ANALISA STRUKTUR DENGAN

MET ODE MATRIX

CETAKAN KETIGA

IR. F.X. SUPARTONO IR. TEDDY BOEN

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS INDONESIA

PENERBIT UNIVERSITAS INDONESIA IJiiQ (UI-PRESS)

i I

Buku ini ditulis untuk mengenang jasa para Guru dan Mahaguru y:mg pernah mengajar dan mendidik kedua penulis, karena tanpa jasa mereka,

buku ini tidak akan mungkin ditulis.

PRAKATA

Sejak kurang lebih 25 tahun yang lalu, Analisa struktur telah mengahrmi revolusi dengan diperkenalkannya analisa cara matrix. Sejak itu, telah banyak ditulis buku-bukli yang menyangkut Analisa struktur dengan cara matrix. Pacta mulanya buku-buku Analisa struktur adalah problem dan structure oriented, tetapi pacta cara baru buku-buku tersebut adalah method oriented. Aljabar Matrix sangat berguna pada Analisa struktur karena memungkinkan membuat perumusan pemecahannya sebagai satu seri operasi matrix yang cocok untuk komputer digital. Tetapi hal yang lebih penting lagi ialah dengan memakai cara matrix, segala macam struktur dapat dianalisa dengan suatu pendekatan umum dan karena sifat-sifat organisasi suatu matrix, pemakaian matrix juga menguntungkan untuk perhitunganperhitungan dengan tangan. Cara matrix juga memungkinkan penyajian persamaan-persamaan dalam bentuk yang kompak, yang tentu saja sangat membantu untuk dapat melihat operasi secara keseluruhan dan tidak terbenam dalam detail-detail arithmatic. Pacta akhir-akhir ini banyak penulis menganggap bahwa konsep dan metodologi Analisa struktur dengan cara matrix sudah harus diajarkan di Universitas sejak tingkat awal dan menggantikan cara-cara Analisa struktur yang klasik. Pada buku ini, masih ditempuh cara transisi, yaitu antara lain masih diperkenalkan struktur statis tertentu dan statis tidak tertentu. Hal ini ctilakukan agar mereka yang terbiasa dengan cara-cara klasik. masih dapat mengikuti cara baru ini. Seperti diketahui, sesungguhnya pacta ana!isa struktur ctengan -:ara matrix sulit dibedakan struktur statis tertentu dan statis tidak tertentu. Adapun urut-urutan penyajian adalah sebagai berikut :

Bab I membahas tentang aljabar matrix sekedar untuk mengingatkan kembali. agar dapat m engikuti bab-bab selanjutnya dengan 13.ncar.

Bab II memperkenalkan metocte-metocte matrix yang dipakai untuk analisa struktur:

Bab III membahas Metode kekakuan dan dilengkapi dengan contoh soal. Bab IV membahas tentang cara mencari kekakuan elemen Bab V membahas Metode Flexibilitas Bab VI membahas tentang cara mencari gaya Nodal Ekivalen. yaitu untuk

struktur pacta man a pem bebanannya tidak tepat pacta titik nodal.nya.

Pacta kesempatan ini para penulis ingin mengucapk.an terima kasih kepada: ir. Sheila R.K. yang telah dengan tekun menyiapkan dan memeriksa konsep

V

I

.mtuk Jiketik: :\fy. E .Komariah yang t elah d engan sa bar dan t ekun mengetik nasbh buku; p:.lfa juru gambar Sdr. I nd rawan Ngadi. Sdr. Abdul Azhar, Sdr. Wa kldj o dan Sdr. Sam idjo yang t el ah menyiapkan gambar-gambar: dan Sd r. E ll y Tjahjono yang t elah membaca ulang nask ah akhir. \1u d ah- mudaha n buku yang sangat sed erhana ini, bersama-sama dengan buku !Jinnya y:mg sejenis, dapat menjadi awal b agi perubahan d i bi dang A nal isa struktur di Indonesia dari cara klasik ke cara ya ng modern. d emi untuk g enerasi sekarang d an yang akan da tang.

Jakarta. Januari 1980

Penu lis .

VI

Keterangan : Untuk memudahkan. maka notasi-notasi tersebut di bawah ditulis juga pacta rumus-rumus dan pasal-pasal yang bersang-, kutan.

Bab 1 .

[ 1 = Matrix. I I = Determinan. (A]T = Transpose Matrix [A]. [A]* = Conjugate dari [A]. [A]+ = Adjoint dari [A]. [A] -1 = Invers dari [A]. a i j = El em en dari [A J . b i j = Elernen dari [ B J. c i j = Elernen dari [ CJ. d i j = Elernen dari [DJ. e i j = El em en dari [ E] . [I] = \Iatrix satuan.

Bab 2 .

{ D} = Lcndutan pacta titik diskrit. [ FJ = .\1atrix Fleksibilitas. [K] = \1atrix Kekakuan Struktur. { Q} = Gaya-gaya yang bekerja pacta titik diskrit.

[A] = Matrix Defonnasi. [ B 1 = Matrix Statis.

Bab 3.

{.D} = Lendutan dititik diskrit. { d} = Deformasi dari elernen stmktur. {H} = Gaya dalam elernen. [KJ = Matrix Kekakuan Stmktur. {Q} = Gaya luar yang bekerja dititik diskrit. [ S] = Matrix kekokohan intern elernen.

Bab 4.

[A] = Matrixhubungan antara {Q2}dan{Q1}. A - Luas penampang elernen.

vii

Av [D} {Oj}

{Of} :ob} E [F] G I [yy [zz J [K] [Kj]

k

fQ - ' {Qb} {Qf } {Qj} (Q 1 s J

[T ] T X

viii

= Luas effektif terhadap geser. = Lcndutan dititik diskrit. = Matrix lendutan dari elemen ke i terhadap sistim koordinatnya

sendiri. = Matrix lendutan yang telah ditransfonnasikan ke sistim koordi

nat struktural. = Matrix lendutan pada elemen ke i yang telah ditransfom1asikan

ke sistim koordinat struktural. = Lendutan pada titik bebas. = Lcndutan diperletakan. = Modulus Elastisitas dari bahan. = Matrix Fleksibiiitas. = Modulus Geser dari bahan. = Nlomen Inersia sumbu dari penampang. = Momen lnersia terhadap sumbu y.

= Momen lnersia terhadap sumbu z. = \-1omen [nersia polar dari penampang. = Matrix Kekakuan. = Y1atrix Kekakuan dari elemen ke i terhadap sistim koordinat

nya sendiri. = \-latrix Kekakuan yang te!ah ditransfonnasikan ke sistim

koordinat struktural. = Matrix Kekakuan pada elemen ke i yang telah ditransfonnasi-

kan ke sistim koordinat struktural. = Koer!sien Kekakuan. = Panjang Eiemen. = Momen Lcntur akibat gaya luar . = Momen Lentur virtuil. = Gaya nonnal yang timbul. dinyatakan sebagai fungsi x. sebagai

Jkibat dikerjakannya gaya luar Q. = Gaya nonnal yang timbul . dinyatakan sebagai fungsi x. sebagai

akibat dikerjakannya gaya virtuil Q. = Gaya luar yang bekerja dititik diskrit. = Matrix gaya diperletakan . = Matrix gaya pada titik bebas. = Matrix gaya dari demen ke i terhadap sistim koordinatnya

sendiri. = Ylatrix gaya yang telah ditransfonnasikan ke sistim koordinat

, s truktu ral. = Ylatrix gaya pada eiemen ke i yang telah ditransfonnasikan ke

sistim koord inat struktural. = Matrix Transfonnasi. = Momen torsi akibat gaya luar.

tx = Momen tors1 virtuil. \) = Pecahan poisson dari bahan. V x = Gaya Geser ak.ibat gaya luar. vx = Gaya Geser virtuil.

{D} {Dr 0}

{Dr .,

' J

':ct} [do}

[ d I 1

[F] [FO

J

l F I }

\H} [Ho]

[HI ]

[M] [P] (PO

]

(P1T

{ Q} iR1 [ r] [ * J

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

Bab 5.

Lendutan dititik diskrit. Matrix Lendut:m pada elemen-elemen konstruksi statis tertentu akibat bekerjanya gaya-gaya luar, dimana vektor lendutanJ

r

'H \ t 0 n [Qil

Bab 6.

= Yl:atrix reaksi awal. = J umlah elemen yang bertemu dititik-i. = Beban ekivalen dititik diskrit.

(QjO] = Beban luar yang memang bekerja pada titik diskrit. [Qijl m = [QijJ yang sesuai dengan sistim koordinat lokal. [Qijls = [Qijl yang sesuai dengan sistim koordinat stmktur. [ S 1 = Matrix kekokohan intern elemen.

X

DAFI'AR lSl

Prakata ................................... . Notasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

Bab 1. Penda.huluan ............................... . 1. I. Introduksi ................................. . 1.2. Pengertian Matrix secara Matematis .............. . 1.2.1. Matrix ................................... . 1.2.:. Operasi Matrix ............................. . 1 .2.3. T ranspose d.:ui Matrix ........................ . 1.2.4. Matrix Simetris ............................. . 1.1.5. Matrix Korr.plex ............................ . 1.2.6. Matrix Orthogonal. .......................... . 1.2.7. Determin ................................ . 1.2.8. Adjoin! dari Matrix .......................... . 1.2.9. Invers dari Matrix ........................... . 1 . 3 . Pcnydes:lian susunan pnsamaan linier denga11 Mt:icde

Ha1aman V

vii

,

.)

1 ..,.

4 8

14 14 15 17 17 20 20

:\latrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 !.3.!. Pengcrtian Umurn ........................... . 1.3.2. Cara penyeh:!>aian susunan persamaan 1inier ....... . 1.3.3. Mctode Matrix Invei ........................ . 1.3 .4. fetode Cramer ............................. . 1. 3.5. Met ode Gauss Jordan ........................ . 1.3.6. Metode Elirninasi Gauss ....................... . 1.3.7. vfetode Iterasi Gauss Seidel. ................... .

, .., .) .) 35 36 38 40 43

Bb 2. Metode Matrix untuk Analisa Struktur . . . . . . . . . . . . 51 2. I. Pengertian Urn urn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 ..., .., \-fetode Kekakuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.3. Metode Fleksibilitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.4. Beberapa Contoh Perbandingan. . . . . . . . . . . . . . . . .

. 56 Bab 3. Metode Kekakuan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.1. Introduksi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.2. Derajat Ketidak tentuan K inema tis . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.3. Dasar Perhitungan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.4. Aplikasi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.4.1. Konstntksi Balok Menerus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.4.2. Konstruksi portal bidang tanpa pergoyangan dimana

deformasi axial diabaikan .. . .. . . . , . . . . . . . . . . . . . 88 3.4.3. Konstruksi portal bidang dengan pergoyangan dimana

deformasi axial diabaikan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.4.4. Konstruksi rangka batang dngan titik hubung ngsel. \ 18

xi

Halaman

Bab 4. yfetode Superposisi Langsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ! 41 -i-.1. Introduksi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 4.2. 1etode Inversi untuk menurunkan Matrix Kekakuan . 143 4.3. Matrix Kelcakuan Elemen Balok . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 4.4. Transformasi Vektor Linier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 4.5 . Superposisi dari Ma trix Kekakuan Eleme n dan Syarat

Batas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 4.6. A.plikasi pada Analisa Balok dan Portal Bidang . . . . . . 1 79 4. 6.1. K onstruksi balok menerus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 79 4.6.2. Konstruks i portal bidang tanpa penyangga dimana

deformasi axial diabaikan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 .J.. 7. :\plikasi pad a Analisa Konstruksi Grid . . . . . . . . . . . . 2 04 4.8. Aplikasi pada Analisa Rangka Batang.... . . . . . . . . . 214 4.9. atrix Kekakuan Elemen non prismatis . . . . . . . . . . . 255 4.10. Matrix Kekakuan Elemen melingkar . ... :. . . . . . . . . 265

Bab 5. Metode FleksibiJitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ':287 5.1. Introduksi.................................. 289 5.2. Dasar Perhitungan.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 5.3. .-\plikasi pada konstn1ksi statis tertentu. . . . . . . . . . . . .:n 5.4 ..\plikasi pada konstruksi statis tidak tertentu....... 3 1 6

Bab 6. Gaya Nodal Ekivalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

xii

o. i. Penggantian gaya-gaya pada demen menjadi gaya no-dal ekivaien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 37

6.2. Gaya Axial Ekivalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 n.3. Gaya Transversal Ekivalen........ . . . . . . . . . . . . . . 341

Daftar Kepustakaan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . }47 Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

! I -

1 PENDAHULUAN

I 1.1. INTRODUKSI

Perhitungan statis 'untuk struktur yang linear elastis dapat dilakukan dengan metode Matrix. Pacta umumnya struktur mempunyai sifat mechanis dan geometris yang diidealisasikan sebagai :

1 . Material bertingkah laku secara linear dan elastis 2. Lendutan dari struktur dianggap sangat kecil sehingga analisa da-

pat dilakukan sebagai struktur yang belum dibebani.

Dengan berkembangnya komputer sebagai alat hitung elektronik yang otomatis, maka metode matrix ini mulai disukai para teknisi dalam analisa struktur, karena formulanya menjadi lebih sederhana dan mudah, dibandingkan dengan metode analisa yJ.ng manual. Banyak hal dapat dilakukan dalam analisa struktur sehubungan dengan penggunaan komputer ini, antara lain :

1 . Analisa struktural, dalam arti kata menghitung gaya-gaya dalam yang timbul pacta elemen-elemen struktur sebagai akibat bekerjanya gaya luar pacta struktur, dan sekaligus menghitung besarnya tegangan yang terjadi pacta penampang-penampang elemen sebagai akibat timbulnya gaya dalam pacta elemen bersangkutan;

2 . Perencanaan elemen struktur, sebagai hasil dari analisa yang telah disebutkan di atas, sehingga dengan demikian tegangan elemen dan lendutan struktur yang terjadi tidak melampaui tegimgan dan lendutan yang diizinkan. Setelah selesai perencanaan ini, dapat dilakukan penggam baran geometric dari struktur, sebagai hasil dari analisa di atas, lengkap dengan ukuran dan karakteristik bahan dari masing-masing elemen struktur;

3. Data processing dari hasil test pembebanan, yaitu processing untuk mendapatkan tegangan dan lendutan sebagai hasil dari test pembebanan yang dilakukan pacta struktur atau elemen struktur;

4. Perhitungan banyaknya bahan bangunan yang akan dipakai dan perencanaan biaya;

5. Perencanaan time schedule.

Untuk keperluan analisa ini, ada tiga macam alat hitung dapat dipakai. yaitu : 1 . kalkulator elektronik: 2 . mini komputer; 3. komputer berkapasitas besar. Sebagai konsekwensi dari kecenderungan di atas, perlu dipelajari lebih

3

mend alam lagi teori matrix d an hubungannya d engan penggunaan d alam analisa st ruktur ini, yang selanjutnya akan d ibahas secara mend etail pad a pasal- pasal berikut ini.

1.2. PENGERTIAN MATRIX SECARA MATEMATIS 1.2.1. MATRIX

4

Bila mempunyai satu susun persamaan linear, misalnya : 2 X + 3 y + 2 Z = 0

X + y + 3 z = 0 - X + 2 y - z = 0

( 1 .1 )

maka koef isien d ari persamaan linear ini d apat d ituliskan atau d ikelompokkan d alam suatu cara penulisan y ang lain, yaitu d alam bentuk jaj aran b ilangan, sebagai d itulis di bawah ini :

[ 2 3 2 ] 1 3 ( 1 .2) - 2 - 1 J aj aran bilangan ( 1.2) d isebut matrix, yang dapat d ituliskan s ecara umum:

a a a . . . . . . a . . . .. . . . a 11 12 1 3 lj ln a a a . . . . . . a . . . . . . . a 21 22 2 3 2j 2n a a a . . . . . . a . . . . . . . a 3 1 3 2 33 3 j 3 ri (1.3)

. a a a . . . . . . a . . . . . . . a i 1 i 2 i3 ij in

a a a . . . . . . a . . . . . . . a nl1 m2 JTI3 mj mn

d i mana m, n adalah b ilangan bulat l . B iasanya menand ai suatu m atrix d ip akai tanda [ ] atau ( ), atau { } untuk matrix baris atau kolom. Bilangan- bilangan aij d isebut elemen- elemen d ari matrix , di mana i = 1. 2. 3 . . . . . . . m d an j = 1, 2, 3, . . . . . . n. B il angan m menun-jukkan bany aknya baris. d an n adalah banyaknya kolom; sed angkan keduanya menyatakan o rd e d ari m atrix. Denga n d emikian d apat d ikatakan, matrix d engan ord e m x n, ad alah

merupakan jajaran persegi dari elemen-elemen atas m buah baris dan tl buah kolom. Kadang-kadang notasi yang dipakai untuk baris memakai index di bawah, sedangkan untuk kolom memakai index di atas: misa1.kan ai menyatakan elemen baris ke-i. ai menyatakan elemen kolom ke j. Sebenarnya matrix ini sudah sering dijumpai dalam kehidupan seharihari. Misalnya sering dibaca di surat-surat kabar pacta halaman olah raga, suatu laporan hasil bertanding dari beberapa kesebelasan sepakbola yang sedang berkompetisi untuk memperebutkan tempat teratas, dalam susunan seperti di bawah ini :

nama main menang seri kalah nilai

A 3 2 0 4 B ,., 0 3 ( 1 .4) .. c 3 I 0 ,., 2 D 2 0

Susunan bilangan ( 1 .4) di atas sebenarnya telah disusun dalam sa tu bentuk matrix, yaitu :

3 2 0 4 kesebelasan A. 2 0 3 -E-- kesebelasan B. 3 0 2 2

6

satu bangunan besar seperti gedung bertingkat banyak, rangka batang, jembatan gantung, atap berbentuk tembereng, dan lain sebagainya, maka bila ia ingin menyelesaikan masalahnya tersebut dengan cara yang lebih sederhana, haruslah langkah pertama dari perhitungan perencanaannya ialah menyederhanakan masalahnya dan menyajikannya dalam bentuk matrix. Demikian pula di dunia perdagangan, sekarang tidak sedikit diantara pengusaha yang menggunakan perhitungan matrix untuk memperhitungkan untung rugi suatu transaksi. Karenanya tidaklah aneh bila sekarang disekolah-sekolah menengah, sudah diajarkan matrix, untuk memberikan dasar bagi analisa-analisa yang akan harus dilakukan diperguruan tinggi. Ada berbagai macam matrix : 1. Matrix bujur sangkar, bila m = n

[ 2 5 8 3 6 9 ( 1 . 6) E1emen-elemen a11, a2 2 , a3 3 , ... .... . ann disebut elemen-elemen diagonal utama.

2. Matrix baris, bila m = 1, yaitu hanya terdiri atas 1 baris saja. [ 1 2 3 4 5 6 l

., Matrix kolom, bila n = 1, yaitu hanya terdiri atas .) ,

1 2 3 4 5 6

4. Matrix nol, bila aij = 0

u 0 0 n 0 0 0 0 Acta beberapa type dari matrix bujur sangkar, antara lain :

( 1 . 7) kolom saj a.

(1.8)

( 1.9)

1. Upper Triangular matrix, ialah suatu matrix di mana semua elemen di bawah diagonal utama sama dengan nol.

a a a a . . . . . . a ll 12 1 3 14 ln ..

0 a a a . . . . . . a 22. 2 3 24 2n 0 0 a a . . . . . . a

33. 3 4 3 n (1.10) 0 0 0 a . . . . . . a

44 4n

0 0 0 0 . . . . . . a nn

,.., '- Lower Triangular matrix, ia1ah suatu matrix di m ana semua ele-

3.

men di atas diagonal utama sama dengan nol.

a 0 0 0 . . . . . . 0 ll

a a 0 0 . . . . . . 0 21 22

a a a 0 . . . . . . 0 (1.11) 3 l 3 2 3 3. a a a a . . . . . . 0

41 42 4 3 44

a a a a . . . . . . a ml ffi2 m 3 ffi4 mn

Matrix Diagonal, ialah suatu matrix di mana semua elemennya sama dengan nol kecuali [ ] .. 0 0 0 J 0 . 2 ... 0 0 0 0 .3 . 0 0 0 0 .:.

elemen-elemen diagnonal utamanya.

( 1. 12)

4. Matrix Skalar, ialah suatu matrix diagonaL di mana elemen diagonalnya merupakan bilangan yang sama. [ 2 0 0 0 }

0 . '2.. 0 0 o o z .... o 0 0 0 '2

(1.13)

5. Matrix Satuan (unit matrix), ialah suatu matrix skalar. di mana elemen diagnonalnya ialah 1. Matrix satuan disebut juga matrix identitas dan sering ditulis dengan notasi ( 11.

7

a

a

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

)

(1.14)

6. Band matrix, ialah suatu m atrix bujur sangka r, d i mana e lemenelemen yang bukan no! ( nonzer o elements) di kelompokkan meng elilingi diag onal u tarnanya, membentu k suatu jalu r elemen diagonal .

a 0 0 .......... 0 11 1 2

0

a 0 0 ......... 0 0 2 1 2 2 0 0 a a .. . ...... 0 0

3 3" 3 4 (1.15) 0 0 a a ........ . . 0 0

4 3 44

0 0 0 0 ............. an- 1. n-1 an- 1 . n

0 0 0 0 ....... . ... an. n- 1 a n .n

1.2.2. OPERASI MATRIX

8

l . Kesamaan m atrix. Dua matrix [A ] dan [B1 dikatakan sama. bila

U ij = bij dim ana

aij i al ah elemen dari matrix (A 1 : bij i alah el emen dari matrix [ B l .

Contoh: [ 3 ] [A] 5 3 r 2 3 l [B] = l 1 5 3

( 1.16)

Jelas di si ni bahwa dua matrix [Al dan [B 1 tersebu t di a tas haru s m empu nyai orde yang s ama .

2. Penjumlahan matrix. Apabila [A] dan [B] adalah dua matrix yang mempunyai orde yang sama, maka kedua matrix tersebut dapat dijumlahkan menghasilkan suatu matrix [C] = [A] + [B], dimana cjj = aij + bij Cij ialah elemen dari matrix [C]: aij ialah elemen dari matrix [A] ; bij ialah elemen dari matrix [B].

Contoh:

[A]

[B]

3

5

2

5

[C] [A] + [B]

[C] [ 2-1

1+2

3+2 1+4 ] 3-3 5+5

[ c J [ 5 5 l 3 1 0 0

(1. 17)

Suatu penjumlahan matrix akan mempunyai sifat-sifat sebagai berikut : 1. [A] + [B] = [B] + [A] (commutatif) -, [A] + [B] + [C] = ([A] + [B]) + [C] (associatif) 3. Akan terdapat suatu matrix [X] sedemikian sehingga

[A] +[X] = [B]

3. Perkalian skalar. Sua tu matrix [A] dapat diperkalikan dengan sua tu skalar k. menghasilkan suatu matrix [D] = k [A], dimana

dij = k.ajj

dij menyatakan elemen dari matrix [DJ; aij menyatakan elemen dari matrix [A].

( 1. 18)

9

10

Contoh:

[ 2 3 1 [A] 5 3 k = - 3

[D] = k. (A]

r- 6 - 9 - : l (D] = - 3 -15 Suatu perka1ian skalar m atrix mempunyai sifat-sifat a ntara lain : ( 1 ). k ([A) + [B)) = k [A) + k [B); (2). k ([A) + [B)) = ([A) +[B)) k: dim an a k ada1ah ska1ar.

4. Perkalian matrix. Suatu m atrix [A) dengan orde (m x p), dan m atrix [Bl dengan orde ( p x n), dapat diperka1ikan menghasi1kan sua tu matrix baru [E) = [A]. [B) dengan elemen

(1.19)

p bkj a tau eij = z ai k ( 1 .20)

k=l dim ana: eij e1emen m atrix [E) '

au " [A);

bij [B] ;

= 1 , 2, 3, m: ... .. .. . . , j = 1, 2, 3, n: . . . .. . . . .. k = L 2. 3. p . 0 .,

Matrix [E) hasil perkalian tersebut akan mempunyai or de (m x n) Contoh:

( l ) . a a 11 12 [B] [:11 : 12] [A) a a 21 22

a a 21 22 3 1 3 2

( 2 ) .

[E] = [A]. [B]

a a [ I 1 1 12 b b = a a 1 1 12 2 1 2 2 b b a a 2 1 2 2 3 1 3 2 all. bll + a 1 2b 2 1 a ll.b12 + a,z.bzz l a 2 1b 1 1 + a2 2 b2 1 a 2 1b 1 2 + a 22b 2 2

a .bll + "3 2 . b 2 1 a:l 1.bl2 + 2. b 2 2 ) 3 1 [A] [ 5 l H 4 I = [B] = 2 3 2 ) [E] = [A]. [B]

[ : l H 4 = 2 3 [2 .3 + J ( - J) + 5. 2 2 .4 + J. 2 + 5. J l = J. 3 + 3 ( - l ) + 2 . 2 1 .4 + 3.2 + 2 . J []: I 5 ] = 12

J adi teranglah dengan orde (2 x 3 )x(3 x 2) akan menghasilkan orde (2 X 2).

I I

12

(3). Kita ambil contoh matrix (1.5). di ha1aman 5.

[P]

Dari matrix tersebut, diambil satu matrix bagian yang menyatakan keadaan "menang", "seri" dan "kalah", yaitu :

2 0 I + Kesebe l asan A. 0 + 11 B.

=

0 2 + 11 c . 0 + 11 D.

t t t menang se r i ka lah

Matrix [P] mempunyai orde (4 x 3) Sekarang untuk tiap pertandingan akan diberi nilai sebagai beri kut:

"menang" berni1ai 2 "seri" 1 "ka1ah" 0

Bila dinyatakan secara matrix : { 2 }f- menng [N] l +-ser 1

0 +- ka l ah

t n i l a i

Di sini matrix [N] mempunyai orde (3 x I). Untuk mendapatkan jumlah nilai yang sebenarnya didapat oleh masing-masing kesebelasan, maka keadaan ''menang-kalah" perlu dikalikan dengan "nilai masing-masing pertandingan". yaitu secara matrix :

[E] = [P] [N]

di man a [ E] ialah matrix yang menyatakan jumlah nilai dari masing-masing kesebelasan.

l I

[E] = [P]. [N]

A 2 0 r 2 l +- menang B -t- 0 I = l j +- seri c .... 0 2 +- kalah D ..... 0 t t t t

Cl c J: ro - ro ro c I... -C) Q) ro -E Vl .::(. c

" 1 1.2 + 2.1 + 0 .0 1 . 2 + 1 . 1 + 0 .0 1 . 2 + 0.1 + 2 .0 l 0.2 + 1. 1 + 1.0

r 4 1 +- A +- B [E) ::: < j l +- c +- D

t

n i la i Di sini suatu m atrix [P] dengan orde (4 x 3), dikalikan dengan m atrix [N] dengan orde (3 x l ), menghasilkan m atrix [E] dengan orde (4 x 1 ).

Pacta perkalian matrix tadapat beberapa sifat penting, antara lain : ( 1 ) . [A] ([B] + [Cl) = [A] [B] + [A] [C] (distributif pertam a)

dimana [A]. [B]. [C] adalah m atrix yang memenuhi syarat untuk penjumlahan dan perkalian matrix.

(2). ([A] + [B]) [C] =[A] [Cl + [B] [Cl (distributif kedua) (3). [A] ([B] [C]) =([A] [B]) [Cl (associatif) (4). Pacta umum nya [A] [B] :i:: (B] [A] : (5). [A] [B] = 0. belum tentu mengakibatkan [A] = 0 atau [8] = 0: (6). [A] [B] =[A] [C]. belum tentu mengakibatkan [B] = [C].

13

1.2.3. TRANSPOSE DARI MATRIX Apabila [A] adalah suatu matrix dengan orde (m ) n). maka yang dinamaka11 transpose matrix [A] (dengan tanda (A] T) adalah matrix bermde (n x 111 l dim:::ma baris dan kolom matrix [A] menj

I I I

Contoh

(A] r 0 l

2

0 - 4 Perhatikan bilangan no! pacta elemen diagonalnya.

1.2.5. MATRIX KOMPLEX I. Suatu matrix [A] disebut sebagai matrix komplex bila elemennya

terdiri dari bilangan-bilangan komplex.

Contoh l [A] = [ + i 2 + 3i 2" di mana = V-"1

Bila suatu matrix komplex [AJ elemen-elemennya diganti dengan conjugate dari masing-masing elemen tersebut, maka matrix yang terjadi disebut sebagai conjugate dari matrix [A], dengan notasi [A]*

Contoh [ 1 + 2 + 3 i ] (A] 2 [A]''" [ - i 2 3i l

2 1 + ) di mana bil::mgan kompkx I - i merupakan conjugate dari bilangm 1 + i dan demikian pula demen yang lain. Dengan demikian bila :,a tu matrix [A] semua demennya terdiri dari bilangan riiL m aka I A I* = [A] : sebaliknya bila semua elemennya terdiri dari bilangar. imajiner. rnaka [A]*= -[Al.

3. Suatu matrix [A] disebut matrix hermitian bila memenuhi hu-bungan :

([AI *l T = [AI 11.24;

15

16

dim ana [A]* = c onjugate dari [A] ( [A]*) T = tr anspose dari [A] * [A) = matri x komp le x bujur sangkar

Contoh:

[ 2 + l [A] 2 - 3 [ 2 - l [A]* 2 + 3

( [A]'-) T [ 2 2 + l = = [A) - i 3 D alam ha! i ni . e leme n diagonal dari matri x he rmi tian akan se lalu te rdi ri dari b ilangan-bilangan riil .

4. Suatu matri x [A) di se but matrix skew-hermitian, bila me me nuhi hubungan :

([A) *) T = - [A] ( 1.25) D alam hal i ni e leme n di agonalnya akan te rdi ri dari bi langan nol atau bi langan imaji ne r.

Contoh r [A) = l-1 [A]. =ll ( [A]*)T l I

0

+ i

0

- I

0

- I

1 + 0

- i 0

- 1 - I

0

) l l I = - [A] I )

1.2.6. MATRIX ORTHOGONAL. \. Suatu matr ix bujur sangkar [A] disebut mat rix orthogonal t)ill.:

memenuhi hubung:m :

[A] [A] T ::: [A] T [A] = [I] ( 1 .26) Jimana [ I] menyatakan matrix satu an.

[ - cos e si n : J [A] sin e cos [A]

T

= [ cos e - s i n e l sin e cos e [A].[A]T

[ 0 1 = [ I ] 0 Suatu matrix komplex bujur sangkar [A] d isebut se bagai matrix unitary bila memenu hi hubungan :

[A] .((A],)T

= ([A) ,':)T_[Aj [ I ] (1 .27) d im ana [I] menyatakan matrix sa tu an.

Contoh :

l l + -V3 f3

[A] =

l - - l -

f3 f3

Suatu matrix unitary denga n elemen riil akan merupak:m matrix orthogonal .

1.2.7. DETERMINAN. Determinan dari sua tu matrix hujur sm,zb: [ .\ l. ditu!iktn :;eb2.gai

17

lA/

18

a a a ..... .. a ll 12 l 3 ln

a a a .... . .. a 21 22 2 3 2n

= a a a . .. .. .. a 3 3 2 33 3 n (1.28)

a a a .. .. .. . a n l n 2 n 3 n n

Sebelum membahas tentang deterrninan lebih mendalam. akan diperlihatkan dulu keadaan yang khusus, yaitu untuk matrix dengan orde 2 x 2.

[A] : J Determinan [A] untuk orde 2 x 2 ini didefinisikan sebagai

I AI = ad - be ( 1 . 29) Contoh : [ : l [A] 2 4

/AI l . 4 - 2. 3 4 - 6

= - 2 . Untuk matrix dengan orde lebih tinggi. sebelum dihitung determinannya, harus dikenal dulu minor dan cofactor dari elemen matrix. Minor dari satu elemen aij. dimana aij merupakan satu elemen dari matrix bujur sangkar [A]. didefinisikan sebagai determinan dari bagian matrix fA] cliluar baris ke-i dan kolom ke-j, yang cliberi notasi Mij.

Contoh : 2 3 4 I [A] 2 3 4

1, 5 6 7 7 6 5 4

I A I

3 5 6

4 6

5 7 4

+ J. Bila Mij diperkalikan dengan ( - I) , maka akan menghasilkan cofactor dari aij, yang diberi notasi Cij

cij = ( -- n i+j Mu (1.30)

Detenninan dari matrix [A] dengan or de n x n dapJt didefinisikan sebagai

a . c . + i l I l

atau :

a . . c . 12 n I

k= l

12 + a . . c . + . . . + a . . c . I 3 I 3 1n 1n

(1.3 1 )

Persamaan ( 1.3 1) ada1ah rum us untuk menghitung determinan dengan expansi menurut baris ke-i.

Determinan dapat pula dihitung berdasarkan expansi menurut ko1om ke j, sebagai berikut :

= a . . C . + a .C + a . . C . + . . . + a .. C . lJ lJ 2 j 2j :3 J 3 J nJ nj atau :

n /A/ = I (1.32)

k=J

Beberapa ha! yang perlu diperhatikan berhubungan dengan perhitungan detenninan ini antara lain :

( 1 ). Apabila dua baris atau dua kolom dari matrix [A] adalah sama. maka /A/ = 0

(2). Apabila (A] adalah matrix satuan. maka I A/ = (3 ). Apabila sa tu kolom dari matrix [A] dijumlahkan dengan kolom

yang lain (a tau kelipatan dari kolom yang lain), m aka I A I tidak berubah.

( 4 ). Apabila d ua kolom dari matrix [A] ditukar posisinya. m aka I A I mengalami perubahan tanda.

( 5). Detenninan dari matrix [A] akan sama dengan detenninan matrix transposenya.

19

1.2.8. ADJOINT DARI MATRIX Adjoint dari sa tu matrix bujur sangkar [A], yang diberi notasi [A]+. ialah satu matrix 'kngan orde yang sama. yang didapat Jen2:an mengganti elemen dari [A]T (transpose dari matrix [A] ) dengan cofactor dari elemen yang bersangkutan.

a a a l l 12 l 3

[A) a a a 21 22 2 3

a a a l 3 1 3 2 3 3

r a a a 11 21 3 1 [A]T = a a a 12 22 3 2 l a a a 13 2 3 3 3

c c c ll 21 3

[A]+ c c c 12 22 3 2 c c c

1 3 2 3 3 3

1.2.9. INVERS DARI MATRIX.

.20

Telah diuraikan di atas penjumlahan dun perkalian dari matrix. Tapi proses pembagian tidak dikenal pada operasi matrix. dan sebagai analoginya, digunakan invcrs dari matrix. Apabila [A] dan [ B] adalah matrix bujur sangkar sehingga [A] . [ B] = [ B l . fA] = matrix satuan. m aka [ B l disebu t invers dari matrix [A l . Jan fA l adalah invers dari [ B l .

Contoh :

r 2 3 I I I [A) I 3 3 ! ! I i ") 4 J \ -

[ : 6 - 2 - 3 ) [B] 0 0 [ 2 3 [: 6 - 2 [A] . [B] =

[A] . [B] = 0 0

maka dikatakan : [B]

atau : [A]

3 2

0

0

= [A] -1 = [B l -l

3 l:.

0 I 0 [ I ] dimana [A] -1 menyatakan inver s dari matrix [A], dan ( B] -1 menyatakan i nver s dari matrix [B] .

I 0

- 3 1 0

Ada beber apa car a untuk mencar i i nvers dari matr ix, diantaranya metode adjoint (adj oi nt method) metode pemisahan (matr ix p ar ti tioning) metode Gauss -Jordan (Gauss - Jor dan method) metode Cho1esky (Cho1esky method)

D i bawah ini akan di bahas car a- car a ter sebut di atas satu per satu.

1. Metode Adjoint.

Metode i ni menyata kan sa tu hu bu ngan dal am menghitung inver s dari sa tu matr ix bujur sangkar [A] sebagai :

[A] - I

dimana[A] --1 [A]+ !A I

= i nver s dari matri x [A] : = adjoint dari matr ix [A 1 : = deter minan dari matri x [A 1 .

( 1.34)

J adi. i nvers dari satu matri x [A], bi sa di dapat Jengan mern bagi adjoint dari matri x bersangkutan Jengan Lkterminannya sendiri.

21

') '") "- -

Contoh:

[A] = 3 4

3 3

3 4

Determinan matrix [A] dapat dicari berdasarkan perhitungan sebagai telah diuraikan pada pasal 1 .2.7.

A = 4 3

3 4 - 1

3 3

3 4 + 1

= ( 16 - 9 ) - ( 1 2 - 9 ) + ( 9 1 2 = 1.

3 3

4 3

Selanjutnya dihitung cofactor dari elemen-elemen matrix [A] .

c 4 3 = 7 = 11 3 4

c 3 = - 1 = 12 4

c 4 = - 1 = 1 3 3

c 3 3 = - 3 = 21 3 4

c = 3 = 22 L,

c 3 = 0 2 3 3

2.

3 3 c = = - 3 3 1 4 3

c 3 = 0 3 2 3

c = 3 3 3' 4

A djoint dari matrix [A]

c c c 11 21 3 1

c c c 12 22 3 2 c c c

l 3 2 3 3 3' .

[ - - 3 - 3 l 0 - I 0 I = I nvers da ri matrix [A]

[A]- I = [A]+

IAI

[- - 3 - 3 J = 0 - 1 0 d imana I A \ = I

Metode pemisahan. Sesua i dengan nama dari metode ini, maka langkah pertama yang dila kukan dala m proses mencari invers matr ix ini iala h mela kukan pemisa han (pa rt it ioning) terhadap mat rix bersa ng kutan.

2J

24

Ambil satu matr ix [A ] :

a a :"1 1 1 1 2 [A ) = a a 2 1 22 2 3 a a a3 3 ) 3 1 3 2

Lakuk an pemisahan :

[A ] = a 1 1 a I a 1 2 I 1 3 a a I a 2 1 2 2 I 3 2

-- - - --t - --a a a 3 1 3 2 1 3 3

Atau dinyatakan dalam sub matrix :

[A ] A 1 A 1 1 I 1 2

-- - +- - -A I A 2 1 I 22

\ I

dengan penger tian :

A 1 1

A = 12

A = 2 1

A = 2 2

a a ] 3 1 3 2

a 3 3

(1 .3 5)

( 1 .3 6 )

( 1 .3 7)

a tau

Bila dimisalkan [ A ] - 1 = [ F ] maka akan terdapat hubungan :

[ F] . [A] :::: [ I ]

Dengan mengexpansikan perkalian di atas akan didapat :

F u A l l + F l 2 A2 1 =

F2 1 A l l + Fz z A2 1 0

F l l A 1 2 + F 1 2 Az z = 0

Fz 1 A 1 2 + Fz z Az z =

( l .3 8)

( 1 .39)

Persamaan ( 1 .39), yang merupakan hasil expansi dari persamaan ( 1 .3 8) , merupakan persamaan linier dengan em pat "besaran anu" yaitu F 1 1 , F 1 2 , F2 1 , F2 2

Dengan menyelesaikan persamaan ( 1 .39), akan didapat hasil :

F u A n - 1 A u - l A 1 2 ( Az z -Az l - 1 - 1 - 1 + A l l A 1 z ) Az 1A 1 1

F r z - A l l - 1 A 1 2 ( Azz -Az l - 1 - 1 = A l l A 1 z )

Fz l = - ( Azz - Az 1 A l l - 1 A 1 2 ) - 1 Az 1 A l l - 1 ( l .40)

Fzz = ( Az z - Az 1 A u - 1 A 1 2 ) -

i

Persamaan ( 1 .40) dapat diuraikan menjadi suatu uru tan yang sistimatis. yai tu sebagai beriku t :

( 1 ) . H i t ung A l l - 1

( 2 ) . H i t ung A n - 1 A 1 2

( 3 ) . H i t ung A2 1 Al l - 1

( 4 ) . H i tung { Has i 1 ( 3) } . A l 2

(S } . H i tung Azz - { Has i I ( 4 ) }

1 5

26

( 6) . H i t un g F 2 2 = { H a s i l ( 5 ) } - l

( 7 ) . H i t un g F2 l = - Fzz . { H a s i l ( 8) . H i t un g F 1 2 = - { H a s i l ( 2 ) } ( 9) . H i t un g F 1 2 {Has i l ( 3 ) } ( 10 ) . H i t un g Fl l = A l l - I - { H a s i I

Contoh :

[A] [ : 3 4 3

Lakukan pemisahan : [ 1 3 I 3 [A ] = _l __ j_]_j

1 3 I 4 I

Melihat persamaan ( 1 .36) :

A = r : J 1 1 \ A = [

3 } 1 2 l 3 A = 3 ] 2 1 A = 4 22

( 3) }

F22 ( 1 . 4 1 )

( 9 ) }

Sekarang akan dilakukan operasi seperti diuraikan. dalam persamaan ( 1 .4 1 ) , dengan urutan yang sama.

( 1 )

( 2 ) .

( 3 )

( 4 ) .

(5 ) .

( 6 ) .

( 7 ) .

( 8 ) .

( 9) .

( 1 0 ) .

A u - 1 = 4 3 ( _ 4 ) ( _ 4 ) A 1 1 - l A 1 2 [ _ 4 - J { : } { : } Az 1 A 1 1 - I [ I 3 ] ( _ - 3 J [ I 0 ] [ I 0 ] A1 2 = [ I 0 ] { : } [ 3 ] A [ 3 ] = [ 4 ] - [ 3 ] = [ 1 ] 2 2

- 1 F = [ 1 ] = [ 1 22

- [ 1 ] [ 1 0 ] = [ - 1 0 ]

o j I

o ) 0 ]

27

28

Jadi matrix ( F] yang merupakan invers dari m atrix [A] dapat d isusun dari hasil di atas sebagai beriku t :

[ F )

[ F ) =

r F 11 i F 12 J - - -j - - -F I F 21 I 22 I 7 - 3 1 - 3

- 1 1 I o _ _ _ _ l__ - l 0 l

D engan d emikian invers dari [A] ialah :

7 - 3

[ F ) = - l - l 0

3. Metode Gauss-Jordan. Langkah-langkah pent ing yang perlu diam bil untuk mencari invers dari m atrix [ A ] dengan orde n x n secara garis besar adalah sebagai berikut : ( I ) . Am bi1 matrix satuan [ I ] dengan orde n x n . (2). Dengan cara operasi baris, ubahlah m atrix [A ] menjadi m a

trix satuan . dengan tahapan sebagai berikut : ( a) . Bagi1ah baris ke- 1 dengan a 1 1 sehingga a 1 1 sekarang

sama dengan 1 .

( l 3 i l 4 I I l 1 3 \

T A

(b) . Jumlahkan baris ke-2 dengan baris ke- 1 yang telah d iperkalikan dengan ( - a2 1 ) , sehingga a2 1 sekarang menjadi no!.

(c) . Ulangi langkah (b) untuk baris ke-3 , 4, 5, . . . . . , n . Sekarang kolom ke- 1 menjadi no! semua kecuali a 1 1 = I

(d) . Ulangi langkah (a) , (b ) , (c) untuk baris ke-2 , dimulai dengan membuat a2 2 = I , dan a1 2 = 0 , a3 2 = 0 , a4 2 = 0 , as 2 = 0 . . . ' an 2 = 0

(e). Ulangi langkah (d) untuk baris ke-3 , 4, 5 , . . . . . . , n . ( f). Proses selesai.

(3 ) . Proses (2) sekaligus dilakukan pacta m atrix [ I ] , sehingga setelah proses selesai . m atrix [ I ] telah berubah menjadi matrix ( F] . Matrix ( F] i nilah invers dari m atrix [A]

( 4 ). Proses keseluruhan dapat dinyatakan sebagai :

[ A ope ra s i ba r i s . I ] [ F ] ( 1 .42)

Contoh :

3 3 4

[A ] = [ 3 4 3

Sekarang ingin d icari [A] - 1 dengan ntetodc Gauss-J ordan . Notasi H ik (p) menyatakan penjumlahan pacta baris ke-i dengan baris ke-k yang sudah d iperkalikan dengan p. Jadi misalnya H2 1 ( 2 ) menyatakan baris ke-2 dijumlahkan dengan 2 kali baris ke- I .

0 l H, (- l ) r 3 3 0 G 0 0 - 1 J l ,...,__, l l 0 0 3 4 0 T

2Q

J ad i

a l l a

2 1 a

3 1

a n 1

30

I 1 l H 0 ( - 1 ) l 3 1

0

3

0

3 I ] 0 I 0 I - 1 I 1 1 - 1 0 ( -3 ) [ 1 H 0 1 2 ..--.._.,; 0 0 0 ] 3 I 4 - 3 I 0 I - 1 I 1 1 - 1 0 0 0 7 - 3

H 13 ( -:3 ) [ 0 0 - 1 - l 0 0 - 1 0

I --1'--I F

7 - 3 - 3 [A ] - 1

[ : 0 J 4.

a 1 2

a 2 2

a 3 2

a n z

0

Metode Cholesky. D asar dari metode Cholesky ini ialah terletak pada kenyataan bahwa setiap matrix bujur sangkar dapat d iubah sebagai perkalian dari sat u lower t ri angular matrix dengan satu upper triangular matrix . D engan demikian invers dari matrix bujur sangkar tersebut dap at diselesaikan dengan mencari invers dari masing-masing triangular matrix , dan ini bukanlah suatu pekerjaan yang sukar. D alam analisa struktur dengan metode matrix , akan selalu dijumpai matrix yang simetris. Suatu mat rix simetris , akan selalu dapat diubah menjadi perkalian dua triangular matrix yang satu sama lain merup akan matrix t ranspose. Bila ( A ] menyat akan suatu matrix simetris. dan [ L ] menvatakan suatu lower t riangular matrix. maka :

[ A ] = [ L ] . [ L ] T atau secara keseluruhan :

a a 1nl Q, 0 0 0 (\ 1 Q, Q, 9, l 1 3 . 1 1 2 1 3 1 . . n 1 I

a a Q, 9, 0 0 0 X. 9, n 1v 2 3 2n 2 1 2 2 2 2 3 2 n 2 =

a a X. 9, X. 0 0 0 .Q, X. 3 3 3 r'1 3 1 3 1 3 3 " . 3 3 n 3

a a Q. x. X. 0 0 0 9, n 3 nn n 1 n 2 n 3 nn nn

( 1 4 3 )

(

i - 1 2 1 ; 2

. . = a . . - = i . ) I I I I r= 1 1 r

j - 1 a . . - = . .

... . l j r\-:: 1 1 r . J r

I J . . untuk i > j

J J

= 0 un tuk i ( j . i j

( 1 44)

Da r i pe r samaan ( 1 . 43 ) :

[A(1 ( [ L ] . [ L ] T) - 1

[A(1 = ( [ L ( l )

T [ L (

l

B i l a [ U ] [ L ] - 1

ma ka [A ] -1 = [ F ] = [ U ]

T. [ U ]

d i man a [ L ] . [ U ] = [ I ] a tau seca ra kese l u r uhan

0 0 0 r 1 1 0 1 1 t i 0 0 u 2 1 2 2 2 1 2 2 , t , 0 I U u 3 1 3 2 3 3 I 3 1 3 2 i t 9 t t n nj l U n l u n 1 n 2 n 3 n 2

\

Sete 1 a h d i j a ba rkan 0 . u = "' 1 1 l l

n u + t . u 0 A, 2 1 1 1 2 2 2 1

t u + ,l u + "' u 0 3 l l 3 2 2 1 3 3' 3 l

. . . . . . . . .. . . . 32

r: o = i o I :

o 0 0 0

u 3 3 ' .

0

0

u . . . u ,\ lo n 3 . n n) 0

u l l

u 2 1

=

t2 1 . u 1 1 t

2 2

(1. 45 )

( 1 . 46 )

( I . 4 7 ) ( I . 48) ( 1 . 49)

0

0

0

o j 0

0

, ' I ) ( 1 . 5 0 )

u .c 3 1 u 1 1 + Q.3 2 U 2 1

3 1 3 3'

a tau se ea ra umum

U . . n I I "- I I

i - 1 i . u . r 1 r . rJ r= l

u . . = - ----I J .. I I U = 0 un t u k i (j I J

un t uk i ) j ( I . 5 1 )

Setelah didapat matrix [ U] , m aka mudahlah untuk menghitung matrix [ F ] sesuai dengan persamaan ( 1 .48) , yaitu :

[ F ] = [ U] T [ U ] dim ana m atrix [ F ] m erupakan invers dari m atrix [ A ] .

1.3. PENYELESAIAN SUSUNAN PERSAMAAN LINIER DENGAN METODE MATRIX.

1.3 .1 . PENGERTIAN UMUM. Mengingat bahwa ban yak p rob le mat i k dalam teknik sipil yang dinyata k an d al am persamaan l i nier d engan sejumlah "b ilangan anu", maka perlulah kiranya untuk mempelaj ari juga b agaim ana m en yelesai kan persam aan l inier terse but sec ara m atrix . Sekarang akan d it u njukkan satu p ersam aan yang sangat sederhana.

3 X + 7 y = 1 2 Persamaan ( 1 . 52) da pat dinyatakan secara m atrix sebagai :

[ 3 7 ] = [ I 2 ]

Demikian pula p ada d u a persam aan linier di bawah ini :

3 X + 7 Y 5 X 2 Y

=

=

1 2

3 D apat d inyat a k an sec ara m at rix sebagai :

( 1 . 52 )

( 1 . 53 )

( l . 54 )

( I . 55 )

3 3

4

scara umum n buah persamaan linier dengan n buah "bilangan anu" dapat dituliskan sebagai :

a X + a X + a X + . . . . . . + a X = b 1 1 1 1 2 2 : 3 "3 1 n n 1

a X + a X + a X + . . . . . . + a X = b . . 2 1 1 2 2 2 2 3 '3 2 n n 2 a X + a X + a X + . . . . . . + a X = b

3 1 1 3 2 2 3 3 3 3 n n 3

a X + a X + a X + . . . . . . . + a X = b ( 1 56) n 1 1 n 2 2 n 3 3 n n n n Persamaan ( 1 . 56) dapat dinyatakan secara m atrix sebaai :

a 1 1

a 2 1

a 3 1

a n 1

a 1 2

a 2 2

a 3 2

a n 2

a 1 3

a 2 3

a 3 3'

a n 3

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

a l n

a 2 n

a 3 n

a n n

X 1

X 2

X 3

X n

Persamaan et . 57) dap at disederhanakan sebagai :

[ A ] . x t { B}

D engan pengertian :

=

b 1

b 2

b 3

b n

( 1 57 )

( I . 58 )

[ A ] ialah matrix bujur sangkar yang menunjukkan koefisien persamaan linier d imaksud .

{ X } ialah matrix kolom dari "bilangan anu" ; { B } ialah matrix kolom dari "konstanta ".

Banyak typ dari matrix koefisien [ A ] . antara lain :

1. Matrix koefisien simetris :

Contoh : 3 2 0 X 0 1

2 4 - 1 X = 2 2 0 - 1 X 5 3

i i i A X B

Disini m atrix [A ] merupakan m atrix yang simetris, dim ana aij = aji

2. Matrix koefisien jalur (band coefficient matrix)

Contoh :

5 2 0 0 0 0 X 1 2 1

2 4 2 0 0 0 X 1 1 2

2 6 2 0 0 X 0 3

0 2 4 2 0 X = 7 4

0 0 2 6 8 4 2 X 9 5

0 0 0 2 6 4 X 5 6

0 0 0 0 4 2 2 X 2 1 7

T i i A X B

3. Matrix koefisien terpencar (spare coefficient matrix) Pad a m atrix type ini ban yak elemennya yang merupakan bilangan no!.

1.3.2. CARA PENYELESAIAN SUSUNAN PERSAMAAN LINEAR Banyak metode untuk m enyelesaikan persamaan linier ini, yang secara garis besar dap at d ibagi atas dua kategori utama.

35

I. METODE EKSAK ATAU METODE LANGSUNG. Metode ini meliputi sejumlah tertentu perhitungan aritm atika . yang proporsional dengan jumlah dari persamaan a tau ' 'b ilangan anu". Pada akhir dari perhitungan . akan didapat hasil yang e ksak dari perhitungan tersebut di atas. Beberapa metode penting yang termasuk dalam kategori ini antara lain :

l . Metode i nversi matrix ., Metode Cramer atau metode determinan 3. Metode Gauss-J ordan 4. Metode Eliminasi Gauss 5 . Metode Crout 6. Metode Doolittle 7. Metode Cholesky (khusus untuk matrix koefisien yang

yang simetris)

II. METODE PENDEKATAN ATAU METODE ITERASI. Metode in i dimulai dengan suatu harga permulaan dari "bilangan anu", yang dil an ju tk an dengan koreksi dan penyempurnaan pada harga-harga "bilangan anu " terse but dalam beberapa pu taran per hi tu ngan . Yang termasuk dalam kategori i n i antara lain : 1 . Met ode Gradien sekawan ( conjugate gradient method) ., M etode iterasi G:wss atau Jacobi. 3. Metode iterasi G '-luss-Sc i del 4. Metode relaxasi Di bawah ini akan d ibahas beberapa dari metodc yang telah disebutkan di atas.

1.3.3. METODE INVERSI MATRIX. Dari persamaan ( 1 .58) :

[ A] . { X} = {B}

diperkalikan dengan [ A ] - ! (A( 1 [A ] { X} = ( A ] - l {B}

[ I ] { X} = [A f 1 {B}

{ X } = (A ] - l -{ B } (I . 5 9)

36

Contoh :

Dinyatakan secara m atrix :

[ : 3 l { } = { : } - 2 I ) T i T A X B

[ A ] = [ : 3 1 - 2 J / A I = 2 ( - 2 ) - 3 . 3 = - 1 3

[ -2 -: l (A ] - 1 1 = -=-13 - 3 2 3 n 1 3

=

3 2 n 1 3

{ s } r 7 1 ==t 4 / { x} = [A( 1 { B}

j J

X 2 ]__ 7 n 1 3

= -

y 3 2 1 3 l 3

X

y

26 I = I 3 1 3 l 3 D engan demi kian didapat :

X = 2

y

1.3.4. METODE CRAMER D ari persamaan ( 1 . 58) :

[ A ] . { X} = { B} D engan metode Cramer akan didap at :

X . I

dimana : Xi D 1

D . I = -D

( 1 . 60 ) = menyatakan "bi langan anu" ke-i yang akan di cari = menyatakan determinan dari matri x koefisi en yang

sudah diubah, yai tu dengan mengganti kolom ke-i dengan kolom "konstanta" { B }

D = menyatakan determinan dari matri x [A]

Contoh :

2 x + 3 y = 7

3 X 2 y = 4

Dinyatakan secara matri x :

38

[ : _: l { : } { : } "T A

t X

i B

[A ]

{ B}

D

02

I A I 2 ( - 2 ) - 3 . 3

= - 1 3

=

=

r---, I 7 I I I : I I 4 I L _-l

7 ( - 2 )

- 26

2

3

-

3

- 2

3 . 4

,-- , 1 7 I I I I I I : 4 : , _ _ j

= 2 . 4 - 3 . 7

= - 1 3 Jadi menumt rum us pada persamaan ( 1 .60) :

X . = I D .

I

D

39

maka :

X 1 =

=

=

=

=

D .J. D

- 26 - 1 3

2

D D

- 1 3 - 1 3

D engan demikian d idapat hasi l :

X = y =

1.3.5. METODE GAUSS-JORDAN.

40

Met ode ini adalah mirip dengan metode Gauss-J ordan pada proses mencari invers dari mat rix .

Contoh :

( ! ) . 2 X + 3 y = 7

a tau

3 X 2 y = 4

[ : _: l { : } - { : } T T T A X B

Untuk memudahkan operasi, dilakukan penggabungan matrix [AJ dan { B} .

2 (A B] =

3

3

- 2

7

4

Sekarang dilakukan operasi baris pada m atrix d i atas ini.

2 3 7

3 - 2 4

3 7 2 2

0 _ _!]_ _ .!J. 2 2

3 ( - ...,. ) 2 H 1 2

(./')

H (; ) l

C/?

'r

2 H ( - 13).

(./')

l 0

0

3

0

3 2

- 2

3 2

r - ., I 2 I I I I I I I I I ! j I L-:_j

Dengan demikian didapat hasil :

X = 2

y =

( 2 ) . X + 3 y + 3 Z = - 2

X + 4 y + 3 Z = 0

X + 3 y + 4 Z =

7 2

7 2

t-- x 1

H ( - 3 ) 2 1

3 3

4 3

3 4

3 3

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

42

3 3

4 3

3 4

T A

[A B ) =

- 2

0

- 2

2

3

r-- - , I - 1 7 I I I I I I 2 I I I I 1 3 I ... _ _ - ..J

H 2 1

r--...:J

H 1 2

r-......:J

( - 1 )

( - 3 )

X

y =

z

T X

3 3

4 3

3 4

3

0

3

0

0

0 0

- 2

0

T B

3

0

4

3

0

L

- 2

0

- 2 ( - 1 )

2 H 3 1

r--..._;

- 8 1 ( - 3 ) 2 H j 1 3 3

Dengan demikian didapat hasil :

X = - 1 7 y = 2 z = 3

1.3.6. METODE ELIMINASI GAUSS. Metode ini merupakan metode operasi baris juga untuk mencapai suatu upper triangular matrix , untuk selanjutnya diselesaikan dengan cara eliminasi. Misalnya kita punya satu susun persamaan linier seperti di bawah ini :

a X + a X + a X = b 1 1 1 1 2 2 1 3 '3 1 a X + a X = b 2 2 2 2 3 '3 2

a X = b 3 3 3 3

Bila dinyatakan secara matrix :

a a a :>'; b 1 1 1 2 1 3 1 1 0 a a X = b 2 2 2 3 2 2 0 0 a X b 3 3 3 3

i T T A X B

dim ana matrix [ A ] merupakan sa tu upper triangular matrix. Dari persamaan ( 1 .63) :

x = b I a 3 3 3 3 3 Subsitusikan hasil ini ke persamaan ( 1 .62) :

X 2 =

X 3 ) I a 22

( 1 . 6 1 )

( 1 . 62 )

( 1 . 63 )

43

Untuk uatu sistim persamaan linier dengan n buah "bilangan anu", akan didapat rumus umum :

x = b I a n n nn

x . = ( b . - L: a . . :X. . ) I a . . I I I J J 1 1 un t uk = n - s ampa i dengan 1 .

j + 1 s amp a i den gan n . ( 1 . 6 4) Uraian di atas ini ialah merupakan dasar pemikiran dari metode eliminasi Gauss ini yang sebelumnya tentu saja harus didahului dengan suatu operasi baris untuk mencapai satu matrix segitiga atas (upper triangular matrix).

Contoh : ( 1 ) . X + 3 y + 3 Z = - 2

X + 4 y + 3 z = 0

X + 3 y + 4 z =

3 3 r X 1 r - z 1 4 3 '[: J = r r 3 4 i i T A X B

3 3 -2

[ A B ] = 4 3 0 3 4

3 3 - 2 ( - 1 ) 3 3 - 2 H

4 3 0 3 1 ( - 1 ) ('..) 0 0 2

H ,..-., 3 4 2 1 0 0 ! 3 : L- - -..J

44

2.

2 _ ..,

3 \ _ _ ..

Dari hasil d i atas :

z = 3 Kebetu l a n pu l a seca ra l an gs u n g d i da pa t

y 2

Bila harga dari y dan z d isubsitusikan ke baris pertama :

X + 3 y + 3 z = - 2

X + 3 (2 ) + 3 ( 3 ) = -2

X = - 1 7 Jadi : . X - 1 7

y 2 z = 3

( 2 ) . 4 X + 3 y + z = 1 3

X + 2 y + 3 z = 1 4

3 X + 2 y + 5 z = 2 2

4 3 X 1 3

2 3 y = 1 4

3 2 5 z 2 2

Dengan menukar posisi baris 1 dan 2 . akan didapat :

2 3 X 1 4

4 3 y = 1 3

3 2 5 z 22

T T T A X B

45

[ A B ] 4

3

2 3 1 4

4 3 1 3

3 2 5 22

2 3 1 4 1 H ( - 1 / 5 ) 1 1 4 3 5 5 2 I (__../'") l 0 -4 - 4 - 2 0 J 2 3

H ( 5/2 4 ) 0 1 1 5 3

0 0

Subsitusikan ke baris 2 :

y + _51 1 . z = 4 3 5 1 1 .il y + s . 3 = 5

y = 2

1 4 4 3 5 3

2 3

3

2 5

( - 4 ) H z l ( - 3 ) H

3 1

H ( 4 ) 3 2 ,..--...._;

Dari operasi matrix di atas didapat :

z = 3 -+6

1 4

1 3

22

2 3 1 4

0 - 5 - 1 1 - 4 3

0 -4 - 4 -2

2 3 1 4

0 l l 4 3 5 5

0 0 24 72 5 5

Subsitusikan ke baris I :

X + 2 y + 3 Z = 1 4 X + 2 . 2 + 3 . 3 1 4

J adi didapat hasil :

X =

y =

z =

X

2

3

1 .3 . 7 . METODE ITERASI GAUSS-SEIDEL.

X = 1

X = 2

X = 3

X = n

Lihat satu susun persamaan linier seperti dituliskan dalam perset maan ( 1 .5 6 ) : a X + a X + a X + + b . . . . . . . . . . . a X = l l 1 1 2 2 l 3 "3 l n n l a X + a X + a X + + b 2 1 l 2 2 . . . . . . . . . . . a 2 x = 2 2 3 "3 n n 2 a X + a X + a + X + b 3 1 3 2

. . . . . . . . . . . a X = 2 3 3 3 3 n n 3

a x + a x + a x + + --n l n 2 2 n 3 "3 . an n xn bn

P ade p1insipnya persamaan d i atas diubah bentuknya menjadi

b - a X - a X - . . . . . . - a l n X ) a 1 1 2 2 1 3 "3 n 1 1 b - a X - a X - a X . . . . . . - a X a 2 2 1 l 2 3 3 2 4 4 2 n 2 2 n

a b 3

- a x - a x - a x 3 1 1 3 2 2 3 4 4

- a x 3 n n 3 3

a nn b - a x - a x - a x n n 1 1 n 2 2 n 3 3

( 1 . 65) 47

48

Langkah pertama ctimulai ctengan menganggap x2 = x3 = x4 = . . . . = xn = 0 , ctan ctengan subsitusi ke persamaan ( 1 .65) , akan ctictapat :

x = b I a l l 1 1

Basil ctari x 1 tersebut ctisubsitusikan kembali untuk mencari x 2 pada persamaan ( 1 . 65) , ctimana x3 , x4 , . . , xn masih sama ctengan nol, akan ctictapat

X 2 a 2 2

b - a x 2 2 1 1

Demikian seterusnya sampai ctictapat harga xn , ctan selesailah suctah perhitungan pacta putaran pertama. Hasil ctari putaran pertama ctisubsitusikan kembali pacta persamaan ( 1 . 65) menghasilkan perhitungan putaran kectua, ketiga . . . . . . . . . , ctan seterusnya, sehingga akhirnya ctihentikan setelah ternyata hasil ctari putaran terakhir sama atau hampir sama ctengan hasil dari putaran sebelumnya.

Contoh :

5 X + 4 y + 3 z = 1 2 4 X + 7 y + 4 z = 1 5

3 X + 4 y + 4 z = 1 1 Susunan persamaan cti atas bisa ctiubah :

X = - 0 , 8 y - 0 , 5 7 z - 0 , 75

Putaran I : y = 0

z 0

menghasilkan , X = 2 , 4

X 2 , 4

z 0

y X

X

0 , 6 z + 2 , 4

0 , 5 7 z + 2 , 1 4

( J )

y + 2 ' 75

menghasilkan y = - 0 , 57 . 2 , 4 + 2 , 1 4 = 0 , 722

(2 )

X = 2 , 4

y = 0 ' 722 ( 3 )

menghasilkan z = 0 , 228

Putaran li : y = 0 , 722

z = 0 , 228 ( 1 )

menghasilkan x = l , 6856

X = 1 , 6856

z = 0 , 228 (2 )

menghasilkan y = 1 , 05

X = l , 6856

y = I , 05 ( 3 )

menghasilkan z = 0 , 43

Pu taran Ill :

Diulangi langkah yang sama.

Putaran VII X = 0 , 99 y = 1 , 06

Putaran VI I [ X = 0 , 98 y = 1 , 04

I I Putaran IX X = 0 , 99 y ::; 1 , 03

Iterasi dihentikan.

z = 0 , 95

z = 0 , 97

1 z = 0 , 98

49

50

Dari hasil iterasi d i atas didapat hasil :

X 0 , 99

y 1 , 03 z 0 , 98

2 METODE MATRIX UNTUK ANALISA

STRUKTUR

2.1. PENGERTIAN UMUM

Metode Matrix adal ah suatu p emikiran baru pada analisa struktur, yang berkembang bersamaan dengan makin popu lernya penggunaarr komputer o tomatis untuk operasi-operasi perhitungan aritm atika. Di dalam ilmu Mekanika Teknik, konstruksi yang paEng sederhana adalah konstru ksi statis tertentu. Namun pada kebanyakan perencanaan teknis yang nyata, konstruksi y ang dijum p ai akan mempakan struktur-struktur yang cukup komplex. Analisa suatu konstruksi yang statis tertentu memang akan dapat segera diselesaikan dengan hanya menggunakan beberapa persamaan kesetimbangan. Misalnya kalau ingin menghitung gaya-gaya batang pada suatu rangka batang y ang statis tertentu baik external m aupun internal, m aka cukup mempergunakan persam aan-persamaan kesetimbangan untuk menyelesaikannya, tanpa perlu menghiraukan deformasi yang terjadi pada konstruksi tersebut. Penyelesaian konstruksi yang demikian ini hanya sering dijumpai pada persoalan teoritis yang ada dibuku . Tidak demikian halnya dengan konstruksi-konstruksi statis tak tentu, terlebih lagi yang cukup komplex. Suatu konstruksi nyata yang ada, pacta umumnya akan terdiri dari banyak bagian yang komplex. Geom e tri dari elemen-elemen individu, atau struktur secara keseluruhan, sering k al i tidak uniform d a n tidak teratur. Konstruksi-konstmksi demikian sudah tidak mungkin lagi diselesaikan hanya dengan memakai persamaan-persam aan kesetimbangan, sehingga dengan demikian perlu disederhanakan, diidealisir, dengan harapan agar dapat diselesaikan berdasarkan analisa matematik yang sederhana, yaitu sedapat mungkin dal am hubungan persamaan-persamaan yang linier . Analisa stmktur dengan metode matrix telah m em berikan kemungkinan-kemungkinan bagi proses idealisasi ini . Seperti diketahui, suatu hal yang utama yang berhubungan dengan proses dari perencanaan struktur ialah menganalisa apa akibat dari pembebanan gaya-gaya pada konstruksi yang ditinjau. Tingkah laku dari konstru ksi ini pada umumnya berhubungan sangat erat dengan perubahan stress dan strain yang terjadi padanya. R esultante stress ini bisa dalam bentuk gaya dalam, yaitu momen lentur, gaya lintang, gaya normal . momen torsi, sedangkan strain bisa menyatakan deform asi yang terjadi pada konstruksi. Dalam menganalisa perubahan ben tuk ini. perhatian akan lebih baik dipusatkan pada lendutan linier a tau anguler yang terjadi pada titiktitik diskrit ( titik-titik putus ) dari konstruksi. Dengan demikian yang perlu u ntuk dianalisa mula pertama ialah sifat dan tingkah laku dari elemen-elemennya bila dibebani oleh gaya-gaya. Di sini bisa didapatkan keuntungan bahwa hasil analisa satu elemen, dapat dipakai untuk elemen-elemen lain yang sejenis. Kemudian digabungkan sifa t-sifat

53

dari elemen itu dalam satu model matematik dari konstruksi. dan mt:nyatakannya dalam suatu kondisi yang tergabung, di mana dalam hal ini syarat kompatibiliti dari segi geometrik konstruksi harus sudah dipenuhi. Di samping itu, syarat kesetimbangan statis hams juga terpenuhi, baik dipandang dari segi seluruh konstruksi maupun untuk masing-masing elemen. Setiap elemen dari konstruksi harus berada dalam kesetimbangan sebagai akibat dari semua gaya yang bekerja padanya, baik itu beban-beban luar. atau gaya reaksi, maupun juga gaya-gaya yang datang dari elemen-elemen tetangganya. Bila proses ini sudah diselesaikan, maka tingkah laku dari konstruksi keselumhan yang disebabkan oleh bekerjanya gaya-gaya luar akan bisa ditentukan.

Dengan demikian dapat disimpulkan di sini, bahwa hal yang utama dalam analisa struktur untuk menentukan baik itu deformasi ataupun stress yang terjadi pada strutur, ialah sampai se jauh mana sudah diketahui sifat karakteristik hubungan gaya dan deformasi dari eleemen-elemen struktur, dan memaksakan terpenuhinya semua syarat komp atibiliti dan kesetimbangan. Jadi. tiga hal mendasari analisa ini. yaitu:

\. kesetimbangan 1 hubungan stress dan strain, atau gaya dalam dan deformasi 3. kompatibiliti, atau kontinuitas dari deformasi.

Dalam analisa matrix ini, dikenal dua c ara, yaitu : 1. metode kekakuan (stiffness method, atau displacement method) 2. metode f1eksibilitas (flexibility method, a tau force method). Kedua metode ini masing-masing akan diuraikan lebih lanjut pada pasal di bawah ini.

2.2. METODE KEKAKUAN

54

Dengan metode kekakuan ini sebenarnya dicari hubungan gaya dengan lendutan. atau dinyatakan secan1 matematis :

{Q} [K]. {D} (2.1)

{Q} menyatakan gaya-gaya yang timbul pada titik-titik diskrit akibat diberikannya lendutan {D} pada titik-titik tersebut. Tentu saja gaya {Q } adalah gaya yang koresponding dengan lendutan { D}. Sedangkan [ K] menyatakan kekakuan dari struktur. 'vletode kekakuan ini juga disebut metode lendtltan (displacement method L karena analisa dimulai dengan "Jendutan ''. sehingga dt:ngan

demikian uru tan kerjanya secara garis besar adalah sebagai berikut : 1 . kompatibiliti; yaitu mencari hubungan an tara deform asi dengan

lendutan. atau secara tegasnya mencari deformasi apa y ang t erjadi pada elemen-elemen dititik-t i t ik ct'i skrit akibat diberikannya lendutan pada struktur dititik-titik tersebut;

.., persam aan hubungan stress dan strain . yaitu mencari hubungan mengenai gaya-gaya dalam yang timbul sebagai akibat adanya deformasi pacta elemen-elemen struktur terse but;

3. keset imbangan: langkah terakhir yang menyatakan hubungan gay a luar dititik diskrit dengan gaya-gaya dalam . atau mencari berapa besar gaya luar diujung elemen yang tepat diim bangi oleh gayagaya dalam elemen d ititik-titik diskrit.

Dengan menggabung ketiga langkah ini, akan didapatkan hubungan gaya dan lendutan sebagai dinyatakan oleh p ersamaan (2.1 ). Perlu kiranya ditam bahkan di sini. karena metode kekakuan ini analisany a dimulai dengan lendutan, kem udian mencari hubungan pacta gaya-gaya yang timbul dititik-titik diskrit, m aka akan sangat menguntungkan untuk memakai metode ini menganalisa suatu konstruksi dim ana ketidak-ten tuan kinematisnya (yang b erhubungan erat dengan derajat kebebasan atau degree of freedom ) adalah lebih kecil bila dibandingkan dengan ketidak tentuan statisnya. Dengan demikian, konstruksi-konstruksi statis tak tentu yang sering dijum pai pada umumnya. akan lebih menguntu ngkan b ila dianalisa dengan metode kekakuan ini . karena umumnya konstruksi-konstruksi ini mempunyai derajat ketidak-tentuan statis yang besar.

2.3. METODE FLEKSffiiLIT AS. Prinsip dari me tode fleksibiltias ini adalah kebalikan dari m et ode kekakuan. Dengan metode ini dicari hubungan lendutan dan gaya, atau dinyatakan secara m atematis :

{D} = [F]. {Q} (2.2) { D} menyatakan kndu tan d it i ti k d is krit yang koresponding dengan gaya { Q}. [ F ] menyatakan fleksibilitas dari struktur. \lletode tleks ib ilitas in i juga disebut sebagai metode gay a (force method ) karena anal isa dirnulai dengan ''gaya. yai tu gaya-gaya diti t ik diskrit . Ini adalah kebalikan dari m etode kekakuan . sehingga urutan kerja analisa secara garis besar dalah sebagai b e rikut : I. keset im bangan: yaitu berdasarkan prinsip keset im bangan menghi

tung gaya dalarn yang timbul pada elemen-elemen struktur akihat

55

..

bekerjanya gaya-gaya luar dititik-titik diskrit; atau dengan kata lain dicari hubungan gaya dalam dan gaya luar:

,., persamaan hubungan strain dan stress; yaitu mencari hubungan mengenai deforrnasi yang terjadi pada elemen akibat adanya gayagaya dalam terse but:

3. kompatibiliti: yaitu mencari hubungan antara lendutan yang terjadi pada struktur dititik-titik diskrit, ctengan deformasi yang timbul pacta elemen-clemen struktur, dimana antara lendutan ctan deform!si harus memenuhi syarat kompatibiliti. Di sini ctituntut kontinuitas dari cteforrnasi yang terjacti pacta elemen-elemen struktur.

Dari tiga langkah ini, akan dictapat suatu hubungan seperti yang ctinyatakan oleh persamaan (2.2). Sebagaimana uraian pacta pasal sebelumnya, perlu kiranya ditam bahkan di sini. bahwa karena metode ini dimulai dengan analisa kesetimbangan gaya untuk mencari gaya dalam sebagai akibat bekerj:mya gaya-gaya luar. maka metode f!eksibilitas ini akan lebih sesuai bila digunakan untuk menganalisa konstruksi dengan derajat ketictak-tentuan statis yang keciL atau konstruksi-konstruksi yang statis tertentu. Hanya sayangnya konstruksi semacam ini tictak banyak ctijumpai pada perencanaan struktur yang nyata.

2.4. BEBERAPA CONTOH PERBANDINGAN

56

Di h1wah !ni diberikan beberapa contoh alternatif analisa dengan metocte fleksibilitas dan metocte kekakuan.

I I

(1) A l I t 1 J. ; ; ! I rnl_B ' i

metode fleksibilitas 1 metode k ekakuan (force method) (displacement method)

ketidak-tentu I 1 -an statis I ketidak-tentu I 1 -an k i nemat is I

'

s::ruktur I I ' -,. j t- - :-:-:-

a-h----+1-----, .-.. -.t-- -._.-._--.L-J --1-0--------f-T-< -;-- _li_l_r ij - _,., . . or' / L.BEI

mendapatkan oesa r 1 endutan diujung elemen

I

5 7

(2)

1 2 .t

111. ! me to de fl eks i b i 1 i tas 11 metode kekakuan 111 _

1 (force method) (displacement method)

I' :--;tu:--11 l, I statis

I I -t-------- 1 .I :::i :entuan I 1 3 ! I Struktur dasar I _.. L hl fr----l I 11 '!:2it x -=- Q lH I H :} (ttr; d 1 v l - Langkah pertaf!\3

q.4 0 = =3' - I 1 2 1 50'+ El QA Q8c=Tiq(2.) 1, = _!_ q.2 48 . I 1 2 1 QsA = Qc = - w o t I I ._L_a_n_g_k_a_h_k_e_d _u_a _ _._ _____ --:------- D Q , \ (.DB . C /

,._-tQ

I ','iS --;\ .-- . ' I '-"------ tFQ __ ..-- -w , "' . ,, , .I .e3 -

----

i o"t: os QBc - DC'/ j

58

F = '48EI / Q = KAA DA + KAs Ds I I I I Q'sA = KsADA+KssDs I I Q' se = Kss Ds + Ksc De 1 ! Q'c = Kc8 Ds + Kcc De ' I I I KAA=Kss=Kcc= = BE I I ..!.. 2 2E I I

KAs=KsA=Ksc=Kcs= -'- 2

4E I k

Kompa t i b i 1 i t i D + FQ = 0

Q - qt

I Has i I ana 1 i sa

--

U J t'J:..Ll.Ll J JF___ _ _ _.:::''21..

q L 8

mendapatkan besar g ya dititik diskrit

I

] 0 , 1 > I

,.,, \LJ

QC + Q' = c 0 (3)

Da r i (1). (2) dan (3)

384 El 0

mendapatkan besar 1endut

an dititik diskrit

59

(3)

q AJ t l! H UJlUJ.lt t B

_!_i _!_i

' I I I

ke t idak tentuan s tat is

1 kwdek ti:" I Langkah pertama

---------T Laogkah ked"'

I

60

2 x--'2::___--7

metode fleks i b i 1 i tas (force method)

D' A D' B D' c FAA

FAB

FAC

FBB

FBC

Fee

3

F AA QA +F AB QB +F A CQC

FBAQA+FBBQB+FBCQC

FCAQA+FCBQB+FCCQC

3fT 2 =-F = _i_ BA l6E! = -

;:: . CA

= 1iEET + FCB

t 3IT

=+-6EI

.2.2 "i6fl

met ode kekakuan (displacement method)

I I

QsA KBB.DB

Qsc KBB. 0B

KBB == 1

2i .!.

---:------,---Kompa t i b i I i t i

Kese t i mbangan

Has i 1 ana1isa

I

DA + DB +

DC +

Oar i

QA =

QB =

D' = 0 A D' = 0 B D' = c 0

(I)' (2)

1 2 + 1iE" qi

1 qi - 2

62

hd1 apal

3 METODE KEKAKUAN

3.1. INTRODUKSI

Metode kekakuan iaiah suatu cara untuk analisa stru ktur, dimarra J abm p roses perumusan dari analisanya, diambil lenJutan diti tik-t i t ik diskrit seb agai besaran "anu" yang hendak dicari .

Metode kekakuan in i sebenarnya bukan meru pakan cara analisa yang bam . karena sebenarnya metode in i sudah dikenal sejak tahun 1880. Tapi meman g metode i n i baru menjadi berkem bang pcsat dan disukai orang pada waktu akh:r-akhir ini, yai tu seiring denga n kemajuan pesat dari penggunaan komputer elektronik otomatis . yang ternyata sangat memudahk::m operasi-operasi m atematiknya.

Berhubung dengan hakekat dari metode kekakuan in i , maka analisa s truktur akan selalu dim ulai dengan m em berikan pad a struktur bersangkutan beberapa besaran "anu" yang dalam ha! i ni ialah mempakan lendutan pada t i t ik diskrit sebagai besaran yang hams dicari . Sesuai dengan tahapan-tahapan yang telah disinggung pad a p asal 2.2, m aka dalam proses analisa tersebut akan mengenal beberapa matrix yang penting sebagai berikut :

(I) Matrix deformasi [A), suatu matrix yang menyatakan hubungan kom pat ib il i t i, atau hubungan deform asi dan lendutan :

{d} = [A] {D} (3 .1) dim ana { d} menyatakan deformasi dari elemen struk tur

[A] adalah matrix deformasi { D} menyatakan lendutan Ji t i t ik Jiskrit .

(2) Matrix kekokohan intern e!emen [ S), suatu mat rix yang memenuhi Hukum Hooke. dalam mana dinyatakan hubungan antara gaya dalam dan deformasi

{H} = [S] {d} dimana { H} menyatakan gay a dalam elemen

[S] adalah matrix keko kohan inte rn e lemen { d} menyatakan defonn asi clemen .

( 3 .2)

(3 l Mat rix statis [ B I. suatu matrix yang menyatakan keset im bangan . antara gaya luar dan gaya dalam :

{ Q} = [ B ] { H} U .3 ) Jimana {Q} menyatakan gaya luar yang be ke!ja d i t i t ik diskrit

[ B ] adalah matrix stat is {H} menyatakan gava dalam elemen

65

r

Bila ketiga m atrix cti atas ctigabungkan, maka akan ctictapat hubungan {Q} = [B) {H} {Q} = [ BJ ( [S] {d} ) {Q} [B] [S] ( [A] {d} {Q} [B] [S] [A] {D} {Q} = lK} fD}

(3 .4) (3 .5) (3 .6) (3 .7).

l:'ersamaan (3. 7) men1pak:m pcrsamaan inti d::ri metode kekakuan ini , dim ana [ K J adalall rnatrix k:kakuan struktur, dengan pcngertian :

[ K] = . -1 l:J; [A] (3 .8) ,' :di salah satu tujuan ter1ninal yang penting H.i2.lan1 proses an

Suatu struktur dengan derajat ketidak-tentuan kinematis sama dengan nol juga disebut kinematis tertentu.

Di bawah ini dlberikan beberapa macam struktur bidang yang akan ditunjukkan berapa deraja t ketidak-tentuan kinem atisnya.

----

1 r.v== I I !' (a) ;..., ------4

'5I

I I I (b) I ......::... i I I l(c) ---1 _, I

Kompor.en bcoa da;i lendutan dititik pe.rtemuan

Derajat ketidak-tentuan j

0

2

2

kineatrs

1

67

(d)

(e)

Koonen bebas da r i lendutan dititik pertemuan

Derajat ketidak-tentuan ki nemat is

6

3 dengan mengabaikan defonmasi axial dari elemen.

Gam bar 3. 1 Derajat ket idak-ten tuan k inematis dari st ruk tur di t unjukkan oleh hanyaknya vektor lendutan ymg mungk i n terjadi ditit ik bebas. dimana a rah vek tor pada gambar menunjukkan a rah vektor yang positip .

68

3.3. DASAR PERHITUNGAN. Dalam pasal ini. akan dijelaskan secara mendetail um t-umtan analisa dari suatu konstruksi bidang ( dua dimensi) dengan mendasarkan pada metode kekakuan. Sekarang d ilihat satu konstruksi seperti ditunj ukkan gam bar 3.2. (a). Sdanjutnya akan diikuti umtan dari proses analisanya.

111:, l _r.

/"" r r--J*u'w'ut*------l------ ----\-------. -

----_Jt

z

(a) konstmksi statis tak tentu dengan pembebanan gaya-gaya

(b) deraj at ketidak-tentuan kinematis : 3

Subsitusi harga x3 dan x ke persamaan ( 1 .61) :

E I 1

t,

X b - a X - a 12 2

' El2 I EI3 --...- \2 \3 '

(d l stmktur dasar yang mefupakan stmktur yang dikekang.

3 X ) I a

3 11

I -

70

1 e) d iberikan D 1 = 1 satuan

( D diberikan D2 = 1 satuan

(g) diberikan D3 = l satuan

(h) diagram H-d. dim ana ( H} merupakan reaksi elemen yang dikebng terhadap diberikannya deformasi { d}

1j) d iagram kesetimbangan.

Cambtr 3.:. -\rniisa balok di atas beberapa perletakan.

Konst mksi ini ial ah b al ok menems d i atas empat perletakan . sat u jep it d an t iga sen d i. merup ak an suatu k onstruksi dengan derajat ke t idak-tentu an k inematis sebesar 3 (gam bar 4.2.b ). Langkah pert am a ial ah menyel id ik i kom p atibi 1itas d ari struk t ur, dengan jalan mem berik an berturu t -turut lendutan 01 = 1. 02 = 1 dan 03 = 1 (gam b ar 3.2.e. 3.2.f dan 3.2.g). Mudah d apat kita l ih at , bah wa :

dz d3 = ol

atau d isusun secara s istim atis :

Bil a d in yatakan dalam hubungan m atrix :

(3. 9)

- 1

.,,., t_

{ d} = (A] {D} (3. 10)

0 0 0 +- dl 1 0 0 + dz 1 0 0 + d3

[ A ] = 0 0 +- d4 0 0 + ds (3. 1 1) 0 0 + d6 t t t

D1=1 D2=J D 3=1

Langkah kedua ial ah m e nye1idiki h ub ungan gaya da1am dan de form a si dengan mel ih at t iap -qap eleme n sebagai b agian yang d iskrit . se perti pacta gamb ar 3.2.h . Da ri s ifat e last is d ari eleme n, d idapatkan h ub ungan :

1 Hlll 1 HzL1 d 1 -- - 6 3 E I 1 E l1 (3.12)

1 Hlll 1 Hzll

dz = - 6 --+ E I 1 E I 1 3

d im ana d meny at akan de form asi yang terjadi d iuj ung elem e n. H meny atak an gay a d al am y ang ada ' d iuj ung elemen. dal am

ha! ini m om e n lent ur .

Sebe narny a p ers. ( 3.12) ini sud ah bukan h a ! y ang a si ng l agi. karena sudah sering dijumpai d al am analisa s trukt ur dengan me t od e perp utaran sud u t ( sl ope det1e ct ion method l. Bil a pers . (3.12) d iinverskan. akan d id apat:

4 E I 1 2 El 1 H l Ll dl + L l

dz

2 E l 1 4 E I 1 Hz = d l + dz ( 3. 13) L l L 1

Analogi dengan pers. (3.13) akan didapatkan hubungan:

4 E12 2 El2 H3 = d 3 + d4 (3. 1 4) Lz Lz

2 El2 4 E12 H4 = d3 + d4 Lz Lz

4 E I 3 2 El3 dan Hs = ds + d6 L3 L3

(3 . 15) 2 E I 3 4 E I 3

Hs = ds + d6 L3 L3

Bila hubungan ini dinyatakan dalarn bentuk matrix .

4 E l1 2 E l1 H1 _L_l _ _ L_l_ 0 0 0 0 dl

2 E 11 4 E 11 H2 _L_1 _ _ L_l_ 0 0 0 0 d2

4 E 12 2 E12 H3 0 0 """[2 L2 0 0 d3

2 El2 4 E12 H4 0 0 L2 L2 0 0 d4

4 E I 3 2 E I 3 Hs 0 0 0 0 _ L_3_ _L_3 _ ds

2 E I 3 4 E I 3 H6 0 0 0 Cl L 3 L 3 d6 \

a tau { H} = [ s] id} ( 3. 16)

dim ana matrix [ S! mcrupabn band matrix :

73

[ s]

74

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

4 El3 2 E I 3 0 0 0 0 L3 L3

2 El3 4 El3 0 0 0 0 L3 L3

t t t _.. I dl=l d..,=] d3=1 d4=1

t .._ I ds=l dEi= I (3.17)

Jadi sebenarnya ilLttrix lSl ialah suatu matrix yang menyatakan berapa bcsar glYt Lbbm {H}yang timbul diujung demen bila dititiktitik tersebut clibcrikan satu satuan deformasi t dt. Langkah ketiga, menyelidiki tentang kesetimbangan gaya luar dan gaya dalam. Melihat gambar 3 . .2. !i):

Ql = H, + Q2 = H4 + Q_, = Hf>

Bila Jinyatakan secara matrix :

0 0 0

0 0

0 0

0

0

H3 Hs (3. 1 8)

0 0

0 (3. 19)

a tau { Q} = [ B ] {H} (3 . 20)

dimana,

0 0 0 0

[B] = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

(3. 2 1)

Satu tujuan term inaL ialah mendapatkan hubu ngan :

{Q} = [ K] { D } (3 . 2 2) d im ana menurut persamaan (3.8) dapat d inyatakan :

[ K] = [ B ] [S] [A] (3 . 23 ) Untuk mendapatkan lendutan. m aka persam aan (3.22) dapat d iin verskan se bagai :

{D} = [Kr 1 {Q} (3 .24) d im an a { Q} men y atak an gay a-g aya luar yang bekerja d it it ik -t itik d iskrit, { D} menyatakan 1endu t an dit it ik bersangk u tan yang korespond ing dengan gaya{Q}. Dari persum aan (3. 1 1 ) d an ( 3.2 1 ) . t crn yat a d ida p at kan :

[ B] = [A] T (3.25) Persam aan (3 .25) ini dapat dibuktikan d engan prinsip kerja virtuil .

Q ;': -------------------------(a) gay a luar virtui1

------------------0-------------(b) lendutan aktuil

Cambar 3 .3. Konstruksi balok rnenerus pada mana dik erjak an gaya virtuil .

75

Misal nya pada konstruksi yang scdang di bahas tersebut d i kerjakan gaya virtuil Q* (gam bar 3.3.al sehingga tim bul gaya dalam H* pada elemennya. maka dari p rinsip ke rja v irtuil akan didap atkan hubungan ( dinyatakan dalam p erkalian matrix l :

Dengan melihat :

T } ,_ T } {Q'} {D = {H'} {d

{d} = [A ] {D}

dan {Q'''} = [ B ] {H

,,}

T T T atau {Q'''} = {H'''} [ B ] m aka persamaan (3.26) bisa d ituliskan :

T ] T .... T ] {H>':} [ B {D} = {H"} [A {D}

Bila disederh anakan. akan memberikan :

[B ] T = [A] atau [B] = [A] T Dengan dem i kian persamaan (3.23) akan bisa d ituliskan :

[K) = [A ]T [S] [A)

(3.26)

(3.27)

(3.28)

(3.29)

(3.30)

( 3.3 I ) (3.32)

(3.33)

Deng an demikian persam aan (3.8) telah diperm udahkan. yaitu untu k menuru nkan matrix kekakuan f K ], cukup hanya m enurun kan d u a matrix pembentuknya, yaitu matrix deformasi [A ] dan matrix kekokohan intern elemen [ S ] .

Untuk mengh i tung g aya dalam, d igunakan hu bunga n : {H} = [ S ] {d}

atau {H} = [ S ] [A ] {D} (3.34) (3.35)

dim ana {D} ialah matrix l endutan d i ti t i k d iskri t yang d iperoleh dari perhitungan berdasarkan persamaan (3 . .24).

3.4. APLIKASI

3.4.1. KONSTRUKSI B.ALOK MENERUS

76

Sebniurnya akan dib..?rikan beberapa contoh pemakaian metode keLtkuan ini pada analisa struktur. Contoh 3.1 Di bawah ini akan dibahas secant singkat analisa dengan metode kekakuan untuk konstruksi dengan derajat ketidak-tentuan kinematis tingkat I.

er= 600 kg/m I

A J nnn:Fnfnn*n*H"ti'**HH r C /' 10 M 1 8 M ' I I

(a) konstruksi yang akan diana1 isa.

--------1------t (b) struktur dasar yang dikekang.

t)C )(l)C \ ( I )\j; - 5 000 ... 5000 - 3200 ... 3200

( c) momen primer (fixed-end moment).

Momen p r i mer 1 2 ; - 12 .600.6 = -5000 kg.m

MBC = -MCB

= 1 2 - T2 .600.4 -3200 kg.m

( 0 1 :CS.

t-----i----7-----tl (d) derajat ketidak-tentuan kinematis : 1

Q 1, 1800 kgm I (e) gaya 1uar ekiva1en dititik diskrit yang koresponding

dengan 1 endutan D 1. Ql = 5000 - 3 200 [kg. m].

(f) diberikan D 1 = 1 satuan

77

(g) d i ag ram H-d

(h) d i ag ram keset i mbangan.

Gamba r 3. 4 Balok atas tiga tumpuan .

Melihat gam bar 3.4 (t), dengan mudah akan didapatkan :

0 +- dl [A) = 1 +- d z

+- d 3

0 +- d4 t

D1=1

Da ri gamb a r 3. 4. (g)

4 E l 2 E l 10 --0- 0 0

+- Hl

[S] 2 E l 4 E l

10 10 0 0 +- Hz

0 0 4 E l 2 E l -8- tr +- H3

0 0 2 El 4 El --g- +- H4 0 .... t I t ; t

dl=l d2=1 d 3= 1 d4=1

78

I

( 0,4 [ S ] = E f l 0,2 0 0

Dar i persamaan (3. 3 3)

[K ] = [A ] T [ S] [A ]

0,2

0,4

0

0

0,4

0 , 2

0

0

0

0

0 ,5

0,25

0 , 2

0 , 4

0

0

{ 0,2 0 , 4 0,5 0 , 25} [K ] =

[K(l

0,9 E l

l 0 , 9 E l

" 0 I I

/25J 0,5

0

0

0 , 5

0,25

0

0

oJ 0 , 5 j

E I

0

0

Dengan m engubah gaya q menjadi g

r

80

{H}

Hl Hz =

H 3 H4

H l = 400 Hz = 800 H3 1000

H4 500

/ 0,4 0,2 0 0

0,2 0,4 0 0

0 0 0,5 0,25

0 0 0,25 0,5

0,2 0,4 . 2000 0,5 0,25

4ob 800

1000 500

kg.m

kg. m

kg . m

kg . m

AIV ')\. ' L.OO )(:&)E 800 1000

Gambar 3.5 Distribusi gaya dal am.

0 E l 2000 El

0

Hasi l yang d i tunjuk kan oleh gambar 3.5 ialah menyataka n besarny a momen len tur ( d al am ha! i n i sebagai m omen batang. bukan se bagai mome n t i tik) yang J idistribus ikan ke batang

Dengan melihat juga gambar 3.4. (c). akan didapatkan :

r+--4oo l I I I Boo I ! + l : + 1 ooo I

"' , 'c I

= L -i- _SOG_j

!) '11 tl '1 (_)" \...!tt..l...:

t " ,-.

- r -500 1 I I

- I -"-5000 i \

- I - 3 2 0 0 I +3200 ; !._ ___ _,.!

+5400 kg.m

-4200 kg.m -t-4200 kg.m -2700 kg.rn

more n p r : me r

:tcr: ... :Jkan mon1('1l 1_,ltang, bukan n1on1t..\ll titik. C:onroh 3.2. : Scblg:.>i contoh kedu! arin dibah:; ltllU konstruksi kinem

82

I ( e ) J iberikan o = 1 satu an

(t) diagram H-d

1 g ) d iagram kesetim bangan Gam bar 3.6 B

4 2 0 0 6 6

[ s] El 2 4 0 0 6 6 0 0 4 2 4 4

0 0 2 4 4 4

2 I 0 l 3 3

0

El I 2 0 0 2 3 3 0 0 3

2

0 0 I 4 2 2 3 4

Selanjutnya dihitung matrix kekakuan [ K] :dr.L, Ji;flrtr i

[ K) = [A)T [ S) [A)

2 1 0 0 1 0 3 3 - 6

1 1 1 1 1 2 0 0 1 El - 6 - 6 4 4 3 3 - 6

0 0 1 0 0 2 4

0 0 1 0 2 4

1 0 - 6 ' 1 1 3 3 1

- 6 - 6 8 8 - 6 El =

1 2 l 3 3 2 4

1 0 4

83

f

{ D }

{ D } =

f K ] =

' [ K]

[ K J - 1

---- --------

r 0,24 30 0 , 2 0 8 3 1 I E l 0,2083 1,6667 J

( , 'I" I'- "! 1 ! ',boo; -o,2os3 I =

0.36 1 7 El ! -0,2083 I 0,2430 i I " / { Q}

( ., ( I i 6 667 -0 ?o i I ' . uu5 ! I 0 361 7 E I I ' I i - 0 , 2 0 8 3 0 ,2430 i

( I l I I '

.... ) "-

46 07,85 l 575 9 J' El

' - I 000

0

Selanju tnya akan bisa dihitung gaya dalam

{ H} =

84

( s ]

El

;- I

[A ]

( "' L 3 1 3

0

' -'"\ " I \ /

{ D }

1 0 3 2 0 3

0

0 ,,

3 -..

"7 b ., )

3 d 3 8 2

0

0

1 2

)

/ .

< I

l ) /

L 1 0 I 6 I 1 l - 6 I

4

4

- 6 9 7 '8 2 El

57 s , ::;

0

f 46 07.8 5 E l I 575,89 I I El I "

1 I I /

/'--. 9 60

r

l H 1 Hz H 3 H 4

:J i152

9 6 0

1 1 5 2 - 1 1 5 2 -14 4 0

j' ../ 1152 ll.L.O

. -------"6--'- M_:__ ___ __ .,.___ ___ 2L.M-----------

Gambar 3 . 7 D istribusi gaya dalam.

Maka didapatkan hasil anal isa :

MA = 960 kg .m MB = - 1440 kg.m MeA = - McB = 1 1 52 kg.m

B ila dibandingkan hasil ini dengan rumus yang sudah d ike tahui :

MA 1000.6 .42 = 960 kg.m

=

[02 -- 1000 .624 = - 1440 kg.m

[02 Tcrnyata hasilnya sama.

Contoh 3 .3 . : Pada contoh soal yang selanjutnya ini. akan dipcrlihatkan bagaimana proses analisa bila konstruksi pada contoh 3.2 dikombinasibn dengan suatu pcrletakan elastis dititik C. 1 1000 kg A t. ------E-1----------------, --------------- B

6M

(a) konstruksi yang akan dianalisa. dengan sa tu perletakan elastis dimana k = 0.5 El

85

V

(b) derajat ketidak-tentuan kinematis : 2 1' o,

(c) diberikan D1= 1 satuan l Q:- -1000

(d) gaya ekivakn dititik diskrit yang koresponding clengan lendutan D 1 Q: -1CXX)- k 01

( 1.') penyederhanaan dari gam bar (d). Gambar 3.8. konstruksi balok menerus atas perletakan dastis. 86

I -

o, ---+--

Persoalan pada contoh soal ini sebenarnya sama dengan contoh 3.2, karena mempunyai elemen batang yang sama dengan derajat kebebasan yang sama pula. Maka proses analisa tidak akan mendetail dibahas lagi di sini, dan langsung akan mendapatkan matrix kekakuan :

[ 0 , 2430 0 , 2 08 3 ] [K] E l 0 , 2083 1 , 6667 1 ' 6667 - 0 , 2 083

[ K) - 1 1 =

0 , 3 617 E I - 0 , 2083 0 , 2430

Proses selanjutnya akan terlihat adanya perbedaan dengan analisa contoh soal yang lalu, yaitu dalam menetapkan vektor gaya yang bekerja, yang disamping ditentukan oleh gay a luar yang diketahui Q = 1 000 kg, juga dipengamhi oleh gaya pegas kD 1 .

{D} = [ K) -1 {Q}

{ :} r 1 , 6667 -0 , 2083 l r ( - 1 000 - kD l )l 1 I I J = 0' 36 1 7 E l i I I l - 0,2083 0 , 24 30 J I 0 i l j ' 1 . 1 , 6667 ( - 1 000 - kD 1) Dl 0 , 36 1 7 El

Dl = 1 ,6667 ( - 1 000 - 0, 5E I . D 1 ) 0, 3617 E l

4608 - 2 , 304 D1 Dl E l

4 608 E l

-1394,7/E I

87

..

Dz = 0,36: 7 E l (-0 , 2083) (- 1 00 0 + 0 , 5.E I . 1 394 , 7/E I )

D2 = 1 74 , 3/EI . Berdasarkan basil l endutan D 1 dan D2 yang d idapat , b isa d ibitung gaya dal am yang t imbul pada el em en struktu r.

I 1 - 6 3 {HJ E l I 2 = - 6 3

3

l 8 3 8 2

Hl 290 , 5 Hz 348 , 7 H3 -384 , 7 H4 -435 , 9

Dengan d em ikian d idapatkan basil anal isa : MA = 290 .5 kg .n 1 \'leA 348. 7 kg.m YlcB = - 348.7 k g. m MB = -435 .9 kg.m

- 1 394 , 7/E I

1 74 , 3/E I

3.4.2. KONSTRUKSI PORTAL B IDANG TANPA PERGOYANGAN PADA MANA DEFORMASI AXIAL DIABAIKAN

88

Dalam pasal ini akan d ib ahas anal isa Jari konstruksi portal bidang. Diketah u i d ua macam kon st ruksi p ortal b idang. yaitu p ortal tanpa p ergoyangan dan portal Jengan p ergoyanga n , sep erti d itunju kkan oleh gam b ar 3.9 . I

(a ) p ortal tanpa p ergoyangan .

'

i

' i

-' r I . . . (

,///

(b ) portal menerus tanpa pergoyangan.

,_ -----------., \

(c) porta l dengan pergoyangan .

Gam bar 3 .9 konstruksi portal dengan tit i k hubung kaku.

Contoh 3.4 : Dalam pasal i n i akan d icoba d i bahas anal isa porta l bidang tanpa pergoyangan. d im ana defom1asi axial dari ekm cn-elemcnnya J iabaikan.

89

600 1

625

288

1 c) M omen primer.

---------- \ \

(d) Derajat ketidak-tentuan kinematis : 2

(e) Gaya ekivalen dititik diskrit yang koresponding dengarr lendutan D.

Q1 = 432-625 =- 193 kg.m Q2 = 625 -432 = 193 kg.m

91

( f) Di berikan D 1 = 1 satuan

(g ) D iberikan D 2 == l satuan

-\ 1 \ .. __ ) H,

( h ) Diagram H-d

( i ) Diagram keset im bangan.

Cam bar 3 . 1 0 Portal s imetris.

. '

Dengan memperhatikan gam bar 3 . 1 0 akan didapatkan :

0 0 +- d l 0 +- d z

[A] = 0 +- d 3 0 +- d 4

0 +- d s 0 0 +- d 6 t t

D 1= 1 D2= 1

4 2 0 0 l 5 5 0 0 2 4 0 0 0 I 5 5 0

[ S ] = E l 0 0 4 ( 2 ) 2 ( 2 ) 0 0 5 5

0 0 2 ( 2 ) 4 ( 2 ) 0 0 5 -5-

0 0 0 0 4 2

j 5 5

0 0 0 0 2 4 5 5

r 2 0 0 0 0 1 1 2 0 0 0 0 2 2 E l I 0 0 4 2 3 = -- 0 0 5 I I i 0 0 2 4 0 0 4 I I 0 0 ,., 5 I 0 0 I L I i I 0 0 0 0 5 I 2 , \ ) 2 3 4 5 6

Me 1 i hat pe r s a'!laan ( 3 . 33 )

[ K ] = [A]T

[ S ] [A]

93

..

9 4

2E 1 [ 62

2

6 ] [ K] = -5 -

Dengan mengubah gaya-gaya luar menjadi gaya ekivalen terpusat di ujung elemen atau dititik-titik diskrit (gambar 3 . 1 0 . c dan e ) . J :111 dengan melihat persamaan ( 3 . 4 ) :

{ D } = [ K] - 1 { Q}

{ :: } 5 1 r 6 -2 1 { - 1 9 3 } = - 3 6 - 4 2E I I - 2 6 I 1 9 3 l ) 5

{- 1 5 44 l = 64ET 1 5 44 I ) { o , ( 96 5 l 1 - 8TI i l D2 j 9 6 5 I I SE I ) l

Jad i putaran sudut d ititik B dan C ialah sebesar :

D l - 02 = 96 5 - SIT

Dari persamaan (3 . 3 5 ) :

{ H} = [ S ] [A ] { D }

2 0 0 0 0 r 0 0 2 0 0 0 0 0 2 E I 4 = - 0 0

5 0 0 0

96 5 2 - 8E I

0 0 2 4 0 0 0 1 965 0 0 0 0 2 1 l 0 + BIT 0 0 0 0 2 0 0

0

2 0

4 2 19 3 = - -4-2 4 1 9 3 0 2 T 0

H l - 48 , 2 5 H 2 - 96 , 5

H 3 = - 9 6 , 5 H4 96 , 5 H s 9 6 , 5 H 5 48 , 2 5

\1 elihat momen prim ernya pada gambar 3. 1 0 ( c ) . maka akan d id apat :

9 5

r

D

I

, - ---, , - - -, = l - 48 , 2 5 J I - 2 88 I =

I l I I I 96 , 5 1 - I + 4 32 I = I I I 9 6 , 5 - 1 - 625 I I 6 1 + 625 1 9 , 5 I I

MC D = l 96 , 5 : M D

= I 48 2 5 I L _ _:_ _ j

I - 1 - 432 I = I

+ 288 I L _ _:_ _ _j

t

239 , 75 kg . m

- 528 , 5 kg . m

528 , 5 kg . m

-5 28 , 5 kg . m

528 , 5 kg . m

- 2 39 , 75 kg . m

t H + momen p r i me r .

Contoh 3 . 5 : Sekarang akan dibahas analisa portal pada gambar 3. 1 1 di bawah ini :

I 400KG = 6001

BOO( :'"1250 1 250 1250 1 251( I s

oo

I DC . I 7ml

(c) Momen primer.

r-=o, (02

\ I ' \.

l (d) Derajat ketidak-tentuan kinematis : 2

( defonnasi axial diabaikan ) .

/ // /

l e ) Gaya ekivalen Q dititik diskrit yang koresponding dengan lendutan D .

\ '

'

R.'

V

98

( [) Diberikan D1= 1 satuan

/

(g) DiberikanD2= 1 satuan

(h) Diagram H-d

G ambar 3. 1 1 Portal menerus tanpa pergoyangan.

Dengan memperhatikan gambar 3. 1 1 . dapat mulai dihitung matrix [ A ] dan [ S ] .

0 0 + d 1 ' 0 + d 2

0 + d 3 [A ] = 0 + d 4

0 ' + d 5 0 0 + d 6 0 I + d 7 0 0 ) + d s t t

D 1 = 1 D 2= 1

4 2 0 0 0 0 0 0 5 5 2 4 0 0 0 . 0 0 0 5 5

I 0 0 4 ( 2 ) 2 ( 2) 0 0 0 0 I 5 -5-

[S ] E l 0 0 2 (2 ) 4 (2 ) 0 0 0 0 5 -5-

I 0 0 0 0 4 2 0 0 4 4 , 0 0 0 0 2 4 0 0 4 4

0 0 0 0 0 0 4 (2) 2 (2) -5- -5-

0 0 0 0 0 0 2 (2) 4 ( 2) 5 -5-

( '1 8 4 0 0 0 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0 0 '") "-0 0 1 6 8 0 0 0 0 3

E l 0 0 8 1 6 0 0 0 0 4 =, T 0 0 0 0 1 0 5 0 0 I 5 I 0 0 0 0 5 1 0 0 J j 5 0 0 0 0 0 0 1 6 7 0 0 0 0 0 0 8 8

2 3 4 5 5 7 8

99

Matrix kekakuan struktur dapat dihitung berdasarkan persamaan :

[K l = [ A ]T [S] [Al

0 0 0 0 0 0 (

= E1 0i ll 0

0 0 0 1 t .o o o o o I

0 J 0 8 4

4 8

0 0

0 0

0 0 0 0 0 0

1 6 8 0 0 0 0

8 1 6 0 0 0 0 I j 0

0

1 00

0 0 0 0 1 0 5

5 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 \

E l [ K } ::: TO

8 1 6 8

0 8 1 6

4 l ) [ 42

- 1 1 0 1 [ K] = ET X 9 44 - 8

5 2 36 E l

0 0

1 0 5

Sckarang dihitung lendutan dan gaya-gaya dalam.

{ D } = ( K] - l { Q }

I o 1 6 8 J 0 8 1 6 l 0

0 l

0

0

0

0

l 0

0 )

l 0 I 1 I o j

'

{ DD21} _

5 236 El

- 7 450 }

- 4200