ANALISIS DERET BERKALA MULTIVARIAT

KELOMPOK 5 :1. CHRISTIEN ROZALI 20101000192. DELLIANA N E 20101000053. MONICA M 20101000364. MUJADILAH M 20101000455. TRI WULANDARI 20101000346. YOHANES 2010100044

PENGANTAR

Model ARIMA di kelompok-kelompok sebelumnya membicarakan deret berkala tunggal yaitu model-model univariat. Pada pembahasan kelompok kita ini kita memeperluas pembahasan untuk deret berkala berganda (multiple)- yaitu untuk model-model multivariat. Disini kita akan menggunakan bahasa khusus dari metodologi fungsi transfer (adakalanya disebut Multivariat ARIMA- atau MARIMA). Karena model multivariat (fungsi transfer) menggabungkan beberapa karakteristik dari model-model ARIMA univariat dan beberapa karakteristik analisis regresi berganda, maka apa yang kita bicarakan sebenarnya adalah suatu metode yang mencampurkan pendekatan deret berkala dengan pendekatan kausal. Untuk memudahkan penyampaian Metode ini dibagi dalam 4 tahap utama, yaitu Identifikasi, Penaksiran (estimasi), Pengujian Diognostik dan Peramalan serta berbagai Sub tahap didalamnya.

Tinjauan Umum Mengenai Dasar – dasar Pemodelan fungsi Transfer

Konsep Fungsi TransferKunci untuk memahami metodologi fungsi transfer di dapat dari perasaan inuisi tentang apa itu fungsi transfer. Contoh sederhana untuk memahami konsep fungsi transfer: Pada 20 hari berturut – turut, anda menyerahkan seberkas surat kekantor pos untuk dikirim, sistem kantor pos akan menyampaikan surat-surat tersebut beberapa hari berikutnya. Kita misalkan, jumlah surat yang dikirim pada hari t adalah Xt dan jumlah surat yang diantarkan dalam hari t adalah Yt. Pertanyaan nya sekarang adalah adakah hubungan antara Yt dan Xt? Sangat jelas, pasti terdapat. Namun demikian, apabila kita lakukan hal yang biasa dan memplot Y pada X, kelihatannya tidak ada hubungan antara Y dan X. Regresi sederhana Y pada X tidak akan menolong. Alasannya, nilai Xt didistribusikan secara dinamis, melalu periode-periode waktu yang akan datang menurut apa yang dikenal sebagai fungsi transfer .

Nilai v0 sampai v5 disebut bobot respons impuls (impulse response weight atau bobot fungsi transfer). Fungsi transfer itu sendiri dapat ditulis sebagai berikut:

Yt = voXt + v1Xt-1 + v2Xt-2 + ... + v5Xt-5= (vo + v1B + v2B² + ... + v5B⁵)Xt= v(B)Xt.

Dimana v(B) adalah fungsi transfer.Bentuk Dasar Model Fungsi Transfer

Model fungsi transfer bivariat ditulis dalam dua bentuk umum. Bentuk pertama adalah sebagai berikut:

Yt = v(B)Xt + NtDimana: Yt = deret output (misalnya, penjualan)

Xt = deret input (misalnya, biaya iklan)Nt = pengaruh kombinasi dari seluruh faktor yang mempengaruhi Yt (disebut “gangguan”), danv(B) = (vo + v1B + v2B² + ... + vkBᵏ), dimana k adalah orde

fungsi transfer.

Deret input dan output harus ditransformasikan dengan tepat (untuk mengatasi ragam yang nonstasioner), dibedakan (untuk mengatakan nilai tengah yang nonstasioner) dan mungkin perlu dihilangkan unsur musimannya (deseasionalized) (untuk menyederhanakan model fungsi transfer). Orde dari fungsi transfer adalah k (menjadi orde tertinggi untuk proses pembedaan) dan kadang-kadang dapat lebih besar. Karena alasan-alasan ini, model fungsi transfer juga ditulis sebagai berikut:

atau

dimana:ω(B) = ω0 – ω1B – ω2B² – ... – ωsBˢ,δ (B) = 1 – δ1B – δ2B² – ... – δrBʳ,θ (B) = 1 – θ1B – θ2B² – ... – θqBq,φ(B) = 1 – φ1B – φ2B² – ... – φpBᵖ ,= nilai Yt yang telah ditransformasikan dan dibedakan = nilai Xt yang telah ditransformasikan dan dibedakan = nilai gangguan acak

r, s, p, q, dan b konstanta

Apabila model tersebut telah diidentifikasikan, dan seluruh parameter telah ditaksir (diestimasi), maka versi peramalan dari persamaan tersebut perlu segera ditetapkan. Apabila persamaan seluruhnya dikalikan dengan δ(B) dan ф(B), kita dapatkan:

Berbagai macam operator yang berbeda kemudian bersama-sama dikalikan, suku-suku dikumpulkan dan seluruh suku,kecuali Yt dipindahkan ke sebelah kanan persamaan:

Tahap Pembentukan Model Fungsi Transfer

• Tahap 1 : Identifikasi bentuk model• 1-1 : Mempersiapkan deret input dan outputModel ARIMA memperbolehkan pembedaan suatu deret berkala sehingga proses AR dan MA dapat didefinisikan sebagai data yang stasioner. Apabila data mentah tidak stationer, maka biasanya data tersebut dibedakan terlebih dahulu untuk menghilangkan ketidaksioneran.

• 1-2 : Pemutihan deret input (Xt)Mengubah deret input menjadi deret output akan membuat kita lebih mudah memahami fungsi transfer dari suatu sistem. Pemutihan adalah menghilangkan seluruh pola yang diketahui supayayang tertinggal hanyalah “ white noise.

• 1-3 : “Pemutihan” deret output(Yt)Fungsi transfer yang kita coba tetapkan adalah memetakan xt dan yt. Apabila kita menarik nilai-nilai dengan penarikan contoh acak independen yang sederhana dari distribusi probabilitas yang tetap, maka deret yang dihasilkan biasa disebut : “white noise”.

maka

1-4 : Perhitungan korelasi-silang (cross corelation) dan autokorelasi untuk deret input dan output yang telah diputihkan Didalam memodelkan ARIMA univariat koefisien autokorelasi merupakan statistik kunci didalam membantu menetapkan bentuk model. Dalam memodelkan MARIMA bivariat ( fungsi transfer), autokorelasi memrankan peranan kedua untuk koefisien korelasi-silang. Kovarian antara dua variabel X dan Y, kita dapat menetapkan kavarians silang CXY(k) dan CYX(k), sebagai berikut:

kesalahan standart dari

di mana k= 0,1,2,3,...dan seterusnyadimana Х̅ dan Υ̅ adalah rata-rata dari deret X dan Y dan k = 0,1,2,3,...

1-5 : Penaksiran langsung bobot respons impulsRumus penaksiran langsung bobot respons adalah :

Dimana εt adalah gangguan yang ditransformasikan, yang diperkirakan berhubungan dengan deret αt. Jika kedua sisi persamaan dikalikan dengan αt-k dan diambil nilai ekspektasinya,maka kita peroleh:

(α dan ε diasumsikan bebas), dengan mensubstitusikan nilai sampel dan menyusun kembali suku-sukunya, akan diperoleh:

1-6 : Penetapan (r,s,b) untuk model fungsi transfer Yang menghubungkan deret input dan output.tiga para meter kunci

didalam model fungsi transfer adalah (r,s,b), dimana r menunjukkan derajat fungsi δ(B), s menunjukkan derajat fungsi ω(B), dan b menunjukkan keterlambatan yang dicatat pada subskrip dari Xt-h.

kita akan mendapatkan hubungan sebagai berikut:

Pertama, nilai b menyatakan bahwa y tidak dipengaruhi oleh nilai x, sampai periode t+b, atau

1-7 : Penaksiran awal deret gangguan (nt) dan penghitungan autokorelasi, parsial dan spektrum garis untuk deret ini

pada tahap 1-5 , bobot u diukur secara langsung dan ini memungkinkan dilakukannya penghitungan nilai taksiran pendahuluan dari deret gangguan nt. Karena :

,maka

1-8 : Penetapan (pn,qn) untuk model ARIMA (pn,o,qn) dari deret gangguan (nt)untuk mengukut deret gangguan, kemudian nilai-nilai nt dianalisis dengan cara

ARIMA biasa untuk menemukan apakah model ARIMA (pn,0,qn) yang tepat untuk menjelaskan mereka. Autokorelasi, autokorelasi parsial dan spektrum garis ditetapkan dan selanjutnya nilai pn dan qn autoregresif dan proses rata-rata bergerak, berturut-turut,dipilih. Dengan fungsi фn(B) dan θn(B)untuk deret gangguan nt diperoleh untuk mendapatkan :

Tahap 2 : Penaksiran parameter-parameter model fungsi transfer2-1 : Taksiran awal nilai parameter2-2 : Taksiran akhir parameter

Tahap 3 : Uji diagsnosis model fungsi transfer3-1 : perhitungan autokorelasi unuk nilai sisa model (r,s,b) yang menghubungkan deret input dan output.3-2 : Perhitungan korelasi –silang antara nilai sisa yang disebutkan dalam 3-1 dengan deret gangguan yang telah diputihkan.

Tahap 4 : Penggunaan model fungsi transfer untuk peramalan4-1 : Permalan nilai-nilai yang akan datang dengan menggunakan model fungsi transfer.

Beberapa Contoh Ilustratif Model Fungsi Transfer

• Bidang teknik (mesin-mesin, reaktor nuklir, dsb)

• Bidang ekonomi manajerial (harga bursa saham)

Dimana Yt = perbedaan pertama dari index S&P 500 yang dilogkanxt = perbedaan pertama dari leadingcomposite index yang

dilogkannt = komponen gangguan (noise)

IDENTIFIKASI MODEL FUNGSI TRANSFER

• Data pada tabel 10-5 akan digunakan untuk mengilustrasikan proses lengkap analisis fungsi transfer

• Model fungsi transfer (TF) yang akan kita pelajari untuk pengamatan adalah:

Tabel 10-5. PENGELUARAN UNTUK IKLAN (DALAM $1000) DAN TOTAL PENJUALAN(DALAM 1000 KASUS) SELAMA PERIODE 20 BULAN

Tabel 10-6. PERBEDAAN PERTAMA DERET INPUT (IKLAN) DAN DERET OUTPUT (PENJUALAN) (LIHAT TABEL 10-5 UNTUK DATA MENTAHNYA)

Tabel 10-7. DERET INPUT (αt) DAN DERET OUTPUT (βt) YANG DIPUTIHKAN (DISESUAIKAN) UNTUK CONTOH IKLAN PENJUALAN

Penaksiran Parameter-parameter Model

Model fungsi transfer yang telah ditentukan secara tentatif adalah:

Yang dapat ditulis sebagai :

Pada saat ini kita perlu menaksir parameter-parameter

Pemeriksaan Diagnostik pada modelAdalah suatu hal biasa dalam pemodelan ARIMA untuk mengindentifikasi lebih dari satu bentuk model, memperkirakan parameter pada setiap model, dan kemudian mengerjakan pemeriksaan diagnostik yang hati-hati untuk menguji validitas model. Dengan pengembangan dan pengaturan kembali, kita dapat mengekspresikan sebagai sebuah fungsi dari bermacam-macam nilai y, nilai x dan nilai α sebelumnya. Dalam keadaan khusus, persamaan untuk contoh yng kita kerjakan adalah :

ANALISIS NILAI SISA ( RESIDU) : AUTOKORELASI

Autokorelasi hanya memperlihatkan sebagian kecil dari suatu pola. Begitu juga autokorelasi parsial mendukung pernyataan bahwa deret pad hakekatnya merupakan noise acak walaupun terdapat satu parsial. Untuk deret stasioneritas ARIMA formulanya adalah sebagai berikut :

Di mana n = jumlah pengamatanm = waktu tunda terbesar yang diperhatikanr(k) = aotokorelasi untuk waktu tunda kdf = derajat bebas = m – p - q

ANALISIS NILAI SISA : KORELASI-SILANG

Untuk menguji kesimpulan ini secara formal, kita menggunakan uji Box Pierce. Formula yang sesuai untuk uji keterpautan , adalah sebagai berikut :

Dimana (r,s) = parameter model TF (fungsi transfer)m = lag maksimum = nilai maksimum (s + b + ) dan (), dimana ialah jumlah parameter AR pada model ARIMA dengan deret input

Peramalan Menggunakan Model-model Fungsi Transfer

• Peramalan Versi Model Fungsi TransferUntuk mendapatkan peramalan model fungsi transfer

Model – model Multivariat yang Lain

Model fungsi transfer multivariat memerlukan sejumlah besar pehitungan melalui berbagai tahap identifikasi, penaksiran, memeriksaan, diagnostik, dan akhirnya peramalan. Para peramal yang menggunakan model ARIMA dan MARIMA tidak boleh jatuh dalam perangkap yang sama dengan yang dialami para ahli ekonometrika. Dalam model ARIMA Box-Jenkins yang nyata dan model–model fungsi transfer bivariat, para pembaca harus memperlajari pustaka untuk studi aplikasi yang baik dan menimbang “ keuntungan dan kerugian “. Dua model multivariat yaitu analisis intervensi dan filter Kalman.

1. Analisis Intervensi Analisis intervensi merupakan pengembangan dari konsep MARIMA. Analisis ini dimaksudkan untuk penentuan jenis respons variabel tak bebas yang akan muncul akibat perubahan bertahap pada variabel bebas. Tujuan analisis intervensi adalah untukmenentukan model yang sesuai dengan model fungsi tansfer dan taksiran parameternya. Jika pemeriksaan diagnostik pada nilai sisa model intervensi tidak menunjukan pola tertentu, berarti model yang diidentifikasi cukup memadai dan efek intervensinya sama seperti yang dipostulatkan. Jika tidak,hams dispesifikasimodel respons intervensi baru.

Persamaan disederhanakan menjadi berbentuk penjumlahan untuk menunjukan model tersebut seperti :

Pada persamaan ini beberapa atau mungkin semua deret input јᵼ, j= 1,2, 3,..., dapat menjadi deret indikator, yaitu variabel–variabel dikotomi.

2. Filter KalmanModel peramalan dapat diklasifikasikan menjadi dua kategori :Model-model tetap yang memiliki parameter tetap dan ragam tetap danModel–model tetap dengan parameter dan keragaman berubah-ubah.Kategori pertama meliputi semua metode peramalan yang telah dibahas dengan pengecualian pemulusan-eksponesial dengan tingkat respons-adaptif (adaptive-response rate exponential smoothing). Model tetap dengan parameter yang tetap membutuhkankestasioneran nilai tengah dan varian pada seluruh selang pengamatan.Kategori kedua tersebut tidak sebaik Filter Kalman, yang dapat berhubungan dengan model-model variabel, parameter variabel, dan keragaman variabel secara simultan.Filter Kalman adalah pendekatan yang paling umum terhadap panaksiran dan pendugaan statistik. Kesulitan dalam filter kalman adalah banyak pertanyaan teknis yang belum terjawab dengan memuaskan. Pendekatannya sendiri telah tumbuh keluar dari bidang keteknikan. Akibatnya, banyak ahli statistik dan penelitian operasi yang mengetahui sedikit-sedikit atau mengalami kesulitan dalam memahaminya, karena ia paling sering dinyatakan dalam notasi “state space “.

Tujuan filter Kalman adalah untuk mengkombinasikan kedua informasi untuk memperoleh penaksiran yang diperbaiki. Hal ini sama dengan pendekatan Bayes yang mengkombinasikan informasi “prior” dan “penarikan contoh”.Untuk menggambarkan filter Kalman, pertama kali akan diuji sebuah kasus “univariat”yang sederhana, kemudian akan digambarkan pengembangannya menjadi data “multivatiat” untuk model tetap.

Data Univariat Jika Ft adalah peramalan t, dan Xt adalah informasi terakhir yang tersedia maka ramalan untuk peniada t + 1 dapat dinyatakan sebagai jumlah pembobotan Ft dan Xt .

Ft+1 = Xt + (1 - ) Ft.

Jika ragam Xt dan Ft, adalah dan diketahui, maka ragam keseluruhan dapat dihitung sebagai jumlah kuadrat terbobot dan yaitu

= (1 – 2 + .

Dengan asumsi Xt dan Ft bebas ( independen ).

Persamaan = (1 – 2 + . dapat didefinisikan terhadap untuk memperoleh nilai parameter pada saaat minimum, menjadi : = - 2 ( 1 – + 2 = 0 .

Pemecahan untuk * adalah * = . Jika persamaan (10-32) disubsitusikan pada (10-29) hasilnyaFt+1 = Xt + ( 1- )Ft

= Xt + Ft

= Jika varians Xt , adalah sama dengan varians Ft ,, maka persamaan diatas menghasilkan nilai konstanta. = = 1/2

Lebih lanjut, taksiran seluruh keragaman Ft+1, dapat diperbarui dari substitusi (10-32) ke dalam ( 10-30) untuk memperoleh

= ( 1- ) 2 + ( ) ² = + (10-36) = ( 10-37)

Dari pembahasan filter Kalman, dapat dikatakan sebagai berikut:Taksiran baru yang mengkombinasikan informasi lama dan baru dapat dibuat Bobot kombinasi informasi lama dan baru merupakan fungsi dari ragam.Taksiran dan ragam kedua-duanya dapat dihitung dengan cara rekursif ( filter Kalman merupakan filter dengan memori tak terbatas). Akan muncul beberapa kesulitan dalam estimasi ragam Xt .