Algebra II unidad

7/24/2019 Algebra II unidad

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ALGEBRA LINEAL

2.1.Defnicin

dematriz,Notaciny

Orden.


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Se pede defnir na matriz, como n con!nto de e"emento#$n%mero#& ordenado# en f"a# y co"mna#.

'ara de#i(nar na matriz #e emp"ean "etra#may%#c"a#. )ada no de "o# e"emento# de"a matriz $ai!& tiene do# #*+ndice#. E"primero i indica "a f"a a "a e pertenece ye" #e(ndo ! "a co"mna.

E#ta e# na matriz de m f"a# y nco"mna#, e# decir, de dimen#in m - n.E#ta matriz tam*in #e pede repre#entarde "a /orma #i(iente0 A $ai!& m - n.

Si e" n%mero de f"a# y de co"mna# e# i(a"

$ m n &, entonce# #e dice e "a matrize# de orden n.


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Do# matrice# #on i(a"e# cando tienen "a mi#ma dimen#in y "o#e"emento# e ocpan "a mi#ma po#icin en am*a# #on i(a"e#


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atriz identidad


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atrice# trian("are#


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atrice# dia(ona"e#


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3ra#pe#ta de na matriz


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atrice# #imetrica#


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atrice# orto(ona"e#


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2.2 Operacione# conmatrice#

Sma y re#ta de matrice# Dada# do# matrice# de "a mi#ma dimen#in, A $ai!& y B $*i!&, #e defne

"a matriz #ma como0 A 5 B $ai! 5 *i!&

La matriz #ma #e o*tiene #mando "o# e"emento# de "a# do# matrice#e ocpan "a mi#ma po#icin.

E!emp"o0


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2.6 )"a#ifcacion de "a#atrice#

=Triangular superior= En na matriz trian("ar #perior "o# e"emento# #itado# por de*a!o de "a dia(ona"

principa" #on cero#.

=Triangular inferior= En na matriz trian("ar in/erior "o# e"emento# #itado# por encima de "a dia(ona"

principa" #on cero#.

=Diagonal= En na matriz dia(ona" todo# "o# e"emento# #itado# por encima y por de*a!o de "a

dia(ona" principa" #on n"o#.


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=Escalar=

7na matriz e#ca"ar e# na matriz dia(ona" en "a e "o# e"emento# de "adia(ona" principa" #on i(a"e#.

=Identidad=

7na matriz identidad e# na matriz dia(ona" en "a e "o# e"emento# de

"a dia(ona" principa" #on i(a"e# a 1.

=Potencia= Se ""ama potencia 89#ima de na matriz cadrada A, donde 8 OE :, n

entero po#iti;o, a" prodcto de A por #+ mi#ma, repetido 8 ;ece#. A8 A


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=Traspuesta= Dada na matriz A, #e ""ama matriz tra#pe#ta de A a "a matriz e #e o*tiene

cam*iando ordenadamente "a# f"a# por "a# co"mna#

$At&t A$A 5 B&t At 5 Bt$= >A&t => At$A > B&t Bt > At

=Simtrica= 7na matriz #imtrica e# na matriz cadrada e ;erifca0 A At.

=Antisimetrica= 7na matriz anti#imtrica o ?emi#imtrica e# na matriz cadrada e ;erifca0 A 9At.

=Compleja= S# e"emento# #on n%mero# comp"e!o# ai! e @

=Conjugada= atriz con!(ada de na matriz A Ae""a e #e o*tiene ##tityendo cada e"emento

por # comp"e!o con!(ado $i(a" parte rea", pero "a parte ima(inaria cam*iada de #i(no&.


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=Hermitiana o hermitica= 7na matriz ?ermitiana $o ?erm+tica& e# na matriz cadrada de e"emento# comp"e!o# e tiene

"a caracter+#tica de #er i(a" a # propia tra#pe#ta con!(ada. E# decir, e" e"emento en "a i9#ima f"a y !9#ima co"mna e# i(a" a" con!(ado de" e"emento en "a !9#ima f"a e i9#ima

co"mna, para todo# "o# +ndice# i y !0

o, e#crita con "a tra#pe#ta con!(ada A0 'or e!emp"o,e# na matriz ?erm+tica.

=Antihermitiana= na atriz anti?ermitiana e# na matriz cadrada cya tra#pe#ta con!(ada e# meno# "a

matriz. E#to e# #i #ati#/ace a "a re"acin0A 9Ao en # /orma componente, #i $A ai,!&0'ara toda# "a# i y "a# !.

=Ortogonal= 7na matriz orto(ona" e# nece#ariamente cadrada e in;erti*"e 0 A91 A3 La in;er#a de na

matriz orto(ona" e# na matriz orto(ona". E" prodcto de do# matrice# orto(ona"e# e# namatriz orto(ona". E" determinante de na matriz orto(ona" ;a"e 51 91.


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2. 3ran#/ormacione# e"ementa"e# por ren("n.E#ca"onamiento de na matriz. Ran(o de na matriz.

La idea e #e per#i(e con "a# tran#/ormacione# e"ementa"e# e# con;ertirna matriz concreta en otra matriz mC# /Cci" de e#tdiar. En concreto,#iempre #erC po#i*"e con#e(ir na matriz e#ca"onada, en e" #entido edefnimo# a continacin.

Sea A na matriz y na f"a de A. Diremo# e e# n"a #i todo# "o#n%mero# de coinciden con e" cero. Si e# no n"a, ""amamo# 'IO3E de a"primer nmero di#tinto de cero de contando de izierda a derec?a.

7na A3RIF ES)ALONADA e# ae""a e ;erifca "a# #i(iente#propiedade#01.93oda# "a# f"a# n"a# $ca#o de e-i#tir& #e encentran en "a parte in/erior de

"a matriz.2.9E" pi;ote de cada f"a no n"a #e encentra e#trictamente ma# a "aderec?a e e" pi;ote de "a f"a de encima.

'or e!emp"o, entre "a# matrice#0

A no e# e#ca"onada, mientra# e B y ) #i "o #on.


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La idea #erC "a de tran#/ormar "a matriz dada en otra e #eae#ca"onada mediante "a# ""amada# tran#/ormacione# e"ementa"e# porf"a# e de#cri*imo# a continacin.

Dada na matriz A ca"iera, "a# 3RANSORA)IONES ELEEN3ALESpor f"a# de A #on tre#0

1. Intercam*iar "a po#icin de do# f"a#.

2. "tip"icar na f"a por n n%mero rea" di#tinto de cero.6. S#titir na f"a por e" re#"tado de #mar"e a dic?a f"a otra f"a e

?a #ido pre;iamente m"tip"icada por n n%mero ca"iera..Nota0 AnC"o(amente podr+amo# ?acer"o todo por co"mna# #in

em*ar(o, #on "a# tran#/ormacione# por f"a# "a# e #on importante#en "o# #i#tema# de ecacione# "inea"e# e e#tdiaremo# de#p#.

.E" #i(iente re#"tado no# (arantiza e #iempre podemo#tran#/ormar na matriz ca"iera en otra e#ca"onada.


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2.H )C"c"o de "a in;er#a de na matriz.

Se pede ca"c"ar "a matriz in;er#a por do# mtodo#0

!" C#lculo de la matri$ in%ersapor determinantes


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Ejemplo&

1. )a"c"amo# e" determinante de "a matriz, en e" ca#o e e" determinante #ea n"o "a matriz no tendrCin;er#a.

2. a""amo# "a matriz ad!nta, e e# ae""a en "a e cada e"emento #e ##titye por # ad!nto.

6. )a"c"amo# "a tra#pe#ta de "a matriz ad!nta.

. La matriz in;er#a e# i(a" a" in;er#o de" ;a"or de # determinante por "a matriz tra#pe#ta de "a ad!nta.


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'(! C#lculo de la matri$ in%ersa por el mtodo de *auss

Sea A na matriz cadrada de orden n. 'ara ca"c"ar "a matriz in;er#a de A, e denotaremo# como A91,#e(iremo# "o# #i(iente# pa#o#0

( )on#trir na matriz de" tipo $A J I&, e# decir, A e#tC en "a mitad izierda de y "a matriz

identidad I en "a derec?a.

)on#ideremo# na matriz 6-6 ar*itraria

La amp"iamo# con "a matriz identidad de orden 6.

'(7ti"izando e" mtodo Ga## ;amo# a tran#/ormar "a mitad izierda, A, en "a matriz identidad, ea?ora e#tC a "a derec?a, y "a matriz e re#"te en e" "ado derec?o #erC "a matriz in;er#a0 A91.

29 1

65 2

29 6

15 2

$91& 2


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+amatri$in%ersaes&

Propiedades de la matri$ in%ersa

$A K B&91 B91 K A91

$A91&91 A

$8 K A&91 891 K A91

$A t&91 $A 91&t


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2. Defnicin de determinante dena matriz.


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2.M 'ropiedade# de "o#determinante#

Lo# determinante# tienen "a# #i(iente# propiedade# e #on%ti"e# para #imp"ifcar # e;a"acin. En "o# pCrra/o# #i(iente#con#ideramo# e A e# na matriz cadrada.

Propiedad ! 0 Si na matriz A tiene n ren("n $o naco"mna& de cero#, e" determinante deAe# cero.

Ejemplo&


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Propiedad '!

:E" determinante de na matriz A e# i(a" a"

determinante de "a tran#pe#ta de A.E#to e#

Ejemplo&


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Propiedad,! Si #e intercam*ian do# ren("one# $o do#

co"mna#& de na matriz Aentonce# e" determinante cam*iade #i(no.

Ejemplo&


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Propiedad-! Si na matriz A tiene do# ren("one# $o do#

co"mna#& i(a"e# entonce# detA .

Ejemplo&


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Propiedad.! )ando n #o"o ren("n $o co"mna& de na

matriz A #e m"tip"ica por n e#ca"ar n e" determinante de "amatriz re#"tante e# n ;ece# e" determinante de A, ndetA.

Ejemplo&


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Propiedad/! Si n ren("n de "a matriz A #e m"tip"ica por n

e#ca"ar n y #e #ma a otro ren("n deA, entonce# e" determinantede "a matriz re#"tante e# i(a" a" determinante deA, detA. Lomi#mo #e cmp"e para "a# co"mna# deA.

Ejemplo&


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Propiedad0! Si A y B #on matrice# de n - n, e" determinante de"

prodctoABe# i(a" a" prodcto de "o# determinante# deAy de B.

E#to e#

Ejemplo&


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Propiedad 1!E" determinante de "a matriz identidad Ie# i(a" a

1 $no&

Ejemplo&

Propiedad 2! E" determinante de na matriz #in("ar, e# decir,e no tiene in;er#a, e# i(a" a $cero&

Ejemplo&

Se pede /Cci"mente compro*ar e "a matrizJno tiene in;er#a.


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'!1!" In%ersa de una 3atri$ Cuadrada a Tra%sde la Adjunta!

Sea A na matriz de n-n. Entonce# A e# in;erti*"e#i detA. Si detA, entonce#0

Si detA, entonce# #e deme#tra e $1PdetA&$ad!A& e# "a in;er#a de A m"tip"icCndo"a por A yo*teniendo "a matriz identidad0

Si ABI, entonce# BA91. A#+, $1PdetA&ad!AA91


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2.Q Ap"icacin de matrice# y determinante#.

La# matrice# #e ti"izan en e" conte-to de "a# ciencia# como e"emento# e

#ir;en para c"a#ifcar ;a"ore# nmrico# atendiendo a do# criterio# o ;aria*"e#. E!emp"o0 7n importador de ("o*o# "o# importa de do# co"ore#, naran!a $N& y

/re#a $&. 3odo# e""o# #e en;a#an en paete# de 2, H y 1 nidade#, e #e;enden a" precio $en ero#& indicado por "a ta*"a #i(iente0

Sa*iendo e en n ao #e ;enden e" #i(iente n%mero de paete#0

Re#mir "a in/ormacion anterior en 2 matrice# A y B, de tamao re#pecti;o2-6 y 6-2 e reco!an "a# ;enta# en n ao $A& y "o# precio# $B&.

No# piden e or(anicemo# "a in/ormacin anterior en do# matrice# detamao concreto. Si no# f!amo# en "a# ta*"a#, e# #enci""o o*tener "a# matrice#0


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E#ta# matrice# #e denominan matrice# de in/ormacin, y #imp"ementereco(en "o# dato# nmrico# de" pro*"ema en ce#tin.

Otra# matrice# #on "a# ""amada# matrice# de re"acin, e indican #i cierto#

e"emento# e#tCn o no re"acionado# entre #+. En (enera", "a e-i#tencia dere"acin #e e-pre#a con n 1 en "a matriz y "a a#encia de dic?a re"acion dee-pre#a con n .

E#ta# matrice# #e ti"izan cando eremo# tra#"adar "a in/ormacin dada por

n (ra/o y e-pre#ar"a nmricamente. En atemCtica#, n (ra/o e# na co"eccin ca"iera de pnto# conectado#

por "inea#. E-i#ten mc?o# tipo# de (ra/o#. Entre e""o#, podemo# de#tacar0 Gra/o #imp"e0 E# e" (ra/o e no contiene cic"o#, e# decir, "inea# e nan n

pnto con#i(o mi#mo, ni "inea# para"e"a#, e# decir, "inea# e conectan e"mi#mo par de pnto#.

Gra/o diri(ido0 E# e" (ra/o e indica n #entido de recorrido de cada "inea,

mediante na ec?a. E#to# tipo# de (ra/o peden ;er#e en "a f(ra0


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Re"acionada# con "o# (ra/o# #e peden defnir a"(na#matrice#. Entre toda# e""a#, no#otro# no# f!aremo# en "a""amada matriz de adyacencia, e e# ae""a /ormadapor cero# y no# e-c"#i;amente, de ta" /orma e0

n 1 en e" "(ar $i,!& e-pre#a "a po#i*i"idad de ir de#de e"pnto de "a f"a i ?a#ta e" pnto de "a co"mna ! mediantena "inea e "o# na directamente.

n en e" "(ar $i,!& e-pre#a "a impo#i*i"idad de ir de" primer

pnto a" #e(ndo mediante na "inea e "o# nadirectamente.

La matriz de adyacencia de" (ra/o diri(ido de "a f(raanterior #erC0

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