„Mit Grundschülern an geometrischen Problemaufgaben arbeiten“ · Zur Theorie des Problemlösens Was bedeutet Problemlösen? • Tätigkeit des Suchens nach der Lösung für ein

„Mit Grundschülern an geometrischen

Problemaufgaben arbeiten“

Hahn, Janott 22.09.2012 mathe 2000

Workshop

Inhalte

1. Zur Theorie des Problemlösens

2. Bearbeiten eines Problems

3. Zur Umsetzung eines Unterrichtskonzeptes

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mathe 2000, Dortmund Hahn, Janott 22.09.2012

Zur Theorie des Problemlösens

Problemlösen als mathematische Kompetenz

… in den Bildungsstandards

• Entfaltung grundlegender Bildung

• Förderung der allgemeinen mathematischen Kompetenzen

• Problemlösen

o mathematische Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten bei der Bearbeitung

problemhaltiger Aufgaben anwenden

o Lösungsstrategien entwickeln und nutzen (z.B. systematisches Probieren)

o Zusammenhänge erkennen, nutzen und auf ähnliche Sachverhalte übertragen

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Problemlösen als mathematische Kompetenz

… im Lehrplan von NRW

• relevante Informationen erkennen

• Problemstellungen in eigenen Worten wiedergeben

• zunehmend systematisch und zielorientiert probieren

• Ergebnisse überprüfen; Fehler finden und korrigieren

• verschiedene Lösungswege vergleichen

• Vorgehensweisen auf ähnliche Sachverhalte übertragen

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Was ist ein Problem?

• Ein unerwünschter Ausgangszustand soll in den

erwünschten Zielzustand überführt werden, wo-

bei nicht klar ist, wie dies erreicht werden kann.

• Das heißt, aktuelles Wissen sowie Fähigkeiten

reichen nicht aus, um das Problem zu lösen.

• Vorhandenes Wissen muss umstrukturiert bzw.

neu kombiniert werden (vgl. EDELMANN 1996, Abb. 119)

aus mathematikdidaktischer Perspektive

… eine Anforderungssituation, die als subjektiv schwierig erlebt wird. Diese Anforderungssituation

erscheint dem Lernenden nicht spontan bewältigbar, sie kann auch einfach nur ungewohnt sein und

verlangt eine für den Schüler „neue“ Lösung. (vgl. BRUDER 2011, S. 11)

Ausgangszustand Zielzustand

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Was ist eine Problemaufgabe?

Aufgabe

• erkennbar als Aufgabe eines bestimmten Typs

• Abruf einer verfügbaren Lösungsprozedur möglich

• formales bis ritualhaftes Abarbeiten

• Inhaltliches Verständnis nicht zwingend nötig

Problem

• Barriere versperrt den Weg zur Lösung

• Suche nach einem Lösungsweg notwendig

• inhaltliches Denken zur Konstruktion eines Lösungsweges ist nötig

• ohne Verständnis kein Erfolg (vgl. DÖRNER 1979)


Was bedeutet Problemlösen?

• Tätigkeit des Suchens nach der Lösung für ein Problem

• „[…] das Bestreben, einen gegebenen Zustand (Ausgangs- oder Ist-Zustand) in einen

anderen, gewünschten Zustand (Ziel- oder Soll-Zustand) zu überführen, wobei es gilt, eine

Barriere zu überwinden, die sich zwischen Ausgangs- und Zielzustand befindet.“

(HUSSY 1984 in BRUDER 2011, S.11)

Was bedeutet Probleme lösen lernen?

• Das Kennen- und Anwendenlernen von Methoden und Techniken zum Lösen individuell

schwieriger Aufgaben. Solche Methoden und Techniken werden auch Heurismen genannt

und zwischen heuristischen Hilfsmitteln, Prinzipien, Strategien, speziellen Regeln und

Theorien unterschieden. (vgl. BRUDER 2011, S. 14)

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Ausgangszustand Zielzustand


Ablauf des Problemlösens in 4 Phasen

1. Verstehen des Problems

2. Ausdenken des Plans

3. Ausführung des Plans

4. Rückschau (vgl. POLYA 1995)

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Theorien

Versuch-Irrtum Kreativität Anwenden von Strategien

Heuristische Prinzipien Heuristische Strategien Heuristische Hilfsmittel

Umstrukturieren Systemdenken


Theorien

Anwenden von Strategien

Heuristische Prinzipien

Analogieprinzip

Symmetrieprinzip

Extremalprinzip

…

Heuristische Strategien

Systematisches Probieren

Vorwärtsarbeiten

Rückwärtsarbeiten

…

Heuristische Hilfsmittel

informative Figur zeichnen

Tabelle anlegen

Material organisieren

…

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Problemaufgabe

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Einen Drachen bauen

Arbeitsauftrag

1. Bearbeiten Sie die Problemaufgabe und notieren Sie stichpunktartig Ihre

Überlegungen.

2. Analysieren Sie die Schülerarbeiten hinsichtlich …

a) des Vorgehens sowie

b) möglicher Fehlstrategien.

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Drachen bauen

Vier Freunde haben jeder einen Drachen

gebaut. Lina und Anna behaupten, dass alle

vier Drachen gleich groß sind. Tom und

Mario sind der Meinung, dass die Drachen

unterschiedlich groß sind. Prüfe, wer

Recht hat.

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Bearbeitungsbeispiele (A)


„Erklärung

Ich habe herausgefunden das der

Cloun 30 kä., der Hai 18 kä., der

Fisch 20 kä. und das Gesicht

16 kä. hat also haben Tom und

Mario recht gehabt.“

(Katja, Kl. 4)

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„Lösung: Die beiden Jungs haben

recht den die Formen Drachen sind

nicht gleich groß.

Ich habe es heraus gefunden in dem

ich zuerst versucht habe die For

Drachen in verschiedene Formen ein

zu teilen aber dann habe ich einen

Drachen zerschnitten und auf einen

anderen gelegt, so habe ich es

herausbekommen.“

(Valerie, Kl. 4)

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„Lösung: Die Jungs haben recht.

Erklärung:

Ich habe eine Stunde nach gedacht und

habe dann habe ich gemessen und die

Ergebnisse beim Smeyli Drachen ist

7,97 cm. Der normale Drachen ist 14,00

cm. Die Maus ist 12,04 cm Und der Hei

Drachen ist 14,08 cm“

(Sonja, Kl. 4)

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„Ich hab die Ecken Gezält und hab

dan entscheidete den Drache mit

den meisten Ecken entscheidet.“

(Lenni, Kl. 4)

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Bearbeitungsbeispiele (B)


„Ich habe zu erst Dreiecke in jede

Figur eingezeichnet.

Dann habe ich sie in jeder Figur

gezählt und bin zu dem ergebnis

gekommen das der Fliger größer ist

als die an deren.“

(Rosa, Kl. 4)

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„Ich habe zu erst mir Schablonen

angefertigt und die Formen auf

kariertes Papier übertragen. Danach

hab ich die ganzen Kästchen (K)

und die Halben kastchen (HK)

gezählt und hab rausgefunden die

Mädchen hatten unrecht“

(Valeska, Kl. 4)

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„Ich habe sie abgemessen und dan herausgefunden Wer der größte trare ist“ (Wulfgar, Kl. 4)

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„Ich vermesse zuerst alle Drachen.

Ich schreibe zu jeder EcKe die ich vermesse die Länge

Wir haben alle Drachen ausgemalt und die Sekunden

gezählt wir nehmen die Sekunden mal den auschnit, und dann teilen wir durch 2

das Ergebnis unsere Methodenlösung geht nicht ganz auf, also probieren wir Weiter.

Wir nehmen die Ecken mal 2 die nach außen gehen noch mal mal 2.“

(Fiona, Kl. 4)

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Problembearbeitung

Herangehensweisen

direkter Flächenvergleich

übereinander legen

Flächen strukturell verändern

indirekter Flächenvergleich

Einteilen in verschiedene

Flächen

Einheitsflächen einzeichnen

auf Einheitsfläche übertragen

arithmetisches Vorgehen

Flächeninhalt berechnen

Fehlstrategien



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Problembearbeitung

Herangehensweise Zimmer Drachen

direkter

Flächen-

vergleich

Vergleich durch Übereinanderlegen

vorgegebene Flächen verändern und

vergleichen

indirekter

Flächen-

vergleich

Einteilen in verschiedene Flächen und

vergleichen

Einheitsflächen einzeichnen und

auszählen

Übertragen auf Einheitsflächen

arithme-

tisches

Vorgehen

Flächeninhalt berechnen

Zur Umsetzung des Unterrichtskonzeptes

Das Unterrichtskonzept

Rahmengeschichte

• Problem erkennen

• Vorwissen aktivieren

individuelle Problembearbeitung

• Lösungsansätze finden

• Problem bearbeiten

• Vorgehen und Ergebnisse notieren

gemeinsame Reflexion

• Lösungsansätze vorstellen und vergleichen

• Strategien identifizieren

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Phase 1

Phase 2

Phase 3


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Die Problemaufgaben

materialgestützte Bearbeitung

strukturgleiche Aufgaben

verschiedene geometrische Inhalte …

• systematisches Zählen von Flächen oder Körperdarstellungen

• Netze und Knoten (Schnittpunkte von Geraden, Farbenproblem)

• Flächeninhalt und Umfang


Anforderungen an die Schüler

• Problemlösekompetenz

• metakognitive Tätigkeiten

• Kommunikation und Interaktion mit Mitschülern

• emotionale Anforderungen (vgl. NOLTE in FUCHS&KÄPNICK 2008, S.153)

Lehrerhandeln

• Einrichten der Lernumgebung

• Prinzip der minimalen Unterstützung

Lernhilfen nach ZECH (1996)

• Moderation der Reflexionsphase

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Mögliche Lernchancen und Erfahrungen für die Schüler

• schwierige Situationen aushalten

• kreatives Herangehen an Probleme

• selbstreflexive Tätigkeiten als Arbeitstechnik

• konstruktiver Umgang mit Fehlern bzw. Fehlstrategien

• Stärkung des Selbstbewusstseins

• langfristiges Heranführen an Problemlöseprozesse

• Förderung der mathematischen Kompetenzen

Vielen Dank.

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Literatur

BRUDER, Regina (2003): Methoden und Techniken des Problemlösenlernens. Darmstadt Material im Rahmen des BLK-

Programms "Sinus" zur "Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts". Kiel: IPN.

BRUDER, Regina (2011): Problemlösen lernen im Mathematikunterricht. Berlin: Cornelsen Verlag

EDELMANN, Walter (1996): Lernpsychologie. Weinheim: Psychologie Verlags Union

NOLTE, Marianne (2008): Herausfordernde und fördernde Aufgaben für alle? – Teil 1. Überlegungen zu unserem

Förderprojekt. In: FUCHS, Mandy & KÄPNICK, Friedhelm: Mathematisch begabte Kinder. Eine Herausforderung für

Schule und Wissenschaft. Berlin: Lit Verlag

(1998): Mathematisch begabte Kinder: Modelle, empirische Studien und Förderungsprojekt für das Grundschulalter.

Frankfurt a. M.: Verlag Peter Lang

POLYA, George (1995): Schule des Denkens. Vom Lösen mathematischer Probleme. Tübingen: A. Francke Verlag

RASCH, Renate (2001): Zur Arbeit mit problemhaltigen Textaufgaben im Mathematikunterricht der Grundschule. Eine

Studie zur Herangehensweise von Grundschulkindern an anspruchsvolle Textaufgaben und Schlussfolgerungen für

eine Unterrichtsgestaltung, die entsprechende Lösungsfähigkeiten fördert. Hildesheim: Franzbecker

SCHNABEL, Joachim; TRAPP, Anja (2012): Problemlösendes Denken im Mathematikunterricht. Theoretische

Grundlagen – Musteraufgaben – Materialien. 1-4 Klasse. Donauwörth: AAP Lehrerfachverlage GmbH

ZECH, Friedrich (2002): Grundkurs Mathematikdidaktik: theoretische und praktische Anleitung für das Lehren und

Lernen von Mathematik. Weinheim und Basel: Beltz

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Ella (Kl. 4)


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Dave (Kl. 4)

Maria (Kl. 4)


31

Sidney (Kl. 4)


32

Antoni

(Kl. 4)


33

Alma (Kl. 4)


34

Valeska (Kl. 4)


35

Hans (Kl. 4)


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Gabriel (Kl. 3)

Matthis (Kl. 3)

„zuerst messe ich die Drachen an der Lengsten Stelle

ich habe sie ausgeschnitten und ubereinander ferglichen“


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Valerie (Kl. 4)


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Lara (Kl. 4)


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Valeska (Kl. 4)


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Fiona (Kl. 4)


Documents

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