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Alcuni appunti di Analisi Matematica II Calcolo Integrale

Marco Spadini

Avvertenza: Questi appunti sono stati inizialmente tratti dal registro delle lezioni del

Prof. Massimo Furi (Corso di Laurea in Ingegneria Informatica, A.A. 2007/2008), che

ringrazio moltissimo per avere generosamente messo a mia disposizione il materiale

didattico. Sono piano piano cresciuti negli ultimi anni con laggiunta di osservazioni,

dimostrazioni ed alcuni argomenti non comuni.

Ho apportato diverse modifiche e molte aggiunte rispetto alloriginale, principalmen-

te nella parte centrale e finale del testo, e nella formattazione. Molte dimostrazioni e

osservazioni sono state aggiunte assieme ad esempi ritenuti significativi.

Gli eventuali errori presenti, pero, sono soltanto una mia responsabilita. Saro grato achiunque mi fara notare sbagli, imprecisioni o inconsistenze.

Aggiornamento del 15 maggio 2018Codice versione: 28.20180515

Copyright cMarco Spadini 2012-2013-2014-2015-2016. Tutti i diritti riservati. La copia e

la redistribuzione sono proibiti senza lesplicito consenso scritto dellautore.

Indice

1 Integrali dipendenti da un parametro 1

1.1 Funzione definita mediante unintegrazione parziale (integrale parametrico) . . . 1

1.1.1 Continuita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Derivabilita e differenziabilta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.3 Una formula di derivazione nel caso di estremi non costanti . . . . . . . 5

2 Espressioni differenziali e integrali curvilinei 7

2.1 Espressioni e forme differenziali di grado 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Forme differenziali di grado 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.2 Forme differenziali e campi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Integrali curvilinei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1 Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.2 integrale curvilineo di unespressione differenziale . . . . . . . . . . . . 17

2.2.3 Lunghezza di una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.4 Integrali in ds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.5 Insiemi semplicemente connessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.6 Integrale curvilineo di una forma differenziale. . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.7 Determinazione di una primitiva di una forma esatta . . . . . . . . . . . 35

3 Integrali doppi 37

3.1 Integrale doppio su rettangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.1 Partizioni puntate e funzioni integrabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.2 Proprieta elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

ii

Indice iii

3.1.3 Insiemi trascurabili, Teoremi di integrabilita ed equivalenza . . . . . . . 40

3.1.4 Teorema di Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2 Integrale doppio su un arbitrario insieme limitato . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2.1 Definizione e proprieta elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2.2 Formule di riduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2.3 Misura di Peano-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.4 Teoremi della media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.5 Teorema di cambiamento di variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.6 Integrali doppi dipendenti da un parametro (integrali doppi parametrici) . 55

3.3 Integrali doppi generalizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.4 Formule di Gauss-Green nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.4.1 Curve e catene di Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.4.2 Formule di Gauss-Green e teorema della circuitazione . . . . . . . . . . 62

3.4.3 Teorema della divergenza nel piano e formule di integrazione per parti . . 67

3.4.4 Appendice: la formula di coarea nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4 Integrali tripli 71

4.1 Integrali tripli su parallelepipedi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.1.1 Partizioni puntate, funzioni integrabili e proprieta fondamentali . . . . . 71

4.1.2 Teorema di Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2 Integrali tripli su un arbitrario insieme limitato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.2.1 Estensione standard di una funzione e definizione di integrale . . . . . . 74

4.2.2 Formule di riduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2.3 Misura (volume) di un insieme in R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2.4 Cambiamento di variabili in R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2.5 Il teorema di Pappo-Guldino per i volumi dei solidi di rotazione . . . . . 81

4.2.6 Integrali tripli dipendenti da un parametro (integrali tripli parametrici) . . 82

5 Integrali di superficie 84

5.1 Superfici parametrizzate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Calcolo Integrale Copia e distribuzione vietate senza il consenso scritto dellautore Aggiornamento del 15 maggio 2018

iv Indice

5.1.1 Elemento darea e integrale superficiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.1.2 Superfici a placche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.1.3 Osservazione sulla nozione di area, la lanterna di Schwarz . . . . . . . . 92

5.1.4 Il Teorema di Pappo-Guldino per le superfici di rotazione . . . . . . . . . 94

5.2 Superfici orientate; teoremi della divergenza e della circuitazione . . . . . . . . . 95

5.2.1 Placche orientate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.2.2 Orientazione di una superficie a placche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.2.3 Teoremi della divergenza e della circuitazione . . . . . . . . . . . . . . . 100

6 Operatori differenziali in R3 104

6.1 Definizioni e prime proprieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.1.1 Definizioni e interpretazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.1.2 Relazioni con la matrice jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.2 Relazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.2.1 Legami tra gli operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.2.2 Ricostruzione di un campo dal suo rotore (potenziale vettore) . . . . . . 107

6.2.3 Il vettore simbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Indice analitico 111

Calcolo Integrale Copia e distribuzione vietate senza il consenso scritto dellautore Aggiornamento del 15 maggio 2018

Capitolo 1

Integrali dipendenti da un parametro

1.1 Funzione definita mediante unintegrazione parziale (integrale

parametrico)

Siano d > c due numeri reali. Dato D Rn, sia f : D [c, d] Rn+1 R una funzione continua.Per la continuita di f , per ogni x D fissato, la funzione f (x, ) : [c, d] R data da y 7 f (x, y)e continua e quindi integrabile. Dunque risulta definito lintegrale

dc

f (x, y)dy per ogni x D. Inaltri termini, risulta ben definita la funzione G : D R data da:

G(x) :=

d

c

f (x, y)dy.

Chiaramente G e una funzione di n variabili. Saremo principalemente interessati al caso in cui

D Rn e un aperto.

1.1.1 Continuita

Si ottiene facilmente il seguente fatto per D = [a1, b1] . . . [an, bn]:

Lemma (di continuita per integrali parametrici (semplici)). Sia f : [a1, b1]. . .[an, bn][c, d] R una funzione continua. Allora G : [a1, b1] . . . [an, bn] R data da

G(x) :=

d

c

f (x, y)dy,

e continua.

Dimostrazione. Poniamo D = [a1, b1] . . . [an, bn]. Osserviamo che, presi x ed x0 in D,

G(x) G(x0) =

d

c

f (x, y)dy d

c

f (x0, y)dy

d

c

f (x, y) f (x0, y)dy. (1.1)

1

2 Capitolo 1. Integrali dipendenti da un parametro

Sfruttando la compattezza di D [c, d] e possibile provare che per ogni > 0 esiste > 0 tale che f (x, y) f (x0, y) < per ogni coppia di coppie (x, y) e (x0, y) in D [c, d] (con la stessa y come

secondo elemento) tali che |x x0| < .1

Dunque, fissato > 0, scegliamo > 0 tale che

f (x, y) f (x0, y) <

d c .

Allora, da (1.1) segue che

G(x) G(x0)

d

c

d cdy =

d c (d c) = .

Cioe la continuita.

Il lemma ci permette rapidamente di condiderare domini aperti.

Teorema (di continuita per integrali parametrici (semplici)). Sia D Rn aperto e sia f : D [c, d] R una funzione continua e limitata. Allora G : D R data da

G(x) :=

d

c

f (x, y)dy,

e continua.

Dimostrazione. Basta osservare che per ogni x D si possono trovare a1, . . . , an e b1, . . . , n taliche x (a1, b1) . . . (an, bn) e che [a1, b1] . . . [an, bn] D. Allora, per il lemma, G e continuain x da cui segue la tesi2.

Una conseguenza immediata e che se f e D sono come nel teorema, allora

limxx0

d

c