Algebra Lineal Ingenieria Quimica

Eines d’algebra lineal i matricial per a laenginyeria quımica

Marıa Isabel Garcıa PlanasMaria Dolors Magret Planas

Primera edicio: Setembre 2004

Editor: las autores

ISBN: 84-609-2021-6

Diposit legal: B-37 847-04

c© Ma¯ Isabel Garcıa Planas, M. Dolors Magret

Index

Presentacio 8

1 Estructures algebraiques: grups, anells, cossos 11

1.1 Introduccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Estructures algebraiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 El cos dels nombres complexos . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 L’anell dels polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5 Apendix: Cossos finits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6 Aplicacio a la quımica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.7 Comentaris finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.8 Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.9 Exercicis resolts amb Maple . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Espais vectorials 29

2.1 Introduccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Definicio i propietats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3 Subespais vectorials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4 Dependencia i independencia lineal . . . . . . . . . . . . 34

2.5 Sistemes de generadors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.6 Bases. Dimensio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.7 Suma i interseccio de subespais vectorials . . . . . . . . . 38

2.8 Suma directa. Complementari . . . . . . . . . . . . . . . 40

3

4

2.9 Producte escalar. Bases ortonormals . . . . . . . . . . . 42

2.10 Apendix A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.11 Apendix B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.12 Apendix C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52



2.15 Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56


3 Matrius i sistemes de equacions 63

3.1 Introduccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2 Notacions i terminologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3 Rang d’una matriu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.4 Transformacions elementals d’una matriu . . . . . . . . . 72

3.5 Inversa d’una matriu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.6 Sistemes d’equacions lineals . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.7 Aplicacio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.8 Aplicacio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.9 Apendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88



3.12 Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91


4 Aplicacions lineals 99

4.1 Introduccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.2 Concepte d’aplicacio lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.3 Determinacio d’una aplicacio lineal . . . . . . . . . . . . 101

4.4 Nucli i imatge d’una aplicacio lineal . . . . . . . . . . . . 103

4.5 Isomorfisme natural associat a una base . . . . . . . . . . 106

5

4.6 Matriu associada a una aplicacio lineal . . . . . . . . . . 107

4.7 Canvis de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.8 Subespais invariants per un endomorfisme . . . . . . . . 111

4.9 Operacions amb aplicacions lineals . . . . . . . . . . . . 113

4.10 El grup lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.11 Apendix A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.12 Apendix B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118


4.14 Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121


5 Determinants 129

5.1 Introduccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.2 Permutacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.3 Definicio de determinant i propietats . . . . . . . . . . . 131

5.4 Calcul de determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.5 Aplicacio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.6 Aplicacio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.7 Aplicacio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.8 Aplicacio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.9 Determinant d’un endomorfisme . . . . . . . . . . . . . . 140



5.12 Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142


6 Diagonalitzacio d’endomorfismes 147

6.1 Introduccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.2 Vectors propis i valors propis . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.3 Polinomi caracterıstic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6

6.4 Endomorfismes diagonalitzables . . . . . . . . . . . . . . 155

6.5 Teorema de diagonalitzacio . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

6.6 El Teorema de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . 159

6.7 Apendix A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6.8 Apendix B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163



6.11 Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165


7 Endomorfismes ortogonals i simetrics 173

7.1 Introduccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

7.2 Aplicacio lineal adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

7.3 Endomorfismes ortogonals . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

7.4 Endomorfismes simetrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

7.5 Apendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184



7.8 Exercicis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Bibliografia 194

7

Aquesta es una versio revisada per la profesora Ma¯ Isabel Garcıa Planas,

dels apunts de la asignatura editats el curs passat.

Barcelona 18-VII-2005

Presentacio

Aquest llibre recull el material preparat per als estudiants de l’assignaturad’algebra lineal de la titulacio d’enginyeria quımica de la UPC. Es tractad’un llibre basic d’aquesta materia, tot i que s’hi ha introduıt algunselements especıfics.

El nucli basic esta constituıt pels temes classics en un llibre d’algebralineal: espais vectorials, aplicacions lineals entre espais vectorials i di-agonalitzacio d’endomorfismes. Junt a aquests temes centrals apareixenaquells que son, a banda de la seva importancia en si mateixos, les einesamb que habitualment es treballa en estudiar els anteriors: nombres com-plexos, polinomis, matrius, sistemes lineals d’equacions, determinants.

En tots aquests capıtols es donen les definicions dels diferents conceptes,aixı com els resultats essencials, amb la demostracio corresponent en lamajoria dels casos i exemples abundants. S’ha volgut, a mes, incloure encada capıtol una breu nota historica, comentaris en finalitzar els capıtolssobre la seva importancia i aplicabilitat, exemples de resolucio d’algunsexercicis mecanics utilitzant el programa Maple i aplicacions a l’ambitde la quımica.

En ser llibre d’estudi recomenat als estudiants, cada capıtol consta d’unaamplia col.leccio d’exercicis, amb les solucions corresponents.

La intencio de les autores es oferir als estudiants un text complet d’algebralineal basica que els permet assolir un cert grau de soltura en la resoluciodels excercicis i, al mateix temps, introduir-se en l’abstraccio de les de-mostracions, en la visualitzacio de com resoldre exercicis amb l’ajut d’unordinador i entreveure la gran aplicabilitat d’aquesta materia, tant en

9

10

l’ambit de la propia matematica o de l’enginyeria quımica com en altrescamps.

Volem agrair als Drs. Francesc Mas, Catedratic de Quımica-Fısica de laFacultat de Quımica de la Universitat de Barcelona i Josep J. Centelles,Professor de Bioquımica tambe de la Facultat de Quımica de la Univer-sitat de Barcelona, les converses que han permes elaborar els apartatsdedicats a les aplicacions a la quımica.

Les autores

Barcelona, 31 d’agost de 2004.

Capıtol 1

Estructures algebraiques:grups, anells, cossos

1.1 Introduccio

Va ser cap a finals del segle XIX que es van desenvolupar teories abs-tractes com l’algebra commutativa. Es pot situar els inicis de la teoriade grups en l’obra de Lagrange i Gauss (segle XVIII) pero sobretot enl’obra de Galois (1811-1832), tot i que no apareix una definicio fins finalsdels segle XIX amb Cayley, entre altres. Alguns autors han considerat lateoria de grups com la major fita de les matematiques del segle XX. Elsconceptes de cos i extensio de cossos, anells i ideals apareixen en treballsde Galois, Dedekind (1831-1916), Kronecker (1823-1891) i D. Hilbert(1862-1943). Aquesta teoria va ser axiomatitzada i sistematitzada perNoether (1882-1935). La introduccio dels nous elements han permes lautilitzacio de l’algebra no nomes en altres branques de les matematiques,sino tambe en altres disciplines, com per exemple la mecanica.

Els exemples mes basics d’anells commutatius son el conjunt dels nombresenters i el conjunt dels polinomis amb coeficients en un cos.

L’origen dels polinomis es pot situar en la matematica babilonica (1500aC) on apareix un algorisme de resolucio d’“equacions polinomiques”desegon grau. La matematica grega va fer tambe aportacions en aquestsentit, pero van ser els arabs els qui van jugar un paper fonamental,

11

12 Capıtol 1. Estructures algebraiques: grups, anells, cossos

especialment Al-Khwarizmi (850 dC) en l’obra del qual es classificavenles equacions fins a segon grau i es donaven metodes per a resoldre-les.

En el segles XIII i XIV van florir les Aritmetiques mercantils que vanconstituir el nexe entre l’algebra dels arabs i la dels algebristes dels. XV. Cardan utilitzava ja quantitats que no eren nombres reals. Bom-belli (1572) va desenvolupar eines per manipular aquests nombres (nom-bres complexos), que encara no s’expressaven en la forma binomica ac-tual. La primera demostracio del teorema fonamental de l’algebra s’a-tribueix a Gauss (1949), tot i que anteriorment s’havien fet diverses “de-mostracions”: Argand, Euler, Lagrange-Laplace,..., fins i tot el mateixGauss l’any 1749.

1.2 Estructures algebraiques

Sigui C un conjunt, en el que es defineix una operacio, que notarem per+.

Definicio 1.2.1. Es diu que C es un grup quan es compleixen les pro-pietats seguents:

1. Per a x, y, z ∈ C qualssevol, (x + y) + z = x + (y + z).

2. Existeix un element en C, que notarem per 0 i al que anomenaremelement neutre, tal que x+0 = 0+x per a qualsevol element x ∈ C.

3. Per a tot x ∈ C existeix un element x′ ∈ C de manera que x+x′ =x′ + x = 0.

Quan, a mes, es compleix la propietat seguent:

4. Per a x, y ∈ C qualssevol x + y = y + x

es diu que C es un grup commutatiu.

Suposem ara que en el conjunt C tenim definides dues operacions, quenotarem per + i ·.Definicio 1.2.2. Direm que C es un anell quan C es un grup commutatiuamb + (es a dir, es compleixen les quatre propietats anteriors) i, a mes,tambe es compleixen les propietats seguents.

1.3. El cos dels nombres complexos 13

5. Per a x, y, z ∈ C qualsevol, (x · y) · z = x · (y · z).

6. Per a x, y, z ∈ C qualssevol, (x + y) · z = x · z + y · z.

Quan a mes, es compleix que:

7. Per a x, y ∈ C qualssevol, x · y = y · x, es diu que C es un anellcommutatiu.

Quan C es un anell commutatiu i, a mes,

8. Existeix un element de C, que notarem per 1 i al que anomenaremelement unitat, tal que x · 1 = x per a qualsevol element x ∈ Cdirem que C es un anell commutatiu amb element unitat.

Finalment, si tambe tenim la propietat seguent:

9. Per a tot x ∈ C, x 6= 0, existeix un element x′ ∈ C de manera quex · x′ = 1 es diu que C es un cos.

Exemple 1.2.1. El conjunt Z dels nombres enters amb la suma es un grupcommutatiu.

El conjunt Z dels nombres enters amb la suma i el producte es un anellcommutatiu amb element unitat, pero no es un cos.

El conjunt Q dels nombres racionals i el conjunt R dels nombres reals,amb la suma i el producte son cossos.

1.3 El cos dels nombres complexos

Existeixen equacions quadratiques que no tenen cap solucio a R. Perexemple, l’equacio x2 + 1 = 0. S’introdueix i com la solucio d’aquestaequacio, es a dir, i =

√−1. En aquesta seccio definirem el conjunt delsnombres complexos, aixı com les operacions basiques en aquest conjunt.

Definicio 1.3.1. Un nombre complex es un nombre de la forma a + bi,amb a i b nombres reals.


En el conjunt dels nombres complexos

C = {a + bi | a, b ∈ R}

es poden definir les operacions suma i producte de la manera seguent:

(a + bi) + (c + di) = (a + b) + (c + d)i

(a + bi) · (c + di) = (ac− bd) + (ad + bc)i

Remarca. Amb aquestes operacions el conjunt dels nombres complexoses un cos.

Tot nombre complex es pot representar geometricament com un vector(a, b) ∈ R2.

A la notacio habitual a + bi se li diu expressio binomica de z. Diem partreal de z a a i part imaginaria de z a b. Ho notem Re (z) = a, Im (z) = b.

A continuacio veurem alguns conceptes usuals en treballar amb nombrescomplexos.

Definicio 1.3.2. Donat un nombre complex z = a + bi, s’anomena con-jugat de z al nombre a− bi i el notem per z.

Es verifiquen les propietats seguents:

1. z · z′ = z · z′, ∀ z, z′ ∈ C.

2. z + z′ = z + z′, ∀ z, z′ ∈ C.

3. z + z ∈ R, ∀ z ∈ C.

4. z = z ⇐⇒ z ∈ R.

Definicio 1.3.3. Donat un nombre complex z = a+bi s’anomena modulde z a

√a2 + b2 i el notem per |z|.

El modul d’un nombre complex verifica les propietats seguents:

1. |z| ∈ R i |z| ≥ 0, ∀ z ∈ C.

2. |z| = 0 ⇐⇒ z = 0.

3. |z + z′| ≤ |z|+ |z′| ∀z, z′ ∈ C.

1.3. El cos dels nombres complexos 15

4. |z · z′| = |z| · |z′| ∀z, z′ ∈ C.

El modul del nombre complex z = a+bi representa la distancia a l’origende l’extrem del vector (a, b) ∈ R2.

L’invers d’un nombre complex z = a + bi es:

1

z=

z

z · z =z

|z|2 .

Remarca. Ates que z|z| te modul 1, existeix un angle θ ∈ [0, 2π) tal que

z

|z| = cos θ + i sin θ

Definicio 1.3.4. A aquest angle θ se l’anomena argument de z, i el notemper arg (z) = θ.

Es verifiquen les propietats seguents:

1. arg (z · z′) = arg (z) + arg (z′) ∀z, z′ ∈ C.

2. arg(

1z

)= −arg (z) ∀z ∈ C, z 6= 0.

El nombre z el podem escriure com

z = |z|(cos θ + i sin θ) = |z|eiθ .

L’expressio |z|eiθ s’anomena forma exponencial del nombre complex z.Tambe es frequent la notacio |z|θ que rep el nom de forma polar delnombre z.

A partir de la formula de Moivre:

(cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ

es dedueix que, donat un nombre complex z = |z|eiθ, la seva potencian-esima es:

zn = (|z|(cos θ + i sin θ))n = |z|n(cos nθ + i sin nθ)

o be, expressant-ho en forma exponencial:

zn = |z|neinθ .


Fent servir el raonament anterior tenim que si z = |z|eiθ ∈ C, aleshoresles seves arrels n-esimes (els nombres complexos u tals que un = z) son:

n√|z|

(cos

(θ + 2kπ

n

)+ i sin

(θ + 2kπ

n

)), 0 ≤ k ≤ n− 1 .

Les representacions geometriques de les arrels n-esimes d’un nombre com-plex z es troben totes sobre la circumferencia de radi n

√|z| i equidisten

entre elles (es a dir, son els vertexs d’un polıgon regular).

Exemple 1.3.1. Les arrels sisenes de z = 1 son:

z1 = 1

z2 =

(cos

2π

6+ i sin

2π

6

)

z3 =

(cos

4π

6+ i sin

4π

6

)

z4 = −1

z5 =

(cos

8π

6+ i sin

8π

6

)

z6 =

(cos

10π

6+ i sin

10π

6

)

que son els vertexs d’un exagon regular de radi 1.

Remarca. En multiplicar un nombre complex z pel nombre zθ = cos θ+i sin θ el que fem, des del punt de vista geometric, es un gir de centrel’origen i angle θ, en sentit antihorari.

Aquest es un resultat que pot esser util a l’hora de resoldre problemes.

1.4 L’anell dels polinomis

Considerarem, en aquesta seccio, polinomis d’una variable amb coefi-cients en un cos commutatiu, que sera basicament Q, R o C. Mes con-cretament, estudiarem com determinar les arrels d’un polinomi (i lesseves respectives multiplicitats) i la seva descomposicio en producte defactor primers. Tambe veurem el mınim comu multiple i el maxim comudivisor de dos o mes polinomis.

Sigui p(t) = a0 + a1t + a2t2 + · · · + ant

n ∈ K[t] un polinomi de grau namb coeficients en el cos commutatiu K.

1.4. L’anell dels polinomis 17

Definicio 1.4.1. Direm que α es una arrel de p(x) de multiplicitat m ∈N, m ≥ 1, si p(α) = p′(α) = p′′(α) = · · · = p(m−1)(α) = 0 i p(m)(α) 6= 0.

Si m = 1 direm que α es una arrel simple; si m = 2, doble, etc. Engeneral, per a m ≥ 2, direm que α es arrel multiple.

Recordem que p(α) = a0 + a1α + a2α2 + · · ·+ anαn es el valor de p(t) en

α.

Proposicio 1.4.1. α es una arrel de p(t) de multiplicitat m si, i nomessi, (t−α)m divideix p(t) i (t−α)m+1 ja no divideix p(t), es a dir: p(t) =(t− α)mq(t) amb q(t) ∈ K[t], q(α) 6= 0.

Demostracio. L’enunciat es pot deduir facilment si considerem el desen-volupament de Taylor del polinomi p(t) ∈ K[t] en t = α:

p(t) = p(a)+p′(a)

1!(t−a)+

p′′(a)

2!(t−a)2+ · · ·+ p(n)(a)

n!(t−a)n , ∀ a ∈ K

aplicant-lo al cas a = α.

Remarca.

1. Si p(t) = a0+a1t+· · ·+antn i a0, a1, . . . , an ∈ Z, aleshores la fraccioirreductible a/b es arrel de p(t) si, i nomes si, a es divisor de a0 i bho es de an (regla de Ruffini).

2. Siguin p(t) = a0 + a1t + · · ·+ antn ∈ R[t] i α ∈ C. Si α es arrel de

p(t), aleshores el conjugat de α, α, tambe es arrel de p(t).

Definicio 1.4.2. Un polinomi p(t) ∈ K[t], diem que es primer (o irre-ductible) a K[t] si no es possible escriure’l com a producte de dos poli-nomis de K[t] ambdos amb grau mes petit que el de p(t). En aquest cas,els seus unics divisors son els polinomis constants o be del tipus λp(t)essent λ ∈ K, λ 6= 0.

Exemple 1.4.1. Els polinomis de grau 1 son primers.

Remarca.

1. Un polinomi pot ser irreductible sobre un cos pero no ser-ho sobreun altre cos. Per exemple, t2 + 1 es primer a R[t] pero no ho es aC[t] (ja que a C[t], t2 + 1 = (t + i)(t− i)).


2. A C[t] els unics polinomis primers son els de grau 1 mentre que aR[t] tambe ho son el de segon grau amb discriminant negatiu.

Teorema 1.4.1. Tot polinomi p(t) ∈ K[t] amb grau p(t) ≥ 1 es potescriure com a producte de polinomis irreductibles de K[t] (s’anomenadescomposicio de p(t) en factors primers a K[t]):

p(t) = λ(p1(t))m1 . . . (pr(t))

mr

on λ ∈ K, pi(t) ∈ K[t] primers i monics ∀ i, 1 ≤ i ≤ r.

Un polinomi s’anomena monic quan el coeficient del terme de grau maxim,anomenat principal, es igual a 1.

Exemple 1.4.2. t3+2t2−t+4 es monic, no aixı el polinomi 4t3+2t2−t+1.

Remarca. La descomposicio d’un polinomi p(t) en factors primers esunica, llevat de l’ordre dels factors.

El resultat seguent es conegut com a Teorema fonamental de l’algebra.

Teorema 1.4.2. Tot polinomi p(t) ∈ C[t] de grau n te n arrels a C.

Una formulacio equivalent seria: tot polinomi p(t) ∈ R[t] descompon enproducte de factors lineals i factors de grau 2 amb discriminant negatiu.

Definicio 1.4.3. Siguin p1(t), . . . , pn(t) ∈ K[t]. Anomenem maxim comudivisor d’aquests polinomis a un polinomi d(t) ∈ K[t] tal que

1) es divisor de cadascun dels polinomis donats,

2) qualsevol altre divisor comu de tots es divisor de d(t),

3) es monic.

Posarem:d(t) = m.c.d.(p1(t), . . . , pn(t))

I anomenem mınim comu multiple dels esmentats polinomis a un polinomim(t) ∈ K[t] tal que

1) es multiple de cadascun dels polinomis donats,

2) qualsevol altre multiple comu de tots es multiple de m(t),

1.5. Apendix: Cossos finits 19

3) es monic.

Posarem:

m(t) = m.c.m.(p1(t), . . . , pn(t))

Proposicio 1.4.2. Si p(t) = q(t)c(t) + r(t) amb grau r(t) < grau p(t) iq(t) 6= 0, llavors m.c.d. (p(t), q(t)) = m.c.d. (q(t), r(t)).

L’aplicacio reitarada d’aquest resultat es coneix com l’algorisme d’Eu-clides per a trobar el maxim comu divisor de dos polinomis p(t) i q(t).

Exemple 1.4.3. Considerem els polinomis p(t) = t10 − t6 − t4 + 1 i q(t) =t5 − t3 − t2 + 1. Per a calcular m.c.d(p(t), q(t)) podem procedir de laforma seguent, aplicant el resultat anterior.

p(t) = (t5 + t4 + 3t3 + 6t2 + 11t + 23)q(t) + (45t4 + 45t3 − 45t− 45)

Llavors:

m.c.d(p(t), q(t)) = m.c.d(q(t), 45t4 + 45t3 − 45t− 45) = t4 + t3 − t− 1.

El maxim comu divisor i el mınim multiple de dos polinomis estan rela-cionats de la manera seguent.

Proposicio 1.4.3. Si d(t) = m.c.d. (p(t), q(t)) es el maxim comu divisori m(t) es el mınim comu multiple de dos polinomis p(t) i q(t), aleshores:

m(t) =p(t)q(t)

anbmd(t)

essent an i bm els coeficients principals de p(t) i de q(t), respectivament.

1.5 Apendix: Cossos finits

A mes dels exemples de cossos ja esmentats: Q, R i C, hi ha altres cossos,alguns dels quals tenen un nombre finit d’elements (cossos finits).

Es diu que un cos K es finit quan te un nombre finit d’elements. A aquestnombre d’elements se li diu l’ordre del cos.


Galois va provar que una condicio necessaria i suficient per a que existeixiun cos finit de q elements es que q sigui potencia d’un nombre primer.S’indica per Fq el cos finit de q elements.

Donat m ∈ Z qualsevol, es diu que dos nombres enters x, y son congruentsmodul m, i ho indicarem per x ≡ y (mod. m), quan la diferencia x − yes un multiple de m.

Per a cada nombre enter x, posarem [x] a la classe d’aquest nombre enter,que es el conjunt format per tots els nombres enters que son congruentsamb ell. I posarem Z/mZ al conjunt format per aquestes classes.

A Z/mZ podem definir una suma i un producte de la manera seguent:

(a) [x] + [y] = [x + y], ∀ x, y ∈ Z.

(b) [x][y] = [xy], ∀x, y ∈ Z.

Es facil comprovar que aquestes operacions estan ben definides.

A continuacio presentem les taules de les operacions de suma i producteper a m ≤ 4.

m = 2+ [0] [1][0] [0] [1][1] [1] [0]

· [0] [1][0] [0] [0][1] [0] [1]

m = 3

+ [0] [1] [2][0] [0] [1] [2][1] [1] [2] [0][2] [2] [0] [1]

· [0] [1] [2][0] [0] [0] [0][1] [0] [1] [2][2] [0] [2] [1]

m = 4

+ [0] [1] [2] [3][0] [0] [1] [2] [3][1] [1] [2] [3] [0][2] [2] [0] [1] [2][3] [3] [0] [1] [2]

· [0] [1] [2] [3][0] [0] [0] [0] [0][1] [0] [1] [2] [3][2] [0] [2] [0] [2][3] [0] [3] [2] [1]

Observem que a Z/4Z hi ha divisors de zero i que els elements que noson divisors de zero son aquells nombres enters primers amb 4.

En el cas general, es compleix la condicio seguent.

1.6. Aplicacio a la quımica 21

Z/mZ es un cos si, i nomes si, m es un nombre primer.

A mes, si m = p es un nombre primer, es verifica que p[1] = [1]+p

. . .+[1] =[0] i p es diu que es la caracterıstica del cos.

Els cossos de la forma Z/pZ, amb p un nombre primer, s’anomenen cossosprimers.

1.6 Aplicacio a la quımica

Calcul del volum crıtic

En estudiar les equacions d’estat dels gasos cal tenir en compte el procesde condensacio, que te lloc a temperatures baixes i pressions elevades.

A temperatures elevades i pressions baixes, els gasos compleixen la lleidels gasos ideals:

PV = nRT

A valors de pressio elevats, el gas deixa de complir la llei dels gasosideals, ja que les molecules de gas interaccionen entre si. Llavors elcomportament dels gasos reals l’expressa millor (tot i no ser rigurosamentexacta) l’equacio dels gasos reals de van der Waals que, per a un mol degas, es: (

P +a

Vm

)(Vm − b) = RT

per a unes certes constants a, b ∈ R (depenents de cada gas). Observeuque en el cas en que a = b = 0 retrobem l’equacio dels gasos ideals.

Per exemple, en el cas del dioxid de carboni(CO2), els valors d’aquestesconstants es:

a = 3.592atm`2/mol2, b = 0.0427`/mol

Per a cada gas, existeix una certa temperatura, l’anomenada temperaturacrıtica, per sobre de la qual el gas no es pot condensar per mes ques’augmenti la pressio. La pressio necessaria per condensar un gas a laseva temperatura crıtica s’anomena pressio crıtica. En el cas del dioxidde carboni, aquestes temperatura i pressio crıtiques son:

Tc = 304.28K, Pc = 73, 0atm


Podem reescriure la llei dels gasos reals de van der Waals de la formaseguent:

pV 3m − (bP + RT )V 2

m + aVm − ab = 0

S’observa que aquesta funcio es polinomica, i els valors de Vm, per a unescertes temperatures i pressio, son les arrels del polinomi de grau 3:

p(t) = pt3 − (bP + RT )t2 + at− ab

Aquest polinomi pot tenir tres arrels reals, o be tenir-ne una de sola.En el cas en que hi ha tres arrels (quan no estem en les condicions detemperatura i pressio crıtiques), les dues arrels mes gran i mes petitacorresponen als volums molars de les fases vapor i lıquid en equilibri. Enles condicions de pressio i temperatura crıtica del gas, l’arrel es unica, ies l’anomenat volum crıtic.

En el cas del dioxid de carboni esmentat anteriorment, aquest volumcrıtic es igual a Vc = 0.014687`.

1.7 Comentaris finals

Els nombres complexos i els polinomis han estat tractats al llarg d’aquestcapıtol fent especial emfasi en aquells aspectes practics que seran util-itzats en temes posteriors, per exemple el calcul del polinomi caracterıstici dels valors propis d’un endomorfisme en el tema 6. Sense descuidarla rigurositat, s’ha preferit fugir d’un llenguatge que suposi un alt graud’abstraccio en tot allo en que era possible fer un tractament mes directe.

No obstant aixo, s’han introduıt al comencament del capıtol les nocionsde les estructures algebraiques basiques per familiaritzar l’estudiant ambelles. No es pot oblidar que al llarg del segle XX hi ha hagut un interescreixent en l’analisi d’estructures cada cop mes generals, passant-se del’algebra classica a l’algebra abstracta.

Malgrat aquesta creixent abstraccio, els descobriments mes recents dela fısica confirmen la relacio entre estructures matematiques i fenomensexperimentals (cossos dels nombres p-adics i teoria de les super-cordes,per exemple).

D’altra banda, la teoria de grups te importants aplicacions a la quımica:Organica i inorganica, i a la fısicoquımica.

Aixı, per exemple, tenim els grups de les operacions de simetria quees poden dur a terme sobre una molecula (una operacio de simetria es

1.8. Exercicis 23

aquella transformacio que duu la molecula a una configuracio que no espot distingir de l’original, atenent tant a l’composicio com a l’orientacio).La majoria d’aquests grups son finits, pero tambe n’hi ha d’infinits.

1.8 Exercicis

1. Expresseu en forma exponencial els nombres complexos seguents:

(a) 4− 4i . (b)√

3 + 3i . (c) 6 + 2√

3i .

2. Escriviu en forma binomica els nombres complexos seguents expres-sats en forma exponencial

(a) 6eiπ/4 . (b) 4e−πi/3 . (c) 5eπi .

3. Calculeu:(a) (2 +

√3i)5 . (b) (1 + i)6 .

4. Calculeu:

√(1 +

√3i)60

(−1 + i)20.

5. Trobeu z ∈ C tals que z2 = (1 + i)2.

6. Calculeu les arrels vuitenes de la unitat.

7. Calculeu les arrels quartes de z = −16i.

8. Si u es una de les tres arrels cubiques de −1

2+

√3

2i, i w es una

arrel quadrada de1

2−√

3

2i, determineu: 2iwu2.

9. Representeu graficament el lloc geometric dels punts que son repre-sentacio geometrica dels z ∈ C que satisfan:

(a) Re z − Im z ≥ 0

(b) Im z ≥ (Re z)2.

10. Proveu que nomes hi ha dos nombres complexos tals que la seva

suma es igual a 2 i el seu producte es igual a3

4.

11. Determineu α ∈ R per tal que 3+2i1−i

+ αi sigui un nombre real.


12. Proveu que 1 es arrel dels polinomis p1(t) = t4 − 2t3 + 2t − 1,p2(t) = t3 − 3t2 + 3t − 1, p3(t) = t5 − 3t4 + 2t3 + 2t2 − 3t + 1.Determineu en cada cas la seva multiplicitat.

13. Per a quins valors de la constant a ∈ R els polinomis p(t) = t5 +at4 + 7t3 − 2t2 + 4t − 8, q(t) = t5 − 6t4 + at3 − 8t2 tenen 2 com aarrel multiple? Quina es la seva multiplicitat en cada cas?

14. Per a quin valor de la constant a ∈ R el polinomi p(t) = t4− at+1es multiple del polinomi q(t) = t2 − t + a?

15. Estudieu quins dels polinomis seguents te arrels multiples i, en casafirmatiu, determineu-les: (a) p1(t) = t4 − 2t2 + 1 (b) p2(t) = t4 −5t3 + 9t2 − 7t + 2(c) p3(t) = t5 + 3t3 − 4t.

16. Determineu el polinomi monic p(t) ∈ R[t] de grau 5 que verificaque 2 es arrel doble de p(t), p(0) = p′(0) = 0 i p(3) = 2.

17. Sigui p(t) ∈ R[x] un polinomi tal que 2 es arrel triple de p(t),p′′′(0) = 6 i p′′(0) = 2. Determineu p(t) de grau mınim.

18. Trobeu un polinomi monic de grau 5 tal que p(0) = 10, i p′(t) tecom arrel simple 1 i com a arrel triple -2.

19. Calculeu a per a que els polinomis de R[t] p(t) = t2−(3+a)t+3a iq(t) = t2 − 4t + 4 tinguin una arrel comuna.

20. Sigui p(t) ∈ R[t]. Si la resta de dividir p(t) per (t + 1) es 3, per(t− 3) es 4, quina es la resta de dividir p(t) per t2 − 2t− 3?

21. Calculeu la resta de dividir per t− 1 el polinomi

p(t) = tn + (n− 1)tn−1 + tn−2 + (n− 3)tn−3.

22. Determineu les arrels reals i doneu la descomposicio en factorsirreductibles dels polinomis de R[t] seguents a R[t] i C[t]:

(a) t3 + t2 − 8t− 12 (b) t3 − 6t2 + 11t− 6

(c) t5 − 5t4 + 7t3 − 2t2 + 4t− 8 (d) t5 − 3t4 + 4t3 − 4t2 + 3t− 1

23. Determineu el desenvolupament de Taylor del polinomi p(t) =t5 − 3t3 + 5 en els punts t = 1 i t = 2. Utilitzant aquest de-senvolupament, determineu la resta de la divisio de p(t) per t− 1,(t− 1)2, t− 2 i (t− 2)3.

1.8. Exercicis 25

24. Considereu un polinomi monic de grau 3 tal que la resta de dividir-lo per t− 1 es 1 i la resta de la divisio per t + 2 es -2. Quina es laresta de la divisio per (t− 1)(t + 2)?

25. Factoritzeu com a producte de polinomis primers a Q[t], R[t] i C[t]respectivament, els polinomis segents:

(a) t4 − t2 − 2 (b) t4 − 3t2 + 2.

(c) t4 − 1 (d) t4 − 2t3 − 11t2 + 12t + 36.

26. Calculeu el maxim comu divisor de les parelles de polinomis seguents,descomponent-los primer com a producte de factors primers:

(a) p1(t) = t4 − 7t3 + 17t2 − 17t + 6

q1(t) = t4 − 2t3 + t2

(b) p2(t) = t4 − 1

q2(t) = t4 − 6t3 + 13t2 − 12t + 4

(c) p3(t) = t4 − 2t3 + t2 − 2t

q3(t) = t4 − 2t3 − 7t2 + 20t− 12

(d) p4(t) = t4 − 4t2 + 4

q4(t) = t4 + t3 − 5t2 + t− 6

Determineu tambe el mınim comu multiple d’aquestes parelles depolinomis.

27. Trobeu dos polinomis p1(t), q1(t) tals que:

m.c.d.(p(t), q(t)) = p1(t)p(t) + q1(t)q(t)

en cadascun dels casos seguents:

(a) p(t) = t4 − 3t3 + 4t2 + 2t− 1, q(t) = t3 − t2 + 2t + 2.

(b) p(t) = t4 − 2t2 + 1, q(t) = t4 + 3t2 − 4.

La igualtat anterior s’anomena identitat de Bezout.

28. Escriviu la taula de la suma i del producte a Z/5Z i comproveu quees un cos.

29. Determineu elements [x], [y] a Z/6Z que no son [0] i que no teneninvers.

30. L’equacio polinomica t2−1 = 0 te quatre solucions a Z/8Z. Quinesson?


31. Quins polinomis t2 − a son irreductibles a Z/6Z[t]?

32. Determineu 25

i√

7 a Z/9Z.

1.9 Exercicis resolts amb Maple

Parts reals i imaginaria d’un nombre complex

> Re((1/3)-(4/5)*I);

1

3

> Im((1/3)-(4/5)*I);

−4

5

Conjugat d’un nombre complex

> conjugate(1-(1/2)*I);

1 +1

2I

Operacions amb nombres complexos

> (2*(3-4*I)-(1+I)/(3-5*I));

103

17− 140

17I

Calcul del modul i l’argument

> abs(10/7-I);

1.9. Exercicis resolts amb Maple 27

√149

7

> argument(1+I);

π

4

Pas a forma polar

> polar(4+4*I);

polar(4√

2,π

4)

Pas a forma binomica

> evalc(polar(3,Pi/3));

3

2+

3

2I√

3

Operacions amb polinomis

> with(LinAlg):

> 3∗t∧4-4∗ t∧2+1-(5/4)∗(t∧3-4);

3 t4 − 4 t2 + 6− 5

4t3

Quocient i resta de la divisio entera

> quo(t∧6-3∗t∧4+t∧2-1,t∧3-4∗ t+1,t);

t3 + t− 1

> rem(t∧6-3∗t∧4+t∧2-1,t∧3-4∗ t+1,t);

5 t2 − 5 t


Calcul d’arrels

> x:=RootOf(t∧5-19/4∗t∧4+13∗t∧3+14∗t-15/4-39/2∗t ∧2);

x := RootOf(4 Z 5 − 19 Z 4 + 52 Z 3 + 56 Z − 15− 78 Z 2)

> allvalues(x);

3

4, 1, 1, 1 + 2 I, 1− 2 I

Factoritzacio

Sobre els reals

> factor(t∧4-7/2∗t∧3+11/2∗t∧2-14∗t+6);

(t− 3) (2 t− 1) (t2 + 4)

2

Sobre els complexos

> factor(t∧4-7/2∗t∧3+11/2∗t∧2-14∗t+6,I);

−(t + 2 I) (−t + 2 I) (t− 3) (2 t− 1)

2

Sobre cossos finits

> Factor(t∧4-7/2∗t∧3+11/2∗t∧2-14∗t+6) mod 7;

(t + 4) (t + 3) (t2 + 4)

Maxim comu divisor i mınim comu multiple

> gcd(t∧8+9∗t∧4-t-t∧7-9∗t∧3+1,t∧4+4∗t∧2-7∗t- t∧3+3);

t− 1

> lcm(t∧8+9∗t∧4-t-t∧7-9∗t∧3+1,t∧4+4∗t∧2-7∗t-t ∧3+3);

(t7 + 9 t3 − 1) (t4 + 4 t2 − 7 t− t3 + 3)

Capıtol 2

Espais vectorials

2.1 Introduccio

L’estructura d’espai vectorial es una abstraccio del conjunt dels vectorslliures del pla o de l’espai ordinari i de les seves propietats.Aixı, s’intro-dueix un model abstracte d’espai vectorial i es desenvolupen conceptes ipropietats que siguin valides en tots els casos.

La geometria cartesiana introduıda en el segle XVII es va veure com ainsuficient cap el segle XIX, donant aixı lloc a la seva axiomatitzacio i alnaixement del concepte abstracte d’espai vectorial.

Les idees d’espai vectorial, independencia lineal, dimensio i producte es-calar estan presents en els treballs de Gauss, Cayley i Grassman (finalssegle XVIII i XIX), tot i que no utilitzen aquests noms. La definicioaxiomatica d’espai vectorial real apareix per primer cop en un llibrede Peano (1888). A finals del segle XIX i comencaments del segle XXsorgeixen els espais vectorials de dimensio infinita.

La introduccio de productes escalars es deguda a Schmidt (1907), tot ique es poden trobar precedents a l’obra de Hilbert i Schwarz, per exemple.Existeixen moltes aplicacions en les que s’utilitzen bases ortonormals iprojeccions ortogonals sobre subespais vectorials.

29

30 Capıtol 2. Espais vectorials

2.2 Definicio i propietats

Comencem aquest capıtol donant la definicio d’espai vectorial.

Definicio 2.2.1. Diem que un conjunt E es un espai vectorial sobre uncos commutatiu K si tenim definida una operacio interna (suma) en Eque compleix:

1. (x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ E

2. existeix 0 ∈ E tal que ∀x ∈ E es x + 0 = 0 + x = x

3. ∀x ∈ E existeix −x ∈ E tal que x + (−x) = (−x) + x = 0

4. x + y = y + x, ∀x, y ∈ E

i una operacio externa (producte per escalars)

K × E −→ E(λ, x) 7−→ λx

que compleix:

5. λ(x + y) = λx + λy, ∀λ ∈ K, ∀ x, y ∈ E

6. (λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K, ∀ x ∈ E

7. λ(µx) = (λµ)x, ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E

8. 1x = x, ∀ x ∈ E

Observeu que E amb l’operacio suma te estructura de grup.

Els elements d’E s’anomenen vectors i els elements de K s’anomenenescalars.

Exemple 2.2.1. Rn amb les operacions ordinaries de suma:

(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn)

i de producte per escalars d’R:

λ · (x1, . . . , xn) = (λx1, . . . , λxn)

es un espai vectorial sobre R.

2.2. Definicio i propietats 31

En efecte. L’operacio suma compleix les quatre propietats seguents.

1. Donats (x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn), (z1, . . . , zn) ∈ Rn qualssevol,

((x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn)) + (z1, . . . , zn) == (x1 + y1, . . . , xn + yn) + (z1, . . . , zn) == ((x1 + y1) + z1, . . . , (xn + yn) + zn) == (x1 + (y1 + z1), . . . , xn + (yn + zn)) == (x1, . . . , xn) + (y1 + z1, . . . yn + zn) == (x1, . . . , xn) + ((y1, . . . , yn) + (z1, . . . , zn))

2. Donat (x1, . . . , xn) ∈ Rn qualsevol,

(x1, . . . , xn) + (0, . . . , 0) = (0, . . . , 0) + (x1, . . . , xn) = (x1, . . . , xn)

3. Donat (x1, . . . , xn) ∈ Rn qualsevol, existeix (−x1, . . . ,−xn) ∈ Rn talque

(x1, . . . , xn)+(−x1, . . . ,−xn) = (−x1, . . . ,−xn)+(x1, . . . , xn) = (0, . . . , 0)

4. Donats (x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn) ∈ Rn qualssevol,

(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn) == (y1 + x1, . . . , yn + xn) = (y1, . . . , yn) + (x1, . . . , xn)

I l’operacio producte per escalars d’R compleix les quatre propietatsseguents.

5. Donats (x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn) ∈ Rn qualssevol, per a tot λ ∈ R,

λ((x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn)) = λ(x1 + y1, . . . , xn + yn) =(λ(x1 + y1), . . . , λ(xn + yn)) = (λx1 + λy1, . . . , λxn + λyn) =

= (λx1, . . . , λxn) + (λy1 . . . , λyn) = λ(x1, . . . , xn) + λ(y1, . . . , yn)

6. Donats λ, µ ∈ R qualssevol, per a tot (x1, . . . , xn) ∈ Rn,

(λ + µ)(x1, . . . , xn) = ((λ + µ)x1, . . . , (λ + µ)xn) == (λx1, . . . , λxn) + (µx1, . . . , µxn) = λ(x1, . . . , xn) + µ(x1, . . . , xn)

7. Donats λ, µ ∈ R qualssevol, per a tot (x1, . . . , xn) ∈ Rn,

λ(µ(x1, . . . , xn)) = λ(µx1, . . . , µxn) == (λ(µx1), . . . , λ(µxn)) = ((λµ)x1, . . . , (λµ)xn) = (λµ)(x1, . . . , xn)

8. Donat (x1, . . . , xn) ∈ Rn,

1 · (x1, . . . xn) = (1 · x1, . . . , 1 · xn) = (x1, . . . , xn)


Exemple 2.2.2. K[t], amb les operacions habituals de suma de polinomisi producte per escalars de K, es un espai vectorial sobre K.

En efecte.

Recordem que, donats dos polinomis a(t) = a0 + a1t + · · ·+ antn i b(t) =b0+b1t+ · · ·+bmtm, amb n ≥ m, la seva suma es el polinomi a(t)+b(t) =(a0 + b0)+(a1 + b1)t+ · · ·+(am + bm)tm +am+1t

m+1 + · · ·+antn. Aquestaoperacio interna compleix les quatre propietats seguents.

1. Donats a(t) = a0 + a1t + · · · + antn, b(t) = b0 + b1t + · · · + bmtm,

c(t) = c0 + c1t + · · ·+ c`t`, pertanyents a K[t], amb n ≥ m ≥ `,

(a(t) + b(t)) + c(t) = ((a0 + b0) + (a1 + b1)t + · · ·+ (am + bm)tm +

+am+1tm+1 + · · ·+ ant

n) + (c0 + c1t + · · ·+ c`t`)

= ((a0 + b0) + c0) + ((a1 + b1) + c1)t + · · ·+ ((a` + b`) + c`)t` +

+(a`+1 + b`+1)t`+1 + · · ·+ (am + bm)tm + am+1t

m+1 + · · ·+ antn

= (a0 + (b0 + c0)) + (a1 + (b1 + c1))t + · · ·+ (a` + (b` + c`))t` +

+(a`+1 + b`+1)t`+1 + · · ·+ (am + bm)tm + am+1t

m+1 + · · ·+ antn

= (a0 + a1t + · · ·+ antn) + ((b0 + c0) + (b1 + c1)t + · · ·+ (b` + c`)t

` +

+b`+1t`+1 + · · ·+ bmtm) = a(t) + ((b(t) + c(t))) .

2. Donat a(t) = a0 +a1t+ · · ·+antn pertanyent a K[t], a(t)+0 = a(t) =

0 + a(t).

3. Donat a(t) = a0 + a1t + · · ·+ antn pertanyent a K[t], existeix −a(t) =

−a0−a1t−· · ·−antn, pertanyent tambe a K[t], tal que a(t)+ (−a(t)) =(−a(t)) + a(t) = 0.

4. Donats a(t) = a0 + a1t + · · · + antn, b(t) = b0 + b1t + · · · + bmtm

pertanyents a K[t], amb n ≥ m (cosa que podem suposar sense perduade generalitat),

a(t) + b(t) = (a0 + b0) + (a1 + b1)t + · · ·+ (am + bm)tm + am+1tm+1

+ · · ·+ antn

= (b0 + a0) + (b1 + a1)t + · · ·+ (bm + am)tm + am+1tm+1

+ · · ·+ antn

= b(t) + a(t) .

Recordem tambe que el producte d’un polinomi a(t) = a0+a1t+· · ·+antn

pertanyent a K[t] per un escalar λ ∈ K ve definit per λa(t) = (λa0) +(λa1)t + · · ·+ (λan)tn. Aquesta operacio externa compleix les propietatsseguents.

2.3. Subespais vectorials 33

5. Donats a(t) = a0 + a1t + · · · + antn, b(t) = b0 + b1t + · · · + bmtm

pertanyents a R[t], amb n ≥ m (cosa que podem suposar sense perduade generalitat) i per tot λ ∈ K.

λ(a(t) + b(t)) = λ((a0 + b0) + (a1 + b1)t + · · ·+ (am + bm)tm +

+am+1tm+1 + · · ·+ ant

n)

= λ(a0 + b0) + λ(a1 + b1)t + · · ·+ λ(am + bm)tm

+λam+1tm+1 + · · ·+ λant

n

= (λa0 + λb0) + (λa1 + λb1)t + · · ·+ (λam + λbm)tm

+λam+1tm+1 + · · ·+ λant

n

= [λa0 + λa1t + · · ·+ λamtm + λam+1tm+1 + . . .

+λantn] + [λb0 + λb1t + · · ·+ λbntn]

= λa(t) + λb(t)

6. Donats λ, µ ∈ K i per a tot a(t) = a0 + a1t + · · ·+ antn ∈ R[t],

(λ + µ)a(t) = ((λ + µ)a0) + ((λ + µ)a1)t + · · ·+ ((λ + µ)an)tn

= (λa0 + µa0) + (λa1 + µa1)t + · · ·+ (λan + µan)tn

= [λa0 + λa1t + · · ·+ λantn] + [µa0 + µa1t + · · ·+ µantn]

= λa(t) + µa(t) .

7. Donats λ, µ ∈ K i per a tot a(t) = a0 + a1t + · · ·+ antn ∈ K[t],

λ(µa(t)) = λ(µa0 + µa1t + · · ·+ µantn)

= λ(µa0) + λ(µa1)t + · · ·+ λ(µan)tn

= (λµ)a0 + (λµ)a1t + · · ·+ (λµ)antn = (λµ)a(t) .

8. Donat a(t) = a0 + a1t + · · ·+ antn pertanyent a K[t], 1 · a(t) = a(t).

2.3 Subespais vectorials

Un subconjunt no buit d’un espai vectorial E es diu que es un subespaivectorial quan es un espai vectorial amb les operacions de suma i producteper escalars induıdes per les d’E.

Definicio 2.3.1. Un subconjunt no buit F ⊂ E es un subespai vectoriald’E quan compleix:


1. Per a x, y ∈ F qualssevol, el vector x + y pertany tambe a F .

2. Per a x ∈ F qualsevol, i per a tot λ ∈ K, el vector λx pertanytambe a F .

Exemple 2.3.1. A R3 el conjunt F format per els vectors (x1, x2, x3) talsque x1 + x2 + x3 = 0, es un subespai vectorial. En efecte:

1. Donats x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) qualssevol de F , x + y ∈ F ,ja que

x1+y1+x2+y2+x3+y3 = (x1+x2+x3)+(y1+y2+y3) = 0+0 = 0

2. Donat x = (x1, x2, x3) ∈ F qualsevol i per a tot λ ∈ R, λx ∈ F jaque

λx1 + λx2 + λx3 = λ(x1 + x2 + x3) = λ · 0 = 0

Exemple 2.3.2. El conjunt de polinomis de K[t] format per aquells poli-nomis el grau dels quals es mes petit o igual que n donat forma unsubespai vectorial. En canvi, el conjunt dels polinomis de K[t] de grauexactament igual a n no es un subespai vectorial.

2.4 Dependencia i independencia lineal

Els vectors d’R2 que determinen un triangle son linealment independents,mentre que els que estan alineats son linealment dependents. A R3, elsvectors que determinen un tetraedre son linealment independents, mentreque els que son coplanaris son linealment dependents. En aquesta seccioveurem la generalitzacio d’aquest concepte a un espai vectorial qualsevol.

Definicio 2.4.1. Una combinacio lineal dels vectors u1, . . . , um d’E esun vector de la forma x = λ1u1 + · · ·+ λmum amb λ1, . . . , λm ∈ K.

Definicio 2.4.2. Un conjunt de vectors {u1, . . . , um} d’E es diu quees linealment dependent si existeix una combinacio lineal d’ells igual alvector 0:

λ1u1 + · · ·+ λmum = 0

amb no tots els escalars nuls. En cas contrari, diem que el conjunt es li-nealment independent. Es a dir, si quan λ1u1 + · · ·+λmum = 0, aleshoresnecessariament λ1 = · · · = λm = 0.

2.5. Sistemes de generadors 35

Exemple 2.4.1. Considerem el conjunt de polinomis de R2[t] seguent:

{t2 + t + 1, 2t2 − 2t− 1, 2t2 + t}

Aquest conjunt de polinomis es linealment independent. En canvi, elconjunt

{t2 + t + 1, 2t2 − 2t + 1, 3t2 − t + 2}es linealment dependent, ja que

1(t2 + t + 1) + 1(2t2 − 2t + 1)− 1(3t2 − t + 2) = 0.

Remarca. Equivalentment, un conjunt de vectors {u1, . . . , um} d’Ees linealment dependent quan un dels vectors es combinacio lineal delsrestants. I el conjunt es linealment independent quan cap dels vectors noes una combinacio lineal de la resta.

2.5 Sistemes de generadors

Un altre concepte clau es el de generadors d’un subespai vectorial.

Definicio 2.5.1. Donat un conjunt de vectors {u1, . . . , um} d’E, de-notem per [u1, . . . , um] el conjunt de les combinacions lineals d’aquestsvectors. Aquest conjunt (que es el menor subespai vectorial de E queconte el conjunt) s’anomena el subespai vectorial generat o (engendrat)pels vectors u1, . . . , um.

Definicio 2.5.2. En general, donat un conjunt de vectors i un subespaivectorial d’E, es diu que generen el subespai F o que formen un sistemade generadors d’F si F = [u1, . . . , um]; es a dir, si existeixen m escalarsλ1, . . . , λm ∈ K tals que

x = λ1u1 + · · ·+ λmum ∀x ∈ F

Exemple 2.5.1. El conjunt {(1, 2), (2, 1)} es un sistema de generadors deR2.

Exemple 2.5.2. El conjunt {1, t, t2} es un sistema de generadors de R2[t].


2.6 Bases. Dimensio

Definicio 2.6.1. Diem que una famılia de vectors u = {u1, . . . , un} esuna base i notarem per u = (u1, . . . , un) d’un espai vectorial E (respec-tivament, d’un subespai vectorial F ) si {u1, . . . , un} es linealment inde-pendent i [u1, . . . , un] = E (respectivament, [u1, . . . , un] = F ).

Definicio 2.6.2. Si E te una base formada per n vectors, es diu que ladimensio d’E es n.

Exemple 2.6.1. La dimensio del subespai vectorial de R5[t] engendrat pelspolinomis

{1 + 2t− t2 + t3, 1 + t− t2, 1− t2 − t3}es igual a 2, ja que un d’ells es combinacio lineal dels altres dos i, pertant, nomes n’hi ha 2 que siguin linealment independents.

Si la dimensio d’E es n i {v1, . . . , vr}, r < n, es un conjunt de vectorsd’E linealment independent, aleshores (v1, . . . , vr) es pot ampliar fins aobtenir una base d’E, tal com veiem en el teorema seguent.

Teorema 2.6.1 (Steinitz). Sigui (u1, . . . , un) una base d’E i sigui(v1, . . . , vr) amb r ≤ n, un conjunt de vectors linealment independentsd’E. Aleshores es possible substituir r vectors de la base donada pels rvectors del conjunt, de manera que el conjunt resultant sigui una altrabase d’E.

Demostracio. Escrivim v1 com a combinacio lineal dels vectors de la base(v1, . . . , vn) d’E:

v1 = α1u1 + . . . + αnun

Algun dels escalars αi es no nul, ja que v1 6= 0. Suposem, per exemple,α1 6= 0. Aleshores podem escriure

u1 =1

α1

v1 − α2

α1

u2 − . . .− αn

α1

un (2.1)

Els vectors {v1, u2, . . . , un} son linealment independents. En efecte. Su-posem

λ1v1 + λ2u2 + . . . + λnun = 0

Substituint,

λ1(α1u1 + . . . + λnun) + λ2u2 + . . . + λnun =(α1λ1)u1 + (α2λ1 + λ2)u2 + . . . + (αnλ1 + λn)un = 0

2.6. Bases. Dimensio 37

En ser {u1, u2, . . . , un} linealment independents,

α1λ1 = α2λ1 + λ2 = . . . = αnλ1 + λn = 0

d’on λ1 = 0 (ja que α1 6= 0) i, per tant, tambe λ2 = . . . = λn = 0.

A mes, aquest conjunt de vectors es un sistema de generadors d’E, jaque, tenint en compte (2.1)

[u1, u2, . . . , un] = [v1, u2, . . . , un]

Aixı doncs, (v1, u2, . . . , un) es una altra base d’E. Podem reiterar elproces, escrivint ara v2 com a combinacio lineal dels vectors d’aquestanova base:

v2 = β1v1 + β2u2 + . . . + βnun

Aleshores algun dels escalars β2, . . . , βn es no nul ja que, altrament, v1 iv2 serien linealment dependents. Si, per exemple, es β2 6= 0, el conjunt(v1, v2, u3, . . . , un) es una nova base d’E.

Reiterant d’aquesta forma el proces, obtenim una base d’E que conte elsvectors v1, . . . , vr.

Remarca. Son consequencia del Teorema de Steinitz les afirmacionsseguents.

1. Si la dimensio d’E es n i {v1, . . . , vn} es un conjunt de vectors d’Elinealment independent, aleshores aquest conjunt es una base d’E.

2. Tota base d’E esta formada pel mateix nombre de vectors.

A mes, si la dimensio d’E es n i {v1, . . . , vn} es un sistema de generadorsd’E, aleshores (v1, . . . , vn) es una base d’E.

A continuacio veiem una important caracteritzacio dels conjunts que sonbase.

Proposicio 2.6.1. Si u = (u1, . . . , un) es una base d’E, per a tot vectorx de E existeixen n escalars x1, . . . , xn ∈ K unics, tals que

x = x1u1 + · · ·+ xnun .

Definicio 2.6.3. Aquests escalars x1, . . . , xn s’anomenen les componentsde x en la base u.


Exemple 2.6.2. Considerem la base (1, t, t2) de R2[t]. Les components delspolinomis 2t2 + t + 1, t2 + 1, t− 2 en aquesta base son, respectivament:

1, 1, 21, 0, 1

−2, 0, 1

2.7 Suma i interseccio de subespais vecto-

rials

La interseccio de dos subespais vectorials F1 i F2,

F1 ∩ F2 = {x ∈ E∣∣ x ∈ F1 i x ∈ F2}

sempre es un subespai vectorial d’E. En canvi, pero, la unio de subespaisvectorials no es, en general, un subespai vectorial.

Definicio 2.7.1. Donats F1 i F2 subespais vectorials de E, anomenemsubespai suma d’F1 i F2 el subespai vectorial d’E:

F1 + F2 = {x ∈ E∣∣x = x1 + x2, x1 ∈ F1, x2 ∈ F2}

Remarca. F1 +F2 es el menor subespai vectorial d’E que conte F1 i F2.

Si F1 = [u1, . . . , ur] i F2 = [v1, . . . , vs], llavors:

F1 + F2 = [u1, . . . , ur, v1, . . . , vs] .

Les dimensions dels subespais F1, F2, F1 +F2 i F1∩F2 estan relacionadesde la manera seguent.

Teorema 2.7.1 (Formula de Grassman). Si F1 i F2 son dos subespaisvectorials qualssevol d’E, aleshores:

dim(F1 + F2) = dim F1 + dim F2 − dim(F1 ∩ F2)

2.7. Suma i interseccio de subespais vectorials 39

Demostracio. Sigui (u1, . . . , um) una base d’F1 ∩ F2. Ampliem aquestabase a una base (u1, . . . , um, vm+1, . . . , vr) d’F1 i (u1, . . . , um, wm+1, . . . , ws)d’F2.

Aleshores (u1, . . . , um, vm+1, . . . , vr, wm+1, . . . , ws) es base d’F1 +F2, d’ones dedueix facilment l’enunciat. En efecte. Vegem en primer lloc queaquests vectors son linealment independents. Suposem que existeix unacombinacio lineal d’ells que es el vector nul,

λ1u1 + . . . + λmum +λm+1vm+1 + . . . + λrvr + µm+1wm+1 + . . . + µsws = 0

Aleshores:

λ1u1+. . .+λmum+λm+1vm+1+. . .+λrvr = −µm+1wm+1−. . .−µsws ∈ F1∩F2

i, per tant,

−µm+1wm+1 − . . .− µsws = ν1u1 + . . . + νmum

d’on deduım

ν1u1 + . . . + νmum + µm+1wm+1 + . . . + µsws = 0

En ser aquesta una combinacio lineal dels vectors de la base d’F2 consi-derada,

ν1 = . . . = νm = µm+1 = . . . = µs = 0

i llavors es:

λ1u1 + . . . + λmum + λm+1vm+1 + . . . + λrvr = 0

Pero aquesta es una combinacio lineal dels vectors de la base d’F1 consi-derada i, per tant,

λ1 = . . . = λm = λm+1 = . . . = λr = 0

D’altra banda, donat x ∈ F1 + F2 qualsevol, x = x1 + x2 amb x1 ∈ F1 ix2 ∈ F2, es a dir,

x = (α1u1 + . . . + αmum + αm+1vm+1 + . . . + αrvr)++(β1u1 + . . . + βmum + βm+1wm+1 + . . . + βsws) =

= (α1 + β1)u1 + . . . + (αm + βm)um++αm+1vm+1 + . . . + αrvr + βm+1wm+1 + . . . + βsws

i, per tant,{u1, . . . , um, vm+1, . . . , vr, wm+1, . . . , ws}

es un sistema de generadors d’F1 + F2.


En general, donats p subespais vectorials F1, . . . , Fp, tambe es compleixque F1 ∩ · · · ∩ Fp es un subespai vectorial d’E. Es defineix el subespaisuma de F1, . . . , Fp com el subespai vectorial

F1 + · · ·+ Fp = {x ∈ E |x = x1 + · · ·+ xp, xi ∈ Fi, ∀ i, 1 ≤ i ≤ p}

Remarca. Si reunim sistemes de generadors de cadascun dels subespaisobtenim un sistema de generadors del subespai suma F1 + · · ·+ Fp.

2.8 Suma directa. Complementari

En aquesta seccio, tractarem un tipus especial de suma de subespaisvectorials.

Definicio 2.8.1. Donats dos subespais vectorials F1 i F2 d’E diem quela suma F1 + F2 es directa si tot vector x ∈ F1 + F2 s’expressa de formaunica com a x = x1 + x2 amb x1 ∈ F1, x2 ∈ F2. En aquest cas escriuremF1 ⊕ F2.

Exemple 2.8.1. A R3 considerem els subespais F1 = {(x, y, z) ∈ R3 |x + y + z = 0} i F2 = {(x, y, z) ∈ R3 | x− y + z = 0}. Observem que

(0, 2, 0) = (0, 1,−1) + (0, 1, 1) ∈ F1 + F2

(0, 2, 0) = (1, 1,−2) + (−1, 1, 2) ∈ F1 + F2

per tant la suma no es directa. En canvi si considerem els subespaisG1 = [(1, 0, 1)] i G2 = [(2, 1, 3)],

λ1(1, 0, 1) + µ1(2, 1, 3) = λ2(1, 0, 1) + µ2(2, 1, 3)

te solucio si i nomes si λ1 = λ2 i µ1 = µ2. Per tant, la suma es directa.

Proposicio 2.8.1. Son equivalents les afirmacions seguents:

1. F1 + F2 = F1 ⊕ F2.

2. F1 ∩ F2 = {0}.

3. La reunio de bases d’F1 i F2 es una base d’F1 + F2.

2.8. Suma directa. Complementari 41

Corol.lari 2.8.1. Si la suma F1 + F2 es directa, es compleix

dim(F1 ⊕ F2) = dim F1 + dim F2

Exemple 2.8.2. Si considerem els mateixos subespais que en l’exempleanterior es veu que

F1 ∩ F2 = [(1, 0,−1)], i G1 ∩G2 = {0}.

Cas de mes de dos subespais.

Si F1, . . . , Fp son subespais vectorials, la suma F1 + · · ·+ Fp diem que esdirecta si tot vector v ∈ F1 + · · · + Fp s’expressa de forma unica com ax = x1 + · · ·+ xp amb xi ∈ Fi, per a tot i, 1 ≤ i ≤ p.

Proposicio 2.8.2. Son equivalents les afirmacions seguents:

1. F1 + · · ·+ Fp = F1 ⊕ · · · ⊕ Fp.

2. Fi ∩ (F1 + . . . + Fi−1 + Fi+1 + . . . + Fp) = {0} ∀ i, 1 ≤ i ≤ p.

3. Si (ui1, . . . , u

iri) es una base d’Fi, llavors (u1

1, . . . , u1r1

, . . . , up1, . . . , u

prp

)es una base d’F1 + · · ·+ Fp.

Definicio 2.8.2. Si F es un subespai vectorial de E, un subespai com-plementari d’F (en E) es qualsevol subespai G d’E tal que F ⊕G = E.

Si G es un complementari d’F ,

dim E = dim F + dim G

Remarca. Noteu que un subespai vectorial F admet diferents comple-mentaris.

Si (v1, . . . , vr) es una base d’F , un complementari d’F es pot trobarcompletant la base d’F fins a trobar una base d’E

(v1, . . . , vr, vr+1, . . . , vn)

Llavors G = [vr+1, . . . , vn] es un complementari d’F (en E), es a dir,F ⊕G = E.


Exemple 2.8.3. A R3[t] els subespais vectorials

G1 = [1 + t2, 1 + t3]G2 = [t + t2, 1 + t3]G3 = [1− t + t2 − t3, 1 + t + t2 + t3]G4 = [t2, t3]

son complementaris d’F = [1, t].

2.9 Producte escalar. Bases ortonormals

Conceptes geometrics que en el cas dels espais R2 i R3 son facilmentidentificables, es poden introduir en un espai vectorial real qualsevol.

Sigui E un espai vectorial sobre R.

Definicio 2.9.1. Un producte escalar (euclidi) en E es una aplicacio

E × E −→ R(u, v) −→ 〈u, v〉

que verifica les propietats seguents:

i) 〈u1 + u2, v〉 = 〈u1, v〉+ 〈u2, v〉 ∀u1, u2, v ∈ E.

ii) 〈λu, v〉 = λ〈u, v〉 ∀u, v ∈ E, ∀λ ∈ R.

iii) 〈u, v〉 = 〈v, u〉 ∀u, v ∈ E.

iv) 〈u, u〉 ≥ 0 ∀u ∈ E i 〈u, u〉 = 0 si, i nomes si u = 0.

Exemple 2.9.1. Considerem a R2, per a tota parella de vectors u =(x1, x2), v = (y1, y2), l’aplicacio que ve definida per:

〈u, v〉 = x1y1 + x2y2

Es clar que verifica les propietats de producte escalar.

En general, a Rn l’aplicacio

〈(x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)〉 = x1y1 + . . . + xnyn

es un producte escalar. S’anomena el producte escalar ordinari d’Rn.

2.9. Producte escalar. Bases ortonormals 43

En tot espai vectorial sobre R de dimensio finita es pot definir un pro-ducte escalar. Si escollim una base (u1, . . . , un) donats dos vectors quals-sevol u = x1u1+. . .+xnun, v = y1u1+. . .+ynun podem definir l’aplicacio

E × E −→ R(u, v) −→ 〈u, v〉 = x1y1 + . . . + xnyn

(2.2)

No es difıcil provar que es verifiquen totes les propietats del producteescalar.

Un altre producte escalar en E es el que ve definit de la forma seguent:

〈u, v〉 = 2x1y1 + x1y2 + x2y1 + . . . + x1yn + xny1 + 2x2y2 + x2y3++x3y2 + . . . + x2yn + xny2 + 2xnyn

Un cop definit un producte escalar en un espai vectorial, podem introduirles nocions geometriques de norma d’un vector i angle entre dos vectors.

Definicio 2.9.2. Donat un vector u, definim la norma o longitud delvector u com:

‖u‖ = +√〈u, u〉 (2.3)

Les propietats de la norma d’un vector son:

i) ‖u‖ ≥ 0 ∀u ∈ E i ‖u‖ = 0 si, i nomes si, u = 0.

ii) ‖λu‖ = |λ| ‖u‖ ∀u ∈ E, ∀λ ∈ R.

iii) |〈u, u〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖ ∀u, v ∈ E (desigualtat de Cauchy-Schwartz).

iv) ‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖ ∀u, v ∈ E (desigualtat triangular).

Remarca. Observeu que, donat un vector u ∈ E, no nul, el vectoru

‖u‖es un vector unitari (de norma 1).

Exemple 2.9.2. A R3, amb el producte escalar que ve definit per

〈(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)〉 = x1y1 + x2y2 + x3y3

es te:

‖(2,−3, 4)‖ =√

29, ‖(1,−1, 2)‖ =√

6,

∥∥∥∥(

1√2,

1√2, 0

)∥∥∥∥ = 1


Definicio 2.9.3. Donats u, v ∈ E no nuls, definim l’angle entre aquestsdos vectors com l’angle α ∈ [0, π] tal que:

cos α =〈u, v〉‖u‖ ‖v‖ (2.4)

Les propietats de l’angle entre dos vectors son:

i) angle(u, v) = angle(v, u) ∀u, v ∈ E.

ii) Si λ > 0 i µ > 0 angle(λu, µv) = angle(u, v) ∀u, v ∈ E.

iii) angle(u, v) = angle(−u,−v) ∀u, v ∈ E.

iv) angle(u, v) + angle(−u, v) = π ∀u, v ∈ E.

Exemple 2.9.3. A R2, amb el producte escalar que ve definit per

〈(x1, x2), (y1, y2)〉 = x1y1 + x2y2

es te:

angle((1, 0), (1, 1)) =π

4, angle((1, 1), (−1, 0)) =

3π

4.

El concepte de vectors perpendiculars per a vectors de R2 i de R3, espot generalitzar en el cas d’un espai vectorial on s’ha definit un producteescalar.

Sigui E un espai vectorial real amb un producte escalar. Un tal espais’anomena espai vectorial euclidia.

Definicio 2.9.4. Donats dos vectors u, v ∈ E direm que son ortogonalssi

〈u, v〉 = 0

Clarament es verifiquen les propietats intuıtives sobre perpendicularitat.

i) Si u, v ∈ E son ortogonals, angle(u, v) =π

2.

ii) Si u, v ∈ E son ortogonals ‖u + v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 (teorema dePitagores).

2.9. Producte escalar. Bases ortonormals 45

Remarca. Si a un espai vectorial E considerem el producte escalardefinit a (2.2) aleshores els vectors de la base u1, . . . , un son tots de norma1 i dos a dos ortogonals.

Definicio 2.9.5. Sigui E un espai vectorial real en el que s’ha definitun producte escalar. Es diu que una base (u1, . . . , un) es ortonormal siverifica:

‖ui‖ = 1 1 ≤ i ≤ n,〈ui, uj〉 = 0, per a tot i, j amb i 6= j.

(2.5)

Donat un vector u 6= 0 qualsevol de l’ espai vectorial E (on s’ha definit unproducte escalar) podem considerar el conjunt de vectors perpendicaularsa aquest vector:

u⊥ = {v ∈ E | 〈u, v〉 = 0}

Es facil provar que aquest conjunt es un subespai vectorial, que s’anome-na subespai ortogonal a u.

De fet, podem calcular el conjunt de vectors perpendiculars a tots elsvectors d’un subespai F :

F⊥ = {v ∈ E | 〈u, v〉 = 0,∀u ∈ F}

Remarca. Tambe es facil provar que F⊥ es un subespai vectorial.

F⊥ s’anomena el complement ortogonal d’F .

Exemple 2.9.4. A R3, amb el producte escalar definit per

〈(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)〉 = x1y1 + x2y2 + x3y3

si F = [(2, 1,−1), (0, 2, 3)], aleshores:

F⊥ = {(x1, x2, x3) ∈ R3 | 2x1 + x2 − x3 = 2x2 + 3x3 = 0} = [(−5, 6,−4)]

Proposicio 2.9.1. Si F es un subespai vectorial qualsevol d’E, aleshores:

E = F ⊕ F⊥


Escriurem:E = F ⊥ F⊥.

Del fet de que la suma es directa es dedueix que la descomposicio d’unvector u ∈ E qualsevol com a suma d’un vector de F i d’un vector deF⊥ es unica: u = u1 + u2 amb u1 ∈ F i u2 ∈ F⊥ unics.

Definicio 2.9.6. S’anomena projeccio ortogonal d’un vector u ∈ E sobreF la component sobre F de la descomposicio en suma ortogonal d’F iF⊥.

Exemple 2.9.5. Sigui u = (1, 3) ∈ R2. La projeccio ortogonal de u sobreF = {(x, y) ∈ R2 | x = y} es v = (2, 2), ja que (1, 3) = 2(1, 1)− 1(1,−1)on ((1, 1)) es una base de F i ((1,−1)) de F⊥.

2.10 Apendix A

Espais vectorials de dimensio infinita

Suposem que tenim un espai vectorial E sobre un cos commutatiu K.

Una combinacio lineal del conjunt de vectors u1, . . . , um, . . . (no necessa-riament finit) d’E es tot vector de la forma x = λ1u1 + · · ·+ λmum + . . .amb λ1, . . . , λm, · · · ∈ K, (suma finita, es a dir si el conjunt no es finitquasi tots els λi son nuls).

Un conjunt de vectors {u1, . . . , um, . . . } d’E es diu que es linealmentdependent si existeix una combinacio lineal d’ells que es el vector 0, es adir:

λ1u1 + · · ·+ λmum + · · · = 0

amb no tots els escalars nuls.

En general, direm que un conjunt no buit qualsevol de vectors d’E eslinealment dependent si conte un subconjunt finit linealment dependenti que es linealment independent en cas contrari, es a dir, si tot subconjuntfinit d’ell es linealment independent.

Diem que una famılia de vectors u = (u1, . . . , un, . . . ) es una base d’un es-pai vectorial E si {u1, . . . , un, . . . } es linealment independent i[u1, . . . , un, . . . ] = E.

Si no existeix una famılia finita de vectors que sigui base d’E direm queE te dimensio infinita.

2.10. Apendix A 47

Si u = (u1, . . . , un, . . . ) es una base d’E, per a tot vector x de E existeixenescalars x1, . . . , xn, . . . unics tals que

x = x1u1 + · · ·+ xnun + . . . .

Aquests escalars x1, . . . , xn, . . . s’anomenen les components de x en labase u.

El concepte de suma de subespais, suma directa i complementaris es elmateix que en el cas dels espais vectorials de dimensio finita. Noteu, pero,que, en aquest cas, si considerem subespais vectorials F , G de dimensioinfinita, la formula de Grassman no es pot aplicar.

Hi ha molts exemples d’espais vectorials de dimensio infinita.

Exemple 2.10.1. El conjunt E = K[t] de tots els polinomis amb coefi-cients reals es un espai vectorial sobre K de dimensio infinita. Una based’ell es el conjunt de polinomis

{1, t, t2, . . . , tn, . . . }ja que qualsevol polinomi es combinacio lineal d’ells. Obviament, pero,no hi ha cap conjunt finit de polinomis que sigui base d’E. Suposem queun conjunt de polinomis

{p1(t), p2(t), . . . , pm(t)}es una base de K[t], i els graus respectius d’aquests polinomis son:n1, n2, . . . , nm. Aleshores, posant n0 = max{n1, n2, . . . , nm} tenim queper exemple, el polinomi tn0+1 no pertany al subespai generat per{p1(t), p2(t), . . . , pm(t)}.Exemple 2.10.2. El conjunt E format per les successions numeriques(x1, x2, . . . , xn, . . . ) amb x1, x2, . . . , xn, · · · ∈ R, on la suma i el producteper escalars estan definits de la forma habitual, es un R-espai vectorial.Una base d’aquest espai vectorial es la formada per les successions

s1 = (1, 0, 0, 0, . . . , 0, . . .)s2 = (0, 1, 0, 0, . . . , 0, . . .)s3 = (0, 0, 1, 0, . . . , 0, . . .). . .

Exemple 2.10.3. Amb la suma i el producte per escalars habitual, el con-junt de les funcions reals de variable real es un espai vectorial sobre R dedimensio infinita. En aquest cas, a diferencia dels anteriors, no podemtrobar cap base.


En un espai vectorial de dimensio infinita la definicio de subespai vecto-rial es la mateixa. Tambe es defineixen de la mateixa manera el subespaivectorial suma d’un nombre (finit o no) de subespais vectorials, la inter-seccio de subespais i el complementari.

Observeu que, en un espai vectorial de dimensio infinita, els subespaisvectorials poden ser de dimensio finita i tambe poden ser de dimensioinfinita.

Exemple 2.10.4. En l’espai vectorial R[t], els conjunts de polinomis Rn[t]son subespais vectorials de dimensio finita (= n+1). Subespais vectorialsde dimensio infinita son, per exemple,

F = [1, t2, t4, t6, . . . , t2n−2, . . .]

G = [1, 3t3, 6t6, . . . , 3(n− 1)t3(n−1), . . .]

H = [t, t3, t5, . . . , t2n−1, . . .]

En aquest cas, es clar que H es un complementari d’F a R[t], ja queF ⊕H = R[t].

En canvi, el subespai suma F +G no es igual a R[t], ja que, per exemple,el polinomi t no pertany a F + G. La interseccio F ∩ G es igual a[1, t6, t12, . . . , t6(n−1), . . .].

Exemple 2.10.5. A l’espai vectorial format per les successions reals, elconjunt

F ={(x1, x2, . . . , xn, . . . ) ∈ E

∣∣ xi = 0 ∀ i ≥ 5}

.

es un subespai vectorial d’E de dimensio 4, ja que una base n’es el conjuntde successions:

s1 = (1, 0, 0, 0, 0, . . . , 0, . . . )

s2 = (0, 1, 0, 0, 0, . . . , 0, . . . )

s3 = (0, 0, 1, 0, 0, . . . , 0, . . . )

s4 = (0, 0, 0, 1, 0, . . . , 0, . . . )

En canvi, el conjunt

G ={(x1, x2, . . . , xn, . . . ) ∈ E

∣∣ xi = 0 ∀ i < 5}

2.10. Apendix A 49

es un subespai vectorial d’E de dimensio infinita, ja que una base n’es elconjunt (no finit) de successions:

s1 = (0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, . . . , 0, . . . )

s2 = (0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, . . . , 0, . . . )

s3 = (0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, . . . , 0, . . . )

. . .

Exemple 2.10.6. A l’espai vectorial sobre R de les funcions contınues d’Ren R, les funcions f(t) = cos t i g(t) = sin t son linealment independents.En efecte. Suposem que existeixen escalars λ1, λ2 ∈ R de manera que

λ1 cos t + λ2 sin t = 0

per a tot t ∈ R. En particular, per a t = 0, tenim λ1 = 0 i, per a t = π2,

tenim λ2 = 0.

Per tant, les funcions cos t i sin t son linealment independents.

A mes, el conjunt de funcions reals de variable real

C = {sin t, sin(2t), . . . , sin(nt), . . . }es linealment independent.

En efecte. En aquest cas hem de veure que tot subconjunt finit de C eslinealment independent. Sigui S un tal subconjunt,

S = {sin(i1t), sin(i2t), . . . , sin(imt)}amb i1 ≤ i2 ≤ · · · ≤ im. Suposem ara que tenim una combinacio lineal,amb no tots els coeficients nuls, d’aquestes funcions que es la funcionul·la, es a dir,

λi1 sin(i1t) + λi2 sin(i2t) + · · ·+ λir sin(imt) = 0 , ∀ t ∈ R .

Posem m = max{i1, i2, . . . , im}. Aleshores existeix una combinacio lineal(amb no tots els coeficients nuls) de les funcions sin t, sin(2t), . . . , sin(mt)que es la funcio nul·la,

λ1 sin t + λ2 sin(2t) + · · ·+ λm sin(mt) = 0 , ∀ t ∈ R .

S es un subconjunt finit de Cm:

{sin t, sin(2t), . . . , sin(mt)}


I el conjunt de funcions

{sin t, sin(2t), . . . , sin(mt)}

es linealment independent.

Es pot veure per induccio sobre m.

Si m = 1, es obvi.

Suposem ara la hipotesi certa fins a m− 1, i suposem que

λ1 sin t+λ2 sin(2t)+ · · ·+λm−1 sin((m− 1)t)+λm sin(mt) = 0 , (2.6)

∀ t ∈ R. Derivant dos cops aquesta expressio obtenim

−λ1 sin t−4λ2 sin(2t)−· · ·−(m−1)2λm−1 sin((m−1)t)−m2λm sin mt = 0 ,(2.7)

∀ t ∈ R. Multipliquem (2.7) per m2 i li sumem (2.6):

(m2−1)λ1sin t+(m2−4)λ2 sin(2t)+· · ·+(m2−(m−1)2)λm−1sin((m−1)t)=0,

∀ t ∈ R. Per hipotesi d’induccio,

(m2 − 1)λ1 = (m2 − 4)λ2 = · · · = (m2 − (m− 1)2)λm−1 = 0

d’on λ1 = λ2 = · · · = λm−1 = 0.

Substituint a (2.6) obtenim

λm sin mt = 0 d’on tambe λm = 0 .

2.11 Apendix B

Espais vectorials sobre cossos finits

Suposem que tenim un conjunt E que es un espai vectorial sobre un cosfinit K (veure Apendix del capıtol 1). Totes les definicions vistes al llargd’aquest capıtol son aplicables a aquest cas: combinacio lineal de vectors,dependencia/independencia lineal, sistemes de generadors, bases, sube-spais vectorials, suma i interseccio de subespais. L’unica diferencia esque, en aquest cas, els coeficients de les combinacions lineals son al cosfinit K.

2.11. Apendix B 51

Observeu, pero, que si E es un espai vectorial sobre el cos finit K de qelements de dimensio n, aleshores E es un espai vectorial format per qn

vectors. En particular, tots els subespais vectorials d’E tenen un nombrefinit de vectors.

Nomes poden tenir un nombre infinit de vectors els espais vectorials sobreun cos finit de dimensio infinita.

Exemple 2.11.1. Un codi es un conjunt de sequencies de sımbols, enque cada sımbol esta escollit entre els d’un alfabet. Cadascuna de lessequencies del codi s’anomena paraula.

Un codi lineal C sobre Z/qZ es un subespai vectorial de (Z/qZ)n.

Els codis definits sobre (Z/2Z)n s’anomenen binaris, els definits sobre(Z/3Z)n, ternaris, i, en general, els definits sobre (Z/qZ)n s’anomenenq-aris.

A continuacio es mostren tres codis sobre Z/2Z.

C1 0 00 11 01 1

C2 0 0 00 1 11 0 11 1 0

C3 0 0 0 0 00 1 1 0 11 0 1 1 01 1 0 1 1

S’anomena dimensio d’un codi lineal C a la seva dimensio com a subespaivectorial sobre Z/qZ. Direm tambe que la seva longitud es n.

En particular, un codi C lineal de dimensio k conte qk paraules.

S’anomena codi dual de C al codi

C⊥ = {x ∈ (Z/qZ)n | < x, y >= 0 ∀y ∈ C}

En general, donat un codi qualsevol, s’anomena distancia de Hammingentre dues paraules com el nombre de sımbols en que difereixen. I s’ano-mena distancia mınima a la mes petita entre totes les distancies entreparaules diferents del codi, que es representa per d(C).

Donat un codi lineal C, s’anomena pes d’una paraula x ∈ C al nombrede components no nul·les d’aquesta paraula. L’indicarem per: w(x).

Quan el codi es lineal, es immediat comprovar que d(x, y) = w(x − y)donades dues paraules x, y de C qualssevol. Tambe es facil veure qued(C) = min{w(x) |x ∈ C }.


2.12 Apendix C

Espai vectorial quocient

Definicio 2.12.1. Siguin E un espai vectorial sobre un cos commutatiuK i F un subespai vectorial d’E. Posarem x + F = {y ∈ E | y =x + u, u ∈ F}. El conjunt

E/F = {x + F | x ∈ E}

amb les operacions suma i producte per escalars, definides mitjancant:

(x + F ) + (y + F ) = (x + y) + F

λ(x + F ) = λx + F

te estructura d’espai vectorial sobre K i s’anomena espai vectorial quo-cient d’E per F .

Els elements x + F de l’espai E/F s’anomenen classes modul F .

Observeu que el vector nul a E/F es 0 + F = F .

Es compleix:

x + F = y + F ⇐⇒ x− y ∈ F, ∀ x, y ∈ E .

Com a consequencia, es te:

x + F = 0 + F = F ⇐⇒ x ∈ F .

Dues classes x+F , y +F o be son iguals o be (x+F )∩ (y +F ) = ∅ (sondisjuntes).

Els conceptes de vectors d’E/F linealment dependents/independents, sis-temes de generadors i bases es poden reduir al calcul dels subespais sumai interseccio de dos subespais adequats.

Donades les classes u1 + F, . . . , us + F d’E/F es compleix:

[u1 + F, . . . , us + F ] = E/F ⇐⇒ [u1, . . . , us] + F = E .

D’altra banda, si u1, . . . , us son linealment independents, el conjunt{u1 + F, . . . , us + F} es linealment independent si, i nomes, si

[u1, . . . , us] ∩ F = {0}.

2.12. Apendix C 53

Com a consequencia, (u1 + F, . . . , us + F ) es base d’E/F si, i nomes, si[u1, . . . , us]⊕ F = E.

Observeu que l’analog d’aquest resultat es valid en el cas d’espais vecto-rials de dimensio infinita. En el cas de subespais vectorials de dimensiofinita, la dimensio de l’espai vectorial quocient es pot deduir del resultatanterior, obtenint-se aixı:

dim(E/F ) = dim E − dim F

Exemple 2.12.1. Sigui F el subespai vectorial de R4 generat pels vectors

{(0, 1, 0, 2), (1,−1, 1,−1), (1, 0, 1, 1)} .

Considereu a R4/F els vectors (3,−1, 1, 0) + F i (2,−1, 0, , 1) + F .

Estudiarem si aquests vectors son una base de R4/F .

Observem en primer lloc que els vectors que generen F son linealmentdependents. Per tant, dim F = 2 i dimR4/F = dimR4 − dim F =4 − 2 = 2. Aixı, els dos vectors de R4/F donats poden ser linealmentindependents i, en aquest cas, tambe serien una base de R4/F .

Suposem que tenim una combinacio lineal dels vectors (3,−1, 1, 0) + F i(2,−1, 0, 1) + F que es igual al vector nul,

λ1((3,−1, 1, 0) + F ) + λ2((2,−1, 0, 1) + F ) = 0 + F .

Aleshores

(λ1(3,−1, 1, 0) + λ2(2,−1, 0, 1)) + F = 0 + F

Aixo nomes es possible si

λ1(3,−1, 1, 0) + λ2(2,−1, 0, 1) = (3λ1 + 2λ2,−λ1 − λ2, λ1, λ2)

pertany a F ; es a dir, si i nomes si,

λ1 = λ2 = 0

Es a dir, que els dos vectors donats son linealment independents.

Una altra forma de fer l’estudi es utilitzant la proposicio darrera. Es adir, comprovant que

[(0,1,0,2),(1,-1,1,-1),(1,0,1,1] ∩ [(3,-1,1,0),(2,-1,0,1)] = {0} .



L’espai vectorial de les funcions d’ona d’un sistema

La mecanica classica nomes es aplicable a partıcules macroscopiques. Pera l’estudi deles partıcules microscopiques fa falta la mecanica quantica.

Les funcions d’ona van ser introduıdes per Schrodinger l’any 1926. Per-meten determinar la probabilitat de trobar les partıculesa en una zonade l’espai.

El conjunt de les funcions d’ona d’un sistema constitueix un espai vecto-rial sobre el cos C, que, a mes, es un espai de Hilbert.

Si un sistema consta d’N partıcules, les seves funcions d’ona son aplica-cions

ψ : R3N −→ C((x1, y1, z1), . . . , (xN , yN , zN)) −→ ψ((x1, y1, z1), . . . , (xN , yN , zN))

Considerem el conjunt de funcions d’ona d’un sistema. Amb la suma i elproducte per escalars de C aquest conjunt te estructura d’espai vectorialsobre C.

De forma similar a com s’ha introduıt una metrica en els espais vectorialsreals, es pot fer en el cas d’espais vectorials complexos, introduint unproducte hermıtic.

Donat E un espai vectorial complex, un producte hermıtic en E es unaaplicacio

E × E −→ C(u, v) −→ 〈u, v〉

que verifica les propietats seguents:

i) 〈u1 + u2, v〉 = 〈u1, v〉+ 〈u2, v〉 ∀u1, u2, v ∈ E.

ii) 〈λu, v〉 = λ〈u, v〉 ∀u, v ∈ E, ∀λ ∈ R.

iii) 〈u, v〉 = 〈v, u〉 ∀u, v ∈ E.

iv) 〈u, u〉 ≥ 0 ∀u ∈ E i 〈u, u〉 = 0 si, i nomes si u = 0.

Observeu que la propietat (iii) implica que 〈u, u〉 ∈ R i, per tant, te sentit(iv).


Donat un vector u, es defineix la norma del vector u com:

‖u‖ = +√〈u, u〉

Donats u, v ∈ E no nuls, definim l’angle entre aquests dos vectors coml’angle α ∈ [0, π] tal que:

cos α =〈u, v〉‖u‖ ‖v‖

La distancia entre dos vectors es: d(u, v) = ‖u− v‖.Donats dos vectors u, v ∈ E direm que son ortogonals si

〈u, v〉 = 0

Una base d’E es diu que es ortogonal si els vectors que la formen sondos a dos ortogonals, i que es ortonormal si aquests vectors son, a mes,unitaris.

Un tal espai vectorial E s’anomena espai vectorial hermıtic.

En l’espai vectorial les funcions ψ com abans es defineix el productehermıtic seguent:

< ψ1, ψ2 >=

∫ ∞

−∞. . .

∫ ∞

−∞ψ1ψ2

Les funcions per a les quals aquesta integral es convergent reben el nomde funcions de quadrat integrable. El conjunt d’aquestes funcions eldenotarem per E .

El primer postulat de la quımica quantica afirma que en cada instant, elsistema queda completament descrit per una funcio d’ona ψ : R3N −→ Cde classe C2 i de norma 1.

A mes, dins d’E qualsevol successio de funcions que es de Cauchy estambe convergent (recordeu que aixo no passa sempre; quan es aixı pera tota successio, es diu que l’espai es complet).

Aixı, E es un espai vectorial complex hermıtic i complet. Un tal espais’anomena un espai de Hilbert.



Els espais vectorials constituiexen el nucli de l’algebra lineal. Son uti-litzats en problemes tan diversos com son ara, per exemple, la resoluciod’equacions diferencials i de recurrencia. Els axiomes dels espais vecto-rials expressen propietats algebraiques de moltes classes d’objectes quees troben sovint a l’analisi, tambe tenen gran importancia els espais vec-torials de funcions (continues, analıtiques, mesurables,...). Els espaisvectorials mes emprats son els reals i els complexos.

2.15 Exercicis

1. Estudieu la dependencia o independencia lineal de les famılies devectors d’R4 seguents:

(a) {(1,−1, 2, 2), (−2,−1, 3, 4), (7,−1, 0,−2)}(b) {(1, 1,−2, 3), (2,−1, 0, 4), (5,−1, 0, 0), (1, 0, 1, 0)}(c) {(0,−1, 3, 2), (2, 7,−3, 4), (5, 1, 2,−2), (8, 9, 3, 4), (6, 3, 2, 4)}

2. Considereu els subconjunts d’R3[t] seguents:

F1 = {P (t) |P (0) = P (1)}.

F2 = {P (t) |P (0) = P (−1)}.F3 = {P (t) |P (−1) = P (1)}.

F4 = {P (t) | 1 = P (1)}.Es Fi un subespai vectorial? Justifiqueu la resposta.

3. Determineu per a quins valors de les constants a, b, c ∈ R son sub-espai vectorial els conjunts d’R4 seguents:

F1 = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | ax1 − bx2 + c = 0}F2 = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | x1 − x2 = x3 − x4 = a}F3 = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | (x1 − x2)(x2 − x3) = ab}

4. Considereu de les famılies de vectors d’R4 segents:

(a) {(1, 1, 2, 2), (2, 1, 3, 4), (1, 0, 7, 1)}(b) {(1,−1, 2, 2), (−2,−1, 3, 4), (1, 0, 7, 1)}

2.15. Exercicis 57

(c) {(1, 1, 2, 2), (−2, 1,−3, 4), (−1, 2,−1, 6)}Doneu la dimensio del subespai que engendren, aixı com una based’aquest subespai.

5. A R4 considerem els subespais vectorials seguents:

F = [(1, 0, 1, 2,−2), (3, 1,−1, 0, 2), (2, 1,−2,−2, 4), (0, 0, 0, 2, 1)]

G = [u]

Trobeu una base d’F .

Es dim(F + [u])− dim F = dim[u]?

6. Trobeu la dimensio del subespai vectorial d’R6:

Fa = {(x1, x2, x3, x4, x5, x6 | ax1 + x4 = ax2 + x5 = ax3 + x6 = 0}

segons els diferents valors d’a ∈ R.

7. Determineu la dimensio i una base dels subespais vectorialsd’E = R4[t]:

(a) F1 = {p(t) ∈ E | p′(0) = 0}(b) F2 = {p(t) ∈ E | p(0) = p′(0)− p′(1) = 0}(c) F3 = {p(t) ∈ E | p(t) = p(0) + p′(0)t + p′′(0)t2}(d) F4 = {p(t) ∈ E | p(t) = p(1) + p′(0)t + p(0)t2 + p(0)t3}

8. El mateix que a l’exercici anterior, si E = R[t].

9. Trobeu una base dels subespais vectorials d’R4 engendrats pels con-junts de vectors seguents:

(a) {(1, 1, 0, 1), (0, 1, 1, 1), (−2, 1, 0, 1)}(b) {(1, 1,−1, 0), (2,−1,−1, 0), (3, 0,−2, 0)}(c) {(1,−1, 0, 1), (1, 1, 1, 1), (2, 0, 1, 2), (0,−2,−1, 0)}

10. El mateix que a l’exercici anterior en el cas dels subespais vectorialsd’R3[t] engendrats per:

(a) {1, t + t2, t3}(b) {1, 1 + t, 1 + t + t2, t + t2}(c) {t + t2, t− t2, t3, 1 + t2, 1 + t3}


11. Determineu la dimensio de C2 considerat com a espai vectorialsobre R i sobre C.

12. Determineu la dimensio de C2[t] considerat com a espai vectorialsobre R.

13. A E = R5 considereu el subespai vectorial F engendrat pel conjuntde vectors,

{(1,−1, 0, 1, 1), (0, 1, 0,−1, 1), (1, 0, 0, 0, 2), (2,−1, 0, 0, 1)}

Determineu una base d’F i amplieu-la a una base d’R5.

14. A E = R4, considereu els subespais vectorials

F1 = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | x1 − x2 = 0}F2 = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | 2x1 − 3x2 = x3 = 0}F3 = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | x2 = x3 = x4}

Trobeu F1 ∩ F2, F1 ∩ F3, F2 ∩ F3, F1 ∩ F2 ∩ F3, F1 + F2, F1 + F3,F2 + F3, F1 + F2 + F3.

15. A E = R[t], determineu F + G si

F = {p(t) ∈ E | p(t) = p′(0)t + p′′(0)t3}G = [1 + t2, t− t3, t4]

Es directa la suma?

16. A R5 considerem els subespais vectorials seguents:

F = [(1, 0, 2, 1, 3)]G = [(1, 0, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 1, 0)]H = [(1, 0, 2, 1, 0), (1, 0, 1, 0, 1)]

a) Trobeu F + G. Es directa la suma?

b) Trobeu F + G + H. Es directa la suma?

17. Doneu tres complementaris del subespai vectorial

F = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | x1 − x2 + 2x3 = 3x1 − x4 = 0}

18. Doneu tres complementaris del subespai vectorial

F = {p(t) ∈ R4[t] | p(0) + p′′(0) = p′′′(0) = 0}

2.15. Exercicis 59

19. Discutiu quines de les famılies seguents de vectors d’R3 son basesortonormals, amb el producte escalar ordinari d’R3,

a) {(0, 1, 0), (√

22

, 0,√

22

), (√

22

, 0,−√

22

)}b) {(1,−1, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 1)}c) {

√2

2,√

22

, 0), (√

22

,−√

22

, 0)}

d) {(1, 0, 0),1√2(−1, 1, 0),

1√3(1,−1, 1)}.

20. Sigui E un espai vectorial sobre K i siguin F1 . . . Fr subespais vec-torials tals que

E = F1 ⊕ . . . Fr

Estudieu si es cert, i proveu-ho en cas afirmatiu, si per a tot sube-spai vectorial G d’E es:

G = (G ∩ F1)⊕ · · · ⊕ (G ∩ Fr)

21. Considereu a R3 el producte escalar:

〈(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)〉 = x1y1+x1y2+x2y1+2x2y2+x2y3+x3y2+3x3y3.

Estudieu si les famılies de vectors seguents son, o no, una baseortonormal, respecte d’aquest producte escalar.

(a) {(1, 0, 0), (−1, 1, 0), (1,−1, 1)}(b) {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

(c) { 1√5(1, 0, 0),

1√2(−1, 1, 1),

1√3(1, 1, 1)}

(d) { 1√3(0, 0, 1), (1, 0, 0),

1√6(3,−3, 1)}

22. Doneu una base del subespai vectorial F⊥ en els casos seguents:

(a) E = R3, 〈(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)〉 = x1 + y1 + x2y2 + x3y3,F = [(1,−1, 1), (2, 1, 1)].

(b) E = Rn, 〈(x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)〉 = x1 + y1 + . . . + xnyn,F = {(x1, . . . , xn) |x1 + 2x3 + · · ·+ nxn = 0}.

(c) E = R3[t], < P,Q >=∫ 1

0PQ, F = [1 + t,−1 + t2].

(d) E = R4[t], < P,Q >=∫ 1

−1PQ, F = [t2, t3 + 2t4].


Comproveu previament si els donats son, en efecte, productes es-calars d’E.

23. Considerem l’espai euclidi ordinari R3. Trobeu la projeccio ortogo-nal sobre F = [(2,−1, 0), (0, 0, 1)] del vector (0, 5, 4).

24. Doneu la projeccio ortogonal sobre el subespai vectorial F del vec-tors indicats, en cadascun dels casos seguents.

(a) E = R3, F = [(1, 0,−1), (0, 1, 1)], v = (1, 1, 1)

(b) E = Rn, F = {(x1, . . . , xn) |x1−· · ·−xn = 0}, v = (1, 2, . . . , n)

(c) E = R3[t], < P,Q >=∫ 1

0PQ, F = [1, 1 + t2], v = 1− t

(d) E = R4[t], < P,Q >=∫ 1

−1PQ, F = [1 + t, 1 + t4], v = 1 + t3

25. A E = R4 considereu el subespai vectorial

F = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | x1 + x2 − x3 − x4 = 0}Estudieu si es:

a) 2 ·((1, 0, 1,−1)+F )−3 ·((0, 1,−1, 2)+F ) = (−2, 1,−5, 2)+F

b) 2 · ((1, 0, 1,−1) + F )− 3 · ((0, 1,−1, 2) + F ) = (3, 0, 7,−6) + F

26. Si E = R3[t] i F = {P (t) |P (t) = P (1)+P (0)t+P (−1)t2}, estudieula dependencia o independencia lineal dels vectors (t+t2)+F i 1+F .Doneu una base d’E/F .

27. Calculeu la dimensio i trobeu una base d’R4/F , essent

F = [(1, 0,−1, 1), (0, 1, 1,−2), (1, 1, 0,−1)]

28. Sigui E l’espai vectorial (Z/5Z)4. Estudieu en E la dependencia/inde-pendencia lineal dels conjunts de vectors:

{(1, 1, 2, 0), (2, 1, 1, 0)}{(1, 1, 0, 3), (2, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 1)}

29. Essent E l’espai vectorial de l’exercici anterior, determineu la di-mensio i una base del subespai vectorial F format pels vectors(x1, x2, x3, x4) tals que x1 + 2x2 = 3x3 + 4x4 = 0.

Escriviu tots els vectors d’aquest subespai.

30. Sigui E l’espai vectorial format pels vectors (x1, x2, x3) amb xi ∈Z/3Z. Determineu els subespais vectorials d’E de dimensio 2.



Introduccio de vectors

> with(LinearAlgebra):

> v1:= ¡1—2—-3¿;

v1 := [1, 2, −3]

> v2:= ¡-3—1—4¿;

v2 := [0, −2, 1]

> v3:= ¡0—2—-1¿;

v2 := [0, −2, 1]

> v4:= ¡-1—2—5¿;

v4 := [−1, 2, 5]

Obtencio d’una base d’un subespai a partir d’un sistema de generadors

> Basis({v1,v2,v3,v4});

{[1, 2, −3], [0, −2, 1], [−1, 2, 5]}

Obtencio d’una base del subespai suma

> SumBasis([[v1], [v2,v3]]);

[[1, 2, −3], [0, −2, 1]]


Obtencio d’una base del subespai interseccio

> IntersectionBasis([ [v1,v3],[v2,v4]]);

[[0, −2, 1]]

Obtencio d’una base ortogonal pel metode de Gram-Schmidt

> GramSchmidt([v1,v2,v4]);

[[1, 2, −3],

[1

2, −1,

−1

2

],

[32

21,

8

21,

16

21

]]

Capıtol 3

Matrius i sistemes deequacions

3.1 Introduccio

Els primers origens els trobem en problemes que apareixen en tauletes aBabilonia (cap a l’any 300 aC) i que condueixen a sistemes d’equacionslineals. Pero es sobretot a la Xina (200 aC - 100 aC) en que es troba elprimer exemple de “matriu”: es planteja un problema i es disposen elscoeficients en files i columnes, a mes de proposar la seva resolucio fent“elimnacio gaussiana”.

La paraula matriu no apareix fins l’any 1850 amb Sylvester (1850). L’any1858, Cayley va publicar Memoir on the theory of matrices, on dona lesdefinicions d’operacions amb matrius, incloent-hi inverses.

Actualment, l’algebra matricial ha esdevingut una branca important del’algebra. La seva estructura constitueix una eina molt adequada per aemmagatzemar informacio i descriure relacions.

Tractarem nomes matrius definides sobre el cos real R o be el cos complexC (es a dir, els coeficients de les quals pertanyen a R o a C) si be lesmatrius es poden definir sobre un cos qualsevol, o fins i tot sobre anells.

63

64 Capıtol 3. Matrius i sistemes de equacions

3.2 Notacions i terminologia

Definicio 3.2.1. Anomenarem matriu d’ordre n×m a coeficients en uncos commutatiu K a un conjunt de n ·m elements del cos distribuıts enn files i m columnes i que notarem per

A =

a11 . . . a1m...

...an1 . . . anm

, aij ∈ K.

L’element aij esta en la fila i i en la columna j. A vegades notarem unamatriu simplement per A = (aij).

Exemple 3.2.1.

A1 =

(1.01 2 3.2−1.1 3 2.5

), A2 =

√

2√

31 0√3√

2

A1 es una matriu d’ordre 2× 3 i A2 es una matriu d’ordre 3× 2.

Les matrius d’ordre 1×m (es a dir, amb una sola fila) reben el nom devectors fila i les matrius d’ordre n× 1 (es a dir, amb una sola columna)reben el nom de vectors columna.

Exemple 3.2.2. Les matrius

(1 2 1

),

432

son un vector fila i un vector columna, respectivament.

Notarem per Mn×m(K) el conjunt de les matrius d’ordre n×m a coefi-cients en el cos K. En el cas particular en que n = m denotarem aquestconjunt simplement per Mn(K).

Operacions amb matrius

Suma

Definicio 3.2.2. Donades dues matrius A = (aij) i B = (bij), ambA,B ∈ Mn×m(K) (es a dir, del mateix ordre) definim la suma d’aquestesdues matrius com la matriu

C = (cij) = (aij + bij)

3.2. Notacions i terminologia 65

Proposicio 3.2.1. El conjunt Mn×m(K), amb l’operacio suma, te es-tructura de grup commutatiu.

Es a dir, es verifiquen les propietats seguents.

a) Associativa: (A + B) + C = A + (B + C).

b) Commutativa: A + B = B + A.

c) Existencia d’element neutre, que es la matriu 0 (els elements de la qualson tots nuls), ja que A + 0 = A per a qualsevol matriu A ∈ Mn×m(K).Aquesta matriu rep el nom de matriu nul.la.

d) Existencia d’element simetric: donada una matriu A = (aij) ∈ Mn×m(K)existeix −A de manera que A+(−A) = 0 (en efecte, n’hi a prou a prendre−A = (−aij)).

Notacio. Donades dues matrius A, B ∈ Mn×m(K), l’operacio A+(−B)la notarem simplement per A−B.

Producte

Definicio 3.2.3. Donades dues matrius A ∈ Mn×m(K), B ∈ Mm×p(K),amb A = (aij) i B = (bij) d’ordres respectius n ×m i m × p, definim elproducte d’aquestes dues matrius per

C = (cij) =

(m∑

k=1

aikbkj

)

Proposicio 3.2.2. L’operacio producte verifica les propietats seguents.

a) Associativa: (AB)C = A(BC).

b) Distributiva respecte de la suma: A(B +C) = AB +AC, (A+B)C =AC + BC.

c) En el cas n = m, existeix element unitat, que es la matriu In = (δij)amb δij = 0 si i 6= j i δii = 1, ja que AIn = InA = A per a qualsevolmatriu A ∈ Mn(K). La matriu In ∈ Mn(K) rep el nom de matriuidentitat d’ordre n. A vegades, i si no hi ha posibilitat de confusio, esdenota simplement per I.

Remarca. En el cas n = m i, ates que donades dues matrius qualssevolsempre es pot obtenir el seu producte, tenim que Mn(K) es un anell ambunitat.


Remarca. L’operacio producte no es commutativa. En realitat, siA ∈ Mn×m(K) i B ∈ Mm×p(K) podem efectuar el producte AB peroel producte BA pot efectuar-se nomes si n = p. En el cas de dues ma-trius quadrades A,B del mateix ordre es poden efectuar els productesAB i BA, pero les matrius aixı obtingudes no tenen per que coincidir.En efecte, podem considerar les matrius

A =(1 1 1

) ∈ M1×3(R), B =

1 00 11 4

∈ M3×2(R)

Podem fer el producte AB,

AB =(1 1 1

)

1 00 11 4

=

(2 5

)

pero no es possible efectuar el producte BA.

En el cas de dues matrius quadrades, considerem, per exemple,

A =

(1 12 1

), B =

(1 00 2

)

En aquest cas existeixen AB i BA pero aquests productes son dues ma-trius diferents:

AB =

(1 12 1

)(1 00 2

)=

(1 22 2

)

BA =

(1 00 2

)(1 12 1

)=

(1 14 2

)

Remarca. Es possible que, sense que ni A ni B siguin matrius nul.les, elproducte AB o BA (o ambdos, en el cas en que tinguin sentit) siguin lamatriu nul.la. Diem aleshores que les matrius A i B son divisors de zero.

Com a exemples, podem considerar els seguents.

(1 1 00 0 0

)

1 −2−1 23 −5

=

(0 00 0

)

(1 2 3

) (2 −2−1 1

)=

(0 0

)


(1 11 1

)(1 −1−1 1

)=

(1 −1−1 1

)(1 11 1

)=

(0 00 0

)

Observem tambe que, sense ser A = B, pot ser AC = BC:

(1 −10 0

)(1 11 1

)=

(0 01 −1

)(1 11 1

)=

(0 00 0

)

i CA = CB:(

1 11 1

)(1 −10 0

)=

(1 11 1

)(0 01 −1

)=

(1 −11 −1

)

Aixı doncs, no es valida la “llei de simplificacio”.

Producte per un escalar

Donada una matriu A = (aij) ∈ Mn×m(K) i un element qualsevol del cosλ ∈ K definim el producte de l’escalar λ per la matriu A de la maneraseguent:

λ(aij) = (λaij)

Remarca. Sigui A ∈ Mn×m(K). Aleshores

λA = (λIn)A = A(λIm)

Les matrius de la forma λIn reben el nom de matrius escalars.

Proposicio 3.2.3. L’operacio producte per escalars de K verifica lespropietats seguents.

a) Associativa: λ(µA) = (λµ)A.

b) Distributiva respecte de la suma de matrius: λ(A + B) = λA + λB.

c) Distributiva respecte de la suma d’escalars: (λ + µ)A = λA + µA.

d) 1 · A = A.

El conjunt Mm×n(K) amb les operacions suma i producte per escalars deK te estructura d’espai vectorial sobre K.

Alguns tipus especials de matrius


Definicio 3.2.4. Anomenarem matriu triangular superior a una matriuA = (aij) tal que aij = 0 per a tot i > j.

Anomenarem matriu triangular inferior a una matriu A = (aij) tal queaij = 0 per a tot i < j.

Anomenarem matriu diagonal a una matriu A = (aij) tal que aij = 0 pera tot i 6= j.

Anomenarem matriu estrictament triangular superior a una matriu A =(aij) tal que aij = 0 per a tot i ≥ j.

Anomenarem matriu estrictament triangular inferior a una matriu A =(aij) tal que aij = 0 per a tot i ≤ j.

Exemple 3.2.3. Considerem les matrius

A1 =

0.3 2.2 4.20 1.01 4.90 0 1

, A2 =

1 0 02.4 9.1 00.9 2 8.1

, A3 =

0.3 0 00 1.01 00 0 1

,

A4 =

0 0.01 2.10 0 20 0 0

, A5 =

0 0 02.4 0 00.9 2 0

La matriu A1 es triangular superior, la matriu A2 es triangular inferior,la matriu A3 es diagonal, la matriu A4 es estrictament triangular superiori la matriu A5 es estrictament triangular inferior.

Les matrius escalars son casos especials de matrius diagonals.

Transposicio

Definicio 3.2.5. Donada una matriu A = (aij) ∈ Mn×m(K), s’anomenamatriu transposada d’A (i la notarem per At) a la matriu definida de laforma

At = (aji) ∈ Mm×n(K)

Es a dir, At es la matriu que s’obte a partir d’A canviant files percolumnes.

Exemple 3.2.4. Donada la matriu

A =

(1 1 00 1 2

)∈ M2×3(K),


la seva transposada es la matriu

At =

1 01 10 2

∈ M3×2(K)

Exemple 3.2.5. Si v es un vector fila(v1 . . . vn

) ∈ M1×m(K) la seva

transposada es un vector columna, vt =

v1...

vn

∈ Mm×1(K). Recıprocament,

la transposada d’un vector columna es un vector fila.

Les propietats seguents son utilitzades frequentment.

Proposicio 3.2.4. Es verifiquen les igualtats seguents.

1.- (At)t = A

2.- (λA)t = λAt

3.- (A + B)t = At + Bt

4.- (AB)t = BtAt

Anem ara a restringir-nos al cas en que les matrius son quadrades, es adir, n = m. En aquest cas A i At son ambdues matrius quadrades delmateix ordre i te sentit preguntar-se si coincideixen, o be si es relacionend’alguna manera peculiar.

Definicio 3.2.6. Donada una matriu A ∈ Mn(K) direm que es simetricasi, i nomes si,

A = At.

Exemple 3.2.6. La matriu

A =

1√

2 1√2 0 −1

1 −1 2

es simetrica.


Definicio 3.2.7. Donada una matriu A ∈ Mn(K) direm que es anti-simetrica si, i nomes si,

A = −At


A =

0 1 −0.5−1 0 20.5 −2 0

es antisimetrica.

Proposicio 3.2.5. Donada una matriu A ∈ Mn(K) qualsevol, existeixenuna matriu S ∈ Mn(K) simetrica i una matriu T ∈ Mn(K) antisimetricatals que

A = S + T.

Demostracio. Considerem

S =1

2(A + At)

T =1

2(A− At)

Es facil veure que S es simetrica, T es antisimetrica i A = S + T .

Exemple 3.2.8. Sigui A =

(2 31 5

). Es te A = S + T amb

S =

(2 22 5

), i T =

(0 1−1 0

).

Tambe es facil comprovar l’afirmacio de la proposicio seguent.

Proposicio 3.2.6. Sigui A ∈ Mn×m(K) una matriu qualsevol. LlavorsS = AtA ∈ Mm(K) i R = AAt ∈ Mn(K) son matrius simetriques.

3.3. Rang d’una matriu 71

Definicio 3.2.8. Sigui A ∈ Mn(K). Es diu que A es ortogonal quan

AAt = AtA = In.


A =

0

√2

2

√2

21 0 0

0

√2

2−√

2

2

es ortogonal.

3.3 Rang d’una matriu

Donada una matriu A ∈ Mn×m(K), podem considerar el subespai vecto-rial de Kn engendrat pels m vectors columna de la matriu A i calcularla dimensio d’aquest subespai.

Exemple 3.3.1. Donada

A =

3 21 06 4

podem considerar el subespai

316

,

204

i veiem que la seva dimensio es 2.

De fet haurıem pogut considerar el subespai vectorial de Km format pelsn vectors files de la matriu A.

Exemple 3.3.2. Considerem la mateixa matriu que en l’exemple anterior.En aquest cas podem considerar el subespai

[(3 2

),(1 0

),(6 4

)]


Tambe en aquest cas podeu calcular la dimensio d’aquest subespai, iobservem que tambe es 2.

De fet, tenim el resultat seguent.

Proposicio 3.3.1. La dimensio del subespai engendrat pels vectors colum-na d’una matriu A coincideix amb la dimensio del subespai engendrat pelsvectors fila de la mateixa matriu.

Te per tant, sentit la definicio seguent.

Definicio 3.3.1. S’anomena rang de la matriu A a la dimensio del sube-spai vectorial engendrat per les columnes (o files) d’A. El denotarem perrg A.

3.4 Transformacions elementals d’una ma-

triu

Presentem a continuacio una eina molt util per a calcular el rang d’unamatriu, aixı com per a trobar inverses de matrius invertibles i tambe pera resoldre sistemes d’equacions lineals.

Transformacions elementals de files

Sigui A una matriu de Mn×m(K). Notarem per

1. T ij(A) la matriu que resulta de permutar les files i i j d’A.

Exemple 3.4.1.

A =

1 1 12 3 49 8 75 5 5

, T 24(A) =

1 1 15 5 59 8 72 3 4

2. T λ·i(A) la matriu que resulta de multiplicar la fila i-esima d’A perun escalar λ 6= 0.

3.4. Transformacions elementals d’una matriu 73

Exemple 3.4.2.

A =

1 1 12 3 49 8 75 5 5

, T 3·2(A) =

1 1 16 9 129 8 75 5 5

3. T i+λj(A) la matriu que resulta de sumar a la fila i la fila j multi-plicada per λ.

Exemple 3.4.3.

A =

1 1 12 3 49 8 75 5 5

, T 1+3·2(A) =

7 10 132 3 49 8 75 5 5

Cadascuna de les matrius anteriors direm que s’ha obtingut a partir dela matriu A mitjancant una transformacio elemental de files.

Transformacions elementals de columnes

Sigui A una matriu de Mn×m(K). Notarem per

1. Tij(A) la matriu que resulta de permutar les columnes i i j d’A.

Exemple 3.4.4.

A =

1 1 12 3 49 8 75 5 5

, T23(A) =

1 1 12 4 39 7 85 5 5

2. Tλ·i(A) la matriu que resulta de multiplicar la columna i-esima d’Aper un escalar λ 6= 0.

Exemple 3.4.5.

A =

1 1 12 3 49 8 75 5 5

, T3·2(A) =

1 3 12 9 49 24 75 15 5


3. Ti+λ·j(A) la matriu que resulta de sumar a la columna i la columnaj multiplicada per λ.

Exemple 3.4.6.

A =

1 1 12 3 49 8 75 5 5

, T1+3·2(A) =

4 3 111 9 433 24 720 15 5

Cadascuna de les matrius anteriors direm que s’ha obtingut a partir dela matriu A mitjancant una transformacio elemental de columnes.

A una matriu A se li poden aplicar un nombre finit de transformacionselementals tant de files com de columnes, obtenint aixı una matriu A′.Ho notarem A ∼ A′.

Si volem precisar els tipus de transformacions realitzades notaremf∼ per

a transformacions de files ic∼ per a transformacions de columnes:

Af∼ A1

f∼ . . .f∼ Ar

c∼ Ar+1c∼ . . .

c∼ A′.

Exemple 3.4.7.

A =

1 4 12 0 11 0 0

f∼ A1 =

1 0 02 0 11 4 1

c∼ A2 =

1 0 02 1 01 1 4

Anem a veure que efectivament les transformacions elementals son unaeina per a calcular el rang d’una matriu.

Proposicio 3.4.1. Sigui {v1, . . . , vm} un conjunt format per m vec-tors d’un espai vetorial E dels quals les seves coordenades en una base(u1, . . . , un) d’E determinen les columnes de la matriu A ∈ Mn×m(K).Aleshores les columnes de les matrius T ij(A), T λ·i(A), T i+λ·j(A) son lescoordenades de la mateixa famılia de vectors en les bases

(u1, . . . , uj, . . . , ui, . . . , un), (u1, . . . ,1

λui, . . . , un), i (u1, . . . , ui, . . . , uj −

λui, . . . , un), respectivament.


Exemple 3.4.8. Siguin v1, v2, dos vectors d’R3 les coordenades dels qualsen la base canonica (e1, e2, e3) son (3, 2, 1), (4, 0, 2). Les coordenadesd’aquests vectors en la base (e3, e2, e1) les obtenim fent

A =

3 42 01 2

, T 13(A) =

1 22 03 4

Les coordenades dels vectors en la nova base son, doncs, (1, 2, 3) i (2, 0, 4),respectivament.

Proposicio 3.4.2. Sigui A ∈ Mm×n(K) i A′ una matriu deduıda d’Aper transformacions elementals de files. Aleshores, si v1, . . . , vn son elsvectors columna de la matriu A i v′1, . . . , v′n son els vectors columna dela matriu A′, les columnes vi1 , . . . , vip son linealment independents si, inomes si, les columnes corresponents v′i1 , . . . , v

′ip de la matriu A′ tambe

ho son.

Corol.lari 3.4.1. En particular, r columnes de la matriu A son base delsubespai vectorial engendrat pels vectors columna d’A si, i nomes si, les rcolumnes corresponents de la matriu A′ son base del subespai engendratper les columnes d’A′.

Corol.lari 3.4.2. Sigui A′ una matriu obtinguda d’A per transforma-cions elementals de files. Aleshores

rang A = rang A′

Les transformacions elementals de columnes tampoc no alteren el rangd’una matriu. Per aixo nomes cal tenir en compte la proposicio seguent.

Proposicio 3.4.3. El subespai engendrat per n vectors v1, . . . , vn d’Rm

coincideix amb el subespai engendrat per

a) {v1, . . . , vj, . . . , vi, . . . , vn}.b) {v1, . . . , λvi, . . . , vn}c) {v1, . . . , vi + λvj, . . . , vn}.


Corol.lari 3.4.3. Si A′ es una matriu obtinguda d’A per transformacionselementals de columnes, aleshores

rang A = rang A′

Exemple 3.4.9. Anem a calcular el rang de la matriu

A =

1 2 1 13 1 2 04 3 3 1

Fent transformacions elementals de files tenim

Af∼

1 2 1 10 −5 −1 −34 3 3 1

f∼

1 2 1 10 −5 −1 −30 −5 −1 −3

f∼

1 2 1 10 −5 −1 −30 0 0 0

=A′

Clarament rangA′ = 2 i, per tant, rang A = 2.

Tambe haguessim pogut obtenir el rang d’A fent transformacions ele-mentals de columnes:

Ac∼

1 0 1 13 −5 2 04 −5 3 1

c∼

1 0 0 13 −5 −1 04 −5 −1 1

c∼

1 0 0 03 −5 −1 −34 −5 −1 −3

= A′′

Clarament rangA′′ = 2 i, per tant, rang A = 2.

O tambe podem fer transformacions elementals tant de files com decolumnes. Aixı podem veure que

A ∼ . . . ∼

1 0 0 00 1 0 00 0 0 0

= A′′′

En els exemples anteriors, mitjancant transformacions elementals, hemreduıt la matriu A donada a una matriu a una matriu esglaonada.

Definicio 3.4.1. Direm que una matriu R ∈ Mn×m(K) es r-esglaonadaper files si te la forma seguent:

R =

0 . . . 0c1^? . . .

c2^· . . .cr^· . . .

0 . . . 0 0 . . . ? . . . · . . .· . . . · · . . . · . . . · . . .0 . . . 0 0 . . . 0 . . . ? . . . (r0 . . . 0 0 . . . 0 . . . 0 . . .· . . . · · . . . · . . . · . . .0 . . . 0 0 . . . 0 . . . 0 . . .


on 1 ≤ c1 < c2 < . . . < cr ≤ n indiquen les columnes on es troben les ?,r es l’ultima fila no nul.la, els elements denotats per ? son no nuls i elssituats a l’esquerra de cada ? en una mateixa fila i per sota de la fila rson nuls.


0 1 2 1 3 10 0 0 1 0 20 0 0 0 4 10 0 0 0 0 0

es 3-esglaonada per files. En aquest cas, r = 3, c1 = 2, c2 = 4 i c3 = 5.

Proposicio 3.4.4. Si R es una matriu r-esglaonada per files, les columnesc1, . . . , cr son base del subespai vectorial engendrat per les columnes de lamatriu.

Proposicio 3.4.5. Sigui A una matriu, que mitjancant transformacionselementals per files s’ha reduıt a una matriu del tipus R (esglaonada perfiles). Aleshores, les columnes c1, . . . , cr de la matriu A son base delsubespai vectorial engendrat per les columnes de la matriu.

Donada una matriu A, en fer-li transformacions elementals de files nos’altera el seu rang. Aixı doncs, si un element aij es no nul, restant a

la fila k-esima, k > i, la fila i-esima multiplicada perakj

aij

tindrem una

matriu del mateix rang en la qual l’element que esta en el lloc (k, j) esnul.

Repetint aquesta operacio, que anomanarem pivotatge per files, al voltantdels elements no nuls, i, si conve, reordenant les files, tenim la proposicioseguent.

Proposicio 3.4.6. Sigui A una matriu de Mn×m(K). Aleshores A terang r si, i nomes si, A es pot transformar mitjancant transformacionselementals de files en una matriu r-esglaonada per files.

Remarca. Observem que la matriu esglaonada en que podem trans-formar una matriu A donada, mitjancant transformacions elementals defiles, no es unica.


Exemple 3.4.11. Les matrius

A1 =

1 1 00 2 40 0 4

, A2 =

1 1 00 1 20 0 1

, A3 =

1 0 00 1 00 0 1

son 3-esglaonades per files de la matriu

A =

1 1 01 3 41 1 4

Analogament, tenim la definicio de matriu esglaonada per columnes.

Definicio 3.4.2. Direm que una matriu es r-esglaonada per columnes site la forma seguent:

0 0 . . .r^

0 . . . 0...

......

...0 0 . . . 0 . . . 0

f1) ? 0 . . . 0 . . . 0...

......

...f2) · ? . . . 0 . . . 0

......

......

fr) · · . . . ? . . . 0...

... . . .... . . .

...

on 1 ≤ f1 < f2 < . . . < fr ≤ n indiquen les files on es troben les ?,r es l’ultima columna no nul.la, els elements notats per ? son no nuls iels situats damunt de cada ? en una mateixa columna i a la dreta de lacolumna r son nuls.


0 0 0 01 0 0 02 0 0 03 1 0 00 2 1 0

es 3-esglaonada per columnes. En aquest cas, r = 3, f1 = 2, f2 = 4 if3 = 5.


Obviament, la transposada d’una matriu r-esglaonada per files es r-esglaonada per columnes i recıprocament. Tenim doncs, resultats pera matrius esglaonades per columnes analegs als enunciats per a matriusesglaonades per files.

Proposicio 3.4.7. Si R es una matriu r-esglaonada per columnes, lesfiles f1, . . . , fr, son base del subespai vectorial engendrat per les files dela matriu.

Proposicio 3.4.8. Sigui A una matriu, que mitjancant transformacionselementals per columnes s’ha reduıt a una matriu del tipus R (esglaonadaper columnes). Aleshores, les files f1, . . . , fr de la matriu A son base delsubespai vectorial engendrat per les files de la matriu.

Donada una matriu A, en fer-li transformacions elementals de columnesno s’altera el seu rang. Aixı doncs, si un element aij es no nul, restant

a la columna k-esima, k > j, la columna j-esima multiplicada peraik

aij

tindrem una matriu del mateix rang en la qual l’element que esta en ellloc (i, k) es nul.

Repetint aquesta operacio, que anomenarem pivotatge per columnes, alvoltant dels elements no nuls i, si conve, reordenant les seves columnes,tenim la proposicio seguent.

Proposicio 3.4.9. Sigui A una matriu de Mn×m(K). Aleshores A terang r si, i nomes si, A es pot transformar mitjancant transformacionselementals de columnes en una matriu r-esglaonada per columnes.

Finalment podem concloure amb la proposicio seguent.

Proposicio 3.4.10. Sigui A una matriu de Mn×m(K). Aleshores

rangA = rangAt.

Remarca. Les transformacions elementals per files d’una matriu po-den efectuar-se multiplicant per l’esquerra aquesta matriu per determi-nades matrius anomenades matrius elementals per files que son el resultatd’aplicar les mateixes transformacions elementals a la matriu identitat:

T ij(I) = Eij, T λ·i(I) = Eλ·i, T i+λ·j = Ei+λ·j.


Analogament, les transformacions elementals per columnes d’una matriupoden efectuar-se multiplicant per la dreta aquesta matriu per determi-nades matrius, anomanades matrius elementals per columnes, que sonel resultat d’aplicar les mateixes transformacions elementals a la matriuidentitat:

Tij(I) = Eij, Tλ·i(I) = Eλ·i, Ti+λ·j = Ei+λ·j.

Observem que tant les matrius elementals per files com les matrius ele-mentals per columnes son matrius de rang maxim.

3.5 Inversa d’una matriu

Definicio 3.5.1. Sigui A ∈ Mn×m(K). Si existeix una matriuB ∈ Mm×n(K) tal que

AB = In ∈ Mn(K)

es diu que la matriu B es una inversa per la dreta d’A. Si existeix unamatriu C ∈ Mm×n(K) tal que

CA = Im ∈ Mm(K)

es diu que la matriu C es una inversa per la esquerra d’A.

En el cas en que A es una matriu quadrada, si existeix inversa per ladreta existeix tambe per l’esquerra i ambdues coincideixen. En tal cas esdiu que la matriu A es invertible (o tambe regular) i a una tal matriu se ladenomina la inversa d’A, que notarem per A−1 (es immediat comprovarque es unica).


A =

(1 −1 00 1 1

)

te, com inversa per la dreta, la matriu

B =

1 00 00 1

ja que AB = I2. Mes precisament, qualsevol matriu de la forma

Bλ,µ =

1 + λ µλ µ−λ 1− µ

3.5. Inversa d’una matriu 81

amb λ, µ ∈ R qualssevol, es una inversa per la dreta de la matriu A. Enparticular, les inversas per la dreta no son necessariament uniques. Elmateix passa amb les inverses per l’esquerra.

Observeu que la matriu A no te cap inversa per l’esquerra ja que no hiha cap C ∈ M3×2(R) tal que CA = I3.

El resultat que enunciem a continuacio determina les matrius que soninvertibles.

Proposicio 3.5.1. Les matrius quadrades de rang maxim son les uniquesmatrius invertibles.

Exemple 3.5.2. Les matrius elementals (tant per files com per columnes)son invertibles.

Proposicio 3.5.2. Si A ∈ Mn(K) es una matriu invertible, aleshores esverifiquen les propietats seguents.

1.- (A−1)−1 = A.

2.- Si B es tambe una matriu invertible, (AB)−1 = B−1A−1.

3.- Sigui λ ∈ K, λ 6= 0. Aleshores (λA)−1 =1

λA−1.

4.- (At)−1

= (A−1)t.

Demostracio. Comprovem per exemple 2):

(B−1A−1)(AB) = B−1(A−1A)B = B−1InB = B−1B = In.

Si una matriu es invertible, mitjancant transformacions elementals defiles es pot reduir a la matriu identitat. Ates que aquestes transforma-cions corresponen a multiplicar per matrius elementals la matriu donada,tenim que, si denotem per Ep, . . . , E1 aquestes matrius elementals perl’esquerra,

Ep . . . E1A = I

d’on E = Ep . . . E1 = A−1. Tenim doncs, una manera practica d’obtenirla matriu inversa d’una matriu invertible. Anem a veure-ho amb unexemple.


Exemple 3.5.3. Sigui la matriu

A =

1 4 80 1 2−1 2 3

Juxtaposem la matriu A i la matriu identitat I,

1 4 8... 1 0 0

0 1 2... 0 1 0

−1 2 3... 0 0 1

= A

Ara fem les transformacions elementals de files, necessaries per a convertirA en I. Una vegada acabat el proces la matriu que apareix en el lloc queocupava la matriu I es la matriu A−1 inversa de A:

Af∼

(a)

1 4 8... 1 0 0

0 1 2... 0 1 0

0 6 11... 1 0 1

f∼(b)

1 4 8... 1 0 0

0 1 2... 0 1 0

0 0 1... −1 6 −1

f∼(c)

1 4 8... 1 0 0

0 1 0... 2 −11 2

0 0 1... −1 6 −1

f∼(d)

1 4 0... 9 −48 8

0 1 0... 2 −11 2

0 0 1... −1 6 −1

f∼(e)

1 0 0... 1 −4 0

0 1 0... 2 −11 2

0 0 1... −1 6 −1

Per tant,

A−1 =

1 −4 02 −11 2−1 6 −1

(a) A la tercera fila de A li sumem la primera, obtenint A1.

(b) A la tercera fila de A1 multiplicada per −1 li sumem sis vegades lasegona d’A1 obtenint A2.

3.6. Sistemes d’equacions lineals 83

(c) A la segona fila de A2 li restem dues vegades la tercera d’A2, obtenintA3.

(d) A la primera fila de A3 li restem vuit vegades la tercera, obtenint A4.

(e) A la primera fila de A4 li restem quatre vegades la segona.

3.6 Sistemes d’equacions lineals

Un sistema d’equacions lineals es un conjunt d’igualtats de la forma

a11x1 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + . . . + a2nxn = b2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1x1 + . . . + amnxn = bn

(3.1)

on aij i bi, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m son elementes donats de K. Sib1 = . . . = bm = 0 el sistema rep el nom de sistema homogeni.

Definicio 3.6.1. Els termes x1, . . . , xn son les incognites del sistema.

Cada n-pla (x01, . . . , x

0n) d’elements de K que verifica el conjunt d’igual-

tats anteriors s’anomena una solucio del sistema.

Observem que si el sistema es homogeni, la n-pla (0, . . . , 0) verifica elsistema. Per tant, si el sistema es homogeni sempre te (almenys) unasolucio.

Definicio 3.6.2. Quan un sistema te (almenys) una solucio, direm queel sistema es compatible. I si no hi cap n-pla d’elements de K que siguisolucio, direm que el sistema es incompatible.

Es tracta d’estudiar quan un sistema te solucio, i en cas de tenir-ne, sies unica (sistema compatible determinat) o no (sistema compatible inde-terminat).

Exemple 3.6.1. Considereu els sistemes d’equacions lineals

x1 + x2 = 4x1 − x2 = 0

}(1)

2x1 + 4x2 = 4x1 + 2x2 = 2

}(2)

El sistema (1) es compatible determinat i l’unica solucio es (x1, x2) =(2, 2). En canvi, el segon sistema es compatible indeterminat ja quequalsevol parella (x1, x2) amb x1 = 2− 2x2 n’es solucio.


Anem a donar un criteri per determinar si un sistema te solucio. Denotem

A=

a11 . . . a1n...

...am1 . . . amn

, x=

x1...

xn

, b=

b1...

bm

, A=

a11 . . . a1n b1...

......

am1 . . . amn bn

,

Aixı, el sistema el podem escriure en forma matricial:

Ax = b

Teorema 3.6.1 (Rouche-Frobenius). Sigui Ax = b un sistema lineald’equacions.

i) Si rg A = rg A = n = nombre d’incognites, el sistema te soluciounica.

ii) Si rg A = rg A < n = nombre d’incognites, el sistema te infinitessolucions.

iii) Si rang A 6= rang A el sistema no te solucio.

Remarca. Si la matriu A del sistema es quadrada, el sistema es com-patible determinat si, i nomes si, la matriu A es invertible. En aquestcas, la solucio del sistema es:

x = A−1b

En general es facil, utilitzant transformacions elementals, determinar siun sistema es, o no, compatible i, en cas afirmatiu, trobar la solucio o elconjunt de solucions en cas de ser compatible indeterminat.

Observem que, donat un sistema Ax = b, i el que resulta en multiplicaraquest per l’esquerra per una matriu elemental E, EAx = Eb, ambdos obe tenen el mateix conjunt de solucions o be ambdos son incompatibles.

D’altra banda, observem que

Ax = (AEij)(Eijx)

Per tant, si fem permutacions de columnes a la matriu A, aquestes escompensen fent les permutacions de files corresponents a la matriu x.

3.6. Sistemes d’equacions lineals 85

Passem ara a trobar el conjunt de solucions d’un sistema (compatible).A la matriu A podem fer-li transformacions elementals de files i permuta-cions de columnes fins a reduir-la a una matriu del tipus

(Ir T c1

0 0 c2

)

on r es el rang de la matriu A i

(c1

c2

)es el resultat de reduir la matriu b.

Si c2 6= 0, rang A 6= rang A i, per tant el sistema es incompatible.

Si c2 = 0, el sistema, despres de fer les transformacions elementals, es:

(Ir T0 0

)(x1

x2

)=

(c1

0

)amb

(x1

x2

)= x

d’on deduım que el conjunt de solucions es

x =

(c1 − Tx2

x2

)

Exemple 3.6.2. Considerem el sistema d’equacions lineals

x1 + x2 + x3 = 3x1 + x2 + 2x3 = 5

3x1 + 3x2 + 5x3 = 13

Per a estudiar si te solucio, fem transformacions elementals per files a lamatriu A:

1 1 1... 3

1 1 2... 5

3 3 5... 13

f∼

1 1 1... 3

0 0 1... 2

0 0 2... 4

f∼

1 1 0... 1

0 0 1... 2

0 0 0... 0

Veiem que el sistema es compatible indeterminat. Calculem el conjuntde solucions fent una permutacio de columnes

1 0 1... 1

0 1 0... 2

0 0 0... 0


El sistema donat es equivalent a

1 0 10 1 00 0 0

x1

x3

x2

=

120

i, per tant, el conjunt de solucions es

x1 = 1− x2

x2 = x2

x3 = 2

3.7 Aplicacio 1

Calcul de la dimensio d’un subespai

Podem utilitzar el que hem vist fins ara per a obtenir una base del sube-spai engendrat per un conjunt finit de vectors i, per tant, calcular la sevadimensio.

Sigui E un espai vectorial de dimensio finita i (u1, . . . , un) una base d’E.Sigui F un subespai engendrat pels vectors v1, . . . , vp. Si R es una matriur-esglaonada obtinguda a partir de la matriu A on les seves columnes sonles coordenades dels vectors vi en la base donada, els vectors vc1 , . . . , vcr

determinen una base d’F .

Exemple 3.7.1. Siguin v1 = (1, 1, 1, 2), v2 = (2, 2, 2, 4), v3 = (3, 4, 1, 6) elsgeneradors d’un subespai vectorial d’R4. Aleshores esglaonant la matriu

A =

1 2 31 2 41 2 12 4 6

f∼

c1^

1 2

c2^

30 0 10 0 −20 0 0

= R

podem concloure que v1, v3 formen una base del subespai vectorial.

3.8. Aplicacio 2 87

3.8 Aplicacio 2

Equacions que defineixen un subespai vectorial

Donat un subespai vectorial F d’un espai vectorial E, les equacions quedefineixen aquest subespai son aquelles que relacionen entre elles les com-ponents, en una certa base d’E, dels vectors d’aquest subespai (formenun sistema d’equacions lineal i homogeni).

Si {v1, . . . , vm} es un sistema de generadors d’un subespai vectorial Fd’E, posant A a la matriu, els vectors columna de la qual son les com-ponents d’aquests vectors en una base (u1, . . . , un) d’E, i anomenant Ba la matriu obtinguda afegint a A una darrera columna constituıda perles components x1, . . . , xn, d’un vector x d’E, aleshores:

x ∈ F ⇐⇒ rg A = rg B .

En imposar aixo, si esglaonem la matriu B, obtenim les relacions quehan de complir les components x1, . . . , xn d’x per tal que aquest vectorsigui d’F . Aquestes relacions entre components son les equacions quedeterminen el subespai vectorial F .

Remarca. Diferents sistemes d’equacions lineals i homogenis podendefinir el mateix subespai vectorial. Si el nombre d’equacions (lineal-ment independents) que defineixen un subespai F es m, llavors:

dim F = dim E −m.

Exemple 3.8.1. Determinem les equacions del subespai F d’R4 generatper la famılia de vectors seguents:

{(1, 1, 0,−1), (0, 1, 0, 2)}Un vector x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 pertany a F si i nomes si:

rg

1 01 10 0−1 2

= rg

1 0 x1

1 1 x2

0 0 x3

−1 2 x4

El rang de la primera matriu es 2. En imposar que el rang de la segonamatriu sigui tambe 2, trobem les equacions que busquem.

1 0 x1

1 1 x2

0 0 x3

−1 2 x4

f∼

1 0 x1

0 1 x2 − x1

0 0 x3

0 0 3x1 − 2x2 + x4


Es a dir,

F = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | 3x1 − 2x2 + x4 = x3 = 0} .

3.9 Apendix

Inversa generalitzada de Moore-Penrose

Donada una matriu A ∈ Mn×m(R), s’anomena matriu inversa de Moore-Penrose d’A a una matriu d’ordre m×n (qu’escriurem A+) que verifica:

1.- AA+A = A

2.- A+AA+ = A+

3.- (AA+)t = AA+

4.- (A+A)t = A+A

Proposicio 3.9.1. Sigui A ∈ Mn×m(R) una matriu qualsevol. Aleshoresexisteix una unica matriu A+ ∈ Mm×n(R) que compleix les quatre condi-cions anteriors.

Demostracio. Sigui r = rg A. Aleshores existeixen P ∈ Mn(R) i Q ∈Mm(R) matrius invertibles tals que

A = P

(Ir 00 0

)Q

Partint les matrius P i Q segons la particio de la matriu

(Ir 00 0

)tenim

que

A =(P11 P12

) (Ir 00 0

)(Q11

Q21

)= P11Q11

Observem que P11 i Q11 son matrius de rang r. Per tant, P t11P11 i Q11Q

t11

son matrius invertibles d’ordre r. Es facil comprovar que la matriu

Qt11(Q11Q

t11)

−1(P t11P11)

−1P t11

verifica les quatre condicions donades en la definicio.


Remarca. Si A ∈ Mn(R) es una matriu invertible, Aleshores A+ = A−1.

En el cas en que la matriu A te rang maxim es facil obtenir la matriuA+, segons es veu en el resultat seguent.

Proposicio 3.9.2. Sigui A ∈ Mn×m(R) una matriu que te rang maxim.Aleshores,

(a) si n ≥ m, A+ = (AtA)−1At.

(b) si n ≤ m, A+ = At(AAt)−1.

Exemple 3.9.1. Sigui

A =

1 21 21 2

La inversa de Moore-Penrose de la matriu A ve donada per

A+ =1

15

(1 1 12 2 2

).


Obtencio de l’equacio de Michaelis-Menten

Suposem que tenim un enzim E que catalitza la reaccio S −→ P i queconeixem la seva concentracio total. L’enzim s’uneix al substrat S demanera reversible per generar el complex ES. Aquest complex llibera elproducte P de manera irreversible, obtenint-se de nou l’enzim lliure:

E + S

k1

⇀↽k−1

ES

ESk2

→ E + P

Suposem que la concentracio [ES] es constant al llarg del temps: d[ES]dt

=0. Aleshores es pot procedir de la forma seguent.

0 =d[ES]

dt= k1[E][S]− (k−1 + k2)[ES]


A mes, [ET ] = [E] + [ES].

Tenim aixı un sistema lineal de dues equacions amb dues incognites: [E]i [ES]:

{k1[S][E]− (k−1 + k2)[ES] = 0

[E] + [ES] = [ET ]

Resolent-lo trobem que

[ES] =k1[S][ET ]

k1[S] + (k−1 + k2)

Interessa coneixer la velocitat de la reaccio. Si suposem que la segonaequacio es la limitant, la velocitat seria v = k2[ES], es a dir,

v =k2k1[S][ET ]

k1[S] + (k−1 + k2)=

k2[S][ET ]

[S] + k−1+k2

k1

La constant kM = k−1+k2

k1es l’anomenada constant de Michaelis-Menten.

La maxima velocitat que es pot aconseguir es quan [ES] = [ET ]. Llavors:vmax = k2[ET ]. Aixı s’obte l’expressio:

v =vmax[S]

[S] + km

anomenada equacio de Michaelis-Menten.

Aquest raonament es pot aplicar a altres tipus de mecanismes de cineticaquımica enzimatics o no-enzimatics.


Les matrius son una eina molt adequada per a emmagatzemar informacio.

A mes, per a la resolucio de molts problemes les matrius han esdevingutuna eina molt util, ja que permeten expressar les relacions entre les difer-entes variables involucrades d’una forma clara i concisa.

Gracies a l’us de la notacio matricial, es poden arribar a conclusions qued’altre forma no resultarien evidents.

Els sistemes lineals d’equacions s’utilitzen per a la resolucio de circuitsamb elements lineals, en economia (descripcio de les relacions entre preus,produccio i demanda, de sistemes economics, com el de Leontief), etc.

3.12. Exercicis 91

Les matrius son tambe un instrument fonamental en l’estudi de les aplica-cions lineals entre espais vectorials, que son els objectes dels que tractaremen el capıtol seguent.

3.12 Exercicis

1. Donades les matrius

A =(

3 2 2 19 4 3 2

), B =

−1 0 3 74 1 0 32 1 0 3

C =(

0 5 00 4 1

), D =

(−3 5 −28 4 −1

)

Calculeu A + (C + D)B. Es possible calcular AtC + DB? IABt + Dt?


A =

8 −5 −138 −4 −294 −1 −6

, B=

0.8 −0.5 −1.30 −1.4 −2.9

0.2 1.1 3.20.4 −1 −6

,

C =

0.8 −0.5 −1.3 2.40 −1.4 −2.9 −2.1

0.2 1.1 3.2 −1.1

reduıu-les a una forma esglaonada

a) per files.

b) per columnes.

3. Calculeu el rang de les matrius seguents:

A =

1 1 2 10 1 0 11 2 2 3

, B =

0.1 0.2 0.3 0.40.2 0.3 0.4 0.50.3 0.4 0.5 0.6

C =

1 −1 21 1 10 1 12 0 3

, D =

1 12

13

14

12

13

14

15

12

16

112

120

14

16

18

110


4. Estudieu quines de les matrius seguents son invertibles:

A =

1 −1 20 1 01 1 −1

, B =

1 −1 2 01 1 −1 20 1 −1 1−1 3 −4 2

, C =

4 1 −1 00 1 −1 21 1 1 −10 1 1 −1

5. Discutiu per a quins valors de la constant a ∈ R, la matriu

1 0 1 00 1 1 02 1 3 1a 2 1 0

es invertible, i trobeu en aquests casos la seva inversa.

6. Calculeu les inverses de les matrius:

A =

1 1 10 1 11 2 3

, B =

0.1 0.2 0.30.2 0.3 0.50.4 0.4 0.5

C =

2 1 1 11 2 1 11 1 2 11 1 1 2

, D =

1 −1 2 30 1 1 −10 0 2 −10 0 1 1

7. Sigui A una matriu triangular superior (inferior) invertible. Proveuque A−1 es triangular superior (inferior).

8. Calculeu (0 10 0

)2

.

Deduıu d’aquı An, on A es la matriu

A =

(a b0 a

); a, b ∈ R qualssevol.

9. Sigui A ∈ Mn(K) una matriu estrictament triangular superior (in-ferior). Proveu que An = 0.

10. Es diu que una matriu A ∈ M3(R) es magica si en sumar elselements de cada fila, de cada columna, de la diagonal principal, ide la diagonal secundaria s’obte sempre el mateix valor. Construıutotes les matrius magiques simetriques.

3.12. Exercicis 93

11. Es defineix traca d’una matriu quadrada A ∈ Mn(K) i notaremtr A, a la suma dels elements de la diagonal principal; es a dir,si A = (aij), tr A = a11 + . . . + ann. Aixı, per exemple, si A ∈M2(K), tr A = a11 + a22. Sigui S ∈ Mn(K) invertible. Proveu quetr (S−1AS) = tr A.

12. Trobeu la inversa de la matriu

A =

1 1 11 α 11 1 2

segons els diferents valors d’α ∈ R.

13. Sigui S ∈ Mn(C) una matriu invertible. Proveu que la matriu1

2

(S−1 S−1

S−1 −S−1

)es la inversa de la matriu X =

(S SS −S

).

14. Discutiu i resoleu en R el sistema:

3x + 2y + 5z = 1

4x + 3y + 6z = 2

5x + 4y + 7z = 3

6x + 5y + 8z = 4

15. Determineu el valor de λ per a que el sistema

x + y + z = 22x + 3y − z = 2

3x + 4y = λ

sigui compatible i doneu el conjunt de solucions per a aquest valorde λ.

16. Resoleu segons els valors de a, b, c, d ∈ R el sistema seguent:

x + 2y + 3z + 4t = a

2x + 3y + 4z + t = b

3x + 4y + z + 2t = c

4x + y + 2z + 3t = d


17. Resoleu en C el sistema de equacions:

x + y + z = a

x + wy + w2z = b

x + w2y + wz = b

sabent que w es una arrel cubica de la unitat.

18. Considereu el sistema AX = B, essent

A =

1 2 a−1 3 a1 4 a

, B =

1 a1 b1 c

Discutiu el sistema segons els diferents valors de les constantsa, b ∈ R. Trobeu, en els casos en que sigui possible, el conjunt desolucions.

19. Proveu que si els sistemes AX = B i XA = C tenen una soluciocomuna, aleshores es compleix BA = AC.

20. Discutiu, segons els diferents valors d’a, b ∈ R, el sistema(

1 a1 b

)X =

(0 1 00 0 1

)

i resoleu-lo en els casos en que sigui compatible.

21. Considerem les matrius de M2(R) seguents:

A =

(1 01 1

), B =

(4 44 6

), C =

(1 23 0

), D =

(−2 96 6

)

Discutiu i resoleu el sistema:

X + AY = B

X + CY = D

}

22. Determineu la dimensio dels subespais vectorials d’R4 seguents:

F1 = [(1,−1, 0, 2), (1, 1,−1, 1), (0, 2,−1,−1), (1, 1, 3,−1)]F2 = [(1, 1, 2,−1), (0, 1,−1, 2), (1, 2, 1, 1), (1, 1,−1, 0)]F3 = [(1,−1, 0, 1), (1, 1,−1, 1), (0, 2,−1, 0), (1, 3,−2, 1)]F4 = [(1, 1, 0,−1), (−2,−2, 1, 1), (3, 1, 2,−2), (2, 0, 1, 1)]

i obteniu-ne una base.

3.12. Exercicis 95

23. Estudieu quina es la dimensio dels subespais vectorials d’R5 seguents:

F1 = {(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5 | x1 − x2 + x3 = 2x4 − x5 = 0}F2 = {(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5 | 2x1 − x2 + x3 = 0}F3 = {(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5 | x1 + 2x2 = x2 + 2x3 = x3 + 2x4 = 0}F4 = {(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5 | 2x1 − x2 + 3x3 = 4x1 − x2 + 4x4 =

= 2x1 − 2x2 − 3x3 + 4x4 = 0}

24. Calculeu la dimensio dels subespais vectorials d’R[t] seguents:

F = [1− t + 2t2, 1 + t2 − t3, t4 − t5]G = [1− t, t2 − t4, 1 + t5.− t− t2 + t4 + t5]H = [2− t2, 1 + t4, 1 + t6, t2 + t4 + t6]

25. Calculeu la dimensio dels subespais vectorials d’R3[t] seguents:

F = {p(t) ∈ R3[t] | p(t) = p′(t) + 6p′′(0)t2}G = {p(t) ∈ R3[t] | p(0) =

1

2p′′(0)− 1

6p′′′(0)}

H = {p(t) ∈ R3[t] | p(0) = p′(0)− p′′(1) = 0}

26. Calculeu la dimensio dels subespis vectorials d’M2(R) seguents:

F =

[(1 −10 1

),

(4 12 0

)(1 −10 1

),

(0 52 −4

)]

G =

[(1 10 1

),

(2 1−1 1

)(0 −1−1 −1

),

(1 0−1 0

)]

27. Calculeu la dimensio dels subespais vectorials d’M3(R) seguents:

F1 = {A ∈ M3(R) | A + At = 0}F2 = {A ∈ M3(R) | trA = 0}

F3 =

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∈ M3(R)

∣∣∣∣∣∣a12 + 2a13 = 2a22 + 3a33 = 0}

28. Trobeu les equacions que defineixen els subespais vectorials d’R5

seguents:

F = [(2, 1,−1, 0, 0), (0, 1, 1,−2, 1)]

G = [(1, 3, 0, 0, 0), (1,−2, 0, 1, 0), (1, 2, 0, 3,−1)]


29. Trobeu les equacions que defineixen els subespais vectorials d’R4[t]seguents: F = [1 + 2t, t2], G = [1 + t− t2, t2 − t4, 1 + t4].

30. Determineu les equacions que defineixen els subespais vectorialsd’M2(R) seguents:

F =

[(1 −10 1

),

(2 11 −1

)(1 21 −2

)]

G =

[(1 −12 1

),

(2 10 1

)(0 3−4 −1

),

(2 −24 2

)]

31. Calculeu la inversa de Moore-Penrose de les matrius seguents:

A1 =

1 1.2−2.5 03.1 0.4

, A2 =

10−6 0.56.10−6 0.45.10−6 0.3

32. Proveu que (A+)+ = A.


A1 =

(1 0 00 0 0

), A2 =

1 00 00 0

Proveu que A+1 = A2 i A+

2 = A1.


Escriptura de matrius


> A:=Matrix([[1,2,3],[3,1,1]]);

A :=

[1 2 33 1 1

]


> B:=Matrix([[1],[2]]);

B :=

[12

]

> C:=Matrix([[1,2,-1],[3,0,1],[-1,1,1]]);

C :=

1 2 −13 0 1

−1 1 1

Operacions amb matrius

> A1:=Matrix([[4,5,6],[0,0,-2]]);

A1 :=

[4 5 60 0 −2

]

> A+A1;

[5 7 93 1 −1

]

> multiply(Matrix([[1,2],[2,2],[-1,-1]]),Matrix([[1,1],[1,-1]]);

3 −14 0

−2 0

> transpose(A);

1 32 13 1

> inverse(C);


1

12

1

4

−1

61

30

1

3−1

4

1

4

1

2

Resolucio de sistemes lineals

> LinearSolve(A,B);

3

5+

1

5t1

1

5− 8

5t1

t1

Obtencio d’una forma esglaonada per files

> ReducedRowEchelonForm(A);

1 0−1

5

0 18

5

Calcul del rang d’una matriu

> rank(A);

2

Capıtol 4

Aplicacions lineals

4.1 Introduccio

El concepte d’aplicacio lineal es, juntament amb el d’espai vectorial, fon-amental en l’algebra lineal. La seva definicio actual tambe va ser donadaper Peano.

Les aplicacions lineals juguen un paper destacat en altres branques de lamatematica, com, per exemple, la geometria analıtica (canvis de coorde-nades), en l’analisi (transformades diferencials i integrals) i en la fısica.A mes molts problemes relatius a aplicacions diverses es poden relacionaramb aplicacions lineals.

En els capıtols 6 i 7 veurem exemples concrets per als casos d’aplicacionslineals que satisfan determinades propietats.

En tot el que segueix, i si no s’indica el contrari, considerarem aplicacionsentre espais vectorials de dimensio finita.

4.2 Concepte d’aplicacio lineal

Siguin E i F dos espais vectorials sobre un mateix cos commutatiu K if : E −→ F una aplicacio.

99

100 Capıtol 4. Aplicacions lineals

Definicio 4.2.1. Es diu que f es lineal si

f(x + y) = f(x) + f(y) , ∀x, y ∈ E

f(λx) = λf(x) , ∀λ ∈ K , ∀x ∈ E

Exemple 4.2.1. Considerem l’aplicacio de R2[t] en R2[t] que ve definidaper f(p(t)) = 2p(t) + p′(0)t.

Aquesta aplicacio es lineal. En efecte. Siguin p1(t), p2(t) ∈ R2[t] quals-sevol. Per a que f sigui lineal cal que f(p1(t)+p2(t)) = f(p1(t))+f(p2(t)).

f(p1(t) + p2(t)) = 2(p1(t) + p2(t)) + (p′1(0) + p′2(0))t

D’altra banda,

f(p1(t)) + f(p2(t)) = (2p1(t) + p′1(0)t) + (2p2(t) + p′2(0)t)

= 2(p1(t) + p2(t)) + (p′1(0) + p′2(0))t

Aixı, f(p1(t) + p2(t)) = f(p1(t)) + f(p2(t)).

Siguin ara p(t) ∈ R2[t], λ ∈ R qualssevol. Si f es lineal, tambe s’ha decomplir que f(λp(t)) = λf(p(t)).

f(λp(t)) = 2(λp(t)) + (λp(0))t = λ(2p(t) + p′(0)t) = f(p(t))

Aixı doncs, tambe f(λp(t)) = λf(p(t)) i f es lineal.

En canvi, l’aplicacio g de R2[t] en R2[t] que ve definida per g(p(t)) =2+p(t)+p′(0)t no es lineal, ja que, per exemple, g(1)+g(t) = 3+(2+2t) =5 + 2t pero, en canvi, g(1 + t) = 2 + (1 + t) + t = 3 + 2t.

Exemple 4.2.2. En el cas E = Kn i F = Km qualsevol aplicaciof : Kn −→ Km del tipus

f(x1, . . . , xn) = (a11x1 + . . . + a1nxn, . . . , am1x1 + . . . + amnxn) (4.1)

amb x = (x1, . . . , xn) ∈ Kn; aij ∈ K, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, es lineal.

Quan E = F es diu que f es un endomorfisme d’E.

En general, diem que una aplicacio f : E −→ F entre dos conjunts esinjectiva si

f(x) = f(y) =⇒ x = y ∀x, y ∈ E .

4.3. Determinacio d’una aplicacio lineal 101

I que es exhaustiva si

∀ y ∈ F existeix x ∈ E tal que y = f(x)

Si es alhora injectiva i exhaustiva es diu que es bijectiva.

Si f : E −→ F es lineal i injectiva (respectivament, exhaustiva o bijec-tiva), es diu que f es un monomorfisme (respectivament, epimorfisme oisomorfisme). Si f : E −→ E es un endomorfisme bijectiu, es diu que fes un automorfisme.

Propietats elementals.

Si f : E −→ F es una aplicacio lineal, llavors:

1) f(0) = 0.

2) f(−x) = −f(x), ∀x ∈ E.

3) Si H es un subespai vectorial d’E , f(H) = {y ∈ F | ∃ x ∈H, f(x) = y} es un subespai vectorial d’F .

4) Si G es un subespai vectorial d’F , f−1(G) = {x ∈ E | f(x) ∈ G}es un subespai vectorial d’E.

4.3 Determinacio d’una aplicacio lineal

Qualsevol aplicacio lineal queda totalment determinada coneixent lesimatges dels vectors d’una base de l’espai sortida.

Proposicio 4.3.1. Tota aplicacio lineal f : E −→ F queda determinadade forma unica per les imatges dels vectors d’una base d’E.

Demostracio. En efecte, si f : E −→ F es una aplicacio lineal iu = (u1, . . . , un) es una base d’E, donat x ∈ E qualsevol, si x =x1u1 + · · ·+ xnun, en ser f lineal, sera

f(x) = x1f(u1) + · · ·+ xnf(un) .


Exemple 4.3.1. Sigui f : R3 −→ R3 una aplicacio lineal tal que f(1, 0, 1) =(1, 0, 1), f(0, 1, 0) = (2, 0, 2) i f(0,−1, 1) = (0,−1, 0). Amb aquestesdades podem calcular la imatge de qualsevol vector d’R3. Per exemple,calculem f(2,−2, 3).

Ates que el conjunt {(1, 0, 1), (0, 1, 0), (0,−1, 1)} es linealment indepen-dent i, per tant, una base d’R3, existeixen λ1, λ2, λ3 ∈ R (unics) talsque

(2,−2, 3) = λ1(1, 0, 1) + λ2(0, 1, 0) + λ3(0,−1, 1)

D’aquesta igualtat, deduım

λ1 = 2, λ2 = −1, λ3 = 1

d’on

f(2,−2, 3) = 2f(1, 0, 1) + (−1)f(0, 1, 0) + f(0, 1,−1)

= 2(1, 0, 1) + (−1)(2, 0, 2) + (0,−1, 0)

= (0,−1, 0)

Remarca. Si (u1, . . . , un) es una base d’E i considerem una famılia{v1, . . . , vn} de vectors d’F existeix una unica aplicacio lineal f : E −→ Ftal que f(ui) = vi, ∀ i, 1 ≤ i ≤ n i es la definida de la manera seguent:si x = x1u1 + . . . + xnun, llavors f(x) = x1v1 + . . . + xnvn.

Remarca. Dues aplicacions lineals f, g : E −→ F son iguals si donadauna base qualsevol de E, les imatges per f i per g dels vectors d’aquestabase son les mateixes.

Les imatges dels vectors d’una base de l’espai de sortida per una aplicaciolineal f : E −→ F determinen el caracter d’aquesta aplicacio.

Proposicio 4.3.2. Sigui (u1, . . . , un) una base d’E i sigui f : E −→ Funa aplicacio lineal. Aleshores:

a) f es injectiva ⇐⇒ {f(u1), . . . , f(un)} linealment independents.b) f es exhaustiva ⇐⇒ [f(u1), . . . , f(un)] = F.c) f es bijectiva ⇐⇒ (f(u1), . . . , f(un)) es una base d’F.

Exemple 4.3.2. Sigui f : R3 −→ R4[t] que ve definida per

f(x1, x2, x3) = (x1+x2)+(x1−x2)t+(x1+x3)t2+(x1−x3)t3+(x1+x2+x3)t4

4.4. Nucli i imatge d’una aplicacio lineal 103

La proposicio anterior ens diu que:

f es injectiva ⇔ {f(e1), f(e2), f(e3)} son linealment independents

essent (e1, e2, e3) la base natural de R3. Calculem aquestes imatges:

f(e1) = 1 + t + t2 + t3 + t4

f(e2) = 1− t + t4

f(e3) = t2 − t3 + t4

Les seves components, en la base (1, t, t2, t3, t4) d’R4[t], disposades coma vectors columna, donen lloc a la matriu

A =

1 1 01 −1 01 0 11 0 −11 1 1

f∼

1 1 00 −2 00 0 20 0 00 0 0

que te rang igual a 3, d’on deduım que {f(e1), f(e2), f(e3)} son linealmentindependents i, per tant, l’aplicacio f es injectiva En ser dimR4[t] =5, aquests vectors no podem generar R4[t] i, per tant, l’aplicacio no esexhaustiva.

4.4 Nucli i imatge d’una aplicacio lineal

Donada una alicacio lineal f : E −→ F podem considerar dos subespaisvectorials, d’E i F , respectivament, anomenats nucli i imatge de f .

Definicio 4.4.1. El nucli de f es:

Kerf = {x ∈ E | f(x) = 0}

Definicio 4.4.2. La imatge de f es:

Im f = {y ∈ F | y = f(x) per a algun x ∈ E}


Remarca. Noteu que Ker f es el conjunt de les antiimatges del vectornul i Im f es el conjunt de totes les imatges dels vectors d’E. Ambdosconjunts son subespais vectorials.

Exemple 4.4.1. Considereu l’aplicacio lineal

f : R3 −→ R4

(x1, x2, x3) −→ (x1 − x2, x1 + x2, x2 − x3, x2 + x3)

Aleshores:

Ker f = {(x1, x2, x3) ∈ R3 | x1 = x2 = x3 = 0} = {(0, 0, 0)}Im f = {(x1 − x2, x1 + x2, x2 − x3, x2 + x3) | x1, x2, x3 ∈ R}

= {x1(1, 1, 0, 0) + x2(−1, 1, 1, 1) + x3(0, 0,−1, 1) | x1, x2, x3 ∈ R}= [(1, 1, 0, 0), (−1, 1, 1, 1), (0, 0,−1, 1)]

Remarca. Es immediat observar que

f es epimorfisme ⇐⇒ Im f = F

A mes si (u1, . . . , un) es una base d’E i f : E −→ F es lineal, es compleixque

Im f = [f(u1), . . . , f(un)]

Les aplicacions lineals injectives venen caracteritzades pel resultat seguent.

Proposicio 4.4.1. Donada una aplicacio f : E −→ F lineal, f esmonomorfisme si, i nomes, si Ker f = {0}.

Demostracio. Suposem f injectiva. Si f(x) = 0, ates que tambe f(0) =0, en ser f injectiva es x = 0.

Recıprocament. Suposem ara que Ker f = {0}. Si x, y ∈ E son tals quef(x) = f(y), es

f(x)− f(y) = f(x− y) = 0 =⇒ x− y ∈ Ker f =⇒ x− y = 0 =⇒ x = y,

i, per tant, f es injectiva.

Exemple 4.4.2. L’aplicacio lineal f de l’exemple anterior es injectiva, jaque Ker f = {0}. En canvi, no es exhaustiva, ja que dim Im f = 3 i, pertant, Im f 6= R4.

4.4. Nucli i imatge d’una aplicacio lineal 105

A nivell de dimensions es verifica la relacio seguent.

Teorema 4.4.1. Sigui f : E −→ F una aplicacio lineal. Aleshores:

dim Ker f + dim Im f = dim E

Demostracio. Considerem una base (u1, . . . , ur) de Ker f , i l’ampliem auna base (u1, . . . , ur, ur+1, . . . , un) d’E. Veurem que (f(ur+1), . . . , f(un))es una base d’Im f i, per tant,

dim Im f = n− r = dim E − dim Ker f

com volıem provar.

Vegem que (f(ur+1), . . . , f(un)) es, en efecte, una base d’Im f . Suposemque existeix una combinacio lineal d’aquests vectors que es igual al vectornul:

λr+1f(ur+1) + . . . + λnf(un) = 0

En ser f lineal,f(λr+1ur+1 + . . . + λnun) = 0

λr+1ur+1 + . . . + λnun ∈ Ker f⇒ λr+1ur+1 + . . . + λnun = α1u1 + . . . + αrur

⇒ α1u1 + . . . + αrur − λr+1ur+1 − . . .− λnun = 0⇒ α1 = . . . αr = λr+1 = . . . = λn = 0

Aixı, ja tenim que f(ur+1), . . . , f(un) son linealment independents.

Vegem ara que generen el subespai Im f . Per a x ∈ E qualsevol, es

x = x1u1 + . . . + xrur + xr+1ur+1 + . . . + xnun

i

f(x) = x1f(u1) + . . . + xrf(ur) + xr+1f(ur+1) + . . . + xnf(un) == xr+1f(ur+1) + . . . + xnf(un)

en ser f(u1) = . . . = f(ur) = 0.

Remarca. Com a consequencia d’aquest teorema es dedueix que, sif : E −→ F es lineal, llavors:

f injectiva =⇒ dim E ≤ dim F

f exhaustiva =⇒ dim E ≥ dim F

f bijectiva =⇒ dim E = dim F


Tambe deduım del teorema anterior que, si dim E = dim F i f es injec-tiva, o be es exhaustiva, aleshores f es necessariament bijectiva.

Exemple 4.4.3. Considerem l’aplicacio

f : R3 −→ R4

(x1, x2, x3) −→ (3x1 + x2 − x3, x2 + x3, x1 − x2, x1 + 2x2 − 3x3)

Per la remarca anterior, f pot ser injectiva, pero no pot ser ni exhaustivani bijectiva. A mes,

Ker f = {(x1, x2, x3) ∈ R3 | 3x1 + x2 − x3 == x2 + x3 = x1 − x2, x1 + 2x2 − 3x3 = 0} = {(0, 0, 0)}

i, per tant, f es injectiva.

4.5 Isomorfisme natural associat a una base

Es diu que dos espais vectorials son isomorfs si existeix un isomorfismeentre ells. Dos espais vectorials son isomorfs si, i nomes si, tenen lamateixa dimensio. Es dedueix d’aquı que tot espai vectorial de dimensiofinita n es isomorf a Rn. Els isomorfismes entre Rn i l’espai vectorial Evenen determinats en fixar bases a Rn i a E. Aixı si (u1, . . . , un) es unabase de Rn i (v1, . . . , vn) es una base d’E, l’aplicacio

f : Rn −→ Ea1u1 + . . . + anun −→ a1v1 + . . . + anvn

(4.2)

es un isomorfisme entre Rn i E.

Si fixem a Rn la base canonica (e1, . . . , en), tenim que els isomorfismes deRn en E venen determinats per les bases d’E; es a dir, per a cada based’E tenim un isomorfisme (4.2) diferent.

Definicio 4.5.1. L’isomorfisme de Rn en E tal que f(a1, . . . , an) = a1v1+. . .+anvn, s’anomena l’isomorfisme natural de Rn en E associat a la basev = (v1, . . . , vn) d’E.

Remarca. Observeu que donat un vector qualsevol v ∈ E, existeix ununic (a1, . . . , an) ∈ Rn tal que

f(a1, . . . , an) = a1v1 + . . . + anvn = v

Es a dir, l’antiimatge f−1(v) de v son les coordenades del vector v en labase donada d’E.

4.6. Matriu associada a una aplicacio lineal 107

4.6 Matriu associada a una aplicacio lineal

Sigui A una matriu que te m files i n columnes. L’aplicacio

fA : Rn −→ Rm

que ve definida de la manera seguent: f(u) es el vector de Rm tal queles seves coordenades, expressades en una matriu columna, coincideixenamb AX, on X es la matriu d’ordre 1 × n els elements del qual sonles coordenades de x. Observeu que l’aplicacio fA aixı definida es unaaplicacio lineal.


A =

(1 3 72 0 5

)

L’aplicacio lineal que defineix aquesta matriu es

fA : R3 −→ R2

(x1, x2, x3) −→ (x1 + 3x2 + 7x3, 2x1 + 5x3)

Recıprocament, si f es una aplicacio lineal d’Rn en Rm, l’aplicacio linealque s’obte a partir de la matriu en la que les columnes son les coordenadesde les imatges dels vectors de la base canonica d’Rn es precisament f .Indiquem per M(f) aquesta matriu i li direm matriu de l’aplicacio.

Exemple 4.6.2. En les bases canoniques d’R3 i R5, la matriu de la aplicacio

f : R3 −→ R5

(x1, x2, x3) −→ (x1 − x2, x2, x1 + x2, x2, x3)

es:

M(f) =

1 −1 00 1 01 1 00 1 00 0 1

Una generalitzacio del resultat anterior a aplicacions lineals entre dosespais vectorials E i F (de dimensio finita) ens dona la definicio seguent.

Definicio 4.6.1. Sigui E, F dos espais vectorials sobre el cos commu-tatiu K de dimensions n i m, respectivament. Si (u1, . . . , un) es una


base qualsevol d’E i (v1, . . . , vm) una base qualsevol d’F , la matriu Ben la que les columnes estan constituıdes per les coordenades, en la base(v1, . . . , vm), de les imatges per l’aplicacio lineal f dels vectors u1, . . . , un

rep el nom de matriu de la aplicacio lineal f en las bases (u1, . . . , un) i(v1, . . . , vm).

Habitualment es denota aquesta matriu de la forma seguent: B = Mu,v(f),on u i v representen les bases (u1, . . . , un) i (v1, . . . , vm), respectivament.

Remarca. La matriu d’una aplicacio depen de les bases escollides, tanten l’espai de sortida com en el d’arribada.

Exemple 4.6.3. Siguin E = R2[t] i F = M2(R). Considerem l’aplicaciolineal

f : R2[t] −→ M2(R)

a0 + a1t + a2t2 −→

(a0 + a2 a1

a1 − a2 a0

)

Si escollim les bases u = (1, t, t2) d’R2[t] i v = (( 1 00 0 ) , ( 0 1

0 0 ) , ( 0 01 0 ) , ( 0 0

0 1 ))de M2(R), la matriu de l’aplicacio lineal f en aquestes bases es:

Mu,v(f) =

1 0 10 1 00 1 −11 0 0

En canvi, si a R2[t] haguessim pres com a base u = (t2, t, 1) i a M2(R) lamateixa d’abans, la matriu de l’aplicacio en aquestes bases seria:

Mu,v(f) =

1 0 10 1 0−1 1 00 0 1

En el cas d’un endomorfisme d’un espai vectorial E podem consideraruna mateixa base u = (u1, . . . , un) en l’espai de sortida que en l’espaid’arribada, notant-se en aquest cas la matriu de l’aplicacio en aquestabase simplement per Mu(f).

4.7 Canvis de base

4.7. Canvis de base 109

Si u = (u1, . . . , un) es una base d’un espai vectorial E, sabem que, pera tot vector x d’E, existeixen n escalars x1, . . . , xn ∈ K unics tals quex = x1u1 + · · ·+ xnun . (Aquests escalars x1, . . . , xn s’anomenen les com-ponents d’x en la base de u).

Si u = (u1, . . . , un) es una altra base d’E i y1, . . . , yn son les componentsd’x en la base v, es a dir, x = y1u1 + · · ·+ ynun aleshores, la relacio entreles components de x en la base u i les components de x en la base u vedonada per

x1...

xn

= S

y1...

yn

⇐⇒

y1...

yn

= S−1

x1...

xn

on S es la matriu que te per columnes les components de cadascun delsvectors d’u en la base u (s’anomena matriu del canvi de base, de la baseu a la base u).

Exemple 4.7.1. Anem a calcular la matriu del canvi de base, de la base

((0, 0, 2, 4), (−4, 1,−4, 1), (1, 0, 0, 4), (−3,−3, 2, 2))

a la base ((1, 1, 0, 1), (−1, 0,−1, 1), (0, 1,−1,−1), (0, 0, 1, 1)) d’R4.

Tenim que

(0, 0, 2, 4) =2

3(1, 1, 0, 1) +

2

3(−1, 0,−1, 1) + (−2

3)(0, 1,−1,−1)

+2(0, 0, 1, 1)

(−4, 1,−4, 1) = (−1)(1, 1, 0, 1) + 3(−1, 0,−1, 1) + 2(0, 1,−1,−1)

+(0, 0, 1, 1)

(1, 0, 0, 4) = 2(1, 1, 0, 1) + (−1, 0,−1, 1) + (−2)(0, 1,−1,−1)

+(−1)(0, 0, 1, 1)

(−3,−3, 2, 2) = (−2)(1, 1, 0, 1) + (−1, 0,−1, 1) + (−1)(0, 1,−1,−1)

+2(0, 0, 1, 1)

Aixı, la matriu del canvi de base es la matriu

23

−1 2 −223

3 1 1−2

32 −2 −1

2 1 −1 2


El resultat seguent es de gran importancia, ates que permet obtenir larelacio existent entre les matrius d’una mateixa aplicacio lineal en basesdiferentes.

Proposicio 4.7.1. Sigui f una aplicacio lineal de l’espai vectorial Een l’espai vectorial F . Sigui A la matriu de l’aplicacio f en les basesu = (u1, . . . , un) d’E i v = (v1, . . . , vm) d’F , B la matriu de l’aplicacio fen les bases u = (u1, . . . , un) d’E i v = (v1, . . . , vm) d’F .

Si S es la matriu del canvi de base, de la base u = (u1, . . . , un) a labase u = (u1, . . . , un) i T es la matriu del canvi de base, de la basev = (v1, . . . , vm) a la base v = (v1, . . . , vm), aleshores:

B = T−1AS

En el cas d’un endomorfisme d’E, si considerem la mateixa base en l’espaide sortida i en l’espai de arribada, la relacio anterior es de la forma:

B = S−1AS

Exemple 4.7.2. Considerem l’aplicacio lineal f : R3 −→ R5, que ve defini-da per f(x1, x2, x3) = (x1−x2, x2, x1+x2, x2, x3). Hem vist que la matriud’aquesta aplicacio, en les bases canoniques d’R3 i R5 es:

1 −1 00 1 01 1 00 1 00 0 1

Considerem ara les bases u = ((1, 0, 1), (1, 2, 1), (0, 1, 1)) d’R3 iv=((1, 0,−1, 1, 0), (0, 1, 1, 1, 0), (1,−1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1,−1))

4.8. Subespais invariants per un endomorfisme 111

d’R5. En aquestes bases la matriu de l’aplicacio f es

B = T−1AS =

=

1 0 1 0 00 1 −1 0 0−1 1 1 1 11 1 0 0 10 0 0 1 −1

−1

1 −1 00 1 01 1 00 1 00 0 1

1 1 00 2 11 1 1

=

=1

3

0 0 13 3 −13 −1 −40 6 6−3 3 3

Remarca. Una consequencia especialment important d’aquest resultates el fet de que els rangs de les matrius d’una mateixa aplicacio linealhan de coincidir necessariament. Te sentit, doncs, la definicio seguent.

Definicio 4.7.1. S’anomena rang de l’aplicacio lineal f , i el denotaremper rg f , al rang de la matriu de l’aplicacio (en bases qualssevol).

Remarca. Observeu que rg f = dim Im f .

4.8 Subespais invariants per un endomor-

fisme

Siguin f un endomorfisme d’E i H un subespai vectorial d’E.

Definicio 4.8.1. Es diu que H es un subespai vectorial invariant per fquan per a tot x ∈ H es f(x) ∈ H.

Una forma comoda d’averiguar quan es un subespai vectorial invariantper un endomorfisme es la que ofereix el resultat seguent.

Proposicio 4.8.1. Si (u1, . . . , ur) es una base d’H, llavors:

H es invariant per f ⇐⇒ f(u1), . . . , f(ur) ∈ H


Exemple 4.8.1. Sigui f : R3 −→ R3 l’endomorfisme la matriu del qual,en una base (v1, v2, v3) d’R3 es:

−2 0 00 −2 00 1 −2

Sigui H el subespai vectorial d’R3 engendrat pel vector [2v1+v3]. AleshoresH es un subespai invariant per f . En efecte. La imatge del vector 2v1+v3

per aquest endomorfisme es igual a: 4v1 − 2v3 = 2(2v1 + v3) ∈ H.

En canvi, el subespai vectorial G = [v1, v2] no es invariant per f , jaque la imatge del vector v1 per l’endomorfisme es igual a 2v1 ∈ G, perof(v2) = −v2 + v3 /∈ G.

Definicio 4.8.2. Quan un subespai H es invariant per un endomorfismef d’H podem considerar l’aplicacio “restriccio de f a H” que notaremf |H i que es defineix mitjancant

f |H : H −→ H

x 7−→ f |H(x) = f(x)

Exemple 4.8.2. Sigui f l’endomorfisme d’R3[t] que ve definit mitjancant:

f : R3[t] −→ R3[t]p(t) −→ p′(t)− p′′(t)

H = R2[t] es un subespai vectorial invariant per l’endomorfisme f . Enefecte; v : (1, t, t2) es una base d’H i observem que:

f(1) = 0 ∈ Hf(t) = 1 ∈ H

f(t2) = −2 + 2t ∈ H

Aleshores, la matriu de la restriccio

f|H : H −→ Hp(t) −→ p′(t)− p′′(t)

en la base v es:

0 1 −20 0 20 0 0

4.9. Operacions amb aplicacions lineals 113

4.9 Operacions amb aplicacions lineals

Siguin E, F dos espais vectorials sobre K de dimensions n i m respecti-vament.

Siguin f, g : E −→ F dues aplicacions lineals, i considerem l’aplicaciosuma

f + g : E −→ Fx −→ (f + g)(x) = f(x) + g(x)

Proposicio 4.9.1. L’aplicacio suma f + g es lineal.

La matriu de l’aplicacio lineal suma f + g es pot obtenir a partir de lesmatrius de les aplicacions f i g.

Proposicio 4.9.2. Siguin u, v bases dels espais vectorials E i F , respec-tivament. Aleshores:

Mu,v(f + g) = Mu.v(f) + Mu,v(g)

Notacio. Posem L(E, F ) al conjunt de totes les aplicacions lineals entreE i F .

Remarca. L(E, F ) amb l’operacio suma es un grup commutatiu (ja quef + g = g + f per a totes les aplicacions lineals f , g) l’element neutre delqual es l’aplicacio nul.la 0 definida mitjancant 0(x) = 0 ∀x ∈ E.

Si f : E −→ F es lineal i α ∈ K podem definir l’aplicacio

αf : E −→ Fx −→ (αf)(x) = αf(x)

Proposicio 4.9.3. L’aplicacio αf es lineal.

La relacio entre la matriu de l’aplicacio αf i l’aplicacio f es la seguent.

Proposicio 4.9.4. Siguin u, v bases dels espais vectorials E i F , respec-tivament. Aleshores:

Mu,v(αf) = αMu,v(f)


Remarca. L(E, F ) amb les operacions suma i producte per escalarsdefinides anteriorment es un espai vectorial sobre K.

A mes fixades bases u i v dels espais vectorials E i F , respectivament,podem establir un isomorfisme

ϕ : L(E, F ) −→ Mm×n(K)f −→ Mu,v(f)

En particular, dimK L(E, F ) = dimK Mm×n(K) = mn.

Siguin ara G un altre espai vectorial sobre K de dimensio p. Sif : E −→ F i g : F −→ G son aplicacions lineals, podem considerarla seva composicio

g ◦ f : E −→ Gx −→ (g ◦ f)(x) = g(f(x))

Proposicio 4.9.5. L’aplicacio g ◦ f es lineal.

La matriu de la composicio de dos aplicacions lineals es pot obtenir dela forma seguent.

Proposicio 4.9.6. Siguin u, v, w bases dels espais vetorials E, F i G,respectivement. Aleshores:

Mu,w(g ◦ f) = Mv,w(g) ·Mu,v(f)

Notacio. Posem End (E) al conjunt d’endomorfismes d’E.

Remarca. En el conjunt End(E) podem considerar les operacions desuma i producte, essent aquest darrer la composicio d’endomorfismes.Amb aquestes operacions aquest conjunt te estructura d’anell amb unitat,essent l’element unitat l’endomorfisme identitat,

idE : E −→ Ex −→ idE(x) = x

Aquest anell, pero, no es commutatiu ja que en general, f ◦ g 6= g ◦ f .A mes te divisors de zero, ja que existeixen parelles d’endomorfismesambdos no nuls, tals que f ◦ g = 0 o be g ◦ f = 0 (o be f ◦ g = g ◦ f = 0).

4.10. El grup lineal 115

Exemple 4.9.1. Considereu els endomorfimes d’R2

f : R2 −→ R2

(x1, x2) −→ (x2, 0)f : R2 −→ R2

(x1, x2) −→ (x1, 0)

Aleshores

(f ◦ g)(x1, x2) = f(g(x1, x2)) = f(x1, 0) = (0, 0) ∀(x1, x2) ∈ R2

En canvi,

(g◦f)(x1, x2) = g(f(x1, x2)) = g(x2, 0) = (x2, 0) = f(x1, x2) ∀(x1, x2) ∈ R2

4.10 El grup lineal

Es conegut que tota aplicacio bijectiva admet una aplicacio inversa. Si,a mes, l’aplicacio es lineal, es te la proposicio seguent.

Proposicio 4.10.1. Siguin E i F dos espais vectorials i f : E −→ Funa aplicacio lineal bijectiva. Aleshores l’aplicacio inversa

f−1 : F −→ E

es lineal.

Demostracio. Siguin v1 i v2 dos vectors qualssevol d’F , i siguin u1 =f−1(v1) i u2 = f−1(v2). Com que f(u1) = v1 i f(u2) = v2, en ser f lineales te

f(u1 + u2) = v1 + v2

f(λu1) = λv1

Per tant,

f−1(v1 + v2) = u1 + u2 = f−1(v1) + f−1(v2)f(λv1) = λu1 = λf−1(v1)

A mes, a nivell matricial tenim la caracteritzacio seguent.


Proposicio 4.10.2. Sigui f una aplicacio lineal bijectiva entre els espaisvectorials E i F , siguin u, v bases d’E i F , respectivament. Aleshores:

Mv,u(f−1) = Mu,v(f)−1

Remarca. Si g : F −→ E es tal que f ◦ g = idF o be g ◦ f = idE llavorsg = f−1.

Tenint en compte que la composicio d’aplicacions lineals es lineal i que lacomposicio d’aplicacions bijectives es bijectiva es te el resultat seguent.

Proposicio 4.10.3. Si E, F i G son tres espais vectorials, i f : E −→ Fi g : G −→ G son aplicacions lineals bijectives, es te que g ◦ f : E −→ Ges lineal i bijectiva. A mes,

(g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1

Sigui E un espai vectorial. Si designem per Gl(E) el conjunt d’automor-fismes d’E, es pot provar que aquest conjunt te les propietats seguents.

i) Si f, g ∈ Gl(E) aleshores g ◦ f ∈ Gl(E).

ii) Si f ∈ Gl(E) aleshores f−1 ∈ Gl(E).

iii) L’aplicacio identitat idE pertany a Gl(E).

Si en el conjunt Gl(E) es defineix la composicio com a operacio interna,aquest te estructura de grup (no commutatiu, ja que, en general, f ◦ g 6=g ◦ f). Aquest grup s’anomena el grup lineal.

4.11 Apendix A

Aplicacions lineals entre espais vectorials de dimensioinfinita

Si E, i F son dos espais vectorials de dimensio infinita podem definiranalogament les aplicacions lineals entre E i F com aquelles aplicacionsf : E −→ F tals que

4.11. Apendix A 117

f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2) ∀x1, x2 ∈ Ef(λx) = λf(x) ∀x ∈ E ∀λ ∈ K

Els conceptes de Ker f , Im f i subespais invariants per un endomorfismetambe son analegs. A mes, si u = (u1, . . . , un, . . .) es una base d’E,

Im f = [f(u1), . . . , f(un), . . .]

i si H es un subespai vectorial de dimensio infinita d’E amb base v =(v1, . . . , vn, . . .) aleshores H es invariant per un endomorfisme f d’E si, inomes si,

f(v1), . . . , f(vn), . . . ∈ H

En aquest cas es defineix rg f com la dimensio del subespai Im f .

Si f : E −→ F es bijectiva aleshores la inversa de l’aplicacio f es unaaplicacio (lineal) g : F −→ E tal que

f ◦ g = idF g ◦ f = idE

Remarca. En aquest cas, pot ser f ◦ g = idF i g ◦ f 6= idE, o beg ◦ f = idE i f ◦ g 6= idF .

A mes, tambe es possible f ∈ End(E) injectiu, pero no exhaustiu, o beexhaustiu pero no injectiu.

Exemple 4.11.1. Sigui E el conjunt de les funcions reals de variable reali considerem l’endomorfisme d’E

f : E −→ EF (t) −→ F ′(t)

Es clar que f no es injectiva, pero si que es exhaustiva.

Sig : E −→ E

F (τ) −→ ∫ t

0F (τ)dτ

aleshores, per a F (τ) ∈ E qualsevol,

(f ◦ g)(F (t)) =(∫ t

0F (τ)dτ

)′= F (t), utilitzant la regla de Leibnitz

(g ◦ f)(F (t)) =∫ t

0F ′(τ)dτ = F (t)− F (0), utilitzant el Teorema

fonamental del calcul

Aixı doncs, f ◦ g = idE pero g ◦ f 6= idE.


Exemple 4.11.2. Considereu els endomorfismes de R[t] que venen definitsde la manera seguent.

fn : R[t] −→ R[t]

p(t) −→ p(0) + p′(0)t + p′′(0)2!

t2 + · · ·+ p(n−1)(0)(n−1)!

tn−1

gn : R[t] −→ R[t]

p(t) −→ p(n)(0)n!

tn + p(n+1)(0)(n+1)!

tn+1 + . . .

Es facil veure que

Ker fn = [tn, tn+1, . . . ], Im fn = Rn−1[t]

Im gn = [tn, tn+1, . . . ], Ker gn = Rn−1[t]

i, per tant, f ◦ g = 0 i g ◦ f = 0, pero, en canvi, f 6= 0 i g 6= 0.

Si E es un espai vectorial de dimensio finita i F te dimensio infinita,aleshores tambe son de dimensio finita els subespais Ker f i Im f i, ames, es compleix:

dim E = dim Ker f + Im f

4.12 Apendix B

Teoremes d’isomorfisme

Siguin E i F dos espais vectorials de dimensio finita i f : E −→ F unaaplicacio lineal. Siguin Ker f i Im f els subespais vectorials associats al’aplicacio.

Sigui G un subespai complementari de Ker f en E: E = G ⊕ Ker f .Aleshores tot vector u ∈ E s’escriu de forma unica com u = u1 + u2 ambu1 ∈ G i u2 ∈ Ker f .

Observeu que

f(u) = f(u1 + u2) = f(u1) + f(u2) = f(u1),

es a dir, nomes cal definir l’aplicacio sobre el complementari de Ker f .

Remarca. D’altra banda, observem que f no depen del complementarique considerem. En efecte, si H es un altre complementari de Ker f en

4.12. Apendix B 119

E, es te E = H ⊕ Ker f , i per a tot u ∈ E, u = v1 + v2 amb v1 ∈ H iv2 ∈ Ker f . Llavors:

f(u) = f(v1 + v2) = f(v1) + f(v2) = f(v1) = f(u1),

ja que f(v1)−f(u1) = f(v1−u1) = f(u2−v2) = 0 en ser u2−v2 ∈ Ker f .

Considerem doncs, l’aplicacio lineal f|G : G −→ F definida per f|G(u1) =f(u1). Aquesta aplicacio es clarament injectiva, d’on es dedueix la propo-sicio seguent.

Proposicio 4.12.1. L’aplicacio

f : G −→ Im fu1 −→ f(u1)

es un isomorfisme

Remarca. Del fet que f sigui un isomorfisme es dedueix que dim G =dim Im f i, per tant, tenim el corol.lari seguent.

Corol.lari 4.12.1. Si f : E −→ F es una aplicacio lineal, aleshores:

dim E = dim Ker f + dim Im f

De fet, la proposicio anterior es pot formular de forma mes general.

Proposicio 4.12.2 (Primer teorema d’isomorfisme). Siguin E i F dosespais vectorials de dimensio finita sobre un cos K i f una aplicacio lineald’E en F . Aleshores, existeix un unic isomorfisme d’espais vectorials fde E/Ker f en Im f tal que f = i ◦ f ◦ π, on π es la projeccio naturald’E en E/Ker f i essent i la inclusio natural d’Im f en F .

Ef−→ F

π ↓ i ↑E/Ker f

ef−→ Im f

(4.3)

L’isomorfisme f s’anomena isomorfisme natural induıt per f .

Demostracio. L’aplicacio f ve definida de la forma:

f : E/Ker f −→ Im fx + Ker f −→ f(x)

A partir de la remarca anterior es facil veure que esta ben definida, i quees lineal i bijectiva.


Remarca. Siguin E i F dos espais vectorials de dimensio finita if : E −→ F una aplicacio lineal. Siguin Ker f i Im f els subespaisvectorials associats a l’aplicacio.

Sigui G un subespai complementari de Ker f en E: E = G⊕Ker f . Hemvist que si considerem a E una base formada per la reunio d’una baseu = (u1, . . . , un−r) de G amb una base u′ = (un−r+1, . . . , un) de Ker f ,es te que (f(u1), . . . , f(un−r)) es una base v d’Im f . Prenent doncs, aE/Ker f la base [u] = (u1 + Ker f, . . . , un−r + Ker f) induıda per la d’E,

i a Im f la base v, la matriu de l’aplicacio f : E/Ker f −→ Im f enaquestes bases, es:

A =

1. . .

1

= In−r

Sigui E un espai vectorial i F i G dos subespais vectorials tals que F ⊂ G.Es possible definir una aplicacio

g : E/F −→ E/Gx + F −→ x + G

Observeu que aquesta aplicacio:

1. esta ben definida: si x + F = x1 + F llavors x− x1 ∈ F ⊂ G d’onx + G = x1 + G ,

2. es lineal:

(a) g((x + F ) + (y + F )) = g((x + y) + F ) = (x + y) + G =(x + G) + (y + G) = g(x + F ) + g(y + F ),

(b) g(λ(x + F )) = g(λx + F ) = λx + G = λ(x + G) = λg(x + F )

3. Ker g = G/F ja que, si x + G = 0, es x ∈ G, d’on els elements delnucli son de la forma x + F , amb x ∈ G.

Tenim doncs, la proposicio seguent.

Proposicio 4.12.3 (Segon teorema d’isomorfisme). Sigui E un espaivectorial i siguin F i G dos subespais vectorials tals que F ⊂ G. Aleshoresexisteix un unic isomorfisme g de (E/F )/(G/F ) en E/G tal que g = g◦πon π es la projeccio natural de E/F en (E/F )/(G/F ).

4.13. Comentaris finals 121

Sigui ara E un espai vetorial i F i G dos subespais vectorials d’E. Espossible definir una aplicacio h : F −→ (F + G)/G de la forma h(x) =x + G. Aquesta aplicacio:

1. esta ben definida ja que, si x ∈ F , es x ∈ F + G,

2. es lineal,

3. Ker h = F ∩G (si h(x) = x + G = 0, es x ∈ G).

A mes, aquesta aplicacio es exhaustiva ja que x + y + G = x + G per atot x + y + G ∈ (F + G)/G.

Tenim doncs, la proposicio seguent.

Proposicio 4.12.4 (Tercer teorema d’isomorfisme). Sigui E un espaivetorial i F i G dos subespais vectorials d’E. Aleshores existeix un unicisomorfisme h de F/F ∩ G en (F + G)/G tal que h = h ◦ π, on π es laprojeccio natural de F en F/F ∩G.

Remarca. De l’isomorfisme entre els espais F/F ∩ G i (F + G)/G esdedueix que dim F/F ∩G = dim(F + G)/G, d’on

dim F − dim F ∩G = dim(F + G)− dim Gdim(F + G) = dim F + dim G− dim F ∩G

que es la formula de Grassman, vista en el capıtol 2,§7.


Hi ha un gran nombre de problemes que es poden relacionar amb lesaplicacions lineals: fısics, economics, biologics, etc. Alguns d’ells es co-mentaran en els capıtols 6 i 7 seguents. A mes, la connexio existent entreaplicacions lineals i matrius facilita els calculs. Cal tenir en compte tambeel fet de que molts problemes arbitraris, no lineals, es poden aproximara traves d’aplicacions lineals que son, des del punt de vista matematic,ben conegudes.

4.14 Exercicis

1. Discutiu si les aplicacions seguents son, o no, lineals:


(a) f : R3 −→ R4

(x1, x2, x3) 7−→ (3x1 + 5x2, x2 + x3, x2 − 5x3, x1 + x2 + x3).

(b) f : R3 −→ R2

(x1, x2, x3) 7−→ (x1 + a, bx2) per a un certs a, b ∈ R.

(c) f : Rn[t] −→ Rn[t]

p(t) 7−→ λp(t)+p′(0)p′(t)+p′′(0)p′′(t)+· · ·+p(n)(0)p(n)(t).

(d) f : M2(R) −→M2(R)(a bc d

)7−→

(a− b a + bc + 2d a− b + c− d

)

(e) f : R3 −→M2(R)

(x1, x2, x3) 7−→(

ax1 bx2

cx3 x1 + x2 + x3

)per a uns certs a, b, c ∈

R.

2. Estudieu quines de les aplicacions lineals seguents son injectives,exhaustives i/o bijectives.

(a) f : R2[t] −→ R2[t]

p(t) 7−→ λp(0) + 3p′′(t)

(b) f : M2(R) −→M2(R)(a bc d

)7−→

(a + b a− bc + d c− d

)

(c) f : R4 −→ R4

(x1, x2, x3, x4) 7−→ (x1 − x2, x3 − x4, x1, x3).

(d) f : R3 −→ R2

(x1, x2, x3) 7−→ (x1 + x2, x2 − x3).

(e) f : R2 −→ R3

(x1, x2) 7−→ (3x1 − x2, x1 + 5x2, 2x1 − 4x2)

3. Sigui u = (u1, u2, u3, u4) una base d’R4. Sigui f l’endomorfismed’R4 que verifica:

f(u1) = u3 ,

f(u2) = 2u3 ,

f(u3) = −u1 + u4 ,

f(u4) = u2 − u3 .

Quina es la imatge del vector v = 2u1 − 3u3 + 4u4? I la del vectorw = u1 − u2 + u3 − u4?

4.14. Exercicis 123

4. Sigui f : R3 −→ R3 una aplicacio lineal tal que f(1, 0, 1) = (3, 0, 2),f(0, 1, 0) = (1, 1, 2) i f(3, 1, 0) = (−1, 0, 0). Que val f(1, 1, 2)?

5. Considereu l’aplicacio lineal f : R4 −→ R4 que ve definida per

(x1, x2, x3, x4) 7−→ (x1 + 2x2, x2 + 2x3, x3 + 2x4, 2x1 + x4)

Calculeu f−1(1, 1, 1, 1) (conjunt d’antiimatges del vector (1, 1, 1, 1)).

6. Determineu els subespais vectorials Ker f i Im f per a l’aplicaciolineal

f : R3 −→ R3

(x1, x2, x3) −→ (x1 + x2 − x3, x1 − x2 + x3,−x1 + x2 + x3)

7. Doneu la matriu de l’endomorfisme f de R3 que ve definit per

f(x1, x2, x3) = (2x1 + 3x2 − x3, x1 + 2x2 − x3, x2 + 2x3)

en la base canonica d’R3 i en la base u = ((1,−1, 0), (0, 1, 1), (2, 0, 1)).

8. Considereu l’aplicacio lineal

f : M2(R) −→ R4(a bc d

)−→ (a + b− d, c + d, b− 2c + d, a− d)

Doneu la matriu de f en les bases

u =

((1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

))d’M2(R), i

v = ((1,−1, 0, 1), (1, 1, 2, 0), (1, 1, 0, 2), (0, 1, 1, 1)) d’R4.

9. Calculeu la imatge del vector d’R3, les coordenades del qual, enla base u : ((−1, 0, 1), (2, 1, 1), (1, 0, 2)) son: 1,-2,3 per l’aplicaciolineal

f : R3 −→ R3[t](x1, x2, x3) −→ (x1 + x2) + (x1 − x3)t + x3t

2 + x2t3

10. Siguin f l’endomorfisme d’R2[t] que ve definit per:

f(p(t)) = 3p(t)− p′(0)t− p′′(0)t2

Que val rgf?


11. Siguin f l’endomorfisme d’R2[t] que ve definit per:

f(a + bt + ct2) = a + b + (a− b)t + (b + c)t2

Trobeu la matriu de f en la base (1 + t, 1− t, 1− t2) de R2[t].

12. Sigui f l’endomorfisme d’M2(R) tal que:

(a) f

((1 00 0

))=

(1 −12 3

)

(b) f

((0 10 0

))=

(3 21 0

)

(c) Nucf =

[(1 01 0

),

(1 00 1

)]

Determineu la matriu de f en la base

((1 00 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

))

de M2(R).

13. Sigui f l’endomorfisme d’R3 tal que

Nucf = [(2,−1, 0), (2, 0, 1)], f(1, 0, 0) = (2, 0,−1).

Determineu la matriu de f en la base natural d’R3.

14. Sigui w = (w1, w2, w3) una base d’R3, F = [w1] i G = [w5]. Sigui gl’endomorfisme d’R3 tal que

(a) F i G son invariants per g.

(b) g(w1 + w2) = g(w2 − w3) = 2w1 + w2.

Determineu la dimensio de Ker g.

15. Sigui f : R3 −→ R2 l’aplicacio lineal definida mitjancant f(x, y, z) =(2x − y, 2y + z), i g : R2 −→ R3 definida mitjancant g(x, y) =(4x + 2y, y, x + y). Sigui u = (u1, u2, u3) una base d’R3, ambu1 = (1, 0, 0), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 1, 1), i v = (v1, v2) una based’R2, amb v1 = (1, 0) i v2 = (1, 1).

(a) Trobeu la matriu de f i la matriu de g en las bases naturals.

(b) Doneu una base de Ker f i una base de Im g.

4.14. Exercicis 125

(c) Calculeu les matrius de f i de g en las bases u i v.

16. Sigui f l’endomorfisme d’R4 tal que f(e1) = e1 − e2, f(e3) = e1 iKer f = [e1 + e2, e3 − e4]. Estudieu si es R4 = Ker f ⊕ Im f .

17. Sigui E un espai vectorial sobre un cos commutatiu K de dimension, i sigui f ∈ End(E). Proveu que els subespais vectorials Ker f iIm f son invariants per l’endomorfisme f .

18. Siguin f : E −→ F i g : F −→ G dos aplicacions lineals, amb E,F i G espais vectorials sobre un cos commutatiu K de dimensiofinita. Proveu que rg (g ◦ f) ≤ rg f . Si g es injectiva, aleshores este la igualtat.

19. Sigui f : R2[t] −→ R2[t] l’aplicacio lineal que ve definida per:

f(p(t)) = 2(p(0)− p′′(0))t + (p′′(0)− p′(0)− p(0))t2

Es invariant per f el subespai vectorial F = [1 + 2t, 1− t2]?

20. Siguin f : M2(R) −→ M3(R), g : M3(R) −→ M2(R) les aplicacionslineals que venen definides per:

f

((a bc d

))=

a b ac d ca c d

g

a b cd e fg h i

=

(a bd e

)

Es invertible l’aplicacio f ◦ g? I g ◦ f?

21. Sigui f un endomorfisme d’R4 tal que f(e1) = e1+e2, e1−e2 ∈Kerf .Proveu que el subespai vectorial F = [e1, e2] es invariant per f idoneu la matriu de l’endomorfisme restriccio f|F en la base (e1, e2)d’F .

22. Sigui f un endomorfisme d’un espai vectorial E de dimensio n i siguiF un subespai vectorial d’E engendrat pels vectors {v1, . . . , vm} talsque f(vi) = αivi ∀i ∈ {1, . . . , m}. Proveu que F es un subespaiinvariant per l’endomorfisme f .


23. Sigui f l’endomorfisme d’M2(R) que ve definit per:

f

((a bc d

))=

(3a + b −4a− b

7a + b + 2c + d −17a− 6b− c

)

Es el subespai F =

[(2 −47 −17

),

(1 −21 −6

)]invariant per f?

24. Sigui f : R2[t] −→ R2[t] l’aplicacio lineal que ve definida per:f(p(t)) = 2p(t)− 3p′(t).

(a) Trobeu la matriu de f−1 en la base (1, t, t2) de R2[t].

(b) Escriviu f−1 en funcio de f .

25. Siguin f , g els endomorfismes de R2[t] que venen definits mit-jancant:

f(1) = 1 + 12t2

f(t) = 2− t + t2

f(t2) = 2t2

g(a + bt + ct2) = (a + b + 2c) + bt− (1

4a +

7

4b +

1

2c)t2

(a) Doneu la matriu de f en la base (1, t, t2) d’R2[t].

(b) Doneu la matriu de f ◦ g en la base (1, t, t2) d’R2[t].

(c) Es f bijectiva?

(d) Es f invertible? Si ho es, doneu la matriu de f−1 en la base(1, t, t2).

(e) Es f ◦ g invertible?

(f) Trobeu (f ◦ g)−1(1− t2).

(g) Trobeu Im(f ◦ g).

26. Sigui f un endomorfisme d’R2[t] que ve definit per

f(a + bt + ct2) = (a + 2b + c) + (αa + b)t + (a + 2b + αc)t2.

Trobeu les dimensions de Ker f i Im f segons els diferents valorsd’α ∈ R.


27. Siguin f1, f2 i f3 els endomorfismes d’R3[t] seguents:

f1 : R3[t] −→ R3[t]p(t) −→ p(0) + p(0)t

f2 : R3[t] −→ R3[t]p(t) −→ p′(t)

f3 : R3[t] −→ R3[t]p(t) −→ p(0)

Es f3 = f2 ◦ f1? Es f3 = f1 ◦ f2?

28. Sigui E un espai vectorial sobre K i siguin F1 . . . Fr subespais vec-torials tals que

E = F1 ⊕ · · · ⊕ Fr

Sigui f un endomorfisme d’E. Estudieu si es cert, i proveu-ho encas afirmatiu, si per a tot subespai vectorial G d’E, G es invariantper f si, i nomes si, ho son els subespais G ∩ F1, . . . G ∩ Fr.

29. Sigui π l’endomorfisme de Rn que a cada vector li fa correspondre laseva projeccio ortogonal sobre el subespai vectorial F fixat. Proveu:

a) Nuc f=F⊥.

b) Im f = F .

c) Π2 = Π.

30. Siguin F un subespai vectorial de Rn i sigui G ⊆ F⊥. Siguin πF iπG els endomorfismes de Rn que a cada vector li fan correspondrela seva projeccio ortogonal sobre els subespais vectorials F i G.Proveu que πF ◦ πG = πG ◦ πF = 0.



> A := Matrix([[1,2,3],[2,3,4],[3,4,5]]);

A :=

1 2 32 3 43 4 5


Obtencio d’una base del subespai nucli d’una matriu

> F := NullSpace(A);

F :=

1−2

1

Obtencio d’una base del subespai imatge

> G:=ColumnSpace(A);

G :=

10

−1

,

012

Capıtol 5

Determinants

5.1 Introduccio

Sembla que la primera referencia als determinants es a Japo, quan Se-ki (1683) en un llibre en que per a resoldre problemes es disposaven lesdades en “forma matricial”i donava regles per fer els calculs que conduıena la solucio. Aproximadament en la mateixa epoca apareixen a Europapublicacions sobre la resolucio de sistemes d’equacions utilitzant “deter-minants”, sense fer servir encara la paraula determinant, que va intro-duir Gauss (1801). Abans, pero, ja havien donat metodes per a resoldresistemes d’equacions amb determinants Leibnitz, MacLaurin, Cramer iBezout, per exemple. De fet, la nocio de matriu va ser posterior a la dedeterminant.

La discussio de l’existencia i nombre de solucions va ser realitzat perSmith, Kronecker i Cayley, entre altres.

5.2 Permutacions

Definicio 5.2.1. Una permutacio d’un conjunt C de cardinal n (es a dir,amb n elements) es una aplicacio bijectiva

s : C −→ C

El nombre de permutacions de C, si el cardinal de C es n, es n!.

129

130 Capıtol 5. Determinants

Exemple 5.2.1. Una permutacio s del conjunt Cn = {1, 2, . . . , n} es unaaplicacio bijectiva

s : Cn −→ Cn

i 7−→ s(i) 1 ≤ i ≤ n

Les permutacions del conjunt C2 son

s1 : C2 7−→ C2

1 7−→ s1(1) = 12 7−→ s1(2) = 2

s2 : C2 7−→ C2

1 7−→ s2(1) = 22 7−→ s2(2) = 1

i les permutacions del conjunt C3 son

s1 : C3 7−→ C3

1 7−→ s1(1) = 12 7−→ s1(2) = 23 7−→ s1(3) = 3

s2 : C3 7−→ C3

1 7−→ s2(1) = 22 7−→ s2(2)7 = 33 7−→ s2(3) = 1

s3 : C3 7−→ C3

1 7−→ s3(1) = 32 7−→ s3(2) = 13 7−→ s3(3) = 2

s4 : C3 7−→ C3

1 7−→ s4(1) = 32 7−→ s4(2) = 23 7−→ s4(3) = 1

s5 : C3 7−→ C3

1 7−→ s5(1) = 22 7−→ s5(2) = 13 7−→ s5(3) = 3

s6 : C3 7−→ C3

1 7−→ s6(1) = 12 7−→ s6(2) = 33 7−→ s6(3) = 2

Definicio 5.2.2. Donada una permutacio s, del conjunt Cn={1, 2, . . . , n},diem que s(i) i s(j) presenten inversio si i < j i s(i) > s(j). El signed’una permutacio es defineix com a ε(s) = +1 si el nombre d’inversionsque presenta la permutacio s es parell i ε(s) = −1 si aquest nombre essenar.

Exemple 5.2.2. El signe de la permutacio s2 del conjunt C3 del exempleanterior es +1, i el de la permutacio s3 del mateix exemple es −1.

5.3. Definicio de determinant i propietats 131

5.3 Definicio de determinant i propietats

Sigui

A =

a11 . . . a1n

. . . . . .an1 . . . ann

∈ Mn(K)

Definicio 5.3.1. S’anomena determinant de la matriu A a:

det A =∑s∈Sn

ε(s)a1s(1) . . . ans(n)

on Sn indica el conjunt de totes les permutacions de Cn.

Aixı doncs, el determinant de la matriu A es la suma de n! sumands,essent cada sumand producte de n elements de la matriu, pertanyents afiles i columnes diferents i afectat del signe + o − segons que el nombred’inversions de la permutacio corresponent sigui parell o senar.

Exemple 5.3.1. i) El determinant d’una matriu quadrada d’ordre 2

A2 =

(a11 a12

a21 a22

)

es igual a:det(A2) = a11a22 − a21a12

Aixı, per exemple,

det

(2 1−3 1

)= 2 · 1− (−3) · 1 = 5

ii) El determinant d’una matriu quadrada d’ordre 3

A3 =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

es igual a:

det(A3) = a11a22a33+a21a12a33+a11a32a23−a13a22a31−a21a12a33−a11a32a23


Aixı, per exemple,

det

1 −1 32 1 04 −1 1

=1·1·1+2·(−1)·1+3·2·(−1)−3·1·4−2·(−1)·1−1·(−1)·0 =−17

Remarca. De la definicio de determinant anterior, es poden deduir deforma immediata les propietats seguents.

1. El determinant d’una matriu triangular (superior o inferior) es igualal producte dels elements que son sobre la diagonal principal de lamatriu.

2. En particular, el determinant d’una matriu diagonal es igual alproducte dels elements que son sobre la diagonal i el determinantde la matriu identitat val 1.

3. Si en un determinant una columna es zero, el determinant val zero.

Exemple 5.3.2.

det

1 −1 30 2 10 0 3

= 1 · 2 · 3 = 6

Altres consequencies de la definicio de determinant s’expressen en lespropietats seguents.

Propietats

Posarem a1, . . . , an ∈ Kn als vectors columna de la matriu A.

1. En intercanviar dues columnes, el determinant canviade signe:

det (a1, . . . , ai, . . . , aj, . . . , an) = −det (a1, . . . , aj, . . . , ai, . . . , an)

2. En multiplicar els elements d’una columna per un es-calar α ∈ K, el determinant queda multiplicat peraquest escalar:

det (a1, . . . , αai, . . . , an) = αdet (a1, . . . , ai, . . . , aj, . . . , an)

Com a consequencia es dedueix que det (αA) = αn det(A).

5.3. Definicio de determinant i propietats 133

3. Si un vector columna d’una matriu es suma dels dosvectors columna de dues altres matrius, aleshores:

det(a1, . . . , ai + a′i, . . . , an) = det(a1, . . . , ai, . . . , an) + det (a1, . . . , a′i, . . . , an)

4. Si un vector columna es combinacio lineal dels altresvectors columna, el determinant val zero.

4.1 En particular, quan una matriu te dues columnesque son iguals o proporcionals, el determinant valzero:

det(a1, . . . , ai, . . . , λai, . . . , an) = 0

4.2 Si a un vector columna se li suma una combinaciolineal dels restants vectors columna, el determi-nant de la matriu que resulta es igual al determi-nant de la primera matriu.

Altres propietats:

5. det(A) = det(At).

Per tant, totes les propietats enunciades fins ara son apli-cables fent la substitucio de columnes per files.

Altres propietats, que no es poden deduir directament apartir de la definicio mateixa de determinant son les seguents.

6. det (AB) = det (A) · det (B).

7. Si A es una matriu invertible, det (A−1) = 1det (A)

.

El coneixement d’aquestes propietats permet fer mes senzillel calcul dels determinants.

Exemple 5.3.3.

det

1 −1 0 34 1 0 122 2 1 61 −1 −3 1

= det

1 0 0 04 5 0 02 4 1 01 0 −3 −2

= −10


En la primera igualtat hem utilitzat la propietat (4.2), canviant la segonacolumna de la matriu, c2, per la seva suma amb la primera columna,c1 + c2, i la quarta columna de la matriu, c4, per la seva suma amb laprimera columna multiplicada per −3, c4 − 3c1.

det

6 1 0 32 1 2 12 0 −1 22 0 0 2

= det

2 1 0 30 1 2 10 0 −1 20 0 0 2

+ det

4 1 0 32 1 2 12 0 −1 22 0 0 2

=

4 + 0 = 4

En la primera igualtat hem utilitzat la propietat 3, descomponent laprimera columna en suma de les dues primeres columnes de les matriusen el segon membre de la igualtat. En la segona igualtat hem utilitzat(4.1) per deduir que el segon determinant es nul, en observar que laprimera columna es igual a la suma de la segona i la quarta.

5.4 Calcul de determinants

A continuacio presentem propietats no immmediates dels determinantsque son especialment utils de cara a permetre el seu calcul.

Desenvolupament per una fila o una columna

El determinant de la matriu A es pot calcular mitjancant el desenvolu-pament per una fila i qualsevol, 1 ≤ i ≤ n,

det A = ai1(−1)i+1µi1 + · · ·+ ain(−1)i+nµi

n

Analogament es pot fer el desenvolupament del determinant per unacolumna j qualsevol, 1 ≤ j ≤ n,

det A = a1j(−1)1+jµ1j + · · ·+ anj(−1)n+jµn

j

on µij es el determinant de la matriu d’ordre n − 1 formada pels ele-

ments que no pertanyen a la fila i ni a la columna j (s’anomena menorcomplementari de l’element aij).

5.4. Calcul de determinants 135

Exemple 5.4.1.

det

1 2 −1 01 2 −3 10 1 −1 04 2 −1 −1

= 0 ·

∣∣∣∣∣∣

2 −1 02 −3 12 −1 −1

∣∣∣∣∣∣− 1 ·

∣∣∣∣∣∣

1 −1 01 −3 14 −1 −1

∣∣∣∣∣∣+

(−1) ·∣∣∣∣∣∣

1 2 01 2 14 2 −1

∣∣∣∣∣∣− 0 ·

∣∣∣∣∣∣

1 2 −11 2 −34 2 −1

∣∣∣∣∣∣=

= −1 · (−1) + (−1) · 6 = −5

Observeu que hem triat el desenvolupament per la tercera fila, ja que, enfer-ho aixı nomes ens calia avaluar dos determinants. El mateix hauriapassat escollint la quarta columna.

Regla de Laplace

El determinant d’A es pot fer de forma mes general a partir del desen-volupament pels menors d’ordre p de p files i1, . . . , ip:

det A =∑

1≤j1<...<jp≤n

(−1)i1+...+ip+j1+...+jpµi1...ipj1...jp

· µi1...ipj1...jp

o b, pels menors d’ordre p de p columnes j1, . . . , jp:

det A =∑

1≤i1<...<ip≤n

(−1)i1+...+ip+j1+...+jpµi1...ipj1...jp

· µi1...ipj1...jp

on µi1 . . . ipj1 . . . jp

es el determinant de la matriu que resulta de considerar els

elements que pertanyen a les p files i1, . . . , ip i a les p columnes j1, . . . , jp,

i µi1 . . . ipj1 . . . jp

es el determinant de la matriu que resulta de considerar

els elements que no pertanyen a les p files i1, . . . , ip ni a les p columnesj1, . . . , jp (menors complementaris).

Son consequencia de la regla de Laplace les propietats seguents.

– Si la matriu es triangular per blocs, es a dir, de la forma

(A C0 B

),

o be

(A 0C B

), llavors

det

(A C0 B

)= det A · det B i det

(A 0C B

)= det A · det B


– En general,

det

A1 B2 . . . . . . Bp

0 A2 C3 . . . Cp

0 0 A3. . .

......

.... . .

...0 0 . . . . . . Ap

= det A1 · det A2 · . . . · det Ap

i

det

A1 0 . . . . . . 0B2 A2 0 . . . 0... C3 A3

. . ....

......

. . ....

Bp Cp . . . . . . Ap

= det A1 · det A2 · . . . · det Ap

Exemple 5.4.2. Anem a calcular

det

2 1 0 34 2 −1 00 1 −1 21 1 −1 1

utilitzant el desenvolupament pels menors d’ordre 2 amb les files 1 i 3.

Aquests son:

µ1312 =

∣∣∣∣2 10 1

∣∣∣∣ = 2, µ1313 =

∣∣∣∣2 00 −1

∣∣∣∣ = −2, µ1314 =

∣∣∣∣2 34 2

∣∣∣∣ = −8,

µ1323 =

∣∣∣∣1 01 −1

∣∣∣∣ = −1, µ1324 =

∣∣∣∣1 31 2

∣∣∣∣ = −1, µ1334 =

∣∣∣∣0 3−1 2

∣∣∣∣ = 3.

Els menors complementaris son:

µ1312 =

∣∣∣∣4 21 1

∣∣∣∣ = 2, µ1313 =

∣∣∣∣4 −11 −1

∣∣∣∣ = −3, µ1314 =

∣∣∣∣4 01 1

∣∣∣∣ = 4,

µ1323 =

∣∣∣∣2 −11 −1

∣∣∣∣ = −1, µ1324 =

∣∣∣∣2 01 1

∣∣∣∣ = 2, µ1334 =

∣∣∣∣−1 0−1 1

∣∣∣∣ = −1.

Finalment,

det

2 1 0 34 2 −1 00 1 −1 21 1 −1 1

=

= −2 · 2 + (−2) · (−3)− (−8) · 4− (−1) · (−1) + (−1) · 2− 3 · (−1) = 34

5.5. Aplicacio 1 137

Observeu que, en fer el desenvolupament per dos files, hem reduit elcalcul al de determinats d’ordre 2. En general, la reduccio es al calculde determinants d’ordre p i n − p, si fem el desenvolupament per p fileso columnes.

5.5 Aplicacio 1

Calcul del rang d’una matriu

El rang d’una matriu es igual a l’ordre del major menor no nul. Es a dir,si A ∈ Mn(K), rang A = r si, i nomes si, existeix un menor d’ordre r nonul i tots els menors d’ordre superior a r son nuls.

Exemple 5.5.1. El rang de la matriu

2 1 −3 42 1 0 10 0 3 −3

es igual a 2, ja que aquesta matriu te un menor d’ordre 2 no nul:∣∣∣∣1 −31 0

∣∣∣∣ = 3 6= 0

i tots els menors d’ordre 3 son nuls:∣∣∣∣∣∣

2 1 −32 1 00 0 3

∣∣∣∣∣∣= 0,

∣∣∣∣∣∣

2 1 42 1 10 0 −3

∣∣∣∣∣∣= 0,

∣∣∣∣∣∣

2 −3 41 0 10 3 −3

∣∣∣∣∣∣= 0

5.6 Aplicacio 2

Calcul de la inversa d’una matriu

De la seccio anterior es dedueix que A es invertible si, i nomes si, det A 6=0.

En el cas que det A 6= 0, podem trobar la matriu inversa de la matriu A,A−1, mitjancant

A−1 =1

det A

(−1)1+1µ11 (−1)2+1µ2

1 . . . (−1)n+1µn1

(−1)1+2µ12 (−1)2+2µ2

2 . . . (−1)n+2µn2

. . . . . . . . .(−1)1+nµ1

n (−1)2+nµ2n . . . (−1)n+nµn

n


Exemple 5.6.1. El determinant de la matriu

2 1 −10 2 11 −1 2

es igual a 13. Aquesta matriu, doncs, es invertible (ja que te rang iguala 3) i la seva inversa es

1

13

5 −1 31 5 −2−2 3 4

5.7 Aplicacio 3

Determinacio del conjunt de solucions d’un sistemad’equacions lineals compatible (regla de Cramer)

Suposem que tenim un sistema d’equacions AX = B compatible, ambA ∈ Mm×n(K) i rg A = rg(A|B) = r, r ≤ n. Si r = n, el sistema escompatible determinat i es pot trobar la solucio mitjancant la regla deCramer.

Si r < n, existeix un menor d’A d’ordre r no nul. Si suposem que aquestes, per exemple, el format per les r primeres files i columnes d’A, llavors,per a cada conjunt de valors arbitraris xr+1, . . . , xn tenim un sistema der equacions amb r incognites x1, . . . , xr compatible determinat i podemaplicar la regla de Cramer.

Exemple 5.7.1. Considerem el sistema lineal d’equacions{

2x1 − x2 + x3 = 1−2x1 + x2 = 3

(que es compatible indeterminat).

La matriu del sistema,

A =

(2 −1 1−2 1 0

)

te rang 2. El menor format per les dues primeres columnes, pero, es nul.Prendrem, doncs, el menor format per les columnes primera i tercera.

{2x1 + x3 = 1 + x2

−2x1 = 3− x2

5.8. Aplicacio 4 139

Aleshores, aplicant la regla de Cramer, obtenim:

x1 =

∣∣∣∣1 + x2 13− x2 0

∣∣∣∣∣∣∣∣

2 1−2 0

∣∣∣∣=−3 + x2

2

x2 = x2

x3 =

∣∣∣∣2 1 + x2

−2 3− x2

∣∣∣∣∣∣∣∣

2 1−2 0

∣∣∣∣=

8

2

amb x2 ∈ R qualsevol.

5.8 Aplicacio 4

Estudi de la dependencia/independencia lineal d’unafamılia de n vectors en un espai vectorial de dimension.

Un conjunt de n vectors en un espai vectorial E de dimensio finita n esuna base d’aquest espai vectorial si, i nomes si, la matriu formada amb lescomponents d’aquests vectors en una base qualsevol d’E te determinantno nul.

Exemple 5.8.1. Considerem els vector de R3

{(1,−1, 0), (2,−2, 3), (1, 2, 0)}

Aquests vectors son linealment independents si, i nomes si,

det

1 2 1−1 −2 20 3 0

6= 0

En aquest cas, aquest determinant val−9. Deduım, doncs, que els vectorsdonats son linealment independents.


5.9 Determinant d’un endomorfisme

El resultat seguent permet fer la definicio de determinant d’un endomor-fisme.

Proposicio 5.9.1. Si f es un endomorfisme d’un espai vectorial E dedimensio finita n, aleshores la matriu d’aquest endomorfisme en tota basequalsevol d’E te el mateix determinant.

Demostracio. En efecte. Si A i B son les matrius de l’endomorfisme endues bases diferents, sabem (vegeu capıtol 4, seccio 7) que la relacio quehi ha entre elles es:

B = S−1AS

Aleshores

det(B) = det S−1 det(A) det(S) =1

det(S)det(A) det(S) = det(A)

Amb aixo, te sentit la definicio seguent.

Definicio 5.9.1. S’anomena determinant de l’endomorfisme f al deter-minant de la matriu d’aquest endomorfisme, en una base qualsevol.

Es tambe conegut que els endomorfismes bijectius son aquells les ma-trius dels quals, en una base qualsevol, tenen rang maxim. Per tant,podem concloure que un endomorfisme es bijectiu si, i nomes si, el seudeterminant es no nul.

Exemple 5.9.1. Considerem l’endomorfisme

f : R3 −→ R3

(x1, x2, x3) −→ (2x1 − x2, x1 + 3x2, x1 − x3)

La matriu d’aquest endomorfisme, en la base natural d’R3, es

A =

2 −1 01 3 01 0 −1

el determinant de la qual es det A = −7. Aixı doncs, det f = −7.



Metode d’orbitals moleculars de Huckel

Aquest metode s’aplica a molecules organiques amb dobles enllacos con-jugats i permet obtenir les energies relatives aproximades dels orbitalsmoleculars π expressats com a combinacions lineals dels orbitals atomics.

Per a obtenir les energies d’aquests orbitals moleculars es procedeix de laforma seguent. Utilitzant que els millors orbitals moleculars son aquellsque minimitzen l’energia total, obtenim un sistema d’equacions lineal ihomogeni per als escalars que resulten d’expressar els orbitals molecularsen funcio dels orbitals atomics, que te solucions no trivials per als valorsλ per als quals det(A(λ)) es nul, essent A(λ) la matriu que te com aelements el valor λ a la diagonal principal, i la resta dels elements son 1o 0 depenent de si els atoms de carboni estan, o no, enllacats.

Aixı, en el cas del 1, 3−butadie, la matriu que s’obte es la matriu A4(λ)de l’exercici 7 d’aquest tema, en el cas del 1,3,5-hexatrie, es la matriuA6(λ) d’aquest mateix exercici i, en el cas d’un polie conjugat amb natoms de carboni qualsevol, amb n parell, es la matriu An(λ).

Per tant, en aquests casos, els valors λ buscats son les arrels dels poli-nomis:

t4 − 3t2 + 1

t6 − 5t4 + 6t2 − 1

. . .

tn − (n− 1)tn−2 +(n− 2)(n− 3)

2tn−4 − · · ·+ (−1)

12n

Per exemple, en el cas del 1,3-butadie, s’obtenen les arrels:

1

2

√5 +

1

2,−1

2

√5 +

1

2,−1

2

√5 +

1

2,−1

2

√5− 1

2

Aleshores les energies dels orbitals moleculars es prenen com a:

εi = α− λiβ

on α s’aproxima a l’energia dels orbitals atomics p lliures dels carbonis,β es un parametre semiempıric que es calcula a partir de la longitudd’ona d’absorcio de la molecula en questio i λi son els valors obtingutsanteriorment.



El calcul de determinants apareixen en una gran quantitat de problemes,no nomes en algebra lineal (per exemple en el capıtol seguent, per aestudiar la diagonalitzacio d’un endomorfisme necessitarem el seu poli-nomi caracteristic, que es un determinant) sino tambe en la geometria(calcul del volum d’un paral·lelepıpede, orientacio de l’espai, obtenciode les equacions de rectes o circunferencies que passen per punts donatsdel pla, o be plans o esferes que passen per punts donats de l’espai) ol’analisi infinitesimal (estudi d’extrems relatius de funcions de mes d’unavariable), per exemple. Un altre exemple de l’ us de determinants sonels determinants de Slater n-electronics, que son funcions que es podenformar a partir d’un conjunt complet de spinorbitals. De fet, qualsevolfuncio d’ona n-electronica es pot escriure com a combinacio de determi-nants de Slater normalitzats.

5.12 Exercicis

1. Determineu el signe de les permutacions de C5: s ◦ t , t ◦ s , s−1 , t−1

si

s : C5 7−→ C5

1 7−→ s(1) = 42 7−→ s(2) = 33 7−→ s(3) = 54 7−→ s(4) = 15 7−→ s(5) = 2

t : C5 7−→ C5

1 7−→ t(1) = 12 7−→ t(2) = 53 7−→ t(3) = 24 7−→ t(4) = 45 7−→ t(5) = 3

2. Trobeu el valor dels determinants de les matrius de M3(R) seguents:

A =

0@

1 0 34 −1 77 2 −1

1A , B =

0@

0 −1 01 1 10 1 0

1A

C =

0@

1 1 1−1 −3 01 2 1

1A , D =

0@

1 1 32 −2 44 2 3

1A

3. Trobeu el valor dels determinants de les matrius de M4(R) seguents:

A =

0BB@

0 0 1 12 −1 2 .12 1 3 −30 1 1 2

1CCA , B =

0BB@

0 1 1 02 −1 −1 02 2 1 −11 −1 2 0

1CCA

5.12. Exercicis 143

C =

0BB@

1 −1 0 00 1 2 −10 2 −2 01 −1 2 0

1CCA , D =

0BB@

1 1 −1 −20 0 1 10 −1 2 01 1 2 2

1CCA

4. Proveu que

V2 = det

0BB@

1 x1 x21 x3

11 x2

2 x22 x3

21 x3 x2

3 x33

1 x4 x24 x3

4

1CCA =

Y

1≤i<j≤4

(xj − xi)

En general,

Vn = det

0BBBB@

1 x1 x21 . . . xn−1

1

1 x2 x22 . . . xn−1

2. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .

1 xn x2n . . . xn−1

n

1CCCCA

=Y

1≤i<j≤n

(xj − xi)

per a n ≥ 2 (Es l’anomenat determinant de Van der Monde).

5. Calculeu els determinants de les matrius seguents:

A(t) =

∣∣∣∣t −2 0 0−2 t −2 00 −2 t −20 0 −2 t

∣∣∣∣ B(t) =

∣∣∣∣∣t 1 1 0 01 t 1 1 01 1 t 1 10 1 1 t 10 0 1 1 t

∣∣∣∣∣ C(t) =

∣∣∣∣∣t 1 1 1 11 t 1 1 11 1 t 1 11 1 1 t 11 1 1 1 t

∣∣∣∣∣

6. Calculeu els determinants de les matrius seguents:

a) A2(t) = | t 11 t | , b) A3(t) =

∣∣∣ t 1 01 t 10 1 t

∣∣∣ ,

c) A4(t) =

∣∣∣∣t 1 0 01 t 1 00 1 t 10 0 1 t

∣∣∣∣ , d) An(t) =

∣∣∣∣∣t 1 0 ... 0 0 01 t 1 ... 0 0 0... ... ... ...... ... ... ...0 0 0 ... 1 t 10 0 0 ... 0 1 t

∣∣∣∣∣ ,

7. Estudieu quin es el rang de les matrius seg uents.

A =

(1 −3 −13 −3 1−2 0 −25 −1 1

), B =

( −1 2 −3 41 −1 5 2−1 −3 2 31 2 −1 3

)

C =

( −1 1 2 0 01 3 −1 −1 41 1 2 1 −15 1 −1 2 32 −2 −1 1 4

), D =

(0 1 −1 1−1 0 1 12 −1 3 −33 4 −2 14 1 −3 −3

)


8. Estudieu si son invertibles les matrius seguents i, en cas de ser-ho,calculeu les seves inverses.

A =

(1 3 −2 5−3 −3 0 −1−1 1 −2 12 3 1 −1

), B =

( −1 0 1 22 −2 3 −10 1 −1 04 −3 5 −2

)

C =

(1 −2 3 −3 01 1 −2 2 13 −2 1 −1 00 0 2 3 −21 2 3 −1 −2

), D =

(3 0 2 1 01 0 1 2 −11 −1 −2 2 3−1 0 −2 0 03 0 −2 3 3

)

9. Sigui A una matriu de Mn(R) tal que Ap = 0 per a un cert p ∈ N(una tal matriu s’anomena nilpotent). Proveu que det(A) = 0.

10. Resoleu els sistemes lineals d’equacions seguents, utilitzant la reglade Cramer.

2x1 − 3x2 + x3 − x4 = 03x1 − 2x2 + x4 = 02x1 − 3x3 + x4 = −1

x1 − 2x2 + 2x3 + x4 = 1x1 − 2x2 + 3x3 = −1x1 + 3x2 − x3 = 1

x1 − x2 + x3 − x4 + 2x5 = 2x1 − x2 + x3 − x4 + 2x5 = 2

x1 + 2x2 + x3 − 2x5 = 1x1 − x3 + 2x4 + x5 = 1

3x1 + 2x2 + x3 + x6 = 1x1 + 2x4 + x5 = 1

2x1 + 3x5 − x6 = 0

11. Estudieu si son, o no, linealment independents, els conjunts devectors seguents.

a) {(2, 1,−3), (4, 5,−3), (2, 1, 1)}, {(1, 1, 3), (2,−1, 3), (2,−5,−3)}d’R3.

b) {(1, 2,−1,−2), (2, 1, 0, 0), (3,−1, 2,−2), (2,−1,−1, 1)},{(1, 1,−1,−2), (0, 0, 1, 1), (0,−1,−2, 0), (1, 1, 2, 2)} d’R4.

12. Estudieu per a quins valors de α son linealment independents elsconjunts de vectors seguents.

a) {(1, α, 2), (−1, α, 3), (2, 1, 1)} d’R3.

b) {(1, α, 0, 1), (1, 1, 0, 0), (1,−1, 0, α), (1, 0, 2, 1)} d’R4.

13. Calculeu el determinant dels endomorfismes seguents.

a)f : R4 −→R4

(x1, x2, x3, x4) −→(x1 + x2 − x3, x1 − x2 + x3, x1 − x4, x3 + x4)

5.12. Exercicis 145

b)f : R3[t] −→ R3[t]

p(t) −→ p(t) + p′′(t)

c)f : M2(R) −→ M2(R)(

a bc d

)−→

(a −dc b

)

14. Considereu l’aplicacio f : M2 −→ R que ve definida per f(A) =det(A). Estudieu si es f lineal.

15. Siguin f, g endomorfismes bijectius d’un espai vectorial E de di-mensio finita. Determineu, en funcio de det(f) i det(g), els deter-minants dels endomorfismes seguents:

f ◦ g, g ◦ f, (f ◦ g)−1, (g ◦ f)−1.

16. Sigui A ∈ M2(R) fixa. Considereu els endomorfismes d’M2(R) quevenen definits per:

f1(M) = AM, f2 = MA, f3(M) = AtM, f4 = MAt

Proveu que: det(f1) = det(f2) = det(f3) = det(f4).

17. Siguin F , G dos subespais vectorials d’R4 tals que F ⊕ G = R4.Siguin f , g dos endomorfismes bijectius d’F i G, respectivament.Definim l’endomorfisme h d’R4 per: h(x) = f(x1) + g(x2) si x =x1 + x2 amb x1 ∈ F , x2 ∈ G. Proveu que h es tambe bijectiu.

Indicacio: Proveu previament que F i G son invariants per h.

18. Sigui E = End (Rn) i considereu el conjunt C = {f ∈ E | det(f) 6=0}. Proveu que C amb l’operacio composicio es un grup (no com-mutatiu), pero que amb l’operacio suma no es grup.

19. Sigui f l’endomorfisme d’Rn que ve definit per f(x) = λx ∀x ∈Rn, amb λ ∈ R fix (un tal endomorfisme s’anomena homtecia).Determineu que val det(f).

20. Sigui f l’endomorfisme d’Rn que a cada vector d’Rn li fa corres-pondre la projeccio ortogonal d’aquest vector sobre un subespaiF 6= {0}, Rn fixat. Proveu que det(f) = 0.

21. Siguin F1, . . . , Fp subespais vectorials d’Rn tals que Rn = F1 ⊕. . . ⊕ Fp. Siguin fi els endomorfismes que a cada vector d’Rn lifan correspondre la seva projeccio ortogonal sobre el subespai Fi,1 ≤ i ≤ p. Determineu el valor de det(f1 + . . . + fp).



Calcul de determinants


> A := Matrix([[1,2,8,1,1,2,0],[0,0,1,2,2,-3,4],[-1,-2,1,2,3,4,5],[1,2,0,0,0, 3,4],[1,-2,2,-2,3,-3,0],[4,1,1,2,3,-4],[1,1,1,0,0,0,2]]);

A :=

1 2 8 1 1 2 00 0 1 2 2 −3 4

−1 −2 1 2 3 4 51 2 0 0 0 3 41 −2 2 −2 3 −3 04 1 1 2 3 −4 01 1 1 0 0 0 2

> Determinant(A);

−11277

> B:=Matrix([[1,a,3-a],[3,1+a,2],[4*a,2,-1]]);

B :=

1 a 3− a3 1 + a 2

4 a 2 −1

> Determinant(B);

13− 16 a + 4 a3

Capıtol 6

Diagonalitzaciod’endomorfismes

6.1 Introduccio

Hem vist al capıtol 4 que, donat un endomorfisme d’un espai vectorial Esobre un cos commutatiu K, f : E −→ E, la seva matriu varia segons labase en la qual s’expressi. Si f En alguns casos es possible trobar unabase d’E en la que la matriu de l’endomorfisme es diagonal. Direm enaquest cas que l’endomorfisme es diagonalitzable.

Conceptes claus per estudiar si un endomorfisme es diagonalitzable sonel polinomi caracterıstic i els valors propis, que van ser introduıts perCayley, i el polinomi anul.ldor mınim que va introduir Frobenius.

L’anomenat Teorema de Cayley-Hamilton va ser provat per matrius d’or-dre 2,3 per Cayley, d’ordre 4 per Hamilton. El cas general va ser provatper Frobenius.

Al llarg d’aquest capıtol, E sera un espai vectorial sobre un cos commu-tatiu K de dimensio n, i f un endomorfisme d’E.

6.2 Vectors propis i valors propis

A l’hora d’estudiar si un endomorfisme es diagonalitzable necessitemconeixer el concepte de vector propi.

147

148 Capıtol 6. Diagonalitzacio d’endomorfismes

Definicio 6.2.1. Un vector v ∈ E es diu que es un vector propi d’f siv 6= 0 i existeix λ ∈ K tal que f(v) = λv.

Definicio 6.2.2. Un escalar λ ∈ K es diu que es un valor propi d’f siexisteix v ∈ E, v 6= 0 tal que f(v) = λv.

Llavors, diem que v es un vector propi de valor propi λ i que λ es unvalor propi associat al vector propi v.

Proposicio 6.2.1. Sigui f ∈ End (E). Aleshores:

1. {vectors propis de f associats a λ} = Ker(f − λid)− {0}.2. λ valor propi de f ⇐⇒ Ker(f −λid) 6= {0} ⇐⇒ rg(f −λid) < n

⇐⇒ det(f − λid) = 0

Demostracio. 1. v es vector propi de l’endomorfisme f si, i nomes si,v 6= 0 i f(v) = λv per a un cert λ ∈ K. Pero:

f(v) = λv ⇐⇒ f(v)− λv = 0 ⇐⇒ f(v)− λid(v) = 0 ⇐⇒(f − λid)(v) = 0 ⇐⇒ v ∈ Ker(f − λid)

2. λ es un valor propi de l’endomorfisme f si, i nomes si, existeixv ∈ Ker(f − λid)− {0}. Pero:

∃v ∈ Ker(f − λid)− {0} ⇐⇒ Ker(f − λid) 6= {0} ⇐⇒dim Ker(f − λid) > 0 ⇐⇒ dim Im(f − λid) < n ⇐⇒

rg (f − λid) < n ⇐⇒ det(f − λid) = 0

Exemple 6.2.1. Sigui f l’endomorfisme d’R3 que ve donat per

f(x, y, z) = (3x + y + 3z, 4x + 3y + 3z, 2x + y + z)

Aleshores 1 es valor propi d’aquest endomorfisme, ja que la matriu de fen la base canonica d’R3 es:

M = Me(f) =

3 1 34 3 32 1 1

6.2. Vectors propis i valors propis 149

irg (M − I) = 2

A mes, els vectors propis de valor propi 1 son els vectors no nuls quepertanyen al subespai vectorial

Nuc (M − I) = [e1 − 2e2]

Remarca. Els vectors propis de valors propi λ d’f son els vectors x ∈ Eles components x1, . . . , xn dels quals, en la base u, verifiquen el sistema

(A− λI)X = 0 on X =

x1...

xn

.

si A es la matriu de l’endomorfisme f en la base u.

Aquest sistema es sempre compatible indeterminat, ja que es homogenii rg (A− λI) < n.

Exemple 6.2.2. Sigui f l’endomorfisme d’R3 la matriu del qual, en la baseu = ((1,−1, 0), (2, 1, 1), (0,−1, 3)) es

A =

1 0 12 −1 11 0 1

Aleshores 2 es valor propi de l’endomorfisme f i els vectors propis d’f devalor propi 2 son aquells les components x1, x2, x3 dels quals, en la baseu, satisfan el sistema:

−1 0 12 −3 11 0 −1

x1

x2

x3

= 0

Es a dir, son aquells tals que x1 = x2 = x3 (6= 0). Aixı doncs, els vectorspropis de valor propi 2 de l’endomorfisme f son els vectors de la forma:

v = α[(1,−1, 0) + (2, 1, 1) + (0,−1, 3)] = α(3,−1, 4)

amb α ∈ R, α 6= 0.

Remarca. Pot ser util, a l’hora de buscar valors propis, tenir present elseguent.


1. Si A ∈ Mn(K) es una matriu triangular (superior o inferior) ambelements (a11 . . . ann) a la diagonal principal, aleshores els valorspropis de l’endomorfisme f que te com a matriu associada, en unacerta base, la matriu A, son a11, . . . , ann, ja que rg (A− aiiI) < n.

2. Si A = Mu(f) i, en sumar tots els vectors columnes d’A obtenimun vector columna del tipus

λλ...λ

= λ ·

11...1

llavors, λ es un valor propi ja que aixo significa que:

f(v1)+· · ·+f(vn) = f(v1+· · ·+vn) = λv1+· · ·+λvn = λ(v1+· · ·+vn)

es a dir,f(v1 + · · ·+ vn) = λ(v1 + · · ·+ vn)

i, per tant, v1 + · · ·+ vn sera un vector propi associat al valor propiλ.

3. De forma analoga, si en sumar els vectors columna i1, . . . , ip obten-im un nou vector columna amb un mateix escalar λ a les filesi1, . . . , ip i la resta “zeros”, aquest λ es un valor propi i vi1 + . . .+vip

es un vector propi associat a aquest valor propi ja que

f(vi1 + . . . + vip) = f(vi1) + . . . + f(vip) = λ(vi1 + . . . + vip) .

Exemple 6.2.3. L’endomorfisme f d’R4 que te per matriu, en la basenatural d’R4,

A =

1 −3 2 30 2 0 1−1 1 1 22 −3 2 2

te 3 com a valor propi, ja que la suma dels vectors columna de la matriuA es el vector columna

3333

El resultat seguent es clau en la caracteritzacio dels endomorfimes dia-gonalitzables.

6.2. Vectors propis i valors propis 151

Proposicio 6.2.2. Siguin λ1, . . . , λm valors propis diferents d’f . Aleshores,si v1, . . . , vm son vectors propis de valors propis λ1, . . . , λm, respectiva-ment, v1, . . . , vm son linealment independents.

Demostracio. La farem per induccio sobre m.

Si m = 1, l’enunciat es clar ja que un vector propi es no nul.

Suposem l’enunciat cert per a un conjunt amb, com a maxim, m − 1vectors propis. Si v1, . . . , vm son vectors propis d’f de valors propisdiferents λ1, . . . , λm i, per a uns certs escalars α1, . . . , αm ∈ K es te:α1v1 + . . . + αmvm = 0 aleshores tambe

(f − λmid)(α1v1 + . . . + αmvm) =α1(f − λmid)v1 + . . . + αm(f − λmid)vm =α1f(v1)− α1λmv1 + . . . + αmf(vm)− αmλmvm =α1λ1v1 − α1λmv1 + . . . + αmλmvm − αmλmvm =α1(λ1 − λm)v1 + . . . + αm(λm−1 − λm)vm−1 = 0.

Per hipotesi d’induccio v1, . . . , vm−1 son linealment independents. Pertant, α1(λ1 − λm) = . . . = αm−1(λm−1 − λm) = 0.

En ser λ1, . . . , λm−1 tots diferents entre si, necessariament es α1 = . . . =αm−1 = 0. Llavors:

α1v1 + . . . + αmvm = αmvm = 0

d’on αm = 0 ja que vm es vector propi i, per tant, vm 6= 0. Aixı doncs,v1, . . . , vm son linealment independents.

Exemple 6.2.4. Sigui f l’endomorfisme d’R3 que ve donat per

f(x, y, z) = (2x + z, 3y, 2z) .

Aleshores 2 i 3 son els valors propis d’aquest endomorfisme, ja que lamatriu de f en la base canonica d’R3 es:

M = Me(f) =

2 0 10 3 00 0 2

i observem querg (M − 2I) = rg (M − 3I) = 2


Els vectors propis de valor propi 2 son els vectors no nuls que pertanyenal subespai vectorial

Nuc (M − 2I) = [e1]

i els vectors propis de valor propi 3 son els vectors no nuls del subespaivectorial

Nuc (M − 3I) = [e2]

Es clar que els vectors propis corresponens a cadascun dels dos valorspropis son linealment independents.

Remarca. Aquest resultat ens permet afirmar que si λ1, . . . , λm son elsvalors propis d’un endomorfisme f aleshores la suma dels subespais

Nuc (f − λ1I) + · · ·+ Nuc (f − λmI)

es directa.

No necessariament, pero, la suma anterior ha de ser igual a E, la qualcosa es veu per exemple en l’exemple anterior.

6.3 Polinomi caracterıstic

Comencem observant el fet seguent.

Proposicio 6.3.1. Si u, v son dues bases d’E i A = Mu(f), B = Mv(f),llavors det(A− tI) = det(B − tI).

Aquest resultat ens permet definir el polinomi caracterıstic d’un endo-morfisme.

Definicio 6.3.1. S’anomena polinomi caracterıstic d’f a:

Qf (t) = det(A− tI)

essent A ∈ Mn(K) la matriu de f en una base qualsevol.

Remarca. Observem que QA(t) = det(A − tI) = det(A − tI)t =det(At − tI).

Una altra manera de calcular el polinomi caracterıstic d’un endomorfismees la seguent.

6.3. Polinomi caracterıstic 153

Proposicio 6.3.2.

Qf (t) = (−1)ntn + (−1)n−1Σ1tn−1 + · · ·+ (−1)n−kΣkt

n−k + · · ·+ Σn ,

on Σ1, . . . , Σk, . . . , Σn son, respectivament, les sumes dels menors d’ordrek de la matriu A = (aij)1≤i,j≤n “sobre la diagonal principal”, es a dir,dels menors:

µ`1...`k`1...`k

, amb 1 ≤ `1 < `2 < . . . < `k ≤ n

En particular:

Σ1 = tr A = a11 + . . . ann

Σn = det A

Exemple 6.3.1. El polinomi caracterıstic de l’endomorfisme f d’R5, lamatriu del qual, en una certa base d’R5 es

M =

4 1 2 0 812 3 −5 0 90 0 1 0 −10 0 2 −1 −30 0 1 0 −1

esQf (t) = −t3(t + 1)(t− 7).

Una forma alternativa de determinar els valors propis d’un endomorfismef es la que ens proporciona el resultat seguent.

Proposicio 6.3.3. Els valors propis d’un endomorfisme f son les arrelsde Qf (t).

Demostracio.

λ ∈ K es valor propi de f ⇐⇒ det(A− λI) = 0 ⇐⇒ λ es arrel de Qf (t)


Exemple 6.3.2. Considerem l’endomorfisme f d’R4 la matriu del qual, enuna base v d’R4 es

A =

2 1 1 −11 2 1 −11 1 2 −10 −2 2 3

El polinomi caracterıstic de f es:

Qf (t) = (t− 1)2(t− 3)(t− 4).

Els valors propis de f son, doncs, λ1 = 1 (amb multiplicitat algebraica2), λ2 = 3 i λ3 = 4.

Remarca. Noteu que si f diagonalitza i A es la seva matriu en unacerta base u de E, i D es la matriu en una base de vectors propis de f(D sera una matriu diagonal) llavors

{tr A = λ1 + · · ·+ λn

det A = λ1 · · · · · λn

essent λ1, . . . , λn els elements de la diagonal principal de D, es a dir, elsvalors propis.

Exemple 6.3.3. L’endomorfisme f d’R3 que ve donat per

f(x, y, z) = (−x− 2y − 2z,−2x− y − 3z, 2z)

te valors propis −3, 1, 2 ja que la matriu de f , en la base canonica d’R3

es:

M = Me(f) =

−1 −2 −2−2 −1 −3

0 0 2

i Qf (t) = det(A − tI) te aquestes arrels. La matriu de f , en una baseformada per vectors propis, es la matriu diagonal:

−3

12

6.4. Endomorfismes diagonalitzables 155

6.4 Endomorfismes diagonalitzables

Per acabar aquest capıtol veurem sota quines condicions existeix unabase d’E de manera que la matriu de l’endomorfisme f , en aquesta base,es una matriu diagonal.

Definicio 6.4.1. Diem que l’endomorfisme f es diagonalitzable (o sim-plement que f diagonalitza) si existeix una base v d’E tal que

Mv(f) =

λ1 0 . . . 00 λ2 0...

. . ....

0 . . . 0 λn

on λi ∈ K

En aquest cas, λ1, . . . , λn son els valors propis de A.

Aixı doncs, f es diagonalitzable si, i nomes si, existeix una base v =(v1, . . . , vn) d’E formada per vectors propis de f .

De forma analoga, es parla de matrius diagonalitzables. Diem que unamatriu A ∈ Mn(K) es diagonalitzable, o que A diagonalitza, si l’endo-morfisme f : Kn −→ Km associat a A es diagonalitzable. Es a dir, siexisteix S ∈ Mn(K) invertible tal que

S−1AS = D =

λ1 0 . . . 00 λ2 0...

. . ....

0 . . . 0 λn

on sj ∈ Kn (vector columna j-esima de S) es un vector propi de fA

associat al valor propi λj.

De forma immediata es pot comprovar el resultat seguent.

Proposicio 6.4.1. Si λ1, . . . , λm son els valors propis d’un endomorfismef aleshores f es diagonalitzable si, i nomes si,

E = Ker (f − λ1id)⊕ · · · ⊕Ker (f − λmid)


Exemple 6.4.1. L’endomorfisme f d’R3 que ve definit per:

f(x1, x2, x3) = (−x1 + x2, x2, x3)

te valors propis −1, 1, 2. Els vectors propis associats son els vectos nonuls dels subespais

Ker (f+id) = [(1, 0, 0)], Ker (f−id) = [(1, 0, 0)], Ker (f−2id) = [(1, 3, 0)]

Aleshores:

R3 = Ker (f + id)⊕Ker (f − id)⊕Ker (f − 2id)

i, per tant, concloem que f es un endomorfisme diagonalitzable. La sevamatriu, en la base ((1, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 3, 0)), es:

−1

12

No tots els endomorfismes son diagonalitzables. La causa es troba en ladesigualtat seguent.

Proposicio 6.4.2. Si λ ∈ K es una arrel de Qf (t) de multiplicitat d,llavors

(1 ≤) dim Ker (f − λid) ≤ d .

Demostracio. Sigui (u1, . . . , vm) una base de Ker(f − λid). Ampliemaquesta base del subespai Ker(f − λid) a una base d’E:

u = (u1, . . . , um, um+1, . . . , un)

En aquesta base, la matriu de l’endomorfisme f es de la forma

λ ? . . . ?. . .

......

λ ? . . . ?0 ? . . . ?

. . ....

...0 ? . . . ?

=

(λIm A1

0 A2

)

6.5. Teorema de diagonalitzacio 157

ja que f(u1) = λu1, . . . , f(um) = λum. Aleshores:

Qf (t) = det

(λIm − tIm A1

0 A2 − tIn−m

)= (λ− t)m det(A2 − tI)

i per tant, la multiplicitat algebraica del valor propi λ es mes gran o igualque m.

Si per a algun dels valors propis de f no es te la igualtat, no es potaconseguir trobar una base d’E formada per vectors propis de f i, pertant, l’endomorfisme no diagonalitza. Aixo es el que veurem de formames precisa en la seccio seguent.

6.5 Teorema de diagonalitzacio

A continuacio enunciem el resultat principal del capıtol.

Teorema 6.5.1. Si λ1, . . . , λm son tots els valors propis de f , cadascunamb la seva multiplicitat:

f diagonalitza⇐⇒

a) Qf (t) descompon totalment, es a dir, es de laforma:

Qf (t) =(−1)n(t− λ1)d1(t− λ2)

d2 . . . (t− λs)ds

b) dim Ker (f − λiid) = di, ∀i, 1 ≤ i ≤ s

Demostracio. Suposem que f es diagonalitzable. Aleshores existeix unabae v = (v1

1, . . . , v1d1

, . . . , vm1 , . . . , vm

dm) en la qual la matriu d’f es

D =

λ1

...(d1

λ1

...λm

...(dm

λm

Llavors, el polinomi caracterıstic d’f es:

Qf (t) = det(D − tI) = (λ1 − t)d1 . . . (λm − t)dm

(apreciem que descompon totalment).


A mes,

dim Ker (f − λ1id) = n− rang(f − λ1id) =

= n− rang

0

...(d1

0...

λm

...(dm

λm

= n(n− d1) = d1

...dim Ker (f − λmid) = n− rang(f − λmid) =

= n− rang

λ1

...(d1

λ1

...0

...(dm

0

= n(n− dm) = dm

Recıprocament. Suposem que es compleixen les condicions a) i b) delenunciat del teorema. Aleshores existeixen

v11, . . . , v

1d1∈ Ker(f − λ1id) linealment independents

...vm

1 , . . . , vmdm∈ Ker(f − λmid) linealment independents

En ser aquests conjunts de vectors propis de valor propi diferent, sonlinealment independents entre si (veure prop. 2 a §6.2) i ates que n’hiha en total d1 + . . . + dm = grau Qf (t) = n = dim E formen una based’E. Aixı, existeix una base d’E constituıda per vectors propis de f i,per tant, f es diagonalitzable.

Remarca.

1. Observem que la condicio a) sempre es dona quan K = C.

2. A mes, si λ es una arrel de Qf (t) de multiplicitat 1, la condicio b)del primer teorema de diagonalitzacio sempre es compleix (veureProp. 6 a §6.4). Aixı, nomes cal comprovar la condicio b) per a lesarrels de Qf (t) amb multiplicitat mes gran que 1.

6.6. El Teorema de Cayley-Hamilton 159

6.6 El Teorema de Cayley-Hamilton

Sigui f un endomorfisme de l’espai vectorial E, sigui p(t) ∈ K[t],p(t) = a0 + a1t + a2t

2 + · · ·+ amtm un polinomi.

Definicio 6.6.1. Es diu que el polinomi p(t) anul·la f quan l’endomor-fisme d’E, a0id + a1f + a2f

2 + · · · + amfm es igual a l’endomorfismenul.

D’entre tots els polinomis que anul·len un endomorfisme f , el polinomimonic de grau mınim s’anomena polinomi anul.lador mınim d’f .

Li posarem: pf (t).

Remarca. Si p(t) es un polinomi qualsevol que anul.la f , aleshores p(t)es un multiple de pf (t). Per a comprovar aquesta afirmacio nomes caltenir en compte que si fem la divisio entera de polinomis de p(t) entrepf (t), la resta, en tenir grau mes petit que pf (t), ha de ser 0.

Exemple 6.6.1. Considereu l’endomorfisme d’R2 la matriu del qual, en labase natural d’R2 es:

A =

(2 10 2

)

Son polinomis anul·ladors d’aquest endomorfisme:

1. p1(t) = t2 − 4t + 4

2. p2(t) = t3 − 7t2 + 16t− 12

3. p3(t) = t4 − 4t3 + 3t2 + 4t− 4

ja que

1. p1(f) = f 2 − 4f + 4id = 0

2. p2(f) = f 3 − 7f 2 + 16f − 12id = 0

3. p3(f) = f 4 − 4f 3 + 3f 2 + 4f − 4id = 0

la qual cosa es comprova de forma immediata a partir de la matriu d’a-quests endomorfismes:

1. p1(A) = A2 − 4A + 4I = 0


2. p2(A) = A3 − 7A2 + 16A− 12I = 0

3. p3(A) = A4 − 4A3 + 3A2 + 4A− 4I = 0

D’entre ells, es p1(t) = t2− 4t + 4 el de grau menor. A mes, no hi ha cappolinomi de grau 1 que anul·li l’endomorfisme. En efecte. Si n’hi haguesun de la forma q(t) = t + a, aleshores hauria de ser q(A) = A + aI = 0la qual cosa es veu que no es possible. Per tant, doncs, el polinomip1(t) = t2−4t+4 es el polinomi anul·lador mınim d’aquest endomorfisme.

De totes maneres, es clar que no es practic anar provant amb polinomisde grau cada cop mes gran per trobar el polinomi anul·lador mınim. Elsresultats seguents ofereixen una informacio important per a trobar-lo.

Proposicio 6.6.1. Les arrels del polinomi anul·lador mınim d’un endo-morfisme son els valors propis d’aquest.

Remarca. Les multiplicitats algebraiques dels valors propis no tenenper que coincidir amb les multiplicitats d’aquests valors com a arrels delpolinomi anul·lador mınim (tot i que sempre son mes petites o iguals queaquestes).

Teorema 6.6.1 (de Cayley-Hamilton). El polinomi caracterıstic d’unendomorfisme l’anul·la.

Una de les formes possibles de provar aquests dos darrers resultats estenint en compte el Teorema de triangulacio que hem inclos en l’Apendixd’aquest capıtol.

Finalitzem aquest apartat veient en un cas concret com podem aplicaraquests resultats.

Exemple 6.6.2. Sigui f un endomorfisme d’R3, del que sabem que n’esanul.lador el polinomi p(t) = t2(t − 2)(t − 3). Amb aixo podem deduirque els valors propis de f pertanyen al conjunt {0, 2, 3}. Els casos quees poden donar son els seguents.

1. 0 es l’unic valor propi de f . Aleshores el polinomi caracterıstic def es Qf (t) = t3 i pf (t) es, o be t o be t2.

2. 2 es l’unic valor propi de f . Aleshores el polinomi caracterıstic def es Qf (t) = (t− 2)3 i pf (t) = t− 2.

6.6. El Teorema de Cayley-Hamilton 161

3. 3 es l’unic valor propi de f . Aleshores el polinomi caracterıstic def es Qf (t) = (t− 3)3 i pf (t) = t− 3.

4. 0 i 2 son els valors propis de f . Aleshores el polinomi caracterısticde f , Qf (t), es o be t2(t− 2) o be t(t− 2)2 i pf (t) es, o be t(t− 2)o be t2(t− 2).

5. 0 i 3 son els valors propis d’f . Aleshores el polinomi caracterısticde f , Qf (t), es, o be t2(t− 3) o be t(t− 3)2 i pf (t) es, o be t(t− 2)o be t2(t− 3).

6. 2 i 3 son els valors propis de f . Aleshores el polinomi caracterısticde f , Qf (t), es, o be =(t− 2)2(t− 3) o be (t− 2)(t− 3)2 i pf (t) es,o be (t− 2)t(t− 2).

7. 0, 2 i 3 son valors propis de f . Aleshores el polinomi caracterısticde f es Qf (t) = t(t− 2)(t− 3) i pf (t) es tambe t(t− 2)(t− 3).

Del Teorema de Cayley-Hamilton es pot deduir una forma de trobarl’endomorfisme invers d’un endomorfisme bijectiu.

Exemple 6.6.3. Sigui f l’endomorfisme d’R3 la matriu del qual, en la basenatural, es:

A =

2 1 11 2 11 1 2

El polinomi caracterıstic d’aquest endomorfisme es igual a

Qf (t) = (t− 1)2(t− 4)

Per tant,

(A− I)2(A− 4I) = A3 − 6A2 + 9A− 4I = 0

d’on es pot deduir (1

9A2 − 3

2A +

9

4I

)A = I

i, per tant,

A−1 =1

9A2 − 3

2A +

9

4I


6.7 Apendix A

Triangulacio d’endomorfismes

En general, encara que un endomorfisme d’un espai vectorial de dimensiofinita no sigui diagonalitzable, sı que es possible de trobar una base enla que la seva matriu es senzilla: la forma reduıda de Jordan, que es unamatriu diagonal a blocs, i triangular. Trobar aquesta forma reduıda ex-cedeix dels objectius d’aquest curs. Incloem aquı, no obstant, el resultatque afirma que per a tot endomorfisme existeix una base en la que laseva matriu es triangular (superior), ja que amb ell es poden completarles demostracions dels resultats que es presentaven en la darrera secciod’aquest tema. L’unica condicio que necessitem imposar es que el poli-nomi caracterıstic de l’endomorfisme descompongui totalment en K (sitreballem sobre C aixo sempre passa).

Teorema 6.7.1. Sigui f un endomorfisme d’un espai vectorial E dedimensio finita n. Si els valors propis d’ f son tots a K, aleshores existeixuna base d’E tal que la matriu d’f en aquesta base es triangular superior,amb els valors propis a la diagonal.

Demostracio. Per induccio sobre n.

Si n = 1, no hi ha res a provar.

Suposem ara el resultat cert per a espais vectorials de dimensio fins an − 1. Sigui λ1 un dels valors propis de f , i v1 un vector propi de valorpropi λ1. Considerem una base d’E de la qual sigui el primer vector v1,

u = (v1, u2, . . . , un)

Posem F = [u2, . . . , un].

La matriu de l’endomorfisme f en la base u es de la forma:

A =

λ1 a12 . . . a1

n

0... B0

Posem g a l’endomorfisme d’F la matriu del qual, en la base (u2, . . . , un)es B. Ates que Qf (t) = det(A−tI) = (λ1−t)Qg(t), els valors propis de g

6.8. Apendix B 163

seran λ2, . . . , λn, els restants valors propis de f . Per hipotesi d’induccio,existeix una base (v2, . . . , vn) d’F tal que la matriu de g en aquesta basees triangular superior amb els valors propis λ2, . . . , λn a la diagonal.

Observeu que v = (v1, v2, . . . , vn) es una base d’E, i la matriu de l’endo-morfisme f en aquesta base es triangular, amb λ1, λ2, . . . , λn a la diago-nal, com es volia provar.

6.8 Apendix B

Descomposicio a valors singulars

Si A ∈ Mm×n(K) es una matriu quadrada qualsevol, la matriu AtA essimetrica, com es comprova facilment. Pel teorema espectral real, aquestamatriu diagonalitza.

Definicio 6.8.1. S’anomenen valors singulars de la matriu A a l’arrelquadrada (positiva) dels valors propis de la matriu AtA.

La relacio entre el rang de la matriu A i els seus valors singulars veexpressat en el resultat seguent.

Proposicio 6.8.1. El nombre de valors singulars no nuls d’una matriues igual al rang d’aquesta matriu.

A mes, es compleixen la relacio seguent.

Proposicio 6.8.2. El producte dels valors singulars d’una matriu coin-cideix amb el determinant d’aquesta matriu en valor absolut.

Si s1, . . . sr, 0, . . . , 0 son els valors singulars d’una matriu A, aleshores po-dem descompondre la matriu A en producte d’una matriu en la diagonalde la qual apareixen aquests valors singulars i de dues matrius ortogonals.

Teorema 6.8.1. Si A ∈ Mm×n(K) te valors singulars no nuls s1, . . . sr,aleshores es pot escriure

A = S

s1

. . .

sr

0 . . . 0...

...0 . . . 0

T o be A = S

s1 0 . . . 0. . .

......

sr 0 . . . 0

T


segons si m > n o be m < n, respectivament, i essent S i T matriusortogonals.

Exemple 6.8.1. Els valors singulars de la matriu

A =

0 0 181 0 −110 1 6

son: 22.69, 1.02 i 0.39.


Efecte Stark

Considerem el desdoblament que es produeix en el segon nivell energeticd’un atom d’hidrogen per efecte d’un camp electric extern d’intensistatF i dirigit segons l’eix z. Suposem que l’atom es troba en algun estat delnivell E2. Es pot prescindir del factor d’spin en les funcions d’ona delsistema, ja que ni el hamiltonia no pertorbat ni la pertorbacio inclouenoperadors d’spin.

Els orbitals Φ2s, Φ2px , Φ2py , Φ2pz son una base del subespai corresponent.La matriu que representa la pertorbacio en aquesta base es:

A =

0 0 0 −3F0 0 0 00 0 0 0

−3F 0 0 0

els valors propis de la qual son: −3F , 0(2) i 3F .

Es dedueix d’aquı que la pertorbacio ha desdoblat el nivell E(0)2 de l’atom

aıllat en tres nivells, un d’ells doblement degenerat.

Calculem els vectors propis corresponents a cada valor propi:

Ker (A + 3F ) = [(1, 0, 0, 1)]Ker A = [(0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)]Ker (A− 3F ) = [(1, 0, 0,−1)]

Obtenim d’aquesta manera una base de l’espai formada per vectors propis:(

1√2(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0),

1√2(1, 0, 0,−1)

)

6.10. Comentaris finals 165

i que, a mes, es ortonormal (en el capıtol seguent veurem que aixo semprees possible, quan la matriu es real i simetrica).

Concloem que les funcions d’ordre zero correctes son:

ψ(0)1 = 1√

2Φ2s + 1√

2Φ2pz

ψ(0)2 = Φ2px

ψ(0)3 = Φ2py

ψ(0)4 = 1√

2Φ2s − 1√

2Φ2pz


El conjunt de matrius que son diagonalitzables es generic dins de l’es-pai de les matrius quadrades. Aixo significa que, donada una matriua l’atzar, tenim una maxima probabilitat de que aquesta matriu siguidiagonalitzable.

El treballar amb la forma diagonal d’un endomorfisme, quan aquest esdiagonalitzable, es molt aventatjos des del punt de vista operatiu, ja quefacilita els calculs. A mes, subministra informacio de l’endomorfisme.

La diagonalitzacio de matrius s’utilitza en molts problemes de diferentscamps: economia, demografia, explotacions forestals o agrıcoles,... enque els models matematics dels sistemes tendeixen a una configuraciopermanent per a periodes de temps grans.

Aixı per exemple, l’evolucio de les cadenes de Markov. A mes, el calcul depotencies d’una matriu, en base a la seva diagonalitzacio, permet fer esti-macions a llarg perıode de la propagacio de caracterıstiques hereditariesd’animals i plantes en genetica; l’estudi del creixement d’una poblaciorespecte el temps i la distribucio de las edats, etc.

Els vectors propis son molt utilitzats en mecanica en relacio amb elssolid-rigids, ja que son els eixos principals d’inercia.

6.11 Exercicis

1. Trobeu els valors propis de l’endomorfisme d’R4 que ve definit per

f(x1, x2, x3, x4) = (x1 + x3, 2x2 − x4,−x3 + x4, 2x4)


2. Trobeu els valors propis de l’endomorfisme d’R5 que ve definit per

f(x1, x2, x3, x4, x5) = (−x1, x1 + 2x2, x3,−x5, x4)

3. Sigui f l’endomorfisme d’R6 la matriu del qual, en la base canonicad’R6, es

M =

1 2 1 0 2 −50 −1 0 0 0 0−1 3 −1 0 8 90 0 0 2 0 00 0 0 0 4 120 0 0 0 1 3

Trobeu el seu polinomi caracterıstic.

4. Trobeu el polinomi caracterıstic de l’endomorfisme f d’R3 que vedonat per

f(x, y, z) = (−3y + 2z, 2x− y, x− 2z) .

5. Estudieu la diagonalitzacio dels endomorfismes d’R3 les matriusdels quals, en la base canonica d’R3, son:

A =

−1 2 0−2 3 0−2 1 2

B =

1 4 −20 3 01 1 1

6. Estudieu la diagonalitzacio dels endomorfismes d’R4 la matriu delsquals, en la base canonica d’R4, son:

A =

1 0 −1 02 −1 −3 01 0 −1 00 0 0 2

, B =

0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0

7. Estudieu la diagonalitzacio sobre R de l’endomorfisme f d’R3[t] queve definit per

f(a0 + a1t + a2t2 + a3t

3) =

= (a0 − a1) + 2a1t− a2t2 + (a2 + 2a3)t

3.

8. Estudieu la diagonalitzacio de l’endomorfisme f d’R3[t] que vedefinit per f(P (t)) = P ′′(t)− P ′(0)t.

6.11. Exercicis 167


f(x, y, z) = (3x,−y + az, 3x + bz)

Per a quins valors de a, b ∈ R es f diagonalitzable?


f(e1) = f(e2) = a(e1 + e2 − e3 + e4),

f(e3) = f(e4) = b(e1 + e4)

Estudieu la diagonalitzacio de f , segons els diferents valors de a, b ∈R i, en el cas en que sigui diagonalitzable, trobeu una base devectors propis.

11. Sigui f un endomorfisme d’un espai vectorial E sobre K de dimen-sio n. Proveu que f es injectiu si, i nomes si, Qf (0) 6= 0.

12. Considereu l’endomorfisme d’R4 que ve definit per

f(e1 + e2) = 2(e1 − e2)f(e1 − e2 + e3) = e1 − e2 + 3e3

f(2e2 + e3) = 2e1 − 2e2 + 3e3

f(e4) = 0

(a) Trobeu els valors propis d’aquest endomorfisme, i, per a cadas-cun d’ells, trobeu el subespai que formen els vectors propis(junt amb el vector nul).

(b) Estudieu si diagonalitza.

13. Sigui fα l’endomorfisme d’R3 tal que

fα(e1) = fα(e2) = α(e1 + e3), e3 ∈ Ker fα

(a) Estudieu si fα es diagonalitzable.

(b) En cas afirmatiu, trobeu una base de vectors propis i la matriuDα de fα en aquesta base.

14. Sigui f l’endomorfisme d’R[t] que ve definit per

f(p(t)) = tp′′(t) + t2p′′′(t)

(a) Proveu que R3[t] = {p(t) ∈ R[t] | gr p ≤ 3} es un subespaiinvariant per f .


(b) Trobeu la matriu de f∣∣R3[t]

en la base (1, t, t2, t3) de R3[t].

(c) Estudieu la diagonalitzacio de l’endomorfisme anterior.

15. Trobeu els valors propis i els vectors propis de l’endomorfisme fd’R3 la matriu del qual, en una base d’R3, es

M =

a −a a−a a −aa −a a

a ∈ R ; a 6= 0 .

16. Per a quins valors de les constants a, b, c, d, e i f , la matriu

A =

1 a d2 b e3 c f

te com a vectors propis (1, 0, 1), (−1, 1, 0) i (0, 1,−1)?

17. Sigui f : R2[t] −→ R2[t] l’aplicacio lineal que ve definida per:

f(p(t)) = ap(t)− p′′(0)t2

amb α ∈ R. Quins son els valors propis i els vectors propis d’f?

18. Existeix alguna base d’R2[t] formada per vectors propis de l’en-domorfisme f d’R2[t] que te com a matriu associada, en la base(1, t, t2),

A =

1 2 312

1 113

1 1

?

En cas afirmatiu, doneu una base formada per vectors propis d’f .

19. Estudieu la diagonalitzacio, segons els diferents valors d’α, de lamatriu

A =

1− α −α −αα 1 + α −1 + α0 0 2

20. Estudieu la diagonalitzacio de l’endomorfisme d’R4 la matriu delqual, en la base natural d’R4, es:

1 0 0 a0 a −a 00 −a a 0a 0 0 1

6.11. Exercicis 169

segons els valors del parametre a ∈ R. En els casos en que siguidiagonalitzable, doneu una base d’R4 formada per vectors propis.

21. Estudieu la diagonalitzacio, segons els diferents valors d’a i b, con-stants no nul·les, de l’endomorfisme f d’R3 que te com a matriuassociada, en la base natural,

M =

1 a ab1a

1 b1ab

1b

1

En el cas en que diagonalitzi, doneu una base de vectors propis.

22. Sigui f l’endomorfisme d’M2(R) tal que

f

((1 00 0

))=

(0 11 1

),

f

((0 10 0

))=

(0 1−1 1

),

f

((0 01 0

))=

(0 1−1 1

),

f

((0 00 1

))=

(0 1−1 1

),

Estudieu si es f diagonalitzable.

23. Considereu l’endomorfisme d’R2[t] que te per matriu, en la base(1, t, t2),

A =

0 3 913

0 319

13

0

(a) Proveu que aquest endomorfisme diagonalitza.

(b) Trobeu una base d’R2[t] formada per vectors propis.

(c) Determineu A−1 a partir del Teorema de Cayley-Hamilton.

(d) Calculeu Ap, per a p ∈ N.

24. Calculeu Am, per a m ∈ N, si

A =

2 0 00 1 20 0 3


25. Sigui f un endomorfisme d’un K-espai vectorial E de dimensiofinita n, i sigui λ un valor propi d’f . Proveu que els subespaisvectorials Im (f − λid) i Ker(f − λid) son invariants per f .

26. Sigui f un endomorfisme d’un K-espai vectorial E de dimensiofinita n, i sigui λ un valor propi d’f i v un vector propi de f devalor propi λ.

(a) Proveu per induccio que λm es un valor propi d’fm, per am ≥ 1.

(b) Proveu que v es un vector propi d’mf de valor propi mλ.

(c) Sigui g un altre endomorfisme, si u es un vector propi de g ◦ fde valor µ. Proveu que f(u) es un vector propi d’f ◦g de valorpropi µ.

27. Sigui f un endomorfisme d’un K-espai vectorial E de dimensio 3tal que f 3 − f 2 − 8f + 12id = 0. Quin es el polinomi caracterısticd’f? Que es pot dir del polinomi anul.lador mınim d’f?

28. Sigui f un endomorfisme de Rn, f 6= id, tal que f 2 − 2f + id = 0.Determineu Qf (t) i pf (t).

29. Construir un endomorfisme de R3 tal que el seu polinomi anul·ladormınim sigui t2(t− 3).



> A:=Matrix ([[1,1,1,2],[1,1,2,1],[1,2,1,1],[2,1,1,1]]);

A :=

1 1 1 21 1 2 11 2 1 12 1 1 1

Calcul del polinomi caracterıstic

> CharacteristicPolynomial(A,t);

t4 − 4 t3 − 6 t2 + 4 t + 5


Calcul dels valors propis

> Eigenvalues(A,output=’list’);

[5, 1, −1, −1]

Calcul dels vectors propis

> Eigenvectors(A);

15

−1−1

,

1 1 −1 0−1 1 0 −1−1 1 0 1

1 1 1 0

Calcul del polinomi anul·lador mınim

> MinimalPolynomial(A,t);

5− t− 5 t2 + t3

Calcul dels valors singulars

> SingularValues(A, output=’list’)

[5, 1, 1, 1]


Capıtol 7

Endomorfismes ortogonals isimetrics

7.1 Introduccio

Tot i que les matrius ortogonals .ja havien estat utilitzades per Hermite(segle XIX) va ser Frobenius qui va introduir formalment aquest concepte.

En aquest capıtol estudiarem dos casos especials d’endomorfismes de Rn,els ortogonals i els simetrics. A Rn hi considerarem el producte escalarordinari. Es pot fer un estudi mes general d’aquests tipus d’aplicacions:els endomorfismes ortogonals i simetrics definits sobre un espai vectorialeuclidia qualsevol.

7.2 Aplicacio lineal adjunta

Sigui

A =

a11 . . . a1n...

...am1 . . . amn

la matriu d’una aplicacio lineal f : Rn −→ Rm en les bases canoniques.

Podem considerar la matriu transposada At, que representa la matriu

173

174 Capıtol 7. Endomorfismes ortogonals i simetrics

d’una aplicacio lineal f ′ : Rm −→ Rn. Observem que donats x =(x1, . . . , xn) ∈ Rn i y = (y1, . . . , ym) ∈ Rm qualssevol es te 〈f(x), y〉 =〈x, f ′(y)〉, ja que:

〈f(x), y〉 = (a11x1 + . . . + a1nxn)y1 + . . . + (am1x1 + . . . + amnxn)ym =〈x, f ′(y)〉 = (a11y1 + . . . + am1ym)x1 + . . . + (a1ny1 + . . . + amnym)xn

Definicio 7.2.1. Donada una aplicacio lineal f : Rn −→ Rm, es defineixl’aplicacio f ′ : Rm −→ Rn i s’anomena aplicacio adjunta d’f , com l’unicaaplicacio que verifica

〈f(x), y〉 = 〈x, f ′(y)〉.

Si escrivim la matriu d’f en bases ortonormals, la matriu d’f ′ en lesmateixes bases, tant a Rn com a Rm, es la matriu transposada de lamatriu d’f .

Exemple 7.2.1. Sigui f : R2 −→ R3 tal que f(x1, x2) = (3x1 + x2, x1 −x2, 5x2). Les matrius d’f i f ′ en les bases canoniques d’R2 i R3 son

A =

3 11 −10 5

, i At =

(3 1 01 −1 5

),

respectivament.

Propietats

Siguin f , g endomorfismes qualssevol de Rn. Aleshores:

i) (f + g)′ = f ′ + g′

ii) (λf)′ = λf ′

iii) (f ′)′ = f

iv) (f ◦ g)′ = g′ ◦ f ′

v) Si f es invertible (f ′)−1 = (f−1)′.

7.3. Endomorfismes ortogonals 175

7.3 Endomorfismes ortogonals

Observem que

f : R3 −→ R3

(x1, x2, x3) −→ (x1, x2, x3)g : R3 −→ R3

(x1, x2, x3) −→ (x3, x1, x2)

son aplicacions que conserven les longituds dels vectors i els angles. Esa dir,

‖f(x)‖ = ‖x‖,〈f(x), f(y)〉 = 〈x, y〉

‖g(x)‖ = ‖x‖,〈g(x), g(y)〉 = 〈x, y〉

per a vectors x, y ∈ R3 qualssevol.

Obviament aixo no passa sempre. Per exemple, si considerem l’aplicacioh : R3 −→ R3, definida de la forma h(x) = 4x per a tot x ∈ R3, veiemque ‖h(x)‖ = 4‖x‖, ∀x ∈ R3.

Estem interessats en veure quins endomorfismes d’Rn conserven el pro-ducte escalar i, per tant, la norma i els angles. Observeu que es equivalentdir que un endomorfisme de Rn conserva el producte escalar que dir queconserva la norma.

Definicio 7.3.1. Els endomorfismes de l’espai euclidia Rn tals que〈f(u), f(v)〉 = 〈u, v〉 per a vectors u, v ∈ Rn qualssevol s’anomenemortogonals.

El resultat seguent justifica el nom que reben aquests endomorfismes.

Teorema 7.3.1. Sigui A la matriu d’un endomorfime f d’Rn en una baseortonormal. Aleshores, f es ortogonal si, i nomes si, aquesta matriu esortogonal:

A−1 = At (7.1)

Demostracio. En efecte. Si u es la base ortonormal considerada en E,

aleshores donats vectors x, y ∈ E qualssevol, posem X =

x1...

xn

, Y =

y1...

yn

a les matrius columna formades amb les components dels vectors


x, y en la base u, respectivament. Aleshores:

〈f(x), f(y)〉 = (AX)tAY = X t(AtA)Y

i 〈x, y〉 = X tY d’on es dedueix que necessariament AtA = I.

Equivalentment, f es ortogonal si, i nomes si, l’aplicacio adjunta es iguala l’aplicacio inversa.

Exemple 7.3.1. Sigui f un endomorfisme d’R3 la matriu del qual, en labase canonica, es:

A =

0 1 00 0 −11 0 0

Observem que

AtA =

0 0 11 0 00 −1 0

0 1 00 0 −11 0 0

=

1 0 00 1 00 0 1

Per tant, A−1 = At i f es ortogonal.

De la definicio d’endomorfisme ortogonal es despren que tot endomor-fisme ortogonal transforma bases ortonormals en bases ortonormals. Elrecıproc tambe es cert.

Teorema 7.3.2. Un endomorfisme es ortogonal si, i nomes si, transfor-ma bases ortonormals en bases ortonormals.

Remarca. Com a consequencia d’aquesta propietat, tenim que els en-domorfismes ortogonals son bijectius.

Presentem a continuacio els endomorfismes ortogonals d’R2 i R3. Abans,pero, necessitem fer l’observacio seguent.

Remarca. Sigui f un endomorfisme ortogonal d’Rn

a) Si l’endomorfisme f diagonalitza, els unics valors propis possiblesson 1 i −1, ja que

‖f(x)‖ = ‖λx‖ = |λ| ‖x‖ = ‖x‖ ∀x ∈ Rn

i aixo nomes es possible si |λ| = 1.

7.3. Endomorfismes ortogonals 177

b) Si f es un endomorfisme ortogonal d’Rn, aleshores | det f | = 1; esa dir, els unics valors possibles per a det f son 1 i -1, ja que si A esla matriu d’f en una base ortonormal,

AtA = I =⇒ det(At) det(A) = 1 =⇒ (det(A))2 = 1

c) Si v1 i v2 son vectors propis d’f corresponents als valors propis 1 i-1 respectivament.

〈v1, v2〉 = 〈f(v1, f(v2)〉 = 〈v1,−v2〉 = −〈v1, v2〉,d’on deduım que 〈v1, v2〉 = 0; per tant, v1 i v2 son ortogonals.

Passem ja a obtenir els endomorfismes ortogonals d’R2. Els unicsendomorfismes ortogonals d’R2 que diagonalitzen son els que tenenper matrius, en una base ortonormal,

(1 00 1

),

(−1 00 −1

),

(1 00 −1

).

Si l’endomorfisme no diagonalitza, la seva matriu en una baseortonormal qualsevol es de la forma:

(cos α ∓ sin α± sin α cos α

)

Observeu que

(1 00 1

),

(−1 00 −1

)son casos particulars que corre-

sponen a α = 0, π, respectivament. Aixı doncs, els endomorfismesortogonals de R2 son els que tenen per matriu, en una certa baseortonormal, (

1 00 −1

)

que geometricament correspon a fer una simetria respecte d’unarecta, i els que tenen per matriu, en qualsevol base ortonormald’R2 (

cos α ∓ sin α± sin α cos α

)

que geometricament correspon a fer un gir de centre l’origen i angleα.

El signe depen de l’orientacio de la base (es a dir, si S es la ma-triu de canvi de base respecte de la base canonica, i det S = 1 es( cos α − sin α

sin α cos α ) i, si det S = −1, es ( cos α sin α− sin α cos α )).


Exemple 7.3.2. Sigui f l’endomorfisme ortogonal la matriu del qualen la base canonica es (

cos α − sin αsin α cos α

)

Considerem la base u1 = e2, u2 = e1. Aleshores S =

(0 11 0

), per

tant det S = −1. La matriu de l’endomorfisme en aquesta novabase es(

0 11 0

)(cos α − sin αsin α cos α

)(0 11 0

)=

(cos α sin α− sin α cos α

)

Anem a estudiar quins son els endomorfismes ortogonals d’R3.

Sigui f un endomorfisme ortogonal d’R3. Sigui λ1 un valor propi, λ1 =1 o be λ1 = −1 (en tenir el polinomi caracterıstic d’f grau 3, almenysha de tenir una arrel real). Posem F = [v1] si v1 es un vector propi demodul 1 de valor propi λ1. El subespai vectorial F es invariant per f , i,per tant, tambe ho es F⊥. Siguin v2, v3 ∈ F⊥ tals que v = (v1, v2, v3) esuna base ortogonal d’R3. En la base (v2, v3) la matriu d’f|F⊥ ha de serde la forma (

cos θ ∓ sin θ± sin θ cos θ

)

i, per tant, en la base v, la matriu d’f es de la forma:±1


Hem trobat aixı, doncs, tots els endomorfismes ortogonals d’R3.

Geometricament, els que en una certa base ortonormal tenen per matriu

1cos θ ∓ sin θ± sin θ cos θ

corresponen a fer un gir d’angle θ al voltant de la recta [v1].

Els que en una certa base ortonormal tenen per matriu−1


7.4. Endomorfismes simetrics 179

corresponen a fer un gir d’angle θ al voltant de la recta [v1], seguida d’unasimetria especular respecte del pla [v2, v3].

Per a valors concrets dels angles (θ = 0, π, ...) tenim que corresponena simetries especulars respecte d’un pla, simetries axials respecte d’unarecta, simetries centrals.

Mes en general, es demostra que els endomorfismes ortogonals d’Rn sonels que tenen per matriu associada, en una certa base ortonormal, unamatriu de la forma:

1. . .

1−1

. . .−1

cos θ1 ∓ sin θ1

± sin θ1 cos θ1

. . .

cos θm ∓ sin θm

± sin θm cos θm

7.4 Endomorfismes simetrics

En el capıtol anterior hem estudiat la diagonalitzacio d’endomorfismes.Els endomorfismes diagonalitzables es poden expressar matricialment deforma senzilla. Anem a veure amb un exemple que si un endomorfismediagonalitza en una base ortonormal de vectors propis, es pot donar unainterpretacio geometrica de l’endomorfisme.

Exemple 7.4.1. Sigui f : R2 −→ R2 l’endomorfisme que te per matriu, enla base canonica, (

2 00 3

)

Observem que el vector e1 es transforma en el vector de la mateixa direc-cio i sentit pero de norma 2, i que el vector e2 es transfoma en el vectoramb la mateixa direccio i sentit pero de norma 3.

Tots els vectors del pla de norma 1 (son els que verifiquen x21 + x2

2 = 1)es transformen en

x21

4+

x22

9= 1


(es a dir, la circumferencia de radi 1 s’ha deformat en l’el.lipse de semieixos2 i 3).

Aquesta intrepretacio no s’hauria pogut fer tan facilment, si la base delsvectors propis considerada no hagues estat ortonormal.

Els endomorfismes simetrics, que definim a continuacio, representen unconjunt d’endomorfismes que diagonalitzen i per als quals podem trobaruna base ortonormal de vectors propis.

Definicio 7.4.1. Donat un endomorfisme f d’Rn, es diu que es simetricsi coincideix amb el seu adjunt

f = f ′

Alguns autors anomenen aquest tipus d’endomorfismes deformacions.

De la propia definicio es despren la proposicio seguent.

Proposicio 7.4.1. Un endomorfisme simetric es aquell tal que la sevamatriu en una base ortonormal es simetrica.

A continuacio veiem exemples d’endomorfismes simetrics.

Proposicio 7.4.2. Sigui f : Rn −→ Rn un endomorfisme qualsevol.Aleshores f ′ ◦ f es simetric.

Demostracio.(f ′ ◦ f)′ = f ′ ◦ (f ′)′ = f ′ ◦ f.

Un exemple important es el seguent.

Exemple 7.4.2. Sigui F un subespai vectorial d’Rn de dimensio r i siguiG el seu complementari ortogonal. Considerem l’endomorfisme

π : Rn = F ⊥ G −→ Rn

u + v −→ u

Es facil veure que aquest endomorfisme es simetric (rep el nom de pro-jeccio ortogonal d’Rn sobre el subespai F ).


Un altre exemple no menys important es el seguent.

Exemple 7.4.3. Sigui F un subespai vectorial d’Rn de dimensio r i siguiG el seu complementari ortogonal. Considerem l’endomorfisme

π : Rn = F ⊥ G −→ Rn

u + v −→ u− v

Es facil veure que aquest endomorfisme es simetric (rep el nom de simetriad’Rn respecte el subespai F ). Observem que aquest endomorfisme, a mes,es ortogonal.

El resultat mes important d’aquest tipus d’endomorfismes es el seguent.

Teorema 7.4.1 (Teorema espectral real). Tot endomorfisme simetricdiagonalitza en una base ortonormal, formada per vectors propis.

Per a la demostracio d’aquest teorema necessitem els lemes seguents.

Lema 7.4.1. Siguin u i v dos vectors propis de valors propis λ i µ difer-ents. Aleshores u i v son ortogonals.

Demostracio.

〈f(u), v〉 = 〈λu, v〉 = λ〈u, v〉〈f(u), v〉 = 〈u, f(v)〉 = 〈u, µv〉 = µ〈u, v〉

per tant (λ−µ)〈u, v〉 = 0 i com que λ 6= µ es te que u i v son ortogonals.

Lema 7.4.2. El polinomi caracterıstic de tot endomorfisme simetric de-scompon completament a R.

Passem ara a demostrar el teorema espectral real.

Demostracio. Es fa per induccio sobre n =dimE.

Si n = 1, l’enunciat del teorema es evident. Suposem, doncs, que escert fins a dimensio n − 1. Sigui λ1 un valor propi (real) de l’endo-morfisme f , i sigui v1 un vector propi de f de valor propi λ1 unitari.Podem identificar el subespai [v1]

⊥ amb Rn−1. Per la hipotesi d’induc-cio, la restriccio de l’endomorfisme f al subespai [v1]

⊥ ademet una baseortonormal (v2, . . . , vn) de vectors propis, en ser tambe aquest endomor-fisme restriccio simetric. Es facil comprovar ara que (v1, . . . , vn) es unabase ortonormal d’Rn formada per vectors propis de f .


Exemple 7.4.4. Sigui f l’endomorfisme d’R2 amb matriu en la base canonica

A =

(3 11 3

)

Clarament f es simetric, ja que la seva matriu es simetrica. Observem

que en la base ortonormal u1 =

(√2

2,

√2

2

), u2 =

(√2

2,−√

2

2

)l’endo-

morfisme diagonalitza:

√2

2

√2

2√2

2−√

2

2

(3 11 3

)

√2

2

√2

2√2

2−√

2

2

=

(4 00 2

)

Es a dir, la circumferencia unitat es transforma en una el.lipse de semieixos4 i 2, en les direccions dels vectors propis.

Aixı doncs, si f es un endomorfisme simetric amb polinomi caracterısticQf (t) = (−1)n(t− λ1)

n1 . . . (t− λr)nr , es te que

Rn = Ker (f − λ1id)⊥ . . .⊥Ker (f − λrid)

Com a consequencia d’aquest teorema tenim el resultat seguent.

Corol.lari 7.4.1. Si λ1, . . . , λr son els valors propis de l’endomorfismef i π1, . . . , πr son els endomorfismes projeccio ortogonal de Rn sobre elssubespais vectorials Ker (f − λ1id), . . . , Ker (f − λrid), aleshores:

f = λ1π1 + · · ·+ λrπr

Aquesta s’anomena la descomposicio espectral de l’endomorfisme f .

Ates que πi ◦ πi = πi per a i, . . . , r i que πi ◦ πj = 0 si i 6= j, es dedueixd’aquest corol·lari que

fm = λm1 π1 + · · ·+ λm

r πr ∀m

A mes, d’aquesta darrera igualtat es dedueix que

p(f) = p(λ1)π1 + · · ·+ p(λr)πr


per a tot polinomi p(t) ∈ R[t]. De fet, si ϕ es una funcio analıticaqualsevol,

ϕ(f) = ϕ(λ1)π1 + · · ·+ ϕ(λr)πr

La lectura en llenguatge matricial del teorema espectral es la seguent.

Si A ∈ Mn(R) es una matriu simetrica, existeix una matriu ortogonal Stal que StAS es una matriu diagonal. El corol.lari anterior te la seguentinterpretacio a nivell matricial.

Si λ1, . . . , λr son els valors propis de la matriu A amb multiplicitatsrespectives n1, . . . , nr, aleshores:

A = λ1

St

1. . .

(n1

10

. . .

0

S

+ . . . + λr

St

0. . .

01

. . .(nr

1

S

Aquesta es l’anomenada descomposicio espectral de la matriu A.

Exemple 7.4.5. Considereu la matriu

A =

2 3 0 33 2 0 30 0 1 03 3 0 2

Els seus valors propis son: −1(2), 1 i 8.

Posem S a la matriu els vectors columna de la qual formen una baseortonormal de vectors propis de la matriu A,

S =

1√2

1√6

0 1√3−1√

21√6

0 1√3

0 0 1 00 −2√

60 1√

3

La descomposicio espectral de la matriu A es:

A = (−1)

[St

(1

10

0

)S

]+

[St

(0

01

0

)S

]+ 8

[St

(0

00

1

)S

]

De fet per a un endomorfisme qualsevol tenim la proposicio seguent.


Proposicio 7.4.3. Sigui f un endomorfisme qualsevol d’Rn. Aleshoresel podem descompondre en composicio d’un endomorfismes simetric (de-formacio) per un endomorfisme ortogonal (que conserva la forma).

Exemple 7.4.6. Sigui f l’endomorfisme d’R2 la matriu del qual en basecanonica es

A =

(2 −12 1

)

que no es ni simetric ni ortogonal.

Observem que

A =

(2 −12 1

)=

√2

2−√

2

2√2

2

√2

2

(2√

2 0

0√

2

)= O · S

O es una matriu ortogonal i S es simetrica i els valors propis de S sonles arrels quadrades positives dels valors propis d’AtA.

Exemple 7.4.7. Sigui f l’endomorfisme d’R2 la matriu del qual en basecanonica es

A =

(2 42 4

)

que no es ni simetric ni ortogonal.

Observeu que

A =

(2 42 4

)=

3√10

1√10

− 1√10

3√10

2√

2√5

4√

2√5

4√

2√5

8√

2√5

= O · S

O es una matriu ortogonal i S es simetrica i els valors propis d’S sonl’arrel quadrada positiva del valor propi no nul d’AtA i 0.

7.5 Apendix

Quasi-inversa d’una matriu

7.5. Apendix 185

Sigui A una matriu de Mn×m(R). Considerem la matriu AtA, que es unamatriu simetrica i per tant, diagonalitza, essent els seus valors propispositius o nuls:

λ1

. . .

λr

0. . .

0

λi > 0 per a 1 ≤ i ≤ r. Denotem per

D2 =

λ1

. . .

λr

.

Considerem la matriu d’ordre m× n

Σ+ =

(D−1 00 0

)(7.2)

on

D =

√λ1

. . . √λr

Definicio 7.5.1. S’anomena quasi-inversa de la matriu A ∈ Mn×m(R) ala matriu

A+ = V Σ+U

on V i U son matrius ortogonals formades per les bases ortonormalsde (v1, . . . , vm) d’Rm i (u1, . . . , un) d’Rn tals que Avi =

√λiui, per a

1 ≤ i ≤ r.

Els vectors de V es determinen buscant una base ortonormal en la qual la

matriu AtA diagonaliza, els vectors u1, . . . , ur fent ui =1√λi

vi i despres

es completa a una base ortonormal.


A =

1 21 21 2

.


Aleshores

AtA =

(3 66 12

)

i els seus valors propis son 15 i 0, per tant

Σt =

√

15

150 0

0 0 0

.

Determinem V : v1 es un vector propi normalitzat de valor propi 15

de AtA, v1 =1√5(1, 2); v2 es el vector propi de valor propi 0, tambe

normalitzat, v2 =1√5(2,−1),

V =

√5

5

3√

5

52√

5

5−√

5

5

Per calcular U fem

u1 =1√15

Av1 =

(√3

3,

√3

3,

√3

3

)

i completem a una base ortonormal d’R3.

Finalment,

A+ =1

15

(1 1 12 2 2

).

Observem que si la matriu A es quadrada i invertible aleshores A+ = A−1.

La matriu quasi-inversa serveix per a resoldre sistemes d’equacions linealssobredeterminats, es a dir sistemes que son incompatibles pero la incom-patibilitat ve donada per errors de medicio. Es tracta, doncs, de resoldreaquests sistemes de forma aproximada. Si tenim el sistema Ax = b,incompatible aleshores donem com a solucio aproximada la donada per

x0 = A+b

Aquesta solucio es la que millor aproxima per mınims quadrats.

Proposicio 7.5.1. Donat el sistema Ax = b, es verifica que:


i) la solucio x0 = A+b minimitza ‖Ax− b‖ respecte a x.

ii) de tots els vectors x que minimitzan ‖Ax − b‖, x0 es de normamınima

Geometricament, tenim que la incompatibilitat d’un sistema Ax = b esdeguda a que b /∈ Im A. Per tant, si canviem b per una altre vectorb1 ∈ Im A el nou sistema Ax = b1 es compatible. Es tracta doncs decanviar b per b1 ∈ Im A que sigui el mes proper, i aquest es la projeccioortogonal de b sobre el subespai vectorial Im A, b1 = ΠImA

(b).

En el cas particular en que la matriu A ∈ Mn×m(R) del sistema es derang maxim igual a m ≤ n, es te que la solucio del sistema que milloraproxima per mınims quadrats ve donada per

x = (AtA)−1Atb

Observem que A(AtA)−1At es la matriu de la projeccio ortogonal d’Rm

sobre el subespai vectorial generat per les columnes de la matriu A.

En el cas general, la solucio del sistema que millor aproxima per mınimsquadrats es x solucio de Ax = b1 (en aquest cas, el sistema es compatibleindeterminat) de norma mınima, la qual cosa equival a exigir que tambex ∈ (Ker A)⊥.


La llei de Lambert-Beer

La llei de Lambert-Beer afirma que l’absorbancia d’una mostra es pro-porcional a la seva concentracio (c) i al gruix de la mostra que atravessael feix de llum (`):

A = ε`c

La constant de proporcionalitat ε s’anomena absorvitat molar i es con-stant per a una mostra determinada.

En el laboratori sovint per a determinar la concentracio d’una mostraproblema s’utilitzen patrons de concentracions conegudes i es determinal’absorcio utilitzant un espectrofotometre. A partir d’aquestes concen-tracions i absorbancies determinades es busca la recta patro, que es larecta que millor aproxima els punts (ci, Ai) per mınims quadrats.


Per exemple, suposem que les dades que hem obtingut son:

ci Ai

10 mM 0.220 mM 0.330 mM 0.440 mM 0.7

Aleshores la recta de la forma y = ax + b que millor aproxima aquestpunts es: y = 9

500x.

Finalment, es determina la concentracio de la mostra amb l’equaciod’aquesta recta.


Sovint apareixen en la fısica i tambe en la quımica endomorfismes ortog-onals i simetrics.

Donada una molecula, una operacio de simetria molecular es aquellaque conserva les distancies entre els nuclis dels atoms que la formen ila seva orientacio. Poden ser: girs respecte d’un eix, simetries axials,simetries especulars o simetries centrals. S’ha vist en aquest capıtol queel conjunt d’aplicacions ortogonals amb la composicio te estructura degrup no commutatiu. Tambe el conjunt de les operacions de simetriad’una molecula donada forma un grup no commutatiu. Aquest grups’anomena el grup de simetria de la molecula. Aixı per exemple, en el casd’una molecula de meta (CH4), en que l’atom de carboni es en el centred’un cub i els atoms d’hidrogen son en quatre vertexs no consecutiusdel mateix cub, els elements d’aquest grup son: ±id, les simetries axialsrespecte dels eixos perpendiculars a cada parell de cares oposades del cubi que passen pel seu centre, les simetries especulars respecte dels plansparal·lels a un parell de cares del cub i que passen pel seu centre i els girsd’angle π

2amb eix un dels exisos perpendiculars a cada parell de cares

oposades del cub i que passen pel seu centre seguides de simetria respectedel pla perpendicular (i que passa pel centre).

El Teorema espectral te una gran aplicabilitat dins de la mateixa algebrai de la geometria (per exemple, permet provar l’existencia d’una formareduıda d’una forma quadratica) i tambe en altres materies: elasticitat iresistencia de materials, electricitat i mecanica. Aixı, per exemple, quantenim un solid-rıgid que es isotrop i elastic, sotmes a unes determinades

7.8. Exercicis 189

tensions, el Teorema espectral real ens assegura que existeixen tres direc-cions tals que la tensio aplicada a elles produeix una deformacio nomesen aquella direccio (eixos principals de deformacio).

7.8 Exercicis

1. Donats els endomorfismes f1, f2 d’R2 les matrius dels quals, en labase canonica d’R2, son:

A1 =

(4 69 1

), A2 =

(14 61 9

)

Determineu els seus endomorfismes adjunts.

2. Donats els endomorfismes f1, f2 d’R3 les matrius dels quals, en labase canonica d’R3, son:

A1 =

4 −8 30 1 04 3 7

, A2 =

1 2 −34 1 20 0 1

determineu els seus endomorfismes adjunts.

3. Estudieu si son, o no, ortogonals, els endomorfismes d’R2 les ma-trius dels quals, en la base canonica d’R2, son:

A1 =

(2 11 1

), A2 =

(0 −11 0

),

A3 =

(1√2− 1√

21√2

1√2

), A4 =

(12

√3

2

−√

32

12

)

En cas afirmatiu, digueu quina transformacio representen.

4. Estudieu si hi ha elements que resten fixos en fer les transformacionsde l’exercici anterior i, en cas afirmatiu, determineu-los

5. Estudieu si son, o no, ortogonals, els endomorfismes d’R3 les ma-trius dels quals, en la base canonica d’R3, son:

A1 =

13

23

−23

23−2

3−1

323

13

23

, A2 =

0 −1 01 0 00 0 −1

, A3 =

13

23

−13

23−1

3−1

313

13

23

En cas afirmatiu, digueu quina transformacio representen.


6. Estudieu si hi ha elements que resten fixos en fer les transformacionsde l’exercici anterior i, en cas afirmatiu, determineu-los

7. Sigui f l’endomorfisme d’R3, la matriu del qual en base canonicaes

A =

a b bb a bb b a

Quina condicio han de verificar a i b per tal de que l’endomorfismesigui ortogonal?

8. Escriviu la matriu en la base canonica de l’endomorfisme d’R2 talque el vector u1 = (1, 1) es transforma en el vector (0,

√2) i el

vector u2 = (−1, 1) en el (−√2, 0). Es ortogonal?

9. Determineu la imatge del vector (3,−1) pel gir respecte de l’origen

de R2 d’angle θ =π

3(en sentit antihorari).

10. A R2, determineu la matriu de la simetria respecte de la recta2x = y en la base canonica d’R2.

11. Determineu la matriu, en la base natural d’R3, del gir d’eix

[(1,−1, 0)] i angle θ =π

4.

12. Determineu la matriu, en la base natural d’R3, de la simetria axialrespecte de la recta x− 2y = y − 3z = 0.

13. Determineu la matriu, en la base natural d’R3, de la simetria es-pecular respecte del pla x + 2y + 3z = 0.

14. Determineu la matriu, en la base natural d’R3, del gir d’eix la recta

x = y = z i angle θ =π

4seguida de simetria especular respecte del

pla x + y + z = 0.

15. Sigui f un endomorfisme simetric de l’espai euclidia ordinari R3,tal que tr f = 0, (1,1,-1) es un vector propi d’f de valor propi 1 i(1, 0, 1) ∈ Ker f . Justifiqueu quin dels vectors seguents es un vectorpropi d’f de valor propi 1 i/o -1:

a) (1,-2,1), b) (1,-2,-1), c) (1,0,1), d) (1,0,-1), e) (1,1,1).

16. La imatge del vector (3, 4) ∈ R2 per un endomorfisme ortogonal es(0, α). Determineu el valor d’α.

7.8. Exercicis 191

17. Siguin f, g ∈ End (E) tals que f es simetric i g es ortogonal. Proveuque aleshores: (g ◦ f ◦ g−1)′ ◦ g = g ◦ f .

18. Sigui f un endomorfisme de l’espai euclidia E, tal que 〈f(u), v〉 =−〈u, f(v)〉, per a tot u, v ∈ E. Proveu que E = Ker f ⊥ Im f .

19. Trobeu un endomorfisme ortogonal f d’R2 tal que per a tot vector

u ∈ R2, angle(u, f(u)) =π

3.


A1 =

(1 0 00 0 0

), A2 =

1 00 00 0

Proveu que A+1 = A2 i A+

2 = A1.

21. Resoleu utilitzant la matriu quasi-inversa el sistema

x = 4y = 5

x + y = 62x + y = 5x + 2y = 4

22. Hem mesurat el volum d’un gas 4 vegades i hem obtingut elsseguents valors, V1 = 150 cm3, V2 = 153 cm3, V3 = 150 cm3, V4 =151cm3. Quin volum li assignarem mitjancant el metode dels mınimsquadrats?

23. Calculeu la millor solucio aproximada del sistema:

2x1 + x2 − x3 = 5x1 − x2 − 2x3 = 2

x1 + x2 = −1x2 − x3 = 1

24. Determineu la recta de la forma y = ax + b que aproxima millor,per mınims quadrats, els punts: (1,−1), (0, 1), (2, 1), (4, 2).


Bibliografia

1. M.A. Barja, M. I. Garcıa, M. C. Hernando, M. D. Magret,F. Planas, C. Puig: Algebra Lineal. Problemes resolts i comentats.Col·leccio Aula Practica. Edicions UPC, 1993.

2. C. B. Boyer: Historia de la matematica. Madrid Alianza, 1996.

3. J. de Burgos: Algebra lineal. McGraw Hill, 1993.

4. R. Carbo, J. A. Hernandez: Introduccion a la teorıa de matrices.Alhambra, 1983.

5. M. Castellet, I. Llerena: Algebra lineal i geometria. Manuals de laUniversitat Autonoma de Barcelona, 1988.

6. J. Claret, F. Mas, F. Sagues: Termodinamica Quımica i Electro-quımica. 2003.

7. J.W. Daniel, B. Noble: Algebra Lineal Aplicada. Prentice-Hall,1989.

8. M. I. Garcıa: Problemas resueltos de algebra lineal y geometrıa.Ed. CPDA, 1991.

9. M. I. Garcıa, M. D. Magret: Matrices no negativas y aplicaciones,Editado por las autoras, 2002.

10. M. I. Garcıa, S. Tarragona: Sistemas lineales discretos. Teorıa yproblemas, Editado por las autoras, 2005.

11. E. Hernandez: Algebra y geometrıa. Addison Wesley UAM, 1994.

12. M. C. Hernando, M.D. Magret, C. Puig: Espais vectorials. Apli-cacions lineals. Diagonalitzacio. Col·leccio Aula Teorica. EdicionsUPC, 1999.

193


13. S. Lang: Algebra Lineal. Fondo Educativo Interamericano, 1976.

14. D. C. Lay: Linear Algebra and its Applications. Addison-Wesley,1994.

15. J. C. Paniagua: Introduccio a la programacio per a quımics. Edi-cions Universitat de Barcelona, 1997.

16. J. C. Paniagua, P. Alemany: Quımica Quantica. 2000

17. G. Strang: Algebra lineal y sus aplicaciones. Addison-Wesley Iberoamer-icana, 1982.

18. J. R. Torregrosa, C. Jordan: Algebra Lineal y sus aplicaciones,teorıa y problemas resueltos. Coleccion Schaum’s. McGraw Hill,1987.

19. S. Xambo: Algebra Lineal y Geometrıas Lineales. Editorial Euni-bar, 1977.

Documents

Algebra Lineal Ingenieria Quimica