39
12/06/22 19:50 MA-1223 Aljabar Linear 1 Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab II Determinan Matriks Bab III Sistem Persamaan Linear Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang Bab V Ruang Vektor Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam Bab VII Transformasi Linear Bab VIII Ruang Eigen

Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya

  • Upload
    lang

  • View
    172

  • Download
    0

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab II Determinan Matriks Bab III Sistem Persamaan Linear Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang Bab V Ruang Vektor Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam Bab VII Transformasi Linear - PowerPoint PPT Presentation

Citation preview

Page 1: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 1

Aljabar Linear ElementerMA1223

3 SKSSilabus :Bab I Matriks dan OperasinyaBab II Determinan MatriksBab III Sistem Persamaan LinearBab IV Vektor di Bidang dan di RuangBab V Ruang VektorBab VI Ruang Hasil Kali DalamBab VII Transformasi LinearBab VIII Ruang Eigen

Page 2: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 2

Beberapa Aplikasi Ruang Eigen Uji Kestabilan dalam sistem dinamik Optimasi dengan SVD pada pengolahan Citra Sistem Transmisi dan lain-lain.

Definisi :

Misalkan Anxn matriks matriks bujur sangkar adalah vektor tak nol di Rn dan λ adalah skalar Rill sehingga memenuhi :

maka λ dinamakan nilai eigen dari A, sedangkan dinamakan vektor eigen dari A

v

vvA

v

Page 3: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 3

Contoh :

2

1

34

21

Vektor eigen

Nilai eigen

2

15

5

10

Page 4: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 4

Perhatikan !!!

Ingat…. merupakan vektor tak nol

Ini Berarti

vvA 0 vvA

0 vIvA

0 vIA

v

0det IA

Persamaan Karakteristik

Page 5: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 5

Contoh : Tentukan nilai eigen dari matriks

Persamaan Karakteristik det (A – λI) = 0

0 0 1-

2 1 0

2- 0 1

A

0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 1-

2 1 0

2- 0 1

0

- 0 1-

2 -1 0

2- 0 -1

Page 6: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 6

• Dengan ekspansi kopaktor sepanjang kolom ke-2 (1− λ) ( (1−λ) (−λ) − 2 ) = 0(1 − λ) ( λ² − λ − 2) = 0(1 − λ) ( λ − 2) ( λ + 1) = 0

Jadi, matriks A memiliki tiga buah nilai eigen yaitu :λ = −1, λ = 1, dan λ = 2.

Contoh :Tentukan basis ruang eigen dari :

2 1 1

1 2 1

1 1 2

A

Page 7: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 7

Jawab :Nilai eigen dari A diperoleh saat

(λ – 2){( λ – 2)2 –1} + (–λ +1) – (1+( λ–2)) = 0 (λ – 2){ λ2 – 4 λ + 3} – (λ – 1) – (λ – 1) = 0 (λ – 2){( λ – 3)( λ – 1 )} – 2 (λ – 1) = 0 (λ – 1)(( λ – 2)( λ – 3) – 2) = 0 (λ – 1)( λ2 – 5 λ + 4) = 0 (λ – 1)2( λ – 4) = 0

0det IA

0

2- 1- 1-

1- 2- 1-

1- 1- 2-

01- 1-

2- 1-

2- 1-

1- 1-

2- 1-

1- 2-2

Page 8: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 8

Nilai Eigen dari matriks tersebut adalah 1 dan 4.• Untuk λ = 1

Dengan OBE diperoleh

maka

0

0

0

z

y

1- 1- 1-

1- 1- 1-

1- 1- 1- x

0

0

0

000

000

111

t

s

ts

z

y

x

ts

1

0

1

0

1

1

dimana s, t adalah parameter

Page 9: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 9

Jadi Basis ruang eigen yang bersesuaian dengan =1 adalah

1

0

1

,

0

1

1

Ingat bahwa…

Vektor eigen merupakan kelipatan dari unsur basis tersebut

Page 10: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 10

• Untuk λ = 4

Dengan OBE diperoleh

maka

Jadi basis ruang eigen yang bersesuaian dengan =4 adalah

0

0

0

2 1- 1-

1- 2 1-

1- 1- 2

z

y

x

s

z

y

x

1

1

1

0

0

0

000

110

101

1

1

1

Page 11: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 11

Diagonalisasi

Definisi : Suatu matriks kuadrat Anxn dikatakan

dapat didiagonalkan (diagonalizable)

jika terdapat matriks P yang mempunyai invers

sehingga P–1AP merupakan matriks diagonal.

Matriks P dinamakan matriks yang mendiagonalkan

(pendiagonal) dari A.

Vektor-vektor kolom dari matriks P adalah vektor-

vektor eigen dari A.

Page 12: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 12

Contoh :Tentukan matriks yang mendiagonalkan

110

110

001

A

0. AI

0

110

110

001

00

00

00

det

Jawab : Persamaan karakteristik dari matriks A adalah :

atau

Page 13: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 13

0

110

110

001

det

131312121111.det   cacacaAI

002    1

2    1

Dengan menggunakan ekspansi kofaktor :Pilih Baris I

Sehingga diperoleh nilai eigen

 2  ;  1  ;  0

Page 14: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 14

 0

~. AI

110

110

001

110

110

001

~

000

110

001

~

Untuk

Dengan OBE maka

 0

t

x

x

x

 

1

1

0

3

2

1

Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan

, dimana t adalah parameter tak nol

1

1

0

1P

adalah

Page 15: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 15

1

~. AI

010

100

000

010

100

000

~

000

100

010

~

Untuk

Dengan OBE maka

1

t

x

x

x

 

0

0

1

3

2

1

Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan

, dimana t adalah parameter tak nol

0

0

1

2P

adalah

Page 16: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 16

Untuk

Dengan OBE maka

Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan

, dimana t adalah parameter tak nol

adalah

 2

110

110

001

~. AI

000

110

001

~

t

x

x

x

 

1

1

0

3

2

1

1

1

0

3P

 2

Page 17: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 17

0332211 PkPkPk

0

0

0

  

101

101

010

3

2

1

k

k

k

101

010

101

~

101

101

010

200

010

101

~

100

010

101

~

100

010

001

~

321 ,, PPP

Perhatikan

Jadi

merupakan himpunan yang bebas linear

Dengan OBE

Page 18: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 18

Jadi, Matriks yang mendiagonalkan A adalah :

Matriks diagonal yang dihasilkan adalah :

Hal yang perlu diperhatikan, matriks

Juga mendiagonalkan A.

Tapi matriks diagonal yang terbentuk adalah :

101

101

010

P

200

010

0001APPD

110

110

001

P

200

000

0011APPD

Page 19: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 19

Bnxn dikatakan matriks ortogonal jika B–1 = Bt

Pernyataan berikut adalah ekivalen :• Bnxn adalah matriks ortogonal.• Vektor-vektor baris dari B membentuk himpunan

ortonormal di Rn dalam RHD Euclides.• Vektor-vektor kolom dari B membentuk himpunan

ortonormal di Rn dalam RHD Euclides.

xPx , untuk setiap x di Rn

Misalkan P merupakan matriks ortogonal maka berlaku :

• P t P = I

Page 20: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 20

Contoh :

2

1

2

12

1

2

1

A

2

1

2

1

2

1

2

1

0

010

0

B

Berikut adalah contoh matriks ortogonal :

Terlihat bahwa setiap vektor baris/kolommerupakan vektor satuanDan hasilkali dalam antar vektor tersebut adalah nol

Page 21: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 21

22xt IAA

33xt IBB

6

8

21

21

21

21

2

22

14

2

4

2

196

100

6

8

Perhatikan bahwa :

dan

Sementara itu,

Page 22: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 22

Definisi : Suatu matriks Anxn dikatakan dapat didiagonalkan secara ortogonal jika terdapat matriks ortogonal P sedemikian hingga

P–1AP (=PtAP) merupakan matriks diagonal.

Page 23: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 23

Perhatikan bahwa :

D = P–1AP atau A =PDP–1

Misalkan P merupakan matriks ortogonal, maka

A = PDPt Sehingga diperoleh hubungan

At = (PDPt)t

= (Pt )t DPt

= PDPt = A

A dapat didiagonalkan secara ortogonal jika dan hanya jika A matriks simetri

Page 24: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 24

Misal Anxn, cara menentukan matriks ortogonal P yang mendiagonalkan A :

• Tentukan nilai eigen• Tentukan basis ruang eigen untuk setiap nilai eigen

yang diperoleh• Rubah setiap basis pada (b) menjadi basis ruang

eigen yang ortonormal. • Bentuk matriks P dimana vektor-vektor kolomnya

berupa basis ruang eigen yang ortonormal.

Contoh :Tentukan matriks yang mendiagonalkan secara ortogonal matriks

110

110

001

A

Page 25: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 25

Jawab :Basis ruang eigen :

• Untuk adalah

• Untuk adalah

• Untuk adalah

 0

1

 2

1

1

0

0

0

1

1

1

0

21

21

0

0

0

1

21

21

0

Page 26: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 26

Sehingga matriks ortogonal yang mendiagonalkan A adalah :

21

21

21

21

0

0

010

P

21

21

0

0

0

1

21

21

0

Dengan demikian, secara berurutan basis ruang eigen yang ortonormal matriks tersebut

,

,

dan

Page 27: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 27

Ingat Kembali Pers. Diferensial

Jika sekumpulan PD orde 1 ditulis :

Dengan mudah solusi sistem PD tersebut adalah :

)()(

tyadt

tdy atcety )(

)()(

)(3)(

)(2)(

33

22

11

trdt

tdr

trdt

tdr

trdt

tdr

3

2

1

3

2

1

100

030

002

'

'

'

r

r

r

r

r

r

t

t

t

e

e

e

r

r

r

3

2 3

2

3

2

1

Page 28: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 28

Masalahnya, sistem persamaan diferensial tidak selalu memberikan matriks koefisien yang berbentuk matriks diagonal.

Bentuk Umum SPD orde 1 :

Langkah-langkah menyelesaikan SPD orde 1 linear :• Menentukan matriks P yang mendiagonalkan A.• Tulis SPD dummy dalam bentuk

dimana • Tentukan solusi SPD dummy • Solusi SPD adalah

nnnnn

n

n

n x

x

x

aaa

aaa

aaa

x

x

x

2

1

21

22221

11211

2

1

'

'

'

DUU 'APPD 1

DUU 'PUX

Page 29: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 29

Contoh 6 :Tentukan solusi dari sistem persamaan diferensial

Jawab :Tulis SPD dalam bentuk :

Dengan PK

Nilai eigen dari matriks koefisien,

2

1

2

1

11

24

'

'

x

x

x

x

212

211 24

xxdt

dx

xxdt

dx

011

24

= 2 dan = 3

Page 30: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 30

• BRE yang bersesuaian dengan = 3 • BRE yang bersesuaian dengan = 2

Sehingga diperoleh

Karena

maka SPD dummy berbentuk :

Solusi SPD dummy adalah

dan

1

2

1

1

11

12P

20

031APPD

2

1

2

1

20

03

'

'

u

u

u

u

tecu 311

tecu 222

Page 31: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 31

Solusi dari SPD

atau

PUX

t

t

ec

ec

x

x2

2

31

2

1

11

12

tt ececx 22

311 2

tt ececx 22

312

Page 32: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 32

)(2 tqtpdt

dp

)(2 tqtpdt

dq

10 p 30 q

Contoh 8.9 :Tentukan solusi dari masalah nilai awal

dengan kondisi awal

dan .

Page 33: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 33

21

12A

0 AI.det  

21

120

1220

1440 2

340 2

310  

 3  ;  1diperoleh

Jawab : Kita punya

Maka Persamaan Karakteristiknya adalah

Akhirnya diperoleh

Page 34: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 34

1

00

11~

11

11~. AI

tx

xx

xx

2

21

21 0

1

tx

1

1

2

1

1

1

11P

Untuk

Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan

adalah vektor tak nol yang berbentuk

, dimana t merupakan parameter.

adalah

Jadi basis ruang eigen yang bersesuaian dengan

Page 35: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 35

3

00

11~

11

11~. AI

tx

xx

xx

2

21

21 0

3

tx

1

1

2

1

3

1

12P

Untuk

Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan

adalah vektor tak nol yang berbentuk

Jadi basis ruang eigen yang bersesuaian dengan

adalah

, dimana t merupakan parameter

Page 36: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 36

t

t

e

eU3

PUX

t

t

ec

ec

q

p3

2

1

11

11

tt ececp 321

tt ececq 321

Sehingga Solusi Umum SPD U’ = D U adalah

Dengan demikian solusi SPD kita adalah :

atau

sehingga

Page 37: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 37

0t

21

21

3

1

CC

CC

2   ;   1 21 CC

tt eetp 32)(

tt eetq 32)(

Untuk

Dengan Eliminasi didapat

Jadi solusi masalah nilai awal tersebut adalah

10 p 30 qdan sehingga

Page 38: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 38

Latihan Bab 8

1. Tentukan basis ruang eigen dari

2. Diketahui :

Apakah B matriks dapat didiagonalkan, jelaskan3. Suatu Matriks A2x2 memiliki basis ruang eigen :

• λ = – 3

• λ = 1

Tentukan matriks A !

144

010

023

B

301

020

301

A

3

1

2

1

Page 39: Aljabar Linear Elementer MA1223  3 SKS Silabus : Bab I     Matriks dan Operasinya

20/04/23 20:45 MA-1223 Aljabar Linear 39

4. Tentukan solusi dari masalah nilai awal :

dengan kondisi awal dan

)(2)(

)()(2

tqtpdt

dq

tqtpdt

dp

1)0( p 3)0( q