Análise de Curto-Circuitos Simétricospaginas.fe.up.pt/~ee06226/images/bibliografia/17.pdf · fases (fase-fase e fase-fase-terra). Curto-Circuitos ... •Nos transformadores existem

RESEE 2009/2010

Análise de Curto-Circuitos Simétricos

Carlos Moreira

Curto-CircuitosConceitos gerais

Um Curto-Circuito (CC) corresponde a uma alteração estrutural abrupta num Sistema Eléctrico de Energia (SEE), caracterizada pelo estabelecimento de um contacto eléctrico fortuito através de um circuito de baixa impedância entre dois pontos a potenciais diferentes.

Ocorrem em: Barramentos das Subestações, PT, quadros eléctricos, geralmente devido à acção de

elementos externos;

Linhas aéreas, devido a sobre-tensões de descargas atmosféricas ou acção de elementos externos (aves, ramos de árvores, etc.), ruptura de condutores, isoladores e apoios;

Cabos subterrâneos, transformadores e máquinas rotativas e aparelhagem de corte, devidos a falhas de isolamento (aquecimento, efeitos mecânicos, envelhecimento, campos eléctricos elevados).

Tem como consequências:

Correntes elevadas (substancialmente superiores ás correntes de carga verificadas em condições normais), que se durarem demasiado tempo provocam o aquecimento dos condutores e a deterioração irreversível do equipamento;

Correntes elevadas, que provocam esforços electrodinâmicos entre fases dos elementos condutores dos equipamentos (barramentos, enrolamentos, etc.);

Variações de tensão, com quedas de tensão muito elevadas em algumas fases e por vezes com elevações de tensão em outras.

Curto-CircuitosConceitos gerais

O cálculo de CC é necessário para efeitos de dimensionamento dos equipamentos da rede: Os condutores, isoladores e cabos, devem suportar o aquecimento causado

pela corrente máxima do CC, durante o tempo de actuação das protecções.

Os suportes, barramentos e enrolamentos, devem suportar os esforços electrodinâmicos para a corrente máxima do CC.

Os disjuntores, devem ter poder de corte para a corrente máxima do CC.

Os relés, são ajustados para correntes de CC calculadas em diversos pontos da rede e para diversos tipos de CC.

Existem vários tipos de CC: CC simétricos, envolvendo as três fases com uma impedância de defeito igual

em todas as fases. Se a impedância for nula designa-se um CC franco.

CC assimétricos, são os CC que envolvem apenas uma fase (fase-terra) ou duas fases (fase-fase e fase-fase-terra).

Curto-CircuitosCorrentes de Curto-circuito: Definições e Características

Define-se Corrente de Curto-Circuito como a corrente que flui através do defeito enquanto este persiste.

Os SEE são projectados de forma a ser possível a limitação dos CC à área mais restrita possível, mediante a utilização de equipamento apropriado que pode ser operado em condições de CC sem sofrer degradação das suas condições físicas.

A forma de onda da corrente de CC depende do valor da onda de tensão no instante em que ocorre o defeito ilustração…

'' '' '' ''arg( )Z Z R j L

c c cZ R j L

''

2 2'' ''

k

UI

R L

Corrente de CC inicial simétrica

'' ''

´́ ''

L Xtg

R R

i(0) Pode desprezar-se

Corrente inicial muito

pequena, por ser Z’’ << Zc

iDC componente contínua da

corrente de CC, tende para

zero ao fim de t=5L’’/R’’ (s)

componente estacionária da

corrente de CC, é uma componente

periódica simétrica

Esfasamento da tensão

relativamente ao instante do CC

Existe um instante mais desfavorável para

ocorrer o CC, em que a corrente i(t) é máxima

Carga


´́

´́'' ''( ) 0 2 ( ) 2 ( )

Rt

Lk ki t i I sen e I sen t


i(t)

u(t)

Situação mais desfavorável:

onda de tensão passa por zero no

momento de ocorrência do cc

(valor máximo da componente

contínua) possível duplicação

da corrente de pico em relação à

corrente de CC inicial simétrica

Situação mais favorável:

onda de tensão passa pelo valor de pico

(max. ou min.) no momento de ocorrência

do cc (componente contínua é nula).

A corrente de CC não apresenta

componente contínua.

i(t)

u(t)


A presença de uma componente DC na corrente de curto-circuito faz com que esta apresente características de assimetria nos instantes que se seguem ao aparecimento do CC.

No exemplo anterior, a impedância foi considerada como invariante no tempo. No entanto, as máquinas sincronas e cargas do tipo motor (sincronoou assíncrono), sendo as principais fontes das correntes de CC, apresentam um comportamento diferenciado no que respeita à sua indutância interna em diferentes momentos do tempo Não se pode assumir uma impedância constante na análise de CC

Definem-se então três períodos relativos à variação no tempo da componente fundamental da corrente de curto-circuito:

Período sub-transitório: período inicial durante o qual a corrente de cc diminui rapidamente de valor;

Período transitório: período seguinte, correspondendo a uma diminuição mais lenta da corrente de cc, até ser atingido o valor permanente desta corrente;

Período permanente: período em que a corrente de curto-circuito apresenta o seu valor estacionário. Obviamente, este período não será atingido, dado que o tempo total de isolamento do defeito é muito inferior.

Para cada um dos três períodos identificados, é decisiva a contribuição dos alternadores (geradores síncronos) e motores, em resultado das variações das respectivas reactâncias:

Período sub-transitório: reactância sub-transitória Xk’’ para Ik’’

Período transitório: reactância transitória Xk’

Período permanente: reactância síncrona Xsk

Sub-transitório

(0,02s a 0,05s)

Transitório

(0,05s a 3s)Permanente


Ik’’ – Corrente de CC inicial simétrica: valor eficaz da corrente de curto-circuito simétrica

no instante em que ocorre o curto-circuito. À parte dos restantes compontes da rede, o seu valor

édeterminado tendo em consideração as reactâncias sub-trânsitórias das máquinas presentes no sistema.

ip – Valor de pico da corrente de CC: valor máximo

instantâneo da corrente de cc (depende do instante do ciclo da onda

de tensão em que ocorre o cc)

idc – Componente contínua da corrente de CC

Ik – Corrente de CC permanente

Sk’’ – Potência de CC inicial simétrica ´́ ''3k n kS U I

Valor eficaz da corrente de cc simétrica que permanece após

o desaparecimento da fase trânsitória do fenómeno

2 2 kI

''2

2kI

(S.I.)


CC próximo do alternador

CC afastado do alternadorA corrente de CC inicial simétrica I’’k é praticamente constante durante o cc. Tal

deve-se ao pequeno peso relativo que as máquinas síncronas têm no valor da

impedância equivalente.

A componente alternada simétrica da corrente de CC vai diminuindo desde a corrente

inicial simétrica de cc até à corrente de cc permanente. Este decrescimento deve-se à

variação no tempo da reactância das máquinas síncronas e sua influência na

variação da impedância vista do local de defeito.


Curto-CircuitosVariação no tempo da Corrente de CC

Para determinar o valor de pico da corrente de cc ip, multiplica-se o valor máximo da corrente da corrente de cc inicial simétrica por um factor empírico associado à máxima percentagem de componente contínua previsível:

Este factor traduz a maior ou menor rapidez de decaimento da componente contínua e é função da razão R/X vista do local de defeito:

''2p ki I

''

''3

1,02 0,98

R

Xe

Curto-Circuitos Simétricos Modelo dos componentes do sistema

Componentes que alimentam o CC: Máquinas síncronas

Máquinas assíncronas

Componentes que limitam os valores das correntes de CC: Transformadores

Linhas e cabos

Os modelos de transformadores, linhas, cabos e cargas são semelhantes aos utilizados nos trânsitos de potência.


As cargas, se passivas, podem ser representadas por impedâncias constantes

As impedâncias das cargas são muito elevadas em comparação com as impedâncias dos restantes componentes, em alguns modelos de CC desprezam-se assumindo erros da ordem de 5% (-5% que o valor com carga). Se desprezar apenas a parte activa das cargas os erros serão inferiores a (-1%)

As cargas reactivas, não passivas (motores de indução), podem contribuir para alimentar o CC no período sub-transitório

S P jQ

* ** * 2

2

P jQS V I VY V V Y Y

V

V

Modelos de cargas

1Z

Y


Modelos de máquina síncrona

~

'' ' ou ou sZ jX jX jX

'' 0 ''

' 0 '

0

=V

=V

=V

i i

i i

i i

E Z I

E Z I

E Z I

• Despreza-se a resistência dos enrolamentos (se não for conhecida)

• Considera-se apenas a frequência fundamental , desprezando-se a freq. dupla

• Usa-se um factor empírico para ter em conta a componente contínua

• Considera-se um regime quase estacionário (admite-se que a corrente simétrica não

decresce em amplitude) em cada período (sub-transitório, transitório e simétrico)

• Para disjuntores rápidos (RNT: 1,5 a 2 ciclos) usa-se a reactância sub-transitória

• Para disjuntores lentos (Distribuição: 4 a 5 ciclos) usa-se a reactância transitória

• Para cálculo de esforços electrodinâmicos usa-se a reactância sub-transitória

p.u.

X'' 0,1 - 0,2

X' 0,2 - 0,4

Xs 1,0 - 1,3


Equivalentes de rede

Alguns comentários:

• Consiste no equivalente de Thévenin que representa a rede para montante

• Caracterizado por uma potência de curto circuito Scc ou corrente de cc Icc

• Scc máximo da rede quando: as cargas são máximas (pontas; Zcarga mínimo), as contribuições de

produção são máximas, tensões iniciais mais elevadas, configurações de rede mais emalhadas

• Scc mínima da rede quando : as cargas são mínimas (vazio; Zcarga máximo), o número de grupos

ligados é menor, tensões iniciais mais baixas, configurações de rede pouco emalhadas

Ik’’

k

k

''

kZ

'' ''3k nk kS V I

''

'' (SI)

3

nkk

k

c VI

Z

''

''

''

''

(pu)

(pu)

k

k

k

k

cI

Z

cZ

S

'' '' (pu)k kS I

Icc_max Icc_min

BT (<1 kV) 1,0 0,95

MT (< 35 kV) 1,1 1,0

AT e MAT 1,1 1,0

Valores iniciais da tensão

a considerar (parâmetro c)

:

,

3

b b nk

bb

nk

Bases

S V V

SI

V

Dividindo

por Sb

Dividindo

por Ib


Linhas, Cabos e transformadores

2

1212_

CjY sh

12_shY

1212

12

1

jXRY

• Usa-se o modelo em PI, tal como nos estudos de trânsitos de potência

• Nas linhas aéreas de MT AT e MAT pode desprezar-se R e Ysh, com erros inferiores a 1%

(obtêm-se +1% que com os modelos completos). Em BT ou em redes com cabos já tem

importância (fundamental se R>>X, que é o caso da BT).

• Usualmente os cabos limitam menos as CC que as linhas, por terem reactância X mais baixa

(mas depende do tipo de montagem dos cabos)

• Nos transformadores existem componentes longitudinais que são uma componente de

reactância de fugas Xf e uma resistência pequena que pode ser desprezada. As componentes

transversais são a resistências de perdas no ferro (desprezável) e reactância de magnetização

que é na maior parte dos transformadores muito elevada.

• Para CC assimétricos é necessário ter em conta a configuração de enrolamentos do

transformador, como veremos mais tarde.

1 2


Modelo de máquina assíncrona

• Funciona geralmente como motor, mas nos instantes iniciais do CC passa a

funcionar como gerador.

• Durante o CC deixa de receber a energia reactiva da rede, que necessita para a

excitação, diminuindo rapidamente o fluxo magnético, contribuindo para o CC

apenas durante o período sub-transitório (2 a 4 ciclos).

• A contribuição de corrente para o CC é praticamente igual à corrente de

arranque como motor

~

''jX

'' 0 '' =Vi iE Z I

Curto-Circuitos SimétricosMetodologia de geral de cálculo

Objectivo:

Cálculo da corrente de CC inicial simétrica no nó de defeito

Cálculo das tensões pós defeito em todos os nós

Cálculo das correntes pós-defeito em todos os ramos

Pressupostos:

A rede é equilibrada e simétrica, antes e após o defeito, as fontes geram sistemas trifásicos equilibrados de f.e.m., e os defeito é também simétrico, pelo que se pode fazer uma análise por fase

Os parâmetros dos componentes são constantes, correspondendo ao período sub-transitório

A simulação de defeito consiste na introdução de uma impedância de defeito Zd entre o nó de CC e a referência do circuito

Assim, a análise de CC resume-se ao estudo em regime permanente e simétrico de circuitos lineares.

Curto-Circuitos SimétricosMetodologia geral cálculo

Exemplo ilustrativo

~50 MVA

10 kV'' 20%X

10%fx

45 j

10 MVAcos 0,8 ind

30 MVAcos 0,8 ind

1 2

50 MVAbS

10 kVbGV

Re 150 kVb deV

Converter para sistema pu

CC trifásico simétrico

franco no barramento 2

2 150 kVV

2 1 . .V p u


~0

0,79/ 36.2ºGI

0,1j1 2

Passo 1 – Cálculo dos valores pré-defeito de tensões e correntes

usando um trânsito de potências

0

1 1,037/ 2,7ºV

0

1 0,19/ 34.2ºCI 0

2 0,60/ 36.9ºCI

0

2 1,000/ 0ºV

0

12 0,60/ 36.9ºI


Passo 2 – Construção do diagrama unifilar da rede

~

0,1j1 2

1 4,32 3,24CZ j 2 1,34 1,00CZ j

'' 0,2jX j

0,1fjX j

GE

20

1

1

1 1

C

C C

VZ

P jQ


Passo 3 – Aplicar o teorema de Thévenin no nó de defeito, para

simular a introdução de um novo ramo no circuito (“o ramo do CC”)

0,1j1 2

1CZ

0dZ

'' 0,2jX j

0,1fjX j

2CZ

~ 0

2 1,000/ 0ºTE V 1. Aplicar uma f.e.m. de Thévenin ET no nó de CC,

correspondente ao valor pré-defeito da tensão nesse ponto

2. Colocar em série com a f.e.m. a impedância de defeito Zd

3. As restantes fontes de tensão são curto-circuitadas, sendo

substituídas pela respectiva impedância interna

1

2

3


0,1j1

1CZ

dZ

''jX

fjX

2CZ

~ 0

2 1,000/ 0ºTE V

Passo 4 – Com base no teorema de Thévenin, resolver o circuito

calculando as variações de tensão e variações de corrente devidas à

introdução do ramo de CC.

1 0,743/179,3ºT

V

1 0,14/142.4ºT

CI

''

22

T

T dV E Z I

2 0,60/143,1ºT

CI

''

2 2,97/ 79,6ºI

2,48/ 269.3ºT

GI

12 2,56/ 88,7ºT

I

0'' 22

eq d

VI

Z Z

A corrente de CC inicial simétrica fica

calculada neste passo, porque a variação

é igual ao valor final (não existia corrente

inicial por não existir o ramo de CC).

''

22

T

eqV Z I


0,1j1

dZ

Passo 5 – Segundo o teorema da sobreposição, o valor das correntes e

tensões finais pode ser obtida pela soma algébrica dos valores pré-defeito

com os valores de variação causada pela f.e.m. ET do ramo do CC.

1 0,298/11ºf

V

3,01/ 78,3ºf

GI

2 0,000/ 0ºf

V

''

2 2,97/ 79,6ºI

1 0,06/ 25,6ºf

CI 12 2,97/ 79,6ºf

I

~

2 0,0/ 0,0ºf

CI

1CZ 2CZ

0f TI I I

0f TV V V


Análise de resultados do exemplo radial

As tensões pós-defeito são muito baixas no ponto de CC, aumentando para nós próximos dos geradores

As correntes pós-defeito são predominantemente indutivas, em atraso cerca de 90º relativamente às tensões (trânsitos de reactiva dos geradores para o defeito)

A corrente das cargas pós-defeito diminui muito, especialmente junto do ponto de CC, pelo que é aceitável desprezar as cargas já que estas pouco significam no cálculo do equivalente te Thévenin.

A corrente nos ramos aumenta muito relativamente ao valor inicial, pelo que é aceitável considerar o sistema inicial em vazio, evitando o cálculo do trânsito de potências inicial.

Curto-Circuitos SimétricosMetodologia sistemática para cálculo computacional

SEE genérico com n nós, sendo k o nó onde se pretende simular a ocorrência de um cc trifásico simétrico

k: nó de defeito


Vectores (dimensão: n) referentes aos valores das tensões nodais: Vector das tensões nodais pré-defeito: obtido mediante a resolução de um problema

de trânsito de potências para as condições de exploração do sistema antes da ocorrência do defeito

Vector das variações das tensões nodais (tensões de Thévenin): calculado por aplicação do Teorema de Thévenin. Para tal considera-se o esquema unifilar da rede, utilizando os modelos dos diversos componentes referentes aos estudos de cc, com todas as fontes de tensão curto-circuitadas e substituidas pelas respectivas impedâncias internas.

Em série com a impedância de defeito Zd ligada entre o nó k e o nó de referência, considera-se uma fonte de tensão com f.e.m

1T

T Tk

Tn

V

V V

V

01

0 0

0

k

n

V

V V

V

Zd

~ ET=V k0

kET=V k

0


Vectores (dimensão: n) referentes aos valores das tensões nodais: Vector das tensões nodais pós-defeito: por aplicação do teorema da sobreposição,

pode calcular-se o vector das tensões nodais pós-defeito

1f

f fk

fn

V

V V

V

0f TV V V


Formulação matricial usando a matriz das impedâncias do diagrama

unifilar da rede de Thévenin: cálculo das tensões de Thévenin (variação

da tensão nos nós)

1 1 1 1

1

1

0

0

T

k k n

T ''k kk knk k

T n nk nnn

V Z Z Z

Z Z ZV I

Z Z ZV

Zd

~ ET=V k0

kkZT ''

kk kkV Z I Na diagonal i:

Impedância equivalente Zeq a montante do nó i

Fora da diagonal ik:

Impedância que relaciona o efeito da corrente

injectada no nó k com a variação da tensão no nó i

''kI

''kI

Zd

k

''kI

TT '' k

kk k kkk ''k

VV Z I Z

I

TT '' i

ik k iki ''k

VV Z I Z

I


0 0 011 1 1 11 1

0 0 0

0 0

0

0

f T ''k kk

f T ''kk kkk k k kk k

Tf nkn n nn

V V V V V Z IZ

ZV V V V ZV I

ZV V VV

0

''k

''nk kn

I

V Z I

Cálculo das tensões pós-defeito

0'' kk

kk d

VI

Z Z

Tensões

pré-defeito

Tensões de Thévenin

(variações das tensões nodais)

Tensões

pós-defeito

Corrente de CC

Inicial simétrica

Só a coluna do

nó de defeito

Zd

k

''kI

f ''kdk

V Z I


Etapa 1: Condições de operação pré-defeito (p.u.)

0iV1) Resolução do trânsito de potências:

Etapa 2: Variações provocadas pelo defeito (p.u.)

Y Z

2.1) Construção do esquema unifilar do equivalente de Thévenin (em p.u.)

2.2) Construção da matriz das impedâncias nodais:

2.3) Cálculo da corrente de defeito: 0''k kkkI V Z Zd

Etapa 3: Condições de operação pós-defeito (p.u.)

0 0f T ''ik ki i i iV V V V Z .I

f ''d kk

V Z .I

2f f f f

sh _ ijij iji j iI V V z V Y /

0

0 0 0

fTi if T i

g g g g g'' ''g g

V VVI I I I I

jx jx

3.1) Cálculo da tensão nos nós:

3.2) Cálculo da corrente nos ramos:

3.3) Cálculo das contribuições de

geradores e equivalentes de rede:

no barramento k Restantes barramentos i


Exemplo

~ ''gX

fTx

12 12 12z r jx

2 2P jQ

1 2

Converter para sistema pu

CC trifásico simétrico

franco no barramento 2

ccS

_12shy2 2P jQ


~

0

RI

Passo 1 – Cálculo dos valores pré-defeito de tensões e correntes

usando um trânsito de potências

0

1V

0

1CI0

2CI

0

2V

0

12I0

21I

0

gI


Construção do diagrama unifilar da rede

~

1 2

''

gjX

fTjX

GE

1 11 2

0

1

C CC

P jQY

V

'' 1,1 1,1R

CC CC

jX j jS Q

2 22 2

0

2

C CC

P jQY

V

12

_12 2sh

j Cy

1212 12

1y

r jx

12

_12 2sh

j Cy

~ 1,1 (p.u.)

Este não é o diagrama equivalente de Thévenin !


1 11 2

0

1

C CC

P jQY

V

Diagrama unifilar equivalente de ThéveninConstrução da matriz [Y] equivalente de Thévenin

''

gjX

fTjX''

RjX

j B j

12 12

1_122'' 2 2

0

1

1 Csh

g fT

Q xy

X X r xV

12

_12 2sh

j Cy

12

_12 2sh

j Cy

12 12

2

2'' 2 2_120

2

1 C

shR

Q xy

X r xV

12 12

2 2

x

r x

12 12

2 2

x

r x

Y G j B

2 2 2 21212 12 12 12

r xy j

r x r jx

2 22 2

0

2

C CC

P jQY

V


Diagrama unifilar equivalente de Thévenin

''

gjX

fTjX''

RjX

G

12 12

1 12

2 2 20

1

CP r

r xV

12

_12 2sh

j Cy

12

_12 2sh

j Cy

12 12

2

2 2 20

1

CP r

r xV

12 12

2 2

r

r x

12 12

2 2

r

r x

Y G j B

Geralmente é possível

desprezar [G]

(erros inferiores a 1%)

1 11 2

0

1

C CC

P jQY

V

2 2 2 21212 12 12 12

r xy j

r x r jx

2 22 2

0

2

C CC

P jQY

V


Pode ser obtida por inversão de [Y], trabalhando com complexos.

Ou mais fácil: invertendo matrizes reais:

Pode ser obtida por construção directa adicionando sistematicamente os nós e

ramos da rede

Inversão da matriz [Y] para obter a matriz [Z]

1

G B

B G

Re Im

Im Re

Z Z

Z Z

Y G j B


0 011 11 1

0 0

0 0

0

0

f ''k kk

f ''''kk kk kk kk k

''f nknk kn nn

V V V Z IZ

ZV V Z IV I

ZV V Z IV

dZ

1

fV 2

fV

''

2I

~

1CZ 2CZ

Tensões pós-defeito

0'' kk

kk d

VI

Z Z

Corrente de CC


1

dZ

1

fV

f

GI

2

fV

''

2I

1

f

CI

12

fI

~

2

f

CI1CZ 2CZ

Correntes

Pós-defeito

f

RI12

fI

1 2 12

12 112 2

f f

sh _f fV V y

I Vz

00 1 1

ffg g ''

g fT

V VI I

jX jX

Cálculo da

corrente

nos ramos:

Cálculo das contribuições do

gerador e rede (é necessário usar

valores iniciais de corrente)

Cálculo das correntes

nas cargas

00 2 2

ff

RR ''R

V VI I

jX

00 011 1

1 11

1 1

f Tf

C CC

C C

V V VI I I

Z Z

2 1 12

21 212 2

f f

sh _f fV V y

I Vz

12 12 12z r jx

Curto-Circuitos SimétricosConstrução da matriz das impedâncias

Construção da matriz das impedâncias a partir da matriz de admitâncias

111 1 1

1

1

k n

k kk kn

n nk nn

Y Y Y

Y Y Y

Y Y Y

_ _ arg _ arg _

2 ''_ 0_ __ _ _ _

1 1

2

sh linha ik c a i c a i

ii linha ikk k eq rede ieq gerador i f transformador i

i

y P jQY y

jX jX ZV

Fora da diagonal (linhas e transformadores):

( )ik ikY y i k

Na diagonal principal:

Linhas e transformadores

ligadas ao nóCargas Grupos geradores Equivalentes

de rede

Invertendo complexas com matrizes reais:

Y G j B

11 1 1

1

1

k n

k kk kn

n nk nn

Z Z Z

Z Z Z

Z Z Z

1Re Z Im Z G B

Im Z Re Z B G


Construção directa da matriz das impedâncias

Em sistemas de grandes dimensões (milhares de nós), o processo de inversão de uma matriz é numericamente ineficiente

Por cada alteração topológica no sistema, é necessário repetir o processo de inversão da matriz de admitâncias

1V

2V

3V

1I

2I

3I

1Z

2Z

3Z

4Z

5Z

1

2

3


Algoritmo de construção directa da matriz Z

Passo 1: considerar apenas os ramos da rede estabelecidos entre qualquer um dos seus nós e o nó de referência (terra)

No exemplo apresentado, têm-se os ramos com Z4 e Z5

1V

2V

3V

1I

2I

3I

1Z

2Z

3Z

4Z

5Z

1

2

3

Para os ramos identificados, podem-se escrever as seguintes equações:

5 1 51 11

44 2 222

Z

V Z I V Z 0 I

V 0 ZV Z I I

Regra: identificados os k ramos do sistema estabelecidos entre qualquer um dos seus nós e o nó de referência, construir matriz diagonal de dimensão (kxk), tendo em cada posição da respectiva diagonal principal a impedância de cada um dos ramos


Passo 2: identificar o ramo da rede que se estabelece entre um dos nós presentes na equação matricial do Passo 1 e outro nó ainda não considerado

A impedância Z2 liga o nó 2 a um novo nó (nó 3)

1V

2V

3V

1I

2I

3I

1Z

2Z

3Z

4Z

5Z

1

2

3

Para esta situação, podem-se escrever as seguintes equações:

2 33 2

4 2 32

5 11

V V Z I

V Z I I

V Z I

O conjunto de equações do Passo 1 completa-se da seguinte forma

5 11 5 11

4 2 3 4 4 22 2

4 2 4 332 33 2

V Z I V Z 0 0 I

V Z I I V 0 Z Z I

V 0 Z Z Z IV V Z I


De uma forma geral, a ligação de um ramo de impedância Zr entre o nó k+1 (nó novo)e o nó j (já existente) conduz à seguinte equação:

Genericamente

Substituindo na equação anterior:

r jj k 1k 1 jV V Z Z I jSEE k+1

Zr

k 1I

j1 1 jj j jk kjV Z I ... Z I ... Z I

j1 1 jj j jk k r jj k 1k 1V Z I ... Z I ... Z I Z Z I

jV

jjZrZ

k 1I

Equivalente de Thévenin no nó j

k 1V


Actualização do valor da tensão no nó i pertencente ao grupo de nós 1…k já existentes

jSEE k+1

Zr

k 1I i

jSEE

k 1I

i

Equivalente

de Norton

O SEE fica então reduzido ao

sistema já existente, onde

aparece uma nova injecção de

corrente no nó k: k 1I

11 1i 1 j 1k 11

i1 ii ij ik ii

j1 ji jj jk j k 1j

k1 ki kj kk kk

Z Z Z ZV I

Z Z Z ZV I

Z Z Z ZV I I

Z Z Z ZV I


Actualização da matriz de impedâncias para incluir o nó k+1

jSEE k+1

Zr

k 1I

1 j 11

old

kj kk

j1 jk r jj k 1k 1

ZV I

Z

ZV I

Z Z Z ZV I


Passo 3: identificar o ramo da rede que se estabelece entre dois nós já incluídos na estrutura topológica da rede (ou seja, já incluídos na matriz de impedâncias)

A impedância Z3 liga o nó 1 ao nó 3: criação de uma malha com corrente de circulação IL

1V

2V

3V

1I

2I

3I

1Z

2Z

3Z

4Z

5Z

1

2

3

IL


i

SEEZr

j

IL

1i 1 j1 11 1

ii iji L ii i

old old

j L jj j

k kk k

Z ZV VI I

Z ZV VI I IZ Z

ZV VI I I

V VI I

L

ji jj

ki kj

A

Lold

IZ

Z Z

V Z I A I

r Li jV V Z I 0


i1 ik ii ij Li

j1 jk ji jj Lj

V Z Z I Z Z I

V Z Z I Z Z I

iV Da equação matricial podem ser derivados os valores da tensões e

A equação da malha definida pela introdução do novo ramo de impedância Zr pode ser reescrita, de forma a poder calcular a corrente de circulação nessa mesma malha:

jV

r Li j

i1 ik ii ij L j1 jk ji jj L r L

i1 j1 ik jk ij ii jj r L

L i1 j1 ik jk

ij ii jj rB

V V Z I 0

Z Z I Z Z I Z Z I Z Z I Z I 0

Z Z Z Z I 2Z Z Z Z I 0

1I Z Z Z Z I

2Z Z Z Z


Modificações sobre a matriz de impedâncias

Lold

old

ij ii jj r

old

ij ii jj r

V Z I A I

1V Z I A B I

2Z Z Z Z

1V Z A B I

2Z Z Z Z

A k 1

B 1 k

A B k k

1i 1 j

ii ij

ji jj

ki kj

Z Z

Z ZA

Z Z

Z Z

i1 j1 ik jkB Z Z Z Z

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