Amortiguamiento Proporcional a La Rigidez

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por Oscar Möller, Marcelo Rubinstein, Juan Pablo Ascheri

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  • ANLISIS DEL AMORTIGUAMIENTO PROPORCIONAL A LA RIGIDEZ TANGENTE EN SISTEMAS DINMICOS NO LINEALES

    Oscar Mller, Marcelo Rubinstein, Juan Pablo Ascheri

    Instituto de Mecnica Aplicada y Estructuras (IMAE), Universidad Nacional de Rosario, Riobamba y Berutti, 2000 Rosario, Argentina, moller@fceia.unr.edu.ar

    Palabras clave: Dinmica estructural, Amortiguamiento, No lineal, Sismorresistente.

    Resumen. La disipacin de energa en estructuras solicitadas por acciones dinmicas es considerada en las fuerzas proporcionales a la velocidad: amortiguamiento viscoso o elstico, y en las fuerzas proporcionales a los desplazamientos: amortiguamiento histertico debido al comportamiento no lineal fsico. Usualmente los programas de anlisis dinmico de estructuras tienen implementado como amortiguamiento elstico el criterio de Rayleigh, clsico, es decir proporcional a la masa y a la rigidez inicial del sistema. Recientemente se ha reconocido que ese criterio sobre estima la disipacin cuando el sistema se encuentra en el campo plstico, siendo ms aproximado considerar el amortiguamiento proporcional a la masa y a la rigidez tangente en cada instante. Se presenta en este trabajo la implementacin computacional de ambos criterios, en el programa de anlisis dinmico no lineal DINLI ya desarrollado en aos anteriores. Se muestran y discuten los resultados de desplazamientos mximos y energas disipadas con ambos criterios, en aplicaciones numricas a sistemas de un grado de libertad y mltiples grados de libertad solicitados por acelerogramas correspondientes a diferentes tipos de terremotos.

    Mecnica Computacional Vol XXX, pgs. 1277-1293 (artculo completo)Oscar Mller, Javier W. Signorelli, Mario A. Storti (Eds.)

    Rosario, Argentina, 1-4 Noviembre 2011

    Copyright 2011 Asociacin Argentina de Mecnica Computacional http://www.amcaonline.org.ar

  • INTRODUCCIN La disipacin de energa en estructuras solicitadas por acciones dinmicas es considerada

    en las fuerzas proporcionales a la velocidad, que es el llamado amortiguamiento viscoso equivalente, o elstico, y en las fuerzas proporcionales a los desplazamientos, que es el amortiguamiento histertico debido al comportamiento no lineal fsico.

    En el anlisis dinmico no lineal paso a paso en el tiempo (ITHA) es usual modelar el amortiguamiento elstico a partir de un porcentaje del amortiguamiento crtico. Hay varias maneras de definir este efecto, pero la principal diferencia es si las fuerzas de amortiguamiento estn referidas a la rigidez inicial o a la rigidez tangente en cada instante de tiempo, tema que se discute en este trabajo.

    La disipacin de energa por el comportamiento histertico ha sido analizada con diferentes propsitos. Veletsos y Newmark (1960), Iwan (1980), Miranda (2000) estudiaron la respuesta de estructuras para diferentes reglas de histresis solicitadas por acelerogramas reales registrados, con el objetivo de calcular el factor de reduccin R requerido en cada caso como funcin de la ductilidad. Otros estudios, Judi et al. (2000), Miranda y Ruiz-Garca (2002), estn referidos a la determinacin de la relacin entre la ductilidad y el amortiguamiento viscoso equivalente, dentro de la metodologa de Diseo directo basado en desplazamientos, Priestley (2000, 2007). En esta metodologa las fuerzas de amortiguamiento estn referidas a la rigidez secante al mximo desplazamiento, luego es necesario establecer cul es la relacin de amortiguamiento que se debe utilizar con dicha rigidez.

    En la mayora de los anlisis inelsticos, (Priestley, 2007) se define el amortiguamiento elstico constante proporcional a la rigidez inicial. Valores tpicos son 5% del amortiguamiento crtico para hormign armado y 2% para acero, basados en mediciones de la respuesta en el campo elstico, pero que no est claro si es apropiado para la respuesta inelstica (Priestley y Grant, 2005).

    Las principales razones para incorporar el amortiguamiento elstico en ITHA son: a) Reglas de histresis que consideran comportamiento lineal elstico hasta la fluencia, entonces no representan la no linealidad (amortiguamiento histertico) en el rango elstico en elementos de hormign armado y mampostera debido al proceso de figuracin.

    Las reglas de histresis estn calibradas generalmente en la fase inelstica de la respuesta estructural, luego no se debera utilizar amortiguamiento elstico adicional en el campo inelstico a menos que la estructura est en descarga o recarga elstica. Si la regla de histresis modela la no linealidad en el rango elstico, por ejemplo en elementos de barra discretizados en fibras, no hay que agregar amortiguamiento elstico adicional para obtener la respuesta.

    En consecuencia el modelo de amortiguamiento elstico proporcional a la rigidez tangente es ms aproximado porque las fuerzas de amortiguamiento elstico se reducen significativamente cuando la rigidez disminuye en el rango post fluencia.

    b) Amortiguamiento en la fundacin debido a la flexibilidad del suelo, no linealidad y amortiguamiento por radiacin, que en general no se incorporan en ITHA pero que proveen amortiguamiento adicional.

    Suponiendo comportamiento elstico de la fundacin y pequea rigidez post fluencia en la estructura, luego durante los intervalos de tiempo en los cuales la estructura se deforma plsticamente, las fuerzas sobre la fundacin permanecen constantes y en consecuencia

    O. MOLLER, M. RUBINSTEIN, J. ASCHERI1278

    Copyright 2011 Asociacin Argentina de Mecnica Computacional http://www.amcaonline.org.ar

  • tambin la deformacin de la fundacin, no disipando energa en esos intervalos. Se obtiene una mejor aproximacin al amortiguamiento de la fundacin con amortiguamiento elstico proporcional a la rigidez tangente, a menos que la respuesta de la fundacin se modele en forma separada con resortes y amortiguadores.

    c) Amortiguamiento no estructural debido al comportamiento histertico de dichos elementos y a la friccin por el movimiento relativo con los elementos estructurales.

    An cuando los elementos no estructurales no estn separados de la estructura, su resistencia lateral en general no es mayor a un 5% de la resistencia lateral de la estructura, no considerando la mampostera como relleno de prticos que debe ser modelada con otros elementos estructurales. Se puede suponer un 10% de amortiguamiento viscoso en elementos no estructurales, resultando entonces un 0.5% de amortiguamiento elstico adicional.

    Como estos elementos se degradan rpidamente para distorsiones de piso mayores a 0.005, tambin en este caso la representacin ms realista es con amortiguamiento proporcional a la rigidez tangente, donde las fuerzas de amortiguamiento disminuyen cuando hay incursiones en el campo no lineal.

    Se presenta en este trabajo la implementacin computacional de ambos criterios: amortiguamiento proporcional a la masa y a la rigidez inicial a la rigidez tangente, en el programa de anlisis dinmico no lineal DINLI ya desarrollado en aos anteriores (Mller, 2001).

    Se muestran ejemplos comparativos entre ambos modelos para cuantificar las diferencias e importancia en la respuesta estructural.

    1 MODELO DE AMORTIGUAMIENTO ELSTICO

    1.1 Construccin de la matriz de amortiguamiento La ecuacin de movimiento o equilibrio dinmico de un sistema discreto con

    comportamiento elstico es (Clough y Penzien, 1975)

    )()()()( tttt pvkvcvm =++ &&& (1) donde )(),(),( ttt vvv &&& son los vectores de aceleraciones, velocidades y desplazamientos en los grados de libertad del sistema, m, c, k las respectivas matrices de masa, amortiguamiento y rigidez, y p(t) el vector de acciones externas.

    El trmino )(tvc & representa las fuerzas de amortiguamiento. Es conveniente que la matriz c sea ortogonal para poder desacoplar las ecuaciones (1) y utilizar el clsico anlisis modal en la solucin.

    Caughey (1960) y luego Caughey y Kelly (1965) demostraron que la matriz de amortiguamiento clsica puede ser representada por la siguiente serie (Lucco, 2008)

    ( ) == b

    bb

    bba ckmmc

    1 (2)

    donde los coeficientes ab se deben calcular para obtener el grado de amortiguamiento deseado, b toma valores enteros arbitrarios, - < b < , pero se ver la conveniencia de elegir valores cercanos a cero.

    Mecnica Computacional Vol XXX, pgs. 1277-1293 (2011) 1279

    Copyright 2011 Asociacin Argentina de Mecnica Computacional http://www.amcaonline.org.ar

  • Con este tipo de matriz de amortiguamiento se puede proveer de la relacin de amortiguamiento deseada en un nmero especificado de modos. Para cada modo n, el amortiguamiento generalizado es

    nnnnT

    nn MC 2== c (3) donde n es el vector de forma modal n-simo, n la relacin de amortiguamiento, n la frecuencia circular y Mn la masa generalizada calculada con

    nT

    nnM m= (4) La contribucin del trmino genrico b de la serie (2), luego de operaciones algebraicas,

    resulta

    ( ) nbnbnbTnbnbTnnb MaaC 21 === kmmc (5) Luego, el amortiguamiento generalizado asociado al modo genrico n, y teniendo en

    cuenta la Ec.(3), resulta

    nnnb

    nb

    nbb

    nbn MMaCC 22 === (6) De donde se obtiene

    =b

    bnb

    nn a

    2

    21 (7)

    La ecuacin (7) provee la manera de calcular los coeficientes ab en funcin de las relaciones de amortiguamiento modal especificadas n QaaQ 12

    21 == (8)

    donde es el vector de los n, Q es una matriz cuadrada conteniendo potencias de las frecuencias n , y a el vector de los coeficientes ab.

    Con la Ec.(7) se puede luego evaluar la relacin de amortiguamiento resultante para los modos de vibracin no incluidos en el clculo de los coeficientes ab.

    Cuando el comportamiento de la estructura es no lineal, el mtodo de anlisis ms utilizado es la integracin directa paso a paso de las Ecs