SISTEMAS DE CONTROL ANALOGICO

DISEÑO E IMPLEMENTACIÓN DE CONTROLADORES EN FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

Presentado a:

ING. ELENA MUÑOZ ESPAÑA

Presentado por:

ALVARO CHASQUI

JHONATAN SOSAPANTA

UNIVERSIDAD DEL CAUCA

INGENIERÍA EN AUTOMATICA INDUSTRIAL

POPAYÁN CAUCA

OCTUBRE 2014

Contenido

1. Modelo matemático del sistema (circuito RC)........................................................3

2. Sistema de control lazo abierto y lazo cerrado.......................................................4

2.1 Sistema de control lazo abierto..............................................................................4

2.1.1 Respuesta del modelo en lazo abierto con un controlador de acción proporcional.................................................................................................................5

2.2 Sistema de lazo cerrado...................................................................................11

2.2.1 Respuesta del modelo en lazo cerrado con un controlador de acción proporcional...............................................................................................................11

3. Controlador de acción proporcional-integral.............................................................18

4. Diseño de controlador por LGR con acción integral................................................23

5. Conclusiones................................................................................................................ 26

1. Modelo matemático del sistema (circuito RC)

El objetivo de la práctica es realizar el control de un circuito RC de tercer orden donde, u(t) es el voltaje de entrada del circuito y y(t) es el voltaje en la resistencia de carga. El valor máximo que puede tomar el voltaje de entrada del circuito es 5V. Además determinar el modelo matemático del sistema para a través de este establecer la función de transferencia del sistema.

Variable controlada: voltaje en la resistencia de carga

Variable manipulada: voltaje de entrada

El modelo en espacio de estados es:

[ vc 1¿vc2¿ vc 3]=[

−2RC

1RC

0

1RC

−2RC

1RC

01RC

−1RC

− 1RLRC

] [ vc 1¿vc 2¿ vc3]+[ 1RC¿ 0

¿0]uPodemos ver que es de la forma:

Donde y= (0,0,1 )(Vc1Vc2Vc3), porque no se miden los tres estados, solo se mide la

salida que sería y la entrada se conoce, la cual es u(t).

La función de transferencia la hallamos con el siguiente código:

-----------------------------------------------------------------------------------------

% Parámetros del modelo R = 10e3; C = 10e-6; RL = 100e3;% Matrices de estado A = [-2/(R*C) 1/(R*C) 0 ; 1/(R*C) -2/(R*C) 1/(R*C) ; 0 1/(R*C) -1/(R*C)-1/(RL*C)]; B = [1/(R*C); 0; 0]; C = [0 0 1]; D = 0;% Sistema en espacio de estado sys = ss(A, B, C, D);% Función de transferencia G = tf(sys)------------------------------------------------------------------------------------------

Función de transferencia del modelo con resistencias de 10K, capacitores de 10 uF y resistencia de carga de 100K:

G (s )= 1000

S3+51S2+640 S+1300

2. Sistema de control lazo abierto y lazo cerrado

2.1 Sistema de control lazo abiertoEn estos sistemas la salida no influye sobre la señal de entrada, este solo controla y actúa, no se mide. La medición no se usa para mejorar el proceso bajo control.

Figura 1. Diagrama de lazo abierto

El diagrama de la figura 1 se compone de un controlador que recibe el valor deseado para la variable controlada, esta señal también se conoce como valor de referencia o set point (SP), ejecuta un algoritmo de control para determinar la energía que debe ser aplicada a la planta, esta señal se denomina esfuerzo de

control (EC). La planta recibe como corrientes de proceso el fluido energético modificado (VM), las materias primas (MP) y continuamente entrega un producto o subproducto (P).

2.1.1 Respuesta del modelo en lazo abierto con un controlador de acción proporcional

Error de régimen permanente

Es la diferencia entre la señal de entrada y la señal de salida. Se ve reflejado cuando se pone una señal de referencia de 1 voltio, que al entrar a un bloque hace que este genere una comparación entre las dos señales. El resultado es la medida del error, que entra al controlador, el cual manipula la señal de entrada para lograr que la variable controlada tome el valor deseado.

El error en régimen permanente se calcula de la siguiente manera:

E ( ss)=1−K∗RL

(3 R+RL)

Posteriormente se analiza la respuesta en lazo abierto con el uso del Arduino, que hace la labor de controlador y que por defecto tiene una ganancia establecida de 1, se obtiene como respuesta la siguiente gráfica:

Grafica 1. Respuesta del modelo establecido con referencia de 1V a 5V, con ganancia por defecto de 1.

El modelo con una carga de 100k y entrada de 1v a 5v genera una señal (color azul) que sigue la referencia (señal de color rojo), con un error de régimen

permanente pequeño. Debido a que este modelo se hizo con los valores ya propuestos. Se puede decir que el error es proporcional a la variación de la referencia hasta un determinado valor, pero después se mantiene constante debido a la saturación. Además, se observa que el modelo posee un tiempo de estabilización pequeño y también una señal sin exceso sobre la salida.

Grafica 2. Simulación del modelo físico con ganancia de 1, variando la señal de referencia de 1V a 5V.

En esta grafica se puede observar que el comportamiento del modelo mediante simulación, tiene gran similitud con la respuesta del montaje físico en estado transitorio y estacionario, porque se han puesto en condiciones iguales.

Sintonización del controlador

A continuación se sintonizo el controlador, teniendo en cuenta que el objetivo principal es que la señal de salida siga la señal de referencia, para lo cual se debe encontrar un valor de ganancia acorde con los valores físicos de resistencias y condensadores del modelo.

Se encuentra la salida para R = 10K, C= 10uF y RL= 100K

G (s )=K∗RL

RLR3C3 s3+(R3+5 RLR2 )C2 s2+6RLRCs+(3R+RL)

Yss=K∗RL

(3R+RL)

K=(3R+RL)RL

Reemplazando los valores iniciales se obtiene:

K=(3R+RL)RL

K=1.3

La ganancia debe tomar un valor de 1.3 para que la señal de salida siga a la referencia sin error de régimen permanente.

Simulación del modelo sintonizando el controlador a la ganancia encontrada de 1.3

Figura 2. Diagrama de bloques del modelo en lazo abierto

En el diagrama se observa la distribución de bloques desde la señal de referencia, que son entradas tipo escalón con valores de 1V, 3V y 10V respectivamente. Enseguida está el controlador sintonizado a 1.3. Luego una saturación que limita el sistema hasta un voltaje de 5v, porque físicamente no se tiene una fuente que brinde un voltaje mayor. Posteriormente se tiene una planta y al final un scope donde se observa la señal de salida.

Gráfica 3. Simulación de las Señales de salida del modelo con referencias de 1V, 3V y 10V respectivamente

En esta grafica se observa que la señal de salida del modelo tiene un mejor seguimiento de las señales de entrada. Debido a que se ha sintonizado el controlador y se está obteniendo un nuevo modelo con mejores características que el anterior. Una de las características es que el error en estado estacionario es cero, además se puede decir que el máximo valor que entrega el modelo es 3.8V, debido a que el saturador limita el esfuerzo de control en cualquier señal que se pase de los 5v y hace que la planta solo reciba como máximo este valor. También se puede decir que los tiempos de estabilización de las señales son pequeños y que no presentan exceso sobre la salida.

Simulación del modelo sintonizado a la ganancia encontrada de 1.3 sin saturación.

Figura 3. Diagrama de bloques del modelo en lazo abierto sin saturación

En el diagrama de bloques se ha quitado la saturación para mostrar cómo se comporta el modelo ante este cambio.

Grafica 4. Respuesta del modelo en lazo abierto sin saturación con referencia de 1V, 3V y 10V

Para los valores de referencia de 1V y 3V se observa el mismo comportamiento de la gráfica con restricción, porque no se ha pasado del valor máximo de 5V. En cambio en la señal de referencia de 10V se puede ver que el sistema sobrepasa los 5V debido a que no tiene saturación.

Realizando las comparaciones del modelo con restricción y sin restricción, se puede concluir que: el primero posee un esfuerzo de control y una salida del sistema limitados, es decir, que si al saturador le entra un voltaje superior a 5V se limitara a este valor y la salida no podrá obtener un valor mayor a 3.8V, debido a las condiciones en que se encuentra la planta. Esto se ve reflejado en el montaje físico ya que el esfuerzo de control máximo que suministra la tarjeta Arduino es de 5V. En el segundo el comportamiento es diferente, ya que la señal que se alcanza a ver sobrepasa el valor de 3.8V, debido a que no tiene saturación y el sistema no se encuentra limitado.

Resistencia de 92 kΩ con ganancia de 1

Grafica 5. Respuesta del modelo con RL 92 KΩ y referencia de 1V a 5V

Teniendo en cuenta las condiciones del modelo inicial, se ha variado la resistencia de carga en un 8%, logrando observar que el seguimiento de este modelo no es tan bueno como el modelo principal, pero se observan algunas características que

son similares, las cuales son: una respuesta sin sobreimpulso y tiempo de estabilización pequeño.

Grafica 6. Simulación, controlador en lazo abierto con RL 92 KΩ y referencia de 1V a 5V, con saturación.

La grafica muestra la simulación del modelo físico con resistencia de carga de 92KΩ, se puede ver que hay una similitud debido a que se han utilizado los mismos valores en ambos casos.

Voltaje de entrada

Resistencia de carga (RL)

Valor final(Yss)

Error de régimen P. (Ess)

1V100000 Ω 0.76923 V 0.23076 V96000 Ω 0.76190 V 0.23809 V92000 Ω 0.75409 V 0.24590 V85000 Ω 0.73913 V 0.26086 V

3V

100000 Ω 2.3076 V 0.69230 V96000 Ω 2.2857 V 0.71428 V92000 Ω 2.26229 V 0.73770 V85000 Ω 2.2173 V 0.78260 V

Tabla 1. Modelo con variación en la resistencia de carga.

En esta tabla están registradas las variaciones de la carga, con dos diferentes valores de referencia 1V y 3V respectivamente.

Grafica 7. Simulación del modelo con variaciones en la resistencia de carga.

De acuerdo a las comparaciones entre las simulaciones y los datos obtenidos con el modelo físico en lazo abierto que cumple la función de un controlador, se concluye que; la planta del modelo principal es robusta ante variaciones de parámetros menores al 10 %, pero al aumentar este porcentaje de variación en la carga se puede observar que el modelo no responde bien, ya que se observa que el valor final es diferente y el error de régimen permanente aumenta.

Para trabajar con un sistema de lazo abierto se debe tener un conocimiento previo de la planta y asegurarse de que no existan disturbios ni variaciones en el modelo, es por esto que en la mayoría de casos es más seguro y útil el sistema en lazo cerrado.

2.2 Sistema de lazo cerrado

En el sistema de control en lazo cerrado se mide la variable controlada, se lleva esta información al controlador, quien continuamente ordena al actuador. Se busca que la variable controlada se acerque al valor deseado.

Figura 4. Diagrama de lazo cerrado

2.2.1 Respuesta del modelo en lazo cerrado con un controlador de acción proporcional.

Figura 5. Diagrama de bloques del modelo en lazo cerrado con acción proporcional

Lugar geométrico de las raíces para el modelo principal con resistencia de 100K

Se grafica el LGR para ver cuando el modelo es estable, variando la ganancia. Utilizando el criterio de Routh Hurwitz se halla el valor donde el modelo es marginalmente estable, el cual es 31.34.

Gráfica 8. Lugar geométrico de las raíces para una ganancia de 31.34

De la gráfica anterior se puede decir que el modelo será oscilatorio para un valor de ganancia igual de 31.34, estable para valores menores e inestable para valores mayores.

Función de transferencia del modelo

G (s )=K∗RL

RLR3C3 s3+(R3+5 RLR2 )C2 s2+6RLRCs+(3R+RL)

Modelo en lazo cerrado

T ( s )= G(S )1+G (S )∗H (S )

T ( s )=K∗RL

RLR3C3 s3+(R3+5RLR2 )C2 s2+6 RLRCs+(3 R+RL)+K∗RL

Yss=K∗RL

(3R+RL)+K∗RLError de régimen permanente

ess=1

1+KpDe las ecuaciones se encontró que el error de régimen permanente va a ser finito cuando se tiene una entrada tipo escalón y no hay integrador.

El objetivo principal es que la señal de salida siga la referencia, pero en este caso se habla de un modelo en lazo cerrado. De acuerdo a las ecuaciones anteriores, se observa que las variaciones de K y RL afectan el resultado de la señal de salida y que al incrementar estos valores el sistema tiende a cambiar dependiendo del valor que se les dé, logrando que el sistema se vuelva estable, marginal e inestable. Además, aunque se ha modificado el modelo estos cambios de parámetros los puede soportar el controlador junto con la planta, ya que al haber una retroalimentación se puede tomar los correctivos más adecuados y por lo tanto lograr un mejor seguimiento de la referencia.

A continuación se escoge una ganancia menor a 31.34 para que el sistema no oscile, y dependiendo de los requerimientos en régimen permanente y transitorio se procede a escoger la ganancia. Para mejorar el seguimiento se escoge una ganancia grande pero que no pase del valor de marginalidad. Por ejemplo, se escoge una ganancia de 1.

Grafica 9. Simulación y respuesta en lazo cerrado del modelo principal con carga de 100k y ganancia de 1

Al escoger este valor de ganancia se observa en la gráfica de la izquierda que no hay seguimiento de la referencia, pero si se mejoran algunos aspectos en la respuesta, tales como, el tiempo de estabilización pequeño y una señal sin máximo sobreimpulso. En la gráfica de la derecha está la respuesta del sistema donde se observa que está limitado debido al saturador. Además, el error de régimen permanente es grande.

Luego se escoge una ganancia de 31.34 y el modelo se comporta de la siguiente manera:

Grafica 10. Modelo físico y simulación donde el sistema es marginalmente estable, con un valor de ganancia de 31.34

La anterior grafica describe el comportamiento del sistema ante el incremento de ganancia, al valor de 31.34, donde la respuesta es oscilatoria sostenida ya que los polos dominantes se encuentran ubicados sobre el eje imaginario. En la gráfica de la izquierda, observamos que la respuesta oscila debido a que se ha quitado el saturador.

Grafica 11. Simulación del sistema con una ganancia de 36

El sistema anterior tenía una ganancia de 31.34 y se consideraba que era marginalmente estable, al cual se le varió la ganancia a un valor de 36 encontrando que el sistema ya no se comporta de la misma manera y paso a ser inestable. Esto se ve reflejado en las gráficas anteriores donde los polos pasan de estar en el eje imaginario a estar en el plano derecho, haciendo que el sistema se vuelva inestable y que solo se pueda ver este cambió en simulación, ya que el modelo físico no es capaz de generar este tipo señal, porque está limitado al voltaje del Arduino. Por este motivo la inestabilidad en el modelo físico se ve oscilatoria.

Se modificó el simulink cambiando el rango del saturador para que dejara pasar valores desde infinito a menos infinito. Al volverse inestable ya no se puede hablar de tiempo de estabilidad, máximo sobreimpulso, error de régimen permanente y mucho menos de sensibilidad, ya que el solo hecho de volverse inestable hace que el modelo ya no funcione bien y se convierta en un modelo no deseado.

Grafica 12. Respuestas del modelo con acción de control proporcional para tres valores diferentes de ganancia K= 1, 20, 50.

Como se puede ver en las gráficas anteriores, se logra obtener tener diferentes tipos de respuesta dependiendo de la ganancia que tenga el sistema. En la gráfica azul cuando se coloca una ganancia K=1 se puede ver que la respuesta es

sobreamortiguada no tiene exceso sobre la salida y su tiempo de estabilización es pequeño.

Para K=20 se obtiene una respuesta subamortiguada de color verde y se puede observar en la gráfica existe un sobreimpulso y un tiempo de estabilización que ha aumentado con respecto al anterior.

Para K=40 podemos observar que gradualmente se convierte en una respuesta inestable no amortiguada u oscilatoria la cual introduciría gran cantidad de ruido al sistema.

Resistencia de 92 kΩ

Grafica 13. Lugar geométrico de las raíces para una ganancia de 1 y RL=92K

De las gráficas anteriores se puede ver como el sistema es estable ante variaciones de resistencia de carga, ya que es un controlador robusto y acepta variaciones de parámetros, algo que no logra hacer el control de lazo abierto, ya que es un modelo ideal para trabajar en sistemas que no tienden a experimentar cambios de parámetros. El controlador es capaz de absorber estos cambios y permite que el seguimiento de la referencia sea bueno, a diferencia del lazo abierto que no es capaz de hacerlo, ya que este solo permite control de

variaciones mínimas y si se sobrepasa de su punto de estabilidad ya no las controla. En la gráfica podemos notar que el tiempo de estabilización es pequeño y que la señal no tiene exceso sobre la salida, debido a que los polos son reales y diferentes.

Grafica 14. Simulación y Respuesta del modelo físico del controlador en lazo cerrado con RL 92 KΩ, ganancia de 4 y referencia de 1V a 5V.

Teniendo en cuenta las condiciones ideales del modelo donde el valor de ganancia es 4 para tiempos pequeños de estabilización, si aumentamos este valor el tiempo en el que llega a la condición de estabilidad aumenta proporcionalmente y el máximo sobreimpulso también. En cambio sí se disminuye la ganancia el tiempo de estabilización aumenta pero el máximo sobreimpulso disminuye, por lo tanto se toma una ganancia de 4, ya que son las condiciones ideales para la planta.

En esta grafica se muestra una variación de la resistencia de carga en un 8%, donde se observa que el seguimiento de este modelo es bueno. Además, se puede observar que la respuesta tiene un sobre impulso pequeño, por lo tanto, existen polos dominantes similares al del modelo con resistencia de 100k. En la simulación del modelo físico con resistencia de carga de 92KΩ, se puede ver que hay una similitud debido a que se han utilizado los mismos valores en ambos casos.

Voltaje de entrada Resistencia de carga (RL) Valor final(Yss) Error de régimen P. (Ess)

1V100000 Ω 0.75471 V 0.24528 V92000 Ω 0.75102 V 0.24897 V80000 Ω 0.74418 V 0.25581 V70000 Ω 0.73924 V 0.26315 V

3V 100000 Ω 2.26415 V 0.73584 V90000 Ω 2.25306 V 0.74693 V

80000 Ω 2.23255 V 0.76744 V70000 Ω 2.21052 V 0.78947 V

Tabla 2. Modelo con variación en la resistencia de carga y ganancia 4.

En esta tabla están registradas las variaciones de la carga con dos diferentes valores de referencia 1V y 3V respectivamente, teniendo en cuanta que la ganancia es la misma en cada variación.

Grafica 15. Simulación del modelo de acción proporcional con variaciones en la resistencia de carga.

De acuerdo a las comparaciones entre las simulaciones y los datos obtenidos con el modelo físico en lazo cerrado que cumple la función de un controlador, se puede concluir que la planta del modelo principal es robusta ante variaciones de parámetros menores al 16 %, pero al aumentar este porcentaje de variación en la carga, se observa que varía unas centésimas de unidad, algo no es muy significativo. Pero que aún el sistema es capaz de controlar, ya que el valor final es diferente y el error de régimen permanente aumenta. Respecto a la variación de resistencia con 92K se observa en la tabla el error de régimen permanente aumento un poco más que con la resistencia de 100K

La sensibilidad, es un cambio porcentual de la función de transferencia del sistema en lazo cerrado T(s) con respecto al cambio en la función de transferencia del proceso o parámetros de G(s). En este sistema es bastante pequeña ya que a grandes variaciones no se afecta y se necesita que el sistema varié bastante para que estas perturbaciones lo afecten.

El trabajar con un control en lazo cerrado es adecuando cuando no se conoce la planta, ya que tiene la capacidad de controlar un sistema inestable, pero requiere mayor número de componentes para poder lograr este objetivo, este rechaza perturbaciones. Su problema es que puede hacerse inestable.

3. Controlador de acción proporcional-integral

Figura 6. Diagrama de bloques del modelo en lazo cerrado con acción proporcional

En la figura se observa la distribución de bloques desde la señal de referencia, enseguida el controlador de acción integral, luego una saturación que nos va a limitar el sistema hasta 5v porque físicamente no tenemos una fuente que brinde un voltaje mayor. Posteriormente se encuentra la planta y al final un scope donde se observara la señal de salida.

Grafica 16. Simulación y respuesta del modelo con acción integral con ganancia de 2 y RL de 100k

De la graficas se concluye que hay un buen seguimiento de la referencia, debido a que el controlador está actuando adecuadamente ante las variaciones que se le hacen a la planta y corrige los errores que esta pueda tener. Además se puede observar un sobreimpulso y un tiempo de estabilización pequeño

Función de transferencia del modelo

G (s )=

K∗RLRLR

3C3 s3+(R3+5RLR2 )C2 s2+6 RLRCs+(3 R+RL)∗1

s

Modelo en lazo cerrado

T ( s )= G(S )1+G (S )∗H (S )

T ( s )=K∗RL

RLR3C3 s4+(R3+5 RLR2 )C2 s3+6 RLRC s2+(3R+RL ) s+K∗RL

Yss=K∗RLK∗RL

=1

Independientemente del valor que tome K o RL siempre va a haber seguimiento de la señal de entrada.

Error de régimen permanente

ess=1

1+Kp

ess=1

1+lim ¿s→0(K∗RL

RLR3C3 s3+(R3+5 RLR2 )C2 s2+6 RLRCs+(3 R+RL)

∗1

s)¿

ess=0

De las ecuaciones se encontró que el error de régimen permanente es cero, cuando tenemos un integrador en la función de transferencia con una entrada tipo escalón.

LGR del modelo

Grafica 16. LGR del modelo con controlador de acción proporcional integral y RL de 100k

Utilizando el teorema de Routh Hurwitz se halló el valor de ganancia 14.664, donde el modelo es marginalmente estable.

A continuación se escoge una ganancia pequeña donde el modelo es estable para observar la respuesta.

Grafica 17. Simulación y respuesta del sistema con controlador de acción integral, ganancia de 5 y RL de 100 k

Se escogió una ganancia de 5, la cual es menor de 14.664, de lo contrario el modelo seria inestable. Hay que tener en cuenta que la ganancia se escoge según las especificaciones que se requiera para el transitorio.

Además se concluye de las gráficas anteriores que tanto en la simulación como en el modelo físico se pueden observar respuestas similares, debido a que se han

puesto en condiciones iguales. Se obtiene una señal con sobreimpulso y tiempo de estabilización grande.

Posteriormente se mejoró el seguimiento de la señal de referencia, ya que el error de régimen permanente es 0, cuando tenemos un polo en el origen.

Grafica 18. Simulación y respuesta del sistema con controlador de acción integral, ganancia de 13 y RL de 100 k

De las gráficas anteriores se concluye que si se acerca al valor de marginalidad el sistema comienza a oscilar, esto implica que se aumente el sobreimpulso. Entre más cerca estén los polos dominantes al eje imaginario, aumenta el tiempo de estabilización, esto se ve claramente en la primera grafica que muestra las raíces.

Modelo con RL de 92K

Grafica 19. Simulación y respuesta del sistema con controlador de acción integral, ganancia de 2 y RL de 92k

Se escogieron los mismos parámetros del modelo con RL de 100k y se observa que la gráfica del modelo con RL de 92k no varía con respecto al anterior, esto quiere decir que el modelo con un integrador es robusto frente a variación de parámetros.

Lo anterior se ve reflejado en la gráfica 20, que contiene variación en la resistencia de carga con sus diferentes respuestas.

Grafica 20. Simulación del modelo con variaciones en la resistencia de carga.

De la anterior grafica se concluye que el modelo es robusto frente a cambios de hasta un 20 %, evidenciando que la planta absorbe las variaciones de parámetros más rápido que en los anteriores controladores. Sin embargo, podemos observar que la respuesta presentada un sobreimpulso grande, que no cumple con las especificaciones en donde a pesar de tener un sobreimpulso este debe ser pequeño. Si se aplica otra técnica de control de acción derivativa el sobreimpulso se pude disminuir.

4. Diseño de controlador por LGR con acción integral

Se desea diseñar un controlador de la forma Gc (s )= K∗(s+z)s

, para que cumpla

con las siguientes especificaciones de desempeño:

Mp = 5% Ts =3 Seg

Según lo anterior utilizamos las fórmulas de segundo orden para δ y Wn

δ=−ln (Mp )

√π2+( ln (Mp ) )2=¿ 0.6901

Wn= 4δ∗Ts

=1.9321

Se reemplaza δ y Wn en la ecuación característica de un sistema de segundo orden para obtener la ubicación deseada de las raíces:

s2+2δWnS+Wn2=s2+2.6667s+3.7330

So =1.33+¿1.40i

Se ha introducido un integrador, el cual va a proporcionar un error en estado estacionario de 0, pero aun así se necesita que el LGR pase por el punto So. Para que esto suceda se deben utilizar las condiciones de fase y magnitud.

Se halla el aporte angular de la función de transferencia a la posición del punto deseado, ya que con esta condición garantizamos que el sistema pase por este.

Figura 7. Aporte angular de la función de transferencia

G(So)= ϕ z−ϕp

ϕ1= tan−1( 1.402.50−1.33 )=50.11°

ϕ2=tan−1( 1.4015.91−1.33 )=5.48 °

ϕ3= tan−1( 1.4032.58−1.33 )=2.56 °

La fase proporcionada por el sistema es:

G(So)= 0−50.11°−5.48 °−2.56°

ϕ=−58.15°

Se necesitara un controlador por atraso que proporcione la siguiente fase:

ϕc=−¿121.85°

Sabemos que

ϕc=ϕz−ϕ p

Como es un controlador con acción integral la fase que proporciona el polo será

ϕ p=180 °−tan−1( 1.401.33 )=¿133.53°

Por lo tanto la fase que debe proporcionar el cero es de

ϕ z=ϕc+ϕ p=11.68°

Se halla la ubicación del cero

tanϕz=1.33x

x= 1.33tan ϕz

=6.43

Por lo tanto el cero se ubicara en

Z = X+1.3334

Z = 7.76

Ahora para cumplir la condición de magnitud se calcula el valor de K

|K c

1000(s+7.6925)s (s+2.50)(s+15.91)(s+32.58)|s=s0=1

K c=|(s ( s3+51 s2+640 s+1300 ))1000(s+7.6925) |

s= s0

K c=1.8977

Entonces el controlado seria

Gc ( s)=1.8977∗(s+7.6925)s

Grafica 21. LGR y respuesta del controlador por atraso con las especificaciones dadas

Se observa que el sistema es más lento que en las especificaciones deseadas, ya que el tiempo que se obtuvo fue de 3.06 seg y el que se requería era de 3 seg, obteniendo una diferencia de 0.06 seg, debido a que se tiene polos que no reaccionan de la misma forma que en el modelo que se requiere. Además el Sistema es capaz de seguir la referencia que se le coloque, gracias a que tiene un polo en el origen, el cual hace que el error en régimen permanente sea 0 ante una entrada tipo escalón.

Adicionalmente, se ve un sobreimpulso de 4.91% y en las especificaciones se estimaba un sobre impulso de 5%, la diferencia no es significativa, lo cual indica que el sistema compensado es ideal.

No se incluyen los resultados de la prueba con la tarjeta

5. Conclusiones

Para concluir se hace una comparación con respecto a todos los análisis y resultados que se obtuvo de la práctica. Hay gran variedad de controladores, porque no todos cumplen con las especificaciones que se requieren para mejorar el seguimiento. Existen los robustos y otros que no permiten variación de parámetros. Por ejemplo un controlador con retroalimentación seria robusto ya que puede corregir los errores y permite que el seguimiento de la referencia sea

bueno. A diferencia de los que no permiten que el sistema se modifique, ya que pequeñas perturbaciones los pueden volver inestables.

Por otra parte, los controladores con acción integral hacen que el error de régimen permanente se anule. Para tener una buena respuesta en los sistemas se recomienda tener sobreimpulsos y tiempos de estabilización pequeños, pero al obtener uno de estos es necesario no tener en cuenta el comportamiento del otro, ya que si modifico el sistema los cambios tienden a repercutir en otra acción que requiera garantizar el controlador para un buen seguimiento.

Finalmente, se destaca que en las simulaciones las respuestas y los datos son similares pero no iguales a los de la planta física, porque no se cuenta con los datos específicos sino con aproximaciones del modelo real.