Análise Análise dede Circuitos em Circuitos em

Corrente Corrente AlternadaAlternada  

Tensão  Contínua

Tensão continua ou constante pois o seu valor não se altera com o tempo.

comportamento da tensão nos terminais da bateria ao longo do tempo: A tensão não muda, permanece constante.

Tensão  Alternada

O seu valor  e polaridade  se modificam ao longo do tempo.

Conforme o comportamento da  tensão então temos os diferentes tipos de tensão alternada: senoidal, quadrada, triangular, pulsante, etc.

De todas essas  a senoidal é a que  tem   um maior interesse  pois é a  senoidal a tensão que é gerada nas usinas  e que alimenta as industrias e residências.

Considerando o circuito da figura abaixo, no qual temos duas baterias e uma chave  que ora conecta a bateria B1 ao resistor, ora conecta a bateria B2 ao resistor. Vamos supor que cada bateria fica conectada ao resistor durante 1s. Como seria o gráfico da tensão em função do tempo nos terminais da bateria ?

Tensão SenoidalA grande vantagem da alimentação em AC,

comparativamente à DC onde as grandezas têm uma evolução constante no tempo, verifica-se na eficiência do transporte de energia por esta se poder fazer a muito alta tensão; a tensão alternada produzida numa central é elevada por um transformador que, conseqüentemente diminui, aproximadamente, na mesma proporção a corrente; as perdas são assim menores em alta tensão, do que seriam se a energia fosse transportada ao nível de tensão a que é produzida. Esta foi a principal razão porque os sistemas AC se impuseram face aos sistemas DC.

Tensão SenoidalÉ uma tensão que varia com o tempo de acordo com uma

lei senoidal, portanto nesse caso temos uma  expressão matemática para expressar a tensão (no caso da tensão quadrada não temos). A  expressão matemática é:

v(t)= VM.sen(wt + o)   ou          v()    = VM.sen  

Onde VM (em V) é o valor de pico (valor máximo que a

tensão pode ter), w em (rd/s) é a freqüência angular e 0 (rd ou graus) é o angulo de fase inicial,  é o ângulo num determinado instante t.

Observe que a relação entre ângulo e tempo é dada por : = 0 +w.t

Tensão Senoidal

A freqüência angular relaciona-se com a freqüência, expressa em ciclos por segundo ou hertz (Hz), através de: =2f

A freqüência pode ser expressa em função do período, através de: f= 1/T

Todos estes parâmetros da senóide estão graficamente representados na figura seguinte

Todos estes parâmetros da sinusóide estão Todos estes parâmetros da sinusóide estão graficamente representados na figura seguinte graficamente representados na figura seguinte

Então uma tensão senoidal varia em função do tempo de acordo com uma lei senoidal, mas a mesma tensão pode ser representada em função do ângulo (não esqueça que a função seno tem período de 360 graus ou de 2 rd), sendo a relação entre ângulo e tempo dada por = 0 +w.t

Dadas duas grandezas sinusoidais com igual frequência, descritas Dadas duas grandezas sinusoidais com igual frequência, descritas

pelas expressões:pelas expressões:

designa-se por designa-se por desfasagem desfasagem entre as grandezas, a diferença de fases entre as grandezas, a diferença de fases

iniciais,iniciais, . .

De acordo com o exemplo dado, diz-se que a grandeza x(t) está avançada radianos, relativamente a y(t).

Valor EficazValor Eficaz O conceito de valor eficaz de uma tensão ou corrente O conceito de valor eficaz de uma tensão ou corrente alternada senoidal está diretamente ligado à potência alternada senoidal está diretamente ligado à potência transferida por esse par de grandezas; é através do valor transferida por esse par de grandezas; é através do valor eficaz que se pode comparar a potência associada a eficaz que se pode comparar a potência associada a grandezas AC com potências associadas a grandezas DC. grandezas AC com potências associadas a grandezas DC.

FisicamenteFisicamente , o , o valor eficaz valor eficaz de uma corrente alternada é de uma corrente alternada é o valor da intensidade de uma corrente contínua que o valor da intensidade de uma corrente contínua que produziria, numa resistência, o mesmo efeito calorífico produziria, numa resistência, o mesmo efeito calorífico que a corrente alternada em questão. que a corrente alternada em questão.

MatematicamenteMatematicamente, o valor eficaz,, o valor eficaz, X Xefef, de uma grandeza , de uma grandeza

periódica periódica x(t)x(t) é determinado através de: é determinado através de:

O caso particular de uma grandeza alternada senoidal O caso particular de uma grandeza alternada senoidal

expressa por , que conduz a:expressa por , que conduz a:

Poder-se-á assim escrever: Poder-se-á assim escrever: Graficamente, o valor eficaz está relacionado com a Graficamente, o valor eficaz está relacionado com a área sob a curva que representa a evolução temporal do área sob a curva que representa a evolução temporal do quadrado da grandeza, tal como se representa na figura quadrado da grandeza, tal como se representa na figura seguinte.seguinte.

O valor eficaz de uma grandeza altera-se com a O valor eficaz de uma grandeza altera-se com a amplitude, com perturbações na forma da onda, mas amplitude, com perturbações na forma da onda, mas não é afetado por variação da freqüência, nem da fase não é afetado por variação da freqüência, nem da fase inicial inicial

P. ex. uma tensão senoidal de 155V de pico é aplicada a uma resistência de 100 Ohms. Se ao mesmo resistor for aplicado uma tensão de 110V contínuos, a dissipação de potência será a mesma.

Para a tensão senoidal representada abaixo determine os seus parâmetros: VP=VM= ______V, VPP= _____V, VRMS= ____V, T= ____ms, f= ____Hz, w = ____ rd/s e 0 = ____

Representar as seguintes tensões senoidais

v1(t) = 15.sen(2. .103.t ) ( V ).

v2(t) = 20.sen(2. .103.t + /2 )( V ).

NOTAÇÃO COMPLEXANOTAÇÃO COMPLEXAÉ uma forma de representar grandezas alternadas É uma forma de representar grandezas alternadas senoidais através de vetores que variam no tempo senoidais através de vetores que variam no tempo (vetores girantes). A notação complexa foi introduzida (vetores girantes). A notação complexa foi introduzida por Steinmetz, em 1893, e veio simplificar a análise do por Steinmetz, em 1893, e veio simplificar a análise do regime permanente de circuitos alimentados em AC. regime permanente de circuitos alimentados em AC. Pretende-se determinar qual o vetor representativo da Pretende-se determinar qual o vetor representativo da tensão descrita por tensão descrita por Partindo da função de Euler Partindo da função de Euler onde onde j j presenta a unidade imaginária, pode-se escrever: presenta a unidade imaginária, pode-se escrever:

multiplicando ambos os multiplicando ambos os membros da expressão por Umembros da expressão por UMM, obtém-se: , obtém-se:

que será designado que será designado por por vetor girante vetor girante e representado por: e representado por:

NOTAÇÃO COMPLEXANOTAÇÃO COMPLEXA

Comparando a expressão de Comparando a expressão de com a da evolução com a da evolução temporal de temporal de u(t)u(t), conclui-se que , conclui-se que u(t)u(t) corresponde à corresponde à parte imaginária departe imaginária de . Em termos matemáticos . Em termos matemáticos tem-se: tem-se:

Atendendo a que Atendendo a que o número complexo o número complexo pode ser representado no plano complexo como um pode ser representado no plano complexo como um vetor que, para vetor que, para t=0t=0, vale e que rodará com , vale e que rodará com freqüência angular freqüência angular ao longo do tempo ao longo do tempo (correspondente à multiplicação por )(correspondente à multiplicação por )

NOTAÇÃO COMPLEXANOTAÇÃO COMPLEXARepresentação gráfica de um vetor Representação gráfica de um vetor girantegirante

O vetor designa-se por amplitude complexa de . Graficamente, a tensão descrita por será, em cada instante, a projeção de sobre o eixo dos imaginários.

Diagrama Fasorial

Circuitos Resistivos em CAEm um circuito puramente resistivo alimentado por uma tensão alternada (CA), a tensão e a corrente estão em fase, sendo a relação entre elas dada pela lei de ohm, isto é : V =R.I ou I = V/R, sendo que usamos valores eficazes para I e V. Em termos de diagrama fasorial significa que os fasores representativos da tensão e da corrente estão em fase.

Indutor Chamamos de indutor a um fio enrolado em forma de hélice em cima de um núcleo que pode ser de ar ou de outro material. A figura abaixo mostra o símbolo para indutor com núcleo de ar, de ferro e de ferrite.

Indutor em Corrente ContínuaO que acontece quando no circuito da figura abaixo quando fechamos a chave? A tensão é aplicada no indutor mas a corrente leva um certo tempo para crescer, a explicação é um fenômeno chamado auto indução. Ao abrir a chave, no instante t2, novamente esse fenômeno vai atuar na bobina não deixando a corrente se anular instantaneamente.

Indutor em Corrente Alternada Senoidal

A corrente em um indutor está atrasada em relação à tensão em um circuito CC. O que acontece se alimentarmos um indutor ideal de indutância L com uma tensão alternada senoidal de freqüência f?

A corrente continua atrasada em relação à tensão e agora de um ângulo bem definido, 90º.

Concluímos que um indutor se opõe à passagem de uma corrente alternada (se opõe à variação de uma corrente) e que a corrente está atrasada em relação à tensão.Caso o núcleo fosse de ferro ou ferrite a corrente demoraria mais para aumenta (ou diminuir),  isto porque  a indutância da bobina seria diferente em cada caso. A indutância (L) de um indutor é um parâmetro que dá a medida da capacidade que tem o indutor de armazenar energia no campo magnético, a sua unidade se chama Henry (H).

Quanto maior a indutância (L) mais tempo levará para que a corrente no gráfico atinja o seu valor máximo. O valor da indutância depende do número de espiras e do material usado no núcleo.

Reatância Indutiva

Como vimos um indutor se opõe à variação de uma corrente. A medida desta oposição é dada pela sua reatância indutiva ( XL ),

sendo calculada por:

Com L especificado em Henrys (H), f em hertz  (Hz), XL  em ohms (   ).

Capacitor em corrente alternada senoidal

Quando ligamos um capacitor em um circuito CC, inicialmente a corrente é máxima com tensão nula no capacitor, isto é, existe uma defasagem entre a corrente e a tensão. Se um capacitor ideal (não tem resistência de perdas) for ligado à uma tensão alternada senoidal, a corrente estará 90º adiantada em relação à tensão.

Reatância Capacitiva

 É a medida da oposição oferecida pelo capacitor à passagem da corrente alternada é calculada por:  

com C em Farads (F), f em Hertz (Hz) resultando XC em Ohms (W).

Para calcularmos o módulo da corrente no circuito poderemos usar a lei de Ohm, isto é :

Impedância ComplexaImpedância Complexa

Impedância ComplexaImpedância ComplexaDefine-se impedância complexa, Z a razão entre os vetores girantes da tensão e da corrente:

Explicitando a impedância complexa de cada um dos elementos R, L e C, obtém-se:

Uma impedância complexa expressa-se em Ohm

Impedância ComplexaImpedância ComplexaPode-se representar vetorialmente as impedâncias e as Pode-se representar vetorialmente as impedâncias e as amplitudes complexas de cada um dos elementos. amplitudes complexas de cada um dos elementos.

Note-se que a impedância não é um vetor girante, pois Note-se que a impedância não é um vetor girante, pois não está a representar qualquer grandeza alternada não está a representar qualquer grandeza alternada senoidal. senoidal.

Saliente-se, também, o fato de as impedâncias das Saliente-se, também, o fato de as impedâncias das indutâncias e dos capacitores se alterar com a indutâncias e dos capacitores se alterar com a freqüência de alimentação do circuito, contrariamente ao freqüência de alimentação do circuito, contrariamente ao que acontece com a impedância da resistência que acontece com a impedância da resistência

CIRCUITO RL SÉRIE

Na prática um indutor apresenta uma resistência, e além disso podemos ter resistores em série com o indutor, neste caso a corrente continuará atrasada em relação à tensão mas de um angulo menor do que 90º. A figura mostra o circuito e o diagrama fasorial, com as seguintes expressões:

circuito RL série

Exercício 1: Para o circuito pede-se determinar:

a) Impedância, b) corrente, tensão em R e em L, c) cose d) Formas de onda da tensão total e da corrente

CIRCUITO RC SÉRIE

Relembrando, em um circuito puramente resistivo a tensão e a corrente estão em fase, e num circuito puramente capacitivo a corrente esta 90º adiantada em relação à tensão. Num circuito como o da figura abaixo a corrente continua na frente da tensão mas de um angulo menor do que 90º. Observe o seu diagrama fasorial resultante.

circuito RC série

Define-se a impedância (Z) do circuito como sendo: Z=V/ I

A impedância é a soma dos efeitos da resistência (R=VR/ I) e da reatância capacitiva (XC=VC/ I) na oposição à passagem da corrente.

O diagrama fasorial nos mostra o seguinte:

1-  é o angulo de defasagem entre a tensão total e a corrente consumida pelo circuito (I).

2- A corrente no capacitor continua adiantada em relação à tensão no capacitor (VC).

3- A corrente na resistência (I) está em fase com a tensão na resistência(VR) e defasada de 90º em relação à tensão  no capacitor(VC).

A tensão total do circuito é obtida somando VR com VC vetorialmente. Do diagrama fasorial obtemos as relações básicas deste circuito:

circuito RC série

Se dividirmos por I2 a primeira igualdade obteremos a expressão que calcula a impedância do circuito

O angulo de defasagem, também pode ser calculado a partir do diagrama fasorial sendo dado por:

cos = R / Z    logo = arcos(R/Z)

CIRCUITO RC PARALELO

As mesmas considerações feita para o circuito RC série vale para o RC paralelo, ou seja, em um circuito puramente resistivo a tensão e a corrente estão em fase, e num circuito puramente capacitivo a corrente esta 90º adiantada em relação à tensão.

circuito RC paralelo

Para este circuito valem as expressões

CIRCUITO RL PARALELO

No circuito abaixo  temos o circuito e o diagrama fasorial de um circuito RL paralelo. A corrente total se divide entre o indutor e o resistor e continuam válidas as características do indutor ideal (corrente atrasada de 90º em relação à tensão).

circuito RL paralelo

É importante notar que a fase inicial da tensão do gerador é ARBITRÁRIA.Caso tivéssemos  considerado a fase inicial de V igual a 0º, todo desenho deveria ser  deslocado de 90º no sentido horário.

 Cálculo da Impedância 

Do ponto de vista de análise, não interessa saber qual a fase inicial da tensão da rede. O que importa realmente  é a  defasagem entre a tensão total (tensão da rede) e a corrente total (corrente fornecida pela rede), e o que determinará  essa defasagem será a carga (R e L). Para este circuito valem as seguintes expressões.

Z= R.XL/(R2+XL2)0.5

CIRCUITO RLC SÉRIE - RESSONÂNCIA

Para analisar o circuito abaixo deveremos  lembrar que a tensão total aplicada é a soma vetorial das tensões VC, VR e VL. No diagrama fasorial a tensão na resistência está em fase com a corrente, a tensão na indutância está adiantada de 90º enquanto a tensão no capacitor está atrasada de 90º

circuito rlc série - ressonância

No diagrama fasorial estamos considerando, arbitrariamente, que o circuito é indutivo, e portanto VL > VC, e desta forma a corrente estará atrasada em relação à tensão. Para obter a expressão da tensão total e da impedância devemos fazer a soma vetorial das três tensões.

Observe que VL e VC tem mesma direção mas sentidos oposto,  logo a resultante da operação VL - VC terá o sentido de VL.

circuito rlc série - ressonância

Impedância e Ressonância

Para o circuito anterior vale as seguintes expressões:

Da equação que se obtém o calculo da impedância observamos que se XL= XC a impedância será igual a R, isto é, o circuito será puramente resistivo e a corrente estará em fase com a tensão. Esta situação é conhecida como ressonância, e ocorre numa freqüência f0 calculada por :

circuito rlc série - ressonância

O circuito ressonante tem as seguintes características:

•Na freqüência de ressonância, o circuito é puramente resistivo, sendo a corrente máxima de valor V/R, estando em fase com a tensão.

•Abaixo da freqüência de ressonância a impedância será capacitiva (XC > XL), estando a corrente adiantada em relação à tensão.

•Acima da freqüência de ressonância a impedância será indutiva (XC

< XL), estando a corrente atrasada em relação à tensão.

CIRCUITO RLC PARALELO - RESSONÂNCIA

Como sabemos, num circuito paralelo a tensão é a mesma em todos os elementos, veja o circuito RLC paralelo e o diagrama fasorial com a representação das três correntes e da tensão total.

circuito rlc paralelo - ressonância

Considerando que IL >IC então obtemos o diagrama fasorial

final onde representamos a soma vetorial das três correntes(IL, IC e IR).

circuito rlc paralelo - ressonância

Para este circuito são válidas as expressões :

Ressonância 

Se XL = XC na expressão da impedância obteremos Z = R,

isto é, o circuito será puramente resistivo sendo esta situação chamada de ressonância e isso ocorre na freqüência f0 dada

por:

O circuito ressonante tem as seguintes características :

•Na freqüência de ressonância f0, o circuito é puramente

resistivo, sendo a corrente mínima de valor V/R, estando em fase com a tensão.

•Abaixo da freqüência de ressonância a impedância será indutiva (XC < XL ), estando a corrente atrasada em relação à tensão.

•Acima da freqüência de ressonância a impedância será capacitiva ( XC > XL ), estando a corrente adiantada em relação à tensão.

ReferênciasReferências

http://www.lei.ucl.ac.be/multimedia/eLEE/PO/realisations/CircuitsElectrihttp://www.lei.ucl.ac.be/multimedia/eLEE/PO/realisations/CircuitsElectriques/index.htmques/index.htm

http://www.dt.fee.unicamp.br/~www/ea513/ea513.htmlhttp://www.dt.fee.unicamp.br/~www/ea513/ea513.html

http://www.if.ufrgs.http://www.if.ufrgs.br/tex/fis142br/tex/fis142//