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BIENVENIDOS
ALGEBRA LINEAL
ECUACIONES LINEALES
ALGEBRA LINEAL
Planteamiento de Ecuación Lineal
Problema 1. Mickey hace 5 manillas en 1 hora. Pluto hace 7 Manillas en una hora y Daysy hace 9 manillas en una hora.
¿Cuánto tiempo gastan los tres para hacer 100 manillas?
5 Mickey 7Pluto 9 Daysy
+ + =
5 X1
7X2
9 X3+ + =
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Planteamiento de Ecuación Lineal
Problema 1. En la primera semana, Mickey hace 5 manillas en 1 hora. Pluto rompe 7 Manillas en una hora y Daysy hace 9 manillas en una hora. Los tres hacen 100 manillas.
En la segunda semana, Mickey hace 3 manillas en 1 hora. Pluto hace 5 Manillas en una hora y Daysy hace 7 manillas en una hora. Los tres hacen 70 manillas.
En la tercer semana, Mickey hace 4 manillas en 1 hora. Pluto hace 6 Manillas en una hora y Daysy rompe 8 manillas en una hora. Los tres hacen 120 manillas. - + =
5 X1
7X2
9 X3
+ + =
+ - =
3 X1
4 X1
7 X3
8 X3
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intercambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
5X1 - 7 X2 + 9 X3 = 1003X1 + 5 X2 + 7 X3 = 704X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
5X1 - 7 X2 + 9 X3 = 1003X1 + 5 X2 + 7 X3 = 704X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120
ALGEBRA LINEAL
Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
5/5X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 100/53X1 + 5 X2 + 7 X3 = 704X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 203X1 + 5 X2 + 7 X3 = 704X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120 ESTA ES LA ECUACIÓN PiVOTE
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 203X1 + 5 X2 + 7 X3 = 704X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 203X1 + 5 X2 + 7 X3 = 704X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 203X1 + 5 X2 + 7 X3 = 70
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 203X1 + 5 X2 + 7 X3 = 704X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20
3X1 + 5 X2 + 7 X3 = 70
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 203X1 + 5 X2 + 7 X3 = 704X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20
3X1 + 5 X2 + 7 X3 = 70
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 203X1 + 5 X2 + 7 X3 = 704X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20
3X1 + 5 X2 + 7 X3 = 70
-3
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 203X1 + 5 X2 + 7 X3 = 704X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120
-3X1 + 21/5 X2 - 27/5 X3 = -60
3X1 + 5 X2 + 7 X3 = 70
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 203X1 + 5 X2 + 7 X3 = 704X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120
-3X1 + 21/5 X2 - 27/5 X3 = -60
3X1 + 5 X2 + 7 X3 = 70
46/5 X2 + 8/5 X3 = 10
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 203X1 + 5 X2 + 7 X3 = 704X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120
-3X1 + 21/5 X2 - 27/5 X3 = -60
3X1 + 5 X2 + 7 X3 = 70
46/5 X2 + 8/5 X3 = 10
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20 4X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120
46/5 X2 + 8/5 X3 = 10X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20
4X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20 4X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120
46/5 X2 + 8/5 X3 = 10X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20
4X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20 4X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120
46/5 X2 + 8/5 X3 = 10X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20
4X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20 4X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120
46/5 X2 + 8/5 X3 = 10X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20
4X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120-4
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20 4X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120
46/5 X2 + 8/5 X3 = 10-4X1 + 28/5 X2 - 36/5 X3 = -80
4X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20 4X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120
46/5 X2 + 8/5 X3 = 10-4X1 + 28/5 X2 - 36/5 X3 = -80
4X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120
58/5 X2 -76/5 X3 = 40
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20 4X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120
46/5 X2 + 8/5 X3 = 10-4X1 + 28/5 X2 - 36/5 X3 = -80
4X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120
58/5 X2 - 76/5 X3 = 40
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20 46/5 X2 + 8/5 X3 = 10
-4X1 + 28/5 X2 - 36/5 X3 = -80 4X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120
58/5 X2 - 76/5 X3 = 40
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20 46/5 X2 + 8/5 X3 = 10
58/5 X2 - 76/5 X3 = 40
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20 46/5 X2 + 8/5 X3 = 10 X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20
58/5 X2 - 76/5 X3 = 40
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
46/5 X2 + 8/5 X3 = 10 ECUACIÓN PIVOTE X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20
58/5 X2 - 76/5 X3 = 40
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
46/5 X2 + 8/5 X3 = 10 46/5 X2 + 8/5 X3 = 10 58/5 X2 - 76/5 X3 = 40
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
46/5 X2 + 8/5 X3 = 10 46/5 X2 + 8/5 X3 = 10 X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20
58/5 X2 - 76/5 X3 = 40
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
46/5 X2 + 8/5 X3 = 10 46/5 X2 + 8/5 X3 = 10 5/46 X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20
58/5 X2 - 76/5 X3 = 40
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20 46/5 X2 + 8/5 X3 = 10 X2 + 8/46X3 = 50/46
58/5 X2 - 76/5 X3 = 40
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
46/5 X2 + 8/5 X3 = 10 X2 + 8/46 X3 = 25/23 X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20
58/5 X2 - 76/5 X3 = 40
Simplificando por dos
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
58/5 X2 - 76/5 X3 = 40
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20
58/5 X2 - 76/5 X3 = 40 X2 + 8/46 X3 = 25/23X2 + 8/46 X3 = 25/23
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
58/5 X2 - 76/5 X3 = 40 58/5 X2 - 76/5 X3 = 40
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20 X2 + 8/46 X3 = 25/23X2 + 8/46 X3 = 25/23
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
58/5 X2 - 76/5 X3 = 40 58/5 X2 - 76/5 X3 = 40
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20 X2 + 8/46 X3 = 25/23X2 + 8/46 X3 = 25/23
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
-58/5
58/5 X2 - 76/5 X3 = 40 58/5 X2 - 76/5 X3 = 40
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20 X2 + 8/46 X3 = 25/23X2 + 8/46 X3 = 25/23
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
-58/5 58/5 X2 - 76/5 X3 = 40 58/5 X2 - 76/5 X3 = 40
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20 X2 + 8/46 X3 = 25/23X2 + 8/46 X3 = 25/23
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
- 1980/115 X3 = 630/23
58/5 X2 - 76/5 X3 = 40 58/5 X2 - 76/5 X3 = 40
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20-58/5X2- 232/115 X3 = -290/23X2 + 8/46 X3 = 25/23
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20
- 1980/115 X3 = 630/23 58/5 X2 - 76/5 X3 = 40
-58/5X2- 232/115 X3 = -290/23X2 + 8/46 X3 = 25/23
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20
- 1980/115 X3 = 630/23X2 + 8/46 X3 = 25/23
ALGEBRA LINEAL
Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20
- 1980/115 X3 = 630/23X2 + 8/46 X3 = 25/23
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20
- 1980/115 X3 = 630/23X2 + 8/46 X3 = 25/23
ALGEBRA LINEAL
Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20
- 1980/115 X3 = 630/23X2 + 8/46 X3 = 25/23
-115/1980
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20
X3 = -7245/4554X2 + 8/46 X3 = 25/23
ALGEBRA LINEAL
Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20
X3 = -1,59X2 + 8/46 X3 = 25/23
Resolviendo la fracción
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20
X3 = -1,59X2 + 8/46 X3 = 25/23
Este es el sistema resultante, que es mas fácil de resolver, que el original.
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20
X3 = -1,59X2 + 8/46 X3 = 25/23
Este es el sistema resultante, que es mas fácil de resolver, que el original.
5X1 - 7 X2 + 9 X3 = 1003X1 + 5 X2 + 7 X3 = 704X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120
Sistema original
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Método básico de solución de un sistema de ecuaciones lineales
1 Multiplicar una ecuación (renglón) por una constante diferente ce cero.2.Intervambiar dos ecuaciones(renglones).3.Sumar un múltiplo de una ecuación a otra.
X1 - 7/5 X2 + 9/5 X3 = 20
X3 = -1,59X2 + 8/46 X3 = 25/23
Este es el sistema resultante, que es mas fácil de resolver, que el original.
5X1 - 7 X2 + 9 X3 = 1003X1 + 5 X2 + 7 X3 = 704X1 + 6 X2 - 8 X3 = 120
Sistema original
GRACIAS
