ANALISI DEI SISTEMI IN RETROAZIONE E FUNZIONI DI ...lbiagiotti/MaterialeDidattico0910/CA-03-Funz... · spettrali del segnale di riferimento e del disturbo sull'uscita sono di itd

SISTEMI DI CONTROLLOIngegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo

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ANALISI DEI SISTEMI IN RETROAZIONE E ANALISI DEI SISTEMI IN RETROAZIONE E FUNZIONI DI SENSITIVITAFUNZIONI DI SENSITIVITAFUNZIONI DI SENSITIVITAFUNZIONI DI SENSITIVITA

Ing. Luigi Biagiottie mail: luigi biagiotti@unimore ite-mail: [email protected]

http://www.dii.unimore.it/~lbiagiotti

Schema di riferimento per il controllo in retroazioneSchema di riferimento per il controllo in retroazione

Come gi visto lo schema a blocchi reale di un sistema di controllo in retroazione pu essere rappresentato come

Disturbo sulluscitaDisturbo

sullattuatoresull attuatore

-

Disturbo di misura

Il segnale di riferimento viene filtrato da una replica della dinamica del sensore per ottenere un riferimento

Sensitivit -- 2Luigi Biagiotti Sistemi di Controllo

p``compatibile'' con la dinamica dell'uscita retroazionata

Dallo schema a blocchi reale a quello idealeDallo schema a blocchi reale a quello ideale

-

-


Dallo schema a blocchi reale a quello idealeDallo schema a blocchi reale a quello idealeDinamica equivalente del regolatore:

Dinamica equivalente dellimpianto:

-p

Disturbo sulluscitaDisturbo di misurae sullattuatore

Disturbo di misura

--


Ingressi e uscite di interesseIngressi e uscite di interesseUscite di interesse:

- Ingressi significativi:-

Nella maggior parte delle applicazioni ingegneristiche le bande spettrali del segnale di riferimento e del disturbo sull'uscita sono di i t d ll d l di t b di idisgiunte da quella del disturbo di misura

Segnali di riferimento e disturbi sull'uscita Disturbi di misura normalmente confinati a frequenze elevate (accoppiamenti con campi


normalmente confinati a basse frequenze frequenze elevate (accoppiamenti con campi elettromagnetici)

Funzioni di sensitivitFunzioni di sensitivit

Le funzioni di sensitivit rappresentano le funzioni di trasferimento tra gli ingressi significativi e le uscite di interesse: Funzione di sensitivit

Funzione di sensitivit complementare

Funzione di sensitivit del controllo


Funzioni di sensitivitFunzioni di sensitivit

Schema di riferimento

dnR(s)

ysp e u+ G(s)

yd

++

+-n

- ++

Matrice delle funzioni di trasferimentoMatrice delle funzioni di trasferimentoMatrice delle funzioni di trasferimento Matrice delle funzioni di trasferimento tra le diverse tra le diverse uscite di interesse di interesse

e glie gli ingressie gli e gli ingressi


Funzioni di sensitivtFunzioni di sensitivt

Le funzioni S(s) e F(s) dipendono congiuntamente da R(s) e G(s)(funzione di anello) mentre nella funzione di sensitivit del controllo Q(s) la fdt del regolatore R(s) entra singolarmenteQ(s) la fdt del regolatore R(s) entra singolarmente

Il denominatore (e in particolare i poli) di tutte le funzioni di sensitivit lo stesso. La stabilit del sistema in retroazione indipendente dal

ti l iparticolare ingresso Strutturalmente si ha che S(s)+F(s)=1. In pratica questo significa che

non possibile imporre, attraverso il progetto del regolatore,non possibile imporre, attraverso il progetto del regolatore, specifiche arbitrarie.

Esempio 1. Cancellazione del disturbo d sull'uscita y S(s) = 0

C ll i d l di b ll' iNo!

Cancellazione del disturbo n sull'uscita y F(s) = 0 Esempio 2.

Inseguimento del riferimento y con y F(s) = 1 Inseguimento del riferimento ysp con y F(s) = 1

Cancellazione del disturbo sull'uscita F( ) 0No!


Cancellazione del disturbo n sull'uscita y F(s) = 0

Studio del sistema in retroazioneStudio del sistema in retroazione

Obiettivo: dedurre conclusioni sulle propriet statiche e dinamiche del sistema in retroazione dallo studio della funzione ad anello aperto L( ) R( )G( )L(s)=R(s)G(s)

Studio delle funzioni di sensitivit in relazione a L(s)Studio delle funzioni di sensitivit in relazione a L(s)

Metodo: Individuare propriet che la L(s) deve avere in modo che le funzioni di sensitivit del sistema chiuso in retroazione abbiano certe caratteristiche (sintesi del regolatore)

Approccio simile alluso dei criteri di Nyquist e Bode per lo t di d ll t bilit d i i t i hi i i t istudio della stabilit dei sistemi chiusi in retroazione


Stabilit e sistemi in retroazioneStabilit e sistemi in retroazione Obiettivo: dedurre conclusioni sulla stabilit robusta del sistema in

retroazione dallo studio nel domino della frequenza della funzione ad anello apertop

Criterio di Bode(caso particolare del criterio di Nyquist)

Importanza del risultato:1. Dalla lettura di un solo punto del diagramma di Bode di L(s) si

deduce la stabilit o meno del sistema chiuso in retroazione F(s)deduce la stabilit o meno del sistema chiuso in retroazione F(s).

2. Possibilit di ottenere misure sulla robustezza della stabilit del sistema in retro a fronte di incertezze sul diagramma dei moduli e delle fasi di L(s).


Margini di stabilitMargini di stabilit

Margine di ampiezzaMargine di ampiezza

0dBMMa

Margine di fase0

-90

Mf-180


Stabilit: Criterio di BodeStabilit: Criterio di Bode

Ipotesi L(s) non ha poli a parte reale positivaL(s) non ha poli a parte reale positiva

il criterio vale solo per sistemi stabili Il diagramma di Bode del modulo di L(j) attraversa Il diagramma di Bode del modulo di L(j) attraversa

una sola volta lasse a 0dB L( ) h d t ti 0 (L(0) 0) L(s) ha guadagno statico > 0 (L(0)>0)

Tesi condizione necessaria e sufficiente per l'asintotica

stabilit del sistema in retroazione che il Margine di Fase di L(s) sia > 0


Stabilit e Diagrammi di BodeStabilit e Diagrammi di Bode Margine di fase e stabilit

margine di fasemargine di fase propriet del sistema in catena aperta

lo smorzamento della risposta del sistema chiuso in retroazione unitaria dipende dal margine di faseunitaria dipende dal margine di fase

se esiste almeno una frequenza se esiste almeno una frequenza 00 alla qualealla quale la fase -180 la fase -180 il guadagno maggiore di uno

il sistema chiuso in retroazione unitaria il sistema chiuso in retroazione unitaria instabile.

yG(s)R(s)

e u yysp

-


= -180

Stabilit robustaStabilit robusta

Margine di ampiezza

0dB

Margine di ampiezzaMisura di robustezza della stabiliti etto d i e te e l d o Mrispetto ad incertezze sul guadagno

di anello.Rappresenta la massima variazione

MA

0

ppdel guadagno di anello che non pregiudica la stabilit

-90Margine di faseMi diMi di b t d ll t bilit

-180

Misura di Misura di robustezza della stabilitrispetto ad incertezze sulla fase della funzione d'anello.

MF

Rappresenta la massima variazioneRappresenta la massima variazionedi fase nell'anello che non di fase nell'anello che non

i di l t biliti di l t bilit vanno considerati entrambivanno considerati entrambi


pregiudica la stabilitpregiudica la stabilit vanno considerati entrambivanno considerati entrambi

Relazioni tra rappresentazioni diverseRelazioni tra rappresentazioni diverse

Caratterizzazione frequenziale della risposta di sistemi in retroazione

margine di fasemargine di fase guadagno bassa frequenza guadagno bassa frequenza gg

basso adeguato

g g qg g q

bassoadeguato

1

alta banda passantebanda passantebassa

alte frequenzealte frequenze basse frequenzebasse frequenze t

alta pp


qq qq

Funzione di sensitivit complementareFunzione di sensitivit complementare

Obiettivi contrastanti

Dinamica tra disturbo di misura ed errore di inseguimento/uscita

F(s) idealmente uguale a 0 per compensare in modo esatto ilg / compensare in modo esatto il disturbo di misura

Dinamica tra riferimento e uscita F(s) idealmente uguale a 1 per avere replica esatta del segnale

f


di riferimento sulluscita

Funzione di sensitivit complementare Funzione di sensitivit complementare analisi poli/zerianalisi poli/zeri

Gli zeri di F(s) coincidono con gli zeri di L(s)Gli zeri di F(s) coincidono con gli zeri di L(s) I poli di F(s) dipendono in maniera complessa dai poli e dagli zeri di

L(s) (vedi luogo delle radici)( ) ( g )

Non si possono assegnare arbitrariamente gli zeri di p g gF(s) attraverso il progetto del regolatore. Infatti gli zeri della funzione di trasferimento tra riferimento e

it l' i di lli d l i t (fi ti)uscita sono l'unione di quelli del sistema (fissati) e quelli del regolatore (assegnabili)


Funzione di sensitivit complementare Funzione di sensitivit complementare analisi in frequenzaanalisi in frequenza

Si assumer che la funzione di risposta armonica di anello L(j) abbiaSi assumer che la funzione di risposta armonica di anello L(j) abbia le caratteristiche di un passa basso: |L(j)| >> 1 a basse frequenze| (j )| q |L(j)|


Landamento approssimato di F(j) mette in evidenza chepp (j ) Il sistema in retroazione

approssima un filtro passa basso a guadagno unitario il suo comportamento si mantiene anche se il sistema in catena

aperta cambia le sue caratteristiche

possiede quindi poli dominanti nell'intorno di possiede quindi poli dominanti nell'intorno di c il numero dipende dalla pendenza della L(j) in = c

se la pendenza -1 avremo un solo polo dominante reale se la pendenza -1 avremo un solo polo dominante reale se la pendenza -2 avremo una coppia di poli dominanti

In questultimo caso lo smorzamento dipende dal margine di fase


quest u t o caso o s o a e to d pe de da a g e d ase


La relazione (approssimata) tra il margine di fase di L(j ) e lo smorzamento dei poli dominanti di F(j) pu essere ricavata con

li i i f tt d il f tt hsemplici passaggi sfruttando il fatto che

Dallipotesi che F(j) abbia una coppia di poli c.c. con pulsazione t l ffi i t di t hnaturale n=c e coefficiente di smorzamento segue che



Smorzamento del sistema in retroazione e margine di fase

Regola empirica:Se il margine di fase (sistema in catena aperta) < di 75 il

L' li i d ll f i di iti it l t i t di

sistema in retroazione avr poli complessi coniugati

L'analisi della funzione di sensitivit complementare ci consente di mettere in relazione propriet della funzione di trasferimento di anello (margine di fase e pulsazione di attraversamento) con la pulsazione naturale e lo smorzamento dei poli dominanti del sistema in retroazione

Analisi in catena aperta Propriet del sistema in retroazione

Abbiamo stabilito un importantissimo legame tra


Analisi in catena aperta Propriet del sistema in retroazione


Esempio:

caratterizzata dai seguenti margini

50Bode Diagram

La funzione di sensitivit complementare risulta:

-50

0

nitu

de (d

B)

complementare risulta:

-150

-100Mag

n

0

caratterizzata da 3 poli con pulsazione naturale e

-90

0

ase

(deg

)

pulsazione naturale e coefficiente di smorzamento

10-3

10-2

10-1

100

101

102

-270

-180Pha


Frequency (rad/sec)


Dallandamento approssimato di F(j) si ricava che Segnali di riferimento ysp (e disturbi n) a frequenze sotto la

pulsazione c (pulsazione di attraversamento di |L(j)| ) vengono fedelmente riprodotti in uscita a regime

Disturbi di misura n (e riferimenti y ) a frequenze sopra la Disturbi di misura n (e riferimenti ysp) a frequenze sopra la pulsazione c vengono fortemente attenuati in uscita

-


Funzione di sensitivit del controllo Funzione di sensitivit del controllo analisi in frequenzaanalisi in frequenza

Esempio

40Bode Diagram

0 8

1Linear Simulation Results

0

20

B)

0 2

0.4

0.6

0.8

-40

-20

Mag

nitu

de (d

B

-0.2

0

0.2

Am

plitu

de100

-80

-60

-0.8

-0.6

-0.4

10-1 100 101 102 103 104-100

Frequency (rad/sec)0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

-1

Time (sec)


Funzione di sensitivit Funzione di sensitivit

La funzione di sensitivit rappresenta:La funzione di sensitivit rappresenta: La dinamica tra set-point e errore di inseguimento La dinamica tra disturbo sulluscita ed errore di inseguimento/uscitag

Obiettivo: tenere S(s) prossima a zero (errore di inseguimento basso)Problema:

Al fine di attenuare il disturbo di misura anche F(s) deve essere piccolaAl fine di attenuare il disturbo di misura anche F(s) deve essere piccola (disaccoppiamento frequenziale tra disturbi di misura e disturbi sulluscita)


Funzione di sensitivit Funzione di sensitivit analisi in frequenzaanalisi in frequenza

Andamento approssimato di |S(j)|Andamento approssimato di |S(j)|

Filtro passa alto con pulsazione di taglio c



L'andamento approssimato di |S(j)| mette in evidenza che

Le componenti del riferimento e del disturbo sull'uscita a frequenze basse (sotto la pulsazione di attraversamento difrequenze basse (sotto la pulsazione di attraversamento c di L(j)) vengono attenuate sull'errore di una fattore pari a 1/|L(j)| (Adb = - |L(j)|db)

Le frequenze superiori a c non vengono invece alterate



Un segnale di riferimento conUn segnale di riferimento con una componente frequenziale viene inseguito con una precisione pari all'inverso del guadagno della funzione di risposta armonica dirisposta armonica dianello alla frequenza

-



Un disturbo sulluscita con unaUn disturbo sull uscita con una componente frequenziale viene attenuato in uscita di un ffattore pari all'inverso del guadagno della funzione di risposta armonica di anello allarisposta armonica di anello alla frequenza

-



Esempio

40Bode Diagram

0 8

1Linear Simulation Results

0

20

B) 0 2

0.4

0.6

0.8

60

-40

-20

Mag

nitu

de (d

-0 4

-0.2

0

0.2

Am

plitu

de

-100

-80

-60

-1

-0.8

-0.6

-0.4

10-1

100

101

102

103

104

100

Frequency (rad/sec)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101

Time (sec)



Altri esempi:

20

40Bode Diagram

80

100Bode Diagram

-20

0

(dB) 20

40

60

(dB)

80

-60

-40

Mag

nitu

de

-40

-20

0

Mag

nitu

de

10-3

10-2

10-1

100

101

102

-120

-100

-80

10-2

10-1

100

101

102

-100

-80

-60

10 10 10 10 10 10Frequency (rad/sec)

10 10 10 10 10Frequency (rad/sec)


Funzione di sensitivit e modello internoFunzione di sensitivit e modello interno

Le specifiche statiche sul sistema in retroazione possono essere imposte agendo sul modulo della L(j) a certe frequenze

Nel caso si volesse che un riferimento (disturbo sull'uscita) alla pulsazione venisse esattamente inseguito (compensato) a regime occorrerebbe che (ovvero che ooccorrerebbe che (ovvero che o equivalentemente ). Questo si ha se L(s) presenta una coppia di poli complessi coniugati a smorzamento nullo e pulsazione naturale

Coppia di poli puramente immaginari con

0

-


Modello internoModello interno

Principio del modello interno: Affinch un segnale di riferimento (disturbo sull'uscita) con una componente spettrale alla pulsazione i i it ( t li t ) i f tt t i it sia inseguito (neutralizzato) a regime perfettamente in uscita

necessario e sufficiente che il sistema chiuso in retroazione sia asintoticamente stabileil sistema chiuso in retroazione sia asintoticamente stabile la funzione ad anello aperto L(s) abbia una coppia di poli

complessi coniugati sull'asse immaginario con pulsazione naturale p g g ppari a

Caso particolare:segnali di riferimento e disturbi sull'uscita costanti, i tt i ti d t tt l fcio caratterizzati da una componente spettrale a frequenza zero.

Condizione necessaria e sufficiente affinch un riferimento (disturboll' i ) i i i ( ) i isull'uscita) costante sia inseguito (compensato) esattamente a regime in

uscita che il sistema chiuso in retroazione sia asintoticamente stabile e che la funzione ad anello abbia almeno un polo nell'origineche la funzione ad anello abbia almeno un polo nell origine


Funzione di sensitivit del controlloFunzione di sensitivit del controllo

La funzione di sensitivit del controllo rappresenta la relazione dinamica tra tutti gli ingressi di interesse e la variabile di controllo u(t)

Obiettivo progettuale: poich uno dei requisiti del sistema di controllo ll di t l f di t ll `` i l '' bb i bil quello di tenere lo sforzo di controllo ``piccolo'' sarebbe auspicabile che Q(s) fosse piccola

Seguendo un approccio frequenziale, sar auspicabile avere Q(j)piccola sia a frequenze basse (al fine di avere moderazione a fronte di p q (riferimenti e disturbi sull'uscita) che a frequenze elevate (al fine di avere moderazione del controllo a fronte di disturbi di misura)



Andamento approssimato di |Q(j)|Andamento approssimato di |Q(j)|

Le componenti a frequenze basse, minori della pulsazione di attraversamento c di |L(j)| (frequenza alla quale |R(j)| interseca 1/|G(j)| ), sono filtrate dall'inversa di |G(j)|. Di conseguenza il fattore di attenuazione a frequenze basse non condizionabiledi attenuazione a frequenze basse non condizionabile attraverso il progetto del controllo.

Le componenti a frequenze elevate (maggiori della pulsazione di p q ( gg pattraversamento c di |L(j)|) sono filtrate da |R(j)|. Perci il fattore di attenuazione a frequenze elevate condizionabile attraverso il progetto del regolatore


progetto del regolatore.


Andamento approssimato di |Q(j)|Andamento approssimato di |Q(j)|

Una buona regola da seguire, al fine di moderare lo sforzo di controllo evitare l'uso di regolatori chesforzo di controllo, evitare l uso di regolatori che amplificano a frequenze elevate, ovvero evitare di imporre frequenze di attraversamento c di |L(j)| molto pi alte rispetto a quella del sistema |G(j)|



Esempio

20

40Bode Diagram

20

40Bode Diagram

-40

-20

0

Mag

nitu

de (d

B)

-20

0

Mag

nitu

de (d

B)

-100

-80

-60

-80

-60

-40

M

10-1

100

101

102

103

104

-100

Frequency (rad/sec)10-1 100 101 102 103 104

80

Frequency (rad/sec)

35

40Step Response

10

12Step Response

15

20

25

30

Ampl

itude

4

6

8

mpl

itude

-5

0

5

10

A

-2

0

2

Am


0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-10

Time (sec)0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-4

Time (sec)

SISTEMI DI CONTROLLOIngegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo

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ANALISI DEI SISTEMI IN RETROAZIONE E ANALISI DEI SISTEMI IN RETROAZIONE E FUNZIONI DI SENSITIVITAFUNZIONI DI SENSITIVITAFUNZIONI DI SENSITIVITAFUNZIONI DI SENSITIVITA

FINEFINE

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