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Algorithmes en géométrie algébrique réelle Chapitre 1. Corps algébriquements clos d’apr ` es Saugata Basu, Richard Pollack et Marie-Franc ¸oise Roy reracont ´ e par Johannes Huisman Algorithmes en g ´ eom ´ etrie alg ´ ebrique r ´ eelle – p.1/14

Algorithmes en géométrie algébrique réellepageperso.univ-brest.fr/~huisman/rech/gdt/bpr/ch1.pdf · Algorithmes en géométrie algébrique réelle Chapitre 1. Corps algébriquements

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  • Algorithmes en gomtrie algbriquerelle

    Chapitre 1. Corps algbriquements clos

    dapres Saugata Basu, Richard Pollack et Marie-Francoise Roy

    reraconte par Johannes Huisman

    Algorithmes en geometrie algebrique reelle p.1/14

  • Ensembles constructibles

    Soit C un corps algbriquement clos, et C[X1, . . . , Xk]lanneau des polynmes.

    Dfinition. Un ensemble algbrique de Ck est unsous-ensemble de la forme

    {x Ck | P P : P (x) = 0},

    o P C[X1, . . . , Xk] est fini. Un ensemble constructiblebasique de Ck est un sous-ensemble de la forme

    {x Ck | P P : P (x) = 0 et Q Q : Q(x) 6= 0},

    o P ,Q C[X1, . . . , Xk] sont finis. Un ensembleconstructible de Ck est une runion finie de constructiblesbasiques.

    Algorithmes en geometrie algebrique reelle p.2/14

  • Exemples et proprit

    1. {(x, y, z) C3 |x2 + z2 2 = 0} est algbrique,

    2. {(x, y, z) C3 |x2 + z2 2 = 0 et x2 + y2 1 6= 0} est unconstructible basique non algbrique, et

    3. {(x, y, z) C3 | (x2+z22 = 0 et x2+y21 6= 0) ou y = 0}est constructible non basique.

    Proposition. Lensemble des constructibles de Ck estferm pour complmentaire, et intersection et runionfinies. Cest le plus petit ensemble de parties de Ck

    contenant les algbriques ayant cette proprit.

    Algorithmes en geometrie algebrique reelle p.3/14

  • Exemples et proprit

    1. {(x, y, z) C3 |x2 + z2 2 = 0} est algbrique,

    2. {(x, y, z) C3 |x2 + z2 2 = 0 et x2 + y2 1 6= 0} est unconstructible basique non algbrique, et

    3. {(x, y, z) C3 | (x2+z22 = 0 et x2+y21 6= 0) ou y = 0}est constructible non basique.

    Proposition. Lensemble des constructibles de Ck estferm pour complmentaire, et intersection et runionfinies. Cest le plus petit ensemble de parties de Ck

    contenant les algbriques ayant cette proprit.

    Algorithmes en geometrie algebrique reelle p.3/14

  • Formules logiques

    Dfinition. Soit D un sous-anneau de C. Une formuleatomique est une expression de la forme P = 0 ou P 6= 0,o P D[X1, . . . , Xk]. Une formule est

    1. une formule atomique,

    2. , avec une formule,

    3. ou , avec et des formules, ou

    4. Xi : ou Xi : , avec Xi une variable libre dans laformule .

    Une assertion est une formule sans variable libre.

    Exemples. XY 1 = 0 est atomique, Y : XY 1 = 0 estune formule, et X : Y : XY 1 = 0 est une assertion.

    Algorithmes en geometrie algebrique reelle p.4/14

  • Formules logiques

    Dfinition. Soit D un sous-anneau de C. Une formuleatomique est une expression de la forme P = 0 ou P 6= 0,o P D[X1, . . . , Xk]. Une formule est

    1. une formule atomique,

    2. , avec une formule,

    3. ou , avec et des formules, ou

    4. Xi : ou Xi : , avec Xi une variable libre dans laformule .

    Une assertion est une formule sans variable libre.

    Exemples. XY 1 = 0 est atomique, Y : XY 1 = 0 estune formule, et X : Y : XY 1 = 0 est une assertion.

    Algorithmes en geometrie algebrique reelle p.4/14

  • Ralisations

    Dfinition. Soit une formule de variables libres Y1, . . . , Yk.La ralisation de est

    R() = {(y1, . . . , yk) Ck |(y1, . . . , yk)}.

    Une assertion est vraie si et seulement si R() = {0}.

    Exemples.

    1. R(XY 1 = 0) = {(x, y) C2 |xy 1 = 0},

    2. R(Y : XY 1 = 0) = {x C |x 6= 0} = R(X 6= 0),

    3. R(XY : XY 1 = 0) = = R(1 = 0) C0.

    Remarque. R() est constructible si est une formulesans quantificateur. Le but est de montrer que R() estconstructible pour toute formule .

    Algorithmes en geometrie algebrique reelle p.5/14

  • Ralisations

    Dfinition. Soit une formule de variables libres Y1, . . . , Yk.La ralisation de est

    R() = {(y1, . . . , yk) Ck |(y1, . . . , yk)}.

    Une assertion est vraie si et seulement si R() = {0}.

    Exemples.

    1. R(XY 1 = 0) = {(x, y) C2 |xy 1 = 0},

    2. R(Y : XY 1 = 0) = {x C |x 6= 0} = R(X 6= 0),

    3. R(XY : XY 1 = 0) = = R(1 = 0) C0.

    Remarque. R() est constructible si est une formulesans quantificateur. Le but est de montrer que R() estconstructible pour toute formule .

    Algorithmes en geometrie algebrique reelle p.5/14

  • Ralisations

    Dfinition. Soit une formule de variables libres Y1, . . . , Yk.La ralisation de est

    R() = {(y1, . . . , yk) Ck |(y1, . . . , yk)}.

    Une assertion est vraie si et seulement si R() = {0}.

    Exemples.

    1. R(XY 1 = 0) = {(x, y) C2 |xy 1 = 0},

    2. R(Y : XY 1 = 0) = {x C |x 6= 0} = R(X 6= 0),

    3. R(XY : XY 1 = 0) = = R(1 = 0) C0.

    Remarque. R() est constructible si est une formulesans quantificateur. Le but est de montrer que R() estconstructible pour toute formule .

    Algorithmes en geometrie algebrique reelle p.5/14

  • Ralisations

    Dfinition. Soit une formule de variables libres Y1, . . . , Yk.La ralisation de est

    R() = {(y1, . . . , yk) Ck |(y1, . . . , yk)}.

    Une assertion est vraie si et seulement si R() = {0}.

    Exemples.

    1. R(XY 1 = 0) = {(x, y) C2 |xy 1 = 0},

    2. R(Y : XY 1 = 0) = {x C |x 6= 0} = R(X 6= 0),

    3. R(XY : XY 1 = 0) = = R(1 = 0) C0.

    Remarque. R() est constructible si est une formulesans quantificateur. Le but est de montrer que R() estconstructible pour toute formule .

    Algorithmes en geometrie algebrique reelle p.5/14

  • Ralisations

    Dfinition. Soit une formule de variables libres Y1, . . . , Yk.La ralisation de est

    R() = {(y1, . . . , yk) Ck |(y1, . . . , yk)}.

    Une assertion est vraie si et seulement si R() = {0}.

    Exemples.

    1. R(XY 1 = 0) = {(x, y) C2 |xy 1 = 0},

    2. R(Y : XY 1 = 0) = {x C |x 6= 0} = R(X 6= 0),

    3. R(XY : XY 1 = 0) = = R(1 = 0) C0.

    Remarque. R() est constructible si est une formulesans quantificateur. Le but est de montrer que R() estconstructible pour toute formule .

    Algorithmes en geometrie algebrique reelle p.5/14

  • Constructibles de C

    Remarque. Soient P ,Q C[X] finis, et x C.

    1. x annule P , P P, ssi x est racine de pgcd(P),

    2. x nannule aucun Q Q ssi x nannule pas

    Q, et

    3. les racines de P sont racines de Q ssi pgcd(P, Qd) = P ,o d deg(P ).

    Proposition. Le constructible basique de C dfini par

    P P : P = 0 et Q Q : Q 6= 0

    est vide si et seulement si

    deg(pgcd(P ,

    Qd)) = deg(pgcd(P)),

    o d deg(pgcd(P)).

    Algorithmes en geometrie algebrique reelle p.6/14

  • Constructibles de C

    Remarque. Soient P ,Q C[X] finis, et x C.

    1. x annule P , P P, ssi x est racine de pgcd(P),

    2. x nannule aucun Q Q ssi x nannule pas

    Q, et

    3. les racines de P sont racines de Q ssi pgcd(P, Qd) = P ,o d deg(P ).

    Proposition. Le constructible basique de C dfini par

    P P : P = 0 et Q Q : Q 6= 0

    est vide si et seulement si

    deg(pgcd(P ,

    Qd)) = deg(pgcd(P)),

    o d deg(pgcd(P)).Algorithmes en geometrie algebrique reelle p.6/14

  • Thorme de Chevalley

    Thorme. Soit : Ck+1 Ck la projection. Si S Ck+1

    est constructible sur D, alors (S) est constructible sur D.

    Dmonstration. On peut supposer que S est basique, i.e.,

    S = {x Ck+1 | P P : P (x) = 0 et Q Q : Q(x) 6= 0},

    o P ,Q D[Y1, . . . , Yk, X] finis. Pour y Ck, on alvaluation partielle Py = P (y1, . . . , yk, X) C[X] si P P,et Py = {Py |P P}. Du coup, (S) = {y Ck |Sy 6= }, o

    Sy = {x C | P Py : P (x) = 0 et Q Qy : Q(x) 6= 0}

    = {y Ck | deg(pgcd(Py,

    Qdy)) 6= deg(pgcd(Py))}.

    Algorithmes en geometrie algebrique reelle p.7/14

  • Thorme de Chevalley

    Thorme. Soit : Ck+1 Ck la projection. Si S Ck+1

    est constructible sur D, alors (S) est constructible sur D.

    Dmonstration. On peut supposer que S est basique, i.e.,

    S = {x Ck+1 | P P : P (x) = 0 et Q Q : Q(x) 6= 0},

    o P ,Q D[Y1, . . . , Yk, X] finis. Pour y Ck, on alvaluation partielle Py = P (y1, . . . , yk, X) C[X] si P P,et Py = {Py |P P}. Du coup, (S) = {y Ck |Sy 6= }, o

    Sy = {x C | P Py : P (x) = 0 et Q Qy : Q(x) 6= 0}

    = {y Ck | deg(pgcd(Py,

    Qdy)) 6= deg(pgcd(Py))}.

    Algorithmes en geometrie algebrique reelle p.7/14

  • Un cas facile

    Supposons que les polymes dans P et Q sont tels que lesrestes des divisions euclidiennes dans D(Y1, . . . , Yk)[X]pour obtenir

    pgcd(P) et pgcd(P ,

    Qd)

    appartiennent tous D[Y1, . . . , Yk][X]. Dans ce cas, (S) estbien constructible dans Ck.

    Exemple. S = {(x, y) |XY 1 = 0 et X 1 6= 0}. SoientP = XY 1 et Q = X 1. On a Py 6= 0 et Qy 6= 0 pourtout y C. Comme XY 1 = Y (X 1) + (Y 1), lereste Y 1 sannule en y = 1. On a S1 = . Pour y 6= 1,Sy = ssi y = 0. Do (S) = C \ {0, 1}.

    Algorithmes en geometrie algebrique reelle p.8/14

  • Un cas facile

    Supposons que les polymes dans P et Q sont tels que lesrestes des divisions euclidiennes dans D(Y1, . . . , Yk)[X]pour obtenir

    pgcd(P) et pgcd(P ,

    Qd)

    appartiennent tous D[Y1, . . . , Yk][X]. Dans ce cas, (S) estbien constructible dans Ck.

    Exemple. S = {(x, y) |XY 1 = 0 et X 1 6= 0}. SoientP = XY 1 et Q = X 1. On a Py 6= 0 et Qy 6= 0 pourtout y C. Comme XY 1 = Y (X 1) + (Y 1), lereste Y 1 sannule en y = 1. On a S1 = . Pour y 6= 1,Sy = ssi y = 0. Do (S) = C \ {0, 1}.

    Algorithmes en geometrie algebrique reelle p.8/14

  • Pseudo-restes

    Soient P, Q D[Y1, . . . , Yk][X], avec Q 6= 0, p = deg(P ) etq = deg(Q), bq = lcof(Q) et d = max{0, p q + 1}. Il existeuniques A, R D[Y1, . . . , Yk][X] tels que

    bdqP = AQ + R.

    R est le pseudo-reste dans la division euclidienne de Ppar Q. Notation : PRem(P, Q).

    Si Q = bqXq + + b0 et i = ou 0 i q, le tronqude Q en degr i est

    Trui(Q) = biXi + + b0.

    Soit Tru(Q) lensemble des tronqus Truq(Q), . . . , Trui(Q)o i est le plus grand entier tel que lcof(Trui(Q)) D.

    Algorithmes en geometrie algebrique reelle p.9/14

  • Pseudo-restes

    Soient P, Q D[Y1, . . . , Yk][X], avec Q 6= 0, p = deg(P ) etq = deg(Q), bq = lcof(Q) et d = max{0, p q + 1}. Il existeuniques A, R D[Y1, . . . , Yk][X] tels que

    bdqP = AQ + R.

    R est le pseudo-reste dans la division euclidienne de Ppar Q. Notation : PRem(P, Q).

    Si Q = bqXq + + b0 et i = ou 0 i q, le tronqude Q en degr i est

    Trui(Q) = biXi + + b0.

    Soit Tru(Q) lensemble des tronqus Truq(Q), . . . , Trui(Q)o i est le plus grand entier tel que lcof(Trui(Q)) D.

    Algorithmes en geometrie algebrique reelle p.9/14

  • Arbre de pseudo-restes ventuels

    On dfinit un arbre TRems(P, Q) : la racine R est P , sesenfants sont les lments de Tru(Q), et par rcurrence, lesenfants dun polynme non nul N sont les lments deTru(PRem(p(N), N)), o p(N) est le parent de N .

    Exemple. P = XY 1, Q = X2 + Y 2 1.

    Algorithmes en geometrie algebrique reelle p.10/14

  • Partition de Ck

    Soit L une feuille de TRems(P, Q) et BL le chemin de P L.Pour N un polynme sur le chemin BL, c(N) est son enfantsur BL. Soit CL la formule sans quantificateurs :

    deg(Q) = deg(c(R))

    NBL,N 6=R

    deg(PRem(p(N), N)) = deg(c(N)).

    Proposition. Les sous-ensembles constructibles R(CL)partitionnent Ck. De plus, pour y R(CL),pgcd(Py, Qy) = p(L)y.

    Cela montre le Thorme de Chevalley dans le cas o|P| = 1.

    Algorithmes en geometrie algebrique reelle p.11/14

  • Partition de Ck

    Soit L une feuille de TRems(P, Q) et BL le chemin de P L.Pour N un polynme sur le chemin BL, c(N) est son enfantsur BL. Soit CL la formule sans quantificateurs :

    deg(Q) = deg(c(R))

    NBL,N 6=R

    deg(PRem(p(N), N)) = deg(c(N)).

    Proposition. Les sous-ensembles constructibles R(CL)partitionnent Ck. De plus, pour y R(CL),pgcd(Py, Qy) = p(L)y.

    Cela montre le Thorme de Chevalley dans le cas o|P| = 1.

    Algorithmes en geometrie algebrique reelle p.11/14

  • Partition de Ck

    Soit L une feuille de TRems(P, Q) et BL le chemin de P L.Pour N un polynme sur le chemin BL, c(N) est son enfantsur BL. Soit CL la formule sans quantificateurs :

    deg(Q) = deg(c(R))

    NBL,N 6=R

    deg(PRem(p(N), N)) = deg(c(N)).

    Proposition. Les sous-ensembles constructibles R(CL)partitionnent Ck. De plus, pour y R(CL),pgcd(Py, Qy) = p(L)y.

    Cela montre le Thorme de Chevalley dans le cas o|P| = 1.

    Algorithmes en geometrie algebrique reelle p.11/14

  • Le cas gnral

    Soit Posgcd(P) lensemble dfini par rcurrence par

    Posgcd() = {(0, 0 = 0)},

    et

    Posgcd(P) = {(p(L), C CL) | (Q, C) Posgcd(P \ {P}) et

    L est une feuille de TRems(P, Q)}

    Proposition. Les sous-ensembles constructibles R(C), o(G, C) Posgcd(P), partitionnent Ck. De plus, poury R(C), pgcd(Py) = Gy.

    Algorithmes en geometrie algebrique reelle p.12/14

  • Le cas gnral

    Soit Posgcd(P) lensemble dfini par rcurrence par

    Posgcd() = {(0, 0 = 0)},

    et

    Posgcd(P) = {(p(L), C CL) | (Q, C) Posgcd(P \ {P}) et

    L est une feuille de TRems(P, Q)}

    Proposition. Les sous-ensembles constructibles R(C), o(G, C) Posgcd(P), partitionnent Ck. De plus, poury R(C), pgcd(Py) = Gy.

    Algorithmes en geometrie algebrique reelle p.12/14

  • Fin de la dmonstration

    Soit

    L = Posgcd({P | C : (P, C) Posgcd(P)} {

    Qd}).

    Pour tout (G, C) L, il existe un unique (G1, C1) Posgcd(P)tel que C1 soit une conjonction de formules atomiquesdans C. Lensemble (S) est la runion disjointe desensembles de la forme R(C deg(G) 6= deg(G1)). Parconsquent, (S) est constructible.

    Algorithmes en geometrie algebrique reelle p.13/14

  • Elimination de quantificateur

    Thorme. Soit une formule variables libres Y1, . . . , Yk.Alors, R() est constructible.

    Dmonstration. Il suffit de dmontrer lnonc pour uneformule de la forme X : , o est sans quantificateuravec variables libres Y1, . . . , Yk, X. Soit S Ck+1 leconstructible dfini par . Daprs Chevalley, R() = (S)est constructible.

    Corollaire. Soit une formule variables libres Y1, . . . , Yk.Alors, il existe une formule sans quantificateur avec lesmmes variables libres, et quivalente .

    Corollaire. Si est une assertion. Il y a un algorithme pourdcider la vrit de .

    Corollaire. Principe de Lefschetz.Algorithmes en geometrie algebrique reelle p.14/14

    Ensembles constructiblesExemples et propri'et'eFormules logiquesR'ealisationsConstructibles de~$C$Th'eor`eme de ChevalleyUn cas facilePseudo-restesArbre de pseudo-restes 'eventuelsPartition de~$C^k$Le cas g'en'eralFin de la d'emonstrationElimination de quantificateur