Analisis de Sistemas Lineales · analisis de sistemas lineales ricardo a. rojas mario e. salgado juan i. yuz1 este es un borrador sujeto a negociacion editorial. su re-produccion

ANALISIS DE SISTEMAS

LINEALES

Ricardo A. Rojas

Mario E. SalgadoJuan I. Yuz1

ESTE ES UN BORRADOR SUJETO A NEGOCIACION EDITORIAL. SU RE-

PRODUCCION SOLO PUEDE SER AUTORIZADA POR LOS TRES AU-

TORES.

Version 11 de septiembre de 2003.

Valparaıso, Marzo 2002

1 Departamento de ElectronicaUniversidad Tecnica Federico Santa MarıaValparaıso, CHILE

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sistema|textbf

Kalman

Routh

Bode

Nyquist

Prefacio

La nocion de sistema resulta sumamente poderosa para la descripcion, anal-isis y diseno tanto en ingenierıa como en otras areas, principalmente porquepermite describir en forma abstracta un fenomeno en base al objetivo que elobservador/ingeniero en requiera en cada caso particular.

En este texto abordamos el analisis de un tipo particular de sistemas, aque-llos llamados lineales. Esta propiedad, si bien no es comun en sistemas fısicosreales, permite hacer uso de una gran gama de herramientas de analisis matematico,que han demostrado ser de gran utilidad, a pesar de las simplificaciones inher-entes involucradas en la representacion lineal de los sistemas.

La teorıa de los sistemas lineales tuvo un rapido crecimiento y sostenida con-solidacion desde mediados del siglo veinte. Este desarrollo fue sustentado porel trabajo pionero de Bode, Routh, Nyquist, Kalman y muchos otros investi-gadores. Ellos construyeron, a su vez, sobre la teorıa matematica existente delos siglos pasados en areas tan diversas como, por ejemplo, el calculo diferenciale integral de Newton, las ecuaciones diferenciales y la teorıa de funciones devariables complejas.

Mas adelante, el desarrollo y expansion de la tecnologıa digital ampliaron elcampo de los sistemas lineales hacia los sistemas que operan en tiempo discreto.Nuevas herramientas matematicas debieron entonces incorporarse al estudio delos sistemas lineales.

Un aspecto de especial relevancia es no perder de vista que el interes dela Ingenierıa en los sistemas lineales esta ligado a la posibilidad de emplearloscomo modelos suficientemente precisos para describir sistemas reales. El estu-diante debe ser advertido al inicio del curso sobre el problema subyacente defidelidad de la representacion final, y el tema debe ser reiterado a lo largo delmismo. Tambien es necesario enfatizar que los sistemas reales no son lineales yque la perdida de precision al modelarlos como sistemas lineales es usualmentecompensada por el traslado del problema a un campo dotado de herramien-tas matematicas. Por otro lado, es conveniente enfatizar que existen sistemasreales, incluso muy basicos como aquellos con dispositivos de conmutacion, quesimplemente no pueden ser modelados como sistemas lineales.

Si bien la teorıa de los sistemas lineales tiene un interes en si misma comoobjeto de estudio matematico, en este libro el enfoque es distinto, mas orientadoal estudiante de ingeniera: se trata de estudiar esta teorıa como un sosten parael analisis, la sıntesis y el diseno de sistemas de procesamiento de senales, de

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iv

sistemas de control automatico, sistemas economicos, entre otros. El propositoes que el lector, sin abandonar ni menospreciar el rigor requerido por esta teorıa,la conciba como una herramienta para entender, analizar y resolver problemasasociados a fenomenos y sistemas en ingenierı. Esto nos parece necesario con elfin de evitar la frecuente confusion entre los estudiantes de ingenierıa, que llevaa subvertir los roles del problema y la herramienta, y centrar su atencion en elrigor matematico mas que en los conceptos y la interpretacion de los resultadosde la teorıa de los sistemas lineales.

Pensamos tambien que este enfasis en los conceptos mas que en la utilerıamatematica debe reflejarse en el esfuerzo que se pide a los estudiantes que estu-dien el tema. Con este objeto, nos parece fundamental el uso extensivo de paque-tes de software para simulacion, tales como Simulink de Matlab y Simnon

. Tambien encontramos de especial utilidad el uso de software de matematicasimbolica, como Maple y Mathematica . El libro supone que los estudiantestienen acceso a este tipo de herramientas. Tambien suponemos que nuestroslectores tiene una formacion matematica basica previa que incluye conceptosde Calculo Diferencial, Integral, Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y AlgebraLineal.

La dificultad en ensenar una vision conceptual de los sistemas lineales serefleja en la diversidad de formas y estructuras de los programas de las asig-naturas relacionadas, en distintas instituciones en Chile y en el extranjero. Enla mayorıa de los casos se separa completamente el estudio de sistemas linealesen tiempo continuo y en tiempo discreto. Aunque esto tiene ciertas ventajas,se desprovecha la oportunidad de dar una vision unificada de conceptos talescomo estabilidad, velocidad, transientes, y estado, entre otros. Con este fin, eltexto ha sido organizado de manera que el lector pueda optar entre un enfoquesimultaneo o separado de ambos tipos de sistema, sin perjuicio de lo cual seha incluido un breve capitulo referido a sistemas hibridos en que se establececlaramente una relacion entre ambos.

Las consideraciones anteriores han sido los elementos orientadores para estelibro. La calidad del resultado de este esfuerzo sera juzgada por los lectores.

Ricardo A. RojasMario E. Salgado

Juan I. Yuz

Valparaıso, Agosto de 2000

Indice general

Prefacio III

1. Aspectos fundamentales 11.1. Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Invarianza en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5. Linealizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5.1. Sistema no lineal de tiempo continuo . . . . . . . . . . . . 91.5.2. Sistema no lineal de tiempo discreto . . . . . . . . . . . . 12

1.6. Problemas para el lector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. Senales 212.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2. Senales de tiempo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.1. Escalon unitario (funcion de Heaviside) . . . . . . . . . . 212.2.2. Impulso unitario o delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . 212.2.3. Rampa unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.4. Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.5. Senales sinusoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.6. Sinusoidales con amplitud exponencial . . . . . . . . . . . 26

2.3. Senales de tiempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.1. Escalon unitario de tiempo discreto . . . . . . . . . . . . 272.3.2. Impulso unitario discreto o delta de Kronecker . . . . . . 272.3.3. Rampa unitaria de tiempo discreto . . . . . . . . . . . . . 282.3.4. Exponencial de tiempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.5. Senales sinusoidales de tiempo discreto . . . . . . . . . . . 302.3.6. Sinusoidales con amplitud exponencial . . . . . . . . . . . 31


3. Analisis en tiempo continuo 353.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2. Ecuacion diferencial del sistema (EDS) . . . . . . . . . . . . . . . 353.3. La respuesta del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

v

vi INDICE GENERAL

3.3.1. Componente homogenea y componente particular . . . . . 383.3.2. Frecuencias y modos naturales . . . . . . . . . . . . . . . 403.3.3. Modos forzantes y modos forzados . . . . . . . . . . . . . 403.3.4. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3.5. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3.6. Respuesta a estado inicial y respuesta a entrada . . . . . 45

3.4. Respuesta a senales de prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4.1. Respuesta a escalon unitario . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4.2. Respuesta a impulso unitario . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.5. Calculo de la respuesta vıa convolucion . . . . . . . . . . . . . . . 533.6. Problemas para el lector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4. Analisis en tiempo discreto 614.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2. Ecuacion de recursion del sistema (ERS) . . . . . . . . . . . . . . 614.3. La respuesta del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.3.1. Componente homogenea y componente particular . . . . . 654.3.2. Frecuencias y modos naturales . . . . . . . . . . . . . . . 664.3.3. Modos forzantes y modos forzados . . . . . . . . . . . . . 684.3.4. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.3.5. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.3.6. Respuesta a estado inicial y respuesta a entrada . . . . . 73

4.4. Respuesta a senales de prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.4.1. Respuesta a escalon unitario . . . . . . . . . . . . . . . . 764.4.2. Respuesta a impulso unitario . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.5. Calculo de la respuesta via convolucion . . . . . . . . . . . . . . . 794.6. Problemas para el lector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5. Analisis bajo excitaciones periodicas 875.1. Senales Periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.2. Respuesta a entrada sinusoidal. El caso de tiempo continuo . . . 885.3. Series de Fourier para senales de tiempo continuo . . . . . . . . . 92

5.3.1. Serie de Fourier trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . 925.3.2. Serie de Fourier exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.3.3. Parseval y la energıa de las senales periodicas . . . . . . . 102

5.4. Respuesta a entradas sinusoidales. El caso de tiempo discreto . . 1035.5. Serie de Fourier de tiempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.6. Aplicacion de las series de Fourier al analisis de sistemas lineales 1105.7. Problemas para el lector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6. Analisis bajo excitaciones arbitrarias. La transformada de Fouri-er 1176.1. La limitacion de las series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.2. La Transformacion de Fourier. El caso del tiempo continuo . . . 117

6.2.1. Parseval y la energıa de las senales aperiodicas en tiempocontinuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

INDICE GENERAL vii

6.2.2. Aplicacion a sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6.2.3. La funcion de transferencia y la respuesta en frecuencia . 129

6.2.4. Filtraje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.2.5. Caso singular en la funcion de transferencia. . . . . . . . . 137

6.3. La Transformacion de Fourier. El caso de tiempo discreto . . . . 139

6.3.1. Parseval y las senales aperiodicas de tiempo discreto . . . 143

6.3.2. Aplicacion a sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.3.3. La funcion de transferencia y la respuesta en frecuencia . 148

6.3.4. Filtraje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.3.5. Caso singular en la funcion de transferencia. El caso delos sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150


7. Analisis bajo excitaciones arbitrarias. La transformada de Laplace155

7.1. Definicion de la transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.2. Aplicacion a sistemas lineales: la funcion de transferencia . . . . 156

7.2.1. Funcion de transferencia en dominios de Laplace y Fourier 160

7.3. Respuesta a impulso y respuesta a escalon. . . . . . . . . . . . . 161

7.4. Respuesta a condiciones iniciales y senales arbitrarias. . . . . . . 166

7.5. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

7.5.1. Analisis de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

7.6. Polos, ceros y la respuesta temporal . . . . . . . . . . . . . . . . 177

7.6.1. Polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

7.6.2. Ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

7.6.3. Respuesta inversa o contrarespuesta (undershoot) . . . . . 182

7.6.4. Sistema canonico de segundo orden . . . . . . . . . . . . . 183


8. Analisis bajo excitaciones arbitrarias. La transformada Zeta 191

8.1. Definicion de la transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

8.2. Aplicacion a sistemas lineales: la funcion de transferencia . . . . 192

8.2.1. Funcion de transferencia en dominios de Fourier y Zeta . 198

8.3. Respuesta a impulso y respuesta a escalon. . . . . . . . . . . . . 200

8.4. Respuesta a condiciones iniciales y excitaciones arbitrarias. . . . 203

8.5. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

8.5.1. Analisis de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

8.6. Polos, ceros y la respuesta temporal . . . . . . . . . . . . . . . . 210

8.6.1. Polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

8.6.2. Ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

8.6.3. Respuesta inversa o contrarespuesta (undershoot) . . . . . 215


viii INDICE GENERAL

9. Representacion de sistemas lineales 219

9.1. Ideas generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

9.2. Diagramas de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

9.2.1. Tiempo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

9.2.2. Tiempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

9.3. Diagramas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

9.3.1. Tiempo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

9.3.2. Tiempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

9.4. Diagramas de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246


10.Representacion en variables de estado. 253

10.1. Conceptos fundamentales sobre modelos de sistemas. . . . . . . . 253

10.2. Conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

10.2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

10.2.2. Modelos basicos en variables de estado . . . . . . . . . . . 255

10.2.3. Senales descritas en espacio de estado . . . . . . . . . . . 256

10.3. Modelos de estado para sistemas continuos . . . . . . . . . . . . 257

10.3.1. Linealizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

10.3.2. Modelos lineales en el espacio de estado . . . . . . . . . . 261

10.3.3. Transformaciones de similaridad . . . . . . . . . . . . . . 267

10.3.4. Espacio de estado y funciones de transferencia . . . . . . 270

10.4. Modelos de estado para sistemas discretos y muestreados . . . . 273

10.4.1. Linealizacion de sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . 274

10.4.2. Sistemas muestreados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

10.4.3. Modelos de estado lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

10.4.4. Transformaciones de similaridad . . . . . . . . . . . . . . 286

10.4.5. Espacio de estado y funciones de transferencia . . . . . . 286

10.5. Modelos de estado para sistemas interconectados . . . . . . . . . 287

10.6. Propiedades de los sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

10.6.1. Controlabilidad, Alcanzabilidad y Estabilizabilidad . . . . 290

10.6.2. Observabilidad, Reconstructibilidad y Detectabilidad . . . 299

10.6.3. Descomposicion Canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

10.7. Observadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

10.7.1. Dinamica del observador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

10.7.2. Observadores y ruido de medicion. . . . . . . . . . . . . . 314

11.Sistemas hıbridos 317

11.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

11.2. Muestreo de senales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

11.3. Analisis en frecuencia de senales muestreadas . . . . . . . . . . . 320

INDICE GENERAL ix

12.Modelos 323

12.1. Ideas generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

12.2. Modelado de sistemas de tiempo continuo. Teorıa basica. . . . . . 324

12.3. Modelado de sistemas de tiempo continuo. Modelos lineales. . . . 329

12.4. Modelado de sistemas de tiempo discreto. Teorıa basica. . . . . . 332

12.5. Modelado de sistemas de tiempo discreto. Modelos lineales. . . . 336

A. Series de Taylor 339

A.1. Serie de Taylor en una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

A.2. Serie de Taylor en dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

A.3. El caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

A.4. Algunas reglas practicas para la expansion en serie . . . . . . . . 341

B. Bases matematicas para las Series de Fourier 343

B.1. Espacios vectoriales y bases ortogonales . . . . . . . . . . . . . . 343

B.2. Convergencia de las Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 347

B.2.1. Convergencia de sucesiones y series . . . . . . . . . . . . . 347

B.2.2. Convergencia de las Series de Fourier . . . . . . . . . . . . 349

Demostracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

C. La transformacion de Fourier 359

C.1. Transformacion de Fourier en tiempo continuo . . . . . . . . . . 359

C.1.1. Definicion de la Transformada . . . . . . . . . . . . . . . . 359

C.1.2. Propiedades de la Transformada de Fourier . . . . . . . . 361

C.2. Transformada de Fourier en tiempo discreto . . . . . . . . . . . . 374

C.2.1. Definicion de la transformada . . . . . . . . . . . . . . . . 374

C.2.2. Propiedades de la transformada de Fourier discreta . . . . 376

Demostracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

Demostracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

C.2.3. Aspecto practico: la transformada rapida de Fourier . . . 392

D. La transformada de Laplace 399

D.1. Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

D.1.1. Definicion de la Transformada . . . . . . . . . . . . . . . . 399

D.1.2. Propiedades de la Transformada de Laplace . . . . . . . . 401

Demostracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

Demostracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

Demostracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

D.1.3. Descomposicion en fracciones parciales . . . . . . . . . . . 416

E. La Transformacion Zeta 423

E.1. Definicion de la Transformacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

E.2. Propiedades de la Transformada Zeta . . . . . . . . . . . . . . . 425

Demostracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

Demostracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

x INDICE GENERAL

F. Matrices. Definiciones y Propiedades 435F.1. Conceptos Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435F.2. Determinante de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438F.3. Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441F.4. Inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443F.5. Autovalores y autovectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448F.6. Normas de vectores y matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457F.7. Tipos especiales de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460F.8. Valores singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466

Indice alfabetico 471

Indice de figuras

1.1. Sistema electrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Representacion compacta de un sistema . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Propiedad de invarianza en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Diagrama Simulink para simulacion de un sistema no lineal. . . 161.5. Salida del sistema no lineal (linea solida) y salida del sistema lin-

ealizado (lınea segmentada) para una onda cuadrada de amplitudcreciente en la entrada (lınea punteada) . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6. Ganancia no lineal para el Problema 1.8 . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1. Escalon unitario o funcion de Heaviside. . . . . . . . . . . . . . . 222.2. Impulso unitario o delta de Dirac. . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3. Aproximaciones al delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4. Rampa unitaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5. Exponenciales creciente (izquierda) y decreciente (derecha) . . . 252.6. Exponenciales de diferentes velocidades de decaimiento . . . . . . 252.7. Propiedad de la constante de tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . 262.8. Senales sinusoidales con amplitud disminuyendo exponencialmente

(izq.) y creciendo exponencialmente (der.) . . . . . . . . . . . . . 272.9. Escalon unitario de tiempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.10. Impulso unitario discreto o delta de Kronecker . . . . . . . . . . 282.11. Rampa unitaria de tiempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.12. Exponenciales de tiempo discreto, decreciente (izquierda) y cre-

ciente (derecha), λ ∈ R+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.13. Exponenciales de tiempo discreto, decreciente (izquierda) y cre-

ciente (derecha), λ ∈ R− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.14. Senales sinusoidales de tiempo discreto con amplitud variando

exponencialmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.15. Senales compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1. Red RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2. Relacion entre la ubicacion de las frecuencias naturales (de mul-

tiplicidad uno) y los modos naturales . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3. Red lineal con condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.4. Efectos de la invarianza en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . 52

xi

xii INDICE DE FIGURAS

3.5. Ejemplo de descripcion grafica de la convolucion . . . . . . . . . 55

3.6. Respuesta a escalon unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.7. Configuracion de frecuencias naturales de dos sistemas . . . . . . 58

3.8. Red electrica con amplificador operacional . . . . . . . . . . . . . 59

4.1. Relacion entre la ubicacion de las frecuencias naturales (de mul-tiplicidad uno) y los modos naturales (caso decreciente). . . . . . 69

4.2. Relacion entre la ubicacion de las frecuencias naturales (de mul-tiplicidad uno) y los modos naturales (caso no decreciente). . . . 70

4.3. Respuesta a escalon unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.4. Red resistiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.1. Senales de entrada y salida en el Ejemplo 5.1 . . . . . . . . . . . 91

5.2. Respuesta en frecuencia de un sistema de segundo orden de tiem-po continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.3. Senal cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.4. Espectro de lınea de una senal cuadrada. . . . . . . . . . . . . . . 95

5.5. Senal a la salida de rectificador controlado por tristores . . . . . 96

5.6. Aproximacion de la senal triangular con la primera y terceraarmonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.7. Espectro de lınea de una senal triangular . . . . . . . . . . . . . 98

5.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.9. Respuesta en frecuencia de un sistema de segundo orden de tiem-po discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.10. Respuesta en frecuencia de un sistema de tercer orden de tiempocontinuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.11. Comportamiento de un sistema con una excitacion periodica. . . 112

5.12. Tren de pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.1. Senales arbitrarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.2. La funcion restringida a [a, b] y su reconstruccion usando la seriede Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.3. Viga cargada con arena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.4. Circuito RC como sistema de primer orden. . . . . . . . . . . . . 126

6.5. Magnitud y angulo de H( ω) en el ejemplo (α = 100). . . . . . . 132

6.6. Sistemas pasa bajos (izquierda) y pasa altos (derecha) . . . . . . 134

6.7. Respuesta a escalones de un sistema pasa bajos y un sistema pasaaltos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.8. Sistemas pasa banda y elimina banda. . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.9. Respuesta a escalones de un sistema pasa banda y un sistemaelimina banda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.10. Delta de Kronecker y su transformada de Fourier . . . . . . . . . 141

6.11. Senal y[t] = (0,8)tµ[t] y la magnitud de Y (ejθ). . . . . . . . . . . 142

6.12. Senal y[t] y su transformada discreta Y (ejθ). . . . . . . . . . . . 143

6.13. Respuesta a impulso y a escalon del ejemplo 6.14 . . . . . . . . . 147

INDICE DE FIGURAS xiii

6.14. Respuesta en frecuencia (magnitud) de un sistema de tiempo dis-creto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

7.1. Respuestas a impulso y a escalon en Ejemplo 7.3 . . . . . . . . . 1647.2. Indices definidos en la respuesta a escalon . . . . . . . . . . . . . 1657.3. Respuesta a condiciones iniciales para el ejemplo 7.4 . . . . . . . 1677.4. Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1687.5. Pulso de entrada y respuesta del sistema del ejemplo 7.6. . . . . 1707.6. Magnitud y fase de la respuesta en frecuencia del sistema en

Ejemplo 7.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1727.7. Respuesta a impulso de diferentes sistemas de acuerdo a la ubi-

cacion de sus polos en el plano complejo . . . . . . . . . . . . . . 1797.8. Sistema con interaccion aditiva entre dos estados . . . . . . . . . 1807.9. Efecto de la ubicacion de los ceros sobre la respuesta a escalon . 1827.10. Distintas formas de respuesta inversa . . . . . . . . . . . . . . . . 1837.11. Localizacion de los polos y respuesta a escalon unitario de un

sistema canonico de segundo orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1847.12. Circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

8.1. Salida y[t] para el Ejemplo 8.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1958.2. Relaciones entre ERS, funcion de transferencia y respuestas a

delta y a escalon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1988.3. Respuesta a delta Kronecker y a escalon unitario para el Ejemplo

8.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2028.4. Relacion entre la ubicacion de los polos (de multiplicidad uno) y

los modos naturales (caso decreciente). . . . . . . . . . . . . . . . 2128.5. Relacion entre la ubicacion de los polos (de multiplicidad uno) y

los modos naturales (caso no decreciente). . . . . . . . . . . . . . 2138.6. Sistema discreto con interaccion aditiva entre dos estados. . . . . 2148.7. Ejemplos de distintas formas de respuesta inversa en sistemas

discretos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

9.1. Diagrama de Bode de magnitud para una funcion tipo [B2], conq = −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

9.2. Diagrama de Bode de fase para una funcion tipo [B2], con q = −1 2239.3. Diagrama de Bode de magnitud para una funcion tipo [B4], con

q = −1 y dos valores de ξ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2249.4. Diagrama de Bode de fase para una funcion tipo [B4], con q = −1 2269.5. Diagrama de Bode de fase para una funcion tipo [B5] . . . . . . . 2279.6. Diagramas de Bode de magnitud y fase para la respuesta en fre-

cuencia del Ejemplo 9.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2319.7. Diagrama de Bode en tiempo discreto (Ejemplo 9.3). . . . . . . . 2339.8. Diagrama polar. Coordenadas cartesianas (Ejemplo 9.4). . . . . . 2359.9. Diagrama polar. Coordenadas polar (Ejemplo 9.4). . . . . . . . . 2369.10. Diagramas polares para el caso [P1]. . . . . . . . . . . . . . . . . 2379.11. Diagrama polar de una funcion tipo [P4] para distintos valores de ξ238

xiv INDICE DE FIGURAS

9.12. Diagrama polar de una funcion tipo [P6] con T = 1 . . . . . . . . 2409.13. a) Diagrama polar de una funcion tipo [P7] (T = 1 y τ = 2), y

b) detalle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2409.14. Diagrama polar de H( ω) para el Ejemplo 9.5. . . . . . . . . . . 2429.15. a) Diagrama polar de H( ω) para el Ejemplo 9.6, y b) detalle. . 2439.16. Interpretacion grafica de la respuesta en frecuencia (ejθ − po)

−1 . 2449.17. Interpretacion grafica de la respuesta en frecuencia de 1 − zoe

−jt. 2459.18. Diagrama polar para el Ejemplo 9.7. . . . . . . . . . . . . . . . . 2469.19. Sistemas a interconectar. Caracterizacion independiente . . . . . 2479.20. Sistemas interconectados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2479.21. Diagramas de Bode de H(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2519.22. Diagramas de Bode de G(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2519.23. Diagramas de Bode de G(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

10.1. Sistema masa-resorte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25610.2. Levitador electromagnetico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25910.3. Respuesta homogenea del sistema masa-resorte-roce. . . . . . . . 26410.4. Trayectorias en el espacio de estado del sistema masa-resorte-roce. 26510.5. Resonancia en el sistema masa-resorte. . . . . . . . . . . . . . . . 26810.6. Red electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26910.7. Esquema de un sistema muestreado . . . . . . . . . . . . . . . . . 27510.8. Respuesta a escalon del sistema para diferentes autovalores. . . . 28210.9. Resonancia en la salida del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . 28310.10.Efecto del muestreo en los modos naturales . . . . . . . . . . . . 28410.11.Sistema termico con retardo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28510.12.Conexion de sistemas en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28810.13.Conexion de sistemas en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28910.14.Conexion de sistemas en realimentacion (feedback) . . . . . . . . 28910.15.Circuito electronico para el Ejemplo 10.19. . . . . . . . . . . . . . 29310.16.Circuito electronico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30210.17.Estructura de un sistema de acuerdo a su controlabilidad y ob-

servabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30810.18.Observador del estado clasico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31010.19.Error de estimacion del estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31210.20.Sistema rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31210.21.Caracterıstica de filtraje de los observadores . . . . . . . . . . . . 315

11.1. Proceso de muestreo y cuantizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 31811.2. Muestreo a diferentes frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31911.3. Error de reconstruccion usando interpolacion cubica. . . . . . . . 320

12.1. Estimacion por mınimos cuadraticos . . . . . . . . . . . . . . . . 32612.2. Estimacion por mınimos cuadraticos . . . . . . . . . . . . . . . . 333

A.1. Aproximacion de primer orden para funcion no lineal de una va-riable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

INDICE DE FIGURAS xv

C.1. Pulso y su transformada para ∆ = 1, 14 ,

116 . . . . . . . . . . . . . 360

C.2. Espectro de una senal de frecuencias audible y espectro de lasenal modulada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

C.3. Tren de pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365C.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366C.5. Senal cosenoidal y[k] y su transformada discreta. . . . . . . . . . 379C.6. Secuencia y[k] = k(0,8)kµ[k] y la magnitud de su TFD. . . . . . . 384C.7. Comparacion N2 (x) y N log2N (’*’) . . . . . . . . . . . . . . . 395C.8. Primera etapa de la FFT para N = 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 396C.9. Primera y segunda etapa de la FFT para N = 8 . . . . . . . . . 397C.10.Las tres etapas de la FFT para N = 8 . . . . . . . . . . . . . . . 398

D.1. Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

xvi INDICE DE FIGURAS

Indice de cuadros

3.1. Presencia de modos en descomposiciones de la respuesta . . . . . 453.2. Presencia de modos en descomposiciones de la respuesta del Ejem-

plo 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.1. Presencia de modos en descomposiciones de la respuesta . . . . . 734.2. Presencia de modos en descomposiciones de la respuesta del ejemplo 75

5.1. Amplitud y fase de las armonicas en el Ejemplo 5.8. . . . . . . . 111

7.1. Indices de la respuesta a escalon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1667.2. Arreglo de Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

8.1. Arreglo de Jury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2088.2. Arreglo de Jury. Ejemplo 8.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2108.3. Arreglo de Jury. Ejemplo 8.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

9.1. Aproximaciones asintoticas de magnitud de factores basicos . . . 2289.2. Aproximaciones asintoticas de fase de factores basicos . . . . . . 2299.3. Contribucion de pendientes entre puntos de quiebre. Diagrama

de magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2309.4. Contribucion de pendientes entre puntos de quiebre. Diagrama

de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2309.5. Diagramas de bloques y transferencias equivalentes . . . . . . . . 249

C.1. Propiedades de la transformada de Fourier. . . . . . . . . . . . . 388C.2. Tabla de tranformadas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 389C.3. Propiedades de la transformada de Fourier discreta. . . . . . . . 390C.4. Tabla de tranformadas de Fourier discretas . . . . . . . . . . . . 391

D.1. Propiedades de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . 414D.2. Transformadas de Laplace de algunas funciones simples . . . . . 415D.3. Transformadas inversas de Laplace utiles . . . . . . . . . . . . . . 421

E.1. Propiedades de la transformada Zeta . . . . . . . . . . . . . . . . 433E.2. Transformada Zeta de algunas funciones simples . . . . . . . . . 434

xvii

xviii INDICE DE CUADROS

sistema

entrada

condiciones iniciales

Capıtulo 1

Aspectos fundamentales

1.1. Sistemas

La entidad basica considerada a lo largo del texto es el sistema. Como unaforma de uniformar el lenguaje a utilizar, usaremos la siguiente definicion:

Definicion 1.1. Un sistema es un ente organizado, resultante de la inter-conexion de elementos basicos, que segun el juicio de un observador tiene unafinalidad y caracter determinado.

222

Esta definicion es vaga a proposito, de modo que ella permita describir situa-ciones tan disımiles como sea posible. Es ası como la definicion de arriba incluyecasos como los de una red electrica, un motor hidraulico, un organismo vivo, laeconomıa de un paıs, etc. Tambien es relevante destacar que un mismo sistemafısico puede tener interes diferente para distintos observadores; por ejemplo, unamplificador electronico puede ser estudiado como un sistema electrico o co-mo un sistema termico. De esta forma la nocion de sistema resulta un tantoabstracta, pero por lo mismo sumamente poderosa.

Nuestra tarea guarda relacion con el comportamiento de los sistemas en eltiempo, el cual depende de:

y este comportamiento no solo depende , sino que tambien de:

los elementos que lo forman y su interconexion, descritos mediante unmodelo matematico;

los estımulos, entradas o excitaciones aplicados al sistema;

la historia del sistema, condensada en un conjunto de condiciones ini-ciales;

la variable independiente tiempo (cuando los elementos del sistema y/ola interconexion de ellos cambian a medida que el tiempo transcurre).

1

2 CAPITULO 1. ASPECTOS FUNDAMENTALES

se~nales

respuestas

sistema!dinamico

Las entradas al sistema son senales o funciones temporales a traves de lascuales el sistema recibe informacion y/o energıa. Estos estımulos contribuyen agenerar cambios en algunas o en todas las variables del proceso; estas ultimastambien son senales puesto que pueden ser descritas como funciones del tiempo.Las senales del proceso elegidas para observar el comportamiento del sistema seconocen como respuestas.

Las respuestas de un sistema pueden depender tambien de la informaciony/o energıa existentes (almacenadas) en el sistema en el instante en que el com-portamiento del sistema empieza a ser observado. Los sistemas con esta carac-terıstica inercial se denominan genericamente sistemas dinamicos. Ejemplosde mecanismos inerciales en sistemas son:

la velocidad inicial de un motor

el valor inicial de una variable en un computador

la temperatura inicial de una masa

la tension inicial en un condensador.

Supongamos que deseamos conocer las respuestas en un sistema dado, apartir de un instante inicial to. Entonces sera suficiente conocer ciertas variables(estado) del sistema en t = t0, y las excitaciones ∀t ≥ to.

Para ilustrar estas ideas analizaremos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.1. Consideremos la red electrica de la Figura 1.1.

R

vf (t)

+

i(t)

C vc(t)

Figura 1.1: Sistema electrico

Esta red es un sistema electrico formado por la interconexion de un resistory un condensador (los elementos). Hay una entrada al sistema determinada porla tension aplicada a traves de la fuente independiente de tension. Como salidase puede elegir cualquier senal electrica, como por ejemplo, la potencia disipadaen el resistor, la corriente en el circuito, la tension en el condensador, etc.

En la Figura 1.1 se han indicado dos senales, i(t) y vc(t), que han sidoelegidas como respuestas del sistema. Para determinar el valor de estas senales∀t ≥ 0, necesitamos conocer vf (t) ∀t ≥ to y vc(0).

222

Para representar un sistema en forma compacta usaremos el diagrama de laFigura 1.2. En esa figura se ha usado la siguiente notacion:

1.1. SISTEMAS 3

operador

estado inicialu(t) ∈ Rm : vector que reune todas las excitaciones del sistema,x(to) ∈ Rn : vector que describe el estado del sistema al tiempo to,y(t) ∈ Rp : vector que reune las senales escogidas como salidas.

y(t)u(t)

S

x(to)

Figura 1.2: Representacion compacta de un sistema

Para representar genericamente al sistema usaremos la notacion:

y(t) = T〈〈〈x(to), u(t)〉〉〉 ∀t ≥ to (1.1)

En (1.1), T〈〈〈, 〉〉〉 es un operador que describe formalmente la dependenciaque la salida y(t) tiene del estado inicial, x(to), y de la entrada u(t). Esteoperador puede ser variante en el tiempo.

Ejemplo 1.2. En el Ejemplo 1.1 se tiene que:

vf (t) = RCdvc(t)

dt+ vc(t) (1.2)

cuya solucion es1:

vc(t) = vc(to)e− t−to

RC +

∫ t

to

e−t−ηRC

RCvf (η)dη (1.3)

Entonces, si hacemos la asociacion y(t) = vc(t), u(t) = vf (t) y x(to) =vc(to), la ecuacion (1.3) puede ser identificada con (1.1), es decir,

vc(t) = T〈〈〈vc(to), vf (t)〉〉〉 ∀t ≥ to (1.4)

222

Las definiciones precedentes se aplican tambien a los sistemas de tiempodiscreto, es decir, cuando el tiempo toma valores en un conjunto enumerable(t0, t1, t2, . . .). En este tipo de sistemas, la variable independiente temporal sesuele denominar t, y para enfatizar la naturaleza distinta de las senales de tiem-po discreto, usaremos parentesis cuadrados, es decir, f [t] describira una senalfuncion de la variable temporal discreta.

Para ilustrar este tipo de sistemas consideremos el siguiente ejemplo.

1Tal como se demostrara en el Capıtulo 3.


sistema!algebraico

modelo

modelo

Ejemplo 1.3. Una cuenta de ahorro tiene un saldo inicial s[t0] = so, y recibeun interes igual a ρ % mensual. Si en el mes t-esimo (t = t0, t0 +1, . . .) se haceun deposito igual a d[t], entonces el saldo s[t] puede ser descrito por:

s[t] = s[t− 1](

1 +ρ

100

)

+ d[t] ∀t ≥ t0 (1.5)

y sujeto a s[t0] = so. En este sistema, la entrada es d[t], la salida es s[t], y elestado inicial es s[t0]. La ecuacion (1.5) tiene como solucion:

s[t] = soαt−t0 +

t∑

`=t0+1

αt−`d[`] ∀t > t0 (1.6)

La ecuacion (1.6) puede ser asociada con una estructura analoga a la de(1.1), es decir:

y[t] = T〈〈〈x[t0], u[t]〉〉〉 ∀t ≥ t0 (1.7)

222

Existe una clase de sistemas en los cuales no hay elementos almacenadores deenergıa. Estos sistemas se conocen como sistemas algebraicos o instantaneos. Ejem-plos clasicos de estos sistemas son las redes electricas resistivas. Para ellos larepresentacion (1.1) se reduce a:

y(t) = T〈〈〈u(t)〉〉〉 o y[t] = T〈〈〈u[t]〉〉〉 (1.8)

En estricto rigor, todos los sistemas reales son sistemas dinamicos. Sin em-bargo, puede ocurrir que para un observador, la escala de tiempo es tal que,desde el punto de vista practico, los fenomenos ocurren en forma instantanea.En esos casos, para efectos practicos, el sistema se representa a traves de unmodelo algebraico.

1.2. Modelos

Cuando se enfrenta el problema de analizar un sistema, naturalmente no tra-bajamos con el sistema real, sino que con una representacion de ese sistema. Esarepresentacion o modelo, captura aspectos esenciales del sistema. Por defini-cion, un modelo es una representacion aproximada de la realidad, y su gradode fidelidad depende de muchos factores, siendo uno de ellos el proposito delmodelo.

La construccion de modelos a partir de sistemas reales es un proceso complejoque involucra la fenomenologıa del sistema, mediciones, procesos de ajuste, etc.La obtencion de modelos es, por si sola, una disciplina rica en conceptos ytecnicas, sobre las cuales se entregan mas antecedentes en el Capıtulo 12.

A lo largo del texto, supondremos que ya se cuenta con un modelo quedescribe el sistema y, en consecuencia, la teorıa que aquı se desarrolla se aplicaal modelo del sistema bajo estudio. El que las conclusiones que ası se deriven

1.3. SISTEMAS LINEALES 5

sistemas lineales

superposici\’on

homogeneidad

sean validas para el sistema mismo dependera de la fidelidad con que el modelorepresenta a ese sistema. En muchos casos hablaremos del modelo y del sistemacomo sinonimos, en otros sera necesario hacer la diferencia.

1.3. Sistemas lineales

Los sistemas lineales son un subconjunto del universo de los sistemas. Suimportancia radica en la conjuncion de dos elementos:

muchos sistemas pueden representarse por modelos lineales de razonablefidelidad; y

existen poderosas herramientas para analizar y sintetizar este tipo de sis-temas.

La naturaleza de esta conjuncion se ira apreciando a medida que progresemosen el tema. No obstante ello, una vision temprana de estas razones se puedeapreciar de inmediato en las definiciones que siguen.

Definicion 1.2. Consideremos un sistema S, como se describe en la Figura 1.2y la ecuacion (1.1). Supongamos ademas que el sistema cumple con:

y1x(t) = T〈〈〈x1(to), 0 〉〉〉 ∀t ≥ to (1.9)

y1u(t) = T〈〈〈0, u1(t)〉〉〉 ∀t ≥ to (1.10)

y2x(t) = T〈〈〈x2(to), 0 〉〉〉 ∀t ≥ to (1.11)

y2u(t) = T〈〈〈0, u2(t)〉〉〉 ∀t ≥ to (1.12)

donde x1(to) y x2(to), son dos vectores de estado inicial arbitrarios,y u1(t) yu2(t) son dos vectores de entrada arbitrarios.

Entonces el sistema es lineal si y solo si:

y(t) = T〈〈〈α1x1(to) + α2x2(to), β1u1(t) + β2u2(t)〉〉〉 ∀t ≥ to (1.13)

= α1T〈〈〈x1(to), 0 〉〉〉 + α2T〈〈〈x2(to), 0 〉〉〉 + β1T〈〈〈0, u1(t)〉〉〉 + β2T〈〈〈0, u2(t)〉〉〉 (1.14)

= α1y1x(t) + α2y2x(t) + β1y1u(t) + β2y2u(t) (1.15)

para cualquier conjunto de constantes α1, α2, β1 y β2.

222

En la definicion precedente se han combinado las dos propiedades claves quedefinen los sistemas lineales: superposicion y homogeneidad.

La propiedad de superposicion encierra la idea que la salida del sistema sepuede calcular separando los efectos de componentes del estado y/o componentesde la salida, y luego sumando (superponiendo) las respuestas a cada uno deesos componentes. Note que existen tres formas en que se puede presentar lasuperposicion:


sistema!algebraico superposicion de la entrada y el estado inicial, es decir

T〈〈〈x(to), u(t)〉〉〉 = T〈〈〈x(to), 0 〉〉〉 + T〈〈〈0, u(t)〉〉〉 (1.16)

superposicion de componentes del estado inicial, es decir

T〈〈〈x1(to) + x2(to), 0 〉〉〉 = T〈〈〈x1(to), 0 〉〉〉 + T〈〈〈x2(to), 0 〉〉〉 (1.17)

superposicion de componentes de la entrada, es decir

T〈〈〈0, u1(t) + u2(t)〉〉〉 = T〈〈〈0, u1(t)〉〉〉 + T〈〈〈0, u2(t)〉〉〉 (1.18)

Por su parte, la idea de homogeneidad se expresa en que, en los sistemaslineales, la proporcionalidad en la entrada y/o el estado se propaga a la salidasin alteracion, es decir

T〈〈〈αxo, 0 〉〉〉 = αT〈〈〈xo, 0〉〉〉 (1.19)

T〈〈〈0, βu(t)〉〉〉 = βT〈〈〈0, u(t)〉〉〉 (1.20)

La ecuacion (1.19) describe la homogeneidad respecto del estado inicial,mientras que la ecuacion (1.20) describe la homogeneidad respecto de la en-trada.

Para los sistemas algebraicos las propiedades de homogeneidad y superposi-cion se aplican solo a la entrada del sistema, es decir

y(t) = T〈〈〈β1u1(t) + β2u2(t)〉〉〉 = β1T〈〈〈u1(t)〉〉〉 + β2T〈〈〈〈u2(t)〉〉〉 (1.21)

En resumen, podemos afirmar que la propiedad de linealidad nos permitedescomponer el efecto de una combinacion lineal de entradas y condicionesiniciales como la combinacion lineal de sus efectos individuales.

Para ilustrar las definiciones anteriores consideramos a continuacion algunosejemplos.

Ejemplo 1.4. Considere un sistema algebraico cuya relacion entrada-salidaesta dada por:

y(t) = T〈〈〈u(t)〉〉〉 = 2|u(t)| (1.22)

El sistema es lineal si y solo si la condicion (1.21) se cumple para todaeleccion de las constantes β1 y β2. Es facil observar que si, por ejemplo, elegimosβ1 = −1 y β2 = 0, tal condicion no se cumple, ya que:

y(t) = T〈〈〈−u1(t)〉〉〉 = 2|u1(t)| 6= −2|u1(t)| = −T〈〈〈u1(t)〉〉〉 (1.23)

En consecuencia, el sistema (1.22) no es lineal.222

1.3. SISTEMAS LINEALES 7

integradorEjemplo 1.5. Sea un sistema cuya relacion entrada-salida esta descrita por:

dy(t)

dt= (u(t))

nsujeto a y(to) = xo (1.24)

Entonces, el estado inicial x(to) es xo y la respuesta resulta:

y(t) = T〈〈〈xo, u(t)〉〉〉 = xo +

∫ t

to

(u(η))ndη ∀t ≥ to (1.25)

Note que, de la ecuacion (1.25), se ve que el efecto de la entrada y el efectode la condicion inicial se pueden superponer, ya que:

y(t) = yx(t) + yu(t)

yx(t) = T〈〈〈0, u(t)〉〉〉 =∫ t

to(u(η))

ndη

yu(t) = T〈〈〈xo, 0 〉〉〉 = xo(1.26)

Consideremos ahora el caso del estado inicial x(to) = xo = α1x1(to) +α2x2(to), con u(t) = 0; entonces la respuesta y(t) = yx(t) esta dada por:

y(t) = α1x1(to) + α2x2(to) = α1T〈〈〈x1(to), 0 〉〉〉 + α2T〈〈〈x2(to), 0 〉〉〉 (1.27)

De la ecuacion (1.27) se comprueba que el sistema tiene la propiedad desuperposicion de las componentes del estado. Naturalmente que tiene ademas lapropiedad de homogeneidad del estado.

Finalmente analizamos el caso donde x1(to) = x2(to) = y(to) = 0, y u(t) =β1u1(t) + β2u2(t), la respuesta y(t) = yu(t) esta entonces dada por:

y(t) =

∫ t

to

(β1u1(η) + β2u2(η))ndη ∀t ≥ to (1.28)

De esta ecuacion se puede ver que la propiedad de superposicion de las com-ponentes de la entrada se cumple si y solo si n = 1. Igual condicion, necesariay suficiente, se aplica para la homogeneidad de la entrada.

Resumiendo, el sistema del ejemplo tiene las siguientes caracterısticas:

tiene la propiedad de superposicion del estado y de la entrada;

tiene la propiedad de superposicion y homogeneidad del estado;

tiene la propiedad de superposicion y homogeneidad de la entrada si ysolo si n = 1.

En consecuencia, el sistema del ejemplo es lineal si y solo si n = 1.222

El lector debe tener claro que la propiedad de linealidad (o no linealidad) deun sistema dado no es necesariamente una propiedad intrınseca de ese sistema,sino que puede depender de la eleccion de la variable de salida, y/o de la variable


de entrada. Para visualizar esto, supongamos que en la ecuacion (1.24) definimos

como entrada la senal u(t)4= (u(t))

n. Entonces es facil demostrar que el sistema

con entrada u(t) y salida y(t) es lineal.Se puede construir un segundo ejemplo a partir de la red electrica de la

Figura 1.1 en la pagina 2. Supongamos que escogemos como salida la potenciap(t) disipada en el resistor. Entonces, el modelo de entrada-salida resulta dadopor:

vf (t) =√

p(t)R+1

C

∫ t

−∞

√

p(τ)

Rdτ (1.29)

donde hemos usado la ley de Joule p(t) = R(i(t))2.La discusion precedente nos motiva a introducir una nota de cautela en esta

materia

La linealidad o no linealidad de un sistema debe entenderse como la lineali-dad o no linealidad del modelo especıfico que relaciona la entrada y la salidaparticulares elegidas en el sistema.

1.4. Invarianza en el tiempo

Otra propiedad de interes es la de invarianza en el tiempo. Un sistema esinvariante en el tiempo cuando las propiedades del sistema no cambian en eltiempo, es decir, cuando se cumple la situacion de la Figura 1.3, para cualquiervalor del desplazamiento τ .

u(t) u(t− τ) y(t− τ)

invarianzaen tiempo

y(t)

x(0) = xo x(τ) = xo

S S

Figura 1.3: Propiedad de invarianza en el tiempo

En palabras, la Figura 1.3 dice que si retardamos la entrada (y las condicionesiniciales) la respuesta es la misma que antes, retardada en la misma cantidad.

En rigor, no existen los sistemas invariantes en el tiempo, excepto en suexpresion matematica pura. Sin embargo, es frecuente que la variacion que ex-perimenta un sistema dado con el transcurso del tiempo sea tan lenta, que seconsidera despreciable para todo efecto practico.

Otro aspecto a observar es que la invarianza en el tiempo (al igual quela linealidad) no es necesariamente una propiedad intrınseca de un sistema.Consideremos el caso de un sistema con entrada u(t) ∈ R y salida y(t) ∈ R,

1.5. LINEALIZACION 9

linealizacion|textbf

punto de operacion

modelo!linealizado

donde y(t) = 4u(t)− f(t), donde f(t) es una funcion (no constante) del tiempo.Entonces este sistema es variante en t. Sin embargo, si redefinimos el mismosistema de modo que la entrada es ahora el vector u(t) ∈ R2, dado por u(t) =

[u(t) f(t)]T y mantenemos la salida y(t) ∈ R, entonces y(t) = α ˜u(t), donde α esun vector fila constante dado por α = [4 − 1]. El sistema ası definido es ahorainvariante en t.

La propiedad de invarianza en el tiempo, en conjunto con la propiedad delinealidad, son las que permiten aplicar una serie de potentes herramientasde analisis, sıntesis y diseno de sistemas.

1.5. Linealizacion

Como hemos mencionado ya, casi todos los sistemas reales incluyen carac-terısticas no lineales. Sin embargo, muchos de ellos pueden ser descritos conrazonable precision por modelos lineales, al menos dentro de ciertos rangos enque el sistema funciona, lo cual permite aplicar una amplia gama de herramien-tas matematicas.

Del punto de vista practico, para obtener estos modelos lineales es comuncomenzar con un modelo no lineal y, a partir de este construir una aproxima-cion lineal en la vecindad de un punto de operacion elegido. Este enfoqueconstituye una herramienta clave para el modelado lineal en diversos campos,por ejemplo, en la Electronica analogica y en el Control Automatico.

La estrategia de linealizacion puede ser aplicada de igual forma a modelosde tiempo continuo y a modelos de tiempo discreto, a modelos en variablesde estado (Capıtulo 10) y a modelos de entrada-salida (ecuaciones recursivas yecuaciones diferenciales de orden superior).

Antes de intentar la formulacion de un procedimiento general de lineal-izacion, motivaremos el tema con el estudio de dos casos. Ambos casos sefrasearan de identica forma, con las obvias adaptaciones, para que el lectorpueda apreciar que el tema de linealizacion trasciende la naturaleza de la de-scripcion temporal.

1.5.1. Sistema no lineal de tiempo continuo

Considere un sistema con entrada u(t) y salida y(t), donde el modelo deentrada-salida esta dado por:

d 2y(t)

dt 2+ (0, 2 + y(t))

d y(t)

dt+ (y(t))

3=

(

2d u(t)

dt+ u(t)

)3

(1.30)

La idea es construir un modelo (ecuacion diferencial) lineal en que las senalesinvolucradas sean:


∆u(t)4= u(t) − uQ (1.31)

∆y(t)4= y(t) − yQ (1.32)

en que la entrada incremental ∆u(t) y la salida incremental ∆y(t) representanlas variaciones de las senales u(t) e y(t) en torno al punto de operacion (uQ, yQ).

La ecuacion (1.30) puede re-escribirse, miembro a miembro, como:

ga(x1(t), x2(t), x3(t)) = gb(x4(t), x5(t)) (1.33)

donde x1(t) = y(t), x2(t) = y(t), x3(t) = y(t), x4(t) = u(t) y x5(t) = u(t). Deesta forma:

ga(x1(t), x2(t), x3(t)) = x3(t) + (0, 2 + x1(t))x2(t) + (x1(t))3

(1.34)

gb(x4(t), x5(t)) = (2x5(t) + x4(t))3

(1.35)

Luego hacemos la expansion en serie de Taylor (ver Apendice A) de gay gb para, finalmente, igualar las aproximaciones de primer orden de ambasfunciones. Esto lleva a:

ga(x1Q, x2Q, x3Q) + (3 (x1Q)2

+ x2Q)(x1(t) − x1Q)

+ (0, 2 + x1Q)(x2(t) − x2Q) + (x3(t) − x3Q)

= gb(x4Q, x5Q) + 3 (2x5Q + x4Q)2(x4(t) − x4Q)

+ 6 (2x5Q + x4Q)2(x5(t) − x5Q) (1.36)

Usando las definiciones anteriores tenemos que:

x1(t) − x1Q = ∆y(t) (1.37)

x2(t) − x2Q = ∆y(t) =d∆y(t)

dt− x2Q (1.38)

x3(t) − x3Q = ∆y(t) =d 2∆y(t)

dt 2− x3Q (1.39)

x4(t) − x4Q = ∆u(t) (1.40)

x5(t) − x5Q = ∆u(t) =d∆u(t)

dt− x5Q (1.41)

Para lograr el objetivo deseado, es decir, una ecuacion diferencial en ∆u(t)y ∆xi(t), es necesario que el conjunto de valores (x1Q, x2Q, . . . , x5Q) que defineel punto de operacion satisfaga:

ga(x1Q, x2Q, x3Q) = gb(x4Q, x5Q) (1.42)


punto de equilibriocon lo cual, ga(x1Q, x2Q, x3Q) y gb(x4Q, x5Q) se compensan en la ecuacion (1.36).En esta etapa de nuestro analisis es oportuno hacer las siguientes observa-

ciones:

(i) Cada derivada debe ser asociada a una variable xi.

(ii) El punto de operacion es arbitrario; pero para llegar a un modelo lineal-izado, debe satisfacer la ecuacion no lineal original. Para este caso, unejemplo de punto de operacion es x1Q = 2, x2Q = 1, x3Q = −9, 2, x4Q = 3y x5Q = −1.

(iii) Es necesario elegir un punto de operacion para el que las derivadas de y(t)y de u(t), respecto del tiempo, sean iguales a cero. Este punto de operacionse conoce como punto de operacion en equilibrio o, mas brevemente, puntode equilibrio. La idea es que si un sistema esta en un punto de equilibrio,el sistema se mantiene operando en ese punto ya que las derivadas de y(t) yde u(t) son cero. La eleccion del punto de equilibrio se hace considerandoel punto en que el sistema a analizar estara operando. Para este caso,existen infinitos puntos de equilibrio y todos ellos satisfacen x1Q = x4Q,x2Q = 0,x3Q = 0 y x5Q = 0. Con esto, las ecuaciones (1.37)-(1.41) setransforman en:

x1(t) − x1Q = ∆y(t) (1.43)

x2(t) − x2Q = ∆y(t) =d∆y(t)

dt(1.44)

x3(t) − x3Q = ∆y(t) =d 2∆y(t)

dt 2(1.45)

x4(t) − x4Q = ∆u(t) (1.46)

x5(t) − x5Q = ∆u(t) =d∆u(t)

dt(1.47)

El modelo lineal para el caso estudiado tiene entonces la forma:

d 2∆y(t)

dt 2+ a1

d∆y(t)

dt+ a0∆y(t) = b1

d∆u(t)

dt+ b0∆u(t) (1.48)

(iv) Cuando el modelo no lineal esta descrito por dos o mas ecuaciones, lascoordenadas del punto de operacion deben satisfacer al conjunto de ecua-ciones simultaneas.

(v) Un punto de operacion en equilibrio se calcula a partir del modelo alge-braico (tal vez no lineal) que resulta de hacer cero todas las derivadas enel modelo dinamico no lineal.

(vi) La linealizacion puede hacerse sobre la funcion compuesta g4= ga−gb = 0.

222


1.5.2. Sistema no lineal de tiempo discreto

Considere un sistema de tiempo discreto con entrada u[t] y salida y[t], dondeel modelo de entrada-salida es la ecuacion recursiva:

y[t] + 0, 5y[t− 1]y[t− 2] + 0, 1u[t](y[t− 2])2 = (u[t− 1])3 (1.49)

La idea es construir un modelo (ecuacion recursiva) lineal en que las senalesinvolucradas sean:

∆u[t]4= u[t] − uQ (1.50)

∆y[t]4= y[t] − yQ (1.51)

en que la entrada incremental ∆u[t] y la salida incremental ∆y[t] representan lasvariaciones de las variables u[t] e y[t] en torno al punto de operacion (uQ, yQ).

La ecuacion (1.30) puede re-escribirse, miembro a miembro, como:

gc(x1[t], x2[t], x3[t], x4[t]) = gd(x5[t]) (1.52)

donde x1[t] = y[t], x2[t] = y[t− 1], x3[t] = y[t− 2], x4[t] = u[t] y x5[t] = u[t− 1].Ası:

gc(x1[t], x2[t], x3[t], x4[t]) = x1[t] + 0, 5x2[t]x3[t] + 0, 1x4[t] (x3[t])2

(1.53)

gd(x5[t]) = (x5[t])3

(1.54)

Luego hacemos la expansion en serie de Taylor (ver Apendice A) de gc ygd para, finalmente, igualar las aproximaciones de primer orden de ambas fun-ciones. Esto lleva a:

gc(x1Q, x2Q, x3Q, x4Q) + (x1[t] − x1Q)

+ 0, 5x2Q(x3[t] − x3Q) + 0, 5x3Q(x2[t] − x2Q)

+ 0, 2x4Qx3Q(x3[t] − x3Q) + 0, 1 (x3Q)2(x4[t] − x4Q)

= gd(x5Q) + 3 (x5Q)2(x5[t] − x5Q) (1.55)

Usando las definiciones anteriores y la notacion ∆y[t− `] = y[t− `] − x1Q y∆u[t− j] = u[t− j] − x4Q, tenemos que:

x1[t] − x1Q = ∆y[t] (1.56)

x2[t] − x2Q = ∆y[t− 1] + x1Q − x2Q (1.57)

x3[t] − x3Q = ∆y[t− 2] + x1Q − x3Q (1.58)

x4[t] − x4Q = ∆u[t] (1.59)

x5[t] − x5Q = ∆u[t− 1] + x4Q − x5Q (1.60)


punto de equilibrioPara lograr el objetivo deseado, es decir, una ecuacion recursiva en ∆u[t] y∆y[t], es necesario que el punto de operacion (x1Q, x2Q, . . . , x5Q) satisfaga:

gc(x1Q, x2Q, x3Q, x4Q) = gd(x5Q) (1.61)

con lo cual, gc(x1Q, x2Q, x3Q, x4Q) y gd(x5Q) se compensan en (1.55).En esta etapa de nuestro analisis es oportuno hacer las siguientes observa-

ciones:

(i) Cada senal retardada debe ser asociada a una variable xi.

(ii) El punto de operacion es arbitrario; pero para llegar a un modelo lineal-izado, debe satisfacer la ecuacion no lineal original. Para este caso, unejemplo de punto de operacion es x1Q = −2, x2Q = 1, x3Q = 2, x4Q = 5y x5Q = 1.

(iii) Es necesario elegir un punto de operacion en que las senales son constantes,es decir, u[t] = uQ e y[t] = yQ, para todo instante t, lo cual implica tambienque todas las diferencias son cero. Este punto de operacion se conoce comopunto de operacion en equilibrio o, mas brevemente, punto de equilibrio.La idea es que si un sistema esta en un punto de equilibrio, el sistema semantiene operando en ese punto ya que las diferencias de y[t] y de u[t] soncero. La eleccion del punto de equilibrio se hace considerando el punto enque el sistema a analizar estara operando. Para este caso, existen infinitospuntos de equilibrio y todos ellos satisfacen x1Q = x2Q = x3Q = yQ,x4Q = x5Q = uQ, e

yQ + 0, 5y2Q + 0, 1uQy

2Q = u3

Q (1.62)

El modelo lineal tiene entonces la forma

∆y[t] + c1∆y[t− 1] + c0∆y[t− 2] = d1∆u[t] + d0∆u[t− 1] (1.63)

(iv) Cuando el modelo no lineal esta descrito por dos o mas ecuaciones, lascoordenadas del punto de operacion deben satisfacer al conjunto de ecua-ciones simultaneas.

(v) Un punto de operacion en equilibrio se calcula a partir del modelo alge-braico que resulta de hacer cero todas las diferencias en el modelo dinamicono lineal, es decir, cada una de las senales involucradas es reemplazada poruna constante a calcular, con independencia del retardo que ella exhiba.

(vi) La linealizacion puede hacerse sobre la funcion compuesta g4= gc−gd = 0.

222

El analisis de los casos precedentes muestra que, con independencia de lanaturaleza temporal de los sistemas (continuo o discreto), la linealizacion de


punto de operacion

se~nal incremental

modelo!peque~na se~nal

sus modelos no lineales tiene ciertos pasos basicos. En primer lugar, restringire-mos la linealizacion a la construccion de modelos lineales en torno a puntosde equilibrio. Observamos que cuando trabajamos en un punto de equilibrio,todos los valores de ese punto x1Q, x2Q, . . . , se pueden expresar en funcion delpar (uQ, yQ); por ello diremos que el punto de operacion en equilibrio quedadefinido por ese par.

Supongamos que el sistema con entrada u() y salida y() es descrito por:

f〈u(), y()〉 = 0 (1.64)

donde f〈〉 es un operador no lineal y, posiblemente, dinamico.Tambien suponemos que:

(i) existe, al menos un par de valores constantes reales (uQ, yQ) tales que,

f〈uQ, yQ〉 = 0 (1.65)

Cada uno de estos pares define un punto de operacion en equilibrio.

(ii) f〈u(), y()〉 es infinitamente diferenciable, con respecto a u, con respectoa y, y con respecto a las derivadas (o valores retardados) de ambos, en elpunto de operacion de interes.

Si expresamos u() y y() como

u() = uQ + ∆u() (1.66)

y() = yQ + ∆y() (1.67)

entonces podemos expandir el lado izquierdo de la ecuacion (1.64) en una seriede Taylor, en torno al punto de operacion (uQ, yQ). Si en esa expansion tomamossolo los terminos de primer orden, entonces el resultado es un modelo lineal, unaecuacion diferencial o una ecuacion recursiva, en las variables ∆u() y ∆y().

Nota 1.1. El procedimiento de linealizacion en el caso de un sistema discreto sedesarrolla sin dificultad porque las derivadas parciales de la expansion en seriede Taylor se realizan con respecto a las variables de entrada y de salida y nocon respecto de la variable tiempo (discreto).

Nota 1.2. El procedimiento de linealizacion presentado anteriormente generaun modelo que es lineal en las componentes incrementales de las entradas ylas salidas en torno a un punto de operacion elegido (i.e. se trata de un modeloa pequena senal).

Ilustramos esto a traves de algunos ejemplos.

Ejemplo 1.6. Considere un sistema de tiempo continuo descrito por el modelo

f〈u(t), y(t)〉 =dy(t)

dt+√

y(t) − (u(t))2

3= 0 (1.68)


Suponga que la entrada u(t) varıa alrededor de u = 2. Encuentre un puntode operacion con uQ = 2 y un modelo linealizado en torno a el.Solucion

(i) El punto de operacion es calculado de (1.68) con uQ = 2 y tomando dy(t)dt =

0. Esto lleva a

√yQ − (uQ)

2

3= 0 =⇒ yQ =

16

9(1.69)

(ii) El modelo linealizado es entonces obtenido a traves de la expansion de(1.68) en serie de Taylor para obtener:

d∆y(t)

dt+

1

2√yQ

∆y(t) − 2uQ3

∆u(t) = 0 (1.70)

Cuando se usan valores numericos para el punto de operacion, se obtieneel siguiente modelo linealizado:

d∆y(t)

dt+

3

8∆y(t) − 4

3∆u(t) = 0 (1.71)

222

La idea fundamental que se deduce del proceso de linealizacion es que: laspropiedades del modelo lineal para valores pequenos de sus variables incremen-tales, permiten inferir el comportamiento del sistema original en las cercanıasdel punto de operacion.

Para comparar efectivamente la calidad de la aproximacion que provee unmodelo linealizado, es necesario poder simular ambos modelos, el original (no-lineal) y el obtenido (lineal). Para ello, herramientas como Simulink o Simnon

son extraordinariamente poderosas. A modo de ejemplo, se incluye en la Figura1.4 un esquema Simulink para simular el modelo no lineal del Ejemplo 1.6,dado por:

d y

dt+√

y(t) =(u(t))

2

3(1.72)

o, en forma mas conveniente para armar el esquema Simulink :

d y

dt= −

√

y(t) +(u(t))

2

3(1.73)

Para apreciar la calidad de la aproximacion consideramos el sistema originaly su modelo linealizado y corremos una simulacion donde la entrada a ambossistemas es una constante igual a 2 mas una secuencia de pulsos de amplitudcreciente. Los resultados se muestran en la Figura 1.5. Podemos ver ahı que elerror de linealizacion crece a medida que el sistema es llevado lejos del punto deoperacion, en torno al cual se calculo el modelo linealizado.


sqrt

RaizCuadrada

|u|2

MathFunction

In1 Out1

Integrador

1/3

Gain

y(t)u(t)

Figura 1.4: Diagrama Simulink para simulacion de un sistema no lineal.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

Tiempo [s]

Figura 1.5: Salida del sistema no lineal (linea solida) y salida del sistema lin-ealizado (lınea segmentada) para una onda cuadrada de amplitudcreciente en la entrada (lınea punteada)

Ejemplo 1.7. Las caracterısticas de un sistema no lineal de tiempo discreto,con entrada u[t] y salida y[t], son descritas exactamente por

f〈u[t], y[t]〉 = y[t]− 0,7y[t− 1] + 0,12(1 + 0,1u[t])y[t− 2]− 2 + sen (u[t− 1]) = 0(1.74)

Construya un modelo linealizado en torno al punto de operacion definido poruQ = 0.Solucion

(i) Para calcular yQ aplicamos (1.65), de donde se obtiene

yQ − 0,7yQ + 0,12yQ = 2 =⇒ yQ = 4,762 (1.75)

(ii) El modelo linealizado es ahora construido de (1.74), llevando a


∆y[t] − 0,7∆y[t− 1] + 0,12(1 + 0,1uQ)∆y[t− 2]+

0,12yQ (∆u[t])) + cos (uQ) ∆u[t− 1] = 0 (1.76)

Entonces, usando los valores numericos para el punto de operacion, seobtiene el siguiente modelo linealizado:

∆y[t] − 0,7∆y[t− 1] + 0,12∆y[t− 2] = −0,571∆u[t] + ∆u[t− 1] (1.77)

222

Nota 1.3. Los paquetes computacionales modernos incluyen comandos espe-ciales para calcular modelos linealizados en torno a puntos de operacion definidospor el usuario (pre-calculados). En el caso de Simulink , los comandos apropi-ados son linmod (para sistemas de tiempo continuo) y dlinmod (para sistemasde tiempo discreto e hıbridos).

Nota 1.4. Como hemos mencionado, los modelos linealizados son solo modelosaproximados y, por tanto, deben ser considerados con la precaucion apropia-da (como deberıan serlo en realidad todos los modelos). Cuando se realiza lalinealizacion de un modelo, el siguiente termino de la expansion en serie deTaylor puede ser utilizado frecuentemente como una medida del error asociadoal modelado.

Los modelos lineales pueden ser obtenidos linealizando un modelo no linealen torno a un punto de operacion. En muchas aplicaciones, los modeloslineales proveen suficiente informacion para estudiar la operacion del sistema(no lineal) original y para sintetizar sistemas con suficiente precision. Sinembargo, se requiere desarrollar una metodologıa para tratar los inevitableserrores de modelado que resultan de la linealizacion.

Una observacion mas general sobre el tema de la linealizacion se relacionacon el hecho que este concepto se puede extender, de modo que la linealizacionse hace, no en torno a un punto de operacion, sino que a una trayectoria deoperacion, es decir, en torno a una solucion de interes (uQ(t), yQ(t)) del modelono lineal.


1.6. Problemas para el lector

Problema 1.1. Considere un sistema cuyo modelo de comportamiento esta da-do por

y(t) = mu(t) + b (1.78)

Determine las condiciones que deben satisfacer las contantes m y b de modoque el sistema sea lineal

Problema 1.2. El area de un rectangulo es A = xy, donde x e y representanlas longitudes de sus lados.

1.2.1 Obtenga una expresion linealizada para A en torno al punto de operacionxQ = 2, yQ = 5.

1.2.2 Obtenga y describa geometricamente el error cometido al usar el modelolineal para calcular el area de un rectangulo con lados x = 3 e y = 6.

Problema 1.3. Sea un sistema lineal algebraico de dimension 2×2, es decir,con dos entradas y dos salidas. Se realizan algunos experimentos y se llega a:

y(t) = [2 − 1]T = T〈〈〈[1 − 1]T〉〉〉 (1.79)

y(t) = [3 4]T = T〈〈〈[1 − 2]T〉〉〉 (1.80)

Determine la respuesta del sistema cuando la entrada es u(t) = [1 1]T

Problema 1.4. Considere un sistema con entrada u(t) y salida y(t), rela-cionados por la ecuacion diferencial

dy(t)

dt+(

2 + 0,1 (y(t))2)

y(t) = 2u(t) (1.81)

1.4.1 Determine los modelos linealizados para un punto de operacion definidopor yQ = 0,1.

1.4.2 Repita el punto anterior para yQ = 3. Compare con el resultado anterior.

Problema 1.5. En un sistema con entrada u(t) y salida y(t), la relacionentrada-salida esta dada por

y(t)d y(t)

dt+ 3 (y(t))

2= 2 (u(t))

13 (1.82)

Redefina, si es posible, la entrada y/o la salida de modo que el modelo en lassalidas redefinidas sea lineal.

1.6. PROBLEMAS PARA EL LECTOR 19

Problema 1.6. Considere la funcion no lineal dada por

y(t) =

u(t) ∀|u(t)| ≤ 1

signou(t) ∀|u(t)| > 1(1.83)

Discuta la linealizacion de esta funcion en distintos punto de operacion.

Problema 1.7. En los sistemas tributarios modernos existe un tasa progresiva,es ası como a mayor ingreso, mas alto es el porcentaje de impuesto a pagar.Analice el sistema desde el punto de vista de la linealidad

Problema 1.8. Un sistema no lineal tiene un modelo dado por

d y(t)

dt+ f(y)y(t) = 2u(t) (1.84)

Donde la funcion f(y) aparece en la Figura 1.6.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

y

f(y)

Figura 1.6: Ganancia no lineal para el Problema 1.8

Construya modelos linealizados para los puntos de operacion determinadospor yQ = −3, yQ = 0 e yQ = 1.

Problema 1.9. Determine si el siguiente sistema es o no lineal

d y(t)

dt+ 2ty(t) = 2u(t) (1.85)

Problema 1.10. Construya, si es posible, modelos lineales para los sistemas nolineales cuyos modelos se indican, con las condiciones de operacion especificadas(en todos los puntos de operacion resultantes)

y[t] − 0,5(y[t− 1])3 = u[t− 5] yQ = 2 (1.86)

y[t] − 0,2y[t− 1]y[t− 2] + 0,4y[t− 3] =u[t− 1]

1 + 0,2(u[t− 2])2uQ = 1 (1.87)


Problema 1.11. Considere el siguiente modelo no lineal

x1(t) = −2x1(t) + 0,1x1(t)x2(t) + u(t) (1.88)

x2(t) = −x1(t) − 2x2(t) (x1(t))2

(1.89)

y(t) = x1(t) + (1 + x2(t))2 (1.90)

Construya un modelo lineal en torno al punto de operacion definido poruQ = 1.

Problema 1.12. . Sistema predador-presa (Lotka-Volterra).Considere el sistema de ecuaciones diferenciales no-lineales, que describe la

dinamica de una poblacion de conejos (c(t) > 0) y de zorros (z(t) > 0):

d c

dt= αc(t) + βc(t)z(t) (1.91)

d z

dt= −γz(t) + δc(t)z(t) (1.92)

en que los parametros α, β, γ, δ son positivos.

1.12.1 Determine todos los puntos de equilibrio del sistema de ecuaciones.

1.12.2 Obtenga el sistema linealizado en torno a cada uno de los puntos deequilibrio anteriores.

1.12.3 Estudie y compare el tipo de soluciones del sistema linealizado en cadauno de los puntos de equilibrio.

1.12.4 Elija algun valor para los parametros, y simule el sistema original y ellinealizado en torno a cada punto de equilibrio, representando la solucionen el plano (c(t), z(t)).

se~nales|textbf

se~nales!de prueba

escalon unitario

Heaviside

impulso unitario

delta de Dirac|textbf

Dirac

Capıtulo 2

Senales

2.1. Introduccion

El comportamiento de los sistemas puede evaluarse observando las senalescorrespondientes a las variables de entrada del sistema, variables de salida eincluso a variables intermedias del mismo. Mas aun, el comportamiento de lossistemas puede estudiarse, y ası suele hacerse, observando su respuesta cuandose inyectan al sistema determinadas senales de prueba.

El analisis de senales es un aspecto esencial de la teorıa de sistemas lineales,no solo por su valor experimental, sino que por la propiedad de linealidad, lacual permite construir modelos en base a la respuesta del sistema ante ciertassenales de prueba.

2.2. Senales de tiempo continuo

En el caso de los sistemas de tiempo continuo, existen varias senales quejuegan un rol fundamental en la teorıa de los sistemas lineales. Ellas y suspropiedades de mayor interes se presentan a continuacion.

2.2.1. Escalon unitario (funcion de Heaviside)

El escalon unitario en el instante to se define como

µ(t− to)4=

1 ∀t ≥ to

0 ∀t < to(2.1)

y se representa en la Figura 2.1.

2.2.2. Impulso unitario o delta de Dirac

21

22 CAPITULO 2. SENALES

0

1

µ(t− to)

to t

Figura 2.1: Escalon unitario o funcion de Heaviside.

δ(t− to)

0

1

to t

Figura 2.2: Impulso unitario o delta de Dirac.

El impulso unitario o delta de Dirac es una senal peculiar. En estricto rigorno es una funcion temporal, sino que es lo que se conoce en Matematica comodistribucion o funcion generalizada. Se define como la funcion δ() que satisface:

δ(t− to) = 0 ∀t 6= to con

∫ ∞

−∞δ(t− to)dt = 1 (2.2)

y se representa graficamente como muestra la Figura 2.2.Como se puede observar, esta senal no es fısicamente realizable, y se debe

entender como una idealizacion de determinadas situaciones. Algunas de ellasse pueden apreciar en la Figura 2.3.

to

1ε

12ε

to − ε

f1(t) f2(t)

t ttoto − ε to + εto + ε

Figura 2.3: Aproximaciones al delta de Dirac

2.2. SENALES DE TIEMPO CONTINUO 23

funci\’on muestreo

rampa unitariaLa funciones f1(t) y f2(t) de la Figura 2.3 cumplen con:

∫ ∞

−∞f1(t)dt =

∫ ∞

−∞f2(t)dt = 1 ∀ε (2.3)

Ademas,

lımε→0

f1(t) = lımε→0

f2(t) = 0 ∀t 6= to (2.4)

Otra funcion de importancia que tiene la misma propiedad que f1(t) y f2(t)es:

f3(t) =1

π

sen[t−toε

]

t− to(2.5)

Esta funcion, conocida como la funcion muestreo, juega un papel muy im-portante en la relacion entre senales de tiempo continuo y de tiempo discreto(ver Capıtulo 11). Se puede demostrar que:

lımε→0

f3(t) = δ(t− to) (2.6)

Una propiedad clave del delta de Dirac esta descrita en el siguiente lema.

Lema 2.1. Considere una funcion cualquiera f(t), entonces

f(t) =

∫ ∞

−∞f(τ)δ(t− τ)dτ (2.7)

222

El Lema 2.1 establece que toda senal puede ser expresada como una op-eracion lineal sobre el impulso δ(t − τ) para −∞ < τ < ∞. Veremos masadelante que esta propiedad sera la base para calcular la respuesta de un sis-tema lineal ante cualquier senal, a partir de la respuesta de ese sistema a unimpulso unitario.

2.2.3. Rampa unitaria

La rampa unitaria se define como:

r(t− to) =

t− to ∀t ≥ to

0 ∀t < to(2.8)

y se muestra en la Figura 2.4.El delta de Dirac, el escalon unitario y la rampa unitaria pertenecen a una

secuencia de funciones, donde cada una se puede obtener como la derivada dela siguiente, es decir:

δ(t− to) =dµ(t− to)

dt=d2r(t− to)

dt2(2.9)


exponencial

exponencial!creciente

constante de tiempo

r(t− to)

to + 1 tto

1

0

Figura 2.4: Rampa unitaria.

o, equivalentemente, a traves de la integral de la anterior, es decir:

r(t− to) =

∫ t

−∞µ(τ − to) dτ =

∫ t

−∞

∫ τ

−∞δ(ν − to) dν dτ (2.10)

Observe que hemos interpretado el impulso como la derivada del escalon, locual implica dar un significado a la derivada de una funcion en un punto dediscontinuidad. Esto tiene sentido solo si esa discontinuidad es finita. En todocaso estas operaciones deben manejarse con precaucion si se desea mantener elrigor matematico.

2.2.4. Exponencial

La funcion exponencial es definida genericamente como

f(t) = eαt (2.11)

donde α = σ + jω, σ, ω ∈ R. Sin embargo, cuando ω 6= 0, la exponencial noes una senal real, y solo tiene sentido fısico cuando se combina con su senalcompleja conjugada, f(t)∗ = eα

∗t, en cuyo caso se obtiene una sinusoide deamplitud modulada exponencialmente, situacion que se analiza por separadomas adelante.

Para el caso α ∈ R distinguimos dos casos, como se ilustra en la Figura 2.5.Cuando α > 0 tenemos una exponencial creciente. Esta senal esta asociada alos sistemas inestables, como es explicara mas adelante. Cuando α < 0, esta-mos en presencia de una exponencial decreciente. Esta forma exponencial es deenorme importancia en la teorıa de sistemas, ya que aparece con frecuencia en ladescripcion de una amplia gama de fenomenos, por ejemplo, la descarga de uncondensador a traves de un resistor y el decaimiento de sustancias radiactivas,entre otros.

Naturalmente que el caso especial α = 0 corresponde a la funcion constante.

Para las exponenciales decrecientes se suele definir un parametro adicional:la constante de tiempo, definida como:

2.2. SENALES DE TIEMPO CONTINUO 25

sinusoide

0 1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

α<0

Tiempo [s]0 1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

7

8

α>0

Tiempo [s]

Figura 2.5: Exponenciales creciente (izquierda) y decreciente (derecha)

τ =1

|σ| (2.12)

La constante de tiempo es una medida de la velocidad de decaimientode la exponencial, tal como se ilustra en la Figura 2.6.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo [s]

τ1>τ

2>τ

3

τ=τ3

τ=τ2

τ=τ1

Figura 2.6: Exponenciales de diferentes velocidades de decaimiento

Una propiedad interesante de la exponencial se muestra en la Figura 2.7,donde se observa que la tangente a la curva, trazada en t = 0 intersecta laasıntota de la exponencial (el eje temporal) exactamente en t = τ , lo cual puedeser verificado analıticamente por el lector.

2.2.5. Senales sinusoidales

La senal fundamental en todo tipo de oscilaciones periodicas es la funcionsinusoidal, que se describe en forma generica por:

f(t) = A sen(ωt+ β) (2.13)


sinusoide!amplitud

sinusoide!frecuencia angular

sinusoide!desfase

sinusoide!perıodo

sinusoide!frecuencia

Euler

sinusoide!formula de Euler

exponencial imaginaria

sinusoide!amortiguada

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo normalizado t/τ

Figura 2.7: Propiedad de la constante de tiempo

donde A es la amplitud, ω es la frecuencia angular (en [rad/s]) y β es el angulode fase, o desfase.

El perıodo, T [s], y la frecuencia, f [Hz], de la sinusoide estan dados por:

T =1

f=

2π

ω(2.14)

Un representacion equivalente para las senales sinusoidales se puede obtenera partir de la formula de Euler

A sen(ωt+ β) = Aej(ωt+β) − e−j(ωt+β)

2j(2.15)

De esta ecuacion se puede apreciar la interpretacion que usualmente se da ala exponencial imaginaria ejωt, ya que1

sen(ωt) = =ejωt (2.16)

2.2.6. Sinusoidales con amplitud exponencial

Otra de las senales que aparece frecuentemente en la descripcion del com-portamiento natural de los sistemas son las sinusoides cuya amplitud varıanexponencialmente en el tiempo, es decir, de la forma:

f(t) = Aeσt sen(ωt+ β) (2.17)

Naturalmente, cuando σ = 0, la senal se reduce a una sinusoide pura. Loscasos σ < 0 (sinusoide amortiguada exponencialmente) y σ > 0 (sinusoidecreciente exponencialmente) se muestran en la Figura 2.8.

Para estas funciones, la relacion de Euler lleva a:

Aeσt sen(ωt+ β) = Ae(σ+jω)t+jβ − e(σ−jω)t−jβ

2j(2.18)

1La notacion = siginifica parte imaginaria de ...

2.3. SENALES DE TIEMPO DISCRETO 27

se~nales!de tiempo discreto

escalon unitario

impulso unitario

delta de Kronecker|textbf

0 1 2 3−1

−0.5

0

0.5

1

tiempo normalizado t/T0 1 2 3

−500

0

500

tiempo normalizado t/T

Figura 2.8: Senales sinusoidales con amplitud disminuyendo exponencialmente(izq.) y creciendo exponencialmente (der.)

0

1

t

µ[t− to]

to

Figura 2.9: Escalon unitario de tiempo discreto

2.3. Senales de tiempo discreto

En el caso de las senales de tiempo discreto, existen contrapartes directas delas senales para tiempo continuo, con algunas sutiles, pero significativas diferen-cias. La primera diferencia obvia es que la variable independiente esta definidasobre el conjunto de los numeros enteros, Z. Otras apareceran en cada oportu-nidad.

2.3.1. Escalon unitario de tiempo discreto

El escalon unitario en el instante to se define como:

µ[t− to]4=

1 ∀t ≥ to

0 ∀t < to(2.19)

y se representa en la Figura 2.9.

2.3.2. Impulso unitario discreto o delta de Kronecker


rampa unitaria

0

1

tto

δ[t− to]

Figura 2.10: Impulso unitario discreto o delta de Kronecker

El impulso unitario discreto o delta de Kronecker se define como:

δ[t− to]4=

0 ∀t 6= to

1 t = to(2.20)

y se representa en la Figura 2.10.Una propiedad clave del delta de Kronecker, analoga a la del delta de Dirac

(lema 2.1) esta descrita en el siguiente lema.

Lema 2.2. Considere una funcion cualquiera f [t], entonces

f [t] =

∞∑

i=−∞f [i]δ[t− i] (2.21)

222

El lema 2.2 establece que toda senal puede ser expresada como una operacionlineal sobre un tren de deltas de Kronecker. Veremos mas adelante que estapropiedad sera la base para calcular la respuesta de un sistema lineal de tiempodiscreto a partir de su respuesta a un impulso unitario.

2.3.3. Rampa unitaria de tiempo discreto

La rampa unitaria se define como:

r[t− t0]4=

t− to ∀t ≥ to

0 ∀t < to(2.22)

y se representa en la Figura 2.11.De manera similar a las senales de tiempo continuo, el delta de Kronecker,

el escalon unitario y la rampa unitaria pertenecen a una secuencia de funciones,donde cada una se puede obtener como la primera diferencia del miembro quele sigue, es decir:

δ[t− to] = µ[t− to]−µ[t− to− 1]; µ[t− to] = r[t− to + 1]− r[t− to] (2.23)


exponencial

0 tto

r[t− to]

Figura 2.11: Rampa unitaria de tiempo discreto

o a traves de la acumulacion de la que precede, es decir

r[t− to] =

∞∑

i=to+1

µ[t− i]; µ[t− to] =

∞∑

i=to

δ[t− i] (2.24)

2.3.4. Exponencial de tiempo discreto

La funcion exponencial es definida genericamente como

f [t] = λt (2.25)

donde λ es, en general, un numero complejo. Sin embargo, cuando =λ 6=0, la exponencial no es una senal real, y solo tiene sentido fısico cuando secombina con (λ∗)t, en cuyo caso se llega a una sinusoide de amplitud moduladaexponencialmente, situacion que se analiza por separado mas adelante.

Si λ ∈ R distinguimos cuatro casos, como se ilustra en la Figuras 2.12 y 2.13.

0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0<λ< 1

0 2 4 6 8

0

1

2

3

4

5

1<λ

Figura 2.12: Exponenciales de tiempo discreto, decreciente (izquierda) y cre-ciente (derecha), λ ∈ R+

En la Figura 2.12, se observa el caso cuando λ es positivo, a la izquierdaaparece un ejemplo para 0 < λ < 1 y a la derecha, aparece un ejemplo para λ >


exponencial!creciente

sinusoide!discreta

sinuosoide!aperiodica

1. Cuando λ > 1 tenemos una exponencial creciente. Esta senal aparece asociadaa los sistemas inestables de tiempo discreto, como es explicara mas adelante.Por su parte, cuando 0 < λ < 1, estamos en presencia de una exponencialdecreciente. Esta forma exponencial es de enorme importancia en la teorıa desistemas, ya que interviene con frecuencia en la descripcion del comportamientonatural de una amplia gama de sistemas.

En la Figura 2.13, se observa el caso cuando λ es negativo, a la izquierdaaparece el sub-caso 0 > λ > −1 y a la derecha, aparece el sub-caso λ < −1.

0 2 4 6 8−1

−0.5

0

0.5

1

0>λ>− 1

0 2 4 6 8−4

−2

0

2

4

6

λ<− 1

Figura 2.13: Exponenciales de tiempo discreto, decreciente (izquierda) y cre-ciente (derecha), λ ∈ R−

Naturalmente que el caso especial λ = 1 corresponde a la funcion constante,y el caso λ = −1 puede identificarse como una senal sinusoidal, las cuales serevisan a continuacion.

2.3.5. Senales sinusoidales de tiempo discreto

Al igual que en el caso de tiempo continuo, en sistemas discretos la senal fun-damental en oscilaciones periodicas es la funcion sinusoidal, cuya forma genericaes:

f [t] = A sen(θt+ β) (2.26)

donde A es la amplitud, θ es la frecuencia angular normalizada (en [rad]) y βes el angulo de fase, o desfase. Note que la unidad de la frecuencia es [rad], y enel Capıtulo 11 veremos la relacion entre esta y la frecuencia angular en tiempocontinuo, con unidades [rad/s].

Una importante diferencia con las sinusoides de tiempo continuo, es que unasinusoide de tiempo discreto puede ser aperiodica en t.

Lema 2.3. Una sinusoide de tiempo discreto es periodica si solo si existennumeros naturales p y N , tales que:

θ = 2πp

N(2.27)


Euler

sinusoide!discreta!amortiguadaDemostracion

Una sinusoide discreta sen(θt) es periodica si y solo si existe un numeronatural N tal que, para todo t ∈ N,

sen(θt) = sen(θ(t+N)) = sen(θt) cos(θN) + cos(θt) sen(θN) (2.28)

Para que esta igualdad se cumpla para todo t ∈ N, es necesario y suficienteque cos(θN) = 1 ( ⇐⇒ sen(θN) = 0). Esto se cumple si y solo si existe p ∈ Ntal que se cumple (2.27).

222

De acuerdo a este lema, las sinusoidales de tiempo discreto: sen(t/7), cos(2t),sen(e t) son todas senales aperiodicas.

Un representacion equivalente para las senales sinusoidales se puede obtenera partir de la formula de Euler:

A sen(θt+ β) = Aej(θt+β) − e−j(θt+β)

2j(2.29)

2.3.6. Sinusoidales con amplitud exponencial

La sinusoide con amplitud modulada exponencialmente interviene frecuente-mente describiendo el comportamiento natural de los sistemas de tiempo dis-creto. Esta senal aparece cuando λ ∈ C, lo cual significa que podemos expresarλ en la forma polar:

λ = ρ ej θ = |λ| ej∠λ (2.30)

y, de esta forma, tenemos que:

λt = ρtej θt = ρt cos(t θ) + jρt sen(t θ) (2.31)

Consideremos entonces la senal:

f [t] = Aρt sen(θt+ β) (2.32)

Naturalmente, cuando ρ = 1, la senal se reduce a una sinusoide pura. Loscasos 0 < ρ < 1 (sinusoide amortiguada exponencialmente) y ρ > 1 (sinusoidecreciente exponencialmente) se muestran en la Figura 2.14.


0 5 10 15 20−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.80<ρ <1

0 5 10 15 20−3

−2

−1

0

1

2

3ρ >1

Figura 2.14: Senales sinusoidales de tiempo discreto con amplitud variando ex-ponencialmente


Problema 2.1. Dibuje los graficos de las siguientes senales:

f1(t) = | sen(2t)|; f2(t) = µ(−3t+ 2) (2.33)

f3(t) =sen(2t)

t; f4(t) = r(−4t− 2) (2.34)

Problema 2.2 (Senal de amplitud modulada). Suponga que la senalf(t) = cos(10πt) es multiplicada por otra senal g(t). Dibuje el grafico del produc-to f(t)g(t), para dos casos distintos: g(t) = 0,2 sen(πt) y g(t) = signo(sen(πt))

Problema 2.3 (Pulsos de ancho modulado). Supongamos se tiene la se-cuencia de pulsos:

f(t) =∞∑

i=0

(µ(t− 3i) − µ(t− 1 − g(t) − 3i)) (2.35)

Construya un grafico de la senal f(t) para g(t) = 0, 5 sen(0, 1πt).

Problema 2.4. Considere la funcion:

f(t) =1

π

sen(α(t− 2))

t− 2(2.36)

Dibuje f(t) (use Matlab ) para diferentes valores de α. Comente sus resul-tados

Problema 2.5. Determine una expresion analıtica para la derivada de lassiguientes funciones y grafıquelas:


f1(t) = 2µ(t− 2) − µ(t− 4); f2(t) = sen(

3t− π

3

)

µ(t− π

2) (2.37)

f3(t) = r

(2t− 4

3

)

; f4(t) = (r(t) − 2r(t− 2))µ(−t+ 4) (2.38)

Problema 2.6. Considere los graficos de la Figura 2.15.

f2(t)f1(t)

t

1 2 31 2 3 4

t

Figura 2.15: Senales compuestas

Para cada senal:

2.6.1 Encuentre la expresion analıtica para cada una de las senales.

2.6.2 Determine una expresion analıtica para la integral en el intervalo [0, t].

Problema 2.7. Grafique las siguientes senales de tiempo discreto:

f1[t] = µ[t− 2] − 3µ[t− 5] (2.39)

f2[t] = (0,8)t cos(0,25t) (2.40)

f3[t] = 1 − sen(tπ/8) (2.41)

Problema 2.8. Suponga que la senal de tiempo continuo f(t) = 4 cos(πt) esmuestreada cada ∆ [s]. Dibuje la senal de tiempo discreto f [t] = f(t∆) para tresvalores diferentes de ∆: 0, 1; 1 y 2.

Problema 2.9. Considere la secuencia de numeros 2; 1; 2; 1; 2; 1; 2; 1; 2; 1, . . ..Si asocia esa secuencia al tiempo discreto, encuentre una expresion analıtica quedescriba la secuencia.


ecuacion diferencial del sistema|textbf

Capıtulo 3

Analisis en tiempo continuo

3.1. Introduccion

La herramienta fundamental para describir los cambios de una variable enel dominio del tiempo continuo es la derivada, por tanto, el modelo matematicocentral para los sistemas en tiempo continuo es la ecuacion diferencial del sis-tema, EDS, la cual relaciona la entrada del sistema, u(t), con la salida, y(t). Enel caso de modelos linealizados (Capıtulo 1), debe entenderse que nos referimosa la entrada incremental ∆u(t) y salida incremental ∆y(t).

Como ya hemos destacado, cuando se dispone de un buen modelo lineal paraun sistema, se puede utilizar numerosas y poderosas herramientas de analisis,sıntesis y diseno. Por ejemplo, para resolver una EDS respecto de una entradaparticular y condiciones iniciales especıficas, los metodos operacionalmente maseficientes pertenecen probablemente al dominio del tiempo. Aprovechando talesmetodos de resolucion en el tiempo presentaremos en este capıtulo las solucionesgenerales para tiempo continuo, suponiendo que el lector tiene la preparacionprevia necesaria para utilizar esos metodos de resolucion sin necesidad de de-mostracion.

El estudio de las propiedades de las soluciones de una EDS nos permitira in-troducir indicadores de propiedades fundamentales para los sistemas dinamicoslineales tales como su comportamiento natural, estabilidad, velocidad relativa,ganancia y otras. Estos indicadores permitiran establecer relaciones estrechasentre sus propiedades cuantitativas y cualitativas. La aplicacion de los indi-cadores descritos en este capıtulo y en el siguiente, para el caso de sistemas detiempo discreto, es mas eficiente en el dominio de la frecuencia, sin embargo, estetopico se aborda en los capıtulos posteriores a traves de las transformaciones deFourier, de Laplace y Zeta.

3.2. Ecuacion diferencial del sistema (EDS)

La forma general de la EDS es:

35

36 CAPITULO 3. ANALISIS EN TIEMPO CONTINUO

Heaviside!operador

Heaviside

dny(t)

dtn+ an−1

dn−1y(t)

dtn−1+ . . .+ a0y(t)

= bn−1dn−1

dtn−1u(t) + bn−2

dn−2

dtn−2u(t) + . . .+ b0u(t) (3.1)

La solucion a esta ecuacion debe cumplir ademas con las restricciones queimponen las condiciones o estado inicial.

En algunos casos, conviene usar una notacion compacta, tipo operador, paradenotar la operacion derivada. Por esa razon, introducimos el operador de Heav-iside, ρ 〈〉 definido por

ρ 〈f(t)〉 = ρ f(t) ,d f(t)

dt(3.2)

ρn〈f(t)〉 = ρnf(t) = ρ⟨ρn−1〈f(t)〉

⟩=dnf(t)

dtn(3.3)

El operador de Heaviside representa la derivada de una funcion y, natural-mente, tiene un inverso asociado definido por la integral:

ρ−1〈f(t)〉 =

∫ t

−∞f(τ)d τ (3.4)

Usando este operador, el modelo (3.1) puede ser escrito como

ρny(t) + an−1ρn−1y(t) + . . .+ a0y(t) = bnρ

nu(t) + bn−1ρn−1u(t) + . . .+ b0u(t)

(3.5)Para ilustrar la forma en que se llega a la EDS desarrollamos el siguiente

ejemplo.

Ejemplo 3.1. Considere la red electrica de la Figura 3.1, donde todos los com-ponentes son lineales.

+

i(t)

vf (t) CL

R1

R2

iL(t)

v(t)

Figura 3.1: Red RLC

3.2. ECUACION DIFERENCIAL DEL SISTEMA (EDS) 37

Aplicando las leyes de Kirchoff y las relaciones terminales de las compo-nentes electricas se llega a:

vf (t) = R1i(t) + v(t) (3.6)

i(t) =1

L

∫ t

−∞v(τ)dτ + C

dv(t)

dt+v(t)

R2(3.7)

Derivando ambos miembros de las ecuaciones (3.6) y (3.7) se obtiene:

dvf (t)

dt= R1

di(t)

dt+dv(t)

dt(3.8)

di(t)

dt=

1

Lv(t) + C

d2v(t)

dt2+

1

R2

dv(t)

dt(3.9)

Combinando las ecuaciones (3.8) y (3.9) se llega finalmente a:

d2v(t)

dt2+R1 +R2

R1R2C

dv(t)

dt+

1

LCv(t) =

1

R1C

dvf (t)

dt(3.10)

Este modelo tiene la estructura de la ecuacion (3.1), en que u(t) = vf (t),y(t) = v(t), n = 2, y los valores de los parametros son:

a1 =R1 +R2

R1R2C; a0 =

1

LC; b2 = 0; b1 =

1

R1C; b0 = 0 (3.11)

Es importante ademas hacer notar que la solucion v(t) debe ser tal que sat-isfaga las condiciones iniciales impuestas por la tension inicial en el conden-sador, y la corriente inicial en el inductor.

222

En resumen, podemos afirmar que:

La EDS es un modelo dinamico que establece una restriccion fundamentalsobre ciertas combinaciones de la entrada, la salida y algunas derivadas deambas senales.

Para ser mas especıfico, consideremos una ecuacion diferencial de primerorden

d y

dt+ y(t) = u(t) (3.12)

Observamos en (3.12) que la salida y(t) no puede variar arbitrariamente, sinoque existe una restriccion. Esa restriccion dice que en un instante arbitrario,t = t1, la suma de la salida y su primera derivada debe ser igual al valor que


equilibrio estable

sistema! inestabletiene la entrada u(t1). Por ejemplo si u(t) = 2, ∀t ≥ 0, e y(0) = −1, entoncesnecesariamente y(0) = 3, es decir, y(0) > 0, por lo cual en t = 0 la saliday, esta aumentando. Por otro lado, a medida que y(t) aumenta y se acerca a2, entonces y(t) sigue siendo positiva, pero disminuye consistentemente. En ellımite, cuando y(t) = 2, su derivada de y es cero, lo cual indica que en eseinstante y(t) ya no cambia, es decir, se alcanza un punto de equilibrio estable.

Introduzcamos ahora una variante en (3.12):

d y

dt− y(t) = u(t) (3.13)

Si nuevamente u(t) = 2, ∀t ≥ 0, e y(0) = −1, entonces y(0) = 1, lo cualimplica que en t = 0 la salida y esta aumentando. Sin embargo, a diferencia delcaso anterior, a medida que y aumenta, acercandose a 2, su derivada crece, esdecir, y(t) aumenta. Cuando y(t) = 2, se tiene que y(t) = 4, y subiendo. Enconsecuencia, y(t) sigue creciendo monotonicamente, pero siempre la velocidadde cambio, y(t), debe cumplir con y(t) = u(t) + y(t). Es decir, no se alcanzaun punto de equilibrio y, mas adelante, definimos este tipo de sistemas comoinestable.

Ambos casos pueden ser representados por la forma general de una EDS deprimer orden:

d y

dt+ ay(t) − bu(t) = 0 (3.14)

La forma (3.14) deja en evidencia el significado de restriccion que tiene laEDS.

El analisis precedente se puede aplicar a EDS mas complejas, pero en esoscasos se pierde la vision intuitiva, por ello nos conviene trasladarnos a un ambitomas general, que es lo que hacemos a continuacion.

3.3. La respuesta del sistema

La solucion de la EDS condensa aspectos fundamentales su comportamientoen el tiempo. Una aproximacion intuitiva a esta conexion indica que es esperableque la excitacion no solo fuerce determinada conducta en la respuesta, sinoque en ese proceso revele aspectos claves de la naturaleza del sistema. Estapercepcion justifica el observar con detencion la solucion de la EDS y algunasformas en que ella puede ser descompuesta para su mejor comprension.

3.3.1. Componente homogenea y componente particular

Una primera forma de estudiar la respuesta del sistema es descomponerla demodo de identificar aquella parte que captura la naturaleza del sistema, com-ponente natural u homogenea, y la otra, que refleja la naturaleza especıficade la excitacion, componente particular o forzada.

3.3. LA RESPUESTA DEL SISTEMA 39

respuesta homogenea

solucion homogenea

respuesta particular

solucion particular

La componente homogenea, yh(t), satisface la ecuacion diferencial homogeneaasociada a (3.1), es decir:

ρnyh(t) + an−1ρn−1yh(t) + . . .+ a0yh(t) = 0 (3.15)

Note que esta ecuacion tiene infinitas soluciones, las que pueden describirsegenericamente como una familia. Los miembros de esta familia se diferencianpor los valores numericos especıficos que se pueden escoger para un conjunto den constantes indeterminadas.

Por su parte, la componente o solucion particular, yp(t), es una funcionespecıfica del tiempo, independiente de las condiciones iniciales, que satisface laecuacion (3.1).

La solucion completa y(t) = yh(t) + yp(t) queda totalmente determinada alusar las condiciones iniciales, aplicadas a la respuesta completa, y(t), paracalcular las constantes indeterminadas presentes en yh(t).

Antes de proseguir con el analisis consideraremos un ejemplo.

Ejemplo 3.2. Suponga que la EDS de un sistema esta dada por:

dy(t)

dt+ 2y(t) = 4u(t) (3.16)

y que la respuesta y(t) debe satisfacer la condicion inicial y(0) = −0, 5. Se deseacalcular la respuesta del sistema para t ≥ 0 cuando u(t) = 1.

yh(t)

La componente homogenea debe cumplir con:

dyh(t)

dt+ 2yh(t) = 0 (3.17)

Esta ecuacion es satisfecha por yh(t) = Ce−2t, para cualquier valor de laconstante C.

yp(t)

La componente particular yp(t) es una funcion, independiente de las condi-ciones iniciales, que debe satisfacer (3.16) con u(t) = 1. Una solucion simple esyp(t) = 2, ∀t ≥ 0.

De esta forma, la solucion completa es:

y(t) = yh(t) + yp(t) = Ce−2t + 2 (3.18)

y la constante C se calcula de modo que y(0) satisfaga la condicion inicial y(0) =−0, 5. Por lo tanto, se obtiene C = −2,5 e y(t) = −2,5e−2t + 2

222


ecuacion caracterıstica

constantes indeterminadas

autovalores

valores propios

valores caracterısticos

frecuencias naturales

modos naturales

modo forzante

3.3.2. Frecuencias y modos naturales

La componente natural u homogenea, yh(t) depende solo de la ecuacioncaracterıstica asociada a (3.1), dada por:

λn + an−1λn−1 + . . .+ a1λ+ a0 = 0 (3.19)

Si las soluciones de (3.19) son λ1, λ2, . . .λp con multiplicidad n1, n2, . . . , nprespectivamente, tal que n1 + n2 + . . . + np = n, entonces la forma general deyh(t) es:

yh(t) =

p∑

k=1

nk∑

i=1

Ckiti−1eλkt (3.20)

donde los Cki son constantes arbitrarias (constantes indeterminadas) que gener-an los grados de libertad necesarios para que la respuesta completa satisfagalas condiciones iniciales.

Los valores de λ que satisfacen (3.19) son conocidos como autovalores, valorespropios1, valores caracterısticos o frecuencias naturales del sistema. Dado quelos coeficientes de la ecuacion caracterıstica asociada a la EDS son reales, todassus raıces son reales, o bien aparecen en pares complejos conjugados.

A su vez, cada una de las funciones temporales, asociadas a λk, de la forma:

ti−1eλkt (3.21)

que aparecen en (3.20) se denomina modo natural del sistema.Los modos naturales se asocian unıvocamente a las frecuencias naturales, y

la forma temporal de los primeros depende de la multiplicidad y la ubicacion delos segundos en el plano complejo. Un mapa general, asumiendo multiplicidaduno para cada frecuencia natural, se aprecia en la Figura 3.2. En esa figura seasocia una senal (modo natural) a cada frecuencia natural, excepto en el casode frecuencias complejas, en que se considera el par de complejos conjugados.

3.3.3. Modos forzantes y modos forzados

La componente particular de la respuesta, yp(t), es una funcion estrechamenteligada a la entrada, u(t). Un caso simple, en que podemos apreciar esta relacion,es cuando u(t) puede describirse como una combinacion lineal de funciones dela forma eβit, es decir:

u(t) =∑

i=1

Bieβit (3.22)

donde los β′is son distintos y ninguno de ellos coincide con alguna frecuencia

natural. Cada una de las funciones eβit recibe el nombre de modo forzante.

1Esta denominacion resultara natural para modelos en variables de estado (Capıtulo 10)


λEje

Imaginario

Eje

Real

λ2 λ0 λ3λ1 λ4

Figura 3.2: Relacion entre la ubicacion de las frecuencias naturales (de multi-plicidad uno) y los modos naturales


modo forzante!ganancia a

ganancia! a modo forzante

modo forzado

ganancia

ganancia! a continua

Se puede verificar, usando la linealidad del sistema, que la solucion particu-lar, yp(t), esta dada por:

yp(t) =∑

i=1

ypi(t) , en que ypi(t) = KiBieβit (3.23)

y donde cada uno de los coeficientes es:

Ki =

∑n−1k=0 bk(βi)

k

∑nl=0 al(βi)

l(3.24)

La respuesta yp(t) contiene modos forzados. Bajo la suposicion anterior,relativa a que ningun β′

is coincide con las frecuencias naturales, cada uno de losmodos forzados coincide con uno de los modos forzantes.

Observe que podemos identificar a Ki con una ganancia asociada al modoforzante i-esimo. Cuando el modo forzante es una constante, es decir, eβt = 1,se habla de la ganancia a continua.

Para facilitar la comprension del concepto de ganancia a modos, considere-mos un ejemplo.

Ejemplo 3.3. La EDS de un sistema lineal es:

d y

dt+ 3y(t) = 2u(t); entonces a1 = 1; a0 = 3; b0 = 2 (3.25)

Supongamos que la entrada es u(t) = 5 + 4 cos(πt+ π/4), entonces podemosexpresarla como:

u(t) =

3∑

i=1

Bieβit = 5eβ1t +

(2ej

π4

)eβ2t +

(2e−j

π4

)eβ3t (3.26)

donde β1 = 0, β2 = jπ y β3 = −jπ, es decir, hay tres modos forzantes presentes.Las ganancias estan dadas por (3.24), y para este caso particular:

K1 =b0

β1 + a0=

2

3(3.27)

K2 =b0

β2 + a0=

2

jπ + 3= 0,3180 − j0,3330 = 0,4604e−j0,8084 (3.28)

K3 =b0

β3 + a0=

2

−jπ + 3= 0,3180 + j0,3330 = 0,4604ej0,8084 (3.29)

222

El tratamiento general de la solucion particular sera pospuesto para capıtulosfuturos; pero en el intertanto podemos establecer un hecho trascendente


estabilidad

Los sistemas lineales exhiben ganancias distintas para modos forzantes dis-tintos, y esta capacidad de discriminacion es la base para el analisis y disenode sistemas de procesamiento de senales y para otras aplicaciones.

3.3.4. Estabilidad

Como ya hemos mencionado, los modos naturales describen aspectos es-enciales de un sistema lineal. En primer lugar, los modos naturales guardanestrecha relacion con la idea de estabilidad. Intuitivamente podemos definirun sistema lineal (o, mejor dicho, un modelo lineal) como estable si todas lasvariables (senales) del sistema permanecen acotadas ante cualquier excitacionacotada o estado inicial acotado. Si consideramos solo el efecto de condicionesiniciales, resulta que la estabilidad requiere que los modos naturales sean todosacotados. Sin embargo, veremos que la estabilidad de un sistema requiere quetodos los modos naturales decaigan en el tiempo.

Como cada modo natural depende de una frecuencia natural, son estas, esdecir, las raıces de la ecuacion caracterıstica del sistema, las que determinan laestabilidad del sistema. Consideremos el caso de un modo natural de la formagenerica:

yh1(t) = Ceλt; λ ∈ C (3.30)

Sea λ = σ + jωo, entonces

yh1(t) = Ceλt = Ceσtejωot = Ceσt(cos(ωot) + j sen(ωot)) (3.31)

De la expresion anterior se observa que yh1(t) decae a medida que el tiempotranscurre si y solo si eλt decae, y esto ocurre si y solo si σ < 0. Dicho de otraforma, si y solo si λ esta en el semi plano izquierdo abierto del plano complejo.Esto se ve reflejado claramente en la Figura 3.2.

En resumen, tenemos la siguiente definicion de estabilidad, conocida comoestabilidad asintotica:

Diremos que un modelo lineal e invariante en el tiempo es estable si y solosi todos sus modos naturales decaen asintoticamente a cero, es decir, si ysolo si todas sus frecuencias naturales tienen parte real estrictamente menorque cero. Si una o mas de las frecuencias naturales del modelo tienen partereal mayor o igual que cero, diremos que el modelo es inestable.

Definimos, en consecuencia, la region de estabilidad en el plano comple-jo, para sistemas continuos en el tiempo, como el semiplano izquierdo (SPI)abierto, es decir excluyendo el eje imaginario. La necesidad de esta exclusionse demostrara mas adelante. Sin embargo, el ejemplo siguiente permite apre-ciar el origen de las dificultades cuando una frecuencia natural esta en el ejeimaginario.


velocidad

frecuencia natural!dominante

modo natural!dominante

Ejemplo 3.4. Sea un sistema cuya EDS esta dada por:

d y

dt= 2u(t) (3.32)

Entonces el sistema tiene solo una frecuencia natural, y ella esta ubicadaen λ = 0, esto significa que el modo natural que aparecera en la respuesta delsistema es eλt = 1. Ası, la respuesta homogenea es yh(t) = C1. Supongamos quela entrada es una constante ∀t ≥ 0, digamos u(t) = Uo, entonces la componenteparticular de la respuesta es yp(t) = Uot. De esa forma la respuesta completa esy(t) = C1 + Uot donde C1 debe calcularse para satisfacer la condicion inicial.

Debemos notar que este ejemplo pone en evidencia que, aunque la entradaes una simple constante, la salida del sistema crece en forma ilimitada a medidaque transcurre el tiempo. El sistema es, por tanto, inestable.

222

3.3.5. Velocidad

Un segundo aspecto de interes en relacion con las frecuencias y modos nat-urales guarda relacion con la velocidad con que evolucionan las variables de lossistemas.

Dentro de la clase de sistemas estables, podemos distinguir diferencias no-tables, no solo por la distinta naturaleza de los valores propios, sino por lasvelocidades relativas con que decaen sus modos naturales. Por ejemplo, con-sideremos dos sistemas con las componentes homogenas que se indican:

Sistema 1 yh1(t) = C11e−2t + C12e

−5t (3.33)

Sistema 2 yh2(t) = C21e−3t + C22e

−7t (3.34)

Vemos que yh1(t) esta dominada por el modo natural e−2t porque esta senaldecae mas lentamente que el otro modo natural e−5t. Por su parte, yh2(t)esta dominada por el modo natural e−3t, el que decae mas lentamente queel modo e−7t. Ası diremos que el Sistema 1 tiene una frecuencia naturaldominante igual a −2, con un modo natural dominante e−2t. A su vez,el Sistema 2 tiene una frecuencia natural dominante igual a −3, con un mo-do natural dominante e−3t. Al comparar ambos sistemas podemos concluir, enprimera aproximacion, que el Sistema 1 es mas lento que el Sistema 2, porquesu modo dominante decae mas lentamente.

En general, si λ = −|σ| + jωo, el modo natural tiene la forma:

eλt = e−|σ|t (cos(ωot) + j sen(ωot)) (3.35)

De esta ecuacion se observa que este modo decae mas rapidamente cuantomas grande es |σ|. Ası, los sistemas son mas rapidos cuanto mas alejados del ejeimaginario estan sus frecuencias naturales dominantes.


3.3.6. Respuesta a estado inicial y respuesta a entrada

Una forma alternativa de descomponer la respuesta de un sistema es con-siderar por separado la componente de la respuesta debida a las condicionesiniciales o estado inicial, yx(t), y la componente de la respuesta debida a laentrada, yu(t), es decir:

y(t) = T〈〈〈xo, u(t)〉〉〉 = T〈〈〈xo, 0〉〉〉︸︷︷︸

yx(t)

+T〈〈〈0, u(t)〉〉〉︸︷︷︸

yu(t)

(3.36)

En consecuencia, yx(t) satisface:

ρnyx(t) + an−1ρn−1yx(t) + . . .+ a0yx(t) = 0 (3.37)

sujeta a las condiciones iniciales definidas en el vector xo. Esto sig-nifica que yx(t) es una combinacion lineal de modos naturales, en donde lasconstantes dependen de las condiciones iniciales (las que deben ser satisfechaspor la solucion completa de la EDS).

A su vez, la respuesta a entrada, yu(t), es una solucion de la EDS con condi-ciones iniciales iguales a cero, es decir, satisface:

dnyu(t)

dtn+ an−1

dn−1yu(t)

dtn−1+ . . .+ a0yu(t)

= bn−1dn−1

dtn−1u(t) + bn−2

dn−2

dtn−2u(t) + . . .+ b0u(t) (3.38)

sujeta a condiciones iniciales cero. Para poder cumplir con esta restriccion,yu(t) debe contener, ademas de los modos forzados, una combinacion lineal demodos naturales cuyas constantes son calculadas de modo que se cumpla aquellarestriccion.

En resumen, una comparacion de los diferentes modos presentes en cadauna de las componentes de la respuesta de un sistema hasta ahora definidas(homogenea-particular y estado inicial-entrada) se muestra en la Tabla 3.1.

yh(t) yp(t) yx(t) yu(t)

modos naturales√ √ √

modos forzados√ √

Cuadro 3.1: Presencia de modos en descomposiciones de la respuesta

Es ademas importante el notar que:

y(t) = yh(t) + yp(t) = yx(t) + yu(t) (3.39)

Sin embargo, por lo general, yh(t) 6= yx(t) e yp(t) 6= yu(t).


Afianzamos estas ideas retomando el Ejemplo 3.2, en el que ilustramos ladescomposicion de la respuesta del sistema en sus componente homogenea yparticular.

Ejemplo 3.5. Suponga que la EDS esta dada por:

dy(t)

dt+ 2y(t) = 4u(t) (3.40)

y que la respuesta y(t) debe satisfacer la condicion inicial y(0) = −0, 5.Se desea calcular la respuesta del sistema para u(t) = 1 para t ≥ 0.

yx(t)

La respuesta a estado inicial debe cumplir con:

dyx(t)

dt+ 2yx(t) = 0 (3.41)

y con yx(0) = −0, 5 Esta ecuacion es satisfecha por yx(t) = Ce−2t, con C =−0,5

yu(t)

La respuesta a entrada, yu(t), es una solucion para (3.40) con u(t) = 1, ysujeta a yu(0) = 0.

De esta forma, la solucion completa es:

yu(t) = yuh(t) + yup(t) (3.42)

donde yuh(t) es una solucion de la ecuacion homogenea, es decir yuh(t) =Cue

−2t, e yup(t) es la solucion particular yup(t) = 2. Cu se calcula de modode obtener yu(0) = 0, lo cual conduce a Cu = −2.

Finalmente

yx(t) = −0, 5e−2t (3.43)

yu(t) = −2e−2t + 2 (3.44)

y(t) = yx(t) + yu(t) = −2,5e−2t + 2 (3.45)

De esta forma, podemos ahora completar la Tabla 3.1 para el caso de lassoluciones obtenidas para este ejemplo. Esto se muestra en la Tabla 3.2.

yh(t) yp(t) yx(t) yu(t)

modos naturales −2, 5e−2t −0, 5e−2t −2e−2t

modos forzados 2 2

Cuadro 3.2: Presencia de modos en descomposiciones de la respuesta del Ejemplo3.5


222

Las dos descomposiciones de la respuesta del sistema obtenidas permitenobservar dicha respuesta desde dos perspectivas diferentes:

En la descomposicion componente homogenea – componente particular seobserva la estructura de la respuesta. En efecto, en esa particion queda enevidencia la presencia de dos tipos de modos: modos naturales (incluidos enla componente homogenea) y modos forzados (incluidos en la componenteparticular).

En la descomposicion respuesta a estado inicial – respuesta a entradase separan los efectos de las dos causantes de que el sistema tenga unarespuesta: las condiciones iniciales y las excitaciones o entradas aplicadas.

Note que aunque las condiciones iniciales sean iguales a cero, aun ası, losmodos naturales se encuentran presente en la respuesta (en este caso solo aparecela componente debida a la entrada, yu(t)).

Para cerrar esta seccion consideraremos un ejemplo donde estos conceptosadquieren un significado mas concreto.

Ejemplo 3.6. En el circuito de la Figura 3.3 las componentes (escaladas, porsimplicidad) tienen los siguientes valores:

R1 = 2[Ω]; R2 = 1[Ω]; L = 1[H]; C = 0, 5[F ] (3.46)

+

C

iL(t)

vc(t)R2

L R1

vf (t) iα(t)

A

iβ(t)

Figura 3.3: Red lineal con condiciones iniciales

En esta red, la entrada es vf (t), la salida ha sido elegida como vc(t) y elestado inicial es descrito por xo = [iL(0) vc(0)]

T . Entonces usando el operadorde Heaviside (y su inverso) tenemos que las ecuaciones de mallas llevan a:

Z · I = E (3.47)

donde:

Z4=

R1 + Lρ +1

Cρ−1 − 1

Cρ−1

− 1

Cρ−1 1

Cρ−1 +R2

; I4=

iα(t)

iβ(t)

; E4=

vf (t)

0

(3.48)

Esto se puede resolver usando el siguiente codigo:


Maple

>with(linalg);

>Z:=array(1..2,1..2,[[2+rho+2/rho,-2/rho],[-2/rho,2/rho+1]]);

>Zi:=inverse(Z);

De donde resulta:

Z−1 =1

ρ 2 + 4ρ + 6

[2 + ρ 2

2 ρ 2 + 2ρ + 2

]

(3.49)

Resolviendo para iβ(t) se obtiene:

(ρ 2 + 4ρ + 6)iβ(t) = (ρ + 2)vf (t) (3.50)

Dado que vc(t) = 1 · iβ(t), la EDS es:

d 2vc(t)

dt 2+ 4

d vc(t)

dt+ 6vc(t) =

d vf (t)

dt+ 2vf (t) (3.51)

Supongamos que las condiciones iniciales son vc(0) = 5 [V ], iL(0) = 3 [A]y que vf (t) = 10 [V ]. Primero notamos que, al aplicar LCK en el nodo A, setiene que:

vc(0) =1

C

(

iL(0) − vc(0)

R2

)

= −4 [V ] (3.52)

La solucion total se puede calcular usando el siguiente codigo:

Maple

>v_f(t):=10:

>eds:=diff(v_c(t),t,t)+4*diff(v_c(t),t)+6*v_c(t)-diff(v_f(t),t)

-2*v_f(t)=0;

>dsolve(eds,v_c(0)=5,D(v_c)(0)=-4,v_c(t));

que entrega como resultado:

vc(t) =10

3+

5

3e−2t cos(

√2t) − 1

3

√2e−2t sen(

√2t) (3.53)

Entonces las distintas componentes de la respuesta vc(t) tiene los siguientesvalores e interpretaciones:

(a) La componente particular, vcp(t) es aquella componente de vf (t) que con-tiene solo los modos forzados por la excitacion constante, es decir, es lacomponente continua de vc(t), en este caso vcp(t) = 10/3[V ]. Note queesta componente se puede calcular usando un divisor de tensiones, y quela ganancia a modo constante de la red es igual a 1/3.


respuesta transitoria

respuesta estacionaria(b) La componente homogenea, vch(t), es la parte de la respuesta que contiene

todos los modos naturales, en este caso:

vch(t) =5

3e−2t cos(

√2t) − 1

3

√2e−2t sen(

√2t) (3.54)

(c) La componente a estado inicial, vch(t), corresponde al valor que tendrıavc(t) debido solo a la corriente inicial en el inductor y a la tension inicialen el condensador, es decir con la fuente de tension cortocircuitada. Estacomponente se puede calcular con el siguiente codigo:

Maple

>v_f(t):=0:


-2*v_f(t)=0;

>dsolve(eds,v_c(0)=5,D(v_c)(0)=-4,v_c(t));

que entrega como resultado:

vcx = 5e−2t cos(√

2t) + 3√

2e−2t sen(√

2t) (3.55)

(d) La componente a entrada, vcu(t), corresponde a la tension en el conden-sador cuando se aplica la fuente de tension a la red inicialmente rela-jada. Esta componente se puede calcular con el siguiente codigo:

Maple

>v_f(t):=10:


-2*v_f(t)=0;

>dsolve(eds,v_c(0)=0,D(v_c)(0)=0,v_c(t));

de donde se obtiene:

vcu(t) =10

3− 10

3e−2t cos(

√2t) − 10

3

√2e−2t sen(

√2t) (3.56)

222

Un comentario final sobre la respuesta del sistema es que es usual hablar derespuesta transitoria (o transiente) y respuesta estacionaria (o en estadoestacionario). La respuesta estacionaria corresponde a la respuesta del sistemacuando ha transcurrido mucho tiempo desde el instante inicial. Por su parte


respuesta! a $\mu (t)$

respuesta! a escalonla respuesta transiente es aquella parte de la respuesta que se extingue con eltiempo.

En el Ejemplo 3.6 en la pagina 47, la respuesta estacionaria esta dada porel modo forzado constante, mientras que la respuesta transitoria esta formadapor los modos naturales (sinusoidales amortiguadas).

La separacion en componentes estacionaria y transitoria es transversal a laidea de modos naturales y modos forzados, es decir, no ocurrira siempre que larespuesta estacionaria incluya solo modos forzados, e incluso es posible que larespuesta estacionaria este formada exclusivamente por modos naturales. Porejemplo, el lector puede verificar que si un sistema tiene modos naturales si-nusoidales y la entrada es una exponencial decreciente, entonces la respuestaestacionaria contendra los modos naturales sinusoidales y la respuesta transito-ria incluira el modo forzado por la exponencial.

3.4. Respuesta a senales de prueba

Una forma de estudiar, y comparar en forma estandarizada el comportamien-to de un sistema es determinar su respuesta para excitaciones de prueba. Entreesas senales de prueba se consideran usualmente: el escalon unitario, el impulsounitario y la senal sinusoidal. En esta seccion nos concentraremos en las dosprimeras, pues la respuesta ante senales sinuosidales sera materia de estudio enel Capıtulo 5).

3.4.1. Respuesta a escalon unitario

Considere la ecuacion (3.1) en la pagina 36. Entonces la respuesta, g(t), aun escalon unitario y condiciones iniciales iguales a cero, se puede obtenerde la siguiente forma:

Paso 1 Determine la solucion general de la ecuacion:

dngo(t)

dtn+ an−1

dn−1go(t)

dtn−1+ . . .+ a0go(t) = 1 (3.57)

Note que go(t) contiene una parte natural u homogenea (combinacionlineal de modos naturales de la forma (3.20)) y una componente particularo forzada. Para el caso a0 6= 0, go(t) tiene la forma:

go(t) =1

a0+

p∑

k=1

nk∑

i=1

Ckiti−1eλkt ∀t ≥ 0 (3.58)

En el caso mas general, si a0 = a1 = . . . = ap−1 = 0, ap 6= 0 entonces go(t)tiene la forma:

go(t) =1

p!aptp +

p∑

k=1

nk∑

i=1

Ckiti−1eλkt ∀t ≥ 0 (3.59)

3.4. RESPUESTA A SENALES DE PRUEBA 51

Paso 2 Calcule las constantes Cki usando la restriccion de las condiciones ini-ciales iguales a cero, es decir, usando el hecho que:

ρ `〈go(t)〉∣∣t=0

= 0 ` = 0, 1, . . . , n− 1 (3.60)

Paso 3 Calcule las primeras n−1 derivadas de go(t). Note que, como las condi-ciones iniciales son cero, esas derivadas son continuas en t = 0.

Paso 4 Usando las propiedades de linealidad obtenga g(t) de acuerdo a:

g(t) =

n−1∑

i=0

biρi〈go(t)〉µ(t) (3.61)

El procedimiento anterior es ilustrado con el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.7. Consideremos un sistema con la EDS:

ρ 2 y(t) + 5ρ y(t) + 4y(t) = −ρ u(t) + 2u(t) (3.62)

Entonces las frecuencias naturales son soluciones de λ2 + 5λ + 4 = 0, esdecir λ1 = −4 y λ2 = −1. Luego seguimos los pasos bosquejados previamente:

Paso 1 Calculamos la solucion general de:

ρ 2go(t) + 5ρ go(t) + 4go(t) = 1 (3.63)

que resulta ser go(t) = 14 +C1e

−4t+C2e−t. Este resultado se puede obtener

con el siguiente codigo:

Maple

>eds:=Diff(Diff(go(t),t),t)+ 5*Diff(go(t),t)+4*go(t)-1;

>dsolve(eds);

Paso 2 Para este ejemplo, ya que n = 1, se necesita calcular solo la primeraderivada de go(t), la que esta dada por:

ρ 〈go(t)〉 = −4C1e−4t − C2e

−t (3.64)

Paso 3 Las constantes C1 y C2 se calculan a partir de las condiciones iniciales(iguales a cero), es decir:

go(0) = 0 =1

4+ C1 + C2 (3.65)

ρ 〈go(t)〉|t=0 = 0 = −4C1 − C2 (3.66)


respuesta a $\delta (t)$

respuesta! a impulsode donde C1 = 1

12 y C2 = − 13 . Nuevamente, este resultado se puede obten-

er a traves del siguiente codigo:

Maple

>eds:=Diff(Diff(go(t),t),t)+ 5*Diff(go(t),t)+4*go(t)-1;

>dsolve(eds, go(0)=0,D(go)(0)=0,go(t));

Paso 4 La respuesta a escalon unitario esta entonces dada por:

g(t) = 2go(t) − ρ 〈go(t)〉 =1

2+

1

2e−4t − e−t (3.67)

222

3.4.2. Respuesta a impulso unitario

Considere la ecuacion (3.1) en la pagina (3.1). Entonces la respuesta a unimpulso unitario, δ(t), y condiciones iniciales iguales a cero, se puede obtenera partir de la respuesta a escalon unitario. Esta estrategia se basa en que elsistema representado por la EDS (3.1) es lineal e invariante en el tiempo, puessus coeficientes son constantes y el argumento de las funciones es t. De estaforma se tiene la situacion descrita en la figura 3.4.

S Sg(t)

x(0) = 0 x(∆) = 0

µ(t) µ(t− ∆) g(t− ∆)

invarianza entiempo

Figura 3.4: Efectos de la invarianza en el tiempo

Por lo tanto, usando linealidad:

dg(t)

dt= lım

∆→0

g(t) − g(t− ∆)

∆= lım

∆→0

T〈〈〈0, µ(t)〉〉〉 − T〈〈〈0, µ(t− ∆)〉〉〉∆

= lım∆→0

T〈〈〈0, µ(t) − µ(t− ∆)

∆〉〉〉 = T〈〈〈0, δD(t)〉〉〉 = h(t) (3.68)

Entonces, h(t) = dg(t)dt es la respuesta del sistema a un impulso unitario con

condiciones iniciales iguales a cero.Aunque en algunos textos se propone calcular h(t) usando una estrategia

similar a la seguida para el calculo de la respuesta a escalon unitario, en general

3.5. CALCULO DE LA RESPUESTA VIA CONVOLUCION 53

convolucion

se~nal causalello no es aconsejable dada la especial naturaleza del delta Dirac. En efecto, estano es, en rigor, una funcion y no es diferenciable, por lo cual ocurren situacionesparadojicas. Por ultimo, desde el punto de vista meramente instrumental esmucho mas simple calcular la respuesta a impulso usando la transformacion deLaplace, como se vera en el Capitulo 7.

Ejemplo 3.8. Consideremos el mismo sistema descrito por (3.62), entoncespodemos calcular h(t) derivando la respuesta a escalon unitario en (3.67). Ası seobtiene

h(t) =dg(t)

dt= −2e−4t + e−t ∀t ≥ 0 (3.69)

222

Es importante anotar que las condiciones iniciales de un sistema son valoresconocidos para t = t−o , pero las senales pueden ser discontinuas en t = to. Estoes lo que ocurre en el Ejemplo 3.8, donde:

lımt→0−

h(t) = 0 6= lımt→0+

h(t) = −1 (3.70)

En una perspectiva mas general, podemos observar que dada la relacion entrela respuesta a impulso y la respuesta a escalon, y considerando que esta ultimacontiene una combinacion lineal de los modos naturales del sistema y una con-stante, entonces h(t) contiene solo modos naturales. Conceptualmente, esesta la caracterıstica que confiere especial importancia a las respuestas a escalone impulso. En rigor, la respuesta a excitaciones mas complejas tambien contieneuna combinacion de modos naturales (a traves de la componente homogenea dela respuesta), sin embargo, la presencia de estos modos se ve oscurecida por lacomponente particular o forzada de la respuesta.

Veremos, en la siguiente seccion una utilidad inmediata de estas considera-ciones.

3.5. Calculo de la respuesta vıa convolucion

Supongamos que se conoce la respuesta a impulso, h(t), de un sistema lineale invariante en el tiempo, con condiciones iniciales iguales a cero, entonces elsiguiente lema nos proporciona un resultado crucial en la teorıa de los sistemaslineales.

Lema 3.1. Considere un sistema lineal e invariante en el tiempo. Sea ademash(t) la respuesta de ese sistema a un impulso unitario en la entrada, con condi-ciones iniciales iguales a cero. Entonces, la respuesta y(t) del mismo sistema auna excitacion causal2 arbitaria, f(t), con condiciones iniciales iguales a cero,esta dada por:

2Una senal f(t) es causal si f(t) = 0 ∀t < 0


y(t) =

∫ t

0

f(τ)h(t− τ) dτ ∀t ≥ 0 (3.71)

DemostracionSea i ∈ N y sea ∆ un incremento temporal, entonces, usando la propiedad

de invarianza en el tiempo, tenemos que:

h(t− i∆) = T〈〈〈0, δ(t− i∆)〉〉〉 (3.72)

Luego, usando homogeneidad,

f(i∆)h(t− i∆)∆ = T〈〈〈0, f(i∆)δ(t− i∆)∆〉〉〉 (3.73)

Aplicando ahora superposicion (i = 0, 1, . . .) y haciendo ∆ → 0, i∆ se con-vierte en una variable continua τ , ası se llega a:

∫ ∞

0

f(τ)h(t− τ)dτ = T〈〈〈0,∫ ∞

0

f(τ)δ(t− τ)dτ〉〉〉 (3.74)

Finalmente, usando el Lema 2.1 y el hecho que h(t − τ) = 0 ∀τ > t (porcausalidad), se obtiene:

y(t) = T〈〈〈0, f(t)〉〉〉 =

∫ t

0

f(τ)h(t− τ)dτ (3.75)

222

Observando la ecuacion (3.75), y(t) se puede interpretar como una sumaponderada (por f(τ)) de respuestas a impulso h(t− τ). Note ademas que dadoque f(t) y h(t) son causales, entonces, la ecuacion (3.71) tambien se puedeescribir como:

y(t) =

∫ ∞

−∞f(τ)h(t− τ) dτ =

∫ ∞

−∞f(t− τ)h(τ) dτ ∀t ≥ 0 (3.76)

Las integrales que aparecen en la ecuacion (3.76) son una expresion de laconvolucion de dos funciones temporales. La definicion generica es:

f1(t) ∗ f2(t) =

∫ ∞

−∞f1(τ)f2(t− τ) dτ =

∫ ∞

−∞f1(t− τ)f2(τ) dτ (3.77)

Ademas de la propiedad de conmutatividad en (3.77), la convolucion tienela propiedad de distributividad, es decir:

f1 ∗ (f2(t) + f3(t)) = f1(t) ∗ f2(t) + f1(t) ∗ f3(t) (3.78)

El uso de convolucion para la determinacion de la respuesta de un sistemalineal tiene importancia conceptual y numerica, sin embargo, no es, en general,un procedimiento analıticamente simple. Para apreciar esto ultimo, veremos unejemplo.


transformada de Fourier

transformada de LaplaceEjemplo 3.9. Un sistema lineal tiene una respuesta a impulso unitario, concondiciones iguales a cero, dada por h(t) = e−2tµ(t). Determine, usando con-volucion la respuesta a la senal u(t) = µ(t) − µ(t− 1).Solucion

La respuesta esta dada por:

y(t) = u(t) ∗ h(t) =

∫ t

−∞h(τ)u(t− τ)dτ

=

∫ t

−∞e−2τµ(τ)(µ(t− τ) − µ(t− 1 − τ)dτ (3.79)

La integracion se puede separar en tres intervalos, que a su vez se muestranen la Figura 3.5:

u(t) ∗ h(t) =

∫ 0

−∞u(τ)h(t− τ)dτ = 0 t < 0

∫ t

0

u(τ)h(t− τ)dτ =1

2(1 − e−2t) 0 ≤ t < 1

∫ 1

0

u(τ)h(t− τ)dτ =1

2(e−2(t−1) − e−2t) 1 ≤ t

(3.80)

u(τ)

h(t−τ) τ

t

u(τ)

h(t−τ)

t τ

u(τ)

h(t−τ) τ

t

Figura 3.5: Ejemplo de descripcion grafica de la convolucion

222

Como se puede apreciar, el calculo mismo de la convolucion es complejo. Enrealidad la importancia de ella se debe a que, por un lado, condensa la esenciade la linealidad de los sistemas lineales (e invariantes en el tiempo), y por otro,establece un nexo fundamental con el analisis mediante las transformadas deFourier y de Laplace (Capıtulos 6 y 7, respectivamente).

De igual forma, la respuesta de un sistema lineal e invariante en el tiempose puede calcular a partir de la respuesta a escalon, como se demuestra en elsiguiente lema.


Lema 3.2. Sea una sistema lineal e invariante en el tiempo. Suponga que larespuesta de ese sistema a un escalon unitario de entrada, con condiciones ini-ciales iguales a cero, es g(t). Entonces la respuesta del sistema, bajo condicionesiniciales iguales a cero, a una excitacion u(t) esta dada por:

y(t) = g(t) ∗ du(t)dt

(3.81)

DemostracionLa demostracion sigue la misma lınea que el lema anterior. En primer lugar,

tenemos que la senal de entrada u(t) puede ser expresada aproximadamentecomo la suma de escalones de altura diferencial, es decir3:

u(t) =

∞∑

i=−∞

u((i+ 1)∆) − u(i∆)

∆µ(t− i∆)∆ (3.82)

donde u(t) tiende a u(t) cuando ∆ tiende a cero. Por otro lado:

g(t− i∆) = T〈〈〈0, µ(t− i∆)〉〉〉 (3.83)

Ası, si el sistema es excitado con u(t) entonces, por linealidad e invarianza,se obtiene que la respuesta, y(t), esta dada por:

y(t) ≈∞∑

i=−∞

u((i+ 1)∆) − u(i∆)

∆g(t− i∆)∆ (3.84)

Si finalmente hacemos tender ∆ a cero, el producto i∆ se convierte en unavariable continua τ y tenemos que:

y(t) = lım∆→0

y(t) =

∫ ∞

−∞

du(τ)

dτg(t− τ)dτ (3.85)

Esta ecuacion corresponde al resultado deseado. Note que el lımite superiorpuede ser reducido a τ = t, ya que suponemos que el sistema es causal, por locual g(t− τ) es cero ∀τ > t. Tambien, si u(t) es causal, el lımite inferior puedeser reemplazado por cero.

222

3Note que el lımite superior de la suma es ∞ aunque los sumandos para i > t/∆ son cero,debido a la presencia del escalon µ(t − i∆).



Problema 3.1. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales con las condi-ciones iniciales que se indican

d y

dt+ 2y(t) = 0 y(0) = −1 (3.86)

d 2y

dt 2+ 7

d y

dt+ 10y(t) = 0 y(0) = −1; y(0) = 2 (3.87)

d 2y

dt 2+ 4y(t) = 0 y(0) = 0; y(0) = 1 (3.88)

Problema 3.2. La respuesta de un sistema lineal e invariante en el tiempo aun escalon unitario (con condiciones iguales a cero) esta dada por

g(t) = 1 − e−t + te−t ∀t ≥ 0 (3.89)

3.2.1 Determine la EDS.

3.2.2 Calcule la respuesta del mismo sistema a un impulso unitario.

Problema 3.3. Determine los modos asociados a las siguientes conjuntos defrecuencias naturales

Sistema 1 λ1 = −2 λ2 = −2 λ3 = −2Sistema 2 λ1 = 3 λ2 = 0 λ3 = 0Sistema 3 λ1 = −1 λ2 = −1 + j2 λ3 = −1 − j2

Problema 3.4. La respuesta de un sistema lineal e invariante en el tiempo aun impulso unitario es h(t) = e−2tµ(t). Usando convolucion calcule la respuestadel sistema a una entrada u(t) = e−3tµ(t)

Problema 3.5. La ecuacion caracterıstica de un sistema esta dada por

λ2 + aλ+ 4 = 0 (3.90)

3.5.1 Determine el rango de valores de a que hacen estable al sistema.

3.5.2 Dentro de ese rango determine el valor de a de modo que el sistema sealo mas rapido posible.

Problema 3.6. Suponga que la respuesta de un sistema lineal a un escalonunitario con condiciones iniciales iguales a cero es una senal g(t), que se muestraen la Figura 3.6.

3.6.1 ¿Es el sistema estable ?

3.6.2 Estime los modos naturales del sistema


0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Tiempo [s]

g(t)

Figura 3.6: Respuesta a escalon unitario

−3 −2 −1 0 1−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4Sistema 2

Eje real

Eje

imag

inar

io

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2Sistema 1

Eje real

Eje

imag

inar

io

Figura 3.7: Configuracion de frecuencias naturales de dos sistemas

3.6.3 Estime la ganancia al modo forzante constante

Problema 3.7. Se calculan los valores caracterısticos de dos sistemas y sedibujan en el plano complejo, como se muestra en la Figura 3.7.

3.7.1 Determine los modos naturales de cada sistema.

3.7.2 ¿Cuales son las frecuencias dominantes en cada caso?

3.7.3 ¿Cual de los dos sistemas es mas rapido?

Problema 3.8. Considere la red electrica de la Figura 3.8, en donde se haagregado el modelo de red para el amplificador operacional.

3.8.1 Determine la ecuacion diferencial que relaciona la entrada vf (t) con lasalida vo(t).

3.8.2 Si A 1, ¿es el sistema estable?


1

2+

vf (t)

C

3

R1

1 3

2

vc(t) +

Avc(t)4 vo(t)

1

2

3

4

4

R2

Figura 3.8: Red electrica con amplificador operacional

3.8.3 Repita si A −1 (o, lo que es lo mismo, si se intercambian los terminales1 y 2).

Problema 3.9. La ecuacion diferencial de un sistema es:

d 2y(t)

dt 2+ 7

d y(t)

dt+ 12y(t) = −d u(t)

dt+ 2u(t) (3.91)

Calcule la ganancia del sistema para los siguientes modos: u1(t) = e−2t,u2(t) = 1 y u3(t) = cos(3t).

Problema 3.10. En un sistema lineal e invariante en el tiempo se sabe quela ganancia al modo ej2t es 0, 3 + j0, 4, y que las frecuencias naturales estanubicadas en λ = −1 y λ = 0.

Calcule, si es posible, la respuesta y(t) del sistema cuando la entrada esu(t) =

√2 sen(2t+ π/4) y las condiciones iniciales son y(0) = 0 e y(0) = 2.


ecuacion de recursion|textbf

Capıtulo 4

Analisis en tiempo discreto

4.1. Introduccion

Para variables definidas solo en instantes discretos de tiempo, no es posibledefinir la derivada, por tanto, la herramienta para describir sus variaciones enel tiempo es la diferencia entre instantes sucesivos. De esta forma. Para lossistemas de tiempo discreto el modelo matematico central es la ecuacion derecursion del sistema, ERS, la cual relaciona la entrada del sistema, u[t], con lasalida, y[t]. Para el caso de modelos linealizados, la entrada y salida son ∆u[t]y ∆y[t], respectivamente.

La ERS es una descripcion cuantitativa del sistema especialmente util parael analisis numerico del mismo. Esto guarda relacion con la naturaleza de losalgoritmos computacionales, en los que una iteracion se basa en los resultadosde la iteracion anterior. Por otro lado, una ERS surge tambien cuando se dis-cretiza el modelo para un sistema lineal de tiempo continuo. El estudio de laspropiedades de la solucion que realizaremos en este capıtulo sera complementa-do cuando, en capıtulos posteriores, se usen la transformada de Fourier discreta,y la transformada Zeta.

En este capıtulo, analogamente a lo que se hizo en el capıtulo precedente,se desarrollan herramientas de analisis que establecen relaciones estrechas entrepropiedades cuantitativas y cualitativas de los sistemas lineales (de tiempo dis-creto). En particular, interesa cuantificar y construir indicadores de propiedadesrelevantes tales como comportamiento natural, estabilidad, velocidad relativa yganancia.

4.2. Ecuacion de recursion del sistema (ERS)

La forma general de la ERS es

y[t] + an−1y[t− 1] + . . .+ a1y[t− n+ 1] + a0y[t− n] =

bmu[t] + bm−1u[t− 1] + . . .+ b1u[t−m+ 1] + b0u[t−m] (4.1)

61

62 CAPITULO 4. ANALISIS EN TIEMPO DISCRETO

causalidad


operador adelanto

promedio movil

Esta forma de la ERS es una forma en la que la causalidad se cumple sincondiciones para cualquier par de enteros positivos n y m. Esto se aprecia porel hecho que la salida y[t] no depende de valores futuros de la entrada, aunquesı podrıa depender de valores presentes de la entrada.

Cuando la salida depende solo de valores pasados de la entrada (bm = 0), sehabla de sistemas estrictamente causales.

La solucion a esta ecuacion debe cumplir ademas con las restricciones queimponen las condiciones o estado inicial. Estas condiciones iniciales se refierenusualmente a un conjunto de n valores y[i ], y[i − 1], . . ., y[i − n + 1], dondei = −1 o, alternativamente1 i = n− 1. Note que estas alternativas no encierranaspectos conceptuales, sino que reflejan el hecho que la eleccion del instanteinicial es arbitraria. Una generalizacion mas amplia dice que la ecuacion (4.1)puede ser resuelta si conocemos, aparte de la entrada u[t], un conjunto de valoresde la salida y[t] en cualquier conjunto de n instantes.

Ası como ocurre con los sistemas de tiempo continuo, conviene usar unanotacion compacta, tipo operador, para denotar la operacion corrimiento tem-poral. Por esa razon, introducimos el operador adelanto temporal, q definidopor

q〈f [t]〉 = qf [t]4= f [t+ 1] (4.2)

qn〈f [t]〉 = qnf [t] = f [t+ n] (4.3)

q−`〈f [t]〉 = q−`f [t] = f [t− `] (4.4)

Usando este operador, el modelo (4.1) puede ser escrito como

y[t] + an−1q−1y[t] + . . .+ a1q

−n+1y[t] + a0q−ny[t] =

bmu[t] + bm−1q−1u[t− 1] + . . .+ b1q

−m+1u[t] + b0q−mu[t] (4.5)

La ERS puede aparecer como modelo de situaciones muy diferentes. Consi-deraremos varios casos a modo de ilustracion.

Ejemplo 4.1 (Promedio movil). En estadısticas economicas se suele calcu-lar indicadores que resultan de promediar el valor de ciertas variables duranteun numero de perıodos consecutivos 2. Suponga que nos interesa la variable de-sempleo, y que definimos el ındice de desempleo trimestral calculado como elpromedio de los porcentajes de desempleos de los tres ultimos meses. Entoncesla ecuacion de recursion es

y[t] =1

3(u[t] + u[t− 1] + u[t− 2]) (4.6)

222

1El comando rsolve de Maple puede usar ambas opciones.2Esto se hace para disminuir el efecto de fenomenos ocasionales, propios de solo parte del

perıodo bajo analisis (fenomenos estacionales)

4.2. ECUACION DE RECURSION DEL SISTEMA (ERS) 63

discretizacionEjemplo 4.2 (Discretizacion de ecuaciones diferenciales). Considere laecuacion diferencial de primer orden

ρy(t) + αy(t) = βu(t) (4.7)

Entonces, si usamos la discretizacion de Euler3 para la primera derivada yconsideramos el tiempo discreto t = 0,∆, . . . `∆ se llega a

y((`+ 1)∆) − y(`∆)

∆+ αy(`∆) = βu(`∆) (4.8)

Lo cual lleva a

y[t] + (∆α− 1)y[t− 1] = ∆βu[t− 1] (4.9)

donde y[t] = y((`+ 1)∆), y[t− 1] = y(`∆), u[t− 1] = u(`∆).

222

Ejemplo 4.3 (Algoritmo computacional). Considere el siguiente codigo deprograma

input N u1=0 y1=0 y2=0 For t=1,N

input u

y=0,7*y1-0,12*y2+0,2*u1

output y

u1=u

y2=y1

y1=y

end

Entonces podemos hacer la siguiente asociacion de variables: u[t] = u, u[t−1] = u1, y[t] = y, y[t − 1] = y1 e y[t − 2] = y2. Por lo tanto en la iteraciont-esima tenemos que

y[t] = 0, 7y[t− 1] − 0, 12y[t− 2] + 0, 2u[t− 1] (4.10)

222

La ERS es un modelo dinamico que establece una restriccion fundamen-tal sobre ciertas combinaciones de la entrada, la salida y algunas versionesretrasadas de ambas senales.

Para ser mas especıficos, consideremos una ecuacion de recursion de primerorden

y[t] − 0, 5y[t− 1] = u[t− 1] (4.11)

3Aproximacion de la derivada como una diferencia hacia adelante.


equilibrio estable

sistema! inestableObservamos en (4.11) que la salida y[t] no puede variar arbitrariamente, sino

que existe una restriccion. Esa restriccion dice que en un instante arbitrario,t = t1, la salida menos la mitad de la salida en un instante anterior debe serigual al valor que tenıa la entrada un instante anterior, u[t1−1]. Para estudiar laevolucion de la salida del sistema conviene re-escribir (4.11) en la forma siguiente

y[t] − y[t− 1] = −0, 5y[t− 1] + u[t− 1] (4.12)

Supongamos ahora que u[−1] = 0, u[t] = 2, ∀t ≥ 0, e y[−1] = −2, entoncesnecesariamente y[1]−y[0] = 2, 5, es decir, y[1]−y[0] > 0 por lo cual, en t = 0, lasalida y, esta aumentando. Por otro lado, a medida que y[t] aumenta y se acercaa 4, entonces y[t]−y[t−1] sigue siendo positiva, pero disminuye consistentementeya que −0, 5y[t − 1] + u[t − 1] se acerca a 0. En el lımite, cuando y[t] = 4, ladiferencia y[t]−y[t−1] es cero, lo cual dice que en ese instante y[t] ya no cambia,es decir, se alcanza un punto de equilibrio estable.

Introduzcamos ahora una variante en (4.11) :

y[t] − 1, 5y[t− 1] = u[t− 1] =⇒ y[t] − y[t− 1] = 0, 5y[t− 1] + u[t− 1] (4.13)

Si nuevamente u[t] = 2, ∀t ≥ 0, e y[−1] = −2, entonces y[1]−y[0] = 1, lo cualimplica que en t = 0 la salida y esta aumentando. Sin embargo, a diferencia delcaso anterior, a medida que y aumenta, acercandose a 2, su primera diferenciacrece, es decir, y[t] aumenta. Cuando y[t] = 2, se tiene que y[t]−y[t−1] = 4, ysubiendo. En consecuencia, y sigue creciendo monotonicamente, pero siempre ladiferencia, y[t]− y[t− 1], debe cumplir con y[t]− y[t− 1] = 0, 5y[t− 1]+u[t− 1].Es decir, no se alcanza un punto de equilibrio y, mas adelante, definimos estetipo de sistemas como inestable.

Ambos casos pueden ser representados por la forma general de una ERS deprimer orden

y[t] + ay[t− 1] − bu[t] = 0 (4.14)

La forma (4.14) deja en evidencia el significado de restriccion que tiene laERS.

El analisis precedente se puede aplicar a ERS mas complejas, pero en esoscasos se pierde la vision intuitiva, por ello nos conviene trasladarnos a un ambitomas general, que es lo que hacemos a continuacion.

4.3. La respuesta del sistema

La solucion de la ERS condensa aspectos fundamentales del comportamientodel sistema. Una aproximacion intuitiva a esta conexion indica que es esperableque la excitacion no solo fuerce determinada conducta en la respuesta, sinoque en ese proceso revele aspectos claves de la naturaleza del sistema. Estapercepcion justifica el observar con detencion la solucion de la ERS y algunasformas en que ella puede ser descompuesta para su mejor comprension. Noteque no analizaremos el problema de existencia y unicidad de la solucion de (4.1).


respuesta homogenea

solucion homogenea4.3.1. Componente homogenea y componente particular

Una primera forma de escudrinar la respuesta del sistema es descomponerlade modo de identificar aquella parte que captura la naturaleza del sistema, com-ponente natural u homogenea, y la otra, que refleja la naturaleza especıficade la excitacion, componente particular o forzada.

La componente homogenea, yh[t], satisface la ecuacion homogenea asociadaa (4.1), es decir:

yh[t] + an−1q−1yh[t] + . . .+ a0q

−nyh[t] = 0 (4.15)

Antes de proseguir con el analisis consideraremos un ejemplo.

Ejemplo 4.4. Suponga que la ERS esta dada por:

y[t] − 0, 5y[t− 1] = u[t− 1] (4.16)

y que la respuesta y[t] debe satisfacer la condicion inicial y[0] = −1. Se deseacalcular la respuesta del sistema cuando u[t] = 1 para t ≥ 0.

yh[t]

La componente homogenea debe cumplir con:

y[t] − 0, 5y[t− 1] = 0 (4.17)

Esta ecuacion es satisfecha por yh[t] = C(0, 5)t, para cualquier valor de laconstante C. Esto se verifica reemplazando yh[t] en: (4.17)

C(0, 5)t − 0, 5C(0, 5)t−1 = C((0, 5)t − (0, 5)t

)= 0 (4.18)

yp[t]

La componente particular yp[t] es una funcion, independiente de las condi-ciones iniciales, que debe satisfacer (3.16) con u[t] = 1. Como la entrada es unaconstante, una solucion tentativa es suponer que la solucion particular tambienes constante, digamos yp[t] = Co. Si esta suposicion es correcta, entonces existeCo constante que satisface (4.16) y puede ser calculada reemplazando yp[t] = Coy u[t] = 1 en (4.16):

Co − 0, 5Co = 1 =⇒ Co = 2 (4.19)

Entonces la solucion completa es y[t] = yh[t] + yp[t] = 2 + C(0, 5)t. Laconstante C se calcula de modo que y[−1] = −1:

y[−1] = −1 = 2 + C(0, 5)−1 =⇒ C = −3

2(4.20)

Por lo tanto la solucion completa esta dada por:

y[t] = 2 − 3

2(0, 5)t (4.21)

222


ecuacion caracterıstica

polinomio caracterıstico4.3.2. Frecuencias y modos naturales

Volvamos ahora al problema general de calcular la componente homogeneade la respuesta del sistema. Para ello repetimos la ecuacion homogenea (4.15):

yh[t] + an−1q−1yh[t] + . . .+ a0q

−nyh[t] = 0 (4.22)

La solucion para (4.22) puede ser construida en torno al siguiente lema.

Lema 4.1. La funcion f [t] = Cλto (λo 6= 0) satisface (4.22) para cualquierconstante C ∈ C si y solo si λo ∈ C satisface la ecuacion caracterısticaasociada a la ecuacion homogenea:

pq(λ)4= λn + an−1λ

n−1 + . . .+ a1λ+ a0 = 0 (4.23)

donde:

pq(λ) =∑

`=0

a`λ` con an = 1 (4.24)

es conocido como el polinomio caracterıstico asociado a la ERS.Demostracion

Reemplazando f [t] en (4.22) se obtiene:

Cλt−no

(λno + an−1λ

n−1o + . . .+ a1λo + a0

)= 0 (4.25)

Por un lado (suficiencia) se ve que si λo satisface (4.23), entonces f [t] sat-isface la ecuacion homogenea.

Por otro lado (necesidad), si f [t] satisface la ecuacion homogenea, entonces(4.25) debe cumplirse ∀t y dado que λo 6= 0, entonces pq(λo) = 0.

222

Supongamos que las n raıces de pq(λ) son distintas, entonces la solucionhomogenea tiene la forma:

yh[t] =

n∑

i=1

Ciλti (4.26)

Un caso mas complejo ocurre cuando algunas raıces de pq(λ) son repetidas.El lema que sigue se refiere al caso de raıces dobles.

Lema 4.2. Si el polinomio caracterıstico pq(λ) tiene una raız doble, digamosen λ = λ1, entonces la funcion f2[t] = Ctλt1 satisface la ecuacion homogenea(4.22).Demostracion

Primero notamos que si pq(λ) tiene una raız doble en λ = λ1, entonces:

d pq(λ)

dλ

∣∣∣∣λ=λ1

=

n∑

`=0

a``λ`1 = 0; con an = 1 (4.27)


respuesta particular

solucion particular

constantes indeterminadas

Luego, reemplazamos yh[t] por f2[t] en el lado izquierdo de (4.22), para de-mostrar que es igual a cero.

n∑

`=0

a`yh[t− n+ `] =

n∑

`=0

a`(t− n+ `)λt−n+`1 (4.28)

= (t− n)λt−n1

n∑

`=0

a`λ`1 + λt−n+1

1

n∑

`=0

a``λ`−11 (4.29)

= (t− n)λt−n1 pq(λ1)︸︷︷︸

0

+λt−n+11

d pq(λ)

dλ

∣∣∣∣λ=λ1

︸︷︷︸

0

(4.30)

Con lo cual el lema queda demostrado.

222

El lector es invitado a demostrar el siguiente lema.

Lema 4.3. Si el polinomio caracterıstico pq(λ) tiene una raız de multiplicidadn1 en λ = λ1, entonces la funcion fn[t] = Ctiλt1 satisface la ecuacion homogenea(4.22) para i = 0, 1, . . . , n1 − 1

222

De los resultados precedentes se puede ver que la ecuacion homogenea tieneinfinitas soluciones, las que pueden describirse genericamente como una familia.Los miembros de esta familia se diferencian por los valores numericos especıficosque se pueden escoger para un conjunto de n constantes indeterminadas. Dela ecuacion (4.22) se observa que podemos escoger libremente un conjunto devalores arbitrarios para y[−1], y[−2], . . ., y[−n]. Por cada conjunto elegido hayuna solucion distinta.

Por su parte, la componente o solucion particular es una funcion del tiempocompletamente determinada, es decir, independiente de las condiciones iniciales,y que satisface la ecuacion (3.1). La solucion completa y[t] = yh[t]+yp[t] quedatotalmente determinada al usar las condiciones iniciales, aplicadas a la res-puesta completa, y[t], para calcular las constantes indeterminadas presentesen yh[t].

Si las soluciones de (4.23) son λ1, λ2, . . .λp con multiplicidad n1, n2, . . . ,np respectivamente, tal que n1 + n2 + . . . + np = n, entonces la forma generalde yh[t] es:

yh[t] =

p∑

`=1

nt∑

i=1

Cìti−1λt` (4.31)

donde los Cì son constantes arbitrarias (constantes indeterminadas) que gener-an los grados de libertad necesarios para que la respuesta completa satisfagalas condiciones iniciales.


frecuencias naturales

modos naturales

modo forzante

modo forzante!ganancia a


modo forzado

Los valores de λ que satisfacen (4.23) son conocidos como autovalores, valorespropios o frecuencias naturales del sistema. Como la ecuacion caracterısticade la ERS tiene coeficientes reales, cuando las soluciones son complejas, siempreocurren en pares conjugados.

A su vez, la funciones temporales de la forma:

ti−1λt` (4.32)

que aparecen en (4.31) se denominan modos naturales del sistema.Los modos naturales se asocian unıvocamente a las frecuencias naturales, y

la forma temporal de los primeros depende de la ubicacion de los segundos enel plano complejo. Un mapa general se aprecia combinando las Figuras 4.1 y4.2 . En ambos graficos se ha dibujado la circunferencia de radio unitario concentro en el origen. La separacion se ha hecho solo para una mayor claridad.En esas figuras se asocia una senal (modo natural) a cada frecuencia naturalde multiplicidad uno, excepto en el caso de frecuencias complejas, en que seconsidera el par complejo conjugado.

4.3.3. Modos forzantes y modos forzados

La componente particular de la respuesta, yp[t], es una funcion estrechamenteligada a la entrada, u[t]. Un caso simple, en que podemos apreciar esta relacion,es cuando u[t] puede describirse como una combinacion lineal de funciones dela forma βti , es decir:

u[t] =∑

i=1

Biβti (4.33)

donde los β′is son distintos enter sı y ninguno de ellos coincide con alguna

frecuencia natural. Cada una de las funciones βti recibe el nombre de modoforzante.

Se puede verificar, usando la linealidad del sistema, que la solucion particu-lar, yp[t], esta dada por:

yp[t] =∑

i=1

ypi[t]; con ypi[t] = KiBiβti (4.34)

y donde cada uno de los coeficentes es:

Ki =

∑m`=0 bm−`(βi)−`

∑nl=0 an−l(βi)

−l ; con an = 1 (4.35)

La respuesta yp[t] contiene modos forzados. Bajo la suposicion anterior,relativos a que los β′

is son distintos de las frecuencias naturales, todos los modosforzados coinciden con modos forzantes.


ganancia

ganancia! a continua

1

z

Figura 4.1: Relacion entre la ubicacion de las frecuencias naturales (de multi-plicidad uno) y los modos naturales (caso decreciente).

Observe que podemos identificar a Ki con una ganancia asociada al modoforzante i-esimo. Cuando el modo forzante es una constante, es decir, βt = 1t,se habla de la ganancia a continua o ganancia a frecuencia cero.

Para facilitar la comprension del concepto de ganancia a modos, considere-mos un ejemplo.

Ejemplo 4.5. Considere la ERS lineal

y[t]−0, 5y[t−1] = 2u[t−1]; entonces n = m = 1; a1 = 1; a0 = −0, 5; b0 = 2(4.36)

Supongamos que la entrada es u[t] = 5+4 cos(πt/4+π/7), entonces podemosexpresarla como:

u[t] =

3∑

i=1

Bieβit = 5βt1 +

(2ej

π7

)βt2 +

(2e−j

π7

)βt3 (4.37)


z

1

Figura 4.2: Relacion entre la ubicacion de las frecuencias naturales (de multi-plicidad uno) y los modos naturales (caso no decreciente).

donde β1 = 1, β2 = ejπ4 y β3 = e−j

π4 , es decir, hay tres modos forzantes

presentes. Las ganancias estan dadas por (4.35), y para este caso particular:

K1 =b0

β1 + a0=

2

0, 5= 4 (4.38)

K2 =b0β

−12

1 + a0β−12

= 0, 7630 − j2, 605 = 2, 7144e−j1,286 (4.39)

K3 =b0β

−12

1 + a0β−12

= 0, 7630 + j2, 605 = 2, 7144ej1,286 (4.40)

222

El tratamiento general de la solucion particular sera pospuesto para capıtulosfuturos; pero en el intertanto podemos establecer un hecho trascendente


estabilidad

cırculo unitario

disco unitario

Los sistemas lineales exhiben ganancias distintas para modos forzantes dis-tintos, y esta capacidad de discriminacion es la base para el analisis y disenode sistemas de procesamiento de senales y para otras aplicaciones.

4.3.4. Estabilidad

Como ya hemos mencionado, los modos naturales describen aspectos es-enciales de un sistema lineal. En primer lugar, los modos naturales guardanestrecha relacion con la idea de estabilidad. Intuitivamente podemos definirun sistema lineal (o, mejor dicho, un modelo lineal) como estable si todas lasvariables (senales) del sistema permanecen acotadas ante cualquier excitacionacotada o estado inicial acotado. Si consideramos solo el efecto de condicionesiniciales, resulta que la estabilidad requiere que los modos naturales sean todosacotados. Sin embargo, veremos que la estabilidad de un sistema requiere quetodos los modos naturales decaigan en el tiempo.

Como cada modo natural depende de una frecuencia natural, son estas, esdecir, las raıces de la ecuacion caracterıstica, las que determinan la estabilidaddel sistema. Consideremos el caso de un modo de la forma generica:

yh1[t] = Cλt; λ ∈ C (4.41)

Sea λ = ηejθ, entonces:

yh1[t] = Cλt = Cηtejθt = Cηt(cos(θt) + j sen(θt)) (4.42)

De la expresion anterior se observa que yh1[t] decae a medida que el tiempotranscurre si y solo si λt decae, y esto ocurre si y solo si |λ| = η < 1. Dicho deotra forma, si y solo si λ esta al interior del cırculo o disco unitario (excluyen-do su borde). Esto se refleja los modos que aparecen en la Figura 4.1 y, porcontradiccion, en la Figura 4.2.

En resumen, tenemos la siguiente definicion de estabilidad, conocida comoestabilidad asintotica:

Diremos que un modelo lineal e invariante en el tiempo (discreto) es establesi y solo si todos sus modos naturales decaen asintoticamente a cero, es decir,si y solo si todas sus frecuencias naturales tienen magnitud estrictamentemenor que uno. Si una o mas de las frecuencias naturales del modelo tienenmagnitud mayor o igual que uno, diremos que el modelo es inestable.

Definimos, en consecuencia, la region de estabilidad en el plano com-plejo, para sistemas de tiempo discreto, como el cırculo unitario abierto, esdecir excluyendo la circunferencia unitaria. La necesidad de esta exclusion sedemostrara mas adelante. Sin embargo, el ejemplo siguiente permite apreciar elorigen de las dificultades cuando una frecuencia natural esta en la circunferenciaunitaria.


velocidad

frecuencia natural!dominante


Ejemplo 4.6. Sea un sistema cuya ERS esta dada por:

y[t] − y[t− 1] = 2u[t− 1] (4.43)

Entonces el sistema tiene solo una frecuencia natural, y ella esta ubicadaen λ = 1, esto significa que el modo natural que aparecera en la respuesta delsistema es λt = 1. Ası, la respuesta homogenea es yh[t] = C1. Supongamos quela entrada es una constante ∀t ≥ 0, digamos u[t] = Uo, entonces la componenteparticular de la respuesta es yp[t] = 2Uot. De esa forma la respuesta completa esy[t] = C1 + 2Uot donde C1 debe calcularse para satisfacer la condicion inicial.En todo caso, lo relevante de este ejemplo es que aunque la entrada es unasimple constante, la salida crece en forma no acotada a medida que el tiempoevoluciona. El sistema es, entonces, inestable.

Podemos apreciar mejor la naturaleza de este sistema, si (4.43) es escritacomo:

y[t] = y[t− 1] + 2u[t− 1] (4.44)

Esta ecuacion puede ser asociada con el caculo de una integral por aproxi-macion rectangular cuando el ancho de los rectangulos es 2. Al final, el resultadodel ejemplo muestra que la integral de un escalon es una rampa.

222

4.3.5. Velocidad

Un segundo aspecto de interes en relacion con las frecuencias y modos nat-urales guarda relacion con la velocidad con que evolucionan las variables de unsistema.

Dentro de la clase de sistemas estables, podemos distinguir diferencias no-tables, no solo por la distinta naturaleza de los valores propios, sino por lasvelocidades comparativas a las que decaen las componente homogeneas de larespuesta de los distintos sistemas. Por ejemplo, consideremos dos sistemas conlas componentes homogenas que se indican:

Sistema 1 yh1[t] = C110, 9t + C120, 5

t (4.45)

Sistema 2 yh2[t] = C210, 2t + C220, 7

t (4.46)

Vemos que yh1[t] esta dominada por el modo natural 0, 9t, pues esta senal de-cae mas lentamente que el otro modo natural 0, 5t. Por su parte, yh2[t] esta dom-inada por el modo natural 0, 7t, el que decae mas lentamente que el modo 0, 2t.Ası diremos que el Sistema 1 tiene una frecuencia natural dominante iguala 0, 9, con un modo natural dominante 0, 9t. A su vez, el Sistema 2 tiene unafrecuencia natural dominante igual a 0, 7, con un modo natural dominante 0, 7t.Al comparar ambos sistemas podemos concluir, en primera aproximacion, queel Sistema 1 es mas lento que el Sistema 2, porque su modo dominante decaemas lentamente.


En general, si λ = ηejθ, con 0 ≤ η < 1, el modo natural tiene la forma:

λt = ηt (cos(θt) + j sen(θt)) (4.47)

De esta ecuacion se observa que este modo decae mas rapidamente cuantomas pequeno es η. Ası, los sistemas estables son mas rapidos cuanto mas cercanosal origen del plano complejo estan sus frecuencias naturales dominantes.

4.3.6. Respuesta a estado inicial y respuesta a entrada

Una forma alternativa de descomponer la respuesta de un sistema es consid-erar por separado la componente de la respuesta debida al estado inicial, yx[t],y la componente de la respuesta debida a la entrada, yu[t], es decir:

y[t] = T〈〈〈xo, u[t]〉〉〉 = T〈〈〈xo, 0〉〉〉︸︷︷︸

yx[t]

+T〈〈〈0, u[t]〉〉〉︸︷︷︸

yu[t]

(4.48)

En consecuencia, yx[t] satisface:

yx[t] + an−1q−1yx[t] + . . .+ a0q

−nyx[t] = 0 (4.49)

sujeta a las condiciones iniciales definidas en un vector xo. Esto sig-nifica que yx[t] es una combinacion lineal de modos naturales, en donde lasconstantes dependen de las condiciones iniciales (las que deben ser satisfechaspor la solucion completa de la ERS).

A su vez, la respuesta a entrada, yu[t], es una solucion de la ERS con condi-ciones iniciales iguales a cero, es decir, satisface:

yu[t] + an−1q−1yu[t] + . . .+ a0q

−nyu[t]

= bmu[t] + bm−1q−1u[t] + . . .+ b0q

−mu[t] (4.50)

sujeta a condiciones iniciales cero. Para poder cumplir la restriccion queimponen estas condiciones, yu[t] debe contener, ademas de los modos forzados,una combinacion lineal de modos naturales cuyas constantes son calculadas demodo que se cumpla aquella restriccion.

La Tabla 4.1 muestra una comparacion de los modos presentes en las de-scomposiciones descritas de la respuesta de un sistema.

yh[t] yp[t] yx[t] yu[t]

modos naturales√ √ √

modos forzados√ √

Cuadro 4.1: Presencia de modos en descomposiciones de la respuesta

Es ademas importante el notar que:


y[t] = yh[t] + yp[t] = yx[t] + yu[t] (4.51)

No obstante, en general, yh[t] 6= yx[t] e yp[t] 6= yu[t].Afianzaremos estas ideas a traves del ejemplo 4.4 en que se muestra la de-

scomposicion en componente homogenea y particular, para un caso particular.

Ejemplo 4.7. Suponga que la ERS esta dada por:

y[t] − 0, 5y[t− 1] = u[t− 1] (4.52)

y que la respuesta y[t] debe satisfacer la condicion inicial y[−1] = −1. Se deseacalcular la respuesta del sistema si u[t] = 1 para t ≥ −1.

yx[t]

La respuesta a estado inicial debe cumplir con:

yx[t] − 0, 5yx[t− 1] = 0 (4.53)

y con yx[−1] = −1. Esta ecuacion es satisfecha por yx[t] = C(0, 5)t, con C =−0, 5, es decir:

yx[t] = −0, 5(0, 5)t (4.54)

yu[t]

La respuesta a entrada, yu[t], es una solucion para (4.52) con u[t] = 1, ysujeta a yu[−1] = 0.

De esta forma, la solucion completa es

yu[t] = yuh[t] + yup[t] (4.55)

donde yuh[t] es una solucion de la ecuacion homogenea, es decir yuh[t] = Cu(0, 5)t,

e yup[t] es la solucion particular4 yup[t] = 2. Cu se calcula de modo de obteneryu[−1] = 0, lo cual conduce a Cu = −1.

Finalmente:

yx[t] = −0, 5(0, 5)t (4.56)

yu[t] = −(0, 5)t + 2 (4.57)

y[t] = yx[t] + yu[t] = −1, 5(0, 5)t + 2 (4.58)

Este resultado tambien puede ser obtenido directamente con el codigo:

Maple

>rsolve(y(n)=0.5*y(n-1)+1, y(-1)=-1,y(t));

4Esta solucion particular se puede calcular usando la ganancia al modo 1t.


respuesta transitoria

respuesta estacionariaDe esta forma, podemos ahora completar la Tabla 4.1 para el caso de las

soluciones obtenidas para este ejemplo. Esto se muestra en la Tabla 4.2.

yh[t] yp[t] yx[t] yu[t]

modos naturales −1, 5(0, 5)t −0, 5(0, 5)t −(0, 5)t

modos forzados 2 2

Cuadro 4.2: Presencia de modos en descomposiciones de la respuesta del ejemplo

222

Las dos descomposiciones de la respuesta del sistema que se han desarrolladopermiten observar esa respuesta desde dos perspectivas diferentes

En la descomposicion componente homogenea – componente particular seobserva la estructura de la respuesta. En efecto, en esa particion queda enevidencia la presencia de dos tipos de modos: modos naturales (incluidos enla componente homogenea) y modos forzados (incluidos en la componenteparticular).

En la descomposicion respuesta a estado inicial – respuesta a entrada seseparan los efectos de las dos causas de que el sistema tenga una respuesta:las condiciones iniciales y las excitaciones o entradas aplicadas.

Note que aunque las condiciones iniciales sean cero, los modos naturalesigual se encuentran presentes en la respuesta del sistema a traves de la respuestadebida a la entrada, yu[t].

Un comentario final sobre la respuesta del sistema es que es usual hablar derespuesta transitoria y respuesta estacionaria. La respuesta estacionariacorresponde a la respuesta del sistema cuando ha transcurrido mucho tiempodesde el instante inicial. Por su parte la respuesta transiente es aquella parte dela respuesta que se extingue con el tiempo.

En el ejemplo 3.6 en la pagina 47, la respuesta estacionaria esta dada por elmodo forzado constante, mientras que la respuesta transitoria esta formada porlos modos naturales (sinusoidales amortiguadas).

La separacion en componentes estacionaria y transitoria es transversal ala idea de modos naturales y modos forzados. La respuesta estacionaria puedeexistir incluso si la entrada es cero. En ese caso esta formada exclusivamente pormodos naturales. Por ejemplo, si un sistema tiene modos naturales sinusoidalesy la entrada es una exponencial decreciente, entonces la respuesta estacionariacontendra los modos naturales sinusoidales y la respuesta transitoria incluira elmodo forzado por la exponencial.

Por otro lado, si el sistema tiene ganancia cero a un modo forzante, el cor-respondiente modo forzado no aparecera en la respuesta estacionaria.


respuesta! a $\mu [t]$

respuesta! a escalon4.4. Respuesta a senales de prueba

Una forma de estudiar, y comparar en forma estandarizada el comportamien-to de un sistema es determinar su respuesta para excitaciones de prueba. Entreesas senales de prueba se consideran usualmente: el escalon unitario, el impulsounitario y la senal sinusoidal. En esta seccion nos concentraremos en las dosprimeras, pues la respuesta ante senales sinuosidales sera materia de estudio enel Capıtulo 5).

4.4.1. Respuesta a escalon unitario

Considere la ecuacion (4.1) en la pagina 61. Entonces la respuesta, g[t], a unescalon unitario y condiciones iniciales iguales a cero5, se puede obtenerde la siguiente forma:

Paso 1 Determine la solucion general de la ecuacion:

go[t] + an−1q−1go[t] + . . .+ a0q

−ngo[t] = 1 (4.59)

Note que go[t] contiene una parte natural u homogenea (combinacion linealde modos naturales de la forma (4.31)) y una componente particular oforzada. Cuando el sistema no tiene frequencias naturales en λ = 1, go[t]tiene la forma:

go[t] = Ko +

p∑

`=1

n∑

i=1

Cìti−1λt` ∀t ≥ −n (4.60)

donde Ko es la ganancia del sistema con ERS (4.59) al modo constante1t, es decir:

Ko =1

∑ni=0 ai

; con an = 1 (4.61)

En el caso general en que el sistema tiene una frequencia natural en λ = 1,con multiplicidad p, go[t] tiene la forma:

go[t] = Kptp−1 +

p∑

`=1

n∑

i=1

Cìti−1λt` ∀t ≥ −n (4.62)

Hemos anotado que esta expresion para go[t] es valida ∀t ≥ −n ya quesatisface las condiciones iniciales.

Paso 2 Calcule la senales retardadas q −`go[t], para ` = 1, 2, . . ., n.

5Elegimos, por simplicidad, g[−1] = g[−2] = . . . = g[−n] = 0

4.4. RESPUESTA A SENALES DE PRUEBA 77

Paso 3 Calcule las constantes Cì usando la restriccion de las condiciones ini-ciales iguales a cero, es decir, usando el hecho que:

q−` go[t]|t=0 = 0 ` = 0, 1, . . . , n− 1 (4.63)

Paso 4 Usando las propiedades de linealidad e invarianza, obtenga g[t] deacuerdo a:

g[t] = bmgo[t] +

m∑

i=1

bm−iq−igo[t]µ[t− i ] (4.64)

El procedimiento anterior es ilustrado con el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4.8. Consideremos la ERS:

y[t] − 0, 9q−1y[t] + 0, 2q−2y[t] = 2u[t] + q−1u[t] (4.65)

Entonces las frecuencias naturales son soluciones de λ2 − 0, 9λ+0, 2 = 0, esdecir λ1 = 0, 5 y λ2 = 0, 4.

Luego, seguimos los pasos bosquejados previamente:

Paso 1 Calculamos la solucion general de:

go[t] − 0, 9q−1go[t] + 0, 2q−2go[t] = 1 (4.66)

que resulta ser go[t] = 103 + C1(0, 5)

t + C2(0, 4)t. Note que el termino 10

3corresponde a la ganancia a continua, es decir, al modo forzante 1t.

Paso 2 Para este ejemplo, ya que n = 2, se necesita calcular go[t−1] y go[t−2]:

go[t− 1] =10

3+ C1(0, 5)

t−1 + C2(0, 4)t−1 =

10

3+ 2C1(0, 5)

t + 2, 5C2(0, 4)t

(4.67)

go[t− 2] =10

3+ C1(0, 5)

t−2 + C2(0, 4)t−2 =

10

3+ 4C1(0, 5)

t + 6, 25C2(0, 4)t

(4.68)

Paso 3 Las constantes C1 y C2 se calculan a partir de las condiciones iniciales(iguales a cero), es decir:

go[−1] = 0 =10

3+ 2C1 + 2, 5C2 (4.69)

go[−2] = 0 =10

3+ 4C1 + 6, 25C2 (4.70)


respuesta! a $\delta [t]$

respuesta! a impulsode donde C1 = −5 y C2 = 8

3 . Lo cual conduce a:

go[t] =10

3− 5(0, 5)t +

8

3(0, 4)t ∀t ≥ −2 (4.71)

Este resultado se puede obtener a traves del siguiente codigo:

Maple

>ers:=go(n)-0.9*go(n-1)+0.2*go(n-2)-1;

>rsolve(ers,go(-1)=0,go(-2)=0,go(t));

Paso 4 La respuesta a escalon unitario esta entonces dada por:

g[t] = 2go[t] − go[t− 1]µ[t− 1] (4.72)

=20

3− 10(0, 5)t +

16

3(0, 4)t +

[10

3− 5(0, 5)t−1 +

8

3(0, 4)t−1

]

µ[t− 1] ∀t ≥ −2

(4.73)

=20

3− 10(0, 5)t +

16

3(0, 4)t +

[10

3− 10(0, 5)t +

20

3(0, 4)t

]

µ[t− 1] ∀t ≥ −2

(4.74)

Note que go[t− 1]µ[t− 1] = go[t− 1]µ[t], ya que go[t− 1]µ[t]|t=0 = 0.

Ası tenemos que6

g[t] = 10 − 20(0, 5)t + 12(0, 4)t ∀t ≥ 0 (4.75)

222

4.4.2. Respuesta a impulso unitario

Considere la ecuacion (4.1) en la pagina 61. Entonces la respuesta a unimpulso unitario, δ[t], y condiciones iniciales iguales a cero, se puede obtener apartir de la respuesta a escalon unitario.Esta estrategia se basa en que el sistemarepresentado por la ERS (4.1) es lineal e invariante en el tiempo.

Recordemos que:

δ[t] = µ[t] − µ[t− 1] (4.76)

Entonces, la respuesta h[t], a un impulso unitario esta dada por:

6Note que esta expresion no es valida para t = −1 y t = −2


convolucion

h[t] = g[t] − g[t− 1]µ[t− 1] ∀t ≥ −n (4.77)

Como las condiciones iniciales son cero, g[t − 1]µ[t − 1] = g[t − 1]µ[t], yaque g[t− 1]µ[t]|t=0 = 0. Ası la respuesta a un impulso unitario con condicionesiniciales iguales a cero esta dada por:

h[t] = g[t] − g[t− 1] ∀t ≥ 0 (4.78)

Aunque en algunos textos se propone calcular h[t] usando una estrategiasimilar a la seguida para el calculo de la respuesta a escalon unitario, en generaldesde el punto de vista meramente instrumental es mucho mas simple calcularla respuesta a impulso usando la transformada Zeta, como se vera en el Capıtulo8.

Ejemplo 4.9. Consideremos el mismo sistema descrito por (4.65), entoncespodemos calcular h[t] construyendo la primera diferencia de la respuesta a es-calon unitario en (4.72). Ası se obtiene:

h[t] = 10 − 20(0, 5)t + 12(0, 4)t − 10 + 20(0, 5)t−1 − 12(0, 4)t−1 (4.79)

= 20(0, 5)t − 18(0, 4)t ∀t ≥ 0 (4.80)

222

En una perspectiva general, podemos observar que dada la relacion entre larespuesta a impulso y la respuesta a escalon, y considerando que esta ultimacontiene una combinacion lineal de los modos naturales del sistema y una con-stante, entonces h[t] contiene solo modos naturales. Conceptualmente, esesta la caracterıstica que confiere especial importancia a las respuestas a escalone impulso. En rigor, la respuesta a excitaciones mas complejas tambien contieneuna combinacion de modos naturales (a traves de la componente homogenea dela respuesta), sin embargo, la presencia de estos modos se ve oscurecida por lacomponente particular o forzada de la respuesta.

Veremos, en la siguiente seccion una utilidad inmediata de estas considera-ciones.

4.5. Calculo de la respuesta via convolucion

Supongamos que se conoce la respuesta a impulso, h[t], de un sistema lineale invariante en el tiempo, con condiciones iniciales iguales a cero, entonces, elsiguiente lema nos proporciona un resultado crucial en la teorıa de los sistemaslineales de tiempo discreto.

Lema 4.4. Considere un sistema lineal e invariante en el tiempo. Sea ademash[t] la respuesta de ese sistema a un impulso unitario en la entrada, con condi-ciones iniciales iguales a cero. Entonces, la respuesta y[t] del mismo sistema a


se~nal causal una excitacion causal7 arbitaria, u[t], con condiciones iniciales iguales a cero,esta dada por:

y[t] =

t∑

`=0

u[`]h(t− `) ∀t ≥ 0 (4.81)

DemostracionRecordemos que toda senal u[t] puede expresarse por:

u[t] =

∞∑

`=0

u[`]δ[t− `] (4.82)

Por otro lado, dada la invarianza del sistema tenemos que:

h[t− `] = T〈〈〈0, δ[t− `]〉〉〉 (4.83)

Luego, usando homogeneidad:

u[`]h[t− `] = T〈〈〈0, u[`]δ[t− `]〉〉〉 (4.84)

Aplicando ahora superposicion se llega a:

∞∑

`=0

u[`]h[t− `] = T〈〈〈0,∞∑

`=0

u[`]δ[t− `]〉〉〉 (4.85)

Finalmente, usando (4.82) y el hecho que h[t−`] = 0 ∀` > t (por causalidad),se obtiene:

y[t] = T〈〈〈0, u[t]〉〉〉 =

t∑

`=0

u[`]h[t− `] ∀t ≥ 0 (4.86)

222

En la ecuacion (4.86) y[t] se puede interpretar como una suma ponderada(por u[`]) de respuestas a impulso h[t− `].

Note que dado que u[t] y h[t] son causales, entonces, la ecuacion (4.81)tambien se puede escribir como:

y[t] =

∞∑

`=−∞u[`]h[t− `] =

∞∑

`=−∞u[t− `]h[`] ∀t ≥ 0 (4.87)

Las sumas que aparecen en la ecuacion (4.87) son una expresion de la con-volucion de dos funciones temporales. La definicion generica es:

f1[t] ∗ f2[t] =

∞∑

`=−∞f1[`]f2[t− `] =

∞∑

`=−∞f1[t− `]f2[`] (4.88)

7Una senal u[t] es causal si u[t] = 0 ∀t < 0


Aparte de la propiedad de commutatividad que aparece en (4.88), la con-volucion tiene la propiedad de distributividad, esto es:

f1 ∗ (f2[t] + f3[t]) = f1[t] ∗ f2[t] + f1[t] ∗ f3[t] (4.89)

Otra propiedad fundamental de la convolucion esta dada por el siguientelema.

Lema 4.5. La convolucion de un senal con un impulso de Kronecker en elorigen, δ[t], es la senal misma, es decir:

u[t] ∗ δ[t− to] = u[t− to] (4.90)

Demostracion

u[t]∗δ[t−to] =

∞∑

`=−∞u[`]δ[t−to−`] =

∞∑

`=−∞u[t−to]δ[t−to−`] = u[t−to] (4.91)

Note que el ultimo paso de la demostracion se basa en que una funcion detiempo discreto es un tren de impulsos de Kronecker cuya amplitud es el valorinstantaneo de la senal.

222

El uso de convolucion para la determinacion de la respuesta de un sistemalineal tiene importancia conceptual y numerica, sin embargo, no es, en general,un procedimiento analıticamente simple. Es interesante observar que el calculode la convolucion entre dos senales discretas se puede ilustrar de manera muysimple: si consideramos dos tiras de papel, en una de las cuales se anotan losvalores de la primera senal y, en la otra los de la segunda, entonces la convolucionse realiza invirtiendo una de las tiras y retrocediendola sobre la otra. Para cadaretroceso, la convolucion corresponde a multiplicar los valores coincidentes ysumar los productos resultantes. Esto se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4.10. Un sistema lineal tiene una respuesta a impulso unitario, concondiciones iguales a cero, dada por h[t] = (0, 5)tµ[t]. Determine, usando con-volucion la respuesta a la senal u[t] = µ[t] − µ[t− 3].Solucion

La respuesta esta dada por

y[t] = u[t] ∗ h[t] =t∑

`−∞u[`]h[t− `]

=t∑

`−∞(0, 5)t−`µ[t− `](µ[`] − µ[`− 3]) (4.92)

La suma o acumulacion se puede segmentar en tres intervalos:



transformada Zeta

u[t] ∗ h[t] =

−1∑

`=−∞u[`]h[t− `]d` = 0 t < 0

t∑

`=0

u[`]h[t− `]d` = 2 − (0, 5)t 0 ≤ t < 3

2∑

`=0

u[`]h[t− `]d` = 7(0, 5)t t ≥ 3

(4.93)

Una resolucion compacta se puede desarrollar usando el hecho que la entradase puede expresar como la suma de tres impulsos unitarios, es decir:

u[t] = µ[t] − µ[t− 3] = δ[t] + δ[t− 1] + δ[t− 2] (4.94)

De esta forma podemos calcular la respuesta usando la propiedad de distribu-tividad de la convolucion, seguida por la aplicacion del Lema 4.5:

y[t] = h[t] ∗ u[t] = h(t) ∗ (δ[t] + δ[t− 1] + δ[t− 2])

= (0, 5)tµ[t] + (0, 5)t−1µ[t− 1] + (0, 5)t−2µ[t− 2] (4.95)

222

Como se puede apreciar, el calculo mismo de la convolucion es complejo. Enrealidad la importancia de ella se debe a que, por un lado, condensa la esenciade la linealidad de los sistemas lineales (e invariantes en el tiempo), y por otro,es un nexo de conexion con el analisis en el dominio de las transformadas deFourier discreta y Zeta (Capıtulos 6 y 8, respectivamente).

La convolucion en tiempo discreto es ampliamente usada para construir larespuesta de sistemas lineales, invariantes en el tiempo y causales, cuando seconoce la respuesta a un impulso unitario. Esto se debe a la simplicidad de lasexpresiones del Lema 4.4.

La respuesta de un sistema lineal e invariante en el tiempo se puede calculara partir de la respuesta a escalon, como se muestra en el el siguiente lema.

Lema 4.6. Sea un sistema lineal e invariante en el tiempo. Suponga que larespuesta de ese sistema a un escalon unitario de entrada, con condiciones ini-ciales iguales a cero, es g[t]. Entonces la respuesta del sistema, bajo condicionesiniciales iguales a cero, a una excitacion u[t] esta dada por:

y[t] = u[t] ∗ (g[t] − g[t− 1]) = g[t] ∗ (u[t] − u[t− 1]) (4.96)

DemostracionDado que δ[t] = µ[t] − µ[t − 1], entonces, por linealidad e invarianza, la

respuesta h[t], a un impulso unitario puede expresarse como:

h[t] = g[t] − g[t− 1] (4.97)

Esto lleva inmediatamente al primer resultado, dado que:


y[t] = u[t] ∗ h[t] = u[t] ∗ (g[t] − g[t− 1]) (4.98)

Para demostrar la segunda parte del resultado, notamos que la senal de en-trada, u[t] puede expresarse como la suma de escalones incrementales, es decir:

u[t] =

∞∑

`=−∞(u[`] − u[`− 1])µ[t− `] (4.99)

Luego, usando la linealidad y la invarianza vemos que:

y[t] = T〈〈〈0, u[t]〉〉〉 =

∞∑

`=−∞(u[`] − u[`− 1])g[t− `] (4.100)

Y, finalmente, reconocemos en la sumatoria la forma de la convolucion, esdecir:

∞∑

`=−∞(u[`] − u[`− 1])g[t− `] = g[t] ∗ (u[t] − u[t− 1]) (4.101)

222



Problema 4.1. Resuelva las siguientes ecuaciones de recursion con las condi-ciones iniciales que se indican:

y[t] − 0, 2y[t− 2] = 0 y[−1] = 1; y[−2] = −1 (4.102)

y[t] − 0, 6y[t− 1] + 0, 09y[t− 2] = 0 y[−1] = 2; y[1] = 1 (4.103)

y[t+ 1] − 1, 3y[t] + 0, 4y[t− 1] = 0 y[0] = 0; y[5] = 0 (4.104)

y[t] − 4y[t− 1] + 9y[t− 2] = 0 y[−1] = 0; y[−2] = 1 (4.105)

y[t] − y[t− 10] = 0 y[−1] = 1; y[−i] = 0 ∀i > 1(4.106)

Verifique con Maple .

Problema 4.2. Calcule la respuesta a escalon unitario, con condiciones igualesa cero para cada una de las ERS:

y[t] − 0, 2y[t− 2] = u[t] (4.107)

y[t] − 0, 6y[t− 1] + 0, 09y[t− 2] = u[t− 1] − u[t− 2] (4.108)

y[t] − 1, 3y[t− 1] + 0, 4y[t− 2] = 0, 2u[t− 10] (4.109)

y[t] − 2y[t− 1] + y[t− 2] = u[t] (4.110)

Verifique con Maple .

Problema 4.3. Considere la senal:

f [t] = 2(0, 6)t − 2(0, 2)t (4.111)

4.3.1 Proponga una ERS de modo que f [t] corresponda (∀t ≥ 0) a la respuestadel sistema a impulso con condiciones iniciales iguales a cero.

4.3.2 Proponga una ecuacion de recursion homogenea, de modo que f [t]corresponda a la respuesta a estado inicial. Especifique ese estado inicial.

Problema 4.4. La respuesta de un sistema lineal e invariante en el tiempo aun escalon unitario y condiciones inciales iguales a cero esta dada por:

g[t] = (1 − (0, 5)t + t(0, 5)t)µ[t] (4.112)

4.4.1 Determine la ERS.

4.4.2 Calcule la respuesta del mismo sistema a un impulso unitario.


Problema 4.5. Determine los modos asociados a las siguientes conjuntos defrecuencias naturales:

Sistema 1 λ1 = −0, 2 λ2 = −0, 2 λ3 = −0, 2Sistema 2 λ1 = −0, 3 λ2 = 0, 3 λ3 = −2Sistema 3 λ1 = −1 λ2 = −0, 1 + j0, 2 λ3 = −0, 1 − j0, 2

Problema 4.6. La respuesta de un sistema lineal e invariante en el tiempoa un delta de Kronecker es h[t] = (0, 7)tµ[t]. Usando convolucion calcule larespuesta del sistema a una entrada u[t] = (0, 3)tµ[t].

Problema 4.7. La ecuacion caracterıstica de un sistema esta dada por:

λ2 + aλ+ b = 0 (4.113)

4.7.1 Suponga que b = 0, 8; determine el rango de valores de a que hacen estableal sistema.

4.7.2 Dentro de ese rango determine el valor de a de modo que el sistema sealo mas rapido posible.

4.7.3 Suponga ahora que b = 1, 2, repita 4.7.1.

Problema 4.8. Suponga que la respuesta de un sistema lineal a un escalonunitario con condiciones iniciales iguales a cero es una senal g[t], que se muestraen la Figura 4.3.

4.8.1 ¿Es el sistema estable ?

4.8.2 Estime los modos naturales del sistema

4.8.3 Estime la ganancia al modo forzante constante

−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

Tiempo [s]

g[k]

Figura 4.3: Respuesta a escalon unitario


Problema 4.9. Se contrae una deuda hipotecaria de 1000 [UF] a un interesmensual de 0, 7%. Si el plazo de la deuda es de 120 meses ¿Cual debiera ser eldividendo mensual, constante, en UF?

Problema 4.10 (Problema-desafıo). En la red de la Figura 4.4 todas lasresistencias son iguales a R. Considere como variable independiente, no al tiem-po discreto sino que al numero de orden de la malla. Construya una ecuacionde recursion en las corrientes de mallas y especifique las condiciones (inicial yfinal).

+i1i0 in−2 in−1 in

E

Figura 4.4: Red resistiva.

Fourier

serie de Fourier|textbf

sistema! no lineal

Capıtulo 5

Analisis bajo excitacionesperiodicas

5.1. Senales Periodicas

En este capıtulo se analiza el caso de sistemas lineales sujetos a excitacionesperiodicas en el tiempo. Las senales periodicas aparecen en muchas areas de laIngenierıa y en fenomenos naturales. Sin embargo, estas senales, en general, nose presentan como oscilaciones puras de una frecuencia especıfica que se puedandescribir exactamente por una sinusoide del tipo sen(ωt), sino que como senalesmas arbitrarias, tales como senales triangulares, senales tipo dientes de sier-ra, trenes de pulsos o sinusoidales rectificadas, entre otras, cuya caracterısticafundamental es su periodicidad en el tiempo.

Es mas, en algunas oportunidades senales periodicas no sinusoidales resultande efectos parasitos indeseables, de naturaleza no lineal, en sistemas reales. Porejemplo, considere el caso de un sistema amplificador con entrada u(t) y saliday(t), cuya relacion entrada-salida es:

y(t) = Au(t) + ε (u(t))2

(5.1)

donde ε es mucho menor que la amplificacion A. Entonces, si la entrada esuna senal de una frecuencia especıfica u(t) = U cos(ωt), entonces la salida y(t)esta dada por:

y(t) = AU cos(ωt) + ε U 2(0, 5 + 0, 5 cos(2ωt)) (5.2)

De esta forma, podemos apreciar que la salida del sistema contiene tressinusoides de distinta frecuencia (0, ω y 2ω [rad/s]), que deben ser consideradascuando esta senal actua como entrada de otro sistema.

Otros casos en que aparecen senales periodicas no sinusoidales incluyen elcorte de senales sinusoidales (cuando la amplitud de una sinusoide excede cierto

87

88 CAPITULO 5. ANALISIS BAJO EXCITACIONES PERIODICAS

serie de Fourier


sinusoidal

amplitud

\’angulo! de desfase

fase

perıodo

frecuencia! angular

frecuencia

nivel prescrito), la rectificacion de senales sinusoidales, la intrevencion de zonasmuertas, histeresis, etc.

La idea fundamental en este capıtulo sera representar una funcion periodicacomo combinacion lineal de sinusoides de ciertas frecuencias, como es el caso dela serie de Fourier, el analisis de los sistemas lineales se hace mas facil, dado quepodemos usar las propiedades de superposicion y homogeneidad. El conceptoclave subyacente a utilizar es el de ganancia a modo forzante, desarrolladoen el Capıtulo 3, para sistemas de tiempo continuo, y en el Capıtulo 4, parasistemas de tiempo discreto.

5.2. Respuesta a entrada sinusoidal. El caso detiempo continuo

Hasta el momento hemos visto la respuesta de sistemas lineales a diferentestipos de entradas (modos forzantes), incluyendo el caso de exponenciales de ex-ponente imaginario (las que combinadas dan origen a sinuosoides reales). En estaseccion nos detendremos en la caracterıstica de ganancia que exhibe un sistemalineal cuando la excitacion es una sinuoside. Con ese proposito consideremos unsistema lineal estable modelado por su EDS:

dny(t)

dtn+ an−1

dn−1y(t)

dtn−1+ . . .+ a0y(t) = bn−1

dn−1u(t)

dtn−1+ . . .+ b0u(t) (5.3)

donde la entrada del sistema es una senal sinusoidal que puede escribirse de laforma general:

u(t) = A cos(ωt+ φ) (5.4)

en que (vea Capıtulo 2):

A es la amplitud, cuyas unidades dependen del sistema en cuestion,

φ es el angulo de desfase (o simplemente fase), medido en [rad], y

ω es la frecuencia angular, medida en [rad/seg]. Esta, a su vez, determina lafrecuencia f = ω

2π [Hz] y el perıodo T = 1f = 2π

ω [seg] de la sinusoide.

Aplicando la formula de Euler se tiene que:

A cos(ωt+ φ) = Aej(ωt+φ) + e−j(ωt+φ)

2= αejωt + α∗e−jωt (5.5)

donde α ∈ C, α∗ es el complejo conjugado de α y

α =A

2ejφ (5.6)

Por otra parte sabemos que si K(ω) ∈ C es la ganancia al modo forzanteejωt, entonces, por linealidad:

5.2. RESPUESTA A ENTRADA SINUSOIDAL. EL CASO DE TIEMPO CONTINUO89

sistema! estable

modos naturales

T〈〈〈xo, A cos(ωt+ φ)〉〉〉 = K(ω)αejωt + (K(ω))∗α∗e−jωt + modos naturales

(5.7)Donde K(ω) es la ganancia a modo forzante y dada por (3.24), con βi = jω.

Si expresamos K(ω) en su forma polar se llega a:

K(ω) = |K(ω)|ejφa(ω) (5.8)

Ası, se obtiene:

T〈〈〈xo, A cos(ωt+ φ)〉〉〉 = |K(ω)|A cos(ωt+φ+φa(ω))+modos naturales (5.9)

Como el sistema es estable, los modos naturales decaen a cero cuando t→ ∞,ası, la respuesta estacionaria contiene solo la componente particular, es decir,contiene solo los modos forzados y tiene la forma:

y(t) = As(ω) cos(ωt+ φs(ω)) (5.10)

Esta forma puede ser directamente calculada reemplazando (5.10) en la EDS.

Cuando el modo forzante es una exponencial de la forma ejωt, o una si-nusoidal cos(ωt), la ganancia a modo forzante, K(ω), caracteriza lo que sedenomina respuesta en frecuencia del sistema.

El desarrollo precedente es ilustrado a traves de un ejemplo.

Ejemplo 5.1. Consideremos el sistema definido por su ecuacion diferencial:

d 2y(t)

dt 2+ 4

d y(t)

dt+ 13y(t) = 26u(t)

Supongamos que la entrada es u(t) = sen(ωt) y que todas las condicionesiniciales son cero.

El sistema en primer lugar es estable, ya que sus frecuencias naturales seencuentran ubicadas en λ1,2 = −2 ± j3. Con esto sabemos entonces que lasolucion homogenea tiene la forma:

yh(t) = e−2t [B1 cos(3t) +B2 sen(3t)] (5.11)

Para obtener la solucion particular reemplazamos la solucion propuesta:

yp(t) = As(ω) sen(ωt+ φs(ω)) (5.12)

que es equivalente a una expresion de la forma

yp(t) = C1(ω) cos(ωt) + C2(ω) sen(ωt) (5.13)


respuesta en frecuencia Los coeficientes C1(ω) y C2(ω) se obtienen reemplazando la solucion par-ticular propuesta y la funcion de entrada en la ecuacion diferencial original yderivando:

− C1(ω)ω2 cos(ωt) − C2(ω)ω2 sen(ωt) + 4C2(ω)ω cos(ωt) − 4C1(ω)ω sen(ωt)

+ 13C1(ω) cos(ωt) + 13C2(ω) sen(ωt) = 26 sen(ωt) (5.14)

De aquı, igualando los coeficientes de cos(ωt) y de sen(ωt) a ambos lados,pueden obtenerse los coeficientes C1 y C2:

C1(ω) =−104ω

(13 − ω2)2 + (4ω)2(5.15)

C2(ω) =26(13 − ω2)

(13 − ω2)2 + (4ω)2(5.16)

Si se supone ω = 10[rad/s] y se combinan la solucion homogenea y la partic-ular, pueden obtenerse los coeficientes por determinar de la solucion homogeneaB1 y B2. La solucion final es:

y(t) = yh(t) + yp(t) = e−2t [0,113 cos(3t) + 0,899 sen(3t)]

− 0,113 cos(10t) − 0,247 sen(10t) (5.17)

Esta se muestra en la Figura 5.1, donde se aprecia claramente la presen-cia de una parte de la respuesta que es transiente, mas lenta, que desaparecemanteniendose solo una oscilacion sostenida de 10[rad/seg], pero de diferenteamplitud y fase que las de la senal original. Estos valores de As y φs, que de-penden de la frecuencia ω, son en este caso:

As(10) =√

C1(10)2 + C2(10)2 = 0,272 (5.18)

φs(10) = ∠(C2(10) + jC1(10)) = −2, 7106 [rad] ≈ −155, 31o (5.19)

Una manera mas directa para obtener una descripcion generica de los resul-tados anteriores serıa calcular la respuesta en frecuencia K(ω), la que, en estecaso particular, esta dada por:

K(ω) = |K(ω)|ejφa(ω) =26

(jω)2 + 4jω + 13(5.20)

La magnitud y fase de esta respuesta en frecuencia aparecen en la Figura5.2. En esta figura los valores de magnitud y fase de K(10) se pueden calcularusando el comando de Matlab ginput, el resultado es |K(10)| = 0, 2734 yφa(10) = −2, 7188 [rad] (note que, en este ejemplo, A = 1).

222

5.2. RESPUESTA A ENTRADA SINUSOIDAL. EL CASO DE TIEMPO CONTINUO91

0 1 2 3 4 5 6−1

−0.5

0

0.5

1

Figura 5.1: Senales de entrada y salida en el Ejemplo 5.1

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2

2.5

Frecuencia [rad/s]

|K(ω

)|

0 5 10 15 20−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

Frecuencia [rad/s]

φ a(ω)

Figura 5.2: Respuesta en frecuencia de un sistema de segundo orden de tiempocontinuo

Es necesario tener presente que en ciertos sistemas, a pesar de tener todassus frecuencias naturales en el interior de la zona de estabilidad, la respues-ta a sinusoides de baja amplitud, incluye componentes sinuosidales de altısimaamplitud. Esto sucede en situaciones en que el sistema es excitado con una sinu-soide de frecuencia muy cercana a una frecuencia natural proxima al lımite deestabilidad (el eje imaginario). En este caso, dependiendo del amortiguamien-to del sistema, la salida puede alcanzar el estado estacionario solo despues demucho tiempo, y aunque analıticamente la oscilacion en la salida permaneceacotada, puede alcanzar magnitudes insostenibles para el sistema real1. Paraesto recomendamos al lector analizar en detalle el Problema 5.4.

Ejemplo 5.2. El fenomeno de respuestas inusualmente altas se origina en sis-temas que exhiben altas ganancias a un modo forzante de la forma ejωt. Con-sidere, por ejemplo, el sistema con EDS:

d 2y(t)

dt 2+ 0, 01

d y(t)

dt+ 4y(t) = 4y(t) (5.21)

1Un caso tradicionalmente analizado en la fısica de las oscilaciones es el colapso del PuenteTacoma en EE.UU.


resonancia En este ejemplo, que corresponde a un sistema estable, la ganancia a con-tinua es igual a 1, sin embargo la ganancia a modo forzante ej2t esta dada por:

K(ω) =4

(j2)2 + 0, 01 ∗ (j2) + 4= −j200 (5.22)

Esto significa que una excitacion sinuosidal de amplitud unitaria y frecuencia2 [rad/s] genera una respuesta forzada de amplitud igual a 200. En casoscomo este, se dice que, para esta excitacion, el sistema entra en resonancia.

La idea de resonancia en un sistema se refiere a la facilidad con que esesistema responde a determinadas frecuencias. Por ejemplo, todos conocemos lafacilidad con que se amplifica la oscilacion de un columpio cuando se lo empujacon la frecuencia adecuada.

En terminos de la respuesta en frecuencia, el fenomeno descrito se reflejaen que la funcion |K(ω)| tiene uno o mas picos muy pronunciados.

222

Finalmente, cuando las frecuencias naturales del sistema se encuentran fuerade la zona de estabilidad, la componente natural de la respuesta es no acotada.Sin embargo, la componente forzada sigue siendo una oscilacion de la mismafrecuencia que la sinusoide en la entrada. Para apreciar esto se recomienda allector analizar el Problema 5.5.

5.3. Series de Fourier para senales de tiempocontinuo

La idea central tras las series de Fourier, sean ellas de tiempo continuo o detiempo discreto, es la representacion de una funcion periodica usando una baseortogonal de funciones.

La idea de ortogonalidad adquiere su sentido mas basico considerando con elsistema cartesiano de coordenadas en R2 o R2. Sin embargo, la diferencia basicaen el caso de las series de Fourier es que la dimension de la base es infinita,hecho usual en espacios de funciones [12].

Antes de analizar de lleno la representacion de funciones periodicas en for-ma de una serie de Fourier, sugerimos al lector revisar el Apendice B parafamiliarizarse con la notacion y el vocabulario empleado de aquı en adelante.

5.3.1. Serie de Fourier trigonometrica

Consideremos el espacio vectorial de todas las funciones seccionalmente con-tinuas en un intervalo2 [−T

2 ,T2 ], y en el, el conjunto de vectores (funciones):

B = 1 , cos(nω0t) , sen(nω0t) n=1,2,... ; ω0 =2π

T(5.23)

2En terminos generales el intervalo a considerar es [to, to + T ]. Por simplicidad hemosescogido to = −T/2

5.3. SERIES DE FOURIER PARA SENALES DE TIEMPO CONTINUO 93

independencia lineal

ortogonalidad

Serie de Fourier

frecuencia fundamental

El conjunto definido en (5.23) resulta ser analogo al conjunto de funcionesconsiderados en el Lema B.1 en la pagina 346, dado que son linealmente in-dependientes , pues ninguna de las sinusoides (o la constante) del conjuntopuede describirse como una combinacion lineal de las demas. Ademas definimosel producto interno en este espacio de funciones como la integral:

〈f(t), g(t)〉 =

∫ T2

−T2

f(t)∗g(t)dt f(t), g(t) ∈ B (5.24)

Entonces el conjunto (5.23) resulta ser ortogonal , es decir, si tomamos doselementos ym(t) e yn(t) pertenecientes al conjunto B definido en (5.23):

〈yn(t), ym(t)〉 =

∫ T2

−T2

yn(t)ym(t)dt =

0 ;n 6= m

κ > 0 ;n = m(5.25)

En este caso la conjugacion involucrada en el producto interno no afecta alas funciones del conjunto B, pues estas son todas reales.

Con esto podemos afirmar que una funcion y(t) seccionalmente continuadefinida en el intervalo [−T

2 ,T2 ], puede representarse como una combinacion

lineal de elementos de la base B, definida en (5.23), que en este caso tienedimension infinita. Es decir, para y(t) tenemos una representacion en serie deFourier de la forma:

y(t) = A0 +

∞∑

n=1

[An cos(nω0t) +Bn sen(nω0t)] ; ω0 =2π

T(5.26)

En que cada uno de los coeficientes A0, An, Bn se puede obtener como indicael Lema B.1. Por esto invitamos al lector en este punto a resolver el Problema5.6, con lo que ademas podra comprobar que las expresiones para los coeficientesde Fourier son:

A0 =1

T

∫ T2

−T2

y(t)dt

An =2

T

∫ T2

−T2

y(t) cos(nω0t)dt

Bn =2

T

∫ T2

−T2

y(t) sen(nω0t)dt

(5.27)

Nos interesa la representacion en serie de Fourier conceptualmente y comouna herramienta para describir las funciones periodicas como una combinacionlineal de constantes, cosenos y senos, cuyas frecuencias son multiplos enterosde la frecuencia fundamental ω0 determinada por su perıodo T . La repre-sentacion (5.26) puede reescribirse alternativamente en la forma:


espectro! en frecuencia

armonicas

desfase

angulo! de desfase

espectro! de lınea

y(t) = A0 +

∞∑

n=1

Cn cos(nω0t− φn) (5.28)

en que:

Cn =√

A2n +B2

n (5.29)

φn = arctg

(BnAn

)

(5.30)

En esta forma es mas directo apreciar el contenido o espectro en fre-cuencia de la senal y(t) a traves de la amplitud de cada una de las sinusoidesde frecuencia ωn = nω0, que llamaremos n-esima armonica. Ademas, estarepresentacion permite apreciar el angulo de desfase φn entre las diferentesarmonicas.

Si dibujamos en un grafico las magnitudes de Cn en funcion de n, obtenemoslo que se conoce como un espectro de lınea. Este grafico permite observar lasparticipaciones relativas de la armonicas en la composicion de la senal.

Note que el calculo directo de los coeficientes Cn es mas complicado que elde los coeficientes An y Bn, ya que las sinusoides de la forma cos(nω0t−φn) noson ortogonales entre sı.

Para ilustrar el calculo de los coeficientes de Fourier se presentan a contin-uacion algunos ejemplos. En primer lugar, desarrollamos un ejemplo calculandoanalıticamente los coeficientes de la serie, para luego ilustrar el uso del soportecomputacional.

Ejemplo 5.3. Considere una onda cuadrada de amplitud 2 y perıodo igual a 4[s], tal como se ilustra en la Figura 5.3.

−6 −4 −2 0 2 4 6

−2

−1

0

1

2

Tiempo [s]

Señ

al y

(t)

Figura 5.3: Senal cuadrada

La frecuencia fundamental es ωo = 2π/T = π/2 y los coeficientes de la seriese pueden calcular como se indica


serie de Fourier! senoidal

A0 =1

T

∫ T2

−T2

y(t) dt = 0 (5.31)

Este resultado era previsible dada la simetrıa de areas sobre y bajo el eje deabscisas.

An =2

T

∫ T2

−T2

y(t) cos(nωot) dt

= −1

2

∫ 0

−2

2 cos(0, 5nπt) dt+1

2

∫ 2

0

2 cos(0, 5nπt) dt = 0 (5.32)

La ausencia de componentes cosenoidales es tambien previsible, dado que lasenal y(t) es una funcion impar del tiempo. La funcion quedara representadaentonces como una serie senoidal de Fourier, en que:

Bn =2

T

∫ T2

−T2

y(t) sen(nωot) dt = −1

2

∫ 0

−2

2 sen(0, 5nπt) dt+1

2

∫ 2

0

2 sen(0, 5nπt) dt

= 2

∫ 2

0

sen(0, 5nπt) dt = − 4

nπcos(0, 5nπt)

∣∣∣∣∣

t

0

=4

nπ(1 − cos(nπ)) (5.33)

De esta manera resulta:

Bn =

8nπ ∀n impar

0 ∀n par(5.34)

La participacion de las armonicas puede ser visualmente apreciada en laFigura 5.4.

0 2 4 6 8 10 120

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Frecuencia angular, en múltiplos de ωo

Am

plitu

d de

las

arm

ónic

as

Figura 5.4: Espectro de lınea de una senal cuadrada.


angulo! de disparo222

El ejemplo precedente sugiere que el calculo manual de los coeficientes sepuede complicar notablemente para senales de mayor complejidad. Este procesopuede ser enormemente facilitado usando, por ejemplo, Maple .

Ejemplo 5.4. Uno de los procesos en que se generan senales periodicas nosinusoidales es en la rectificacion. En realidad, para circuitos de potencia enel control de motores, por ejemplo, en vez de diodos se utilizan tiristores, queno son mas que diodos en que el instante de conduccion es controlado. Estospermiten recortar la senal rectificada, como se aprecia en la Figura 5.5 en quelos tiristores se disparan pasado un tercio del perıodo de la senal rectificada. Eneste caso se dice que el angulo de disparo es α = π

3 .

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.030

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time [s]

Figura 5.5: Senal a la salida de rectificador controlado por tristores

Claramente el rectificador de onda completa es un caso particular de esterectificador controlado, cuando el angulo de disparo es α = 0.

Con ayuda de Maple los coeficientes se pueden obtener facilmente, ahorrandonosbuena parte del trabajo algebraico. En las lıneas siguientes se muestran los co-mandos necesarios, entre los cuales se debe indicar explıcitamente que 0 < α < πy que n es un numero entero. Se ha considerado, por simplicidad, que la fre-cuencia original es 1[Hz] y la amplitud original es 1[V].

Maple

> assume(0<alpha,alpha<1):

> y(t):=(Heaviside(t-alpha)-Heaviside(t-Pi))*sin(t):

> A_0:=1/Pi*int(y(t),t=0..Pi);

> assume(n,integer):

> A(n):=2/Pi*int(y(t)*cos(2*n*t),t=0..Pi);

> B(n):=2/Pi*int(y(t)*sin(2*n*t),t=0..Pi);


serie de Fourier! cosenoidal

A0 =1 + cos(α)

π

An = −21 + 2 cos(α) (cos(αn))

2 − cos(α) + 4n sen(α) sen(αn) cos(αn)

(1 + 2n)π (−1 + 2n)

Bn = 4− cos(α) sen(αn) cos(αn) + 2n sen(α) (cos(αn))

2 − n sen(α)

(1 + 2n)π (−1 + 2n)

222

Ejemplo 5.5. Consideremos la funcion periodica y(t), definida por tramos:

y(t) =

1 + t ;−2 < t ≤ 0

1 − t ; 0 < t ≤ 2

y(t+ 4) ; en todo otro caso

(5.35)

En Maple se puede definir y convertir de inmediato para que quede escritaen terminos de escalones (funcion de Heaviside):

Maple

> y(t):=convert(piecewise(t<-2,-t-3,t<0,t+1,t<2,-t+1,t-3),Heaviside);

y(t) = −3 − t− 4Heaviside(t− 2) + 2 tHeaviside(t− 2) + 4Heaviside(t+ 2)

+ 2 tHeaviside(t+ 2) − 2 tHeaviside(t)

Si se calculan los coeficientes segun las expresiones (5.27), tenemos que elvalor medio A0 es cero y, como es par, los coeficientes Bn son todos iguales acero. Los coeficientes de los terminos cosenos se calculan mediante:

Maple

> A(n):=1/2*int(y(t)*cos(n*Pi/2*t),t=-2..2);

Por tanto y(t) queda expresada en una serie cosenoidal de Fourier, de laforma:

ys(t) =

∞∑

n=1

(1 − (−1)n)

(2

nπ

)2

cos(nπ

2t)

(5.36)


error En la Figura 5.6, podemos apreciar la aproximacion de la funcion y(t) porlas primeras dos armonicas no nulas (n = 1, 3). En esta, se observa que lasdos primeras armonicas (con presencia no nula en la serie) describen bastantebien la senal original. Ello puede ser entendido al calcular las amplitudes de lasprimeras diez componentes de la serie. Ellas aparecen en el espectro de lıneasde la Figura 5.7, donde se aprecia claramente que la amplitud de las armonicassuperiores a la tercera es despreciable.

−6 −4 −2 0 2 4 6

−1

−0.5

0

0.5

1

Tiempo [s]

Señ

al y

apr

oxim

ació

n

Figura 5.6: Aproximacion de la senal triangular con la primera y terceraarmonica

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frecuencia angular, en múltiplos de ωo

Am

plitu

d de

las

arm

ónic

as

Figura 5.7: Espectro de lınea de una senal triangular

Finalment, en el grafico de la Figura 5.8 (a) muestra el error que se cometeal representar la funcion por su serie truncada, en este caso hasta n = 3.

Podemos estudiar la fidelidad de la representacion en serie de Fourier de unasenal analizando lo que pasa con el error eN (t) = y(t) − yN (t) que se cometeal representar una funcion y(t) por una combinacion lineal finita o suma parcialde las funciones de la base (5.23), hasta el termino N -esimo yN (t). Respecto aeste error eN (t) tenemos el siguiente lema.

Lema 5.1. La representacion yN (t) es ortogonal al error eN (t), para todo N ,es decir:


–0.1

–0.05

0.05

0.1

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4t

(a) Error e3(t) = y(t) − y3(t) .

yN (t)

y(t)eN (t)

(b) Interpretacion geometrica del error

Figura 5.8:

〈eN (t), yN (t)〉 = 0 ;∀N (5.37)

DemostracionSi escribimos la suma parcial como:

yN (t) =

N∑

k=1

αkfk(t) (5.38)

en que los fk(t) son vectores de la base B, el producto (5.37) puede escribirse ydesarrollarse como:

〈eN (t), yN (t)〉 = 〈y(t) − yN (t), yN (t)〉 = 〈y(t), yN (t)〉 − 〈yN (t), yN (t)〉 (5.39)

=

⟨

y(t),

N∑

k=1

αkfk(t)

⟩

−⟨

N∑

k=1

αkfk(t),

N∑

j=1

αjfj(t)

⟩

(5.40)

=

N∑

k=1

αk〈y(t), fk(t)〉 −N∑

k=1

αk

⟨

fk(t),

N∑

j=1

αjfj(t)

⟩

(5.41)

Los vectores fk(t) son ortogonales, por tanto:

〈eN (t), yN (t)〉 =N∑

k=1

αk〈y(t), fk(t)〉 −N∑

k=1

α2k〈fk(t), fk(t)〉 (5.42)

Los coeficientes αk, en tanto, se calculan de la forma:

αk =〈y(t), fk(t)〉〈fk(t), fk(t)〉

(5.43)


Por lo tanto:

〈eN (t), yN (t)〉 =

N∑

k=1

〈y(t), fk(t)〉〈fk(t), fk(t)〉

〈y(t), fk(t)〉−N∑

k=1

〈y(t), fk(t)〉2〈fk(t), fk(t)〉2

〈fk(t), fk(t)〉

=

N∑

k=1

〈y(t), fk(t)〉2〈fk(t), fk(t)〉

−N∑

k=1

〈y(t), fk(t)〉2〈fk(t), fk(t)〉

= 0 (5.44)

222

Este resultado permite apreciar que yN (t), con los coeficientes calculadossegun (5.27), es la combinacion lineal que mejor representa a y(t) (en elsentido de la norma cuadratica), ya que, dada su ortogonalidad con el vectorde error eN (t), minimiza la distancia entre y(t) y el conjunto de funciones quese generan por combinacion lineal de los N elementos de la base. La Figura 5.8(b) ilustra geometricamente la idea de ortogonalidad entre el error eN (t) y larepresentacion truncada yN (t).

Finalmente, es importante hacer notar que la representacion obtenida en(5.26), con los coeficientes explicitados en (5.27), representa a la funcion y(t),dentro del intervalo [−T

2 ,T2 ] sea esta periodica o no. En este ultimo caso la

representacion se debe entender valida solo dentro del intervalo en que se hacalculado. Sin embargo, dado que dentro del intervalo de longitud T todas lassinusoides del conjunto B completan un numero entero de perıodos, la period-icidad de los elementos de B se extiende a la representacion de y(t), es decir,se repite en todo intervalo de la forma [kT − T

2 , kT + T2 ] con k ∈ Z. Ademas

por simple traslacion del intervalo en que trabajamos, es decir, corriendo del ejetemporal, el calculo de los coeficientes y la representacion pueden tomarse encualquier intervalo arbitrario [to, to + T ]. En todo caso, el lector debe advertirque si la senal bajo analisis no es periodica, la representacion sera distinta paradistintas elecciones de to.

5.3.2. Serie de Fourier exponencial

Si consideramos la representacion en serie de Fourier obtenida para unafuncion seccionalmente continua y(t) obtenida en (5.26), podemos reescribirlautilizando las expresiones para sen(ωt) y cos(ωt) en terminos de exponencialescomplejas:

y(t) = A0 +

∞∑

n=1

[An cos(nω0t) +Bn sen(nω0t)]

= A0ej0ω0t +

∞∑

n=1

[

Anejnω0t + e−jnω0t

2+Bn

ejnω0t − e−jnω0t

2j

]

(5.45)

que puede reagruparse como:

5.3. SERIES DE FOURIER PARA SENALES DE TIEMPO CONTINUO101

serie de Fourier!exponencial

y(t) = A0ej0ω0t +

∞∑

n=1

[An − jBn

2ejnω0t +

An + jBn2

e−jnω0t

]

(5.46)

Es decir, podemos reescribir una serie de Fourier trigonometrica como unaserie de Fourier exponencial de la forma:

y(t) =

∞∑

n=−∞Cne

jnω0t (5.47)

Una expresion para los coeficientes Cn se puede obtener a partir de loscoeficientes de la serie trigonometrica y la ecuacion de Euler. Por ejemplo, paran > 0:

Cn =An − jBn

2=

1

2

[

2

T

∫ T2

−T2

y(t) cos(nω0t)dt− j2

T

∫ T2

−T2

y(t) sen(nω0t)dt

]

=1

T

∫ T2

−T2

y(t)(cos(nω0t) − j sen(nω0t))dt (5.48)

Por tanto, tenemos la expresion:

Cn =1

T

∫ T2

−T2

y(t)e−jnω0tdt (5.49)

Se deja al lector verificar que esta expresion tambien es valida para el restode los coeficientes Cn, cuando n ≤ 0. Si se presta atencion a la forma de los coe-ficientes en la ecuacion (5.46), puede apreciarse que aparecen en pares complejosconjugados, es decir, ∀n > 0:

Cn =An − jBn

2= |Cn|ejθn (5.50)

C−n =An + jBn

2= |Cn|e−jθn (5.51)

tal como tambien puede demostrarse a partir de la expresion general (5.49)para los coeficientes de la serie compleja. Es decir, tenemos un nuevo conjuntode funciones, complejas en este caso, de la forma:

ejnω0tn∈Z ;ω0 =2π

T(5.52)

que constituye una base para el espacio de funciones seccionalmente continuasen el intervalo [−T

2 ,T2 ]. Se deja al lector verificar que este conjunto tambien es

ortogonal bajo el producto interno antes definido, pero en que ahora la conju-gacion sı afecta a las funciones involucradas:


Parseval

Parseval

〈fn(t), fm(t)〉 =

∫ T2

−T2

fn(t)∗fm(t)dt =

∫ T2

−T2

e−jnω0tejmω0tdt (5.53)

Que debe cumplir:

〈fn(t), fm(t)〉 =

0 ; n 6= m

κ > 0 ; n = m(5.54)

Es importante hacer notar que en la manipulacion que se ha hecho en laserie de Fourier trigonometrica para llegar a la serie exponencial, han aparecidovalores para n negativos y positivos. Esto en realidad debe interpretarse nadamas como lo que se ha mencionado: un producto de la manipulacioon algebraicaque permite obtener la representacion en serie (5.47) mas compacta y facil demanipular. Si se desea obtener la amplitud de la n-esima armonica de la seriedeben considerarse ambos terminos de la serie n y −n, es decir, usando lasecuaciones (5.50) y (5.51):

Cn · e−jnω0t + C−n · ejnω0t = |Cn|ejθn · e−jnω0t + |C−n|e−jθn · ejnω0t

= |Cn| · e−j(nω0t−θn) + |C−n| · ej(nω0t−θn)

= 2|Cn| cos(nω0t− θn)

5.3.3. Parseval y la energıa de las senales periodicas

Existe un conjunto de resultados, deducidos por Parseval, que relacionandirectamente caracterısticas de la senal periodica con los coeficientes de su Seriede Fourier. En realidad, los resultados de Parseval se aplican a la expansion encualquier base ortogonal. Los detalles matematicos pueden ser examinados enel Apendice B.

Supongamos que una senal y(t) periodica se expresa como serie en los ele-mentos, f`(t), de una base ortogonal en el intervalo (−T/2, T/2). Entonces:

y(t) =∞∑

`=0

α`f`(t) (5.55)

Esto significa que:

〈y(t), y(t)〉 =

⟨ ∞∑

`=0

α`f`(t),

∞∑

`=0

α`f`(t)

⟩

(5.56)

Si a continuacion usamos la propiedad de ortogonalidad de los elementos dela base, tenemos que:

〈y(t), y(t)〉 =

∞∑

`=0

|α`|2〈f`(t), f`(t)〉 (5.57)

5.4. RESPUESTA A ENTRADAS SINUSOIDALES. EL CASO DE TIEMPO DISCRETO103

sinusoidal

amplitud

\’angulo! de desfase

fase

perıodo

frecuencia! angular

frecuencia

Note que el lado izquierdo en (5.57) representa el cuadrado del valor efectivode la senal periodica.

Para la serie de Fourier trigonometrica, usando la misma definicion del pro-ducto interno (5.24), la expresion (5.57) se reduce a:

∫ T/2

−T/2(y(t))2 dt = A2

o +1

2

∞∑

`=0

(A2` +B2

` ) (5.58)

En el caso exponencial, la expresion (5.57) esta dada por:

∫ T/2

−T/2(y(t))2 dt =

∞∑

`=−∞C`

2 (5.59)

En (5.58) y en (5.59), el lado izquierdo representa la energıa de la senaly(t) en un perıodo. El lado derecho en ambas ecuaciones senala que esa energıapuede ser computada como la suma de similar energıa de cada armonica.

5.4. Respuesta a entradas sinusoidales. El casode tiempo discreto

En esta seccion nos detendremos en la caracterıstica de ganancia que exhibeun sistema lineal de tiempo discreto cuando la excitacion es una sinuoside. Conese proposito consideremos un sistema lineal estable modelado por su ERS:

y[t] + an−1y[t− 1] + . . .+ a1y[t− n+ 1] + a0y[t− n] =


Si la entrada del sistema es una senal sinusoidal de tiempo discreto de perıodoN ∈ Z que puede escribirse de la forma:

u[t] = A cos(θt+ φ); con θ =2π

N(5.61)

en que (vea Capıtulo 2):

A es la amplitud, cuyas unidades dependen del sistema en cuestion,

φ es el angulo de desfase (o simplemente fase), medido en [rad], y

θ es la frecuencia angular discreta, medida en [rad]. Esta, a su vez, determinala frecuencia discreta f = 1

N [Hz] y el perıodo T = N de la sinusoide.

Aplicando la formula de Euler se tiene que:

A cos(θt+ φ) = Aej(θt+φ) + e−j(θt+φ)

2= αejθt + α∗e−jθt (5.62)


sistema! estable

modos naturalesdonde α ∈ C, α∗ es el complejo conjugado de α y:

α =A

2ejφ (5.63)

Por otra parte, sabemos que si K(θ) ∈ C es la ganancia al modo forzanteejθt, entonces, por linealidad:

T〈〈〈xo, A cos(θt+ φ)〉〉〉 = K(θ)αejθt + (K(θ))∗α∗e−jθt + modos naturales

(5.64)Donde K(θ) es la ganancia a modo forzante y esta dada por (4.35), con

βi = ejθ. Si expresamos K(θ) en su forma polar se llega a:

K(θ) = |K(θ)|ejφa(θ) (5.65)

Ası, se obtiene:

T〈〈〈xo, A cos(θt+ φ)〉〉〉 = |K(θ)|A cos(θt+φ+φa(θ))+modos naturales (5.66)

Como el sistema es estable, los modos naturales decaen a cero cuando t→ ∞,ası, la respuesta estacionaria contiene solo la componente particular, es decir,contiene solo los modos forzados y tiene la forma:

y[t] = As(θ) cos(θt+ φs(θ)) (5.67)

Esta forma puede ser directamente calculada reemplazando (5.67) en la ERS.

Cuando el modo forzante es una exponencial de la forma ejθt, la ganan-cia a modo forzante, K(θ), caracteriza lo que se denomina respuesta enfrecuencia del sistema de tiempo discreto.

La teorıa precedente es ilustrada a traves de un ejemplo.

Ejemplo 5.6. Consideremos el sistema modelado por la ERS

y[t] − 0, 7y[t− 1] + 0, 12y[t− 2] = 1, 5u[t] (5.68)

Supongamos que la entrada es u[t] = sen(θt) y que todas las condicionesiniciales son cero.

El sistema en primer lugar es estable, ya que sus frecuencias naturales seencuentran ubicadas en λ1 = 0, 4 y λ1 = 0, 3, es decir, tienen magnitud menorque 1. Con esto sabemos entonces que la solucion homogenea tiene la forma:

yh[t] = B1(0, 4)t +B2(0, 3)

t (5.69)

Para obtener la solucion particular reemplazamos la solucion propuesta

5.4. RESPUESTA A ENTRADAS SINUSOIDALES. EL CASO DE TIEMPO DISCRETO105

yp[t] = As(θ) sen(θt+ φs(θ)) (5.70)

que es equivalente a una expresion de la forma

yp[t] = C1(θ) cos(θt) + C2(θ) sen(θt) (5.71)

Los coeficientes C1(θ) y C2(θ) se obtienen reemplazando la solucion partic-ular propuesta y la funcion de entrada en la ecuacion de recursion original.

Siguiendo la discusion del Ejemplo 5.1 en la pagina 89, la modificacion enmagnitud y fase que experimenta la sinuoside al pasar por el sistema, se puedecalcular de la respuesta en frecuencia del sistema. En este caso

K(θ) =1, 5e2jθ

e2jθ − 0, 7ejθ + 0, 12(5.72)

Esta respuesta en frecuencia puede ser representada graficamente, como semuestra en la Figura 5.9

0 2 4 6 80.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Frecuencia angular discreta [rad]

|K(ω

)|

0 2 4 6 8−1

−0.5

0

0.5

1

Frecuencia angular discreta [rad]

φ a(ω)

Figura 5.9: Respuesta en frecuencia de un sistema de segundo orden de tiempodiscreto

222

Analogamente a lo que ocurre en el caso de tiempo continuo, en ciertossistemas, a pesar de tener todas sus frecuencias naturales en el interior de la zonade estabilidad, la respuesta a sinusoides de baja amplitud incluye componentessinuosidales de altısima amplitud. Esto sucede en situaciones en que el sistemaes excitado con una sinusoide de frecuencia muy cercana a frecuencias naturalesque se encuentran al interior del disco unitario, pero muy proximas al lımite deestabilidad (en este caso, la circunferencia unitaria). En este caso, dependiendodel amortiguamiento del sistema, la salida puede alcanzar el estado estacionariosolo despues de mucho tiempo, y aunque analıticamente la oscilacion en la salidapermanece acotada, puede alcanzar magnitudes insostenibles para el sistemareal.


resonancia

frecuencia!fundamental

armonicas

Ejemplo 5.7. El fenomeno de respuestas inusualmente altas se origina en sis-temas que exhiben altas ganancias a un modo forzante de la forma ejθt. Con-sidere, por ejemplo, el sistema:

y[t] − 1, 4128y[t− 1] + 0, 9980y[t− 2] = 0, 5851u[t] (5.73)

Observamos que es un sistema estable, con frecuencias naturales λ1,2 =

e±jpi4 . Note que estas frecuencias naturales se encuentran muy cercanas a la

circunferencia unitaria. La ganancia a continua de este sistema es 1. Sin em-bargo, la ganancia a una frecuencia θ = π

4 tiene magnitud 414, 0. Esto implicaque si la excitacion es una sinusoide de amplitud unitaria y frecuencia θ = π

4 ,la respuesta forzada sera una sinuoside de amplitud 414, 0, es decir, para estaexcitacion, el sistema entra en resonancia.

5.5. Serie de Fourier de tiempo discreto

Veamos ahora como pueden extenderse las ideas hasta aquı expuestas a larepresentacion de funciones definidas en instantes de tiempo discreto como sumade sinusoides, tambien definidas en tiempo discreto.

Para sistemas de tiempo discreto, las series trigonometricas son poco us-adas, prefiriendose la forma exponencial. Veremos que ello se debe a que lasexponenciales periodicas involucradas tienen propiedades de simetrıa que hacenmucho mas simple el calculo de los coeficientes, en comparacion al calculo de loscoeficientes de la serie trigonometrica. Ası, consideramos senales de la forma:

f [t] = ejθt ; t = 0, 1, 2, . . . (5.74)

Nuestro interes fundamental, al igual que para serie de Fourier trigonometri-ca, es determinar como puede representarse una funcion periodica como sumade un termino constante y un conjunto de sinusoides de frecuencias multiplosde la frecuencia fundamental.

Consideremos, por ejemplo, una funcion y[t] definida para t = 0, 1, 2, . . . , deperıodo N , es decir:

y[t+N ] = y[t] ;∀t (5.75)

La frecuencia fundamental se define analogamente al caso continuo:

θ0 =2π

N(5.76)

y las frecuencia armonicas corresponden a los multiplos de la frecuencia fun-damental θ0. Sin embargo, si observamos con atencion la forma que toman lasexponenciales imaginarias para cada armonica veremos que:

ejθ0(`+N)t = ej2πN (`+N)t = ej

2πN `tej2πt = ej

2πN `t (5.77)

5.5. SERIE DE FOURIER DE TIEMPO DISCRETO 107

Es decir, tenemos periodicidad en la frecuencia, ya que el resultado(5.77) nos indica que la armonica `-esima es la misma que la (` + N)-esima,y la misma en realidad que cualquiera de las (` + mN)-esimas, en que m escualquier numero entero. Esto indica que el conjunto ortogonal es finito, consolo N componentes.

Por tanto para representar una funcion discreta y[t] de perıodo N en seriede Fourier nos basta simplemente una suma de las primeras N armonicas:

y[t] =

N−1∑

n=0

Cnejθ0nt; θ0 =

2π

N(5.78)

Desde el punto de vista del algebra lineal queremos representar el vector y[t]en terminos de los vectores del conjunto:

Bd = 1, ejθ0t, ej2θ0t, . . . , ej(N−1)θ0t (5.79)

Si definimos un producto interno en este conjunto, analogo al definido en(5.24), la integral (suma continua) en un periodo fundamental se transforma enuna sumatoria (suma discreta):

〈f1[t], f2[t]〉 =

N−1∑

t=0

f∗1 [t]f2[t] (5.80)

Tendremos que para los vectores del conjunto Bd, si n1 6= n2:

〈ejθ0n1t, ejθ0n2t〉 =

N−1∑

t=0

(ejθ0n1t)∗ejθ0n2t (5.81)

=

N−1∑

t=0

ejθ0(−n1+n2)t (5.82)

Que es una suma geometrica

〈ejθ0n1t, ejθ0n2t〉 =1 − (ejθ0(−n1+n2))N

1 − ejθ0(−n1+n2)(5.83)

Pero segun (5.76) tenemos que Nθ0 = 2π, y n1 y n2 son numeros enteros, portanto, para n1 6= n2, pues de otra forma el denominador se hace cero:

〈ejθ0n1t, ejθ0n2t〉 =1 − ej2π(−n1+n2)t

1 − ejθ0(−n1+n2)= 0 (5.84)

y si n1 = n2 = n:

〈ejθ0nt, ejθ0nt〉 = ‖ejθ0nt‖2 =

N−1∑

t=0

e−jθ0ntejθ0nt =

N−1∑

t=0

1 = N (5.85)


Es decir, el conjunto definido en (5.79) es ortogonal bajo el producto in-terno (5.80). Por tant, los coeficientes de la representacion (5.78) se puedencalcular usando el Lema B.1 en la pagina 346, con lo que se obtiene la expresionequivalente a (5.49), pero para las funciones discretas:

Cn =〈ejθ0nt, y[t]〉

〈ejθ0nt, ejθ0nt〉 =1

N

N−1∑

t=0

y[t]e−jθ0nt ; θ0 =2π

N(5.86)

Es importante verificar que la expresion obtenida en (5.86) usada en la rep-resentacion (5.78) garantiza que la suma es en efecto una funcion real. Para laserie de Fourier exponencial se verifico que la suma de las armonicas correspon-dientes a los terminos ±n es real pues estos terminos resultan ser conjugados eluno del otro. Para la serie de Fourier discreta, si observamos la expresion parael coeficiente N − `, tenemos:

CN−` =1

N

N−1∑

t=0

y[t]e−jθ0(N−`)t =1

N

N−1∑

t=0

y[t]e−jθ0Ntejθ0`t

=1

N

N−1∑

t=0

y[t]ejθ0`t =1

N

N−1∑

t=0

(y[t]e−jθ0`t)∗ = (C`)∗ (5.87)

Es decir, el coeficiente de la armonica N − ` es el complejo conjugado delcoeficiente de la correspondiente `-esima armonica. O, en otras palabras, lamagnitud de los coeficientes C` tiene simetrıa par respecto a N

2 , mientras que

su fase (o angulo) tiene simetrıa impar con respecto a N2 . La armonica N − `

puede ser expresada como:

ejθ0(N−`)t = ejθ0Nte−jθ0`t = e−jθ0`t (5.88)

Es decir, ambas armonicas ` y N − ` correponden en realidad a una mismafrecuencia. Por tanto si sumamos los terminos correspondientes a ellas en larepresentacion, escribiendo sus coeficientes en forma polar:

Cèjθ0`t + CN−è

jθ0(N−`)t = Cèjθ0`t + (C`)

∗e−jθ0`t

= |C`|ejθèjθ0`t + |C`|e−jθè−jθ0`t

= 2|C`| cos(θ0`t+ θ`) (5.89)

En base a esto podemos concluir que al representar una senal periodicade tiempo discreto en forma de una Serie de Fourier, en realidad, la estamosdescribiendo en terminos de N exponenciales periodicas de la base (5.79), enque N es el perıodo de la funcion discreta. Pero estas corresponden en realidada un valor constante y k diferentes armonicas, en que k = N

2 , si N es par, y

k = N−12 si es impar.

5.5. SERIE DE FOURIER DE TIEMPO DISCRETO 109

espectro de lınea

matriz! de FourierLa serie de Fourier para una senal de tiempo discreto puede ser descrita en

un grafico en que aparece |C`| en funcion de ` ∈ Z. Este diagrama es conocidocomo el espectro de lınea de la senal de tiempo discreto.

El problema de convergencia de la serie de Fourier para senales de tiempodiscreto tiene un tratamiento mucho mas simple que en el caso de tiempo con-tinuo. Esto se debe a que las amplitudes de las N armonicas se pueden calculara partir de un sistema de ecuaciones linealmente independientes de la forma:

y[0]y[1]y[2]...

y[N − 1]

= WN

C0

C1

C2

...CN−1

(5.90)

donde el elemento (i, j) de la matriz WN esta dado por:

[WN]i,j =(ejθ0

)(i−1)(j−1)(5.91)

Las ecuaciones precedentes permiten calcular los coeficientes que describenexactamente la senal periodica y[t]. Note que la matriz WN tiene la formageneral:

WN =

1 1 1 · · · 11 w w2 · · · wN−1

1 w2 w4 · · · wN−2

......

.... . .

...1 wN−1 wN−2 · · · w

(5.92)

donde w = ejθ0 . Esta matriz se denomina matriz de Fourier, y es no singular(ver Apendice F). De esta forma, el vector de la derecha en (5.90) puede serdespejado al multiplicar por la inversa de WN.

Las ideas de Parseval tambien se aplican a senales de tiempo discreto, aunqueen este caso el concepto de energıa no tiene la connotacion fısica que tiene entiempo continuo.

De esta forma, si una senal periodica y[t] tiene la expansion en serie dadapor:

y[t] =N−1∑

`=0

α`f`[t] (5.93)

donde las funciones f`[t] son elementos de una base ortogonal, entonces:

〈y[t], y[t]〉 =N−1∑

`=0

|α`|2〈f`[t], f`[t]〉 (5.94)


sistema!lineal


respuesta en frecuencia

que es equivalente a:

N−1∑

t=0

y[t]2 = N

N−1∑

`=0

|α`|2 (5.95)

5.6. Aplicacion de las series de Fourier al anali-sis de sistemas lineales

Cuando un sistema estable es excitado por una senal periodica, su respuestaen estado estacionario tambien es una senal periodica. Esta respuesta, en generalno tiene la misma forma que la senal de entrada, ya que el sistema amplifica ydesfasa cada componente armonica de la excitacion, en general en forma distinta.

Para usar cuantitativamente las series de Fourier en el analisis de un sis-tema lineal, debemos calcular la ganancia a modo forzante del sistema para lafrecuencia de cada una de las armonicas de interes, es decir, la respuesta enfrecuencia del sistema para cada una de esas armonicas.

Estos conceptos son comunes tanto a los sistemas de tiempo continuo comoa los sistemas de tiempo discreto. Para apreciar mejor su aplicacion consider-aremos un ejemplo.

Ejemplo 5.8. Un sistema de tiempo continuo, definido por su EDS:

ρ3y(t) + 7ρ2y(t) + 15ρy(t) + 54y(t) = 54u(t) (5.96)

es excitado con una senal periodica de frecuencia angular 1 [rad/s]. Entonces laamplificacion y desfase que experimentan la componente constante o continua ylas primeras nueve armonicas, al pasar a traves del sistema, se pueden calculara partir de la expresion que define la respuesta en frecuencia del sistema:

K(ω) =54

(jω)3 + 7(jω)2 + 15(jω) + 54(5.97)

donde ω = 0; 1; 2; 3; . . . ; 9 [rad/s].La respuesta en frecuencia es mostrada en la Figura 5.10, donde se ha in-

dicado la magnitud y fase de la respuesta a continua y la respuesta para lasfrecuencias de la fundamental y de las primeras nueve armonicas. Los valoresnumericos se muestran en la Tabla 5.1. Al observar los datos obtenidos se apre-cia que el sistema privilegia, en amplificacion, la tercera armonica.

Para ser mas especıficos, supongamos que la excitacion u(t) es una senalcuadrada, con valor medio cero. Usando Matlab o Maple podemos calcularentonces la respuesta, y(t). La entrada y la salida son mostradas en la Figura5.11.

La fuerte presencia de la tercera armonica en la salida es claramente apre-ciada, ası como tambien es facilmente apreciable el que la forma de onda de lasalida es muy diferente a la de la entrada.


0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Frecuencia [rad/s]

|K(ω

)|

0 2 4 6 8 10−5

−4

−3

−2

−1

0

Frecuencia [rad/s]

φ a(ω)

Figura 5.10: Respuesta en frecuencia de un sistema de tercer orden de tiempocontinuo.

Frecuencia [rad/s] Amplificacion Desfase [rad]

0 1,0000 0,0000

1 1,1011 -0,2895

2 1,5855 -0,7023

3 2,6833 -2,0344

4 0,9288 -3,2104

5 0,4125 -3,5334

6 0,2301 -3,7083

7 0,1442 -3,8305

8 0,0972 -3,9244

9 0,0688 -4,0000

Cuadro 5.1: Amplitud y fase de las armonicas en el Ejemplo 5.8.


Problema 5.1. Determine la serie de Fourier trigonometrica de las siguientesfunciones3:

3e.t.o.c. : En todo otro caso.


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−3

−2

−1

0

1

2

3

Tiempo [s]

Ent

rada

y re

spue

sta

y(t)

u(t)

Figura 5.11: Comportamiento de un sistema con una excitacion periodica.

(a) y(t) =

−1 ;−π < t ≤ 0

+1 ; 0 < t ≤ π

y(t+ 2π) e.t.o.c.

(b) y(t) =

t ;−1 < t ≤ 1

y(t+ 2) e.t.o.c.

(c) y(t) = |A cos(ωt)|(d) y(t) = max0, A sen(ωt)(e) y(t) = 4 sen2(t) (use identidades trigonometricas)

(f) y(t) = sen(t) + 6 cos3(t)(idem)

Para cado caso grafique el espectro de lınea (use |Cn|).

Problema 5.2. Determine la serie de de Fourier exponencial que representaa cada una de las siguientes funciones:

(a) y(t) = cos(2t) + sen(5t)

(b) y(t) =

e−t 0 ≤ t < 1

y(t+ 1) e.t.o.c.

(c) y(t) =∞∑

n=−∞δ(t− nT )

(d) Todas las funciones del problema anterior.

Problema 5.3. Considere el sistema de primer orden:


d y(t)

dt+ 10y(t) = 10u(t)

Suponga que u(t) es la senal periodica de la Figura 5.12.

0 2 4 6 8 10 12−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Tiempo [s]

u(t)

Figura 5.12: Tren de pulsos

5.3.1 Determine las tres primeras armonicas (n = 1, 2, 3) del desarrollo enserie de Fourier de u(t).

5.3.2 Determine la respuesta del sistema a la suma de esas tres armonicaspuesta en la entrada, es decir, a la serie de Fourier de u(t), pero truncada.

5.3.3 Grafique la salida y(t) obtenida, y comparela con la simulacion en Mat-

lab del sistema sometido a la entrada original u(t). Comente.

Problema 5.4. Considere el sistema definido por su ecuacion diferencial enque ωn y ξ son positivos:

d 2y(t)

dt 2+ 2ξωn

d y(t)

dt+ ω2

ny(t) = ω2nu(t)

5.4.1 Determine la salida del sistema si la entrada es u(t) = A cos(ωnt).

5.4.2 Determine la relacion de amplitudes entre la salida y la entrada en estadoestacionario cuando ωn = 10, y ξ = 0,1, 0,05, 0,01.

5.4.3 Simule y grafique para las condiciones anteriores, cuando A = 1.

Problema 5.5. Considere el sistema definido por su ecuacion diferencial:

d y(t)

dt= y(t) + u(t)

Si la entrada del sistema es una sinusoide u(t) = sen(10t)


5.5.1 Determine la salida del sistema y(t), suponiendo condiciones inicialescero.

5.5.2 Grafique la parte homogenea de la solucion correspondiente a los modosnaturales, la solucion particular correspondiente a la sinusoide de entraday la solucion total, suma de las dos primeras. Comente.

Problema 5.6. Considere el conjunto de funciones definidas en el intervalo[−T

2 ,T2 ]:

B = 1 , cos(nω0t) , sen(nω0t) n=1,2,... ; ω0 =2π

TY el producto interno definido en el como:

〈yn(t), ym(t)〉T =

∫ T2

−T2

y∗n(t)ym(t)dt ; yn(t), ym(t) ∈ B

Demuestre que el conjunto B es ortogonal y encuentre todos los posiblesvalores que toma el producto interno cuando se recorren los elementos de B.

Problema 5.7. Considere la siguiente funcion periodica f(t) definida como:

f(t) =

A ; |t| < τ/2

0 ; τ/2 ≤ |t| < T/2

f(t+ T ) ; e.t.o.c.

5.7.1 Determine la serie de Fourier trigonometrica de la funcion f(t).

5.7.2 Grafique la amplitud de las armonicas en funcion de la frecuencia.

5.7.3 ¿ Como se ve afectado el grafico a medida que crece el valor de T ? ¿Que pasa cuando T → ∞ ?

Problema 5.8. Modulacion por ancho de pulso.Considere la funcion v(t) definida como:

v(t) =

5 ; 0 < t < τ < 0,001

0 ; τ < t < 0,001

v(t+ 0,001) ; e.t.o.c.

5.8.1 Determine la serie de Fourier de v(t), indicando la amplitud de los coe-ficientes en funcion del parametro τ .

5.8.2 Si el parametro τ varıa lentamente con el tiempo, digamos τ(t) = sen(2πt)¿ Que se obtiene si se hace pasar v(t) por un sistema con una EDS dadapor

d y(t)

dt+ 100y(t) = 100u(t) ?


Problema 5.9. Considere la funcion y(t) = t2, definida en el intervalo 0 ≤t < T .

5.9.1 ¿Como podrıa extenderse la funcion y(t) al intervalo [−T, T ] de maneraque su serie de Fourier sea de la forma:

y(t) = A0 +

∞∑

n=1

An cos(ωnt) ?

5.9.2 ¿ Como podrıa extenderse al intervalo [−T, T ] de manera que su serie seade la forma:

y(t) =

∞∑

n=1

Bn sen(ωnt) ?

Problema 5.10. Determine la serie de Fourier discreta de las siguientes fun-ciones:

(a) y[t] = senπ

3t

(b) y[t] =

sen 3t ; t = 0, . . . , 3

y[t+ 4] ; e.t.o.c.

(c) y[t] =

λt ;λ 6= 1, t = 0, . . . , N − 1

y[t+N ] ; e.t.o.c.

(d) y[t] = (−1)t

(e) y[t] =

−1 ; t = −2, . . . , 0

1 ; t = 1, . . . , 3

y[t+ 6] ; e.t.o.c.

(f) y[t] = t mod N

Construya el espectro de lınea para cada caso.


transformada de Fourier|textbf

Fourier

perıodo!infinito

aperiodicas!se~nales


Capıtulo 6

Analisis bajo excitacionesarbitrarias. Latransformada de Fourier

6.1. La limitacion de las series de Fourier

En el capıtulo anterior se estudio la representacion de senales en un intervalode tiempo finito, [to, to + T ], a traves de una combinacion lineal de un numero(posiblemente infinito) de sinusoides. Este analisis es muy util para establecerde una manera simple, el contenido frecuencial (espectro) de una senal periodi-ca, identificando claramente la amplitud y fase de cada una de las armonicasque la forman, tanto en tiempo discreto como en continuo. En este capıtulopresentamos la extension para un periodo T → ∞, para estudiar el contenidofrecuencial de senales no periodicas (o de periodo infinito).

El resultado de esta extension nos permitira incorporar al analisis impor-tantes senales tales como el impulso de Dirac, el escalon, la exponencial (real)decreciente y otras senales arbitrarias como muestra la Figura 6.1. Una claseadicional y experimentalmente muy importante a incluir ahora esta compues-ta por las senales conocidas en un intervalo de tiempo finito. Estas senales sepueden calificar como periodicas o no, dependiendo de lo que ocurra fuera delintervalo conocido. La transicion hacia infinito, del periodo de conocimiento dela senal que se incluye en la herramienta de analisis, es justamente el proceso quepermite desarrollar una herramienta que incorpore las funciones no periodicasal analisis frecuencial.

6.2. La Transformacion de Fourier. El caso deltiempo continuo

117

118CAPITULO 6. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE FOURIER

serie de Fourier

0 0 T

Figura 6.1: Senales arbitrarias

Si recordamos el Capıtulo 5, una serie de Fourier es una representcion de unafuncion f(t) mediante suma de sinusoides. Sin embargo, esta serie representa ala funcion solo dentro del intervalo sobre el cual se calculo, [to, to+T ). Si la senales periodica,y este intervalo corresponde a un numero entero de perıodos de lafuncion, entonces la serie tambien la representa en el resto del eje real. Esta ideatambien se puede aplicar para obtener la serie de Fourier para una funcion noperiodica, siempre que la restrinjamos a un intervalo [a, b] de longitud T . Comose menciono antes, esta serie representa a la funcion dentro del intervalo, y fuerade este solo replica periodicamente la representacion lograda en [a, b]. Esto puedeapreciarse en la Figura 6.2.

La Figura 6.2, ademas, muestra que la longitud del intervalo T puede am-pliarse, de manera de ir refinando la representacion de la funcion a traves dela serie. Pues bien, lo que interesa en este punto es ver que pasa con la rep-resentacion cuando el intervalo tiene longitud infinita. Es decir, queremos verque pasa con la serie de Fourier cuando se utiliza para representar funciones deperıodo infinito o aperiodicas.

0a b

0a b

0a b

0a b

Figura 6.2: La funcion restringida a [a, b] y su reconstruccion usando la serie deFourier.

La serie de Fourier exponencial para una funcion periodica, de perıodo T ,

6.2. LA TRANSFORMACION DE FOURIER. EL CASO DEL TIEMPO CONTINUO119

tiene la forma:

f(t) =

∞∑

n=−∞Cne

jωnt (6.1)

En que:

Cn =1

T

∫ T/2

−T/2f(t)e−jωntdt (6.2)

ωn = nω0 = n2π

T(6.3)

La ecuacion (6.1) es la que describe la funcion f(t) dentro del interva-lo [−T

2 ,T2 ] en terminos de las exponenciales periodicas que representan las

diferentes armonicas ωn. Recordemos que la ecuacion (6.3) explicita que lasarmonicas no son nada mas que multiplos de la frecuencia fundamental ω0 = 2π

T .Ahora bien, cada uno de los coeficientes definidos por la ecuacion (6.2) define

a Cn como funcion de la frecuencia ωn , es decir:

Cn = Cn(ωn) (6.4)

Consideremos ahora la funcion:

F (ω) = T · Cn(ωn) (6.5)

Con esto la serie de Fourier exponencial (6.1) de f(t) puede reescribirsecomo:

f(t) =1

T

∞∑

n=−∞F (ωn)e

jωnt =1

2π

∞∑

n=−∞F (ωn)e

jωntω0 (6.6)

pero si se observa que:

ω0 = ωn − ωn−1 = ∆ω (6.7)

la serie se reescribe como:

f(t) =1

2π

∞∑

n=−∞F (ωn)e

jωnt∆ω (6.8)

Esta ultima expresion corresponde a una suma de Riemann [11], la que,llevada al lımite cuando el perıodo T crece hasta infinito, equivale a ∆ω → 0,con lo que la serie se transforma en una integral:

f(t) =1

2π

∫ ∞

−∞F (jω)ejωtdω (6.9)


Transformada de Fourier


transformada de Fourier! inversa

funcion! generalizada

delta de Dirac

El significado de esta ultima expresion es conceptualmente muy importante,ya que nos indica que a medida que el perıodo de una funcion periodica aumenta,la distancia ∆ω entre la lıneas del espectro se reduce progresivamente, y en ellımite, cuando la funcion tiene perıodo infinito y ∆ω → 0, la representacion enfrecuencia de f(t) en vez de ser discreta, pasa a ser una representacion continua.Ası, en lugar de quedar expresada como una suma de sinusoides de frecuenciasmultiplos de una fundamental ω0, queda representada por una integral en queparticipa una funcion, F (jω) definida para ω en toda la recta real.

Esta funcion F (ω) es la transformada de Fourier de f(t) , y su expresionse deduce utilizando (6.5), (6.4) y (6.2):

F (ω) = T · Cn =

∫ T/2

−T/2f(t)e−jωntdt (6.10)

la cual, cuando T → ∞ y considerando ω ∈ R, se convierte en:

F (ω) =

∫ ∞

−∞f(t)e−jωtdt (6.11)

Dada la forma de la integral (6.11), puede apreciarse que F (ω) en generalsera una funcion en la variable real ω pero con valores complejos, excepto enalgunos especiales (ver Problema 6.4). Para enfatizar la naturaleza compleja dela transformada de Fourier F (ω) es una funcion compleja, se prefiere denotar-la por F ( ω). Con esta ultima observacion podemos establecer finalmente laexistencia del par transformada y transformada inversa de Fourier segun

F f(t) = F ( ω) =

∫ ∞

−∞f(t)e− ωtdt (6.12)

F−1 F ( ω) = f(t) =1

2π

∫ ∞

−∞F ( ω)e ωtdω (6.13)

Para la existencia de la transformada de Fourier es suficiente que la funcionf(t) sea absolutamente integrable[9] en ] −∞,∞[, es decir:

∫ ∞

−∞| f(t) | dt < ∞ (6.14)

Sin embargo, es posible obtener la transformada de Fourier de funciones queno cumplen este requisito, por ejemplo, las funciones periodicas, con el uso defunciones generalizadas, como el delta de Dirac.

El factor 12π que acompana a la integral en (6.13), en algunos textos es repar-

tido equitativamente entre ambas integrales, como un factor 1√2π

en la trans-

formada directa y en la inversa. Preferiremos las expresiones (6.12) y (6.13), yaque esta ultima puede reescribirse de manera natural, reemplazando la frecuen-cia angular ω en [rad/s] por la frecuencia f en [Hz], tal como se aprecia en lasiguiente ecuacion


F−1 F (j2πf) =

∫ ∞

−∞F (j2πf)ej2πftdf

El mismo analisis desarrollado con la serie de Fourier exponencial cuando elperıodo de la funcion tiende a infinito, puede repetirse de manera similar parala serie de Fourier trigonometrica (ver Problema 6.3)

Ejemplo 6.1. Para ilustrar los resultados obtenidos veamos un ejemplo. Con-sideremos la funcion f(t) definida en principio periodica en el intervalo [− T

2 ,T2 ]:

f(t) =

A ; |t| ≤ τ/2 < T/2

0 ; τ/2 < |t| ≤ T/2(6.15)

Esta corresponde a un pulso de alto A y ancho τ , centrado en cero, que serepite en intervalos de longitud T .

Los coeficientes de la serie exponencial de Fourier se pueden obtener sinproblema:

Maple

> assume(T>0,A>0);

> assume(0<tau,tau<T);

> y(t,T) := A * ( Heaviside(t+tau/2) - Heaviside(t-tau/2) );

> C(0,T):=1/T*int(y(t,T),t=-T/2..T/2);

> C(n,T):=simplify(1/T*int(y(t,T)*exp(-I*2*Pi*n/T*t),

t=-T/2..T/2));

C0 =Aτ

T(6.16)

Cn =Aτ

T·sen(πnτ

T

)

πnτ

T

∀n 6= 0 (6.17)

La transformada de Fourier de y(t) resulta dada por la expresion:

F ( ω) =

∫ ∞

−∞y(t)e− ωtdt =

∫ τ/2

−τ/2Ae− ωtdt (6.18)

=A

− ω · e− ωt∣∣∣

τ/2

−τ/2= − A

ω(e− ω

τ2 − e ω

τ2 ) (6.19)

=2A

ωsen(ωτ

2

)

(6.20)


espectro! continuo que usualmente se escribe como:

F ( ω) = Aτsen(ωτ2

)

ωτ2

(6.21)

Si consideramos ahora la ecuacion (6.17), podemos escribir:

TCn = Aτsen(ωnτ

2

)

ωnτ

2

(6.22)

donde ωn = 2nπT . De esta forma, observamos que:

lımn→∞

TCn = F ( ω) (6.23)

222

A pesar de su conexion, existen varias diferencias conceptuales entre la seriede Fourier y la transformada de Fourier. La primera diferencia importante esque el espectro de lınea que aparece asociado a la serie de Fourier, se convierte,en el caso de la Transformada de Fourier, en un espectro definido para todafrecuencia. En forma compacta nos referiremos a este ultimo como el espectrocontinuo de la senal.

Una segunda diferencia es que la Serie de Fourier resulta descrita por unconjunto de valores complejos asociados a un conjunto enumerable de frecuencias(la frecuencia 0 y las frecuencias multiplos de una frecuencia fundamental), esosvalores complejos determinan la amplitud y fase de las componentes armonicas.Ese no es el caso de la Transformada de Fourier para senales de tiempo continuo,ya que la transformada F ( ω) es una medida de densidad o mas bien deintensidad relativa (no absoluta) de la participacion de las distintas frecuenciasen la representacion de la funcion. Esta cantidad esta definida para todo el ejede los reales, es decir, para todo ω, ası, la presencia de una frecuencia ω1 en unasenal f(t) esta dada por:

Y1 =

∫ ω+1

ω−

1

F ( ω)e ωtdω (6.24)

Esta integral es cero, a menos que F ( ω) contenga un impulso δ(ω−ω1). Enel Apendice C se demuestra que este impulso acusa la presencia de una sinusoidepura de frecuencia ω1 en f(t).

Ejemplo 6.2. Para apreciar desde un angulo distinto las diferencias mencio-nandas, consideremos la analogıa de una viga empotrada, cargada con arena finay con tres fuerzas puntuales, como se muestra en la Figura 6.3.

La viga tiene un largo L y un ancho A. En la Figura 6.3 la coordenada xes analoga a la frecuencia angular ω. En primer lugar se aprecian tres fuerzasno nulas, que actuan en puntos especıficos de la viga. Ellas son analogas a loscoeficientes de una serie de Fourier. En segundo lugar se observa la carga de


Parseval

ParsevalF1 F2 F3

f(x)

x

Figura 6.3: Viga cargada con arena

arena, con una distribucion f(x) [N/m]. Esta distribucion captura la irregular-idad de la distribucicon de la arena a lo largo y a lo ancho de la viga. Se puedededucir que si f(x) es finita, entonces, esta carga de arena ejerce una fuerzacero en cualquier punto de la viga. No obstante, es obvio que si la densidad dela arena es ρ(x), entonces la fuerza total ejercida por la carga de arena es:

∫ L

0

f(x)ρ(x)Adx (6.25)

La densidad de carga por metro lineal f(x) es entonces analoga a la trans-formada de Fourier F ( ω), en el sentido que esta ultima corresponde a unadensidad espectral por ancho de banda.

222

La transformacion de Fourier posee una serie de propiedades que resultan demucha utilidad para el calculo de transformadas de funciones a partir de algunaselementales, para la obtencion de transformadas inversas sin tener que resolver laintegral (6.13), y para el analisis de sistemas, como se ve en la seccion siguiente.Estas propiedades se detallan en el Apendice C. Algunas de esas propiedadesson de especial relevancia por sus aplicaciones al analisis de sistemas lineales.

6.2.1. Parseval y la energıa de las senales aperiodicas entiempo continuo

Los resultados deducidos por Parseval permiten tambien relacionar directa-mente las caracterısticas de una senal cualquiera con su transformada de Fourier.Los detalles matematicos pueden ser examinados en el Apendice C.

Si la senal (real) f(t) tiene energıa finita en el intervalo (−∞,∞), y sutransformada de Fourier es F ( ω) entonces, aplicando el Teorema C.1, se tieneque:

∫ ∞

−∞(f(t))

2dt =

1

2π

∫ ∞

−∞|F ( ω)|2 dω =

1

π

∫ ∞

0

|F ( ω)|2 dω (6.26)



ancho de bandaObservando el lado derecho de la ecuacion, podemos calcular la fraccion de

la energıa total que es aportada por cada intervalo del espectro (ωk, ωk+1). Paraapreciar esto consideremos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 6.3. Sea la senal f(t) = e−atµ(t), donde a ∈ R+. Entonces, su trans-formada de Fourier es

F ( ω) =1

ω + a(6.27)

y su energıa total es

W =

∫ ∞

0

e−2at dt =1

π

∫ ∞

0

1

ω2 + a2dω =

1

2a(6.28)

Usando Parseval podemos demostrar que la mitad de esa energıa es aportadapor el espectro en el intervalo de frecuencia (−a, a), como se ve en

W(−a,a) =1

π

∫ a

0

1

ω2 + a2dω =

1

πaarctan

ω

a

∣∣∣

a

0=

1

4a(6.29)

6.2.2. Aplicacion a sistemas lineales

Nuestro interes en el estudio de la transformacion de Fourier y sus propiedades,se origina en su utilidad para analizar las caracterısticas de los sistemas lineales.La definicion hecha en la seccion precedente de la transformada de Fourier resul-ta como continuacion natural de las series de Fourier, de esta forma la transfor-mada constituye la prolongacion natural del estudio de propiedades del sistemacomo la respuesta en frecuencia, ancho de banda y filtraje, entre otras.

Para apreciar la utilidad del analisis mediante transformada de Fourier,consideremos un sistema lineal de tiempo continuo, definido por su ecuaciondiferencial (EDS), tal como se vio en el Capıtulo 3:

dny(t)

dtn+ an−1

dn−1y(t)

dtn−1+ . . .+ a0y(t)

= bmdmu(t)

dtm+ bm−1

dm−1u(t)

dtm−1+ . . .+ b0u(t) (6.30)

En que u(t) e y(t) representan respectivamente la senal de entrada y desalida del sistema. Note que por generalidad hemos reemplazado n − 1 por men el lado derecho, aunque seguiremos suponiendo que el sistema es propio, esdecir, m ≤ n.

Si utilizamos la propiedad que permite obtener una expresion para la trans-formada de Fourier de la derivada de una funcion, ecuacion (C.9) en la pagi-na 367, a cada una de las derivadas de la entrada u(t) y la salida y(t) puedeaplicarsele trasnformacion de Fourier, utilizando:

Fdnf(t)

dtn

= ( ω)nF f(t) = ( ω)nF ( ω)


funcion de transferenciaDe esta forma, si se aplica transformacion de Fourier a ambos lados de laEDS (6.30) se obtiene:

( ω)nY ( ω) + . . .+ a0Y ( ω) = bm( ω)mU( ω) + . . .+ b0U( ω) (6.31)

luego:

Y ( ω) =bm( ω)m + . . .+ b0( ω)n + . . .+ a0

U( ω) =B( ω)

A( ω)U( ω) (6.32)

donde A( ω) y B( ω) son polinomios en ω.Si ahora definimos la funcion racional en ω como

H( ω) =B( ω)

A( ω)=bm( ω)m + . . .+ b0( ω)n + . . .+ a0

(6.33)

entonces la salida del sistema lineal puede ser expresada como

Y ( ω) = H( ω)U( ω) (6.34)

La funcion H( ω) que aparece en la expresion para la salida Y ( ω) es laque caracteriza al sistema mismo, ya que depende solo de los coeficientes de laEDS (6.30), y no de la senal de entrada U( ω). Esta funcion se conoce comofuncion de transferencia o transferencia de Fourier.

En general, H( ω) es una funcion racional en ω. Sin embargo, existen casosen que la entrada u(t) se aplica en forma retardada al sistema. En esos casos,si el retardo es τ , la transformada de Fourier U( ω) debe ser reemplazada porU( ω)e− ωτ (vea las propiedades en la Tabla C.1) y la funcion de transferenciaresulta:

H( ω) =B( ω)

A( ω)=bm( ω)m + . . .+ b0( ω)n + . . .+ a0

e− ωτ (6.35)

Una discusion adicional sobre la naturaleza de H( ω), en particular, referidaa la estabilidad del sistema se desarrolla mas adelante, en la Seccion 6.2.5.

Una interpretacion fundamental para la funcion de transferencia se puedeconstruir a partir del Lema 3.1 en la pagina 53. Allı se establece que la respuestade un sistema a una senal de entrada arbitraria u(t), puede obtenerse mediantela convolucion de esta con la respuesta h(t) del sistema a un impulso unitario:

y(t) = u(t) ∗ h(t) =

∫ ∞

−∞u(τ)h(t− τ)dτ (6.36)

Si aplicamos transformacion de Fourier a esta relacion, utilizando el resultado(C.13) en la pagina 371 que establece la transformada de la convolucion defunciones, tenemos que:

F y(t) = F u(t) ∗ h(t) (6.37)

Y ( ω) = U( ω)F h(t) (6.38)


Podemos apreciar entonces que la funcion H( ω) en la ecuacion (6.34) esexactamente la transformada de Fourier de la respuesta h(t) del sistema(6.30) a un impulso unitario en su entrada.

Dado que la EDS tiene solo coeficientes reales, la funcion de transferenciaH( ω) cumple con H( ω) = (H(− ω))

∗, lo que implica que:

su magnitud es una funcion par en ω ⇒ |H( ω)| = |H(− ω)| (6.39)

su fase es una funcion impar en ω ⇒ ∠H( ω) = −∠H(− ω) (6.40)

Para ilustrar la derivacion de la funcion de transferencia a partir de unsistema fısico, examinemos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 6.4. Consideremos el circuito de la Figura 6.4, que puede ser vistocomo un sistema con entrada el voltaje de la fuente vf (t) y como salida el voltajeen el condensador vc(t).

R

vf (t)

+

i(t)

C vc(t)

Figura 6.4: Circuito RC como sistema de primer orden.

Usando leyes de Kirchoff y la ecuacion para la corriente por el condensador,podemos llegar a una EDS:

vR(t) + vC(t) = vf (t) (6.41)

RCd vC(t)

dt+ vC(t) = vf (t) (6.42)

d vC(t)

dt+

1

RCvC(t) =

1

RCvf (t)di(t) (6.43)

En estas ecuaciones se puede renombrar vc(t) = y(t) , vf (t) = u(t) , 1RC = α

, con lo que la EDS resulta:

d y(t)

dt+ αy(t) = αu(t) ;α ∈ R+ (6.44)

A continuacion calculamos la salida del sistema para diferentes funciones deentrada u(t).

Si aplicamos transformacion de Fourier a (6.44) tenemos:


Maple

>with(inttrans) : assume(alpha>0) :

>eds:= diff(y(t),t)+alpha*y(t)=alpha*u(t) ;

>eq1:=fourier(u(t),t,w)=U(jw) :

>eq2:=fourier(y(t),t,w)=Y(jw) :

>subs(eq1,eq2,fourier(eds,t,w)) ;

>Y(jw):=solve(%,Y(jw));

ωY ( ω) + αY ( ω) = αU( ω) (6.45)

Y ( ω) =α

ω + αU( ω) (6.46)

Con esta expresion se puede obtener la salida del sistema para diferentescasos, con ayuda de las tranformadas en la Tabla C.2 en la pagina 389.

Entrada impulso unitarioEn primer lugar, podemos calcular casi directamente la respuesta a impulso

del sistema, ya que si u(t) = δ(t), entonces U( ω) = 1 y, por tanto:

Maple

>U(jw)= fourier(Dirac(t),t,w) :

>H(jw)=subs(%,Y(jw));

U( ω) = 1

Y ( ω) = H( ω) =α

ω + α

Donde se aplica transformacion inversa

Maple

> h(t) = invfourier(H(jw),w,t);

h(t) = αF−1

1

ω + α

(6.47)

= αe−αtµ(t) (6.48)

Entrada escalon unitario


fracciones parciales

Maple

>U(jw)= fourier(Heaviside(t),t,w) :

>Y(jw)=subs(%,Y(jw));

U( ω) = πδ(ω) +1

ω(6.49)

Y ( ω) =α

ω + α

(

πδ(ω) +1

ω

)

(6.50)

Donde se desarrolla el producto y luego se buscan terminos que correspondana transformadas conocidas, ya sea agrupando de manera conveniente o separan-do en fracciones parciales (ver Apendice D):

Y ( ω) =α

ω + απδ(ω) +

α

ω( ω + α)(6.51)

= πδ(ω) +1

ω− 1

( ω + α)(6.52)

Ya que, del termino que multiplica al delta Dirac solo interesa su valor enω = 0, y el otro se separa en fracciones parciales. De esta forma se puedecalcular la transformacion inversa de Fourier:

Maple

> y(t) = invfourier(Y(jw),w,t);

y(t) = F−1

πδ(ω) +1

ω

−F−1

1

( ω + α)

(6.53)

= µ(t) − e−αtµ(t) (6.54)

Entrada exponencial periodicaFinalmente, examinemos la respuesta a una exponencial periodica u(t) =

e ωot. Su transformada de Fourier de u(t) es:

U( ω) = Fe ωot

= 2πδ(ω − ωo) (6.55)

Con lo que la salida sera:



Y ( ω) =α

ω + α2πδ(ω − ωo) =

α

ωo + α2πδ(ω − ωo) (6.56)

⇒ y(t) =α

ωo + αe ωot = A(ωo)e

ωot+jφ(ωo) (6.57)

en que:

A(ωo) =

∣∣∣∣

α

ωo + α

∣∣∣∣=

α√

ω2o + α2

(6.58)

φ(ωo) = − arctanωoα

(6.59)

Lo anterior muestra que, al pasar a traves del sistema, la exponencial periodi-ca, experimenta un cambio en magnitud (en un factor A(ωo)) y en fase (unaadicion igual a φ(ωo).

222

6.2.3. La funcion de transferencia y la respuesta en fre-cuencia

La ultima parte del Ejemplo 6.4, en la seccion anterior, pone de manifiestola utilidad de conocer la transformada de Fourier de la respuesta a impulso deun sistema, H( ω). Observe que:

Y ( ω) = H( ω)U( ω) (6.60)

pero si u(t) = e ωot , entonces

Y ( ω) = H( ω)2πδ(ω − ωo) (6.61)

= H( ωo)2πδ(ω − ωo) (6.62)

por tanto, la salida es:

y(t) = H( ωo)e ωot (6.63)

Ası tenemos que H( ωo) representa la ganancia al modo forzante e ωot,definida en (3.24). Es mas, dada la relacion de las exponenciales periodicas conlas senales sinusoidales podemos establecer el siguiente lema.

Lema 6.1. Dado un sistema estable de tiempo continuo con entrada u(t) ysalida y(t). La respuesta del sistema a la entrada senal de entrada sinusoidalu(t) = cos(ωot), ∀t, es

y(t) = A(ωo) cos(ωot+ φ(ωo)) (6.64)


En que

A(ωo) = |H( ωo)| (6.65)

φ(ωo) = ∠H( ωo) (6.66)

Donde H( ω) es la transformada de Fourier de la respuesta a impulso delsistema h(t).

DemostracionLa respuesta a la excitacion cos(ωot), puede ser calculada como la combi-

nacion de las respuestas a un par de exponenciales periodicas. A partir de:

Y ( ω) = H( ω)U( ω) (6.67)

tenemos que, si u(t) = 12 (e ωot + e− ωot), entonces:

Y ( ω) = H( ω)π(δ(ω − ωo) + δ(ω + ωo)) (6.68)

= πH( ωo)δ(ω − ωo) + πH(− ωo)δ(ω + ωo) (6.69)

y, por lo tanto, la salida es:

y(t) =1

2H( ωo)e

ωot +1

2H(− ωo)e− ωot (6.70)

=1

2|H( ωo)|e ωot+j∠H( ωo) +

1

2|H( ωo)|e− ωot−j∠H( ωo) (6.71)

= |H( ωo)| cos(ωot+ ∠H( ωo)) (6.72)

222

Ejemplo 6.5. Para el mismo sistema del Ejemplo 6.4, descrito por la ecuaciondiferencial:

d y(t)

dt+ αy(t) = αu(t) ;α ∈ R+ (6.73)

Determinemos la solucion si la senal de entrada es u(t) = cos(t).Tal como se hizo antes, se aplica transformacion de Fourier sobre la EDS,

donde se ha reemplazado la entrada u(t) con lo que se obtiene la transformadade Fourier de la salida:

Maple

> U(jw)= fourier(cos(t),t,w) : eq3 ;

simplify(subs(eq3,Y(jw)));


U( ω) = π(δ(ω + 1) + δ(ω − 1)) (6.74)

Y ( ω) =α

ω + απ(δ(ω + 1) + δ(ω − 1)) (6.75)

donde, simplificando como antes, se obtiene la transformada inversa:

Y ( ω) =α

−j + απδ(ω + 1) +

α

j + απδ(ω − 1) (6.76)

=α(α+ j)

α2 + 1πδ(ω + 1) +

α(α− j)

α2 + 1πδ(ω − 1) (6.77)

= Aejφπδ(ω + 1) +Ae−jφπδ(ω − 1) (6.78)

en que:

A =

∣∣∣∣

α(α+ j)

α2 + 1

∣∣∣∣=

α√α2 + 1

(6.79)

φ = ∠

(α(α+ j)

α2 + 1

)

= arctan1

α(6.80)

por lo tanto, la salida es:

y(t) = A cos(t− φ) (6.81)

=α√

α2 + 1cos

(

t− arctan1

α

)

(6.82)

Se deja al lector verificar el caso general, en que, cuando la entrada es unasinusoide de frecuencia arbitraria, cos(ωot), entonces la salida del sistema sera:

y(t) =α

√

α2 + ω2o

cos(

t− arctanωoα

)

(6.83)

En la Figura 6.5 se muestra la magnitud A(ωo) y angulo de desfase φ(ωo)de la salida cuando α = 10.

222

El ejemplo anterior pone en evidencia que la salida que se obtiene a traves dela transformada de Fourier corresponde a la parte estacionaria de la salida delsistema, donde no aparecen modos naturales. Esto es coherente, ya que podemospensar una senal no causal como una que comenzo a actuar sobre el sistema ent = −∞, y, por ende, el efecto de las condiciones iniciales ha desaparecido. Sinembargo, debemos observar que el desarrollo realizado es analogo cuando α < 0.Esto nos advierte que en el caso de sistemas inestables, es decir, con frecuen-cias naturales fuera del semiplano izquierdo (que es la zona de estabilidad parasistemas de tiempo continuo), la salida obtenida mediante la transformacion de


0 100 200 300 400 500 6000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω

A(ω

)

(a) Magnitud

0 100 200 300 400 500 600

−1.5

−1

−0.5

0

ω

φ(ω

)

(b) Angulo

Figura 6.5: Magnitud y angulo de H( ω) en el ejemplo (α = 100).

Fourier resulta ser acotada, mientras que la salida verdadera del sistema crecehasta infinito. Es decir, la solucion mediante Fourier para senales no causalesresulta ciega a la inestabilidad propia del sistema, pero nos permite obten-er la componente particular de la senal de salida. Para ilustrar esto observe elsiguiente ejemplo, que solo tiene sentido si el sistema bajo analisis es estable.

Ejemplo 6.6. Consideremos el caso en que la entrada al sistema es u(t) =cos(t)µ(t). En este caso, tenemos que la transformada de Fourier de la entraday de la salida al sistema son respectivamente

Maple

>U(jw) = fourier(Heaviside(t)*cos(t),t,w);

>Y(jw) = subs (%,Y(jw));

U( ω) =π

2(δ(ω − 1) + δ(ω + 1)) +

ω

−ω2 + 1(6.84)

Y ( ω) =α

ω + α

(π

2(δ(ω − 1) + δ(ω + 1)) +

ω

−ω2 + 1

)

(6.85)

La salida Y ( ω) puede simplificarse con las mismas consideraciones anteri-ores, es decir, evaluando los coeficientes que acompanan a los deltas de Diracen la frecuencia de interes, separando en fracciones parciales y agrupando con-venientemente:


filtraje

Y ( ω) =α

j + α

π

2δ(ω − 1) +

α

−j + α

π

2δ(ω + 1) +

α

( ω + α)(−ω2 + 1)

=α(α− j)

α2 + 1

π

2δ(ω − 1) +

α(α+ j)

−j + α

π

2δ(ω + 1)

+α(αω + 1))

(α2 + 1)(−ω2 + 1)− α2

α2 + 1

(1

ω + α

)

=α2

α2 + 1

π

2

(δ(ω + 1) + δ(ω − 1)

)+

α

α2 + 1

jπ

2

(δ(ω + 1) − δ(ω − 1)

)

+α2

(α2 + 1)

ω

(−ω2 + 1)+

α

(α2 + 1)

1

(−ω2 + 1)− α2

α2 + 1

(1

ω + α

)

Por tanto, con ayuda de la Tabla C.2 en la pagina 389, tenemos que la salidaes:

y(t) =α

α2 + 1

[

αF−1

π

2

(δ(ω + 1) + δ(ω − 1)

)+

ω

(−ω2 + 1)

+ F−1

jπ

2

(δ(ω + 1) − δ(ω − 1)

)+

1

(−ω2 + 1)

− αF−1

1

ω + α

]

y(t) =α

α2 + 1

[α cos(t)µ(t) + sen(t)µ(t) − αe−αtµ(t)

]

En Maple los calculos se pueden hacer mucho mas rapido, y, dado que en latransformacion inversa aparecen exponenciales complejas, se utiliza la funcionevalc, que permite expandir estas mediante la relacion de Euler, 1:

Maple

>U(jw) = fourier(Heaviside(t)*cos(t),t,w);

>subs(%,Y(jw));

>y(t) = simplify( evalc( invfourier(%,w,t) ) );

222

6.2.4. Filtraje

Una generalizacion de los resultados precedentes se puede extraer examinan-do la naturaleza de la funcion de transferencia y la forma en que evolucionan

1ejθ = cos(θ) + j sen(θ)


espectro


sistema! estable

su magnitud y su fase con la frecuencia ω. En estas caracterısticas, que definenla respuesta en frecuencia del sistema, se capturan efectos tales como su ve-locidad y su capacidad de filtrar y discriminar senales de diferentes contenidosespectral.

Es comun que para clasificar las funciones de transferencia de sistemas es-tables, se use su caracterıstica filtrante. Esta queda determinada por |H( ω)|.Para ejemplificar esta descripcion consideremos primero sistemas que discrimi-nan entre frecuencias altas y bajas.

ωc ω

c

A

a

A

a

ω ω

|H(jω)| |H(jω)|

Figura 6.6: Sistemas pasa bajos (izquierda) y pasa altos (derecha)

En la Figura 6.6 se observan dos conductas distintas. El sistema descrito porla caracterıstica del lado izquierdo, deja pasar las bajas frecuencias y atenua lasaltas frecuencias. El sistema caracterizado por la funcion de transferencia dellado derecho hace lo contrario: deja pasar las altas frecuencias y bloquea las bajasfrecuencias. Una forma de apreciar estos comportamientos distintos es aplicara ambos sistemas una misma secuencia de escalones temporales. La transicionbrusca de un nivel a otro requiere la presencia de muy altas frecuencias, enestricto sentido, de frecuencia infinita. Por otro lado, una vez que se ha llegadoa un nuevo nivel, predominan las frecuencias bajas, en rigor, la frecuencia cero.Los escalones tambien tienen energıa a frecuencias intermedias tal como lo revelala transformada de Fourier del escalon unitario, estas frecuencias intermedias seoriginan en el quiebre entre una pendiente infinita (inicio del escalon) y unapendiente cero (resto del escalon).

Ejemplo 6.7. Considere los siguientes sistemas:

H1( ω) =1

( ω + 1)2Pasa bajos (6.86)

H2( ω) =( ω)2

( ω + 1)2Pasa altos (6.87)

Si a ambos sistemas se aplica una secuencia de escalones, se obtiene el re-sultado de la Figura 6.7. En esta, se observa que la respuesta del filtro pasa


frecuencia! de corte

pasa banda

elimina banda

0 5 10 15 20 25 30

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Tiempo [s]

Res

pues

ta a

esc

alón

y1(t)

y2(t)

Figura 6.7: Respuesta a escalones de un sistema pasa bajos y un sistema pasaaltos.

bajos, y1(t), no puede seguir las transiciones de los escalones, pero alcanza elnivel constante de la entrada sin error (dado que la ganancia a continua esuno). Por su parte, la respuesta del filtro pasa altos, y2(t), es capaz de replicarinstantaneamente los cambios bruscos, sin embargo presenta respuesta nula unavez que el escalon alcanza un nivel constante (dado que la ganancia a continuaes cero).

222

La transicion entre una zona de paso y otra de rechazo (y viceversa) queocurre en |H( ω)| es siempre gradual. Una forma de cuantificar un lımite paraesa transicion es lo que se define como frecuencia de corte. Esta definicion,aunque arbitraria es universalmente aceptada. En la Figura 6.6, ωc es la fre-cuencia de corte si a = A/

√2.

Aparte del comportamiento pasa bajos y pasa altos podemos reconocer lascaracterısticas pasa banda y elimina banda. Las caracterısticas generales deambos sistemas aparecen reflejadas en los graficos de la Figura 6.8.

ωc1

ωc2

ωc1

ωc2

A

a

A

a

|H(jω)| |H(jω)|

ω ω

Figura 6.8: Sistemas pasa banda y elimina banda.


frecuencias de corte El sistema descrito por la caracterıstica del lado izquierdo en la Figura 6.8bloquea las frecuencias bajas y las fecuencias altas, en cambio, deja pasar unrango de frecuencias intermedias. Por su parte, el sistema descrito por la car-acterıstica del lado derecho en la Figura 6.8, bloquea un rango intermedio defrecuencias y deja pasar tanto las altas como las bajas frecuencias. El compor-tamiento de estos sistemas puede ser estudiado tambien usando una secuenciade escalones. Para ilustrar las diferentes conductas desarrollamos un ejemplo.

Ejemplo 6.8. Considere los siguientes sistemas:

H3( ω) = ω

( ω + 1)2Pasa banda (6.88)

H4( ω) =( ω)2 + 1

( ω + 1)2Elimina banda (6.89)

0 5 10 15 20 25 30−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Time [s]

Res

pues

ta a

esc

alón

y3(t)

y4(t)

Figura 6.9: Respuesta a escalones de un sistema pasa banda y un sistema elimi-na banda.

Cuando a ambos sistemas se aplica una secuencia de escalones se obtiene elresultado de la Figura 6.9. De la Figura 6.9 se observa que la respuesta del filtropasa banda, y3(t), no puede seguir las transiciones de los escalones, y presentarespuesta nula una vez que el escalon alcanza niveles constantes (tiene gananciaa continua igual a cero). Por su parte, la respuesta del filtro elimina banda,y4(t), es capaz de replicar instantaneamente los cambios bruscos, y de alcanzar,sin error, el valor constante de la entrada (tiene ganancia a continua igual auno). Sin embargo, y4(t) presenta una anomalıa justo despues de la transicionbrusca. Esta anomalıa se debe a que el sistema bloquea un rango intermedio defrecuencias.

222

En el caso de los sistemas pasa banda y sistemas elimina banda, existen dosfrecuencias de corte, ωc1 y ωc2 (vea Figura 6.8), para a = A/

√2.

Cualquiera que sea la naturaleza filtrante del sistema, las frecuencias de corteson las que delimitan la(s) banda(s) de paso y la(s) banda(s) de rechazo.


sistema! estable6.2.5. Caso singular en la funcion de transferencia.

En primer lugar, se debe enfatizar que:

La funcion de transferencia de un sistema lineal de tiempo continuoesta definida solo si su respuesta a impulso tiene transformada de Fouri-er. Esto es equivalente a exigir que el sistema tenga solo frecuencias natu-rales en el SPI cerrado, con la condicion que si algunas de esas frecuenciasnaturales estan sobre el eje imaginario, ellas sean simples

Es muy importante notar que el Lemma 6.1 en la pagina 129, que igualaH( ω) con la respuesta en frecuencia, esta formulado para sistemas estables.No podemos extender este resultado a sistemas que tienen frecuencias naturalesen el eje imaginario, aunque sean no repetidas. Veamos a traves de un ejemplo,los resultados erroneos que surgen si no somos cuidadosos.

Ejemplo 6.9. Un sistema con entrada u(t) y salida y(t), tiene una EDS:

dy(t)

dt= u(t) (6.90)

Observamos que el sistema tiene solo una frecuencia natural, y ella esta ubi-cada en λ = 0, es decir, se trata de una frecuencia natural no repetida en el ejeimaginario.

La respuesta en frecuencia, K(ω) esta dada por la ganancia al modo forzantee ωt, y ella resulta de aplicar (3.24) a este caso particular:

K(ω) =1

ω(6.91)

Suponga que u(t) = e−atµ(t), a > 0 y si, erroneamente, hacemos H( ω) =K(ω), entonces y(t) se puede calcular a partir de :

y(t) = F−1 Y ( ω) = F−1 H( ω)U( ω) = F−1

1

ω( ω + a)

(6.92)

Ası se obtiene:

Maple

>with(inttrans):

>assume(a>0);simplify(evalc((invfourier(1/(-w^2+I*a*w),w,t)));

y(t) =signo (t) − 2e−atµ(t)

2a(6.93)


dando origen a una respuesta no causal, ya que la funcion signo (t) tiene valor−1, ∀t < 0.

Para obtener la respuesta correcta, recordemos que la funcion de transfer-encia H( ω) es la transformada de Fourier de la respuesta del sistema a unimpulso unitario. Aplicando esta definicion a nuestro sistema se llega a:

H( ω) =1

ω+ πδ(ω) (6.94)

Entonces

y(t) = F−1

1

ω( ω + a)+π

aδ(ω)

=1 − e−atµ(t)

aµ(t) (6.95)

que es la respuesta correcta.222

El ejemplo precedente ilustra y explica el problema. Cuando el sistema tienefrecuencias naturales en el eje imaginario, los modos naturales asociados nodecaen, y la transformada de Fourier de cada uno de ellos solo existe en ellımite. Esta condicion es acusada por la presencia de deltas de Dirac en ω. Ası,la funcion de transferencia es una funcion racional mas uno o varios deltas deDirac en ω.

La ultima pregunta que debemos responder es por que la determinacion deH( ω) usando (6.31) no da el resultado correcto. La respuesta esta en que parapasar de (6.31) a (6.33) se requiere dividir por un polinomio que se hace ceropara uno o mas valores de ω, es decir, se realiza una division por cero a esasfrecuencias. Consideremos un ejemplo adicional.

Ejemplo 6.10. Sea un sistema con la EDS:

d 2y(t)

dt 2+ 4y(t) = 3u(t) (6.96)

Al aplicar transformacion de Fourier se obtiene:

(( ω)2 + 4)Y ( ω) = 3U( ω) (6.97)

Observamos que y(t) contiene dos modos naturales complejos, los que com-binados generan una senal sinusoidal de frecuencia 2 [rad/s]. Esto implica queY ( ω) debe incluir dos impulsos: δ(ω − 2) y δ(ω + 2).

Cuando dividimos ambos lados de (6.97) por (( ω)2 +4), estamos dividiendopor cero cuando ω = ±2, exactamente donde ocurren los impulsos. Esta divisionllevarıa, erroneamente, a que la funcion de transferencia serıa:

3

( ω)2 + 4(6.98)

Sin embargo, la respuesta del sistema a u(t) = δ(t) esta dada por:

h(t) =3

2sen(2t)µ(t) (6.99)

6.3. LA TRANSFORMACION DE FOURIER. EL CASO DE TIEMPO DISCRETO139

Ası, el valor correcto de H( ω) es:

H( ω) =3

( ω)2 + 4+ j

3

2(δ(ω + 2) − δ(ω − 2)) (6.100)

222

6.3. La Transformacion de Fourier. El caso detiempo discreto

Consideremos en esta seccion el caso de las funciones no periodicas, definidasen tiempo discreto, y como se pueden hacer un desarrollo analogo para estasque permita representar de alguna forma su contenido en frecuencia.

En primer lugar, recordemos las expresiones correspondientes a la repre-sentacion en serie de Fourier de una funcion periodica definida en tiempo dis-creto, tal como se vio en el Capıtulo 5. Sea y[t] una funcion periodica de perıodoN , entonces esta se puede representar mediante una serie de Fourier discretaque no es mas que una combinacion lineal finita de N exponenciales complejas:

y[t] =

N−1∑

n=0

Cnejθont; donde θo =

2π

N

Cn =1

N

N−1∑

t=0

y[t]e−jθont

Consideremos ahora el caso en que el perıodo N de la senal crece hastainfinito, es decir, tenemos una senal que ya no es periodica. En este caso se puedehacer el siguiente desarrollo, totalmente analogo al caso de la transformacion deFourier para funciones de tiempo continuo, en la seccion 6.2.

Llamemos θn = nθo y definamos la funcion:

Y (ejθn) = N · Cn (6.101)

Reemplazando en la representacion en serie anterior:

y[t] =1

N

N−1∑

n=0

Y (ejθn)ejθont (6.102)

=1

2π

N−1∑

n=0

Y (ejθn)ejθnt∆θ (6.103)

Ya que la frecuencia fundamental en este caso es θo = θn+1 − θn = ∆θ, esdecir, la separacion entre armonicas es igual a la frecuencia fundamental. Lasumatoria anterior corresponde a una suma de Riemann[11] que llevada al


transformada de Fourier! discreta

transformada de Fourier! discreta inversalımite cuando N → ∞ se convierte en una integral en la variable θ, que pasa aser continua. Cabe observar que el lımite superior de la integral es:

θN−1 =2π

N· (N − 1) (6.104)

lımN→∞

θN−1 = 2π (6.105)

Por tanto, cuando el perıodo de la funcion N → ∞ se tiene que:

y[t] =1

2π

∫ 2π

0

Y (ejθ)ejθtdθ (6.106)

Cabe recordar que para el caso de las funciones de tiempo discreto existeperiodicidad en frecuencia, por tanto la funcion y[t] podrıa representarse emple-ando el intervalo [−π, π] o cualquier otro de longitud 2π.

La ecuacion (6.106) nos dice que podemos representar la funcion de tiempodiscreto y[t] como una integral que involucra la funcion Y (ejθ), que ahora pre-senta valores en forma continua en el intervalo [0, 2π]. Veamos ahora cual es laexpresion que permite obtener esta funcion. A partir de la definicion hecha en(6.101) tenemos:

Y (ejθn) = N · Cn =N−1∑

t=0

y[t]e−jθont =N−1∑

t=0

y[t]e−jθnt (6.107)

Cuando N → ∞ aparece la variable continua θ y es necesario considerartodos los valores de la funcion, es decir, el tiempo discreto barre todos losenteros. Por tanto:

Y (ejθ) =

∞∑

t=−∞y[t]e−jθt (6.108)

Esta funcion es la transformada de Fourier discreta de la funcion y[t].Mientras que la expresion (6.106) representa la transformacion inversa deFourier discreta.

Fd y[t] = Y (ejθ) =

∞∑

t=−∞y[t]e−jθt (6.109)

Fd−1Y (ejθ)

= y[t] =

1

2π

∫ 2π

0

Y (ejθ)ejθtdθ (6.110)

A continuacion, veamos un ejemplo para ilustrar lo anterior.


Ejemplo 6.11. Consideremos como primera senal, un delta de Kronecker. Sicalculamos su transformada de Fourier discreta tenemos que esta, se reduce aun unico termino:

Y (ejθ) =∞∑

t=−∞δ[t]e−jθt = δK [0]e−jθ0 = 1 (6.111)

es decir, se obtiene un espectro plano, en analogıa al caso del espectro del deltade Dirac en tiempo continuo. En la Figura 6.10 se muestra el delta de Kroneckery la transformada de Fourier calculada, que en este caso resulta tener solo partereal.

−5 0 5−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

δ k[t]

0 2 4 60

0.5

1

1.5

2

θ

Y(e

jθ)

Figura 6.10: Delta de Kronecker y su transformada de Fourier

222

Ejemplo 6.12. Consideremos ahora la senal exponencial:

y[t] = αtµ[t] |α| < 1 (6.112)

Su transformada de Fourier discreta es:

Y (ejθ) =

∞∑

t=−∞y[t]e−jθt =

∞∑

t=0

αte−jθt =

∞∑

t=0

(αe−jθ)t (6.113)

La expresion para Y (ejθ) resulta ser una serie geometrica convergente yaque |αe−jθ| < 1. Por tanto su suma es

Y (ejθ) =1

1 − αe−jθ(6.114)

La transformada Y (ejθ) puede ser reescrita en forma polar (modulo y angulo)como:


Y (ejθ) =1

1 − α cos(θ) + jα sen(θ)(6.115)

|Y (ejθ)| =1

√

(1 − α cos(θ))2 + (α sen(θ))2=

1√

1 − 2α cos(θ) + α2(6.116)

∠Y (ejθ) = − arctan

(α sen(θ)

1 − α cos(θ)

)

(6.117)

−2 0 2 4 6 8 10−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

y[t]

0 2 4 60

1

2

3

4

5

6

θ

|Y(e

jθ)|

Figura 6.11: Senal y[t] = (0,8)tµ[t] y la magnitud de Y (ejθ).

En la Figura 6.11 se muestra la senal en tiempo discreto y la magnitud desu transformada de Fourier discreta cuando α = 0,8

222

Ejemplo 6.13. Consideremos ahora un pulso discreto definido segun

y[t] =

1 ; |t| ≤ 5

0 ; |t| > 5(6.118)

Su transformada de Fourier discreta esta dada por la expresion:

Y (ejθ) =

5∑

t=−5

e−jθt (6.119)

Se puede apreciar directamente que es una funcion real, ya que cada par deexponenciales complejas conjugadas al sumarse se transforman en una funcioncoseno, es decir:

Y (ejθ) = 1 + 25∑

t=1

cos(θt) (6.120)

Alternativamente, la transformada se puede calcular calculando la suma dela progresion geometrica de exponenciales:


Parseval

energıa

Y (ejθ) =5∑

t=−5

e−jθt = e−jθ(−5) 1 − e−jθ(11)

1 − e−jθ=ejθ5 − e−jθ6

1 − e−jθ(6.121)

Esta expresion, a priori, no parece ser real, pero si se reescribe conveniente-mente tenemos que:

Y (ejθ) =

(ejθ5 − e−jθ6

)· ej θ2

(1 − e−jθ) · ej θ2=ejθ

112 − e−jθ

112

ejθ2 − e−j

θ2

=sen(θ 11

2 )

sen(θ 12 )

(6.122)

Note que la ecuacion (B.48) del Apendice B, establece justamente la propiedadque permite convertir la suma de cosenos en un cuociente de senos.

−10 −5 0 5 10−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

y[t]

0 2 4 6−5

0

5

10

15

θ

Y(e

jθ)

Figura 6.12: Senal y[t] y su transformada discreta Y (ejθ).

La Figura 6.12 se muestran los graficos del pulso en tiempo discreto y de sutransformada de Fourier.

222

En el Apendice C se incluyen las propiedades mas importantes de la trans-formacion de Fourier en tiempo discreto (tabla C.3 en la pagina 390), ademasde una lista de transformadas simples que se pueden utilizar para el calculo deotras mas complejas (Tabla C.4 en la pagina 391).

6.3.1. Parseval y las senales aperiodicas de tiempo discre-to

Los resultados deducidos por Parseval en el Apendice C permiten tambienrelacionar directamente las caracterısticas de energıa de una senal cualquiera consu transformada de Fourier discreta. En el caso de senales de tiempo discreto, lasideas de potencia y energıa no tienen la connotacion fısica que poseen cuando seusan en el contexto de las senales de tiempo continuo. Sin embargo, son tambien


concepto utiles, especialmente si la secuencia de tiempo discreto se origina enel muestreo de una senal de tiempo continuo.

Para la senal real de tiempo discreto f [t] se define la energıa como:

W =∞∑

t=−∞(f [t])

2(6.123)

Si la senal f [t] tiene energıa finita en el intervalo (−∞,∞), y su transformadade Fourier es F (ejω) entonces, aplicando el Teorema C.2 en la pagina 386, setiene que:

∞∑

t=−∞(f [t])

2=

1

2π

∫ 2π

0

|F (ejθ)|2dθ (6.124)

Observando el lado derecho de la ecuacion, podemos calcular la fraccion dela energıa total que es aportada por cada intervalo del espectro (θk, θk+1). Encomparacion con el caso continuo, aca el calculo es mucho mas complicado.

6.3.2. Aplicacion a sistemas lineales

Consideremos un sistema lineal de tiempo discreto definido por su ecuacionrecursiva (ERS):

y[t] + an−1y[t− 1] + . . .+ a1y[t− n+ 1] + a0y[t− n]

= bmu[t] + bm−1u[t− 1] + . . .+ b1u[t−m+ 1] + b0u[t−m] (6.125)

En que m y n son enteros positivos cualesquiera. Si aplicamos transformadade Fourier a ambos lados de la ecuacion tenemos:

Y (ejθ)(1 + an−1e−jθ + . . .+ a1e

−jθ(n−1) + a0e−jθn) =

U(ejθ)(bm + bm−1e−jθ + . . .+ b1e

−jθ(m−1) + b0e−jθ) (6.126)

Si se factoriza y despeja la transformada de Fourier de la secuencia de salidatenemos que esta resulta ser la transformada de la entrada U(ejθ) multiplicadapor una funcion racional en la variable e−jθ:

Y (ejθ) =bm + bm−1e

−jθ + . . .+ b1e−jθ(m−1) + b0e

−jθ

1 + an−1e−jθ + . . .+ a1e−jθ(n−1) + a0e−jθnU(ejθ) (6.127)

Justamente podemos apreciar que la funcion racional que aparece multipli-cando la entrada depende solo del sistema, ya que solo depende de los coeficientesde la ERS inicial. Con esta expresion podemos obtener la secuencia de salidadel sistema calculando la transformacion de Fourier inversa.

En particular, cuando la entrada es un delta de Kronecker en el origen:


u[t] = δK [t] ⇒ U(ejθ) = 1 (6.128)

En este caso la salida del sistema es:

Y (ejθ) =bm + bm−1e

−jθ + . . .+ b1e−jθ(m−1) + b0e

−jθ

1 + an−1e−jθ + . . .+ a1e−jθ(n−1) + a0e−jθn= H(ejθ) (6.129)

es decir, la funcion racional H(ejθ) es exactamente la transformada de Fourierde la respuesta del sistema a un delta de Kronecker en su entrada. De esta forma,la respuesta a cualquier otra senal de entrada se obtiene usando la relacion:

Y (ejθ) = H(ejθ)U(ejθ) (6.130)

Esta ecuacion, corresponde, en el dominio de tiempo discreto, a la convolu-cion de las secuencias temporales:

y[t] = h[t] ∗ u[t] =

∞∑

l=−∞u[l]h[t− l] (6.131)

en que, tal como se vio al final del Capıtulo 4, la secuencia h[t] es la respuestadel sistema al delta Kronecker.

La funcion H(ejθ) es la funcion de transferencia del sistema de tiem-po discreto, y resulta igual a la ganancia al modo forzante ejθt, descritaen (4.35). Esto dice que H(ejθ) describe completamente la respuesta enfrecuencia del sistema de tiempo discreto (vea la Seccion §5.4).

Ejemplo 6.14. Consideremos el sistema de tiempo discreto definido por suecuacion recursiva:

y[t] − 1,6y[t− 1] + 0,63y[t− 2] = u[t] (6.132)

Si aplicamos transformacion de Fourier discreta tenemos que:

Y (ejθ) − 1,6e−jθY (ejθ) + 0,63e−jθ2Y (ejθ) = U(ejθ) (6.133)

Y (ejθ)(1 − 0,9e−jθ)(1 − 0,7e−jθ) = U(ejθ) (6.134)

Ası la funcion de transferencia esta dada por:

H(ejθ) =1

(1 − 0,9e−jθ)(1 − 0,7e−jθ)(6.135)

La transformada de la salida queda entonces dada por



Y (ejθ) = H(ejθ)U(ejθ) =U(ejθ)

(1 − 0,9e−jθ)(1 − 0,7e−jθ)(6.136)

Analizaremos a continuacion el comportamiento del sistema para distintasexcitaciones.

Entrada delta de Kronecker

En este caso:

U(ejθ) = 1 ⇒ Y (ejθ) =1

(1 − 0,9e−jθ)(1 − 0,7e−jθ)(6.137)

Donde la transformada de la salida se debe separar en fracciones parcialespara poder aplicar transformacion inversa:

Y (ejθ) =4,5

1 − 0,9e−jθ− 3,5

1 − 0,7e−jθ(6.138)

Por tanto, la salida del sistema es:

y[t] = (4,5(0,9)t − 3,5(0,7)t)µ[t] (6.139)

Note que para esta excitacion (delta de Kronecker) y[t] = h[t].

Entrada escalon unitario

En este caso, u[t] = µ[t], por lo tanto:

U(ejθ) =1

1 − e−jθ+ π

∞∑

`=−∞δ(θ + 2`π) (6.140)

Y (ejθ) =1

(1 − 0,9e−jθ)(1 − 0,7e−jθ)

(

1

1 − e−jθ+ π

∞∑

`=−∞δ(θ + 2`π)

)

(6.141)

La expresion de la tranformada de Fourier de la secuencia de salida puedesimplificarse separando en fracciones parciales y considerando el valor del termi-no que acompana a la sumatoria de deltas de Dirac solo en las frecuencias enque estos son distintos de cero, es decir, en θ = 2`π. Sin embargo, notamos que:

H(ejθ)∣∣θ=2`π

= H(1) =100

3; ∀` ∈ Z (6.142)

De esta forma:


Y (ejθ) =1

(1 − 0,9e−jθ)(1 − 0,7e−jθ)(1 − e−jθ)

+1

(1 − 0,9e−j0)(1 − 0,7e−j0)π

∞∑

`=−∞δ(θ + 2`π) (6.143)

=−40,5

1 − 0,9e−jθ+

8,17

1 − 0,7e−jθ+

1003

1 − e−jθ+

100

3π

∞∑

`=−∞δ(θ + 2`π)

(6.144)

Por tanto la secuencia de salida es:

y[t] = Fd−1

−40,5

1 − 0,9e−jθ

+ Fd−1

8,17

1 − 0,7e−jθ

+ Fd−1

1003

1 − e−jθ+

100

3πδ(θ)

(6.145)

= (−40,5(0,9)t + 8,17(0,7)t + 33,3)µ[t] (6.146)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1

1.5

2

2.5

k0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0

5

10

15

20

25

30

35

k

Figura 6.13: Respuesta a impulso y a escalon del ejemplo 6.14

La Figura 6.13 muestra los graficos de las secuencias de correspondientes ala respuesta a impulso y a escalon unitario del sistema.

Entrada exponencial compleja

Ahora u[t] = ejθot y, de la Tabla C.4 en la pagina 391, tenemos que sutransformada de Fourier es:

U(ejθ) = 2π

∞∑

`=−∞δ(θ − θo + 2`π) (6.147)

Por lo tanto la transformada de Fourier de la respuesta esta dada por:


Y (ejθ) = H(ejθ)U(ejθ) = H(ejθ)∞∑

`=−∞δ(θ − θo + 2`π)

= 2πH(ejθo)

∞∑

`=−∞δ(θ − θo + 2`π) (6.148)

Note que hemos usado la periodicidad en frecuencia de la funcion de trans-ferencia, lo que implica:

H(ej(θo+2`π)) = H(ejθo) = |H(ejθo)|ej(φ(θo)) ∀` ∈ Z (6.149)

Ası, aplicando la transformacion inversa, se obtiene:

y[t] = |H(ejθo)| ej(θot+φ(θo)) (6.150)

222

6.3.3. La funcion de transferencia y la respuesta en fre-cuencia

La parte final del Ejemplo 6.14, en la seccion precedente, muestra el vınculoentre la funcion de transferencia y la respuesta en frecuencia de un sistema detiempo discreto. Este resultado se generaliza en el siguiente lema.

Lema 6.2. Dado un sistema estable de tiempo discreto con entrada u[t] y saliday[t], la respuesta del sistema a la senal de entrada sinusoidal u[t] = cos(θot), ∀t,es:

y[t] = A(θo) cos(θot+ φ(θo)) (6.151)

en que:

A(θo) =∣∣H(ejθo)

∣∣ (6.152)

φ(θo) = ∠H(ejθo) (6.153)

donde H(ejθ) es la transformada de Fourier de la respuesta a impulso del sis-tema h[t].

DemostracionLa respuesta a la excitacion cos(θot), t ∈ Z, puede ser calculada como la

combinacion de las respuestas a un par de exponenciales periodicas, usando larelacion:

Y (ejθ) = H(ejθ)U(ejθ) (6.154)


frecuencia! de corte

pasa bajos

pasa altos

pasa banda

elimina banda

Si consideramos la entrada u[t] = 12 (ejθot + e−jθot), entonces:

Y (ejθ) = H(ejθ)π(δ(θ − θo) + δ(θ + θo)) (6.155)

= πH(ejθo)δ(θ − θo) + πH(e−jθo)δ(θ + θo) (6.156)

luego, la salida es:

y[t] =1

2H(ejθo)e ωot +

1

2H(e−jθo)e−jθot (6.157)

=1

2|H(ejθo)|ejθot+j∠H(ejθo ) +

1

2|H( ωo)|e−jθot−j∠H(ejθo ) (6.158)

= |H(ejθo)| cos(θot+ ∠H(ejθo)) (6.159)

222

6.3.4. Filtraje

La respuesta en frecuencia de los sistemas discretos puede ser caracterizadaa traves de H(ejθ). Se aplican en este caso las mismas definiciones que en el casode sistemas de tiempo continuo: frecuencias de corte, banda de paso, banda derechazo, etc. Existe sin embargo un elemento que agrega complejidad al analisis,y el es la naturaleza perdiodica de H(ejθ). Consideremos un sistema para el quela magnitud de la respuesta en frecuencia aparece descrita en la Figura 6.14.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Frecuencia θ

|F(e

jθ)|

Figura 6.14: Respuesta en frecuencia (magnitud) de un sistema de tiempo dis-creto.

El problema con el grafico de la Figura 6.14 es que genera ambiguedadesrespecto de si se trata de un sistema pasa bajos, pasa banda, etc. El problemase resuelve si se considera que, cualquiera sea la senal procesada por el sistema,ella tambien tiene un espectro periodico. En consecuencia, la naturaleza filtrantese puede definir observando H(ejθ) solo en θ ∈ [0;π], tal como se ha remarcadoen la Figura 6.14 con un trazo mas grueso.


sistema!estable 6.3.5. Caso singular en la funcion de transferencia. El casode los sistemas discretos

Para el caso de los sistemas de tiempo discreto conviene recordar que

La funcion de transferencia de un sistema lineal de tiempo discretoesta definida solo si su respuesta a un delta de Kronecker posee transformadade Fourier. Esto es equivalente a exigir que el sistema tenga solo frecuenciasnaturales en el disco unitario cerrado, con la condicion que si algunas deesas frecuencias naturales estan sobre la circunferencia unitaria, ellas seansimples.

Es muy importante notar que el Lema 6.2 en la pagina 148, que igualaH(ejθ) con la respuesta en frecuencia, esta formulado para sistemas estables.No podemos extender este resultado a sistemas que tienen frecuencias naturalessobre la circunferencia unitaria, aunque sean no repetidas. Veamos a traves deun ejemplo, los resultados erroneos que surgen si no somos cuidadosos.

Ejemplo 6.15. Un sistema con entrada u[t] y salida y[t], tiene una ERS:

y[t] − y[t− 1] = u[t] (6.160)

Observamos que el sistema tiene solo una frecuencia natural, y ella esta ubi-cada en λ = 1, es decir, se trata de una frecuencia natural sobre la circunferenciaunitaria y de multiplicidad 1.

La respuesta en frecuencia, K(θ) esta dada por la ganancia al modo forzanteejθt, y ella resulta de aplicar (3.24) a este caso particular:

K(θ) =ejθ

1 − ejθ(6.161)

Suponga que u[t] = atµ[t], 1 > a > 0 y si, erroneamente, hacemos H(ejθ) =K(θ), entonces y[t] se puede calcular a partir de:

Y (ejθ) = H(ejθ)U(ejθ) =ejθ

(ejθ − 1)(ejθ − a)(6.162)

de donde se obtiene:

y[t] = Fd−1

1

1 − a

[ejθ

ejθ − 1− ejθ

ejθ − a

]

=1

2(1 − a)

[signo [t] − 2atµ[t]

]

(6.163)dando origen a una respuesta no causal, ya que la funcion signo [t] tiene valor−1, ∀t < 0.

Para obtener la respuesta correcta, recordemos que la funcion de transferen-cia H(ejθ) es la transformada de Fourier de la respuesta del sistema a un deltade Kronecker. Aplicando esta definicion a nuestro sistema se llega a:


H(ejθ) =ejθ

ejθ − 1+ π

∞∑

`=−∞δ(θ − 2`π) (6.164)

y, usando la periodicidad de la funcion ejθ, se tiene que:

Y (ejθ) =1

1 − a

[

ejθ

ejθ − 1− ejθ

ejθ − a+ π

∞∑

`=−∞δ(θ − 2`π)

]

(6.165)

Entonces, la salida se obtiene, por ejemplo, usando Maple :

y[t] = Fd−1

1

ω( ω + a)+π

aδ(θ)

=1 − at

1 − aµ[t] (6.166)

que es la respuesta correcta.

222

El ejemplo precedente ilustra y explica el problema. Cuando el sistema tienefrecuencias naturales sobre la circunferencia unitaria, los modos naturales aso-ciados no decaen, y la transformada de Fourier de cada uno de ellos solo existeen el lımite. Esta condicion es acusada por la presencia de deltas de Dirac enel dominio de la frecuencia θ. Ası, la funcion de transferencia es una funcionracional mas uno o varios deltas de Dirac en θ.

La explicacion de esta situacion es analoga a la del caso continuo.



Problema 6.1. Determine la transformada de Fourier de las siguientes fun-ciones, ya sea mediante la deficion o usando tablas y transformadas conocidas(ver Apendice C):

1. y(t) = [µ(t+ T ) − µ(t− T )]t ;T > 0

2. y(t) = (1 − 2e−|t|)2

3. y(t) =1

σ√

2πe−(t

2σ

)2

(Recuerde que

∫ ∞

−∞e−u

2

du =√π)

Problema 6.2. Considere la funcion:

y(t) =

4t(t+ 1) ;−1 < t < 0

−4t(t− 1) ; 0 < t < 1

0 ; |t| ≥ 1

6.2.1 Grafique la funcion.

6.2.2 Determine la transformada de Fourier Y ( ω) de la funcion y(t).

6.2.3 ¿Cual es la serie de Fourier exponencial de y(t) considerandola solo enel intervalo [-1,1]?

6.2.4 Grafique por separado la parte real e imaginaria de Y ( ω) y compare conlos coeficientes obtenidos para la serie de Fourier exponencial. Comente.

Problema 6.3. Demuestre que una funcion f(t) arbitraria (o de perıodo in-finito) puede expresarse en la forma de Integral de Fourier:

f(t) =1

π

∫ ∞

0

[A(ω) cos(ωt) +B(ω) sen(ωt)] dω

en que:

A(ω) =

∫ ∞

−∞f(t) cos(ωt)dt

B(ω) =

∫ ∞

−∞f(t) sen(ωt)dt

¿Como se reducen las expresiones si f(t) es par o impar?

Problema 6.4. Usando la ecuacion de Euler para exponenciales complejas:


6.4.1 Demuestre que si y(t) es par, entonces su transformada de Fourier Y ( ω)es real.

6.4.2 Analogamente, demuestre que si y(t) es impar, entonces su transformadade Fourier Y ( ω) es imaginaria pura.

Problema 6.5. Considere el sistema de segundo orden definido por:

d 2y(t)

dt 2+ 100y(t) = 100u(t)

Encuentre la salida del sistema mediante la transformacion de Fourier cuan-do

6.5.1 u(t) = sen(ωot)µ(t), con condiciones iniciales cero.

6.5.2 u(t) = sen(ωot).

6.5.3 Grafique y compare las soluciones obtenidas en los puntos anteriorescuando ωo 6= 10 y cuando ωo = 10 . Comente.

Problema 6.6. Suponga que se quiere disenar un sistema cuya caracterısticaen frecuencia sea:

H( ω) =

1 ; |ω| < ωc

0 ; |ω| < 0

Es decir, este sistema actua como filtro ideal ya que permite el paso desinusoides de frecuencias menores que ωc sin afectarlas, mientras que aquellasde frecuencias mayores no aparecen en la salida.

6.6.1 Grafique H( ω)

6.6.2 Determine cual debiera ser la respuesta a impulso del sistema.

6.6.3 ¿Que puede comentar respecto del resultado obtenido?

Problema 6.7. Determine la transformada de Fourier discreta delas siguientesfunciones:

y[t] = (t+ 1)αtµ[t] , con |α| < 1

y[t] =2t + 3t

6tµ[t]

y[t] = cos(θ1t+ φ) , con 0 < θ1 < 2π


Problema 6.8. Considere un pulso de tiempo discreto de amplitud A > 0 ycentrado en t = 0, definido por:

y[t] =

A ; |t| ≤ N

0 : |t| > NN ∈ Z+

6.8.1 Grafique el pulso en tiempo discreto para algunos valores de A y N .

6.8.2 Determine la transformada de Fourier discreta de y[t] (Sugerencia : usela ecuacion B.2.35).

6.8.3 Grafique la transformada de Fourier discreta para distintos valores de N .

6.8.4 Determine el valor de Y (ej0) en funcion de N .

6.8.5 Analice que sucede para valores extremos de N , es decir, cuando N = 0y cuando N → ∞.

Problema 6.9. Determine la respuesta a un delta de Kronecker y a un escalonunitario de los sistemas de tiempo discreto dados por sus ERS:

6.9.1 y[t] − y[t− 1] = 2u[t− 7]; y[−1] = 1

6.9.2 y[t] = u[t− 1] − 0, 5u[t− 2] + 0, 2u[t− 3]

6.9.3 y[t] − 1, 1y[t− 1] + 0, 24y[t− 2] = u[t− 2]; y[−1] = −1; y[−2] = 1

Problema 6.10. Tenemos un sistema de tiempo discreto el queremos que surespuesta en frecuencia sea igual a:

H(ejθ) =

1 ; |θ| < θc

0 ; θc < |θ| ≤ π

6.10.1 Determine su respuesta a un delta de Kronecker.

6.10.2 Determine, si es posible, su respuesta a un escalon de tiempo discreto.

Comente.

Laplace

transformada deLaplace|textbf

sistema!dinamico

sistema!estable

sistema!inestable

se~nal!no acotada

se~nal! de tiempo continuo

Capıtulo 7

Analisis bajo excitacionesarbitrarias. Latransformada de Laplace

Entre los metodos disponibles para el estudio de los sistemas dinamicos,lineales y de tiempo continuo, uno en particular resulta ser especialmente util:la transformada de Laplace. Las principales ventajas de este metodo se puedenresumir en lo siguiente:

Permite el analisis de sistemas lineales estables e inestables.

Se puede aplicar a una vasta gamas de senales no acotadas.

Permite incluir las condiciones iniciales del sistema.

La EDS es transformada en una ecuacion algebraica, que puede ser mane-jada de manera mas simple.

7.1. Definicion de la transformada

Considere una senal de tiempo continuo y(t), definida para 0 ≤ t < ∞.La transformada de Laplace asociada a y(t), y su transformada inversa estandefinidas como:

Ly(t) = Y (s) =

∫ ∞

0−

e−sty(t)dt (7.1)

L−1 Y (s) = y(t) =1

2πj

∫ σ+j∞

σ−j∞estY (s)ds (7.2)

155

156CAPITULO 7. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

transformada de Laplace!definicion

transformada deLaplace!inversa

transformada deLaplace!region de convergencia


funcion de transferencia

ecuacion diferencial! delsistema

EDS

Y (s) es la transformada de Laplace de y(t). El par transformada y su trans-formada inversa estan estan bien definidas si existe σ ∈ R, y una constantepositiva k <∞ tales que:

|y(t)| < keσt ; ∀t ≥ 0 (7.3)

La region <s ≥ σ se conoce como la region de convergencia de latransformada.

Suponemos que el lector ha conocido estas ideas anteriormente en alguncurso de Matematicas, a pesar de lo cual se presenta en el Apendice D unarevision de la transformada de Laplace, sus propiedades y las transformadasde algunas funciones simples. Tambien se incluye una revision del metodo defracciones parciales, el cual resulta de utilidad para obtener transformadas deLaplace inversas para funciones racionales.

En este capıtulo nos concentraremos en esta transformada como herramientapara el analisis de los sistemas lineales.

7.2. Aplicacion a sistemas lineales: la funcion detransferencia

Como ya hemos visto, una gran cantidad y variedad de sistemas de interes,pueden ser representados mediante un modelo lineal. Como se vio en el Capıtulo1, esto se consigue linealizando la o las ecuaciones diferenciales que describen elcomportamiento del sistema en el tiempo en torno a un punto de equilibrio o,mas generalmente, en torno a un punto de operacion. Para el caso de sistemas deuna entrada y una salida, el proceso de linealizacion desemboca en la obtencionde una ecuacion diferencial del sistema (EDS), cuya forma general es:

dny(t)

dtn+ an−1

dn−1y(t)

dtn−1+ . . .+ a0y(t) = bm

dm

dtmu(t) + . . .+ b0u(t) (7.4)

Cuando se aplica transformada de Laplace a la EDS, usando una de lapropiedades vistas en el Apendice D, la transformada de la derivada de unafuncion es:

Ld `y(t)

dt `

= s`Y (s) − s`−1y(0−) − · · · − dn−1y(0−)

dtn−1(7.5)

Por tanto, si aplicamos esto a la EDS (7.4) tenemos que:

snY (s) + an−1sn−1Y (s) + . . .+ a0Y (s)

= bmsmU(s) + . . .+ b0U(s) + f(s, xo) (7.6)

donde f(s, xo) es una funcion que depende de la variable s y de las n condicionesiniciales de la salida y(t) y sus derivadas. Es importante destacar que:

7.2. APLICACION A SISTEMAS LINEALES: LA FUNCION DE TRANSFERENCIA157



funcion!racional

funcion de transferencia!ceros

ceros

f(s, x0) = p(s)Tx0 (7.7)

donde p(s) es un vector que contiene polinomios en s y x0 es un vector quecontiene las condiciones iniciales ya mencionadas. Esta estructura explicita lalinealidad del sistema, puesto que la homogeneidad y superposicion respecto delas condiciones iniciales resulta evidente.

Ahora si suponemos condiciones iniciales iguales a cero, tenemos que:

Y (s) = H(s)U(s) (7.8)

donde se define la funcion:

H(s) =B(s)

A(s)(7.9)

que se forma con los polinomios que contienen los coeficientes de la ecuacion(7.4) original:

A(s) = sn + an−1sn−1 + . . .+ a0 (7.10)

B(s) = bmsm + bm−1s

m−1 + . . .+ b0 (7.11)

La funcion racional H(s) es la funcion de transferencia en el dominiode Laplace. La representacion (7.9) es muy util para describir caracterısticasy propiedades de un sistema tales como estabilidad y velocidad, ademas deentregar informacion en el momento de disenar sistemas de control, filtros uotras aplicaciones.

Ejemplo 7.1. Consideremos un sistema descrito por la ecuacion diferencial:

d 2y

dt 2+ 2

d y

dt= u(t) (7.12)

Su funcion de transferencia es:

H(s) =1

s2 + 2s(7.13)

222

A continuacion definiremos algunos conceptos que se encuentran fuertementeligados a la definicion de la funcion de transferencia de un sistema. Para estoconsideremos su definicion dada por las ecuaciones (7.9), (7.10) y (7.11). Porsimplicidad, asumiremos que los polinomios B(s) y A(s) no se hacen cero si-multaneamente para algun valor de la variable compleja s. Ası, definimos en-tonces los siguientes terminos:

(i) Las m raıces de la ecuacion B(s) = 0 son los ceros del sistema. Elloshacen ademas que H(s) = 0.


funcion de transferencia!polos

polos

funcion de transferencia!multiplicidad

multiplicidad

funcion de transferencia!grado relativo

grado relativo

funcion de transferencia!estrictamente propia

funcion de transferencia!bipropia

funcion de transferencia!propia

funcion de transferencia!impropia

sistema! estable

entrada

salida

respuesta! a impulso

impulso! respuesta a

(ii) Las n raıces de la ecuacion A(s) = 0 son los polos del sistema. Ellos hacenademas que H(s) → ∞.

(iii) Si A(s) = 0 tiene nk raıces en s = λk, decimos que el polo λk tienemultiplicidad nk.

(iv) La diferencia de grado entre A(s) y B(s), es decir, m− n se denomina elgrado relativo del sistema.

(v) Si m < n decimos que el modelo es estrictamente propio. Esto implicaque el grado relativo del sistema es positivo.

(vi) Si m = n decimos que el modelo es bipropio. Esto implica que el gradorelativo del sistema es cero.

(vii) Si m ≤ n decimos que el modelo es propio.

(viii) Si m > n decimos que el modelo es impropio, o que tiene grado relativonegativo.

Estas definiciones nos ayudaran a apreciar la forma en que se relaciona lasalida de un sistema con su entrada, tal como pone en evidencia la definicion(7.9), pero la simplicidad reside en que la relacion se establece mediante lafuncion racional H(s), es decir, las derivadas han desaparecido. Si bien parallegar a esta relacion las condiciones iniciales se han supuesto cero, sabemos queen caso de sistemas estables, el efecto de estas desaparece despues de un tiempo.

La funcion de transferencia de un sistema lineal describe en forma algebraicasus propiedades de entrada-salida.

En forma similar a aquella que se utilizo en el analisis de Fourier, la funcionde transferencia puede ser definida en base a la respuesta a impulso, con condi-ciones iguales a cero. Si recordamos como se definio al funcion de transferenciaH(s) al aplicar transformada de Laplace a la EDS del sistema definido en (7.4),podemos escribir la salida del sistema segun la ecuacion (7.8). Se puede apre-ciar que si a ambos lados de esta expresion, se aplica transformada de Laplaceinversa, tenemos que (vea la Tabla D.1 en la pagina 414):

Y (s) = H(s)U(s) ⇐⇒ y(t) = h(t) ∗ u(t) (7.14)

En que:

h(t) = L−1 H(s) (7.15)

Por lo tanto, podemos afirmar que:


funcion de transferencia!con retardo

funcion!racional

retardoLa funcion de transferencia H(s) de un sistema de tiempo continuo, definidaen (7.9), es igual a la transformada de Laplace de la respuesta h(t) delsistema a un impulso (Delta de Dirac) en la entrada, cuando las condicionesiniciales cero.

Aunque en la mayorıa de los casos de interes, la funcion de transferencia esuna funcion racional en s. Sin embargo, cuando el sistema tiene un retardo τ ,la expresion general para la funcion de transferencia es:

H(s) =B(s)

A(s)e−sτ (7.16)

La funcion de tranferencia en Matlab puede definirse mediante vectorescon los coeficientes de los polinomios A(s) y B(s), y el comando tf :

Matlab

>> A=[1 3 2],B=[1 1]

A =

1 3 2

B =

1 1

>> H=tf(B,A)

Transfer function:

s + 1

-------------

s^2 + 3 s + 2

O bien, definiendo la variable s:


delta de Dirac! en frecuencia Matlab

>> s=tf([1 0],[1])

Transfer function:

s

>> H=(s+1)/(s^2+2*s+1)

Transfer function:

s + 1

-------------

s^2 + 2 s + 1

7.2.1. Funcion de transferencia en dominios de Laplace yFourier

Cuando el sistema tiene frecuencias naturales en el SPI cerrado, con la re-striccion que aquellas frecuencias en el eje imaginario sean simples, las funcionesde transferencia en ambos dominios existen. El elemento comun es conceptual:en ambos casos, la funcion de transferencia corresponde a la respec-tiva transformada de la respuesta a impulso con condiciones inicialesiguales a cero.

La definicion y la estructura de H(s) parecen ser identicas a la definicion y laestructura de la funcion de transferencia en el dominio de Fourier, bastando hac-er una simple sustitucion de s por ω. Sin embargo, esto no siempre es correcto.La diferencia es que cuando el sistema tiene frecuencias naturales (simples) enel eje imaginario, la funcion de transferencia en Fourier incluye deltas de Diracen frecuencia. Esto se origina en el hecho que la respuesta a impulso del sistemacontiene modos naturales que no decaen y para los cuales la transformada deFourier existe solo en el lımite. En cambio, para el mismo sistema, la funcion detransferencia en Laplace no contiene impulsos en frecuencia, debido a que estatransformada esta bien definida, bastando escoger <s > 0.

Ejemplo 7.2. Consideremos el sistema con la EDS:

d 2y(t)

dt 2+ a1

d y(t)

dt+ y(t) = u(t) (7.17)

donde a1 ≥ 0.

La funcion de transferencia, en el dominio de Laplace, es:

HL(s) =1

s2 + a1s+ 1; ∀<s > 0 (7.18)

En cambio, en el caso de Fourier, debemos distinguir dos casos.

7.3. RESPUESTA A IMPULSO Y RESPUESTA A ESCALON. 161

impulso!respuesta a

escalon!respuesta a

respuesta!a impulso

respuesta!a escalon

modos!naturales

(i) Caso a1 > 0 :

En este caso, las frecuencias naturales estan en el SPI abierto, por lotanto, los modos naturales son absolutamente integrables y la funcion detransferencia en el dominio de la transformacion de Fourier es:

HF ( ω) =1

( ω)2 + a1 ω + 1(7.19)

En este caso:

HF ( ω) = HL(s)|s= ω (7.20)

(ii) Caso a1 = 0 :

En este caso, las frecuencias naturales estan sobre el eje imaginario y losmodos naturales combinados corresponden a una sinusoide. Mas especıfi-camente, la respuesta a impulso, con condiciones iniciales iguales a ceroes:

h(t) = sen(t)µ(t) (7.21)

En consecuencia (vea la Tabla C.2 en la pagina 389, con ωo = 1) la funcionde transferencia en el dominio de la transformacion de Fourier es:

HF ( ω) =jπ

2(δ(ω + 1) − δ(ω − 1)) +

1

( ω)2 + 1(7.22)

Se observa que, en este caso, no se cumple (7.20).

222

La relacion entre transformada de Fourier y transformada de Laplace puedeser resumida en la siguiente afirmacion:

Las transformaciones de Laplace y Fourier son equivalentes, via la relacions = ω, en aquellos casos en que la transformada de Laplace existe para<s > σ, donde σ < 0.

7.3. Respuesta a impulso y respuesta a escalon.

Como ya hemos visto, la funcion de transferencia esta asociada a la respuestaa impulso del sistema. Por otro lado sabemos que si se aplica un impulso a laentrada, la respuesta contiene solamente los modos naturales del sistema; estonos permite estudiar su comportamiento natural, que es independiente de la


valor final senal de entrada (caracterısticas del transiente, velocidad de respuesta, etc.), apartir del analisis de la funcion H(s).

Debido a la idealizacion implıcita en la definicion de un impulso es muchomas frecuente estudiar la dinamica natural de un sistema con la ayuda de larespuesta a escalon, es decir, cuando U(s) = 1/s.

La definicion (7.9) nos permite expresar la respuesta a escalon unitariodel sistema como:

Y (s) = H(s)1

s(7.23)

Lo cual, suponiendo que el sistema no tiene polos en el origen,corresponde a:

y(t) = y∞ + modos naturales del sistema (7.24)

donde y∞ = H(0), en virtud del Teorema del Valor Final (ver Teorema D.1 enla pagina 410). Si el sistema es estable, entonces los modos naturales decaenexponencialmente a cero. Luego, para sistemas estables, la respuesta en estadoestacionario esta dada por la constante y∞. Note que si H(s) tiene uno o masceros en s = 0, entonces y∞ = 0.

Ejemplo 7.3. Consideremos el sistema definido por su EDS:

d 2y(t)

dt 2+ 5

d y(t)

dt+ 4y(t) = 2u(t) (7.25)

Si aplicamos transformada de Laplace a ambos lados, suponiendo condicionesiniciales iguales a cero, podemos obtener la funcion de transferencia del sistema:

s2Y (s) + 5sY (s) + 4Y (s) = 2U(s) (7.26)

⇒ H(s) =Y (s)

U(s)=

2

s2 + 5s+ 4(7.27)

La respuesta del sistema cuando u(t) es un Delta de Dirac se obtiene direc-tamente de H(s)

U(s) = Lδ(t) = 1 ⇒ Y (s) = H(s) =2

s2 + 5s+ 4(7.28)

Donde podemos aplicar transformada inversa separando en fracciones par-ciales1, o bien con ayuda de Maple :

1Este metodo se detalla en el Apendice D.


Maple

>with(inttrans):

>U(s):=laplace(Dirac(t),t,s);

>Y(s):=2/(s^2+5*s+4)*U(s);

>Y(s):=convert(Y(s),parfrac,s);

>y(t):=invlaplace(Y(s),s,t);

U(s) = 1 (7.29)

Y (s) =2

s2 + 5s+ 4(7.30)

Y (s) =2

3

(1

s+ 1+

−1

s+ 4

)

(7.31)

y(t) =2

3e−t − 2

3e−4t (7.32)

La respuesta a escalon unitario se puede obtener de manera similar

U(s) = Lµ(t) =1

s⇒ Y (s) =

2

s2 + 5s+ 4· 1

s(7.33)

Donde se aplica transformada inversa:

Maple

>with(inttrans):

>U(s):=laplace(Heaviside(t),t,s);

>Y(s):=2/(s^2+5*s+4)*U(s);


U(s) =1

s(7.34)

Y (s) =2

s(s+ 1)(s+ 4)(7.35)

y(t) =1

2− 2

3e−t +

1

6e−4t (7.36)

En la Figura 7.1 se puede apreciar tanto la respuesta a escalon recien obteni-da ası como la respuesta impulso. Estas se generaron en Matlab, con los co-mandos impulse y step, que usan como argumento el sistema definido mediantesu funcion de transferencia:


Matlab

>>G=tf([2],[1 5 4]);

>>subplot(2,1,1),impulse(G);

>>subplot(2,1,2),step(G);

Time (sec.)

Am

plitu

de

Impulse Response

0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

Time (sec.)

Am

plitu

de

Step Response

0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Figura 7.1: Respuestas a impulso y a escalon en Ejemplo 7.3

222

Es util definir tambien un conjunto de parametros que describen ciertaspropiedades de la dinamica del sistema. Para identificar estos parametros adefinir consideremos la funcion de transferencia dada por:

G(s) = 9−s+ 1

s2 + 4s+ 9(7.37)

La respuesta a escalon del sistema se muestra en la Figura 7.2. Entoncespodemos definir los siguientes ındices:

Respuesta estacionaria, y∞: el valor final de la respuesta a escalon, siemprey cuando el sistema tiene sus polos en el SPI abierto.


tp t

u

kr y

∞y

∞−δ

−Mu

tr

Tiempo ts

0

y∞+M

p

y∞ y

∞+δ

Figura 7.2: Indices definidos en la respuesta a escalon

Tiempo de Subida (Rise time), tr : el instante de tiempo en que la res-puesta a escalon alcanza por primera vez el valor de la respuesta esta-cionaria y∞.2

Sobre-respuesta (Overshoot), Mp : el valor maximo que alcanza la respues-ta a escalon, usualmente expresado como el porcentaje en que se sobrepasala respuesta estacionaria y∞.

Maxima contra-respuesta (Undershoot), Mu : el maximo (en valor abso-luto) que la respuesta a escalon alcanza bajo el cero.

Tiempo de asentamiento (Settling time), ts : el tiempo luego del cual larespuesta a escalon queda confinada a una banda de desviacion ±δ, alrede-dor del respuesta estacionaria. Esta deviacion, δ, se define generalmentecomo un porcentaje de y∞, del 2% o 5%.

Para el ejemplo en particular, definido en la ecuacion (7.37) y cuya respuestaa escalon se muestra en la Figura 7.2, el valor de los ındices definidos se muestranen la Tabla 7.1.3

2Esta definicion varıa de autor a autor, por tanto debe tenerse claro de que se esta hablandoal utilizarla.

3Note que para este ejemplo en particular, hemos elegido un valor inusualmente grandepara δ, para una mejor visualizacion.


Indice Definicion Valor en el ejemplo

y∞ respuesta estacionaria 1

tr tiempo de subida 1.0

Mp sobre-respuesta 0.5

Mu max. contra-respuesta 1.5

ts tiempo de asentamiento 1.8

Cuadro 7.1: Indices de la respuesta a escalon

7.4. Respuesta a condiciones iniciales y senalesarbitrarias.

De la misma manera que en la seccion precedente se obtuvo las respuestasa impulso y a escalon del sistema, la transformada de Laplace permite obtenerla respuesta del sistema cuando la entrada en un tipo mas general de senales.Sin embargo, la ventaja principal que esta transformada, a diferencia de latransformada de Fourier, permite incluır el efecto de las condiciones iniciales.Veamos para esto el siguiente ejemplo:

Ejemplo 7.4. Consideremos el sistema definido por su EDS:

d 2y(t)

dt 2+d y(t)

dt+ y(t) = u(t) (7.38)

Obtengamos primero la salida del sistema cuando la entrada u(t) es cero, ytenemos condiciones iniciales y(0−) = 1 e y′(0−) = 1. Si aplicamos transfor-mada de Laplace, recordando la propiedad (7.5), tenemos que:

s2Y (s) − sy(0−) − y′(0−) + sY (s) − y(0−) + Y (s) = 0 (7.39)

s2Y (s) − s− 1 + sY (s) − 1 + Y (s) = 0 (7.40)

Y (s)(s2 + s+ 1) = s+ 2 (7.41)

Y (s) =s+ 2

s2 + s+ 1(7.42)

Donde, para aplicar la inversa, podemos observar que la transformada queaparece no puede separarse directamente en fracciones parciales, pues sus polosson complejos, pero si pueden llevarse a la forma de la transformada del senoy del cosenos con un corrimiento en s. Este corrimiento corresponde a unaexponencial en el tiempo (vea (D.26) en el Apendice D):

7.4. RESPUESTA A CONDICIONES INICIALES Y SENALES ARBITRARIAS.167

Y (s) =s+ 2

(s+ 12 )2 + 3

4

(7.43)

=s+ 1

2

(s+ 12 )2 + 3

4

+√

3

√3

2

(s+ 12 )2 + 3

4

(7.44)

Por tanto, la respuesta a las condiciones iniciales dadas es:

y(t) = e−12t cos

(√3

2 t)

+√

3 e−12t sen

(√3

2 t)

(7.45)

En la Figura 7.3 se puede apreciar el punto de partida y la pendiente inicialde la senal y(t).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

0.5

1

t [seg]

y(t)

Figura 7.3: Respuesta a condiciones iniciales para el ejemplo 7.4

Es importante recalcar en este ejemplo que las condiciones iniciales que seinsertan en los calculos al aplicar la transformada de Laplace corresponden alas de la senal en t = 0−. Es decir, son los valores de la funcion y(t) y de suderivada justo antes que el sistema comience a evolucionar bajo el efecto dela entrada (que, en el ejemplo previo, es cero). Este alcance es importante pues,en ciertos casos, se puede producir una discontinuidad en la salida del sistemaen el instante t = 0, es decir, y(0+) 6= y(0+). Veamos esto en un ejemplo.

Ejemplo 7.5. Considere la red electrica de la Figura 7.4 en que se conecta labaterıa de 1[V] en t = 0, y todas las condiciones iniciales son cero.

Por ley de voltajes de Kirchoff tenemos:

vf (t) = vR(t) + vC(t) (7.46)

µ(t) = Ri(t) +1

C

∫ t

−∞i(τ)dτ (7.47)

Derivando a ambos lados y aplicando la transformada de Laplace, con condi-cion inicial cero:


valor inicial R

vf (t)

+

i(t)

C vc(t)

Figura 7.4: Circuito RC

d µ(t)

dt= R

d i(t)

dt+

1

Ci(t) (7.48)

s1

s= R

[sI(s) − i(0−)

]+

1

CI(s) (7.49)

Despejando se obtiene:

I(s) =C

sRC + 1(7.50)

Si aplicamos el Teorema del Valor Inicial (vea Apendice D), tenemos que:

i(0+) = lıms→∞

sI(s) = lıms→∞

sC

sRC + 1=

1

R(7.51)

Evidentemente esta es diferente a la corriente inicial, dada en t = 0−. Estose comprueba observando que la transformada inversa de I(s) es discontinua ent = 0:

i(t) = L−1 I(s) = L−1

1/R

s+ 1/RC

=1

Re−t/RCµ(t) (7.52)

222

Consideremos ahora el caso en que la entrada es una senal arbitraria.

Ejemplo 7.6. Consideremos el mismo sistema del Ejemplo 7.5, pero en queahora la entrada es un pulso definido como:

u(t) =

1 ; 0 ≤ t ≤ 10

0 ; t > 10(7.53)

Las condiciones iniciales son iguales a cero, por simplicidad. Note que nohabrıa problemas en considerar el efecto de estas, ya sea incluyendolas en eldesarrollo mediante transformada de Laplace, o bien, dada la linealidad del sis-tema, se calculando su efecto en la salida por separado y sumandolo al efecto dela senal de entrada.

La funcion de transferencia del sistema, si se aplica transforma de Laplace,es:

7.4. RESPUESTA A CONDICIONES INICIALES Y SENALES ARBITRARIAS.169

H(s) =Y (s)

U(s)=

1

s2 + s+ 1(7.54)

La transformda de Laplace del pulso u(t) puede obtenerse sin problema, yaque esta funcion se expresa en terminos de escalones y se puede utilizar lapropiedad de corrimiento temporal, que se traduce en una exponencial en s (vea(D.23) en el Apendice D):

Lf(t− t0)µ(t− t0) = e−st0F (s)

Por tanto:

u(t) = µ(t) − µ(t− 10) ⇒ U(s) =1

s− e−10s 1

s(7.55)

Luego, la transformada de la salida es:

Y (s) = H(s)U(s) =1 − e−10s

s(s2 + s+ 1)(7.56)

Note que para obtener la inversa, dado que la exponencial solo representa uncorrimiento en el tiempo, podemos concentrarnos solo en la parte racional deY (s), para luego aplicarle dicha traslacion temporal. Es decir, consideremos:

F (s) =1

s(s2 + s+ 1)=

1

s− s+ 1

s2 + s+ 1=

1

s− s+ 1

2

(s+ 12 )2 + 3

4

− 1√3

√3

2

(s+ 12 )2 + 3

4(7.57)

Donde se observa que tenemos la forma de la transformada de un escalon,del seno y del coseno, estas ultimas con un corrimiento en la variable s. Estecorrimiento en s corresponde a una exponencial en el tiempo (Apendice D), porlo tanto:

f(t) =

[

1 − e−12t

(

cos(√

32 t)

+1√3

sen(√

32 t))]

µ(t) (7.58)

Luego la salida es:

y(t) = L−1(1 − e−10s)F (s)

= f(t) − f(t− 10) (7.59)

Es decir:

y(t) =

[

1 − e−12t

(

cos(√

32 t)

+1√3

sen(√

32 t))]

µ(t)

−[

1 − e−12(t−10)

(

cos(√

32 (t− 10)

)

+1√3

sen(√

32 (t− 10)

))]

µ(t− 10)

(7.60)

En la Figura 7.5 se muestra el pulso de entrada u(t) y la salida del sistema,y(t), ante esta excitacion.


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.5

0

0.5

1

1.5

t [seg]

u(t)

− y(

t)

Figura 7.5: Pulso de entrada y respuesta del sistema del ejemplo 7.6.

Para finalizar, veamos un caso en que la transformada de Laplace permite,de manera similar a la transformada de Fourier, analizar la respuesta de unsistema a una senal sinusoidal.

Ejemplo 7.7. Consideremos nuevamente el sistema del Ejemplo 7.4 definidopor su EDS:

d 2y(t)

dt 2+d y(t)

dt+ y(t) = u(t) (7.61)

Supongamos que como entrada al sistema se elige una senal sinusoidal defrecuencia ω, por ejemplo:

u(t) = cos(ωt) (7.62)

Con esto y con ayuda de Maple podemos llegar de manera directa a unaexpresion para la transformada de Laplace de la salida y aplicarle transformacioninversa:

Maple

>with(inttrans):

>assume(omega>0):

>U(s):=laplace(cos(omega*t),t,s);

>H(s):=1/(s^2+s+1);

>Y(s):=H(s)*U(s);


7.5. ESTABILIDAD 171


estabilidad

U(s) =s

s2 + ω2(7.63)

H(s) =1

s2 + s+ 1(7.64)

Y (s) =s

s2 + ω2· 1

s2 + s+ 1(7.65)

y(t) =1 − ω2

−ω2 + 1 + ω4cos(ωt) +

ω

−ω2 + 1 + ω4sen(ωt) + modos naturales

(7.66)

Los modos naturales del sistema decaen a cero cuando t → ∞, por tantopodemos concentrarnos solo en la componente particular de la salida. Las com-ponentes seno y coseno pueden combinarse en un solo termino:

y(t) = A(ω) cos (ωt+ φ(ω)) + modos naturales (7.67)

En que A(ω) y φ(ω) son la amplitud y angulo de desfase, respectivementedefinidos por:

A(ω) =1√

−ω2 + 1 + ω4(7.68)

φ(ω) = − arctan

−ω1 − ω2

(7.69)

En estas expresiones se aprecia como la amplitud y la fase de la senal desalida dependen de la frecuencia ω, es decir, corresponden a la respuesta enfrecuencia del sistema. Esto se grafica en la Figura 7.6, con los comandos deMatlab :

Matlab

>>H=tf(1,[1 1 1]); w=[0:0.01:5];

>>h=freqresp(H,w);hw=h(:);

>>subplot(2,1,1);plot(w, abs(hw));

>>subplot(2,1,2);plot(w, unwrap(angle(hw))*180/pi);

222

7.5. Estabilidad

Hasta aquı hemos visto que la respuesta de un sistema que tiene una funcionde transferencia H(s) es de la forma:


multiplicidad! polos

lımite de estabilidad

SPI

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Mag

nitu

d

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−200

−150

−100

−50

0

Fase

Frecuencia [rad/s]

Figura 7.6: Magnitud y fase de la respuesta en frecuencia del sistema en Ejemplo7.7.

Y (s) = H(s)U(s) +

p∑

k=1

nk∑

i=1

βki(s− λk)i

(7.70)

Donde el valor de cada βki depende de las condiciones iniciales, y dondehemos asumido que cada polo ubicado en s = λk, tiene multiplicidad nk. Estasuposicion implica a su vez que n1 + n2 + . . .+ np = n.

Recordando la definicion de estabilidad, un sistema es estable si cualquierentrada acotada produce una salida tambien acotada, para cualquier condicioninicial acotada. Si observamos la ecuacion (7.70) podemos afirmar que la condi-cion necesaria y suficiente para que el sistema sea estable es que los polos deeste, en el denominador de las fracciones del segundo termino de la ecuacion,den origen a senales que decaigan exponencialmente. Esto se traduce en que lospolos del sistema deben tener parte real estrictamente negativa, es decir, debenestar ubicados sobre el semiplano izquierdo (SPI) abierto del plano com-plejo s . Es decir, para sistemas continuos el lımite de estabilidad en un planocomplejo s en que se ubican sus polos es el eje imaginario .

Ejemplo 7.8. Consideremos el sistema del ejemplo 7.1. Los polos de su funcionde transferencia estan ubicados en s = −2 y s = 0. Estos no estan en el SPIabierto (el 0 esta en el SPI cerrado). Por tanto el sistema no es estable. Se


Hurwitz!polinomiodeja al lector el verificar, usando la transformada de Laplace, que una entradaconstante (diferente de cero) produce una salida que crece indefinidamente.

222

7.5.1. Analisis de polinomios

La discusion anterior pone de manifiesto la importancia de conocer la ubi-cacion de los polos de un sistema, para establecer si se trata o no de un sis-tema estable. Sin embargo, el determinar la ubicacion exacta de las raıces de laecuacion:

A(s) = sn + an−1sn−1 + . . .+ a0 = 0 (7.71)

puede ser una tarea bastante engorrosa cuando n ≥ 3. Por esto en el analisis delpolinomio A(s), mas que determinar exactamente sus raıces, lo que nos interesaes poder asegurar si estas tienen o no parte real estrictamente negativa. Paraesto, consideremos el polinomio p(s) definido como:

p(s) = sn + an−1sn−1 + . . .+ a1s+ a0 (7.72)

donde ai ∈ R.El problema a estudiar se refiere a determinar si este polinomio tiene o no

todas sus raıces con parte real estrictamente negativa, o de manera equivalente,si tiene o no raıces con parte real mayor o igual que cero. La idea puede nat-uralmente ser resuelta calculando las n raıces de p(s). Sin embargo en muchasaplicaciones resulta de especial interes estudiar la relacion entre los coeficientesdel polinomio con la ubicacion de sus raıces.

Los polinomios que tienen todas sus raıces en el semiplano izquierdo cerradose conocen como polinomios Hurwitz. Si sus raıces tienen parte real estric-tamente negativa, es decir, se ubican sobre el SPI abierto, los denominaremosestrictamente Hurwitz .

De la ecuacion (7.72) podemos observar interesantes propiedades que porsupuesto son validas para los polinomios en general. Las que nos interesan eneste caso son aquellas que nos entregan informacion sobre el signo de la partereal de las raıces, como las que se detallan a continuacion:

Propiedad 1 El coeficiente an−1 cumple con:

an−1 = −n∑

i=1

λi (7.73)

donde λ1, λ2, . . .λn son las raıces de p(s).

Esta propiedad es directa de notar que el polinomio p(s) puede escribirsecomo:

p(s) =

n∏

i=1

(s− λi) (7.74)


entonces, al expandir el producto (7.74) y observar el coeficiente que acom-pana a la potencia (n− 1)-esima de s, se obtiene (7.73).

Propiedad 2 El coeficiente a0 cumple con:

a0 = (−1)nn∏

i=1

λi (7.75)

Esta propiedad tambien se obtiene de expandir el producto (7.74) y ob-servando el termino constante.

Propiedad 3 Si todas las raıces de p(s) tienen parte real negativa, entonces esnecesario que ai > 0, ∀i ∈ 0, 1, . . . , n− 1.Para demostrar esta propiedad procedemos de la siguiente forma:

a) Las raıces de p(s) pueden ser reales o complejas, y si complejas debenaparecer en pares conjugados (dado que p(s) es un polinomio concoeficientes reales).

b) En base a lo anterior, y sin perdida de generalidad, podemos suponerque existen n1 raıces reales y n2 pares de raıces complejas. Por lotanto n1 + 2n2 = n.

c) Si todas las raıces tienen parte real negativa, entonces se pueden ex-presar como:

λi = −|αi| i = 1, 2, . . . , n1 (7.76)

λn1+i = λ∗n1+n2+i = −|σi| + jωi i = 1, 2, . . . , n2 (7.77)

d) De esta forma, tenemos que

p(s) =

n1∏

i=1

(s+ |αi|)n2∏

l=1

(s+ |σl|)2 + ω2l (7.78)

donde, la segunda productoria ha agrupado, en factores cuadraticos,los pares conjugados.

e) De (7.78) se observa que p(s) corresponde al producto de polinomios deprimer y segundo orden, los que tienen todos sus coeficientes realesy positivos. Como los coeficientes de p(s) son suma de productos delos coeficientes de estos polinomios de primer y segundo orden, lapropiedad queda demostrada.

Note que esta propiedad es necesaria para que p(s) sea un polinomio estri-camente Hurwitz, pero no suficiente, excepto en el caso en que n = 1y n = 2.

Propiedad 4 Si alguno de los coeficientes es negativo o cero, entonces unao mas raıces de p(s) tiene parte real negativa o cero. Esta propiedad sededuce directamente de la propiedad anterior.


Routh!algoritmoAdemas de los criterios que nos entregan las propiedades anteriores, uno delos metodos clasicos para determinar la naturaleza Hurwitz de un polinomio esel algoritmo de Routh, tambien conocido como algoritmo o criterio de Routh-Hurwitz, que a continuacion se explica.

Consideremos un polinomio p(s) de grado n, definido como

p(s) =

n∑

i=0

aisi (7.79)

sn γ0,1 γ0,2 γ0,3 γ0,4 . . .

sn−1 γ1,1 γ1,2 γ1,3 γ1,4 . . .

sn−2 γ2,1 γ2,2 γ2,3 γ2,4 . . .

sn−3 γ3,1 γ3,2 γ3,3 γ3,4 . . .

sn−4 γ4,1 γ4,2 γ4,,3 γ4,4 . . ....

......

......

s2 γn−2,1 γn−2,2

s1 γn−1,1

s0 γn,1

Cuadro 7.2: Arreglo de Routh

El algoritmo de Routh se basa en la construccion del arreglo numerico que semuestra en la Tabla 7.2. donde los terminos de las dos primeras filas se calculansegun:

γ0,i = an+2−2i; i = 1, 2, . . . ,m0 (7.80)

γ1,i = an+1−2i; i = 1, 2, . . . ,m1 (7.81)

con m0 = (n+ 2)/2 y m1 = m0 − 1 para n par y m1 = m0 para n impar.

Mientras que los terminos de la tercera fila en adelante se calculan segun

γk,j =γk−1,1 γk−2,j+1 − γk−2,1 γk−1,j+1

γk−1,1; k = 2, . . . , n j = 1, 2, . . . ,mj

(7.82)

donde mj = maxmj−1,mj−2 − 1, mientras que se asigna valor cero al coefi-ciente γk−1,j+1, cuando no esta definido en el arreglo de Routh 7.2.

Una vez construıdo el arreglo de Routh podemos aplicar el siguiente resul-tado:


Dado un polinomio p(s) como el definido en (7.79) y el arreglo asociado ael 7.2, entonces el numero de raıces de p(s) con parte real mayor que ceroes igual a numero de cambios de signo en la primera columna del arreglo.

Ejemplo 7.9. Para ilustrar el uso del algoritmo de Routh-Hurwitz consideremosel siguiente sistema:

d 3y(t)

dt 3+d 2y(t)

dt 2+ 2

d y(t)

dt+ 3y(t) = u(t) (7.83)

Su funcion de transferencia esta dada por:

H(s) =Y (s)

U(s)=

1

s3 + s2 + 2s+ 3(7.84)

Por tanto, para la estabilidad debemos analizar las raıces del polinomio de-nominador:

p(s) = s3 + s2 + 2s+ 3 (7.85)

El arreglo de Routh en este caso es:

s3 1 2

s2 1 3

s1 2−31 = −1 0

s0 3 0

Donde se observa de inmediato que en la primera columna aparece un −1,por tanto existen raıces con parte real positiva. Lo que se puede confirmar, porejemplo, con ayuda de Matlab. Este permite obtener las raıces de un polinomiodados sus coeficientes, mediante el comando roots :

Matlab

>> roots([1 1 2 3])

ans =

0.1378 + 1.5273i

0.1378 - 1.5273i

-1.2757

222

7.6. POLOS, CEROS Y LA RESPUESTA TEMPORAL 177


fase mınima

ceros!fase no mınima

funcion de transferencia! estable

polos


7.6. Polos, ceros y la respuesta temporal

A continuacion examinaremos algunas propiedades fundamentales de los po-los y ceros de la funcion de transferencia de un sistema, y su influencia sobrelas caracterısticas de la respuesta de un sistema lineal.

Consideremos una funcion de transferencia de la forma general:

H(s) = K

∏mi=1(s− βi)

∏nl=1(s− αl)

(7.86)

donde αl ∈ C y βi ∈ C. Si suponemos que no hay valores de l y de i tales queαl = βi entonces, β1, β2, . . . , βm and α1, α2, . . . , αn son los ceros y los polos dela funcion de transferencia, respectivamente. El grado relativo, antes definido es

nr4= n−m.

Estaremos particularmente interesados en aquellos ceros ubicados en el ejeimaginario o en su cercanıa, y en aquellos polos ubicados en el semiplano derecho.Los polos y ceros ubicados en estas regiones juegan un rol fundamental en ladinamica del sistema.

Una clase especial de funcion de transferencia es aquella que tiene todos susceros y sus polos en el semiplano izquierdo (SPI) del plano complejo s . Tradi-cionalmente estas se denominan funciones de transferencia de fase mınima.Sin embargo, de aquı en adelante usaremos este nombre para referirnos simple-mente a funciones de transferencia sin ceros en el semiplano derecho (SPD),que tengan o no polos en el. Diremos que un cero tiene fase no mınima si seencuentra ubicado en el SPD cerrado, de otra forma se denominara cero de fasemınima. Si hablamos de una funcion de transferencia estable nos referimosa que todos sus polos se ubican sobre el SPI abierto; si decimos que inestable, esporque al menos uno de sus polos se encuentra en el SPD cerrado. Los polos ensi mismos tambien se pueden denominar estables o inestables, si se encuentrandentro o fuera del SPI abierto,respectivamente 4.

A continuacion examinaremos la influencia sobre la respuesta transiente deun sistema de los polos y ceros de su funcion de transferencia.

7.6.1. Polos

Como el lector recordara de sus cursos de matematicas, una funcion racionalsiempre puede descomponerse en fracciones parciales, tal es el caso tambien dela funcion de transferencia de un sistema en la variable s. Cada uno de losterminos de esta expansion contiene ya sea un polo real simple, un par de poloscomplejos conjugados o multiples combinaciones de polos repetidos. Por tanto,para conocer el efecto de los polos en la respuesta transiente de un sistemabasta conocer el efecto ocasionado por los polos de primer y segundo orden ysu interaccion.

4En ocasiones, por abuso de lenguaje, los ceros de fase no mınima tambies se les denominaceros inestables, dado que se encuantran al la region del plano s en que los polos son inestables.


polos!rapidos

polos!dominantes

polos!lentos

Un polo de primer orden contribuye a la descomposicion en fracciones par-ciales, en general, con un termino de la forma:

H1(s) =K1

τ1s+ 1(7.87)

Mientras que un polo de segundo orden contribuye a la expansion con untermino:

H2(s) =K2

(s

ωn

)2

+ 2ψ

(s

ωn

)

+ 1

(7.88)

Cada polo genera un termino especıfico que coincide justamente con cada unode los modos naturales en la respuesta del sistema a un impulso en la entrada.Estos modos estan presentes tambien en la respuesta a cualquier entrada alsistema (excepto en casos muy excepcionales cuando hay coincidencia de poloscon ceros). El tipo de modo natural asociado a cada polo de un sistema dependede la ubicacion de este sobre el plano complejo s , exactamente equivalente a laubicacion de cada frecuencia natural λ sobre un plano complejo, como se vio en elCapıtulo 3 3. Para ilustrar esto podemos apreciar en la Figura 7.7 las diferentesrespuestas a impulso de un sistema que tiene por funcion de transferencia:

H1(s) =1

s− p(7.89)

para los polos ubicados sobre el eje real, y

H2(s) =1

(s− (a+ bj)

)(s− (a− bj)

) (7.90)

para los polos complejos, que aparecen emparejados con su conjugado.Tanto la ubicacion en el plano complejo de los polos de un sistema, como las

caracterısticas por esta determinada, estan en directa relacion con las frecuenciasnaturales que se pueden obtener a partir de la EDS del sistema.

En virtud de estas analogıas es que nos referiremos, en general, como polosrapidos a aquellos que se encuentran mas alejados del lımite de estabilidad quelos demas polos del sistema. Esto es equivalente que considerar que la respuestatransiente asociada a estos polos desaparece mas rapido que aquella asociadaa los otros polos, tal como puede apreciarse en la Figura 7.7 al comparar larespuesta a impulso de un sistema con un polo en p2 = −4 con las demas.Por otro lado llamaremos polos dominantes o polos lentos a aquellos que seencuentran en el SPI abierto, pero mas cercanos al lımite de estabilidad que elresto de los polos de sistema. Esto equivale a decir que el transiente asociadoa los polos dominantes decae mas lento que los demas modos naturales, comotambien puede apreciarse en la figura 7.7, para el polo en p1.

Por ejemplo, si tenemos un sistema cuyos polos estan ubicados en (−1;−2±j6;−4;−5± j3), podemos decir que el polo dominante es −1 y los polos rapidosson los que se encuentran en −5 ± j3.


p1 p0p2 p3 p4

s

Figura 7.7: Respuesta a impulso de diferentes sistemas de acuerdo a la ubicacionde sus polos en el plano complejo


ceros

controlabilidad

observabilidad

7.6.2. Ceros

En general, el efecto de la ubicacion de los polos en la dinamica de unsistema puede entenderse sin demasiada dificultad dada su directa relacion conla estabilidad y las caracterısticas generales de la respuesta del sistema. De hechoen la literatura sobre sistemas y su estabilidad se puede encontrar mucha masinformacion que la aquı detallada.

Por el contrario, el efecto de los ceros en el analisis del comportamiento deun sistema a menudo ha sido subestimado. Sin embargo, en los ultimos anos seha retomado el estudio del efecto de los ceros sobre la respuesta de un sistema,que ahora son reconocidos por su importancia, por ejemplo, al definir criteriosde diseno de sistemas de control.

Es asi como, mientras que los polos de un sistema estan asociados a lapresencia de sus modos naturales aislados, los ceros reflejan de algun modo lainteraccion entre estos, por ejemplo, en el caso en que la salida de un sistemaesta formada por la suma de modos naturales diferentes. Ademas, a pesar quela ubicacion de los polos determina los modos naturales de un sistema, es laubicacion de los ceros la que determina la proporcion en que los modos aparecencombinados en la salida. En estas combinaciones los modos naturales tomandiferente fuerza, pudiendo ser su efecto, en algunos casos, casi imperceptible.De hecho, la ubicacion relativa de polos y ceros tiene directa relacion con losconceptos de observabilidad y controlabilidad, como se detalla en el Capıtulo10.

A continuacion se presenta un ejemplo ilustrativo.

Y (s)U(s)

αK

s + 2

K

s + 1

Figura 7.8: Sistema con interaccion aditiva entre dos estados

Ejemplo 7.10. Consideremos el sistema de la Figura 7.8, cuya funcion detransferencia sistema esta dada por:

Y (s) =

(K

s+ 1+

αK

s+ 2

)

U(s) (7.91)

G(s) = K(1 + α)s+ (2 + α)

(s+ 1)(s+ 2)(7.92)


cancelacion!cuasi-

ceros!rapidos

ceros!lentos

Este sistema tiene sus polos en s = −1,−2 y un cero en s = −(2+α)1+α . Es

decir, la ubicacion esta directamente relacionada con el peso de cada uno de losmodos naturales en la respuesta del sistema, por ejemplo, a un impulso unitarioen la entrada:

y(t) = K(e−t + αe−2t) (7.93)

Si tomamos un valor pequeno, α = 0,1, la funcion de transferencia es:

G(s) = 1,1K(s+ 1,909)

(s+ 1)(s+ 2)(7.94)

En esta puede observarse la cercanıa del cero al polo en s = −2. La respuestaa impulso sera en este caso:

y(t) = 1,1K(e−t + 0,1e−2t) (7.95)

En que se aprecia la pequena magnitud con que aparece el modo natural masrapido. Es decir, el cero a medida que se acerca al polo en s = −2 produceuna cuasi-cancelacion , que sera total cuando α = 0. En este ultimo casodefinitivamente no aparece este modo natural en la salida del sistema, ya que elpolo ha sido cancelado, y la funcion de transferencia se ha reducido a:

G(s) =K

(s+ 1)(7.96)

Invitamos al lector a estudiar el caso analogo cuando α alcanza valores muygrandes y cual es su efecto sobre el otro modo natural del sistema. Ademaspuede analizarse que sucede con el sistema cuando el parametro α toma valoresnegativos. ¿Que pasa si α = −1 o α = −2 ?

222

Al igual como antes se definieron los polos rapidos y lentos de un sistema,pueden definirse de manera analoga los ceros rapidos y lentos. Ceros rapidosson aquellos que estan mas alejados del lımite de estabilidad que los polos dom-inantes del sistema, por otro lado los ceros lentos son aquellos que se encuentranmas cerca del lımite de estabilidad que los polos dominantes del sistema. Paraapreciar el efecto de los ceros presentamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 7.11. Efecto de los ceros en la respuesta a escalon.Considere un sistema cuya funcion de transferencia es:

H(s) =−s+ c

c(s+ 1)(0,5s+ 1)(7.97)

Esta estructura de la funcion de transferencia permite estudiar el efecto dela ubicacion de un cero en la respuesta del sistema sin alterar la ubicacion delos polos ni la ganancia a continua.

En este sistema observamos dos modos naturales: e−t y e−2t. El primerode estos estara casi ausente de la respuesta a medida que c se acerca a −1.


undershoot

contrarespuesta

respuesta!inversa

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−6

−4

−2

0

2

4

6

Tiempo [s]

Res

pues

ta

c=−0.1

c=0.1

c=−0.25

c=0.25

c=10

c=−10

Figura 7.9: Efecto de la ubicacion de los ceros sobre la respuesta a escalon

Algo analogo sucede para el segundo modo a medida que c se acerca a −2. Estasituacion de cuasi cancelaciones tambien fue mencionada en el ejemplo anterior

La situacion mas general se aprecia en la figura 7.9. En esta, se indica elvalos de c al lado de cada una de las respuestas graficadas. Podemos apreciar queun cero rapido, i.e. |c| 1, no afecta significativamente la respuesta transiente.Cuando el cero es lento y estable obtenemos un gran overshoot, mientras quecuando es lento, pero inestable, el undershoot es el que crece en magnitud. Elefecto de los ceros puede parecer demasiado crıtico en este ejemplo, en que ambossuperan el 400%, sin embargo, el lector puede verificar que puede ser aun mayorsi el cero es mas cercano el origen.

222

7.6.3. Respuesta inversa o contrarespuesta (undershoot)

La Figura 7.2 en la pagina 165 sugiere que existen casos en los que, en lapresencia de una excitacion mayor que cero, la respuesta del sistema se hacenegativa durante algun lapso de tiempo no despreciable. Este comportamientotambien aparece en la Figura 7.9. Un resultado muy fuerte es el siguiente.

Lema 7.1. Considere un sistema lineal estable con funcion de transferenciaH(s), y con un cero real en s = c, donde c > 0, entonces la respuesta a unescalon positivo se hace negativa durante uno o mas lapsos no despreciables.Demostracion

La respuesta del sistema esta dada por:

Y (s) = H(s)K

s; K > 0 (7.98)

Entonces:

H(s)K

s=

∫ ∞

0

y(t)e−st dt; <s > 0 (7.99)

Note que la region de convergencia queda determinada, por un lado, por elhecho que el sistema es estable, por lo cual la transformada de h(t) esta bien


factor de amortiguamiento

frecuencia natural!no amortiguada

frecuencia natural!amortiguada

definida para <s ≥ 0 y, por otro lado, por el hecho que la respuesta a unescalon esta bien definida para <s > 0. En consecuencia, la region de conver-gencia para y(t) es <s > 0.

Si ahora, en la ecuacion (7.99), hacemos s = c (note que, por ser c > 0,esta en la region de convergencia) obtenemos, aplicando el hecho que H(c) = 0:

H(c)K

c=

∫ ∞

0

y(t)e−ct dt = 0 (7.100)

Como la integral es cero, y e−ct > 0, ∀t, necesariamente y(t) debe ser nega-tiva en uno o mas intervalos de tiempo.

222

El lema precedente justifica y asegura la presencia de undershoots, como elsugerido en la Figura 7.2 en la pagina 165. Sin embargo, este comportamientoinverso se puede manifestar en diferentes formas, tal como ilustra la Figura 7.10.

0 5 10 15−0.5

0

0.5

1

Tiempo [s]

Res

pues

ta a

esc

alón

0 2 4 6−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo [s]

Res

pues

ta a

esc

alón

Figura 7.10: Distintas formas de respuesta inversa

7.6.4. Sistema canonico de segundo orden

Para el caso de un par de polos complejos conjugados, es usual estudiar unsistema canonico de segundo orden con la funcion de transferencia:

H(s) =ω2n

s2 + 2ψωns+ ω2n

(7.101)

donde ψ (0 < ψ < 1) es conocido como el factor de amortiguamiento y ωn, comola frecuencia natural no amortiguada. Tambien definimos, para uso futuro, lafrecuencia natural amortiguada, ωd, como:

ωd = ωn√

1 + ψ2 (7.102)

Este sistema tiene dos polos complejos conjugados, s1 y s2, definidos por:


s1,2 = −ψωn ± jωd = ωne±j(π−β) (7.103)

donde β es el angulo definido por cosβ = ψ.Para este sistema, la transformada de Laplace de su respuesta a escalon

unitario esta dada por:

Y (s) =ω2n

(s2 + 2ψωns+ ω2n)s

=ω2n

[(s+ ψωn)2 + ω2d] s

(7.104)

Realizando una expansion en fracciones parciales se llega a:

Y (s) =1

s− s+ ψωn

(s+ ψωn)2 + ω2d

− ψωn(s+ ψωn)2 + ω2

d

(7.105)

=1

s− 1√

1 − ψ2

[√

1 − ψ2s+ ψωn

(s+ ψωn)2 + ω2d

− ψωd

(s+ ψωn)2 + ω2d

]

(7.106)

Aplicando, finalmente, la transformada de Laplace inversa obtenemos:

y(t) = 1 − e−ψωnt√

1 − ψ2sen(ωdt+ β) (7.107)

Las caracterısticas principales de esta respuesta aparecen in la Figura 7.11,donde y∞ = 1 y Td = 2π/ωd.

jω

d

ωn

−ψωn

Td

y∞

y∞+M

p

tr t

p

−jωd

β

Figura 7.11: Localizacion de los polos y respuesta a escalon unitario de un sis-tema canonico de segundo orden.

Podemos tambien calcular los indicadores descritos en la Figura 7.2 en lapagina 165.

Tiempo de levantamiento. Para este caso, usamos kr = 1 (refierase a laFigura 7.2 en la pagina 165) obteniendo:


e−ψωntr√

1 − ψ2sen(ωdtr + β) = 0 (7.108)

De aquı se llega a:

tr =π − β

ωd(7.109)

Sobrerespuesta (overshoot). La maxima sobrerespuesta, Mp, y el instanteen el cual este ocurre, tp, pueden ser calculados derivando y(t), y luegoigualando a cero esta derivada:

dy(t)

dt= − e−ψωnt

√

1 − ψ2[−ψωn sen(ωdt+ β) + ωd cos(ωdtr + β)] (7.110)

Ası, tenemos que ωdtp = π y el instante en que ocurre la sobrerespuesta,tp, es:

tp =π

ωd=Td2

(7.111)

A su vez, la magnitud de la sobrerespuesta esta dada por:

Mp = y(tp) − 1 = − e−πψωn

ωd

√

1 − ψ2sen(π + β) = e

− πψ√1−ψ2 (7.112)

Las expresiones anteriores sugieren que un valor pequeno para ψ generaun tiempo de levantamiento pequeno, al costo de una gran sobrerespuesta.Tambien podemos apreciar que la velocidad de decaimiento y, como con-secuencia, el tiempo de asentamiento, estan determinados por el productoψωn (corresponde a la magnitud de la parte real de los polos).

Aunque este sistema canonico parece ser un caso muy particular, ocurre quecon frecuencia, y en distintas aplicaciones, el sistema bajo estudio esta dominadopor un par de polos complejos conjugados. Aunque las formulas desarrolladaspara calcular los indicadores de la respuesta a escalon no son aplicables a sis-temas no canonicos, los conceptos asociados tiene igual validez.



Problema 7.1. Determine la transformada de Laplace de las siguientes fun-ciones:

(i) y(t) = A cos(ωt+ φ)

(ii) y(t) = te−at , en que a > 0

(iii) y(t) =

1 ; 0 < t < 1

2 − t ; 1 ≤ t < 2

−3 + t ; 2 ≤ t < 3

0 ; t ≥ 3

(iv) y(t) =1

2t

Problema 7.2. Para los siguientes sistemas:

(i)d 2y(t)

dt 2+d y(t)

dt− 6y(t) = u(t)

(ii)d 3y(t)

dt 3+ 3

d 2y(t)

dt 2+d y(t)

dt+ 3y(t) =

d u(t)

dt− u(t)

(iii)d 2y(t)

dt 2+d y(t)

dt− 6y(t) = u(t)

(iv)d 2y(t)

dt 2+ 16

d y(t)

dt+ 100y(t) = 100u(t)

7.2.1 Determine su funcion de transferencia,

7.2.2 Determine si son o no estables,

7.2.3 Determine y grafique su respuesta a impulso, y

7.2.4 Determine y grafique su respuesta a escalon.

Problema 7.3. Considere un sistema definido por su ecuacion diferencial:

d 2y(t)

dt 2+d y(t)

dt+ y(t) =

d u(t)

dt+ 3u(t)

7.3.1 Determine la funcion de transferencia del sistema.

7.3.2 Determine la salida del sistema a entrada cero y condiciones inicialesy(0) = 1 y y(0) = −1. Grafique.

7.3.3 Determine la salida del sistema si la entrada es u(t) = µ(t) − µ(t − 2).Grafique.


Problema 7.4. Para el sistema:

d 2y(t)

dt 2+ 7

d y(t)

dt+ 10y(t) = α

d u(t)

dt+ βu(t)

7.4.1 Determine condiciones sobre α y β de manera que en la respuesta aimpulso aparezca solo el modo natural dominante.

7.4.2 Si u(t) = 0, α = 1 y β = 1 determine la condiciones iniciales de maneraque el la respuesta homogenea solo aparezca el modo natural dominante.

7.4.3 Repita los dos puntos anteriores, pero para el modo rapido del sistema.

Problema 7.5. Considere el circuito de la Figura 7.12.

CL

Rvc(t)

+

e(t)

Figura 7.12: Circuito RLC

7.5.1 Determine la funcion de transferencia considerando como entrada la fuentede voltaje e(t) y como salida el voltaje en el condensador vC(t)

7.5.2 Si R = 1000 [Ω], C = 1000 [µF ] y L = 0,1 [H], determine la respuesta aun escalon de 5 [V ] en e(t).

Problema 7.6. Se sabe que la respuesta de un sistema lineal a un escalonunitario en su entrada (con condiciones iniciales iguales a cero) esta dada por:

g(t) = (2 − 2e−4t + te−4t)µ(t)

Determine la funcion de transferencia del sistema.

Problema 7.7. Considere el siguiente modelo no lineal:

d 2y(t)

dt 2+ [2 + 0,1u(t)2]

d y(t)

dt+ 6y(t) = u(t) + 0,1e−u(t)

Linealice el sistema en torno a un punto de operacion (uQ,yQ), determinesu funcion de transferencia y analice la evolucion de los polos cuando uQ ∈[−0,5, 0,5].


Problema 7.8. Considere la siguiente funcion de trasferencia de un sistema:

H(s) =s2 + 13s+ 30

s3 + 4s2 − 7s− 10

7.8.1 Haga un esquema con la ubicacion de todos los polos y ceros del sistemaen el plano complejo s, clasificandolos de acuerdo a su velocidad (lentos yrapidos).

7.8.2 Determine la respuesta del sistema si se somete a un impulso unitario enla entrada.

7.8.3 Determine la salida del sistema si las condiciones iniciales son y(0) = 1,y(0) = 0 e y(0) = −2.

Problema 7.9. Considere la siguiente funcion de transferencia de un sistemaque depende de un parametro K ≥ 0:

G(s) =K(s+ 1)

s2 − s+ 1 +K(s+ 1)

7.9.1 Determine para que rango de valores del parametro K los el sistema esestable.

7.9.2 Haga un esquema en el plano complejo de como varıa la ubicacion de lospolos al variar el parametro K (por ejemplo, para K = 0, 0,5, 1, 2 ).

7.9.3 Para cada uno de los valores de K considerados en 7.9.2 determine ygrafique la respuesta del sistema a un escalon unitario (con condicionesiniciales iguales a cero).

Problema 7.10. Dado el sistema definido por su funcion de transferencia

G(s) =−s+ b2

s2 + bs+ b2

7.10.1 Determine la respuesta del sistema si la entrada es un impulso unitarioy las condiciones iniciales son cero.

7.10.2 Determine la respuesta del sistema a un escalon unitario, con condi-ciones iniciales cero.

7.10.3 Determine los parametros de la respuesta a escalon de la Tabla 7.1, yverifıquelos graficando la simulacion para algunos valores del parametro b.


Problema 7.11. Determine la respuesta e escalon de los siguientes sistemasdefinidos por su funcion de tranferencia y con condiciones iniciales cero, ygrafique para algunos valores de los parametros a, b, c,K > 0

(i) G1(s) =K(−s+ a)

(s+ a)(s+K)

(ii) G2(s) =K(−s+ a)(−s+ b)

(s+ a)(s+ b)(s+K)

(iii) G3(s) =K(−s+ a)(−s+ b)(−s+ c)

(s+ a)(s+ b)(s+ c)(s+K)

¿Que puede decir del efecto de los ceros sobre la respuesta del sistema?

Problema 7.12. Una forma de verificar el grado relativo de la funcion detranferencia de un sistema es a traves de su respuesta a escalon. Demuestre quesi p(t) es la respuesta a un escalon de un sistema con funcion de transferenciaG(s), entonces:

dp(t)

dt

∣∣∣t=0

= 0 ⇐⇒ grado relativo de G(s) ≥ 2


transformada Zeta|textbf

Zeta!transformada

transformada Zeta!inversa

Capıtulo 8

Analisis bajo excitacionesarbitrarias. Latransformada Zeta

De los metodos disponibles para el estudio de los sistemas lineales dinamicos,de tiempo discreto, uno en particular resulta ser especialmente util: la Trans-formacion Zeta. Esta puede entenderse como el analogo, en tiempo discreto, dela transformada de Laplace estudiada en el Capıtulo 7.

Las principales ventajas de este metodo se pueden resumir en lo siguiente:

Permite el analisis de sistemas lineales estables e inestables.

Se puede aplicar a una vasta gamas de senales no acotadas.

Permite incluir las condiciones iniciales del sistema.

La ERS es transformada en una expresion algebraica, que resulta massimple de manejar.

8.1. Definicion de la transformada

Dada una senal de tiempo discreto f [t], 0 ≤ t <∞. La transformada Zetaasociada a f [t], y su transformada Zeta inversa estan definidas por:

Z f [t] = F (z) =

∞∑

t=0

f [t]z−t (8.1)

Z−1 F (z) = f [t] =1

2πj

∮

Γ

F (z)zt−1dz (8.2)

191

192CAPITULO 8. ANALISIS BAJO EXCITACIONES ARBITRARIAS. LA TRANSFORMADA ZETA


condiciones inicialesLa curva cerrada Γ sobre la que se calcula integral compleja que define la

transformada Zeta inversa (E.2) es tal que debe encerrar a todas las singulari-dades de Y (z) [17]. La fundamentacion de estas expresiones se desarrolla en elApendice E. Tambien se incluyen en ese apendice las propiedades mas impor-tantes de la Transformacion Zeta.

En este capıtulo nos concentraremos en el uso de esta transformacion parael analisis de sistemas lineales de tiempo discreto.

8.2. Aplicacion a sistemas lineales: la funcion detransferencia

Como ya hemos visto, una gran cantidad y variedad de sistemas de interes,pueden ser modelados en forma lineal. Esto se consigue linealizando la o las ecua-ciones de recursion que describen el comportamiento del sistema en el tiempo,como se vio en el Capıtulo 1, en torno a un punto de equilibrio o mas gen-eralmente, en torno a un punto de operacion. Para el caso de sistemas de unaentrada y una salida, el proceso de linealizacion desemboca en la obtencion deuna ecuacion de recursion, la ERS, de la forma general:

y[t] + an−1y[t− 1] + . . .+ a1y[t− n+ 1] + a0y[t− n] =


Cuando se aplica transformacion Zeta a la ERS se puede usar una de lapropiedades en el Apendice E, la que nos indica que la transformada de unasenal desplazada en el tiempo puede expresarse como:

Z y[t− t0] = Y (z)z−t0 + y[−1]z−t0+1 + . . .+ y[−t0 + 1]z−1 + y[−t0] (8.4)

Por tanto, si aplicamos esto a la ERS (8.3) tenemos que:

Y (z) + an−1z−1Y (z) . . .+ a1z

−n+1Y (z) + a0z−nY (z)

= bmU(z) + . . .+ b0z−mU(z) + f(z−1, xo) (8.5)

donde f(z−1, xo) es una funcion que depende de la variable z y de las n condi-ciones iniciales de la salida y[t], expresadas como y[−1], y[−2], . . . y[−n].

Es importante destacar que:

f(z−1, x0) = [p(z−1)]Txo (8.6)

donde p(z−1) es un vector que contiene polinomios en z−1 y xo es un vectorque contiene las condiciones iniciales ya mencionadas. Esta estructura es unaexpresion de la linealidad del sistema (homogeneidad y superposicion respectode las condiciones iniciales).


fracciones parcialesNota 8.1. Note tambien que se ha supuesto que u[−1] = u[−2] = . . . =u[−m] = 0. Esto no es restrictivo, porque siempre es posible encontrar una se-cuencia de entrada u[t], no nula ∀t < −m, tal que y[t] satisfaga las condicionesiniciales establecidas.

222

Para ilustrar estas ideas, consideramos un ejemplo en donde ademas analizare-mos algunas alternativas para el calculo de la transformacion inversa.

Ejemplo 8.1. Considere un sistema con la ERS:

y[t] − 0, 7y[t− 1] + 0, 1y[t− 2] = 0, 8u[t− 1] (8.7)

Suponga que la entrada es un escalon unitario, es decir, u[t] = 1, ∀t ≥ 0, yque las condiciones iniciales son y[−1] = 2 e y[−2] = −1. Nos interesa calcularla evolucion de la salida y[t], ∀t ≥ 0.Solucion

Aplicamos transformada Zeta a la ERS, obteniendo:

Y (z) − 0, 7(z−1Y (z) + y[−1]

)+ 0, 1

(z−2Y (z) + z−1y[−1] + y[−2]

)

= 0, 8z−1U(z) (8.8)

Esto lleva a:

Y (z) =0, 8z−1

1 − 0, 7z−1 + 0, 1z−2U(z) +

(0, 7 − 0, 1z−1)y[−1] − 0, 1y[−2]

1 − 0, 7z−1 + 0, 1z−2(8.9)

Esto indica que, para este ejemplo:

f(z−1, xo) = [p(z−1)]Txo =[0, 7 − 0, 1z−1 −0, 1

][y[−1]y[−2]

]

(8.10)

Reordenando de manera de obtener polinomios en z en vez de polinomios enz−1, y reemplazando las condiciones iniciales, se llega a:

Y (z) =0, 8z

z2 − 0, 7z + 0, 1U(z)

︸︷︷︸

Yu(z)

+1, 5z2 − 0, 2z

z2 − 0, 7z + 0, 1︸︷︷︸

Yx(z)

(8.11)

donde Yu(z) e Yx(z) denotan las transformadas de la respuesta a entrada concondiciones iniciales iguales a cero y de la respuesta a condicion inicial, conentrada cero, respectivamente.

De manera de hacer mas simple el calculo de la transformada Zeta inversa,y al igual que en el caso de la transformada de Laplace (Capıtulo 7), usamos laexpansion en fracciones parciales:


Yu(z) =0, 8z

(z − 0, 5)(z − 0, 2)

z

z − 1=

4

3(z − 0, 2)− 4

3(z − 0, 5)+

2

z − 1(8.12)

Ası, podemos utilizar la Tabla E.2 en la pagina 434 para obtener la trans-formacion inversa:

yu[t] =4

3

((0, 2)t−1 − (0, 5)t−1

)µ[t− 1] + 2µ[t− 1] ; ∀t ≥ 0 (8.13)

Analogamente:

Yx(z) =1, 5z2 − 0, 2z

(z − 0, 5)(z − 0, 2)=

3

2− 1

15(z − 0, 2)+

11

12(z − 0, 5)(8.14)

Aplicando transformacion inversa se llega a:

yx[t] =3

2δK [t] − 1

15(0, 2)t−1µ[t− 1] +

11

12(0, 5)t−1µ[t− 1] ; ∀t ≥ 0 (8.15)

Finalmente, la respuesta completa es y[t] = yu[t] + yx[t].Sin embargo, una forma alternativa para calcular y[t] es la siguiente:

Y (z) = z

[0, 8z

(z − 0, 5)(z − 0, 2)(z − 1)+

1, 5z − 0, 2

(z − 0, 5)(z − 0, 2)

]

(8.16)

= z

[5

15(z − 0, 2)− 5

6(z − 0, 5)+

2

z − 1

]

(8.17)

=z

3(z − 0, 2)− 5z

6(z − 0, 5)+

2z

z − 1(8.18)

Al aplicar ahora transformacion inversa se llega a

y[t] = 2 +1

3(0, 2)t − 5

6(0, 5)t ; ∀t ≥ 0 (8.19)

Lo que se ha hecho en esta segunda forma de calcular Z−1 es aprovecharla presencia de un factor z en el numerador. Ası las fracciones parciales puedendespues recibir de vuelta ese factor z, de modo que en la transformacion inversano aparece corrimiento en el tiempo, ya que, como puede verse en el ApendiceE:

Z−1

z

z − a

= atµ[t] 6= Z−1

1

z − a

= at−1µ[t− 1] (8.20)

El lector puede comprobar que ambas expresiones obtenidas previamente paray[t] son equivalentes y corresponden a la senal en la Figura 8.1.


0 5 10 150

0.5

1

1.5

2

2.5

3

t

y[t]

Figura 8.1: Salida y[t] para el Ejemplo 8.1.

222

Volvamos ahora a considerar la forma general de la ERS y supongamoscondiciones iniciales iguales a cero. Entonces tenemos que:

Y (z) = H(z)U(z) (8.21)

Donde se define la funcion:

H(z) =B(z)

A(z)(8.22)

que se forma con los polinomios que contienen los coeficientes de la ecuacion(8.3) original:

A(z) = zm(zn + an−1zn−1 + . . .+ a0) (8.23)

B(z) = zn(bmzm + bm−1z

m−1 + . . .+ b0) (8.24)

La definicion de los polinomios A(z) y B(z) acusa la presencia de una can-celacion. En realidad, se ha elegido esta forma para los polinomios para con-siderar los tres casos posibles: n < m, n = m y n > m. Para clarificar estoilustraremos los tres diferentes casos.

Ejemplo 8.2 (Caso n < m). Sea la ERS:

y[t] − 0, 8y[t− 1] + 0, 4y[t− 2] − 0, 1y[t− 3] = 0, 2u[t− 3] − 0, 7u[t− 4] (8.25)

En este caso, n = 3, con an−1 = a2 = −0, 8, an−2 = a1 = 0, 4 y an−3 = a0 =−0, 1 Por otro lado m = 4, con bm = b4 = 0, bm−1 = b3 = 0, bm−2 = b2 = 0,bm−3 = b1 = 0, 2 y bm−4 = b0 = −0, 7

Entonces, la funcion de transferencia es:

H(z) =z3(0, 2z − 0, 7)

z4(z3 − 0, 8z2 + 0, 4z − 0, 1)=

0, 2z − 0, 7

z(z3 − 0, 8z2 + 0, 4z − 0, 1)(8.26)


funcion de transferencia! tiempo discreto222

Ejemplo 8.3 (Caso n = m). Sea la ERS:

y[t] − 0, 8y[t− 1] + 0, 4y[t− 2] − 0, 1y[t− 3] = 0, 2u[t− 2] − 0, 7u[t− 3] (8.27)

En este caso tambıen n = 3, con an−1 = a2 = −0, 8, an−2 = a1 = 0, 4 yan−3 = a0 = −0, 1 Por otro lado m = 3, con bm = b3 = 0, bm−1 = b2 = 0,bm−2 = b1 = 0, 2, y bm−3 = b0 = −0, 7


H(z) =z3(0, 2z − 0, 7)

z3(z3 − 0, 8z2 + 0, 4z − 0, 1)=

0, 2z − 0, 7

z3 − 0, 8z2 + 0, 4z − 0, 1(8.28)

222

Ejemplo 8.4 (Caso n > m). Sea la ERS:

y[t] − 0, 8y[t− 1] + 0, 4y[t− 2] − 0, 1y[t− 3] = 0, 2u[t− 1] − 0, 7u[t− 2] (8.29)

En este caso nuevamente n = 3, con an−1 = a2 = −0, 8, an−2 = a1 = 0, 4 yan−3 = a0 = −0, 1 Por otro lado m = 2, con bm = b2 = 0, bm−1 = b1 = 0, 2 ybm−2 = b0 = −0, 7


H(z) =z3(0, 2z − 0, 7)

z2(z3 − 0, 8z2 + 0, 4z − 0, 1)=

z(0, 2z − 0, 7)

z3 − 0, 8z2 + 0, 4z − 0, 1(8.30)

222

En lo sucesivo, supondremos que los polinomios B(z) y A(z) son copri-mos, es decir, todos los factores comunes en H(z) han sido eliminados porcancelacion. Los grados de B(z) and A(z) seran redefinidos como m y nrespectivamente.

La funcion racional H(z) es la funcion de transferencia en el dominio Ze-ta. La representacion (8.22) es muy util para describir caracterısticas y propiedadesde un sistema tales como estabilidad y velocidad, ademas de entregar informa-cion para el diseno de sistemas de control, filtros y otras aplicaciones.

A continuacion repetiremos algunos conceptos ligados a la definicion de lafuncion de transferencia de un sistema. Son los mismos que para el caso de latransformacion de Laplace y su reiteracion esta orientada a enfatizar los aspectoscomunes existentes en el dominio del tiempo continuo y en el dominio del tiempodiscreto. Ası, definimos entonces los siguientes terminos.


funcion de transferencia!ceros

funcion de transferencia!polos

multiplicidad!polos


grado relativo

funcion de transferencia!estrictamente propia

funcion de transferencia!bipropia

funcion de transferencia!propia

polinomio caractrerıstico

(i) Las m raıces de la ecuacion B(z) = 0 son los ceros del sistema. Elloshacen ademas que H(z) = 0.

(ii) Las n raıces de la ecuacion A(z) = 0 son los polos del sistema. Ellos hacenademas que H(z) → ∞.

(iii) Si A(z) = 0 tiene nt raıces en z = λt, decimos que el polo λt tienemultiplicidad nt .

(iv) La diferencia de grado entre A(z) y B(z), es decir, m− n se denomina elgrado relativo del sistema.

(v) Si m < n decimos que el modelo es estrictamente propio. Esto implicaque el grado relativo del sistema es positivo.

(vi) Si m = n decimos que el modelo es bipropio. Esto implica que el gradorelativo del sistema es cero.

(vii) Si m ≤ n decimos que el modelo es propio .

Note que el polinomio A(z) corresponde al polinomio caracterıstico de laERS, multiplicado por z`, donde ` ∈ N tiene un valor que depende del casoespecıfico. De esta forma, el conjunto de los polos de H(z) incluye un conjuntode ` polos en el origen mas las frecuencias naturales que se pueden calcular dela ERS.

Estas definiciones nos ayudaran a apreciar la forma en que se relaciona lasalida de un sistema con su entrada, tal como pone en evidencia la definicion(8.22), pero la simplicidad reside en que la relacion se establece mediante lafuncion racional H(z), es decir, los desplazamientos temporales han desapareci-do. Si bien para llegar a esta relacion las condiciones iniciales se han supuestoiguales a cero, sabemos que en el caso de sistemas estables, su efecto se extingueexponencialmente en tiempo.

En forma similar a aquella que se utilizo en el analisis de Fourier, la fun-cion de transferencia puede ser definida en base a la respuesta a impulso, concondiciones iguales a cero. Si recordamos como se definio la funcion de transfer-encia H(z) al aplicar transformacion Zeta a la ERS del sistema (8.3), podemosescribir la salida del sistema segun la ecuacion (8.21). Se puede apreciar que sia ambos lados de esta expresion, se aplica transformacion Zeta inversa (vea laTabla E.1 en la pagina 433), tenemos que:

Y (z) = H(z)U(z) ⇐⇒ y[t] = h[t] ∗ u[t] (8.31)

En que:

h[t] = Z−1 H(z) (8.32)

Por lo tanto, podemos afirmar que:


delta de Dirac!en frecuencia

La funcion de transferencia H(z) de un sistema de tiempo discreto, definidaen (8.22), es igual a la transformada Zeta de la respuesta h[t] del sistemaa un Delta de Kronecter en la entrada, cuando las condiciones iniciales soncero.

A diferencia del caso de tiempo continuo, la funcion de transferencia H(z) essiempre una funcion racional en z. La existencia de un retardo puro, digamosde to unidades, implica simplemente la existencia de to polos en el origen.

La relacion entre la ERS, la respuesta a delta de Kronecker h[t] y la funcionde transferenciaH(z) se describe en la Figura 8.2. A esos vınculos se ha agregadola respuesta a escalon unitario, con condiciones iniciales iguales a cero, g[t].

ERS

H(z) h[t] g[t]

Figura 8.2: Relaciones entre ERS, funcion de transferencia y respuestas a deltay a escalon.

8.2.1. Funcion de transferencia en dominios de Fourier yZeta

Cuando el sistema tiene frecuencias naturales en el disco unitario cerrado,con la restriccion que aquellas frecuencias sobre la circunferencia unitaria seansimples, las funciones de transferencia en ambos dominios existen. El elementocomun es conceptual: en ambos casos, la funcion de transferencia esigual a la correspondiente transformada de la respuesta a un delta deKronecker, con condiciones iniciales iguales a cero.

La definicion y la estructura de H(z) parecen ser identicas a la definiciony la estructura de la funcion de transferencia en el dominio de Fourier, bas-tando hacer una simple sustitucion de z por ejθ. Sin embargo, esto no siemprees correcto. La diferencia es que cuando el sistema tiene frecuencias naturales(simples) sobre la circunferencia unitaria, la funcion de transferencia en Fourierincluye deltas de Dirac en frecuencia. Esto se origina en el hecho que la respuestaa impulso del sistema contiene modos naturales que no decaen y para los cualesla transformada de Fourier existe solo en el lımite. En cambio, para el mismosistema, la funcion de transferencia en Zeta no contiene impulsos en frecuencia,debido a que la transformada Zeta esta bien definida, bastando escoger el radiode convergencia igual a 1, es decir, |z| > 1.


transformada de Fourier!discreta

respuesta en frecuenciaEjemplo 8.5. Consideremos el sistema con la ERS:

y[t] − ay[t− 1] + a2y[t− 2] = a

√3

2u[t− 1] (8.33)

donde 0 < a ≤ 1.La funcion de transferencia en el dominio de la transformacion Zeta es:

Hz(z) =a√

32 z

z2 − az + a2; ∀|z| > 1 (8.34)

En cambio, en el dominio de Fourier, debemos distinguir dos casos:

(i) Caso a < 1 :

En este caso, las frecuencias naturales estan dentro del disco unitarioabierto, por lo tanto, los modos naturales son absolutamente sumables1

y la funcion de transferencia en el dominio de la transformada de Fourierdiscreta es:

HF (ejθ) =

√3

2 ejθ

(ejθ)2 − aejθ + a2(8.35)

En este caso:HF (ejθ) = Hz(z)|z=ejθ (8.36)

De esa forma, Hz(ejθ) es tambien igual la respuesta en frecuencia del

sistema.

(ii) Caso a = 1 :

En este caso, las frecuencias naturales estan sobre la circunferencia uni-taria y los modos naturales combinados corresponden a una sinusoide. Masespecıficamente, la respuesta a un delta de Kronecter, con condiciones ini-ciales iguales a cero es:

h[t] = sen(π t/3)µ[t] (8.37)

En consecuencia (vea Tabla C.4 en la pagina 391, con θo = π/3) la funcionde transferencia en el dominio de la transformacion de Fourier es:

HF (ejθ) =jπ

2

( ∞∑

`=−∞δ(θ + θo + 2`π) − δ(θ − θo + 2`π)

)

+

√3

2 ejθ

(ejθ)2 − ejθ + 1(8.38)

Se observa que en este caso, no se cumple (8.36).

1Recuerde que una secuencia f [t], definida ∀t ∈ N es absolutamente sumable si y solo si∑∞

t=0|f [t]| < ∞.


impulso!respuesta a

escalon!respuesta a

respuesta! a impulso

respuesta!a escalon

valor final

222

La relacion entre la transformacion de Fourier y transformacion Zeta puedeser resumida en la siguiente afirmacion:

Las transformaciones Zeta y de Fourier son equivalentes, via la relacionz = ejθ, en aquellos casos en que la transformada Zeta existe para |z| < ρ,donde 0 < ρ < 1.

8.3. Respuesta a impulso y respuesta a escalon.

Como ya hemos visto, la funcion de transferencia esta univocamente asociadaa la respuesta a impulso del sistema. Por otro lado, sabemos que si se aplica unimpulso a la entrada, la respuesta contiene solamente los modos naturales delsistema; esto nos permite estudiar su comportamiento natural, independientede la senal de entrada (caracterısticas del transiente, velocidad de respuesta,etc.) a partir del analisis de la funcion H(z).

Analogamente al caso de sistemas de tiempo continuo, la respuesta a escalones tambien usada para describir el sistema, aunque en este caso, ello no se debea la dificultad para generar el delta.

La definicion (8.22) nos permite expresar la respuesta a escalon unitariodel sistema como:

Y (z) = H(z)z

z − 1(8.39)

Lo cual, suponiendo que el sistema no tiene polos en z = 1, corre-sponde a:

y[t] = y∞ + modos naturales del sistema (8.40)

donde y∞ = H(1), en virtud del Teorema del Valor Final (ver Teorema E.1 enla pagina 431). Si el sistema es estable, entonces los modos naturales decaenexponencialmente a cero, por tanto, la respuesta en estado estacionario esta dadapor la constante y∞. Note ademas que si H(z) tiene uno o mas ceros en z = 1,entonces y∞ = 0.

Es conveniente recalcar que la respuesta a escalon unitario contiene los modosnaturales del sistema, por lo que revela cuestiones fundamentales del compor-tamiento dinamico del sistema.

Tambien es conveniente recordar que existe una relacion simple entre larespuesta a escalon g[t] y la respuesta a delta de Kronecter h[t]. Esta esta dadapor:

h[t] = g[t] − g[t− 1] (8.41)


muestreoEjemplo 8.6. Considere el sistema definido por su ERS:

y[t] − 1, 75y[t− 1] + 0, 8y[t− 2] = −0, 2u[t] + 0, 25u[t− 1] (8.42)

Su funcion de transferencia es:

H(z) =Y (z)

U(z)=

−0, 2z2 + 0, 25z

z2 − 1, 75z + 0, 8(8.43)

La respuesta a impulso unitario y a delta de Kronecker pueden ser calculadasmediante la metodologıa usual, ya empleada en el Capıtulo 7 en el contexto desistemas de tiempo continuo y la transformada de Laplace. Esta correspondea reemplazar la expresion para U(z), descomponer en fracciones parciales demanera conveniente para poder obtener la transformada Zeta inversa, con ayudade la Tabla E.2 en la pagina 434.

En Matlab la funcion de transferencia en tiempo discreto, al igual que entiempo continuo, se define mediante el comando tf en el que se especifica untercer argumento correspondiente al tiempo de muestreo (ver Capıtulo 11). Estese mantener indefinido, haciendolo igual a −1. De esta forma la respuesta aimpulso y escalon pueden obtenerse mediante los comandos dimpulse y dstep,respectivamente. Para el sistema en particular senales se muestran en la Figura8.3, obtenida con los siguientes comandos:

Matlab

>> Gd2=tf([-0.2 0.25 0],[1 -1.75 0.8],-1)

Transfer function:

-0.2 z^2 + 0.25 z

------------------

z^2 - 1.75 z + 0.8

Sampling time: unspecified

>> subplot(2,1,1),stem(impulse(Gd2))

>> subplot(2,1,2),stem(step(Gd2))

222

De igual forma que en el caso de tiempo continuo, en la respuesta a escalon desistemas de tiempo discreto puede definirse un conjunto de parametros que de-scriben ciertas propiedades de su dinamica. Sin embargo, en este caso, el calculode algunos de estos parametros se complica pues la variable independiente, eltiempo t, es discreta. Ası, el hacer cero una derivada para calcular un maximoo un mınimo se hace difıcil por dos factores: la derivada no esta definida y, porotro lado, el calculo del instante asociado debe restringirse a valores enteros.


0 5 10 15 20 25 30 35 40

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

t

Res

pues

ta a

impu

lso

0 5 10 15 20 25 30 35 40−0.5

0

0.5

1

1.5

t

Res

pues

ta a

esc

alon

Figura 8.3: Respuesta a delta Kronecker y a escalon unitario para el Ejemplo8.6.

En la Figura 8.3 se muestra una respuesta a escalon unitario con condicionesiniciales iguales a cero. Se observa que se pueden asignar los mismos elementoscaracterizadores que en el caso de tiempo continuo.

Un asunto de interes tiene que ver con el hecho que una senal cualquiera f [t](no solo la respuesta a escalon o la respuesta a impulso), puede ser igual a cerodurante los primeros d instantes. Ello se explica con el siguiente analisis.

Sea una senal f [t] con transformada F (z) dada por:

F (z) =Bf (z)

Af (z)(8.44)

donde Af (z) y Bf (z) son polinomios de la forma:

Af (z) = zp + αp−1zp−1 + . . .+ α1z + α0 (8.45)

Bf (z) = βqzq + βq−1z

q−1 + . . .+ β1z + β0; βq 6= 0 (8.46)

para numeros enteros p y q no negativos. Observe que dado que F (z) debe poderexpresarse en serie de potencias no positivas de z, es necesario que p ≥ q.

La expansion de F (z) en potencias de z−1 se obtiene dividiendo Bf (z) porAf (z), esto lleva a:

F (z) = βqz−p+q + (βq−1 − βqαp−1)z

−p+q−1 + . . . (8.47)

8.4. RESPUESTA A CONDICIONES INICIALES Y EXCITACIONES ARBITRARIAS.203

grado relativoEsta ecuacion demuestra que el primer valor de f [t] distinto de cero ocurreen el instante t = p − q, con f [p − q] = βq. El resultado principal se puederesumir en el siguiente lema:

Lema 8.1. Considere una senal f [t] y su transformada F (z), cuociente depolinomios en z, con grado relativo d, entonces f [t] = 0 para t = 0, 1, ..d− 1

222

Cuando este lema se aplica a la respuesta a escalon unitario, con condicionesiniciales iguales a cero, se deduce que esta es cero en los primeros d instantes,donde d es el grado relativo de la funcion de transferencia H(z). En rigor, elLema 8.1 se aplica al producto H(z)U(z), pero en este caso U(z) es z

z−1 , esdecir, su grado relativo es cero, por lo tanto el grado relativo de H(z)U(z) esigual al grado relativo de H(z).

8.4. Respuesta a condiciones iniciales y excita-ciones arbitrarias.

De la misma manera que en la seccion precedente se obtuvo las respuestasa impulso y a escalon del sistema, la transformada Zeta permite obtener larespuesta del sistema cuando la entrada pertenece a un tipo mas general desenales. En esta tarea, las principales ventajas que tiene esta transformacionsobre la transformacion de Fourier, son que se puede aplicar a una amplia gamade excitaciones no acotadas, y que permite incluır el efecto de las condicionesiniciales.

Consideremos primero un ejemplo.

Ejemplo 8.7. Considere un sistema con ERS:

y[t] + a1y[t− 1] + a2y[t− 2] = b1u[t− 3] + b0u[t− 4] (8.48)

Entonces al aplicar la transformada Zeta (en el marco de la Nota 8.1 en lapagina 193) se obtiene:

Y (z) =b1z

−3 + b0z−4

1 + a1z−1 + a2z−2U(z) +

−a1y[−1] − a2z−1y[−1] − a2y[−2]

1 + a1z−1 + a2z−2(8.49)

lo cual lleva a:

Y (z) =b1z + b0

z2(z2 + a1z + a2)U(z)

︸︷︷︸

Yu(z)=ZT〈〈〈0,u[t]〉〉〉

+−(a1y[−1] + a2y[−2])z2 − a2y[−1]z

z2 + a1z + a2︸︷︷︸

Yx(z)=ZT〈〈〈xo,0〉〉〉

(8.50)

222

Este ejemplo permite inducir algunos resultados generales:


retardo

respuesta!estacionaria(i) Tanto la respuesta a entrada, yu[t] como la respuesta a condiciones ini-

ciales, yx[t], contienen los modos naturales del sistema.

(ii) El denominador de Yu(z) difiere del de Yx(z), no solo debido al denomi-nador de U(z), sino que ademas en un conjunto de polos en z = 0. Estosno son frecuencias naturales del sistema, sino que corresponden ex-actamente al retardo con que se aplica la excitacion.

(iii) La transformada Yu(z) contiene los polos de U(z); estos explican la pres-encia de modos forzados, lo cual es consistente con lo planteado en lasubseccion 4.3.6 en la pagina 73.

(iv) Si el grado relativo de H(z) es mayor que cero (como ocurre usualmente),entonces yu[0] = 0.

(v) Salvo para especiales valores de las condiciones iniciales, el grado relativode Yx(z) es cero, ası yx(0) 6= 0, lo cual lleva, salvo para esos valoresespeciales, a que y(0) 6= 0.

Un caso especial de interes es cuando la excitacion u[t] es una sinusoide defrecuencia θo, ∀t ≥ 0, es decir, u[t] = 0, 5(ejθot + e−jθot).

Consideremos primero el caso de una excitacion u[t] = ejθotµ[t], y un sistemaestable, con funcion de transferencia H(z), entonces:

U(z) =z

z − ejθo(8.51)

Y (z) = H(z)z

z − ejθo+ Yx(z) (8.52)

Dado que el sistema es estable, solo el modo forzado permanece, ya que lafrecuencia forzante esta sobre la circunferencia unitaria. Ası, si denotamos comoY ′ee(z) la transformada Zeta de la componente estacionaria de la salida, tenemos

que:

Y ′ee(z) =

zH(ejθo)

z − ejθo; H(ejθo) = |H(ejθo)| ej∠H(ejθo ) (8.53)

y, por tanto:

y′ee[t] = ejθotH(ejθo) = |H(ejθo)| ej(θot+∠H(ejθo )) (8.54)

Si consideramos ahora la excitacion u[t] = e−jθotµ[t], la transformada Zetade la componente estacionaria de la salida es:

Y ′′ee(z) =

zH(e−jθo)

z − e−jθo; H(−ejθo) = |H(ejθo)| e−j∠H(ejθo ) (8.55)

y, por tanto:

y′′ee[t] = e−jθotH(e−jθo) = |H(e−jθo)| e−j(θot+∠H(ejθo )) (8.56)


estabilidad

multiplicidad!polos

lımite de estabilidad

circunferencia unitaria

Si ahora combinamos ambas excitaciones, es decir, u[t] = 0, 5(ejθot+e−jθot),la transformada Zeta de la componente estacionaria combinada de la salidaesta dada por:

yee[t] = 0, 5 (y′ee[t] + y′′ee[t]) = |H(ejθo)| cos(tθo + ∠H(ejθo)) (8.57)

Este resultado no es sorprendente, ya que por ser el sistema estable, larelacion (8.36) es valida, y ası se cumple que:

La funcion de transferencia H(z) de un sistema estable, evaluada en z = ejθo

es igual a la ganancia al modo forzante ejθot (ver (4.35)).

8.5. Estabilidad

Hasta aquı hemos visto que la respuesta de un sistema que tiene una funcionde transferencia H(z) es de la forma:

Y (z) = H(z)U(z) +

p∑

t=1

nt∑

i=1

αti(z − λt)i

(8.58)

Donde el valor de cada αti depende de las condiciones iniciales, y dondehemos supuesto que cada polo ubicado en z = λt, tiene multiplicidad nt. Estasuposicion implica a su vez que n1 + n2 + . . .+ np = n, donde n es el orden dela ERS, es decir, es el numero de autovalores del sistema.

Si recordamos la definicion de estabilidad, tenemos que un sistema es establecuando cualquier entrada acotada produce una salida tambien acotada, paracualquier condicion inicial acotada. Si observamos la ecuacion (8.58) podemosafirmar que la condicion necesaria y suficiente para que el sistema sea establees que los polos de este, que aparecen en las fracciones del segundo terminode la ecuacion, den origen a senales que decaigan exponencialmente. Esto setraduce en que los polos del sistema deben tener magnitud estrictamente menorque uno, es decir, deben estar ubicados sobre el disco unitario abierto delplano complejo z . Es decir, para sistemas discretos, el lımite de estabilidad enel plano complejo z en que se ubican sus polos, es la circunferencia unitaria.

Ejemplo 8.8. Consideremos un sistema con funcion de transferencia:

H(z) =(z − 0, 2)

z3(z − 1)(z − 0, 8)(8.59)

Esta funcion tiene tres polos en el origen, que se originan en los retardos yen la estructura de la ERS (vea ecuaciones (8.23) y (8.24)). Estos polos solointroducen retardos en los modos naturales. Los otros polos de su funcion detransferencia estan ubicados en z = 1, y z = 0, 8. Estos ultimos polos correspon-den a frecuencias naturales del sistema. Uno de estos, el ubicado en z = 1, noesta en el disco unitario abierto, sino que justo sobre el lımite de estabilidad.


sistemas discretos!estabilidad Por tanto el sistema no es estable. Se deja al lector el verificar que una entradaconstante, diferente de cero, produce una salida que crece indefinidamente.

222

8.5.1. Analisis de polinomios

Al igual que en el caso de sistemas de tiempo continuo, es posible estudiarla estabilidad de un sistema de tiempo discreto analizando el polinomio denom-inador de su funcion de transferencia, sin calcular explıcitamente las raıces deese polinomio.

Supongamos que el denominador mencionado sea un polinomio de la forma:

p(z) = anzn + an−1z

n−1 + . . .+ a2z2 + a1z + a0 (8.60)

Entonces se trata de determinar si existen o no raıces de este polinomio cuyamagnitud sea igual o mayor que 1, o equivalentemente, si todas las raices estanen el disco unitario abierto en el plano complejo z . Diremos que los polinomiosque tiene esta propiedad son polinomios estables.

A semejanza de lo que ocurre en el caso de sistemas de tiempo continuo,podemos aprovechar algunas propiedades del polinomio (8.60) para descartaralgunas situaciones. Dos de estas propiedades son especialmente utiles

Propiedad 1 El coeficiente an−1 cumple con:

an−1 = −ann∑

i=1

λi (8.61)

donde λ1, λ2, . . .λn son las raıces de p(z).

Esta propiedad es directa al notar que el polinomio p(s) puede escribirsecomo:

p(z) = an

n∏

i=1

(z − λi) (8.62)

entonces, al expandir el producto (8.62) y observar el coeficiente que acom-pana a la potencia (n− 1)-esima de z, se obtiene (8.61).

Propiedad 2 El coeficiente a0 cumple con:

a0 = (−1)nan

n∏

i=1

λi (8.63)

Esta propiedad tambien se puede demostrar expandiendo el producto(8.62) y observando el termino constante.


desigualdad!triangular

bilineal!transformacion

Routh

La primera propiedad dice que para que el polinomio p(z) sea estable, en-tonces es necesario que |an−1| < n|an| ya que cada raız de p(z) debe tenermagnitud menor que 1. El resultado se obtiene al utilizar la desigualdad trian-gular: el modulo de la suma es menor que la suma de los modulos.

La segunda propiedad dice que la estabilidad de p(z) exige como condicionnecesaria que |a0| < |an|. Este resultado se obtiene al considerar que cada factorλi en (8.63) debe tener magnitud menor que uno.

Las dos propiedades precedentes ayudan a descartar algunos polinomios bajoanalisis. El lector debe recordar que estas propiedades son necesarias pero nosuficientes para asegurar estabilidad. Tambien conviene tener presente que, adiferencia del caso de tiempo continuo, un polinomio puede ser estable aunquealgunas de sus raıces sean positivas; esto implica que los coeficientes de unpolinomio p(z) estable pueden ser positivos, negativos o cero.

Una vez superada la etapa de la inspeccion se requiere un metodo de analisisque proporcione una respuesta categorica sobre la estabilidad o inestabilidad delpolinomio. Una de las formas de realizar el estudio es transformar el problemaen uno en que podamos aplicar el algoritmo de Routh y, en general, todos losresultados de la Seccion §7.5.1. Con este objetivo se puede usar, por ejemplo, latransformacion bilineal:

z =w + 1

w − 1⇐⇒ w =

z + 1

z − 1(8.64)

donde w es una variable compleja auxiliar. Si expresamos la variable w en termi-no de su parte real ζ y su parte imaginaria ψ, es decir w = ζ + jψ entonces(8.64) se puede escribir como:

z =w + 1

w − 1=ζ + 1 + jψ

ζ − 1 + jψ=⇒ |z| =

√

(ζ + 1)2 + ψ2

(ζ − 1)2 + ψ2(8.65)

De la ecuacion (8.65) se puede ver que ζ > 0 si y solo si |z| < 1. Tambiense puede ver w esta en el eje imaginario ( ζ = 0) si y solo si z esta sobre lacircunferencia unitaria (|z| = 1). Ası, si definimos la funcion racional Pw(w)como:

Pw(w) = p (z)

∣∣∣∣∣z=w+1

w−1

(8.66)

entonces el polinomio p(z) tiene todas sus raıces al interior del disco unitariosi y solo si el polinomio numerador de Pw(w) tiene todas sus raices al interiordel semi-plano izquierdo. Por lo tanto, podemos usar el criterio de Routh paraprobar el polinomio numerador de Pw(w) y ası estudiar la estabilidad de p(z).

Ejemplo 8.9. Considere el polinomio p(z) = z3−0, 8z2−0, 25z+0, 2. Se tratade determinar si todas sus raıces al interior del disco unitario. Para ello primerocalculamos Pw(w), obteniendo:


Jury

Jury!algoritmo

Pw(w) =0, 15w3 + 1, 85w2 + 4, 65w + 1, 35

(w − 1)3(8.67)

Luego aplicamos Routh al numerador de Pw(w), construyendo el arreglo:

w3 0, 15 4, 65

w2 1, 85 1, 35

w1 4, 5405

w0 1, 35

Como no hay cambios de signo en la primera columna, sabemos que todoslos ceros de Pw(w) estan al interior del semi-plano izquierdo, lo cual implicaque todas las raıces de p(z) estan estrictamente al interior del disco unitario.

222

El metodo de la transformacion bilineal, aunque efectivo, puede llegar aser muy engorroso para polinomios de grado elevado. Tambien hace mas difıcilestudiar problemas de estabilidad condicionada a parametros. Para evitar estosinconvenientes, se puede utilizar un algoritmo o criterio alternativo desarrolladopor Jury

zn γn,n γn,n−1 γn,n−2 . . . γn,1 γn,0

γn,0 γn,1 γn,2 . . . γn,n−1 γn,n

zn−1 γn−1,n−1 γn−1,n−2 γn−1,n−3 . . . γn−1,0

γn−1,0 γn−1,1 γn−1,2 . . . γn−1,n−1

...

z0 γ0,0

Cuadro 8.1: Arreglo de Jury

Consideremos el polinomio en (8.60) y el arreglo de la Tabla 8.1. Este arreglose construye como se indica, paso a paso, a continuacion:

(i) La primera fila se construye directamente con los coeficientes de polinomiooriginal en orden descendente, i.e. γn,` = a`, ` = n, n− 1, . . . , 0.

(ii) La segunda fila se construye a partir de la primera fila con los mismoscoeficientes, pero en orden ascendente.

(iii) La tercera fila es calculada a partir de las dos immediatamente anterioresde acuerdo a la siguiente formula:


γn−1,n−` =1

γn,n

∣∣∣∣

γn,n γn,`−1

γn,0 γn,n−`+1

∣∣∣∣

` = 1, 2, . . . , n (8.68)

Note que esta fila tiene un elemento menos que las dos anteriores.

(iv) La cuarta fila se construye a partir de la tercera fila con los mismos coefi-cientes, pero en orden inverso.

(v) La quinta fila se construye a partir de las dos filas precedentes usando(8.68) con los coeficientes correspondientes. Esta regla de construccion seaplica tambien a todas las filas impares que siguen, hasta la (2n + 1)-esima, es decir, hasta calcular γ0,0. En cada una de estas filas, el numerode coeficientes se reduce en uno.

(vi) La sexta fila, ası como todas las filas pares que siguen, se construyen conlos mismos coeficientes de la fila impar inmediatamente anterior, pero enorden inverso.

Jury formulo un teorema de estabilidad cuyas condiciones se verifican usandoel arreglo de la tabla 8.1. El teorema se enuncia a continuacion, sin demostracion,ya que ella excede el marco de este texto. El lector interesado puede consultar[10].

Teorema 8.1. El polinomio p(z) dado en (8.60), con an > 0, tiene todassus raıces estrictamente al interior del cırculo unitario si y solo si γ`,` > 0para ` = 0, 1, . . . , n− 1. 222

A continuacion ejemplificamos el algoritmo, tanto en su mecanica como ensus potenciales aplicaciones.

Ejemplo 8.10. Considere el polinomio p(z) = z3 − 0, 5z2 − 0, 64z + 0, 32.Entonces n = 3, an = 1 > 0 y el arreglo de Jury resultante se muestra en laTabla 8.2.

Los terminos de la tercera, quinta y septima fila se calculan siguiendo elprocedimiento general descrito precedentemente, ası:

γ2,2 = 11

∣∣∣∣

1 0, 320, 32 1

∣∣∣∣

; γ2,1 = 11

∣∣∣∣

1 −0, 640, 32 −0, 5

∣∣∣∣; γ2,0 = 1

1

∣∣∣∣

1 −0, 50, 32 −0, 64

∣∣∣∣

(8.69)

γ1,1 = 10,8976

∣∣∣∣

0, 8976 −0, 48−0, 48 0, 8976

∣∣∣∣; γ1,0 = 1

0,8976

∣∣∣∣

0, 8976 −0, 2952−0, 48 −0, 2952

∣∣∣∣

(8.70)

γ0,0 =1

0, 6409

∣∣∣∣

0, 6409 −0, 4531−0, 4531 0, 6409

∣∣∣∣

(8.71)


z3 γ3,3 = 1 γ3,2 = −0, 5 γ3,1 = −0, 64 γ3,0 = 0, 32

0,32 -0,64 -0,5 1

z2 γ2,2 = 0, 8976 γ2,1 = −0, 2952 γ2,0 = −0, 48

-0,48 -0,2952 0,8976

z1 γ1,1 = 0, 6409 γ1,0 = −0, 4531

−0, 4531 0, 6409

z0 γ0,0 = 0, 3206

Cuadro 8.2: Arreglo de Jury. Ejemplo 8.10

Al aplicar el teorema de Jury observamos que γ3,3 = a3 > 0 y que γ`,` > 0,∀` ∈ 0, 1, 2. En consecuencia el polinomio p(z) tiene todas sus raıces dentrodel disco unitario.

222

Para apreciar el uso del algoritmo de Jury en estudios de estabilidad relativao condicional, consideraremos un ejemplo adicional.

Ejemplo 8.11. Sea un polinomio p(z) = z2 + az + 0, 8. Se trata de estudiarbajo que condiciones este polinomio tiene sus dos raıces con modulo menor queuno. Note que n = 2 y an = a2 = 1 > 0.

Primero construimos el arreglo de Jury, el que aparece en la Tabla 8.3.

z2 γ2,2 = 1 γ2,1 = a γ2,0 = 0, 8

0,8 a 1

z1 γ1,1 = 0, 36 γ1,0 = 0, 2a

0,2a 0,36

z0 γ0,0 = 1 − a2

1,82

Cuadro 8.3: Arreglo de Jury. Ejemplo 8.11

El arreglo de la tabla muestra que la condicion requerida por el teorema deJury (γ1,1 > 0, γ0,0 > 0) se cumple si y solo si −1, 8 < a < 1, 8.

222

8.6. Polos, ceros y la respuesta temporal

A continuacion examinaremos algunas propiedades fundamentales de los po-los y ceros de la funcion de transferencia de un sistema de tiempo discreto, y suinfluencia sobre las caracterısticas de la respuesta de un sistema lineal.

Consideremos una funcion de transferencia de la forma general:


fase mınima

ceros!fase no mınima

funcion de transferencia!estable

polosH(z) = K

∏mi=1(z − βi)

zd∏nl=1(z − αl)

(8.72)

donde αl ∈ C y βi ∈ C. Si suponemos que no hay valores de l y de i tales queαl = βi entonces, β1, β2, . . . , βm and α1, α2, . . . , αn son los ceros y los polos dela funcion de transferencia, respectivamente (a estos ultimos hay que agregarlos d polos en el origen).

Estaremos particularmente interesados en aquellos ceros ubicados sobre lacircunferencia unitaria o en su cercanıa, y en aquellos polos al exterior del discounitario. Los polos y ceros ubicados en estas regiones juegan un rol fundamentalen la dinamica del sistema.

Una clase especial de funcion de transferencia es aquella que tiene todossus ceros y sus polos al interior del disco unitario en el plano complejo z .Tradicionalmente estas se denominan funciones de transferencia de fasemınima . Sin embargo, a similitud de la nomenclatura usada en sistemas detiempo continuo, reservaremos ese nombre para referirnos simplemente a fun-ciones de transferencia sin ceros fuera del disco unitario, que tengan o no polosen el. Diremos que un cero tiene fase no mınima si tiene magnitud mayor o,al menos, igual a uno, de otra forma se denominara cero de fase mınima. Sihablamos de una funcion de transferencia estable nos referimos a que todossus polos se ubican sobre el disco unitario abierto; si decimos que inestable,es porque al menos uno de sus polos se encuentra fuera del disco unitario, osobre el borde de este ultimo. Los polos en si mismos tambien se pueden de-nominar estables o inestables , si se encuentran dentro o fuera del disco unitarioabierto,respectivamente 2.

A continuacion examinaremos la influencia sobre la respuesta transiente deun sistema de los polos y ceros de su funcion de transferencia.

8.6.1. Polos

Las funciones que se originan al aplicar la transformacion Zeta a las ERSde sistemas lineales, son funciones racionales y siempre pueden descomponerseen fracciones parciales. Cada uno de los terminos de esta expansion contieneya sea un polo real simple, un par de polos complejos conjugados o multiplescombinaciones de polos repetidos. Por tanto, para conocer el efecto de los polosen la respuesta transiente de un sistema basta conocer el efecto ocasionado porlos polos de primer y segundo orden y su interaccion.

Un polo de primer orden contribuye a la descomposicion en fracciones par-ciales, en general, con un termino de la forma:

H1(z) =K1(1 − a)

z − a(8.73)

donde K1 es la ganancia a continua.

2En ocasiones, por abuso de lenguaje, a los ceros de fase no mınima tambien se les denominaceros inestables, dado que se encuentran en la region del plano z en que los polos soninestables.


modos naturales Mientras que un polo de segundo orden contribuye a la expansion con untermino:

H2(s) = K21 − 2ρ cos θo + ρ2

z2 − 2zρ cos θo + ρ2(8.74)

donde K2 es la ganancia a continua.En el Capıtulo 4 se describio graficamente la relacion entre la ubicacion de

las frecuencias naturales (simples) y los modos naturales. Dado que los polos deH(z), salvo aquellos ubicados en el origen, son iguales a las frecuencias naturales,es conveniente repetir la descripcion grafica de esa relacion.

1

z

Figura 8.4: Relacion entre la ubicacion de los polos (de multiplicidad uno) y losmodos naturales (caso decreciente).

Cada polo genera un termino especıfico que coincide justamente con cada unode los modos naturales en la respuesta del sistema a un impulso en la entrada.Estos modos estan presentes tambien en la respuesta a cualquier entrada alsistema (excepto en casos muy excepcionales cuando hay coincidencia de polos


polos!rapidos

polos!dominantes

polos!lentos

z

1

Figura 8.5: Relacion entre la ubicacion de los polos (de multiplicidad uno) y losmodos naturales (caso no decreciente).

con ceros). El tipo de modo natural asociado a cada polo de un sistema dependede la ubicacion de este sobre el plano complejo z , exactamente equivalente a laubicacion de cada frecuencia natural λ sobre un plano complejo, como se vio enel Capıtulo 4. Para ilustrar esto podemos apreciar en la Figura 8.4 las diferentesrespuestas a impulso de un sistema de un unico polo.

En forma analoga a lo que ocurre con los sistemas continuos en el tiempo,nos referiremos, en general, como polos rapidos a aquellos que se encuentranmas cercanos al origen del plano z . Esto es equivalente que considerar que larespuesta transiente asociada a estos polos desaparece mas rapido que aquellaasociada a los otros polos, tal como puede apreciarse en la figura 8.4. Por otrolado, llamaremos polos dominantes o polos lentos a aquellos que se encuantranal interior del disco unitario, pero mas cercanos al lımite de estabilidad (cir-cunferencia unitaria) que el resto de los polos de sistema. Esto equivale a decirque el transiente asociado a los polos dominantes decae mas lentamente que losdemas modos naturales.


ceros

controlabilidad

observabilidad

Por ejemplo, si tenemos un sistema cuyos polos estan ubicados en (−0, 5;−0, 6±j0, 6;−0, 2;−0, 2+j0, 3), podemos decir que los polos dominantes es −0, 6±j0, 6y el polo mas rapido es el que se encuentra en −0, 2.

8.6.2. Ceros

En general, el efecto de la ubicacion de los polos en la dinamica de un sis-tema puede entenderse sin demasiada dificultad dada su directa relacion con laestabilidad y las caracterısticas generales de la respuesta del sistema. De hechoen la literatura sobre sistemas y su estabilidad se puede encontrar mucha masinformacion que la aquı detallada. Por el contrario, a menudo se ha subestima-do el efecto de los ceros en el analisis del comportamiento de un sistema. Sinembargo, en los ultimos anos se ha vuelto a dar un vistazo al efecto de los cerossobre la respuesta de un sistema, que ahora son reconocidos por su importancia,por ejemplo, al definir criterios de diseno de sistemas de control. Es asi como,mientras que los polos de un sistema estan asociados a la presencia de sus modosnaturales aislados, los ceros reflejan de algun modo la interaccion entre estos,por ejemplo, en el caso en que la salida de un sistema esta formada por la sumade dos modos naturales diferentes. Ademas, a pesar que la ubicacion de los polosdetermina los modos naturales de un sistema, es la ubicacion de los ceros la quedetermina la proporcion en que los modos aparecen combinados en la salida. Enestas combinaciones los modos naturales toman diferente fuerza, pudiendo sersu efecto, en algunos casos, casi imperceptible. De hecho, la ubicacion relativade polos y ceros tiene directa relacion con los conceptos de observabilidad ycontrolabilidad, como se detalla en el Capıtulo 10.

Veamos esto a traves de un ejemplo.

α

z − 0, 5Y (z)U(z)

1 − α

z − 0, 8

Figura 8.6: Sistema discreto con interaccion aditiva entre dos estados.

Ejemplo 8.12. Consideremos el sistema de la Figura 8.6, cuya funcion detransferencia sistema esta dada por:

H(z) =Y (z)

U(z)=

α

z − 0, 5+

1 − α

z − 0, 8=

(0, 3α+ 0, 2)z − (0, 3α+ 0, 1)

(z − 0, 5)(z − 0, 8)(8.75)


cancelacion!cuasi-

undershoot

contrarespuesta

respuesta!inversa

Este sistema tiene sus polos en p1 = 0, 5 y p2 = 0, 8 y un cero en c1 = 3α+13α+2 .

Es decir, la ubicacion esta directamente relacionada con el peso de cada unode los modos naturales en la respuesta del sistema, por ejemplo, a un impulsounitario en la entrada:

y[t] = α(0, 5)t + (1 − α)(0,8)t (8.76)

Si tomamos un valor de α cercano a cero, por ejemplo α = 0,01, la funcionde transferencia es:

H(z) = 0, 203(z − 0,5074)

(z − 0, 5)(z − 0, 8)(8.77)

En esta puede observarse la cercanıa del cero al polo en z = 0, 5. La respuestaa impulso sera en este caso:

y[t] = 0, 01(0, 5)t + 0, 99(0,8)t (8.78)

En que se aprecia la pequena magnitud con que aparece el modo natural masrapido. Es decir, a medida que el cero se acerca al polo en z = 0, 5 se produceuna cuasi-cancelacion , que sera total cuando α = 0.

Invitamos al lector a estudiar el caso analogo cuando α se acerca a 1 y cuales su efecto sobre el otro modo natural del sistema. Ademas puede analizarseque sucede con el sistema cuando el parametro α toma valores negativos. ¿Que pasasi α = −1/3 o α = −2/3 ?

222

8.6.3. Respuesta inversa o contrarespuesta (undershoot)

La Figura 8.3 en la pagina 202 sugiere que existen casos en los que, en lapresencia de una excitacion mayor que cero, la respuesta del sistema se hacenegativa durante algun lapso no despreciable. Existe un resultado analogo alLema 7.1 en la pagina 182, respecto del rol de algunos ceros que estan ubicadosfuera del cırculo unitario.

Lema 8.2. Considere un sistema lineal estable con funcion de transferenciaH(z), y con un cero real en z = c, donde c > 1, entonces la respuesta a unescalon positivo se hace negativa durante uno o mas lapsos no despreciables.Demostracion

La respuesta del sistema esta dada por:

Y (z) = H(z)Kz

z − 1; K > 0 (8.79)

Entonces:

H(z)Kz

z − 1=

∞∑

t=0

y[t]z−t; |z| > 1 (8.80)

Note que la region de convergencia queda determinada, por un lado, por el hechoque el sistema es estable, por lo cual la transformada de h[t] esta bien definida


para |z| ≥ 1 y, por otro lado, por el hecho que la respuesta a un escalon esta biendefinida para |z| > 1. En consecuencia, la region de convergencia para y[t] es|z| > 1.

Si ahora, en la ecuacion (8.80), hacemos z = c (note que, por ser c > 1,esta en la region de convergencia) obtenemos, aplicando el hecho que H(c) = 0

H(c)K

c=

∞∑

t=0

y[t]c−t = 0 (8.81)

Como la suma es cero, y c−t > 0, ∀t, necesariamente y[t] debe ser negativaen uno o mas lapsos, y positiva, el resto del tiempo.

El lema precedente justifica la presencia de undershoots, como el sugeridoen la Figura 8.3 en la pagina 202. Sin embargo, este comportamiento inverso sepuede manifestar en formas mas diversas, tal como se ilustra en la Figura 8.7.

0 10 20 30 40 50−1

−0.5

0

0.5

1

Tiempo [s]

Res

pues

ta a

esc

alón

0 10 20 30 40 50−1

−0.5

0

0.5

1

Tiempo [s]

Res

pues

ta a

esc

alón

Figura 8.7: Ejemplos de distintas formas de respuesta inversa en sistemas dis-cretos.



Problema 8.1. Determine la transformada Zeta de las siguientes funciones:

(i) y[t] = A cos(θt+ φ)

(ii) y[t] = t a−t

(iii) y[t] =

0 ; 0 ≤ t ≤ 1

1 ; 2 ≤ t ≤ 7

0 ; t ≥ 8

(iv) y[t] = (−0, 5)t

Problema 8.2. Para los siguientes sistemas:

(i) y[t] − y[t− 1] = u[t]

(ii) y[t] = u[t] − u[t− 1]

(iii) y[t] − 1, 4y[t− 1] + 0, 48y[t− 2] = −0, 08u[t]

(iv) y[t] − y[t− 1] − 1, 1[t− 2] = −u[t− 1] − 0, 1u[t− 2]


8.2.2 Determine si son o no estables,

8.2.3 Determine y grafique su respuesta a delta de Kronecker, y

8.2.4 Determine y grafique su respuesta a escalon unitario.

Problema 8.3. Considere un sistema definido por su ecuacion recursiva:

y[t+ 2] − y[t+ 1] + 0, 5y[t] = u[t] − 0, 5u[t− 1]

8.3.1 Determine la funcion de transferencia del sistema.

8.3.2 Determine la salida del sistema a entrada cero y condiciones inicialesy[−1] = 1 y y[−1] = −1. Grafique.

8.3.3 Determine la salida del sistema si la entrada es u[t] = µ[t] − µ[t − 2].Grafique.

Problema 8.4. Si N es un numero entero positivo, entonces considere lossiguientes sistemas:

(promediomovil) y[t] =1

N(u[t] + u[t− 1] + . . .+ u[t−N ])

(autoregresivo) y[t] + y[t− 1] + . . .+ y[t−N ] = u[t]



8.4.2 Determine sus polos y ceros,

8.4.3 Determine y grafique su respuesta a delta de Kronecker, y

8.4.4 Determine y grafique su respuesta a escalon unitario.

Problema 8.5. Para el sistema:

y[t] + α1y[t− 1] + α0y[t− 2] = βu[t] − u[t− 1]

8.5.1 Determine condiciones sobre α0, α1 y β de manera que el sistema seaestable.

8.5.2 Si u[t] = 0, α1 = −1, α0 = 0,16 y β = 0, determine la condicionesiniciales de manera que el la respuesta homogenea solo aparezca el modonatural dominante.

8.5.3 Si no se conoce u[t] = 0, pero α1 = −1, α0 = 0,16, determine β demanera que en la salida solo aparezca el modo natural mas rapido.

Problema 8.6. Se sabe que la respuesta de un sistema lineal a un escalonunitario en su entrada (con condiciones iniciales iguales a cero) esta dada por:

g[t] =[

0, 5 − (0, 4)t cos(π

3(t− 1)

)]

µ[t]

Determine la funcion de transferencia del sistema.



transformada de Laplace

transformada Zeta

Bode

Nyquist

Capıtulo 9

Representacion de sistemaslineales

9.1. Ideas generales

La caracterizacion de la respuesta en frecuencia de un sistema lineal, ası co-mo su funcion de transferencia obtenida con la tranformacion de Fourier, latransformacion de Laplace o la transformacion Zeta, son herramientas utilespara el analisis, sıntesis y diseno de sistemas dinamicos en sus distintas aplica-ciones, tales como procesamiento de senales y control automatico, entre otras.Estas herramientas han sido ampliamente reconocido a traves de los anos y handado lugar tambien a una serie de formas especiales de representacion grafica.

En primer lugar, recordemos que la respuesta en frecuencia de un sistemalineal y su funcion de transferencia estan caracterizadas por la misma funcion dela frecuencia1 H(jω) que, en general, toma valores complejos. Una de las formasde representacion mas usuales se basa en graficos separados de la magnitud y lafase de H(jω), en donde la frecuencia, ω, es la variable independiente. La masconocida y usada de estas representaciones fue desarrollada por Hendrik Bodeen los anos cuarenta [4](o no?). Por otra parte, tambien es posible representarH(jω) en un solo grafico unico donde el eje de las abscisas corresponde a su partereal, y el eje de ordenadas, a su parte imaginaria. Este se denomina diagramapolar o de Nyquist. En esta ultima caracterizacion, la frecuencia queda implıcita.

Finalmente en este Capıtulo introducimos la representacion en diagramas debloques, ampliamente usada en el dominio temporal, de Fourier, de Laplace y dela transformada Zeta, dada su gran utilidad para representar sistemas complejosmediante la interconeccion de sistemas mas simple, y la causalidad inherente delas senales de entrada y de salida de estos sistemas dinamicos.

1Ver Lema 6.1 en la pagina 129.

219

220 CAPITULO 9. REPRESENTACION DE SISTEMAS LINEALES

Bode!diagramas de

Bode|textbf

diagramas!de Bode

ejes logarıtmicos

decada

octava

decibel

factores canonicos

9.2. Diagramas de Bode

9.2.1. Tiempo continuo

Como ya hemos visto, un sistema de tiempo continuo puede ser caracterizadopor la funcion H( ω). El diagrama de Bode correspondiente a esta funcionesta formado por dos graficos: uno que describe la evolucion de su magnitud|H( ω)| como funcion de la frecuencia angular ω, y el otro describe el angulode la respuesta en frecuencia ∠H( ω), tambien como funcion de la frecuenciaangular ω.

Los diagramas de Bode son dibujados con ejes especiales:

El eje de las abscisas es lineal en log10(ω), o logarıtmico en ω. Esto permiteuna representacion compacta de la frecuencia en un gran rango de valores.

En este eje, la unidad es la decada, que corresponde a la distancia en eleje que separa a una frecuencia cualquiera ω1 y su multiplo 10ω1. Unaunidad alternativa es la octava, que corresponde a la distancia entre ω1 y2ω1 (doble de la frecuencia).

La magnitud de la respuesta en frecuencia es medida en decibeles [dB], esdecir, se representa la funcion:

|H( ω)|dB = 20 log10 |H( ω)| (9.1)

Es decir, al igual que para la frecuencia, se utiliza un eje logarıtmico en|H( ω)|.El uso de ejes logarıtmicos proporciona varias ventajas, incluyendo pre-cision por valores pequenos y grandes de |H( ω)|, facilidad para construiraproximaciones simples para |H( ω)|dB , y el hecho que la respuesta en fre-cuencia de sistemas en cascada puede ser obtenida sumando las respuestasen frecuencia individuales.

El angulo es medido en una escala lineal en radianes o grados.

Los paquetes de software disponibles, tales como Matlab , incluyen coman-dos especiales para calcular la respuesta en frecuencia y dibujar los diagramas deBode. Sin embargo, es importante, para el manejo conceptual de la herramienta,desarrollar la habilidad de hacer, en forma manual y rapida, un bosquejo de esosdiagramas, utiles para el analisis y el diseno de las propiedades de un sistema ode una senal.

Para desarrollar estas ideas consideraremos una funcion de transferencia quepuede expresarse como un producto de funciones particulares, que llamaremosfactores canonicos, correspondientes a los siguientes tipos:

[B1] K

[B2] (1 + T ω)q, q ∈ −1; 1

9.2. DIAGRAMAS DE BODE 221

Bode!aproximaciones[B3] ( ω)q, q ∈ −1; 1

[B4]

[

1 + 2ξ ω

ωn+

( ω

ωn

)2]q

q ∈ −1; 1, 0 ≤ ξ < 1.

[B5] e− ωτ , τ > 0

donde el exponente q ∈ −1; 1 describe las dos opciones para cada factor: supresencia en el numerador o en el denominador de la funcion H( ω) dada.

A continuacion se presente un ejemplo ilustrativo.

Ejemplo 9.1. Considere la funcion:

H( ω) = 6e−0,1 ω( ω + 2)

ω( ω + 1)(( ω)2 + ω + 4)(9.2)

Que puede reescribirse como:

H( ω) =(3) · (e−0,1 ω) · (1 + 0, 5 ω)

( ω) · (1 + ω) ·(

1 + 2 × 0, 25 ω

2+( ω

2

)2) (9.3)

222

Ası, en el caso general:

H( ω) =

n∏

`=1

F`( ω) (9.4)

donde cada uno de los factores elementales, F`( ω), es una funcion pertenecientea alguno de los tipos [B1] a [B5]. Entonces

|H( ω)|dB = 20 log10 |H( ω)| =n∑

`=1

20 log10 |F`( ω)| =n∑

`=1

|F`( ω)|dB (9.5)

∠H( ω) =n∑

`=1

∠F`( ω) (9.6)

Es decir:

La magnitud (en dB) de H( ω) es igual a la suma de las magnitudes (endB) de F`( ω), y

El angulo de H( ω) es igual a la suma de los angulos de F`( ω)

En consecuencia, para poder construir aproximaciones para una funcion detransferencia arbitraria, es suficiente desarrollar aproximaciones para cada unode los cinco factores canonicos, [B1] a [B5]. Esto es lo que haremos a contin-uacion.


Bode!asıntotas [B1]En este caso F ( ω) = K y su magnitud es exactamente:

|K|dB = 20 log10 |K| (9.7)

es decir, es una recta horizontal. Por su parte, la fase es:

∠K =

0 para K ≥ 0

180o para K < 0(9.8)

Ası, la fase de larespuesta en frecuencia tambien es una recta horizontal.

[B2]En este caso F ( ω) = (1 + T ω)q, donde q ∈ −1; 1. Entonces:

|F ( ω)|dB = 20 q log10

√

1 + T 2ω2 = 10 q log10(1 + T 2ω2) (9.9)

∠F ( ω) = q arctan(Tω) (9.10)

Podemos construir una aproximacion por trazos o asıntotas para la magni-tud, si observamos que:

ω 1

|T | =⇒ |F ( ω)|dB ≈ 0 [dB] (9.11)

ω 1

|T | =⇒ |F ( ω)|dB ≈ 20q log10(|T |ω) (9.12)

Esto significa que la magnitud de la respuesta en frecuencia de una funciontipo [B2] puede aproximarse por dos asıntotas: una de baja frecuencia, conpendiente 0 [dB/dec] y otra de alta frecuencia, cuya pendiente es 20q [dB/dec].Estas asıntotas se intersectan en ω = 1/|T |. Cuando q = −1, a esta frecuenciala curva exacta pasa 3 [dB] mas abajo, ya que |F (j/|T |)| =

√

1/2 y bastarecordar que 20 log10

√0, 5 ≈ −3, 0103.

En la Figura 9.1 se muestra la aproximacion asintotica y la curva exacta parauna funcion tipo [B2], con q = −1, en termino de la frecuencia normalizada ω|T |.

La fase de la respuesta en frecuencia es mas difıcil de aproximar de unamanera simple. Sabemos que para |Tω| 1 la fase es aproximadamente ceroy que para |Tω| 1, la fase es aproximadamente φ∞ = 90 q signo(T ) [o]. Unaaproximacion aceptable puede ser construida por tres rectas:

Una recta horizontal en 0 [o] en el rango de frecuencia (−∞; 0, 1/|T |), esdecir, hasta una decada antes de 1/|T |).

Una recta que une los puntos (0; 0, 1/|T |) y (10/|T |;φ∞), es decir, desdeuna decada antes hasta una decada despues de 1/|T |). Esta recta tieneuna pendiente de 0, 5φ∞[o/dec] (para el caso con T > 0 y q = 1, estapendiente es 45 [o/dec]),


10−2 10−1 100 101 102−50

−40

−30

−20

−10

0

10

ω |T|

Mag

nitu

d [d

B]

Figura 9.1: Diagrama de Bode de magnitud para una funcion tipo [B2], conq = −1

Y una recta horizontal en φ∞ en el rango de frecuencia (10/|T |,∞). Ası,en alta frecuencia, la fase tiende a 90q[o] signo(T ).

Esta aproximacion es exacta en ω = 1/|T |, donde la fase es 45q[o].En la Figura 9.2 se aprecia tanto la aproximacion asintotica, como la curva

exacta para el caso q = −1 y T > 0 . La frecuencia se ha normalizado a ω|T |.

10−2 10−1 100 101 102−100

−80

−60

−40

−20

0

20

ω T

Fase

[°]

Figura 9.2: Diagrama de Bode de fase para una funcion tipo [B2], con q = −1

[B3]En este caso, F ( ω) = ( ω)q, q ∈ −1; 1. La magnitud, en decibeles, esta dadapor:

|F ( ω)|dB = 20q log10 |ω| (9.13)

De esta forma, considerando que el eje de abscisas esta en escala logarıtmica, lamagnitud es una recta con pendiente 20q [dB/dec].

La fase, en tanto, es:

∠F ( ω) = 90 q[o] (9.14)


asıntotas que corresponde a una recta horizontal en 90 q[o].

[B4]En este caso, el factor canonico es de la forma:

F ( ω) =

[

1 + 2ξ ω

ωn+

( ω

ωn

)2]q

(9.15)

en que q ∈ −1; 1 y 0 ≤ ξ < 1. Se trata de un factor de segundo grado,determinado por dos parametros: ωn y ξ.

La magnitud es:

|F ( ω)|dB = 20 q log10

√(

1 − ω2

ω2n

)2

+ 4ξ2ω2

ω2n

= 10 q log10

((

1 − ω2

ω2n

)2

+ 4ξ2ω2

ω2n

)

(9.16)

Y el angulo de fase es:

∠F ( ω) =

q arctan

(2ξωωnω2n − ω2

)

∀ω < ωn

90q[o] + q arctan

(2ξωωnω2 − ω2

n

)

∀ω > ωn

(9.17)

Para construir una aproximacion por trazos o asıntotas, primero observa-mos que:

ω ωn =⇒ |F ( ω)|dB ≈ 0 [dB] (9.18)

ω ωn =⇒ |F ( ω)|dB ≈ 40q log10

(ω

ωn

)

(9.19)

10−1 100 101−40

−20

0

20

40

ω/ωn

Mag

nitu

d [d

B]

ξ

Figura 9.3: Diagrama de Bode de magnitud para una funcion tipo [B4], conq = −1 y dos valores de ξ.


resonanciaAsı, en baja frecuencia, la magnitud (en [dB]) puede ser aproximada por unaasıntota horizontal en 0 [dB]. En alta frecuencia, la aproximacion asintotica esuna recta de pendiente 40q [dB/dec] que pasa por el punto (ωn ; 0). Sin embargo,la curva exacta puede ser muy distinta a la aproximacion asintotica, dependiendodel valor del parametro ξ. Esto puede se ilustra en la Figura 9.3, donde semuestran las curvas exactas para ξ = 0, 01 and ξ = 0, 1. La flecha indica ladireccion en la que aumenta ξ. Note que en el caso lımite, cuando ξ = 0, eldiagrama tiende a ∞ [dB].

En general, el diagrama de magnitud exhibe, a la frecuencia ωr, un picode resonancia Mr, valor que puede calcularse usando los metodos clasicos delCalculo. Para simplificar el desarrollo, usaremos la frecuencia normalizada ν =ω/ωn y el hecho que para q = −1, |F ( ω)|dB alcanza el maximo a la mismafrecuencia νr a la que g(ν) = (1−ν2)2+4ξ2ν2 alcanza el mınimo. Ası, derivandoy haciendo igual a cero se obtiene:

dg(ν)

dν= 2(1 − ν2)(−2ν) + 8ξ2ν = 0 (9.20)

donde se observa que la resonancia ocurre exactamente en:

νr =√

1 − 2ξ2 =⇒ ωr = ωn√

1 − 2ξ2 (9.21)

Con esto, y la ecuacion (9.16), se obtiene:

Mr = |F ( ωr)| =1

2ξ(9.22)

Finalmente, en (9.21) se puede notar que el pico de resonancia existe paraq = −1 si y solo si ξ < 1/

√2.

La fase de una funcion de tipo [B4], dada por (9.17), se puede tambienaproximar por asıntotas, con la misma prevencion que en el caso de la magnitud:la precision de la aproximacion asimptotica depende crucialmente del valor deξ. Ası:

ω ωn =⇒ ∠F ( ω) ≈ 0 [o] (9.23)

ω ωn =⇒ ∠F ( ω) ≈ 180 q[o] (9.24)

De esta forma, la aproximacion asintotica se compone de dos rectas hori-zontales: una en 0 [o] y la otra en 180 q[o]. En la Figura 9.4 se muestra el casode q = −1, donde se muestran dos curvas, para dos valores de ξ (0, 01 y 0, 1).En el grafico se muestra con una flecha la direccion en que crece ξ. Note que amedida que crece ξ, la aproximacion asintotica se hace cada vez mas inexacta,contrariamente a lo que ocurre con la aproximacion asintotica para la magnitud.

Siempre es posible refinar las aproximaciones inherentes en los diagramasde Bode, en particular aprovechando herramientas como Maple que facilitan elmanejo de expresiones analıticas complejas. En este caso, es posible obtener lapendiente exacta del grafico de la fase de H( ω) en la frecuencia de corte ωn,que permitirıa trazar una tercera asintota, de manera similar a la Figura 9.2.


10−1 100 101−200

−150

−100

−50

0

ω/ωn

Fase

[o]

ξ

Figura 9.4: Diagrama de Bode de fase para una funcion tipo [B4], con q = −1

El siguiente codigo Maple establece supuestos sobre las variables q, ω, ωn y xi,luego define la funcion H( ω), obtiene la derivada respecto a φ = 10ω (debidoa la escala logarıtmica en el eje horizontal), y la evalua en ω = ωn

Maple

> assume(q,integer);

> assume(xi>0,omega>0,omega_n>0);

> interface(showassumed=0);

> H(omega):=(1+2*xi*I*omega/omega_n+(I*omega/omega_n)^2)^q;

> fase_H:=evalc(argument(H(omega)));

> d_fase_H:=factor(diff(subs(omega=10^phi,fase_H),phi));

> simplify(subs(phi=log10(omega_n),d_fase_H));

H( ω) =

(

1 +2ξ( ω)

ωn+

( ω

ωn

)2)q

(9.25)

faseH( ω) = arctan

sen(

q arctan(

2ξωnωω2n−ω2

))

cos(

q arctan(

2ξωnωω2n−ω2

))

(9.26)

d

dφfaseH =

2 q ξ 10φ ln(10)ωn(ω2n + (10φ)2

)

(ω2n − (10φ)2)

2+ (2ξ(10φ)ωn)

2 (9.27)

The last command line gives us the answer:

d

dφfaseH

∣∣∣φ=10ωn

=q ln(10)

ξ≈ 2, 3 q

ξ(9.28)


retardo

retardo!diagrama de Bode

Bode!aproximacion asintotica

Bode!frecuencias de quiebre

[B5]En este caso, tenemos la funcion F ( ω) = e−τ ω, τ > 0, y por lo tanto:

|F ( ω)|dB = 1 (9.29)

∠F ( ω) = −ωτ (9.30)

Note que el retardo puro solo introduce un angulo de fase lineal en frecuen-cia; sin embargo, dado que los diagramas de Bode usan una escala de frecuencialogarıtmica, la fase no aparece como una recta, sino que como una curva expo-nencial. Esto ultimo se debe a que la fase puede tambien escribirse como:

∠F ( ω) = −ωτ = −τ10log10 ω (9.31)

La Figura 9.5 muestra el diagrama de Bode de fase en una escala de frecuen-cia normalizada, lo cual permite entender por que no existe una aproximacionasintotica sencilla para este caso.

10−1 100 101−600

−500

−400

−300

−200

−100

0

ωτ

Fase

[o]

Figura 9.5: Diagrama de Bode de fase para una funcion tipo [B5]

222

Con las aproximaciones para las clases [B1] a [B4], mas la representacionexacta de la clase [B5], se puede construir una aproximacion global para unafuncion arbitraria H( ω) usando (9.5)-(9.6). De esa forma, la aproximacion,tanto para la magnitud (en [dB]) como para la fase (en [o]) de H( ω) se puedecalcular sumando las aproximaciones para cada uno de los factores canonicos.

A continuacion bosquejamos una forma sistematica de construir esas aprox-imaciones. Esto requiere tener presente las aproximaciones asıntoticas de losfactores [B1]-[B4], que resumimos en las Tablas 9.1 y 9.2.

Note que las asıntotas son rectas que se encuentran en puntos o frecuenciasde quiebre.

Con estas asıntotas se puede desarrollar un proceso constructivo, tanto paramagnitud como para fase. La contribucion de factores tipo [B1] y [B5] es agre-gada al final en ambos diagramas. Lo mismo se aplica a la contribucion de unfactor tipo [B3] en el diagrama de fase. El procedimiento se desarrolla a travesde los siguientes pasos:


Factor (` ∈ Z) Asıntota 1 Asıntota 2

K 0 [dB] ∀ω

( ω)` 20` log10

ω [dB]

∀ω

(1 + ωT )` 0 [dB] 20` log10

(ω|T |) [dB]

T ∈ R ∀ω < 1

|T |∀ω > 1

|T |(

1 + 2ξ ω

ωn

+

( ω

ωn

)2)`

0 [dB] 40` log10

(ω

ωn

)

[dB]

0 ≤ ξ < 1 ∀ω < ωn ∀ω > ωn

Cuadro 9.1: Aproximaciones asintoticas de magnitud de factores basicos

Paso 1 Escriba la funcion de transferencia, H( ω) como producto de factores[B1]-[B5].

Paso 2 Seleccione el rango de frecuencias en el cual desea construir la aproxi-macion asintotica.

Paso 3 Anote para cada factor, los puntos de quiebre de sus asıntotas ası comola pendiente de ellas entre cada par de puntos de quiebre consecutivos.Tome en inmediata consideracion los factores repetidos (tal como se hahecho en las Tablas 9.1 y 9.2).

Paso 4 En el diagrama de magnitud, dibuje la asıntota2 del factor ( ω)`. Noteque esta asıntota pasa por 0 [dB] en ω = 1.

Paso 5 Avance en el eje de frecuencias hasta encontrar el primer punto dequiebre y sume la pendiente correspondiente.

Paso 6 Proceda hasta el siguiente punto de quiebre y sume la nueva pendienteque aparece a la pendiente acumulada. Repita hasta llegar al final delrango de frecuencias elegido.

Paso 7 Desplace verticalmente el diagrama de magnitud en 20 log10 |K|.

Paso 8 Si H( ω) incluye un factor ( ω)`, es decir, un factor tipo [B3], desplaceverticalmente el diagrama de fase en 90` [o]. Ademas, si K < 0, desplaceverticalmente el diagrama de fase en ±180 [o].

Paso 9 Si H( ω) incluye un retardo, sustraiga la fase correspondiente del dia-grama de fase.

2Observe que en este caso, la asıntota coincide con el diagrama exacto, tanto en magnitudcomo en fase


Factor (` ∈ Z) Asıntota 1 Asıntota 2 Asıntota 3

K (1 − signo(K))90 [o]

∀ω

( ω)` 90` [o] ∀ω

(1 + ωT )` 0 [o] 45` log10

(10ω|T |) [o] 90` [o]

T > 0 ∀ω < 1

|10T |1

|10T |< ω < 10

|T |∀ω > 10

|T |

(1 + ωT )` 0 [o] −45` log10

(10ω|T |) [o] −90` [o]

T < 0 ∀ω < 1

|10T |1

|10T |< ω < 10

|T |∀ω > 10

|T |(

1 + 2ξ ω

ωn

+

( ω

ωn

)2)`

0 [o] 180` [o]

0 ≤ ξ < 1 ∀ω < ωn ∀ω > ωn

Cuadro 9.2: Aproximaciones asintoticas de fase de factores basicos

Paso 10 Verifique que su resultado satisface las aproximaciones asintoticas,tanto en magnitud como en fase, para frecuencias muy bajas (→ 0) y parafrecuencias muy altas (→ ∞). Corrija, si es necesario.

Para ilustrar el procedimiento, desarrollamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 9.2. Considere la respuesta en frecuencia dada por:

H( ω) =8( ω − 2)( ω + 1)

ω( ω + 8)( ω − 4)(9.32)

Lo primero que debemos hacer es re-escribir H( ω) como el producto de seisfactores (F1( ω) a F6( ω)) canonicos del tipo [B1] a [B5]. Ası se obtiene

H( ω) = 0, 5︸︷︷︸

F1:[B1]

(1 − 0, 5 ω)︸︷︷︸

F2:[B2]

(1 + ω)︸︷︷︸

F3:[B2]

( ω)−1

︸︷︷︸

F4:[B3]

(1 + 0, 125 ω)−1

︸︷︷︸

F5:[B2]

(1 − 0, 25 ω)−1

︸︷︷︸

F6:[B2]

(9.33)Diagrama de magnitud:

Supondremos luego que el rango de frecuencias de interes es [10−2 ; 102].Los puntos de quiebre ası como las pendientes entre dos puntos de quiebre

sucesivos se muestran en la Tabla 9.3. Observe que las pendientes se indicancomo multiplos de 20 [dB/dec]. En la ultima fila del cuadro se indica el efectoneto de la contribucion de los distintos factores entre dos puntos de quiebresucesivos. Con los resultados de esa lınea se pueden completar los Pasos 4 a 6 delprocedimiento bosquejado. Finalmente se incorpora el factor [B1], desplazandoverticalmente el diagrama en 20 log10(0, 5) ≈ −6 [dB].


El grafico superior de la Figura 9.6 muestra la aproximacion asintotica logra-da ası como la curva exacta.

(−∞; 1] (1; 2] (2; 4] (4; 8] (8; 100]

F2 -1 -1 -1 -1 -1

F3 0 1 1 1 1

F4 0 0 1 1 1

F5 0 0 0 -1 -1

F6 0 0 0 0 -1

Ac. -1 0 1 0 -1

Cuadro 9.3: Contribucion de pendientes entre puntos de quiebre. Diagrama demagnitud

Diagrama de fase:A similitud del caso de la magnitud construimos un cuadro donde se especi-

fica la contribucion, en pendiente de la fase, de cada factor, entre dos puntossucesivos. Las pendientes son multiplos de 45 [o/dec]. El lector es invitado a re-visar nuevamente la Tabla 9.2 para tener en mente las caracterısticas asıntoticasde cada factor.

La ultima lınea de la Tabla 9.4 muestra el efecto acumulado de los factores F3

a F6. Con esta informacion podemos ejecutar los Pasos 4 a 6 del procedimientobosquejado.

Para el Paso 8 apreciamos que el efecto del factor F1 sobre la fase es nulo,ya que se trata de una ganancia positiva. En cambio, el factor F2 sı afecta lafase, desplazandola en −90 [o].

El diagrama asintotico de fase resultante aparece en el grafico inferior de laFigura 9.6 donde tambien se indica la curva exacta.

(−∞; 0, 1] (0, 1; 0, 2] (0, 2; 0, 4] (0, 4; 0, 8] (0, 8; 10] (10; 20] (20; 40] (40; 80] (80; 100]

F3 0 1 1 1 1 0 0 0 0

F4 0 0 -1 -1 -1 -1 0 0 0

F5 0 0 0 1 1 1 1 0 0

F6 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1 0

Ac. 0 1 0 1 0 -1 0 -1 0

Cuadro 9.4: Contribucion de pendientes entre puntos de quiebre. Diagrama defase

222

La complejidad de los sistemas, ası como la necesidad de precision hacen queel procedimiento descrito tenga un valor limitado. Por ello, es tambien impor-


tante dominar el uso de herramientas computacionales modernas. En particular,Matlab dispone del comando bode para calcular y dibujar exactamente estosdiagramas. Para la funcion del Ejemplo 9.2, primero la expandimos como cuo-ciente de polinomios en ω, es decir:

H( ω) =8( ω)2 − 8 ω − 16

( ω)3 + 4( ω)2 − 32 ω(9.34)

Entonces, los diagramas de Bode obtienen con el codigo Matlab :

Matlab

>>H=tf([8 -8 -16],[1 4 -32 0]);

>>bode(H);

10−2 10−1 100 101 102−30

−20

−10

0

10

20

30

40

Mag

nitu

d [d

B]

10−2 10−1 100 101 102−90

−85

−80

−75

−70

−65

−60

−55

Frecuencia [rad/s]

Fase

[o]

Figura 9.6: Diagramas de Bode de magnitud y fase para la respuesta en frecuen-cia del Ejemplo 9.2

9.2.2. Tiempo discreto

La respuesta en frecuencia de sistemas de tiempo discreto tambien puededescribirse graficamente usando diagramas de Bode; sin embargo, en este caso,


espectro no tienen la misma utilidad por dos razones fundamentales:

a) Debido a que la respuesta en frecuencia es periodica con perıodo 2π, en-tonces la idea de usar una escala logarıtmica de la frecuencia para incre-mentar el rango de descripcion, tiene utilidad limitada.

b) No se pueden construir aproximaciones simples, ya que aquı no aparecenpolinomios en ω, sino que polinomios en ejθ.

Sin embargo, es importante destacar que si consideramos una funcion H(ejθ)como la tranformada de Fourier de una senal arbitraria h[t], no necesariamentela respuesta a impulso de un sistema, el diagrama de bode es importante puesrefleja el contenido frecuencial de dicha funcion. Es decir, los diagramas de Bodepermiten representar el espectro de una senal arbitraria h[t].

Para ilustrar el diagrama de Bode en tiempo discreto, desarrollamos el sigu-iente ejemplo.

Ejemplo 9.3. Considere la funcion:

H(ejθ) =0, 2

e2jθ − 1, 5ejθ + 0, 7(9.35)

Para obtener la magnitud y fase de esta funcion compleja, primero es nece-sario aplicar la ecuacion de Euler ejθ = cos(θ)+j sen(θ). Para facilitar el trabajoalgebraico, el siguiente codigo Maple permite obtener el modulo y el angulo deH(ejθ).

Maple

> H:=0.2/(exp(2*I*theta)-1.5*exp(I*theta)+0.7);

> abs(H);

> argument(evalc(H));

|H(ejθ)| =0,2

√

(− cos 2θ + 1, 5 cos θ − 0, 7)2 + (− sen 2θ + 1, 5 sen θ)2(9.36)

∠H(ejθ) = arctan

(sen 2θ − 1, 5 sen θ

cos 2θ − 1, 5 cos θ + 0, 7

)

(9.37)

Se puede apreciar que las expresiones obtenidas no son simples de aproximar,ya sea en baja o alta frecuencia, usando o no escala logaritmica en la frecuencia.Sin embargo, en Matlab , resulta muy simple obtener el grafico de la magnitudy el angulo de la funcion H(ejθ), usando el comando bode. Note que este es elmismo que se usa para tiempo continuo, por tanto se debe tener el cuidadode definir la funcion de transferencia en tiempo discreto. Con los siguientescomandos, Matlab entrega los graficos de la Figura 9.7, donde se aprecia unalımite de la banda de frecuencia en θ = π, producto de la periodicidad inherenteal analisis en frecuencia en tiempo discreto:

9.3. DIAGRAMAS POLARES 233

diagrama polar

polar!diagramaMatlab

>> H=tf([0.2],[1 -1.5 0.7],-1);

>> bode(H);

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg)

Mag

nitu

de (d

B)

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10−1

100

−360

−270

−180

−90

0

Figura 9.7: Diagrama de Bode en tiempo discreto (Ejemplo 9.3).

222

9.3. Diagramas polares

Aunque los diagramas de Bode son una poderosa herramienta para el analisisy diseno, se requieren los dos diagramas para interpretar correctamente ciertascaracterısticas del sistema. Una alternativa es utilizar un diagrama polar, en elque la respuesta en frecuencia se representa en un solo grafico, donde el eje deabscisas corresponde a la parte real de H( ω) y el eje de ordenadas, a la parteimaginaria de H( ω). En esta descripcion, la frecuencia esta implıcita (esta esla limitacion principal del diagrama polar).

9.3.1. Tiempo continuo

Para introducir el tema consideraremos un ejemplo.


cuadrante Ejemplo 9.4. La respuesta en frecuencia de un sistema de tiempo continuoesta caracterizada por:

H( ω) =1

( ω + 3)(( ω)2 + 0, 4 ω + 1)(9.38)

Si se evalua H( ω) en un rango de frecuencias 0 < ω < ∞ y dibujamosel resultado en en plano cartesiano se obtiene el resultado que aparece en eldiagrama polar de la Figura 9.8. Esta figura se obtiene con el siguiente codigoMatlab :

Matlab

>>H=tf(1,conv([1 3],[1 0.4 1]));

>>w=logspace(-2,1,1000);h=freqresp(H,w);

>>plot(real(h(1,:)), imag(h(1,:)))

El mismo grafico se obtiene al reemplazar el ultimo comando por plot(h(1,:)).En la Figura 9.8 se han indicado adicionalmente algunos puntos que corre-

sponden a distintas frecuencias donde ω1 < ω2 < ω3 < ω4.Aunque parezca curioso hablar de graficos polares, y describirlos en termino

un grafico cartesiano, es solo una cuestion de lenguaje. De hecho, el mismodiagrama polar se puede dibujar en otras coordenadas. En realidad, eso es loque hace el comando polar de Matlab . Ası, si usamos el codigo:

Matlab

>>H=tf(1,conv([1 3],[1 0.4 1]));

>>w=logspace(-2,1,1000);h=freqresp(H,w);

>>polar(angle(h(1,:)), abs(h(1,:)));

se obtiene el grafico de la Figura 9.9.222

Del ejemplo precedente se puede entender que, dependiendo de la aplicacion,por facilidad de lectura se prefiera uno u otro sistema de coordenadas.

Para hacer un bosquejo de un diagrama polar se debe examinar magnitudy fase de la respuesta en frecuencia. El analisis de la magnitud esta orientado adeterminar como varıa a medida que la frecuencia va desde 0 hasta ∞.

El analisis de la fase permite saber cuales cuadrantes recorre el grafico, yaque ello solo es funcion de la fase para ω ∈ [0,∞). Siempre es conveniente saberel comportamiento de la magnitud y la fase en alta y baja frecuencia, es decir:0 e ∞. Una forma alternativa es saber como evolucionan la parte real y la parte


−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−0.9

−0.8

−0.7

−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

Parte real

Par

te im

agin

aria

ω1

ω2

ω3

ω4 ω=0 ω=∞

Figura 9.8: Diagrama polar. Coordenadas cartesianas (Ejemplo 9.4).

imaginaria de la respuesta en frecuencia. Ellas tambien permiten determinar enque cuadrante del plano complejo se encuentra el diagrama polar.

Para facilitar el analisis, examinaremos primero algunos casos simples. Estasfunciones no tienen la misma trascendencia que en el caso de Bode. La diferenciaradica en que el diagrama polar de una funcion complicada no puede obtenersepor composicion simple de diagramas polares de funciones elementales, comosı se puede hacer al construir diagramas de Bode. El objetivo del estudio de estoscasos es inducir una metodologıa para la construccion de diagramas polares.

[P1] K

[P2]1

T ω + 1

[P3] ( ω)q, q ∈ −1; 1

[P4]

[( ω

ωn

)2

+ 2ξ ω

ωn+ 1

]−1

0 ≤ ξ < 1, ωn > 0.


0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

ω1

ω2

ω3

ω4 ω=0

Figura 9.9: Diagrama polar. Coordenadas polar (Ejemplo 9.4).

[P5] e− ωτ , τ > 0

[P6]1

ω(T ω + 1), T > 0

[P7]e− ωτ

T ω + 1

[P8]1

( ω)2 − ω2o

Examinaremos, a continuacion, los rasgos principales del diagrama polarpara cada uno de los tipos basicos.

[P1]En este caso el diagrama polar es un unico punto, ∀ω ∈ R. Este punto corre-sponde a (K, 0).


[P2]Podemos determinar la descomposicion cartesiana (partes real e imaginaria) yla descomposicion polar (magnitud y fase). Ası:

F ( ω) =1

ω2T 2 + 1− j

ωT

ω2T 2 + 1(9.39)

|F ( ω)| =1√

ω2T 2 + 1(9.40)

∠F ( ω) =

− arctan(ω|T |) T > 0

arctan(ω|T |) T < 0(9.41)

Entonces, examinando la caracterıstica de fase, se observa que el diagramapolar recorre el cuarto cuadrante para T > 0 y el primer cuadrante si T < 0. Porotro lado la magnitud es monotonicamente decreciente, desde 1 (para ω = 0)hasta cero (para ω = ∞); sin embargo, en este caso particular se puede decir algomas, porque es facil demostrar, usando (9.39) que las partes real e imaginariade F ( ω) cumplen con

(<F ( ω) − 0, 5)2 + (=F ( ω) = 0, 25 (9.42)

lo cual indica que el diagrama polar es una semi-circunferencia centrada en(0, 5; 0) con radio 0, 5. Esta semi-circunferencia esta en el cuarto cuadrante paraT > 0 y en el primero para T < 0.

Note ademas que el valor absoluto de T no afecta el diagrama, pues solamenteequivale a re-escalar la frecuencia, la cual se encuentra implıcita como parametroque hace recorrer la curva.

Ademas, de (9.41) vemos que la fase tiende a −0, 5πsigno(T ). Es decir,cuando ω tiende a infinito, el diagrama polar tiende al origen, apegandose al ejeimaginario por abajo (T > 0) o al al eje imaginario por arriba (T < 0).

Los diagramas polares correspondientes a T > 0 y a T < 0 se muestran enla Figura (9.10).

0 0.5 1

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

Parte real

Par

te im

agin

aria

T>0

0 0.5 1−0.2

0

0.2

0.4

0.6

Parte real

Par

te im

agin

aria

T<0

ω=0

ω1

ω2 ω

3

ω=∞

ω=0

ω1

ω2 ω

3

ω=∞

Figura 9.10: Diagramas polares para el caso [P1].

[P3]En este caso, F ( ω) = ( ω)q. Esta funcion tiene parte real cero para q ∈ −1; 1.


Ası es que el diagrama polar coincide con el eje imaginario (semi-eje superiorpara q = 1 y semi-eje inferior para q = −1). La fase es 0, 5qπ ∀ω ∈ R+. Paravalores de ω tendiendo a cero, la magnitud tiende a infinito. Para ω tendiendoa infinito, la magnitud tiende a cero.

[P4]En este caso conviene descomponer la funcion F ( ω) en sus partes real e imag-inaria en la forma

F ( ω) =ω2n

( ω)2 + 2ξωn ω + ω2n

=

(ω2 − ω2n)ω

2n

(ω2 − ω2n)

2 + 4ξ2ω2nω

2− j

2ξ ω3n ω

(ω2 − ω2n)

2 + 4ξ2ω2nω

2(9.43)

−6 −4 −2 0 2 4 6−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

Parte Real

Par

te Im

agin

aria

ξ=0,05

0,1

0,15

0,25

ω=0 ω=∞

Figura 9.11: Diagrama polar de una funcion tipo [P4] para distintos valores deξ

La parte imaginaria de F ( ω) es negativa ∀ω ∈ R. Por lo tanto el diagramapolar solo puede estar en el tercer y cuarto cuadrante. En cambio, la parte realpuede ser positiva o negativa, el punto de quiebre ocurre cuando ω = ωn. Paraω < ωn la parte real es negativa, lo cual indica que el diagrama polar esta enel cuarto cuadrante; para ω > ωn la parte real es negativa, lo cual indica que eldiagrama polar esta en el tercer cuadrante.

Ademas podemos examinar la evolucion de la fase a medida que ω progresadesde 0 hasta ∞. En eso podemos apoyarnos en el diagrama de Bode para la fase


retardo!diagrama polar

cırculo unitariode la respuesta en frecuencia para el sistema elemental [B4] (ver Figura 9.4 enla pagina 226). Observamos que la fase decae monotonicamente a medida que ωcrece. Un aspecto de interes es que, cuando ω → ∞, el diagrama polar se acercaal origen asintoticamente siguiendo el eje real negativo.

La Figura 9.11 muestra los diagramas polares de F ( ω) tipo [P4], para dis-tintos valores de ξ. Note que el valor de ωn no altera los diagramas, porque esteparametro solo produce escalamiento de la frecuencia (ojo, esta afirmacion essolo valida si ωn > 0; el lector es invitado a investigar el caso ωn < 0).

[P5]La respuesta en frecuencia del retardo puro, e− ωτ , tiene magnitud unitaria,∀ω ∈ R, y con fase igual a −ωτ , en consecuencia el diagrama polar es unacircunferencia unitaria con centro en el origen.

[P6]La funcion F ( ω), en este caso, puede descomponerse en sus partes real e imag-inaria, en la forma:

F ( ω) =1

ω(T ω + 1)=

−T ω + 1

ω(1 + ω2T 2)=

−T(1 + ω2T 2)

−j 1

ω(1 + ω2T 2)(9.44)

La descomposicion en magnitud y fase esta dada por:

|F ( ω)| =1

ω√ω2T 2 + 1

(9.45)

∠F ( ω) = −0, 5π − arctan(ωT ) (9.46)

De la ecuacion (9.44) se observa que la parte real es siempre negativa, y quela parte imaginaria tambien es siempre negativa. Por lo tanto, el diagrama polarde F ( ω) esta confinado al cuarto cuadrante. De la ecuacion (9.45) se ve quela magnitud decrece montonicamente a medida que la frecuencia aumenta. Estoes consistente con la ecuacion (9.44), ya que de allı sabemos que tanto la partereal como la parte imaginaria decaen monotonicamente a cero.

De la ecuacion (9.46) se ve tambien que para ω = 0 la fase es −0, 5π; sinembargo, esto no implica que a esa frecuencia la parte real sea cero. De hecho,de la ecuacion (9.44) se ve que la parte real, para ω = 0, es igual a −T . Paraω = ∞ la fase tiende a −π; esto implica que el diagrama polar tiende al origenacercandose asintoticamente al eje real negativo.

En la Figura 9.12 se muestra el diagrama polar de una funcion tipo [P6] conT = 1. Se observa que la parte real viene desde (−1;−∞) cuando ω = 0.

[P7]La funcion en este caso es el producto de una funcion tipo [P5] y una funciontipo [P6]. Por lo tanto la magnitud resultante es el producto de las magnitudesde los factores y la fase es la suma de la fase de los factores, es decir:

|F ( ω)| =1

ω√ω2T 2 + 1

; ∠F ( ω) = −ωτ − 0, 5π − arctan(ωT ) (9.47)


espiral

−1.5 −1 −0.5 0 0.5−12

−10

−8

−6

−4

−2

0ω=∞

ω→ 0

Figura 9.12: Diagrama polar de una funcion tipo [P6] con T = 1

La magnitud es la misma de una funcion tipo [P6], lo cual implica que decaemonotonamente a medida que la frecuencia crece. Por su parte, la fase exhibeun crecimiento monotono, en la direccion negativa; esta caracterıstica se debeal termino −ωτ . Dado que la magnitud decae monotonamente, el crecimientode la fase genera una espiral hacia el origen.

−3 −2 −1 0 1−4

−3

−2

−1

0

1

Parte real

Par

te im

agin

aria

−0.04 −0.02 0 0.02 0.04−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

Parte real

Par

te im

agin

aria

a) b)

ω→ 0

ω→ 0

Figura 9.13: a) Diagrama polar de una funcion tipo [P7] (T = 1 y τ = 2), y b)detalle.

En la Figura 9.13.a) se muestra el diagrama polar de una funcion del tipo[P7], con T = 1 y τ = 2. En la Figura 9.13.b) se observa un detalle (alrededordel origen) del mismo diagrama.

[P8]En este caso, F ( ω) = 1/(( ω)2 − ω2

o). Para esta funcion el diagrama polar


discontinuidadempieza en (−1/ω2o ; 0) para ω = 0 y tiende rapidamente hacia −∞ a lo largo

del eje real negativo para ω → ω−o . En ω = ωo hay una discontinuidad, ya que

para esa frecuencia, el diagrama polar salta desde (−∞; 0) a (∞; 0), luego, amedida que ω se hace mayor que ωo, el diagrama polar tiende al origen paraω → ∞.

222

Como ya hemos dicho, el diagrama polar de funciones complejas no se puedeobtener en forma simple usando los diagramas polares para los funciones tipo[P1] a [P8]. Sin embargo, las ideas usadas para dibujar el diagrama polar decada una de esas funciones ayuda a construir los diagramas polares de funcionesmas complicadas. Incluso, algunos de los rasgos peculiares de las funciones tipo[P1] a [P8] se propagan a las funciones compuestas, tal como se aprecia en elsiguiente ejemplo.

Ejemplo 9.5. Suponga que la respuesta en frecuencia de un sistema esta dadapor una funcion H( ω) compuesta por un factor tipo [P2] y un factor tipo [P8].La funcion H( ω) esta dada por:

H( ω) =1

(0, 5 ω + 1)(( ω)2 + 1)(9.48)

Se requiere dibujar el diagrama polar. Para ello primero descomponemos lafuncion dada en sus partes real e imaginaria, es decir:

H( ω) =1

(0, 25ω2 + 1)(−ω2 + 1)− j

ω

(0, 25ω2 + 1)(−ω2 + 1)(9.49)

y en magnitud y fase:

|H( ω)| =1

√

0, 25ω2 + 1 |ω2 − 1|(9.50)

∠H( ω) =

− arctan(0, 5ω) ∀ω < 1

−π − arctan(0, 5ω) ∀ω > 1(9.51)

Ası, de las ecuaciones precedentes, podemos observar que:

la parte real, la parte imaginaria y la fase tienen una discontinuidad enω = 1 (esto es heredado del factor tipo [P8] en la funcion H( ω));

cuando ω < 1 la parte real es positiva y la parte imaginaria es negativa,es decir, el diagrama polar esta en el cuarto cuadrante;

cuando ω > 1 la parte real es negativa y la parte imaginaria es positiva,es decir, el diagrama polar esta en el segundo cuadrante;

cuando ω → 1− la fase tiende a − arctan(0, 5) y cuando ω → 1+ la fasetiende a −π − arctan(0, 5ω);


dado que la discontinuidad de la fase es −π [rad], el diagrama polar saltadesde el cuarto cuadrante al segundo cuadrante cuando ω pasa por 1[rad/s]; y

cuando ω → ∞ la magnitud tiende a 0 y la fase tiende a −1, 5π [rad/s],es decir, el diagrama polar tiende al origen acercandose asintoticamenteal eje imaginario superior.

El diagrama polar para este ejemplo aparece en la Figura 9.14. Note que seha dibujado con lınea delgada la asıntota del diagrama polar para ω → 1− y paraω → 1+.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Parte real

Par

te im

agin

aria

ω→ 1+

ω→ 1−

ω=0 ω=∞

Figura 9.14: Diagrama polar de H( ω) para el Ejemplo 9.5.

222

Otro tipo de situaciones de interes son aquellas respuestas en frecuenciadonde el numerador es tambien un polinomio en ω. Note que en el caso de lasfunciones tipo [P1] a [P8], esta situacion no ha sido incluida, ya que solo hemosconsiderado funciones con numerador constante. Para observar los fenomenosque puede provocar este numerador mas complejo consideraremos un ultimoejemplo.

Ejemplo 9.6. Un sistema tiene la respuesta en frecuencia dada por:

H( ω) = 0, 001( ω + 5)2(− ω + 0, 1)

( ω + 0, 5)( ω + 0, 2)( ω + 0, 1)2(9.52)

Para una funcion tan compleja como esta, podemos deducir algunas rasgosdel diagrama polar:

El diagrama parte, para ω = 0, en (2, 5; 0);


Para ω → ∞ es cero, y la fase es −270[o];

En general, la magnitud y la fase cumplen con:

|H( ω)| =0, 001

√

(ω2 + 25)2(ω2 + 0, 01)

(ω2 + 0, 25)(ω2 + 0, 04)(ω2 + 0, 01)2)(9.53)

∠H( ω) =2 arctan(0, 2ω) − 3 arctan(10ω) − arctan(2ω) − arctan(5ω)(9.54)

Parece difıcil, a partir de las expresiones precedentes para magnitud y fase,obtener algunos criterios para dibujar el diagrama polar. Recurriremos a Mat-

lab usando el siguiente codigo:

Matlab

>>H=-0.001*tf(poly([-5 -5 0.1]),poly([-0.5 -0.2 -0.1 -0.1]));

>>w=logspace(-1,2,4000);

>>h=freqresp(H,w);subplot(221);plot(h(1,:));

El primer comando es equivalente a H=zpk([-5 -5 0.1],[-0.5 -0.2 -0.1

-0.1],-0.001). El resultado se muestra en la Figura 9.15.a).

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Parte real

Par

te im

agin

aria

0 1 2 3 4

x 10−3

−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

2x 10−4

Parte real

Par

te im

agin

aria

a) b)

Figura 9.15: a) Diagrama polar de H( ω) para el Ejemplo 9.6, y b) detalle.

Aparentemente el diagrama no refleja la condicion de la fase asintotica(−270[o]), ya que esta parece ser −360[o]. Esta aparente contradiccion es re-suelta con un detalle del diagrama en torno al origen. Este detalle se muestraen la Figura 9.15.b) y se obtiene con


diagrama polar!tiempo discreto

circulo unitarioMatlab

>> w2=logspace(0.3,3,4000);h2=freqresp(H,w2);

>> subplot(222);plot(h2(1,:));

222

9.3.2. Tiempo discreto

Naturalmente que el mismo tipo de descripcion mediante diagramas polareses aplicable a la respuesta en frecuencia de sistemas de tiempo discreto. Sinembargo, en este caso es aun mas difıcil construir, a mano, una aproximacionpara el diagrama polar. La razon esencial es que la respuesta en frecuenciaH(ejθ) es un cuociente de polinomios en ejθ (en vez de ser un cuociente depolinomios en ω, como en el caso de sistemas de tiempo continuo). Ese rasgohace que las expresiones tanto para la magnitud como para las partes real eimaginaria de H(ejθ) sean expresiones muy complicadas de θ. Una herramientainteresante, para dibujar diagramas polares de sistemas simples se deduce de laFigura 9.16.

θ = 0

po

θ = π η

ejθ

Figura 9.16: Interpretacion grafica de la respuesta en frecuencia (ejθ − po)−1

En la Figura 9.16 la circunferencia de radio unitario describe la ubicacion delnumero complejo ejθ, por lo tanto, el vector que se ha dibujado es ejθ−po. Ası, siconsideramos un sistema cuya respuesta en frecuencia es F (ejθ) = (ejθ − po)

−1,vemos que su magnitud es el recıproco del largo del vector dibujado, y la fasecorresponde al negativo del angulo θ en la figura. A medida que ω crece desde 0hasta π, la punta del vector se desplaza desde (1, 0) hasta (−1, 0). Esto implicaque la magnitud del vector crece monotonamente (para po ∈ R+) desde 1 − pohasta 1+po. Ası, la magnitud de F (ejθ) decrece monotonamente desde (1−po)−1

hasta (1 + po)−1, y su fase va monotonamente tambien, desde 0 hasta −π [rad].

El diagrama polar esta por lo tanto en el cuarto y tercer cuadrantes.


La idea precedente puede ser usada en la determinacion de los rasgos prin-cipales de diagramas polares de funciones simples, como se ilustra en el ejemplosiguiente.

Ejemplo 9.7. Un sistema de tiempo discreto tiene la respuesta en frecuenciadada por:

F (ejω) =ejθ − zoejθ

= 1 − zoe−jθ ; 0 < zo < 1 (9.55)

Las caracterısticas del diagrama polar pueden ser construidas a partir de laFigura 9.17.

θ = 0

zo

β

γ

θ = π θ

ejθ

Figura 9.17: Interpretacion grafica de la respuesta en frecuencia de 1 − zoe−jt.

Primero observamos que:

|F (ejθ)| =|ejθ − zo|

|ejθ| = |ejθ − zo| (9.56)

∠F (ejθ) = ∠(ejθ − zo) − ∠ejθ = β − θ (9.57)

Usando relaciones basicas de geometrıa, sabemos tambien que β − θ = γ.Ası, la fase de F (ejθ) es igual a γ, por su parte, la magnitud de F (ejθ) es igualal largo del vector ejθ − zo.

Con los antecedentes anteriores vemos que la magnitud de F (ejθ) va mono-tonamente desde 1 − zo, para θ = 0, hasta 1 + zo, para θ = π. Por su parte,la fase empieza en 0 [rad] para θ = 0, luego crece hasta alcanzar un maximo(siempre menor que π/2), luego decae hasta llegar a cero nuevamente cuandoθ = π. El diagrama polar esta por lo tanto en el primer cuadrante.

222

Para funciones mas complejas es difıcil estimar la forma en que evolucionan lamagnitud y la fase. En esos casos es preferible recurrir a software como Matlab


bloques

diagramas de bloques

sistema!interconexion

interconexion

, que en el caso de Ejemplo 9.7 los siguientes comandos dan como resultado elgrafico de la Figura 9.18.

Matlab

>> F=tf([1 -0.7],[1 0],-1);

>> w=[0:0.01:pi];

>> h=freqresp(F,w);

>> plot(h(1,:))

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Parte real

Par

te im

agin

aria

1+zo 1−z

o

θ = 0 θ = π

Figura 9.18: Diagrama polar para el Ejemplo 9.7.

9.4. Diagramas de bloques

Una forma de representar la interconexion de sistemas es un diagrama enbloques, donde cada uno de los bloques representa a uno de los sistemas par-ticipantes. A cada bloque se asocia una caracterizacion del sistema asociado,tal como la respuesta a impulso con condiciones iniciales iguales a cero, o surespuesta en frecuencia, o la funcion de transferencia, entre otras.

Un requisito clave en esta forma de representacion es que cada uno de lossistemas participantes mantenga su caracterizacion original (la funcion de trans-ferencia, por ejemplo) cuando se realiza la interconexion. Para entender esto,considere las dos redes de la Figura 9.19. Los sistemas pueden ser caracteriza-dos por sus respectivas funciones de transferencia H1( ω) y H2( ω) respectiva-

9.4. DIAGRAMAS DE BLOQUES 247

amplificadormente, donde:

H1( ω) =V2( ω)

V1( ω)=

R2

ωC3R1R2 +R1 +R2(9.58)

H2( ω) =V4( ω)

V3( ω)=

ωC4R5

ωC4R5 + 1(9.59)

R1

C3 R2 R5v1(t) v2(t) v4(t)v3(t)

C4

Figura 9.19: Sistemas a interconectar. Caracterizacion independiente

Al conectar directamente ambas redes (V2( ω) = V3( ω)), la relacion entrelas variables es ahora:

V2( ω)

V1( ω)=

R2(R5C4 ω + 1)

R1R2R5C3C4 ω2 + (R1R2C4 +R1R5C3 +R2R5C4) ω +R1 +R2

(9.60)

V4( ω)

V2( ω)=V4( ω)

V3( ω)=

R5C4 ω

R5C4 ω + 1(9.61)

Se aprecia que la funcion de transferencia entre V1( ω) y V2( ω) ya nosatisface (9.60) y esto hace que la funcion de transferencia entre V1( ω)y V4( ω)sea distinta al producto H1( ω)H2( ω), donde H1( ω) y H2( ω) estan dadasen (9.58)–(9.59).

Supongamos ahora que las redes de la Figura 9.19 son interconectadas atraves de un amplificador de ganancia unitaria, tal como se muestra en la Figura9.20.

R1

C3 R2 R5v1(t) v2(t) v4(t)v3(t)

+− C4

Figura 9.20: Sistemas interconectados


Ahora podemos ver que las transferencias entre V1( ω) y V2( ω) y entreV3( ω) y V4( ω) son las mismas que en (9.58)–(9.59). Por lo tanto la funcion detransferencia entre V1( ω)y V4( ω) es ahora igual al producto H1( ω)H2( ω).

222

La discusion precedente senala la condicion implıcita en los diagramas debloques: la funcion de transferencia de cada bloque sigue rigiendo la relacionentre entrada y salida, aunque el bloque sea interconectado con otros.

La ventaja principal de estos diagramas es que permiten analizar un sistemapor partes, estudiando el rol que cada subsistema juega en el total. Esto es claveen el analisis y sıntesis de filtros, controladores y otros sistemas procesadores desenales.

En la Tabla 9.5 se muestran algunos ejemplos de diagramas de bloques consus transferencias equivalentes.

Finalmente es necesario senalar que la representacion en diagramas de blo-ques se aplica sin distincion tanto a sistemas de tiempo continuo como a sistemasde tiempo discreto, y tambien a sistemas hıbridos, que combinan elementos enambos dominios, como se muestra en el Capıtulo 11.

9.4. DIAGRAMAS DE BLOQUES 249

Interconexion Transferencia equivalente

H1( ω) H2( ω) H1( ω)H2( ω)

+

+

H1( ω)

H2( ω)

H1( ω) + H2( ω)

+

±H1( ω) H2( ω) H1( ω)H2( ω)

1 ∓ H1( ω)H2( ω)

+

±H1( ω)

H2( ω)

H1( ω)

1 ∓ H1( ω)H2( ω)

+ − +

+

H3( ω)

H1( ω) H2( ω)

(H1( ω) + H3( ω))H2( ω)

1 + H1( ω)H2( ω)

+ −

+

−H1( ω) H2( ω) H3( ω) H1( ω)H2( ω)H3( ω)

1 + H2( ω) + H1( ω)H2( ω)H3( ω)

Cuadro 9.5: Diagramas de bloques y transferencias equivalentes



Problema 9.1. Dibuje los diagramas de Bode, es decir, magnitud y fase,de cada una de las funciones de transferencia que se presentan a continuacion.Haga primero las aproximaciones asintoticas y luego use Matlab para verificar:

a) H1(s) =15

s2 + 8s+ 15

b) H2(s) =s

s2 − 2s− 3

c) H3(s) =1

s(0,2s+ 1)

d) H4(s) =6(s− 3)

(s+ 5)(s+ 9)2

e) H5(s) = −H4(s)

f) H6(s) =e−2s

4s+ 1

g) H7(s) =1

s2 + 0,01s+ 1

h) H8(s) = s−2s2+3s+2

Problema 9.2. Construya los diagramas de Bode de la siguiente funcion detransferencia para α = 0,1; 0,2; 0,5; 1; 5:

H(s) =αs+ 1

(s+ 1)(0,2s+ 1)

Problema 9.3. Dados los diagramas de Bode de la Figura 9.21, proponga unafuncion de transferencia H(s) que pueda ser representada aproximadamente porellos.

Problema 9.4. Con los diagramas de Bode de G(s) que aparecen en la Figura9.22, determine en forma aproximada los diagramas de Bode para e−2sG(s),−s+1s+1 G(s) y G(s)

s .

Problema 9.5. Dados los diagramas de Bode de G(s) de la Figura 9.23,determine los diagramas de Bode para G(−s).


−80

−60

−40

−20

0

20

10−2 10−1 100 101 102 103−200

−150

−100

−50

0

50

100

Frecuencia (rad/seg.)

Fase

(gra

dos)

Figura 9.21: Diagramas de Bode de H(s)

−50

−40

−30

−20

−10

0

10−2 10−1 100 101−200

−150

−100

−50

0


Fase

(gra

dos)

Figura 9.22: Diagramas de Bode de G(s)


−25

−20

−15

−10

−5

0

10−1 100 101 102−100

−80

−60

−40

−20

0


Fase

(gra

dos)

Figura 9.23: Diagramas de Bode de G(s)

variables!de estado|textbf

estado|textbf

espacio!de estado

modelo!en espacio de estado

Capıtulo 10

Representacion en variablesde estado.

10.1. Conceptos fundamentales sobre modelosde sistemas.

Uno de los aspectos esenciales que interesa en ciencias aplicadas e ingenierıaes la representacion de sistemas mediante un modelo, que lo describa con sufi-ciente detalle y permita analizar sus propiedades fundamentales.

En la teorıa de sistemas estos modelos juegan un rol fundamental, pues sonimprescindibles para el analisis, la sıntesis y el diseno. En particular, el principalobjeto de contar con una representacion de un sistema es el poder predecir yanalizar el comportamiento del sistema en el tiempo.

Naturalmente existen diferentes formas de describir un sistema dado, dandolugar a diferentes modelos, segun sea el aspecto del sistema que interesa describircon mayor enfasis. Por ejemplo, si consideramos un motor electrico, podrıamosestar interesados en el como un sistema de conversion electro-mecanica, un sis-tema termico, un sistema mecanico sujeto a vibraciones, o bien, estudiar elcomportamiento de los materiales que lo conforman.

En segundo lugar, no existe un unico modelo para un sistema, ya que almodelar siempre existe alguna simplificacion implıcita de la realidad, la cual,en la mayor parte de los casos, resulta demasiado compleja para describir todossus aspectos.

De esta forma, una decision fundamental a la hora de modelar un sistemaes definir el objetivo del modelo, es decir, cuales son los aspectos esenciales quequeremos capturar.

La teorıa y herramientas existentes para modelar de sistemas son muy di-versas, y en ellas se combinan leyes de la fısica, la quımica, la termodinamica,ademas de teorıa de senales, procesamiento de datos, matematicas y herramien-tas numericas. De hecho, un modelo generalmente no se obtiene de una sola

253

254 CAPITULO 10. REPRESENTACION EN VARIABLES DE ESTADO.

sistema!dinamico

sistema!hıbrido

muestreo

estado!del sistema

estado!variables de

variables!de estado

estado!vector de

vector!de estado

estado!espacio de

estado!trayectoria

vez, sino que se construye en un proceso iterativo, que considera la calidad delos resultados obtenidos con el en las diferentes etapas, por ejemplo, para hacercontrol sobre un sistema o predecir su comportamiento.

En este capıtulo, nos interesa introducir una clase especial de modelos, utilpara describir sistemas dinamicos. Como ya hemos visto, estos sistemas se car-acterizan por la interaccion de sus variables en el tiempo, y se describen, entiempo continuo, a traves de ecuaciones diferenciales (EDS en Cap. 3), y entiempo discreto, a traves de ecuaciones recursivas (ERS en Cap. 4).

Ademas de estos dos tipos de sistemas dinamicos, en el dominio del tiempocontinuo y en el del tiempo discreto, se introducen sistemas hıbridos en los que seestablece una relacion entre tiempo continuo y discreto a traves del muestreo.

En este capıtulo hemos enfatizado los conceptos, propiedades fundamentales,interpretaciones fısicas y ejemplos, sin embargo, para un estudio en mayor pro-fundidad de los topicos aquı presentados el lector puede consultar, por ejemplo,las referencias [5], [8], [15], [18], [19], [20], [21].

10.2. Conceptos fundamentales

10.2.1. Introduccion

Uno de los tipos de modelos utilizados con frecuencia para describir un sis-tema es aquel en un conjunto de ecuaciones que relaciona sus variables internas.Estas variables se denominan variables de estado. En cada instante el conjun-to de ellas, que toman un valor determinado, se denomina estado del sistema.Sin embargo, a menudo usaremos las expresiones variables de estado y estadodel sistema como sinonimos.

La definicion dada es mas bien intuitiva y podrıa coincidir en realidad concualquier grupo de variables de un sistema dado. Por esto, seremos mas precisos:

Un conjunto de variables de estado de un sistema dado es aquel que permiteexpresar cualquier variable del sistema como funcion del estado presente y delos valores presentes y futuros de las entradas del sistema.

En esta definicion hemos enfatizado en significado fısico de las variables deestado. Sin embargo, existen tambien definiciones mas abstractas.

El conjunto de variables de estado usualmente se agrupan en un vector deestado, el cual pertenece al llamado espacio de estado.

Es importante notar es que la evolucion del estado en el tiempo, es decir, sutrayectoria, puede ser obtenida a partir del estado presente y el valor futuro delas entradas del sistema. De esta forma, los modelos de este tipo son siempreecuaciones diferenciales de primer orden, en el caso de sistemas continuos, oecuaciones recursivas de un paso, para sistemas discretos

Ademas, al conocer el estado del sistema en un instante dado t, podemosentonces calcular la energıa que en ese instante el sistema posee. En el caso desistemas fısicos, esta siempre depende de las variables del sistema, tales como ve-locidad, posicion, presion, voltaje y corriente, entre otras. Todas estas variables,

10.2. CONCEPTOS FUNDAMENTALES 255

por la definicion dada, se pueden obtener a partir del estado del sistema.Esto sugiere ademas que podemos pensar el estado de un sistema de forma

mas general, ya que las variables de estado pueden ser cualquier funcion devariables del sistema. Esta observacion resulta muy importante pues estableceque el estado del sistema no necesariamente esta formado por variables realesdel sistema, permitiendo de esta forma un analisis mas general. Es mas, estamisma observacion hace evidente que la eleccion de las variables de estado noes unica.

10.2.2. Modelos basicos en variables de estado

Si denotamos por x al vector de estado que corresponde a una eleccion enparticular de variables de estado para un sistema dado, entonces la forma generaldel modelo en variables de estado es:

Para sistemas de tiempo continuo

dx

dt= F(x(t),u(t), t) (10.1)

y(t) = G(x(t),u(t), t) (10.2)

donde u(t) es el vector de entrada y y(t) es el vector de salida delsistema. En el caso de sistemas de una entrada y una salida, naturalmenteestos vectores se reducen a funciones escalares.

Para sistemas de tiempo discreto

x[t+ 1] = Fd(x[t],u[t], t) (10.3)

y[t] = Gd(x[t],u[t], t) (10.4)

Donde, analogamente al caso de tiempo continuo, u[t] en el vector deentradas y y[t] es el vector de salidas del sistema, y tambien para elcaso de sistemas SISO se reducen a funciones escalares.

Para ilustrar los conceptos presentados hasta el momento consideremos elsiguiente ejemplo:

Ejemplo 10.1. En la Figura 10.1, una fuerza externa f(t) se aplica a un sis-tema masa-resorte sujeto a un muro por un extremo. La posicion d(t) se midecon respecto a la posicion en que el resorte se encuentra en su largo natural. Elmovimiento de la masa es amortiguado por una fuerza de roce viscoso, propor-cional a la velocidad de la masa, v(t).

Sabemos que para obtener la posicion y la velocidad de la masa se debeconocer su valor en algun instante inicial. Por tanto el vector de estado debetener dos componentes, i.e x(t) = [x1(t) x2(t)]

T , y la eleccion mas natural eneste caso es:

x1(t) = d(t) (10.5)

x2(t) = v(t) = x1(t) (10.6)


transformacion del estado

estado!transformacion

similaridad

se~nal!modelo de estado

M

roce viscoso

d(t)

v(t)

Kf(t)

Figura 10.1: Sistema masa-resorte.

Con esta eleccion, se pueden aplicar las leyes de Newton para obtener:

f(t) = Mdv(t)

dt+Kd(t) +Dv(t) = Mx2(t) +Kx1(t) +Dx2(t) (10.7)

donde D es el coeficiente de roce viscoso, o constante de proporcionalidad.De esta forma podemos escribir las ecuaciones de estado del sistema:

x1(t) = x2(t) (10.8)

x2(t) = −K

Mx1(t) −

D

Mx2(t) +

1

Mf(t) (10.9)

Para resolver este sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, serequiere conocer los valores x1(0) y x2(0), ası como el valor de la excitacionf(t), ∀t ≥ 0.

Podemos apreciar tambien que la energıa almacenada en el sistema, w(t),queda expresada como:

w(t) =1

2K (d(t))

2+

1

2M (v(t))

2= x(t)TΛx(t) (10.10)

donde Λ es una matriz diagonal: Λ = diagK2 ,

M2

.

Finalmente, la no unicidad de la representacion en variables de estado sepuede apreciar si, en vez de la eleccion hecha en (10.8), elegimos un nuevovector de estado x(t) que se relaciona con x(t) a traves de una matriz no singularcualquiera T ∈ R2×2, es decir:

x(t) = Tx(t) (10.11)

Mas adelante, en la Seccion §10.3.3, veremos en mas detalle este tipo detransformaciones.

222

10.2.3. Senales descritas en espacio de estado

Las representaciones en variables de estado ademas de describir sistemas oprocesos, pueden ser tambien muy utiles para representar una gran variedad desenales.

10.3. MODELOS DE ESTADO PARA SISTEMAS CONTINUOS 257

se~nal!de tiempo continuo

se~nal!de tiempo discreto

sistema!tiempo continuo

Para esto se utilizan modelos de estado sin excitaciones o senales de entrada.Por tanto, la senal que se obtiene como salida del sistema solo depende de lacondicion inicial del vector de estado.

Este tipo de sistemas sin senal de entrada se denominan homogeneos oautonomos:

Para senales de tiempo continuo

dx(t)

dt= Ax(t) (10.12)

y(t) = Cx(t) (10.13)

Para senales de tiempo discreto

x[t+ 1] = Aqx[t] (10.14)

y[t] = Cqx[t] (10.15)

Las variables definidas en este tipo de modelos en espacio de estado, notienen un significado fısico, sin embargo, esta forma de describir senales resultamuy util en diversas aplicaciones de la teorıa de senales.

Ejemplo 10.2. Supongamos la senal de tiempo continuo:

f(t) = 2 + 4 cos(5t) − sen(5t) (10.16)

Esta esta formada por una sinusoide mas una constante, y puede interpre-tarse como la solucion de la ecuacion diferencial homogenea:

d 3f(t)

dt 3+ 25

d f(t)

dt= 0; sujeta a f(0) = 6; f(0) = −5 and f(0) = −100

(10.17)Si ahora escogemos como variables de estado x1(t) = f(t), x2(t) = f(t) y

x3(t) = f(t), entonces el modelo el espacio de estado de esta senal es:

dx(t)

dt=

0 1 00 0 10 −25 0

x(t) y(t) = [1 0 0] x(t) (10.18)

222

10.3. Modelos de estado para sistemas continu-os

En esta seccion se presentan los modelos en variables de estado para sistemasde tiempo continuo. El analisis que se realiza esta centrado en sistemas lineales


retardo

linealizacion

punto de equilibrio

e invariantes en el tiempo, tal como se ha considerado en los capıtulos pre-vios. Naturalmente los sistemas son en general no lineales, tal como se muestraen las ecuaciones (10.1) y (10.2), pero pueden ser linealizados, tal como se hizoen el capıtulo 1.

Otra restriccion importante es que los sistemas considerados no poseen re-tardos puros. Estos darıan origen a un vector de estado de dimension infinita.Sin embargo, en la Seccion §10.4 veremos que este tipo de sistemas pueden serrepresentados en variables de estado usando un modelo del sistema muestrea-do.

10.3.1. Linealizacion

Si consideramos el modelo de un sistema invariante en el tiempo, las ecua-ciones (10.1)-(10.2) se reducen a:

dx

dt= F(x(t),u(t)) (10.19)

y(t) = G(x(t),u(t)) (10.20)

Suponemos que el modelo (10.19)-(10.20) tiene, al menos, un punto de equi-librio dado por xQ,uQ,yQ. Este trıo de vectores satisface:

0 = F(xQ,uQ) (10.21)

yQ = G(xQ,uQ) (10.22)

Note que el punto de equilibrio queda determinado haciendo las derivadasiguales a cero.

Si consideramos una vecindad alrededor del punto de equilibrio, podemosaproximar el modelo (10.19)-(10.20) por una serie de Taylor truncada (ApendiceA), de la forma:

x(t) ≈ F(xQ,uQ) +∂F

∂x

∣∣∣∣ x=xQu=uQ

(x(t) − xQ) +∂F

∂u


(u(t) − uQ) (10.23)

y(t) ≈ G(xQ,uQ) +∂G

∂x


(x(t) − xQ) +∂G

∂u


(u(t) − uQ) (10.24)

Las ecuaciones (10.23) y (10.24) se pueden reescribir por lo tanto como:

d∆x(t)

dt= A∆x(t) + B∆u(t) (10.25)

∆y(t) = C∆x(t) + D∆u(t) (10.26)

donde las senales incrementales son:

∆x(t) = x(t) − xQ; ∆u(t) = u(t) − uQ; ∆y(t) = y(t) − yQ (10.27)


y las matrices de la representacion de estado son:

A =∂F

∂x

∣∣∣∣x=xQu=uQ

; B =∂F

∂u


; C =∂G

∂x


; D =∂G

∂u


(10.28)Para ilustrar esta forma de obtener un modelo lineal para un sistema no

lineal, se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 10.3. Considere el levitador electromagnetico que se muestra en laFigura 10.2.

+R

i(t)

f(t)

mg

v(t)h(t)

L e(t)

Figura 10.2: Levitador electromagnetico.

La esfera metalica esta sometida a dos fuerzas: su propio peso, mg, y lafuerza de atraccion generada por el electroiman, f(t). La fuerza del electroimanse regula a traves de la fuente de voltaje, e(t) > 0, ∀t. La fuerza de atraccionsobre la esfera, f(t), depende de la distancia h(t) y de la corriente, i(t). Estarelacion se puede describir aproximadamente por la expresion

f(t) =K1

h(t) +K2i(t) (10.29)

donde K1 y K2 son constantes positivas.Aplicando los principios usuales en redes electricas y mecanica, podemos

escribir las siguientes ecuaciones:

e(t) = Ri(t) + Ldi(t)

dt(10.30)

v(t) = −dh(t)dt

(10.31)

f(t) =K1

h(t) +K2i(t) = mg +m

dv(t)

dt(10.32)


A continuacion escogemos las variables de estado: la corriente i(t), la posi-cion de la esfera h(t), y su velocidad v(t), es decir:

x(t) =[x1(t) x2(t) x3(t)

]T=[i(t) h(t) v(t)

]T(10.33)

Note que esta eleccion permite cuantificar directamente la energıa almace-nada en el sistema.

A partir de (10.30)-(10.32) obtenemos el modelo de estado del sistema:

di(t)

dt=dx1(t)

dt= −R

Lx1(t) +

1

Le(t) (10.34)

dh(t)

dt=dx2(t)

dt= −x3(t) (10.35)

dv(t)

dt=dx3(t)

dt=

K1

m(x2(t) +K2)x1(t) − g (10.36)

Para linealizar el modelo obtenido, necesitamos obtener primero el punto deequilibrio alrededor del cual se hara dicha linealizacion. La entrada al sistemaes el voltaje de la fuente e(t). Supongamos que el punto de equilibrio se obtienefijando e(t) = EQ, entonces, a partir de este, se puede calcular el estado delsistema en el punto de equilibrio. Este queda caracterizado por las ecuaciones(10.34)-(10.36), haciendo las derivadas iguales a cero:

−RLx1Q +

1

LEQ = 0 =⇒ x1Q =

EQR

(10.37)

−x3Q = 0 =⇒ x3Q = 0 (10.38)

K1

m(x2Q +K2)x1Q − g = 0 =⇒ x2Q =

K1

mgx1Q −K2 =

K1EQmgR

−K2 (10.39)

El modelo linealizado queda expresado en terminos de la entrada incremental∆e(t) y el estado incremental ∆x(t) = [∆x1(t),∆x2(t),∆x3(t)]

T de la forma:

d∆x1(t)

dt= −R

L∆x1(t) +

1

L∆e(t) (10.40)

d∆x2(t)

dt= −∆x3(t) (10.41)

d∆x3(t)

dt=Rg

EQ∆x1(t) −

Rmg2

K1EQ∆x2(t) (10.42)

Si consideramos como salida del sistema la posicion de la esfera h(t), pode-mos comparar las ultimas ecuaciones con (10.25) y (10.26) para obtener:

A =

−RL

0 0

0 0 −1

Rg

EQ−Rmg2

K1EQ0

; B =

1

L

0

0

; CT =

0

1

0

; D = 0 (10.43)

222


matriz!de transicion

exponencial!de una matrizDe aqui en adelante omitiremos el prefijo ∆, pero el lector debe tener en

mente que los modelos obtenidos mediante linealizacion relacionan el estadoincremental, las entradas incrementales y las salidas incrementales, entorno al punto de equilibrio.

10.3.2. Modelos lineales en el espacio de estado

Consideramos el modelo en variables de estado, lineal e invariante en eltiempo:

dx(t)

dt= Ax(t) + Bu(t) (10.44)

y(t) = Cx(t) + Du(t) (10.45)

Lema 10.1. Dada la ecuacion (10.44), sujeta a la condicion inicial x(to) = xo,su solucion es:

x(t) = eA(t−to)xo +

∫ t

to

eA(t−τ)Bu(τ)dτ ∀t ≥ to (10.46)

donde la matriz de transicion eAt satisface:

eAt = I +

∞∑

k=1

1

k!Aktk (10.47)

(Para la definicion de exponencial de una matriz ver Apendice F) De-mostracion

Puede verificarse directamente al reemplazar (10.46) en la ecuacion (10.44),usando la regla de Leibniz para la derivacion de la integral.

222

Con este resultado, dado un estado inicial x(to) = xo la solucion de lasecuaciones (10.44)–(10.45) se puede expresar como:

y(t) = CeA(t−to)xo + C

∫ t

to

eA(t−τ)Bu(τ)dτ + Du(t) (10.48)

Dinamica del sistema

Como hemos visto en los Capıtulos 3 y 4, la salida de un sistema siemprepuede descomponerse en dos partes: una componente no forzada determinadapor las condiciones iniciales y formada por los modos naturales del sistema, yuna componente forzada por la senal de entrada al sistema. Esto mismo se veconfirmado en la solucion de la ecuacion de estado (10.48), donde se aprecia lacomponente no forzada xu(t), y la componente forzada xf (t), donde:

xu(t) = eA(t−to)xo (10.49)

xf (t) =

∫ t

to

eA(t−τ)Bu(τ)dτ (10.50)


respuesta homogenea

estabilidad

velocidad

Estructura de la respuesta homogenea

Para analizar con mayor detalle el modelo en espacio de estado y su solucion,consideremos to = 0 y la entrada u(t) = 0 ∀t ≥ 0, es decir, el estado esta formadosolo por su parte no forzada u homogenea. Entonces:

x(t) = eAtxo (10.51)

Supondremos ademas que A ∈ Rn y que, por simplicidad, no tiene autoval-ores repetidos, sino que son todos diferentes λ1,λ2,. . . , λn, con sus n autovectoresv1, v2, . . . , vn linealmente independientes1. En este caso podemos afirmar quesiempre existen constantes α1, α2, . . . , αn tales que:

xo =n∑

`=1

α`v`; α` ∈ C (10.52)

Del algebra lineal (Apendice F) sabemos que los autovalores de la matriz Ak

son λk1 , λk2 ,. . . , λkn con sus correspondientes autovectores v1, v2, . . . , vn. Deesta forma, se obtiene:

x(t) = eAtxo =

(

I +∞∑

k=1

1

k!Aktk

)(n∑

`=1

α`v`

)

=

n∑

`=1

α`

v` +

∞∑

k=1

1

k!Akv`︸︷︷︸

λk`v`

tk

=

n∑

`=1

αèλ`tv` (10.53)

Esta ecuacion pone de manifiesto que la componente no forzada del vectorde estado es una combinacion lineal de modos de la forma eλ`t, cada uno delos cuales esta asociado a un autovalor de A. Esto establece un resultado muyimportante:

Los frecuencias naturales de un sistema de tiempo continuo son iguales a losvalores propios de la matriz A de su representacion en variables de estado.Es decir, la ecuacion caracterıstica de un sistema esta dada por:

det(λI − A) = 0 (10.54)

Por tanto, la matriz A es la que determina:

la estructura de la respuesta no forzada u homogenea,

la estabilidad (o inestabilidad) del sistema, y

la velocidad de respuesta.

1Todo conjunto de n vectores l.i. en Rn forman una base para R

n


El analisis previo puede extenderse al caso en que la matriz A posee valorespropios repetidos, utilizando la forma de Jordan (Apendice F).

En ausencia de senal de entrada, hemos visto que el estado del sistema resultaser una combinacion de modos naturales. Estos pertenecen al conjunto de fun-ciones generadas por exponenciales reales o complejas, que pueden correspondera senales constantes, exponenciales reales y sinusoides puras o moduladas porexponenciales, entre otras.

Ejemplo 10.4. Para ilustrar la diferentes aparicion de diferentes tipos de mo-dos naturales, y su interpretacion fısica consideremos nuevamente el sistemadel Ejemplo 10.1 en la pagina 255. Para dicho sistema, obtuvimos el modelo envariables de estado:

[

x1(t)

x2(t)

]

=

[

0 1

−KM − D

M

][

x1(t)

x2(t)

]

+

[

01M

]

f(t) (10.55)

en que x1(t) y x2(t) son respectivamente la posicion y la velocidad de la masaM , y f(t) es la fuerza externa.

Las frecuencias naturales del sistema son los autovalores de la matriz A, esdecir, las soluciones de la ecuacion caracterıstica:

det(λI − A) = λ2 +D

Mλ+

K

M= 0 (10.56)

Estas son:

λ1,2 = − D

2M±√

D2

4M2− K

M(10.57)

Donde podemos apreciar que:

Si no existe amortiguacion (D=0), los autovalores del sistema son imagi-narios puros, y los modos naturales son oscilaciones sostenidas de frecuen-cia angular ωo =

√

K/M . Esto coincide con la interpretacion fısica, puessi no existe roce es natural pensar que si el resorte no se encuentra en sulargo natural o la masa posee velocidad inicial, esta permanecera oscilandoindefinidamente, aunque no exista fuerza externa.

Cuando el sistema esta debilmente amortiguado ( D2 < 4KM), los auto-valores de la matriz A son complejos conjugados con parte real negativa,por tanto los modos naturales asociados son sinusoides amortiguadas ex-ponencialmente. Esto coincide tambien con lo que sucede en la practica,pues en caso de existir una fuerza de roce no muy grande, la masa os-cilara hasta detenerse en ealgun momento en su posicion de largo natural.

Finalmente, si la amortiguacion es muy grande ( D2 > 4KM), los auto-valores de la matriz seran reales y negativos, lo cual indica que los auto-valores son dos exponenciales decrecientes. En este caso, la existencia deuna fuerza de roce importante se traduce en que la masa no lograra oscilarsino que es llevada por la fuerza del resorte hasta su posicion de equilibrio,y toda la energıa contenida en el sistema se disipa rapidamente en el roce.


plano de fase Para ilustrar estas tres situaciones podemos utiliar Matlab , que permitedefinir facilmente definir sistemas en variables de estado a traves del coman-do ss. La respuesta a una condicion inicial se obtiene a traves del comandoinitial. Para estas simulaciones consideramos tres diferentes valores para laconstante de roce viscoso D, mientras que los otros parametros son:

M = 2 [kg]; K = 0, 1

[N

m

]

d(0) = 0, 3 [m]; and v(0) = 0, 05[m

s

]

(10.58)Usando codigo Matlab como el siguiente se obtienen los graficos de la Figu-

ra 10.3.

Matlab

>> M=2 ; K=0.1 ; D=0 ;

>> x_o=[0.3 0.05];

>> A=[0 1;-K/M -D/M];B=[0;1/M];C=[1 0];d=0;

>> S=ss(A,B,C,d);

>> initial(S,x_o)

Tiempo (seg.)

Am

plitu

d

0 10 20 30 40 50 60 70−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

D=0 D=0.2D=2

Figura 10.3: Respuesta homogenea del sistema masa-resorte-roce.

En la Figura 10.4 se muestra la trayectoria que sigue el estado del sistema.Se ha considerado la posicion de la masa d(t) como coordenada horizontal, y lavelocidad, v(t), como coordenada vertical. Este tipo de diagrama se conoce comoplano de fase,. En Matlab , el mismo comando initial permite obtener latrayectoria del estado mediante el siguiente codigo:

Matlab

>> [y,t,x]=initial(S,x_o);

>> plot(x(:,1),x(:,2))


modo forzado

solucion particular

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

distancia d(t)

velo

cida

d v(

t)

D=0 D=0.2D=2

xo=[0.3 0.05] T

Figura 10.4: Trayectorias en el espacio de estado del sistema masa-resorte-roce.

Note que, excepto en el caso en que no existe roce (D = 0), la masa llegara adetenerse asintoticamente, es decir, llega al origen del espacio de estado.

222

Estructura de la respuesta forzada

Cuando las condiciones iniciales del sistema son cero, el estado solo tendra sucomponente forzada.

xf (t) =

∫ t

to

eA(t−τ)Bu(τ)dτ (10.59)

Esta parte del estado tambien incluye modos naturales, pero ademas contienelos modos forzados o soluciones particulares, los cuales como hemos visto encapıtulos precedentes, no dependen del sistema, sino que exclusivamente de lasenal de entrada u(t). En general, los modos forzantes presentes en la entradaapareceran tambien en el estado. Sin embargo, es importante mencionar que uncaso especial sucede cuando los modos forzantes en la entrada coinciden conalguno de los modos naturales del sistema.

Estabilidad del sistema

Tal como se menciono antes, la estabilidad de un sistema lineal e invariantepuede ser analizada usando la matriz de estado A.


equilibrio inestable

punto de equilibrio


resonancia

Por definicion, todas las variables de un sistema pueden expresarse comofunciones lineales de su estado y su entrada. Cuando la entrada al sistema u(t)es un vector de funciones temporales acotadas, entonces las variables del sistemaseran acotadas si su estado lo es.

Tenemos entonces el siguiente resultado:

Teorema 10.1. Considere el sistema con la descripcion en variables de estado(10.44)-(10.45) donde los elementos de A, B, C y D estan acotados. Entonces elestado del sistema, y por tanto su salida, es acotado para toda entrada acotadasi, y solo si, los autovalores de la matriz A tienen parte real estrictamentenegativa.

222

Para apreciar la aplicacion de este teorema en la practica, retomemos elsistema del levitador magnetico del Ejemplo 10.3. Para dicho sistema la matrizA (en el modelo linealizado) esta dada por la expresion:

A =

−RL

0 0

0 0 −1Rg

EQ−Rmg2

K1EQ0

(10.60)

y sus autovalores o valores propios son las raıces de la ecuacion

det(λI − A) =

(

λ+R

L

)(

λ−√

Rmg2

K1EQ

)(

λ+

√

Rmg2

K1EQ

)

(10.61)

Podemos apreciar que, del conjunto de autovalores de la matriz, existe unoque es real y mayor que cero. Esto implica que el sistema es inestable, locual coincide con el analisis del sistema desde el punto de vista fısico. Si bienexiste un punto de euilibrio para el sistema, al menos teoricamente, dado x2Q

en la ecuacion (10.39)), este resulta ser un punto de equilibrio inestable, ya quecualquier pequena perturbacion sobre la esfera hara que esta o acelera hastaadherirse al iman, o bien, cae al suelo.

Velocidad de respuesta y resonancia

Como ya hemos visto, en los sistemas estables la parte real de los autovaloresdetermina la velocidad a la cual los modos naturales decaen a cero. Los modosmas lentos, que hemos denominado modos dominantes, determinan la velocidadcon que la salida del sistema alcanza el estado estacionario, es decir, determinanla velocidad de respuesta del sistema.

Un segundo aspecto, de especial importancia en estructuras flexibles, es lapresencia de resonancias en un sistema, que estan asociadas a autovalores com-plejos. Desde el punto de vista fısico, la presencia de autovalores complejos tienerelacion con la existencia de dos tipos de energıa. En circuitos electricos, la en-ergıa electrostatica de condesadores y la energıa electromagnetica en inductores.




similaridad

En sistemas mecanicos, la energıa cinetica de una masa en movimiento y la en-ergıa potencial debida a diferencia de nivel o a la compresion de un resorte. Losprincipales problemas con este tipo sistemas ocurren cuando la senal de entradacontiene energıa en la banda de frecuencias cercana a la frecuencia con que elsistema oscila en forma natural. En la practica, este problema puede traducirseen oscilaciones de magnitud que el sistema simplemente no esta preparado parasoportar. Para ilustrar esta situacion examinaremos un ejemplo que ilustra elfenomeno:

Ejemplo 10.5. Consideremos nuevamente el sistema masa-resorte-roce delEjemplo 10.1, en que las constantes tienen los valores:

M = 1[kg] ; D = 13 [Ns/m] ; K = 1[N/m] (10.62)

Con lo cual los autovalores del sistema son las soluciones de:

det(λI − A) = λ2 + DM λ+ K

M = λ2 + 13λ+ 1 = 0 (10.63)

⇒ λ1,2 = − 16 ± 1

2

√−359 ≈ − 1

6 ± j (10.64)

Por tanto, los modos naturales son de la forma e−0,1667t cos(t+φ). Cualquierexcitacion que posea energıa a frecuencias cercanas a ω = 1[rad/s] hara que elsistema entre en resonancia, haciendo que en la salida del sistema aparezcanoscilaciones de magnitud significativa.

Se desarrolla una simulacion del comportamiento del sistema bajo dos ex-citaciones distintas: en el primer caso, la entrada es una sinusoide de frecuenciaω = 1 [rad/s], y en el segundo caso, la excitacion una senal cuadrada de frecuen-cia fundamental ωo = 0, 333 [rad/s]. En ambos casos las condiciones inicialesdel sistema son cero. Los resultados se muestran en la Figura 10.5.

Podemos apreciar que, en el primer caso, se genera un fenomeno de reso-nancia debido a que la frecuencia de la sinusoide es aproximadamente igual ala frecuencia de oscilacion de los modos naturales del sistema. En el segundocaso, tambien aparece un fenomeno de resonancia; sin embargo, ahora se debea la tercera armonica de la excitacion , ya que la frequencia angular de ellaes 3ωo = 0, 999[rad/s], es decir, coincide casi exactamente con la frecuencianatural de oscilacion del sistema.

222

10.3.3. Transformaciones de similaridad

La eleccion de variables de estado para un sistema dado no es unica. Concre-tamente podemos tener un sistema con entrada u(t), salida y(t) y dos diferenteselecciones para el vector de estado: x(t) y x(t) ∈ Rn, con sus matrices asociadasA,B,C,D y A,B,C,D, respectivamente. El siguiente lema establece larelacion entre ambos modelos.


matriz!de transformacion

0 5 10 15 20 25 30 35 40−3

−2

−1

0

1

2

3

tiempo

y(t)u(t)

0 5 10 15 20 25 30 35 40−3

−2

−1

0

1

2

3

tiempo

y(t)u(t)

Figura 10.5: Resonancia en el sistema masa-resorte.

Lema 10.2. Dado un sistema cuyo vector de estado es x(t) y sus matrices sonA,B,C,D, entonces, dada la matriz de transformacion T ∈ Rn×n nosingular, tenemos un nuevo vector de estado:

x(t) = T · x(t) (10.65)

El modelo de estado para la nueva representacion, queda expresado mediantelas matrices:

A = TAT−1 ; B = TB ; C = CT−1 ; D = D (10.66)

DemostracionDada la transformacion (10.65), en que T es no singular y, por tanto, in-

vertible, tenemos que:

x(t) = T−1 · x(t) (10.67)

Si reemplazamos entonces el vector de estado x(t) en las ecuaciones de estadodel sistema (10.44)-(10.45), obtenemos:

T−1x(t) = AT−1x(t) + Bu(t) (10.68)

y(t) = CT−1x(t) + Du(t) (10.69)


donde, al multiplicar la primera ecuacion por T por la izquierda, se obtiene:

x(t) =

A︷︸︸︷

TAT−1 x(t) +

B︷︸︸︷

TB u(t) (10.70)

y(t) = CT−1︸︷︷︸

C

x(t) + D︸︷︷︸

D

u(t) (10.71)

De esta forma se obtienen las ecuaciones (10.66).222

Diferentes elecciones de las variables de estado pueden tener o no significadofısico, sin embargo, existen representaciones que resultan mas simples del puntode vista matematico, como veremos en la Seccion §10.6.

A pesar de las diferentes posibles representaciones, es natural que ciertasimportantes caracterısticas y propiedades del sistema permanezcan invariantes,cualquiera sea la representacion elegida. Si, por ejemplo, consideramos los au-tovalores del sistema, tenemos que:

det(λI − A) = det(λTT−1 − TAT−1) (10.72)

= det(T(λI − A)T−1

)(10.73)

= det(T) det(λI − A) det(T−1) (10.74)

= det(λI − A) (10.75)

Por tanto, la estabilidad, la naturaleza de la respuesta homogenea y la ve-locidad de respuesta del sistema son invariantes respecto a transformaciones desimilaridad del estado.

(t)f

1

(t)C2

(t)

L (t)

(t)2

R+

vvC R

i

iL

i

Figura 10.6: Red electrica

Ejemplo 10.6. En el circuito electrico de la Figura 10.6, si escogemos el vectorde estado como x(t) = [x1(t) x2(t)]

T = [iL(t) vc(t)]T y la senal de entrada

u(t) = vf (t), entonces usando conocimientos basicos de redes electricas, tenemosque:

dx(t)

dt=

01

L

− 1

C−R1 +R2

R1R2C

x(t) +

01

R1C

u(t) (10.76)



polos

autovalores Una eleccion alternativa del vector de estado puede ser x(t) = [x1(t) x2(t)]T =

[i(t) i2(t)]T . Donde puede probarse sin problema que

x(t) =1

R2

[R2 10 1

]

︸︷︷︸

T

x(t) (10.77)

222

10.3.4. Espacio de estado y funciones de transferencia

La representacion de sistemas mediante modelos de variables de estado esuna descripsion alternativa a las que hemos visto antes, tales como la ecuaciondiferencial del sistema (Capıtulo 3) y su funcion de transferencia asociada (Capıtu-los 6 y 7). Sin embargo, en esta seccion veremos que los modelos en espacio deestado permiten describir con mayor profundidad una conjunto mas general desistemas.

En primer lugar, el siguiente lema establece como obtener una representacionen variables de estado de un sistema, dada su funcion de transferencia.

Lema 10.3. Dado un sistema lineal en invariante del tiempo con entrada confuncion de transferencia:

H(s) =Y(s)

U(s)(10.78)

En que U(s) y Y(s) son las transformadas de Laplace de la entrada u(t) y lasalida y(t). Entonces, dada un modelo de estado con matrices A,B,C,D,tenemos que:

H(s) = C(sI − A)−1B + D (10.79)

Ademas, los polos de la funcion de transferencia H(s) pertencen al conjuntode los autovalores de la matriz A.Demostracion

Usando la definicion en la Seccion §7.2, la funcion de transferencia del sis-tema es la transformada de Laplace de la respuesta a impulso (delta de Dirac)del sistema, con condiciones iniciales iguales a cero. Por lo tanto, si aplicamosla transformada de Laplace a la ecuacion (10.44), tenemos que:

sX(s) −0

︷︸︸︷

x(0−) = AX(s) + B

1︷︸︸︷

Lδ(t) (10.80)

(sI − A)X(s) = B (10.81)

X(s) = (sI − A)−1B (10.82)

De igual forma, aplicando Laplace a la ecuacion (10.45) y reemplazando latransformada del vector de estado X(s), obtenemos:

Y(s) = H(s) = CX(s) + DLδ(t) = C(sI − A)−1B + D (10.83)


cancelacionPor otro lado, para obtener los polos de la transferencia H(s) podemos ree-scribir la inversa de (sI − A) usando las propiedades en el Apendice F. De estaforma:

H(s) = CAdj(sI − A)

det(sI − A)B + D =

CAdj(sI − A)B + Ddet(sI − A)

det(sI − A)(10.84)

Lo que pone de manifiesto que todos los polos de H(s) son autovalores de lamatriz A.

222

Es importante notar que no necesariamente los polos de la funcion detransferencia son todos los autovalores del sistema, pues la ecuacion (10.79)puede tener cancelaciones encubiertas entre raıces del numerador (ceros) y raıcesdel denominador (polos) . Esto se ilustra mejor a traves del siguiente ejemplo.

Ejemplo 10.7. Consideremos las matrices de un modelo de estado:

A =

[−2 10 −3

]

; B =

[1

0, 5

]

; C =[0 1

]; D = 0 (10.85)

Entonces, la funcion de transferencia asociada es:

H(s) = C(sI − A)−1B =1

(s+ 2)(s+ 3)

[0 1

][s+ 3 1

0 s+ 2

] [1

0, 5

]

(10.86)

=0, 5(s+ 2)

(s+ 2)(s+ 3)=

0, 5

(s+ 3)(10.87)

En este caso, la funcion de transferencia tiene solo un polo, a pesar que lamatriz A posee dos autovalores. Se observa que existe una cancelacion entre unpolo y un cero en H(s). Este fenomeno tiene relacion directa con las propiedadesdel sistema que se estudian en la Seccion §10.6.

222

Para interpretar este hecho en la practica, volvamos una vez mas al levita-dor magnetico del Ejemplo 10.3 en la pagina 259. Si consideramos la corrientei(t) como salida, vemos de inmediato que la funcion de transferencia desde laentrada e(t) a esta salida tiene solo un polo, a pesar que el vector de estadotiene dimension tres. La explicacion de esto es que, en nuestro modelo fısicosimplificado, la corriente i(t) no es afectada por la posicion ni por la velocidadvertical de la esfera. Note que la situacion seria diferente si consideraramos enel modelo el efecto del cambio de posicion de la esfera en la inductancia delelectroiman.

De esta forma, vemos que la funcion de transferencia puede no en-tregar la misma informacion que el modelo en variables de estadopara un sistema dado.


realizacion mınima

funcion de transferencia!estrictamente propiaUn problema interesante es obtener una representacion de estado de un sis-

tema a partir de su funcion de transferencia. El lector debe tener la precaucionde considerar un modelo de estado adecuado, el cual no contenga cancelacionesentre polos y ceros implıcitas. Teniendo esto en cuenta, el modelo obtenido sedenomina realizacion mınima.

Existen diferentes metodos para obtener un modelo en variables de estado apartir de la funcion de transferencia, y a continuacion ilustramos uno de ellos.

Consideremos la funcion de transferencia dada por

HT (s) =Bo(s)

Ao(s)+HT (∞) =

bn−1sn−1 + bn−2s

n−2 + . . . b1s+ b0sn + an−1sn−1 + . . .+ a1s+ a0

+HT (∞)

(10.88)

En primer lugar, podemos apreciar que D = HT (∞), por tanto basta consid-erar la funcion de transferencia H(s) = HT (s)−HT (∞), que es estrictamentepropia.

Consideremos ahora v`(t) ∈ R cuya transformada de Laplace es V`(s) talque:

V`(s) =s`−1

Ao(s)U(s) ` ∈ 1, 2, . . . , n (10.89)

Esto implica que:

v`(t) =dv`−1(t)

dt` ∈ 2, . . . , n (10.90)

Y (s) =n∑

`=1

b`−1V`(s) (10.91)

U(s) =Ao(s)

Ao(s)U(s) =

sn

Ao(s)U(s)

︸︷︷︸

sVn(s)

+n∑

`=1

a`−1s`−1

Ao(s)U(s)

︸︷︷︸

V`(s)

(10.92)

Ahora si escogemos como variables de estado x`(t) = v`(t), la ecuacion cor-responde a:

A =

0 1 0 · · · 0 00 0 1 · · · 0 0...

......

......

−a0 −a1 −a2 · · · −an−2 −an−1

; B =

00...01

(10.93)

C =[b0 b1 b2 · · · bn−1

]; D = HT (∞) (10.94)

Ejemplo 10.8. La funcion de transferencia de un sistema esta dada por:

H(s) =4s− 10

(s+ 2)2(s− 1)=

4s− 10

s3 + 3s2 − 4(10.95)

10.4. MODELOS DE ESTADO PARA SISTEMAS DISCRETOS Y MUESTREADOS273

sistema!discreto

sistema!muestreado

discretizacion

muestreo

PLC

conversor!digital-analogo(DAC)

conversor!analogo-digital(ADC)

DAC|seeconversor

ADC|seeconversor

Entonces una realizacion mınima para este sistema es:

A =

0 1 00 0 14 0 −3

; B =

001

(10.96)

C =[−10 4 0

]; D = 0 (10.97)

222

Otro resultado importante, cuya demostracion se deja como ejercicio para ellector, es

La funcion de transferencia de un sistema es invariante respecto a transfor-maciones de similaridad del estado

10.4. Modelos de estado para sistemas discretosy muestreados

En esta seccion estudiaremos la representacion de estado para sistemas detiempo discreto, usando como base los resultados ya obtenidos para sistemas detiempo continuo.

Antes de comenzar es importante distinguir que un modelo en tiempo dis-creto puede originarse de dos formas:

A partir de un sistema intrınsecamente discreto, y generalmente no lineal,cuyas variables estan definidas solo en intantes de tiempo especıficos tk.Estos pueden originarse, por ejemplo, en el modelamiento de sistemaseconomicos o en el modelamiento de procesos estocasticos.

O bien, a partir de la discretizacion de un sistema de tiempo continuo.En este caso, interesa el valor las variables del sistema en instantes detiempo especıficos. Esto se denomina muestreo. Los modelos de este tiposon muy utiles cuando sistemas digitales, tales como microcontroladores,computadores, controladores logicos programables (PLC’s) u otros, debeninteractuar con sistemas reales de tiempo continuo, tales como estruc-turas mecanicas, valvulas, tanques, circuitos analogos, o con procesos in-dustriales completos2. Este tipo de sistemas se denominan sistemasmuestreados.

Cualquiera que sea el origen del modelo discreto, nos concentraremos en elcaso en que este es lineal e invariante en el tiempo, tal como lo hicimos enel caso de tiempo continuo.

2La conexion requiere de conversores Digital-Analogo y Analogo-Digital (DAC y ADC, sussiglas en ingles, respectivamente)


linealizacion

sistema!muestreado

muestreo

sampling|seemuestreo

retentor

10.4.1. Linealizacion de sistemas discretos

El equivalente en tiempo discreto de las ecuaciones (10.3)-(10.4) esta dadopor las expresiones no lineales:

x[t+ 1] = Fd(x[t],u[t]) (10.98)

y[t] = Gd(x[t],u[t]) (10.99)

La linealizacion se realiza de manera analoga que para el caso continuo,considerando primero un punto de equilibrio, dado por el trıo xQ,uQ,yQ,que satisface las ecuaciones:

xQ = Fd(xQ,uQ) (10.100)

yQ = Gd(xQ,uQ) (10.101)

Podemos apreciar que el punto de equilibrio queda definido por un conjuntode valores constantes para el estado del sistema y para su entrada, que debensatisfacer (10.98)-(10.99). Esto implica un valor constante tambien en la salidadel sistema. El sistema discreto puede ser entonces linealizado en torno a estepunto de equilibrio, definiendo las senales:

∆x[t] = x[t] − xQ; ∆u[t] = u[t] − uQ; ∆y[t] = y[t] − yQ (10.102)

Obtenemos ası el modelo en variables de estado:

∆x[t+ 1] = Ad∆x[t] + Bd∆u[t] (10.103)

∆y[t] = Cd∆x[t] + Dd∆u[t] (10.104)

donde las matrices son:

Ad =∂Fd

∂x


; Bd =∂Fd

∂u


; Cd =∂Gd

∂x


; Dd =∂Gd

∂u


(10.105)

10.4.2. Sistemas muestreados

Como hemos dicho antes, los modelos de tiempo discreto se obtienen amenudo al hacer un muestreo3 de las entradas y salidas de un sistema de tiempocontinuo.

Cuando algun dispositivo digital se utiliza para actuar sobre un sistema detiempo continuo, la senal de actuacion o de comando sobre el solo se define enciertos instantes de tiempo especıficos, y no para todo instante de tiempo t. Sinembargo, siempre necesitaremos una senal continua para actuar sobre el sistema(de tiempo continuo). Esta senal se obtiene usualmente a traves de un retentor,el cual genera una senal constante por tramos, manteniendo el ultimo valorespecificado hasta que se define el siguiente. Este tipo de retentor se denomina

3Sampling, en ingles


ZOH|seeretentor

muestreo!perıodo de

perıodo!de muestreo

retentor de orden cero 4. Es importante considerar que existen otras formasde generar una senal de actuacion continua a partir de la secuencia discreta(vease, por ejemplo, [3]).

Ademas de la senal de actuacion, es necesario medir las variables que nosinteresan de un sistema en los instantes de tiempo especıficos que se requiera.Es decir, debemos muestrear las senales de salida.

En la Figura 10.7 se describe la discretizacion de un sistema continuo. Sisuponemos un muestreo periodico, con periodo ∆, nos interesa el valor de lasvariables solo en los instantes k∆, en que k ∈ N. En las secciones posterioresomitiremos el perıodo de muestreo ∆ del argumento de las senales, usandou(k∆) = u[t] para la entrada, y(k∆) = y[t] para la salida, y x(k∆) = x[t] parael estado del sistema, donde ahora t representa los instantes de tiempo discreto.

y[k](t)uS

(t)yu[k]Tiempo Continuo

Sistema deRetentor(Hold) (Sample)

Muestreo

Figura 10.7: Esquema de un sistema muestreado

Si consideramos el modelo en variables de estado, lineal, invariante y detiempo continuo definido en (10.44)-(10.45), con estado inicial x(k0∆) = x0,entonces podemos usar la ecuacion (10.46) para calcular el valor del estado enel proximo instante de muestreo:

x(k0∆ + ∆) = eA(k0∆+∆−k0∆)x(k0∆) +

∫ k0∆+∆

k0∆

eA(k0∆+∆−τ)B u(τ)dτ

(10.106)Es mas, si u(τ) es generada mediante un retentor de orden cero, entonces:

u(τ) = u(k0∆) k0∆ ≤ τ < k0∆ + ∆ (10.107)

De esta forma, haciendo el cambio de variable η = k0∆ + ∆− τ , se obtiene:

x(k0∆ + ∆) = eA∆x(k0∆) +

∫ ∆

0

eAηdη B u(k0∆) (10.108)

Es mas, dado el estado y la entrada en un instante k0∆, la salida del sistemaqueda definida por la ecuacion (10.45), es decir:

y(k0∆) = C x(k0∆) + D u(k0∆) (10.109)

4Zero Order Hold o ZOH, en ingles


exponencial!de una matriz Por lo tanto, dado un sistema de tiempo continuo con un modelo en variablesde estado con matrices A,B,C,D, si muestreamos sus entradas y salidas cada∆ segundos, entonces, el sistema muestreado equivalente queda descrito por elmodelo de estado en tiempo discreto:

x(k∆ + ∆) = Adx(k∆) + Bdu(k∆) (10.110)

y(k∆) = Cdx(k∆) + Ddu(k∆) (10.111)

donde las matrices son:

Ad = eA∆ ; Bd =

∫ ∆

0

eAηdη B ; Cd = C ; Dd = D (10.112)

Existen diferentes metodos para obtener la matriz Ad definida mediantela exponencial de una matriz en el extremo izquierdo de (10.112). Una opciones utilizar la definicion de la exponencial de una matriz en el Apendice F, sinembargo, a menudo es mas simple calcularla empleando la transformada deLaplace inversa, de manera que:

Ad = eA∆ = L−1(sI − A)−1

∣∣t=∆

(10.113)

Note que el metodo propuesto involucra tres pasos esencialmente:

(i) Dada la matriz A, se obtiene la matriz inversa de (sI − A).

(ii) A continuacion se aplica transformada de Laplace inversa a cada compo-nente de (sI − A)−1.

(iii) Finalmente, las funciones temporales en cada una de las entradas de lamatriz obtenida se evaluan en t = ∆.

Veamos a continuacion un ejemplo para aclarar e ilustrar las ideas presen-tadas hasta el momento.

Ejemplo 10.9. Consideremos el sistema mecanico del Ejemplo 10.1 en la pagi-na 255, que fue descrito en variables de estado segun las ecuaciones:

[

x1(t)

x2(t)

]

=

[

0 1

−KM − D

M

][

x1(t)

x2(t)

]

+

[

0

− 1M

]

f(t) (10.114)

donde f(t) es la fuerza externa, y donde podemos escoger como salida del sistemaya sea la posicion de la masa, x1(t), o su velocidad, x2(t).

Para simplificar las expresiones, supongamos algunos valores para los paramet-ros del sistema. Se fija la masa M = 1 [kg], la constante de roce viscoso D = 1, 2[Ns/m] y la constante del resorte K = 0, 32 [N/m].


matriz!de transicion! discretaLa matriz Ad se obtiene usando (10.113), aplicando transformada de Laplaceinversa:

Ad = L−1

[

s −1

0, 32 s+ 1,2

]−1

∣∣∣∣∣∣t=∆

=

[

2e−0,4∆ − e−0,8∆ 2,5(e−0,4∆ − e−0,8∆)

0, 8(e−0,4∆ − e−0,8∆) −e−0,4∆ + 2e−0,8∆

]

(10.115)

La matriz Bd se obtiene, segun (10.112), integrando:

Bd =

∫ ∆

0

[2e−0,4η − e−0,8η 2,5(e−0,4η − e−0,8η)

0, 8(e−0,4η − e−0,8η) −e−0,4η + 2e−0,8η

]

dη

[01

]

=

[−6,25e−0,4∆ + 3,125e−0,8∆ + 3,125

2,5(e−0,4∆ − e−0,8∆)

]

(10.116)

Note que ambas matrices, Ad y Bd son funciones de ∆. Por tanto, el perıodode muestreo ∆, tiene una clara influencia sobre el comportamiento del sistemamuestreado, tal como veremos mas adelante.

222

10.4.3. Modelos de estado lineales

Concentremonos ahora en el modelo en variables de estado, lineal e invarianteen el tiempo:

x[t+ 1] = Adx[t] + Bdu[t] (10.117)

y[t] = Cdx[t] + Ddu[t] (10.118)

Este puede corresponder a un modelo linealizado como (10.103)-(10.104),o a un sistema muestreado como (10.110)-(10.111) donde ∆ se ha omitido delargumento temporal.

Lema 10.4. Dado el sistema de tiempo discreto definido en las ecuaciones(10.117) y (10.118), sujeto a la condicion inicial x[to] = xo, su solucion esta da-da por

x[t] = Ad(t−to)xo +

(t−to)−1∑

i=0

Ad(t−to)−i−1Bdu[i+ to] ∀ t ≥ to (10.119)

donde Ad(t−to) es la matriz de transicion discreta.

Demostracion


respuesta!no forzada A partir de la ecuacion (10.117), usando la condicion inicial x[to] = xo,puede determinarse completamente la trayectoria futura del estado. Ası:

x[to + 1] = Adx[to] + Bdu[to] (10.120)

x[to + 2] = Adx[to + 1] + Bdu[to + 1]

= Ad

(

Adx[to] + Bdu[to])

+ Bdu[to + 1]

= Ad2x[to] + AdBdu[to] + Bdu[to + 1] (10.121)

...

Por induccion, tenemos que:

x[to + `] = Ad`x[to] +

`−1∑

i=0

Ad`−1+iBdu[to + i] ∀` ≥ 0 (10.122)

Este ultima ecuacion coincide con la ecuacion (10.119) al hacer ` = t− to.

222

Con el resultado del lema anterior, podemos encontrar la solucion a laecuacion (10.118), pues la salida del sistema queda determinada en todo mo-mento por el vector de estado:

y[t] = CdAd(t−to)xo + Cd

(t−to)−1∑

i=0

(

Ad(t−to)−i−1Bdu[to + i]

)

+ Ddu[t]

(10.123)

Dinamica del sistema

El vector de estado que se obtiene al resolver las ecuaciones del sistema,analogamente al caso de tiempo continuo, tiene dos componentes: la componenteno forzada, xu[t], y la forzada, xf [t], donde:

xu[t] = Ad(t−to)xo (10.124)

xf [t] =

(t−to)−1∑

i=0

Ad(t−to)−i−1Bdu[to + i] (10.125)

Estructura de la respuesta no forzada

Para simplificar el analisis del modelo y su solucion, aprovecharemos la in-varianza en el tiempo, considerando el caso en que to = 0 and u[t] = 0 ∀ t ≥ 0,i.e. el estado tiene solo su parte no forzada. En este caso:

x[t] = Adtxo (10.126)


estabilidad

velocidadPor simplicidad asumiremos que Ad ∈ Rn×n tiene n autovalores distintos

η`, con n autovectores linealmente independientes v`, entonces siempre existeun conjunto de n constantes α` tales que:

xo =n∑

`=1

α`v` ; α` ∈ C (10.127)

Del algebra lineal (Apendice F) sabemos que los autovalores la matriz Adt

son ηt`, para t ∈ N, con sus correspondientes autovectores v`. De esta forma, seobtiene:

x[t] = Adtxo = Ad

tn∑

`=1

α`v` =n∑

`=1

αÀdtv`

︸︷︷︸

ηt`v`

=n∑

`=1

α`ηt`v` (10.128)

Esta ecuacion pone de manifiesto que la componente no forzada del estadoes una combinacion lineal de modos de la forma η` t, cada uno esta asociadocon un autovalor de Ad. Esto establece un resultado muy importante:

Los frecuencias naturales de un sistema de tiempo discreto son iguales a losvalores propios de la matriz Ad de su representacion en variables de estado.Es decir, la ecuacion caracterıstica de un sistema esta dada por:

det(ηI − Ad) = 0 (10.129)

Analogamente al caso de los modelos de tiempo continuo, esto indica que lamatriz Ad determina:

la estructura de la respuesta no forzada,

la estabilidad (o inestabilidad) del sistema, y

la velocidad de la respuesta.

El analisis previo puede extenderse al caso en que la matriz Ad posee valorespropios repetidos, utilizando la forma de Jordan (Apendice F).

En ausencia de entrada, el estado del sistema evoluciona como una combi-nacion de sus modos naturales, los cuales pertenecen a una clase definida defunciones (Seccion §4.3.1). Estas se expresan como potencias de los autoval-ores reales o complejos, tal como se aprecia en la ecuacion (10.128), y estanrelacionadas con constantes, exponenciales reales, sinusoides puras o moduladaspor exponenciales, y otras funciones especiales que aparecen cuando hay auto-valores repetidos.

Ejemplo 10.10. Para ilustrar estas ideas consideremos el sistema muestreadoque vimos en el Ejemplo 10.9. Si ∆ = 1, las matrices de la representacion deestado son:

Ad =

[0, 8913 0, 5525−0, 1768 0, 2283

]

; Bd =

[0, 33970, 5525

]

(10.130)


respuesta!forzada

estabilidadLos autovalores del sistema son las soluciones de la ecuacion:

det(ηI − Ad) = det

([η − 0, 8913 −0, 5525

0, 1768 η − 0, 2283

])

(10.131)

= (η − 0, 6703)(η − 0, 4493) = 0 (10.132)

Es decir, η1 = 0, 6703 y η2 = 0, 4493. Por lo tanto, la respuesta no forzadaes de la forma:

xu[t] = C1(0, 6702)t + C2(0, 4493)

t (10.133)

donde C1 y C2 dependen solo del estado inicial.Podemos apreciar que cuando t tiende a infinito, xu[t] se hace cero, ya que

|η1,2| < 1. Ademas, estos autovalores son reales positivos, por tanto los modosnaturales no contienen oscilaciones. Esto es esperable pues en el Ejemplo 10.9se eligieron los parametros de manera que el sistema masa-resorte resulta sobreamortiguado.

222

Estructura de la respuesta forzada

Si se considera la ecuacion (10.119) con condicion inicial cero, el estado soloexhibe su componente forzada. Ademas de los modos naturales, esta senal in-cluye los modos forzados o particulares, que dependen del tipo de senal deentrada u[t]. En general, los modos forzantes en la entrada tambien apare-cerann en la salida del sistema, excepto en el caso que alguna de ellos coincidacon alguno un modo natural del sistema.

Estabilidad

La estabilidad de un sistema lineal, de tiempo discreto e invariante en eltiempo tambien puede ser analizada a traves de la matriz Ad. Ya hemos es-tablecido que todas las variables del sistema se pueden expresar como funcioneslineales del estado y la entrada. Cuando la entrada u[t] es un vector acotado enel tiempo, entonces las variables del sistema permaneceran acotadas si y solo siel estado esta acotado. Tenemos entonces el siguiente resultado:

Teorema 10.2. Dado un sistema descrito en variables de estado por las ecua-ciones (10.117)-(10.118), donde Ad, Bd, Cd y Dd tienen elementos acotados.Entonces, el estado del sistema estara acotado para toda entrada acotada si ysolo si los autovalores de la matriz Ad se encuentran en el interior del discounitario, i.e. |η`| < 1 ;∀`.

222

Velocidad de respuesta y resonancia

Recordemos que los modos naturales de un sistema de tiempo discreto sonlas potencias de los autovalores η`. Estos autovalores siempre pueden expresarse


transiente|seerespuesta!transitoria

respuesta!a escalon

resonancia

como un numero complejo en su forma exponencial, por lo tanto, un modonatural puede escribirse como:

(η`)t =

(|η`| ejθ`

)t= |η`|t ejθ`t ; donde θ` = ∠η` (10.134)

Por lo tanto, tenemos que:

La magnitud 0 < |η`| < ∞ determina la velocidad con la que el mododecae a cero, en el caso de sistemas estables (|η`| < 1), o crece hastainfinito, para sistema inestables (|η`| > 1).

El angulo −π < θ` ≤ π determina la frecuencia discreta de oscilacion delmodo natural, medida en radianes.

A pesar que los modos naturales de un sistema estable decaen a cero, ellosdeterminan la respuesta transiente del sistema. Para apreciar esto, generalmentese utiliza la respuesta!a escalon del sistema, con condiciones iniciales cero.

Ejemplo 10.11. Consideremos el sistema dicreto de primer orden:

x[t+ 1] = η`x[t] + u[t] (10.135)

y[t] = (1 − η`)x[t] (10.136)

Para obtener la respuesta a escalon, usamos la ecuacion (10.123), dondexo = 0 y u[t] = 1, ∀t ≥ 0:

y[t] = Cd

(t−1∑

i=0

Adt−i−1

)

Bd (10.137)

= (1 − η`)

(t−1∑

i=0

ηt−i−1`

)

= (1 − η`)ηt−1`

1 − η−t`1 − η−1

`

(10.138)

= 1 − ηt` (10.139)

La salida, y[t] = yh[t] + yp[t] se muestra en la Figura 10.8, para diferentesvalores del unico autovalor η`. El transiente esta dado por yh[t] = −ηt`, mientrasque la respuesta estacionaria es yp[t] = 1.

222

En la (10.134) apreciamos que los autovalores de un sistema determinanla amortiguacion de su respuesta transiente, sin embargo, tambien determinansu frecuencia de oscilacion (cuando los autovalores tienen parte imaginaria nonula). El problema que puede surgir cuando existen estos modos resonanteses analogo al caso de tiempo continuo cuando la entrada el sistema contieneuna sinusoide u otra senal con energıa en la banda de frecuencias cercana a lafrecuencia de oscilacion natural del sistema. A pesar que la salida del sistemapermanece acotada, ella puede alcanzar amplitudes intolerables para el sistemafısico real.


perıodo!de muestreo


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tiempo discreto k

y[k]

η = 0.2η = 0.6η = 0.8

Figura 10.8: Respuesta a escalon del sistema para diferentes autovalores.

Ejemplo 10.12. Consideremos el sistema discreto por:

x[t+ 1] =

[1,2796 −0, 81873

1 0

]

x[t] +

[10

]

u[t] (10.140)

y[t] =[0 0, 5391

]x[t] (10.141)

Los autovalores del sistema se obtiene a partir de Ad:

η1,2 = 0, 6398 ± j0, 6398 = 0, 9048 ejπ4 (10.142)

Los modos naturales asociados, presentes en la respuesta transiente, son:

ηt1,2 = 0, 9048t ejπ4t = 0, 9048t

(cos(π4 t)± j sen

(π4 t))

(10.143)

Los modos naturales estan levemente amortiguados, ya que |η1,2| es cercanoa 1, y muestra una oscilacion de frecuencia π

4 .En los graficos de la Figura 10.9 se muestra el efecto de resonancia en la

salida del sistema. En la parte superior, se ha considerado u[t] = sen(π4 t), es

decir, la entrada tiene la misma frecuencia que los modos naturales. En la parteinferior, en tanto, la entrada es una senal cuadrada de frecuencia π

12 . En esteultimo caso, la frecuencia de la tercera armonica de la entrada coincide conla de los modos naturales.

222

Efecto del perıodo de muestreo

Si observamos las ecuaciones (10.112), podemos notar que las matrices Ad yBd dependen de la eleccion del perıodo de muestreo ∆. Esta eleccion tendra unefecto directo sobre la posicion de los polos del sistema.

Lema 10.5. Dado un sistema de tiempo continuo con λi, . . . , λn, si estesistema es muestreado con un perıodo de muestreo ∆, entonces los autovaloresdel sistema discreto resultante son η1, . . . , η`, en que:

η` = eλ`∆ (10.144)


0 5 10 15 20 25 30 35 40−5

0

5

tiempo discreto k

y[k]u[k]

0 5 10 15 20 25 30 35 40−3

−2

−1

0

1

2

3

tiempo discreto k

y[k]u[k]

Figura 10.9: Resonancia en la salida del sistema.

DemostracionLa matriz del sistema de tiempo continuo A puede ser diagonalizada uti-

lizando sus autovalores:

A = T−1 diagλ1, . . . , λnT (10.145)

donde λ1, . . . , λn son los autovalores del sistema de tiempo continuo. En-tonces, usando (10.112):

Ad = eA∆ = eT−1 diagλ1,...,λnT∆ = eT

−1 diagλ1∆,...,λn∆T

= T−1 diageλ1∆, . . . , eλn∆T (10.146)

donde el ultimo paso es consecuencia de la definicion de la exponencial de unamatriz (Apendice F). De esta forma, a partir de (10.146) resulta evidente quelos autovalores de Ad son precisamente eλ1∆, . . . , eλn∆.

222

En la Figura 10.10 se muestra la respuesta del sistema muestreado del Ejem-plo 10.9, considerando x1[t] como la salida del sistema, cuando inicialmentexo = [1 0]T , para diferentes valores de ∆. Se debe notar que el eje horizontalcorresponde a los instantes discretos t, por tanto los instantes de tiempo realesson t∆ [seg.]


retardo

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

Tiempo de muestreo ∆=2

tiempo discreto k

x 1[k]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

Tiempo de muestreo ∆=1

x 1[k]

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

Tiempo de muestreo ∆=0.5

x 1[k]

Figura 10.10: Efecto del muestreo en los modos naturales

En base a lo anterior, es importante notar que:

La eleccion del perıodo de muestreo es un aspecto fundamental a considerarcuando se muestrea un sistema de tiempo continuo, de manera que sea lossuficientemente pequeno para reflejar fielmente las senales que se muestrean.

Ejemplo 10.13. Para ilustrat una mala eleccion de ∆, supongamos una senalf(t) = A sen(ωot) que es muestreada cada ∆ segundos, con ∆ = 2`π/ω, ` ∈ N.Entonces, la senal discreta resultante es f [t] = 0, ∀t ∈ Z, es decir, una constante!

222

Sistemas muestreados y retardos

En la seccion §10.3, mencionamos que no es posible describir sistemas conretardos puros mediante modelos en variables de estado de dimension finita. Sinembargo, este problema se puede ser evitado muestreando las senales. Esto seilustra a traves del siguiente ejemplo.

Ejemplo 10.14. Considere el sistema termico que se bosqueja en la Figura10.11. La temperatura medida en el caudal, y(t), depende de la potencia que


u(t)Sensor

y(t)

flujo

Calefactor

Figura 10.11: Sistema termico con retardo.

entregue al fluıdo la fuente de calor. Esta es controlado por una senal de controlu(t). Los cambios en u(t) producen cambios en la temperatura y(t), pero con unretardo de tiempo no despreciable. El sistema linealizado se representa mediantela funcion de transferencia:

Y (s)

U(s)= H(s) =

e−τsK

s+ λ(10.147)

Donde U(s) e Y (s) son las transformadas de Laplace de u(t) e y(t) respec-tivamente.

Supongamos luego que las senales de entrada y salida son muestreadas cada∆ [s]. El retardo τ , tambien en segundos, es funcion de la velocidad del flujo ypodemos suponer, por simplicidad, que τ es un multiplo del intervalo de muestreo∆, es decir, τ = m∆, m ∈ Z+. Este retardo se convierte en un factor zm en eldenominador de la funcion de transferencia en el dominio de la transformadaZeta. Es decir, el retardo se convierte en un conjunto de m polos en el origen.Ademas, en base a la ecuacion (10.144), el autovalor del sistema continuo ens = −λ se transforman en un autovalor del sistema discreto en z = e−λ∆. Lafuncion de transferencia resultante es:

Y [z]

U [z]= H[z] =

K

λ

1 − e−λ∆

zm(z − e−λ∆)(10.148)

que puede expresarse mediante el modelo de estado discreto:

x1[t+ 1] = x2[t] (10.149)

x2[t+ 1] = x3[t] (10.150)

......

xm[t+ 1] = xm+1[t] (10.151)

xm+1[t+ 1] = e−λ∆xm+1[t] +Kλ (1 − e−λ∆)u[t] (10.152)

y[t] = x1[t] (10.153)

Aun mas, podemos interpretar las variables de estado xm+1[t], . . . , x1[t] co-mo la temperatura en puntos equiespaciados entre el calefactor y el sensor detemperatura (suponiendo un caudal de velocidad constante).

222




similaridad


matriz!adjunta

Cuando el retardo τ no es multiplo exacto del perıodo de muestreo ∆, en lafuncion de transferencia aparecen un polo y un cero adicionales (consulte, porejemplo, [6]).

10.4.4. Transformaciones de similaridad

Las diferentes elecciones del vector de estado para sistemas discretos se rela-cionan de la misma manera que para sistemas de tiempo continuo a traves de lastransformaciones de similaridad (Seccion §10.3.3). De igual forma, muchas delas propiedades del sistema, como la ubicacion de las frecuencias naturales o au-tovalores, la controlabilidad y la observabilidad tambien permanecen invariantesante este tipo de transformaciones.

10.4.5. Espacio de estado y funciones de transferencia

Para los sistemas de tiempo discreto la relacion entre los modelos en variablesde estado y aquellos mediante funciones de transferencia es analoga al caso detiempo continuo (Seccion §10.3.4).

Como hemos mencionado, el modelo en variables de estado de un sistemalineal, invariante en el tiempo es una descripcion alternativa a la funcion detransferencia, que a menudo entrega mayor informacion sobre el sistema.

Para un sistema de tiempo discreto, lineal e invariante, con entrada u[t] ∈ Rm

y salida y[t] ∈ Rp, la funcion de transferencia, H[z], esta definida como:

Y[z] = H[z]U[z]; where [H[z]]ij =Yi[z]

Uj [z](10.154)

Es decir, el elemento (i, j) en la matriz H[z] es la transformada Zeta de larespuesta en la i-esima salida cuando se aplica un delta de Kronecker de am-plitud unitaria en la j-esima entrada, con condiciones iniciales cero y las demasentradas son iguales a cero ∀t ≥ 0.

Por otro lado, si se aplica transformada Zeta a modelo en variables de estadode tiempo discreto (10.117)-(10.118), con condiciones iniciales cero, tenemos:

X[z] = (zI − Ad)−1BdU[z] (10.155)

Y[z] = CdX[z] + DdU[z] (10.156)

que se reduce a:Cd(zI − Ad)−1Bd + Dd = H[z] (10.157)

En adelante, nos concentraremos en los sistemas escalares o SISO, i.e. m =p = 1, Bd,Cd

T son vectores columna, y Dd = H[∞]. Podemos apreciar que eneste caso H[z] es un cuociente de polinomios en la variable z, i.e.

H[z] =Cd Adj(zI − Ad)Bd + Dd det(zI − Ad)

det(zI − Ad)(10.158)

donde Adj() denota la matriz adjunta de la matriz () (ver Apendice F.

10.5. MODELOS DE ESTADO PARA SISTEMAS INTERCONECTADOS287

cancelacion

realizacion mınima

sistema!interconexion

Analogamente al caso de tiempo continuo, podemos observar que los polosde la funcion de transferencia pertenecen al conjunto de autovalores de la ma-triz Ad. Sin embargo, como se aprecia en el Ejemplo 10.7 en la pagina 271,para el caso continuo, puede suceder que algunos de los autovalores de Ad noaparezcan como polos de la funcion de transferencia. Esto implica la existenciade cancelaciones entre polos y ceros de la funcion de transferencia (ver Secciones§10.6.1 y §10.6.2, mas adelante).

El resultado central para sistemas de tiempo discreto es el mismo que para elcaso de sistemas de tiempo continuo : la funcion de transferencia puedeno aportar la misma informacion que el modelo en variables deestado para un mismo sistema.

Para obtener un modelo en variables de estado a partir de la funcion detransferencia de un sistema discreto, podemos usar el mismo procedimientopropuesto para sistemas continuos en la Seccion §10.3.4. En este caso, usamosla transformada Zeta en lugar de la transformada de Laplace, que satisface lapropiedad (ver Apendice E):

F [z] = Z f [t] ⇐⇒ zF [z] = Z f [t+ 1] (10.159)

Ejemplo 10.15. Consideremos el sistema discreto dado por su funcion detransferencia:

H[z] =2z2 − z + 1

(z − 0, 8)(z − 0, 6)=

1,8z + 0, 04

z2 − 1,4z + 0, 48+ 2 (10.160)

Una realizacion mınima para este sistema esta dada por las matrices:

Ad =

[0 1

−0, 48 −1,4

]

; Bd =

[01

]

(10.161)

Cd =[0, 04 1,8

]; Dd = 2 (10.162)

222

Para sistemas de tiempo discreto tambien tenemos que la funcion detransferencia del sistema es invariante respecto a transformacionesde similaridad.

10.5. Modelos de estado para sistemas interconec-tados

Para construir modelos en espacio de estados de sistemas complejos estospueden ser a menudo descritos como la interconexion de sistemas mas simples.Esta interconexion es usualmente la combinacion de tres tipos basicos de es-tructuras: conexion en serie, en paralelo y en realimentacion. En cada uno de


conexion!serie(cascada)

serie!conexion

cascada|seeconexion

conexion!paralelo

paralelo!conexion

estos casos nos interesa obtener un modelo en variables de estado del sistemacompleto resultante.

Para el analisis que sigue consideramos dos sistemas, definidos mediante sumodelo en variables de estado:

Sistema 1:

dx1(t)

dt= A1x1(t) + B1u1(t)

y1(t) = C1x1(t) + D1u1(t)(10.163)

Sistema 2:

dx2(t)

dt= A2x2(t) + B2u2(t)

y2(t) = C2x2(t) + D2u2(t)(10.164)

Conexion en serie

La interconexion de sistemas que se muestra en la Figura 10.12 se denominaconexion en serie o en cascada. Para obtener el modelo de estado deseado,observamos que y2(t) = u1(t). Ademas, el sistema completo tiene como entradau(t) = u2(t), y como salida y(t) = y1(t). Con esto se obtiene:

[x1(t)x2(t)

]

=

[A1 B1C2

0 A2

] [x1(t)x2(t)

]

+

[B1D2

B2

]

u(t) (10.165)

y(t) =[C1 D1C2

][x1(t)x2(t)

]

+ D1D2u(t) (10.166)

x (t)12

x (t)u (t)

1y (t)

1y(t)u(t)

u (t)2 2

y (t)

Figura 10.12: Conexion de sistemas en serie

Conexion en paralelo

La interconexion de sistemas que se muestra en la Figura 10.13 se denominaconexion en paralelo. Para obtener el modelo de estado deseado, observamosque la entrada es u(t) = u1(t) = u2(t) y que la salida para el sistema se expresacomo y(t) = y1(t) + y2(t). De esta forma, se obtiene:

[x1(t)x2(t)

]

=

[A1 00 A2

] [x1(t)x2(t)

]

+

[B1

B2

]

u(t) (10.167)

y(t) =[C1 C2

][x1(t)x2(t)

]

+ D1 + D2u(t) (10.168)

10.5. MODELOS DE ESTADO PARA SISTEMAS INTERCONECTADOS289

conexion!realimentacion

realimentacion

feedback!seerealimentacion

lazo de control

planta

controlador

x (t)1

y (t)1

y (t)2

u (t)2

u (t)1

y(t)u(t)

2x (t)

+

+

Figura 10.13: Conexion de sistemas en paralelo

Conexion en realimentacion

La interconexion de sistemas que se muestra en la Figura 10.14 se denominaconexion en realimentacion o feedback (con realimentacion negativa unitaria), yaparece normalmente asociada a la estructura basica del lazo de control reali-mentado, donde S1 es la planta y S2 es el controlador. Para obtener el modelo envariables de estado del sistema en su conjunto, podemos apreciar que la entradaal sistema completo satisface la ecuacion u(t) = u2(t) + y1(t), y que la salidadel sistema es y(t) = y1(t). Si suponemos ademas que el sistema S1 (la planta)es estrictamente propia, es decir, D1 = 0, se obtiene:

[x1(t)x2(t)

]

=

[A1 − B1D2C1 B1C2

−B2C1 A2

] [x1(t)x2(t)

]

+

[B1D2

B2

]

u(t) (10.169)

y(t) =[C1 0

][x1(t)x2(t)

]

(10.170)

x (t)12

x (t)y (t)

1y(t)u(t) u (t)

2y (t)

2

1u (t)+

−

Figura 10.14: Conexion de sistemas en realimentacion (feedback)

Es importante notar que es posible aplicar los mismos resultados anterioresa modelos de estado de sistemas de tiempo discreto interconectados. El lectorinteresado en mas detalles puede consultar, por ejemplo, [22].


sistema!propiedades

control

controlabilidad

sistema!controlable

estado!controlable

alcanzabilidad

sistema!alcanzable

estado!alcanzable

10.6. Propiedades de los sistemas

10.6.1. Controlabilidad, Alcanzabilidad y Estabilizabilidad

Una cuestion de interes, en especial pensando en el control de sistemas, esbajo que condiciones es posible llevar el vector de estado a un punto especıficodel espacio de estado, a traves de las senales de entrada al sistema. Debemosrecordar que el estado de un sistema a menudo esta formado por variablesinternas de este, tales como temperatura, presion, el nivel de algun estanqueu otras, que en pueden ser crıticas e interesa mantenerlas controladas entrealgunos valores especıficos. En esta seccion se revisan conceptos relacionadoscon este objetivo.

Controlabilidad

El concepto de controlabilidad se refiere a determinar si, a partir de unacondicion inicial x0, es posible o no llevar el vector de estado al origen,x = 0, en un tiempo finito, usando la entrada u(t).

Ejemplo 10.16. Si observamos el modelo definido en (10.171), podemos apre-ciar que la entrada u(t) no tiene efecto alguno sobre el estado x2(t).

[x1(t)x2(t)

]

=

[0 10 0

] [x1(t)x2(t)

]

+

[10

]

u(t) (10.171)

Dado un estado inicial [x1(0), x2(0)]T , la entrada u(t) puede ser elegida para

llevar x1(t) a cero, mientras que x2(t) no sufre ningun cambio. Diremos queeste sistema no es completamente controlable.

222

Formalmente, tenemos la siguiente definicion:

Definicion 10.1. Un estado xo se dice controlable si existe un intervalo detiempo finito [0, T ] y una entrada u(t), t ∈ [0, T ] tal que x(T ) = 0. Si todoslos estados son controlables, entonces se dice que el sistema es completamentecontrolable.

Alcanzabilidad

Un concepto relacionado con la controlabilidad es la alcanzabilidad, usadoen general para sistemas de tiempo discreto. Formalmente se define como:

Definicion 10.2. Un estado x 6= 0 se dice alcanzable desde el origen, si dadox(0) = 0, existe un intervalo de tiempo finito [0, T ] y una entrada u(t), t ∈[0, T ] tal que x(T ) = x. Si todos los estados del sistema son alcanzables se diceque el sistema es completamente alcanzable.

10.6. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS 291

controlabilidad!test

alcanzabilidad!test

controlabilidad!matriz

matriz!de controlabilidad

Para sistemas de tiempo continuo, lineales e invariantes, completa contro-labilidad y alcanzabilidad son equivalentes. Sin embargo, el ejemplo siguienteilustra una diferencia entre estas propiedades para sistemas de tiempo discreto.

Ejemplo 10.17. Considere el sistema y la salida:

x[t+ 1] =

[0, 5 1

−0, 25 −0, 5

]

︸︷︷︸

Ad

x[t] =⇒ x[t] =

[0, 5 1

−0, 25 −0, 5

]t

x[0] (10.172)

Podemos apreciar que el sistema es completamente controlable, pues x[t] = 0,∀t ≥ 2 y ∀x[0] ∈ R2. Esto implica que cualquier estado inicial es controlable.Sin embargo, ningun estado diferente de cero es alcanzable desde el origen, yaque si x[0] = 0, entonces x[t] = 0, ∀t ∈ N.

222

Dada esta distincion entre controlabilidad y alcanzabilidad para sistemas dis-cretos, en adelante usaremos el termino controlabilidad para referirnos al masfuerte de ambos conceptos. Sin embargo, en el contexto de sistemas lineales e in-variantes en el tiempo, por lo general se habla indistintamente de controlabilidady alcanzabilidad.

Test de controlabilidad

Dado que no siempre es posible, a priori, determinar si un sistema es o nocontrolable, se presenta a continuacion una manera sistematica para determinarla completa controlabilidad de un sistema. Los conceptos involucrados sobrematrices pueden ser consultados en el Apendice F.

Teorema 10.3. Considere el modelo de estado lineal e invariante en el tiempo,donde A ∈ Rn×n:

x(t) = Ax(t) + Bu(t) (10.173)

y(t) = Cx(t) + Du(t) (10.174)

(i) El conjunto de todos los estados controlables es el espacio rango de lamatriz de controlabilidad Γc[A,B] donde:

Γc[A,B]4=[B AB A2B . . . An−1B

](10.175)

(ii) El modelo es completamente controlable si y solo si Γc[A,B] tiene rangofila completo.

222

Ejemplo 10.18. Considere el modelo en variables de estado dado por (10.171),con matrices de estado:

A =

[0 10 0

]

; B =

[10

]

(10.176)


similaridad

controlabilidad!perdidaLa matriz de controlabilidad del sistema es:

Γc[A,B] = [B,AB] =

[1 00 0

]

(10.177)

Claramente, el rango Γc[A,B] = 1, por tanto el sistema no es completa-mente controlable.

222

Este test puede ser aplicado indistamente para analizar la controlabilidad desistemas de tiempo continuo y la alcanzabilidad de sistemas de tiempo discreto.

La controlabilidad de un sistema es otra de las propiedades que no dependede la eleccion de las variables de estado. Si consideramos una transformacion desimilaridad arbitraria T (ver Seccion §10.3.3) observamos que:

An

= (T−1AT)(T−1AT) . . . (T−1AT)

= T−1A (TT−1)A(TT−1) . . . (TT−1)AT = T−1AnT (10.178)

para todo n ∈ N, por lo tanto:

Γc[ A,B ] = T−1Γc[A,B] (10.179)

Esto implica que la matrices Γc[ A,B ] y Γc[A,B] tienen el mismo rango,pues T es no singular.

El lector puede verificar que los modelos en variables de estado usados paradescribir senales en la Seccion §10.2.3 corresponden son no controlables. De he-cho, cualquier modelo de estado en que B = 0 resulta ser no controlable.

Perdida de controlabilidad

La falta de controlabilidad en un sistema en ocasiones puede originarse en laestructura misma del sistema, sin embargo, en otras ocasiones depende del valornumerico de ciertos parametros. Esto se ilustra a traves del siguiente ejemplo.

Ejemplo 10.19. Considere el circuito en la Figura 10.15 en la pagina siguiente.En primer lugar, nos interesa obtener un modelo de el en variables de estado.Eligiendo como variables de estado x1(t) = iR1(t) y x2(t) = vC3(t), y usandoleyes basicas de redes electricas para la parte izquierda del circuito, tenemos que:

iC1 = C1d

dt(vi−v+); iR1 =

vi − v+R1

; iR2 =v+R2

; iC1 = iR2−iR1 (10.180)

Lo que permite obtener:

diR1(t)

dt= − (R1 +R2)

C1R1R2iR1(t) +

1

C1R1R2vi(t) (10.181)

v+(t) = −R1iR1(t) + vi(t) (10.182)


R1i (t)

R1

v (t)+ v (t)

−

v (t)C3

v (t)o

C3

R3

2RC

1v (t)

i

+

−

Op.Amp.

Figura 10.15: Circuito electronico para el Ejemplo 10.19.

De manera similar, para el lado derecho del circuito tenemos que:

dvC3(t)

dt= − 1

R3C3vC3(t) +

1

R3C3v−(t) (10.183)

vo(t) = vC3(t) (10.184)

El amplificador operacional (ideal) asegura que v+(t) = v−(t), por tanto,podemos combinar (10.181)–(10.184) para obtener:

diR1(t)

dtdvC3(t)

dt

=

− (R1 +R2)

C1R1R20

− R1

R3C3− 1

R3C3

[iR1(t)vC3(t)

]

+

1

C1R1R21

C3R3

vi(t) (10.185)

vo(t) =[0 1

][iR1(t)vC3(t)

]

(10.186)

La matriz de controlabilidad esta dada por:

Γc[A,B] =

[

B AB

]

=

1

R1R2C1

−(R1 +R2)

(R1R2C1)2

1

R3C3

−(R2C1 +R3C3)

(R3C3)2R2C1

(10.187)

y su determinante es igual a:

det (Γc[A,B]) =R2

(R1R2R3C1C2)2(−R1C1 +R3C3) (10.188)

donde se observa que el sistema es completamente controlable si y solo si:

R1C1 6= R3C3 (10.189)


cancelacion

gramiano!controlabilidad

controlabilidad!gramiano

Esta condicion tiene una interpretacion muy importante desde el punto devista de la funcion de transferencia del sistema. Si se aplica transformada deLaplace a las ecuaciones (10.181)–(10.184), la funcion de transferencia desdeVi(s) a Vo(s), recordando que V+(s) = V−(s), esta dada por:

Vo(s)

Vi(s)=Vo(s)

V−(s)

V+(s)

Vi(s)=

1

R3C3(

s+1

R3C3

) ·

(

s+1

R1C1

)

(

s+R1 +R2

R1R2C1

) (10.190)

Donde se aprecia que la perdida de la completa controlabilidad cuando R1C1 =R3C3 (obtenida a partir de (10.188)), se traduce en una cancelacion de uncero con un polo en la funcion de transferencia. Siendo mas especıfico, el cerode la mitad izquierda del circuito en la Figura 10.15 se cancela con el polo dela otra parte del circuito. Este hecho sera analizado con mayor detalle en laSeccion §10.6.3.

222

Gramiano de controlabilidad

El test de controlabilidad da una respuesta afirmativa o negativa sobre la(completa) controlabilidad de un sistema dado. Sin embargo, el saber que unsistema es completamente controlable no dice nada respecto a que grado decontrolabilidad el sistema posee, es decir, que tan difıcil es controlar un estadodel sistema.

Para sistemas estables es posible cuantificar el esfuerzo de control a travesde la energıa involucrada en la senal de entrada u(t) aplicada desde t = −∞para alcanzar el estado x(0) = x0 en t = 0:

J(u) =

∫ 0

−∞‖u(t)‖2dt =

∫ 0

−∞u(t)Tu(t)dt (10.191)

Se puede demostrar [1] que la energıa de control mınima necesaria es:

J(uopt) = xT0 P−1x0 ≥ 0 (10.192)

donde

P =

∫ ∞

0

eAtBBT eAT tdt (10.193)

La matriz P ∈ Rn se denomina gramiano de controlabilidad, y es unamedida de la controlabilidad del vector de estado x(0).

Para apreciar por que esta matriz proporciona una medida de controlabili-dad relativa, podemos recurrir a los resultados del Apendice F. Esta matriz Pes simetrica y por tanto todos sus autovalores λ1, λ2, . . . , λn son reales y dis-tintos, y sus autovectores asociados v1,v2, . . . ,vn son ortogonales y pueden


Lyapunov!ecuacion

gramiano!controlabilidad!tiempo discreto

controlabilidad!gramiano!tiempo discreto

elegirse de norma unitaria, es decir, ‖vi‖2 = vTi vi = 1. Entonces, la matrizpuede escribirse como:

P =

n∑

i=1

λivi · vTi ⇐⇒ P−1 =

n∑

i=1

λ−1i vi · vTi (10.194)

Ademas, dado un vector x0 ∈ Rn, existen constantes reales α1, . . . , αn talesque:

x0 =

n∑

i=1

αivi (10.195)

Ası, sin perdida de generalidad, la ecuacion (10.192) se puede re-escribircomo:

J(uopt) = xT0 P−1x0 =

n∑

i=1

α2iλ

−1i (10.196)

De (10.196) se observa que si x0 esta alineado con v`, donde λ` es muypequeno, entonces el costo (energıa) de llevar el estado desde el origen, en t =−∞, hasta x0 en t = 0, es muy grande y diremos que ese estado en particulares difıcilmente controlable.

Volviendo a la ecuacion (10.193), es importante destacar que la existenciade esta integral esta garantizada pues el sistema es estable, y por lo tanto todoslos autovalores de la matriz A tienen parte real negativa. Es mas, el gramianode controlabilidad P definido en (10.193) satisface la ecuacion de Lyapunov:

AP + PAT + BBT = 0 (10.197)

Para sistemas de tiempo discreto, se puede realizar un analisis similar, dondeel gramiano de controlabilidad se define como:

Pd =

∞∑

t=0

AdtBdBd

T (AdT )t (10.198)

que satisface la ecuacion de Lyapunov

AdPdAdT − Pd + BdBd

T = 0 (10.199)

La suma definida (10.198) existe si y solo si el sistema de tiempo discreto esestable, lo cual equivale a restringir los autovalores al interior del disco unitario:

Ejemplo 10.20. Consideremos nuevamente el modelo del circuito en el Ejem-plo 10.19 en la pagina 292, dado por(10.185)-(10.186). Si queremos apreciarla informacion dada por el gramiano de controlabilidad, definido en (10.193),cuando el modelo esta cerca de perder la completa controlabilidad, podemos con-siderar valores para los parametros que aseguren R1C1 ≈ R3C3. En particular,elegimos:

R1 = R2 = R3 = 1[KΩ]; C1 = 0,9[mF ]; C3 = 1[mF ] (10.200)


Note que hemos utilizado unidades especiales, donde mF corresponde a 10−3

[F] y KΩ a 103 [Ω]. Esto hace que el tiempo sea medido en segundos, la corrienteen mili-amperes y la tension, en Volts.

El modelo de estado queda descrito por:[iR1(t)vC3(t)

]

=

[− 20

9 0−1 −1

] [iR1(t)vC3(t)

]

+

[1091

]

vi(t) (10.201)

vo(t) =[0 1

][iR1(t)vC3(t)

]

(10.202)

En este caso, algunos estados, es decir ciertas combinaciones de valores devalores para iR1 y vC3, son mas difıciles de alcanzar que otros. Para verificaresto podemos calcular el gramiano de controlabilidad definido en (10.193), re-solviendo:

0 = AP + PAT + BBT (10.203)

0 =

[− 20

9 0−1 −1

] [p11 p12

p21 p22

]

+

[p11 p12

p21 p22

] [− 20

9 −10 −1

]

+

[1091

][109 1

]

(10.204)

Usando Matlab obtenemos:

Matlab

>> A=[-20/9 0; -1 -1];

>> B=[10/9 ; 1];

>> C=[1 0];

>> S=ss(A,B,C,0);

>> P=gram(S,’c’)

>> inv(P)

P =

[0,2778 0,25860,2586 0,2414

]

P−1 = 10−3 ×[

1,4616 −1,5660−1,5660 1,6820

]

(10.205)

Los autovalores de P son λ1 = 0,0003 y λ2 = 0,5188 con sus correspondientesautovectores v1 = [0,6818 − 0,7315]T y v2 = [0,7315 0,6818]T .

Ası podemos calcular, usando la ecuacion (10.192), la mınima energıa decontrol necesaria para llevar el estado x(t), from 0 in t = −∞, to x0 in t = 0.Suponemos que x0 is colineal con los autovectores:

x0 = v1 ⇒ J(uopt) = 3141,7 (10.206)

x0 = v2 ⇒ J(uopt) = 1,9274 (10.207)

donde claramente se verifica que la energıa de control para alcanzar el estadox0 = v1 es tres ordenes de magnitud mayor que la necesaria para alcanzarx0 = v2.


cancelacion!cuasi-

descomposicion canonica!alcanzabilidad

subespacio!controlable

Tambien, si substitutimos los valores numericos de los parametros en laecuacion (10.190), vemos que la funcion de transferencia resulta ser:

Vo(s)

Vi(s)=

1

(s+ 1)

(s+ 1 + 1

9

)

(s+ 20

9

) (10.208)

donde observamos una cuasi-cancelacion de un polo con un cero.222

Es posible generalizar el concepto de gramiano para incluır el caso de sis-temas inestables, como el lector interesado puede conocer consultando [23].

Descomposicion canonica y estabilizabilidad

En el caso que un sistema no sea completamente controlable, este puededecomponerse en un subsistema controlable y completamente incontrolabletal como establece el siguiente lema.

Lema 10.6. Considere un sistema para el cual rangoΓc[A,B] = t < n,entonces existe una transformacion de similaridad x = T−1x, en que las nuevasmatrices de estado tienen la forma:

A = T−1AT =

[Ac A12

0 Anc

]

(10.209)

B = T−1B =

[Bc

0

]

(10.210)

donde Ac tiene dimension k y el par (Ac,Bc) es completamente controlable.222

Este resultado establece cuales estados pueden y cuales no pueden ser lleva-dos a cero. Para apreciar mejor este hecho, expresemos el estado y la salida dela forma:

[xcxnc

]

=

[Ac A12

0 Anc

] [xcxnc

]

+

[Bc

0

]

u (10.211)

y =[Cc Cnc

][

xcxnc

]

+ Du (10.212)

El subespacio controlable del modelo en variables de estado esta com-puesto por todos los estados generados como combinacion de los estados enxc. La estabilidad de este subespacio esta determinada por la ubicaion de losautovalores de la matriz Ac.

Por otra parte, el subespacio no controlable esta formado por todos losestados generador como combinacion lineal de los estados en xnc, y su estabilidadqueda determinada por los autovalores de la matriz Anc.


estabilizabilidad

sistema!estabilizable

cancelacion

forma canonica!controlable

controlabilidad!forma canonica

forma canonica!del controlador

controlador!forma canonica

De esta forma, la entrada no tiene efecto alguno sobre el subespacio nocontrolable, por lo que podrıamos esperar que este subespacio fuera al menosestable, de manera que sus estados decaigan naturalmente al origen. En estecaso el modelo en variables de estado se denomina estabilizable.

Una consecuencia clave de la descripcion dada por (10.211)-(10.212) es elhecho que la funcion de transferencia queda dada por:

H(s) = Cc(sI − Ac)−1Bc + D (10.213)

La ecuacion (10.213) dice que los autovalores del subespacio no controlableno aparecen como polos de la funcion de transferencia. Esto implica que existeuna cancelacion de los polos correspondientes a las raıces de det(sI − Anc).

Forma canonica controlable

Lema 10.7. Considere un modelo de estado completamente controlable paraun sistema SISO. Entonces, existe una transformacion de similaridad tal que elmodelo de estado se puede expresar en la forma canonica controlable:

A′ =

0 0 . . . 0 −α0

1 0 . . . 0 −α1

0 1 . . . 0 −α2

......

. . ....

...0 0 . . . 1 −αn−1

B′ =

100...0

(10.214)

donde:

λn + αn−1λn−1 + · · · + α1λ+ α0 = det(λI − A) (10.215)

es el polinomio caracterıstico de A.222

Lema 10.8. Considere un modelo de estado completamente controlable para unsistema SISO. Entonces, existe una transformacion de similaridad que convierteel modelo de estado en la forma canonica del controlador:

A′′ =

−αn−1 −αn−2 . . . −α1 −α0

1 0 . . . 0 00 1 . . . 0 0...

.... . .

......

0 0 . . . 1 0

B′′ =

100...0

(10.216)

donde:

λn + αn−1λn−1 + · · · + α1λ+ α0 = det(λI − A) (10.217)

es el polinomio caracterıstico de A.222


observabilidad

estado!observable

sistema!observable

reconstructibilidad

10.6.2. Observabilidad, Reconstructibilidad y Detectabil-idad

Si consideramos el modelo de estado de un sistema dado, podemos es razon-able suponer que si se observa su salida durante un intervalo de tiempo, entoncespodrıamos obtener informacion sobre su estado. La propiedad asociada a esteconcepto se denomina observabilidad.

Observabilidad

La observabilidad de un sistema se refiere a la informacion que se puedeobtener sobre el estado a partir de mediciones de su salida.

Ejemplo 10.21. Si consideramos el sistema definido por el modelo en variablesde estado:

[x1(t)x2(t)

]

=

[−1 01 −1

] [x1(t)x2(t)

]

y(t) =[1 0

][x1(t)x2(t)

]

(10.218)

Podemos apreciar que y(t) queda determinada por x1(t), mientras que la otravariable de estado x2(t) no tiene influencia alguna sobre la salida. Por tanto elsistema no es completamente observable, es decir, existe una parte del estadode la cual nunca se obtendra informacion alguna.

222

Se puede formalizar la definicion de observabilidad de la siguiente forma:

Definicion 10.3. El estado xo 6= 0 se dice no observable si dado x(0) = xo,y u(t) = 0 para t ≥ 0, entonces y(t) = 0 para t ≥ 0, es decir, la condicioninicial xo no tiene efecto alguno sobre la salida del sistema.

El sistema se dice completamente observable si no existe estado inicial,diferente de cero, que sea no observable.

Reconstructibilidad

Otro concepto estrechamente relacionado al de observabilidad, es el que sedenomina reconstructibilidad. Este, para sistemas de tiempo discreto, se re-fiere a que se puede decir de x(K), habiendo observado valores pasados de lasalida y[t], durante 0 ≤ t ≤ K.

Para sistemas de tiempo continuo, lineales e invariantes, no es necesario hacerdistincion entre observabilidad y reconstructibilidad. Sin embargo, el siguienteejemplo ilustra que para sistemas de tiempo discreto, estos conceptos son difer-entes.

Ejemplo 10.22. Considere el modelo en espacio de estado:

x[t+ 1] = 0 x[0] = xo (10.219)

y[t] = 0 (10.220)


observabilidad!test

observabilidad!matriz

matriz!de observabilidad

Este sistema es claramente reconstruible para todo K ≥ 1, ya que sabemosque x[K] = 0 para K ≥ 1. Sin embargo, es no observable pues y[t] = 0, ∀t sinimportar xo.

Dada la diferencia entre los conceptos de observabilidad y reconstructibil-idad, en adelante usaremos el termino observabilidad para referirnos al masfuerte de ambos conceptos.

Test de observabilidad

Para contar con un criterio que permita determinar si un sistema es o noobservable, se presenta a continuacion el siguiente teorema.

Teorema 10.4. Considere el sistema en variables de estado, continuo, lineal einvariante en el tiempo:

x(t) = Ax(t) + Bu(t) (10.221)

y(t) = Cx(t) + Du(t) (10.222)

donde A ∈ Rn×n.

(i) El conjunto de estados no observables es igual al subespacio nulo de lamatriz de observabilidad Γo[A,C] donde:

Γo[A,C]4=

CCA...

CAn−1

(10.223)

(ii) El sistema es completamente observable si y solo si Γo[A,C] tiene rangocolumna completo n.

222

Este test de observabilidad puede aplicarse indistintamente a sistemas detiempo discreto y continuo.

Ejemplo 10.23. Considere el siguiente modelo en espacio de estado:

A =

[−3 −21 0

]

; B =

[10

]

; C =[1 −1

](10.224)

La matriz de observabilidad esta dada por:

Γo[A,C] =

[C

CA

]

=

[1 −1−4 −2

]

(10.225)

Entonces el rango de Γo[A,C] = 2, lo que dice que el sistema es completa-mente observable.

222


observabilidad!perdidaEjemplo 10.24. Si observamos el modelo definido en (10.218), tenemos:

A =

[−1 01 −1

]

; C =[1 0

](10.226)

La matriz de observabilidad es:

Γo[A,C] =

[1 0−1 0

]

(10.227)

El rango de Γo[A,C] = 1 < 2 y, por lo tanto, el sistema no es completamenteobservable.

222

La observabilidad de un sistema es una propiedad que no depende de laeleccion de las variables de estado. Analogamente al caso de la matriz de con-trolabilidad en la Seccion §10.6.1, puede demostrarse que el rango de la matrizde observabilidad 10.223 en la pagina anterior es invariante respecto a transfor-maciones de similaridad.

Perdida de observabilidad

La observabilidad de un sistema queda determinada basicamente por car-acterısticas propias de su estructura. Sin embargo, tambien es posible que laobservabilidad de un modelo se vea afectada por valores numericos particularesen algunos de sus parametros, de manera analoga a lo que sucede con la con-trolabilidad, tal como se analizo en la Seccion §10.6.1. Es esperable que losparametros afecten la completa observabilidad de un modelo de una manerasimilar. Para esto se propone el siguiente ejemplo, que es el dual del Ejemp-lo 10.19 en la pagina 292.

Ejemplo 10.25. Consideremos el circuito de la Figura 10.16 en la paginasiguiente. Este corresponde al mismo de la Figura 10.15, pero en que se hanintercambiado las redes electricas a la derecha e izquierda del amplificador op-eracional. Por tanto, podemos utilizar ecuaciones similares a las antes obtenidaspara describir el sistema en variables de estado. En particular, se escoge x1(t) =vC3(t) y x2(t) = iR1(t).

Para la parte izquierda del circuito, tenemos:

dvC3(t)

dt= − 1

R3C3vC3(t) +

1

R3C3vi(t) (10.228)

v+(t) = vC3(t) (10.229)

Por su parte para la parte derecha:

diR1(t)

dt= − (R1 +R2)

C1R1R2iR1(t) +

1

C1R1R2v−(t) (10.230)

vo(t) = −R1iR1(t) + v−(t) (10.231)


v (t)C3

R3

v (t)i

R1i (t)

R1

C1

v (t)+

v (t)o2

RC

3

v (t)−+

−

Op.Amp.

Figura 10.16: Circuito electronico.

El amplificado operacional (ideal), conectado como un seguidor de voltaje,asegura que v+(t) = v−(t), y por lo tanto podemos combinar los modelos deestado dados por las ecuaciones (10.228) a (10.231), para obtener:

dvC3(t)

dtdiR1(t)

dt

=

− 1

R3C30

1

C1R1R2− (R1 +R2)

C1R1R2

vC3(t)

iR1(t)

+

1

R3C3

0

vi(t) (10.232)

vo(t) =

[

1 −R1

]

vC3(t)

iR1(t)

(10.233)

La matriz de observabilidad es:

Γc[C,A] =

C

CA

=

1 −R1

− 1

R3C3− 1

R2C1

R1 +R2

R2C1

(10.234)

Para determinar el rango de esta matriz es necesario calcular su determi-nante:

det (Γc[C,A]) =1

R3C3C1(−R1C1 +R3C3) (10.235)

donde se observa que el modelo del sistema es completamente observable si ysolo si R1C1 6= R3C3, misma condicion que se obtuvo en el Ejemplo 10.19 enla pagina 292.

Aplicando transformada de Laplace a las ecuaciones (10.230)–(10.229) obten-


cancelacion

gramiano!observabilidad

observabilidad!gramiano

emos la funcion de transferencia de Vi(s) a Vo(s):

Vo(s)

Vi(s)=V+(s)

Vi(s)

Vo(s)

V−(s)=

(

s+1

R1C1

)

(

s+R1 +R2

R1R2C1

) ·

1

R3C3(

s+1

R3C3

) (10.236)

Cuando R1C1 = R3C3 se produce una perdida de la completa observabilidaddel sistema, que se traduce en una cancelacion de un polo con un cero enla funcion de transferencia, es decir, el polo del lado izquierdo del circuito en laFigure 10.16 se cancela con el cero del lado derecho.

Es importante notar que, a pesar que el resutado similar es el mismo, ex-iste un diferencia entre las funciones de transferencia (10.236) y (10.190) en lapagina 294, pues el orden de la cancelacion es diferentes en cada caso. La can-celacion cero-polo se relaciona con la perdida de completa observabilidad y lacancelacion polo-cero se relaciona con la perdida de completa controlabilidad.Volveremos en mas detalle a este punto en la Seccion §10.6.3.

222

Gramiano de observabilidad

El test de observabilidad planteado en el Teorema 10.4 en la pagina 300permite determinar si un sistema es o no es completamente observable. sinembargo, en ocasiones puede ser de interes determinar el grado de observabilidadde un sistema dado. Para el caso de sistemas estables, podemos cuantificar laenergıa en la senal de salida y(t), en ausencia de senal de entrada (u(t) = 0), ycuando el estado inicial es x(0) = x0, mediante:

E(x0) =

∫ ∞

0

‖y(t)‖2dt =

∫ ∞

0

y(t)Ty(t)dt (10.237)

Es posible demostrar que la energıa en la salida del sistema esta dada por:

E(xo) =

∫ ∞

0

‖y(t)‖2dt = xoTQxo (10.238)

donde

Q =

∫ ∞

0

eAT tCTC eAtdt (10.239)

La matriz Q se denomina gramiano de observabilidad, y cuantifica laobservabilidad del vector de estado x(0). Para apreciar mejor esto, podemosrecurrir a los resultados del Apendice F. La matriz Q es simetrica y por tantotodos sus autovalores λ1, λ2, . . . , λn son reales y distintos, y sus autovectoresasociados v1,v2, . . . ,vn son ortogonales y pueden elegirse de norma unitaria,es decir, ‖vi‖2 = vTi vi = 1. Entonces, la matriz puede escribirse como:

Q =

n∑

i=1

λivi · vTi (10.240)


Lyapunov!ecuacion Ademas, dado un vector x0 ∈ Rn, existen constantes reales α1, . . . , αn talesque:

x0 =

n∑

i=1

αivi (10.241)

Ası, sin perdida de generalidad, la ecuacion (10.238) se puede re-escribircomo:

E(x0) = xT0 Qx0 =

n∑

i=1

α2iλi (10.242)

De (10.242) se observa que si x0 esta alineado con v`, donde λ` es muypequeno, entonces el la energıa presente en la salida debida a este estado ini-cial sera muy pequena y diremos que ese estado en particular es difıcilmenteobservable.

Volviendo a la ecuacion (10.239), la existencia de la integral queda garanti-zada pues el sistema es estable, lo que asegura que los autovalores de la matrizA tienen parte real negativa. Ademas, el gramiano de observabilidad Q definidoen (10.239) satisface la ecuacion de Lyapunov:

ATQ + QA + CTC = 0 (10.243)

Para sistemas estables de tiempo discreto, el gramiano de observabilidadqueda definido por:

Qd =

∞∑

t=0

(AdT )tCd

TCdAdt (10.244)

que satisface la ecuacion de Lyapunov:

AdTQdAd − Qd + Cd

TCd = 0 (10.245)

Ejemplo 10.26. Consideremos nuevamente el sistema del Ejemplo 10.25, de-scrito por el modelo de estado (10.232)–(10.233), para apreciar la utilidad delgramiano de observabilidad (10.239), en especial cuando el modelo esta proximoa perder la completa observabilidad, es decir, cuando R1C1 ≈ R3C3.

Suponemos los mismos valores para las componentes R1, R2, R3, C1 y C3 queen el Ejemplo 10.20 en la pagina 295, con lo que obtenemos:

[vC3(t)

iR1(t)

]

=

[−1 0109 − 20

9

] [vC3(t)iR1(t)

]

+

[10

]

vi(t) (10.246)

vo(t) =[1 −1

][vC3(t)iR1(t)

]

(10.247)

En este sistema ciertas combinaciones del estado (en t = 0) tendran pocoefecto en la salida. Para verificar esto podemos calcular el gramiano de observ-


cancelacion!cuasi-

dualidadabilidad (10.193), resolviendo:

0 = ATQ + QA + CTC (10.248)

0 =

[−1 10

90 − 20

9

] [q11 q12q21 q22

]

+

[q11 q12q21 q22

] [−1 0109 − 20

9

]

+

[1−1

][1 −1

]

(10.249)

Usando Matlab obtenemos:

Matlab

>> A=[-1 0; 10/9 -20/9];

>> B=[1;0];

>> C=[1 -1];

>> S=ss(A,B,C,0);

>> Q=gram(S,’o’)

Q =

[0,2414 −0,2328−0,2328 0,2250

]

(10.250)

Los autovalores de Q son λ1 = 0,0003 y λ2 = 0,4661 con sus correspondi-entes autovectores v1 = [−0,6946 − 0,7194]T y v2 = [−0,7194 0,6946]T .

Ahora podemos evaluar el efecto de ciertos estados iniciales en la salida delsistema. Consideraremos x0 = v1 y x0 = v2 para calcular la energıa, tal comose define en la ecuacion (10.238):

x0 = v1 ⇒ E(x0) = 0,000287 (10.251)

x0 = v2 ⇒ E(x0) = 0,4661 (10.252)

donde se observa que la energıa debida el estado inicial x0 = v2 es tres ordenesde magnitud mayor, lo que indica que existen ciertos estados que son poco ob-servables en la salida.

La perdida de observabilidad tambien puede ser apreciado en la funcion detransferencia del sistema:

Vo(s)

Vi(s)=

(s+ 1 + 1

9

)

(s+ 20

9

) · 1

(s+ 1)(10.253)

donde se aprecia que existe una cuasi-cancelacion entre un polo y un cero.222

Principio de Dualidad

Podemos notar un paralelo notable entre los resultados del Teorema 10.3 enla pagina 291 y del Teorema 10.4 en la pagina 300, y tambien entre las defini-ciones de los gramianos (10.193) y (10.239). Esto de pie a lo que se conoce comoel principio de dualidad, el cual se formaliza a continuacion:


sistema!dual

descomposicion canonica!observabilidad

subespacio!observable

detectabilidad

sistema!detectable

Teorema 10.5 (Dualidad). Considere el modelo en variables de estado de-scrito por la 4-tupla (A,B,C,D). Entonces el sistema es completamente con-trolable si y solo si el sistema dual (AT ,CT ,BT ,DT ) es completamente ob-servable.

222

Descomposicion canonica y detectabilidad

El teorema anterior puede ser a menudo utilizado para extender un resultadosobre controlabilidad a un resultado sobre la observabilidad y vice versa. El dualdel Lema 10.6 en la pagina 297 es :

Lema 10.9. Si rangoΓo[A,C] = k < n, existe una transformacion de simi-laridad x = T−1x, tal que las nuevas matrices de estado tienen la forma:

A = T−1AT =

[Ao 0A21 Ano

]

(10.254)

C = CT =[Co 0

](10.255)

donde Ao tiene dimension k y el par (Co,Ao) is completamente observable.222

Este resultado tiene una relevancia similar a la descomposicion canonicaasociada para el caso de la controlabilidad. Para apreciar esto, aplicamos eldual del Lema 10.6 en la pagina 297 para expresar el estado (transformado) ylas ecuaciones de salida en la forma particionada que se muestra a continuacion:

[xo(t)xno(t)

]

=

[Ao 0A21 Ano

] [xo(t)xno(t)

]

+

[Bo

Bno

]

u(t) (10.256)

y(t) =[Co 0

][

xo(t)xno(t)

]

+ Du(t) (10.257)

La descripcion anterior pone en evidencia el problema que puede surgir cuan-do se intenta controlar un sistema usando solo su salida, pues en esta no apareceinformacion alguna sobre xno.

El subespacio observable de un modelo es el espacio formado por todoslos estados que se generan como combinaciones lineales de los estados en xo.La estabilidad de este subespacio queda determinada por la ubicacion de losautovalores de la matriz Ao.

El subespacio no observable de un modelo, es el espacio formado portodos los estados generados como combinacion lineal de los estados en xno.La estabilidad de este subespacio queda determinada por los autovalores de lamatriz Ano.

Si el subespacio no observable es estable, decimos que el sistema es de-tectable.

Una consecuencia clave de la descripcion (10.256)–(10.257) podemos apre-ciarla en la funcion de transferencia del sistema que queda expresada como:

H(s) = Co(sI − Ao)−1Bo + D (10.258)


cancelacion

forma canonica!observable

observabilidad!forma canonica

descomposicion canonica

Es decir, los autovalores del subespacio no observable no pertenecen al con-junto de polos de la funcion de transferencia del sistema. Esto implica que existeuna cancelacion de todos los polos correspondientes a las raıces de det(sI−Ano).

Forma canonica observable

Es posible obtener las formas canonicas duales a las presentadas en los Lemas10.7 y 10.8. Para ilustrar esto presentamos a continuacion solo uno de los teo-remas duales.

Lema 10.10. Considere un sistema escalar o SISO, completamente observable.Entonces existe una transformacion de similaridad tal que lleva al modelo a laforma canonica observable:

x(t) =

−αn−1 1...

. . .... 1

−α0 0 0

x(t) +

bn−1

...

...b0

u(t) (10.259)

y(t) =[1 0 . . . 0

]x(t) + Du(t) (10.260)

222

10.6.3. Descomposicion Canonica

En la seccion anterior se analizaron propiedades de los sistemas dinami-cos, considerando aquellos que son solo parcialmente observables y controlables.Estos pueden ser separados en subsistemas completamente controlables y com-pletamente observables.

Los resultados de los Lemas 10.6 y 10.9 pueden combinarse para aquellos sis-temas que no son ni completamente observables ni completamente controlables.Podemos apreciar esto en el siguiente Teorema.

Teorema 10.6 (Descomposicion Canonica). Considere un sistema descritopor un modelo en espacio de estado. Entonces, siempre existe una transforma-cion de similaridad T tal que el modelo transformado, con su nuevo vector deestado x = T−1x toma la forma:

A =

Aco 0 A13 0A21 A22 A23 A24

0 0 A33 00 0 A34 A44

; B =

B1

B2

00

; C =[C1 0 C2 0

]

(10.261)

(i) El subsistema [Aco,B1,C1] es completamente controlable y completamenteobservable, y tiene la misma funcion de transferencia que el sistema orig-inal (ver Lema 10.11 en la pagina siguiente).


(ii) El subsistema:[Aco 0A21 A22

]

,

[B1

B2

]

,[C1 0

](10.262)

es completamente controlable.

(iii) El subsistema:[Aco A13

0 A33

]

,

[B1

0

]

,[C1 C2

](10.263)

es completamente observable.

222

La Figura 10.17 ilustra la estructura interna de un sistema de acuerdo al teo-rema anterior. En ella, x(t), xno(t), xnc(t) y xnc−no(t) representan la parte delestado completamente controlable y observable, no observable, no controlable,y no controlable ni observable, respectivamente.

xnc−no(t)

xnc(t)

xno(t)

x(t)u(t) y(t)

Figura 10.17: Estructura de un sistema de acuerdo a su controlabilidad y ob-servabilidad.

La descomposicion canonica descrita en el Teorema 10.6 tiene una impor-tante consecuencia para la funcion de transferencia del modelo, ya que esta solorefleja el subespacio completamente observable y completamente controlable.

Lema 10.11. Considere la matriz de transferencia H(s) dada por:

Y(s) = H(s)U(s) (10.264)

10.7. OBSERVADORES 309

realizacion mınima

observadorEntonces:

H = C(sI − A)−1B + D = C1(sI − Aco)−1B1 + D (10.265)

donde C1, Aco y B1 son las de las ecuaciones (10.261). Esta descripcion deestado es una realizacion mınima de la funcion de transferencia.

222

Ademas, si denotamos por ΛM el conjunto de autovalores de una matrizM, entonces:

ΛA = ΛAco ∪ ΛA22 ∪ ΛA33 ∪ ΛA44 (10.266)

donde:ΛA Autovalores del sistemaΛAco Autovalores del subsistema controlable y observableΛA22 Autovalores del subsistema controlable pero no observableΛA33 Autovalores del subsistema no controlable pero observableΛA44 Autovalores del subsistema no controlable y no observable

Observamos que la controlabilidad de un sistema dado depende de la es-tructura de sus entradas, es decir, donde se aplican y como entran en el sistemaaquellas variables que son manipulables. Por tanto, los estados de un subsistemapueden ser no controlables desde una entrada, pero completamente controlablesdesde otra. Es importante tener esto en mente para el diseno de sistemas decontrol, pues en un proceso real no todas sus entradas pueden ser manipuladas,y por tanto puede que sea imposible llevar las variables de la planta a ciertosubicaciones del espacio de estado.

Analogamente, la observabilidad de un sistema depende de que salidas seconsideren. Algunos estados pueden ser no observables desde una salida dada,pero puede ser completamente observables desde otra. En el contexto del analisisy diseno de sistemas de control, esto se traduce en que puede ser difıcil (imposi-ble) obtener informacion sobre ciertas variables internas de la planta, a partirde las salidas medidas disponibles.

10.7. Observadores

Cuando las variables de estado de un sistema deben ser medidas para mon-itoreo, control u otros propositos, existen importantes aspectos tanto tecnicoscomo economicos a considerar.

Un observador es un estimador de las variables de estado en base a unmodelo del sistema, mediciones de la salida de la planta y(t) y de su entradau(t).

El problema de observar el estado de un sistema es una generalizacion delcaso en que se desea medir indirectamente alguna variables de un sistema usandoun modelo de un sistema y otras variables mas faciles de medir.


error!estimacion

estimacion!error

observador!polinomio

Hurwitz!polinomio

error!modelo

modelo!error

10.7.1. Dinamica del observador

Supongamos que un sistema tiene un modelo de estado dado por las ecua-ciones (10.44)-(10.45) con D = 0 (sistema estrictamente propio). En este caso,la estructura general de un observador clasico para el estado del sistema esla que se muestra en la Figura 10.18, donde la matriz J es la ganancia delobservador.

Sistema

B

u(t)

(sI-A) -1 C

J

+

+

+

-

(t)x

y(t)

Figura 10.18: Observador del estado clasico

La ecuacion que defines la dinamica del observador es entonces:

dx(t)

dt= Ax(t) + Bu(t) + J(y(t) − Cx(t)) (10.267)

Una pregunta natural es: si contamos con un modelo del sistema y conocemossu entrada, ¿porque es necesario entonces usar la salida para estimar el estado?¿no bastarıa con simular el sistema? La clave aquı es que no conocemos elestado inicial del sistema, y por tanto no podrıamos obtener la trayectoriadel estado.

Si consideramos el error de estimacion del estado x(t) = x(t) − x(t), sudinamica se obtiene restando (10.267) de (10.44). Esto es:

dx(t)

dt= (A − JC)x(t) (10.268)

donde observamos que el error de estimacion converge a cero si y solo si todos losautovalores de la matriz A−JC tienen parte real negativa, i.e., si el polinomiodel observador:

E(s) = det(sI − A + JC) (10.269)

es estrictamente Hurwitz.

Discusion

La ecuacion (10.268) es valida solo si el modelo es un representacion exactadel sistema bajo analisis. Errores de modelado tendran consecuencias sobreel observador, tales como error de estimacion diferente de cero.


polos!observadorSi el par (A,C) es completamente observable, entonces los autovalores deA − JC pueden situarse arbitrariamente sobre region de estabilidad delplano complejo. Por tanto, la velocidad de convergencia de la estimaciones parte del diseno del observador. Estos autovalores se conocen como lospolos del observador.

Si el par (A,C) es detectable, entonces el observador asegura error esta-cionario cero asitoticamente, a pesar que no todos los autovalores de lamatriz A − JC pueden situarse a gusto.

Si el sistema no es completamente observable, y el subespacio no observ-able contiene modos inestables, entonces el error de estimacion no con-verge.

Ejemplo 10.27. Para ilustrar el uso de un observador consideremos nueva-mente el modelo de estado del Ejemplo 10.8. En este caso particular, queremosque los polos del observador se ubiquen en s = −4, s = −6 y s = −8. Entoncesla ganancia del observador J debe elegirse adecuadamente, por ejemplo, usandoMatlab :

Matlab

>> A=[ 0 1 0; 0 0 1; 4 0 -3];

>> B=[ 0; 0; 1];

>> C=[-10 4 0];

>> J=place(A’,C’,[-4 -6 -8])

J =[−4,5247 −7,5617 −4,1543

]T(10.270)

Para apreciar la dinamica del observador, asumiremos que el estado inicialdel sistema es x(0) = [−1 2 1]T y que la entrada del sistema es una senalcuadrada de amplitud 1, y frecuencia igual a 1 [rad/s]. El observador se iniciacon x(0) = 0. Entonces, la norma del error de estimacion, ||x(t)|| evolucionacomo se muestra en la Figura 10.19

Es importante notar que, en este ejemplo, la planta es inestable, lo que sig-nifica que tanto el estado como su estimacion crecen indefinidamente. Sin em-bargo, bajo el supuesto de un modelo exacto, el error de estimacion converge acero.

222

Para darle una interpretacion fısica a la filosofıa del uso de observadores,veamos a continuacion otro ejemplo.

Ejemplo 10.28. La Figura 10.20 muestra el esquema de un sistema rotacionalen que la entrada es el torque τ(t). La potencia en el sistema se transmite atraves de un sistema de engranajes en dos ruedas de radios r1 y r2 y momentos


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0

2

4

6

8

10

12

Tiempo [s]

Nor

ma

del e

rror

Figura 10.19: Error de estimacion del estado

de inercia I1 e I2, respectivamente. La rotacion de ambos ejes es amortiguadapor un roce viscoso con coeficientes D1 y D2, y existe un resorte de torsion nodespreciable en el eje 2 que tambien ha sido modelado. La carga en el sistema seha incluıdo como un momento de inercia I3. Lo que nos interesa es estimar lavelocidad ω3 de la carga want to estimate the load speed en base a la medicionde velocidad en el eje 1 1, ω1.

D 1

D 2 K 2

3

τ

ωθ

ωθ I

2

2

33

θ1ω1

I1

r2

r1

I2

τ

τ

1

2

Figura 10.20: Sistema rotacional

En primer lugar, es necesario obtener el modelo de estado del sistema, paralo cual consideramos el mınimo conjunto de variables del sistemas que cuatifi-can la energıa almacenada en el. El sistema tiene cuatro componentes capacesde almacenar energıa: tres momentos angulares y un resorte. Sin embargo, laenergıa almacenada en I1 e I2 puede calcularse tanto a partir de ω1 como deω2,i.e., necesitamos solo una de estas velocidades, ya que satisfacen la relacion:

ω1(t)

ω2(t)=r2r1

; and τ1(t)ω1(t) = τ2(t)ω2(t) (10.271)


Entonces, motivados por el modelado fısico, elegimos:

x1(t) = ω1(t) (10.272)

x2(t) = θ2(t) − θ3(t) (10.273)

x3(t) = ω3(t) (10.274)

Usando algunos conocimientos de Mecanica, tenemos:

τ(t) = D1ω1(t) + I1dω1(t)

dt+ τ1(t) (10.275)

τ2(t) =r2r1τ1(t) = D2ω2(t) + I2

dω2(t)

dt+K2(θ2(t) − θ3(t)) (10.276)

0 = K2(θ3(t) − θ2(t)) + I3dω3(t)

dt(10.277)

Dado que escogimos ω1(t) como la variable medible del sistema, o sea, comosalida, obtenemos finalmente el modelo:

dx(t)

dt=

−r21D2 + r22D1

r21I2 + r22I1− r1r2K2

r21I2 + r22I10

r1r2

0 −1

0K2

I30

︸︷︷︸

A

x(t) +

r22r21I2 + r22I1

0

0

︸︷︷︸

B

τ(t)

(10.278)

ω1(t) =[1 0 0

]

︸︷︷︸

C

x(t) (10.279)

A continuacion, se escogen los siguientes valores para los parametros delsistema:

r1 = 0, 25[m]; r2 = r3 = 0, 50[m]; D1 = D2 = 10

[Nms

rad

]

(10.280)

K2 = 30

[Nm

rad

]

; I1 = 2,39

[Nms2

rad

]

; I2 = I3 = 38,29

[Nms2

rad

]

(10.281)

Con estos valores tenemos que:

A =

−1,045 −1,254 00, 5 0 −10 0, 784 0

; B =

0, 08400

(10.282)

Para verificar la observabilidad, utilizamos el criterio presentado en la Sec-cion §10.6.2, es decir, construimos la matriz de observabilidad:

Γo =

CCACA2

=

1,0000 0 0−1,0450 −1,2540 00, 4650 1,3104 1,2540

(10.283)


ruido

filtroEn esta expresion podemos observar que la matriz Γo tiene rango completo,

pues claramente detΓo 6= 0, por tanto el sistema es completamente observabledesde la salida ω1(t).

Una vez que tenemos la estimacion del vector de estado, x(t), la estimaciondel estado ω3(t) para ω3, se obtiene a partir de:

ω3(t) = [0 0 1]︸︷︷︸

K3T

x(t) (10.284)

donde ω3(t) puede obtenerse a partir de (10.267). Con esto:

dω3(t)

dt= K3

T dx(t)

dt= K3

T (A−JC)x(t) +K3TB

︸︷︷︸

0

τ(t) +K3TJω1(t) (10.285)

222

10.7.2. Observadores y ruido de medicion.

Hasta el momento en todos los analisis hecho asumido que tanto la entradade un sistema dado, u(t), como su salida, y(t), estan disponibles sin erroresde ningun tipo. En general, esto es correcto solo respecto a la entrada, puesusualmente esta es generada por el mismo que se emplea para estimar el estado.Sin embargo, la medicion de la salida y(t), sera siempre en presencia de ruido.

Para analizar el efecto de este ruido de medicion, denotemos por ym(t) lamedicion, es decir, la salida real de la planta contaminada con ruido:

ym(t) = y(t) + v(t) (10.286)

donde v(t) se denomina ruido de medicion aditivo. El error de medicion satisfacela ecuacion:

dx(t)

dt= (A − JC)x(t) + Jv(t) (10.287)

Por tanto, tenemos que:

X(s) = (sI − A + JC)−1x(0) + (sI − A + JC)−1JV (s) (10.288)

Es decir, el error debido al ruido sera pequeno si la funcion de transferencia(sI − A + JC)−1J es capaz de actuar como filtro para el ruido v(t).

Para ilustrar estas ideas, consideremos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 10.29. Un sistema es modelado por las ecuaciones de estado:

A =

[−2 11 −3

]

; B =

[1

0, 5

]

; C =[1 −1

]; D = 0 (10.289)

Supongamos que queremos estimar una variable del sistema z(t) = γTx(t),donde γT = [1 1]. Entonces, una estimacion de esta variable es z(t), que seobtiene como:

z(t) = γT x(t) (10.290)


Entonces, la parte ruidosa en la estimacion de z(t) es zv(t), cuya transfor-mada de Laplace satisface

Zv(s) = Hv(s)V (s); where Hv(s) = γT (sI − A + JC)−1J (10.291)

A continuacion consideramos dos elecciones diferentes del polinomio del ob-servador E(s). Estas son:

E1(s) = (s+ 0, 5)(s+ 0, 75) and E2(s) = (s+ 10)(s+ 20) (10.292)

El lector puede apreciar que esto se traduce en observadores que tendrandiferente velocidad, siendo el primero mucho mas lento que el segundo. Conestas elecciones calculamos las ganancias del observador, J1 y J2, y las corre-spondientes funciones de transferencias de los filtros asociados:

H1(s) = γT (sI − A + J1C)−1J1 =1,875s+ 5,625

s2 + 1,25s+ 0, 375(10.293)

H2(s) = γT (sI − A + J2C)−1J2 =144s+ 432

s2 + 30s+ 200(10.294)

Para comparar ambos casos en la Figura 10.21, se muestra la respuesta enfrecuencia (diagrama de Bode) de cada uno de los filtros obtenidos. Es intere-sante notar que, a partir de los graficos obtenidos podemos concluir que el filtromas lento resulta ser mas inmune a ruido de alta frecuencia, comparado con elmas lento.

10−1 100 101 102 103−60

−40

−20

0

20

40

Frecuencia [rad/s]

Mag

nitu

d [d

B]

|H1(jω)|

|H2(jω)|

Figura 10.21: Caracterıstica de filtraje de los observadores

222

En base al ejemplo anterior tenemos que

En el diseno de un observador, siempre existe un compromiso entre la veloci-dad de convergencia del error de observacion y la inmunidad de la estimacionfrente al ruido de medicion.


observador!de orden reducido

observador!de orden completoUna forma sistematica de encarar este problema es usar la teorıa de filtro

optimos, como los filtros de Kalman-Bucy. El lector interesado puede consultar,por ejemplo, la referencia [2].

Existe una serie de otros observadores, incluso capaces de incorporar no-linealidades presentes en el sistema a observar. Sin embargo, uno de particularinteres es el observador de orden reducido, que basicamente asocia direc-tamente la salida del sistema a una parte del estado, reduciendo la parte delestado a estimar. Dada esta diferencia, el observador clasico presentado en estaseccion tambien se denomina de orden completo (ver [13, 7],yuz01?).

muestreo|textbf

quantum|textbf

sistemas!digitales

Capıtulo 11

Sistemas hıbridos

11.1. Introduccion

Uno de los paradigmas mas ricos de la ingenierıa moderna es el uso de latecnologıa digital en el procesamiento de senales. Esto se refleja en campostan distintos como las telecomunicaciones, la bioingenierıa, la automatizacion,el control automatico, el procesamiento de imagenes, procesamiento de voz, re-conocimiento de patrones, etc. La amplitud y velocidad con las que la aplicacionde este paradigma se consolida y se extiende parecen no tener lımites; ello sedebe a la velocidad con que progresa la electronica digital.

Los sistemas digitales usados en procesamiento de senales, cualquiera seael proposito de este, manejan senales que son discretas en magnitud (con dis-cretizacion determinada por el numero de bits) y discretas en tiempo (debido aque existe una sincronizacion con un reloj o temporizador). Por ejemplo, en uncomputador con registros de 16 bits y una unidad procesadora central (CPU)de 1 [GHz], se pueden representar numeros enteros positivos con magnitud cuyadiscretizacion corresponde a 2−16 veces el valor maximo representado. Esto esel quantum de magnitud. A su vez, las operaciones que se realizan en la CPU ylas transferencias de datos solo pueden iniciarse en instantes que son multiplosdel perıodo del reloj, es decir, multiplos de 1 [ns].

Muchas veces se usan como sinonimo las expresiones digital y tiempo dis-creto. En rigor, no son sinonimos, ya que un registro digital tiene un valor queesta definido en todo instante (tiempo continuo); lo que sı ocurre es que solonos interesa analizar lo que pasa con ese valor almacenado en los instantes quecorresponden a multiplos del ciclo del reloj, que es cuando se puede produciralgun cambio. Por esta ultima razon aceptaremos la sinonimia; sin embargodebemos tener presente que si el dispositivo digital tiene una discretizacion muygruesa, es decir, un quantum grande, debido a un numero reducido de bits, esnecesario hacer un analisis de este efecto en el procesamiento de las senales

Una fraccion muy significativa de las aplicaciones en el campo del proce-samiento de senales involucran la interaccion o interconexion de sistemas y

317

318 CAPITULO 11. SISTEMAS HIBRIDOS

sistemas!hıbridos

muestreo

reconstruccion

muestreo|textbf


muestra

senales de tiempo continuo con sistemas y senales de tiempo discreto. Cuan-do un sistema incluye componentes tanto de tiempo continuo como de tiempodiscreto, se habla de sistemas hıbridos.

La comunicacion de sistemas que procesan senales de distinta naturaleza re-quiere resolver dos problemas: el problema de muestreo, que permite transfor-mar una senal de tiempo continuo en una senal de tiempo discreto y el problemade reconstruccion, es decir, la transformacion de una senal de tiempo discretoen una senal de tiempo continuo.

Si bien ya se abordo brevemente en la Seccion § los modelos para sistemasy senales muestreadas, en este capıtulo estudiaremos mas en profundidad lasolucion de esos problemas y su descripcion, tanto temporal como frecuencial.Para una comprension acabada de los conceptos y resultados que se presentanaca, se requiere que el lector tenga un dominio acabado de los capıtulos 3, 4 y6.

11.2. Muestreo de senales.

Supongamos que deseamos procesar digitalmente una senal de tiempo con-tinuo f(t), entonces debemos tomar el valor de la senal en un instante dado,es decir, una muestra y transformarla en una coleccion de bits, es decir, cuan-tizarla. Tecnicamente se requiere un muestreador y un conversor tal como seindica, en forma simplificada, en la Figura 11.1. En esa figura, el muestreadordiscretiza en el tiempo, y el conversor discretiza la amplitud de la senal. Enlo sucesivo, supondremos que la conversion A/D es de alta precision y de altavelocidad, por lo cual se supondra que no hay error en la cuantizacion de laamplitud y no hay retardo en la operacion.

fd(t1)

ConversorA/D

f(t) f(t1)

t = t1

Figura 11.1: Proceso de muestreo y cuantizacion

Para capturar la informacion contenida en la senal f(t), por simplicidadse suele muestrear la senal en forma periodica, con perıodo ∆, es decir, confrecuencia angular de muestreo ωm = 2π/∆, lo cual significa que se obtiene unasecuencia f(0), f(∆), f(2∆), . . .. Esta secuencia puede ser tratada como unasecuencia discreta, y le son aplicables los metodos de analisis presentados paralas senales de tiempo discreto en el Capıtulo 4.

En este capıtulo enfocaremos nuestro analisis en la conexion dicsreto-continuo,ası como en los procesos de muestreo y de reconstruccion.

El primer fenomeno interesante de observar se relaciona con la seleccionde la frecuencia de muestreo. Si la senal a muestrear es una constante, en-tonces, la infomacion codificada en la senal se captura con cualquier frecuencia

11.2. MUESTREO DE SENALES. 319

0 0.5 1−2

−1

0

1

2

0 0.5 1−2

−1

0

1

2

0 0.5 1−2

−1

0

1

2∆=1 [s] ∆=0,5 [s] ∆=0,05 [s]

Figura 11.2: Muestreo a diferentes frecuencias

de muestreo. Como contrapartida, si la senal cambia rapidamente, es necesariomuestrear rapido (comparativamente) para que la secuencia de tiempo discretocapture esa dinamica de cambio. Las ambiguedades que surgen de una elecciondesacertada del perıodo de muestreo se ilustran en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 11.1. Suponga que f(t) = 2 cos(2πt), es decir, se trata de una senalsinuosidal de frecuencia 1 [Hz]. Consideremos ahora tres valores distintos parala frecuencia de muestreo fm (ωm = 2πfm)

(a) fm = 1 [Hz], es decir, ∆ = 1 [s]

(b) fm = 2 [Hz], es decir, ∆ = 0, 5 [s]

(c) fm = 20 [Hz], es decir, ∆ = 0, 05 [s]

Los tres casos son mostrados en los graficos de la Figura 11.2De un analisis somero de la Figura 11.2 se puede observar lo siguiente:

(i) El muestreo a fm = 1 [Hz] genera una secuencia de valores constantes.Este resultado indica que el proceso de discretizacion temporal entrega unresultado totalmente equıvoco. En otras palabras, dado f [k], no hay formade recuperar la funcion de tiempo continuo f(t). Note que si el mismomuestreo se hubiera usado en la senal f(t) = 2 sen(2πt), entonces, f [k]hubiese sido cero ∀k ∈ N.

(ii) El muestreo a fm = 2 [Hz] genera una secuencia de valores constantes designo alternado. Aunque se preserva la naturaleza periodica de la senalf(t), ası como su frecuencia exacta, el resultado tambien es equıvoco, porcuanto serıa imposible recuperar la senal original a partir de sus muestras.

(iii) El muestreo a fm = 20 [Hz] genera una secuencia de valores que aproximaen forma muy cercana la senal original. Demostraremos mas adelante que,en casos como este existe un procedimiento para recuperar la senal originalcon el grado de exactitud tan grande como deseemos.


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−6

−4

−2

0

2x 10−4

Tiempo [s]

Err

or

Figura 11.3: Error de reconstruccion usando interpolacion cubica.

Para verificar la aseveracion anterior podemos intentar una reconstruccionpor interpolacion cubica (comando spline de Matlab) y dibujando el errorde reconstruccion, como se indica a continuacion

Matlab

>>tt=[0:1e-5:1];Delta=0.05;t=[0:Delta:1];

>>f=2*cos(2*pi*tt);fk=2*cos(2*pi*t);

>>faprox=spline(t,fk,tt); subplot(211);plot(tt,f-faprox);

La Figura 11.3 muestra que el error de reconstruccion es muy pequeno (delorden de 10−4).

11.3. Analisis en frecuencia de senales muestreadas

Una vez que se obtiene la senal discreta f [k] podemos usar las herramientasdesarrolladas en el Capıtulo 6 para realizar un analisis espectral. En esta seccionnos interesara relacionar ese analisis con el analisis espectral de la senal detiempo continuo f(t).

El principal resultado esta dado por el siguiente lema

Lema 11.1. Sea una senal de tiempo continuo f(t), muestreada periodicamentecon frecuencia angular de muestreo ωm [rad/s] (es decir, cada ∆ [s]), y seanF ( ω) y F [ejθ] las transformadas de Fourier de f(t) y de la secuencia f [k] =f(k∆) respectivamente. Entonces, se cumple que

11.3. ANALISIS EN FRECUENCIA DE SENALES MUESTREADAS 321

tren de impulsos

muestreo impulsivo

F [ejθ] =1

∆

∞∑

`=−∞F

(

ω − 2π`

∆

)

=1

∆

∞∑

`=−∞F ( ω − `ωm) donde θ = ω∆

(11.1)

Demostracion

Recordemos que

f [k] = f(k∆) =

∞∑

`=−∞f(`∆)δK [k − `] (11.2)

Por lo cual, podemos calcular el espectro de la secuencia usando TFD.

F [ejθ] =∞∑

`=−∞f(`∆)e−j`θ (11.3)

Por otro lado supongamos que la senal original, f(t) es multiplicada por untren de impulsos, es decir,

f∆(t) = f(t)

∞∑

k=−∞δD(t− k∆)

︸︷︷︸

m∆(t)

(11.4)

Entonces, la transformada de Fourier de esta secuencia impulsiva es la con-volucion compleja de las transformadas de Fourier de la senal original y del trende impulsos, es decir,

F f∆(t) = F∆( ω) = F ( ω) ∗M∆( ω) =1

2π

∫ ∞

−∞F (jζ)M∆( ω − jζ) dζ

(11.5)Para calcular M∆( ω) notamos que m∆(t) es una senal periodica, de perıodo

∆, por lo tanto se puede expandir en una serie exponencial de Fourier. Ası,aplicando las definiciones de la seccion §5.3.2, se obtiene

m∆(t) =

∞∑

k=−∞δ∆(t− k∆) =

1

∆

∞∑

`=−∞ej

2π`∆t (11.6)

a partir de lo cual, aplicando la transformacion de Fourier a la suma de expo-nenciales complejas, se llega a

M∆( ω) =2π

∆

∞∑

`=−∞δD

(

ω − 2π`

∆

)

(11.7)

y, finalmente, reemplazando en (11.5) se obtiene


F∆( ω) =1

2π

∫ ∞

−∞F (jζ)M∆( ω − jζ) dζ =

1

∆

∞∑

`=−∞F

(

ω − 2π`

∆

)

(11.8)

Ahora bien, el calculo de la transformacion de Fourier se puede realizar porun camino alternativo. En efecto, a partir de (11.4) se tiene que

f∆(t) = f(t)∞∑

k=−∞δD(t− k∆) =

∞∑

k=−∞f(k∆)δD(t− k∆) (11.9)

de donde se llega a

F∆( ω) =

∞∑

k=−∞f(k∆)e−jk∆ω (11.10)

Comparando (11.3), (11.8) y (11.10), se llega al resultado (11.1)222

modelos|textbf

Capıtulo 12

Modelos

12.1. Ideas generales

Una de las tareas mas interesantes y complejas en el analisis de sistemases la de construir modelos para describir cuantitativamente lo que ocurre en elsistema bajo analisis.

Un modelo es siempre una representacion aproximada de la realidad y, en susaspectos esenciales, se relaciona ıntimamente con el proposito que nos mueve aobtener el modelo. Por ejemplo, un motor electrico puede tener distintos modelossegun cual es el interes del analista: un modelo electromecanico, un modelotermico, un modelo que describa los fenomenos vibratorios y de esfuerzos, etc.

En cualquier caso, una vez definido el proposito del modelo, este debe cap-turar los rasgos esenciales que hacen del sistema un ente particular y diferentede los demas, tanto cualitativa como cuantitativamente.

Es importante senalar que el objetivo esencial de un modelo es tenerun mecanismo que permita predecir el comportamiento del sistemabajo condiciones de excitacion distintas a las observadas. En otras pal-abras el modelo es un mecanismo de inferencia y prediccion.

El problema que queremos resolver aquı se puede definir de la siguienteforma:

Dada una historia de datos del sistema (datos de entrada y salida, en tiempocontinuo o discreto), determinar un modelo matematico que pueda replicaren la forma mas precisa posible (bajo algun criterio de optimalidad) lahistoria de datos disponibles y otras historias de datos que se puedan obtenerdel mismo sistema, para validar el modelo obtenido.

Note que exite un mecanismo generador de los datos, es decir, el sistema cuyocomportamiento queremos modelar. Ademas la historia de datos del sistemadebe ser tal que permita observar los rasgos de interes del sistema. Por ejemplo,

323

324 CAPITULO 12. MODELOS

si el sistema que deseamos modelar es una red RC, no nos servira recolectar datosdel sistema cuando las fuentes que alimentan la red son constantes, porque enese caso sera imposible calcular los parametros de cualquier modelo dinamico.

Otra idea que aparece en la definicion del problema es que la construcciondel mejor modelo tiene asociado un criterio de calidad optima.

En la determinacion de un modelo existen pues, tres elementos

1. La seleccion de una clase de modelos, M. Por ejemplo, una ecuacion difer-encial de cierto orden.

2. Un experimento que permite recolectar datos. Por ejemplo, el aplicar unaexcitacion de amplio espectro al sistema.

3. Un criterio de optimizacion que permite seleccionar uno de los miembrosde la clase elegida en base a los datos experimentales. Por ejemplo, elminimizar la suma (o integral) de los errores cuadraticos.

La clase de modelos se elige, en primera instancia, usando citerios fenomenologi-cos. Por ejemplo, si el comportamiento del sistema a modelar esta dominado por3 componentes dinamicos, una clase razonable es el conjunto de las ecuacionesdiferenciales de tercer orden.

En muchos casos, el experimento no puede ser disenado de acuerdo a lasnecesidades del analista, sino que se debe usar datos provenientes de la operacionnormal del sistema a modelar. Ademas, es comun que se desee o necesite irrefinando el modelo en forma recursiva (e incluso en tiempo real, es decir, se varefinando el calculo a medida que se van obteniendo nuevos datos).

Tambien es crucial notar que el que se use un procedimiento de optimizacionsolo se garantiza, en el mejor de los casos, que se encontrara el modelo optimodentro de la clase elegida. Si el mecanismo generador de los datos no pertenece ala clase de modelos elegida, como suele suceder, entonces siempre habra un errorde modelado, sin importar cuan informativo sea el experimento para recolectardatos.

Los metodos mas robustos que se conocen para construir modelos son aque-llos que usan un criterio de optimizacion cuadratica. En ellos concentraremosnuestra atencion en lo que sigue.

12.2. Modelado de sistemas de tiempo continuo.Teorıa basica.

Para motivar la discusion y el tratamiento teorico del tema, consideramos elsiguiente ejemplo.

Ejemplo 12.1. Suponga que la clase de modelos elegida, M, esta definida por

ym(t) = α(u(t))3 (12.1)

donde u(t) es la entrada del sistema a modelar.

12.2. MODELADO DE SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO. TEORIA BASICA.325

prediccion!error deSuponga ademas que se realiza un experimento recolector de datos en el sis-tema a modelar. Como resultado del mismo se obtienen datos1 de entrada ysalida, u(t) e y(t), en el intervalo [0; tf ]. Entonces el mejor valor de α, α, en(12.1) se puede calcular minimizando un funcional de costo J(α) dado por

J(α) =

∫ tf

0

((y(τ) − α(u(τ))3

)2dτ (12.2)

entoncesα = arg mın

α∈R

J(α) (12.3)

La minimizacion se realiza derivando J(α) respecto de α y haciendo esaderivada igual a cero. Esto lleva a

α =

[∫ tf

0

(u(τ))6 dτ

]−1 ∫ tf

0

y(τ)(u(τ))3 dτ (12.4)

Note que si el sistema a modelar perteneciese a la clase de modelos elegida,es decir, si existe αo tal que y(t) = αo(u(t))

3, entonces α = αo, siempre queu(t) 6= 0 en algun lapso no cero en el intervalo [0; tf ].

La ecuacion (12.4) arroja una estimacion del parametro una vez que se hanrecogido los datos. Existe una formulacion alternativa donde α evoluciona amedida que se obtienen mas datos, tal como se demuestra a continuacion.

Para hacer el tratamiento mas simple haremos las siguientes substituciones

p(t) =

[∫ t

0

(u(τ))6 dτ

]−1

(12.5)

φ(t) = (u(t))3

(12.6)

Entonces, si reemplazamos tf por t en (12.4) tenemos que

α(t) = p(t)

∫ t

0

y(τ)φ(τ) dτ (12.7)

Luego, al derivar (12.5), se obtiene

dp(t)

dt= − (p(t)φ(t))

2 ⇐⇒ d (p(t))−1

dt= (φ(t))

2(12.8)

Al derivar (12.7) y al usar (12.8) se obtiene

dα(t)

dt= p(t)φ(t) (y(t) − α(t)φ(t))

︸︷︷︸

e(t)

(12.9)

donde e(t) es el error que se comete al predecir la salida y(t) usando el modeloy la entrada observada de la planta.

1Note que se trata de datos experimentales de la planta


regresion!vector de

regresoresLas ecuaciones (12.8) y (12.9) permiten calcular α(t) en tiempo real, como

se puede verificar en la simulacion implementada en el esquema SIMULINKde la Figura 12.1. En esa figura, el sistema a modelar, o mecanismo generadorde datos aparece enmascarado. El lector puede verificar, al observar e(t) en eloscilloscopio, que ese sistema pertenece a la clase M.

u(t) y(t)

\phi (t)

p (t)

e (t)

alfa (t)

Antes de empezar la simulación, defina el SISTEMA (haga un doble click en el bloque y edite) y asigne losvalores iniciales p(0) y alfa(0) en los bloques de integración correspondientes

p (0)

alfa (0)

p

alfa

eSISTEMA

1/s

1/s−K−(u(1))^3

Figura 12.1: Estimacion por mınimos cuadraticos

Note ademas que, para que este programa SIMULINK funcione se debe asig-nar una condicion distinta de cero a p(0) (en el bloque integrador correspondi-ente). Se invita al lector a observar el efecto de distintas elecciones para p(0).En cambio, el valor inicial α(0) puede ser cualquier valor, incluyendo cero.

222

Es importante repetir que, en el ejemplo precedente, se plantearon dos formasde calcular un valor estimado para el parametro α. En la primera, dada por laecuacion (12.4), se requiere conocer previamente un conjunto de datos en unlapso no cero. En cambio, en la forma construida por las ecuaciones (12.8) y(12.9), el valor estimado se va construyendo a medida que los datos se vanobteniendo.

Formularemos a continuacion el metodo general para sistemas de tiempocontinuo.

La clase de modelos a usar, M, esta definida por

ym(t) = φφφm(t)Tθθθ (12.10)

donde φφφ(t)m es un vector, llamado vector de regresion,. Los elementos de φφφm(t)son conocidos como regresores. Existen tres grandes lıneas en la construcciondel vector de regresion:

12.2. MODELADO DE SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO. TEORIA BASICA.327

PEM

errores en las variables

prediccion!error de

gradiente

En base a la entrada de la planta y la salida del modelo. Este enfoque esla base de los llamados metodos de error de prediccion, reconocidospor su sigla inglesa PEM (prediction error methods).

En base a la entrada del modelo, la que resulta de medir la entrada a laplanta2 y a la salida del modelo. Esta eleccion genera los metodos conoci-dos como de errores en la variables

En base a la entrada de la planta y la salida de la planta. Esta eleccion esla base del metodo clasico de estimacion por errores cuadraticos. Esconocido por la sigla inglesa LSE (least squares errors). Ese el metodo masrobusto y mas usado, y es el que usaremos en este texto. Distinguiremosesta eleccion de las otras dos reemplazando φφφm(t) por φφφ(t) en la derivacionde las ecuaciones del metodo.

Por su parte, el vector θθθ ∈ Rp contiene los parametros θ1, θ2, . . . , θp quedistinguen cada elemento en M.

Note que la expresion es bastante general, ya que la unica restriccion es queel modelo sea lineal en los parametros a estimar, y no necesariamente debe serlineal en los datos. Por ejemplo

ym(t) = a√

u(t) + b u(t) + c cos(u(t)) + d (12.11)

Entonces, el modelo (12.11) puede ser puesto en la forma (12.10) con lassiguientes asociaciones

φφφ(t) = [√

u(t) u(t) cos(u(t)) 1]T (12.12)

θθθ = [a b c d ]T (12.13)

Veremos ademas en una seccion siguiente que (12.10) puede describir sis-temas dinamicos.

Para modelar un sistema con entrada u(t) y salida y(t), como miembro de

la clase M, debemos encontrar un estimado optimo, θθθ, para θθθ de modo que seminimice

J(θθθ) =

∫ tf

0

(y(τ) −φφφ(τ)Tθθθ)2 dτ (12.14)

El producto φφφ(τ)Tθθθ corresponde a una estimacion de la salida del sistemaa modelar, utilizando el elemento generico de la clase M. La diferencia y(τ) −φφφ(τ)Tθθθ es conocida como el error de prediccion (no confundir con los meto-dos PEM). El metodo de estimacion cuadratica permite determinar cual delos elementos de M es el que arroja la prediccion con menor error cuadraticoacumulado. Esto es equivalente a seleccionar el optimo θθθ.

La minimizacion de (12.14) se hace a traves del procedimiento tradicional:derivando respecto de la incognita y luego haciendo esa derivada igual a cero.Como se trata de la derivada de una funcion escalar respecto de un vector, laderivada corresponde al gradiente ∇θ. Ası el mejor estimado θθθ esta dado por

2Hay una diferencia entre ambos debido al ruido de medicion


θθθ = arg mınθ∈Rp

J(θθθ) (12.15)

El procedimiento descrito lleva a

∇θJ(θθθ) =dJ(θθθ)

d θθθ= −2

∫ tf

0

φφφ(τ)(y(τ) −φφφ(τ)Tθθθ) dτ (12.16)

Al hacer cero el gradiente se obtiene el estimado θθθ dado por

θθθ =

[∫ tf

0

φφφ(τ)φφφ(τ)T dτ

]−1 ∫ tf

0

φφφ(τ)y(τ) dτ (12.17)

Para demostrar que la expresion (12.17) minimiza el funcional, se debe cal-cular la segunda derivada (o Hessiano) de J(θθθ), la que debe ser una matrizpositiva definida (ver Apendice F). Esto da

HJ(θθθ) =d 2 J(θθθ)

dθθθ 2= 2

∫ tf

0

φφφ(τ)φφφ(τ)T dτ (12.18)

Entonces el Hessiano HJ (θθθ) es positivo definido si el vector φφφ(τ) cumplealgunas condiciones muy poco exigentes3 en τ ∈ [0; tf ].

La expresion (12.17) proporciona una forma de construir el modelo, esti-mando θθθ, una vez que se han acumulado los datos en un lapso [0; tf ]. Tal como

se ilustro en el Ejemplo 12.1, es posible construir un estimado, θθθ(t), que vayaevolucionando a medida que se van considerando nuevos datos. Esto apareceresuelto en el siguiente teorema.

Teorema 12.1. Considere la clase M definida por (12.10), el funcional en(12.14) y un experimento que permite construir φφφ(τ) para τ ∈ [0; t]. Entonces

el estimador optimo, θθθ(t) se puede obtener a traves de

dP(t)

dt= −P(t)φφφ(t)φφφ(t)TP(t) (12.19)

dθθθ(t)

dt= P(t)φφφ(t)(y(t) −φφφ(t)θθθ(t)) = P(t)φφφ(t)e(t) (12.20)

Demostracion

Definamos previamente la matriz P(t) ∈ Rp×p de la forma

P(t) =

[∫ t

0

φφφ(τ)φφφ(τ)T dτ

]−1

(12.21)

3Cuya deduccion escapa al marco de este texto.

12.3. MODELADO DE SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO. MODELOS LINEALES.329

y la matriz

Q(t) = P(t)−1 =

∫ t

0

φφφ(τ)φφφ(τ)T dτ (12.22)

entonces

dP(t)Q(t)

dt= 0 =

dP(t)

dtQ(t) + P(t)

dQ(t)

dt(12.23)

Esto lleva a

dP(t)

dt= −P(t)

dQ(t)

dtP(t) = −P(t)φφφ(t)φφφ(t)TP(t) (12.24)

donde hemos usado el hecho que

Q(t)

dt= φφφ(t)φφφ(t)T (12.25)

Por otro lado, al usar (12.17)

θθθ(t) = P(t)

∫ tf

0

φφφ(τ)y(τ) dτ (12.26)

con lo cual, al derivar se obtiene

dθθθ

dt=dP(t)

dt

∫ tf

0

φφφ(τ)y(τ) dτ + P(t)φφφ(t)y(t) (12.27)

= −P(t)dQ(t)

dtP(t)

∫ tf

0

φφφ(τ)y(τ) dτ

︸︷︷︸

θ(t)

+P(t)φφφ(t)y(t) (12.28)

lo que lleva a (12.20) al usar (12.25).

El Teorema 12.1 establece un procedimiento a traves del cual la estimacionde los parametros del modelo se va obteniendo a medida que se dispone de nuevainformacion.

12.3. Modelado de sistemas de tiempo continuo.Modelos lineales.

La teorıa desarrollada en la seccion precedente se aplica a cualquier clase demodelos M, con la unica condicion que los miembros de esa clase sean linealesen el vector de parametros, es decir, tengan la forma (12.10). Esto no excluyemodelos que son no lineales en la entrada y la salida, tal como se ilustra enel Ejemplo 12.1. Sin embargo, en esta seccion enfocaremos nuestra atencion enmodelos dinamicos lineales de tiempo continuo. Con este objetivo definiremos


la clase M por la ecuacion diferencial (3.1), la que reproducimos a continuacion(reemplazando y(t) por ym(t)).

dnym(t)

dtn+an−1

dn−1ym(t)

dtn−1+. . .+a0ym(t) = bn−1

dn−1

dtn−1u(t)+bn−2

dn−2

dtn−2u(t)+. . .+b0u(t)

(12.29)Antes de desarrollar la metodologıa general, examinaremos un ejemplo muy

simple, para adquirir perspectiva

Ejemplo 12.2. La clase M es elegida como en (12.29), con n = 1, es decir

dym(t)

dt+ a0ym(t) = b0u(t) (12.30)

La primera opcion para contruir la forma (12.10) en este caso es (note lasustitucion de ym(t) por y(t) en el vector φφφ(t))

φφφ(t) =[∫ t

0u(τ)dτ −

∫ t

0y(τ)dτ

]T

(12.31)

θθθ =[b0 a0

]T(12.32)

Sin embargo, esta forma de seleccion del vector de regresion φφφ(t) no es ra-zonable, porque basta que las senales tengan un valor medio distinto de cero (porpequeno que sea) para que el vector φφφ(t) crezca sin lımites.

Intentaremos otro enfoque, usando el operador de Heaviside (definido en(3.2). El modelo (12.30) puede ser re-escrito como

0 = (ρ+ a0)ym(t) + b0u(t) (12.33)

Supongamos se define un polinomio operador monico estable E(ρ) = ρ+ e0(e0 > 0), entonces (12.33) se puede escribir como

0 = −ρ+ a0

E(ρ)ym(t) +

b0E(ρ)

u(t) (12.34)

Sumando ym(t) a ambos lados se obtiene

ym(t) = ym(t) − ρ+ a0

E(ρ)ym(t) +

b0E(ρ)

u(t) = (e0 − a0)ym(t)

E(ρ)+ b0

u(t)

E(ρ)(12.35)

Ası, una eleccion natural es

φφφ(t) =

[u(t)

E(ρ)

y(t)

E(ρ)

]T

(12.36)

θθθ =[b0 e0 − a0

]T(12.37)

Note que hemos reemplazado ym(t) por y(t) en el vector de regresion, ası elvector de regresion resulta dependiente solo de los datos de entrada y salida delsistema a modelar, lo cual es consistente con la idea del metodo LSE.

12.3. MODELADO DE SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO. MODELOS LINEALES.331

222

El Ejemplo 12.2 permite inducir una metodologıa general.

Definamos

A(ρ) = ρn + an−1ρn−1 + . . . a0 (12.38)

B(ρ) = bn−1ρn−1 + bn−2ρ

n−2 + . . . b0 (12.39)

E(ρ) = ρn + en−1ρn−1 + . . . e0 (12.40)

donde E(ρ) es un polinomio operador estable.

Entonces el modelo (12.29) se puede escribir como

0 = −A(ρ)

E(ρ)ym +

B(ρ)

E(ρ)u(t) (12.41)

Si ahora sumamos ym(t) a ambos lados se obtiene

ym(t) =E(ρ) −A(ρ)

E(ρ)ym +

B(ρ)

E(ρ)u(t) (12.42)

Entonces la eleccion de φφφ(t) consistente con el metodo LSE es

φφφ(t) =

[ρn−1u(t)

E(ρ)

ρn−2u(t)

E(ρ)· · · u(t)

E(ρ)

ρn−1y(t)

E(ρ)

ρn−2y(t)

E(ρ)· · · y(t)

E(ρ)

]T

(12.43)y el vector de parametros es

θθθ =[bn−1 bn−2 · · · b0 en−1 − an−1 en−2 − an−2 · · · e0 − a0

]T

(12.44)

Ejemplo 12.3. Supongamos que la clase M es el conjunto de ecuaciones difer-enciales de tercer orden, lineales y de coeficientes constantes, entonces

φφφ(t) =

[ρ2u(t)

E(ρ)

ρu(t)

E(ρ)

u(t)

E(ρ)

ρ2y(t)

E(ρ)

ρy(t)

E(ρ)

y(t)

E(ρ)

]T

(12.45)

θθθ =[b2 b1 · · · b0 e2 − a2 e1 − a1 e0 − a0

]T(12.46)

donde E(ρ) es cualquier polinomio de tercer grado cuyas raıces tenga parte realmenor que cero.

222


12.4. Modelado de sistemas de tiempo discreto.Teorıa basica.

La construccion de modelos para sistemas de tiempo continuo es de graninteres conceptual. Sin embargo, la implementacion de las ecuaciones de esaconstruccion requiere el uso de una maquina digital, en cuyo caso necesariamentese debe usar una discretizacion y ello hade de mayor relvancia la construiccionde sistemas de tiempo discreto.

Al igual que en el caso de tiempo continuo, usaremos un ejemplo para motivarla discusion.

Ejemplo 12.4. Suponga que la clase de modelos elegida, M, esta definida por

ym[k] = α(u[k])3 (12.47)

donde u[k] es la entrada del sistema a modelar.Suponga ademas que se realiza un experimento recolector de datos en el sis-

tema a modelar. Como resultado del mismo se obtienen datos4 de entrada ysalida, u[k] e y[k], en el intervalo [0;N ]. Entonces el mejor valor de α, α, en(12.47) se puede calcular minimizando un funcional de costo J(α) dado por

J(α) =

N∑

`=1

((y[`] − α(u[`])3

)2(12.48)

entoncesα = arg mın

α∈R

J(α) (12.49)

La minimizacion se realiza derivando J(α) respecto de α y haciendo esaderivada igual a cero. Esto lleva a

α =

[N∑

`=1

(u[`])6

]−1 N∑

`=1

y[`](u[`])3 (12.50)

Note que si el sistema a modelar perteneciese a la clase de modelos elegida,es decir, si existe αo tal que y[k] = αo(u[k])

3, entonces α = αo, siempre queu[k] 6= 0 en algun lapso no cero en el intervalo [0; N ].

La ecuacion (12.50) arroja una estimacion del parametro una vez que sehan recogido los datos. Existe una formulacion alternativa donde α evolucionaa medida que se obtienen mas datos, tal como se demuestra a continuacion.

Para hacer el tratamiento mas simple haremos las siguientes substituciones

p[k] =

[N∑

`=1

(u[`])6

]−1

(12.51)

φ[k] = (u[k])3

(12.52)

4Note que se trata de datos experimentales de la planta

12.4. MODELADO DE SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO. TEORIA BASICA.333

prediccion!error deEntonces, si reemplazamos N por k en (12.50) tenemos que

α[k] = p[k]

k∑

`=1

y[`]φ[`] (12.53)

Luego, al usar (12.51), se obtiene

p[k] =p[k − 1]

1 + p[k − 1]φ[k]2= p[k − 1] − p[k − 1]φ[k]2p[k] (12.54)

Combinando (12.7) y (12.8) se obtiene

α[k] = α[k − 1] + p[k]φ[k] (y[k] − α[k − 1]φ[k])︸︷︷︸

e[k]

(12.55)

donde e[k] es el error que se comete al predecir la salida y[k] usando el modeloy la entrada observada de la planta.

Las ecuaciones (12.54) y (12.55) permiten calcular α[k] en tiempo real, comose puede verificar en la simulacion implementada en el esquema SIMULINK dela Figura 12.2. En esa figura, el sistema a modelar, o mecanismo generadorde datos aparece enmascarado. El lector puede verificar, al observar e[k] en eloscilloscopio, que ese sistema pertenece a la clase M.

u[k] y[k]

\phi [k]

p [k]

e [k]

alfa [k]

Antes de empezar la simulación, defina el SISTEMA (haga un doble click en el bloque y edite) y asigne losvalores iniciales p[0] y alfa[0] en los bloques de retardo correspondientes

p [0]

alfa [0]

z

1

z

1

p

alfa

eSISTEMA

u(1)/(1+u(1)*u(2)^2)(u(1))^3

Figura 12.2: Estimacion por mınimos cuadraticos

Note ademas que, para que este programa SIMULINK funcione se debe asig-nar una condicion distinta de cero a p[0] (en el bloque de retardo correspondi-ente). Se invita al lector a observar el efecto de distintas elecciones para p[0].En cambio, el valor inicial α[0] puede ser cualquier valor, incluyendo cero.


regresion!vector de

regresores

PEM

errores en las variables

222

Es importante repetir que, en el ejemplo precedente, se plantearon dos formasde calcular un valor estimado para el parametro α. En la primera, dada por laecuacion (12.50), se requiere conocer previamente un conjunto de datos en unlapso no cero. En cambio, en la forma construida por las ecuaciones (12.54) y(12.55), el valor estimado se va construyendo a medida que los datos se vanobteniendo.

Formularemos a continuacion el metodo general sistemas de tiempo discreto.La clase de modelos a usar, M, esta definida por

ym[k] = φφφm[k]Tθθθ (12.56)

donde φmφmφm[k] es un vector, llamado vector de regresion,. Los elementos de φmφmφm[k]son conocidos como regresores. Existen tres grandes lıneas en la construcciondel vector de regresion, y ellas son las mismas que en el caso continuo:

metodos de error de prediccion, (PEM) (prediction error methods).

metodo de errores en la variables

Metodo clasico de estimacion por errores cuadraticos (LSE)(leastsquares errors). Distinguiremos esta eleccion de las otras dos reemplazan-do φφφm[k] por φφφ[k] en la derivacion de las ecuaciones del metodo.

Por su parte, el vector θθθ ∈ Rp contiene los parametros θ1, θ2, . . . , θp quedistinguen cada elemento en M.

Note que la expresion es bastante general, ya que la unica restriccion es queel modelo sea lineal en los parametros a estimar, y no necesariamente debe serlineal en los datos. Por ejemplo

ym[k] = a√

u[k] + b u[k] + c cos(u[k]) + d (12.57)

Entonces, el modelo (12.57) puede ser puesto en la forma (12.56) con lassiguientes asociaciones

φφφ[k] = [√

u[k] u[k] cos(u[k]) 1]T (12.58)

θθθ = [a b c d ]T (12.59)

Veremos ademas en una seccion siguiente que (12.56) puede describir sis-temas dinamicos.

Para modelar un sistema con entrada u[k] y salida y[k], como miembro de

la clase M, debemos encontrar un estimado optimo, θθθ, para θθθ de modo que seminimice

J(θθθ) =

N∑

0

(y[`] −φφφ[`]Tθθθ)2 (12.60)

El producto φφφ[`]Tθθθ corresponde a una estimacion de la salida del sistema amodelar, utilizando el elemento generico de la clase M. La diferencia y[`]−φφφ[`]Tθθθ

12.4. MODELADO DE SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO. TEORIA BASICA.335

prediccion!error de

gradientees conocida como el error de prediccion (no confundir con los metodos PEM). Elmetodo de estimacion cuadratica permite determinar cual de los elementos deM es el que arroja la prediccion con menor error cuadratico acumulado. Estoes equivalente a seleccionar el optimo θθθ.

La minimizacion de (12.60) se hace a traves del procedimiento tradicional:derivando respecto de la incognita y luego haciendo esa derivada igual a cero.Como se trata de la derivada de una funcion escalar respecto de un vector, laderivada corresponde al gradiente ∇θ. Ası el mejor estimado θθθ esta dado por

θθθ = arg mınθ∈Rp

J(θθθ) (12.61)

El procedimiento descrito lleva a

∇θJ(θθθ) =dJ(θθθ)

d θθθ= −2

N∑

`=1

φφφ[`](y[`] −φφφ[`]Tθθθ) (12.62)

Al hacer cero el gradiente se obtiene el estimado θθθ dado por

θθθ =

[N∑

`=1

φφφ[`]φφφ[`]T

]−1 N∑

`=1

φφφ[`]y[`] (12.63)

Para demostrar que la expresion (12.63) minimiza el funcional, se debe cal-cular la segunda derivada (o Hessiano) de J(θθθ), la que debe ser una matrizpositiva definida (ver Apendice F). Esto da

HJ (θθθ) =d 2 J(θθθ)

dθθθ 2= 2

N∑

k=1

φφφ[`]φφφ[`]T (12.64)

Entonces el Hessiano HJ (θθθ) es positivo definido si el vector φφφ[`] cumplealgunas condiciones muy poco exigentes5 en 0 < ` ≤ N .

La expresion (12.63) proporciona una forma de construir el modelo, esti-mando θθθ, una vez que se han acumulado los datos en un lapso [0; tf ]. Tal como

se ilustro en el Ejemplo 12.4, es posible construir un estimado, θθθ[k], que vayaevolucionando a medida que se van considerando nuevos datos. Esto apareceresuelto en el siguiente teorema.

Teorema 12.2. Considere la clase M definida por (12.56), el funcional en(12.60) y un experimento que permite construir φφφ[`] para 0 < ` ≤ N . Entonces

el estimador optimo, θθθ[k] se puede obtener a traves de

P[k] = P[k − 1] − P[k − 1]φφφ[k]φφφ[k]TP[k − 1]

1 +φφφ[k]TP[k − 1]φφφ[k](12.65)

θθθ[k] = θθθ[k − 1] + P[k]φφφ[k](y[k] −φφφ[k]θθθ[k]) = P[k]φφφ[k]e[k] (12.66)

5Cuya deduccion escapa al marco de este texto.


Demostracion

Definamos previamente la matriz P[k] ∈ Rp×p de la forma

P[k] =

[k∑

`=1

φφφ[`]φφφ[`]T

]−1

(12.67)

y la matriz

Q[k] = P[k]−1 =

k∑

`=1

φφφ[`]φφφ[`]T = Q[k − 1] +φφφ[k]φφφ[k]T (12.68)

entonces podemos aplicar el lema de inversion de matrices para obtener P[k](=Q[k]−1) en funcion de P[k − 1](= Q[k − 1]−1), lo cual lleva a (12.65).

Por otro lado, al usar (12.63) se tiene que

P[k]−1θθθ[k] =k∑

`=1

φφφ[`]y[`] (12.69)

P[k − 1]−1θθθ[k − 1] =

k−1∑

`=1

φφφ[`]y[`] (12.70)

lo cual lleva a

θθθ[k] = P[k]P[k − 1]−1θθθ[k − 1] + P[k]φφφ[`]y[`] (12.71)

de donde, al usar (12.65), se obtiene (12.66).

222

El Teorema 12.2 establece un procedimiento a traves del cual la estimacionde los parametros del modelo se va obteniendo a medida que se dispone de nuevainformacion.

12.5. Modelado de sistemas de tiempo discreto.Modelos lineales.

La teorıa desarrollada en la seccion precedente se aplica a cualquier clase demodelos M, con la unica condicion que los miembros de esa clase sean linealesen el vector de parametros, es decir, tengan la forma (12.56). Esto no excluyemodelos que son no lineales en la entrada y la salida, tal como se ilustra enel Ejemplo 12.4. Sin embargo, en esta seccion enfocaremos nuestra atencion enmodelos dinamicos lineales de tiempo discreto. Con este objetivo definiremos laclase M por la ecuacion diferencial (4.1), la que reproducimos a continuacion(reemplazando y[k] por ym[k]).

12.5. MODELADO DE SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO. MODELOS LINEALES.337

ym[k] + an−1ym[k − 1] + . . .+ a1ym[k − n+ 1] + a0ym[k − n] =

bmu[k] + bm−1u[k − 1] + . . .+ b1u[k −m+ 1] + b0u[k −m] (12.72)

Antes de desarrollar la metodologıa general, examinaremos un ejemplo muysimple, para adquirir perspectiva

Ejemplo 12.5. La clase M es elegida como en (12.72), con n = 1, es decir

ym[k] + a0ym[k − 1] = b0u[k] (12.73)

La primera opcion para contruir la forma (12.56) en este caso es (note lasustitucion de ym[k] por y[k] en el vector φφφ[k])

φφφ[k] =[u[k] −ym[k − 1]

]T(12.74)

θθθ =[b0 a0

]T(12.75)

A diferencia del caso de tiempo continuo, esta forma de seleccion del vectorde regresion φφφ[k] es razonable y la metodologıa de la seccion anterior puede seraplicada sin mayores dificultades.

222

El Ejemplo 12.5 permite inducir una metodologıa general, ya que podemosexpresar la ecuacion (12.72) como

ym[k] = φφφ[k]Tθθθ[k] (12.76)

φφφ[k] =[u[k] u[k − 1] . . . u[k −m] −ym[k − 1] −ym[k − 2] . . . −ym[k − n]

]

(12.77)

θθθ[k] =[bm bm−1 . . . b0 an−1 an−2 . . . a0

](12.78)


serie de Taylor

Taylor

Apendice A

Series de Taylor

A.1. Serie de Taylor en una variable

Considere una funcion g(x), donde x ∈ R y sea xQ un valor arbitrario en R,tal que g(x) es continua en x = xQ.

Suponga ademas que g(x) es infinitamente diferenciable en x = xQ, es decir,todas las derivadas de g(x) en x = xQ son continuas.

Entonces la funcion g(x) se puede expandir en serie de potencias de (x−xQ),es decir, admite la siguiente representacion en una serie de Taylor

g(x) = g(xQ) +d x

dt

∣∣∣∣Q

(x− xQ) +1

2!

d 2x

dt 2

∣∣∣∣Q

(x− xQ)2 +1

3!

d 3x

dt 3

∣∣∣∣Q

(x− xQ)3 + . . .

(A.1)

=∞∑

i=0

1

i!

d ix

dt i

∣∣∣∣Q

(x− xQ)i (A.2)

donde dnxdtn

∣∣Q

denota la derivada n-esima de g respecto de x y evaluada enx = xQ.

A partir de esta expansion, podemos construir aproximaciones de primer,segundo, tercer orden, etc. truncando la serie despues de la potencia de primer,segundo, tercer grado, etc., respectivamente. Por ejemplo, la aproximacion deprimer orden es

g1(x) = k0 + k1(x− xQ); k0 = g(xQ); k1 =d g

dx

∣∣∣∣Q

(A.3)

Esta aproximacion de primer orden se puede apreciar graficamente, como semuestra en la Figura A.1.

En esta figura m = k1 = d gdx

∣∣∣Q

. Se observa que, en la medida que nos

alejamos del punto de operacion, el error de modelado lineal aumenta.

339

340 APENDICE A. SERIES DE TAYLOR

xQ

g(xQ)

g(x)g1(x)

m

1

x

Figura A.1: Aproximacion de primer orden para funcion no lineal de una varia-ble.

A.2. Serie de Taylor en dos variables

La misma idea resumida en la seccion anterior se puede extender al caso deuna funcion g(x1, x2), con x1 ∈ R, x2 ∈ R.

Sea (x1Q, x2Q) un par arbitrario tal que g(x1, x2) es continua e infinitamentediferenciable en x1 = x1Q, x2 = x2Q. Entonces g puede expandirse en serie depotencias de (x1 − x1Q) y (x2 − x1Q)

g(x1Q, yQ) +∂g

∂x1

∣∣∣∣Q

(x1 − x1Q) +∂g

∂x2

∣∣∣∣Q

(x2 − x2Q) +1

2

∂2g

∂x21

∣∣∣∣Q

(x1 − x1Q)2+

1

2

∂2g

∂x22

∣∣∣∣Q

(x2 − x2Q)2 +∂2f

∂x1∂x2

∣∣∣∣Q

(x1 − x1Q)(x2 − x2Q) + . . . (A.4)

donde el termino general de la expansion es

1

i!j!

∂i+jg

∂xi1∂xj2

∣∣∣∣∣Q

(x1 − x1Q)i(x2 − x2Q)j (A.5)

En forma analoga al caso de una variable, podemos truncar esta serie paratener aproximaciones de primer, segundo, tercer, etc. orden. Por ejemplo, laaproximacion de primer orden esta dada por

A.3. EL CASO GENERAL 341

g1(x1, x2) = k0 + k11(x1 − x1Q) + k12(x2 − x2Q) (A.6)

k0 = g(x1Q, x2Q) (A.7)

k11 =d g

dx1

∣∣∣∣Q

(A.8)

k12 =d g

dx2

∣∣∣∣Q

(A.9)

A.3. El caso general

La idea desarrollada en las dos secciones anteriores se puede generalizar alcaso de una funcion g(x1, x2, . . . , xn) con x1 ∈ R, x2 ∈ R, . . ., xn ∈ R.

Sea (x1Q, x2Q, . . . , xnQ) una n-tupla tal que g(x1, x2, . . . , xn) es continua einfinitamente diferenciable en x1 = x1Q, x2 = x2Q, . . ., xn = xnQ. Entonces laexpansion en serie de Taylor esta dada por

g(x1, x2, . . . , xn) = g(x1Q, x2Q, . . . , xnQ)

+∞∑

i1,i2,...,in=0

1

i1!i2! · · · in!∂nig

∂i1x1∂i2x2 · · · ∂inxn

∣∣∣∣Q

(x1−x1Q)i1(x2−x2Q)i2 . . . (xn−xnQ)in

(A.10)

donde ni = i1 + i2 + . . .+ in.La aproximacion de primer orden, por truncamiento de la serie es entonces

g1(x1, x2, . . . , xn) = k0 +n∑

i=1

k1i(xi − xiQ) (A.11)

k0 = g(x1Q, x2Q, . . . , xnQ) (A.12)

k1i =d g

dxi

∣∣∣∣Q

(A.13)

(A.14)

Es importante senalar que los desarrollos precedentes siguen siendo validosaunque las variable x1, x2, . . ., xn sean funciones de una variable temporal uotra variable independiente.

A.4. Algunas reglas practicas para la expansionen serie

La teorıa general precedente permite construir algunas reglas basicas paraexpandir funciones complicadas en serie de potencias.

342 APENDICE A. SERIES DE TAYLOR

R1 Considere las funciones no lineales g(x) y h(x) y un punto de operacioncomun dado por xQ, entonces las aproximaciones de primer orden paralas funciones que se indican son

[R1,1] g1(x) = g(xQ) +d g(x)

dx

∣∣∣∣Q

(x− xQ)

[R1,2] h1(x) = h(xQ) +d h(x)

dx

∣∣∣∣Q

(x− xQ)

[R1,3] g(x) + h(x)1 = g(xQ) + h(xQ) +

(

d g(x)

dx

∣∣∣∣Q

+d h(x)

dx

∣∣∣∣Q

)

(x− xQ)

[R1,4] g(x)h(x)1 = g(xQ)h(xQ) +

(

h(xQ)d g(x)

dx

∣∣∣∣Q

+ g(xQ)d h(x)

dx

∣∣∣∣Q

)

(x− xQ)

R2 La aproximacion de primer orden de g(x) = d `x(t)dt `

en torno al punto deoperacion x = xQ, g(xQ) = 0 es

g1(x) =d `(x(t) − xQ)

dt `(A.15)

R3 La aproximacion de primer orden de g(x) =[d `x(t)dt `

]k

, k > 1 en torno al

punto de operacion x = xQ,[d `x(t)dt `

]k−1

= 0 es

g1(x) = 0 (A.16)

Apendice B

Bases matematicas para lasSeries de Fourier

B.1. Espacios vectoriales y bases ortogonales

En esta seccion se revisan los conceptos basicos de los espacios vectoriales,incluyendo definiciones y propiedades. Se introducen ademas las ideas de ortog-onalidad y bases, ideas matematicas abstractas de mucha utilidad para funda-mentar el analisis mediante series de Fourier y otros topicos dentro de la teorıade sistemas como es, por ejemplo, la construccion de modelos y la estimacionde senales utilizando el enfoque de mınimos cuadrados.

Definicion B.1. Un espacio vectorial V es un conjunto de objetos ~v1, ~v2, . . ., llamados vectores, donde se definen dos operaciones: suma de dos vectores,y multiplicacion por un escalar y que satisfacen las siguientes propiedades:

1. Si ~vi ∈ V y ~vj ∈ V, entonces ~vi + ~vj ∈ V

2. Si ~vi ∈ V y ~vj ∈ V, entonces ~vi + ~vj = ~vj + ~vi

3. Si ~vi, ~vj , ~vk son vectores cualesquiera de V, entonces ~vi + (~vj + ~vk) =(~vi + ~vj) + ~vk

4. Existe un vector ~0 ∈ V, tal que para todo ~vi ∈ V se cumple ~vi +~0 = ~vi

5. Para cada ~vi ∈ V existe un vector −~vi ∈ V, tal que ~vi + (−~vi) = ~0

6. Si ~vi ∈ V y α es un escalar, entonces α~vi ∈ V

7. Si ~vi y ~vj estan en V y α es un escalar, entonces α(~vi + ~vj) = α~vi + α~vj

8. Si α y β son escalares y ~vi ∈ V, entonces (α+ β)~vi = α~vi + β~vi

343

344APENDICE B. BASES MATEMATICAS PARA LAS SERIES DE FOURIER

9. Si α y β son escalares y ~vi ∈ V, entonces α(β~vi) = (αβ)~vi

10. Existe el escalar 1 tal que 1~vi = ~vi, para todo ~vi ∈ V

Existe un sinnumero de conjuntos de elementos que son ejemplo de espa-cios vectoriales, de entre los cuales se deja al lector verificar que los siguientescumplen las propiedades recien enumeradas:

El espacio Rn en que los escalares son numeros reales,

El espacio Cn en que los escalares pueden ser numeros reales o bien com-plejos,

El conjunto de funciones reales seccionalmente continuas1 en un intervalo[a, b], en que los escalares son numeros reales.

Definicion B.2. Dado un conjunto de vectores G = ~v1, . . . , ~vn ⊆ V, diremosque el espacio generado por G, es el conjunto de todos los vectores de laforma:

~v = α1~v1 + . . .+ αn~vn

Es decir, ~v es una combinacion lineal de ~v1, . . . , ~vn.

Se deja al lector probar que el subespacio generado por el subconjunto devectores G ⊆ V tambien cumple las propiedades de un espacio vectorial.

Definicion B.3. Un conjunto de vectores ~v1, . . . , ~vn se dice linealmente in-dependiente, si la ecuacion:

α1~v1 + . . .+ αn~vn = 0

se cumple solo para los escalares α1 = α2 = . . . = αn = 0. En caso contrariose dice que los vectores son linealmente dependientes.

La independencia lineal en un conjunto de vectores es una propiedad muyimportante pues nos permite afirmar que ninguno de los vectores del conjun-to puede expresarse como una combinacion lineal de los demas vectores. Estademostracion se deja al lector.

Definicion B.4. Dado un espacio vectorial V, diremos que un conjunto devectores B = ~v1, . . . , ~vn es base de V si:

1. ~v1, . . . , ~vn es linealmente independiente, y

1Es decir, que poseen a lo mas un numero finito de puntos de discontinuidad.

B.1. ESPACIOS VECTORIALES Y BASES ORTOGONALES 345

norma

norma inducida

desigualdad triangular

distancia

\’angulo entre vectores

2. ~v1, . . . , ~vn genera todo el espacio V.

En este caso diremos que el espacio vectorial V tiene dimension igual an. Por ejemplo, el espacio de vectores en el plano tiene dimension n = 2, enel espacio n = 3, mientras que existen otros espacios como por ejemplo el defunciones que pueden tener dimension infinita.

Definicion B.5. Dados dos vectores cualesquiera ~vi y ~vj en un espacio vectorialV con escalares en C, entonces diremos que 〈~vi, ~vj〉 es un producto interno,producto escalar o producto punto si cumple las siguientes propiedades:

1. 〈~vi, ~vj〉 es un escalar

2. 〈~vi, α~vj + β~vk〉 = α〈~vi, ~vj〉 + β〈~vi, ~vk〉

3. 〈~vi, ~vi〉 > 0 si ~vi 6= ~0

4. 〈~vi, ~vj〉 = 〈~vj , ~vi〉 ∗ , en que (·)∗ denota el complejo conjugado de (·)

Este producto ademas induce una norma en el espacio vectorial V:

∥∥~vi∥∥ =

√

〈~vi, ~vi〉

Recordamos que una norma se define como sigue:

Definicion B.6. Una norma∥∥ ·∥∥ en un espacio vectorial es una funcion que

va del espacio V a R que cumple con :

1.∥∥~vi∥∥ ≥ 0 y

∥∥~vi∥∥ = 0 si y solo si ~vi = ~0

2.∥∥α~vi

∥∥ = |α|

∥∥~vi∥∥ en que |α| es el valor absoluto o modulo del escalar α

3.∥∥~vi + ~vj

∥∥ ≤

∥∥~vi∥∥+

∥∥~vi∥∥ (desigualdad triangular) .

Con la norma inducida de esta forma con el producto interno en el espaciovectorial podemos introducir la idea de distancia entre dos vectores:

d(~vi, ~vj) =∥∥~vi − ~vj

∥∥

Definicion B.7. Un espacio vectorial donde se ha definido una norma, es decir,se tiene una medida de distancia y longitud se denomina espacio euclideano

Ademas puede definirse el coseno del angulo entre dos vectores como

cos ∠(~vi, ~vj) =〈~vi, ~vj〉∥∥~vi∥∥∥∥~vj∥∥


Definicion B.8. De la definicion del angulo entre dos vectores es claro quepodemos decir que dos vectores son ortogonales bajo el producto interno 〈, 〉,si este producto es igual a cero. Es decir:

~vi⊥~vj ⇔ 〈~vi, ~vj〉 = 0

Lema B.1. Supongamos un espacio vectorial V de dimension n, en que se tieneuna base de vectores:

B = ~v1, ~v2, . . . , ~vn (B.1)

Si los vectores de la base B son ortogonales entre si bajo un producto in-terno 〈, 〉, es decir:

〈~vi, ~vj〉 =

0 ; si i 6= j

> 0 ; si i = j(B.2)

Entonces, un vector arbitrario ~u ∈ V se representa como una combinacionlineal de los vectores de la base B de la forma:

~u = α1~v1 + α2~v2 + . . .+ αn~vn (B.3)

en que cada coeficiente se calcula:

αi =〈~vi, ~u〉〈~vi, ~vi〉

(B.4)

Demostracion

La representacion (B.3) se deduce de inmediato del hecho de tener un con-junto de n vectores linealmente independientes en un espacio vectorial V dedimension n. Lo central que nos atane en este caso es el calculo de los coefi-cientes (B.4).

Tomemos la ecuacion (B.3), y apliquemosle producto interno con alguno delos vectores de la base (B.1):

〈~vi, ~u〉 = 〈~vi, α1~v1 + α2~v2 + . . .+ αn~vn〉 (B.5)

Si aplicamos la linealidad del producto interno

〈~vi, ~u〉 = α1〈~vi, ~v1〉 + α2〈~vi, ~v2〉 + . . .+ αn〈~vi, ~vn〉 (B.6)

Y dada la ortogonalidad del conjunto B, los productos de la derecha son cero aexcepcion del que coinciden los ındices i :

〈~u,~vi〉 = αi〈~vi, ~vi〉 (B.7)

B.2. CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER 347

De donde se demuestra el resultado (B.4). 222

Lema B.2. Desigualdad de Cauchy-Schwartz

Si vi y vj son dos vectores arbitrarios en un espacio euclideano, es decir, unespacio vectorial con norma inducida por un producto interno, entonces

〈vi, vj〉2 ≤ 〈vi, vi〉 · 〈vj , vj〉 (B.8)

Demostracion

Primero se observa que esta desigualdad es inmediata si cualquiera de losvectores, vi o vj , es el vector cero. Ası es suficiente considerar el caso en ambosson no nulos.

Consideremos un vector (αvi − βvj), cuya norma es no negativa

0 ≤ 〈(αvi − βvj), (αvi − βvj)〉 (B.9)

= α2〈vi, vi〉 − 2αβ〈vi, vj〉 + β2〈vj , vj〉 (B.10)

De donde

2αβ〈vi, vj〉 ≤ α2〈vi, vi〉 + β2〈vj , vj〉 (B.11)

Ahora, si tomamos α =√

〈vj , vj〉 y β =√

〈vi, vi〉 entonces

2√〈vj , vj〉

√〈vi, vi〉〈vi, vj〉 ≤ 2〈vi, vi〉〈vj , vj〉 (B.12)

〈vi, vj〉 ≤√〈vj , vj〉

√〈vi, vi〉 (B.13)

Donde elevando al cuadrado se tiene la desigualdad a demostrar.

222

B.2. Convergencia de las Series de Fourier

B.2.1. Convergencia de sucesiones y series

A continuacion se hace un breve repaso sobre convergencia de sucesiones yseries de funciones.

Definicion B.9. Se dice que una sucesion de funciones fk(x) de funciones,cada una definida en un intervalo I = [a, b], converge (puntualmente) en I, si

lımk→∞

fk(x0) existe ∀x0 ∈ I (B.14)


Definicion B.10. Se dice que una sucesion fk(x) de funciones, definidas enun intervalo I = [a, b], converge uniformemente a una funcion f(x) en elintervalo I si

∀ε > 0 ∃ K > 0 tal que k > K ⇒ |f(x)− fk(x)| < ε ∀ a ≤ x ≤ b (B.15)

Estas dos definiciones sobre la convergencia de sucesiones son aplicables to-talmente a series de funciones, ya que estas ultimas no son mas que sucesionesde sumas parciales. Es decir, si se tiene una serie de funciones de la forma

S(x) =∞∑

n=1

fn(x) (B.16)

Sus propiedades de convergencia estan dadas por la convergencia de la suce-sion Sk(x), que es la suma parcial k-esima

Sk(x) =k∑

n=1

fn(x) (B.17)

Definicion B.11. Se dice que una serie de funciones

S(x) =

∞∑

n=1

fn(x) (B.18)

converge absolutamente si la serie de los valores absolutos de su terminogeneral converge, es decir, si

∞∑

n=1

|fn(x)| (B.19)

converge. Note que por comparacion de los terminos generales, si una serieconverge absolutamente, entonces tambien converge en el sentido usual2

Lema B.3. M-Test de WeiertrassSi tenemos una serie convergente de numeros reales positivos

∞∑

k=1

Mk (B.20)

Y una serie de funciones en un intervalo I = [a, b]

∞∑

k=1

fk(x) (B.21)

2Sentido usual significa que la serie (B.18) converge


Tales que

|fk(x)| ≤Mk (B.22)

Para cada k y para cada x ∈ I , entonces la serie de funciones∑∞k=1 fk(x)

converge uniforme y absolutamente en el intervalo I.

Demostracion

Por comparacion entre los terminos de la serie numerica y la de funciones, sesigue que para cada x0 en el intervalo I, la serie converge absolutamente. Ası laserie converge puntualmente a una funcion lımite f(x) en a ≤ x ≤ b. Ahora

∣∣∣∣∣f(x) −

n∑

k=1

fk(x)

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣

∞∑

k=n+1

fk(x)

∣∣∣∣∣

(B.23)

≤∞∑

k=n+1

|fk(x)| (B.24)

≤∞∑

k=n+1

Mk (B.25)

=∞∑

k=1

Mk −n∑

k=1

Mk (B.26)

Donde en el lado derecho la expresion tiende a cero cuando n→ ∞. Ya queesta convergencia no depende del x que se elija en I, es uniforme.

B.2.2. Convergencia de las Series de Fourier

Para estudiar la convergencia de la serie de Fourier de una funcion, a con-tinuacion se desarrollan algunos lemas que permiten determinar que la normadel vector de error en(t) = y(t) − yn(t) tiende asintoticamente a cero, cuandon→ ∞.

Lema B.4. Desigualdad de ParsevalSi y(t) es una funcion perıodica y A0, A1, ...An y B1, ...Bn son (algunos de

los) coeficientes de su representacion en serie de Fourier entonces

1

T

∫ T2

−T2

y2(t)dt ≥ A20 +

1

2

n∑

k=1

(A2k +B2

k

)(B.27)

Demostracion

La norma al cuadrado del error que se comete, que se representa en la figura5.8 a la derecha, es:


∥∥en(t)

∥∥

2= 〈en(t), en(t)〉 (B.28)

= 〈en(t), y(t) − yn(t)〉 (B.29)

= 〈en(t), y(t)〉 − 〈en(t), yn(t)〉 (B.30)

Pero segun (5.37) el segundo termino es cero, y usando (5.38)

∥∥en(t)

∥∥

2= 〈en(t), y(t)〉 (B.31)

= 〈y(t), y(t)〉 − 〈yn(t), y(t)〉 (B.32)

=∥∥y(t)

∥∥

2 −⟨

n∑

k=1

αkfk(t), y(t)

⟩

(B.33)

=∥∥y(t)

∥∥

2 −n∑

k=1

αk〈fk(t), y(t)〉 (B.34)

que puede reescribirse como

∥∥en(t)

∥∥

2=∥∥y(t)

∥∥

2 −n∑

k=1

α2k

∥∥fk(t)

∥∥

2(B.35)

Si recordamos que la norma siempre es positiva o cero y se expresa medianteintegrales, y si calculamos la norma cuadratica de cada fk(t) de la base (5.23)obtenemos

∫ T2

−T2

e2n(t)dt =

∫ T2

−T2

y2(t)dt−[

A20 · T +

n∑

k=1

(

A2k ·

T

2+B2

k ·T

2

)]

≥ 0 (B.36)

Con esto se obtiene la desigualdad de Parseval:

1

T

∫ T2

−T2

y2(t)dt ≥ A20 +

1

2

n∑

k=1

(A2k +B2

k

)(B.37)

222

Corollario B.1. De la ecuacion (B.27), se deduce ademas que

lımk→∞

Ak = lımk→∞

2

T

∫ T2

−T2

y(t) cos(kω0t)dt = 0 (B.38)

lımk→∞

Bk = lımk→∞

2

T

∫ T2

−T2

y(t) sen(kω0t)dt = 0 (B.39)


Demostracion

Directa de la desigualdad de Parseval, ya que si la integral del lado izquierdoexiste, entonces la serie del lado derecho, cuyo termino general es no-negativo,esta acotada superiormente. Esto permite afirmar que converge, lo que a suvez implica que el termino general se hace cero cuando n → ∞, por tanto, loscoeficientes Ak y Bk se hacen cero cuando k → ∞. 222

Lema B.5. La aproximacion o serie de Fourier truncada yn(t) de una funcionperiodica y(t) de perıodo T , puede escribirse como

yn(t) =2

T

∫ T2

−T2

y(t+ s)sen(ω0(n+ 1

2 )s)

2 sen(ω0

2 s) ds ;ω0 =

2π

T(B.40)

Demostracion

La aproximacion n-esima puede escribirse utilizando las ecuaciones (5.27)

yn(t) = A0 +n∑

k=1

[Ak cos(kω0t) +Bk sen(kω0t)] (B.41)

=1

T

∫ T2

−T2

y(τ)dτ (B.42)

+n∑

k=1

[

cos(kω0t)2

T

∫ T2

−T2

y(τ) cos(kω0τ)dτ + sen(kω0t)2

T

∫ T2

−T2

y(τ) sen(kω0τ)dτ

]

(B.43)

=2

T

∫ T2

−T2

y(τ)

[

1

2+

n∑

k=1

cos(kω0t) cos(kω0τ) + sen(kω0t) sen(kω0τ)]

dτ

(B.44)

=2

T

∫ T2

−T2

y(τ)

[

1

2+

n∑

k=1

cos(kω0(τ − t))

]

dτ (B.45)

Pero se puede utilizar la siguiente identidad trigonometrica

sen

((

k +1

2

)

ω0s

)

− sen

((

k − 1

2

)

ω0s

)

= 2 sen(ω0s

2

)

cos (kω0s) (B.46)

Y si se hace la suma desde 1 hasta n, obtenemos

sen

((

n+1

2

)

ω0s

)

− sen(ω0s

2

)

= 2 sen(ω0s

2

) n∑

k=1

cos (kω0s) (B.47)


O bien,

1

2+

n∑

k=1

cos (kω0s) =sen((n+ 1

2

)ω0s)

2 sen(

12ω0s

) (B.48)

Reemplazando en la integral se obtiene

yn(t) =2

T

∫ T2

−T2

y(τ)sen((n+ 1

2

)ω0(τ − t)

)

2 sen(ω0

2 (τ − t)) dτ (B.49)

Si se considera t fijo y se hace el cambio s = τ − t se obtiene

yn(t) =2

T

∫ T2−t

−T2−ty(t+ s)

sen((n+ 1

2

)ω0s)

2 sen(ω0

2 s) ds (B.50)

En esta expresion, si la funcion y(t) tiene perıodo T , entonces puede probarseque la funcion en el integrando tambien es periodica en s, con perıodo T . Estose deja como ejercicio al lector. Por lo tanto la integral puede calcularse encualquier intervalo de longitud T , en particular, en [−T

2 ,T2 ].

222

Lema B.6. Convergencia puntual.Supongamos que y(t) es una funcion periodica en (−∞,∞), de perıodo T ,

entonces para cada t0 se cumple que

lımn→∞

yn(t0) =y(t+0 ) + y(t−0 )

2(B.51)

En que y(t+0 ) e y(t−0 ) son los lımites por la derecha y por la izquierda de y(t)en t0.

Demostracion

Primero, y como resultado previo, observemos que si integramos a amboslados de la ecuacion (B.48), obtenemos

∫ T2

−T2

sen((n+ 1

2

)ω0s)

2 sen(

12ω0s

) =T

2(B.52)

Ahora definamos la funcion

g(t) =y(t+) + y(t−)

2(B.53)

Esta coincide con y(t) solo en sus puntos de continuidad y ademas heredasu periodicidad. Podemos observar tambien que si t0 es una discontinuidad dey(t), lo es tambien de g(t) y


g(t0) =y(t+0 ) + y(t−0 )

2=g(t+0 ) + g(t−0 )

2(B.54)

Consideremos lo que sucede con el error en(t0), entre g(t) y su representacionen serie de Fourier, a medida que n tiende a infinito. Si usamos la igualdad recienmencionada y la expresion (B.40) para la n-esima suma parcial, el error puedeescribirse

en(t0) = g(t0) − gn(t0) (B.55)

=2

T

∫ T2

−T2

g(t0)sen(ω0(n+ 1

2 )s)

2 sen(ω0

2 s) ds− 2

T

∫ T2

−T2

g(t0 + s)sen(ω0(n+ 1

2 )s)

2 sen(ω0

2 s) ds

(B.56)

=2

T

∫ T2

−T2

[g(t0) − g(t0 + s)]sen(ω0(n+ 1

2 )s)

2 sen(ω0

2 s) ds (B.57)

=2

T

∫ T2

−T2

[

g(t0) − g(t0 + s)12ω0s

12ω0s

sen(

12ω0s

)

]

sen

(

ω0

(

n+1

2

)

s

)

ds

(B.58)

La expresion entre corchetes dentro de la integral es seccionalmente continuaen el intervalo [−T

2 ,T2 ], siempre y cuando t0 sea un punto de continuidad de g(t),

lo que permite afirmar que el primer cuociente de la expresion entre corchetesse transforma en la derivada cuando s→ 0. En estos puntos, usando la ecuacion(B.39), se deduce que

lımn→∞

en(t0) = 0 (B.59)

O, lo que es lo mismo,

lımn→∞

gn(t0) = g(t0) =g(t+0 ) + g(t−0 )

2(B.60)

Ya que, en este caso t0 se ha supuesto un punto de continuidad, es decir,g(t+0 ) = g(t−0 ) = g(t0).

En aquellos puntos (finitos) de discontinuidad de g(t), podemos definir lafuncion

G(t) = g(t+ t0) − g(t0) (B.61)

Si separamos esta funcion en sus partes par e impar


Gpar(t) =G(t) +G(−t)

2(B.62)

=g(t+ t0) + g(−t+ t0) − 2g(t0)

2(B.63)

Gimpar(t) =G(t) −G(−t)

2(B.64)

=g(t+ t0) − g(−t+ t0)

2(B.65)

La serie de Fourier de Gimpar(t) converge a cero en t = 0, pues es unaserie senoidal. Mientras que Gpar(t) es continua en t = 0 (cuya prueba se dejaal lector), por tanto su serie de Fourier converge a Gpar(0) = G(0). Con estopodemos afirmar que la serie de Fourier de G(t) converge a cero en t = 0 y enconsecuencia

lımn→∞

Gn(0) = 0 =⇒ lımn→∞

gn(t0) = g(t0) (B.66)

Es decir, la serie de Fourier de g(t) en t = t0 converge a g(t0), tambien en elcaso de los puntos de discontinuidad.

Ahora dada la definicion de g(t) en (B.53), su expresion en serie de Fouriercoincide con la de y(t), por tanto la convergencia puntual debe ser la misma.En consecuencia, el lema queda demostrado.

222

Lema B.7. Convergencia uniforme

Supongamos que y(t) es una funcion continua en (−∞,∞), de perıodo T ,cuya primera derivada y′(t) es seccionalmente continua. Entonces, su serie deFourier converge uniformemente a y(t) en cualquier intervalo [a, b]. Es decir,

∀ε > 0 ∃N > 0 ; n > N ⇒ |y(t) − yn(t)| < ε ∀t ∈ [a, b] (B.67)

Demostracion

Sean

A0 +∞∑

n=1

[An cos(nω0t) +Bn sen(nω0t)] (B.68)

A′0 +

∞∑

n=1

[A′n cos(nω0t) +B′

n sen(nω0t)] (B.69)

Las series de Fourier de y(t) e y′(t), respectivamente. Entonces, dada laperiodicidad de y(t), tenemos que


A′0 =

1

T

∫ T2

−T2

y′(t)dt (B.70)

=1

T[y(T/2) − y(−T/2)] (B.71)

= 0 (B.72)

Mientras que para n > 0 tenemos

A′n =

2

T

∫ T2

−T2

y′(t) cos(nω0t)dt (B.73)

=2

T

[

y(t) cos(nω0t)∣∣∣

T2

−T2

+ nω0

∫ T2

−T2

y(t) sen(nω0t)dt

]

(B.74)

= nω02

T

∫ T2

−T2

y(t) sen(nω0t)dt (B.75)

= nω0Bn (B.76)

B′n =

2

T

∫ T2

−T2

y′(t) sen(nω0t)dt (B.77)

=2

T

[

y(t) sen(nω0t)∣∣∣

T2

−T2

− nω0

∫ T2

−T2

y(t) cos(nω0t)dt

]

(B.78)

= −nω02

T

∫ T2

−T2

y(t) sen(nω0t)dt (B.79)

= −nω0An (B.80)

Utilizando la desigualdad de Parseval (B.27), podemos afirmar que

∞∑

n=1

(

A′n

2+B′

n2)

=

∞∑

n=1

[

nω0

√

An2 +Bn

2

]2

(B.81)

≤ 1

T

∫ T2

−T2

y′(t)2dt <∞ (B.82)

Si se observa el termino general nω0

√

A2n +B2

n de la segunda serie, seaprecia que pertenece al conjuto de todas las sucesiones “cuadrado sumables”,al igual que la sucesion 1/(nω0). En ambas sucesiones n = 1, 2, . . . . En con-secuencia el producto de estas sucesiones tambien es “cuadrado sumable”, portanto

∞∑

n=1

(1

nω0· nω0

√

An2 +Bn

2

)

=

∞∑

n=1

√

An2 +Bn

2 (B.83)


Tambien converge.Si ahora usamos la desigualdad de Cauchy-Schwartz (B.8)

|〈(An, Bn); (cos(nω0t), sen(nω0t))〉| ≤ ‖(An, Bn)‖ · ‖(cos(nω0t), sen(nω0t))‖(B.84)

An cos(nω0t) +Bn sen(nω0t) ≤√

An2 +Bn

2√

cos2(nω0t) + sen2(nω0t)

(B.85)

=

√

An2 +Bn

2 (B.86)

Con esto se puede comparar la serie

|A0| +∞∑

n=1

|An cos(nω0t) +Bn sen(nω0t)| (B.87)

con la serie convergente de constantes positivas

|A0| +∞∑

n=1

√

An2 +Bn

2 (B.88)

el M -test de Weierstrass (vea el Lema B.3) asegura por tanto que

A0 +

∞∑

n=1

[An cos(nω0t) +Bn sen(nω0t)] (B.89)

converge uniformemente en cualquier intervalo cerrado. Pero, por el lema deconvergencia puntual antes visto, sabemos que esta serie converge a y(t) puntoa punto.

222

Con los resultados hasta aquı obtenidos estamos en condiciones ya de de-mostrar que la norma del error que se comete al representar en serie de Fourieruna funcion seccionalmente continua tiende asintoticamente a cero.

Lema B.8. Sea y(t) una funcion definida en (−∞,∞), de periodo T , seccional-mente continua y con primera derivada seccionalmente continua. Entonces, siyn(t) es la n-esima suma parcial de su representacion en serie de Fourier, lanorma del error en(t) = y(t) − yn(t) es tal que

lımn→∞

‖en(t)‖ = 0 (B.90)

Demostracion

Es directa de (B.67), ya que si tomamos y(t) en el intervalo [−T2 ,

T2 ], y

denotamos por t1, t1, . . . , tm los puntos en que y(t) es discontinua dentrode el, entonces, dado un ε > 0, para cada uno de los m + 1 subintervalos(−T

2 , t1), . . . , (tk, tk+1), . . . , (tm,T2 ) existe una constante Nk tal que


n > Nk ⇒ |y(t) − yn(t)| < ε (B.91)

|en(t)| < ε ∀t ∈ (tk, tk+1) (B.92)

Si elegimos N = maxNkk=1,...,m+1 podemos asegurar que

n > N ⇒ |en(t)| < ε ∀t ∈ [−T2 ,

T2 ] − t1, . . . , tk+1 (B.93)

Por tanto

‖en(t)‖2 =

∫ T2

−T2

en2(t)dt (B.94)

=

∫ t1

−T2

en2(t)dt+ . . .+

∫ tk+1

tk

en2(t)dt+ . . .+

∫ T2

tm

en2(t)2dt (B.95)

< ε2(t1 − (−T2 )) + . . .+ ε2(tk+1 − tk) + . . .+ ε2(T2 − tm) = ε2 · T

(B.96)

Con esto podemos afirmar, que dado un ε pequeno siempre es posible escogerN suficientemente grando de manera que |en(t)| < ε

√T , y por tanto converge

a cero.222

Corollario B.2. Identidad de ParsevalSi y(t) es una funcion perıodica y A0, A1, ...An y B1, ...Bn son los coefi-

cientes de su representacion en serie de Fourier, entonces

1

T

∫ T2

−T2

y2(t)dt = A20 +

1

2

n∑

k=1

(A2k +B2

k

)(B.97)

Demostracion

Es directa de la ecuacion (B.36), donde como consecuencia del lema anterior(B.90), la norma del error, ademas de ser positiva, tiende asintoticamente a cero.Por tanto la desigualdad (B.27) se transforma en la identidad (B.97).

La serie de Fourier es solo una representacion de la funcion y(t), en el sentidoque converge al mismo valor que y(t) en los puntos que esta funcion escontinua, y en aquellos en que hay discontinuidades o saltos, la serie convergeal promedio de los lımites laterales. Note que estas diferencias entre la senaly su representacion en serie de Fourier no son detectadas por la funcion deerror minimizada, la cual puede de todos modos alcanzar el valor mınimo(cero).



transformada de Fourier inversa

Apendice C

La transformacion deFourier

C.1. Transformacion de Fourier en tiempo con-tinuo

C.1.1. Definicion de la Transformada

Dada una funcion y(t) en el intervalo ] − ∞,∞[ , su transformada deFourier Y ( ω) y su transformada de Fourier inversa quedan definidas por lasecuaciones

F [y(t)] = Y ( ω) =

∫ ∞

−∞y(t)e− ωtdt (C.1)

F−1 [Y ( ω)] = y(t) =1

2π

∫ ∞

−∞Y ( ω)e ωtdω (C.2)

Para que la transformada exista es suficiente que la funcion y(t) sea absolu-tamente integrable en el intervalo −∞ < t <∞, es decir:

∫ ∞

−∞

∣∣ y(t)

∣∣ dt < ∞

Existen funciones que a pesar de no cumplir con esta condicion, es posiblecalcular su transformada de Fourier.

Veamos a manera de ejemplo como se puede obtener la transformada deFourier del delta de Dirac, a partir de la transformada de un pulso como el delejemplo 6.1 (pag. 121).

359

360 APENDICE C. LA TRANSFORMACION DE FOURIER

Ejemplo C.1. Consideremos un pulso centrado en el cero, de ancho ∆ y altura1/∆, es decir, una funcion

y∆(t) =

1

∆; |t| ≤ ∆/2

0 ; |t| > ∆/2

Esta funcion estabien definida ∀t ∈]−∞,∞[, y el area del pulso es unitaria∀∆ > 0. Su transformada de Fourier por tanto puede obtenerse, en base alejemplo 6.1 ya mencionado, o por la definicion (C.1) sera

Y∆( ω) =

∫ ∆/2

−∆/2

1

∆e− ωtdt

=1

− ω∆

(

e− ω∆2 − e ω

∆2

)

=sen(ω∆2

)

ω∆2

Puede apreciarse que a medida que ∆ → 0, la funcion se transforma enun pulso mas alto y angosto, siendo esta funcion una de las aproximacionesasintoticas del Delta de Dirac, pues es cero en todo instante, excepto t = 0, ysu integral es unitaria. En tanto, su trasnformada de Fourier se hace cada vezmas “plana”. Estas ideas se pueden apreciar en la figura C.1.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1t

(a) Pulso y∆(t)

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

–40 –30 –20 –10 10 20 30 40w

(b) Espectro Y∆( ω)

Figura C.1: Pulso y su transformada para ∆ = 1, 14 ,

116 .

Analıticamente tenemos que en el lımite, cuando ∆ → 0 :

C.1. TRANSFORMACION DE FOURIER EN TIEMPO CONTINUO 361

y∆(t) −→ δ(t)↓ ↓

Y∆( ω) =sen(ω∆

2 )ω∆2

−→ Y ( ω) = 1

C.1.2. Propiedades de la Transformada de Fourier

Existen diversas propiedades de la transformada de Fourier que resultan demucha utilidad en el analisis frecuencial de senales y su relacion con los sistemaslineales, que ademas permiten ontener la transformada de Fourier de una funciona partir de algunas mas basicas.

Lema C.1. Simetrıa.Sea y(t) una funcion definida ∀t, cuya transformada de Fourier es Y ( ω),

entonces si consideramos la funcion Y (t), en el dominio del tiempo ahora, sutransformada de Fourier es

FY (t) = 2πy(− ω) (C.3)

Demostracion

Es directa de reemplazar Y (t) en la definicion de la transformada y recor-dando la ecuacion que define a y(t) como transformada inversa de Y ( ω)

FY (t) =

∫ ∞

−∞Y (t)e− ωtdt

= 2π1

2π

∫ ∞

−∞Y (t)ejt(−ω)dt

= 2πy(− ω)

222

Ejemplo C.2. Consideremos una funcion constante y(t) = C. Esta funcionno es absolutamente integrable, sin embargo, su transformada de Fourier puedeobtenerse en base a la transformada del Delta de Dirac:

F y(t) = F C= C · F 1= C · 2πδ(−ω)

= C · 2πδ(ω)

Veamos ahora como se ve afectada la transformada de Fourier de una senalcuando esta es desplazada en el tiempo, que puede ser el caso en que existe, porejemplo, retardo.


Desplazamiento en el tiempo

Desplazamiento en frecuenciaLema C.2. Desplazamiento en el tiempo.

Si tenemos una funcion y(t) definida para −∞ < t <∞, cuya transformadade Fourier es Y ( ω), entonces la transformada de Fourier de y(t− t0) es

Fy(t− t0) = e− ωt0Y ( ω) (C.4)

Demostracion

Aplicando la definicion de la Transformada de Fourier, para la funcion y(t)desplazada en el tiempo, tenemos que

Fy(t− t0) =

∫ ∞

−∞y(t− t0)e

− ωtdt

= e− ωt0∫ ∞

−∞y(t− t0)e

− ω(t−t0)dt

Donde si se define t∗ = t− t0 se puede reescribir la integral como

Fy(t− t0) = e− ωt0∫ ∞

−∞y(t∗)e− ωt

∗

dt∗

= e− ωt0Y ( ω)

222

Ejemplo C.3. Si se aplica este lema al ejemplo 6.1, obtenemos que si el pulsode amplitud A no esta centrado en el origen, sino que se ha desplazado a laderecha, ubicandose en el intervalo [0, τ ] su transformada de Fourier sera

Fy[0,τ ](t) = e−jwτ2Aτ

sen(ωτ2

)

ωτ2

Si analizamos en que cambia realmente la transformada de Fourier del pulsoal desplazarlo en el tiempo, podemos apreciar que solo el angulo de Y ( ω) es elque se ve afectado, ya que su modulo permanece invariante. Esto era esperableya que la ubicacion del instante t = 0, cuando estamos considerando una funciondefinida para −∞ < t < ∞, es arbitraria afectando solo las fases relativas desus componentes en frecuencia.

Veamos que pasa en la contraparte del lema de desplazamiento en el tiempo,pero en el dominio de la frecuencia ω.

Lema C.3. Desplazamiento en la frecuencia.Si tenemos, al igual que antes, una funcion y(t) definida en toda la recta

real, es decir, para −∞ < t < ∞, cuya transformada de Fourier es Y ( ω),entonces

Featy(t) = Y ( ω − a) ; a ∈ C (C.5)


Demostracion

Si aplicamos la definicion de la transformada a la funcion y(t) multiplicadapor la exponencial periodica e ω0t tenemos que

Featy(t) =

∫ ∞

−∞eaty(t)e− ωtdt

=

∫ ∞

−∞y(t)e−( ω−a)tdt

En que se puede definir ω∗ = ω − a

Featy(t) =

∫ ∞

−∞y(t)e− ω

∗tdt

= Y ( ω∗)

= Y ( ω − a)

222

Ejemplo C.4. Con este lema podemos obtener la transformada de Fourier deuna exponencial periodica, considerando en la ecuacion (C.5) a = ω0:

Fe ω0t

= F

e ω0t · 1

= 2πδ( ω − ω0)

= 2πδ(ω − ω0)

Ya que el delta de Dirac es diferente de cero solo en el punto en que suargumento es igual a cero.

A partir de esta transformada, utilizando la ecuacion de Euler, se puedenobtener sin problema la del coseno y del seno:

F cos(ω0t) = Fe ω0t + e− ω0t

2

=1

2

[Fe− ω0t

+ F

e ω0t

]

= π [δ(ω + ω0) + δ(ω − ω0)]

F sin(ω0t) = Fe ω0t − e− ω0t

2j

=−j2

[−F

e− ω0t

+ F

e ω0t

]

= jπ [δ(ω + ω0) − δ(ω − ω0)]


Este lema tiene importantes aplicaciones en el analisis de senales que semodulan en frecuencia y aquellas que son periodicas, como puede apreciarse enlos siguientes corolarios.

Corollario C.1. Modulacion.Si tenemos una senal y(t) definida para todo t ∈ R, cuyo espectro (transfor-

mada de Fourier) es Y ( ω), entonces

Fcos(ω0t)y(t) =1

2[Y ( ω − ω0) + Y ( ω + ω0)] (C.6)

Demostracion

Esta es directa del lema anterior utilizando la ecuacion de Euler, es decir,escribiendo cos(ω0t) con exponenciales periodicas. Esto es

Fcos(ω0t)y(t) = F(

1

2(e ω0t + e− ω0t)y(t)

)

=1

2

(Fe ω0ty(t) + Fe− ω0ty(t)

)

=1

2(Y ( ω − ω0) + Y ( ω + ω0))

222

Se deja al lector la demostracion del corolario que se obtiene por analogıaen el caso que en vez de cos(ω0t) se utiliza sen(ω0t).

Ejemplo C.5. En ambos casos de modulacion planteados, cosenoidal y senoidal,al hacer el producto de una senal con una sinusoide se logra desplazar el espectro,o contenido de frecuencias de la senal. Esto permite llevar, por ejemplo, senalesde contenido de baja frecuencia (como la voz humana, en la banda de 0−4[kHz]),a bandas de frecuencia para transmision radial (por ejemplo 1[MHz]).

Esta idea se muestra en la figura C.2

|Fy(t)cos(2π106t)|

1[MHz]4[kHz]

|Fy(t)|

Figura C.2: Espectro de una senal de frecuencias audible y espectro de la senalmodulada.

Corollario C.2. Funciones Periodicas.Si tenemos una senal periodica yT (t), en un intervalo de longitud T , esta

no es una funcion absolutamente integrable y su transformada de Fourier no


puede obtenerse a traves de la definicion (C.1). Sin embargo, sabemos ya queuna senal periodica podemos representarla mediante una Serie de Fourier (rep-resentacion en el tiempo) ya sea trigonometrica o con exponenciales periodicas.En los desarrollos realizados ademas ya hemos encontrado las expresiones paralas transformadas de Fourier de una constante, del coseno, del seno y de una ex-ponencial periodica, por tanto, la transformada de Fourier de una seal periodicase puede obtener:

F yT (t) = F ∞∑

n=−∞Cne

− ωnt

En que ωn = n2π/T , y por linealidad

F yT (t) =∞∑

n=−∞CnF

e− ωnt

=

∞∑

n=−∞Cnδ(ω + ωn)

Ejemplo C.6. Consideremos el tren de pulsos de la figura C.3 definido por

y(t) =

+1 ; 0 ≤ |t| ≤ π2

−1 ; π2 < |t| ≤ π

y(t+ 2π) ; |t| > π

t

−1

1

π−π

y(t)

Figura C.3: Tren de pulsos

La integral del valor absoluto de la funcion claramente diverge, y si intenta-mos obtener la transformada de Fourier de esta funcion utilizando la definicion(C.1), llegamos a una expresion difıcil de simplificar. En cambio, la funcion y(t)puede expresarse mediante su serie de Fourier, que en este caso sera cosenoidal,pues y(t) es par:


y(t) =

∞∑

n=1

An cos(nt)

An =1

π

∫ π

−πy(t) cos(nt)dt

Calculando los coeficientes Bn, se obtiene

y(t) =

∞∑

n=1

4

nπsen(nπ

2

)

cos(nt)

Luego,

Y ( ω) =

∞∑

n=1

4

nsen(nπ

2

)

[δ(ω + n) + δ(ω − n)]

=∞∑

n=−∞n6=0

4

nsen(nπ

2

)

δ(ω + n)

Es decir, los coeficientes An se transforman en las amplitudes de los deltasde Dirac en el espectro Y ( ω), como se puede apreciar en la figura C.4

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

2 4 6 8 10w

(a) Coeficientes An

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

–10 –5 5 10

(b) Espectro Y ( ω)

Figura C.4:

Lema C.4. Escalamiento.Sea y(t) una funcion definita para t ∈] − ∞,∞[, y a una constante real

distinta de cero, entonces


Fy(at) =1

|a|Y (jω

a) (C.7)

Demostracion

Si reemplazamos la funcion escalada y(at) en la definicion de la integral,podemos ahı definir una nueva variable t∗ = at, pero se debe tener en cuentaque el signo de a determina si los lımites de la integral se mantienen o se debenintercambiar:

Fy(at) =

∫ ∞

−∞y(at)e− ωtdt

=

∫ ∞

−∞y(t∗)e− ω

t∗

adt∗

a; si a > 0

∫ −∞

∞y(t∗)e− ω

t∗

adt∗

a; si a < 0

Dado que el cambio de orden en los lımites de la integral es un cambio designo, ambas expresiones pueden juntarse en una sola:

Fy(at) =signo(a)

a

∫ ∞

−∞y(t∗)e−j

ωa t

∗

dt∗

Que es lo mismo que

Fy(at) =1

|a|Y (jω

a)

222

A partir de este lema puede verificarse directamente que

Fy(−t) = Y (− ω) (C.8)

A continuacion veamos algunas propiedades de la transformada de Fourierque tienen directa relacion con la aplicacion de esta en la solucion de las ecua-ciones diferenciales y el analisis de sistemas, que se refieren a la transformadade la derivada, de la integral y de la convolucion de funciones.

Lema C.5. Derivacion en t.Sea y(t) una funcion definida en toda la recta real talque y(t) → 0 cuando

t→ ±∞, y cuya transformada de Fourier es Y ( ω) . Entonces, la transformadade Fourier de la derivada de y(t) con respecto al tiempo es

Fd y(t)

dt

= ωY ( ω) (C.9)


Demostracion

Si se aplica la definicion de la transformada de Fourier a la derivada d y(t)dt ,

y se integra por partes, se obtiene:

Fd y(t)

dt

=

∫ ∞

−∞

d y(t)

dte− ωtdt

=[y(t)e− ωt

]∣∣∣

∞

−∞+ ω

∫ ∞

−∞y(t)e− ωtdt

Y dada la condicion asintotica sobre y(t) cuando t → ±∞, solo sobrevive elsegundo termino

Fd y(t)

dt

= ω

∫ ∞

−∞y(t)e− ωtdt

= ωY ( ω)

222

Es importante hacer notar que este lema no garantiza la existencia de latransformada de la derivada temporal de y(t), sino que, en caso de existir, suexpresion puede obtenerse utilizando (C.9). Para las derivadas de orden supe-rior en tanto, tenemos el siguiente corolario, que se debe utilizar con la mismaprecaucion antes mencionada:

Corollario C.3. Derivadas de orden superior

Para una funcion y(t) definida como en el lema anterior, tenemos que

Fdny(t)

dtn

= ( ω)nY ( ω) (C.10)

Demostracion

Se deja al lector, pues es directa por induccion, aplicando recursivamente ellema anterior.

222

Lema C.6. Transformada de la integral.

Sea y(t) una funcion definida en todos los reales, cuya transformada deFourier es Y ( ω). Entonces, la transformada de su integral definida es

F∫ t

−∞y(τ)dτ

=1

ωY ( ω) + πY (0)δ(ω) (C.11)


Demostracion

Para demostrar esta propiedad debemos en primer lugar observar que sidefinimos φ1(t) como la integral definida de y(t), entonces

d φ1(t)

dt=

d

dt

(∫ t

−∞y(τ)dτ

)

= y(t)

Pero tambien se cumple, para cualquier constante real k, que

d

dt(φ1(t) + k) = y(t)

Por tanto, aplicando Fourier y la ecuacion (C.9)

ω (Φ1( ω) + 2πkδ(ω)) = Y ( ω)

Luego, ya tenemos una forma para la transformada de la derivada, que es

Φ1( ω) =1

ωY ( ω) − 2πkδ(ω) (C.12)

Por tanto nos resta encontrar el valor de k. Para esto consideremos nueva-mente la integral indefinida φ1(t)

φ1(t) =

∫ t

−∞y(τ)dτ

=

∫ ∞

−∞y(τ)dτ +

∫ t

∞y(τ)dτ

=

∫ ∞

−∞y(τ)dτ −

∫ −t

−∞y(−x)dx

Donde se ha cambiando la variable x = −τ , en la segunda integral.Si definimos

φ2(t) =

∫ t

−∞y(−x)dx

⇒ Φ2( ω) =1

ωY (− ω) − 2πkδ(ω)

Es su transformada de Fourier, segun la forma (C.12). Entonces podemosretomar la funcion φ1(t), y aplicarle transformada de Fourier


φ1(t) =

∫ ∞

−∞y(τ)dτ − φ2(−t)

Φ1( ω) = 2π

(∫ ∞

−∞y(τ)dτ

)

δ(ω) − Φ2(− ω)

1

ωY ( ω) − 2πkδ(ω) = 2π

(∫ ∞

−∞y(τ)dτ

)

δ(ω) −(

1

− ωY ( ω) − 2πkδ(ω)

)

Donde si se observa que δ(ω) = δ(−ω), se puede despejar la constante k:

k = −1

2

∫ ∞

−∞y(τ)dτ

= −1

2

(∫ ∞

−∞y(τ)e− ωτdτ

)∣∣∣∣ω=0

= −1

2Y (0)

Por tanto

Φ1( ω) =1

ωY ( ω) + πY (0)δ(ω)

222

Ejemplo C.7. El lema anterior puede utilizarse para obtener la transformadadel escalon unitario µ(t) o funcion de Heaviside, a partir de la transformada deldelta de Dirac.

Dada la definicion del Delta Dirac y de la funcion de Heaviside, tenemos que

∫ t

−∞δ(τ)dτ =

0 ; t < 0

1 ; t > 0

= µ(t)

Por tanto,

F µ(t) = F∫ t

−∞δ(τ)dτ

=1

ωF δ(t) + πδ(ω) F δ(t)|ω=0

=1

ω+ πδ(ω)


Lema C.7. Convolucion en el tiempo.Sean y1(t) e y2(t), dos funciones definidas para −∞ < t < ∞, cuyas trans-

formadas de Fourier son Y1( ω) e Y2( ω), respectivamente. Entonces, la trans-formada de Fourier de la convolucion entre ellas es

Fy1(t) ∗ y2(t) = Y1( ω)Y2( ω) (C.13)

Recordando que la convolucion se define como:

y1(t) ∗ y2(t) =

∫ ∞

−∞y1(τ)y2(t− τ)dτ (C.14)

Demostracion

Insertando la expresion de la convolucion en la transformada se obtiene

Fy1(t) ∗ y2(t) =

∫ ∞

−∞

(∫ ∞

−∞y1(τ)y2(t− τ)dτ

)

e− ωtdt

donde si se intercambia el orden de integracion

Fy1(t) ∗ y2(t) =

∫ ∞

−∞y1(τ)

(∫ ∞

−∞y2(t− τ)e− ωtdt

)

dτ

Que usando la ecuacion (C.4) es igual a

Fy1(t) ∗ y2(t) =

∫ ∞

−∞y1(τ)

(e− ωτY2( ω)

)dτ

= Y2( ω)

∫ ∞

−∞y1(τ)e

− ωτdτ

= Y2( ω)Y1( ω)

222

Veamos a continuacion cual es la transformada de Fourier de un producto defunciones que puede resultar util para el calculo de la transformada de Fourierde alguna funcion mas complicada.

Lema C.8. Producto de funciones.Sean y1(t) e y2(t) funciones definidas para −∞ < t < ∞, cuyas transfor-

madas de Fourier son Y1( ω) e Y2( ω), respectivamente. Entonces, la transfor-mada de Fourier del producto entre ellas es

Fy1(t)y2(t) =1

2πY1( ω) ∗ Y2( ω) (C.15)


Demostracion

Consideremos la transformada de Fourier inversa de la convolucion de fun-ciones en ω

F−1Y1( ω) ∗ Y2( ω) =1

2π

∫ ∞

−∞Y1( ω) ∗ Y2( ω)e ωtdω

=1

2π

∫ ∞

−∞

(∫ ∞

−∞Y1(jζ)Y2( ω − jζ)dζ

)

e ωtdω

Intercambiando el orden de integracion

F−1Y1( ω) ∗ Y2( ω) =1

2π

∫ ∞

−∞Y1(jζ)

(∫ ∞

−∞Y2( ω − jζ)e ωtdω

)

dζ

Donde si se define ω − jζ = ω∗

F−1Y1( ω) ∗ Y2( ω) =1

2π

∫ ∞

−∞Y1(jζ)

(∫ ∞

−∞Y2( ω

∗)e( ω∗+jζ)tdω∗

)

dζ

= 2π

(1

2π

∫ ∞

−∞Y1(jζ)e

jζtdζ

)(1

2π

∫ ∞

−∞Y2( ω

∗)ejω∗tdω∗

)

= 2πy1(t)y2(t)

Con lo que el lema queda demostrado.222

Teorema C.1 (Teorema de Parseval. El caso de tiempo continuo). SeanY1( ω) y Y2( ω) las tranformadas de Fourier de las funciones (reales) y1(t) ey2(t) respectivamente, definidas ∀t ∈] −∞,∞[. En tonces tenemos que

∫ ∞

−∞y1(t)y2(t)dt =

1

2π

∫ ∞

−∞Y1( ω)Y2(− ω)dω (C.16)

Demostracion

Esto se demuestra con ayuda del lema de convolucion en el tiempo (C.13).Segun este tenemos que

y1(t) ∗ y2(t) = F−1 Y1( ω)Y2( ω)∫ ∞

−∞y1(τ)y2(t− τ)dτ =

1

2π

∫ ∞

−∞Y1( ω)Y2( ω)e ωtdω


Si evaluamos en t = 0, queda

∫ ∞

−∞y1(τ)y2(−τ)dτ =

1

2π

∫ ∞

−∞Y1( ω)Y2( ω)dω

Donde si se reemplaza al lado izquierdo τ por t, y usamos la ecuacion (C.8)que establece que F y2(−t) = Y2(− ω), entonces queda demostrado el lema.

222

Corollario C.4. Un caso especial del lema anterior es cuando se consideray1(t) = y2(t) = y(t), con lo que la ecuacion (C.16) se transforma en

∫ ∞

−∞y(t)2dt =

1

2π

∫ ∞

−∞Y ( ω)Y (− ω)dω

Pero dado que Y (− ω) es el complejo conjugado de Y ( ω), el integrando ala derecha es la norma cuadrado de la transformada, es decir

∫ ∞

−∞y(t)2dt =

1

2π

∫ ∞

−∞|Y ( ω)|2 dω (C.17)

En la tabla C.1 se muestra un resumen de las propiedades hasta aquı re-visadas y que sirven para el calculo de la transformada de Fourier de las fun-ciones mas comunes, como las que se muestran en la tabla C.2


transformada de Fourier discreta

transformada de Fourier discreta inversaC.2. Transformada de Fourier en tiempo discre-

to

C.2.1. Definicion de la transformada

Dada una funcion definida en tiempo discreto y[k] , en que k ∈ Z , sutransformada de Fourier discreta Y (ejθ) y su transformada de Fourier discretainversa quedan definidas por las ecuaciones

Fd y(t) = Y (ejθ) =

∞∑

k=−∞y[k]e−jθk (C.18)

Fd−1Y (ejθ)

= y[k] =

1

2π

∫ 2π

0

Y (jθ)ejθkdθ (C.19)

La transformada Y (ejθ) definida en (C.18) resulta ser periodica, de perıodo2π, por tanto la integral que define la transformada inversa (C.19), puede cal-cular en cualquier intervalo de longitud 2π. De hecho, algunos textos la definenen el intervalo [−π, π]

Para que la transformada exista es suficiente que la funcion y[k] sea absolu-tamente sumable en el intervalo −∞ < k <∞, es decir:

∞∑

k=−∞

∣∣ y[k]

∣∣ < ∞

Si bien existen funciones que no cumplen con esta condicion, a pesar de elloposeen transformada de Fourier discreta.

A continuacion se muestran algunos ejemplos para ver como se obtiene latransformada de Fourier discreta para un delta de Kronecker, para una secuenciaconstante y para una exponencial decreciente discreta.

Ejemplo C.8. Consideremos primero la secuencia

y[k] = δK [k] =

1 ; k = 0

0 ; k 6= 0

Es decir, un delta de Kronecker . Esta secuencia es absolutamente sum-able, por tanto se cumple la condiciojn suficiente para la existencia de su trans-formada discreta. Si calculamos esta usando la definicion tenemos que la serieinfinita se traduce en un solo termino

C.2. TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO 375

Y (ejθ) =

∞∑

k=−∞δK [k]e−jθk

= δK [0]e−jθ0

= 1

Es decir, su transformada de Fourier discreta es constante. Podemos inter-pretar esto de manera analoga al delta de Dirac en tiempo continuo, cuya trans-formada tambien es constante y representa un espectro plano, o igual contenidode frecuencias en todo el espectro.

Ejemplo C.9. Consideremos ahora el caso opuesto en que tenemos una se-cuencia constante que se escoge de amplitud uno por simplicidad. Es decir, lasecuencia que nos interesa es

y[k] = 1 ∀k ∈ Z

Esta secuencia no es absolutamente sumable, ya que

∞∑

k=−∞→ ∞

Sin embargo, si usamos la definicion de la transformada tenemos que

Y (ejθ) =

∞∑

k=−∞1 · e−jθk

En que la serie al lado derecho podemos interpretarla como una representacionen serie exponencial de Fourier de alguna funcion periodica, en que el coeficientees Ck = 1 , para todo k. Si recordamos, el coeficiente Ck en una serie de Fourierexponencial para una funcion periodica f(θ) se calcula como

Ck =1

T

∫ T2

−T2

f(θ)ej2πT kθ

Con lo que la funcion se expresa como

f(θ) =

∞∑

k=−∞Ck · e−j

2πT kθ

De aquı podemos observar que el perıodo de la funcion periodica debe serT = 2π, y para que la integral que define a Ck sea unitaria basta que la funcion,dentro del intervalo [−π, π] sea un delta Dirac de amplitud 2π, centrado enθ = 0.


Es decir, la transformada de Fourier discreta de la secuencia constantey[k] = 1 es igual a

Y (ejθ) = 2π

∞∑

n=−∞δ(θ − 2πn)

Esto se puede comprobar calculando la transformada de Fourier discreta in-versa, mediante la integral (C.19), que dada la periodicidad basta calcularla encualquier intervalo de longitud 2π

y[k] =1

2π

∫ π

−πY (ejθ)ejθkdθ

=1

2π

∫ π

−π2π

∞∑

n=−∞δ(θ − 2πn)ejθkdθ

=

∫ π

−πδ(θ)ejθkdθ

= 1 ∀k ∈ Z

Ejemplo C.10. Consideremos ahora la senal

y[k] = αkµ[k] |α| < 1

Su transformada de Fourier discreta sera

Y (ejθ) =

∞∑

k=0

αke−jθk

=

∞∑

k=0

(αe−jθ)k

Que resulta ser una serie geometrica convergente ya que |αe−jθ| < 1. Portanto su suma es

Y (ejθ) =1

1 − αe−jθ

C.2.2. Propiedades de la transformada de Fourier discreta

A continuacion se detallan una serie de propiedades de la transformada deFourier discreta que resultan utiles para la obtencion de algunas transformadasy para el analisis de sistemas.


Lema C.9. LinealidadLa transformada de Fourier discreta es una transformacion lineal, es decir,

si y1[k] e y2[k] son dos secuencias definidas ∀k ∈ Z, cuyas transformadas deFourier son Y1(e

jθ) e Y2(ejθ) respectivamente, entonces

Fd αy1[k] + βy2[k] = αY1(ejθ) + βY2(e

jθ) (C.20)

Demostracion

Es directa de la definicion de la transformada (C.18), ya que

Fd αy1[k] + βy2[k] =

∞∑

k=−∞(αy1[k] + βy2[k])e

−jθk

= α

∞∑

k=−∞y1[k]e

−jθk + β

∞∑

k=−∞y2[k]e

−jθk

= αY1(ejθ) + βY2(e

jθ)

222

Lema C.10. Corrimiento en el tiempo.Sea y[k] una secuencia de tiempo discreto definida ∀k ∈ Z, cuya transfor-

mada de Fourier es Y (ejθ) , y sea k0 un numero entero, entonces

Fd y[k − k0] = e−jθk0Y (ejθ) k0 ∈ Z (C.21)

Demostracion

Consideremos la definicion de la transformada (C.18), y tomemos k0 ∈ Z,entonces

Fd y[k − k0] =

∞∑

k=−∞y[k − k0]e

−jθk

Sea k − k0 = l, entonces k = l + k0 y reemplazando en la sumatoria

Fd y[k − k0] =∞∑

l=−∞y[l]e−jθ(l+k0)

= e−jθk0∞∑

l=−∞y[l]e−jθl

= e−jθk0Y (ejθ)


222

Lema C.11. Corrimiento en frecuencia.Sea y[k] una secuencia de tiempo discreto definida ∀k ∈ Z, con transformada

Y (ejθ) , y sea 0 < θ0 < 2π un numero real, entonces consideremos la transfor-mada de la secuencia original multiplicada por una exponencial periodica

Fdejθ0ky[k]

= Y (ej(θ−θ0)) (C.22)

Demostracion

Para demostrar la propiedad anterior podemos considerar directamente ladefinicion (C.18)

Fdejθ0ky[k]

=

∞∑

k=−∞ejθ0ky[k]e−jθk

=

∞∑

k=−∞y[k]e−j(θ−θ0)k

Sea θ − θ0 = ζ, entonces reemplazando

Fdejθ0ky[k]

=

∞∑

k=−∞y[k]e−jζk

= Y (ejζ)

= Y (ej(θ−θ0))

Note que si la frecuencia θ0 /∈ ]0, 2π[ , es decir, se encuentra fuera de la bandaque hemos considerado hasta ahora, siempre puede escribirse de la forma

θ0 = ϑ0 + 2πn

En que ϑ0 ∈ ]0, 2π[ y n ∈ Z, con lo que

ejθ0 = ej(ϑ0+2πn) = ejϑ0e2πn = ejϑ0

Recordemos que es justamente por esto que a la exponencial periodica ej(·)

le hemos denominado tambien exponencial periodica. 222

Para ilustrar esto veamos un ejemplo

Ejemplo C.11. Considere la secuencia de tiempo discreto

y[k] = cos

(2π

10k

)


Para calcular su transformada de Fourier discreta, en vez de usar la defini-cion podemos utilizar la propiedad (C.22), ya que el coseno puede escribirse enterminos de exponenciales

y[k] = cos

(2π

10k

)

=ej

2π10k + e−j

2π10k

2

Ambas exponenciales periodicas las podemos pensar como la secuencia con-stante y0[k] = 1 multiplicada por la respectiva exponencial periodica. Es ası comobajo este punto de vista la transformada de Fourier discreta se puede obteneren unos pocos pasos

Fd

cos

(2π

10k

)

=1

2Fd

ej2π10k

+1

2Fd

e−j2π10k

=1

22π

∞∑

n=−∞δ(θ − 2π

10+ 2πn) +

1

22π

∞∑

n=−∞δ(θ +

2π

10+ 2πn)

= π

∞∑

n=−∞δ(θ − 2π

10+ 2πn) + π

∞∑

n=−∞δ(θ +

2π

10+ 2πn)

Si restringimos la expresion de la transformada a la banda que nos ha in-teresado, es decir, θ ∈ [0, 2π], tenemos que en ella solo existen dos de los deltasde Dirac

Fd

cos

(2π

10k

)∣∣∣∣0<θ<2π

= πδ(θ − 2π

10) + πδ(θ − 18π

10)

−15 −10 −5 0 5 10 15−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

k

y[k]

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

θ

Y(e

jθ)

Figura C.5: Senal cosenoidal y[k] y su transformada discreta.

En la figura C.5, se muestra la secuencia periodica discreta y su espectro, esdecir, su transformada de Fourier discreta, formada por los dos deltas de Diracen el intervalo [0, 2π].


Como consecuencia del lema anterior, que expresa el corrimiento en frecuen-cia que sufre el espectro de una secuencia discreta al ser multiplicado por unaexponencial periodica tenemos el siguiente corolario. Este determina el efectoque tiene sobre la transformada de Fourier discreta el modular una secuenciapor alguna sinusoidal.

Corollario C.5. Sea y[k] una secuencia discreta definida para −∞ < k < ∞con transformada Y (ejθ), y 0 < θ0 < 2π un numero real. Entonces

Fd cos(θ0k)y[k] =1

2

[

Y (ej(θ+θ0 + Y (ej(θ−θ0)]

(C.23)

Fd sen(θ0k)y[k] =j

2

[

Y (ej(θ+θ0 − Y (ej(θ−θ0)]

(C.24)

Demostracion

Como se menciono anteriormente resulta de la aplicacion del lema anterior,ya que tanto cos(θ0k) como sen(θ0k) pueden escribirse en terminos de exponen-ciales periodicas.

Consideremos la ecuacion (C.23):

Fd cos(θ0k)y[k] = Fdejθ0k + e−jθ0k

2y[k]

=1

2Fdejθ0ky[k]

+

1

2Fde−jθ0ky[k]

=1

2

[

Y (ej(θ−θ0 + Y (ej(θ+θ0)]

La demostracion de (C.24) resulta analoga, por lo tanto se deja como ejerciciopara el lector. 222

Lema C.12. Inversion temporal.Sea y[k] una secuencia de tiempo discreto definida ∀k ∈ Z, con transformada

Y (ejθ). Consideremos la transformada de la secuencia original invertida en eltiempo, es decir

Fd y[−k] = Y (e−jθ) (C.25)

Demostracion

Para demostrar la propiedad usamos la ecuacion (C.18), que define la trans-formada de Fourier discreta de una secuencia

Fd y[−k] =

∞∑

k=−∞y[−k]e−jθk


Sea l = −k, entonces

Fd y[−k] =

∞∑

l=−∞y[l]e−jθ(−l)

=

∞∑

l=−∞y[l]e−j(−θ)l

= Y (e−jθ)

222

Corollario C.6. Note que si la secuencia y[k] esta compuesta solo por valoresreales, entonces

Fd y[−k] = Y ∗(e−jθ) (C.26)

En que (·)∗ denota al complejo conjugado de (·)

Demostracion

Se deja como ejercicio al lector. 222

En base a las propiedades ya anlizadas estamos en condiciones de ver elsiguiente ejemplo.

Ejemplo C.12. Veamos como obtener ahora la transformada de Fourier disc-reta de un escalon unitario en tiempo discrto, es decir, de la secuencia

y[k] = µ[k] =

0 ; k < 0

1 ; k ≥ 0

Para esto podemos apreciar que si definimos la secuencia

x[k] = µ[k] − µ[k − 1]

=

1 ; k = 0

0 ; k 6= 0

Es decir, resulta ser un delta de Kronecker. Esto tambien es valido, sinembargo, si al escalon µ[k] se le suma alguna constante, es decir

x[k] = µ[k] + C

⇒ x[k] − x[k − 1] = δK [k]

Si aplicamos transformada de Fourier discreta a ambas ecuaciones anterioresy utilizamos la propiedad de corrimiento en k


X(ejθ) = Fd µ[k] + C2π

∞∑

n=−∞δ(θ − 2πn)

X(ejθ) − e−jθX(ejθ) = 1

De ambas ecuaciones se puede eliminar X(ejθ) y despejar la transformadaque nos interesa

Fd µ[k] =1

1 − e−jθ− C2π

∞∑

n=−∞δ(θ − 2πn)

Donde hemos obtenida la forma de la transformada del escalon unitario dis-creto. Para obtener el valor de la constante C, podemos escribir el mismo escaloncomo

µ[k] = 1 − µ[−k] + δK [k]

Donde podemos aplicar la transformada utilizando la forma de Fd µ[k]obtenida, la propiedad de simetrıa temporal, y las transformadas del delta deKronecker y la constante, antes obtenidas.

1

1 − e−jθ− C · S(θ) = S(θ) −

(1

1 − ejθ− C · S(−θ)

)

+ 1

En que

S(θ) = 2π∞∑

n=−∞δ(θ − 2πn)

Donde podemos apreciar que S(θ) es simetrica respecto a θ = 0, por lo tanto

−C · 2S(θ) = S(θ) +−1

1 − ejθ+

−1

1 − e−jθ+ 1

︸︷︷︸

0

−C · 2S(θ) = S(θ)

C = −1

2

Luego, la transformada de Fourier discreta del escalon µ[k] es

Fd µ[k] =1

1 − e−jθ+ π

∞∑

n=−∞δ(θ − 2πn)


Lema C.13. Sea y[k] una secuencia de tiempo discreto definida ∀k ∈ Z, cuyatransformada es Y (ejθ). Consideremos ahora la secuencia k · y[k], su transfor-mada, solo en el caso que exista, es igual a

Fd k · y[k] = jd Y (ejθ)

dθ(C.27)

Demostracion

Se debe tener cuidado al aplicar esta propiedad, pues no garantiza laexistencia de la transformada de k · y[k].

En caso de existir, podemos aplicar la transformada de Fourier inversa, us-ando la ecuacion (C.19) :

Fd−1

jd Y (ejθ)

dθ

=1

2π

∫ 2π

0

jd Y (ejθ)

dθejθkdθ

Donde se puede integrar por partes, eligiendo convientemente :

Fd−1

jd Y (e−jθ)

dθ

=j

2π

∫ 2π

0

ejθkd Y (ejθ)

dθdθ

=j

2πejθkY (ejθ)

∣∣∣

2π

0︸︷︷︸

0

− j

2π

∫ 2π

0

Y (ejθ)jkejθkdθ

=−j22π

k

∫ 2π

0

Y (ejθ)ejθkdθ

= k · 1

2π

∫ 2π

0

Y (ejθ)ejθkdθ

︸︷︷︸

y[k]

222

Ejemplo C.13. Calculemos la transformada de Fourier discreta de la secuencia

y[k] = kαkµ[k] |α| < 1

Podemos aplicar la propiedad recien vista dado que conocemos la transfor-mada de αkµ[k]. De esta forma, tenemos que:


Fdkαkµ[k]

= j

dFdαkµ[k]

dθ

= jd

dθ

(1

1 − αe−jθ

)

= j · −1

(1 − αe−jθ)2· (jαe−jθ)

=αe−jθ

(1 − αe−jθ)2

−5 0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

k

y[k]

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

θ

Y(e

jθ)

Figura C.6: Secuencia y[k] = k(0,8)kµ[k] y la magnitud de su TFD.

En la figura C.6 se muestra la secuencia discreta y el modulo de su trans-formada discreta, cuando α = 0,8

Lema C.14. Convolucion en tiempo discretoSean y1[k] e y2[k] dos secuencias definidas ∀k ∈ Z, cuyas transformadas

de Fourier son Y1(ejθ) e Y2(e

jθ) respectivamente, entonces la transformada deFourier discreta de la convolucion es :

Fd y1[k] ∗ y2[k] = Y1(ejθ)Y2(e

jθ) (C.28)

Demostracion

Recordemos en primer lugar que la convolucion de dos secuencias de tiempodiscreto y1[k] e y2[k] se define como :

y1[k] ∗ y2[k] =

∞∑

l=−∞y1[l]y2[k − l]


Usando esta expresion en la definicion (C.18) tenemos que :

Fd y1[k] ∗ y2[k] =

∞∑

k=−∞

( ∞∑

l=−∞y1[l]y2[k − l]

)

e−jθk

Donde se pueden intercambiar las sumatorias y usar la propiedad de corrim-iento en el tiempo discreto k :

Fd y1[k] ∗ y2[k] =

∞∑

l=−∞y1[l]

( ∞∑

k=−∞y2[k − l]e−jθk

)

=

∞∑

l=−∞y1[l]e

−jθlY2(ejθ)

= Y2(ejθ)

∞∑

l=−∞y1[l]e

−jθl

= Y2(ejθ)Y1(e

jθ)

222

Lema C.15. Producto en el tiempo discretoSean y1[k] e y2[k] dos secuencias definidas ∀k ∈ Z, cuyas transformadas

de Fourier son Y1(ejθ) e Y2(e

jθ) respectivamente, entonces la transformada deFourier discreta del producto de ellas es :

Fd y1[k]y2[k] =1

2π

∫ 2π

0

Y1(ejζ)Y2(e

j(θ−ζ))dζ (C.29)

Demostracion

Reemplazando el producto de las secuencias en la definicion (C.18) tenemosque :

Fd y1[k]y2[k] =

∞∑

k=−∞y1[k]y2[k]e

−jθk

Aqui podemos escribir una de las secuencias segun la ecuacion (C.19) quela expresa como la transformada de Fourier inversa. Con esto e intercambiandode orden la sumatoria con la integral que aparece tenemos que :

Fd y1[k]y2[k] =

∞∑

k=−∞

(1

2π

∫ 2π

0

Y1(ejζ)ejζkdζ

)

y2[k]e−jθk

=1

2π

∫ 2π

0

Y1(ejζ)

( ∞∑

k=−∞

(ejζky2[k]

)e−jθk

)

dζ


Donde si usamos la propiedad de corrimiento en frecuencia tenemos que

Fd y1[k]y2[k] =1

2π

∫ 2π

0

Y1(ejζ)Y1(e

j(θ−ζ))dζ

222

Teorema C.2 (Teorema de Parseval. El caso de tiempo discreto). Seany1[k] e y2[k] dos secuencias reales definidas ∀k ∈ Z, cuyas transformadas deFourier son Y1(e

jθ) e Y2(ejθ) respectivamente, entonces se cumple que:

∞∑

k=−∞y1[k]y2[k] =

1

2π

∫ 2π

0

Y1(ejθ)Y ∗

2 (ejθ)dθ (C.30)

En que (·)∗ denota el complejo conjugado de (·).

Demostracion

En el lado izquierdo de la ecuacion (C.30) podemos reemplazar y1[k], uti-lizando la definicion de la transformada de Fourier discreta inversa dada por laexpresion (C.19) :

∞∑

k=−∞y1[k]y2[k] =

∞∑

k=−∞

(1

2π

∫ 2π

0

Y1(ejθ)ejθkdθ

)

y2[k]

Aqui podemos intercambiar el orden entre la integral y la sumatoria, paraluego formar una expresion que corresponda a la transformada de y2[k] como seaprecia a continuacion :

∞∑

k=−∞y1[k]y

∗2 [k] =

1

2π

∫ 2π

0

Y1(ejθ)

( ∞∑

k=−∞y∗2 [k]ejθk

)

dθ

=1

2π

∫ 2π

0

Y1(ejθ)

( ∞∑

k=−∞y2[k]e

−jθk)∗

dθ

=1

2π

∫ 2π

0

Y1(ejθ)Y ∗

2 (ejθ)dθ

222

Corollario C.7. Si y[k] es una secuencia discreta definida ∀k ∈ Z, con trans-formada Y (ejθ), entonces se cumple que:

∞∑

k=−∞| y[k] |2 =

1

2π

∫ 2π

0

|Y (ejθ) |2dθ (C.31)


Demostracion

Es directa de la ecuacion (C.30) ya que

y[k] y∗[k] = | y[k] |2

Y (ejθ)Y ∗(ejθ) = |Y (ejθ) |2

222


f(t) F f(t) Descripcion

l∑

i=1

aiyi(t)

l∑

i=1

aiYi( ω) Linealidad

dy(t)

dt ωY ( ω) Derivacion

dky(t)

dtk( ω)kY ( ω) Derivadas superiores

∫ t

−∞y(τ)dτ

1

ωY ( ω) + πY (0)δ(ω) Integracion

y(t− τ) e− ωτY ( ω) Retardo

y(at)1

|a|Y(

jω

a

)

Escalamiento temporal

y(−t) Y (− ω) Inversion temporal

∫ ∞

−∞y1(τ)y2(t− τ)dτ Y1( ω)Y2( ω) Convolucion

eaty1(t) Y1( ω − a) Desplazamiento en frecuencia

y(t) cos(ωot)1

2Y ( ω − ωo) + Y ( ω + ωo) Modulacion (cosenoidal)

y(t) sen(ωot)1

j2Y ( ω − ωo) − Y ( ω + ωo) Modulacion (senoidal)

Y (t) 2πy(− ω) Simetrıa

y1(t)y2(t)1

2π

∫ ∞

−∞Y1(jζ)Y2( ω − jζ)dζ Producto en el tiempo

Cuadro C.1: Propiedades de la transformada de Fourier.


f(t) ∀t ∈ R F f(t)

1 2πδ(ω)

δD(t) 1

µ(t) πδ(ω) +1

ω

µ(t) − µ(t− to)1 − e− ωto

ω

e−αtµ(t) <α ∈ R+ 1

ω − α

te−αtµ(t) <α ∈ R+ 1

( ω − α)2

e−α|t| α ∈ R+ 2α

ω2 + α2

cos(ωot) π (δ(ω + ωo) + δ(ω − ωo))

sen(ωot) jπ (δ(ω + ωo) − δ(ω − ωo))

cos(ωot)µ(t)π

2(δ(ω + ωo) + δ(ω − ωo)) +

ω

−ω2 + ω2o

sen(ωot)µ(t)jπ

2(δ(ω + ωo) − δ(ω − ωo)) +

ωo−ω2 + ω2

o

e−αt cos(ωot)µ(t) α ∈ R+ ω + α

( ω + α)2 + ω2o

e−αt sen(ωot)µ(t) α ∈ R+ ωo( ω + α)2 + ω2

o

Cuadro C.2: Tabla de tranformadas de Fourier


y[k] , k ∈ Z Fd y[k] = Y (ejθ) Descripcion

l∑

i=1

αiyi[k]

l∑

i=1

αiYi(ejθ) Linealidad

y[−k] Y (e−jθ) Inversion temporal

y[k − k0] , k0 ∈ Z e−jθk0Y (ejθ) Corrimiento temporal

ejθ0ky[k] Y (ej(θ−θ0)) Corrimiento en frecuencia

cos(θ0k)y[k]1

2

[

Y (ej(θ+θ0) + Y (ej(θ−θ0)]

Modulacion cosenoidal

sen(θ0k)y[k]j

2

[

Y (ej(θ+θ0) − Y (ej(θ−θ0)]

Modulacion senoidal

ky[k] jd Y (ejθ)

dθ∞∑

l=−∞y1[l]y2[k − l] Y1(e

jθ)Y2(ejθ) Convolucion

y1[k]y2[k]1

2π

∫ 2π

0

Y1(ejζ)Y2(e

j(θ−ζ))dζ Producto en el tiempo

∞∑

k=−∞y1[k]y

∗2 [k]

1

2π

∫ 2π

0

Y1(ejθ)Y ∗

2 (ejθ)dθ Teorema de Parseval

∞∑

k=−∞| y[k] |2 1

2π

∫ 2π

0

|Y (ejθ) |2dθ Teorema de Parseval

Cuadro C.3: Propiedades de la transformada de Fourier discreta.


y[k] ∀t ∈ R Fd y[k] = Y (ejθ)

δK [k] 1

δK [k − k0] e−jθk0

1 (∀k ∈ Z) 2π∞∑

n=−∞δ(θ − 2πn)

µ[k]1

1 − e−jθ+ π

∞∑

n=−∞δ(θ − 2πn)

αkµ[k] (|α| < 1)1

1 − αe−jθ

(k + 1)αkµ[k] (|α| < 1)1

(1 − αe−jθ)2

ejθ0k 2π

∞∑

n=−∞δ(θ − θ0 + 2πn)

cos(θ0k) π∞∑

n=−∞[δ(θ + θ0 + 2πn) + δ(θ − θ0 + 2πn)]

sen(θ0k) jπ

∞∑

n=−∞[δ(θ + θ0 + 2πn) − δ(θ − θ0 + 2πn)]

cos(θ0k + φ) π

∞∑

n=−∞

[e−jφδ(θ + θ0 + 2πn) + ejφδ(θ − θ0 + 2πn)

]

sen(θck)

πk

∞∑

n=−∞Y0(e

j(θ+2πn))

Y0(ejθ) =

1 ; |θ| < θc

0 ; θc < |θ| ≤ π

y[k] =

0 ; |k| ≤ N

1 ; |k| > N

sen(

2N+12 θ

)

sen(

12θ)

kαkµ[k] (|α| < 1)αe−jθ

(1 − αe−jθ)2

Cuadro C.4: Tabla de tranformadas de Fourier discretas


C.2.3. Aspecto practico: la transformada rapida de Fouri-er

En las aplicaciones, en particular en el procesamiento digital de senales, nose conoce la senal en forma analıtica, sino que como una secuencia finita devalores numericos. Lo mismo ocurre en otras aplicaciones, como en el proce-sameinto de imagenes, en donde la variable independiente puede ser una (omas) coordenada(s) espacial(es).

Dado que la informacion es una secuencia, la descripcion de la senal en eldominio de la frecuencia solo puede ser lograda a traves de la Transformadadiscreta de Fourier. Sin embargo, el calculo de esta solo puede ser aproximado,puesto que la senal esta definida por un numero finito de valores.

De esta forma, un problema central en la calidad de la aproximacion guardarelacion con la medida en que la senal truncada representa las caracterısticasespectrales de la senal a analizar. En este caso, estamos obteniendo una seriede Fourier discreta que representa al tramo considerado de la secuencia y[k].Recordemos que segun lo visto en el capıtulo anterior sobre series, al calcularla serie de Fourier discreta de una secuencia de largo N , obtenemos una repre-sentacion en terminos de N exponenciales complejas de frecuencias 0 ≤ θ < 2π,que resulta ser periodica. De esta forma, dada una secuencia y[k] de longitud N ,que puede provenir de una senal de tiempo continuo muestreada cada ∆[seg], esdecir, y[k] = y(t = k∆), podemos representarla como una suma de exponencialescomplejas

y[k] =N−1∑

n=0

Cnejθonk; donde θo =

2π

N(C.32)

donde

Cn =1

N

N−1∑

k=0

y[k]e−jθonk (C.33)

Usualmente se defineWN = ejθo = ej

2πN (C.34)

y la funcion

Hn = N · Cn =

N−1∑

k=0

y[k]W−nkN (C.35)

Con lo que la funcion se puede describir en terminos de los Hn segun

y[k] =1

N

N−1∑

n=0

HnWnkN (C.36)

A este par de ecuaciones, (C.35) y (C.36) se le denomina en muchos libroscomo la Transformacion de Fourier Discreta1 y su inversa, por tanto debe tenerse

1Discrete Fourier Transform o DFT


transformada rapida de Fourier

precaucion al consultar la literatura para evitar confusion con la denominacionque hemos usado en este texto.

Si se observa la ecuacion (C.35) esta puede entenderse como un productomatricial en que el vector Hn es igual al producto de la matriz WNn,k =W−nk

N por el vector y[k]. Es decir

H0

H1

...HN−1

=

W−0·0N W−0·1

N . . . W−0·(N−1)N

W−1·0N W−1·1

N . . . W−1·(N−1)N

......

. . ....

W−(N−1)·0N W

−(N−1)·1N . . . W

−(N−1)(N−1)N

y[0]y[1]...

y[N − 1]

(C.37)Hacer el producto matricial el lado derecho de la ecuacion anterior implica

N2 multiplicaciones complejas, ademas de las sumas respectivas para el calculode cada Hn. Tambien se requieren algunas operaciones mas para el calculo delas potencias de WN . Es decir, podemos apreciar que el calculo de la DFT esun proceso O(N2) 2.

Sin embargo, la matriz involucrada en (C.37) esta formada por potencias de

WN = ej2πN , por tanto todos sus componentes son alguna de las raıces N -esimas

de la unidad, distribuida en torno a la circunferencia unitaria. Esta simetrıa dehecho es el camino para reducir el numero de calculos necesarios para el calculode la DFT. Los algoritmos que hacen uso de estas simetrıas se comenzaron adesarrollar mas fuertemente a partir de mediados de los anos 60 y reciben elnombre generico de transformada rapida de Fourier o FFT por su denom-inacion en ingles3.

Para maximizar el aprovechamiento de las simetrıas es conveniente elegirsecuencias y[k] cuyo largo se una potencia de 2, es decir:

N = 2v para algun v ∈ Z+ (C.38)

Esto no implica perder generalidad, pues en los casos en que no puedentomarse mas valores de la secuencia original podemos completar con ceros hastala potencia de 2 mas cercana (aunque ello significa la introduccion de un gradovariable de inexactitud).

Consideremos la forma en que se calcula el coeficiente Hn, segun la ecuacion(C.35). Si tenemos una secuencia de longitud N par, podemos separarla en unaque contenga los valores de y[k] cuando k es par y otra para los k impares. Esdecir:

Hn =N−1∑

k=0

y[k]W−nkN (C.39)

=

N/2−1∑

r=0

y[2r]W−n(2r)N +

N/2−1∑

r=0

y[2r + 1]W−n(2r+1)N (C.40)

2Del orden de N2, es decir, si se duplica N el numero de calculos se ¡ cuadruplica !3Fast Fourier Transform.


Pero podemos apreciar que las nuevas secuencias, y[2r] e y[2r + 1], sonsecuencias de largo N/2, por lo que podrıa escribirse las sumatorias como laserie de Fourier discreta modificada que les corresponde. Justamente esto sucedeen forma natural al observar que

W−n(2r)N = e−j

2πN n(2r) = e−j

2πN/2

nr = W−nrN/2 (C.41)

Es decir, en la sumatoria aparecen las armonicas para secuencias de longitudN/2. Con esta observacion la expresion para Hn queda

Hn =

N/2−1∑

r=0

y[2r]W−n(2r)N +

N/2−1∑

r=0

y[2r + 1]W−n(2r)N W−n

N (C.42)

=

N/2−1∑

r=0

y[2r]W−nrN/2 +W−n

N

N/2−1∑

r=0

y[2r + 1]W−nrN/2 (C.43)

= Hparn +W−n

N Himparn (C.44)

Como antes mencionamos, para calcular los terminos Hn para una secuenciade longitud N por el metodo directo, se requieren del aproximadamente N 2

multiplicaciones complejas en el producto matricial (C.37). Analogamente paracalcular cada uno de los terminos Hpar

n y Himparn , que corresponden a secuencias

de largo N/2, requeriremos (N/2)2 multiplicaciones complejas para cada uno.Y para poder formar cada uno de los N terminos Hn requerimos una unicamultiplicacion compleja mas, segun (C.44).

Es importante hacer notar que dado que las secuencias y[2r] e y[2r + 1] sonN/2 periodicas en r, sus armonicas W−nr

N/2 , tambien lo son:

W−(l+N/2)N/2 = e−j

2πN/2

(l+N/2) = e−j2πN/2

le−j2π = e−j2πN/2

l = W−lN/2 (C.45)

Aplicando este nuevo enfoque para la secuencia de largo N necesitamos

N + 2

(N

2

)2

≤ N2 ∀N ≥ 2 (C.46)

Sin embargo, y he aquı la facilidad que entrega el suponer que N es unapotencia de 2, las secuencias y[2r] e y[2r+1], tienen longitud par (N/2 tambiensera potencia de 2), por tanto podemos aplicarles este mismo metodo. Es decir,cada una puede separarse en dos subsecuencias de longitud N/4. Con esto elnumero de calculos necesarios serıan

N + 2

(

N

2+ 2

(N

4

)2)

= N +N + 4

(N

4

)2

(C.47)

Y ası sucesivamente con las secuencias de largo N/4, que pueden subdividirseen subsecuencias de largo N/8.


En general una secuencia de largo N = 2v, podemos subdividiras v = log2Nveces en subsecuencias de longitud menor. Y en cada etapa se realizan N mul-tiplicaciones complejas. Por tanto podemos afirmar que este algoritmo es delorden de N log2N . En la figura C.7 se muestra una comparacion del numero demultiplicaciones necesarias para calcular los terminos Hn de esta serie directa-mento o mediante este nuevo algoritmo denominado FFT. Para una secuenciade largo N = 1024 = 210 con el primer metodo requerimos 1048576 multiplica-ciones, mientras que usando la transformada rapida se requieren solo 10240, esdecir, 2 ordenes de magnitud menor.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

500

1000

1500

2000

2500

N

Figura C.7: Comparacion N2 (x) y N log2N (’*’)

Veamos a continuacion un ejemplo para ilustrar el uso de la transformadarapida

Ejemplo C.14. Considermos una secuancia discreta de longitud N = 8, cuyosvalores denominaremos y0, y1, y2, y3, y4, y5, y6 e y7. Entonces usando la ecuacion(C.44) tenemos que

Hn = Hpn +W−n

8 Hin

En que Hpn y Hi

n son la serie formada por las subsecuencias pares e imparesde la secuencia original.

Esto se representa en la figura C.8, donde sobre las lineas de flujo se colocael factor que une a los datos

Note en la figura se ha hecho uso de la periodicidad de Hpn y Hi

n ya que, porejemplo,


Hp1

Hp0

H i3

H i2

H i1

H i0

Hp3

Hp2

W−68

W−58

W−78

W−48

W−38

W−28

W−18

W 08

H0

H1

H2

H3

H4

H5

H6

H7

Figura C.8: Primera etapa de la FFT para N = 8

H4 = Hi4 +W−4

8 Hp4

Pero, por la periodicidad

Hp4 = Hp

0

Hi4 = Hi

0

Por lo tanto,

H4 = Hi0 +W−4

8 Hp0

De manera analoga, para calcular los terminos de Hpn y Hi

n podemos aplicarla misma idea

Hpn = Hpp

n +W−2n8 Hpi

n

Hin = Hip

n +W−2n8 Hii

n

Donde ahora las series Hppn , Hpi

n , Hipn y Hii

n estan formadas por subsecuen-cias de largo 2, y tambien son periodicas de perıodo 2. Como se ve en el esquemade la figura C.9

Finalmente al subdividir nuevamente las secuencias quedan terminos indi-viduales que corresponden a los 8 valores de la secuencia original considerada:


W−28

W 08

W−48

W−68

W−28

W 08

W−48

W−68

H5

H6

H7

H4

W−68

W−58

W−78

W−48

W−38

W−28

W−18

W 08

Hpp0

Hpi1

Hpi0

Hpp1

H ip0

H ii0

H ii1

H ip1

H0

H1

H2

H3

Figura C.9: Primera y segunda etapa de la FFT para N = 8

Hppn = Hppp

n +W−4n8 Hppi

n = y0 +W−4n8 y1

Hpin = Hpip

n +W−4n8 Hpii

n = y2 +W−4n8 y3

Hipn = Hipp

n +W−4n8 Hipi

n = y4 +W−4n8 y4

Hiin = Hiip

n +W−4n8 Hiii

n = y6 +W−4n8 y7

Estos productos calculos se agregan al esquema anterior, tal como se muestraen la figura C.10, donde podemos apreciar claramente que en cada etapa serealizan 8 multiplicaciones complejas, totalizando un total de 24. En caso dehaber hecho los calculos de manera directa hubiera resultado necesario ralizar82 = 64 multiplicaciones.


H5

H6

H7

H4

W 08

W−48

W 08

W−48

W 08

W−48

W 08

W−48

W−68

W−58

W−78

W−48

W−38

W−28

W−18

W 08

H0

H1

H2

H3

W−28

W 08

W−48

W−68

W−28

W 08

W−48

W−68

y0

y1

y2

y4

y5

y6

y7

y3

Figura C.10: Las tres etapas de la FFT para N = 8

Transformada de Laplace!region de convergencia

Apendice D

La transformada de Laplace

D.1. Transformada de Laplace

D.1.1. Definicion de la Transformada

Sea una senal de tiempo continuo y(t), 0 ≤ t < ∞, entonces la Trans-formada de Laplace asociada a y(t), y su transformada inversa estan definidascomo

Ly(t) = Y (s) =

∫ ∞

0−

e−sty(t)dt (D.1)

L−1 Y (s) = y(t) =1

2πj

∫ σ+j∞

σ−j∞estY (s)ds (D.2)

Y (s) es la transformada de Laplace de y(t). El par transformada y su inversaestan bien definidas si existe σ ∈ R y una constante positiva k <∞ tales que

|y(t)| < keσt ; ∀t ≥ 0 (D.3)

La region <s ≥ σ se conoce como la region de convergencia de latransformada.

Asumimos que el lector ha conocido estas ideas anteriormente en algun cursode matematicas, o bien puede consultar algun texto de ecuaciones diferencialescomo ref. a Blanchard??.

Ahora nos concentraremos en la importancia de esta transformada para elanalisis de sistemas, por ejemplo, para determinar respuestas a condiciones ini-cialesy a diferentes senales de entrada.

399

400 APENDICE D. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Lema D.1. Sea H(s) una funcion racional estrictamente propia1 de la vari-able s con region de convergencia <s > −α. SI denotamos como h(t) a sucorrespondiente funcion temporal, i.e.

H(s) = L [h(t)] (D.4)

Entonces, para cualquier z0 talque <z0 > −α, tenemos

∫ ∞

0

h(t)e−z0tdt = lıms→z0

H(s) (D.5)

Demostracion

De la definicion de la transformada de Laplace tenemos que, para todo s enla region de convergencia de la transformada, i.e. en <s > −α

H(s) =

∫ ∞

0

h(t)e−stdt (D.6)

Por lo tanto se tiene que z0 esta en la region de convergencia de la transfor-mada.

222

Corollario D.1. En la ecuacion D.5 se observa que como condicion necesariapara la convergencia de la integral del lado izquierdo se debe cumplir que

lımt→∞

h(t)e−st = 0 (D.7)

Resultado que sera usado posteriormente.

Ilustramos esto con un ejemplo:

Ejemplo D.1. Considere la senal

y(t) = e+2t t ≥ 0 (D.8)

Entonces, su transformada de Laplace puede calcularse resolviendo la integral(D.1) o usando Maple :

> y(t):=exp(2*t);

> with(inttrans):

Y(s) := laplace(y(t),t,s);

Dentro de Maple existe el paquete inttrans, que define la transformada deLaplace y de Fourier, junto a sus inversas, ademas de otras transformacionesintegrales. Las lıneas de comando antes mostradas entregan como resultado

Y (s) =1

s− 2para <s > 2 (D.9)

1El orden del polinomio del numerador es estriciamente menor que el orden del polinomioen el denominador

D.1. TRANSFORMADA DE LAPLACE 401

Ahora considere

I(z0) =

∞∫

0

e−z0ty(t)dt (D.10)

Claramente para z0 = 3, tenemos

I(3) =

∞∫

0

e−3te2tdt =

∞∫

0

e−tdt = 1 (D.11)

Note que esto se podrıa haberse obtenido como consecuencia de lema D.1 yaque

Y (3) =1

3 − 2= 1 (D.12)

Sin embargo, si tomamos z0 = 1, entonces Y (1) = −1. Entonces claramenteI(z0) es ∞. Esto esta de acuerdo con el lema D.1 ya que z0 = 1 no esta en elinterior de la region de convergencia de la transformada.

222

D.1.2. Propiedades de la Transformada de Laplace

La transformada de Laplace tiene propiedades muy utiles, las cuales se re-sumen en la Tabla D.2 en la pagina 415. En esta seccion se demuestran algunasde estas.

Lema D.2. LinealidadSean y1(t) e y2(t) funciones continuas en (0,+∞), cuyas transformadas de

Laplace son Y1(s) e Y2(s), respectivamente. Entonces

Lαy1(t) + βy2(t) = αY1(s) + βY2(s) α, β ∈ C (D.13)

Demostracion

Esta propiedad es directa dado que la transformada de Laplace esta definidamediante la integral (D.1) :

Lαy1(t) + βy2(t) =

∫ ∞

0−

(αy1(t) + βy2(t))e−stdt

= α

∫ ∞

0−

y1(t)dt+ β

∫ ∞

0−

y2(t)dt

= αY1(s) + βY2(s)

222


Lema D.3. Derivada en t.Sea y(t) una funcion continua en (0,+∞) y supongamos que d y(t)

dt es con-tinua por tramos, entonces

Ld y(t)

dt

= sY (s) − y(0−) (D.14)

Demostracion

Segun la definicion tenemos:

Ld y(t)

dt

=

∫ ∞

0−

d y

dte−stdt

En esta si se integra por partes,

= e−sty(t)∣∣∣

∞

0−

+ s

∫ ∞

0−

y(t)e−stdt

= lımt→∞

(

e−sty(t)

)

− y(0−) + sLy(t)

Si utilizamos el resultado (D.7) de la pagina 400 obtenemos la expresionesperada:

Ld y(t

dt

= sY (s) − y(0−) (D.15)

222

Maple tambien es capaz de reconocer esta y otras propiedades, mediantelos comandos:

> with(inttrans):

laplace(diff(y(t),t),t,s);

s laplace(y(t), t, s) − y(0)

Corollario D.2. Derivadas de orden superior.Si se extiende este resultado, aplicando este lema recursivamente a las derivadas

de orden superior puede demostrarse que

Ldny(t)

dtn

= snY (s) − sn−1y(0−) − · · · − dn−1y(0−)

dtn−1n ∈ Z+ (D.16)

donde Y (s) = Ly(t). Este resultado sera usado repetidamente para conver-tir ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas en la variable s. Ademasen la ecuacion (D.16) se incluyen las condiciones iniciales de la funcion y susderivadas.


Ilustramos esto en el siguiente ejemplo, en que cada paso del desarrollo seacompana por los comandos en Maple correspondientes.

Ejemplo D.2. Considere la ecuacion diferencial

> edo := diff(theta(t),t,t)+2*diff(theta(t),t)=v_a(t)

d 2θ

dt 2+ 2

d θ

dt= va(t) (D.17)

Si tomamos transformada de Laplace a ambos lados de la ecuacion y apli-camos D.16 se obtiene

> EDO := laplace(edo,t,s);

s2Θ(s) + 2sΘ(s) − (s+ 2)θ(0−) − θ(0−) = Va(s) (D.18)

Suponiendo condiciones iniciales θ(0−) = 0, θ(0−) = 0 y que la entrada esun escalon unitario en t = 0. Entonces

> theta(0):=0;

D(theta)(0):=0;

v_a(t):=Heaviside(t);

Theta(s):=solve(EDO,laplace(theta(t),t,s));

Θ(s) =

(1

s2 + 2s

)

Va(s)

=

(1

s2 + 2s

)1

s

Expandiendo en fracciones parciales obtenemos

> Theta(s):=convert(Theta(s),parfrac,s);

Θ(s) =1

4(s+ 2)+

1

2s2− 1

4s(D.19)

Aquı, aplicando los resultados de la Tabla D.2 (pagina 415 ), la salida parat ≥ 0 es

> theta(t):=invlaplace(Theta(s),s,t);

θ(t) =1

4e−2t +

1

2t− 1

4(D.20)


Lema D.4. Integral en tSea y(t) una funcion continua en el intervalo (0,+∞) , con transformada

de Laplace Ly(t) = Y (s), entonces

L∫ t

0−

y(τ)dτ

=1

sY (s) (D.21)

Demostracion

Si reemplazamos la integral en la definicion de la transfomada (D.1), pode-mos hacer una integral por partes:

L∫ t

0−

y(τ)dτ

=

∫ ∞

0−

[∫ t

0−

y(τ)dτ

]

︸︷︷︸

u

e−stdt︸︷︷︸

dv

=

[∫ t

0−

y(τ)dτ

]e−st

−s∣∣∣

∞

0−

−∫ ∞

0−

y(t)e−st

−s dt

= 0 +1

s

∫ ∞

0−

y(t)e−stdt

222

Lema D.5. Derivada en s.Sea y(t) una funcion continua con Ly(t) = Y (s), entonces

Ltn · y(t) = (−1)ndnY (s)

dsn(D.22)

Demostracion

Este resultado se establece derivando ambos lados de la ecuacion

Y (s) =

∫ ∞

0−

y(t)e−stdt

y ası obtenemos

dY (s)

ds=

∫ ∞

0−

∂

∂s

[y(t)e−st

]dt

= −∫ ∞

0−

ty(t)e−stdt

= −Lt · y(t)


Y el lema se obtiene aplicando esto repetidamente aunque, en rigor, para in-tercambiar derivada con integral se requieren ciertas propiedades de regularidad.

222

Este lema puede resultar util para obtener la transformada de Laplace defunciones que aparecen multiplicadas por la variable t, como en el siguienteejemplo.

Ejemplo D.3. Consideremos la funcion y(t) = t2 y obtengamos su transfor-mada de Laplace.Segun la definicion

Lt2

=

∫ ∞

0−

t2e−stdt

Y para resolver se puede integrar por partes dos veces. Sin embargo, si seaplica el lema D.5 tenemos

Lt2 · 1

= (−1)2

d 2

ds 2

(L1

)

=d 2

ds 2

(1

s

)

=d

ds

(− 1

s2)

=2

s3

La propiedad en si y el ejemplo pueden realizarse en Maple , mediante lossiguientes comandos

>laplace(t*y(t),t,s);

−(∂

∂slaplace(y(t), t, s)

)

> y(t):= t^2;

laplace(y(t),t,s);

21

s3

Se deja al lector como ejercicio encontrar una expresion (no recursiva) paraLtn, usando el metodo de induccion.

Lema D.6. Desplazamiento en t.Sea y(t− a), a > 0 una version desplazada de la funcion y(t). Si µ(t− a) es

la funcion escalon unitario que comienza en a, entonces

Ly(t− a)µ(t− a) = e−saY (s) (D.23)


Demostracion

Dado que la funcion escalon unitario es igual a 0 antes de a y 1 despues, latransformada de Laplace puede calcularse con la definicion

Lu(t− a)y(t− a) =

∫ ∞

0−

µ(t− a)y(t− a)e−stdt

=

∫ ∞

a−y(t− a)e−stdt

=

∫ ∞

0−

y(t)e−s(t+a)dt

= e−sa∫ ∞

0−

y(t)e−stdt

= e−saY (s)

De donde se obtiene el resultado deseado.222

Note que

Ly(t− a)µt− a 6= Ly(t− a)µ(t)Por lo tanto la transformada de Laplace del lado derecho no puede obtenerse

con ayuda del lema D.6, sino en base a la definicion o usando otras propiedades.

Ejemplo D.4. Para ver una aplicacion de este lema obtengamos la transfor-mada de Laplace de un pulso p(t).

p(t) =

1 ; si 0 ≤ t < a0 ; si t ≥ a

Esta senal puede escribirse usando la funcion de Heaviside o escalon unitarioµ(t) sin necesidad de definirla por tramos. En Maple

> assume(a>0);

p(t):=Heaviside(t)-Heaviside(t-a);

p(t) = µ(t) − µ(t− a)

Y usando la propiedad (D.23), o calculano con Maple , se obtiene

> P(s):=laplace(p(t),t,s);

P (s) =1

s− 1

se−as

=(1 − e−sa

)1

s


Este ejemplo puede extenderse a cualquier funcion que este definida portramos, cuya transformada de otra forma se tendrıa que calcular separando laintegral (D.1) de la definicion.

Se deja al lector obtener una expresion para f(t)p(t) en que p(t) es el pulsodel ejemplo anterior, y f(t) es alguna funcion continua en el intervalo 0 < t < a.A continuacion se presenta otro resultado relacionado con el desplazamientotemporal de una funcion.

Lema D.7. Funcion periodica.Tomemos una funcion perıodica

y(t) =

∞∑

n=0

yT (t− nT ) (D.24)

en que yT (t) es cero fuera del intervalo [0, T ], es decir, yT (t) = [µ(t)−µ(t−T )]y(t). Entonces la transformada de Laplace de y(t) es

Ly(t) =1

1 − e−sTYT (s) (D.25)

en que YT (s) = LyT (t).

Demostracion

Si se utiliza el resultado del lema D.6, al aplicar transformada de Laplace ala ecuacion (D.24) tenemos por linealidad

Ly(t) =

∞∑

n=0

e−nTsYT (s)

Y (s) = YT (s)∞∑

n=0

e−nTs

y si recordamos la suma de una serie geometrica,

Y (s) = YT (s)1 −

[lımn→∞ e−nTs

]

1 − e−sT

y dentro de la region de convergencia lımn→∞ e−nTs → 0

Y (s) =1

1 − e−sTYT (s)

222


Lema D.8. Corrimiento en sSea y(t) una funcion continua en el intervalo (0,+∞) , con transformada

de Laplace Ly(t) = Y (s), entonces

Leaty(t)

= Y (s− a) (D.26)

Demostracion

De la definicion (D.1), tenemos que

Leaty(t)

=

∫ ∞

0−

eaty(t)e−stdt

=

∫ ∞

0−

y(t)e−(s−a)tdt

= Y (s− a)

222

Lema D.9. ConvolucionSean y1(t) e y2(t) funciones continuas en (0,+∞), talque son iguales a cero

para t < 0, cuyas transformadas de Laplace son Y1(s) e Y2(s), respectivamente.Entonces la transformada de la convolucion entre y1(t) e y2(t) es:

Ly1(t) ∗ y2(t) = Y1(s)Y2(s) (D.27)

En que

y1(t) ∗ y2(t) =

∫ t

0−

y1(τ)y2(t− τ)dτ (D.28)

Demostracion

Si las senales son causales, es decir, su valor es cero ∀t < 0, entonces podemosreescribirlas

y1(t) = µ(t)y1(t)

y2(t) = µ(t)y2(t)

Con esto, la convolucion es equivalente a

y1(t) ∗ y2(t) =

∫ ∞

−∞y1(τ)µ(τ)y2(t− τ)µ(t− τ)dτ


Si reemplazamos esta forma en la definicion (D.1), podemos cambiar el ordende las integrales:

Ly1(t) ∗ y2(t) =

∫ ∞

0−

[∫ ∞

−∞y1(τ)µ(τ)y2(t− τ)µ(t− τ)dτ

]

e−stdt

=

∫ ∞

−∞y1(τ)µ(τ)

(∫ ∞

0−

[y2(t− τ)µ(t− τ)] e−stdt

)

dτ

Donde se puede aplicar la propiedad de corrimiento en t:

Ly1(t) ∗ y2(t) =

∫ ∞

−∞y1(τ)µ(τ)e−sτY2(s)dτ

= Y2(s)

∫ ∞

0−

y1(τ)e−sτdτ

= Y2(s)Y1(s)

222

Lema D.10. Producto en t

Sean y1(t) e y2(t) funciones continuas en (0,+∞), cuyas transformadas deLaplace son Y1(s) e Y2(s), respectivamente. Entonces la transformada del pro-ducto entre y1(t) e y2(t) es:

Ly1(t)y2(t) =1

2πj

∫ σ+j∞

σ−j∞Y1(ζ)Y2(s− ζ)dζ (D.29)

Demostracion

Si reemplazamos el producto de las funciones dentro de la definicion de latransformada, podemos demostrar la propiedad escribiendo una de ellas comola transformada inversa de su transformada de Laplace:

Ly1(t)y2(t) =

∫ ∞

0−

y1(t)y2(t)e−stdt

=

∫ ∞

0−

(1

2πj

∫ σ+j∞

σ−j∞Y1(ζ)e

ζtdζ

)

y2(t)e−stdt

Intercambiando el orden de las integrales y usando la propiedad de corrim-iento s tenemos que


Ly1(t)y2(t) =1

2πj

∫ σ+j∞

σ−j∞Y1(ζ)

(∫ ∞

0−

eζty2(t)e−stdt

)

dζ

=1

2πj

∫ σ+j∞

σ−j∞Y1(ζ)Y2(s− ζ)dζ

222

Teorema D.1. . [Teorema del Valor Final y Teorema del Valor Inicial]

Existen dos resultados que permiten obtener relaciones entre comportamien-tos asintoticos de la funcion y(t) y su tranformada Y (s). Estos se conocen comoel teorema del Valor Inicial y teorema del Valor Final.

(i) lımt→0+

y(t) = lıms→∞

sY (s) (D.30)

(ii) lımt→∞

y(t) = lıms→0

sY (s) (D.31)

Las ecuaciones anteriores son validas solo en caso que ambos lımites ex-istan.

Demostracion

Las demostraciones se basan en resultados anteriores(i) Teorema del Valor Inicial.Supongamos primero que y(t) es continua en t = 0, i.e. y(0−) = y(0+) =

y = 0. Si usamos la ecuacion (D.14) tenemos

∫ ∞

0−

d y(t)

dte−stdt = sY (s) − y(0−)

pero la integral del lado izquierdo puede acotarse y usar la ecuacion (D.3)

∫ ∞

0−

d y(t)

dte−stdt ≤

∫ ∞

0−

∣∣∣∣

d y(t)

dt

∣∣∣∣e−stdt

≤∫ ∞

0−

keσte−stdt

= ke−(s−σ)t

−s+ σ

∣∣∣∣

∞

0−

y dado que la integral existe en la region de convergencia <s ≥ σ

∫ ∞

0−

d y(t)

dte−stdt ≤ k

s− σ


y si s→ ∞ entonces ks−σ → 0, de donde se obtiene

lıms→∞

sY (s) = lımt→0+

y(t)

Ahora si la funcion y(t) no es continua, podemos definir

y(t) = y(t) −[y(0+) − y(0−)

](D.32)

que si es continua. Si aplicamos transformada de Laplace a la derivada dey(t)

∫ ∞

0−

d y(t)

dte−stdt = sY (s) − y(0−)

pero y(0−) = y(0−) es continua y aplicando Laplace a (D.32)

∫ ∞

0−

d y(t)

dte−stdt = s

[

Y (s) − y(0+) − y(0−)

s

]

− y(0−)

= sY (s) − y(0+)

y nuevamente el lado izquierdo se hace cero cuando s→ ∞.222

(ii) Teorema del Valor Final.Segun la ecuacion (D.14)

∫ ∞

0−

d y(t)

dtdt = sY (s) − y(0−) (D.33)

si tomamos lımite cuando s→ 0 a ambos lados de la ecuacion,

lıms→0

(∫ ∞

0−

d y(t)

dte−stdt

)

= lıms→0

(sY (s) − y(0−)

)(D.34)

Podemos intercambiar lımite e integral suponiendo ciertas condiciones de regu-laridad:

∫ ∞

0−

d y(t)

dtlıms→0

(e−st

)dt = lım

s→0sY (s) − y(0−) (D.35)

∫ ∞

0−

d y(t)

dtdt = lım

s→0sY (s) − y(0−) (D.36)

lımt→∞

y(t) − y(0−) = lıms→0

sY (s) − y(0−) (D.37)

lımt→∞

y(t) = lıms→0

sY (s) (D.38)

222


Ejemplo D.5. Debe tenerse precaucion de utilizar estos teoremas en caso soloen que ambos limites existan tanto en el tiempo como en la variable compleja s.Consideremos por ejemplo la transformada de Laplace de cos(ω0t)

Lcos(ω0t) =s

s2 + ω20

si utilizamos el teorema del valor final

lıms→0

( s2

s2 + ω20

)

= 0

cuando en realidad sabemos que

lımt→∞

cos(ω0t) = @

222

Ejemplo D.6. Una distincion importante de hacer es que en el caso en que larespuesta de un sistema sea discontinua en t = 0 el teorema del Valor Inicialentrega el valor de la salida en t = 0+ el que puede no coincidir con la condicioninicial dada. Veamos esto en un ejemplo simple en que tenemos un circuito comoel de la figura D.1 en que se conecta la baterıa de 1[V] en t = 0, y todas lascondiciones iniciales son cero.

R

vf (t)

+

i(t)

C vc(t)

Figura D.1: Circuito RC

Por ley de voltajes de Kirchoff tenemos

vf (t) = vR(t) + vC(t)

µ(t) = Ri(t) +1

C

∫ t

−∞i(τ)dτ

y si derivamos a ambos lados,

d µ(t)

dt= R

d i(t)

dt+

1

Ci(t)


Propiedades transformada de Laplace

Tabla transformadas de Laplace

Tabla transformadas de Laplace inversas

Si aplicamos transformada de Laplace, y consideramos la condicion inicial iguala cero

s1

s= R

[sI(s) − i(0−)

]+

1

CI(s)

y despejando se obtiene

I(s) =1

sR+ 1C

por tanto si aplicamos el teorema del valor inicial

i(0+) = lıms→∞

sI(s)

= lıms→∞

s

sR+ 1C

=1

R

que evidentemente es diferente a la corriente inicial t = 0−. Esto se compruebaobservando que la transformada inversa de I(s) es discontinua en t = 0

i(t) = L−1 I(s)

= L−1

1/R

s+ 1/RC

=1

Re−t/RCµ(t)

La transformada de Laplace es una herramienta muy util en el estudio desistemas dinamicos ya que pemite convertir las ecuaciones diferenciales, enel tiempo t, a ecuaciones algebraicas en la variable s.


f(t) Lf(t) Comentarios

l∑

i=1

aiyi(t)l∑

i=1

aiYi(s) Fi(s) = Lfi(t)

dy(t)

dtsY (s) − y(0−) donde Y (s) = Ly(t)

dky(t)

dtkskY (s) −∑k

i=1 sk−i d

i−1y(t)

dti−1

∣∣∣∣t=0−

donde Y (s) = Ly(t)∫ t

0−

y(τ)dτ1

sY (s)

ty(t) −dY (s)

ds

tky(t) (−1)kdkY (s)

dskk ∈ 1, 2, 3, . . .

y(t− τ)µ(t− τ) e−sτY (s) µ(t) : escalon unitario

eaty(t) Y (s− a)

∫ t

0−

y1(τ)y2(t− τ)dτ Y1(s)Y2(s) y1(t) = y2(t) = 0 ∀t < 0

y1(t)y2(t)1

2πj

∫ σ+j∞

σ−j∞Y1(ζ)Y2(s− ζ)dζ Convolucion compleja

lımt→∞

y(t) lıms→0

sY (s) y(∞) debe estar bien definida

lımt→0+

y(t) lıms→∞

sY (s)

Cuadro D.1: Propiedades de la transformada de Laplace


f(t) (t ≥ 0) Lf(t) Region de Convergencia

11

sσ > 0

δD(t) 1 |σ| <∞

µ(t− τ) e−sτ

s τ > 0

t1

s2σ > 0

tn n ∈ Z+ n!

sn+1σ > 0

eαt α ∈ C1

s− ασ > <α

teαt α ∈ C1

(s− α)2σ > <α

cos(ωot)s

s2 + ω2o

σ > 0

sen(ωot)ωo

s2 + ω2o

σ > 0

eαt sen(ωot+ β)(senβ)s+ ω2

o cosβ − α senβ

(s− α)2 + ω2o

σ > <α

t sen(ωot)2ωos

(s2 + ω2o)

2σ > 0

t cos(ωot)s2 − ω2

o

(s2 + ω2o)

2σ > 0

µ(t) − µ(t− τ)1 − e−sτ

s|σ| <∞

Cuadro D.2: Transformadas de Laplace de algunas funciones simples



polosD.1.3. Descomposicion en fracciones parciales

Las ecuaciones (D.1) y (D.2) dan una forma de describir senales y sistemasen el dominio de la variable s y poder volver al dominio del tiempo. Sin embargo,la ecuacion (D.2) pocas veces se usa para obtener la transformada de Laplaceinversa de una funcion. La transformada de Laplace de muchas de las senalesque nos interesan son funciones racionales en s, por lo tanto, generalmente se usala descomposicion en fracciones parciales para obtener su transformada inversa,por comparacion con transformadas conocidas.

Tomemos una funcion racional en s, en que se conocen las raıces del poli-nomio denominador, que llamaremos polos del sistema. En caso de no seruna funcion estrictamente propia, siempre puede realizarse la division de lospolinomios de forma de tener un polinomio en s mas una funcion estrictamentepropia.

Ejemplo D.7. Supongamos, para empezar, una funcion con un polinomio de-nominador de segundo orden

H1(s) =As+B

s2 + Cs+D(D.39)

No es simple determinar a priori la transformada inversa de esta expresion,pero si se pueden determinar las raıces del denominador. Supongamos que estasson s = −λ1 y s = −λ2, con λ1 6= λ2. El metodo de fracciones parciales pretendeexpresar una funcion racional como suma de funciones racionales mas simples,que en nuestro caso nos permite identificar desde una tabla su tranformada deLaplace inversa.

Y1(s) =As+B

(s+ λ1)(s+ λ2)=

α

s+ λ1+

β

s+ λ2(D.40)

Es decir, buscamos los coeficientes α y β. Para determinar estos lo primeroque puede hacerse es realizar la suma al lado derecho de (D.40) e igualar elpolinomio denominador resultante con el de la ecuacion (D.39)

As+B = (α+ β)s+ αλ2 + βλ1 (D.41)

Estos polinomios son iguales si y solo si sus coeficientes son iguales:

α+ β = A

λ2α+ λ1βλ1 = B (D.42)

Este sistema de ecuaciones puede resolverse obteniendo funalmente

α =Aλ1 −B

λ1 − λ2

β =−Aλ2 +B

λ1 − λ2(D.43)


Finalmente teniendo estos valores de las constantes puede verse en la tablaD.2 la tranformada inversa

y1(t) = L−1

α

s+ λ1+

β

s+ λ2

= αe−λ1t + βe−λ2t (D.44)

222

En el ejemplo anterior al descomponer la funcion racional (D.39) en dosfracciones (D.40), para encontrar las constantes se resolvio el sistema (D.42) dedos ecuaciones y dos incognitas. Sin embargo, si el polinomio denominador esde orden N el metodo desemboca en resolver un sistema de ¡ N ecuaciones yN incognitas !. Es por esto que en el siguiente ejemplo se muestra un metodomas practico.

Ejemplo D.8. Consideremos el sistema

Y2(s) =2s+ 1

s3 + 3s2 − 4s(D.45)

Del polinomio denominador pueden calcularse los polos del sistema. Estos seubican en s = 0,−4, 1, Por lo cual interesa descomponerlo en la forma

2s+ 1

s3 + 3s2 − 4s=α

s+

β

s+ 4+

γ

s− 1(D.46)

Si multiplicamos por s ambos lados de la ecuacion

2s+ 1

s2 + 3s− 4= α+

βs

s+ 4+

γs

s− 1

Y ahora si hacemos s = 0 se obtiene directamente la primera constante

−1

4= α

Ahora para el segundo termino de (D.46) podemos multiplicar por (s + 4)para reemplazar luego por la segunda raız s = −4

2s+ 1

s(s− 1)

∣∣∣∣∣s=−4

=

[

α(s+ 4)

s+ β +

γ(s+ 4)

s− 1

]

s=−4

β = − 7

20

De manera analoga pueden encontrarse la tercera constante, multiplicandopor (s− 1) y reemplazando s = 1

2s+ 1

s(s+ 4)

∣∣∣∣∣s=1

=

[

α(s− 1)

s+β(s− 1)

s+ 4+ γ

]

s=1

γ =3

5


Como puede verse este metodo de multiplicar por cada uno de los polinomiosfactores del denominador, para luego reemplazar la variable s por la respectivaraız, permite llegar de manera mucho mas directa a los coeficientes de la de-scomposicion (D.46). Con ayuda de la tabla D.2 se obtiene finalmente

y2(t) = L−1

− 14

s+

− 720

s+ 4+

35

s− 1

= −1

4− 7

20e−4t +

3

5et (D.47)

222

Se deja al lector verificar que la funcion obtenida es la misma que se obtienesi se aplica el metodo del ejemplo D.7.

Cabe destacar que en el ejemplo D.8 se ha aprovechado que al multiplicarpor cada factor del denominador (s − λ) y reemplazar por s = −λ todos losterminos de la descomposicion en fracciones parciales se hacen cero, excepto elcoeficiente correspondiente a 1

s−λ . Sin embargo, en caso de existir raıces repeti-das, aparecera una indefinicion al reeplazar (s = λ).

Ejemplo D.9. En el caso de raıces repetidas, la descomposicion en fraccionesparciales no toma la forma (D.40), sino que se descompone como

Y3(s) =As+B

(s− λ)2=

α

s− λ+

β

(s− λ)2(D.48)

Note que en esta expresion solamente el coeficiente β puede ser obtenidocomo en el ejemplo D.8, ¿ Porque no puede obtenerse el coeficiente α ? ¿ Comopodrıa obtenerse ?

Una manera simple de llegar a la forma (D.48) es forzando a que aparezcael termino (s−λ) en el numerador, separar y luego simplificar como se muestraa continuacion

Y3(s) =A(s− λ) + (Aλ+B)

(s+ λ)2

=A

s− λ+Aλ+B

(s+ λ)2(D.49)

Con lo cual puede obtenerse de la tabla D.2

y3(t) = Aeλt + (Aλ+B)teλt (D.50)

222

Cuando las raıces del polinomio denominador son numeros complejos, elmetodo visto en los ejemplos D.7,D.8 y D.9 puede aplicarse de igual forma. Loscoeficientes que se obtienen en este caso son complejos, pero ademas, dado queel polinomio denominador tiene coeficientes reales, las raıces complejas apare-cen siempre en pares complejos conjugados2, los coeficientes de la expansion

2Esto como resultado del Teorema Fundamental del Algebra


en fracciones parciales tambien son complejos conjugados. Esto asegura que lasfunciones exponenciales complejas que se obtienen en (D.44) son iguales a sinu-soidales multiplicadas por exponenciales reales. Se deja al lector como ejercicioesta demostracion.

Ejemplo D.10. Cuando el denominador de una funcion racional de la forma(D.39) tiene raıces complejas se suele escribir como

Y4(s) =As+B

s2 + 2ξωns+ ω2n

; 0 ≤ ξ < 1 (D.51)

Expresion en que ξ se denomina factor de amortiguacion. Dado que en la tablaD.2 tenemos solo expresiones en que el denominador es una suma de cuadrados,podemos escribir la funcion de la forma

Y4(s) =As+B

(s+ ξωn)2 + (ωn√

1 − ξ2)2(D.52)

Y en el numerador de esta expresion puede construırse el termino (s+ ξωn)para luego separar en dos terminos

Y4(s) =A(s+ ξωn) + (−Aξωn +B)

D(s)

=A(s+ ξωn)

D(s)+

(−Aξωn +B)

D(s)

=A(s+ ξωn)

D(s)+

(−Aξωn +B)

(ω0

√

1 − ξ2)

(ωn√

1 − ξ2)

D(s)(D.53)

en que el denominador es

D(s) = (s+ ξωn)2 + (ωn

√

1 − ξ2)2 (D.54)

Y aplicando transformada de Laplace inversa se llega a

y4(t) = Ae−ξωnt cosωn√

1 − ξ2t+(−Aξωn +B)

(ωn√

1 − ξ2)e−ξωnt senωn

√

1 − ξ2t (D.55)

222

Con estos ejemplos y un poco de practica no debiera resultar difıcil obtenertransformadas de Laplace inversa de funciones racionales. En realidad hoy endıa cualquier software es capaz de obtener la expansion en fraccines parciales deuna funcion racional3, e incluso transformadas inversas de Laplace, por lo tanto,estos calculos pueden dejarse para el computador cuando resulten demasiadoengorrosos.

Por ejemplo, si usamos Maple para obtener la transformada de Laplaceinversa de la funcion racional (D.39), tenemos las siguientes lıneas de comandoque arrojan el resultado que se aprecia mas adelante

3Use el comando residue de MATLAB


> H(s) := (A*s+B)/(s^2+C*s+D):

h(t) := invlaplace(H(s),s,t);

h(t) =1

2

e−12CtC3B cos( 1

2

√4D − C2t)

(4D − C2)D+ 4

e−12CtDA cos( 1

2

√4D − C2t)

4D − C2

− e−12CtC2A cos( 1

2

√4D − C2t)

4D − C2− e−

12CtAC sen( 1

2

√4D − C2t)√

4D − C2

− 2e−

12CtCB cos( 1

2

√4D − C2t)

4D − C2+ 2

e−12CtB sen( 1

2

√4D − C2t)√

4D − C2

+1

2

e−12CtCB cos( 1

2

√4D − C2t)

D

Es importante notar que Maple , en este caso, ha supuesto que el termi-no 4D − C2 es estrictamente positivo, es decir, que las raıces del polinomiodenominador son reales y distintas. En consecuencia, si bien el uso de softwarepuede ayudar bastante en un desarrollo matematico, lo fundamental es entendere interpretar lo resultados que se obtienen.


Y (s) y(t) = L−1 Y (s) ; t ≥ 0

1 δD(t)

e−τs, τ > 0 δD(t− τ)

1

sµ(t)

1

sn, n ∈ 2, 3, . . . tn−1

(n− 1)!

k

s+ λke−λt

e−τs

s+ λ, τ > 0 e−λ(t−τ)µ(t− τ)

a1s+ a0

(s+ λ1)(s+ λ2)C1e

−λ1t + C2e−λ2t

C1 = λ1a1−a0

λ1−λ2; C2 = −λ2a1+a0

λ1−λ2

a1s+ a0

(s+ λ)2a1e

−λt + (a0 − λa1)te−λt

a1s+ a0

(s+ λ)2 + ω20

e−λt[

C1cos(ω0t) + C2sen(ω0t)]

C1 = a1 ; C2 = a0−a1λω0

k

s(s+ λ)

k

a

(1 − e−λt

)

a1s+ a0

s((s+ λ)2 + ω2

0

)a0

λ2 + ω20

[

1 − e−λt(

C1 cos(ω0t) + C2 sen(ω0t))]

C1 = a0 ; C2 =a0λ−a1(λ

2+ω20)

ω0

Cuadro D.3: Transformadas inversas de Laplace utiles


radio de convergencia

Apendice E

La Transformacion Zeta

E.1. Definicion de la Transformacion

Dada una senal de tiempo discreto f [k], 0 ≤ k < ∞. La transformacionZeta, y la transformacion Zeta inversa, estan definidas por

Z f [k] = F (z) =

∞∑

k=0

f [k]z−k (E.1)

Z−1 F (z) = f [k] =1

2πj

∮

Γ

f(z)zk−1dz (E.2)

La curva cerrada Γ sobre la que se calcula la transformada Zeta inversa (E.2)se elige de forma que para todos los valores de z sobre Γ, la sumatoria en (E.1)converge. Esto implica que Γ depende de f [k], tal como se determina, en formaconstructiva, a continuacion.

La transformacion Zeta es la contraparte discreta de la Transformacion deLaplace. Su justificacion surge de la necesidad de cubrir un rango mas ampliode senales que el que puede ser tratado usando al transformacion de Fourier. Enel caso de la transformacion Zeta la transicion se puede describir como

∞∑

k=−∞f [`]e−jθ` −→

∞∑

k=0

f [`]

|z|` e−jθ`; |z| > ρ (E.3)

Donde podemos definir z = |z|ejθ, y donde ρ se denomina radio de conver-gencia de la transformacion.

Observe que, por un lado, hemos reducido la sumatoria al intervalo k ∈ N yque por otro, hemos dividido la funcion f [`] por |z|`. Una eleccion adecuada de ρpuede hacer que en muchos casos en que la sumatoria de la izquierda no converge,la suma de la derecha sı lo haga. Por ejemplo, la senal f [k] = (1, 5)kµ[k] no tiene

423

424 APENDICE E. LA TRANSFORMACION ZETA

transformada de Fourier, pero si tiene transformada Zeta, para ello, basta elegir|z| > 1, 5.

Para obtener (E.2), que describe la formula de la Transformacion Zeta inver-sa, podemos recurrir a la idea de ortogonalidad. Si ambos lados de la ecuacion(E.1) son multiplicados por zk = |z|kejθk, y luego integramos en el intervalo[0; 2π], se obtiene

∫ 2π

0

F (z)zk dθ =∞∑

`=0

f [k]|z|k−`∫ 2π

0

ej(k−`)θ dθ (E.4)

Por otra parte, sabemos que las exponenciales periodicas 1, ejθ, ej2θ, ej3θ, . . .forman un conjunto de funciones ortogonales, ya que

〈ejkθ, ej`θ〉 =

∫ 2π

0

ej(`−k)θ dθ =

0 ∀k 6= `

2π k = `(E.5)

Con este resultado, (E.4) se simplifica a

f [k] =1

2π

∫ 2π

0

F (z)zk dθ (E.6)

Finalmente podemos reemplazar la integral con respecto a θ por una integralrespecto de z. Primero notamos que

d z

dθ=d |z|ejθdθ

= jz =⇒ dθ =1

jzdz (E.7)

Luego, reemplazando la expresion para dθ en (E.6) se llega a la ecuacion(E.2). Note que como θ recorre el intervalo [0; 2π], nuestra primera interpretacionde Γ en (E.2) es la de una circunferencia de radio mayor que ρ. La teorıa devariables complejas permite demostrar que es suficiente que Γ sea una curvacerrada que encierre completamente la circunferencia de radio mayor que ρ.

Ilustremos el calculo de la transformada Zeta y su inversa mediante un parde ejemplos:

Ejemplo E.1. Considere la senal

y[k] = αkµ[k] (E.8)

Entonces, su transformada Zeta esta dada por la serie geometrica:

Zαkµ[k]

=

∞∑

k=0

αkz−k =∞∑

k=0

(αz−1)k = lımk→∞

1 − (αz−1)k

1 − (αz−1)(E.9)

Donde la expresion al lado derecho converge si y solo si

|αz−1| < 1 ⇐⇒ |z| > |α| (E.10)

E.2. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA ZETA 425

Entonces, en esta region tenemos que

Zαkµ[k]

=

1

1 − αz−1=

z

z − α(E.11)

222

E.2. Propiedades de la Transformada Zeta

La transformada Zeta posee una serie de propiedades, las cuales se resumenen la Tabla E.1 en la pagina 433. En esta seccion se revisan algunas de ellas.

Lema E.1. LinealidadSean y1[k] e y2[k] dos secuencias discretas definidas para k ∈ [0,+∞), cuyas

transformadas Zeta son Y1(z) e Y2(z), respectivamente. Entonces

Z αy1[k] + βy2[k] = αY1(z) + βY2(z) α, β ∈ C (E.12)

Demostracion

Esta propiedad se demuestra sin problema ya que la transformada Zeta sedefine mediante la sumatoria (E.1) :

Lαy1[k] + βy2[k] =

∞∑

k=0

(αy1[k] + βy2[k])z−k

= α

∞∑

k=0

y1[k]z−k + β

∞∑

k=0

y2[k]z−k

= αY1(z) + βY2(z)

Se debe hacer notar que en este caso la region de convergencia de la com-binacion lineal de las transformadas es la interseccion de la region de conver-gencia de cada una por separado. 222

Lema E.2. Escalamiento en z.Sea y[k] una secuencia de tiempo discreto en que k ∈ (0,+∞), y supongamos

que tenemos a ∈ C, entonces

Zaky[k]

= Y

(z

a

)

(E.13)

Demostracion

Segun la definicion tenemos:

Zaky[k]

=

∞∑

k=0

aky[k]z−k =

∞∑

k=0

y[k](z

a

)−k= Y

(z

a

)

(E.14)


En este caso la region de convergencia de la nueva transformada tambienresulta escalada.

222

Ejemplo E.2. Consideremos la transformada Zeta calculada para la secuenciadel ejemplo E.1, que establece

y1[k] = αkµ[k] ⇐⇒ Y1(z) =z

z − α; |α| < 1

Si ahora consideramos la secuencia

y2[k] = α−ky1[k] = µ[k]

Su transformada Zeta, aplicando (E.13) es

Y2(z) = Y1

( z

α−1

)

= Y1(αz)

=αz

αz − α

=z

z − 1

Que converge si y solo si |z| > 1.

Ejemplo E.3. Consideremos ahora la secuencia que corresponde a una os-cilacion de amplitud creciente o decreciente dependiendo del parametro r.

y[k] = rk cos(θ0k)

Su transformada Zeta puede obtenerse escribiendo el coseno en terminos deexponenciales complejas

y[k] =1

2

[(rejθ0)k + (re−jθ0)k)

]

Usando el teorema, tenemos que

Y (z) =1

2

[Z(rejθ0)k

+ Z

(re−jθ0)k)

]

=1

2

[z

z − rejθ0+

z

z − re−jθ0

]

=1

2

[z(2z − 2r cos θ0)

z2 − z2r cos θ0 + r2

]

=z(z − r cos θ0)

z2 − z2r cos θ0 + r2


Lema E.3. Conjugacion.

Sea y[k] una secuencia discreta en que 0 ≤ k < ∞ cuya transformada Zetaes Y (z). Entonces, la transformada Zeta de la secuencia conjugada es

Z y∗[k] = Y ∗(z∗) (E.15)

Demostracion

Directa de la definicion (E.1)

Z y∗[k] =

∞∑

k=0

y∗[k]z−k

=

( ∞∑

k=0

y[k](z∗)−k)∗

= Y (z∗)∗

222

Lema E.4. Desplazamientos en k.

Sea y[k] una secuencia discreta en que 0 ≤ k < ∞ cuya transformada Zetaes Y (z). Entonces, dado un entero k0 > 0, tenemos los siguientes resultadospara la transformada Zeta de la secuencia y[k] desplazada

Z y[k − k0] = Y (z)z−k0 + y[−1]z−k0+1 + . . .+ y[−k0 + 1]z−1 + y[−k0](E.16)

Z y[k + k0] = Y (z)zk0 −(y[0]zk0 + y[1]zk0−1 + . . .+ y[k0 − 1]z

)(E.17)

Demostracion

Consideremos primero el caso en que la secuencia ha sido retrasada en k0,es decir, la ecuacion (E.16). Si usamos la definicion de la transformada (E.1), yla escribimos por extension, tenemos que

Z y[k − k0] =∞∑

k=0

y[k − k0]z−k

= y[−k0] + y[−k0 + 1]z−1 + . . .+ y[−1]z−k0+1 +∞∑

k=k0

y[k − k0]z−k

Si definimos en la sumatoria l = k − k0, entonces tenemos que k = l + k0.Por tanto si reordenamos al lado derecho de la ultima igualdad tendremos que


Z y[k − k0] =

∞∑

l=0

y[l]z−(l+k0) + y[−1]z−k0+1 + . . .+ y[−k0 + 1]z−1 + y[−k0]

= z−k0

( ∞∑

l=0

y[l]z−l)

+ y[−1]z−k0+1 + . . .+ y[−k0 + 1]z−1 + y[−k0]

Donde la ecuacion (E.16) queda demostrada.Consideremos ahora el caso en que la secuencia y[k] es adelantada en k0.

Reemplazando en la definicion tenemos que

Z y[k + k0] =∞∑

k=0

y[k + k0]z−k

=∞∑

l=k0

y[l]z−(l−k0)

= zk0

[ ∞∑

l=0

y[l]z−l −(y[0] + y[1]z−1 + . . .+ y[k0 − 1]z−k0+1

)

]

=

∞∑

l=0

y[l]z−l −(y[0]zk0 + y[1]zk0−1 + . . .+ y[k0 − 1]z

)

Lo cual demuestra la segunda ecuacion del lema, (E.17).222

Es importante observar que si la secuencia y[k], retrasada en k0, ademasse multiplica por un escalon unitario, tambien desplazado en k0, entonces ten-dremos que

Z y[k − k0]µ[k − k0] = Y (z)z−k0 (E.18)

Ya que, en este caso, todas las condiciones iniciales seran iguales a cero.

Ejemplo E.4. Determine la transformada Zeta inversa de

Y (z) =z−k0

z − α

Esta transformada se puede reescribir de manera de poder aplicar la ecuacion(E.18)

Y (z) = z−(k0+1) z

z − α

⇒ y[k] = αk−(k0+1)µ[k − (k0 + 1)]


Lema E.5. Derivacion en zSea y[k] una secuencia en tiempo discreto para k ∈ (0,+∞) , con transfor-

mada Zeta Z y[k] = Y (z), entonces

Z k · y[k] = −z d Y (z)

dz(E.19)

Demostracion

De la definicion (E.1), tenemos que

Z k · y[k] =

∞∑

k=0

ky[k]z−k

=

∞∑

k=0

ky[k]z−k

= −z∞∑

k=0

(−k)y[k]z−k−1

= −z d Y (z)

dz

222

Ejemplo E.5. Consideremos el caso en que la secuencia discreta a la cualqueremos calcularle su transformada Zeta es una rampa de tiempo discreto, esdecir:

y[k] = kµ[k]

Segun (E.19) su transformada sera

Z kµ[k] = −z ddz

(z

z − 1

)

= −z (z − 1) − z

(z − 1)2

=z

(z − 1)2

Lema E.6. ConvolucionSean y1[k] e y2[k] dos secuencias discretas causales, es decir, iguales a cero

para k < 0. Supongamos que sus transformadas Zeta son Y1(z) e Y2(z), respec-tivamente. Entonces la transformada de la convolucion discreta entre y1[k] ey2[k] es:


Ly1[k] ∗ y2[k] = Y1(z)Y2(z) (E.20)

En que

y1[k] ∗ y2[k] =k∑

l=0

y1[l]y2[k − l] (E.21)

Demostracion

Si las senales son causales, es decir, su valor es cero ∀k < 0, entonces podemosreescribirlas

y1[k] = µ[k]y1[k]

y2[k] = µ[k]y2[k]

Con esto, la convolucion es equivalente a

y1[k] ∗ y2[k] =

∞∑

l=−∞y1[l]µ[l]y2[k − l]µ[k − l]

Si reemplazamos esta forma en la definicion (E.1), podemos cambiar el ordende las sumatorias:

Ly1[k] ∗ y2[k] =

∞∑

k=0

( ∞∑

l=−∞y1[l]µ[l]y2[k − l]µ[k − l]

)

z−k

=∞∑

l=−∞y1[l]µ[l]

(∑

k=0

y2[k − l]µ[k − l]z−k)

Donde se puede aplicar la propiedad de corrimiento en k (E.18) y reducir lasumatoria eliminando el µ[l]:

Ly1[k] ∗ y2[k] =

∞∑

l=−∞y1[l]µ[l]z−lY2(z)

= Y2(z)

∞∑

l=0

y1[l]z−l

= Y2(z)Y1(z)

222


Teorema E.1 (Teorema del Valor Final y Teorema del Valor Inicial).Existen dos resultados que relacionan el comportamiento asintotico de la funciony[k] y su tranformada Y (z). Estos se conocen como el teorema del Valor Inicialy teorema del Valor Final en tiempo discreto.

lımz→∞

Y (z) = y[0] (E.22)

lımz→1

(z − 1)Y (z) = lımk→∞

y[k] (E.23)

Las ecuaciones anteriores son validas solo en el caso que los lımitesexisten, tanto en k como en z.

Demostracion

La ecuacion (E.22) se demuestra facilmente observando la definicion de latransformada Zeta de la secuencia y[k] escrita por extension

Y (z) =∞∑

k=0

y[k]z−k

= y[0] + y[1]z−1 + . . .+ y[k]z−k + . . .

La cual, si se lleva al lımite z → ∞ se reduce a un solo termino

lımz→∞

Y (z) = lımz→∞

y[0] + lımz→∞

y[1]z−1

︸︷︷︸

0

+ . . .+ lımz→∞

y[k]z−k

︸︷︷︸

0

+ . . .

= y[0]

Con lo que se demuestra el Teorema del Valor Inicial.

Para demostrar la ecuacion (E.23) consideremos la transformada Zeta de lasecuencia adelantada en una unidad menos la secuencia original

Z y[k + 1] − y[k] = Z y[k + 1] − Z y[k]= zY (z) − zy[0] − Y (z) = (z − 1)Y (z) − zy[0]

Por otro lado, si aplicamos la definicion tendremos que

Z y[k + 1] − y[k] = lımk→∞

k∑

l=0

(y[l + 1] − y[l])z−l


Propiedades transformada Zeta

Tabla transformada ZetaSi igualamos ambas expresiones y hacemos posteriormente tender z → 1 ,

tendremos que

lımz→1

(z − 1)Y (z) − zy[0] = lımz→1

lımk→∞

k∑

l=0

(y[l + 1] − y[l])z−l

lımz→1

(z − 1)Y (z) − y[0] = lımk→∞

k∑

l=0

(y[l + 1] − y[l])

lımz→1

(z − 1)Y (z) − y[0] = lımk→∞

(y[k + 1]) − y[0]

Donde el ultimo paso al lado derecho se justifica ya que la sumatoria cor-responde a una serie telescopica. De esta forma se demuestra el Teorema delValor Final, o valor de equilibrio.

La transformada Zeta es muy util en el estudio de sistemas dinamicos detiempo discreto, ya que pemite convertir las ecuaciones recursivas, que de-finen al sistema en el tiempo k, a ecuaciones algebraicas en la variable z.


y[k] Y (z) = Z y[k] Comentarios

l∑

i=1

aiyi[k]

l∑

i=1

aiYi(z)

αky[k] Y( z

α

)

α ∈ C,<α > 0

y∗[k] Y ∗(z∗) Conjugacion

y[k − k0] z−k0Y (z) + y[−1]z−k0+1 + . . .+ y[−k0] k0 ∈ Z+

y[k + k0] zk0Y (z) − (y[0]zk0 + . . .+ y[k0 − 1]z) k0 ∈ Z+

y[k − k0]µ[k − k0] z−k0Y (z) k0 ∈ Z+

ky[k] −z dY (z)

dzk∑

l=0

y1[l]y2[k − l] Y1(z)Y2(z) Convolucion en k

y[0] lımz→∞

Y (z) T. del Valor Inicial

lımk→∞

y[k] lımz→1

(z − 1)Y (z) T. del Valor Final

Cuadro E.1: Propiedades de la transformada Zeta


y[k] (k ≥ 0) Y (z) = Z y[k] Region de Convergencia

δK [k] 1 ∀z ∈ C

1z

z − 1|z| > 1

kz

(z − 1)2|z| > 1

αkz

z − α|z| > |α|

ejθ0kz

z − ejθ0|z| > 1

cos(θ0k)z(z − cos θ0)

z2 − 2z cos θ0 + 1|z| > 1

sen(θ0k)z sen θ0

z2 − 2z cos θ0 + 1|z| > 1

αk cos(θ0k)z(z − α cos θ0)

z2 − 2zα cos θ0 + α2|z| > |α|

αk sen(θ0k)zα sen θ0

z2 − 2zα cos θ0 + α2|z| > |α|

cos(θ0k + φ)z2 cosφ− z cosφ cos θ0 + senφ sen θ0

z2 − 2z cos θ0 + 1|z| > 1

αk ; 0 ≤ k < N

0 ; k ≥ N

1 − (αz−1)N

1 − αz−1|z| > 0

Cuadro E.2: Transformada Zeta de algunas funciones simples

matrices|textbf

matriz!definicion

matriz!elementos

Apendice F

Matrices. Definiciones yPropiedades11 de septiembre de 2003

En este apendice se presenta una revision de conceptos y propiedades rela-cionadas con matrices, como soporte para varios de los capıtulos del texto ycomo referencia para topicos mas avanzados. En varios de los resultados que sepresentan se han omitido demostraciones y detalles excesivos, para los cuales seincluyen las referencias necesarias orientadas al lector mas interesado.

F.1. Conceptos Basicos

Intuitivamente se puede decir que una matriz no es mas que un arreglorectangular de filas y columnas, cuyos elementos pertenecen a un conjunto dado(numeros reales, complejos, o bien funciones u otros objetos matematicos), enel cual se encuentra definida la suma y la multiplicacion. Mas formalmente:

Definicion F.1. Una matriz es un arreglo de n ·m objetos pertenecientes a unconjunto K, dispuestos rectangularmente en n filas y m columnas (n,m enterospositivos). Al conjunto de dichas matrices lo denotaremos por Mn×m(K), osimplemente por Kn×m.

Definicion F.2. Los objetos dentro de dicho arreglo se denominan elementosde la matriz, y denotaremos por aij el elemento situado en la i-esima fila yj-esima columna.

De esta forma tenemos que una matriz A = aij es de la forma:

435

436 APENDICE F. MATRICES. DEFINICIONES Y PROPIEDADES

matriz!cuadrada

A = aij =

a11 a11 . . . a1m

a21 a22 . . . a2m

......

. . ....

an1 an2 . . . anm

(F.1)

en que todos los elementos de A pertenecen al conjunto K, es decir:

aij ∈ K ∀i ∈ 1, . . . , n,∀j ∈ 1, . . . ,m (F.2)

Una matriz con igual numero de filas y columnas se denomina cuadrada.Dos matrices se dicen iguales si y solo si son iguales elemento por elemento,

es decir, dadas A,B ∈ Kn×m:

A = B ⇐⇒ aij = bij ∀i, j (F.3)

El conjunto K satisface por lo general las propiedades de cuerpo, y usual-mente consideraremos el conjunto de los numeros reales R o de los complejos C.Recordemos que:

Lema F.1. Un conjunto K, junto a las operaciones suma y multiplicacion sedenomina un cuerpo, si y solo si, para todo a, b, c ∈ K:

1.- La suma (+) satisface las siguientes propiedades:

(a) cerradura, es decir, a+ b ∈ K

(b) asociatividad, es decir, a+ (b+ c) = (a+ b) + c

(c) conmutatividad, es decir, a+ b = b+ a

(d) existe 0 ∈ K (cero o neutro aditivo) tal que a+ 0 = 0 + a = a

(e) para cada a ∈ K existe el inverso aditivo (−a) ∈ K tal que a +(−a) = −a+ a = 0

2.- La multiplicacion (·) satisface las siguientes propiedades:

(a) cerradura, es decir, a · b ∈ K

(b) asociatividad, es decir, a · (b · c) = (a · b) · c(c) existe 1 ∈ K (uno, identidad o neutro multiplicativo) tal que

a · 1 = 1 · a = a

(d) existe 0 ∈ K tal que a · 0 = 0 · a = 0 (propiedad absorbente delcero).

F.1. CONCEPTOS BASICOS 437

vector!columna

vector!fila

matriz!traza

traza

matriz!traspuesta

matriz!simetrica

matriz!hermitiana

(e) para cada a ∈ K existe el inverso multiplicativo ∃a−1 ∈ K tal quea · a−1 = a−1 · a = 1

(f) conmutatividad, es decir, a · b = b · a(g) distributividad, es decir, a · (b+ c) = a · b+ a · c

Vectores

Una matriz formada por n filas y 1 columna se denomina vector columna.En base a esta definicion podemos afirmar que una matriz de n×m esta formadapor m vectores columna, cada uno con n elementos.

Una matriz formada por 1 fila y m columnas se denomina vector fila.Analogamente, en base a esta definicion podemos decir que una matriz de n×mesta formada por n vectores fila, cada uno con m elementos.

En general, cuando se defina un vector de dimension p nos referiremos a unvector columna formado por p elementos.

Traza de una matriz

Definicion F.3. Dada A = aij ∈ Kn×n, la traza de A, que denotamos portr(A), es la suma de los elementos diagonales de A, es decir

tr(A) =

n∑

i=1

aii (F.4)

Matrices especiales

Definicion F.4. Dada A = aij ∈ Kn×m, la matriz traspuesta de A, quedenotamos por AT , es la que resulta de intercambiar sus filas con sus columnas,es decir,

A = aij ⇐⇒ AT = aji (F.5)

En base a la definicion, diremos que una matriz A es simetrica si y solo siAT = A, es decir, si y solo si la matriz A es igual a su traspuesta. Naturalmentepara satisfacer esta condicion la matriz debe ser cuadrada.

Para el caso de matrices con coeficientes o elementos complejos (es decir, enC) resulta mas comun hablar de matrices hermitianas:

Definicion F.5. Dada A = aij ∈ Cn×m, se define la matriz hermitiana deA, que denotamos por AH , como la matriz conjugada traspuesta de A, dondela conjugacion se aplica a cada elemento:

AH = (A∗)T = (AT )∗ = a∗ji (F.6)

Una consecuencia natural de esta definicion es que toda matriz real y simetri-ca es hermitiana.

Para matrices cuadradas, tenemos las siguientes definiciones:


matriz!diagonal

matriz!triangular superior

matriz!triangular inferior

matriz!identidad

determinante

matriz!determinante

Definicion F.6. Dada una matriz A = aij ∈ Kn×n, diremos que:

la matriz A es diagonal si y solo si aij = 0 ∀i 6= j , es decir, todos suselementos fuera de la diagonal principal de la matriz son cero.

la matriz A es triangular superior si y solo si aij = 0 ∀i > j, es decir,todos los elementos bajo la diagonal principal son cero.

la matriz A es triangular inferior si y solo si AT es triangular superior.

Dentro del conjunto de matrices diagonales, la matriz identidad es deespecial interes y su denominacion se justifica en base a las propiedades delproducto matricial definido mas adelante. Esta se define como:

Definicion F.7. La matriz identidad de dimension n, que denotamos por In,se define como una matriz diagonal, cuyos elementos no nulos son iguales a 1,es decir:

In =

1 0 . . . 0

0 1 . . . 0

......

. . ....

0 0 . . . 1

∈ Kn×n (F.7)

F.2. Determinante de una matriz

A menudo en matematicas resulta util representar las propiedades de unobjeto mediante un solo numero. Es ası como para matrices cuadradas se defineel determinante de la matriz. Este es un escalar asociado a una matrizcuadrada y que, como veremos mas adelante, tiene directa relacion con su rango,la existencia de su inversa, y con el calculo de los autovalores.

Definicion F.8. Dada la matriz A = aij ∈ Kn×n, su determinante es unescalar asociado a la matriz que se denota por:

|A| = detA (F.8)

cuya definicion constructiva se muestra a continuacion.

Expansion de Laplace1

El calculo del determinante puede ser definido por induccion. Sin embargo,previo a su definicion presentamos dos conceptos previos necesarios:

1Roger A. Horn & Charles R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1990,pag. 7

F.2. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 439

menor

matriz!menor

cofactor

matriz!cofactor

cofactor!desarrollo

Definicion F.9. Dada la matriz A = aij ∈ Kn×n:

se define Aij ∈ K(n−1)×(n−1) como la ij-esima menor de A. Esta es unamatriz que resulta de eliminar la i-esima fila y la j-esima columna de lamatriz A.

se define el escalar:

Cij = (−1)i+j detAij (F.9)

como el ij-esimo cofactor de la matriz A

De esta forma, el determinante de A se define en terminos del determinantede sus menores:

detA =

n∑

j=1

(−1)i+jaij detAij =

n∑

i=1

(−1)i+jaij detAij (F.10)

o bien, mediante desarrollo por cofactores:

det(A) =

n∑

j=1

aijCij =

n∑

i=1

aijCij (F.11)

De esta forma, al definir el determinante para matrices formadas por un unicoelemento, queda definido el calculo del determinante para todas las matrices dedimensiones mayores:

det

[

a11

]

=∣∣a11

∣∣ = a11 (F.12)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= a11a22 − a12a21 (F.13)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= a11

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

− a12

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

+ a13

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(F.14)

... (F.15)


singular

matriz!singular

matriz!no singular

matriz!rango

rango

rango!columna

rango!columna

matriz!rango

rango

rango completo

Existe una serie de reglas que pueden facilitar el calculo del determinante deuna matriz que estan mas alla del objetivo de este apendice. Sin embargo, unaobservacion util para reducir el numero de calculos necesarios para obtener eldeterminante de una matriz es elegir la fila (o columna) que contenga el mayornumero de ceros, para hacer el desarrollo en (F.10).

Podemos ademas hacer las siguientes observaciones:

Si la matriz A tiene una fila o una columna formada solo por ceros, en-tonces det(A) = 0.

Si det(A) = 0 se dice que la matriz es singular. En caso contrario, se diceque la matriz es no singular.

Si la matriz A de n × n es diagonal o triangular (superior o inferior),entonces det(A) = a11a22 . . . ann

Rango de una matriz

En la definicion que sigue se hace mencion a los conceptos de combinacionlineal e independencia lineal en espacios vectoriales, que el lector interesadopuede revisar en el Apendice B.

Definicion F.10. Dada la matriz A = aij ∈ Kn×m:

Se define el rango columna de una matriz A al maximo numero decolumnas linealmente independientes.

Se define el rango fila de una matriz A al maximo numero de filas lin-ealmente independientes.

Se define el rango de una matriz A al mınimo entre su rango fila y surango columna.

Finalmente, se dice que A es de rango completo si su rango es igual almınimo entre su numero de filas o de columnas.

Ejemplo F.1. La matriz:

A =

1 2 0 4

2 −3 1 −1

3 −1 1 3

(F.16)

tiene rango fila igual a 2, pues la tercera fila es la suma de las dos primeras,mientras que tiene rango columna igual a 3, pues las 3 columnas a la izquierdason linealmente independientes, y en R3 estas conforman una base, es decir,cualquier otro vector se puede escribir como combinacion lineal de elementos deesta base. Su rango, por ende, es igual a 2, y no es de rango completo.

F.3. OPERACIONES CON MATRICES 441

matrices!suma

espacio!vectorial222

Una matriz cuadrada es de rango completo si y solo si es no singular.

F.3. Operaciones con matrices

Suma de matrices

La suma de dos matrices se define como la suma elemento por elemento.Naturalmente, la condicion para que esta suma tenga sentido es que ambastengan las mismas dimensiones. Bajo esta condicion:

C = A + B = ⇐⇒ cij = aij + bij (F.17)

donde A = aij , B = bij y C = cij pertenecen a Mn×m(K).La suma de matrices hereda sus propiedades directamente de las propiedades

de la suma en el conjunto K al que pertenecen sus elementos, en el Lema F.1.Es decir, se cumple la cerradura, asociatividad, conmutatividad, existencia delneutro y del inverso aditivo.

En particular, se define la matriz cero (o neutro aditivo) 0n×m como lamatriz cuyos elementos son todos 0. De esta forma A + 0 = A. Asimismo,la matriz inversa aditiva de A, que se denota por −A, esta formada por elinverso aditivo de cada elemento de A. Esto es −A = −aij y de esta forma−A + A = 0.

Nota: En Matlab es posible sumar un escalar c a cada elemento de unamatriz A ∈ Cn×n, haciendo abuso de notacion, con la expresion

>> A+c

cuyo resultado es una matriz en la cual el elemento ij-esimo es igual a aij+c

Producto matriz por escalar

Definicion F.11. Dado un escalar α ∈ K y una matriz A ∈ Kn×m, entoncesel producto matriz por escalar se define como

αA = αaij = αaij ∈ Kn×m (F.18)

es decir, es la matriz que se obtiene de multiplicar cada elemento de la matrizA por el escalar α

Asi como la suma de matrices hereda sus propiedades de las propiedades dela suma en el cuerpo K, el producto por escalar las hereda de la multiplicacion.De esta forma, el conjunto Mn×m(K) con el producto por escalar satisface laspropiedades de un espacio vectorial (ver Apendice . . . ). Es mas, siempre esposible establecer un isomorfismo entre Mn×m(K) y un espacio vectorial dedimension nm.


producto!matrices

matriz!productoLema F.2. Propiedades del producto matriz por escalar

Dados los escalares α, β ∈ K y las matrices A,B ∈ Kn×m, se cumplen lassiguientes propiedades:

(a) cerradura, es decir, αA ∈ Kn×m

(b) asociatividad, es decir, (αβ)A = α(βA)

(c) conmutatividad, es decir, αA = Aα

(d) distributividad escalar, es decir, (α+ β)A = αA + βA

(e) distributividad matricial, es decir, α(A + B) = αA + αB

(f) Existe el elemento neutro 1 ∈ K , tal que 1A = A

Producto matricial

El producto de matrices puede entenderse como una extension del productopunto o producto interno usual dos vectores v,w ∈ Kn, definido como:

〈v,w〉 = v · w =

n∑

k=1

v∗k wk (F.19)

De esta forma, tenemos la siguiente definicion:

Definicion F.12. Dadas las matrices A ∈ Kn×p y B ∈ Kp×m, el productomatricial entre A y B se define como la matriz C ∈ Kn×m tal que:

AB = aikbkj = cij = C (F.20)

en que cada elemento de C es:

cij =

p∑

k=1

aik bkj = 〈ai∗, b∗j〉 (F.21)

donde ai∗ es la i-esima fila de A y b∗j denota la j-esima columna de B.

Note que:

la condicion para la existencia del producto matricial es que elnumero de columnas de A sea igual al numero de filas de B.

usando la ecuacion (F.19), podemos ver que el elemento ij-esimo de Ces el producto punto entre el i-esimo vector fila de A y el j-esimo vectorcolumna de B

el producto punto puede expresarse como producto matricial, es decir, enla ecuacion (F.19):

〈v,w〉 = (v∗)Tw (F.22)

F.4. INVERSA DE UNA MATRIZ 443

matriz!inversa

matriz!no singular

inversa de una matriz

inversa generalizada

matriz!inversa generalizada

Lema F.3. Propiedades del producto matricialDadas las matrices A, B y C , de dimensiones adecuadas, se cumplen lassiguientes propiedades:

(a) asociatividad matricial, es decir, (AB)C = A(BC)

(b) asociatividad escalar, es decir, α(AB) = (αA)B

(c) distributividad, es decir, (A + B)C = AC + BC

(d) En general, no existe conmutatividad, es decir, AB 6= BA

(e) Dada la matriz A ∈ Kn×m, existe la matriz identidad In y la matriz iden-tidad Im, tal que InA = A = AIm

(f) Si AB = C , entonces (detA)(detB) = detC

F.4. Inversa de una matriz

Revisando las propiedades del producto matricial en el Lema F.3, podemosapreciar que no se menciona nada sobre la existencia de un inverso multiplicativopara una matriz A dada. De hecho, en esta seccion veremos que no toda matrizposee un inverso multiplicativo, el que solo existe bajo ciertas condiciones.

Definicion F.13. Dada una matriz A, se define la matriz inversa de A, quedenotamos por A−1, como la matriz (si es que existe) que satisface:

AA−1 = A−1A = I (F.23)

donde I representa la matriz identidad.Si esta matriz A−1 existe, diremos que la matriz A es invertible o no

singular.

Note que:

no todas las matrices poseen una inversa,

de la ecuacion (F.23), se deduce que la matriz A y su inversa A−1, debenser cuadradas y de la misma dimension,

la inversa de A, si existe, es unica.

para matrices singulares y/o no cuadradas es posible definir su inversa porla derecha, por la izquierda o su inversa generalizada. 2

En el siguiente lema se establecen condiciones equivalentes que garantizanla invertibilidad de una matriz A dada, en diferentes contextos:

2http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/matrix


matriz!adjunta

adjunta de una matriz

matriz!particionada

Lema F.4. Existencia de la inversa de ADada una matriz A ∈ Kn×n, entonces las siguientes condiciones son equiva-lentes:

(a) A es no singular.

(b) A−1 existe.

(c) rango A = n.

(d) las filas de A son linealmente independientes.

(e) las columnas de A son linealmente independientes.

(f) detA 6= 0.

El calculo de la inversa de una matriz puede definirse en terminos de sumatriz adjunta:

Definicion F.14. Dada una matriz A ∈ Kn, se define su matriz adjuntacomo la traspuesta de la matriz de sus cofactores, es decir:

Adj A = CijT (F.24)

en que Cij son los definidos en la ecuacion (F.9)

Entonces, tenemos el siguiente resultado:

Lema F.5. Inversa de una matrizDada una matriz A ∈ Kn no singular, entonces su inversa A−1 es:

A−1 =1

detAAdj A (F.25)

Demostracion:

Usando la expansion de Laplace (F.10), entonces se puede probar que:

(Adj A)A = A (Adj A) = (detA) I (F.26)

222

Matrices particionadas

Toda matriz puede ser particionada de forma tal que se expresa como unamatriz de macro elementos, cada uno de ellos es en si mismo otra matriz. Sedice, en estos casos que la matriz esta definida por bloques. Considere una matrizA ∈ Cn×m, entonces:


A = aij =

A11 A12 A13 · · · A1q

A21 A22 A23 · · · A2q

......

... . . ....

Ap1 Ap2 Ap3 · · · Apq

(F.27)

donde Aij ∈ Cni×mj y ademas se cumple que

p∑

i=1

ni = n;

q∑

j=1

mj = m (F.28)

Por ejemplo, si

A =

−1 2 0 −7

0 3 −2 5

−1 −1 2 3

2 2 −2 4

(F.29)

Entonces, una particion posible es dividir la matriz A en un arreglo de 2× 2bloques, donde

A11 =

−1 2 0

0 3 −2

−1 −1 2

; A12 =

−7

5

3

; A21 =

[

2 2 −2

]

; A22 = 4 (F.30)

Lema de Inversion Matricial

En esta seccion presentamos un importante resultado que resulta util enaquellos casos que se requiere manipular (calcular determinantes o inversas)matrices de grandes dimensiones, o bien, matrices definidas por bloques. Paraesto consideramos una matriz cuadrada, definida por bloques, de la forma:


inversion matricial

matriz!particionada

A =

A11 A12

A21 A22

∈ C(p+q)×(p+q) (F.31)

en que:

A11 ∈ Cp×p ; A12 ∈ Cp×q ; A21 ∈ Cq×p ; A22 ∈ Cq×q (F.32)

De esta forma, si se definen la siguiente matrices auxiliares:

∆11 = A11 − A12A−122 A21 (F.33)

∆22 = A22 − A21A−111 A12 (F.34)

entonces, tenemos el siguiente resultado preliminar:

Lema F.6 (Inversa de una matriz particionada). Considere las ecuaciones(F.31)– (F.34). Si las matrices A11, A2, ∆11 y ∆22 son no singulares, entoncesla matriz A es no singular y su inversa es:

A−1 =

A−1

11 + A−111 A12∆

−122 A21A

−111 −A−1

11 A12∆−122

−∆−122 A21A

−111 ∆−1

22

(F.35)

o bien:

A−1 =

∆−1

11 −∆−111 A12A

−122

−A−122 A21∆

−111 A−1

22 + A−122 A21∆

−111 A12A

−122

(F.36)

En particular, dadas submatrices como las que forman la matriz (F.31),entonces:

∆−111 = A−1

11 + A−111 A12∆

−122 A21A

−111 (F.37)

Ademas, dadas submatrices como las que forman la matriz (F.31), se tieneque:

A−111 A12∆

−122 = ∆−1

11 A12A−122 (F.38)

Finalmente, el determinante de la matriz definida en (F.31), se puede cal-cular como:

det(A) = det(A11) · det(∆22) (F.39)


o bien:

det(A) = det(A22) · det(∆11) (F.40)

Demostracion:

La matriz A puede reescribirse en la forma:

A =

Ip 0

A21A11−1 Iq

A11 A12

0 ∆22

(F.41)

y de la forma:

A =

Ip A12A22

−1

0 Iq

∆11 0

A21 A22

(F.42)

Calculando los determinantes de las matrices en estas ecuaciones, se prueba(F.39) y (F.40). Se debe observar que esto asegura que det(A) 6= 0, es decir, Aes no singular. Ahora, se observa que:

A11 A12

0 ∆22

−1

=

A11

−1 −A11−1A12(∆22)−1

0 (∆22)−1

(F.43)

y, ademas:

[Ip 0

A21A11−1 Iq

]−1

=

[Ip 0

−A21A11−1 Iq

]

(F.44)

Estas dos ecuaciones se pueden utilizar cuando se aplica inversion matricialen la ecuacion (F.41):

A−1 =

[A11 A12

0 ∆22

]−1 [Ip 0

A21A11−1 Iq

]−1

(F.45)

Reemplazando y haciendo el producto matricial, se prueba la ecuacion (F.35).La ecuacion (F.36) se prueba de manera analoga.

Finalmente, la ecuacion (F.37) se obtiene de igualar los bloques superioresizquierdos en las matrices (F.35) y (F.36), mientras que la ecuacion (F.38) deforma analoga, pero igualando los bloques superiores derechos.

222

A partir de las ecuaciones en el lema anterior, se obtienen el siguiente lemaque, considerando algunos casos particulares para la matriz A en (F.31), repre-senta resultados mas simples, tambien de amplia utilidad.


autovalores|textbf

autovectores|textbf

valores caracterısticos|textbf

vectorescaracterısticos|textbf

matriz!autovalores

autovalores

valores propios

Lema F.7 (Lema de inversion matricial). Dadas las matrices:

B ∈ Km×n ; C ∈ Kn×n ; D ∈ Kn×m (F.46)

entonces se tienen las siguientes relaciones:

D(Im − BD)−1 = (In − DB)−1D (F.47)

(Im + BC−1D)−1 = Im − B(C − DB)−1D (F.48)

(C + DB)−1 = C−1 − C−1D(In + BC−1D)−1BC−1 (F.49)

det(Im − BD

)= det

(In − DB

)(F.50)

Demostracion:

La ecuacion (F.47), es directa de (F.38), haciendo A11 = Im, A12 = B,A21 = D y A22 = In.

La ecuacion (F.48), se obtiene a partir de (F.37), haciendo A11 = Im,A12 = −B, A21 = D y A22 = C.

La ecuacion (F.49), tambien se obtiene a partir de (F.37), pero haciendoA11 = C, A12 = −D, A21 = B y A22 = Im.

Finalmente, (F.50) se obtiene a partir de las ecuaciones (F.39) y (F.40),pero considerando A11 = In, A12 = D, A21 = B y A22 = Im.

222

F.5. Autovalores y autovectores

En diferentes problemas, tanto en matematica como en ingenierıa, dada unamatriz A ∈ Kn×n se tiene la siguiente ecuacion:

A · v = λv ; v 6= 0 (F.51)

en que interesa encontrar el (o los) vector(es) v ∈ Kn y escalar(es) λ ∈ K quepermiten reemplazar el producto matriz-vector al lado izquierdo de (F.51), porun producto escalar-vector (lado derecho). Naturalmente, nos interesa encontrarsoluciones no triviales de la ecuacion (F.51).

Definicion F.15. Valores y vectores propiosDada una matriz A ∈ Kn×n y la ecuacion (F.51), entonces:

los escalares λi que satisfacen esta ecuacion se denominan valores pro-pios, autovalores o eigenvalores, y

los correspondientes vectores vi se denominan vectores propios, au-tovectores o eigenvectores

F.5. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES 449

polinomio caracterıstico

espectro

radio espectral

Las soluciones de la ecuacion (F.51) vienen dadas por el siguiente lema:

Lema F.8. Ecuacion caracterısticaCada autovalor λ de la matriz A en (F.51) satisface la ecuacion caracterıstica:

det(λI − A) = 0 (F.52)

El lado izquierdo de esta ecuacion es el polinomio caracterıstico, p(λ),de orden n, y posee n raices complejas.

Demostracion:La ecuacion (F.51) puede reescribirse como:

λv − Av = 0 (F.53)

(λI − A)v = 0 (F.54)

Entonces el resultado se prueba por contradiccion: si la ecuacion (F.52) nose cumple, entonces la matriz (λI − A) es no singular, y al multiplicar por suinversa al lado izquierdo se tiene:

(λI − A)−1(λI − A)v = v = 0 (F.55)

lo que contradice la condicion v 6= 0222

Definicion F.16. Espectro y radio espectral

El conjunto de n autovalores de una matriz A ∈ Kn×n se denomina elespectro de A, y se denota por:

σ(A) = λ1, λ2, . . . , λn (F.56)

Asimismo, se define el radio espectral de A como:

ρ(A) = max|λ| : λ ∈ σ(A) (F.57)

Este justamente corresponde al radio del disco mas pequeno centrado enel origen del plano complejo C que incluye todos los autovalores de A.

Cada uno de los valores propios de A puede usarse en la ecuacion (F.51)para determinar su vector propio asociado resolviendo para v. Este sistemaposee infinitas soluciones dado que justamente el autovalor λi se ha obtenidoforzando su determinante a ser cero (F.52). Sin embargo, basta elegir uno deestos vectores como solucion ya que el lector puede verificar que si vi es un vectorpropio asociado al autovalor λi tambien lo es el vector αvi, para cualquier escalarα. Para disminuir la multiplicidad de soluciones en el calculo de autovectores,se normalizan las soluciones de modo que su norma euclidiana sea 1, es decir||vi|| = 1.

Cuando los autovalores son distintos entre sı, los autovectores son lineal-mente independientes. Sin embargo, cuando hay autovalores repetidos, puedeocurrir que los autovectores asociados sean linealmente dependientes.


matrices!similares

similaridad!transformacion de

congruencia

Diagonalizacion

Cuando los autovectores vi de la matriz A que satisfacen la ecuacion (F.51),son linealmente independientes, pueden agruparse en una matriz T no singular:

T =

[

v1 v2 . . . vn

]

(F.58)

Lema F.9. DiagonalizacionDada una matriz A ∈ Kn×n, sin autovalores repetidos, y la matriz T definidaen (F.58), formada por sus autovectores, se tiene que:

T−1AT = P (F.59)

en que P es la matriz diagonal formada por los autovalores de A, es decir:

P = diagλ1, λ2, . . . , λn (F.60)

Demostracion

Usando la ecuacion (F.58), podemos escribir:

AT = A

[

v1 v2 . . . vn

]

(F.61)

=

[

Av1 Av2 . . . Avn

]

(F.62)

=

[

λ1v1 λ2v2 . . . λnvn

]

(F.63)

= Tdiagλ1, λ2, . . . , λn (F.64)

Y el resultado se obtiene multiplicando por la izquierda por la inversa de lamatriz no singular T.

222

Definicion F.17. Cuando dos matrices A y P satisfacen la ecuacion (F.59), sedenominan matrices similares, y la transformacion A → T−1AT se denominatransformacion de similaridad.

Analogamente a la definicion F.17 de similaridad entre matrices, se definetambien el concepto de congruencia:

Definicion F.18. Dos matrices A,B ∈ Kn×n se dicen:

Hcongruentes si y solo si existe una matriz no singular S tal que B =SHAS, y


multiplicidad!autovalores

autovectores!generalizados

Jordan!forma de

matriz!forma de Jordan

Tcongruentes si y solo si existe una matriz no singular S tal que B =STAS.

Naturalmente estos conceptos son equivalentes si S es una matriz real.

Forma de Jordan

En el caso que una matriz A posea autovalores repetidos, es decir, con mul-tiplicidad, pueden darse dos situaciones diferentes respecto a la digonalizacion.Supongamos que un autovalor λi con multiplicidad ni ≥ 2, entonces:

1. el autovalor λi da origen a ni autovectores linealmente independientes enla ecuacion (F.51), o bien

2. el autovalor λi da origen a menos de ni autovectores linealmente inde-pendientes

En el primer caso, no hay problema en construir la matriz T en (F.58), ypor tanto se obtiene la matriz diagonal P en (F.59), sin problema alguno.

Sin embargo, en el segundo caso, se pueden obtener construir los vectores(l.i.) necesarios para la matriz T a partir de la siguiente cadena de vectorespropios:

(A − λiI)vi,0 = 0

(A − λiI)vi,1 = vi,0 (F.65)

(A − λiI)vi,2 = vi,1

...

Note que, en estricto rigor, solo vi,0 es un autovector; en cambio vi,j j =1, 2, . . . , k no lo son y reciben el nombre de autovectores generalizados.

Si suponemos que el unico valor propio repetido es λi con multiplicidadk, pero con un solo vector propio obtenido en (F.51) y el resto mediante lasecuaciones (F.65), entonces la matriz T definida en (F.58) se construye ahoracomo:

T =[v1 . . . vi,k vi,k−1 . . . vi,0

︸︷︷︸

asociados a λi

. . . vn]

(F.66)

y la matriz P en (F.59) ya no es diagonal, sino que tiene la forma de Jordan:


autovectores!generalizados

P = JA =

λ1 0 . . . 0

0. . .

...

Ji

.... . . 0

0 . . . 0 λn

(F.67)

en que la matriz Ji ∈ Kk×k es un bloque sobre la diagonal principal de JA dela forma:

Ji =

λi 0 . . . 0

1 λi

. . .. . .

...

0 1 λi

(F.68)

Note que, en estricto rigor, solo vi,0 es un autovector; en cambio vi,j , j =1, 2, . . . , k, no lo son y reciben el nombre de autovectores generalizados.

Note ademas que todo bloque de Jordan, Ji, es una matriz triangular y porlo tanto cumple con

tr(Ji) = niλi; det(Ji) = λini (F.69)

Ejemplo F.2. Considere la matriz 3:

A =

2 0 0

a 2 0

1 1 −1

; a ∈ R (F.70)

Sus autovalores se obtiene facilmente de la ecuacion caracterıstica (F.52):

3Hoffman & Kunze, Linear Algebra 2ed. 1971, Prentice-Hall, p.247


det(λI − A) = (λ− 2)2(λ+ 1) = 0 ⇒

λ1 = 2 (multiplicidad 2)

λ2 = −1(F.71)

Caso 1 : a = 0

Usando la ecuacion (F.51) se obtienen los autovectores:

(λ1I − A)v1 =

0 0 0

0 0 0

−1 −1 3

α1

β1

γ1

= 0 ⇒ v1 =

α1

β1

(α1 + β1)/3

(F.72)

(λ2I − A)v2 =

−3 0 0

0 −3 0

−1 −1 0

α2

β2

γ2

= 0 ⇒ v2 =

0

0

γ2

(F.73)

Es claro que para obtener un autovector v2 asociado a λ2 = −1 basta escogercualquier valor para γ2 6= 0, por ejemplo γ2 = 1. Sin embargo, la expresion parav1 nos dice que existen dos grados de libertad, α1 y β1, es decir, es posibleobtener 2 vectores linealmente independientes:

v1 =

α1

β1

(α1 + β1)/3

=α1

3

3

0

1

+β1

3

0

3

1

=α1

3v1,α +

β1

3v1,β (F.74)

Con esto tenemos la matriz de transformacion:


T =

[

v1,α v1,β v2

]

=

3 0 0

0 3 0

1 1 1

(F.75)

Con lo que se obtiene:

T−1AT =

2 0 0

0 2 0

0 0 −1

= P (F.76)

Caso 2 : a 6= 0

Usando la ecuacion (F.51) se obtienen los autovectores:

(λ1I − A)v1 =

0 0 0

−a 0 0

−1 −1 3

v1 = 0 ⇒ v1 =

0

3

1

= v1,0 (F.77)

(λ2I − A)v2 =

−3 0 0

−a −3 0

−1 −1 0

v2 = 0 ⇒ v2 =

0

0

1

(F.78)

Para obtener el segundo autovector asociado a λ1 usamos la cadena de vec-tores (F.65):


(A − λ1I)v1,1 = v1,0 (F.79)

0 0 0

a 0 0

1 1 −3

α

β

γ

=

0

3

1

(F.80)

Donde se obtiene α = 3/a y β = 3γ + 1 − 3/a. Por simplicidad escoge-mos γ = 0, luego v1,1 = [ 3/a , 1 − 3/a , 0 ]T . Con esto tenemos la matriz detransformacion:

T =

[

v1,1 v1,0 v2

]

=

3/a 0 0

1 − 3/a 3 0

0 1 1

(F.81)

Con lo que se obtiene:

T−1AT =

2 0 0

1 2 0

0 0 −1

= JA (F.82)

Lema F.10. Sea una matriz A ∈ Cn×n con autovalores λ1, λ2, λ3, . . . , λn, en-tonces

tr(A) =n∑

i=1

λi (F.83)

det(A) =

n∏

i=1

λi (F.84)

Demostracion

Primero observamos que siempre existe una matriz no singular T, tal que

T−1AT = diagJ1,J2, . . . ,Jq (F.85)


donde Ji ∈ Cni×ni , i = 1, 2, . . . , q, son bloques de Jordan, donde ni es un enteromayor o igual a 1. Entonces, para la traza se cumple, usando (F.69), que

tr(T−1AT) =

q∑

i=1

tr(Ji) =

q∑

i=1

niλi (F.86)

es decir, tr(T−1AT) es igual a la suma de todos los autovalores de A. Por otrolado

tr(T−1AT) = tr(ATT−1) = tr(A) (F.87)

lo cual cierra la demostracion para la traza.Para el determinante, se tiene, usando (F.69), que

det(T−1AT) =

q∏

i=1

det(Ji) =

q∏

i=1

λini (F.88)

es decir, tr(T−1AT) es igual al producto de todos los autovalores de A. Porotro lado

det(T−1AT) = det(ATT−1) = det(A) (F.89)

222

Una propiedad fundamental de la transformacion similar es que se preservanciertas caracterısticas, tal como se plantea a continuacion.

Lema F.11. Sean A y B dos matrices similares. Entonces, tienen los mismosautovalores, el mismo determinante y la misma traza.

Demostracion

Si A y B son similares, entonces existe T no singular tal que B = T−1AT.Entonces, los autovalores de B son las raıces de det(λI − B) = 0. Si ahorausamos la similaridad tenemos que

det(λI − B) = det(λT−1T − T−1AT) = det(T−1(λI − A)T

)(F.90)

= det((λI − A)TT−1

)= det(λI − A) (F.91)

lo cual demuestra que la transformacion similar preserva los autovalores.Para demostrar la preservacion de determinante y traza se aplica directa-

mente el Lema F.10.222

Los lemas que siguen presentan propiedades adicionales de autovalores yautovectores.

Lema F.12 (Propiedades de autovalores y autovectores). Los autoval-ores y autovectores de una matriz A ∈ Cn×n tienen las siguientes propiedades

F.6. NORMAS DE VECTORES Y MATRICES 457

P1 La matriz A y la matriz Ak, tienen los mismos autovectores ∀k entero.

P2 Si los autovalores de A son λ1, λ2, . . . , λn, entonces los autovalores de Ak

son λk1 , λk2 , . . . , λ

kn.

P3 Si A es hermitiana, es decir, A = AH ∈ Cn×n, entonces todos sus auto-valores son reales.

P4 Si A es hermitiana, entonces sus n autovectores son linealmente indepen-dientes. Esto tambien implica que, en este caso, A es diagonalizable.

P5 Si A es hermitiana entonces sus autovectores v1, v2, . . . , vn son ortogonalesentre sı.

Lema F.13 (Descomposicion espectral). Si A es hermitiana con autoval-ores λ1, λ2, . . . , λn y autovectores asociados v1,v2, . . . ,vn, con ||vi|| = 1 parai = 1, 2, . . . , n, entonces

A =

n∑

i=1

λi vi · vHi (F.92)

Las demostraciones de los lemas precedentes son dejadas como ejerciciospara el lector.

F.6. Normas de vectores y matrices

Norma de vectores

El concepto de norma, y sus propiedades, ya fue definido en el apendice . . . ,en el contexto de espacios vectoriales (Definicion B.6 pag 322).

En particular la norma ahi empleada es la que queda inducida por el productointerno entre vectores. Sin embargo, para vectores existen otras normas quepueden definirse, que tambien satisfacen las propiedades en la Definicion B.6:

1. La norma euclideana (o norma l2) en Cn, definida como:

‖v‖2 = (|v1|2 + . . .+ |vn|2)1/2 (F.93)

Esta es la norma mas comun, pues representa la distancia usual dos puntosen Cn. Note que tambien se deriva del producto punto usual (F.19) en Cn,es decir, ‖v‖2

2 = 〈v,v〉 = v∗v

2. La norma suma (o norma l1) en Cn, definida como:

‖v‖1 = |v1| + . . .+ |vn| (F.94)

3. La norma max (o norma l∞) en Cn, definida como:

‖v‖∞ = max|v1|, . . . , |vn| (F.95)


desigualdad!Cauchy--Schwarz

norma-$1$

Frobenius

norma-$2$

matriz!norma-$2$

matriz!norma Frobenius

norma-$\infty$

matriz!norma-$\infty$

4. La norma p en Cn, con p ≥ 1 definida como:

‖v‖p = (|v1|p + . . .+ |vn|p)1/p (F.96)

Se deja al lector (como buen ejercicio) representar todos los vectores queestan a distancia 1 del origen, en cada una de estas normas, por ejemplo, en Co R2.

Norma de matrices

Para definir la norma de una matriz, o equivalentemente, la distancia entredos matrices, una primera forma seria considerar simplemente el isomorfismoentre espacio Mn×m(K) y el espacio vectorial Knm. Sin embargo, al considerarsimplemente la norma en un espacio vectorial de mayores dimensiones, no esposible establecer relaciones con propiedades caracterısticas de las matrices,como son el producto matricial, el determinante y el espectro, entre otras. Poresto, tenemos la siguiente definicion, mas adecuada:

Definicion F.19. Una norma matricial es una funcion que va de M(K) → Rtalque, para A,B de dimensiones adecuadas, satisface:

1. ‖A‖ ≥ 0, y ‖A‖ = 0 si y solo si A = 0

2. ‖αA‖ = |α|‖A‖ para todo escalar α ∈ K

3. ‖A + B‖ ≤ ‖A‖ + ‖B‖ , es decir, la desigualdad triangular usual.

4. ‖AB‖ ≤ ‖A‖‖B‖ , que se denomina desigualdad de Cauchy–Schwartz

Las normas matriciales mas usuales son:

1. La norma suma (o norma-1) definida para A = aij ∈ Cn×m como:

‖A‖1 =

n∑

i=1

m∑

j=1

|aij | (F.97)

2. La norma euclideana, norma Frobenius o norma-2, definida para A =aij ∈ Kn×m como:

‖A‖2 =

n∑

i=1

m∑

j=1

|aij |2

1/2

=√

tr(AHA) (F.98)

3. La norma max (o norma-∞) en Kn×m, definida como:

‖A‖∞ = maxi,j

aij (F.99)

F.6. NORMAS DE VECTORES Y MATRICES 459

norma-p

matriz!norma-p

norma!inducida

matriz!norma inducida

norma espectral

norma!spectral

matriz!norma spectral

numero de condicionamiento

matriz, condicion

4. La norma-p en Kn×m, con p ≥ 1 definida como:

‖A‖p =

n∑

i=1

m∑

j=1

|aij |p

1/p

(F.100)

Ademas de las anteriores, la forma mas natural de definir una norma matri-cial es inducirla a traves de una norma vectorial de la siguiente forma:

Definicion F.20. Dada una matriz A ∈ Kn×m y una norma vectorial ‖ · ‖,definimos la norma matricial inducida como:

‖A‖ = max‖v‖=1

‖Av‖ (F.101)

La norma inducida puede definirse tambien de una serie de formas equiva-lentes:

‖A‖ = max‖v‖=1

‖Av‖ = max‖v‖≤1

‖Av‖ = max‖v‖6=0

‖Av‖‖v‖ (F.102)

Varias de las normas antes definidas, pueden expresarse en terminos de lanorma inducida, eligiendo la norma vectorial adecuada. Sin embargo, existe unaserie de normas matriciales independientes de esta definicion. Entre ellas, unade las mas importantes es:

Definicion F.21. Se define la norma espectral de una matriz A ∈ Kn×m

como:

‖A‖2 = max√λ : λ es un autovalor de A∗A (F.103)

Finalmente, y como aplicacion de la definicion de norma entre matrices, seconsidera la relacion entre normas de una matriz y el calculo de su inverso.Este calculo puede ser muy sensible a errores numericos, en especial cuando unamatriz esta cerca de ser singular. De esta forma se define:

Definicion F.22. Dada una matriz A, se define el numero de condicionamien-to, o numero de condicion, para la inversion con respecto a la norma matricial‖ · ‖ como:

κ(A) =

‖A‖ ‖A−1‖ si A es no singular

∞ si A es singular(F.104)

Note que κ(A) = ‖A‖ ‖A−1‖ ≥ ‖AA−1‖ ≥ ‖I‖ ≥ 1 para toda matriz A.

De esta forma, cuando κ(A) es grande, la matriz se dice mal condiciona-da. Si κ(A) es cercano a 1, la matriz se dice bien condicionada, y si κ(A) =1, entonces la matriz A se dice perfectamente condicionada.


matriz!unitaria

teorema de SchurCuando una matriz es mal condicionada, el calculo del inverso puede tener

errores muy grandes, y es aconsejable recurrir a metodos de inversion numeri-camente robustos.

Un caso especial de numero de condicion de una matriz real es cuando seusa la norma spectral en (F.104). En ese caso

κ(A) =|λmax||λmin|

(F.105)

F.7. Tipos especiales de matrices

Matrices unitarias

Definicion F.23. Una matriz U ∈ Cn×n se dice unitaria, si y solo si UHU =In, es decir, si su inversa es igual a su matriz hermitiana o conjugada traspuesta.

En particular, si la matriz es real, es decir, U ∈ Rn×n, se dice que U es realortogonal.

Es mas, si dos matrices son similares a traves de una matriz de transforma-cion unitaria, es decir:

UHAU = P (F.106)

las matrices A y P se denominan unitaria equivalentes, o (real) ortogonalequivalentes, si U es real.

Este tipo particular de matrices poseen interesantes propiedades, entre ellas:

los vectores columna de U forman un conjunto ortonormal;

los vectores fila de U forman un conjunto ortonormal;

la transformacion w = U·v preserva longitudes, es decir, wHw = vHv.Por esto se dice que A es una isometrıa euclideana

Si bien toda matriz con autovalores no repetidos es similar a una matrizdiagonal, no siempre la matriz de transformacion es unitaria. Sin embargo, elsiguiente teorema nos dice que toda matriz es unitaria equivalente a una matriztriangular superior:

Teorema F.1. Teorema de Schur de triangularizacion unitaria.Dada una matriz A ∈ Cn×n con autovalores λ1, . . . , λn, existe una matriz uni-taria U, tal que la matriz:

UHAU = T = tij (F.107)

es triangular superior, con elementos sobre la diagonal tii = λi, i = 1, . . . , n.

F.7. TIPOS ESPECIALES DE MATRICES 461

Cayley-Hamilton

teorema de Cayley-Hamilton

matriz!normal

La demostracion de este teorema es por construccion, pero consideramosque va mas alla del objetivo de este apendice. Sin embargo, la importancia (yutilidad) fundamental del resultado anterior es que toda matriz A puede trans-formarse, a traves de una matriz unitaria U, a una matriz T cuyos autovaloresse encuentran sobre la diagonal. Por ello, este resultado se aplica en una seriede algoritmos, por ejemplo, en Matlab .

Ademas, el Teorema de Schur sirve de base para una serie de otros resultados,entre ellos el siguiente teorema:

Teorema F.2. Teorema de Cayley–HamiltonSea pA(λ) el polinomio caracteristico de una matriz A ∈ Mn×n definido en(F.52). Entonces:

pA(A) = 0 (F.108)

es decir, toda matriz satisface su propia ecuacion caracteristica.

Matrices normales

Definicion F.24. Una matriz A ∈ Kn×n se dice normal, si y solo si AHA =AAH , es decir, A conmuta con su matriz hermitiana o compleja conjugada.

Con ayuda del Teorema de Schur, puede probarse que una matriz A esnormal si y solo si es unitaria diagonalizable, es decir, si existe una matrizunitaria U talque UHAU es diagonal.

Recuerde ademas, del Lema F.12 que toda matriz hermitiana (simetrica, enel caso de matrices reales) es normal y, por tanto unitaria diagonalizable, esdecir:

A = AH ⇒ A = UHDU (F.109)

en que UHU = I y D es diagonal y contiene los autovalores de A.

Matrices positivas

Una clase de matrices hermitianas (real simetricas) que aparece en multiplesaplicaciones son aquellas que poseen (o no) la propiedad de ser positivas.

Consideremos, por ejemplo, la expansion en serie de Taylor de una funcionen dos variables (apendice A, p.317) en torno a un punto (xo, yo):


hessiano

matriz!positiva definida

f(x, y)∣∣(xo,yo)

= f(xo, yo) + ∇f∣∣(xo,yo)

∆x

∆y

+1

2

[

∆x ∆y

]

H(f)∣∣(xo,yo)

∆x

∆y

+ . . . (F.110)

donde ∆x = x − xo, ∆y = y − yo, ∇f es el gradiente de f(x, y), y H(f) es elhessiano o matriz de las segundas derivadas de la funcion f(x, y):

H(f) =

∂2f∂x2

∂2f∂x∂y

∂2f∂y∂x

∂2f∂y2

(F.111)

Del Calculo Diferencial, sabemos que f(x, y) tiene un mınimo y es convexaen una vecindad del punto (xo, yo) si se cumplen dos condiciones en dicho punto:

∇f = 0 , es decir, el gradiente es cero, en cuyo caso se dice que (xo, yo) esun punto crıtico; y

vTH(f)v > 0 , es decir, el termino cuadratico en (F.110) es positivo, paratodo vector v = [∆x,∆y]T

Este tipo de problemas dan pie a la siguiente definicion:

Definicion F.25. Matriz positiva definida

Una matriz hermitiana A de dimension n se dice definida positiva sivHAv > 0 para todo vector v ∈ Cn, ||v|| 6= 0.

Una matriz hermitiana A de dimension n se dice semidefinida positivasi vHAv ≥ 0 para todo vector v ∈ Cn

Analogamente, una matriz hermitiana A de dimension n se dice (se-mi)definida negativa si la matriz −A es (semi)definida negativa (re-spectivamente).

Una matriz hermitiana que no cae en ninguna de las categorias anterioresse denomina indefinida.

Lema F.14. Una matriz A hermitiana es definida positiva, si y solo si todossus autovalores son reales y positivos, y es positiva semidefinida positiva si todossus autovalores son no negativos


matriz!diagonal dominante

matriz!raız deDemostracion

Considere el Lema F.13, entonces

A =n∑

i=1

λi vi · vHi (F.112)

donde los autovectores tienen largo unitario (en norma-2). Entonces al mul-tiplicar (F.112), por la izquierda, por vH` , y, por la derecha, por v` se tieneque

vH` Av` = λ` (F.113)

Por otro lado, dado que una matriz hermitiana tienen un conjunto ortonor-mal de autovectores, entonces, todo vector v ∈ Cn×n, puede expresarse como

v =n∑

j=1

αj vj (F.114)

para un conjunto no vacıo de valores α1, α2, . . . αn.Ası

vHAv =

n∑

j=1

α·j v

Hj

n∑

i=1

λi vi · vHin∑

j=1

αj vj (F.115)

Finalmente, aplicando (F.113), se llega a

vHAv =

n∑

`=1

|α`|2λ` (F.116)

Lo cual lleva al resultado deseado (para definida positiva) al considerar quevHAv > 0 si y solo si λ` > 0 para ` = 1, 2, . . . , n. Un razonamiento similarpermite alcanzar el resultado para positiva semidefinida.

222

El lema precedente se aplica, y demuestra, mutatis mutandis, para el casode matrices negativa definidas y negativa semi-definidas.

Otra forma de reconocer una matriz definida positiva se basa en el conceptode dominancia diagonal. Esto es: una matriz se dice estrictamente diagonaldominante si cada elemento sobre la diagonal principal es mayor que la sumade los valores absolutos de los demas elementos en la respectiva fila. De estaforma, tenemos:

Lema F.15. Si una matriz hermitiana A tiene todos sus elementos sobre ladiagonal principal positivos y es estricamente diagonal dominante, entonces esdefinida positiva.

Finalmente, y de forma analoga a la raız cuadrada de numeros positivos, sedefine la raız cuadrada de una matriz definida positiva:


matriz!raız

matriz!exponencial

matriz!nilpotente

matriz!idempotente

matriz!diagonal por bloques

matriz!triangular por bloques

matriz!permutaci\’on

Definicion F.26. Una matriz hermitiana A es positiva definida si y solo siexiste una matriz no singular B, tal que A = BHB. Dicha matriz B se definecomo la raız cuadrada de A y se denota por B = A1/2. Se debe notar quesi B es raız cuadrada de A, entonces tambien lo es UB, donde U es cualquiermatriz unitaria.

Otras matrices

Definicion F.27. Dada una matriz A ∈ Kn×n, se defina la matriz exponen-cial de A, usando la expansion en serie de Taylor usual, es decir:

eA = I + A +1

2!A2 + . . . =

∞∑

n=0

1

n!An (F.117)

Definicion F.28. Una matriz A ∈ Kn×n se dice nilpotente, si y solo si existeun entero positivo, q, tal que:

Aq = 0 (F.118)

Definicion F.29. Una matriz A ∈ Kn×n se dice idempotente, si y solo si :

A2 = A (F.119)

Definicion F.30. Una matriz A ∈ Kn×n se dice diagonal por bloques, si ysolo si sus unicos elementos distintos de cero pueden ser agrupados en subma-trices Ai ∈ Kni×ni sobre su diagonal, es decir:

A =

A1 0 . . . 00 A2 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . Ak

(F.120)

en que∑ki=1 ni = n

De manera analoga puede extenderse el concepto de matriz triangular (tantosuperior como inferior), a matrices triangulares por bloques.

Definicion F.31. Una matriz P ∈ Kn×n se denomina matriz de permutacionsi uno y solo uno de los elementos sobre cada fila y columna es igual a 1, y elresto son 0.

Ejemplo F.3. Considere la matriz de permutacion:

P =

0 1 01 0 00 0 1

(F.121)

La denominacion resulta natural pues multiplicar cualquier vector por esta ma-triz equivale a permutar sus elementos, por ejemplo:


matriz!circulante

matriz!Toeplitz

P

123

=

213

(F.122)

Definicion F.32. Una matriz A ∈ Kn×n se denomina matriz circulante sicada una de sus filas resulta de la rotacion de la primera, es decir:

a1 a2 . . . anan a1 . . . an−1

......

. . ....

a2 a3 . . . a1

(F.123)

Note que una matriz circulante puede ser escrita en terminos de la matrizde permutacion circular :

C =

0 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0...

.... . .

. . ....

0 . . . 11 0 . . . 0

⇒ A =

n−1∑

k=0

ak+1Ck (F.124)

En que C0 = Cn = I y a1, . . . , ak son los elementos de la primera fila dela matriz A.

Definicion F.33. Una matriz A ∈ Kn×n se denomina matriz Toeplitz sitodos los elementos sobre cada diagonal son iguales, es decir:

A =

a0 a1 a2 . . . ana−1 a0 a1 . . . an−1

.... . .

. . .. . .

...a−n+1 . . . . . . a0 a1

a−n a−n+1 . . . a−1 a0

(F.125)

Note que una matriz Toeplitz puede ser escrita en terminos de las matricesun paso adelante F y un paso atras B:

F =

0 1 . . . 0...

. . .. . .

...

0. . . 1

0 0 . . . 0

y B = FT =

0 . . . 0 0

1. . . 0

.... . .

. . ....

0 . . . 1 0

(F.126)

entonces:

A =n∑

k=1

a−kFk +

n∑

k=1

akBk (F.127)


matriz!Vandermonde

valores singularesDefinicion F.34. Una matriz A ∈ Kn×n se denomina matriz de Vander-monde si es de la forma:

A =

1 x1 x21 . . . xn−1

1

1 x2 x22 . . . xn−1

2...

......

. . ....

1 xn x2n . . . xn−1

n

(F.128)

Puede probarse que el determinante de una matriz de Vandermonde es:

detA =

n∏

i,j=1i>j

(xi − xj) (F.129)

Este tipo de matrices aparece, por ejemplo, en el calculo de la transformadadiscreta de Fourier y en problemas de interpolacion donde se buscan los coefi-cientes de un polinomio p(x) = a0 + a1x + . . . + an−1x

n−1 = y, a partir de npares de datos (x1, y1), . . . , (xn, yn):

p(x1) = a0 + a1x1 + . . .+ an−1xn−11 = y1 (F.130)

p(x2) = a0 + a1x2 + . . .+ an−1xn−12 = y2 (F.131)

... (F.132)

p(xn) = a0 + a1xn + . . .+ an−1xn−1n = yn (F.133)

F.8. Valores singulares

Hemos visto a lo largo de este apendice que existen diferentes formas de car-acterizar una matriz expresandola o relacionandola con otra equivalente bajoalgun criterio. Entre estos se ha definido la igualdad de matrices, la diagonal-izacion (o similaridad), la congruencia y la equivalencia unitaria (teorema deSchur). Sin embargo, un importante desarrollo del analisis matricial de ampliaaplicacion en diferentes areas de la Ingenierıa (y otras disciplinas) es la descom-posicion en valores singulares, que representa una extension de la diagonalizacionmediante autovalores, pero que permite incluir el caso de matrices singulares ymatrices no cuadradas.

Teorema F.3. Descomposicion en valores singularesDada una matriz A ∈ Kn×m de rango k ≤ q = mınn,m, entonces esta puedeexpresarse como:

A = VΣWH (F.134)

en que:

F.8. VALORES SINGULARES 467

las matrices V ∈ Kn×n y W ∈ Kn×n son unitarias, es decir, VHV = Iny WHW = Im;

los elementos de la matriz Σ = σij ∈ Kn×m son:

σij = 0 ∀i 6= j (F.135)

σ11 ≥ σ22 ≥ . . . ≥ σkk > σk+1,k+1 = . . . = σqq = 0 (F.136)

los elementos σii = σi = √λi, en λi son los autovalores de AHA,

que quedan por tanto unicamente determinados;

las columnas de V son autovectores de AAH , y las columnas de W sonautovectores de AHA (ordenados segun los autovalores λi = σ2

i );

Si n ≤ m y AAH no tiene autovalores repetidos, entonces diferentes ma- Chequear si es necesario quesean diferentestrices V en la representacion (F.134) quedan relacionados por una matriz

diagonal D = diagejθ1 , . . . , ejθn con θi ∈ R. Esto es:

A = V1ΣWH1 = V2ΣWH

2 ⇒ V2 = V1D (F.137)

si n < m, entonces la eleccion de W no es unica;

si n = m = k (A, cuadrada y de rango completo), entonces dada V,entonces la matriz W queda unicamente determinada;

si n ≤ m, la unicidad de V y W queda determinada considerando AH ; y

si A es real, entonces V, Σ y W pueden escogerse todas reales.

Los elementos σi sobre la diagonal de la matriz Σ se denominan valoressingulares de la matriz A.

La descomposicion en valores singulares (F.134) para una matriz A arbitrariano siempre es directa de obtener. Sin embargo, en el caso particular de unamatriz no singular (justamente el caso n = m = k en el teorema anterior) ladescomposicion puede obtenerse directamente siguiendo los siguientes pasos:

1. Se forma la matriz hermitiana AAH y se calcula su diagonalizacion uni-taria AAH = UΛUH , a traves del calculo de sus autovalores λi (queson positivos) y su correspondientes autovectores normalizados ui.

2. De esta forma se elige Σ = Λ1/2 y V = U = [u1 . . .un].

3. Finalmente, W = AHVΣ−1

Para el caso de una matriz cuadrada singular A, se puede aplicar el mismoprocedimiento a la matriz Aε = A + εIn, con ε tal que Aε es no singular, yluego obtener el lımite cuando ε→ 0.

Algunas aplicaciones de los valores singulares son:


Permite definir normas de matrices: La norma espectral de una matrizA, definida en (F.103), no es mas que el mayor valor singular, es decir,σ1.

Ademas, el lector puede verificar que la norma Frobenius definida en (F.98)satisface la identidad:

‖A‖2 =

(q∑

i=1

σ2i

)1/2

(F.138)

Entrega el numero de condicionamiento, con respecto a la norma espectral,como κ(A) = ‖A‖ ‖A−1‖ = σ1/σn ≤ 1, que a menudo se utiliza como lamedida estandar para la dificultad involucrada en invertir la matriz A.

Dada una matriz A = VΣWH , podemos definir la inversa generalizada(Moore-Penrose) de A, como A† = WΣ†VH , en que Σ† es la traspuestade Σ en que los valores singulares de A se reemplazan por sus recıprocos.El lector puede verificar que:

1. AA† y A†A son hermitianas,

2. AA†A = A, y

3. A†AA† = A†.

La inversa generalizada coincide naturalmente con la inversa usual en elcaso de matrices no singulares.

Ademas, una de la aplicaciones de A† es en el metodo de mınimos cuadra-dos (ver cap modelos), en que para resolver el sistema Ax = b se busca elvector x tal que ‖Ax − b‖2 resulta minima. El lector puede verificar quex = A†b resuelve este problema.

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469

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Index

angulode desfase, 88, 104

angulo entre vectores, 341angulo

de desfase, 94de disparo, 96

Zetatransformada, 191

ADC, vease conversoradjunta de una matriz, 440alcanzabilidad, 290

test, 291amplificador, 247amplitud, 88, 104ancho de banda, 124aperiodicas

senales, 117armonicas, 94, 107asıntotas, 224autovalores, 40, 270, 444, 444autovectores, 444

generalizados, 447, 448

bilinealtransformacion, 207

bloques, 246Bode, 219, 220

aproximacion asintotica, 227aproximaciones, 221asıntotas, 222diagramas de, 220frecuencias de quiebre, 227

cırculo unitario, 71, 239

cancelacion, 271, 287, 294, 298, 303,307

cuasi-, 181, 215, 297, 305cascada, vease conexioncausalidad, 62Cayley-Hamilton, 457ceros, 158, 180, 214

fase no mınima, 177, 211lentos, 182rapidos, 182

circulo unitario, 244circunferencia unitaria, 205cofactor, 435

desarrollo, 435condiciones iniciales, 1, 62, 157, 192conexion

paralelo, 288realimentacion, 289serie(cascada), 288

congruencia, 446constante de tiempo, 25constantes indeterminadas, 40, 67contrarespuesta, 182, 215control, 290controlabilidad, 180, 214, 290

forma canonica, 298gramiano, 294

tiempo discreto, 295matriz, 291perdida, 292test, 291

controlador, 289forma canonica, 298

conversoranalogo-digital(ADC), 273digital-analogo(DAC), 273

471

472 INDEX

convolucion, 53, 79cuadrante, 234

DAC, vease conversordecada, 220decibel, 220delta de Dirac, 21, 120

en frecuencia, 160en frecuencia, 198

delta de Kronecker, 27descomposicion canonica, 307

alcanzabilidad, 297observabilidad, 306

desfase, 94desigualdad

Cauchy–Schwarz, 454triangular, 207

desigualdad triangular, 341Desplazamiento en el tiempo, 358Desplazamiento en frecuencia, 358detectabilidad, 306determinante, 434diagrama polar, 233

tiempo discreto, 244diagramas

de Bode, 220diagramas de bloques, 246Dirac, 21disco unitario, 71discontinuidad, 241discretizacion, 63, 273distancia, 341dualidad, 305

ecuacion caracterıstica, 40, 66, 262,279

ecuacion de recursion, 61ecuacion diferencial

del sistema, 156ecuacion diferencial del sistema, 35EDS, 156ejes logarıtmicos, 220elimina banda, 135, 149energıa, 143entrada, 1, 158equilibrio estable, 38, 64

equilibrio inestable, 266error, 98

estimacion, 310modelo, 311

errores en las variables, 323, 330escalon

respuesta a, 161, 200escalon unitario, 21, 27espacio

de estado, 253vectorial, 437

espectro, 134, 232, 445continuo, 122de lınea, 94en frecuencia, 94

espectro de lınea, 109espiral, 240estabilidad, 43, 71, 171, 205, 262,

279, 280estabilizabilidad, 298estado, 253

alcanzable, 290controlable, 290del sistema, 254espacio de, 254observable, 299transformacion, 256, 267, 286trayectoria, 254variables de, 254vector de, 254

estado inicial, 3estimacion, 309

error, 310Euler, 26, 31exponencial, 24, 29

creciente, 24, 30de una matriz, 261, 276

exponencial imaginaria, 26

factor de amortiguamiento, 183factores canonicos, 220fase, 88, 104fase mınima, 177, 211feedback

seerealimentacion, 289filtraje, 133

INDEX 473

filtro, 314forma canonica

controlable, 298del controlador, 298observable, 307

Fourier, 87, 117Frobenius, 454fracciones parciales, 128, 146, 156,

178, 193, 412frecuencia, 88, 104

angular, 88, 104de corte, 135, 149fundamental, 107

frecuencia fundamental, 94frecuencia natural

amortiguada , 184dominante, 44, 72no amortiguada, 183

frecuencias de corte, 136frecuencias naturales, 40, 68funcion muestreo, 23funcion

generalizada, 120racional, 157, 159

funcion de transferencia, 125, 145,156, 157, 192, 270, 286

estable, 177tiempo discreto, 196bipropia, 158, 197ceros, 158, 197con retardo, 159estable, 211estrictamente propia, 158, 197,

272grado relativo, 158, 177, 197impropia, 158multiplicidad, 158polos, 158, 197propia, 158, 197

ganancia, 42, 69a continua, 42, 69a modo forzante, 42, 68, 88, 110,

129, 145, 205gradiente, 324, 331grado relativo, 158, 197, 203

gramianocontrolabilidad, 294

tiempo discreto, 295observabilidad, 303

Heaviside, 21, 36operador, 36

hessiano, 458homogeneidad, 5Hurwitz

polinomio, 173, 310

impulsorespuesta a, 158respuesta a, 161, 200

impulso unitario, 21, 27independencia lineal, 93integrador, 7interconexion, 246inversa de una matriz, 439inversa generalizada, 439inversion matricial, 442

Jordanforma de, 448

Jury, 208algoritmo, 208

lımite de estabilidad, 172, 205Laplace, 155lazo de control, 289linealizacion, 9, 258, 274Lyapunov

ecuacion, 295, 304

matrices, 431similares, 446suma, 437

matrizde Fourier, 109adjunta, 286, 440autovalores, 444circulante, 461cofactor, 435cuadrada, 432de controlabilidad, 291de observabilidad, 300

474 INDEX

de transformacion, 268de transicion, 261

discreta, 277definicion, 431determinante, 434diagonal, 434diagonal dominante, 459diagonal por bloques, 460elementos, 431exponencial, 460forma de Jordan, 448hermitiana, 433idempotente, 460identidad, 434inversa, 439inversa generalizada, 439menor, 435nilpotente, 460no singular, 436, 439norma Frobenius, 454norma inducida, 455norma spectral, 455norma-2, 454norma-∞, 454norma-p, 455normal, 457particionada, 440, 442permutacion, 460positiva definida, 458producto, 438raız, 460raız de, 459rango, 436simetrica, 433singular, 436Toeplitz, 461traspuesta, 433traza, 433triangular inferior, 434triangular por bloques, 460triangular superior, 434unitaria, 456Vandermonde, 462

matriz, condicion, 455menor, 435modelo, 4

en espacio de estado, 253error, 311linealizado, 9pequena senal, 14validacion, 319

modelos, 319modo forzado, 42, 68, 265modo forzante, 40, 68, 205

ganancia a, 42, 68modo natural

dominante, 44, 72, 266modos

naturales, 161modos naturales, 40, 68, 89, 104, 212muestra, 318muestreo, 201, 254, 273, 274, 317,

318, 318perıodo de, 275, 282

multiplicidad, 158polos, 172autovalores, 447polos, 197, 205

numero de condicionamiento, 455norma, 341

inducida, 455spectral, 455

norma espectral, 455norma inducida, 341norma-1, 454norma-2, 454norma-∞, 454norma-p, 455Nyquist, 219

observabilidad, 180, 214, 299forma canonica, 307gramiano, 303matriz, 300perdida, 301test, 300

observador, 309de orden completo, 316de orden reducido, 316polinomio, 310

octava, 220

INDEX 475

operador, 3operador adelanto, 62ortogonalidad, 93

paraleloconexion, 288

Parseval, 102, 123, 143pasa altos, 134, 149pasa bajos, 134, 149pasa banda, 135, 149PEM, 323, 330perıodo, 88, 104

de muestreo, 275, 282infinito, 117

plano de fase, 264planta, 289PLC, 273polar

diagrama, 233polinomio caracterıstico, 66, 445polinomio caractrerıstico, 197polos, 158, 178, 211, 270, 412

dominantes, 180, 213lentos, 180, 213observador, 311rapidos, 180, 213

prediccionerror de, 321, 323, 329, 331

productomatrices, 438

promedio movil, 62Propiedades transformada de Fouri-

er, 384Propiedades transformada de Fouri-

er discreta., 386Propiedades transformada de Laplace,

409Propiedades transformada Zeta, 428punto de equilibrio, 11, 13, 258, 266punto de operacion, 9, 14

quantum, 317

radio de convergencia, 419radio espectral, 445rampa unitaria, 23, 28

rango, 436columna, 436

rango completo, 436realimentacion, 289realizacion mınima, 272, 287, 309reconstruccion, 318reconstructibilidad, 299regresion

vector de, 322, 329regresores, 322, 329resonancia, 92, 106, 225, 266, 281respuesta

a δ[t], 78a µ(t), 50a µ[t], 76a escalon, 50, 76a impulso, 52, 78, 158, 200a escalon, 161, 200, 281a impulso, 161estacionaria, 204forzada, 280inversa, 182, 215no forzada, 278

respuesta a δ(t), 52respuesta en frecuencia, 89, 90, 104,

110, 124, 134, 145, 171, 199,219

respuesta estacionaria, 49, 75respuesta homogenea, 39, 65, 262respuesta particular, 39, 67respuesta transitoria, 49, 75respuestas, 2retardo, 159, 204, 227, 258, 284

diagrama de Bode, 227diagrama polar, 239

retentor, 274Routh, 207

algoritmo, 175ruido, 314

salida, 158sampling, vease muestreosenal

de tiempo continuo, 155de tiempo continuo, 257de tiempo discreto, 257

476 INDEX

modelo de estado, 256no acotada, 155

senal causal, 53, 80senal incremental, 14senales, 2, 21

de prueba, 21de tiempo discreto, 27

serieconexion, 288

Serie de Fourier, 93serie de Fourier, 87, 88, 118

cosenoidal, 98senoidal, 95exponencial, 101

serie de Taylor, 335similaridad, 256, 267, 286, 292

transformacion de, 446singular, 436sinuosoide

aperiodica, 30sinusoidal, 88, 103sinusoide, 25

amortiguada, 26amplitud, 26desfase, 26discreta, 30

amortiguada, 31formula de Euler, 26frecuencia, 26frecuencia angular, 26perıodo, 26

sistema, 1estable, 89, 104, 134, 137, 158inestable, 38, 64no lineal, 87alcanzable, 290algebraico, 4, 6controlable, 290detectable, 306dinamico, 2, 155, 254discreto, 273dual, 306estabilizable, 298estable, 150, 155hıbrido, 254inestable, 155

interconexion, 246, 287lineal, 110muestreado, 273, 274observable, 299propiedades, 290tiempo continuo, 257

sistemasdigitales, 317hıbridos, 318

sistemas discretosestabilidad, 206

sistemas lineales, 5solucion homogenea, 39, 65solucion particular, 39, 67, 265SPI, 172subespacio

controlable, 297observable, 306

superposicion, 5

Tabla de transformadas de Fourier,385

Tabla de transformadas de Fourierdiscretas, 387

Tabla transformada Zeta, 428Tabla transformadas de Laplace, 409Tabla transformadas de Laplace in-

versas, 409Taylor, 335teorema de Cayley-Hamilton, 457teorema de Schur, 456transformacion del estado, 256, 267,

286Transformada de Fourier, 120transformada de Fourier, 55, 82, 117,

117, 120, 219, 355discreta, 140discreta inversa, 140inversa, 120discreta, 199

transformada de Fourier discreta, 370transformada de Fourier discreta in-

versa, 370transformada de Fourier inversa, 355Transformada de Laplace

region de convergencia, 395

INDEX 477

transformada de Laplace, 55, 155,219

definicion, 156inversa, 156region de convergencia, 156

transformada rapida de Fourier, 389transformada Zeta, 82, 191, 219

inversa, 191traza, 433

undershoot, 182, 215

valor final, 162, 200valor inicial, 168valores caracterısticos, 40, 444valores propios, 40, 444valores singulares, 462variables

de estado, 253, 254vector

columna, 433de estado, 254fila, 433

vectores caracterısticos, 444velocidad, 44, 72, 262, 279

ZOH, vease retentor

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Analisis de Sistemas Lineales · analisis de sistemas lineales ricardo a. rojas mario e. salgado juan i. yuz1 este es un borrador sujeto a negociacion editorial. su re-produccion