoność obrazów

falowych znacznie zredukowana. Gdy częstotliwości sygnału źródłowego są niższe, to fale P i S nie są

efektywnie generowane. Stosowanie wyższych częstotliwości wzbudzi również mody wyższego

rzędu, przez co przyjście fal P i S będzie trudne do zidentyfikowania (rys. 3.10).

W przypadku badań nastawionych na wykorzystanie fali Stoneleya częstotliwość nadajnika

powinna być niska. Wtedy rejestrowane obrazy falowe są wolne od efektów interferencji innych

modów (rys. 3.10). Amplitudy fali Stoneleya zaczynają maleć dla częstotliwości nadajnika większych

od 5 kHz (Paillet 1991), jakkolwiek dokładna wartość częstotliwości zależy od średnicy otworu. Dla

wyższych częstotliwości stopniowo pojawiają się kolejne mody fali pseudo-Rayleigha o amplitudach

większych od fali Stoneleya oraz fale czołowe.

Skomplikowany charakter obrazów falowych jest wynikiem interferencji modów falowych

powstających w otworze (rys. 3.11). Kontrolując częstotliwość oraz szerokość pasma sygnału

emitowanego przez nadajnik można bardzo uprościć rejestrowane przebiegi falowe.

Akustycznyobraz falowy

Okno falipoprzecznej

Okno faliStoneleya

Energiafali P Energia

fali SEnergia

falipseudo-

Rayleigha

Energia fali Stoneleya

czas

am

plit

ud

a

Rys. 3.11 Rozkład energii poszczególnych fal na obrazie falowym (na podstawie Paillet 1991).

Akustyczny obraz falowy zarejestrowano w niespękanych granitach, natomiast rozkład energii został

wymodelowany dla źródła o częstotliwości 35 kHz i średnicy otworu 7,5 cm. Otrzymany rozkład energii

posłużył do wyznaczenia okien czasowych odpowiadających falom S i Stoneleya


47

3.3 Metody interpretacji akustycznych obrazów

falowych

Akustyczne obrazy falowe można poddać interpretacji jakościowej oraz ilościowej.

Interpretacja jakościowa ma na celu dostarczenie dodatkowych informacji geologicznych oraz

stanowi uzupełnienie kompleksowej interpretacji danych geofizyki wiertniczej. Interpretacja ilościowa

obrazów falowych polega w pierwszym etapie na zidentyfikowaniu i wydzieleniu różnych typów fal

akustycznych, a następnie określeniu ich własności kinematycznych (czasów interwałowych,

prędkości) i dynamicznych (wielkości amplitud, tłumienia, energii fal). Na podstawie tych własności

możliwe jest ilościowe określenie również innych parametrów ośrodka, takich jak: dynamiczne

moduły sprężystości, porowatość, przepuszczalność.

Do metod jakościowej interpretacji akustycznych obrazów falowych należą wykresy czasowo-

głębokościowo-amplitudowe oraz atrybuty chwilowe obliczane dla każdego obrazu falowego (Bała et

al. 1994, Bała i Jarzyna 1996).

Pierwsza metoda, wzorowana na przekrojach sejsmicznych, polega na przedstawieniu

rejestrowanych przebiegów falowych w funkcji głębokości. Charakter rejestrowanych sygnałów

zmienia się w zależności od litologii i odzwierciedla zmiany parametrów skał, takich jak: skład

mineralny, porowatość, przepuszczalność, wielkość zailenia, rodzaj medium nasycającego przestrzeń

porową i innych. Wykresy czasowo-głębokościowo-amplitudowe, zestawione razem z profilowaniem

gęstości oraz średnicy, pozwalają na szybkie i jednoznaczne wydzielenie stref o zmienionych

własnościach zbiornikowych i sprężystych, w szczególności stref spękanych, rozluźnionych,

szczelinowatych i przepuszczalnych. Mogą być również wykorzystywane do identyfikacji litologii.

Kolejną metodą interpretacji jakościowej są atrybuty chwilowe, które pierwotnie stosowane

były w interpretacji sekcji sejsmicznych. Atrybuty takie jak: amplituda chwilowa, faza chwilowa,

częstotliwość chwilowa, zostały z powodzeniem zaadoptowane do interpretacji akustycznych obrazów

falowych. (Knize 1989, Bała et al. 1994, Bała i Jarzyna 1996). Charakterystyki chwilowe są

zdefiniowane na bazie trasy zespolonej (Taner et al. 1979), której część rzeczywistą tworzy

rejestrowany sygnał, natomiast część zespoloną oblicza się z rejestrowanego sygnału za pomocą

transformaty Hilberta. Analiza trasy zespolonej pozwala na rozdzielenie informacji niesionej przez

amplitudę i fazę sygnału zespolonego. Zmiany atrybutów chwilowych ujawniają lokalne zmiany

własności ośrodka skalnego, nie zawsze widoczne na tradycyjnym zapisie. Pozwalają na

wyeksponowanie sygnałów o małych amplitudach, podkreślają składowe obrazu, które są efektem

niewielkich niejednorodności ośrodka.

Identyfikacja fal na akustycznych obrazach falowych jest w znakomitej większości podstawą

interpretacji ilościowej. Poprawne wskazanie fal umożliwia podanie czasu przyjścia danej fali do

odbiornika oraz wartości amplitud. Na podstawie tych wielkości obliczane są parametry petrofizyczne

skał, takie jak:


48

− czas interwałowy DT,

− prędkość fali w ośrodku V,

− stosunek prędkości fali podłużnej do poprzecznej VP/VS,

− porowatość ogólna φ 6,

− dynamiczne moduły sprężystości7: np. moduł Younga E, moduł Kirchoffa G (nazwany również

modułem ścinania µ), moduł sprężystości objętościowej K, współczynnik Poissona ν,

− parametry tłumiące ośrodka: współczynnik tłumienia α, współczynnik dobroci Q,

− przepuszczalność i wielkość szczelin.

Dużym problemem w interpretacji ilościowej obrazów falowych jest interferencja, która utrudnia

precyzyjne wskazanie przyjścia fal. Ma to szczególnie duże znaczenie w przypadku fali S, ponieważ

znajomość jej prędkości jest niezbędna w wielu zastosowaniach (określenie VP/VS, współczynnika

Poissona, budowanie modelu prędkościowego ośrodka dla sejsmiki trójskładowej, itp.). Opracowano

wiele metod automatycznego wyznaczania czasu interwałowego i prędkości fal P i S, opierających się

własnościach kinematycznych i dynamicznych fal sprężystych.

Podstawowa metoda wyznaczenia fali P i S bazuje na kryterium amplitudowym i polega na

ustaleniu progu detekcji powyżej poziomu szumów. Jest ona jednak niedokładna i ma wiele

ograniczeń. Najczęstszym błędem jest przeskok fazy (ang. cycle skipping), czyli pominięcie

pierwszego cyklu fali. Przyczyną są niższe amplitudy fali od założonego poziomu progu detekcji lub

wyższy poziom szumów. Poprawki na wysokoamplitudowe piki szumu w przypadku wyznaczenia fali

P wprowadzili Cheng et al. (1981). Zastosowanie progu detekcji do wykrywania fali S jest znacznie

trudniejsze i ograniczone warunkiem wyższych amplitud początku fali poprzecznej od podłużnej. Inne

metody obliczania prędkości fal wykorzystują własność podobieństwa obrazów falowych oraz ich

charakterystykę częstotliwościową. Obliczenia wykonywane w domenie czasu ogólnie opierają się na

korelacji wybranych fragmentów obrazów falowych rejestrowanych bliższym i dalszym odbiornikiem

(Cheng et al. 1981, Willis i Toksöz 1983). W domenie częstotliwości prędkość fal sprężystych

otrzymywana jest na postawie widma wzajemnego (ang. cross spectrum) sygnałów rejestrowanych

odbiornikami umieszczonymi w różnej odległości od źródła (Ingram et al. 1985). Powstały również

6 Porowatość ogólną oblicza się w oparciu np. o równanie Wylliego (Wyllie et al. 1956, Wyllie et al. 1958):

mapl VVV

φφ −+=

11 , lub Raymera-Hunta-Gardnera (Raymer et al. 1980): ( ) plma VVV ⋅+⋅−= φφ 21 gdzie: V jest

prędkością fali w formacji skalnej, Vpł jest prędkością fali w cieczy wypełniającej przestrzeń porową (filtrat

płuczkowy lub woda złożowa), Vma jest prędkością fali w szkielecie skalnym, charakterystycznym dla danego

składu mineralnego (litologii).

7 Obliczenie większości dynamicznych modułów sprężystości jest możliwe po dołączeniu informacji o gęstości

ośrodka, np. z profilowania gęstościowego RHOB.


49

metody wykorzystujące obie domeny: czasową i częstotliwością, które łączą funkcje korelacji

i analizę widmową (Bała i Jarzyna 1992, Bała i Jarzyna 1996).

Zastosowanie sond wieloodbiornikowych spowodowało rejestrację większej ilości danych, które

wymagają innego podejścia interpretacyjnego. Najbardziej popularnym sposobem interpretacji tego

typu zapisów jest metoda bazująca na funkcji semblance (Kimball i Marzetta 1984). Jest ona

z powodzeniem stosowana również w interpretacji obrazów falowych rejestrowanych dwoma

odbiornikami (Jarzyna et al. 2001). Funkcja ta obliczana jest w dziedzinie czasu. Wykorzystywana jest

jako miara koherencji wielokanałowych zapisów sygnałów akustycznych. Wartość funkcji semblance

należy do przedziału [0, 1] i wynosi 1, gdy wszystkie obrazy falowe wykorzystane do jej obliczenia są

takie same co do kształtu i amplitudy. Maksima funkcji semblance interpretowane są jako czas

przyjścia T1 i czas interwałowy DT odpowiednio fali P, S i Stoneleya. Dokładność metody opartej

o wyliczenie funkcji semblance zależy od ilości rejestratorów. Jest wyższa dla wielokanałowych

rejestracji, natomiast dla rejestracji sondą dwuodbiornikową dokładność musi być niższa.

Innym zagadnieniem interpretacyjnym jest uzyskanie informacji o prędkości fali poprzecznej,

w sytuacji wykonywania pomiarów ze źródłem monopolowym w wolnych formacjach. W takim

przypadku fala S jest nieobecna na rejestrowanych obrazach falowych, ponieważ nie jest generowana.

Otrzymanie wartości prędkości fali S jest możliwe w oparciu o znajomość prędkości fali Stoneleya,

która w tego typu utworach silnie zależy od prędkości fali poprzecznej w ośrodku (Cheng i Toksöz

1983, Liu 1984).

Inne zastosowania akustycznych obrazów falowych opierają się na tłumieniu fal sprężystych. Na

podstawie rejestracji odbiornikami umieszczonymi w różnej odległości od nadajnika możliwe jest

określenie parametrów tłumiących ośrodka: współczynnika tłumienia α oraz współczynnika dobroci Q

(Toksöz et al. 1979a, Toksöz et al. 1979b, Jarzyna 1989). Akustyczne obrazy falowe mogą być

również wykorzystane pod kątem oceny przepuszczalności oraz określenia szczelinowatości na

podstawie tłumienia fali Stoneleya (Paillet 1991).

4. Dane

50

Rozdział 4

Dane

4.1 Otwór K6

4.1.1 Litostratygrafia otworu K6

Akustyczne obrazy falowe wykorzystane w pracy zostały zarejestrowane sondą LSS w otworze

Kościan 6 (K6), zlokalizowanym w złożu gazu. Złoże Kościan występuje w utworach rafowych

wapienia cechsztyńskiego (Ca1) narosłych na lokalnym paleopodniesieniu w centralnej części wału

wolsztyńskiego (basen permski, zachodnio-środkowa Polska (rys. 4.1)) (Karnkowski 1993).

Profil litostratygraficzny otworu K6 obejmuje cechsztyńskie utwory ewaporatowe i węglanowe

cyklotemów: Z3, Z2 i Z1, częściowo nasycone gazem w poziomie Ca1, oraz zailone piaskowce

karbońskie. Szczegółowy podział litostratygraficzny, sporządzony na podstawie Gądek et al. (1997)

oraz Jarzyna et al. (2001) przedstawiono w tabeli 4.1.

Dla metodycznego charakteru badań duże zróżnicowanie litologii jest istotną i korzystną cechą,

gdyż umożliwiło analizę czasowo-częstotliwościową sygnałów pochodzących z ośrodków o różnych

własnościach sprężystych i zbiornikowych. Dane geologiczne i geofizyczne z otworu K6 zostały

udostępnione dla prac naukowo-badawczych przez PGNiG S.A. w Warszawie i Spółkę Geofizyka

Kraków.

Kraków

Gdańsk

Poznań

Kościan

Rys. 4.1 Lokalizacja otworu K6

4. Dane

51

Tabela 4.1

Tabela litostratygraficzna utworów w otworze K6 wraz z podziałem akustycznych obrazów falowych

wykonanym na podstawie litostratygrafii (Gądek et al. 1997, Jarzyna et al. 2001)

i charakteru zapisów falowych

Litostratygrafia Podział

AOF Głębokość [m]

Okres (piętro)

Cyklotem Symbol Nazwa Opis litologiczny Oznaczenie strop spąg

wkładka 1 2009,6 2013,5

Na3_1 2013,5 2059,0

wkładka 2 2059,0 2067,0 Na3 sól młodsza

sole z domieszką iłu

i anhydrytu

Na3_2 2067,0 2078,0

A3d anhydryt

główny anhydryt lekko zailony A3d 2078,0 2141,5

Z3

T3 szary ił solny iłowce z dodatkiem soli T3 2141,5 2143,0

A2g anhydryt

kryjący anhydryt lekko zailony A2g 2143,0 2146,0

Na2 sól starsza sole z domieszką iłu

i anhydrytu Na2 2146,0 2175,5

A2d anhydryt

podstawowy

anhydryt lekko zailony

z domieszką wapienia,

dolomitu i soli

A2d 2175,5 2191,0 Z2

Ca2 dolomit

główny

dolomit lekko zailony

z domieszką soli,

wapienia i anhydrytu

Ca2 2191,0 2224,5

A1g anhydryt

górny


z domieszką wapienia,

dolomitu i soli

A1g 2224,5 2262,0

Ca1_0 2262,0 2263,7

Ca1_1 2263,7 2267,0 Ca1 a


z domieszką wapienia

i dolomitu 2267,0 2268,1

Ca1_2 2267,1 2269,3

Ca1_3 2269,3 2276,9

Ca1_4 2276,9 2281,2

Ca1_5 2281,2 2286,6

Ca1 b

wapień lekko zailony

z domieszką anhydrytu

i dolomitu;

poziom nasycony gazem

2286,6 2288,2 Ca1_6

2288,2 2294,8 Ca1 c



i anhydrytu 2294,8 2296,1 Ca1_7

2296,1 2298,2

Ca1_8 2298,2 2303,4

perm grn

(cechsztyn)

Z1

Ca1 d

wapień cechsztyński



i anhydrytu;

poziom nasycony gazem Ca1_9 2303,4 2305,6

karbon

(nie-

rozdzielony)

P-ce piaskowce

karbońskie

zailone piaskowce

z domieszką ambitu,

węglanów i anhydrytu;

piaskowce chlorynowe

P-ce 2305,5 2377,5

4. Dane

52

4.1.2 Charakterystyka akustycznych obrazów falowych

w otworze K6

Duże zróżnicowanie litologii jest przyczyną bardzo zmiennego charakteru obrazów falowych

zarejestrowanych w otworze K6. Obrazy falowe zmieniają się pod względem własności

kinematycznych i dynamicznych, tj. czasów przyjścia fal do odbiorników oraz amplitud (rys. 4.2).

Czasy przyjścia fal zależą od litologii oraz własności sprężystych. W obrębie jednego bloku

litologicznego wykazują w przybliżeniu stałą wartość, za wyjątkiem piaskowców, które są w różnym

stopniu zailone. Zailenie obniża prędkość fal sprężystych oraz zwiększa tłumienie, co objawia się

zróżnicowanym czasem przyjścia i wielkością amplitud fal w tych skałach.

Cechą charakterystyczną obrazów falowych w otworze K6, wspólną dla każdego typu litologii,

jest obecność wysokoamplitudowego i krótkotrwałego pakietu falowego, występującego na czasach

odpowiadających w przybliżeniu fali w płuczce i fali Stoneleya. Pakiet ten zaznacza się na obrazach

falowych charakterystycznym pasem, występującym w stałym przedziale czasu dla całego interwału

pomiarowego. W anhydrytach: A3d, A2d, A1g, dolomicie głównym Ca2 i piaskowcach P-ce, trwa on

około 160 µs. W poziomach: Ca2, A1g oraz P-ce, tuż za nim często pojawia się drugi, bardzo podobny

pakiet o niższych amplitudach. Oba pakiety trwają razem około 300-400 µs. W solach Na3 i Na2

wysokoamplitudowy pakiet trwa również 300-400 µs, ale nie rozdziela się na dwie części. Ma

charakter pojedynczego pakietu falowego i dominuje na całym obrazie falowym. W poziomie

wapienia cechsztyńskiego Ca1 jest bardzo rozmyty i zaburzony. Obserwowany pakiet

wysokoamplitudowy można wiązać z falą w płuczce lub z falą Stoneleya. Za tym, że jest to fala w

płucze przemawiają pewne cechy tego pakietu, które nie zgadzają się z opisem fali Stoneleya

podawanym w literaturze. Przede wszystkim pakiet ten jest bardzo wyraźny w solach, w których

występują ogromne wymycia znacznie powiększające średnicę otworu. Wysokie amplitudy fali

Stoneleya mogą być obserwowane w przypadku przeciwnym, tj. wtedy, gdy średnica rzeczywista

otworu jest mała, czyli gdy sonda znajduje się blisko ścianki otworu. Dodatkowo, nadajnik sondy LSS

emituje sygnały wąskopasmowe i wysokoczęstotliwościowe. Wtedy fala Stoneleya powinna mieć

niewielkie amplitudy i oscylacyjny charakter (rys. 3.8). Przyjmując, że jest to fala w płuczce, można

obliczyć prędkość na podstawie czasu przyjścia oraz znanej drogi propagacji (odległości nadajnik-

odbiornik). Wynosi ona około 1750 m/s. Prędkość fali w płuczce dla standardowych płuczek

wiertniczych to 1450-1500 m/s (Serra i Serra 2004). W otworze K6 płuczka ma wysokie zasolenie, co

mogło spowodować zwiększenie prędkości propagacji fali do wartości 1750 m/s. Tak wysoka wartość

prędkości jest mało prawdopodobna dla fali Stoneleya. Za drugą opcją, tzn. że jest to fala Stoneleya,

świadczyć może lekko zmienny czas przyjścia oraz zmieniająca się z litologią długość trwania

pakietu. Fala biegnąca w płuczce nie powinna być wrażliwa na zmiany średnicy w otworze ani

litologię.

Akustyczne obrazy falowe zarejestrowane w solach wyróżniają się spośród zapisów falowych

w całym interwale głębokościowym bardzo niewielkimi amplitudami fal sprężystych, za wyjątkiem

4. Dane

53

pakietu wysokoamplitudowego. Taki charakter sygnałów ma związek z ogromnym powiększeniem

średnicy: w solach młodszych Na3 sięgającym 470 mm, w solach starszych Na2 nawet do 650 mm

(średnica nominalna otworu wynosi 216 mm).

W utworach: A3d, A2d, Ca2, A1g oraz P-ce, akustyczne obrazy falowe mają podobny charakter.

Fala P ma niewielkie amplitudy, a fala S zaznacza się wyraźnym zwiększeniem amplitud.

Poziom wapienia cechsztyńskiego charakteryzuje się bardzo skomplikowanymi i zaburzonymi

obrazami falowymi. Przyczyną dużych zmian własności sprężystych wpływających na charakter

rejestrowanych obrazów falowych jest nasycenie gazem.

4.1.3 Podział akustycznych obrazów falowych na strefy

odpowiadające skałom o różnych własnościach sprężystych

i zbiornikowych

Akustyczne obrazy falowe w otworze K6 zostały podzielone na strefy odpowiadające różnym typom

skał. Podział został wykonany w oparciu o szczegółowe dane litostratygraficzne oraz cechy

kinematyczne i dynamiczne obrazów falowych widoczne na wykresach czasowo-głębokościowo-

amplitudowych. Pozostałe profilowania geofizyki wiertniczej, w szczególności: profilowanie średnicy

PŚr, gęstości RHOB i promieniowania gamma PG, wykorzystano jako dodatkową informację

pozwalającą na precyzyjne postawienie granic. Granice te wyznaczono na tych samych głębokościach

dla obrazów wf1, wf2, wf3 i wf4.

Podział otworu na strefy wykonany w oparciu o cechy obrazów falowych pokrywa się

z granicami litostratygraficznymi. Dodatkowo, w poziomie Na3 wydzielono dwie warstwy: wkładkę 1

i wkładkę 2, które wyróżniają się większymi amplitudami oraz wcześniejszym przyjściem fal P i S do

odbiorników. Ponieważ w tym odcinku otworu nie wykonano kompletu pomiarów geofizyki

wiertniczej, trudno jest określić litologię wkładek na podstawie tylko profilowania średnicy

i akustycznych obrazów falowych.

Poziom wapienia cechsztyńskiego Ca1 został szczegółowo podzielony na 10 stref (Ca1_0-

Ca1_9) na podstawie zmienności cech kinematycznych i dynamicznych obrazów falowych wywołanej

obecnością gazu w przestrzeni porowej.

Rysunek 4.2 przedstawia profilowania geofizyki wiertniczej i akustyczne obrazy falowe

zestawione razem z rozwiązaniem litologicznym (Gądek et al. 2002) wraz z naniesionymi granicami

podziału (tab. 4.1). Na rysunku 4.3 przedstawiono wybrane sygnały z różnych litologii.

4. Dane

54

Rys. 4.2 Wybrane profilowania geofizyki otworowej wykonane w otworze K6 wraz z rozwiązaniem

litologicznym i nasyceniem przestrzeni porowej

(plik: Rys. 4.2 Profilowania wykonane w K6 z rozw. litologicznym.cdr)

4. Dane

55

0 0,8 1,6 2,4 3,2 4,0-6

0

6-6

0

6-6

0

6-6

0

6-6

0

6-6

0

6-6

0

6-6

0

6-6

0

6-6

0

6-6

0

6

[ms]

am

plit

uda

Na3_1

A3d

Na2

A2d

A1g

Ca1_3

Ca1_9

Ca1_8

P-ce

Ca2

Ca1_5

Rys. 4.3 Przykładowe akustyczne obrazy falowe z wybranych litologii.

Rysunek przedstawia sygnały testowe (rozdz. 5.1) po wstępnym przetwarzaniu przygotowującym

obrazy falowe do analiz czasowo-częstotliwościowych (rozdz. 4.1.4)

4. Dane

56

4.1.4 Przygotowanie danych do analiz czasowo-częstotliwościowych

Materiał badawczy z otworu K6 obejmował cztery obrazy falowe wf1-wf4, zarejestrowane na odcinku

368,35 m z krokiem pomiarowym 0,1524 m (0,5 stopy). W sumie dysponowano 9668 pojedynczymi

przebiegami falowymi.

Akustyczne obrazy falowe (wraz z kilkoma innymi profilowaniami) zapisane były oryginalnie

w pliku binarnym *.nti, w standardowym formacie zapisu danych geofizyki wiertniczej LIS (ang. Log

Information Standard). W celu przeprowadzenia analiz czasowo-częstotliwościowych dane

pomiarowe wymagały wstępnego przetwarzania. Kolejne etapy przygotowania danych obejmowały:

− Zapisanie akustycznych obrazów falowych w postaci plików ASCII.

− Wyzerowanie bitów synchronizacji i bitów wzmocnienia.

− Skrócenie sygnałów do 1024 próbek.

− Standaryzację.

Zapisanie akustycznych obrazów falowych do plików ASCII wykonano za pomocą aplikacji FalaWin

w systemie Geowin®

(Jarzyna et al. 2001) oraz programu wave2txt.exe (Wawrzyniak i Olesiński

2001). Pierwszy program odczytuje z pliku *.nti akustyczne obrazy falowe i przechowuje je

w tymczasowych plikach binarnych. Program wave2txt.exe umożliwia zapisanie tych plików

w formacie ASCII.

Na początku każdego obrazu falowego (rekordu) zapisywana jest informacja o wzmocnieniu

oraz dołączane są tzw. bity synchronizacji odnoszące się do czasu emisji sygnału z nadajnika. Te

informacje wyzerowano, aby nie były przedmiotem przeprowadzonych analiz czasowo-

częstotliwościowych.

Akustyczne obrazy falowe rejestrowane sondą LSS mają długość 1100 próbek. Sygnały

skrócono do 1024 próbek, usuwając fragment z końca, nie zawierający już informacji geologicznej.

Operacja miała na celu zwiększenie efektywności obliczeń numerycznych analiz czasowo-

częstotliwościowych opartych na algorytmach bazujących na potędze dwójki.

Ostatnim etapem przygotowania danych była standaryzacja amplitud każdego obrazu falowego

według wzoru:

δ

AmpAmpAmp i

std

−= (4.1)

gdzie:

stdAmp – amplitudy akustycznego obrazu falowego po standaryzacji,

iAmp – amplituda obrazu falowego dla i-tej próbki,

Amp – średnia arytmetyczna amplitud całego obrazu falowego,

( )∑=

−−

=n

i

i AmpAmpn 1

2

1

1δ – odchylenie standardowe obliczone dla akustycznego obrazu

falowego,

4. Dane

57

n – ilość próbek akustycznego obrazu falowego.

Sygnały po standaryzacji mają średnią równą zero i wariancję równą jeden.

Przykład sygnału surowego i po procesie wstępnego przetwarzania przedstawia rysunek 4.4.

-2000

-1000

0

1000

2000

-6

-3

0

3

6

am

plit

ud

aam

plit

ud

aa)

b)

0

0

100

0,4

200

0,8

300

1,2

400

1,6

500

2,0

600

2,4

700

2,8

800

3,2

900

3,6

1000

4,0

1100

4,4nr próbki

[ms]

0

0

100

0,4

200

0,8

300

1,2

400

1,6

500

2,0

600

2,4

700

2,8

800

3,2

900

3,6

1000

4,0

1100

4,4nr próbki

[ms]

Rys. 4.4 Sygnał oryginalny (a) i przygotowany do analiz czasowo-częstotliwościowych (b)

(obraz falowy wf1, rekord 1500, A1g).

Przygotowanie polegało na zapisaniu sygnałów w plikach ASCII, wyzerowaniu bitów wzmocnienia

i synchronizacji na początku sygnału, skróceniu do 1024 próbek oraz standaryzacji

5. Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów falowych…

58

Rozdział 5

Przetwarzanie i analiza akustycznych obrazów

falowych z zastosowaniem wybranych metod

czasowo-częstotliwościowych

5.1 Parametry sygnałów syntetycznych oraz sygnały

testowe

W celu przeprowadzenia testów metod czasowo-częstotliwościowych, oceny ich możliwości

i efektywności w analizie obrazów falowych, skonstruowano syntetyczną parę wf1_synt-wf3_synt

oraz wybrano kilkanaście sygnałów testowych, zarejestrowanych w różnych typach litologicznych.

Oba syntetyczne obrazy falowe zostały zbudowane z trzech składowych symulujących fale P, S

i Stoneleya. Przyjęto, że fala P_synt ma największą prędkość, najwyższą częstotliwość oraz

najmniejsze amplitudy, fala S_synt mniejszą prędkość, niższą częstotliwość i wyższe amplitudy, fala

Stoneleya St_synt ma najniższą prędkość, najniższą częstotliwość oraz najwyższe amplitudy. Obraz

falowy wf3_synt, reprezentujący sygnał rejestrowany dalszym odbiornikiem, ma w stosunku do

obrazu wf1_synt niższe amplitudy. Szczegółowe parametry sygnałów syntetycznych umieszczono

w tabeli 5.1. Na rysunku 5.1 przedstawiono skonstruowane obrazy wf1_synt i wf3_synt.

Sygnały testowe zostały wybrane z rzeczywistych danych, po jednym z każdego typu

litologicznego w otworze K6, tak aby mieć możliwość oceny działania stosowanych metod czasowo-

częstotliwościowych w skałach o różnych własnościach sprężystych i zbiornikowych. Kilka

wybranych sygnałów testowych przedstawiono na rysunku 4.3. Na rysunkach obrazujących wyniki

danej metody na przykładzie pojedynczego obrazu falowego zawsze wykorzystywano ten sam sygnał:

obraz wf1 zarejestrowany w litologii A1g (anhydryt górny) na głębokości 2238,06 m (rekord 1500).


59

Dzięki temu umożliwiono prześledzenie i porównanie działania każdej z prezentowanych metod na

przykładzie tego samego sygnału.

Tabela 5.1

Parametry sygnałów syntetycznych:

f – częstotliwość, V – prędkość fali, T – czas przyjścia fali do odbiornika,

Amp – amplituda (w jednostkach umownych).

Czas przyjścia fali obliczono w oparciu o założoną prędkość danej fali oraz odległość nadajnik – odbiornik,

wynoszącą dla wf1_synt 2,438 m (8 stóp) oraz dla wf3_synt 3,048 m (10 stóp)

wf1_synt wf3_synt

Fala f [kHz] V [m/s] T [ms] Amp T [ms] Amp

P_synt 18 3200 0,807 0,2 0,997 0,15

S_synt 10 1875 1,350 0,5 1,679 0,4

St_synt 5 1350 1,823 0,8 2,274 0,65

-0,4

0,4

0

0,4

0

-0,4

0,4

0

-0,4

0,4

0

a)

-0,4

0,4

0

0,4

0

-0,4

0,4

0

-0,4

0,4

0

b)

wf1_synt

Pwf1_synt

Swf1_ synt

Stwf1_synt

wf3_synt

Pwf3_synt

Swf3_ synt

Stwf3_synt

-0,4

-0,4

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]

Rys. 5.1 Para obrazów falowych złożona z syntetycznych sygnałów wf1_synt (a) i wf3_synt (b).

Syntetyczne obrazy falowe zostały zbudowane ze składowych symulujących fale P, S i Stoneleya


60

5.2 Analiza składu częstotliwościowego akustycznych

obrazów falowych za pomocą transformaty Fouriera

Analizy czasowo-częstotliwościowe są doskonałą metodą badania sygnałów, pod warunkiem, że ich

składowe różnią się pod względem czasu występowania oraz częstotliwości. Fale tworzące akustyczne

obrazy falowe są zróżnicowane pod względem czasu rejestracji, ponieważ rozchodzą się z różnymi

prędkościami po podobnej drodze. Zróżnicowanie częstotliwościowe nie jest tak oczywiste

i wymagało dokładniejszego sprawdzenia. Stosowne obliczenia wykonano w programie Matlab®.

Na rysunku 5.2a przedstawiono widma amplitudowe pary obrazów falowych zarejestrowanych

w anhydrycie górnym A1g. Na widmie widoczne są charakterystyczne piki. Z pomocą aplikacji

FalaWin w systemie Geowin®

(Jarzyna et al. 2001) sprawdzono, że nie można ich bezpośrednio

powiązać z falami P, S i Stoneleya. Wykorzystanie filtrów (dolnoprzepustowego, trapezowego

przepustowego i górnoprzepustowego) oraz odwrotnej transformaty Fouriera pozwoliło stwierdzić, że

częstotliwości wokół których skoncentrowane są piki, obecne są na całym obrazie falowym, a nie

pochodzą jedynie od poszczególnych pakietów falowych (rys. 5.2b).

W celu efektywnego zastosowania analiz czasowo-częstotliwościowych istotne było

rozpoznanie składu częstotliwościowego fal obecnych na akustycznych obrazach falowych. Badania

miały odpowiedzieć na następujące pytania:

− Czy fale P i S różnią się między sobą pod względem składu częstotliwościowego?

− Na ile wyraźne jest zróżnicowanie częstotliwości (jeśli występuje)?

− Czy skład częstotliwościowy pakietów falowych zmienia się wraz z własnościami sprężystymi

i zbiornikowymi skał oraz litologią?

Analizę przeprowadzono dla obszarów obrazów falowych, które odpowiadają czasom trwania

pakietów fali podłużnej i poprzecznej, pod kątem określenia przedziału częstotliwości dla fali P i S

oraz częstotliwości najczęściej występujących w tych pakietach falowych w każdej z wydzielonych

stref litologicznych. Częstotliwość tą określono jako „częstotliwość charakterystyczną”, aby nie mylić

jej z inaczej definiowaną częstotliwością dominującą. Kolejne kroki analizy obejmowały:

1) Określenie czasów przyjścia i długości trwania fal P i S, jednakowych w każdej strefie

litologicznej, osobno dla obrazów falowych wf1, wf2, wf3 i wf4 (rys. 5.3).

2) Wycięcie z akustycznych obrazów falowych pakietów falowych wg warunków określonych

w punkcie 1). Tak spreparowane obrazy falowe poddano normalizacji do wartości [-1, 1]

(rys. 5.4a).

3) Obliczenie widma mocy P(f) dla znormalizowanych pakietów P i S w każdym punkcie

głębokościowym dla obrazów wf1, wf2, wf3 i wf4, a następnie znormalizowanie ich do wartości

z zakresu [0, 1] (rys. 5.4b)


61

P?

S?

St?

a)

b)wf1wf3sygnały po odwrotnejtransformacie Fouriera

widmo amp. wf1widmo amp. wf3filtr górnoprzepustowy(17 kHz)

Rys. 5.2 Widma amplitudowe (a) oraz przebiegi falowe (b) akustycznych obrazów falowych

zarejestrowanych bliższym (kolor czerwony) i dalszym (kolor niebieski) rejestratorem.

Skład częstotliwościowy obrazów falowych zawiera się w przedziale 5-20 kHz. Na widmach zaznaczono

wartość 20 kHz będącą częstotliwością nadajnika w sondzie LSS (kolor oliwkowy). Powyżej tej wartości

pojawiają się nieliczne i bardzo niewielkie piki częstotliwościowe. Są one wynikiem tego, że 20 kHz jest

częstotliwością środkową, a nie maksymalną sygnału emitowanego przez nadajnik. Widma mają

charakterystyczne piki, którym próbowano przypisać poszczególne fale. Zakładając różne filtry (kolor

zielony, rys. a) i obliczając odwrotną transformatę Fouriera, otrzymano przefiltrowane przebiegi

akustycznych obrazów falowych (kolor oliwkowy, rys. b). W przedstawionym przykładzie zastosowany filtr

miał sprawdzić, czy fali P odpowiada pik około 17 kHz. Wyniki transformaty odwrotnej jasno wskazują, że

te częstotliwości występują w całym obrazie falowym, a nie tylko w obszarze pakietu fali P


62

4) Wyznaczenie maksimów lokalnych na widmach mocy powyżej założonego progu i określenie

częstotliwości, dla jakiej występują.

5) Wykonanie histogramów przedstawiających skład częstotliwościowy pakietów P i S

i sporządzenie charakterystycznych rozkładów częstotliwości dla różnych typów skał (rys. 5.5).

W obrębie każdej wcześniej wydzielonej strefy litologicznej odpowiadającej różnym rodzajom skał

(tab. 4.1, rozdz. 4.1.3), określono obszary obrazów falowych, które odpowiadają czasom trwania

pakietów fali podłużnej i poprzecznej. Wyznaczono czasy przyjścia i długość trwania pakietów dla

obrazów falowych wf1, wf2, wf3 i wf4, przyjmując jednakowe wartości w każdej strefie. Kierowano

się cechami dynamicznymi obrazów falowych: wielkością amplitud i tłumieniem. Założono, że pakiet

fali S zaczyna się w miejscu, gdzie wyznaczono koniec fali P, natomiast kończy się w miejscu

przyjścia pakietu wysokoamplitudowego. Takie założenie było wystarczające dla celów tej analizy,

która miała dostarczyć zgrubne rozpoznanie składu częstotliwościowego. Wyznaczone czasy przyjścia

i długości trwania pakietów dla wszystkich obrazów falowych przestawia rysunek 5.3.

Czasy przyjścia i długość trwania fal zostały wykorzystane do wydzielenia pakietów P i S

z każdego pojedynczego obrazu falowego. Następnie każdy pakiet falowy został przeskalowany do

wartości z przedziału [-1, 1]. Przykład tak przygotowanych pakietów falowych przedstawia rysunek

5.4a.

Kolejnym krokiem było obliczenie widma mocy za pomocą szybkiej transformaty Fouriera.

Ponieważ analiza prowadzona była tylko w kierunku rozpoznania składu częstotliwościowego

obszarów obrazów falowych odpowiadających pakietom fal P i S, uzasadnione było znormalizowanie

każdego widma mocy do wartości [0, 1] (rys. 5.4b).

W wielu przypadkach widmo mocy było wielomodalne i nie można było określić jednej,

najbardziej wyróżniającej się częstotliwości. Dlatego wyznaczono maksima lokalne widma mocy

powyżej pewnego progu i określono, dla jakiej częstotliwości się pojawiły. Próg równy 0,4

zastosowano do określenia szerokości pasma częstotliwości pakietów P i S, natomiast próg 0,7

wykorzystano do wyznaczenia częstotliwości charakterystycznej. Następnie zliczono maksima lokalne

w klasach o szerokości 2 kHz. W wyniku otrzymano histogramy rozkładu częstotliwości fal P i S dla

różnych typów skał. Rysunek 5.5 przedstawia histogramy wyznaczone dla progu równego 0,4.

Analiza wykazała, że pakiety falowe P i S nieznacznie różnią się między sobą pod względem

składu częstotliwościowego. Nie można oczekiwać występowania pojedynczych, charakterystycznych

częstotliwości dla tych pakietów falowych. Jednak mimo niewielkiego zróżnicowania częstotliwości

w obszarach ich występowania na obrazach falowych, histogramy układają się w charakterystyczne

„wzory” częstotliwości dla każdego typu skał. W większości litologii zakres częstotliwości obu

pakietów falowych zawiera się między 10 a 20 kHz, ale maksima histogramów wyznaczonych dla fali

S występują dla innych częstotliwości niż w przypadku fali P. Obecność gazu w skale skutkuje

pojawieniem się niższych częstotliwości: 6-8 kHz. Na podstawie histogramów wyznaczono szerokość

pasma częstotliwości i częstotliwość charakterystyczną dla każdej z rozważanych litologii. Wyniki

przedstawiono w tabeli 5.2.


63

Rys. 5.3 Akustyczne obrazy falowe wf1, wf2, wf3, wf4 wraz z zaznaczonymi czasami przyjścia fal P (TP), S (TS)

i pakietu wysokoamplitudowego (Tpł/St) w poszczególnych litologiach

(plik: Rys. 5.3 AOF do analizy czestotliwosci.cdr)


64

Wyniki analizy składu częstotliwościowego zaprezentowano na międzynarodowej konferencji Near

Surface (Wawrzyniak 2005b).

Znormalizowane widmo mocy fali P

600

2,4

600

2,4

am

plit

ud

a

am

plit

ud

a

Znormalizowane widmo mocy fali S

Znormalizowany pakiet fali P Znormalizowany pakiet fali S

P(f

)

P(f

)

Rys. 5.4 Pakiety falowe P i S wydzielone z akustycznych obrazów falowych i znormalizowane do wartości

z przedziału [-1, 1] (a). Widma mocy pakietów P i S znormalizowane do wartości z przedziału [0, 1].

Na rysunku zaznaczono progi równe 0,4 i 0,7, powyżej których zliczane były maksima lokalne widm (b)

Tabela 5.2

Zakresy częstotliwości i częstotliwość charakterystyczna (objaśnienie w tekście) fali P i S

dla różnych typów litologicznych skał

Litologia Sole Anhydryty Dolomity Piaskowce Wapień

(Gaz) Wapień (Woda)

Fala P S P S P S P S P S P S

Zakres

częstotliwości

[kHz]

8-20 8-18 10-18 10-20 12-20 12-20 12-20 10-20 10-18 6-16 12-18 8-18

Częstotliwość charakter.

[kHz]

16 12 18 14-16 14 14 14 14 16 12 14 14


65

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0

50

100

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0

50

100

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0

500

1000

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0

50

100

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0

50

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0

100

200

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0

100

200

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0

50

100

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0

20

40

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0

50

100

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0

50

100

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0

200

400

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0

500

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0

50

100

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0

200

400

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0

100

200

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0

500

1000

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0

50

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0

500

1000

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0

1000

2000

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0

100

200

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 [kHz]0

1000

2000

wkładka 1

Na3_1

wkładka 2

Na3_2

A3d

T3

A2g

Na2

A2d

Ca2

A1g

Ca1_0

Ca1_1

Ca1_2

Ca1_3

Ca1_4

Ca1_5

Ca1_6

Ca1_7

Ca1_8

Ca1_9

P-ce

fala P fala S

Rys. 5.5 Histogramy składu częstotliwościowego pakietów P i S.

Skala pionowa przedstawia częstość występowania danej częstotliwości na obrazach falowych.

Szerokość klas histogramów wynosi 2 kHz


66

5.3 Zastosowanie dyskretnej transformaty falowej

5.3.1 Wprowadzenie

Analizę akustycznych obrazów falowych pod kątem rozdzielenia pola falowego z wykorzystaniem

metod czasowo-częstotliwościowych rozpoczęto od dyskretnej transformaty falowej DWT.

W założeniach teoretycznych ten rodzaj transformaty falkowej jest efektywnym i wystarczająco

dokładnym narzędziem pozwalającym na skuteczną analizę czasowo-częstotliwościową sygnałów,

jednocześnie ograniczającym zbyteczną redundancję informacji. Dyskretna transformata falkowa

zalecana jest szczególnie wtedy, gdy nie jest konieczna rekonstrukcja całego sygnału (Misiti et al.

1997-2006), tak jak ma to miejsce w tym przypadku. Analizy przeprowadzono z wykorzystaniem

pakietu Wavelet Toolbox w programie Matlab®.

Efektywność dyskretnej transformaty falkowej jest wynikiem diadycznego skalowania, tzn.

zmianie skali z potęgą dwójki: a = 2j, gdzie parametr j jest poziomem dekompozycji (oktawą),

pokrywającym ściśle określoną część pasma częstotliwościowego sygnału. Zakres badanych

częstotliwości na każdym poziomie dekompozycji jest narzucony przez sposób realizacji dyskretnej

transformaty falowej: iteracyjnej filtracji zespołem filtrów dolno- i górnoprzepustowych. Zależny jest

on również od częstotliwości próbkowania sygnału (Polikar 1994). Na rysunku 2.10,

przedstawiającym schemat realizacji DWT, przy każdym detalu podano odpowiadający mu przedział

częstotliwości w [rad/s]. W tabeli 5.3 przeliczono je na [kHz] uwzględniając krok próbkowania

akustycznych obrazów falowych.

5.3.2 Badania na danych syntetycznych

Badania na danych syntetycznych miały na celu zapoznanie się ze specyfiką dyskretnej transformaty

falkowej oraz rozpoznaniem możliwości wykorzystania jej do wydzielenia fal użytecznych z obrazów

falowych.

Projektując sygnały syntetyczne częstotliwości syntetycznych fal składowych (P, S i Stoneleya)

dobrano w taki sposób, aby wypadały one w przybliżeniu pośrodku przedziałów częstotliwości na

poszczególnych poziomach dekompozycji. Dzięki temu fala P powinna być reprezentowana na detalu

trzecim (tj. na trzecim poziomie dekompozycji), fala S – na detalu czwartym, a fala Stoneleya – na

detalu piątym.

Badania syntetyczne przeprowadzono na sygnale wf1_synt, który rozdzielono na pięć

poziomów dekompozycji za pomocą kilku falek z rodzin: Daubechies, Symlet i Coiflet. W wyniku

transformaty DWT otrzymano detale (D1-D5) i aproksymację na najwyższym poziomie dekompozycji

(A5), które interpretowano pod kątem identyfikacji fal tworzących sygnał syntetyczny. Poszczególne

fale składowe zostały odtworzone przez odpowiednie detale. Aproksymacja na poziomie piątym A5

stanowi różnicę między sygnałem wf1_synt a sumą wszystkich detali (wzór (2.19)) i jest zgrubnym


67

przybliżeniem sygnału. Na rysunku 5.6 przedstawiono przykładową dekompozycję sygnału wf1_synt

za pomocą falki Coiflet 5. Podobne wyniki otrzymano dla innych przetestowanych falek.

Dyskretna transformata falkowa rozdzieliła sygnał syntetyczny na składowe reprezentowane na

różnych detalach. Zgodnie z oczekiwaniami fala Stoneleya jest reprezentowana na detalu D5, na detalu

D4 widoczna jest fala S, natomiast fala P występuje na D3. Odwzorowanie składowych fal

syntetycznych jest jednak niedokładne. Przed rzeczywistym pierwszym wstąpieniem fali występują

niezerowe współczynniki DWT, co objawia się odtworzeniem na detalach nieistniejących w sygnale

struktur. Na przykład na detalu D4, przed pakietem fali S, występują współczynniki falkowe

odpowiadające fali P. Podobnie jest dla D5: przed falą Stoneleya można zaobserwować współczynniki

reprezentujące falę S. Natomiast na detalu D2 reprezentowany jest składnik, który nie występuje w

sygnale wf1_synt. Przypomina on kształtem, czasem przyjścia i czasem trwania falę P, lecz ma dużo

niższe amplitudy oraz wyraźnie wyższą częstotliwość. Detal D1 wskazuje miejsca pierwszego

wstąpienia poszczególnych pakietów falowych, które zaznaczają się wyraźnym wzrostem

współczynników falkowych. Dobrze widoczne jest to na mapie współczynników DWT (rys. 5.6b),

której skalowanie i kodowanie kolorem zostało wykonane w obrębie jednej oktawy, a nie globalnie

względem współczynników ze wszystkich poziomów dekompozycji. Wyraźne zaznaczenie

pierwszych wstąpień na detalu D1 jest wynikiem nagłej zmiany charakteru sygnału związanej

z sumowaniem fal składowych o różnych częstotliwościach. Wrażliwość dyskretnej transformaty

falkowej na tak subtelne zmiany w sygnale może być przydatna w wykrywaniu pierwszych wstąpień

interferujących ze sobą fal na obrazach falowych.

Za pomocą widma mocy otrzymanego z transformaty Fouriera zbadano również skład

częstotliwościowy detali (rys. 5.6e). Pozwoliło to ocenić poprawność odtworzenia fal składowych na

poszczególnych detalach. Częstotliwości detali D4 i D5 odpowiadają częstotliwościom fal S

i Stoneleya. Natomiast detal D3 ma nieoczekiwanie bardziej skomplikowany skład częstotliwościowy:

oprócz częstotliwości odpowiadającej fali P (18 kHz) na widmie mocy występują również dodatkowe

maksima. Detal D2 w całości przedstawia nieistniejącą strukturę. Przypomina falę P, ma jednak

zupełnie inny skład częstotliwościowy: maksymalny pik na widmie odpowiada częstotliwości 42 kHz.

Reprezentowanie na detalach nieistniejących struktur zostało potwierdzone poprzez analizę

bardzo prostego sygnału sinusoidalnego sin_13kHz złożonego z pojedynczej częstotliwości 13 kHz.

Sygnał ten poddano takiej samej dekompozycji dyskretną transformatą falkową, jaką zastosowano do

sygnału wf1_synt. Wyniki obliczeń przedstawiono na rysunku 5.7. Sygnał sin_13kHz, pomimo

pojedynczej częstotliwości, jest reprezentowany na dwóch detalach: D3 i D2. Transformata Fouriera

wykazała, że pojawiła się dodatkowa częstotliwość, która nie występuje w oryginalnym sygnale

(rys. 5.7e). Na detalu D3 dominuje częstotliwość 13 kHz, ale pojawia się również nowa częstotliwość

18,3 kHz. Detal D2 składa się w głównej mierze z dodatkowej częstotliwości z niedużym udziałem

częstotliwości 13 kHz.


68

okta

wa

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]

współczynniki DWTfalka Coiflet 5

skala = 2 , = 1,..., 5a jj

b)

c)

Pwf1_synt

Swf1_synt

St _syntwf1

wf1_synt

a)

0

-0,4

0,4

0

0,4

0

-0,4

0,4

0

-0,4

0,4

0

2

3

4

5

1

-0,4

skala kolorówwspółczynników DWT

maxmin

-0,4

0,4

0

-0,4

0,4

0

-0,4

0,4

0

-0,01

0,01

0

-0,01

0,01

0

-0,4

0,4

0

A5

D5

D4

D3

D2

P(f

)0

1

0 10 kHz20

d)

P(f

)

0

1

0

1

P(f

)

0 10 kHz200

1

P(f

)

0

1

P _syntwf1

S _syntwf1

St _syntwf1

wf1_synt

P(f

)

0

1

P(f

)

0

1

P(f

)

0

1

0

D5

D4

D3

D2

D10 25 kHz50

P(f

)

e)

Rys. 5.6 Dekompozycja sygnału syntetycznego dyskretną transformatą falkową DWT. Sygnał syntetyczny

wf1_synt (a) poddano transformacie falkowej DWT otrzymując rozkład współczynników falkowych (b) oraz

odpowiadające mu detale D1-D5 i aproksymację A5 (c). Na widmach mocy P(f) przedstawiono skład

częstotliwościowy sygnału syntetycznego i jego składowych (d) oraz detali D2-D5 (e). Widma mocy zostały

znormalizowane do zakresu [0, 1]. Oś częstotliwości jest jednakowa dla wszystkich widm, za wyjątkiem

widma dla detalu D2. Detale D3-D5 reprezentują odpowiednio syntetyczne fale P, S i Stoneleya. Detal D2,

choć przypomina falę P, ma od niej niższe amplitudy i znacznie wyższą częstotliwość (42 kHz)


69

Analiza sygnałów syntetycznych ujawniła negatywny aspekt dyskretnej transformaty falowej

w zagadnieniu identyfikacji i wydzielenia fal z akustycznych obrazów falowych. Dyskretna

dekompozycja falkowa wprowadza zakłócenia w postaci częstotliwości, które nie występują

w analizowanym sygnale. Jest to związane ze stosowaniem filtrów dolno- i górnoprzepustowych,

tworzących zespół kwadraturowych filtrów lustrzanych QMF. Wykorzystywane filtry

górnoprzepustowe, odpowiadające za tworzenie detali, „odbijają” częstotliwość danej składowej

okta

wa

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]


skala = 2 , = 1,..., 5a jj

b)

c)

sin_13kHz

a)

2

3

4

5

1

A5

D5

D4

D3

D2

D1

-1

1

0

-1

1

0

-1

1

0

-1

1

0

-1

1

0

-1

1

0

-1

1

0

P(f

)

D3

0

1

0 10 kHz20

D2

0

1P

(f)

d)

P(f

)

sin_13kHz

0

1

0 10 kHz20

13

kH

z

18

,3 k

Hz

skala kolorówwspółczynników DWT

maxmin

e)

Rys. 5.7 Dekompozycja sygnału sinusoidalnego sin_13kHz dyskretną transformatą falkową DWT.

Sinusoidalny sygnał syntetyczny o częstotliwości 13 kHz (a) został poddany dekompozycji falkowej (b, c),

identycznej z dekompozycją sygnału wf1_synt przedstawioną na rysunku 5.6. Pojedyncza częstotliwość

13 kHz sygnału została sztucznie rozdzielona na dwa detale: D2 i D3. Widma mocy P(f) sygnału

oryginalnego (d) oraz obu detali (e) ujawniają ich skład częstotliwościowy. Wyraźnie widać, że pojawiła się

dodatkowa, nieistniejąca w oryginalnym sygnale częstotliwość 18,3 kHz


70

sygnału od granicy przedziału częstotliwości określonego dla danej oktawy, a następnie

„odzwierciedlają” ją na sąsiednim poziomie dekompozycji (informacja na podstawie zainicjowanego

przez autorkę wątku na grupie dyskusyjnej Wavelet forum). W znaczący sposób komplikuje to analizę

pola falowego za pomocą dyskretnej transformaty falowej.

okta

wa

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0


skala = 2 , = 1,..., 5a jj

b)

c)

a)

2

3

4

5

1

A5

D5

D4

D3

D2

D1

-4

4

0

-0,2

0,2

0

-0,6

0,6

0

-4

4

0

-4

4

0

-0,2

0,2

0

-0,02

0,02

0

okta

wa

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0


skala = 2 , = 1,..., 5a jj

2

3

4

5

1

A5

D5

D4

D3

D2

D1

[ms] [ms]

-4

4

0

Para obrazów falowych wf1-wf3 (anhydryt górny A1g)

krok próbkowania = 4 s∆ µt

wf1 wf3

skala kolorów współczynników DWT

maxmin

-0,2

0,2

0

-0,6

0,6

0

-4

4

0

-4

4

0

-0,2

0,2

0

0,02

0

-0,02

-4

4

0

-4

4

0

-4

4

0

-4

4

0

-4

4

0

-4

4

0

-4

4

0

-4

4

0

-4

4

0

-4

4

0

-4

4

0

-4

4

0

En = 100%

En = 0,4%

En = 1,18%

En = 65,8%

En = 32,54%

En = 0,08%

En = 0,00%

En = 100%

En = 2,04%

En = 1,94%

En = 52,19%

En = 43,71%

En = 0,12%

En = 0,00%

Rys. 5.8 Dekompozycja DWT pary obrazów falowych wf1-wf3, próbkowanych z krokiem 4 µs.

Para obrazów falowych (a) została poddana transformacie DWT. Otrzymano współczynniki falkowe (b)

oraz odpowiadające im detale D1-D5 i aproksymację na poziomie piątym A5 (c). Detale i aproksymacje

przedstawiono w skali pionowej dostosowanej do maksymalnych amplitud (na granatowo) oraz w skali

identycznej ze skalą sygnałów wf1 i wf3 (na zielono). Na rysunku zaznaczono również ilość energii

całkowitej sygnału, jaką reprezentuje dany detal lub aproksymacja. Prawie 100% energii obrazów falowych

reprezentowane jest na trzecim i czwartym poziomie dekompozycji. Na detalach nie obserwuje się

rozdzielenia fal akustycznych


71

5.3.3 Badania na danych rzeczywistych

Pomimo mało obiecujących wyników na danych syntetycznych przeprowadzono badania również na

danych rzeczywistych. Analizę wykonano na pięciu poziomach dekompozycji za pomocą falek

z rodzin: Daubechies (db3-db10), Symlet (sym4-sym7) i Coiflet (coif2-coif5). Do obliczeń wzięto

wybrane sygnały testowe, zarejestrowane w różnych litologiach. Wyniki dyskretnej transformaty

falkowej (detale i aproksymacje) próbowano interpretować pod kątem identyfikacji i wydzielenia

pakietów fal akustycznych.

Na detalach i aproksymacjach nie można było wskazać w sposób jednoznaczny czasów

przyjścia oraz długości trwania poszczególnych fal. Żadna z przetestowanych falek, pomimo różnych

własności (tj. różnej długości nośnika i częstotliwości środkowej) nie umożliwiła rozdzielenia pola

falowego na poszczególne fale. Przykładowe wyniki dekompozycji pary obrazów falowych wf1-wf3

zarejestrowanej w anhydrycie górnym A1g przedstawiono na rys. 5.8.

Kolejną możliwą przyczyną niepowodzenia (oprócz tej omówionej w poprzednim podrozdziale,

tj. odtwarzanie nieistniejących częstotliwości) była niedostateczna rozdzielczość częstotliwościowa

analizy. Akustyczne obrazy falowe są próbkowane z krokiem 4 µs, co daje częstotliwość próbkowania

fs = 250 kHz i częstotliwość Nyquista fmax = 125 kHz. Oznacza to, że zakres badanych częstotliwości

przez DWT wynosi 0-125 kHz. Jest to przedział stanowczo za szeroki, gdyż sygnały rejestrowane

sondą LSS mają częstotliwości między 5 a 20 kHz. W konsekwencji ten zakres częstotliwości fal

sprężystych był reprezentowany na trzecim i czwartym poziomie dekompozycji (rys. 5.8). Natomiast

poziomy pierwszy i drugi, charakteryzujące się najlepszą rozdzielczością w lokalizacji wysokich

częstotliwości w domenie czasu, były zarezerwowane dla nieobecnych w oryginalnym sygnale

częstotliwości rzędu od kilkudziesięciu do 125 kHz.

Metodą na zawężenie badanego przez DWT pasma częstotliwości było zmniejszenie

częstotliwości próbkowania sygnału. Krok próbkowania obrazów falowych zmieniono z 4 µs na 12 µs,

uzyskując częstotliwość próbkowania równą fs = 83,3 kHz i zawężenie pasma częstotliwości

analizowanych przez dyskretną transformatę falkową do fmax = 41,65 kHz. Dzięki tej operacji zakres

częstotliwości akustycznych obrazów falowych został przeniesiony na drugi i trzeci poziom

dekompozycji (tab. 5.3).

Po zmianie kroku próbkowania sygnału i przeniesieniu informacji o częstotliwościach fal

sprężystych do poziomów bardziej rozdzielczych w domenie czasu, podjęto próbę identyfikacji fal

sprężystych na detalach i obliczenia czasów interwałowych DTP_DWT i DTS_DWT. Wybrano

odpowiednie pary obrazów falowych według schematu umożliwiającego obliczenie czasów

interwałowych. Przeprowadzono na nich dyskretną transformatę falkową, stosując te same falki jak

dla wcześniejszej analizy (∆t = 4 µs). Na otrzymanych detalach D1-D5 próbowano zidentyfikować fale

P, S oraz Stoneleya i wyznaczyć ich czasy pierwszego wstąpienia kierując się cechami dynamicznymi

fal. Fala P była najlepiej widoczna zwykle na detalu D2, fala S występowała jednocześnie na detalach

D2 i D3. Na detalu D4 można było wyróżnić pakiet falowy o niższych częstotliwościach zaczynający


72

się w obszarze pakietu wysokoamplitudowego. Detal D1 miał inny charakter niż w przypadku danych

syntetycznych. Nie można było na nim wskazać czasów przyjścia poszczególnych fal akustycznych.

Przebieg D1 przypomina kształtem sygnał oryginalny, lecz ma dużo niższe amplitudy i wyższe

częstotliwości. Dekompozycję DWT pary obrazów falowych wf1-wf3, tej samej, którą

zaprezentowano na rysunku 5.8, lecz ze zmienionym krokiem próbkowania, przedstawiono na rysunku

5.9.

W oparciu o wyznaczone na detalach czasy proste poszczególnych fal wyliczono czasy interwałowe.

Wyniki porównywano z czasami interwałowymi otrzymanymi innymi metodami: z odpowiednim

„aparaturowym” czasem interwałowym DT8 lub DT10, DT_Semb obliczonym w oparciu o funkcję

semblance oraz DT_pikow wyznaczonym przez ręczne pikowanie pierwszych wstąpień na

oryginalnych rejestracjach (oba obliczenia wykonano w aplikacji FalaWin w systemie Geowin®

(Jarzyna et al. 2001)). Przykłady wyników dla przykładowej pary wf1-wf3 z anhydrytu górnego,

przedstawiono w tabeli 5.4. Czasy interwałowe uzyskane w wyniku dekompozycji DWT

charakteryzują się dużą zmiennością i różnią się od tych, które uzyskano innymi metodami. Tabela

odzwierciedla trudności w rozpoznaniu poszczególnych pakietów falowych i wskazaniu ich

jednoznacznie na detalach.

Zmiana częstotliwości próbkowania sygnału nie przyniosła oczekiwanego rozdzielenia pola

falowego na osobnych detalach. Fale P i S obserwowane były wprawdzie na bardziej rozdzielczych

poziomach dekompozycji, tj. na D2 i D3, ale w dalszym ciągu były to dwa detale.

Niskoczęstotliwościowy pakiet falowy obecny na detalu D4 w bardzo wielu przypadkach rozpoczynał

Tabela 5.3

Zakres badanych częstotliwości na kolejnych poziomach dekompozycji DWT w [rad/s] (Polikar 1994)

oraz w [kHz] dla sygnałów próbkowanych z krokiem 4 µs oraz 12 µs.

fs jest częstotliwością próbkowania, fmax oznacza częstotliwość Nyquista (maksymalna częstotliwość

wynikającą z częstotliwości próbkowania, która może występować w sygnale)

∆∆∆∆t = 4 µµµµs

fs = 2ππππ rad/s ⇒⇒⇒⇒ fmax = ππππ rad/s

fs = 250 kHz ⇒⇒⇒⇒ fmax = 125 125 125 125 kHz

∆∆∆∆t = 12 µµµµs

fs = 2ππππ rad/s ⇒⇒⇒⇒ fmax = ππππ rad/s

fs = 83,3 kHz ⇒⇒⇒⇒ fmax = 41,65 41,65 41,65 41,65 kHz

Detal Zakres

częstotliwości [rad/s]

Zakres częstotliwości [kHz]

Zakres częstotliwości [kHz]

D1 π/2-π 62,5-125 21-42

D2 π/4-π/2 31,25-62,5 10,5-24

D3 π/8-π/4 15,63-31,25 5,25-10,5

D4 π/16-π/8 7,81-15,63 2,63-5,25

D5 π/32-π/16 3,90-7,81 1,31-2,63


73

się znacznie wcześniej niż pakiet wysokoamplitudowy i nie można go było jednoznacznie

zidentyfikować ani jako fali Stoneleya ani jako fali w płuczce.

okta

wa

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0


skala = 2 , = 1,..., 5a jj

b)

c)

a)

2

3

4

5

1

A5

D5

D4

D3

D2

D1

-4

4

0

-0,01

0,01

0

-0,05

0,05

0

-0,5

0,5

0

-4

4

0

-4

4

0

-0,1

0,1

0

okta

wa

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0


skala = 2 , = 1,..., 5a jj

2

3

4

5

1

A5

D5

D4

D3

D2

D1

[ms] [ms]

-0,01

0,01

0

-0,05

0,05

0

-0,5

0,5

0

-4

4

0

-4

4

0

-0,1

0,1

0

-4

4

0

Para obrazów falowych wf1-wf3 (anhydryt górny A1g)

krok próbkowania = 12 s∆ µt

wf1 wf3

-4

4

0

-4

4

0

-4

4

0

-4

4

0

-4

4

0

-4

4

0

-4

4

0

-4

4

0

-4

4

0

-4

4

0

-4

4

0

-4

4

0

En = 100%

En = 0,04%

En = 0,03%

En = 1,93%

En = 61,85%

En = 36,03%

En = 0,12%

En = 100%

En = 0,33%

En = 0,09%

En = 1,93%

En = 74,56%

En = 23%

En = 0,09%

skala kolorów współczynników DWT

maxmin

Rys. 5.9 Dekompozycja DWT pary obrazów falowych wf1-wf3,

próbkowanych ze zmienionym krokiem równym 12 µs.

Para obrazów falowych z anhydrytu górnego A1g po zmianie kroku próbkowania (a) została poddana

transformacie DWT. Otrzymano współczynniki falkowe (b) oraz odpowiadające im detale D1-D5

i aproksymację na poziomie piątym A5 (c). Detale i aproksymacje przedstawiono w skali pionowej

dostosowanej do maksymalnych amplitud (na granatowo) oraz w skali identycznej ze skalą sygnałów wf1

i wf3 (na zielono). Na rysunku zaznaczono również ilość energii całkowitej sygnału, jaką reprezentuje dany

detal lub aproksymacja. Podobnie jak na rysunku 5.8, prawie 100% energii obrazów falowych

reprezentowane jest na dwóch detalach: drugim (En=36.03%) i trzecim (En=61.85%). Pomimo przeniesienia

informacji o rzeczywistym zakresie częstotliwości obrazów falowych do bardziej rozdzielczych w domenie

czasu poziomów dekompozycji, nie udało się rozdzielić pola falowego na poszczególne fale akustyczne


74

Tabela 5.4

Przykłady czasów interwałowych dla fali P i S uzyskane różnymi metodami dla pary wf1-wf3,

prezentowanej na rysunku 5.9. Falę P identyfikowano na detalu drugim, falę S identyfikowano na dwóch

detalach: drugim i trzecim. Wyniki czasów interwałowych otrzymanych po dekompozycji DWT są bardzo

rozbieżne i obrazują trudności jednoznacznego wskazania fal P i S na detalach

Metoda DTP

[µµµµs/m]

DTS

[µµµµs/m]

DT8 173 –

Funkcja semblance 177 328

Ręczne pikowanie

pierwszych wstąpień 180 344

DWT – db5 D1 137 D2

D3

334

472

DWT – db8 D1 137 D2

D3

315

472

DWT – sym5 D1 215 D2

D3

236

334

DWT – sym7 D1 236 D2

D3

492

866

DWT – coif3 D1 236 D2

D3

393

334

DWT – coif5 D1 216 D2

D3

374

334

Przyczyny negatywnych wyników dyskretnej transformaty falkowej leżą w samej naturze tej metody.

DWT ma zbyt niską rozdzielczość pod względem rozróżnienia częstotliwości w sygnale, aby można

było ją zastosować do rozdzielenia pola falowego akustycznych obrazów falowych. Skład

częstotliwościowy fal P i S, zgrubnie określony w rozdziale 5.2, obejmuje głównie częstotliwości

z zakresu 10-20 kHz. Zakres ten jest badany przez detal trzeci i czwarty dla ∆t = 4 µs oraz drugi i

trzeci dla ∆t = 12 µs. Dodatkowo, zwiększenie kroku próbkowania spowodowało nieuniknioną utratę

części informacji zawartej w oryginalnych rejestracjach oraz zwiększyło błąd wyznaczenia czasu

interwałowego z 6,5 µs/m (dla oryginalnych obrazów falowych) do 19,67 µs/m (dla obrazów ze

zmienionym krokiem próbkowania).

Opis badań został opublikowany w kwartalniku Geologia (Wawrzyniak 2005a) oraz

przedstawiony na konfercjach GEOPETROL (Wawrzyniak 2004) oraz Near Surface (Wawrzyniak

2005c). Publikacje te obejmują również wyniki zastosowania ciągłej transformaty falkowej,

przedstawione w rozdziałach 5.4.1-5.4.4.


75

5.4 Zastosowanie ciągłej transformaty falkowej

5.4.1 Wprowadzenie

Ciągła transformata falkowa CWT oblicza współczynniki falkowe dla każdej wartości skali,

w przeciwieństwie do transformaty DWT, gdzie skala zmieniana jest z potęgą dwójki. W teorii zmiana

skali następuje od +∞ do -∞ w sposób ciągły (wzór (2.14)). W praktyce, na komputerach obliczana

jest dyskretna postać ciągłej transformaty falkowej, w której skala zmieniana jest w określonym

przedziale z niewielkim, zadanym przez interpretatora, krokiem (Polikar 1994, Misiti et al. 1997-

2006). Ciągła transformata falkowa generuje dużą ilość nadmiarowej informacji, lecz dzięki

redundancji daje zwykle łatwiejsze do interpretacji wyniki. Wzmacnia także słabe cechy sygnału,

czyniąc je bardziej czytelnymi dla interpretatora. Ciągła transformata falkowa jest zalecana, gdy ilość

danych oraz czas obliczeń jest mniej istotny od czytelności wyników i łatwości interpretacji (Misiti et

al. 1997-2006). Badania wykonano z wykorzystaniem pakietu Wavelet Toolbox w programie Matlab®.

Analizowane akustyczne obrazy falowe charakteryzują się zbyt słabym zróżnicowaniem

częstotliwościowym, aby dyskretna transformata falkowa potrafiła rozróżnić poszczególne fale.

Dlatego zastosowano ciągłą transformatę falkowej, w której skala zmienia się z dowolnym krokiem.

W wyniku otrzymano rozkłady współczynników CWT (skalogramy) na płaszczyźnie czas – skala,

a nie pojedyncze detale i aproksymacje.

5.4.2 Skala a częstotliwość w ciągłej transformacie falkowej

Istotnym zagadnieniem tej części badań było powiązanie skali z częstotliwością. Charakterystyczną

cechą transformaty falkowej jest przedstawienie sygnałów w domenie czas – skala. Istnieje zależność

między skalą a częstotliwością, ale w przypadku falek należy mówić raczej o „pseudoczęstotliwości”

odpowiadającej danej skali. Jest ona dana następującą relacją (Misiti et al. 1997-2006):

ta

ff c

a ∆⋅= (5.1)

gdzie:

fa – pseudoczęstotliwość (częstotliwość środkowa falki dla skali a) [Hz],

fc – częstotliwość środkowa falki (wyznaczana dla falki podstawowej, tj. a = 1) [Hz],

a – skala [1/s],

∆t – krok próbkowania sygnału w czasie [s].

Częstotliwość środkowa falki odpowiada częstotliwości dominującej falki i odzwierciedla jej główne

oscylacje (rys. 5.10). fc wyznaczana jest jako częstotliwość maksimum widma amplitudowego falki

podstawowej. Pseudoczęstotliwość należy rozumieć jako częstotliwość sygnału okresowego, o okresie

równym 1/fc. Kiedy falka jest skalowana (rozciągana lub ściskana), częstotliwość środkowa zmienia


76

się i wynosi fc/a. Dodatkowo uwzględnia się krok próbkowania sygnału ∆t, dzięki czemu uzyskuje się

powiązanie skali a z częstotliwością dla konkretnego sygnału.

W prowadzonych badaniach przeliczono skale na pseudoczęstotliwość dla różnych falek: Meyera,

Morleta, Gaussa 5 oraz falek z rodzin: Daubechies (db3-db10), Symlet (sym4-sym7) i Coiflet (coif-

coif5). Rysunek 5.11 przedstawia relację skala – częstotliwość środkowa falki (pseudoczęstotliwość)

na przykładzie falki Morleta. Z uwagi na to, że w dziedzinie częstotliwości widma falek nakładają się,

wykonano także analizę widm amplitudowych falek (rys. 5.12). Analizując związek częstotliwości ze

skalą, szerokość widm amplitudowych falek, ilość współczynników falkowych oraz niewielkie

zróżnicowanie częstotliwości między pakietami falowymi, przyjęto dla każdej z falek skalę

z przedziału [1, 64] zmieniającą się z krokiem równym jeden. Takie granice obejmują z zapasem

interesujące częstotliwości z punktu widzenia analizy fal sprężystych generowanych w otworze sondą

LSS i pozwalają na porównanie otrzymanych skalogramów.

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Częstotliwość środkowa podstawowej falki Morleta = 0,8125 Hzfc

Rys. 5.10 Podstawowa falka Morleta (na zielono) i sygnał okresowy o częstotliwości równej częstotliwości

środkowej falki (na granatowo).

Częstotliwość środkowa falki fc odzwierciedla jej główne oscylacje. Jest tożsama z pseudoczęstotliwością

falki dla skali a = 1, tj. falki podstawowej. Pseudoczęstotliwość należy rozumieć jako częstotliwość sygnału

okresowego o okresie równym 1/fc


77

0 10 20 30 40 50 600

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

skala

f a [

kH

z]

Rys. 5.11 Zależność między skalą i częstotliwością środkową skalowanej falki Morleta fa

(pseudoczęstotliwością), obliczona dla akustycznych obrazów falowych próbkowanych z krokiem 4 µs

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 320

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500


|Ψ(

) |

f

550

600

650 a = 10

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

= 11

= 12

= 13

= 14

= 15

= 16

= 17

= 18

= 19

= 20

= 21

= 22

= 23

= 24

= 25

= 26

= 27

= 28

= 29

= 30

= 31

= 32

a = 10

a = 32

Rys. 5.12 Widma amplitudowe falek Moleta zastosowanych do analizy akustycznych obrazów falowych

próbkowanych z krokiem 4 µs (przedstawiono widma dla skal z zakresu [10, 32])


78


Badania syntetyczne wykonano w celu zapoznania się ze specyfiką metody i oceny możliwości

wykorzystania jej w analizie akustycznych obrazów falowych. Analizę CWT przeprowadzono na

sygnale wf1_synt za pomocą falki Morleta, dla skal z zakresu [1, 64] i krokiem zmieniany skali

równym jeden. Wyniki dekompozycji sygnału wf1_synt przedstawia rysunek 5.13. Współczynniki

ciągłej transformaty falkowej można traktować jako miarę korelacji falki z sygnałem. Tam, gdzie

współczynniki mają duże wartości, podobieństwo falki i sygnału w dziedzinie czasu i częstotliwości

jest duże. Skalogram, będący rozkładem współczynników CWT na płaszczyźnie czas – skala

(częstotliwość) ma grzbiety układające się równolegle wzdłuż osi skali (częstotliwości) (rys. 5.13b, c).

Jest to wynik falowego charakteru współczynników falkowych (rys. 5.14). Dlatego też skalogramy

najlepiej jest przedstawić jako wartości bezwzględne współczynników CWT, dzięki czemu wyraźnie

widać, które współczynniki dobrze korelują się z elementami sygnału.

Analiza przedstawionej dekompozycji sygnału syntetycznego ciągłą transformatą falkową

pozwala dokonać istotnych obserwacji na temat wykorzystania tej metody do analizy obrazów

falowych.

Na skalogramie można z łatwością wskazać poszczególne fale składowe, lecz informacja ta jest

rozmyta. Zmniejszenie rozdzielczości w domenie czasu dla niskich częstotliwości (wysokich wartości

skali) ogranicza przede wszystkim prawidłowe wskazanie czasu przyjścia fali Stoneleya:

współczynniki falkowe rozszerzają się w formie wachlarza wraz ze wzrostem numeru skali, wskazując

na coraz wcześniejszy czas przyjścia fali. Natomiast rozmycie wzdłuż osi skali (częstotliwości) jest

większe dla małych wartości skali (wysokich częstotliwości). Z tego powodu najmniej dokładnie

określona jest częstotliwość fali P, chociaż na skalogramie wydaje się być bardzo wąsko

reprezentowana wzdłuż osi skali. Związek między skalą a częstotliwością określony jest relacją

potęgową (rys. 5.11), dlatego rozmycie fali P w domenie skali obejmuje największy zakres

częstotliwości.

Ponieważ znane są częstotliwości syntetycznych fal składowych, można było określić skale, na

których fale te powinny być reprezentowane i sprawdzić czy transformata CWT pozwala na ich

rekonstrukcję. Na rysunku 5.14 przedstawiono współczynniki CWT wykreślone dla skal: a = 11,

a = 20 oraz a = 41, odpowiadających częstotliwościom: 18 kHz (fala Pwf1_synt), 10 kHz (fala

Swf1_synt) i 5 kHz (fala Stwf1_synt). Współczynniki CWT dokładnie oddają charakter

poszczególnych fal syntetycznych, zarówno pod względem czasu przyjścia, jak i częstotliwości. Mniej

dokładnie odtworzony jest czas przyjścia fali Stoneleya. Wybrane skale przedstawiające

częstotliwości syntetycznych fal składowych przebiegają przez maksima lokalne współczynników

falkowych reprezentujące na skalogramie poszczególne pakiety falowe. Ta obserwacja może pomóc

identyfikować fale akustyczne na skalogramach dla rzeczywistych obrazów falowych.

Podobne wyniki, prowadzące do tych samych wniosków, otrzymano dla innych testowanych

falek.


79

-0,4

0,4

0

-0,4

0,4

0

-0,4

0,4

0

-0,4

0,4

0

Pwf1_synt

Swf1_synt

Stwf1_synt

a)

wf1_synt

[ms]

skala

modułwspółczynnikówCWT

Pwf1_synt

Swf1_synt

Stwf1_synt

10

20

30

40

50

60

20,3

6,8

5,1

4,1

3,4

203,11

ska

la

[kH

z]

moduł współczynników CWTfalka Morletaskala = [1, 64]krok zmiany skali = 1

a

c)

Pwf1_synt

Swf1_synt

Stwf1_synt

b)

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]

ska

la k

olo

rów

wsp

ółc

zynn

ikó

w C

WT:

0

2

4

6

8

10

12

Rys. 5.13 Syntetyczny sygnał wf1_synt (a) i jego dekompozycja CWT falką Morleta

przedstawiona w formie wykresu 3D (b) oraz mapy na płaszczyźnie czas – skala (częstotliwość) (c)


80

5.4.4 Badania na danych rzeczywistych

Badania na danych rzeczywistych wykonano dla sygnałów testowych wykorzystując falkę Morleta.

Jest to falka często stosowana w geofizyce do analizy różnych danych (Goupillaud et al. 1984,

Li 1998, Chakraborty i Okaya 1995, Sinha et al. 2005, Castagna i Sun 2006, Hongbing et al. 2006,

Audet i Mareschal 2007).

Rysunek 5.15 przedstawia dekompozycję obrazu falowego wf1 z anhydrytu górnego.

Współczynniki falkowe mają wysokie wartości w wąskim zakresie skal dla a ∈ [10, 20], za wyjątkiem

pakietu wysokoamplitudowego, który ma podwyższone wartości współczynników CWT również dla

wyższych skal (czyli niższych częstotliwości). Charakterystyczne jednak jest to, że maksymalne

wartości współczynników falkowych dla tego pakietu wypadają dla niskich wartości skali (wysokich

częstotliwości). Pakiety fal P i S mają stosunkowo niskie wartości współczynników falkowych

w stosunku do pakietu wysokoamplitudowego i dalszego fragmentu obrazu falowego, dlatego są słabo

-0,4

0,4

0

-0,4

0,4

0

-0,4

0,4

0

-0,4

0,4

0

Pwf1_synt

Swf1_synt

Stwf1_synt

a)

wf1_synt

2

-20,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]

2

-2

2

-2

b)

0

0

0

współczynniki CWTskala = 11a



Rys. 5.14 Współczynniki CWT falki Morleta wykreślone dla skal odpowiadających częstotliwościom

syntetycznych fal składowych sygnału wf1_synt


81

widoczne na skalogramie. Pakiet fali S wyraźnie dzieli się na dwa fragmenty. Drugi fragment ma

nieznacznie wyższe częstotliwości, co sugeruje, że mogą to być mody fali pseudo-Rayleigha.

wf1, rekord 1500 (A1g)

1

ska

la

[kH

z]

moduł współczynników CWTfalka Morletaskala = [1, 64]krok zmiany skali = 1

a

a)

c)

d)

10

20

30

40

50

60

203,1

20,3

10,2

6,8

5,1

4,1

3,4

-5

5

0

14

0

e)

a = 12

[kH

z]

203,1

20,3

10,2

6,8

5,1

4,1

3,4

1

ska

la

10

20

30

40

50

60

skala

ko

loró

w w

sp

ółc

zyn

nik

ów

CW

T:

0

2

4

6

8

10

12

mapa konturowamodułu współczynników CWT

moduł współczynników CWTdla skali = 12a

wsp

ół. C

WT

[ms]

skala

modułwspółczynnikówCWT

b)

a = 12

PS ps_R

pakiet wysokoamp.

P S ps_R

pakiet wysokoamp.

PS

ps_R

pakiet wysokoamp.

fale odbite

PS ps_R

pakiet wysokoamp.

fale odbite

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]

Rys. 5.15 Akustyczny obraz falowy wf1 z A1g (a) oraz wynik dekompozycji ciągłą transformatą falkową

(b-e) wraz ze zidentyfikowanymi falami akustycznymi (objaśnienia w tekście)


82

wf1, rekord 1500 (A1g)a)

b)

1

skala

[kH

z]

modułwspółczynników CWT (obwiednia)falka Morletaskala = [1, 64]krok zmiany skali = 1

a

10

20

30

40

50

60

203,1

20,3

10,2

6,8

5,1

4,1

3,4

-5

5

0

skala

ko

loró

w w

sp

ółc

zyn

nik

ów

CW

T:

0

2

4

6

8

10

12

14

0

[kH

z]

203,1

20,3

10,2

6,8

5,1

4,1

3,4

1

skala

10

20

30

40

50

60

mapa konturowa modułuwspółczynników CWTwykreślona po obliczeniuobwiedni

obwiednia współczynników CWTdla skali = 12a

a = 12

wsp

ół. C

WT

c)

e)

[ms]

skala

modułwspółczynnikówCWT (obwiednia)

a = 12

d)

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]

Rys. 5.16 Akustyczny obraz falowy wf1 z A1g (a) oraz wynik dekompozycji ciągłą transformatą falkową

po obliczeniu obwiedni współczynników falkowych (b-e).

Na rysunku wyniki przedstawiono w postaci wykresu 3D (b), wykresu 2D (mapy na płaszczyźnie

czas – skala) (c), mapy konturowej (d) oraz wykresu współczynników falkowych dla skali a = 12 (e)


83

Reprezentacja sygnału na płaszczyźnie czas – skala (częstotliwość) jest trudna do interpretacji pod

kątem precyzyjnej identyfikacji fal z powodu wpływu nieoznaczoności oraz zmiennej rozdzielczości

czasowo-częstotliwościowej transformaty falkowej. Dodatkowym utrudnieniem jest „grzbietowy”

charakter skalogramów, który zobrazowano na rys. 5.15b w postaci przestrzennego rozkładu

współczynników CWT (wykres 3D) oraz na rys. 5.15c jako mapę na płaszczyźnie czas – skala

(wykres 2D). Kolor na tych wykresach określa wartość współczynników falkowych i mówi o stopniu

podobieństwa falki z sygnałem. Ponieważ bezpośrednio na skalogramie trudno było precyzyjnie

zidentyfikować fale akustyczne i określić ich parametry (tj. częstotliwość oraz czas przyjścia i długość

trwania fali), dlatego próbowano posłużyć się mapą konturową współczynników falkowych. Fakt, że

współczynniki falkowe tworzą grzbiety na skalogramie jest przyczyną silnie spłaszczonych

i wydłużonych izolinii (rys. 5.15d), które nie uprościły opracowania automatycznej selekcji

współczynników falowych reprezentujących dany pakiet falowy. Przekrój przez skalogram dla

wybranej skali (rozkład współczynników falkowych wzdłuż osi czasu) (rys. 5.15e) doskonale obrazuje

problem grzbietów.

Aby spróbować ominąć problem grzbietów posłużono się obwiednią, otrzymując powierzchnię

„oblekającą” współczynniki falkowe (rys. 5.16). Wykresy współczynników 2D i 3D przedstawiono na

rysunkach 5.16b, c. Na rysunku 5.16d zamieszczono mapę konturową. Kształt obwiedni dla wybranej

skali obrazuje rysunek 5.16e.

Pomimo różnorodnego podejścia do wyników ciągłej transformaty falkowej, autorce nie udało

się opracować efektywnego algorytmu, który pozwoliłby automatycznie wyszukiwać na skalogramach

współczynniki falkowe reprezentujące daną falę. W istocie, taka procedura byłaby kolejną

dekompozycją, tym razem wykonaną na współczynnikach falkowych, które same reprezentują już

zdekomponowany obraz falowy. Skalogramy, czy to w wersji surowej, czy też po obliczeniu

obwiedni, nadają się natomiast do wizualnej oceny charakterystyki czasowo-częstotliwościowej

pojedynczych obrazów falowych. Nie jest możliwe natomiast ręczne opracowanie w ten sposób

wszystkich obrazów falowych dla całego interwału głębokościowego.

5.4.5 Wykresy czasowo-głębokościowo-częstotliwościowe

akustycznych obrazów falowych dla wybranych, pojedynczych

częstotliwości

Obliczone w poprzednim etapie badań obwiednie współczynników falkowych wykorzystano do

skonstruowania wykresów czasowo-głębokościowo-częstotliwościowych, wykreślonych dla

wybranych skal, czyli pojedynczych częstotliwości.

Dysponując mapami obwiedni na płaszczyźnie czas – skala (częstotliwość) (rys. 5.16c)

zapisywano współczynniki falkowe dla wybranej, pojedynczej skali (tak jak to pokazano na rysunku

5.16e). Taką procedurę wykonano dla każdego rekordu z całego interwału głębokościowego

i wszystkich obrazów falowych wf1, wf2, wf3 i wf4. Następnie współczynniki otrzymane


84

z poszczególnych obrazów falowych zestawiono zgodnie z numerem rekordu, otrzymując zmianę

współczynników falkowych dla tej samej skali wraz z głębokością. Schemat obliczeń przedstawiono

na rysunku 5.17. Ponieważ skalę można utożsamiać z częstotliwością, otrzymano pewnego rodzaju

„przekroje” głębokościowe akustycznych obrazów falowych dla pojedynczej częstotliwości. Kolorem

zakodowano wartość współczynnika falkowego (a dokładniej obwiedni obliczonej dla modułu

współczynników falkowych) uwypuklając informację o korelacji współczynników falkowych

z sygnałem.

Obliczenia wykonano dla skal o numerach 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 20, 22, 25 i 34, co

w przypadku falki Morleta pozwoliło otrzymać wykresy czasowo-głębokościowo-częstotliwościowe

dla następujących częstotliwości: 20,3 kHz, 18,5 kHz, 17 kHz, 15,5 kHz, 14,5 kHz, 13,5 kHz, 12 kHz,

11,3 kHz, 10,1 kHz, 9,2 kHz, 8 kHz oraz 6 kHz. Wyniki na przykładzie obrazu falowego wf1

przedstawiono na rysunku 5.18.

współczynnikiCWT

czas

ska

la

czę

sto

tliw

ość

ciągła transformatafalkowa

obliczenieobwiedni

czas

am

p AOF

głębokość

h, h

, ..., h

12

n

głęb

okość

h, h

, ...,

h

1

2

n

czas

ska

la

czę

sto

tliw

ość

głęb

okość

h, h

, ...,

h

1

2

n

obwiedniawspółczynnikówCWT

a(h )1

a(h )2

a(h )n

...

głę

bokość

h-h

1n

czas

obwiedniawspółczynnikówCWT dlaskali a

Rys. 5.17 Schemat otrzymania wykresów czasowo-częstotliwościowo-głębokościowych

obliczonych w oparciu o ciągłą transformatę falkową


85

Na wykresach można badać zmianę współczynników falkowych z głębokością oraz analizować ich

wartości w obrębie jednej litologii wraz ze zmianą skali (częstotliwości). W pierwszym przypadku

wartości współczynników zmieniają się z głębokością zgodnie ze zmianą litologii. Każdy blok

litologiczny ma swój charakterystyczny rozkład współczynników CWT. Natomiast współczynniki

falkowe wyraźnie zmieniają się w obrębie analizowanej litologii, gdy zmieniana jest skala

(częstotliwość). Współczynniki CWT różnie korelują się z tymi samymi fragmentami obrazu

falowego, tj. z tymi samymi pakietami falowymi, dla różnych częstotliwości. Analizując wartość

współczynników na wykresach czasowo-głębokościowo-częstotliwościowych można ocenić

częstotliwości poszczególnych pakietów falowych. Należy przy tym pamiętać, że skala kolorów

obrazująca wartość współczynników CWT obowiązuje dla całego wykresu. Dlatego np. fale P i S będą

miały na każdym wykresie dużo niższe wartości współczynników falkowych niż współczynniki

pakietu wysokoamplitudowego, który generalnie dominuje w szerokim zakresie częstotliwości

(rys. 5.15b, c). Porównując na kolejnych wykresach wartości współczynników falkowych, które

odpowiadają danemu pakietowi falowemu w wybranej litologii, można wskazać taką skalę

(częstotliwość), dla której pakiet falowy wykazuje największe współczynniki. Przedstawiono to na

rysunku 5.19 na przykładzie fali S i pseudo-Rayleigha w dolomicie i piaskowcach. Dla skali a = 17,

tj. częstotliwości 12 kHz, wyraźnie widoczna jest fala S. Przechodząc do skali a = 11, tj.

częstotliwości 18,5 kHz na wykresie dominuje pakiet modów fali pseudo-Rayleigha.

Analizując wykresy dla poszczególnych częstotliwości należy zwrócić uwagę na odmienny

charakter rozkładu maksymalnych współczynników falkowych w obrębie różnych bloków

litologicznych. We wszystkich solach (Na3_1, Na3_2 i Na2) w szerokim zakresie częstotliwości (od

20 do 8 kHz) zaznacza się praktycznie tylko pakiet wysokoamplitudowy, pozostałe pakiety falowe są

znacznie słabiej reprezentowane. Anhydryty: A3d, A2d, A1g, tworzą bardzo podobny wzór wartości

współczynników falkowych na poszczególnych wykresach: cechują się silnymi falami odbitymi

o częstotliwościach 12-16 kHz, które w innych litologiach nie zaznaczają się tak wyraźnie. Mniej

zróżnicowany na tle pozostałych formacji jest dolomit główny Ca2. W piaskowcach P-ce wraz ze

wzrostem skali (zmniejszaniem częstotliwości) obserwuje się coraz wyższe wartości współczynników

CWT odpowiadających pakietowi wysokoamplitudowemu i fali S, natomiast coraz słabiej

reprezentowana jest fala pseudo-Rayleigha. Bardzo charakterystyczną litologią jest wapień

cechsztyński Ca1. W strefach nasyconych gazem ma generalnie niskie wartości współczynników

CWT, które gwałtownie rosną dla bardzo niskich częstotliwości rzędu 6 kHz.

Zastosowanie ciągłej transformaty falkowej do analizy obrazów falowych pozwoliło na

szczegółowe zapoznanie się z ich charakterystyką częstotliwościową, dzięki wyższej od dyskretnej

transformaty falkowej rozdzielczości częstotliwościowej. Skalogramy CWT doskonale nadają się do

studialnej analizy pojedynczych rejestracji, natomiast trudno je wykorzystać do automatycznej analizy

całego interwału głębokościowego. Zbiorcze opracowanie wszystkich rejestracji uzyskano dzięki

wykresom czasowo-głębokościowo-częstotliwościowym przedstawiającym „przekroje”

głębokościowe obrazów falowych, które zostały wykreślone dla pojedynczych częstotliwości.


86

Rys. 5.18 (część I) Wykresy czasowo-głębokościowo-częstotliwościowe otrzymane na podstawie ciągłej

transformaty falkowej dla wybranych skal (skala a = 10, 11, 12, 13, 14 i 15)

(plik: Rys. 5.18 Wykresy cz-gł-częst.cdr; arkusz 1)


87

Rys. 5.18 (część II) Wykresy czasowo-głębokościowo-częstotliwościowe otrzymane na podstawie ciągłej

transformaty falkowej dla wybranych skal (skala a = 17, 18, 20, 22, 25 i 34)

(plik: Rys. 5.18 Wykresy cz-gł-częst.cdr; arkusz 2)


88

0 0,4 0,8 1,2 1,6

2191,0

2224,5

[ms]

Głębokość[m]

0 0,4 0,8 1,2 1,6

2191,0

2224,5

[ms]

Głębokość[m]

0 0,4 0,8 1,2 1,6

2305,5

2377,5

[ms]

Głębokość[m]

0 0,4 0,8 1,2 1,6

[ms]

Głębokość[m]

skala = 17 częstotliwość = 12 kHz

do

lom

it g

łów

ny C

a2

do

lom

it g

łów

ny C

a2

skala = 11 częstotliwość = 18,5 kHz

fala P

fala S

skala = 17 częstotliwość = 12 kHz

skala = 11 częstotliwość = 18,5 kHz

2305,5

2377,5

pia

skow

ce

ka

rbońs

kie

P-c

e

pia

skow

ce

ka

rbońs

kie

P-c

e

fala P

fala S

fala ps-R

fala P

fala S

a) b)

c) d)

fala P

fala S

fala ps-R

ska

la k

olo

rów

wspó

łczyn

nik

ów

CW

T:

0

7

Rys. 5.19 Wykresy czasowo-głębokościowo-częstotliwościowe przedstawiające fragment obrazów falowych

(do pakietu wysokoamplitudowego) w dolomicie głównym Ca2 (a, b) oraz piaskowcach karbońskich P-ce

(c, d) dla skali a = 17 (12 kHz) (a, c) i a = 11 (18,5 kHz) (b, d). Dla wyższych częstotliwości uwidacznia się

fala pseudo-Rayleigha, natomiast zanika fala S


89

5.5 Zastosowanie metody pogoń za dopasowaniem

5.5.1 Wprowadzenie

Zastosowanie metody pogoń za dopasowaniem do identyfikacji fal użytecznych na obrazach falowych

oraz rozdzielenia pola falowego wymagało zapoznania się ze specyfiką tej metody oraz jej

możliwościami w zakresie postawionych zadań. W tym celu wykonano szereg badań na danych

syntetycznych oraz sygnałach testowych. Na ich podstawie poznano zalety i wady metody oraz

opracowano metodykę przetwarzania akustycznych obrazów falowych.

W pierwszej kolejności zbadano czułość algorytmu MP na przesunięcia sygnału wzdłuż osi

czasu (rozdzielczość czasową) oraz zdolność rozdzielenia sygnału na składowe różniące się

częstotliwością (rozdzielczość częstotliwościową). Następne badania poprowadzone zostały pod

kątem ustalenia parametrów przetwarzania: optymalnej ilości atomów dekompozycji oraz sposobu

selekcji atomów Gabora reprezentujących fale na akustycznych obrazach falowych. Ostatnim krokiem

było opracowanie metodyki analizy obrazów falowych z wykorzystaniem metody pogoń za

dopasowaniem.

Obliczenia dekompozycji obrazów falowych na atomy Gabora wykonano programem Guimauve

(Brachere 2002), dostępnym w sieci Internet na zasadach darmowej licencji GPL. Program został

zmodyfikowany i dostosowany do potrzeb przetwarzania akustycznych obrazów falowych.

Najważniejsze zmiany w programie obejmowały możliwość przeprowadzenia dekompozycji obrazów

falowych z całego interwału głębokościowego w sposób automatyczny (według omówionej

w podrozdziale 5.5.7 metodyki) oraz zapisywania map Wignera w postaci bitmap, na postawie których

wykonano analizy opisane w rozdziale 5.6. Przy opracowaniu wyników korzystano również

z programu Matlab®.

Program Guimauve umożliwia przeprowadzenie dekompozycji sygnału na określoną z góry

ilość atomów Gabora. Oznacza to, że do sygnału zostanie dopasowana dokładnie zadana ilość

atomów, bez względu na to, czy jest to ilość odpowiednia dla uzyskania dobrej reprezentacji

elementów składowych sygnału. W programie dostępne są opcje: określenia minimalnej

i maksymalnej oktawy, włączenia optymalizacji fazy oraz zwiększenia rozdzielczości czasowej

i częstotliwościowej. Wynikiem działania programu są mapy Wignera wyświetlane na ekranie.

Możliwe jest również zapisanie wartości parametrów dopasowanych atomów Gabora: współczynnika

energetycznego odzwierciedlającego udział danego atomu w całkowitej energii sygnału (jest to

pośrednia miara amplitudy atomu), oktawy, czasu (położenia na osi czasu środka obwiedni atomu)

oraz częstotliwości (częstotliwości modulacji). Atomy są ponumerowane. Atom nr 1 odpowiada

atomowi o największym współczynniku energetycznym (jest to najbardziej dominujący atom w całej

dekompozycji). Na wyświetlanej mapie Wignera można zaznaczać atomy Gabora i wykonać

rekonstrukcję sygnału w dwóch opcjach: na podstawie zaznaczonych atomów, lub na podstawie

wszystkich pozostałych (niezaznaczonych). Rekonstrukcja sygnału jest realizowana poprzez


90

sumowanie atomów Gabora. Podając krok próbkowania sygnału program przelicza próbki sygnału na

czas trwania sygnału, a oś pionową mapy Wignera podaje w jednostkach częstotliwości. Te

możliwości programu, rozszerzone i dostosowane do potrzeb przeprowadzonych badań, zostały

wykorzystane do analizy akustycznych obrazów falowych.

5.5.2 Wrażliwość metody pogoń za dopasowaniem na przesunięcia

sygnału wzdłuż osi czasu (rozdzielczość czasowa)

Badania nad rozdzielczością czasową algorytmu MP przeprowadzono w celu oceny wrażliwości tej

metody na różnice między dwoma sygnałami, wywołane przesunięciem jednego sygnałów względem

drugiego. Castagna i Sun (2006) zwrócili uwagę na dwie cechy metody pogoń za dopasowaniem

związane z rozdzielczością czasową:

1) Algorytm MP ma trudności w dokładnym określeniu czasu przyjścia interferujących ze sobą fal.

2) Nawet niewielkie zmiany w sygnale mogą spowodować całkowicie inne ułożenie

dekompozycji, co może być przyczyną niestabilności analizy.

Aby ocenić stopień wrażliwości/niestabilności metody posłużono się syntetyczną falą Stoneleya

Stwf1_synt oraz jej zmodyfikowanymi wersjami Stwf1_synt_shift, które powstały w wyniku

przesunięcia sygnału o określoną ilość próbek (część okresu fali). Sygnał syntetyczny przesuwano o:

1, 2, 3, 6, 13, 25 i 50 próbek (odpowiednio o: 1/50, 1/25, 1/16, 1/8, 1/4, 1/2 części okresu i 1cały

okres). Następnie sygnał pierwotny St_synt oraz jego przesunięte wersje poddano dekompozycji MP

na 20 atomów i porównano ich parametry.

Analiza parametrów atomów Gabora pozwala na wysunięcie następujących wniosków:

− Przesunięcie sygnału nawet o 1 próbkę daje inną dekompozycję, tzn. inny zestaw atomów

Gabora (o innych parametrach) niż dla sygnału pierwotnego.

− Określając wrażliwość na przesunięcia sygnału wzdłuż osi czasu najważniejszym parametrem

jest położenie atomów Gabora p. Wartości tego parametru dla sygnału pierwotnego oraz

sygnałów przesuniętych zostały przedstawione w tabeli 5.5. Przesunięcie fali nawet o cały okres

nie powoduje przesunięcia najbardziej znaczącego atomu 1 (tzn. wyjaśniającego największą

część energii sygnału). Przesunięcie fali jest odtwarzane przez sumę mniej znaczących atomów,

które korygują kształt atomu najbardziej znaczącego, tak by suma atomów dawała jak najlepszą

rekonstrukcję sygnału. W zależności od stopnia przesunięcia zmienia się ilość atomów

korygujących: im mniej przesunięty sygnał tym mniej atomów korygujących, a więcej atomów

o niezmienionym położeniu w stosunku do atomów dekompozycji sygnału pierwotnego, które

tworzą tzw. rdzeń (tab. 5.5). Rdzeń i czynnik korygujący dla dwóch przykładowych przesunięć

przedstawiono na rysunku 5.20.

Podsumowując, metoda MP z jednej strony jest bardzo wrażliwa na zmiany w sygnale, gdyż dla

drobnych przesunięć daje zupełnie inny zestaw atomów. Z drugiej strony charakteryzuje się sporą

bezwładnością pod względem dopasowania położenia najbardziej znaczących atomów do sygnału. Ta


91

ostatnia cecha metody pogoń za dopasowaniem może skutkować pewną „niewrażliwością” na drobne

zmiany w położeniu pakietu wysokoamplitudowego, gdyż będzie on zawsze reprezentowany przez

atomy o najwyższych współczynnikach energetycznych. Wpływ czynnika korygującego będzie

zależał od tego, czy atomy wchodzące w jego skład zostaną wybrane do rekonstrukcji danego pakietu

falowego.

5.5.3 Rozdzielczość częstotliwościowa algorytmu MP

Rozdzielczość częstotliwościową algorytmu MP zbadano na przykładzie specjalnie skonstruowanego

sygnału syntetycznego złożonego z trzech elementów: A, B, C. Każdy z elementów utworzony został

z atomu Gabora, o takim samym położeniu, oktawie, amplitudzie i fazie, ale różnej częstotliwości.

Suma tych elementów dała sygnał syntetyczny ABC (rys. 5.21a). Sygnał ABC poddano dekompozycji

na 20 atomów (rys. 5.21b), a następnie wybrano z niej atomy, które były najlepiej dopasowane do

elementów tworzących sygnał. Selekcję atomów przeprowadzono głównie w oparciu o częstotliwość

i położenie. Dodatkowym parametrem branym pod uwagę był współczynnik energetyczny

(amplituda). Na podstawie wybranych atomów zrekonstruowano elementy A, B i C oraz sygnał ABC,

otrzymując odpowiednio A_rekon, B_rekon, C_rekon i ABC_rekon (rys. 5.21c).

Tabela 5.5

Położenie p atomów Gabora dla sygnału Stwf1_synt oraz sygnałów przesuniętych Stwf1_synt_shift.

Dla sygnałów przesuniętych zaznaczono na zielono atomy tworzące rdzeń, czyli atomy o takim samym

położeniu jak atomy sygnału pierwotnego. Pozostałe atomy składają się na czynnik korygujący kształt

rdzenia, tak aby suma wszystkich atomów dawała jak najlepszą rekonstrukcję sygnału

Położenie p atomów Gabora [nr próbki]

nr atomu

Przesunięcie [liczba próbek]

1 2 3 4 5 ... 20

Rdzeń

[nr atomów]

Czynnik korygujący [nr atomów]

0 (Stwf1_synt) 512 640 576 448 512 ... 448 – –

1 512 640 576 512 448 ... 640 1-3 4-20

2 512 640 576 576 488 ... 448 1-3 4-20

3 512 640 576 576 448 ... 512 1-3 4-20

6 512 640 512 512 640 ... 640 1-2 3-20

13 512 640 512 512 448 ... 512 1-2 3-20

25 512 416 480 576 352 ... 288 1 2-20

(Stw

f1_

syn

t_sh

ift)

50 512 448 576 384 448 ... 512 1 2-20


92

Rekonstrukcja poszczególnych elementów składowych pod względem częstotliwości jest dobra,

choć odtworzenie amplitud jest niezadowalające. Pomimo tego zrekonstruowany sygnał ABC_rekon

jest bardzo zbliżony do sygnału pierwotnego.

Sygnał ABC okazał się zbyt trudnym dla algorytmu MP, dlatego skonstruowano

zmodyfikowany sygnał A’B’C’. Elementy składowe sygnału zostały przesunięte względem siebie

(rys. 5.22a). Następnie powtórzono całą procedurę przetwarzania i rekonstrukcji. Wyniki obrazują

rysunki 5.22b (mapa Wignera sygnału A’B’C’) oraz 5.22c (zrekonstruowane elementy składowe

i sygnał). Dla tego przypadku metoda pogoń za dopasowaniem poradziła sobie znacznie lepiej niż dla

przypadku, w którym elementy składowe różniły się jedynie częstotliwością.

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]

-0,3

0,3

0

-0,3

0,3

0

-0,3

0,3

0

-0,3

0,3

0

-0,3

0,3

0

-0,3

0,3

0

a)

b)

Stwf1_synt

Stwf1_synt_shift(1 próbka = 1/50 okresu)

Rdzeń (atom nr 1 + atom nr 2+ atom nr 3)

Czynnik korygujący(suma atomów nr 4-20)

Stwf1_synt

Stwf1_synt_shift(50 próbek = 1 okres)

Rdzeń(atom nr 1)

Czynnik korygujący(suma atomów nr 2-20)

Rys. 5.20 Rdzeń i czynnik korygujący dla sygnału przesuniętego o 1 próbkę (a) i 50 próbek (b).

Sygnał Stwf1_synt przesunięto o określoną liczbę próbek tworząc sygnał Stwf1_synt_shift. Oba sygnały

poddano dekompozycji metodą pogoń za dopasowaniem otrzymując dwa zestawy dwudziestu atomów

Gabora, które porównano między sobą. Analizując położenie p odpowiadających sobie atomów Gabora w obu

dekompozycjach, wyznaczono rdzeń (atomy o takim samym położeniu jak atomy sygnału Stwf1_synt) oraz

czynnik korygujący (pozostałe atomy). Sumując wszystkie atomy z dekompozycji otrzymuje się doskonale

odtworzony sygnał (tzn. suma rdzenia i czynnika korygującego daje doskonałą rekonstrukcję sygnału)


93

A

B

C

ABC

[kH

z]

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]

30

25

20

15

10

5

0

a)

b)

c)

-1

1

0

AA_rekon

BB_rekon

CC_rekon

ABCABC_rekon

skala

ko

loró

w a

tom

ów

Gab

ora

0

0,5

1,0

-1

1

0

-1

1

0

-1

1

0

-3

3

0

-1

1

0

-1

1

0

-1

1

0

-3

3

0

Mapa Wignera(pogoń za dopasowaniem)

A

B

C

Rys. 5.21 Badanie rozdzielczości częstotliwościowej metody pogoń za dopasowaniem:

dekompozycja sygnału ABC zbudowanego z trzech elementów różniących się jedynie częstotliwością

(szczegółowe objaśnienia w tekście)


94

[kH

z]

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]

30

25

20

15

10

5

0

a)

b)

c)

-1

1

0

skala

ko

loró

w a

tom

ów

Gab

ora

-1

1

0

-1

1

0

-1

1

0

-2

2

0

-1

1

0

-1

1

0

-1

1

0

-2

2

0

A’

B’

C’

A’B’C’

A’A’_rekon

B’B’_rekon

C’C’_rekon

A’B’C’A’B’C’_rekon


A’

B’

C’

0

0,5

1,0


dekompozycja sygnału A’B’C’ zbudowanego z trzech elementów różniących się

częstotliwością oraz położeniem (szczegółowe objaśnienia w tekście)


95

Odnosząc te wyniki do akustycznych obrazów falowych widać, że poprawne rozdzielenie pola

falowego wraz z zachowaniem amplitud poszczególnych fal charakteryzujących się podobnymi

prędkościami (występowaniem na osi czasu) będzie trudnym zadaniem dla algorytmu MP. Takim

przypadkiem może być fala S interferująca z najwyższymi modami fali pseudo-Rayleigha. Jeśli fale

będą się różniły pod względem częstotliwości i jednocześnie czasem przyjścia (jak to jest to dla fal P,

S i Stoneleya), to algorytm MP może być efektywną metodą identyfikacji i wydzielenia fal z obrazów

falowych.

5.5.4 Dobór ilości atomów dekompozycji

Optymalny dobór ilości atomów dekompozycji jest istotny z punktu widzenia dokładności analizy. Na

przykładzie sygnałów syntetycznych zbadano wpływ zbyt dużej liczby atomów dopasowywanych do

sygnału. Dodając do sygnałów syntetycznych szum, określono jego wpływ na ilość atomów

potrzebnych do poprawnego odtworzenia sygnału. Następnie określono optymalną liczbę atomów

dekompozycji dla akustycznych obrazów falowych z otworu K6.

Miarą dokładności reprezentowania sygnału przez dopasowane atomy jest wykres zaniku

energii, pokazujący ile procent energii sygnału pozostało do objaśnienia przez daną liczbę atomów

dekompozycji. W połączeniu z mapą Wingera i rekonstrukcją sygnału pozwala to stwierdzić, czy

założona ilość atomów jest ilością wystarczającą, za małą czy za dużą. Na rysunkach 5.23a, b

pokazano jak zmienia się obraz dekompozycji w zależności od ilości atomów Gabora. Na przykładzie

sygnału syntetycznego wf1_synt pokazano, że zbyt duża liczba atomów (tutaj: 100 atomów), skutkuje

tworzeniem atomów, które nie mają nic wspólnego z elementami składowymi sygnału, a jedynie

wprowadzają zakłócenia do dekompozycji. Aby zbadać jak na dekompozycję MP wpływa

zaszumienie sygnału, wprowadzono do sygnału wf1_syn szum, taki, że stosunek S/N wynosił -3 dB.

Wyniki przedstawiono na rysunkach 5.23c, d. Dodanie szumu spowodowało zwiększenie liczby

atomów potrzebnych do poprawnego reprezentowania struktur sygnału.

Analizując wykresy zaniku energii, mapy Wignera oraz rekonstruując sygnał na podstawie ilości

atomów objaśniających zadany procent energii sygnału, ustalono, że optymalna liczba atomów to taka,

która objaśnia 90-95% energii sygnału. Taka dekompozycja pozwala na dobrą rekonstrukcję

prawdziwych elementów sygnału. Dążenie do objaśnienia 100% energii skutkuje próbą objaśnienia

struktur, których nie ma w sygnale (rys. 5.23a), bądź odtworzeniem szumu (rys. 5.23c). Z drugiej

strony zbyt mała liczba atomów wchodzących w skład dekompozycji skutkuje odtworzeniem jedynie

dominujących struktur sygnału i pominięciem bardziej subtelnych elementów składowych.

Przeprowadzając dekompozycję MP na sygnałach testowych (danych rzeczywistych) określono,

że objaśnienie 90-95% energii akustycznych obrazów otrzymuje się dla 60 atomów Gabora.


96

skala kolorów atomów Gabora

0 0,5 1,0

[kH

z]

30

25

20

15

10

5

0

-0,4

0,4

0


[kH

z]

30

25

20

15

10

5

0

-0,4

0,4

0


[kH

z]

30

25

20

15

10

5

0

-0,4

0,4

0


[kH

z]

30

25

20

15

10

5

0

-0,4

0,4

0


0,8 1,6 2,4 3,2 4,0 [ms]0 0,8 1,6 2,4 3,2 4,0 [ms]0

0,8 1,6 2,4 3,2 4,0 [ms]0 0,8 1,6 2,4 3,2 4,0 [ms]0

Ene

rgia

[%

]

1 1004020 60 80

ilość atomów

0

100

40

20

60

80

wf1_synt wf1_synt

Ene

rgia

[%

]

1 15

ilość atomów

0

100

40

20

60

80

wf1_synt_rand wf1_synt_rand

En

erg

ia [%

]

1 1004020 60 80

ilość atomów

0

100

40

20

60

80

En

erg

ia [%

]

1 3015

ilość atomów

0

100

40

20

60

80

a) b)

c) d)

Rys. 5.23 Wpływ ilości atomów dekompozycji na dokładność analizy

na przykładzie sygnału syntetycznego wf1_synt (a, b) i sygnału zaszumionego wf1_synt_rand (c, d).

Miarą dokładności analizy jest wykres zaniku energii, obrazujący ile procent energii sygnału pozostało do

objaśnienia przez daną liczbę atomów. Na przykładzie sygnału wf1_synt pokazano, że dążenie do

objaśnienia 100% energii sygnału (a) skutkuje dopasowaniem atomów do struktur, których nie ma w sygnale.

Ilość atomów dekompozycji objaśniająca 90-95% energii (b) jest optymalną liczba pozwalająca na dobrą

rekonstrukcję prawdziwych struktur sygnału. W przypadku sygnału zaszumionego wf1_synt_rand za duża

liczba atomów dekompozycji (c) powoduje nadmierne odtworzenie szumu (wydłużone atomy Gabora o

stosunkowo niewysokich energiach). Zastosowanie reguły 90-95% (d) daje dobrą rekonstrukcję struktur

sygnału przy jednoczesnym ograniczeniu szumu


97


Badania na syntetycznej parze obrazów falowych wf1_synt-wf3_synt miały za zadanie przetestować

możliwości wykorzystania metody pogoń za dopasowaniem do rozdzielenia pola falowego.

Rozdzielone pakiety falowe mogą być wykorzystane do lepszego określenia czasów interwałowych

(prędkości) użytecznych fal akustycznych. Schemat badań prowadzących do rozdzielenia pola

falowego i określenia czasów interwałowych rozdzielonych pakietów falowych przedstawia rysunek

5.24.

Sygnały tworzące syntetyczną parę obrazów falowych zostały skonstruowane w oparciu o założone

parametry prędkości i częstotliwości fal P, S oraz Stoneleya (tab. 5.1, rys. 5.25a). Na podstawie

prędkości obliczono czasy przyjścia fal do bliższego (O1) i dalszego (O2) odbiornika, odpowiednio:

TP1_synt, TS1_synt, TSt1_synt oraz TP2_synt, TS2_synt, TSt2_synt, a także czasy interwałowe:

DTP_synt, DTS_synt i DTSt_synt. Parametry te posłużyły do skonstruowania sygnałów syntetycznych

wf1_synt i wf3_synt. Sygnały syntetyczne poddano osobnym dekompozycjom MP. Wybierając

odpowiednie atomy reprezentujące poszczególne fale (tab. 5.6, rys. 5.25b) zrekonstruowano fale

Założenie parametrówfal akustycznych

Dekompozycja sygnałów

i rekonstrukcja falna podstawie

atomów Gabora

metodą pogońza dopasowaniem

Porównanieczasów przyjścia

i czasów interwałowych

TP1_synt, TS1_synt, TSt_syntTP2_synt, TS2_synt, TSt_synt

DTP_synt, DTS_synt, DTSt_synt

TP1_synt_MP_semb, TS1_synt_MP_semb,TSt_synt_MP_semb

DTP_synt_MP_semb, DTS_synt_MP_semb,DTSt_synt_MP_semb

Pwf1_synt_MP, Pwf3_syntSwf1_synt , Swf3_synt

Stwf1_synt , Stwf3_synt

wf1_synt , wf3_synt

_MP_MP _MP_MP _MP

_MP _MP

V , V ,V

f , f , fP S St

P S St

Pwf1_synt, Pwf3_syntSwf1_synt, Swf3_syntStwf1_synt, Stwf3_synt

wf1_synt, wf3_synt

Rys. 5.24 Schemat rozdzielenia pola falowego metodą pogoń za dopasowaniem i określenia czasów

interwałowych pakietów falowych na przykładzie pary syntetycznych obrazów falowych wf1_synt-wf3_synt

(szczegółowe omówienie w tekście)


98

składowe: Pwf1_synt_MP, Swf1_synt_MP, Stwf1_synt_MP, Pwf3_synt_MP, Swf3_synt_MP,

Stwf3_synt_MP (rys. 5.25c). Selekcja atomów w przypadku sygnałów syntetycznych nie sprawiała

problemów, ponieważ znane były parametry sygnałów składowych (czas przyjścia fal i ich

częstotliwość), a tym samym określone było położenie i częstotliwość atomów Gabora. Wydzielone

metodą MP składowe sygnałów syntetycznych utworzyły pary fal akustycznych, na postawie których

obliczono czasy interwałowe poszczególnych fal. Obliczenia wykonano w aplikacji FalaWin systemu

Geowin® (Jarzyna et al. 2001) za pomocą funkcji semblance. W wyniku otrzymano czasy przyjścia fal

do odbiornika O1: TP1_synt_MP_semb, TS1_synt_MP_semb, TSt1_synt_MP_semb oraz czasy

interwałowe: DTP_synt_MP_semb, DTS_synt_MP_semb i DTSt_synt_MP_semb. Te wielkości

porównano z parametrami wejściowymi (TP1_synt, DTP_synt itd.).

Tabela 5.6

Parametry atomów Gabora otrzymane w wyniku dekompozycji sygnału syntetycznego wf1_synt.

Kolorami przedstawiono wybrane atomy reprezentujące syntetyczne fale P, S i Stoneleya

Nr atomu Amplituda

funkcji Gabora Oktawa

Położenie [ms]

Częstotliwość [kHz]

1 3,432 8 2,048 5,00

2 1,261 9 1,536 9,96

3 0,390 9 2,56 5,00

4 0,218 7 1,28 9,96

5 0,211 8 1,024 18,00

6 0,089 8 1,792 9,77

7 0,055 7 2,304 5,46

8 0,048 8 2,048 4,88

9 0,026 9 1,536 18,10

10 0,025 8 1,024 9,92

11 0,023 8 2,816 4,98

12 0,023 7 1,792 3,25

13 0,017 7 1,536 10,39

14 0,011 7 1,28 15,27

15 0,011 8 2,304 9,93

16 0,010 7 2,432 5,10

17 0,008 9 1,536 6,50

18 0,005 7 0,768 17,90

19 0,004 8 2,048 2,28

20 0,003 6 1,728 14,29

Fala Pwf1_synt = atom nr 5

Fala Swf1_synt = atom nr 2 + atom nr 4 + atom nr 7

Fala Stwf1_synt = atom nr 1 + atom nr 3 + atom nr 6


99

[kH

z]

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]

30

25

20

15

10

5

0

b)

c)

skala

kolo

rów

ato

mów

Ga

bora


0

0,5

1,0

Pwf1_synt

Swf1_ synt

Stwf1_synt

wf1_synt

a)

-0,4

0,4

0

0,4

0

-0,4

0,4

0

-0,4

0,4

0

-0,4

Atom Gabora reprezentujący falę P

Atomy Gabora reprezentujące falę S

Atomy Gaborareprezentujące falę St

0,4

0

0,4

0

0,4

0

0,4

0

-0,4

-0,4

-0,4

-0,4

Pwf1_synt

Pwf1_synt_MP (atom nr 5)

Swf1_synt

Swf1_synt_MP (atom nr 2 + atom nr 4 + atom nr 7)

Stwf1_synt

Stwf1_synt_MP (atom nr 1 + atom nr 3 + atom nr 6)

wf1_synt

wf1_synt_MP

Rys. 5.25 Schemat rozdzielenia pola falowego i rekonstrukcji fal akustycznych za pomocą metody pogoń

za dopasowaniem na przykładzie sygnału syntetycznego wf1_synt.

Sygnał syntetyczny wf1_synt skomponowany ze składowych odpowiadających falom P, S i Stoneleya (a)

został poddany dekompozycji metodą pogoń za dopasowaniem. Na mapie Wignera znaczono atomy

reprezentujące poszczególne fale akustyczne, wybrane w oparciu o parametry atomów odpowiadające

własnościom fal (b). Na podstawie wybranych atomów zrekonstruowano składowe sygnału syntetycznego

oraz odtworzony na tej podstawie sygnał syntetyczny (c)


100

Wyniki funkcji semblance dla odtworzonych za pomocą metody pogoń za dopasowaniem elementów

składowych sygnałów syntetycznych są zgodne z założonymi parametrami wykorzystanymi do ich

skonstruowania. Potwierdza to duże możliwości wykorzystania metody pogoń za dopasowaniem do

rozdzielenia pola falowego i wykorzystaniu go do lepszego określenia własności sprężystych skał.

Powodzenie tej metody opiera się na wyborze odpowiednich atomów Gabora, czyli poprawnym

zdefiniowaniu ich parametrów, tak aby określały one parametry poszczególnych fal akustycznych.

5.5.6 Parametryzacja atomów Gabora pod kątem wydzielenia fal

akustycznych z obrazów falowych

Identyfikacja i wydzielenie fal akustycznych z obrazów falowych na podstawie dekompozycji metodą

pogoń za dopasowaniem wymagała określenia warunków wyboru atomów reprezentujących daną falę.

Warunki te nałożone zostały na parametry atomów Gabora, tak by odpowiadały własnościom fal

akustycznych.

Ponieważ pakiet wysokoamplitudowy nie został jednoznacznie zakwalifikowany jako fala

w płuczce lub fala Stoneleya (rozdz. 4.1.2), dlatego przedmiotem identyfikacji były fale: P, S, pakiet

wysokoamplitudowy, nazywany tutaj „falą w płuczce”, oraz fala „Stoneleya” – pakiet falowy, który

występowałby za pakietem wysokoamplitudowym, gdyby ten okazał się falą w płuczce. Stwierdzenie,

czy pakiet wysokoamplitudowy jest falą w płuczce, czy raczej falą Stoneleya, jest dodatkowym

przedmiotem tych badań. Poniżej omówiono parametryzację atomów Gabora, która stanowiła

podstawę selekcji atomów jako reprezentantów danej fali akustycznej.

Częstotliwość

Częstotliwość jest częstotliwością modulacji funkcji Gabora. Zakres częstotliwościowy akustycznych

obrazów falowych jest uzależniony od częstotliwości nadajnika (20 kHz) oraz filtrację

górnoprzepustową w sondzie (5 kHz). Częstotliwość nadajnika w rzeczywistości odpowiada za

częstotliwość środkową emitowanego sygnału, który charakteryzuje się pewną szerokością pasma. Dla

sondy LSS ten parametr jest nieznany, niemniej ośrodek geologiczny działa jak filtr dolnoprzepustowy

i najszybciej pozbawia sygnał najwyższych częstotliwości. Dlatego uzasadnione jest analizowanie

atomów Gabora o częstotliwościach z zakresu 5-20 kHz.

Oktawa

Oktawa odpowiada za szerokość obwiedni atomu w domenie czasu. Zależy od częstotliwości

próbkowania sygnału fs oraz liczby próbek sygnału n. Długość atomów w czasie powinna

odzwierciedlać czas trwania fali akustycznej. Na podstawie testów wybrano dla fal P, S i „Stoneleya”

oktawy od 6 do 8 (odpowiednio: od 0,256 ms do 1,024 ms). Dla „fali w płuczce” wybrano oktawy 6

i 7 (odpowiednio 0,256 ms i 0,512 ms).


101

Położenie

Położenie to pozycja środka obwiedni atomu w czasie. Z powodu mało wyraźnego zróżnicowania

częstotliwości, jest to kluczowy parametr pozwalający zidentyfikować fale akustyczne. Dzięki różnej

prędkości propagacji fale dochodzą do odbiorników w różnym czasie. Położenie atomów Gabora

zostało określone osobno dla każdej fali akustycznej, litologii i odległości nadajnik-odbiornik.

Przedziały czasów przyjścia poszczególnych fal wyznaczono w oparciu o wizualną ocenę

kinematycznych i dynamicznych cech akustycznych obrazów falowych.

Amplituda

Amplituda opisuje amplitudę funkcji okna. Jest to ilość energii sygnału wyjaśniana przez daną

funkcję. Amplituda atomu Gabora odpowiadającego tej funkcji może mieć niższe amplitudy

w zależności od częstotliwości, fazy i oktawy (Durka 1996).

Z amplitudą wiąże się liczba atomów dekompozycji (atomy są ponumerowane według energii,

czyli pośrednio według amplitudy). Wcześniejsze badania pozwoliły ustalić, że optymalne wyniki

otrzymuje się dla dekompozycji na 60 atomów Gabora.

Faza

Faza była przedmiotem osobnej optymalizacji według algorytmu zaproponowanego przez Mallata

i Zhanga (1993) (opcja programu Guimauve) i nie miała wpływu na wybór atomów reprezentujących

fale akustyczne.

5.5.7 Schemat rozdzielenia pola falowego w oparciu

o parametryzację atomów Gabora

Rozdzielenie pola falowego polegało na wydzieleniu fal akustycznych z obrazów falowych w oparciu

o atomy Gabora reprezentujące daną falę. Z uwagi na obecność charakterystycznego

wysokoamplitudowego pakietu falowego, algorytm MP postrzegał falę P, cechującą się niewielkimi

amplitudami, jako mało istotną w całym sygnale. Aby zminimalizować ten efekt opracowano

dwustopniowy schemat wydzielenia fal z obrazów falowych, który obejmował następujące etapy:

1) Dekompozycję obrazów falowych metodą pogoń za dopasowaniem.

2) Wydzielenie pakietu wysokoamplitudowego („fali w płuczce”) w oparciu o zdefiniowaną

parametryzację.

3) Rekonstrukcję „fali w płuczce”.

4) Rekonstrukcję sygnału bez „fali w płuczce”.

5) Ponowną dekompozycję sygnału bez pakietu wysokoamplitudowego.

6) Wydzielenie fal P, S i „Stoneleya” w oparciu o zdefiniowaną parametryzację.

7) Rekonstrukcję fal P, S i „Stoneleya”.


102

Powyższy schemat realizacji rozdzielenia pola falowego na przykładzie pojedynczego sygnału wf1

z litologii A1g przedstawiony został na rysunku 5.26. Rozdzielone pakiety falowe na przykładzie

obrazu falowego wf1 przedstawiono na rysunku 5.27.

Wydzielenie fal w oparciu o zdefiniowaną parametryzację związane było z odpowiednim

systemem wyboru atomów odpowiadających danemu pakietowi falowemu.

Metodyka wyszukiwania atomów reprezentujących „falę w płuczce” obejmowała w kolejności:

− Sortowanie według położenia atomu (tj. czasu przyjścia fali).

− Sortowanie według oktawy (w grupie atomów wyznaczonych w pierwszym sortowaniu).

− Sortowane według częstotliwości (w grupie atomów wyznaczonych po drugim sortowaniu).

Pierwsze sortowanie wybierało z całej dekompozycji atomy Gabora, które mogły reprezentować

pakiet wysokoamplitudowy pod kątem czasu przyjścia. Drugie sortowanie, przeprowadzone w grupie

atomów wyznaczonych za pomocą pierwszego sortowania, ograniczało zbiór do atomów

o odpowiedniej długości (tj. czasie trwania). Ostatnie sortowanie zawężało wybór do atomów

spełniających warunek odpowiedniej częstotliwości.

Wybór atomów reprezentujących fale: P, S i „Stoneleya” przeprowadzono w odmiennej

kolejności:

− Sortowanie według oktawy.

− Sortowanie według częstotliwości.

− Sortowanie według położenia.

W analizowanym zagadnieniu najbardziej decydującym parametrem rozdzielenia pola falowego było

położenie atomów (tj. czas przyjścia fal), ponieważ fale pod względem częstotliwości różniły się

znacznie słabiej. Przedstawiona metodyka selekcji atomów Gabora okazała się najbardziej przejrzysta

dla przeprowadzającego badania, gdyż rozdzielała pole falowe na zawężonym zbiorze atomów

Gabora, czyli po odrzuceniu tych, które nie spełniały pozostałych warunków (tj. czasu trwania

i częstotliwości).


103

[kH

z]

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]

30

25

20

15

10

5

0

b)

c)

ska

la k

olo

rów

ato

mó

w G

ab

ora


0

0,5

1,0

Pakiet wysokoamplitudowy (”fala w płuczce”)

atom nr 10 + atom nr 17 + atom nr 49atom nr 3 +

Akustyczny obraz falowy

bez “fali w płuczce”

a) 5

0

-5

Atomy Gaborareprezentujące “falę w płuczce”

0,4

0

0,4

0

0,4

0

-0,4

-0,4

-0,4

P_MP (atom nr 27)

S_MP (atom nr 16 + atom nr 46 + atom nr 56 + atom nr 59)

St_MP (atom nr 3 + atom nr 6 + atom nr 7)

[kH

z]

30

25

20

15

10

5

0


Atom Gaborareprezentujący

falę P

Atomy Gabora reprezentujące falę S

Atomy Gaborareprezentujące falę St


5

0

-5

5

0

-5

d)

e)

Rys. 5.26 Schemat dekompozycji akustycznych obrazów falowych na przykładzie sygnału wf1

zarejestrowanego w anhydrycie górnym A1g.

Akustyczny obraz falowy (a) poddawany był dekompozycji algorytmem MP (b), na podstawie której

wydzielano z sygnału pakiet wysokoamplitudowy („falę w płuczce”) i rekonstruowano sygnał pozbawiony

tego pakietu (c) Następnie, tak przetworzony obraz falowy dekomponowano raz jeszcze (d) i wydzielano

z niego fale P, S i Stoneleya (e)


104

Rys. 5.27 Rozdzielone pole falowe akustycznych obrazów falowych za pomocą metody pogoń za dopasowaniem

(plik: Rys. 5.27 Rozdzielone pakiety falowe wf1.cdr)


105

5.5.8 Wyniki dekompozycji akustycznych obrazów falowych

metodą pogoń za dopasowaniem: analizy czasu

interwałowego i częstotliwości wydzielonych fal

Zaproponowany schemat przetwarzania obrazów falowych doprowadził do rozdzielenia pola falowego

na fale: P, S, „falę w płuczce” i „Stoneleya” (rys. 5.27). Otrzymano również akustyczne obrazy

falowe, z których usunięto pakiet wysokoamplitudowy („falę w płuczce”). Wyznaczone metodą pogoń

za dopasowaniem pakiety falowe posłużyły do dalszych obliczeń: czasu interwałowego

poszczególnych fal oraz ich częstotliwości. Schemat badań, który doprowadził do otrzymanych

wyników przedstawia rysunek 5.28. Wyniki obliczeń czasu interwałowego i częstotliwości w funkcji

głębokości zostały przedstawione na rysunku 5.29. Prezentowane na tym rysunku krzywe są średnimi

wartościami odpowiednich parametrów uzyskanych z obrazów falowych wf1, wf2, wf3 i wf4. Wyniki

zostały wygładzone 21-punktową średnią krokową. Poniżej szczegółowo omówiono analizy czasu

interwałowego i częstotliwości fal.

Analiza czasu interwałowego

Zrekonstruowane metodą MP pakiety falowe wczytano do systemu Geowin®8

i za pomocą funkcji

semblance obliczono czasy interwałowe: fali S (DTS_MP), pakietu wysokoamplitudowego

(DTPł_MP) oraz fali „Stoneleya” (DTSt_MP). Aplikacja FalaWin w module Fala2, który umożliwia

automatyczne obliczenie czasów interwałowych dla całego odcinka otworu, nie wykorzystuje funkcji

semblance do obliczenia czasu interwałowego fali P. Wyznacza go na podstawie „aparaturowych”

czasów interwałowych DT8 i DT10. Z tego powodu nie otrzymano czasu interwałowego DTP_MP.

Czasy interwałowe pakietów falowych wydzielonych z obrazów falowych porównano z odpowiednimi

czasami interwałowymi obliczonymi z oryginalnych rejestracji, tj. obrazów falowych przed

dekompozycją. Czas interwałowy pakietu wysokoamplitudowego DTPł_MP zestawiono razem

z DTSt_oryg i DTSt_MP, aby móc stwierdzić, czy pakiet wysokoamplitudowy jest falą w płuczce czy

Stoneleya. Porównanie czasów interwałowych (rys. 5.29) prowadzi do następujących obserwacji

i wniosków:

− Czasy interwałowe fali S: DTS_MP i DTS_oryg, mają taki sam przebieg i bardzo zbliżone

wartości. Podobnie jest z krzywymi dla fali Stoneleya: DTSt_MP i DTSt_oryg, za wyjątkiem

głębokości obejmujących wapień cechsztyński Ca1. Dowodzi to skuteczności metody pogoń za

dopasowaniem w zagadnieniu rozdzielenia pola falowego i wydzielenia fal użytecznych

z akustycznych obrazów falowych.

8 Import danych do Geofizycznej Bazy Danych (GBD) systemu Geowin

® wykonano za pomocą specjalnie

powstałej w tym celu aplikacji Asciiconverter autorstwa Krzysztofa Marzenckiego. Aplikacja ta umożliwia

import i eksport profilowań skalarnych i wektorowych zapisanych w formacie tekstowym do i z GBD. Aplikacja

zostanie włączona do powstającej najnowszej wersji systemu Geowin®.


106

− W nasyconym gazem poziomie Ca1 czas interwałowy DTSt_MP ma większe wartości od

DTSt_oryg. Jedną z przyczyn rozbieżności może być przyjęta parametryzacja atomów Gabora.

Opierając się na cechach dynamicznych obrazów falowych, fala „Stoneleya” w poziomie Ca1

została wyznaczona później niż w pozostałych litologiach. Falę „Stoneleya” zdefiniowano jako

falę występującą za pakietem wysokoamplitudowym, który w poziomie Ca1 jest bardzo

rozciągnięty w czasie. Pośrednio mogło to wpłynąć na zwiększenie czasu interwałowego

obliczanego funkcją semblance.

− Czas interwałowy pakietu wysokoamplitudowego ma znacznie niższe wartości niż DTSt_MP

prędkość DTSt_oryg, czyli charakteryzuje się większą prędkością propagacji niż pakiety falowe,

na podstawie których obliczono DTSt_MP i DTSt_oryg. Wskazuje to, że pakiet

wysokoamplitudowy rzeczywiście odpowiada fali w płuczce. Prędkość pakietu

wysokoamlitudowego obliczona z krzywej DTPł_MP wynosi około 1700-1750 m/s. Gdyby

pakiet wysokoamplitudowy był falą Stoneleya, to wtedy fala biegnąca w płuczce musiałaby

mieć prędkość około 1950-2000 m/s, co jest wartością za wysoką. Dodatkowym argumentem

przemawiającym za tym wnioskiem jest brak zmian czasu interwałowego DTPł_MP

w nasyconym gazem wapieniu cechsztyńskim Ca1.

− Dysponując krzywymi czasu interwałowego fali w płuczce i fali Stoneleya można policzyć, o ile

fala Stoneleya jest wolniejsza od fali w płuczce. Na podstawie literatury wiadomo, że w

szybkich formacjach VSt powinno wynosić około 0,9 Vpł. W przypadku, gdy prędkość fali S

spada i zbliża się do prędkości fali w płuczce spada również prędkość fali Stoneleya

i jednocześnie zmniejsza się stosunek prędkości VSt do Vpł (rozdz. 3.2, rys. 3.9).

Rys. 5.28 Schemat blokowy badań prowadzących do otrzymania czasów interwałowych

i częstotliwości fal akustycznych wydzielonych z obrazów falowych metodą pogoń za dopasowaniem


107

Do obliczenia stosunku prędkości fali Stoneleya do prędkości fali w płuczce

wykorzystano obie krzywe czasu interwałowego: DTSt_oryg oraz DTSt_MP. W pierwszym

przypadku stosunek ten wyniósł około 0,9-0,94 dla całego interwału głębokościowego.

W przypadku drugim zaobserwowano w Ca1 znaczący spadek stosunku prędkości do wartości

około 0,84. Jednocześnie w tym poziomie litologicznym obserwuje się obniżenie prędkości fali

S (zwiększenie zarówno czasu interwałowego DTS_oryg jak i DTS_MP). Jest to zgodne

z informacją o spadku prędkości fali Stoneleya wraz ze zmniejszeniem prędkości fali S

i przemawia za poprawnym określeniem czasu interwałowego fali Stoneleya za pomocą

dekompozycji MP, a błędnym określeniem DTSt_oryg z nierozdzielonych obrazów falowych

w tej litologii. Na tej podstawie można wnioskować, że zwiększenie czasu interwałowego

DTSt_MP w poziomie Ca1 jest spowodowane głównie własnością fali Stoneleya, a nie tylko

parametryzacją atomów Gabora.

− Obniżenie prędkości fali S w poziomie Ca1 nie może być wywołane obecnością gazu, ponieważ

media wypełniające przestrzeń porową w znikomy stopniu wpływają na prędkość rozchodzenia

się fali poprzecznej. Nie jest to również wpływ samej porowatości, ponieważ dolomit główny

charakteryzuje się podobną porowatością a nie obserwuje się w nim obniżenia prędkości fali S.

Obniżenie prędkości tej fali musi być spowodowane innymi własnościami sprężystymi szkieletu

skalnego wapienia cechsztyńskiego, tym bardziej, że jest ono obserwowane w całym interwale

Ca1 a nie tylko w poziomach gazonośnych.

Analiza częstotliwości

Częstotliwość najbardziej znaczącego atomu Gabora w wydzielonym pakiecie falowym została

przyjęta jako częstotliwość dominująca danej fali akustycznej. Częstotliwości zostały wyznaczone

osobno dla fal wydzielonych z każdego obrazu falowego: wf1, wf2, wf3 i wf4. Nie zaobserwowano

żadnej relacji między częstotliwością a odległością nadajnik-odbiornik. Dlatego prezentowane na

rysunku 5.29 krzywe: f_P, f_S, f_Pł i f_St, są częstotliwościami uśrednionymi, uzyskanymi z obrazów

wf1, wf2, wf3 i wf4. Częstotliwości fal P, S, „w płuczce” i „Stoneleya”, poza drobnymi wyjątkami, są

bardzo zbliżone do siebie i obejmują wartości z zakresu 10-15 kHz. Słaba jest także zmienność

częstotliwości z litologią. Jednak bardzo uważna analiza wzajemnych relacji między

częstotliwościami w obrębie najważniejszych bloków litologicznych pozwala uchwycić pewne

zależności:

− Zmiana częstotliwości z litologią jest mało wyraźna, gdyż przedział zmian częstotliwości jest

niewielki (od około 12 kHz, sporadycznie od 10 kHz, do 15 kHz). Można jednak zauważyć

znaczące obniżenie częstotliwości w poziomie wapienia cechsztyńskiego Ca1, szczególnie

w poziomach gazonośnych, sięgające 8 kHz. Dobrze widoczne jest to na krzywych blokowych

f_blok przedstawiających średnią wartość częstotliwości obliczoną dla każdej litologii.

− Sole Na3_1, Na3_2 i Na2 wyróżniają się spośród całego interwału bardzo zbliżonymi do siebie

wartościami częstotliwości fal P, „fali w płuczce” i fali „Stoneleya”. Krzywe częstotliwości tych


108

fal przeplatają się ze sobą. Niższymi częstotliwościami wyróżnia się fala S. Charakterystykę

częstotliwościową w solach można opisać relacją: fS < fP ≈ fPł ≈ fSt.

− Anhydryty A3d, A2d i A1g oraz stropowa część dolomitu głównego Ca2 charakteryzują się

niższymi częstotliwościami fali P w stosunku do częstotliwości fali S. Spągowa część dolomitu

głównego Ca2, wapień cechsztyński Ca1 oraz piaskowce P-ce mają odwrotną relację

częstotliwości fal P i S, tzn. fS < fP. Częstotliwość fali „Stoneleya” we wszystkich wyżej

wymienionych litologiach zachowuje się w bardzo zmienny sposób przyjmując wartości

większe, mniejsze lub zbliżone w stosunku do pozostałych fal. „Fala w płuczce” ma wyraźną

tendencję do przyjmowania najniższych częstotliwości spośród wydzielonych pakietów

falowych. Szczegółowo relacje częstotliwości w poszczególnych litologiach przedstawiają się

następująco:

� A3d – fPł < fP < fS ≈ fSt,

� A2d – fPł < fP ≈ fSt < fS,

� Ca2 (część stropowa) – fPł < fSt < fP < fS,

� Ca2 (część spągowa) – fPł < fSt < fS < fP,

� A1g – fPł ≈ fSt < fP < fS,

� Ca1 – fPł < fSt < fS < fP,

� P-ce – fPł ≈ fSt < fS < fP.

Analiza częstotliwości najbardziej znaczących atomów Gabora reprezentujących dany pakiet falowy

daje unikatową informację o częstotliwości fal z krokiem próbkowania głębokościowego

akustycznych obrazów falowych. Pozwala prześledzić zmiany częstotliwości z głębokością oraz

wzajemne relacje częstotliwości pomiędzy poszczególnymi falami. Badania dowiodły, że fale

rejestrowane na akustycznych obrazach falowych sondą LSS charakteryzują się małą zmiennością

częstotliwości z litologią. Stwierdzono również zmienną relację częstotliwości pomiędzy

poszczególnymi pakietami falowymi, z powodu której nie można podać uniwersalnej reguły

szeregującej fale według częstotliwości (np. fPł < fSt < fS < fP). Dlatego informacja o częstotliwości jest

niewystarczającym kryterium do rozdzielenia pola falowego. Analiza częstotliwości może natomiast

pomóc wskazać strefy nasycone gazem, w których obserwuje się wyraźne obniżenie częstotliwości.

Metodyka oraz wyniki badań analizy akustycznych obrazów falowych przy wykorzystaniu

metody pogoń za dopasowaniem zostały przedstawione na konferencjach GEOPETROL (Wawrzyniak

2006a) i EAGE Conference Exhibition (Wawrzyniak 2006b).


109

Głębokość[m]

100 600µs/m

DTP_oryg100 600

DTS_oryg

100 600

DTS_MP

µs/m

µs/m

550 750

DTSt_oryg550 750

DTSt_MP

µs/m

µs/m

6 20kHz

f_P6 20kHz

f_S6 20kHz

f_Pł6 20kHz

f_P_blok

6 20kHz

f_S_blok6 20kHz

f_Pł_blok

6 20kHz

f_St

2020

2040

2060

2080

2100

2120

2140

2160

2180

2200

2220

2240

2260

2280

2300

2320

2340

2360

2380

550 750

DTPł_MPµs/m

wkładka 1Na3_1

wkładka 2

Na3_2

A3d

T3

A2g

Na2

A2d

Ca2

A1g

Ca1_0

Ca1_2Ca1_3Ca1_4Ca1_5Ca1_6Ca1_7Ca1_8Ca1_9P-ce

Ca1_1

0,8 1,0

DTPł_MP/DTSt_oryg

0,8 1,0

DTPł_MP/DTSt_MP

0 1000mm

PŚr

0 1000mm

Śr_nom

0 150API

PG

6 20kHz

f_St_blok

Rys. 5.29 Czasy interwałowe i częstotliwości fal akustycznych rozdzielonych metodą pogoń za dopasowaniem

(PG – prof. gamma, PŚr – prof. średnicy, Śr_nom – krzywa średnicy nominalnej, DT_oryg – czasy interwałowe

z oryginalnych obrazów falowych, DT_MP – czasy interwałowe z obrazów falowych rozdzielonych metodą MP,

f – częstotliwość fal, f_blok – średnia wartość częstotliwości w obrębie danego typu litologicznego)


110

5.6 Atrybuty chwilowe obliczone w oparciu o mapy

czasowo-częstotliwościowe

5.6.1 Wprowadzenie

Atrybuty są jednym z podstawowych narzędzi wykorzystywanych przy interpretacji jakościowej

danych sejsmicznych. Dostarczają informacji o geometrii i fizycznych własnościach ośrodka

geologicznego. Od momentu wprowadzenia pierwszych atrybutów opartych o definicję trasy

zespolonej (Taner et al. 1979) pojawiło się wiele innych, obliczanych przed lub po składaniu,

i związanych z podstawowymi parametrami danych sejsmicznych, takimi jak: czas, amplituda,

częstotliwość i tłumienie. Szczegółową klasyfikację atrybutów można znaleźć m.in. w pracach: Taner

(1992) i Brown (2001).

Wśród ogromu zdefiniowanych atrybutów osobną grupę tworzą atrybuty chwilowe.

Reprezentują one chwilowe zmiany różnych parametrów i pozwalają na wyeksponowanie niewielkich

niejednorodności ośrodka. Ujawniają lokalne własności ośrodka skalnego, nie zawsze widoczne na

tradycyjnym zapisie. W interpretacji akustycznych obrazów falowych wykorzystano dotychczas

podstawowe atrybuty chwilowe obliczane z trasy zespolonej: amplitudę chwilową, częstotliwość

chwilową, fazę chwilową oraz polaryzację pozorną (Knize 1989, Bała et al. 1994, Bała i Jarzyna

1996). Do grupy atrybutów chwilowych zaliczane są również: chwilowa częstotliwość środkowa (ang.

instantaneous centre frequency), chwilowa częstotliwość dominująca (ang. instantaneous dominant

frequency) i chwilowa szerokość widma (ang. instantaneous spectral bandwidth), które zastosowano

w analizie danych sejsmiki refleksyjnej (Barnes 1993, Zabihi i Siahkoohi 2006). Wywodzą się one z

najczęściej wykorzystywanych charakterystyk widmowych, tj. z częstotliwości środkowej,

częstotliwości dominującej i szerokości widma. W przeciwieństwie do atrybutów chwilowych, te

ostatnie reprezentują uśrednione miary widma częstotliwościowego. Zostaną pokrótce przedstawione

w celu przejrzystego zdefiniowania atrybutów chwilowych.

Uśrednione miary widma częstotliwościowego zdefiniowane zostały w oparciu

o charakterystyki znane z teorii prawdopodobieństwa i obliczane są na podstawie widma mocy

z transformaty Fouriera.

Częstotliwość środkowa fc widma mocy P(f) jest średnią widma mocy. Obliczana jest ze wzoru

na wartość oczekiwaną (pierwszy moment początkowy):

( )

( )∫

∫∞

∞

=

0

0

dffP

dfffP

fc (5.2)

Wariancja (drugi moment centralny) częstotliwości fb2 wokół średniej fc dana jest wzorem:


111

( ) ( )

( )∫

∫∞

∞

−

=

0

0

2

2

dffP

dffPff

f

c

b (5.3)

Wielkość fb jest odchyleniem standardowym wokół średniej (czyli częstotliwości środkowej fc) i jest

miarą szerokości widma (a dokładniej połowy szerokości widma).

Inną uśrednioną miarą widma mocy jest drugi moment początkowy, fr2, zdefiniowany

następująco:

( )

( )∫

∫∞

∞

=

0

0

2

2

dffP

dffPf

fr (5.4)

Wielkość fr określa częstotliwość przechodzenia sygnału przez zero (ang. zero-crossing frequency),

która jest dogodną miarą częstotliwości dominującej (Barnes 1993).

Z własności teorii prawdopodobieństwa wynika, że:

222bcr fff += (5.5)

Na rysunku 5.30 zobrazowano częstotliwość środkową, częstotliwość dominującą i szerokość widma

dla sygnału Rickera o częstotliwości 30 Hz.

Atrybuty chwilowe są zdefiniowane analogicznie do swoich uśrednionych odpowiedników, przy

czym widmo mocy P(f) z transformaty Fouriera we wzorach 5.2-5.4 jest zastąpione chwilowym

widmem mocy E(t, f), będącym czasowo-częstotliwościową reprezentacją sygnału. Chwilowa

częstotliwość środkowa fi(t), chwilowa szerokość widma σf(t) i chwilowa częstotliwość dominująca

fd(t) są określone następującymi wzorami:

( )( )

( )∫

∫∞

∞

=

0

0

,

,

dfftE

dfftfE

tfi (5.6)

( )( )( ) ( )

( )∫

∫∞

∞

−

=

0

0

2

2

,

,

dfftE

dfftEtff

t

i

fσ (5.7)

( )( )

( )∫

∫∞

∞

=

0

0

2

2

,

,

dfftE

dfftEf

tfd (5.8)

Wielkości te są powiązane relacją, będącą odpowiednikiem równania (5.5):


112

( ) ( ) ( )ttftf fid222 σ+= (5.9)

Zdefiniowane w ten sposób atrybuty chwilowe reprezentują chwilowe zmiany sygnału obserwowane

w domenie czasu, chociaż są uśredniane po częstotliwości. Chwilowa częstotliwość środkowa

i chwilowa szerokość widma są wielkościami niezależnymi, podczas gdy chwilowa częstotliwość

dominująca jest funkcją obu tych atrybutów.

Barnes (1993) do obliczenia chwilowego widma mocy zastosował krótkoczasową transformatę

Fouriera. W swojej pracy wykorzystał omawiane atrybuty chwilowe do analizy sygnałów złożonych

z interferujących fal. Zasugerował, że miejsca, w których chwilowa szerokość widma σf(t) ma większe

wartości od chwilowej częstotliwości środkowej fi(t) mogą wskazywać na czas przyjścia nowej fali.

Zaproponował również zastosowanie atrybutów chwilowych jako wskaźników cienia

niskoczęstotliwościowego poniżej silnie tłumiących stref, takich jak strefy nasycone gazem.

W tej pracy przedstawione powyżej atrybuty chwilowe wykorzystano do analizy akustycznych

obrazów falowych. Do ich obliczenia zastosowano dwa rodzaje widma chwilowego:

1) Mapy czasowo-częstotliwościowe otrzymane z transformaty falkowej (skalogramy).

2) Mapy czasowo-częstotliwościowe otrzymane z metody pogoń za dopasowaniem (mapy

Wignera).

Schemat obliczeń atrybutów chwilowych dla obu metod czasowo-częstotliwościowych przedstawiono

na rysunku 5.31. Analizy przeprowadzono w programie Matlab® oraz Guimauve.

0,5

1,0

0,0

P(f

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80[Hz]

Widmo mocysygnał Rickera - 30 Hz

częstotliwość środkowa = 31,9 Hzfc

częstotliwośćdominująca = 33,5 Hzfr

połowaszerokości

widma = 10,2 Hzfb

Rys. 5.30 Uśrednione miary widma częstotliwościowego na przykładzie sygnału Rickera (częstotliwość

środkowa, częstotliwość dominująca i szerokość widma)


113

| |E(t, f)

czas

skala

czę

sto

tliw

ość

atr

yb

uty

chw

ilow

e

transformatafalkowa

atrybutychwilowe

czasam

p AOF

czas

σf(t)

f (t)d

f (t)i

czas

czę

sto

tliw

ość

atr

yb

uty

chw

ilow

e

pogoń zadopasowaniem

atrybutychwilowe

czas

am

p AOF

czas

σf(t)

f (t)d

| |E(t, f)

a) b)

głębokość

h, h

, ..., h

12

n

głębokość

h, h

, ..., h

12

n

głęb

okość

h, h

, ...,

h

1

2

n

głębokość

h, h

, ..., h

12

n

głębokość

h, h

, ..., h

12

n

głęb

okość

h, h

, ...,

h

1

2

n

f (t)i

Rys. 5.31 Schemat obliczeń atrybutów chwilowych dla akustycznych obrazów falowych (AOF) na

podstawie transformaty falkowej (a) i metody pogoń za dopasowaniem (b).

Dla każdego obrazu falowego obliczana była transformata falkowa oraz dekompozycja metodą pogoń za

dopasowaniem. Otrzymane w ten sposób reprezentacje czasowo-częstotliwościowe, odpowiednio:

skalogramy i mapy Wignera, wykorzystano jako chwilowe widma mocy do obliczenia atrybutów

chwilowych. Obliczenia wykonano osobno dla każdego punktu głębokościowego


114

5.6.2 Badania parametryczne i na danych syntetycznych dla

transformaty falkowej

W celu oceny możliwości wykorzystania atrybutów chwilowych fi(t), fd(t) oraz σf(t) w analizie

akustycznych obrazów falowych oraz ustalenia optymalnych parametrów przetwarzania

przeprowadzono badania na syntetycznym sygnale wf1_synt i danych testowych.

Badania na danych syntetycznych miały za zadanie sprawdzić:

− Jak należy odczytywać atrybuty chwilowe i czy można je wykorzystać do identyfikacji fal na

obrazach falowych?

− Jaka falka daje najłatwiejsze do interpretacji wyniki pod kątem identyfikacji fal?

− Jak na atrybuty chwilowe wpływa ograniczenie mapy czasowo-częstotliwościowej do zakresu

częstotliwości 5-20 kHz?

Badania parametryczne, przeprowadzone na przykładowych kilkunastu rzeczywistych obrazach

falowych, wykonane zostały pod kątem ustalenia optymalnych parametrów obliczania atrybutów

chwilowych, tj. rodzaju transformaty falowej (dyskretna czy ciągła) oraz zakresu skali, a w przypadku

transformaty ciągłej, również kroku zmiany skali. Te badania przeprowadzono z wykorzystaniem falki

Morleta.

Badania na danych syntetycznych

Syntetyczny obraz falowy wf1_synt poddano ciągłej transformacie falkowej wykorzystując

następujące falki: Coiflet 5, Daubechies 8, Gauss 5, Meyera, Morleta i Symlet 5. W wyniku otrzymano

mapy czasowo-częstotliwościowe będące rozkładem współczynników falowych. Transformatę dla

wszystkich falek obliczono przyjmując skalę z przedziału [1, 64] zmieniającą się z krokiem 1.

Następnie dla każdej falki przeliczono skale na pseudoczęstotliwości według wzoru (5.1). Na tej

podstawie określono przedział skali, odpowiadający częstotliwościom z zakresu 5-20 kHz (5 kHz

powinno być najniższą częstotliwością akustycznych obrazów falowych z uwagi na filtrowanie

rejestracji w sondzie LSS filtrem górnoprzepustowym, a 20 kHz powinno być najwyższą

częstotliwością, gdyż jest to częstotliwość nadajnika). Obliczone mapy czasowo-częstotliwościowe

współczynników falkowych wykorzystano do obliczenia atrybutów chwilowych fi(t), fd(t) oraz σf(t).

Obliczenia przeprowadzono najpierw dla całej mapy czasowo-częstotliwościowej, tj. całego zakresu

częstotliwości, jaki dana falka pokrywa przy skali zmieniającej się od 1 do 64 i kroku próbkowania

sygnału równym 4 µs. Następnie obliczono ponownie atrybuty chwilowe, tym razem biorąc do

obliczeń mapę czasowo-częstotliwościową ograniczoną do częstotliwości 5-20 kHz. Przeprowadzone

obliczenia przedstawione są na rysunkach 5.32-37.

Analiza wyników badań przeprowadzonych na danych syntetycznych prowadzi do

następujących obserwacji:

− Chwilowa częstotliwość środkowa fi(t) i chwilowa częstotliwość dominująca fd(t)

odzwierciedlają częstotliwości fal składowych wchodzących w skład sygnału. Chwilowa


115

szerokość widma σf(t) ma znacznie niższe częstotliwości i trudno ją wykorzystać do

identyfikacji fal składowych. W żadnym miejscu jej wartość nie jest większa od wartości

chwilowej częstotliwości środkowej i dominującej, stąd nie potwierdzone zostało stwierdzenie

Barnesa. Schodkowy kształt atrybutów chwilowych, w szczególności fi(t) i fd(t), jest wynikiem

konstrukcji sygnału syntetycznego. Poszarpany kształt atrybutów chwilowych („ząbki”) jest

konsekwencją charakteru skalogramów, na których współczynniki falkowe układają się

równolegle wzdłuż osi skali tworząc „grzbiety”.

− Wartości chwilowej częstotliwości środkowej i dominującej są bardzo zbliżone do siebie, przy

czym chwilowa częstotliwość dominująca ma nieznacznie wyższe wartości.

− Atrybuty chwilowe obliczone na podstawie całej mapy czasowo-częstotliwościowej oraz mapy

ograniczonej do częstotliwości z zakresu 5-20 kHz różnią w szczegółach. Można zauważyć, że

wykorzystanie całej mapy czasowo-częstotliwościowej do obliczeń daje niższe wartości

atrybutów chwilowych w końcowym obszarze fali S i całym obszarze fali Stoneleya niż

w przypadku zastosowania mapy ograniczonej. Jest to wynikiem zmiennej rozdzielczości

czasowo-częstotliwościowej transformaty falkowej. Dla niższych częstotliwości spada

rozdzielczość w domenie czasu, co przejawia się większym rozmyciem współczynników

falkowych wzdłuż osi czasu. W efekcie, dla niskich częstotliwości (wysokich wartości skali)

współczynniki falkowe związane z falą Stoneleya „pochodzą” pod obszar fali S i zaniżają w ten

sposób wartości atrybutów chwilowych.

− Atrybuty chwilowe otrzymane dla różnych falek w różny sposób odzwierciedlają częstotliwości

fal składowych sygnału syntetycznego. Najlepsze wyniki pod tym względem uzyskano dla falki

Meyera, wykorzystując ograniczoną mapę czasowo-częstotliwościową. fi(t) i fd(t) dla tej falki

charakteryzują się dokładnym odtworzeniem częstotliwości fal składowych w całym obszarze

ich trwania. Dobre wyniki otrzymano również dla falki Coiflet 5, choć częstotliwości fali

Stoneleya są nieznacznie zawyżone.

Podsumowując badania na sygnale syntetycznym można stwierdzić, że atrybuty chwilowe można

wykorzystać do identyfikacji fal na akustycznych obrazach falowych. Najlepiej do tego zadania nadają

się chwilowe częstotliwości: środkowa i dominująca, przy czym z uwagi na ich bardzo zbliżone

wartości można wykorzystać tylko jeden z tych parametrów. Do obliczeń atrybutów chwilowych

należy stosować mapy czasowo-częstotliwościowe ograniczone do zakresu pożądanych

częstotliwości, aby zminimalizować wpływ zmiennej rozdzielczości transformaty falkowej. Na

danych syntetycznych najlepsze wyniki dała falka Meyera.


116

18

105

18

105

[kH

z]

[kH

z]

18

105 [k

Hz]

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

-0,4

0,4

0

-0,4

0,4

0

-0,4

0,4

0

-0,4

0,4

0

wf1_synt

10

20

30

40

50

60

17,3

5,8

4,3

3,5

2,9

172,31

skala

[kH

z]

współczynniki CWTfalka Coiflet 5

20

0

[kH

z]

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]

20

0

[kH

z]

20

0

[kH

z]

f (t)d

σf(t)

20 kHz

5 kHz

a)

b)

c)

ska

la k

olo

rów

wsp

ółc

zyn

nik

ów

CW

T

a f = 8-35 ( = 20-5 kHz)

a f = 1-64 ( = 172,3-2,7 kHz)

f (t)i

Pwf1_synt

Swf1_ synt

Stwf1_synt

Rys. 5.32 Atrybuty chwilowe obliczone dla sygnału syntetycznego wf1_synt na podstawie ciągłej

transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Coiflet 5.

Sygnał wf1_synt (a) został poddany ciągłej transformacie dostarczając skalogram (b). Na jego podstawie

obliczono dwukrotnie atrybuty chwilowe: wykorzystując całą mapę czasowo-częstotliwościową oraz jej

fragment obejmujący jedynie częstotliwości z zakresu 5-20 kHz (c)


117

18

105

18

105

[kH

z]

[kH

z]

18

105 [k

Hz]

10

20

30

40

50

60

16,7

5,6

4,2

3,3

2,8

166,71

ska

la

[kH

z]

20

0

[kH

z]

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]

20

0

[kH

z]

20

0

[kH

z]

f (t)d

σf(t)

współczynniki CWTfalka Daubechies 8 20 kHz

5 kHz

a)

b)

c)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

-0,4

0,4

0

0,4

0

-0,4

0,4

0

-0,4

0,4

0

-0,4

a f = 8-34 ( = 20-5 kHz)

a = 1-64 ( = 166,7-2,6 kHz)f

f (t)i

ska

la k

olo

rów

wsp

ółc

zynn

ikó

w C

WT

wf1_synt

Pwf1_synt

Swf1_ synt

Stwf1_synt


transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Daubechies 8.

(Dalsze objaśnienia identyczne jak do rysunku 5.32)


118

18

105

18

105

[kH

z]

[kH

z]

18

105 [k

Hz]

-0,4

0

10

20

30

40

50

60

12,5

4,2

3,3

2,5

2,1

1251

ska

la

[kH

z]

20

0

[kH

z]

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]

20

0

[kH

z]

20

0

[kH

z]

f (t)d

σf(t)

współczynniki CWTfalka Gauss 5

20 kHz

5 kHz

a)

b)

c)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

-0,4

0,4

0

0,4

0

-0,4

0,4

0

-0,4

0,4

0

a f = 6-26 ( = 20-5 kHz)

a = 1-64 ( = 125-1,95 kHz)f

f (t)i

wf1_synt

Pwf1_synt

Swf1_ synt

Stwf1_synt

ska

la k

olo

rów

wsp

ółc

zynn

ikó

w C

WT


transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Gauss 5.



119

18

105

18

105

[kH

z]

[kH

z]

18

105 [k

Hz]

10

20

30

40

50

60

17,3

5,8

4,3

3,5

2,9

172,61

ska

la

[kH

z]

20

0

[kH

z]

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]

20

0

[kH

z]

20

0

[kH

z]

f (t)d

σf(t)

współczynniki CWTfalka Meyera 20 kHz

5 kHz

a)

b)

c)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

-0,4

0

-0,4

0,4

0

0,4

0

-0,4

0,4

0

-0,4

0,4

0

a f = 8-35 ( = 20-5 kHz)

a = 1-64 ( = 172,6-2,7 kHz)f

f (t)i

wf1_synt

Pwf1_synt

Swf1_ synt

Stwf1_synt

ska

la k

olo

rów

wsp

ółc

zynn

ikó

w C

WT


transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Meyera.



120

18

105

18

105

[kH

z]

[kH

z]

18

105 [k

Hz]

10

20

30

40

50

60

20,3

6,8

5,1

4,1

3,4

203,11

ska

la

[kH

z]

20

0

[kH

z]

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]

20

0

[kH

z]

20

0

[kH

z]

f (t)d

σf(t)

współczynniki CWTfalka Morleta

20 kHz

5 kHz

a)

b)

c)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

-0,4

0

-0,4

0,4

0

0,4

0

-0,4

0,4

0

-0,4

0,4

0

a f = 10-41 ( = 20-5 kHz)

a = 1-64 ( = 203,1-3,2 kHz)f

f (t)i

wf1_synt

Pwf1_synt

Swf1_ synt

Stwf1_synt

ska

la k

olo

rów

wsp

ółc

zynn

ikó

w C

WT


transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Morleta.



121

18

105

18

105

[kH

z]

[kH

z]

18

105 [k

Hz]

10

20

30

40

50

60

16,7

5,6

4,2

3,3

2,8

166,71

ska

la

[kH

z]

20

0

[kH

z]

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]

20

0

[kH

z]

20

0

[kH

z]

f (t)d

σf(t)

współczynniki CWTfalka Symlet 5 20 kHz

5 kHz

a)

b)

c)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

-0,4

0

-0,4

0,4

0

0,4

0

-0,4

0,4

0

-0,4

0,4

0

a f = 8-34 ( = 20-5 kHz)

a = 1-64 ( = 166,7-2,6 kHz)f

f (t)i

wf1_synt

Pwf1_synt

Swf1_ synt

Stwf1_synt

ska

la k

olo

rów

wsp

ółc

zynn

ikó

w C

WT


transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Symlet 5.



122

Badania parametryczne

Badania parametryczne przeprowadzono dla kilkunastu wybranych sygnałów rzeczywistych

pochodzących z różnych litologii. Obliczono atrybuty chwilowe na podstawie map czasowo-

częstotliwościowych otrzymanych dla falki Coiflet 5, dla sześciu przypadków:

1) Dyskretnej transformaty falkowej przeprowadzonej dla pięciu poziomów dekompozycji, (a = 2j,

j = 1, …, 5; (a = 2, 4, 8, 16, 32)).

2) Dyskretnej transformaty falkowej przeprowadzonej dla sześciu poziomów dekompozycji (a = 2j,

j = 1, …, 6; (a = 2, 4, 8, 16, 32, 64)).

3) Ciągłej transformaty falkowej przeprowadzonej dla skali liniowej z zakresu [1, 32] z krokiem

zamiany skali równym 0,5.


zamiany skali równym 1.


zamiany skali równym 0,5.


zamiany skali równym 1.

Na rysunkach 5.38-39 przedstawiono atrybuty chwilowe na tle map czasowo-częstotliwościowych

obliczonych dla przykładowo wybranych przypadków pierwszego i szóstego. Rysunki 5.40-41

przedstawiają odpowiednio chwilową częstotliwość środkową i chwilową szerokość widma,

otrzymane dla każdego przypadku (każdej zastosowanej skali). Atrybuty chwilowe na rysunkach

5.38-41 otrzymano dla sygnału wf1 zarejestrowanego w A1g. Na rysunkach 5.40-41 nie

zaprezentowano chwilowej częstotliwości dominującej, ponieważ podobnie jak w badaniach

syntetycznych, wartości tego atrybutu są prawie identyczne z chwilową częstotliwością środkową.

Analiza wyników badań parametrycznych wykonanych dla kilkunastu sygnałów rzeczywistych

pozwoliła na wybór rodzaju transformaty falkowej oraz optymalnej skali. Atrybuty chwilowe

z dyskretnej transformaty falkowej mają charakter ostrych pików. Ciągła transformata falkowa daje

bardziej gładkie przebiegi atrybutów chwilowych. Biorąc pod uwagę zakres częstotliwości, jaki

pokrywają różne falki, zdecydowano zastosować skalę liniowo zmieniającą się od 1 do 64. Skala

ograniczona do 32 dla większości falek nie obejmuje dolnej granicy widma częstotliwościowego

akustycznych obrazów falowych (tj. 5 kHz). Porównanie wyników otrzymanych dla skali liniowej

zmieniającej się z krokiem 0,5 i z krokiem równym 1 wykazała, że atrybuty chwilowe nie różnią się

między sobą, natomiast znacząco wydłużył się czas obliczeń.

Podsumowując, na podstawie badań parametrycznych i na danych syntetycznych dobrano

odpowiednie parametry przetwarzania akustycznych obrazów falowych. Dalsze obliczenia,

przeprowadzone dla całego interwału głębokościowego i wszystkich obrazów falowych wykonano za

pomocą ciągłej transformaty falkowej ze skalą liniową z zakresu [1, 64] zmieniającą się z krokiem

równym 1. Pomimo najlepszych wyników pod kątem identyfikacji fal otrzymanych w badaniach na

danych syntetycznych dla falki Meyera, dla danych rzeczywistych zdecydowano się wykonać


123

obliczenia również dla pozostałych falek. Najbardziej obiecujące pod kątem identyfikacji fal są:

chwilowa częstotliwość środkowa i dominująca, ale ponieważ mają bardzo zbliżony do siebie do

przebieg, szczegółowo interpretowana będzie chwilowa częstotliwość środkowa.

-5

5

0


2

3

4

5

12,7

-25

,43

,6-1

2,7

0-3

,650

,8-1

01

,6

1

okta

wa

[kH

z]

25

0

[kH

z]

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]

25

0

[kH

z]

25

0

[kH

z]

f (t)d

σf(t)


skala = 2 , = 1,..., 5a jj

a)

b)

c)

0

2

4

6

8

10

12

f (t)i

ska

la k

olo

rów

wspó

łczyn

nik

ów

DW

T

Rys. 5.38 Atrybuty chwilowe obliczone na rzeczywistym sygnale wf1 z anhydrytu górnego A1g

z wykorzystaniem dyskretnej transformaty falkowej.

Akustyczny obraz falowy (a) poddano dyskretnej transformacie falkowej na pięć poziomów dekompozycji

za pomocą falki Coiflet 5. Rozkład współczynników falkowych na płaszczyźnie czas-częstotliwość (b)

wykorzystano do obliczenia atrybutów chwilowych (c)


124


1

skala

[kH

z]

25

0

[kH

z]

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]

25

0

[kH

z]

25

0

[kH

z]

f (t)d

σf(t)

współczynniki CWTfalka Coiflet 5skala = [1, 64]krok zmiany skali = 1

a

a)

b)

c)

0

2

4

6

8

10

12

10

20

30

40

50

60

203,1

20,3

10,2

6,8

5,1

4,1

3,4

-5

5

0

f (t)i

skala

ko

loró

w w

spó

łczyn

nik

ów

CW

T


z wykorzystaniem ciągłej transformaty falkowej.

Akustyczny obraz falowy (a) poddano ciągłej transformacie falkowej za pomocą falki Coiflet 5,

z wykorzystaniem skali z przedziału [1, 64], zmieniającej się z krokiem równym jeden.

Na podstawie skalogramu (b) obliczono atrybuty chwilowe (c)


125


25

0

[kH

z]

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]

25

0

[kH

z]

25

0

[kH

z]

25

0

[kH

z]

25

0

[kH

z]

25

0

[kH

z] f (t); a ji skala = 2 , = 1,..., 5

j

f (t); a ji skala = 2 , = 1,..., 6j

f (t); i skala liniowa [1, 32]

krok: 0,5


krok: 1


krok: 0,5


krok: 1

-5

5

0

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

Rys. 5.40 Chwilowa częstotliwość środkowa fi(t) obliczona na podstawie różnych wariantów

transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Coiflet 5.

Dla akustycznego obrazu falowego wf1 zarejestrowanego w anhydrycie górnym A1g (a) obliczono

chwilową częstotliwość środkową na podstawie dyskretnej (b, c) i ciągłej (d-g) transformaty falkowej.

Obliczenia dyskretnej transformaty falkowej przeprowadzono dla skali diadycznej a = 2j, dla dwóch różnych

poziomów dekompozycji (j= 5 i j = 6). Obliczenia ciągłej transformaty falkowej wykonano dla skal

liniowych z zakresu [1, 32] i [1, 64], zmieniających się z krokiem równym 0,5 i 1


126

5.6.3 Atrybuty chwilowe otrzymane dla danych rzeczywistych

za pomocą transformaty falkowej

Obliczenia atrybutów chwilowych na rzeczywistych rejestracjach akustycznych obrazów falowych

w otworze K6 wykonano według schematu przedstawionego na rysunku 5.31a oraz dla parametrów

przetwarzania określonych na podstawie badań opisanych w poprzednim podrozdziale.

Wybór falki, dla której obliczone atrybuty chwilowe najlepiej oddają charakter akustycznych

obrazów falowych i odzwierciedlają poszczególne pakiety falowe, został dokonany w oparciu

szczegółową analizę poszczególnych map czasowo-częstotliwościowych i odpowiadających im


25

0

[kH

z]

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]

25

0

[kH

z]

25

0

[kH

z]

25

0

[kH

z]

25

0

[kH

z]

25

0

[kH

z] σf(t); a jskala = 2 , = 1,..., 5

j

σf(t); a jskala = 2 , = 1,..., 6j

σf(t); skala liniowa [1, 32]

krok: 0,5


krok: 1


krok: 0,5


krok: 1

-5

5

0

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

Rys. 5.41 Chwilowa szerokość widma σf(t) obliczona na podstawie różnych

wariantów transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Coiflet 5.

Dla akustycznego obrazu falowego wf1 zarejestrowanego w anhydrycie górnym A1g (a) obliczono

chwilową szerokość widma na podstawie dyskretnej (b, c) i ciągłej (d-g) transformaty falkowej. Obliczenia

dyskretnej transformaty falkowej przeprowadzono dla skali diadycznej a = 2j, dla dwóch różnych poziomów

dekompozycji (j= 5 i j = 6). Obliczenia ciągłej transformaty falkowej wykonano dla skal liniowych z zakresu

[1, 32] i [1, 64], zmieniających się z krokiem równym 0,5 i 1


127

atrybutów chwilowych, obliczonych dla kilkudziesięciu wybranych rejestracji z różnych typów

litologicznych. Na rysunku 5.42 przedstawiono rozkłady współczynników falkowych dla

przykładowego sygnału wf1 zarejestrowanego w anhydrycie głównym, otrzymane dla każdej

z testowanej falki. Odpowiadające im chwilowa częstotliwość środkowa i chwilowa szerokość widma

są zaprezentowane odpowiednio na rysunkach 5.43 i 5.44. Współczynniki falkowe falki Coiflet 5 na

skalogramach charakteryzują się najlepszą rozdzielczością czasową i dobrą rozdzielczością

częstotliwościową spośród testowanych falek. Maksima współczynników CWT są dobrze

zlokalizowane wzdłuż osi czasu (nie rozbiegają się w formie „wachlarza”, ani nie układają się

skośnie). Rozdzielczość w domenie częstotliwości, reprezentowana jako „rozciągłość” maksimów

wzdłuż osi skali (częstotliwości) jest porównywalna z pozostałymi falkami. Lepszą lokalizację

w domenie częstotliwości wykazuje jedynie falka Morleta, która charakteryzuje się jednak większym

rozmyciem w domenie czasu, obserwowanym szczególnie dla niższych częstotliwości. Falka Gauss 5

wykazuje podobny charakter do rozkładu współczynników CWT falki Coiflet 5. Mapa czasowo-

częstotliwościowa dla tej pierwszej falki charakteryzuje się niewiele większym rozmyciem wzdłuż osi

czasu, za to trochę lepszą rozdzielczością w domenie częstotliwości. Współczynniki falkowe dla falki

Daubechies 8 mają tendencję do skośnego układania się w stronę początku sygnału, co w przypadku

analizowanych obrazów falowych skutkuje zaniżeniem częstotliwości, przede wszystkim fali S, na

skutek „podchodzenia” współczynników falkowych od pakietu wysokoamplitudowego pod obszar fali

S. Skośnie układają się również współczynniki falki Meyera, ale w stronę końca sygnału. Falka

Symlet 5, choć cechuje się bardzo wąskimi maksimami układającymi się równolegle wzdłuż osi skali,

wykazuje największe rozmycie wzdłuż tej osi, czyli charakteryzuje się słabą rozdzielczością

w domenie częstotliwości.

Powyższe obserwacje pozwalają odnieść się krytycznie do atrybutów chwilowych obliczonych

na podstawie różnych falek. Najmniejszym „zaufaniem” należy obdarzyć wyniki otrzymane dla falek:

Daubechies 8 oraz Symlet 5. Pozostałe falki nieznacznie różnią się między sobą pod względem

rozdzielczości czasowo-częstotliwościowej, a otrzymane atrybuty chwilowe pod względem wartości.

Wyniki obliczeń atrybutów chwilowych (chwilowej częstotliwości środkowej i chwilowej

szerokości widma) w sposób zbiorczy dla całego interwału głębokościowego przedstawiają rysunki:

5.45-46 dla obrazów wf1, 5.47-48 dla obrazów wf2, 5.49-50 dla obrazów wf3 oraz rysunki 5.51-52 dla

obrazów wf4. Chwilowa częstotliwość dominująca została również policzona, ale ponieważ wyniki są

bardzo zbliżone do chwilowej częstotliwości środkowej, dlatego ten atrybut nie został

zaprezentowany.


128

10

41

20

5

[kH

z]

ska

la

0,4 1,6 2,8 4,0[ms]

6

26

20

5

[kH

z]

ska

la

0,4 1,6 2,8 4,0[ms]

10

41

20

5

[kH

z]

ska

la

0,4 1,6 2,8 4,0

20

5

[kH

z]

ska

la

0,4 1,6 2,8 4,0[ms]

8

35

20

5

[kH

z]

ska

la

0,4 1,6 2,8 4,0[ms]

8

35

20

5

[kH

z]

ska

la

0,4 1,6 2,8 4,0[ms]

8

34

20

5

[kH

z]

ska

la

0,4 1,6 2,8 4,0[ms]

8

34

a) współczynniki CWT - falka Coiflet 5 b) współczynniki CWT - falka Daubechies 8

c) współczynniki CWT - falka Gauss 5 d) współczynniki CWT - falka Meyera

e) współczynniki CWT - falka Morleta f) współczynniki CWT - falka Symlet 5

0 5 10 15

skala kolorów współczynników CWT:

Rys. 5.42 Skalogramy ciągłej transformaty falkowej obliczone dla różnych falek (a-f) dla sygnału wf1

zarejestrowanego w anhydrycie głównym. Skalogramy zostały ograniczone do takiego zakresu skali, aby

obejmowały tylko częstotliwości z przedziału [5, 20 kHz]


129

Analizując chwilową częstotliwość środkową dla pojedynczych sygnałów na tle oryginalnych

obrazów falowych jednocześnie ze zbiorczymi zestawieniami tego atrybutu dla całego interwału

głębokości, można zaobserwować pewne prawidłowości:

− Początek fali P jest bardzo dobrze reprezentowany przez fi(t) i zaznacza się wyraźnym

zwiększeniem wartości tego atrybutu.

− W obrębie pakietu fali P obserwuje się stopniowe zmniejszanie wartości chwilowej

częstotliwości środkowej. Można wnioskować, że nie obserwuje się fal typu leaky modes, które

charakteryzują się dyspersją normalną i powinny zaznaczyć się zwiększeniem częstotliwości

pod koniec pakietu fali P.

− Pakiet fali S zaczyna się niższymi częstotliwościami niż początek fali P, lecz trochę wyższymi

niż koniec fali P. Z tego powodu granica między falą P i S jest mało wyraźna w niektórych

interwałach głębokościowych. Z końcem pakietu fali S występuje wyraźny wzrost

-5

5

0

wf1, rekord 800 (A3d)

25

0

[kH

z]

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]

25

0

[kH

z]

25

0

[kH

z]

25

0

[kH

z]

25

0

[kH

z]

25

0

[kH

z] f (t); i falka Coiflet 5

f (t); i falka Daubechies 8

f (t); i falka Gauss 5

f (t); i falka Meyera

f (t);i falka Morleta

f (t); i falka Symlet 5

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

Rys. 5.43 Chwilowa częstotliwość środkowa fi(t) obliczona z wykorzystaniem ciągłej transformaty falkowej

dla sygnału wf1 z anhydrytu głównego na podstawie różnych falek (map czasowo-częstotliwościowych

przedstawionych na rysunku 5.42)


130

częstotliwości chwilowej. Zjawisko to jest związane z dyspersją normalną fali pseudo-

Rayleigha.

− Pakiet wysokoamplitudowy jest reprezentowany na chwilowej częstotliwości środkowej jako

bardzo wyraźne obniżenie częstotliwości. To obniżenie zaczyna się kilkadziesiąt mikrosekund

wcześniej niż zaczynają się wysokie amplitudy tego pakietu falowego. Chwilowa częstotliwość

środkowa może wskazywać rzeczywisty czas przyjścia pakietu wysokoamplitudowego, którego

początek jest zamaskowany przez interferencję z występującymi wcześniej pakietami falowymi

(końcem fal pseudo-Rayleigha i fali S). Szerokość obniżenia częstotliwości atrybutu fi(t)

pozwala oszacować czas trwania tego pakietu falowego sięgający od około 300 µs do 400 µs,

w zależności od litologii.

− Za pakietem fali wysokoamplitudowej pojawiają się fale o bardzo wysokich chwilowych

częstotliwościach. Są to fale odbite i wielokrotnie odbite.

− W obrębie wapienia cechsztyńskiego Ca1 obserwuje się bardzo wyraźne obniżenie chwilowej

częstotliwości środkowej, szczególnie w podpoziomach Ca1_3, Ca1_4, Ca1_5 oraz Ca1_8,

które odpowiadają poziomom gazonośnym. Interesujące jest to, że największe obniżenie

częstotliwości chwilowej występuje dla większych czasów obrazów falowych (obszar fali

w płuczce i Stoneleya oraz dla późniejszych czasów).

Rozpatrując zmienność chwilowej częstotliwości środkowej wraz z głębokością widać, że atrybuty

chwilowe zmieniają się wraz z litologią. Anhydryty: A3d, A2d, A1g, dolomit główny Ca2 i piaskowce

P-ce, wyróżniają się w całym otworze się dość podobnym charakterem atrybutów chwilowych.

W obrębie piaskowców uwypukliły się zmiany związane najprawdopodobniej z zaileniem.

W anhydrycie górnym A1g fi(t) obserwuje się zaskakująco dość skomplikowany charakter i sporą

zmienność, co utrudnia interpretację atrybutów chwilowych w obrębie tej litologii. Z tego też powodu

wyjątkowo zrezygnowano z prezentowania wyników na przykładzie rekordu 1500 pochodzącego

z A1g, gdyż atrybuty chwilowe akurat dla tego sygnału nie są reprezentatywne dla całej litologii.

W zamian wyniki obliczeń atrybutów chwilowych na podstawie transformaty falkowej dla różnych

falek przedstawiono na przykładzie sygnału wf1 zarejestrowanego w anhydrycie głównym A3d

(rekord 800) (rys. 5.42-44).

Na podstawie chwilowej szerokości widma trudno wyciągnąć wnioski dotyczące fal na

akustycznych obrazach falowych, pomimo tego, można się dopatrzyć pewnej zmienności tego

atrybutu zarówno z głębokością (tj. litologią), jak i wzdłuż osi czasu.


131

wf1, rekord 800 (A3d)

25

0

[kH

z]

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]

25

0

[kH

z]

25

0

[kH

z]

25

0

[kH

z]

25

0

[kH

z]

25

0

[kH

z] σf(t); falka Coiflet 5

σf(t); falka Daubechies 8

σf(t); falka Gauss 5

σf(t); falka Meyera

σf(t); falka Morleta

σf(t); falka Symlet 5

-5

5

0

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

Rys. 5.44 Chwilowa szerokość widma σf(t) obliczona z wykorzystaniem ciągłej transformaty falkowej

dla sygnału wf1 z anhydrytu głównego na podstawie różnych falek (map czasowo-częstotliwościowych

przedstawionych na rysunku 5.42)


132

Rys. 5.45 Chwilowa częstotliwość środkowa fi(t) obliczona dla obrazów falowych wf1 z wykorzystaniem ciągłej

transformaty falkowej obliczonej dla różnych falek

(plik: Rys. 5.45-46 wf1 CWT fc fr.cdr; arkusz 1)


133

Rys. 5.46 Chwilowa szerokość widma σf(t) obliczona dla obrazów falowych wf1 z wykorzystaniem ciągłej




134





135





136





137





138





139





140

5.6.4 Badania na danych syntetycznych dla metody pogoń za

dopasowaniem

Podobnie jak dla transformaty falkowej, dla metody pogoń za dopasowaniem przeprowadzono badania

na danych syntetycznych. Ich celem było zapoznanie się z charakterem atrybutów chwilowych

obliczonych na podstawie map Wignera. W przypadku tej metody nie było potrzeby przeprowadzenia

specjalnych badań parametrycznych, gdyż obliczenia atrybutów chwilowych wykonano wprost na

dekompozycjach otrzymanych metodą MP.

Jako dane syntetyczne wykorzystano sygnał wf1_synt, który następnie poddano dekompozycji

na 20 atomów Gabora. Rozkład atomów na płaszczyźnie czas – częstotliwość (mapa Wignera)

posłużył obliczeniu atrybutów chwilowych. Na rysunku 5.53, na tle sygnału syntetycznego i jego

składowych, przedstawiono mapę Wignera oraz obliczone atrybuty chwilowe. Mają one zupełnie inny

charakter niż atrybuty otrzymane z transformaty falkowej. Wyróżniają się gładkim przebiegiem oraz

zerową wartością w tych miejscach na osi czasu, dla których algorytm MP nie dopasował żadnego

atomu Gabora. Podobnie jak dla transformaty falkowej, chwilowa częstotliwość środkowa

i dominująca mają zbliżone wartości i odzwierciedlają częstotliwości fal składowych sygnału.

Również chwilowa szerokość widma ma niższe wartości od wartości częstotliwości chwilowych.

Chwilowa częstotliwość środkowa i dominująca sygnalizują wcześniejsze przyjście fal składowych

niż to wynika z rzeczywistego położenia tych fal. Jest to wynikiem „rozmycia” atomów Gabora, tj. ich

czasu trwania, który jest określany za pomocą oktawy j. W efekcie każdy atom Gabora tworzy

„plamę” na płaszczyźnie czas – częstotliwość, chociaż środek atomu wyznacza dokładnie jego

położenie. Z tego też powodu zdecydowano zastosować mapy Wignera ograniczone do 30 kHz, a nie

20 kHz, aby atomy położone w pobliżu częstotliwości nadajnika były w całości wykorzystane do

obliczeń atrybutów chwilowych.

5.6.5 Atrybuty chwilowe otrzymane dla danych rzeczywistych

za pomocą metody pogoń za dopasowaniem

Atrybuty chwilowe obliczono według schematu przedstawionego na rysunku 5.31b. Dla wszystkich

obrazów falowych zastosowano dekompozycję MP na 60 atomów Gabora. Wszystkie atomy Gabora

mieszczące się na mapie Wignera ograniczonej do 30 kHz zostały wykorzystane do obliczenia

atrybutów chwilowych.

Rysunek 5.54 przedstawia atrybuty chwilowe na tle mapy Wignera dla przykładowego sygnału

wf1 zarejestrowanego w litologii A1g. Zbiorcze wyniki chwilowej częstotliwości środkowej

i chwilowej szerokości widma dla całego interwału głębokościowego dla wszystkich obrazów

falowych wf1÷wf4 prezentują odpowiednio rysunki 5.55-56. Chwilowa częstotliwość dominująca nie

jest prezentowana.


141

18

105

18

105

[kH

z]

[kH

z]

18

105

[kH

z]

wf1_synt

[kH

z]

25

0

[kH

z]

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]

25

0

[kH

z]

25

0

[kH

z] f (t)i

f (t)d

σf(t)

Mapa Wignera(metoda pogoń za dopasowaniem)

30

25

20

15

10

5

0

a)

b)

c)

-0,4

0,4

0

0,4

0

-0,4

0,4

0

-0,4

0,4

0

-0,4

skala

kolo

rów

ato

mów

Gab

ora

0

0,5

1,0

Pwf1_synt

Swf1_ synt

Stwf1_synt

Rys. 5.53 Atrybuty chwilowe obliczone dla sygnału syntetycznego wf1_synt na podstawie

metody pogoń za dopasowaniem.

Syntetyczny obraz falowy (a) został poddany dekompozycji na 20 atomów Gabora. Mapa Wignera,

ograniczona do 30 kHz (b), posłużyła od obliczenia atrybutów chwilowych (c). Na rysunku przerywanymi

liniami zaznaczono czasy przyjścia syntetycznych fal P, S i Stoneleya w celu prześledzenia zmian

atrybutów chwilowych pod kątem identyfikacji poszczególnych fal


142


25

0

[kH

z]

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 [ms]

25

0

[kH

z]

25

0

[kH

z] f (t)i

f (t)d

σf(t)

a)

b)

c)

-5

5

0

[kH

z]

30

25

20

15

10

5

0

Mapa Wignera(metoda pogoń za dopasowaniem)

skala

kolo

rów

ato

mó

w G

ab

ora

0

0,5

1,0

Rys. 5.54 Atrybuty chwilowe obliczone z wykorzystaniem metody pogoń z dopasowaniem

dla sygnału wf1 z anhydrytu górnego A1g.

Obraz falowy wf1 z A1g (a) został poddany dekompozycji na 60 atomów Gabora. Mapa Wignera,

ograniczona do 30 kHz (b), została wykorzystana do obliczenia atrybutów chwilowych (c). Na rysunku

przerywanymi liniami zaznaczono czasy przyjścia fal P, S i pakietu wysokoamplitudowego w celu

prześledzenia zmian atrybutów chwilowych pod kątem identyfikacji fal, wyznaczone w oparciu o zmiany

amplitud na akustycznym obrazie falowym

Analizując rysunki dla pojedynczych rejestracji oraz zbiorcze zestawienia dla całego interwału

głębokościowego można zaobserwować pewne charakterystyczne cechy atrybutów chwilowych

otrzymanych na podstawie metody pogoń za dopasowaniem:

− Fala P jest bardzo niedokładnie reprezentowana przez atomy Gabora. Z uwagi na czas trwania

atomów (tj. oktawę atomów Gabora j) czas przyjścia fali P na atrybutach chwilowych zaznacza

się wcześniej niż ma miejsce w rzeczywistości. Poszarpany charakter linii znaczącej początek


143

atrybutów chwilowych jest wynikiem zmiennego, ale generalnie słabego, odwzorowania fali P

w skali całego interwału głębokościowego. Przyczyną tych niedokładności są niskie amplitudy

fali P w stosunku do amplitud pozostałych fal na obrazie falowym. Mały udział tego pakietu

falowego w całkowitej energii sygnału powoduje, że algorytm MP uznaje falę P za mało istotną.

− W anhydrytach A3d, A2d, A1g, dolomicie głównym Ca2 oraz piaskowcach P-ce w obszarze

występowania fali S chwilowa częstotliwość środkowa ma wyraźny dwudzielny charakter: na

początku występują niższe częstotliwości, które przechodzą w częstotliwości wyższe. Takie

zjawisko jest wywołane dyspersją normalną fali pseudo-Rayleigha (wyższe mody tej fali

rozchodzą się z mniejszą prędkością i charakteryzują się wyższymi częstotliwościami).

Chwilowa częstotliwość środkowa pozwala więc na zidentyfikowanie na akustycznych obrazach

falowych silnie zakłócającej fali pseudo-Rayleigha.

− W anhydrytach A3d, A2d, A1g, dolomicie głównym Ca2 oraz piaskowcach P-ce obserwuje się

charakterystyczne obniżenie chwilowej częstotliwości środkowej fi(t), występujące w obszarze

pakietu wysokoamplitudowego. Jednocześnie, tam gdzie obserwowane jest obniżenie

częstotliwości chwilowej, występuje bardzo wyraźne podniesienie wartości chwilowej

szerokości widma. Te dwa atrybuty umożliwiają wyznaczenie występowania pakietu

wysokoamplitudowego.

− W poziomie wapienia cechsztyńskiego Ca1 obserwuje się bardzo wyraźne obniżenie chwilowej

częstotliwości środkowej, w szczególności w podpoziomach Ca1_3, Ca1_4, Ca1_5 oraz Ca1_8.

Te podpoziomy odpowiadają dokładnie strefom nasyconych gazem. Podobnie na jak na fi(t)

z CWT największe obniżenie częstotliwości związane z gazem obserwowane jest w obszarze

fali w płuczce i Stoneleya, chociaż jest również widoczne dla fali P oraz S.

− Wyniki obliczeń w solach (Na3_1, Na3_2, Na2) są mało wiarygodne z uwagi na złą jakość

danych, i trudno poddać je interpretacji. Przyczyną są niekorzystne warunki pomiarowe

wywołane bardzo dużym powiększeniem średnicy na skutek wymywania soli przez płuczkę.

− Na zbiorczych rysunkach atrybutów chwilowych można zaobserwować tendencję do

skokowego charakteru zmian atrybutów wzdłuż osi czasu ich pasmowy charakter wzdłuż osi

głębokości. Jest to efektem stosowania algorytmu MP z dyskretnym słownikiem Gabora, dla

którego podstawowe parametry atomów zmieniają się w sposób opisany w rozdziale 2.3.3.

Podsumowując otrzymane wyniki atrybutów chwilowych obliczonych w oparciu o metodę pogoń za

dopasowaniem, należy podkreślić duże możliwości tej metody do rozróżnienia fal obecnych na

akustycznych obrazach falowych. Interpretacja wyników jest tutaj łatwiejsza niż atrybutów

chwilowych otrzymanych na podstawie transformaty falowej. Chwilowa częstotliwość środkowa oraz

chwilowa częstotliwość dominująca są najbardziej czułe na zmiany częstotliwości związane z różnymi

falami akustycznymi. Chwilowa szerokość widma jest mniej użyteczna, aczkolwiek pozwoliła na

wyznaczenie występowania pakietu wysokoamplitudowego. Pakiet ten wyróżnia się spośród

pozostałych fal wyraźnie niższymi częstotliwościami chwilowymi oraz podwyższeniem chwilowej


144

szerokości widma. Obniżenie częstotliwości sięga 10-12 kHz, więc zbyt mało, aby można było uznać

ten pakiet jako niskoczęstotliwościową falę Stoneleya (z literatury wiadomo, że fale rurowe mają

częstotliwości rzędu kilku kHz, ale przy niższych niż stosowane w sondzie LSS częstotliwościach

źródeł).

Opis metody oraz otrzymane wyniki zostały zgłoszone na najbliższą konferencję EAGE

Conference & Exhibition (Wawrzyniak 2007).


145

Rys. 5.55 Chwilowa częstotliwość środkowa fi(t) obliczona dla obrazów falowych wf1, wf2, wf3 i wf4 z

wykorzystaniem metody pogoń za dopasowaniem

(plik: Rys. 5.55-56 fc fr MP.cdr; arkusz 1)


146

Rys. 5.56 Chwilowa szerokość widma σf(t) obliczona dla obrazów falowych wf1, wf2, wf3 i wf4 z

wykorzystaniem metody pogoń za dopasowaniem

(plik: Rys. 5.55-56 fc fr MP.cdr; arkusz 2)

6. Podsumowanie i wnioski

147

Rozdział 6

Podsumowanie

Celem pracy była analiza akustycznych obrazów falowych w aspekcie zwiększenia informacji

o parametrach sprężystych i zbiornikowych skał. Dynamiczne parametry sprężyste skał są możliwe do

wyznaczenia na podstawie prędkości fal P i S wyznaczonych z zapisów AOF wykonanych

w warunkach in situ. Wiarygodność wyznaczenia dynamicznych modułów sprężystości zależy od

poprawności rejestracji i właściwie dobranej metodyki przetwarzania akustycznych obrazów

falowych. Dokładność wyznaczenia liczbowych wartości modułów sprężystości zależy od dokładności

określenia czasów interwałowych fali P i S. Podobne stwierdzenia można odnieść do obliczenia

porowatości ogólnej na podstawie znajomości czasu interwałowego fali P i S. Do chwili obecnej

porowatość, obok zawartości wody związanej w skale, jest najczęściej wykorzystywana do obliczenia

przepuszczalności. Przepuszczalność wyznaczona na podstawie czasu interwałowego fali Stoneleya

jest wielkością niezależną od porowatości ogólnej, wyznaczonej na podstawie np. czasu

interwałowego fali P.

Metody obliczania dynamicznych parametrów sprężystych, porowatości i przepuszczalności na

podstawie znajomości czasów interwałowych fal P, S i Stoneleya opierają się na niekwestionowanych

relacjach opisujących fizyczne zależności. Zatem, najważniejsze jest dokładne wyznaczenie czasów

interwałowych DTP, DTS i DTSt. W pracy skupiono się na tym problemie, zakładając, że podniesienie

dokładności wydzielania pakietów wyżej wspomnianych fal i zwiększenie efektywności przetwarzania

AOF przyczyni się do poprawnej oceny parametrów sprężystych i zbiornikowych.

Punktem wyjścia przeprowadzonych badań było potraktowanie akustycznych obrazów falowych

jako sygnałów niestacjonarnych, składających się z fal akustycznych, które różnią się między sobą

pod względem położenia na osi czasu oraz częstotliwości. Do przetwarzania AOF, prowadzonego

w kierunku rozdzielenia pola falowego, zaproponowano wykorzystanie metod czasowo-

częstotliwościowych. Powyższe stwierdzenia posłużyły do sformułowania tezy pracy.

Zróżnicowanie częstotliwościowe pakietów falowych jest mniej oczywiste niż czasowe i jest

rzadziej wykorzystywane w analizie akustycznych obrazów falowych. Dlatego na początku wykonano

za pomocą transformaty Fouriera analizę fragmentów obrazów falowych odpowiadających falom P

i S. Analiza była przeprowadzona w sposób zgrubny, gdyż miała charakter rozpoznawczy,


148

pozwalający ocenić, czy fale różnią się pod względem częstotliwości. Wykazała, że oba pakiety

falowe wykazują nieznaczne zróżnicowanie składu częstotliwościowego. Była to istotna informacja

z punktu widzenia dalszych badań. Pokazała, że przy przetwarzaniu akustycznych obrazów falowych

większe znaczenie będzie miało kryterium czasowe.

Do analizy czasowo-częstotliwościowej akustycznych obrazów falowych zaproponowano trzy

metody: dyskretną transformatę falkową (DWT), ciągłą transformatę falkową (CWT) oraz metodę

pogoń za dopasowaniem (MP). Każdą z nich dokładnie przetestowano pod kątem zdolności do

rozdzielenia pola falowego. Metoda pogoń za dopasowaniem wykazała się najlepszą rozdzielczością

i jako jedyna pozwoliła na rozdzielenie pola falowego i przeprowadzenie interpretacji ilościowej.

W wyniku otrzymano czasy interwałowe DTP, DTS, DTSt oraz DTPł, obliczone na pakietach

falowych wydzielonych z AOF. Dodatkowo, obliczone czasy interwałowe pozwoliły na

zidentyfikowanie charakterystycznego pakietu wysokoamplitudowego jako fali w płuczce.

Wyznaczone czasy interwałowe wykorzystano do obliczenia stosunku prędkości fali Stoneleya do fali

w płuczce (VSt/VPł). Został on wykorzystany do oceny jakości czasu interwałowego wydzielonej

algorytmem MP fali Stoneleya. DTSt_MP w wapieniu cechsztyńskim znacząco odbiegał od

DTSt_oryg otrzymanego z nierozdzielonych obrazów oryginalnych. Otrzymane czasy interwałowe

można również wykorzystać do obliczenia dynamicznych modułów sprężystości.

Przeprowadzone badania wykazały, że reprezentacje czasowo-częstotliwościowe akustycznych

obrazów falowych można wykorzystać w znacznie szerszym kontekście interpretacyjnym, niż

otrzymanie czasów interwałowych na podstawie rozdzielonego pola falowego. Zastosowanie ciągłej

transformaty falkowej, metody pogoń za dopasowaniem oraz atrybutów chwilowych obliczonych na

bazie powyższych metod, rozszerza możliwości interpretacji jakościowej obrazów falowych,

w szczególności wykresów czasowo-głębokościowo-amplitudowych.

Na podstawie ciągłej transformaty falkowej skonstruowano wykresy czasowo-głębokościowo-

częstotliwościowe dla wybranej częstotliwości. Oglądając poszczególne wykresy (dla różnych

częstotliwości) można prześledzić, które pakiety falowe w danym typie litologicznym dominują dla

określonej częstotliwości, co można wykorzystać do identyfikacji fal. Wykresy te okazują się

pomocne przy wskazywaniu stref o obniżonych częstotliwościach, związanych np. z występowaniem

stref gazonośnych czy stref zwiększonego zailenia.

Metoda pogoń za dopasowaniem umożliwiła rozdzielenie pola falowego i przedstawienie go

jako osobnych pakietów fal akustycznych. Wyselekcjonowane fale wykorzystano do określenia

czasów interwałowych. Osobnym zagadnieniem, ważnym z punktu widzenia przydatności

profilowania akustycznego, jest możliwość poprawnej oceny amplitud fal w wydzielonych pakietach.

Uwolnienie AOF od szumów oraz wykluczenie efektów interferencji dzięki proponowanym

dekompozycjom, poszerza potencjalne możliwości zastosowania wydzielonych pakietów falowych

o zagadnienia związane z wykorzystaniem amplitud poszczególnych fal akustycznych.

Ciągłą transformatę falkową oraz metodę pogoń za dopasowaniem wykorzystano również do

obliczenia atrybutów chwilowych (chwilowej częstotliwości środkowej i dominującej oraz chwilowej


149

szerokości widma). Połączenie obu technik: analiz czasowo-częstotliwościowych i atrybutów

chwilowych, umożliwiło obserwowanie chwilowych zmian w sygnale spowodowanych zmianami

częstotliwości. Są one związane ze zmianami własności sprężystych i zbiornikowych skał oraz

rejestrowaniem fal akustycznych o różnej charakterystyce częstotliwościowej.

W pracy przedstawiono wyniki szczegółowych badań przeprowadzonych na AOF traktowanych

jako sygnały niestacjonarne. Zostały wykonane na trudnym do interpretacji materiale polowym

zarejestrowanym z użyciem sondy LSS pracującej ze źródłem wysokoczęstotliwościowym.

Zaproponowane procedury przetwarzania sygnałów w nowatorski sposób zostały wykorzystane do

analizy akustycznych obrazów falowych. Prezentowane rozważania mają również charakter

uniwersalny. Uzyskane wyniki mogą być z powodzeniem wykorzystane przy przetwarzaniu zapisów

falowych wykonanych innymi typami sond akustycznych, jak np. sondą Full Wave Sonic stosowaną

obok urządzenia LSS przez Spółki Geofizyka Kraków i Geofizyka Toruń.

Prezentowane w pracy narzędzia analizy sygnałów zostały sprawdzone na syntetycznych

obrazach, pokazano ich cechy, łącznie z niedoskonałościami rzutującymi na wyniki przetwarzania.

Wykonano wszechstronne badania dostępnych metod w zakresie przetwarzania czasowo-

częstotliwościowego i zaproponowano spójne procedury pozwalając na uzyskanie informacji o ciągle

tych samych parametrach, czasach interwałowych i amplitudach, ale w oparciu o inne, nie

wykorzystywane do tej pory właściwości. Przedstawiona metodyka opracowania akustycznych

obrazów falowych nie neguje wykorzystywanych dotychczas procedur. Powinna być stosowana obok

już dobrze rozpoznanych i oprogramowanych algorytmów. Pokazuje jednak nowe możliwości

uzupełnienia akustycznego obrazu badanych ośrodków skalnych. Metody automatycznej interpretacji,

chętnie adaptowane do komputerowych systemów interpretacyjnych, wymagają poprawnego

wyznaczenia podstawowych parametrów, czyli czasów interwałowych fal akustycznych, a także ich

amplitud. W prezentowanej pracy przedstawiono dodatkowe kryteria i metodykę identyfikacji

pakietów fal P, S i Stoneleya, które mogą być użyte zarówno w automatycznym przetwarzaniu AOF

na skalę przemysłową, jak i w szczegółowych badaniach studialnych.

Spis rysunków

150

Spis rysunków

Rys. 2.1 Klasyfikacja sygnałów – podział na sygnały deterministyczne i losowe........................................... 6

Rys. 2.2 Klasyfikacja sygnałów – podział na sygnały ciągłe i dyskretne ........................................................ 6

Rys. 2.3 Ilustracja graficzna sygnału analogowego (a) oraz sygnałów dyskretnych: dyskretnego

czasu ciągłego – powstałego w wyniku kwantyzacji amplitudy (b), ciągłego czasu

dyskretnego – powstałego w wyniku próbkowania osi czasu (c) i dyskretnego czasu

dyskretnego – powstałego w wyniku kwantyzacji i próbkowania sygnału

analogowego (d)................................................................................................................................. 7

Rys. 2.4 Przykłady funkcji analizujących w transformacie Fouriera (a) oraz przykład

dekompozycji sygnału względem falek Morleta (b) .......................................................................... 9

Rys. 2.5 Przykłady konfiguracji atomów na płaszczyźnie czas – częstotliwość dla krótkoczasowej

transformaty Fouriera STFT (a) i transformaty falkowej (b) ........................................................... 10

Rys. 2.6 Przykłady funkcji analizujących wykorzystywanych w krótkoczasowej transformacie

Fouriera STFT (a), transformacie falkowej (b) i pogoni za dopasowaniem (c)

(na podstawie Durka 1999-2004, zmienione) .................................................................................. 13

Rys. 2.7 Reprezentacje gęstości energii sygnału niestacjonarnego uzyskanych różnymi metodami

czasowo– częstotliwościowymi ....................................................................................................... 15

Rys. 2.8 Przykład falek stosowanych w transformacie falkowej: falka Morleta i jej przeskalowana

wersja (a) wraz z ich widmami amplitudowymi (b)......................................................................... 18

Rys. 2.9 Schemat realizacji ciągłej transformaty falkowej CWT (na podstawie Misiti et al.

1997-2006)....................................................................................................................................... 19

Rys. 2.10 Schemat obliczania dyskretnej transformaty falkowej DWT (na podstawie Polikar 1994)............. 21

Rys. 2.11 Parametry atomów Gabora............................................................................................................... 25

Rys. 3.1 Akustyczny obraz falowy (na podstawie Minear i Fletcher (1983), zmienione) ............................. 28

Rys. 3.2 Zasada obliczania czasu interwałowego DT w standardowych profilowaniach

akustycznych.................................................................................................................................... 29

Rys. 3.3 Schemat sondy Long Spaced Sonic firmy Halliburton Energy Services (na podstawie

Gądek et al. 1997)............................................................................................................................ 31

Rys. 3.4 Schemat obliczania czasów interwałowych DT8 (a) i DT10 (b) dla sondy LSS

(na podstawie: Gądek et al. 1997).................................................................................................... 35

Rys. 3.5 Przebieg promieni w otworze wiertniczym fal: P, S i prowadzonych (na podstawie

Minear i Fletcher 1983).................................................................................................................... 38

Spis rysunków

151

Rys. 3.6 Teoretyczne widmo amplitudowe obrazu falowego zawierającego fale czołowe

(na podstawie Hearst et al. 2000)..................................................................................................... 39

Rys. 3.7 Krzywe dyspersji fal pseudo-Rayleigha i Stoneleya (na podstawie Paillet i White 1982)............... 40

Rys. 3.8 Charakterystyka fali Stoneleya w zależności od częstotliwości środkowej i szerokości

widma sygnału źródłowego (na podstawie Paillet i White 1982, zmienione).................................. 41

Rys. 3.9 Syntetyczne obrazy falowe w utworach o niskich prędkościach fal sprężystych (łupkach)

otrzymane dla różnych prędkości fali S (na podstawie Minear i Fletcher 1983) ............................. 43

Rys. 3.10 (część I) Charakter obrazów falowych w zależności od częstotliwości nadajnika

(na podstawie 2SAA-1000/F Sonic Probe Operator Manual 2002) ................................................. 44

Rys. 3.10 (część II) Charakter obrazów falowych w zależności od częstotliwości nadajnika

(na podstawie 2SAA-1000/F Sonic Probe Operator Manual 2002) ................................................. 45

Rys. 3.11 Rozkład energii poszczególnych fal na obrazie falowym (na podstawie Paillet 1991).................... 46

Rys. 4.1 Lokalizacja otworu K6..................................................................................................................... 50

Rys. 4.2 Wybrane profilowania geofizyki otworowej wykonane w otworze K6 wraz

z rozwiązaniem litologicznym i nasyceniem przestrzeni porowej ................................................... 54

Rys. 4.3 Przykładowe akustyczne obrazy falowe z wybranych litologii ....................................................... 55

Rys. 4.4 Sygnał oryginalny (a) i przygotowany do analiz czasowo-częstotliwościowych (b) (obraz

falowy wf1, rekord 1500, A1g)........................................................................................................ 57

Rys. 5.1 Para obrazów falowych złożona z syntetycznych sygnałów wf1_synt (a) i wf3_synt (b) ............... 59

Rys. 5.2 Widma amplitudowe (a) oraz przebiegi falowe (b) akustycznych obrazów falowych

zarejestrowanych bliższym (kolor czerwony) i dalszym (kolor niebieski) rejestratorem ................ 61

Rys. 5.3 Akustyczne obrazy falowe wf1, wf2, wf3, wf4 wraz z zaznaczonymi czasami przyjścia

fal P (TP), S (TS) i pakietu wysokoamplitudowego (Tpł/St) w poszczególnych litologiach................ 63

Rys. 5.4 Pakiety falowe P i S wydzielone z akustycznych obrazów falowych i znormalizowane

do wartości z przedziału [-1, 1] (a). Widma mocy pakietów P i S znormalizowane

do wartości z przedziału [0, 1]. Na rysunku zaznaczono progi równe 0,4 i 0,7, powyżej

których zliczane były maksima lokalne widm (b)............................................................................ 64

Rys. 5.5 Histogramy składu częstotliwościowego pakietów P i S ................................................................. 65

Rys. 5.6 Dekompozycja sygnału syntetycznego dyskretną transformatą falkową DWT ............................... 68

Rys. 5.7 Dekompozycja sygnału sinusoidalnego sin_13kHz dyskretną transformatą falkową DWT............ 69

Rys. 5.8 Dekompozycja DWT pary obrazów falowych wf1-wf3, próbkowanych z krokiem 4 µs................ 70

Rys. 5.9 Dekompozycja DWT pary obrazów falowych wf1-wf3, próbkowanych ze zmienionym

krokiem równym 12 µs .................................................................................................................... 73

Rys. 5.10 Podstawowa falka Morleta (na zielono) i sygnał okresowy o częstotliwości równej

częstotliwości środkowej falki (na granatowo) ................................................................................ 76

Rys. 5.11 Zależność między skalą i częstotliwością środkową skalowanej falki Morleta fa

(pseudoczęstotliwością), obliczona dla akustycznych obrazów falowych próbkowanych

z krokiem 4 µs.................................................................................................................................. 77

Rys. 5.12 Widma amplitudowe falek Moleta zastosowanych do analizy akustycznych obrazów

falowych próbkowanych z krokiem 4 µs (przedstawiono widma dla skal z zakresu

[10, 32]) ........................................................................................................................................... 77

Spis rysunków

152

Rys. 5.13 Syntetyczny sygnał wf1_synt (a) i jego dekompozycja CWT falką Morleta przedstawiona

w formie wykresu 3D (b) oraz mapy na płaszczyźnie czas – skala (częstotliwość) (c) ................... 79

Rys. 5.14 Współczynniki CWT falki Morleta wykreślone dla skal odpowiadających

częstotliwościom syntetycznych fal składowych sygnału wf1_synt ................................................ 80

Rys. 5.15 Akustyczny obraz falowy wf1 z A1g (a) oraz wynik dekompozycji ciągłą transformatą

falkową (b-e) wraz ze zidentyfikowanymi falami akustycznymi..................................................... 81

Rys. 5.16 Akustyczny obraz falowy wf1 z A1g (a) oraz wynik dekompozycji ciągłą transformatą

falkową (b-e) po obliczeniu obwiedni współczynników falkowych ................................................ 82

Rys. 5.17 Schemat otrzymania wykresów czasowo-częstotliwościowo-głębokościowych

obliczonych w oparciu o ciągłą transformatę falkową ..................................................................... 84

Rys. 5.18 (część I) Wykresy czasowo-głębokościowo-częstotliwościowe otrzymane na podstawie

ciągłej transformaty falkowej dla wybranych skal (skala a = 10, 11, 12, 13, 14 i 15) ..................... 86

Rys. 5.18 (część II) Wykresy czasowo-głębokościowo-częstotliwościowe otrzymane na podstawie

ciągłej transformaty falkowej dla wybranych skal (skala a = 17, 18, 20, 22, 25 i 34) ..................... 87

Rys. 5.19 Wykresy czasowo-głębokościowo-częstotliwościowe przedstawiające fragment obrazów

falowych (do pakietu wysokoamplitudowego) w dolomicie głównym Ca2 (a, b) oraz

piaskowcach karbońskich P-ce (c, d) dla skali a = 17 (12 kHz) (a, c) i a = 11 (18,5 kHz)

(b, d)................................................................................................................................................. 88

Rys. 5.20 Rdzeń i czynnik korygujący dla sygnału przesuniętego o 1 próbkę (a) i 50 próbek (b) .................. 92


dekompozycja sygnału ABC zbudowanego z trzech elementów różniących się jedynie

częstotliwością ................................................................................................................................. 93


dekompozycja sygnału A’B’C’ zbudowanego z trzech elementów różniących się

częstotliwością oraz położeniem...................................................................................................... 94

Rys. 5.23 Wpływ ilości atomów dekompozycji na dokładność analizy na przykładzie sygnału

syntetycznego wf1_synt (a, b) i sygnału zaszumionego wf1_synt_rand (c, d) ................................ 96

Rys. 5.24 Schemat rozdzielenia pola falowego metodą pogoń za dopasowaniem i określenia czasów

interwałowych pakietów falowych na przykładzie pary syntetycznych obrazów falowych

wf1_synt-wf3_synt .......................................................................................................................... 97

Rys. 5.25 Schemat rozdzielenia pola falowego i rekonstrukcji fal akustycznych za pomocą metody

pogoń za dopasowaniem na przykładzie sygnału syntetycznego wf1_synt ..................................... 99

Rys. 5.26 Schemat dekompozycji akustycznych obrazów falowych na przykładzie sygnału wf1

zarejestrowanego w anhydrycie górnym A1g................................................................................ 103

Rys. 5.27 Rozdzielone pole falowe akustycznych obrazów falowych za pomocą metody pogoń

za dopasowaniem ........................................................................................................................... 104

Rys. 5.28 Schemat blokowy badań prowadzących do otrzymania czasów interwałowych

i częstotliwości fal akustycznych wydzielonych z obrazów falowych metodą pogoń

za dopasowaniem ........................................................................................................................... 106

Rys. 5.29 Czasy interwałowe i częstotliwości fal akustycznych rozdzielonych metodą pogoń

za dopasowaniem ........................................................................................................................... 109

Spis rysunków

153

Rys. 5.30 Uśrednione miary widma częstotliwościowego na przykładzie sygnału Rickera

(częstotliwość środkowa, częstotliwość dominująca i szerokość widma) ..................................... 112

Rys. 5.31 Schemat obliczeń atrybutów chwilowych dla akustycznych obrazów falowych (AOF)

na podstawie transformaty falkowej (a) i metody pogoń za dopasowaniem (b) ............................ 113


transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Coiflet 5 ............................................................... 116


transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Daubechies 8 ....................................................... 117


transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Gauss 5 ................................................................ 118


transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Meyera................................................................. 119


transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Morleta ................................................................ 120


transformaty falkowej z wykorzystaniem falki Symlet 5............................................................... 121


z wykorzystaniem dyskretnej transformaty falkowej..................................................................... 123


z wykorzystaniem ciągłej transformaty falkowej........................................................................... 124

Rys. 5.40 Chwilowa częstotliwość środkowa fi(t) obliczona na podstawie różnych wariantów


Rys. 5.41 Chwilowa szerokość widma σf(t) obliczona na podstawie różnych wariantów


Rys. 5.42 Skalogramy ciągłej transformaty falkowej obliczone dla różnych falek (a-f) dla sygnału

wf1 zarejestrowanego w anhydrycie głównym. Skalogramy zostały ograniczone

do takiego zakresu skali, aby obejmowały tylko częstotliwości z przedziału [5, 20 kHz]............. 128

Rys. 5.43 Chwilowa częstotliwość środkowa fi(t) obliczona z wykorzystaniem ciągłej transformaty

falkowej dla sygnału wf1 z anhydrytu głównego na podstawie różnych falek (map

czasowo-częstotliwościowych przedstawionych na rysunku 5.42)................................................ 129

Rys. 5.44 Chwilowa szerokość widma σf(t) obliczona z wykorzystaniem ciągłej transformaty

falkowej dla sygnału wf1 z anhydrytu głównego na podstawie różnych falek (map

czasowo-częstotliwościowych przedstawionych na rysunku 5.42)................................................ 131

Rys. 5.45 Chwilowa częstotliwość środkowa fi(t) dla obrazów falowych wf1 z wykorzystaniem

ciągłej transformaty falkowej obliczonej dla różnych falek........................................................... 132

Rys. 5.46 Chwilowa szerokość widma σf(t) dla obrazów falowych wf1 z wykorzystaniem ciągłej

transformaty falkowej obliczonej dla różnych falek ...................................................................... 133





Spis rysunków

154





Rys. 79 Chwilowa częstotliwość środkowa fi(t) dla obrazów falowych wf4 z wykorzystaniem




Rys. 5.52 Atrybuty chwilowe obliczone dla sygnału syntetycznego wf1_synt na podstawie metody

pogoń za dopasowaniem ................................................................................................................ 141

Rys. 5.53 Atrybuty chwilowe obliczone z wykorzystaniem metody pogoń z dopasowaniem dla

sygnału wf1 z anhydrytu górnego A1g .......................................................................................... 142

Rys. 5.54 Chwilowa częstotliwość środkowa fi(t) obliczona dla obrazów falowych wf1, wf2, wf3

i wf4 z wykorzystaniem metody pogoń za dopasowaniem............................................................ 145

Rys. 5.55 Chwilowa szerokość widma σf(t) obliczona dla obrazów falowych wf1, wf2, wf3 i wf4

z wykorzystaniem metody pogoń za dopasowaniem ..................................................................... 146

Spis tabel

155

Spis tabel

Tabela 3.1 Parametry techniczne sondy LSS (na podstawie: Gądek et al. 1997, Dokumentacja

techniczna sondy LSS 1992).............................................................................................................33

Tabela 3.2 Wykaz obrazów falowych rejestrowanych sondą LSS z odpowiadającymi im parami

nadajnik – odbiornik oraz długością rozstawu..................................................................................33

Tabela 3.3 Charakterystyka par obrazów falowych............................................................................................36

Tabela 4.1 Tabela litostratygraficzna utworów w otworze K6 wraz z podziałem akustycznych

obrazów falowych wykonanym na podstawie litostratygrafii (Gądek et al. 1997,

Jarzyna et al. 2001) i charakteru zapisów falowych .........................................................................51

Tabela 5.1 Parametry sygnałów syntetycznych ..................................................................................................59

Tabela 5.2 Zakresy częstotliwości i częstotliwość charakterystyczna (objaśnienie w tekście) fali P i S

dla różnych typów litologicznych skał..............................................................................................64

Tabela 5.3 Zakres badanych częstotliwości na kolejnych poziomach dekompozycji DWT w [rad/s]

(Polikar 1994) oraz w [kHz] dla sygnałów próbkowanych z krokiem

4 µs oraz 12 µs ..................................................................................................................................72

Tabela 5.4 Przykłady czasów interwałowych dla fali P i S uzyskane różnymi metodami dla pary

wf1-wf3, prezentowanej na rysunku 5.9 ...........................................................................................74

Tabela 5.5 Położenie p atomów Gabora dla sygnału Stwf1_synt oraz sygnałów przesuniętych

Stwf1_synt_shift ...............................................................................................................................91

Tabela 5.6 Parametry atomów Gabora otrzymane w wyniku dekompozycji sygnału syntetycznego

wf1_synt. Kolorami przedstawiono wybrane atomy reprezentujące syntetyczne fale P, S

i Stoneleya.........................................................................................................................................98

Literatura

156

Literatura

Rozdział 1:

[1] Arditty P. C., Falt U., Mathieu F., i Staron P., 1991. Characterization of fractured hydrocarbon reservoirs

using the EVA acoustic logging tool. The Log Analyst, 32, 3, 215-232.

[2] Audet P. i Mareschal J-C., 2007. Wavelet analysis of the coherence between Bouguer gravity and

topography: application to the elastic thickness anisotropy in the Canadian Shield. Geophysical Journal

International, 168, 1, 287-298.

[3] Bardainne T., Gaillot P., Dubos-Sallée N., Blanco J. i Sénéchal G., 2006. Characterization of seismic

waveforms and classification of seismic events using chirplet atomic decomposition. Example from the

Lacq gas field (Western Pyrenees, France). Geophysical Journal International, 166, 2, 699-718.

[4] Broding R. A. i Buchanan L. K., 1986. A sonic technique for cement evaluation. SPWLA 27th

Annual

Logging Symposium Transaction, Dallas, Texas, USA, paper GG, 1–16.

[5] Castagna J. P. i Sun S., 2006. Comparison of spectral decomposition methods. First Break, 24, 3, 75-79.

[6] Castagna J. P., Sun S. i Siegfried R. W., 2003. Instantaneous spectral analysis: detection of low-frequency

shadows associated with hydrocarbons. The Leading Edge, 22, 2, 120-127.

[7] Chakraborty A. i Okaya D., 1995. Frequency-time decomposition of seismic data using wavelet-based

methods. Geophysics, 60, 6, 1906-1916.

[8] Cooper G. R. J., 2006. The interpretation of potential field data using continuous wavelet transform.

EAGE 68th

Conference & Exhibition, Vienna, Austria, paper C002,1-5.

[9] Dessing F., 1997. A wavelet transform approach to seismic processing. PhD Thesis. Delft University of

Technology, Faculty of Applied Physics, Laboratory of Seismics and Acoustics, Delft, The Netherlands,

1-261.

[10] Dillon P. B. i Collyer V. A., 1985. On timing the VSP first arrival. Geophysical Prospecting, 33, 8,

1174-1194.

[11] Douma H. http://geoweb.princeton.edu/people/douma/personal/index.html (luty 2007).

[12] Droujinine A., 2006. Theory and seismic applications of the eigenimage discrete wavelet transform.

Geophysical Prospecting, 54, 4, 441-461.

[13] Faqi L., Kabir M. M. N. i Verschuur D. J., 1995. Seismic processing using the wavelet and the Radon

transform. Journal of Seismic Exploration, 4, 375-390.

[14] Fomel S. http://lcd.siva.free.fr/Documents-WITS-starlet/Fomel_S_2006_seg_tow_st.pdf (luty 2007).

[15] Herrmann F. J. http://www.eos.ubc.ca/about/Publications/F.Herrmann.html (luty 2007).

[16] Herve C. http://www.geophy.ensmp.fr/~herve/ (luty 2007).

[17] Kokesh F. P., Schwartz R. J., Wall W. B. i Morris R. L., 1964. A new approach to sonic logging and other

acoustic measurements. Journal of Petroleum Technology, March, 282-286.

[18] Li X-P., 1998. Wavelet power spectrum analysis of heterogeneities from sonic velocity logs. Geophysical

Prospecting, 46, 5, 455-475.

[19] Sinha S., Routh P. S., Anno P. D. i Castagna J. P., 2005. Spectral decomposition of seismic data with

continuous-wavelet transform. Geophysics, 70, 6, P19-P25.

Literatura

157

[20] Stockwell R. G., Mansinha L. i Lowe R. P., 1996. Localization of the complex spectrum: the S transform.

IEEE Transaction on Signal Processing, 44, 4, 998-1001.

[21] Verhelst F., 1998. Wavelet attributes for geological characterization. DELPHI IX, Chapter 16, 1-35.

[22] Williams D. M., Zemanek J., Angona F. A., Dennis C. L. i Caldwell R. L.,1984. The long spaced acoustic

logging tool. SPWLA 25th

Annual Logging Symposium Transaction New Orleans, Louisiana, USA,

paper T, 1-16.

[23] Zabihi N. E. i Siahkoohi H. R., 2006. Time-frequency analysis. EAGE 68th

Conference & Exhibition,

Vienna, Austria, paper P091, 1-7.

[24] Zemanek J., Glenn E. E., Norton L. J. i Caldwell R. L., 1970. Formation evaluation by inspection with the

borehole televiewer. Geophysics, 35, 2, 254-269.

[25] Zemanek J., Williams D. M., i Schmitt D. P., 1991. Shear-wave logging using multipole sources. The Log

Analyst, 32, 3, 233-241.

Rozdział 2:

[26] Augustyniak P., 2003. Transformacje falkowe w zastosowaniach elektrodiagnostycznych. Uczelniane

Wydawnictwa Naukowo–Dydaktyczne AGH, Kraków, 1–164.

[27] Bendat J. S i Piersol A. G., 1976. Metody analizy i pomiaru sygnałów losowych. Państwowe

Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1–488.

[28] Białasiewicz J. T., 2000. Falki i aproksymacje. Wydawnictwa Naukowo–Techniczne, Warszawa, 1–288.

[29] Bracewell R. N., 1968. Przekształcenie Fouriera i jego zastosowania. Wydawnictwa Naukowo–

Techniczne, Warszawa, 1–413.

[30] Daubechies I., 1992. Ten lectures on wavelets. SIAM, Philadelphia, 1–357.

[31] Durka P. J., 1999-2004. Między czasem a częstością: elementy współczesnej analizy sygnałów.

http://brain.fuw.edu.pl/~durka/as/ (luty 2007).

[32] Hall M., 2006. Resolution and uncertainty in spectral decomposition. First Break, 24, 12, 43-47.

[33] Kaiser G., 1994. A friendly guide to wavelets. Birkhäuser, Boston, 1–300.

[34] Leśniak A., 1999. Zastosowanie czasowo-częstotliwościowej funkcji koherencji do analizy

szerokopasmowych danych sejsmicznych. Uczelniane Wydawnictwa Naukowo–Dydaktyczne AGH,

Kraków, 1–105.

[35] Mallat S. i Zhang Z., 1993. Matching Pursuit with time-frequency dictionaries. IEEE Transactions on

Signal Processing, 41, 12, 3397–3415.

[36] Mallat S., 1998. A wavelet tour of signal processing. Academic Press, San Diego, 1–723.

[37] Misiti M., Misiti Y., Oppenheim G. i Poggi J-M., 1997-2006. Wavelet toolbox for use with Matlab®

. The

MathWorks, Inc. User’s Guide Online.

http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/pdf_doc/wavelet/wavelet_ug.pdf (luty 2007).

[38] Polikar R., 1994. The Wavelet Tutorial. http://users.rowan.edu/~polikar/research/publications/ (luty 2007).

[39] Roberts M. J., 2004. Signals and systems: analysis using transform methods and MATLAB®

. Mc-Graw

Hill Higher Education, Boston, 1–1054.

[40] Zieliński T. P., 2002. Od teorii do cyfrowego przetwarzania sygnałów. Wydział EAIiE AGH, Kraków,

1–576.

Rozdział 3:

[41] 2SAA-1000/F Sonic Probe Operators Manual, 2002. Mount Sopris Instrument Co., Inc.

http://www.mountsopris.com/PDF%20Documents/2SAA-1000FSonicProbe_OpMan.pdf (luty 2007).

Literatura

158

[42] Baker L. J., 1984. The effect of the invaded zone on full wavetrain acoustic logging. Geophysics, 49, 6,

796-809.

[43] Bała M. i Jarzyna J., 1992. Wyznaczanie parametrów sprężystych ośrodka na podstawie otworowych

pomiarów akustycznych obrazów falowych i pomiarów gęstości. Zeszyty Naukowe AGH, Zeszyt 12,

69-90.

[44] Bała M. i Jarzyna J., 1996. Application of acoustic full wavetrains for the determination of lithology,

reservoir and mechanical parameters of formation. Geophysical Prospecting, 44, 5, 761-787.

[45] Bała M., Jarzyna J. i Bugajski A., 1994. Analiza charakterystyk chwilowych przy interpretacji

akustycznych obrazów falowych. Nafta-Gaz, 9, 389-399.

[46] Bała M., Jarzyna J., Cichy A., Mirek J., Górecka N., Gądek W., Kubik B i Stadtmüller M., 1997.

Opracowanie programu automatycznej interpretacji akustycznych zapisów sondą LSS pod kątem

wyznaczania czasów interwałowych i prędkości różnych typów fal. Zlecenie z PGNiG S.A. w Warszawie,

Biuro Geologiczne „Geonafta”, Kraków, 1-46.

[47] Baudzis S., 2002. Full Wave Sonic – dane techniczne oraz standardowe konfiguracje zestawów

akustycznych. Materiały VIII Krajowej Konferencji Naukowo-Technicznej, Szymbark, t. 3, 5-12.

[48] Biot M. A., 1952. Propagation of elastic waves in a cylindrical bore containing a fluid. Journal of Applied

Physics, 23, 9, 997-1005.

[49] Biot M. A., 1956a. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. I. Low-

frequency range. Journal of the Acoustical Society of America, 28, 2, 168-178.

[50] Biot M. A., 1956b. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. II. Higher

frequency range. Journal of the Acoustical Society of America, 28, 2, 179-191.

[51] Cheng C. H. i Toksöz M. N., 1981. Elastic wave propagation in a fluid-filled borehole and synthetic

acoustic logs. Geophysics, 46, 7, 1042-1053.

[52] Cheng C. H. i Toksöz M. N., 1983. Determination of shear wave velocities in „slow” formations.

SPWLA 24th

Annual Logging Symposium Transaction, Calary, Alberta, Canada, paper V, 1-25.

[53] Cheng C. H., Toksöz M. N i Willis M. E., 1981. Velocity and attenuation from full waveform acoustic

logs. SPWLA 22nd

Annual Logging Symposium Transaction, Mexico City, Mexico, paper O, 1-19.

[54] Crain E. R., 2004. How many acoustic waves can dance on the head of a sonic log?

http://www.spec2000.net/freepubs/acousticwaves.doc (luty 2007).

[55] Dokumentacja techniczna sondy LSS, 1992. Long Spaced Sonic block diagram. Geofizyka Kraków

Sp. z o.o., 1-14.

[56] Gądek W., Kubik B. i Stadtmüller M., 1997. Przygotowanie danych wejściowych do opracowania

programu automatycznej interpretacji akustycznych zapisów sondą LSS (etap I). ZGF WGGiOŚ AGH,

Kraków, 1-19 (plus załączniki).

[57] Hearst J. R., Nelson P. H. i Paillet F. L., 2000. Well logging for physical properties. John Wiley & Sons

Ltd, Chichester, 1-483.

[58] Ingram J. D., Morris C. F., MacKnight E. E. i Parks T. W., 1985. Direct phase determination of S-wave

velocities from acoustic waveform logs. Geophysics, 50, 11, 1746-1755.

[59] Jarzyna J., 1989. Analiza pola fal sprężystych w otworze wiertnicznym i naturalnym ośrodku skalnym

w metodzie profilowań akustycznych. Zeszyty Naukowe AGH, Nr 2. Kraków, 1-144.

[60] Jarzyna J., Bała M. i Cichy A., 2001. Interpretacja akustycznych obrazów falowych – programy FalaWin.

Wydział Geologii, Geofizyki i Ochrony Środowiska AGH, Kraków, 1-60.

Literatura

159

[61] Jarzyna J., Bała M., i Zorski T., 1999. Metody geofizyki otworowej. Pomiary i interpretacja. Uczelniane

Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne AGH, Kraków, 1-249.

[62] Kimball C. V. i Marzetta T. L., 1984. Semblance processing of borehole acoustic array data. Geophysics,

49, 3, 274-281.

[63] Knize S., 1989. Evaluation of full wave sonic data by analysis of instantaneous characteristics and

colograms. 12th

International Logging Symposium of SAID, Paris, France, paper SAID-004, 1-11.

[64] Kurkijan A. L. 1985. Numerical computation of individual far-field arrivals excited by an acoustic source

in a borehole. Geophysics, 50, 5, 852-866.

[65] Liu O. Y., 1984. Stoneley wave-derived ∆t shear log. SPWLA 25th

Annual Logging Symposium

Transaction New Orleans, Louisiana, USA, paper ZZ, 1-12

[66] Minear J. W. i Fletcher C. R., 1983. Full-wave acoustic logging. SPWLA 24th

Annual Logging Symposium

Transaction, Calgary, Alberta, Canada, paper EE, 1-14.

[67] Paillet F. L. i Cheng C. H., 1986. A numerical investigation of head waves and leaky modes in fluid-filled

boreholes. Geophysics, 51, 7, 1438-1449.

[68] Paillet F. L. i White J. E., 1982. Acoustic modes of propagation in the borehole and their relationship to

rock properties. Geophysics, 47, 8, 1215-1228.

[69] Paillet F. L., 1981. Predicting the frequency content of acoustic waveforms obtained in boreholes.

SPWLA 22nd

Annual Logging Symposium Transaction, Mexico City, Mexico, paper SS, 1-29.

[70] Paillet F. L., 1983. Frequency and scale effects in the optimization of acoustic waveform logs.

SPWLA 24th

Annual Logging Symposium Transaction, Calgary, Alberta, Canada, paper U, 1-25.

[71] Paillet F. L., 1991. Qualitative and quantitative interpretation of fracture permeability using acoustic

full-waveform logs. The Log Analyst, 32, 3, 256-270.

[72] Paillet F. L., Cheng C. H. i Pennington W. D., 1992. Acoustic-waveform logging – advances in theory

and application. The Log Analyst, 32, 3, 239-257.

[73] Raymer L. L., Hunt E. R. i Gardner J. S., 1980. An improved sonic transit time to porosity transform.

SPWLA 21st Annual Logging Symposium Transaction, Lafayette, Louisiana, USA, paper P, 1-13.

[74] Rosenbaum J. H., 1794. Synthetic microseismograms: logging in porous formation. Geophysics, 39, 1,

14-32.

[75] Scarascia S., Colombi B. i Cassinis R., 1976. Some experiments on transverse waves. Geophysical

Prospecting, 24, 3, 549-568.

[76] Serra O. i Serra L., 2004. Well logging – data acquisition and application. Serralog, Méry Corbon, 1-674.

[77] Snyder D. D. i Fleming D. B., 1985. Well logging – a 25 year perspective. Geophysics, 50, 12,

2504-2529.

[78] Taner M. T., Koehler F. i Sheriff R. E., 1979. Complex seismic trace analysis. Geophysics, 44, 6,

1041-1063.

[79] Toksöz M. N., Johnston D. H. i Timur A., 1979a. Attenuation of seismic waves in dry and saturated

rocks: I. Laboratory measurements. Geophysics, 44, 4, 681-690.

[80] Toksöz M. N., Johnston D. H. i Timur A., 1979b. Attenuation of seismic waves in dry and saturated

rocks: II. Mechanisms. Geophysics, 44, 4, 691-711.

[81] Tsang L. i Rader D., 1979. Numerical evaluation of the transient acoustic waveform due to a point source

in a fluid-filled borehole. Geophysics, 44, 10, 1706-1720.

Literatura

160

[82] White J. E. i Zechman R. E., 1968. Computed response of an acoustic logging tool. Geophysics, 33, 2,

302-310.

[83] Willis M. E i Toksöz M. N., 1983. Automatic P and S velocity determination from full waveform digital

acoustic logs. Geophysics, 48, 12, 1631-1644.

[84] Wyllie M. R. J., Gregory A. R. i Gardner G. H. F. 1958. An experimental investigation of factors

affecting elastic wave velocities in porous media. Geophysics, 23, 3, 459-493.

[85] Wyllie M. R. J., Gregory A. R. i Gardner L. W., 1956. Elastic wave velocities in heterogeneous and

porous media. Geophysics, 21, 1, 41-70.

Rozdział 4:

[86] Gądek W., Cichy A., Jarzyna J. i Twaróg W., 2002. Interlog – kompleksowa interpretacja profilowań

geofizyki wiertniczej w systemie Geowin. Materiały VIII Krajowej Konferencji Naukowo–Technicznej,

Szymbark, t. 2, 95-103.

[87] Gądek W., Kubik B. i Stadtmüller M., 1997. Przygotowanie danych wejściowych do opracowania

programu automatycznej interpretacji akustycznych obrazów falowych sondą LSS (etap I). ZGF WGGiOŚ

AGH, Kraków, 1-19 (plus załączniki) (pozycja cytowana w rozdz. 3 [56]).


Wydział Geologii, Geofizyki i Ochrony Środowiska AGH, Kraków, 1-60

(pozycja cytowana w rozdz. 3 [60]).

[89] Karnkowski P., 1993. Złoża gazu ziemnego i ropy naftowej w Polsce. Niż Polski. Tom 1. Towarzystwo

Geosynoptyków „Geos” AGH, Kraków, 1-214.

[90] Serra O. i Serra L., 2004. Well logging – data acquisition and application. Serralog, Méry Corbon, 1-674


[91] Wawrzyniak K. i Olesiński K., 2001. Przetwarzanie i interpretacja akustycznych obrazów falowych

z wykorzystaniem sieci neuronowych. Praca dyplomowa. Akademia Górniczo-Hutnicza, Wydział

Geologii, Geofizyki i Ochrony Środowiska, Kraków, 1-106.

Rozdział 5:

[92] Audet P. i Mareschal J-C., 2007. Wavelet analysis of the coherence between Bouguer gravity and

topography: application to the elastic thickness anisotropy in the Canadian Shield. Geophysical Journal

International, 168, 1, 287-298 (pozycja cytowana w rozdz. 1 [2]).

[93] Bała M. i Jarzyna J., 1996. Application of acoustic full wavetrains for the determination of lithology,

reservoir and mechanical parameters of formation. Geophysical Prospecting, 44, 5, 761-787 (pozycja

cytowana w rozdz. 3 [44]).

[94] Bała M., Jarzyna J. i Bugajski A., 1994. Analiza charakterystyk chwilowych przy interpretacji

akustycznych obrazów falowych. Nafta-Gaz, 9, 389-399 (pozycja cytowana w rozdz. 3 [45]).

[95] Barnes A. E., 1993. Instantaneous spectral bandwidth and dominant frequency with application to seismic

reflection data. Geophysics, 58, 3, 419-428.

[96] Brachere F., 2002. Guimauve.exe. http://webast.ast.obs-mip.fr/people/fbracher/ (luty 2007).

[97] Brown A. R., 2001. Understanding seismic attributes. Geophysics, 66, 1, 47-48.

[98] Castagna J. P. i Sun S., 2006. Comparison of spectral decomposition methods. First Break, 24, 3, 75-79


Literatura

161

[99] Chakraborty A. i Okaya D., 1995. Frequency-time decomposition of seismic data using wavelet-based

methods. Geophysics, 60, 6, 1906-1916 (pozycja cytowana w rozdz. 1 [7]).

[100] Durka P. J., 1996. Time-frequency analyses of EEG. Praca doktorska. Uniwersytet Warszawski,

Warszawa, 1-97. http://durka.info/dissert.html (luty 2007).

[101] Goupillaud P., Grossman A. i Morlet J., 1984. Cycle-octave and related transforms in seismic signal

analysis. Geoexploration, 23, 1, 85-102.

[102] Grupa dyskusyjna Wavelet forum. www.wavelet.org (luty 2007).

[103] Hongbing L., Wenzhi Z., Hong C., Fengchang Y. i Shao L., 2006. Measures of scale based on the wavelet

scalogram with application to seismic attenuation. Geophysics, 71, 5, V111-V118.


Wydział Geologii, Geofizyki i Ochrony Środowiska AGH, Kraków, 1-60


[105] Knize S., 1989. Evaluation of full wave sonic data by analysis of instantaneous characteristics and

colograms. 12th

International Logging Symposium of SAID, Paris, France, paper SAID-004, 1-11 (pozycja

cytowana w rozdz. 3 [63]).

[106] Li X-P., 1998. Wavelet power spectrum analysis of heterogeneities from sonic velocity logs. Geophysical

prospecting, 46, 5, 455-475 (pozycja cytowana w rozdz. 1 [18]).

[107] Mallat S. i Zhang Z., 1993. Matching Pursuit with time-frequency dictionaries. IEEE Transactions on

Signal Processing, 41, 12, 3397–3415 (pozycja cytowana w rozdz. 2 [35]).

[108] Misiti M., Misiti Y., Oppenheim G. i Poggi J-M., 1997-2006. Wavelet toolbox for use with Matlab®

. The

MathWorks, Inc. User’s Guide Online.

http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/pdf_doc/wavelet/wavelet_ug.pdf (luty 2007).


[109] Polikar R., 1994. The Wavelet Tutorial. http://users.rowan.edu/~polikar/research/publications/ (luty 2007)


[110] Sinha S., Routh P. S., Anno P. D i Castagna J. P., 2005. Spectral decomposition of seismic data with

continuous-wavelet transform. Geophysics, 70, 6, P19-P25 (pozycja cytowana w rodz. 1 [19]).

[111] Taner M. T., 1992. Attributes revisited. http://www.petrosoft.com/pdf/attrib_revisited.htm (luty 2007).

[112] Taner M. T., Koehler F. i Sheriff R. E., 1979. Complex seismic trace analysis. Geophysics, 44, 6,

1041-1063 (pozycja cytowana w rozdz. 3 [78]).

[113] Wawrzyniak K., 2004. Zastosowanie dekompozycji falkowej do przetwarzania akustycznych obrazów

falowych. Międzynarodowa konferencja naukowo-techniczna GEOPETROL 2004, Zakopane, 293–297.

[114] Wawrzyniak K., 2005a. Analiza akustycznych obrazów falowych za pomocą transformaty falkowej.

Geologia: kwartalnik Akademii Górniczo-Hutniczej im. Stanisława Staszica w Krakowie, 31, 3–4,

309–335.

[115] Wawrzyniak K., 2005b. Frequency content of P and S waves in different lithologies from acoustic full

waveforms. Near Surface 2005: 11th European meeting of environmental and engineering geophysics,

Palermo, Italy, paper P063, 1-4.

[116] Wawrzyniak K., 2005c. Wavelet analysis – a new approach to processing of acoustic full waveforms.

Near Surface 2005: 11th European meeting of environmental and engineering geophysics, Palermo, Italy,

paper P062, 1-4.

Literatura

162

[117] Wawrzyniak K., 2006a. Analiza akustycznych obrazów falowych w oparciu o parmetryzację sygnału za

pomocą metody ,,pogoń za dopasowaniem'' (Matching Pursuit). Międzynarodowa konferencja naukowo-

techniczna GEOPETROL 2006, Zakopane, 427–436.

[118] Wawrzyniak K., 2006b. Analysis of acoustic full waveforms based on matching pursuit parameterization.

EAGE 68th

Conference & Exhibition, Vienna, Austria, paper P206, 1-5.

[119] Wawrzyniak K., 2007. Instantaneous attributes based on time-frequency transforms in application to

acoustic full waveforms. EAGE 69th

Conference & Exhibition, London, England (zgłoszone).

[120] Zabihi N. E. i Sinhkoohi H. R. 2006. Time-frequency analysis. EAGE 68th

Conference & Exhibition,

Vienna, Austria, paper P091, 1-7 (pozycja cytowana w rozdz. 1 [23]).

Podziękowania

163

Podziękowania

W pierwszej kolejności pragnę złożyć serdeczne podziękowania promotorce mojej pracy, Pani prof.

dr hab. inż. Jadwidze Jarzynie, za podsycanie mojej ciekawości świata i poszerzanie, nie tylko

naukowych, horyzontów. Dziękuję za stworzenie warunków i doskonałej atmosfery pracy, które

umożliwiły kreatywne i twórcze działanie. Dziękuję za wsparcie w chwilach zwątpienia

i niezachwianą wiarę w słuszność obranej przeze mnie drogi. Pragnę również wyrazić podziękowania

dla Pani profesor jako wyśmienitego nauczyciela i pedagoga, zawsze służącego swoja wiedzą,

doświadczeniem i ciepłym słowem.

Gorące podziękowania składam Andrzejowi Guzowi, autorowi zmodyfikowanej wersji

programu Guimauve. Z niezwykłą cierpliwością wysłuchiwał moich, coraz to nowych, pomysłów

dotyczących przetwarzania obrazów falowych, a następnie przekładał je na język zrozumiały dla

komputerów. Bez jego wiedzy i doświadczenia programisty nie mogłabym przeprowadzić

zautomatyzowanych obliczeń związanych z metodą pogoń za dopasowaniem. Chciałam mu także

podziękować za wsparcie, jakim mnie obdarzył w trakcie pisania pracy.

Podziękowania należą się również Krzysztofowi Marzenckiemu, który na moją i prof. J. Jarzyny

prośbę stworzył program Asciiconverter, umożliwiający import i eksport profilowań w formacie

tekstowym do i z systemu Geowin®. Jego aplikacja niezwykle ułatwiła i przyspieszyła opracowanie

wyników.

Pragnę również podziękować prof. dr hab. inż. Andrzejowi Leśniakowi oraz dr inż. Piotrowi

Augustyniakowi, którzy chętnie dzielili się ze mną swą wiedzą i doświadczeniem w zagadnieniach

analizy sygnałów, poświęcając czas na rozmowy ze mną. Dziękuję prof. dr hab. Adamowi Cichemu,

który udzielał odpowiedzi na bardzo szczegółowe pytania dotyczące działania funkcji semblance

w programie FalaWin.

Oraz tym wszystkim, którzy wspierali mnie ciepłym słowem podczas powstawania tej pracy.