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Analisi Matematica 2: appunti, esercizi su

Calcolo Differenziale e Equazioni Ordinarie

Vladimir Georgiev

Dipartimento di Matematica L.Tonelli,

Universita di Pisa,

Largo Bruno Pontecorvo 5, I-56127, Pisa, Italy.

E-mail: georgiev@dm.unipi.it

Contents

I Prima parte: Calcolo Differenziale 7

1 Topologia su Rn 9

1.1 Norme in Rn, equivalenza delle norme . . . . . . . . . . 9

1.2 Disequazioni di Holder e di Minkowski . . . . . . . . . 10

1.2.1 Esercizi sulle disequazioni in Rn . . . . . . . . . 12

1.2.2 Aperti in Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Spazio topologico 15

2.1 Topologia indotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Parte interna di un insieme in spazio topologico . . . . 16

2.3 Frontiera, insiemi chiusi, chiusura di un insieme . . . . 17

2.4 Punti di chiusura e punti di accumulazione . . . . . . . 18

2.5 Connessi in spazio topologico . . . . . . . . . . . . . . 19

2.6 Connessione per cammini (o per archi) . . . . . . . . . 19

2.7 Funzioni continui in spazio topologico . . . . . . . . . . 19

2.8 Compattezza in spazio topologico. . . . . . . . . . . . . 20

3 Spazio metrico 21

3.1 Definizione dello spazio metrico . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Funzioni contunui in spazi metrici . . . . . . . . . . . . 23

3.4 Prodotto di spazi metrici. Continuita della funzionedella distanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.5 Spazio metrico completo, convergenza delle successioni 24

3.6 Spazio metrico compatto, spazi separabili e compattezza 25

1

2 CONTENTS

3.7 Aperti densi in un spazio metrico completo, teorema diBaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.8 Spazi metrici separabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.9 Teorema di Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.10 Il teorema di Heine - Cantor . . . . . . . . . . . . . . 333.11 Contrazioni e teorema del punto fisso. . . . . . . . . . . 343.12 Esercizi sulle contrazioni e punti fissi . . . . . . . . . . 363.13 Altri esercizi sulle contrazioni . . . . . . . . . . . . . . 38

4 Spazi normati e spazi di Banach 414.1 Spazi normati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 Esempi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.3 Altri esempi: Spazi p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3.1 Disequazioni di Holder e Minkowski in p . . . . 434.4 Compattezza in C[a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.5 Teorema di Stone - Weierstrass . . . . . . . . . . . . . 48

4.5.1 Argomento facoltativo: Teorema di Stone - Weier-starss (forma astratta) . . . . . . . . . . . . . . 52

4.5.2 Argomento facoltativo:Approssimazioni e dise-quazioni di Markov - Bernstein . . . . . . . . . 55

4.6 Argomento facoltativo: Dimensione topologica . . . . . 584.7 Argomento facoltativo: Lemma di Vitali . . . . . . . . 59

5 Spazi di Hilbert 615.1 Definizione di spazi di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 61

5.1.1 Prodotto scalare e prodotto interno . . . . . . . 615.2 Lo spazio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6 Teoremi sulla continuita e compattezza in Rn. 676.1 Teorema di Bolzano - Weierstass . . . . . . . . . . . . . 67

6.1.1 Completezza di Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 686.1.2 Completezza di 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.2 Il teorema di Heine - Borel . . . . . . . . . . . . . . . . 716.3 Equivalenza delle norme in Rn . . . . . . . . . . . . . . 726.4 Compattezza di {x 1}, caso Hilbertiano . . . . . . 736.5 Facoltativo: Compattezza di {x 1} in spazi di Banach 746.6 Idea del teorema di Brouwer (argomento facoltativo) . 76

CONTENTS 3

7 Limiti delle funzioni di piu variabili 83

7.1 Esercizi sui limiti delle funzioni di piu variabili . . . . . 83

8 Continuita delle funzioni di piu variabili 89

8.1 Simboli di Landau in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

8.2 Il simbolo O() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928.3 Il simbolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948.4 Esercizi sui simboli di Landau. . . . . . . . . . . . . . . 95

8.4.1 Richiami sulla continuita, omogeneita . . . . . . 97

8.5 Esercizi sulla omogeneita e continuita . . . . . . . . . . 101

8.6 Altri esercizi sulla continuita delle funzioni di piu variabili104

9 Differenziabilita delle funzioni di piu variabili 115

9.1 Differenziabilita e derivabilita della funzioni di piu variabili115

9.2 Proprieta delle funzioni differenziabili . . . . . . . . . . 120

9.2.1 Funzioni Lischiziani e Holderiani . . . . . . . . 122

9.3 Funzioni omogenei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

9.4 Interpretazione geometrica del differenziale . . . . . . . 128

9.5 Teorema di Lagrange per funzioni vettoriali . . . . . . 131

9.5.1 Il teorema di Lagrange non e vero nel caso dif : R R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

9.5.2 Il teorema di Lagrange per funzioni vettoriali . 132

10 Il Teorema di Schwartz 133

10.1 Il Teorema di Schwartz (caso di due variabili) . . . . . 133

10.2 Disposizioni con ripetizione . . . . . . . . . . . . . . . 134

10.3 Esercizi su disposizioni con ripetizione . . . . . . . . . 136

10.4 Il teorema di Schwartz nel caso di n variabili e derivatedi ordine k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

11 Esrecizi sulla differenziabilita, derivabilita e le derivatedella funzione composta 141

11.1 Esrecizi sulla differenziabilita e derivabilita . . . . . . . 141

11.2 Derivate delle funzioni composte . . . . . . . . . . . . . 149

11.3 Derivate parziali di ordine superiore . . . . . . . . . . . 151

4 CONTENTS

12 Formula di Taylor 15512.1 Generalizzazione del binomio di Newton in Rn . . . . . 155

12.1.1 Binomio di Newton nel campo di quaternioni . . 15712.2 Formula di Taylor per funzioni di piu variabili . . . . . 15812.3 Esempio: Formula di Taylor di ordine 1, funzione di

due variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15912.4 Esempio: Formula di Taylor di ordine 2, funzione di

due variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16012.5 Esempio: Formula di Taylor di ordine 3, funzione di

due variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

13 Massimi e minimi delle funzioni di piu variabili 16113.1 Condizioni necessari e sufficienti . . . . . . . . . . . . . 16113.2 Esercizi su massimi e minimi . . . . . . . . . . . . . . . 16213.3 Molteplicatori di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 16513.4 Teorema di Dini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16613.5 Esercizi su massimi, minimi vincolati . . . . . . . . . . 167

14 Funzioni convessi in Rn 17114.1 Insiemi convessi in spazi vettoriali . . . . . . . . . . . . 17114.2 Funzioni convesse in domini convessi . . . . . . . . . . 17214.3 Esercizi sulle funizioni convesse . . . . . . . . . . . . . 177

15 I teoremi della funzione inversa e della funzione im-plicita 18115.1 La funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18115.2 Argomento facoltativo: Il teorema della funzione implicita188

II Seconda Parte: Equazioni e sistemi di equazionidifferenziali ordinarie 193

16 Richiami sulle Equazioni Ordinarie del corso di AnalisiMatematica 1 19516.1 Equazioni ordinarie lineari . . . . . . . . . . . . . . . . 19616.2 Esercizi sule equaioni ordinarie lineari del primo ordine 19716.3 Equazioni particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

CONTENTS 5

16.4 Unaltro tipo di equazioni omogenee . . . . . . . . . . 19816.5 Equazioni ordinarie di secondo ordine . . . . . . . . . . 199

17 Equazioni ordinarie di ordine n 1. 20117.1 Sistema di equazioni di ordine 1 . . . . . . . . . . . . . 20217.2 Riduzione a sistema di equazioni di ordine 1 . . . . . . 203

17.2.1 Teorema di esistenza e prolungamento della soluzioni20417.3 Principio di confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

17.3.1 Applicazione del principio del confronto, lemmadi Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

17.3.2 Altri appllicazioni del principio del confronto . . 20817.4 Sistemi lineari omogenei a coefficienti costanti . . . . . 20917.5 Esercizi sui sistemi di equazioni differenziali ordinarie . 21017.6 Sistemi lineari non omogenei a coefficienti costanti . . 214

18 Teorema di esistenza e unicita per un problema di Cauchy21518.1 Dimostrazione del Teorema di Cauchy . . . . . . . . . 21618.2 Varianti del lemma di Gronwall e unicita della soluzione.

Esercizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21918.3 Dipendenza continua dei dati iniziali . . . . . . . . . . 22218.4 Principio di prolungamento. . . . . . . . . . . . . . . . 22718.5 Risoluzione globale di un problema di Cauchy . . . . . 23218.6 Esercizi sul prolungamento della soluzioni . . . . . . . 23318.7 Esercizi sui sistema di biomatematica. . . . . . . . . . 24018.8 Teorema di estistenza di Peano . . . . . . . . . . . . . 24318.9 Facoltativo: varie dimostrazioni del teorema di Peano . 245

19 Equazioni e sistemi lineari 25119.1 Equazione lineare omogenea a coeficienti costanti . . . 25119.2 Sistemi di ordine uno e teorema di Liouville . . . . . . 25219.3 Il metodo delle variazioni delle costanti per equazioni di

ordine n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25719.4 Wronskiano per equazioni di ordine n . . . . . . . . . . 25819.5 Il metodo delle variazioni delle costanti per equazioni di

ordine n . . . . . . . . .