ANALISA TEORITIS MENGHITUNG FREKUENSI PRIBADI

BALOK LENTUR PADA TUMPUAN BERBEDA

Abstrak.

Tujuan penelitian ini adalah untuk menentukan nilai frekuensi pribadi getaran

balok lentur yang menggunakan tumpuan sederhana, jepit-jepit, dan kantilever.

Metode penelitian ini menggunakan balok lentur dengan ukuran panjang yaitu 850

mm dan lebar 25 mm, sedangkan ketebalannya bervarisi yaitu 10 mm, 12,5 mm,

dan 15 mm. Hasil penelitian menunjukkan bahwa untuk tumpuan yang sama,

makin tebal spesimen makin tinggi frekuensi pribadinya. Untuk jenis tumpuan

yang berbeda, frekuensi pribadi terbesar terjadi pada tumpuan jepit-jepit

(223,8209 rad/s, kemdian tumpuan sederhana (98,7346 rad/s), dan yang terkecil

tumpuan kantilever (35,1738 rad/s) pada ketebalan 15 mm.

Kata kunci : Jenis tumpuan, frekuensi pribadi, balok lentur.

I. PENDAHULUAN

Setiap benda atau sistem yang memiliki massa dan sifat elastisitas jika

diberi gangguan (ransangan), maka akan bergetar. Berdasarkan gangguan

(ransangan) yang diberikan pada sistem, getaran yang timbul dapat

diklasifikasikan sebagai getaran bebas dan paksa. Bila ditinjau kondisi getaran

bebas, maka struktur tidak diengaruhi oleh gaya luar dan gerakannya hanya

dipengaruhi oleh kondis awal. Gaya luar hanya diperlukan untuk menentukan

frekuensi pribadi sistem. Frekuensi pribadi adalah merupakan dasar (karakteristik)

yang dimiliki oleh sistem yang bergetar. Penentuan frekuensi pribadi sistem yang

mengalami getaran adalah sangat penting untuk mencegah terjadinya resonansi.

Kekuatan suatu material yang mengalami beban dinamis sangat

dipengaruhi massa dan sifat elastisitas serta gangguan yang bekerja padanya

Balok yang ditumpu kemudian mendapatkan beban dinamis akan mempengaruhi

nilai frekuensi pribadi suatu sistem. Untuk itu dilakukan penelitian untuk

mendapatkan hubungan antara pengaruh jenis tumpuan dengan nilai frekeuensi

pribadi pada getaran balok lentur. Hasil penelitian ini dapat dimanfaatkan sebagai

bahan informasi mengenai balok yang mengalami getaran lentur dengan berbagai

jenis tumpuan.

II. TINJAUAN PUSTAKA

II.1. Getaran Lentur dari Balok-balok seragam

Perlakuan balok yang mengalami getaran flexural didasarkan pada teori

“Lenturan Sederhana’ yang biasa digunakan dalam keperluan teknik. Metode

analisis ini dikenal dengan teori “Euler ( Euler Beam’s Equation )” yang

menganggap bahwa sebuah penampang melintang yang datar dari sebuah balok

akan tetap datar selama lenturan.

Fungsi dasar dari persaman – persamaan pada balok ( beam ) dari

mekanika kekuatan bahan ditunjukkan oleh persamaan – persamaan berikut :

y = deflection

slopex

y

momentMx

yEI

2

2

shearVx

yEI

3

3

ensityloadxwx

yEI int

4

4

II.2. Persamaan Gerak dalam Getaran Bebas

Pada gambar 1 di bawah ditunjukkan DBB (Free Body Diagram ) dari

sebuah balok seragam ( uniform beam ) yang mengalami lendutan, dan elemen

dari balok yang mempunyai panjang dx dan dibatasi penampang-penampang datar

yang tegak lurus sumbunya.

Gamba

r 1. Balok Seragam

Anggap massa per satuan panjang dari balok adalah γ, dan percepatan dari

elemen balok adalah 2

2

t

y , dan dengan menerapkan Hukum kedua Newton,

dxt

yF

y 2

2

dxt

ydx

x

VVV

2

2

)1.....(..........2

2

t

y

x

V, maka : 0

2

2

4

4

t

y

x

yEI

atau

)2.(....................02

2

4

4

2

t

y

x

ya , dimana

EIa

2 ,

Untuk mencari solusi dari persamaan diatas maka digunakan metode

pemisahan-variabel ( Separation-of-Variables Method), secara umum getaran

melintang ( transverse vibration ) pada balok ditunjukkan oleh persamaan :

)3...(....................).........()(),( tqxtxy ,

maka kita assumsikan sebuah solusi yang memiliki bentuk seperti pada persamaan

(3) yang menghasilkan dua persamaan

qdx

d

t

y

4

4

4

4

,

Dan

qdt

qd

t

y

2

2

2

2

,

substitusikan ke dalam persamaan (2),

)4.....(..............................1

4

4

2

q

q

dx

da

,

Karena sisi kiri dari fungsi bervariabel x dan fungsi pada sisi kanan

bervariabel t, kedua sisi harus sama dengan nilai sebuah konstanta.Melihat sisi

kanan persamaan diatas dan berpikir agar menjadi sebuah fungsi sinusoidal dan

juga turunannya, maka, ω2 cocok sebagai pilihan yang logis.Sehingga persamaan

diatas akan menjadi :

)5.....(....................02qq ,

)6(....................0

2

4

4

adx

d,

Persamaan (6) dapat dituliskan sebagai :

)7........(....................04

4

4

kdt

d, dimana

2

2

4

ak

Persamaa (4) mempunyai solusi :

q =A cos ωt + B sin ωt,........................... (8)

dan persamaan (7) kita asumsikan mempunyai penyelesaian :

)9..(..............................rx

e

agar persamaan (9) memenuhi persamaan (7) maka kita turunkan untuk

mendapatkan :

)10.......(....................4

4

4

rxer

dx

d

Substitusikan persamaan (9) dan persamaan (10) ke dalam persamaan (7)

untuk menghasilkan :

r4 – k

4 = 0

atau ( r4

– k4

)( r2 – k

2 ) = 0..............................(11)

Empat akar dari persamaan (10) yang memenuhi persamaan (9) dan (7)

adalah

r1,2 = ± k, dan r3,4 = ± jk ( j= 1 )

Solusi persamaan (7) dapat ditulis sebagai penjumlahan akar-akar diatas :

jkxjkxkxkxFeEeDeCe .................................(12)

dimana : a

k

Assumsikan E dan F sebagai konstanta kompleks yang mempunyai bentuk :

E = C3 – jC4

F =C3 + jC4

dan dengan menggunakan persamaan identitas :

kxkxekx

sinhcosh

kxkxekx

sinhcosh

kxjkxejkx

sinhcosh

kxjkxejkx

sinhcosh

Persamaan (12) dapat diubah ke dalam bentuk :

kxCkxCkxCkxC sincossinhcosh4321

dimana konstanta – konstanta C1,C2,C3,dan C4 adalah konstanta real dan

berhubungan kepada konstanta C, D, E, dan F dari persamaan (12) oleh :

C1 = C+D C3 = E + F

C2 = C – D C4 = j( E – F )

Kita dapat menulis solusi dari persamaan balok Euler sebagai :

tqkxCkxCkxCkxCtxy sincossinhcosh),(4321

.......................(13)

dimana q(t) adalah fungsi waktu yang diberikan oleh persamaan (8).

Mengingat kembali bahwa EI

kak22

,............................ (14)

bisa kita liha bahwa frekuensi pribadi ω diatas tergantung dari harga k. Karena k

muncul dalam fungsi Φ, harga k untuk balok diatas jelas tergantung pada jenis

tumpuan pada masing-masing ujung balok.Karena ada empat konstanta dalam

persamaan (13), empat kondisi batas diperlukan untuk mencari frkuensi pribadi

dan fungsi mode-normal dari balok.

II.3. Balok pada Tumpuan engsel (Pinned-pinned Beam)

Pertama kita akan melihat pada balok tumpuan sederhna ( pinned-pinned

beam ).Dapat dilihat bahwa defeksi y dan M bernilai nol pada kedua ujung dari

balok untuk semua harga t.Keempat kondisi batas dari balok pada gambar 2 di

bawah adalah :

(1) y(0,t) = 0 (3) y(l,t) = 0

(2) 0,02

2

EI

Mt

t

y (4) 0,

2

2

EI

Mtl

t

y

Gambar 2. Balok tumpuan sederhana ( pinned-pinned beam )

Dengan menerapkan kondisi batas pertama dan kedua pada persamaan

(13), dan turunan parsial kedua terhadap x, maka :

C1 + C3 = 0

C1 – C3 = 0,

Dengan mencari solusi persamaan diatas didapat bahwa ,

C1= C3=0

Menggunakan kondisi batas ketiga dan keempat pada persamaan (13)

dengan cara yang sama kita mendapatkan bahwa :

C2 sinh kl + C4 sin kl = 0

C2 sinh kl – C4 sin kl = 0

Karena kl=0 menunjukkan sebuah solusi trivial dan sinh kl=0 hanya pada kl=0,

kita lihat bahwa C2=0 dan

Sin kl = 0

Maka,

kil = iπ i =1,2,3,..........

dan frekuensi pribadi pada persamaan (14) :

EI

l

iak

ii 2

22

2rad/s

atau EI

l

if

i

i 2

22

22Hz i =1,2,3,...........................

II.3. Balok pada Tumpuan Jepit-engsel (Pixed-pinned Beam)

Sekarang kita akan meninjau balok yang ada pada gambar 3 dibawah yang

mempunyai empat kondisi batas:

(1) y(0,t) = 0 (3) y(l,t) = 0

(2) 0,0 tx

y (4) 0,

2

2

EI

Mtl

x

y

(15)

Gambar 3. Balok tumpuan jepit-sederhana ( fixed-pinned beam )

Menggunakan kondisi batas pertama dan kedua pada persamaan (13), kita

mendapat :

C1 + C3 = 0

C2 + C4 = 0

dimana

C3 = - C1

C4 = - C2

Dengan cara yang sama , menggunakan kondisi batas ketiga dan keempat

pada persamaan (13),

C1( cosh kl – cos kl )+C2( sinh kl – sin kl ) = 0

C1( cosh kl + cos kl )+C2( sinh kl + sin kl ) = 0

Karena persamaan aljabar ini sama ( homogenous ), persamaan frekuensi

ditentukan dengan menerapkan determinan │D│ pada koefisien – koefisien dari

C1 dan C2 sama dengan nol,kita memperoleh persamaan :

kl

kl

kl

kl

cosh

sinh

cos

sin atau tan kl = tanh kl ............................... (16)

Salah satu metode untuk mendapatkan akar-akar dari persamaan (16)

adalah dengan mensketsakan grafik dari tan kl dan tanh kl pada jarak yang

mungkin ( logis ) seperti yang ditunjukkan pada gambar 4 dibawah ini,untuk

memperoleh nilai akar-akar yang mendekati, dan selanjutnya dengan trial and

error pada rentang nilai akar-akar yang mendekati ini dengan menggunakan

kalkulator kita dapat menentukan nilai yang akurat.Menggunakan cara ini, tiga

akar-akar pertama dapat ditentukan :

k1l = 3,926602 k2l = 7,068583 k3l = 10,210176

Selanjutnya dari persamaan (14) kita mendapatkan :

EI

l21

4182,15 rad/s,

EI

lf

2

1

1

4539,2

2 Hz

Gambar 4. Grafik dari tan kl dan tanh kl

EI

l22

9651,49 rad/s

EI

lf

2

2

2

9522,7

2 Hz

EI

l23

2461,104 rad/s

EI

lf

2

3

3

5913,16

2 Hz

III. METODE PENILITIAN

Penelitian ini dilakukan pada balok lentur persegi panjang yang diletakkan

pada dua jenis tumpuan yaitu sederhana dan jepit-engsel. Tumpuan sederhana

adalah tumpuan yang terdiri dari tumpuan engsel dikedua ujungnya. Tumpuan

jepit-engsel dimana ujung yang satu dijepit dan ujung yang lain diberiengsel.

Dimensi balok yang digunakan dengan panjang 850 mm dan lebar 25 mm,

sedangkan tebal(t) balok divariasikan yaitu 10 mm dan 15 mm. Massa persatuan

panjang tergantung pada tebal balok. Nilai elastisitas balok E= 2,819x1010

N/m2.

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

Hasil perhitungan yang diperoleh bahwa getaran balok lentur yang

mempunyai panjang dan lebar yang sama dengan ketebalan yang bervariasi untuk

setiap spesimen yang ditumpu jenis tumpuan yang berbeda diperoleh nilai

freukensi pribadi untuk 3 mode pertama pada tabel berikut:

NO t (mm) γ (kg/m)

Tumpuan engsel (pinned-pinned beam)

rad/s

Tumpuan jepit-engsel (fixed-pinned beam)

rad/s

ω1 ω2 ω3 ω1 ω2 ω3

1. 10 3,084 29,80 119,20 268,20 93,10 301,726 629,51

2. 15 3,225 53,54 214,16 481,87 167,28 542,16 1131,05

Frekuensi pribadi pada balok getaran lentur untuk tumpuan engsel dan

jepit-engsel, dengan tebal 10 mm,dan 15 mm mempunyai harga yang berbeda-

beda. Nilai frekuensi pribadi dari variabel ketebalan, dapat dikatakan bahwa

semakin tebal suatu spesimen maka frekuensi pribadi juga semakin besar.

Frekuensi pribadi terbesar terjadi pada ketebalan 15 mm dan frekuensi pribadi

terkecil pada ketebalan 10 mm.

Berdasarkan jenis tumpuan (ketebalan sama), frekuensi terbesar terjadi

pada tumpuan jepit-engsel pada mode ketiga (1131,05 rad/detik) dan terkecil pada

tumpuan engsel mode pertama ( 53,54 rad/detik) pada ketebalan 15 mm. Adanya

perbedaan frekuensi pribadi pada kedua jenis tumpuan ini disebabkan oleh kondisi

tumpuan yang berbeda, dimana freukensi pribadi merupakan fungsi dari

kekakuan. Semakin besar kekakuan suatu spesimen maka semakin besar frekuensi

pribadinya karena lebih mampu menahan getaran. Kekakuan terbesar terjadi pada

tumpuan jepit-engsel, ini disebabkan karena pada salah satu ujungnya dijepit

sehingga tidak terjadi perpindahan baik perpindahan translasi maupun perputaran

sudut. Tumpuan sederhana dimana pada setiap tumpuan tidak terdapat

perpindahan translasi tetapi terjadi perputaran sudut.

V. KESIMPULAN

Pada tumpuan yang sama getaran lentur yang terjadi pada balok dengan

dimensi panjang 850 mm, lebar 25 mm, dan tebalnya bervariasi, 10mm dan 15

mm, serta nilai elastisitasnya ( Modulus Young ) 2,819x1010

N/m2 diperoleh nilai

frekuensi pribadi semakin besar untuk 3 mode pertama, dengan bertambahnya

ketebalan spesimen.Sedangkan pengaruh tumpuan terhadap nilai frekuensi pribadi

spesimen ( ketebalan sama ), frekuensi terbesar terjadi pada tumpuan jepit-engsel

( 1131,05 rad/s, mode 3 ) dan terkecil terjadi pada tumpuan engsel-engsel ( 53,54

rad/s, mode 1 ) pada ketebalan 15 mm.

VI. DAFTAR PUSTAKA

1. Thomson, W.T.1986.Theori of Vibration with Aplication.New

Delhi.Prentice

2. James, M.L./Smith, G.M. and Wolford,J.C./Whaley, P.W.1989.Vibration

of Mechanical and Structural System.New York.Harper and Row

Publisher, Inc.

3. Hibbeler, R.C.2005.Mechanics of Materials.New York.Prentice-Hall, Inc.