Algorithmes en géométrie algébriqueréelle

Chapitre 1. Corps algébriquements clos

d’apres Saugata Basu, Richard Pollack et Marie-Francoise Roy

reraconte par Johannes Huisman

Algorithmes en geometrie algebrique reelle – p.1/14

Ensembles constructibles

Soit C un corps algébriquement clos, et C[X1, . . . , Xk]l’anneau des polynômes.

Définition. Un ensemble algébrique de Ck est unsous-ensemble de la forme

{x ∈ Ck | ∀P ∈ P : P (x) = 0},

où P ⊆ C[X1, . . . , Xk] est fini. Un ensemble constructiblebasique de Ck est un sous-ensemble de la forme

{x ∈ Ck | ∀P ∈ P : P (x) = 0 et ∀Q ∈ Q : Q(x) 6= 0},

où P ,Q ⊆ C[X1, . . . , Xk] sont finis. Un ensembleconstructible de Ck est une réunion finie de constructiblesbasiques.

Algorithmes en geometrie algebrique reelle – p.2/14

Exemples et propriété

1. {(x, y, z) ∈ C3 |x2 + z2 − 2 = 0} est algébrique,

2. {(x, y, z) ∈ C3 |x2 + z2 − 2 = 0 et x2 + y2 − 1 6= 0} est unconstructible basique non algébrique, et

3. {(x, y, z) ∈ C3 | (x2+z2−2 = 0 et x2+y2−1 6= 0) ou y = 0}est constructible non basique.

Proposition. L’ensemble des constructibles de Ck estfermé pour complémentaire, et intersection et réunionfinies. C’est le plus petit ensemble de parties de Ck

contenant les algébriques ayant cette propriété.

Algorithmes en geometrie algebrique reelle – p.3/14

Exemples et propriété

1. {(x, y, z) ∈ C3 |x2 + z2 − 2 = 0} est algébrique,

2. {(x, y, z) ∈ C3 |x2 + z2 − 2 = 0 et x2 + y2 − 1 6= 0} est unconstructible basique non algébrique, et

3. {(x, y, z) ∈ C3 | (x2+z2−2 = 0 et x2+y2−1 6= 0) ou y = 0}est constructible non basique.

Proposition. L’ensemble des constructibles de Ck estfermé pour complémentaire, et intersection et réunionfinies. C’est le plus petit ensemble de parties de Ck

contenant les algébriques ayant cette propriété.

Algorithmes en geometrie algebrique reelle – p.3/14

Formules logiques

Définition. Soit D un sous-anneau de C. Une formuleatomique est une expression de la forme P = 0 ou P 6= 0,où P ∈ D[X1, . . . , Xk]. Une formule est

1. une formule atomique,

2. ¬Φ, avec Φ une formule,

3. Φ ∧ Ψ ou Φ ∨ Ψ, avec Φ et Ψ des formules, ou

4. ∃Xi : Φ ou ∀Xi : Φ, avec Xi une variable libre dans laformule Φ.

Une assertion est une formule sans variable libre.

Exemples. XY − 1 = 0 est atomique, ∃Y : XY − 1 = 0 estune formule, et ∀X : ∃Y : XY − 1 = 0 est une assertion.

Algorithmes en geometrie algebrique reelle – p.4/14

Formules logiques

Définition. Soit D un sous-anneau de C. Une formuleatomique est une expression de la forme P = 0 ou P 6= 0,où P ∈ D[X1, . . . , Xk]. Une formule est

1. une formule atomique,

2. ¬Φ, avec Φ une formule,

3. Φ ∧ Ψ ou Φ ∨ Ψ, avec Φ et Ψ des formules, ou

4. ∃Xi : Φ ou ∀Xi : Φ, avec Xi une variable libre dans laformule Φ.

Une assertion est une formule sans variable libre.

Exemples. XY − 1 = 0 est atomique, ∃Y : XY − 1 = 0 estune formule, et ∀X : ∃Y : XY − 1 = 0 est une assertion.

Algorithmes en geometrie algebrique reelle – p.4/14

Réalisations

Définition. Soit Φ une formule de variables libres Y1, . . . , Yk.La réalisation de Φ est

R(Φ) = {(y1, . . . , yk) ∈ Ck |Φ(y1, . . . , yk)}.

Une assertion Φ est vraie si et seulement si R(Φ) = {0}.

Exemples.

1. R(XY − 1 = 0) = {(x, y) ∈ C2 |xy − 1 = 0},

2. R(∃Y : XY − 1 = 0) = {x ∈ C |x 6= 0} = R(X 6= 0),

3. R(∀X∃Y : XY − 1 = 0) = ∅ = R(1 = 0) ⊆ C0.

Remarque. R(Φ) est constructible si Φ est une formulesans quantificateur. Le but est de montrer que R(Φ) estconstructible pour toute formule Φ.

Algorithmes en geometrie algebrique reelle – p.5/14

Réalisations

Définition. Soit Φ une formule de variables libres Y1, . . . , Yk.La réalisation de Φ est

R(Φ) = {(y1, . . . , yk) ∈ Ck |Φ(y1, . . . , yk)}.

Une assertion Φ est vraie si et seulement si R(Φ) = {0}.

Exemples.

1. R(XY − 1 = 0) = {(x, y) ∈ C2 |xy − 1 = 0},

2. R(∃Y : XY − 1 = 0) = {x ∈ C |x 6= 0} = R(X 6= 0),

3. R(∀X∃Y : XY − 1 = 0) = ∅ = R(1 = 0) ⊆ C0.

Remarque. R(Φ) est constructible si Φ est une formulesans quantificateur. Le but est de montrer que R(Φ) estconstructible pour toute formule Φ.

Algorithmes en geometrie algebrique reelle – p.5/14

Réalisations

Définition. Soit Φ une formule de variables libres Y1, . . . , Yk.La réalisation de Φ est

R(Φ) = {(y1, . . . , yk) ∈ Ck |Φ(y1, . . . , yk)}.

Une assertion Φ est vraie si et seulement si R(Φ) = {0}.

Exemples.

1. R(XY − 1 = 0) = {(x, y) ∈ C2 |xy − 1 = 0},

2. R(∃Y : XY − 1 = 0) = {x ∈ C |x 6= 0} = R(X 6= 0),

3. R(∀X∃Y : XY − 1 = 0) = ∅ = R(1 = 0) ⊆ C0.

Remarque. R(Φ) est constructible si Φ est une formulesans quantificateur. Le but est de montrer que R(Φ) estconstructible pour toute formule Φ.

Algorithmes en geometrie algebrique reelle – p.5/14

Réalisations

Définition. Soit Φ une formule de variables libres Y1, . . . , Yk.La réalisation de Φ est

R(Φ) = {(y1, . . . , yk) ∈ Ck |Φ(y1, . . . , yk)}.

Une assertion Φ est vraie si et seulement si R(Φ) = {0}.

Exemples.

1. R(XY − 1 = 0) = {(x, y) ∈ C2 |xy − 1 = 0},

2. R(∃Y : XY − 1 = 0) = {x ∈ C |x 6= 0} = R(X 6= 0),

3. R(∀X∃Y : XY − 1 = 0) = ∅ = R(1 = 0) ⊆ C0.

Remarque. R(Φ) est constructible si Φ est une formulesans quantificateur. Le but est de montrer que R(Φ) estconstructible pour toute formule Φ.

Algorithmes en geometrie algebrique reelle – p.5/14

Réalisations

Définition. Soit Φ une formule de variables libres Y1, . . . , Yk.La réalisation de Φ est

R(Φ) = {(y1, . . . , yk) ∈ Ck |Φ(y1, . . . , yk)}.

Une assertion Φ est vraie si et seulement si R(Φ) = {0}.

Exemples.

1. R(XY − 1 = 0) = {(x, y) ∈ C2 |xy − 1 = 0},

2. R(∃Y : XY − 1 = 0) = {x ∈ C |x 6= 0} = R(X 6= 0),

3. R(∀X∃Y : XY − 1 = 0) = ∅ = R(1 = 0) ⊆ C0.

Remarque. R(Φ) est constructible si Φ est une formulesans quantificateur. Le but est de montrer que R(Φ) estconstructible pour toute formule Φ.

Algorithmes en geometrie algebrique reelle – p.5/14

Constructibles de C

Remarque. Soient P ,Q ⊆ C[X] finis, et x ∈ C.

1. x annule P , ∀P ∈ P, ssi x est racine de pgcd(P),

2. x n’annule aucun Q ∈ Q ssi x n’annule pas∏

Q, et

3. les racines de P sont racines de Q ssi pgcd(P, Qd) = P ,où d ≥ deg(P ).

Proposition. Le constructible basique de C défini par

∀P ∈ P : P = 0 et ∀Q ∈ Q : Q 6= 0

est vide si et seulement si

deg(pgcd(P ,∏

Qd)) = deg(pgcd(P)),

où d ≥ deg(pgcd(P)).

Algorithmes en geometrie algebrique reelle – p.6/14

Constructibles de C

Remarque. Soient P ,Q ⊆ C[X] finis, et x ∈ C.

1. x annule P , ∀P ∈ P, ssi x est racine de pgcd(P),

2. x n’annule aucun Q ∈ Q ssi x n’annule pas∏

Q, et

3. les racines de P sont racines de Q ssi pgcd(P, Qd) = P ,où d ≥ deg(P ).

Proposition. Le constructible basique de C défini par

∀P ∈ P : P = 0 et ∀Q ∈ Q : Q 6= 0

est vide si et seulement si

deg(pgcd(P ,∏

Qd)) = deg(pgcd(P)),

où d ≥ deg(pgcd(P)).Algorithmes en geometrie algebrique reelle – p.6/14

Théorème de Chevalley

Théorème. Soit π : Ck+1 → Ck la projection. Si S ⊆ Ck+1

est constructible sur D, alors π(S) est constructible sur D.

Démonstration. On peut supposer que S est basique, i.e.,

S = {x ∈ Ck+1 | ∀P ∈ P : P (x) = 0 et ∀Q ∈ Q : Q(x) 6= 0},

où P ,Q ⊆ D[Y1, . . . , Yk, X] finis. Pour y ∈ Ck, on al’évaluation partielle Py = P (y1, . . . , yk, X) ∈ C[X] si P ∈ P,et Py = {Py |P ∈ P}. Du coup, π(S) = {y ∈ Ck |Sy 6= ∅}, où

Sy = {x ∈ C | ∀P ∈ Py : P (x) = 0 et ∀Q ∈ Qy : Q(x) 6= 0}

= {y ∈ Ck | deg(pgcd(Py,∏

Qdy)) 6= deg(pgcd(Py))}.

Algorithmes en geometrie algebrique reelle – p.7/14

Théorème de Chevalley

Théorème. Soit π : Ck+1 → Ck la projection. Si S ⊆ Ck+1

est constructible sur D, alors π(S) est constructible sur D.

Démonstration. On peut supposer que S est basique, i.e.,

S = {x ∈ Ck+1 | ∀P ∈ P : P (x) = 0 et ∀Q ∈ Q : Q(x) 6= 0},

où P ,Q ⊆ D[Y1, . . . , Yk, X] finis. Pour y ∈ Ck, on al’évaluation partielle Py = P (y1, . . . , yk, X) ∈ C[X] si P ∈ P,et Py = {Py |P ∈ P}. Du coup, π(S) = {y ∈ Ck |Sy 6= ∅}, où

Sy = {x ∈ C | ∀P ∈ Py : P (x) = 0 et ∀Q ∈ Qy : Q(x) 6= 0}

= {y ∈ Ck | deg(pgcd(Py,∏

Qdy)) 6= deg(pgcd(Py))}.

Algorithmes en geometrie algebrique reelle – p.7/14

Un cas facile

Supposons que les polyômes dans P et Q sont tels que lesrestes des divisions euclidiennes dans D(Y1, . . . , Yk)[X]pour obtenir

pgcd(P) et pgcd(P ,∏

Qd)

appartiennent tous à D[Y1, . . . , Yk][X]. Dans ce cas, π(S) estbien constructible dans Ck.

Exemple. S = {(x, y) |XY − 1 = 0 et X − 1 6= 0}. SoientP = XY − 1 et Q = X − 1. On a Py 6= 0 et Qy 6= 0 pourtout y ∈ C. Comme XY − 1 = Y (X − 1) + (Y − 1), lereste Y − 1 s’annule en y = 1. On a S1 = ∅. Pour y 6= 1,Sy = ∅ ssi y = 0. D’où π(S) = C \ {0, 1}.

Algorithmes en geometrie algebrique reelle – p.8/14

Un cas facile

Supposons que les polyômes dans P et Q sont tels que lesrestes des divisions euclidiennes dans D(Y1, . . . , Yk)[X]pour obtenir

pgcd(P) et pgcd(P ,∏

Qd)

appartiennent tous à D[Y1, . . . , Yk][X]. Dans ce cas, π(S) estbien constructible dans Ck.

Exemple. S = {(x, y) |XY − 1 = 0 et X − 1 6= 0}. SoientP = XY − 1 et Q = X − 1. On a Py 6= 0 et Qy 6= 0 pourtout y ∈ C. Comme XY − 1 = Y (X − 1) + (Y − 1), lereste Y − 1 s’annule en y = 1. On a S1 = ∅. Pour y 6= 1,Sy = ∅ ssi y = 0. D’où π(S) = C \ {0, 1}.

Algorithmes en geometrie algebrique reelle – p.8/14

Pseudo-restes

Soient P, Q ∈ D[Y1, . . . , Yk][X], avec Q 6= 0, p = deg(P ) etq = deg(Q), bq = lcof(Q) et d = max{0, p − q + 1}. Il existeuniques A, R ∈ D[Y1, . . . , Yk][X] tels que

bdqP = AQ + R.

R est le pseudo-reste dans la division euclidienne de P

par Q. Notation : PRem(P, Q).

Si Q = bqXq + · · · + b0 et i = −∞ ou 0 ≤ i ≤ q, le tronqué

de Q en degré i est

Trui(Q) = biXi + · · · + b0.

Soit Tru(Q) l’ensemble des tronqués Truq(Q), . . . , Trui(Q)

où i est le plus grand entier tel que lcof(Trui(Q)) ∈ D.

Algorithmes en geometrie algebrique reelle – p.9/14

Pseudo-restes

Soient P, Q ∈ D[Y1, . . . , Yk][X], avec Q 6= 0, p = deg(P ) etq = deg(Q), bq = lcof(Q) et d = max{0, p − q + 1}. Il existeuniques A, R ∈ D[Y1, . . . , Yk][X] tels que

bdqP = AQ + R.

R est le pseudo-reste dans la division euclidienne de P

par Q. Notation : PRem(P, Q).

Si Q = bqXq + · · · + b0 et i = −∞ ou 0 ≤ i ≤ q, le tronqué

de Q en degré i est

Trui(Q) = biXi + · · · + b0.

Soit Tru(Q) l’ensemble des tronqués Truq(Q), . . . , Trui(Q)

où i est le plus grand entier tel que lcof(Trui(Q)) ∈ D.Algorithmes en geometrie algebrique reelle – p.9/14

Arbre de pseudo-restes éventuels

On définit un arbre TRems(P, Q) : la racine R est P , sesenfants sont les éléments de Tru(Q), et par récurrence, lesenfants d’un polynôme non nul N sont les éléments deTru(PRem(p(N), N)), où p(N) est le parent de N .

Exemple. P = XY − 1, Q = X2 + Y 2 − 1.

Algorithmes en geometrie algebrique reelle – p.10/14

Partition de Ck

Soit L une feuille de TRems(P, Q) et BL le chemin de P à L.Pour N un polynôme sur le chemin BL, c(N) est son enfantsur BL. Soit CL la formule sans quantificateurs :

deg(Q) = deg(c(R))∧∧

N∈BL,N 6=R

deg(PRem(p(N), N)) = deg(c(N)).

Proposition. Les sous-ensembles constructibles R(CL)

partitionnent Ck. De plus, pour y ∈ R(CL),pgcd(Py, Qy) = p(L)y.

Cela montre le Théorème de Chevalley dans le cas où|P| = 1.

Algorithmes en geometrie algebrique reelle – p.11/14

Partition de Ck

Soit L une feuille de TRems(P, Q) et BL le chemin de P à L.Pour N un polynôme sur le chemin BL, c(N) est son enfantsur BL. Soit CL la formule sans quantificateurs :

deg(Q) = deg(c(R))∧∧

N∈BL,N 6=R

deg(PRem(p(N), N)) = deg(c(N)).

Proposition. Les sous-ensembles constructibles R(CL)

partitionnent Ck. De plus, pour y ∈ R(CL),pgcd(Py, Qy) = p(L)y.

Cela montre le Théorème de Chevalley dans le cas où|P| = 1.

Algorithmes en geometrie algebrique reelle – p.11/14

Partition de Ck

Soit L une feuille de TRems(P, Q) et BL le chemin de P à L.Pour N un polynôme sur le chemin BL, c(N) est son enfantsur BL. Soit CL la formule sans quantificateurs :

deg(Q) = deg(c(R))∧∧

N∈BL,N 6=R

deg(PRem(p(N), N)) = deg(c(N)).

Proposition. Les sous-ensembles constructibles R(CL)

partitionnent Ck. De plus, pour y ∈ R(CL),pgcd(Py, Qy) = p(L)y.

Cela montre le Théorème de Chevalley dans le cas où|P| = 1.

Algorithmes en geometrie algebrique reelle – p.11/14

Le cas général

Soit Posgcd(P) l’ensemble défini par récurrence par

Posgcd(∅) = {(0, 0 = 0)},

et

Posgcd(P) = {(p(L), C ∧ CL) | (Q, C) ∈ Posgcd(P \ {P}) et

L est une feuille de TRems(P, Q)}

Proposition. Les sous-ensembles constructibles R(C), où(G, C) ∈ Posgcd(P), partitionnent Ck. De plus, poury ∈ R(C), pgcd(Py) = Gy.

Algorithmes en geometrie algebrique reelle – p.12/14

Le cas général

Soit Posgcd(P) l’ensemble défini par récurrence par

Posgcd(∅) = {(0, 0 = 0)},

et

Posgcd(P) = {(p(L), C ∧ CL) | (Q, C) ∈ Posgcd(P \ {P}) et

L est une feuille de TRems(P, Q)}

Proposition. Les sous-ensembles constructibles R(C), où(G, C) ∈ Posgcd(P), partitionnent Ck. De plus, poury ∈ R(C), pgcd(Py) = Gy.

Algorithmes en geometrie algebrique reelle – p.12/14

Fin de la démonstration

Soit

L = Posgcd({P | ∃C : (P, C) ∈ Posgcd(P)} ∪ {∏

Qd}).

Pour tout (G, C) ∈ L, il existe un unique (G1, C1) ∈ Posgcd(P)tel que C1 soit une conjonction de formules atomiquesdans C. L’ensemble π(S) est la réunion disjointe desensembles de la forme R(C ∧ deg(G) 6= deg(G1)). Parconséquent, π(S) est constructible.

Algorithmes en geometrie algebrique reelle – p.13/14

Elimination de quantificateur

Théorème. Soit Φ une formule à variables libres Y1, . . . , Yk.Alors, R(Φ) est constructible.

Démonstration. Il suffit de démontrer l’énoncé pour uneformule Φ de la forme ∃X : Θ, où Θ est sans quantificateuravec variables libres Y1, . . . , Yk, X. Soit S ⊆ Ck+1 leconstructible défini par Θ. D’après Chevalley, R(Φ) = π(S)est constructible.

Corollaire. Soit Φ une formule à variables libres Y1, . . . , Yk.Alors, il existe une formule Ψ sans quantificateur avec lesmêmes variables libres, et équivalente à Φ.

Corollaire. Si Φ est une assertion. Il y a un algorithme pourdécider la vérité de Φ.

Corollaire. Principe de Lefschetz.

Algorithmes en geometrie algebrique reelle – p.14/14