ala bala portocalaala bala portocala

7/24/2019 ala bala portocalaala bala portocala

1/158

Probabilitati si statistica

Conf. dr. Cristian Niculescu,Facultatea de Matematica si Informatica,

Universitatea din Bucuresti

October 5, 2015

Part I

Probabilitati

1 Cmp de probabilitate. Operatii cu eveni-mente si formule de calcul pentruprobabilitatile acestora. Evenimente indepen-dente. Probabilitatea conditionata. Formula

lui Bayes

1.1 Cmp de probabilitaten teoria probabilitatilor consideram un experiment cu un rezultat dependentde sansa, care e numit experiment aleator. Se presupune ca toate rezultateleposibile ale unui experiment aleator sunt cunoscute si ele sunt elemente ale uneimultimi fundamentale denumita ca spatiul probelor. Fiecare rezultat posibil estenumitproba si un evenimenteste o submultime a spatiului probelor.

Notatii. Fie multime.P() := fAjA g :Fie A :A= CA:= fa 2 ja =2 Ag :Denitia 1.1. Fie multime. K P() se numeste corp borelian sau

-algebrape daca si numai daca

1)K 6= ;2) A 2 K =) A 2 K3) A1; A2;:::;An;::: 2 K =)

[n

An2 K.(; K)se numeste spatiu masurabilcndKeste corp borelian pe :Proprietati. Daca (; K)este spatiu masurabilatunci:

1


2/158

a) 2 Kb)

; 2 Kc)A1; A2;:::;An2 K =)

n[i=1

Ai2 K.d) Icel mult numarabila (i.e. nita sau numarabila), Ai2 K; 8i2 I =)\

i2IAi2 K

e)A; B2 K =) AnB2 K.Demonstratie. a)K 6= ; =) 9A 2 K =) A 2 K =) = A [ A [ A [

A [ ::: 2 K.b); = 2 K.c)

n[i=1

Ai =n[

i=1

Ai [ ; [ ; [ ::: 2 K.

d) \i2IAi= [i2IAi2 K.e)AnB= A \ B2 K.Consideram un corp borelian peKpe un spatiu de elemente a;b;c;:::cu

fag ; fbg ; fcg ;::: 2 K si cu submultimile A;B; C;::: 2 K. Unele dintre corespon-dentele dintre teoria multimilor si teoria probabilitatilor sunt date n urmatorultabel:

Teoria multimilor Teoria probabilitatilorSpatiu, Spatiul probelor, eveniment sigurMultimea vida,; Eveniment imposibilElementea; b;::: Probea; b;:::(sau evenimente simple)Multimi A;B;::: Evenimente A;B;:::A Evenimentul A apare

A Evenimentul A nu apareA [ B Cel putin unul dintre A si B apareA \ B AmbeleA si B aparA B Aeste un subeveniment al lui B (i.e. aparitia lui A implica aparitia lui B)A \ B= ; A si B sunt mutual exclusive (i.e. ele nu pot aparea simultan)

; este considerata un eveniment imposibil deoarece niciun rezultat posibilnu este element al ei. Prin "aparitia unui eveniment" ntelegem ca rezultatulobservat este un element al acelei multimi. Spunem ca mai multe evenimentesunt mutual exclusive daca multimile corespunzatoare sunt disjuncte doua ctedoua.

Exemplul 1.1. Consideram un experiment de calculare a numarului demasini care vireaza la stnga la o intersectie dintr-un grup de 100 de masini.Rezultatele posibile (numerele posibile de masini care vireaza la stnga) sunt0; 1; 2;:::; 100: Atunci, spatiul probelor este =f0; 1; 2; :::; 100g siK = P() :A= f0; 1; 2; :::; 50geste evenimentul "cel mult 50 de masini vireaza la stnga".B = f40; 41;:::; 60g este evenimentul "ntre40 si60 (inclusiv) de masini vireazala stnga". A [ B este evenimentul "cel mult 60 de masini vireaza la stnga".A \ B este evenimentul "ntre 40 si 50 (inclusiv) de masini vireaza la stnga".

2


3/158

Fie C= f81; 82; :::; 100g. Evenimentele A si Csunt mutual exclusive.Denitia 1.2. Fie(;

K)spatiu masurabil. Functia P :

K !Rse numeste

probabilitatepe (; K)daca si numai daca are urmatoarele proprietati (numiteaxiomele probabilitatii):

Axioma 1: P(A) 0; 8A 2 K(nenegativa).Axioma 2: P() = 1(normata).Axioma 3: pentru orice colectie numarabila de evenimente mutual exclusive

(multimi disjuncte doua cte doua)A1; A2;::: 2 K,

P

0@[j

Aj

1A = Xj

P(Aj )(numarabil aditiva).

(; K; P)se numeste cmp de probabilitatedaca si numai daca P esteprobabilitate pe spatiul masurabil(; K) :

1.2 Operatii cu evenimente si formule de calcul pentruprobabilitatile acestora

Proprietati. Daca (; K; P)este cmp de probabilitate, atunci:1) P(;) = 0:2) pentru orice colectie nita de evenimente mutual exclusive (multimi dis-

juncte doua cte doua)A1; A2;:::;An2 K,

P

0@ n[j=1

Aj

1A = nXj=1

P(Aj )(Peste aditiva).

3) A C; A; C2 K =) P(A) P(C) :4) A; B2 K =)

P(A [ B) = P(A) + P(B) P(A \ B) :5) (Formula lui Poincare) A1; A2;:::;An2 K =)

P

0@ n[j=1

Aj

1A = nXj=1

P(Aj)X

1i


4/158

:::1)=

n

Xj=1P(Aj ) + 0 + 0 + :::=

n

Xj=1P(Aj ) :

3) P(C) = P(A [ (CnA)) 2)=P(A) + P(CnA)| {z }0

=) P(C) P(A) :

4) P(A [ B) = P(A [ (BnA)) 2)= P(A) + P(BnA) 2)= P(A) + P(B)P(A \ B) :

5) Inductie.Pentru n = 1e evident.Presupunem adevarat pentrun:Fie A1; A2;:::;An; An+12 K.

P

0

@n+1[j=1

Aj

1

A=P

0

@n[

j=1

Aj[ An+11

A 4)=P

0

@n[

j=1

Aj

1

A+P(An+1)P

0

@

0

@n[

j=1

Aj

1

A\ An+1

1

Aip. ind.

=

nXj=1

P(Aj )X

1i


5/158

P(A [ C) = P(A) + P(C) :DarP(A [ B) = P(A) + P(B) P(A \ B) :Informatia data este insucienta pentru a determina P(A [ B) si avem

nevoie de informatia aditionala P(A \ B), care este probabilitatea ca ntre 40si 50 de masini sa vireze la stnga.

1.3 Evenimente independente

Denitia 1.3. Fie(; K; P)cmp de probabilitate. Doua evenimenteA; B2 Kse numesc independentedaca si numai daca

P(A \ B) = P(A) P(B) :Observatie. DacaA si B sunt evenimente independente, atunci:

PA \ B =P(A)PB ;P

A \ B =P AP(B) ;P

A \ B =P APB :Demonstratie. P(A) = P

(A \ B) [ A \ B =P(A \ B)+PA \ B =)

P

A \ B = P(A) P(A \ B) = P(A) P(A) P(B) = P(A) (1 P(B)) =P(A)P

B

:Analog pentru celelalte relatii.Exemplul 1.3. n lansarea unui satelit, probabilitatea unui insucces este q.

Care este probabilitatea ca doua lansari succesive sa esueze?Presupunnd ca lansarile satelitului sunt evenimente independente, raspun-

sul esteq2:Denitia 1.4. Fie(; K; P)cmp de probabilitate. Evenimentele A1; A2;:::;An2

Ksunt independentedaca si numai daca8m= 2; 3;:::;n; k1; k2;:::;km2N

a. .1 k1 < k2 < ::: < km n;

P(Ak1\ Ak2\ ::: \ Akm) = P(Ak1) P(Ak2) :::P(Akm) :n particular,A1; A2; A3 sunt independente daca si numai dacaP(Aj\ Ak) = P(Aj ) P(Ak) ; 8j < k;j; k= 1; 2; 3;siP(A1 \ A2 \ A3) = P(A1) P(A2) P(A3) :Observatii. 1) Numarul de egalitati din denitia independentei a n eveni-

mente este2n n 1:2) Independenta doua cte doua nu conduce n general la independenta.Contraexemplu.Fie 3 evenimente A1; A2; A3 denite deA1 = B1

[B2; A2 = B1

[B3; A3 = B2

[B3;

undeB1; B2 si B3 sunt mutual exclusive, ecare avnd probabilitatea 14 :P(A1) = P(B1 [ B2) = P(B1) + P(B2) = 12 :Analog P(A2) = P(A3) = 12 :P(A1 \ A2) = P((B1 [ B2) \ (B1 [ B3)) = P(B1 [ (B2 \ B3)) = P(B1 [ ;) =

P(B1) = 14 =

12 12 =P(A1) P(A2) :

5


6/158

Analog P(A1 \ A3) = P(A1) P(A3) ; P(A2 \ A3) = P(A2) P(A3) :P(A1

\A2

\A3) = P((B1

[B2)

\(B1

[B3)

\(B2

[B3)) = P((B1

[(B2

\B3))

\(B2

[B3)) =

P(B1 \ (B2 [ B3)) = P((B1 \ B2) [ (B1 \ B3)) = P(; [ ;) = P(;) = 0:P(A1) P(A2) P(A3) =

18 :

Deci P(A1 \ A2 \ A3) 6=P(A1) P(A2) P(A3) :Evenimentele A1; A2; A3 sunt independente doua cte doua, dar nu sunt

independente.3) Daca evenimenteleA1; A2;:::;Ansunt independente, atunci nlocuind ori-

care din Akj cu complementara Akj n ambii membri din relatiile din denitiaindependentei, relatiile obtinute ramn valabile.

Exemplul 1.4. Un sistem compus din 5 componente merge exact atuncicnd ecare componenta e buna. Fie Si; i= 1; :::; 5;evenimentul "componentaie buna" si presupunem P(Si) = pi. Care e probabilitatea qca sistemul sa numearga?

Presupunnd ca cele 5 componente merg ntr-o maniera independenta, epprobabilitatea de succes.

q= 1 p= 1 P

5\i=1

Si

!= 1

5Yi=1

P(Si) = 1 5Y

i=1

pi:

1.4 Probabilitatea conditionata

Denitia 1.5. Fie(; K; P)cmp de probabilitate siA; B2 K a. . P(B) 6= 0:Probabilitatea conditionatadeB a lui A este data de

P(AjB) = P(A \ B)P(B)

:

Observatie. n ipotezele denitiei 1.5, A si B sunt independente ()P(AjB) = P(A) :

Demonstratie. A si Bsunt independente() P(A \ B) = P(A) P(B)()P(A\B)

P(B) =P(A)() P(AjB) = P(A) :Propozitie. Fie (; K; P)cmp de probabilitate si B2 Ka. . P(B) 6= 0:

Atunci functia PB : K ! R; PB(A) = P(AjB)este probabilitate pe(; K) :Demonstratie. Vericam cele 3 axiome ale probabilitatii:1) PB(A) =

P(A\B)P(B) 0; 8A 2 K, deoareceP(A \ B) 0 si P(B)> 0:

2) PB() = P(\B)

P(B) = P(B)P(B) = 1:

3) A1; A2;:::2 Kcolectie numarabila de evenimente mutual exclusive =)A1\B; A2\B;::: 2 K mutual exclusive =) PB(A1 [ A2 [ :::) = P((A1[A2[:::)\B)P(B) =P((A1\B)[(A2\B)[:::)

P(B) = P(A1\B)+P((A2\B))+:::

P(B) = P(A1\B)

P(B) + P(A2\B)

P(B) + ::: =

PB(A1) + PB(A2) + ::::Exemplul 1.5. Reconsideram exemplul 1.4 presupunnd p1 > 0. Care este

probabilitatea conditionata ca primele doua componente sa e bune dat indca:

a) prima componenta este buna;

6


7/158

b) cel putin una dintre cele doua este buna?EvenimentulS1

\S2nseamna ca ambele componente sunt bune, iarS1

[S2

ca cel putin una e buna. Datorita independentei lui S1 si S2;avem:a) P(S1 \ S2jS1) = P(S1\S2\S1)P(S1) =

P(S1\S2)P(S1)

= P(S1)P(S2)P(S1) =P(S2) = p2.

b) P(S1 \ S2jS1 [ S2) = P(S1\S2\(S1[S2))P(S1[S2) = P(S1\S2)P(S1[S2) =

P(S1)P(S2)P(S1)+P(S2)P(S1\S2) =

p1p2p1+p2p1p2 :

Exemplul 1.6. Determinati probabilitatea de a trage, fara nlocuire, 2 asisuccesiv dintr-un pachet de carti de joc fara jokeri.

Fie A1 evenimentul "prima carte trasa este un as" si similar A2. Se cereP(A1 \ A2).

P(A1) = 452 (sunt 4 asi n cele 52 de carti din pachet).

P(A2jA1) = 351 (daca prima carte trasa este un as, au ramas 51 de cartidintre care 3 sunt asi).

P(A2

jA1) =

P(A1\A2)P(A1)

=

) P(A1

\A2) = P(A1)

P(A2

jA1) =

452

351 =

113 117 = 1221 :

Propozitie. Fie (; K; P)cmp de probabilitate si A1; A2;:::;An2 Ka. .P(A1 \ A2 \ ::: \ An1)> 0. Atunci

P(A1 \ A2 \ ::: \ An) = P(A1) P(A2jA1)P(A3jA1 \ A2) :::P(AnjA1 \ A2 \ ::: \ An1) :Demonstratie. A1 A1 \ A2 ::: A1 \ A2 \ ::: \ An1 =) P(A1)

P(A1 \ A2) ::: P(A1 \ A2 \ ::: \ An1)> 0 =) probabilitatileconditionate din membrul drept au sens.

P(A1) P(A2jA1)P(A3jA1 \ A2) :::P(AnjA1 \ A2 \ ::: \ An1) = P(A1)P(A1\A2)P(A1) P(A1\A2\A3)

P(A1\A2) ::: P(A1\A2\:::\An)P(A1\A2\:::\An1) =P(A1 \ A2 \ ::: \ An) :

Denitia 1.6. Fie Bi ; 8i 2 I: (Bi)i2I se numeste partitiea lui dacasi numai daca (Bi)i2Isunt disjuncte doua cte doua si

[i2IBi= :

Teorema probabilitatii totale. Fie (; K; P) cmp de probabilitate si(Bi)i2I K partitie cel mult numarabila a lui a. . P(Bi) > 0; 8i2 I:Atunci,8A 2 K,

P(A) =Xi2I

P(AjBi) P(Bi) :

Demonstratie. (Bi)i2I mutual exclusive, A\ Bi Bi; 8i 2 I =)(A \ Bi)i2Imutual exclusive =)

Xi2I

P(AjBi) P(Bi) =Xi2I

P(A\Bi)P(Bi)

P(Bi) =

Xi2I

P(A \ Bi) = P[

i2I(A \ Bi)

!=P

A \

[i2I

Bi

!!=P(A \ ) = P(A) :

Exemplul 1.7.S

a se determine probabilitatea ca un nivel critic al curgerii

sa e atins n timpul furtunilor ntr-un sistem de canalizare pe baza masurato-rilor meteorologice si hidrologice.

FieBi; i= 1; 2; 3diferitele nivele (mic, mediu si mare) de precipitatii cauzatede o furtuna si Aj ; j = 1; 2nivelele critic, respectiv necritic al curgerii.

7


8/158

Probabilitatile P(Bi)pot estimate din nregistrarile meteorologice, iar P(Aj jBi)din analiza curgerii. Presupunem ca:

P(B1) = 0; 5; P(B2) = 0; 3; P(B3) = 0; 2;P(A1jB1) = 0; P(A1jB2) = 0; 2; P(A1jB3) = 0; 6;P(A2jB1) = 1; P(A2jB2) = 0; 8; P(A2jB3) = 0; 4:Deoarece B1; B2; B3 constituie o partitie, din teorema probabilitatii totale

avem:P(A1) = P(A1jB1) P(B1)+ P(A1jB2) P(B2)+ P(A1jB3) P(B3) = 00; 5+

0; 2 0; 3 + 0; 6 0; 2 = 0; 18:

1.5 Formula lui Bayes

Thomas Bayes a fost un lozof englez.Teorema lui Bayes. Fie (; K; P)cmp de probabilitate si A; B2 Ka. .

P(A)

6= 0 si P(B)

6= 0. Atunci:

P(BjA) = P(AjB) P(B)P(A)

:

Demonstratie. P(AjB)P(B)P(A) =P(A\B)P(B) P(B)

P(A) = P(B\A)

P(A) =P(BjA) :Formula lui Bayes. Fie (; K; P) cmp de probabilitate si (Bi)i2I K

partitie cel mult numarabila a lui a. . P(Bi)> 0; 8i 2 I: Atunci,8A 2 Ka.. P(A) 6= 0; 8i 2 I;

P(BijA) = P(AjBi)P(Bi)Xj2I

[P(AjBj)P(Bj)]:

Demonstratie. P(AjBi)P(Bi)

Xj2I [P(AjBj)P(Bj)]TP T

= P(AjBi)P(Bi)P(A)

TB= P(BijA) :

Exemplul 1.8. n exemplul 1.7, sa se determine P(B2jA2), probabilitateaca, dat ind ca s-a atins un nivel necritic al curgerii, el sa fost datorat uneifurtuni de nivel mediu. Din formula lui Bayes rezulta

P(B2jA2) = P(A2jB2)P(B2)3Xj=1

[P(A2jBj)P(Bj)]= 0;80;310;5+0;80;3+0;40;2 =

0;240;5+0;24+0;08 =

0;240;82 =

1241

=0; 293:Exemplul 1.9. Un canal de comunicare binar simplu transmite mesaje

folosind doar 2 semnale, sa spunem 0 si 1. Presupunem ca, pentru un canalbinar dat, 40%din timp e transmis un 1; probabilitatea ca un 0 transmis sae corect receptionat este 0,9 si probabilitatea ca un 1 transmis sa e corectreceptionat este 0,95. Determinati:

a) probabilitatea ca un 1 sa e primit;b) dat ind ca un 1 este primit, probabilitatea ca un 1 sa fost transmis.FieA= "1 este transmis"A= "0 este transmis"

8


9/158

B = "1 este primit"B = "0 este primit".

Din ipotezeP(A) = 0; 4; P

A

= 0; 6;

P(BjA) = 0; 95; PBjA = 0; 05;P

BjA = 0; 9; PBjA = 0; 1:a) Deoarece A si A formeaza o partitie, din teorema probabilitatii totale

rezulta caP(B) = P(BjA) P(A) + PBjAPA = 0; 95 0; 4 + 0; 1 0; 6 = 0; 38 +

0; 06 = 0; 44:b) Din teorema lui Bayes,P(AjB) = P(BjA)P(A)P(B) = 0;950;40;44 = 0;380;44 = 1922 =0; 864:

9


10/158

2 Variabile aleatoare. Variabile aleatoare dis-

crete si variabile aleatoare continue, cu densi-tate de repartitie. Functie de repartitie. Mo-mentele unei variabile aleatoare

2.1 Variabile aleatoare

Consideram un experiment aleator ale carui rezultate sunt elemente ale spatiuluiprobelor din cmpul de probabilitate (; K; P) :Pentru a construi un modelpentru o variabila aleatoare, presupunem ca e posibil sa asociem un numar realX(!)pentru ecare rezultat ! , urmnd un anumit set de reguli.

Denitia 2.1. FunctiaXse numeste variabila aleatoaredaca si numai dacaa) X: ! R, unde (; K; P)este cmp de probabilitate sib)

8x

2R;

f!2

jX(!)

xg 2 K

.Conditia b) din denitie e asa-numita "conditie de masurabilitate". Ea ne

asigura ca are sens sa consideram probabilitatea evenimentului f!2 jX(!) xg,notat mai simplu X x pentru orice x2 R, sau, mai general, probabilitateaoricarei combinatii nite sau numarabile de astfel de evenimente.

n continuare, daca nu e specicat altfel, variabilele aleatoare suntconsiderate pe un cmp de probabilitate (; K; P) :

2.2 Variabile aleatoare discrete si variabile aleatoare con-tinue, cu densitate de repartitie

Denitia 2.2. O variabila aleatoare se numeste discreta daca si numai dacaia numai valori izolate. Multimea valorilor unei variabile aleatoare discrete este

cel mult numarabila.Denitia 2.3. O variabila aleatoare se numeste continua daca valorile eiumplu un interval.

Denitia 2.4. Fie X, variabila aleatoare continua. O functie fX : R!Ra. . fX(x) 0; 8x2 R si P(X x) =

Z x1

fX(u) du; 8x2 R se numestefunctie densitate de repartitie sau functie densitate de probabilitatesau simpludensitatea lui X:

2.3 Functie de repartitie

Denitia 2.5. Fie X variabila aleatoare. Functia FX : R! R;

FX(x) = P(X x) ;se numeste functia de repartitie de probabilitatesau simplu functia de repar-

titiea lui X.IndiceleXidentica variabila aleatoare. Acest indice e uneori omis cnd nu

e pericol de confuzie.

10


11/158

Proprietati ale functiei de repartitie. 1) Exista si are valori ntre 0 si1:

2) E continua la dreapta si crescatoare. Mai mult, avem:FX(1) := lim

x!1FX(x) = 0 si FX(1) := lim

x!1FX(x) = 1:

3) Dacaa; b 2 Ra. . a < b, atunciP(a < X b) := P(f!2 ja < X(!) bg) = FX(b) FX(a) :Aceasta relatie rezulta dinP(X b) = P(X a) + P(a < X b) :Exemplul 2.1. Fie Xo variabila aleatoare discreta cu valorile1; 1; 2; 3

luate cu probabilitatile 14 ;18

; 18 , respectiv

12 . Pe scurt notam X

1 1 2 314

18

18

12

.

Avem

FX

(x) =

8>>>>>>>:

0, pentrux < 1;14 , pentru 1 x


12/158

Exemplul 2.2. O functie de repartitie tipica pentru o variabila aleatoarecontinua este reprezentata grac mai jos.

Ea nu are salturi sau discontinuitati ca n cazul unei variabile aleatoarediscrete. Probabilitatea ca X sa aiba o valoare ntr-un anumit interval estedata de proprietatea 3) a functiei de repartitie. Din grac

P(1< X 1) = FX(1) FX(1) = 0; 8 0; 4 = 0; 4:Avem P(X=a) = 0; 8a 2 R:Observatie. Se poate deni functia de repartitie si ca FX : R! R; FX(x) =

P(X < x). n acest caz proprietatile 1) si 2) ramn valabile cu exceptia faptuluica functia de repartitie este continua la stnga si nu la dreapta, iar proprietatea3) devine

3) Dacaa; b 2 Ra. . a < b, atunciP(a X < b) = FX(b) FX(a) :Proprietati ale densitatii. 1)fX(x) = F0X(x) ; 8xn care FX este

derivabila.2)

FX(x) =

Z x1

fX(u) du; 8x 2 R:

3) Z1

1fX(x) dx= 1:

4) Dacaa; b 2 Ra. . a < b, atunciP(a < X b) = FX(b) FX(a) =

Z ba

fX(x) dx:

Exemplul 2.3. Un exemplu de densitate e reprezentata grac mai jos.

12


13/158

Dupa cum indica proprietatile 3) si 4), aria totala de sub curba este 1 sisuprafata hasurata de la a la b e egala cu P(a < X b).

Observatie. Cunoasterea densitatii sau a functiei de repartitiecaracterizeaza complet o variabila aleatoare continua.

Exemplul 2.4. Fie a >0. O variabila aleatoareXa carei densitate este

fX(x) =

aeax, pentru x >0;0, altfel,

se numesterepartizata exponential(de parametrua). AvemfX(x) 0; 8x 2R siZ1

1fX(x) dx=

Z 01

0dx +

Z10

aeaxdx= 0 eaxj10 = 1;deci fX verica proprietatea 3).

Dacax


14/158

Calculam unele probabilitati folosind fX .P(0 < X 1)e egala cu aria de sub gracul lui fX de la x = 0 la x = 1,

dupa cum se arata n gura (a). Avem

P(0 < X 1) =Z 1

0

fX(x) dx= eaxj10 = 1 ea:

14


15/158

P(X >3) e obtinuta calculnd aria de sub gracul lui fX la dreapta luix= 3, deci

P(X >3) = Z13

fX(x) dx= eaxj13 =e3a:Aceleasi probabilitati pot obtinute din FX astfel:P(0 < X 1) = FX(1) FX(0) = 1 ea 0 = 1 ea;P(X >3) =FX(1) FX(3) = 1

1 e3a =e3a:

Mai observam caP(0 < X 1) = P(0 X 1)pentru variabile aleatoarecontinue, deoarece P(X= 0) = 0:

Denitia 2.6. Fie X variabila aleatoare discreta. Functia pX : R !R; pX(x) = P(X= x) := P(f!2 jX(!) = xg) se numeste functia masa deprobabilitatea lui X, sau, pe scurt, masa lui X.

Din nou indiceleXe folosit pentru a identica variabila aleatoare asociata.Exemplul 2.5. Functia masa de probabilitate a variabilei aleatoare X

1 1 2 314 18 18 12 din exemplul 2.1 e reprezentata mai jos.

Observatii. 1) DacaXe variabila aleatoare discreta cu multimea cel mult

numarabila de valorifx1; x2;:::gluate cu probabilitati nenule, atunci:0< pX(xi) 1; 8i;Xi

pX(xi) = 1;

pX(x) = 0; 8x =2 fx1; x2;:::g :

15


16/158

2) Ca si FX , specicarea lui pX caracterizeaza complet variabila aleatoarediscretaX. Mai mult, presupunndx1 < x2 < :::, relatiile dintreFX sipX sunt

pX(x1) = FX(x1) ;

pX(xi) = FX(xi) FX(xi1) ; 8i > 1;FX(x) =

Xijxix

pX(xi) ; 8x 2 R:

3) Specicarea luipX se face de obicei dnd numai valorile pozitive, n restulpunctelor subntelegndu-se ca e0:

2.4 Momentele unei variabile aleatoare

Fie X variabila aleatoare discreta cu valorile x1; x2;::: si functia masa deprobabilitatepX sau continua cu densitatea fX .

Denitia 2.7. Numarul real

E(X) :=

8>>>:X

i

xipX(xi) , pentru Xdiscreta;Z11

xfX(x) dx, pentru Xcontinua,

daca exista, se numeste media lui X si se mai noteazamX sau simplu m:Denitia 2.8. Fie n 2 N. Numarul real

n:= E(Xn) =

8>>>:X

i

xnipX(xi) , pentru Xdiscreta;

Z11 xnfX(x) dx, pentruX continua,daca exista, se numeste momentul de ordinul nal lui X:Observatie. Media este momentul de ordinul 1.

Exemplul 2.6. Fie X1 1 2 3

14

18

18

12

din exemplul 2.1.

E(X) = (1) 14 + 1 18 + 2 18 + 3 12 = 14 + 18 + 14 + 32 = 18 + 32 = 138 :Exemplul 2.7. Timpul de asteptare X(n minute) al unui client la un

automat de bilete are densitatea

fX(x) =

2e2x, pentru x >0;0, altfel.

Determinati timpul mediu de asteptare.Integrnd prin parti avem

E(X) = Z11

xfX(x) dx= Z 01

0dx+Z10

x2e2xdx= 0Z10

x e2x0 dx=xe2xj10 +

Z10

e2xdx= 0 12e2xj10 = 12 minut.Proprietati ale mediei. Daca c2 R este o constanta si X si Y sunt

variabile aleatoare pe acelasi cmp de probabilitate(; K; P), atunci:

16


17/158

E(c) = c;E(cX) = cE(X) ;

E(X+ Y) = E(X) + E(Y),E(X) E(Y), daca X Y (i.e. X(!) Y (!) ; 8!2 ).Denitia 2.9. Fie X variabila aleatoare. Se numeste medianaa lui X o

valoare x0 a lui Xa. . P(X x0) = 12 sau, daca o astfel de valoare nu exista,valoarea x0 a lui Xa. . P(X < x0)< 12 si P(X x0)> 12 .

Media lui Xpoate sa nu existe, dar exista cel putin o mediana.n comparatie cu media, mediana e uneori preferata ca masura a tendintei

centrale cnd repartitia e asimetrica, n particular cnd sunt un numar mic devalori extreme n repartitie. De exemplu, vorbim de mediana veniturilor cao buna masura a tendintei centrale a venitului personal pentru o populatie.Aceasta e o masura mai buna dect media, deoarece mediana nu e asa sensibilala un numar mic de venituri extrem de mari sau venituri extrem de mici camedia.

Exemplul 2.8. Fie T timpul dintre emisiile de particule la un atom ra-dioactiv. Este stabilit ca Te o variabila aleatoare cu repartitie exponentiala,adica

fT(t) =

et, pentru t >0;0, altfel,

unde e o constanta pozitiva. Variabila aleatoare T se numeste timpul deviata al atomului si o masura medie a acestui timp de viata este timpul denjumatatire, denit ca mediana lui T. Astfel, timpul de njumatatire e gasitdin

P(T ) = 12 ()Z

1fT(t) dt =

12 () 1 e = 12 () e =

12 () = ln 2 :

Observam ca viata medie E(T)este

E(T) = Z11

tfT(t) dt= 1 (se calculeaza analog ca la exemplul 2.7).

Denitia 2.10. Fie X variabila aleatoare. Se numeste modul sau moda alui X

a) o valoare xi luata deX a. . pX(xi)> pX(xi+1) si pX(xi)> pX(xi1),daca Xe discreta cu valorile x1 < x2 < :::;

b) un punct de maxim local al lui fX , daca Xe continua.Un modul este astfel o valoare a lui Xcorespunzatoare unui vrf n functia

masa de probabilitate sau n densitate.Termenul distributie unimodala se refera la o functie de repartitie a unei

variabile aleatoare care are un modul unic.Media, mediana si modulul coincid atunci cnd o repartitie unimodala este

simetrica.Denitia 2.11. Fien 2 N siXvariabila aleatoare de medie m. Momentul

centrat de ordinul nal lui Xeste

17


18/158

n= E((X m)n) =8>>>:X

i(xi m)

n

pX(xi) , pentruXdiscreta;Z11

(x m)n fX(x) dx, pentru Xcontinua.

Denitia 2.12. FieXvariabila aleatoare.Variantasau dispersia luiXestemomentul centrat de ordinul 2 al lui X; 2. Se noteaza cu

2X sau simplu

2

sau var (X).Valori mari ale lui 2X implica o ntindere mare a valorilor lui X n jurul

mediei. Reciproc, valori mici ale lui 2X implica o concentrare a valorilor luiX n jurul mediei. n cazul extrem cnd2X = 0, X = m cu probabilitatea 1(ntreaga masa a distributiei e concentrata n medie).

Propozitie. Relatia dintre dispersia si momentele lui Xeste2 =2

m2:

Demonstratie. 2 = E(X m)2= EX2 2mX+ m2 = EX2 2mE(X) + m2 =2 2m2 + m2 =2 m2:

Alte proprietati ale dispersiei. var (X) 0;var (X+ c) = var (X) ; 8c 2 R;var (cX) = c2var (X) ; 8c 2 R:FieXvariabila aleatoare de mediem. Se numeste deviatie standarda luiX

X =

rE

(X m)2

:

Un avantaj al folosirii lui X n locul lui 2X este ca X are aceeasi unitatede masura ca media. De aceea poate comparata cu media pe aceeasi scalapentru a obtine o masura a gradului de mprastiere.

Un numar adimensional (fara unitate de masura) care caracterizeaza m-

prastierea relativ la medie si care faciliteaza compararea variabilelor aleatoarede unitati diferite este coecientul de variatiedenit de

vX = XmX

:


14

18

18

12

din exemplul 2.1. Sa deter-

minam2X .n exemplul 2.6 am vazut ca mX = 138 . AvemE

X2

= (1)2 14 + 12 18 + 22 18 + 32 12 = 14 + 18 + 12 + 92 = 38 + 5 = 438:2X =E

X2 m2X = 438 16964 = 34416964 = 17564:

Exemplul 2.10. Determinam dispersia lui Xcu fX(x) = 2e2x, pentru x 0;0, altfel.

:

n exemplul 2.7 am vazut ca mX = 12 :Avem, integrnd prin parti

E

X2

=

Z11

x2fX(x) dx=

Z 01

0dx+

Z10

x22e2xdx= 0Z1

0

x2

e2x0

dx=

x2e2xj10 +Z1

0

2xe2xdx= 0 + 12 = 12 , ultima integrala ind calculata la

18


19/158

exemplul 2.7.Deci2X =EX2 m2X = 12 14 = 14 :Coecientul de asimetriedenit de1 =

33

da o masura a simetriei unei distributii. Este pozitiv cnd o distributieunimodala are o coada dominanta la dreapta (adica modulul este la stngamediei) si negativ n caz contrar. Este 0 cnd o distributie e simetrica n jurulmediei. De fapt, o distributie simetrica n jurul mediei are toate momentelecentrate de ordin impar 0. n gurile (a), (b) si (c) sunt reprezentate densitaticu 1 > 0; 1 = 0;respectiv 1 < 0:

19


20/158

Gradul de aplatizare a distributiei lnga vrfuri poate masurat de coe-cientul de excesdenit de

2 = 44 3:

Un 2 >0 implica un vrf ascutit n vecinatatea modulului unei distributiiunimodale, iar

2< 0 implica, de regula, un vrf turtit.

2.4.1 Inegalitatea lui Cebsev

Teorema 2.1. (Inegalitatea lui Cebsev)FieXvariabila aleatoare cu mediamX si deviatia standard X6= 0. Atunci

20


21/158

P(jX

mX

j kX )

1

k2; (2.1)

pentru orice k >0:Demonstratie. Presupunem X continua. Din denitie avem

2X =

Z11

(x mX )2 fX(x) dxZ jxmX jkX

(x mX )2 fX(x) dx

k22X

Z jxmX jkX

fX(x) dx= k22X P(jX mX j kX ) :

Rezulta relatia (2.1). Demonstratia este similara cndXeste discreta.

21


22/158

3 Independenta variabilelor aleatoare. Densi-

tate de repartitie conditionata si formula luiBayes pentru densitati de repartitie. Covari-anta si corelatie

3.1 Independenta variabilelor aleatoare

Toate variabilele aleatoare sunt considerate pe acelasi cmp de probabilitate(; K; P), daca nu se specica altfel.

Denitia 3.1. a) Functia de repartitie comunaa variabilelor aleatoare Xsi Y este denita de

FXY(x; y) = P(X x \ Y y) :

b) Functia de repartitie comunaa variabilelor aleatoare X1; X2;:::;Xn estedenita de

FX1X2:::Xn(x1; x2;:::;xn) = P(X1 x1 \ X2 x2 \ ::: \ Xn xn) :

Proprietati 3.1. a)FXY(x; y) 0; 8x; y2 R:b) FXY e crescatoare n x si y .c)FXYe continua la dreapta n raport cu x si y .d) FXY (1; 1) = FXY (1; y) = FXY (x; 1) = 0; 8x; y2 R:e)FXY(1; 1) = 1:f)FXY (x; 1) = FX(x) ; 8x 2 R:g) FXY (1; y) = FY(y) ; 8y2 R:h)8x1; x2; y1; y22 Ra. . x1 < x2 si y1 < y2;P(x1 < X x2 \ y1 < Y y2) = FXY (x2; y2)FXY (x1; y2)FXY (x2; y1)+

FXY (x1; y1) :Demonstram de exemplu f):FXY (x; 1) = P(X x \ Y 1) = P(X x \ ) = P(X x) = FX(x) ; 8x 2

R:Proprietati similare se pot deduce pentruFX1X2:::Xn :Forma generala a lui FXYpoate vizualizata din proprietatile d)-g). n cazul

cnd X si Y sunt discrete FXY seamana cu un colt al unor trepte neregulate,ca n gura de mai jos.

22


23/158

Creste de la 0 la naltimea de 1 n directia dinspre cadranul 3 spre cadranul1. CndX siY sunt continueFXYeste o suprafata neteda cu aceleasi trasaturi.

Proprietatile f) si g) arata ca functiile de repartitie ale variabilelor aleatoareindividuale, numite functii de repartitie marginale, pot calculate din functiade repartitie comuna a lor. Reciproca nu este n general adevarata. O situatieimportanta cnd reciproca este adevarata este cnd X si Ysunt independente.

Denitia 3.2. a) Variabilele aleatoare X si Y sunt independente daca sinumai dacaP(X x \ Y y) = P(X x) P(Y y) ; 8x; y2 R:

b) Variabilele aleatoareX1; X2;:::;Xnsuntindependentedaca si numai dacaP(X1 x1 \ X2 x2 \ ::: \ Xn xn) = P(X1 x1) P(X2 x2) :::P(Xn xn) ; 8x1; x2;:::;xn2R:

c) Fie Imultime innita. Variabilele aleatoare (Xi)i2I sunt independente

() (Xi)

i2Jsunt independente,

8J

Inita.Observatii. a)X si Y sunt independente ()

FXY (x; y) = FX(x) FY (y) ; 8x; y2 R:b) X1; X2;:::;Xn sunt independente ()

FX1X2:::Xn(x1; x2;:::;xn) = FX1(x1) FX2(x2) :::FXn(xn) ; 8x1; x2;:::;xn2 R:c)X si Ysunt independente =)

23


24/158

P(x1 < X x2 \ y1 < Y y2) = P(x1 < X x2) P(y1 < Y y2) ; 8x1; x2; y1; y22Ra. . x1 < x2 si y1 < y2:

Demonstratie. a), b) Evident.c)P(x1 < X x2 \ y1 < Y y2) =

FXY (x2; y2) FXY(x1; y2) FXY(x2; y1) + FXY (x1; y1) =FX(x2) FY (y2) FX(x1) FY (y2) FX(x2) FY(y1) + FX(x1) FY (y1) =(FX(x2) FX(x1)) (FY (y2) FY (y1)) = P(x1 < X x2) P(y1 < Y y2) :

n general:

X1; X2;:::;Xnsunt independente() P

n\i=1

Xi2 Ai!

=nY

i=1

P(Xi2 Ai) ; 8A1;:::;Anintervale sau multimi cu un singur element din R:

Aici Xi2 Ai = f!2 jXi(!) 2 Aig.Denitia 3.3. a) Functia masa de probabilitate comuna a variabilelor

aleatoare discrete X si Y este denita de

pXY (x; y) = P(X=x \ Y =y) ; 8x; y2 R:b) Fie n variabile aleatoare discrete X1; X2;:::;Xn: Functia masa de proba-

bilitate comunaa lor este denita de

pX1X2:::Xn(x1; x2; :::xn) = P(X1 = x1 \ X2 = x2 \ ::: \ Xn= xn) ; 8x1; x2;:::;xn2 R:Proprietati 3.2. FieX siY variabile aleatoare discrete care iau o multime

cel mult numarabila de perechi de valori (xi; yj ) ; i ; j = 1; 2;::: cu probabilitatinenule.

a) pXY(x; y) = 0peste tot, exceptnd punctele (xi; yj ) ; i ; j = 1; 2;::: undeia valori egale cu probabilitatea comuna P(X=xi

\Y =yj ) :

b) 0 < pXY (xi; yj) 1;c)X

i

Xj

pXY (xi; yj ) = 1;

d)X

i

pXY (xi; y) = pY(y) ;

e)X

j

pXY(x; yj ) = pX(x) ;

f)FXY (x; y) =X

ijxix

Xjjyjy

pXY(xi; yj ) ; 8x; y2 R:

Acum pX(x) si pY (y)sunt numite functii masa de probabilitate marginale.Proprietati similare pot scrise pentru pX1X2:::Xn :Denitia 3.4. a)Functia densitate de probabilitate comunaa doua variabile

aleatoare continueX si Y este o functie fXY :R2

!R

astfel nctfXY(x; y) 0; 8x; y2 R

si

P(X x \ Y y) =Z y

1

Z x1

fXY (u; v) dudv; 8x; y2 R:

24


25/158

b) Fievectorul aleatorX cu componente variabilele aleatoare continue X1; X2;:::;Xncare au functia de repartitie comuna

FX(x) = P(X1 x1 \ X2 x2 \ ::: \ Xn xn) ;unde xeste vectorul cu componentelex1; x2;:::;xn:Functia densitate comunacorespunzatoare este o functie

fX : Rn ! Rastfel nct

fX(x) 0; 8x 2 Rn

si

P(X1 x1 \ ::: \ Xn xn) =Z xn

1:::

Z x11

fX(u1;:::;un) du1:::dun;

8x 2 Rn:Proprietati 3.3. a) fXY(x; y) = @

2FXY@x@y (x; y) ; 8x; y 2 R pentru care

derivata partiala exista.b) Din denitie,

FXY (x; y) = P(X x \ Y y) =Z y

1

Z x1

fXY (u; v) dudv:

c) Daca x1< x2 si y1< y2, atunci

P(x1 < X x2 \ y1 < Y y2) =Z y2

y1

Z x2x1

fXY(x; y) dxdy:

d) fXY deneste o suprafata deasupra planului (x; y). Dupa cum indicaproprietatea 3.3 c), probabilitatea ca variabilele aleatoare X si Y sa se aentr-o anumita suprafataReste egala cu volumul de sub suprafatafXY marginitde acea regiune, ca n gura de mai jos.

25


26/158

e) Z1

1 Z1

1fXY (x; y) dxdy = 1:

Aceasta proprietate rezulta din proprietatea b) punnd x ! 1 si y! 1 siarata ca volumul total de sub suprafata fXY este1:

f)Z11

fXY(x; y) dy= fX(x) :

Aceasta rezulta din

FX(x) = FXY (x; 1) =Z11

Z x1

fXY (u; y) dudy;

derivnd n raport cu x:

g)Z1

1fXY (x; y) dx= fY (y) :

h) fX(x) = @nFX

@x1@x2:::@xn(x) ; 8x 2 Rn pentru care derivata partiala exista.

DensitatilefX si fY din proprietatile f) si g) se numesc densitati marginale

ale lui X, respectiv Y :

26


27/158

3.2 Densitate de repartitie conditionata si formula lui Bayespentru densitati de repartitie

Fie X si Y variabile aleatoare continue si y2 RcufY(y)6= 0. Functia densitate de repartitie conditionata (pe scurt densitateconditionata) a lui Xdat ind

Y =y;

notata cufXY (xjy) ;este denita de

fXY (xjy) = fXY (x; y)fY (y)

: (3.1)

n general

P(X2 AjY =y) =Z A

fXY(xjy) dx:

Cnd X si Ysunt independente avem

fXY (xjy) = fX(x)

sifXY (x; y) = fX(x) fY(y) ;

adica densitatea comuna e egala cu produsul densitatilor marginale cnd X siYsunt independente.

Exemplul 3.2.1. Fie variabilele aleatoare continue avand densitatea co-muna

fXY (x; y) =

k (x + y) ; daca (x; y) 2 (0; 3)2 ;0; altfel,

undek este o constanta ce trebuie determinata. Din proprietatea 3.1.3 e),

1 =

Z11

Z11

fXY (x; y) dxdy = k

Z 30

Z 30

(x + y) dxdy=

k

Z 10

x2

2 + xy

jx=3x=0dy = kZ 3

0

92 + 3y

dy= k

92y+ 3

y2

2

j30 =

k272 +

272

= 27k,

decik=

1

27:

Densitatea marginala a lui Xeste

fX(x) =

Z11

fXY(x; y) dy=

8


28/158

Datorita simetriei n x si y a densitatii comune, densitatea marginala a luiY este

fY (y) = 2y+318 , dacay2 (0; 3)0, altfel.Deoarece

fXY (1; 1) = 2

276= 25

324=fX(1) fY(1) ;

X si Ynu sunt independente.Densitatea conditionata a lui Xdat ind

Y =y

este

fXY (xjy) = fXY (x; y)fY (y)

=2

3 x + y

2y+ 3, daca (x; y) 2 (0; 3)2 .

Extinderile pentru mai multe variabile aleatoare sunt imediate.Plecnd de la

P(A \ B \ C) = P(AjB \ C) P(BjC) P(C)

pentru trei evenimente A; B si C, avem n cazul a trei variabile aleatoare con-tinueX; Y si Z;

fXY Z(x;y;z) = fXY Z(xjy; z) fY Z(yjz) fZ(z) :

Pentru cazul anvariabile aleatoare continueX1; X2;:::;Xn, componente ale

vectorului aleator X, putem scriefX(x) =fX1X2:::Xn(x1jx2;:::;xn) fX2:::Xn(x2jx3;:::;xn) :::fXn1Xn(xn1jxn)fXn(xn) :

DacaX1; X2;:::;Xn sunt independente, obtinem

fX(x) = fX1(x1) fX2(x2) :::fXn(xn) :

Formula lui Bayes pentru densitati de repartitie. Daca X si Y suntvariabile aleatoare continue, atuncifXY(xjy) = fYX(yjx)fX(x)fY(y) =

fY X(yjx)fX(x)Z 1

1

fYX(yj)fX()d;

daca

fY (y) 6= 0:

28


29/158

3.3 Covarianta si corelatie

Fie X si Y variabile aleatoare discrete care iau o multime cel mult numarabilade perechi de valori (xi; yj ) ; i ; j = 1; 2;::: cu probabilitati nenule sau variabilealeatoare continue.

Denitia 3.5. Fien; m 2 N:a) Momentele comune nm ale variabilelor aleatoare X si Y sunt date de,

daca exista,

nm= E(XnYm) =

8>>>:X

i

Xj

xmi ynjpXY(xi; yj ) , dacaX si Y sunt discrete,Z1

1

Z11

xnymfXY(x; y) dxdy, daca X si Ysunt continue.

b) Similar,momentele centrate comuneale luiX siY, cnd exista, sunt datede

nm= E((X

mX )

n (Y

mY)

m) :

Observatii. Cu notatiile folosite aici, mediile lui X siY sunt10, respectiv,01. De exemplu, folosind denitia 3.5 a) pentruX si Y continue, obtinem

10= E(X) =

Z11

Z11

xfXY (x; y) dxdy =

Z11

x

Z11

fXY (x; y) dydx=Z11

xfX(x) dx;

unde fX este densitatea marginala a lui X. Astfel vedem ca acest rezultate identic cu cel din cazul unei singure variabile aleatoare.

Aceasta observatie este adevarata si pentru dispersiile individuale. Ele sunt20, respectiv02; si pot gasite din denitia 3.5 b) cu nlocuiri corespunzatoarepentrun si m. Ca si n cazul unei singure variabile aleatoare avem

20= 20 210sau2X =20 m2X ;respectiv02= 02 201sau2Y =02 m2Y:Denitia 3.6. Se numeste covariantaa lui X si Y11= cov (X; Y) = E((X mX ) (Y mY)) :Covarianta e o marime a interdependentei lui X si Y :Proprietatea 3.4. Covarianta e legata denmprin11= 11 1001= 11 mX mY:Demonstratie. 11= E((X mX ) (Y mY)) = E(XY mYX mX Y + mX mY) =

E(XY) mYE(X) mX E(Y) + mX mY =11 1001 1001+ 1001 =11 1001:

Denitia 3.7. Coecientul de corelatieal lui X si Y este

= (X; Y) = 11p

2002=

11X Y

:

Proprietatea 3.5.jj 1:Demonstratie. [t (X mX ) + Y mY]2 0; 8t 2 R =) E

[t (X mX ) + Y mY]2

=

20t2 + 211t+ 02 0; 8t2 R =) = 4211 42002 0 =) 211

2002 =) jj 1:

29


30/158

Coecientul de corelatie este fara dimensiune. El este si independent deorigine, adica

8a1; a2; b1; b2

2Rcu a1; a2 > 0 se poate demonstra ca

(a1X+ b1; a2Y + b2) = (X; Y) :Proprietatea 3.6. DacaX si Ysunt independente, atunci11= 0 si = 0:Demonstratie. Fie X si Y continue.

11= E(XY) =

Z11

Z11

xyfXY(x; y) dxdy indep.

=

Z11

Z11

xyfX(x) fY(y) dxdy =Z11

xfX(x) dx

Z11

yfY (y) dy = mX mY =) 11= 11 mX mY = 0 =)= 0:

Similar se poate demonstra dacaX si Y sunt discrete.DacaX si Ysunt independente, atunci(3.2)E(g (X) h (Y)) = E(g (X)) E(h (Y)) ;daca mediile exista.Cnd coecientul de corelatie al doua variabile aleatoare se anuleaza, spunem

ca ele sunt necorelate.Observatii. 1) X si Y sunt necorelate () E(XY) = E(X) E(Y).

(Rezulta din denitii si proprietatea 3.4.)2) X, Y independente =) X, Y necorelate. (Rezulta din denitie si

proprietatea 3.6.)3) Reciproca nu e adevarata.


14

14

14

14

si Y =X2:

Avem Y

1 412

12

,

pXY (x; y) = 8>>>:14 , pentru (x; y) = (2; 4) ;14 , pentru (x; y) = (1; 1) ;14 , pentru (x; y) = (1; 1) ;14

, pentru (x; y) = (2; 4) ;mX = (2) 14 + (1) 14 + 1 14 + 2 14 = 0;mY = 1 12 + 4 12 = 52 ;11= (2) 4 14 + (1) 1 14 + 1 1 14 + 2 4 14 = 0:Deci11= 11 mX mY = 0 =) = 11XY = 0 =) X si Ysunt necorelate.Pe de alta parte,P(X 2 \ Y 1) = FXY(2; 1) = 0;iarP(X 2) P(Y 1) = FX(2) FY(1) = 14 12 = 18 ;deci

P(X 2 \ Y 1)6= P(X 2) P(Y 1) =) X si Ynu sunt inde-pendente.

Coecientul de corelatie masoara interdependenta liniara a variabilelor aleatoare,adica acuratetea cu care o variabila aleatoare poate aproximata printr-ofunctie liniara de cealalta. Pentru a vedea asta, consideram problema

30


31/158

aproximarii unei variabile aleatoare Xprintr-o functie liniara de o a doua vari-abila aleatoareY,aY+ b, undea sib sunt alese a. . eroarea medie patraticae

denita de(3.3)e = E

[X (aY + b)]2

este minima. Aveme = E

X2 + a2Y2 + b2 2aXY 2bX+ 2abY = EX2+ a2EY2 +

b2 2aE(XY) 2bmX+ 2abmY;@e@a = 2aE

Y2 2E(XY) + 2bmY;

@e@b = 2b 2mX+ 2amY:Rezolvnd sistemul

@e@a = 0;@e@b = 0;

obtinem ca minimul e atins cnda= XY

sib= mX amY:nlocuind aceste valori n relatia (3.3) obtinem eroarea medie patratica

minima 2X

1 2. Vedem ca o potrivire exacta n sensul mediei patratice eatinsa cndjj = 1 si aproximarea liniara este cea mai rea cnd = 0: Cnd= 1, X si Y se numesc pozitiv perfect corelate, n sensul ca valorile pe care leiau sunt pe o dreapta cu panta pozitiva; ele sunt negativ perfect corelatecnd= 1si valorile lor se aa pe o dreapta cu panta negativa. Aceste doua cazuriextreme sunt ilustrate n gura de mai jos.

Valoarea lui jj descreste cnd mprastierea valorilor n jurul dreptelor creste.n demonstratia faptului cajj 1;am obtinut

31


32/158

211 2002:Folosind un procedeu similar, putem arata de asemenea ca

E2 (XY) EX2EY2 :Ultimele doua relatii sunt inegalitatile lui Schwarz.Denitia 3.8. FieX un vector coloana aleator cu componentele X1; X2;:::;Xn

si mX vectorul coloana avnd componente mediile lui X1; X2;:::;Xn: Matriceade covariantaeste

=E

(XmX) (XmX)T

=

0BBB@var (X1) cov (X1; X2) : :: cov (X1; Xn)

cov (X2; X1) var (X2) ::: cov (X2; Xn)...

... . . .

...cov (Xn; X1) cov (Xn; X2) ::: var (Xn)

1CCCA :este o matricen ncu avnd pe diagonala variante si n afara diagonalei

covariante. Deoarece cov (Xi; Xj) = cov (Xj ; Xi), matricea de covarianta estesimetrica.

Urmatorul rezultat este o generalizare a relatiei (3.2).Teorema. Daca X1; X2;:::;Xn sunt independente, atunciE(g1(X1) g2(X2) :::gn(Xn)) = E(g1(X1)) E(g2(X2)) :::E(gn(Xn)) ;unde gj(Xj ) este o functie arbitrara de Xj . Se presupune ca toate mediile

care sunt scrise exista.

Propozitie. FieX1; X2;:::;Xn variabile aleatoare si Y =nX

i=1

Xi:Atunci

2Y =nX

i=1

2Xi + 2X

1i


33/158

4 Principalele repartitii discrete si proprietatile

lor4.1 Repartitia binomiala

O succesiune de probe e facuta astfel ncta) pentru ecare proba sunt doar doua rezultate posibile, sa spunem succes

si esec;b) probabilitatile aparitiei acestor rezultate ramn aceleasi pe durata pro-

belor;c) probele sunt independente.Probele facute n aceste conditii se numesc probe Bernoulli.Notam evenimentul "succes" cuS si evenimentul "esec" cu F. FieP(S) = p

si P(F) =q, unde p +q= 1:Rezultate posibile din efectuarea unei succesiunide probe Bernoulli pot reprezentate simbolic prin

S\ S\ F\ F\ S\ F\ S\ S\ S\ ::: \ F\ FF\ S\ F\ S\ S\ F\ F\ F\ S\ ::: \ S\ F...si, datorita independentei, probabilitatile acestor rezultate posibile sunt usor

de calculat. De exemplu,P(S\ S\ F\ F\ S\ F\ :::F\ F) = P(S) P(S) P(F) P(F) P(S) P(F) :::P(F) P(F) =

ppqqpq:::qq:Repartitia unei variabile aleatoare Xreprezentnd numarul de succese

dintr-o succesiune de n probe Bernoulli, indiferent de ordinea n care apar estefrecvent de interes considerabil. E clar ca X e o variabila aleatoare discretacare ia valorile 0; 1; 2;:::;n. Pentru a determina functia masa de probabilitate,consideram pX(k), probabilitatea de a avea exact k succese n n probe. Acest

eveniment poate aparea n la fel de multe moduri precum numarul de submultimide k elemente ale unei multimi de nelemente. De aici, numarul de moduri ncarek succese se pot ntmpla n n probe este

Ckn = n!

k!(nk)!si probabilitatea asociata cu ecare mod este pkqnk:Din acest motiv avem

pX(k) = Cknp

kqnk; k= 0; 1; 2;:::;n: (4.1)

Datorita similaritatii cu termenii binomului lui Newton

(a + b)n =nX

k=0

Cknakbnk;

repartitia denita de relatia (4.1) se numeste repartitie binomiala. Ea aredoi parametri, anumen sip. O variabila aleatoareXavnd repartitie binomialase noteaza X B (n; p).

Forma unei repartitii binomiale e determinata de valorile celor doi parametriai ei, n si p. n general, n se da ca o parte a problemei si p trebuie estimat dinobservatii.

33


34/158

O reprezentare a functiei masa de probabilitate pX(k) pentru n = 10 sip= 0; 2este n gura de mai jos.

Vrful repartitiei se va muta spre dreapta cndpcreste, atingnd o repartitiesimetrica cnd p = 0; 5. Consideram raportul

pX(k)pX(k

1) =

Cknpkqnk

C

k1

n pk1

qnk+1

=n!

k!(nk)!p

n!

(k1)!(nk+1)!q

= (nk+1)pkq = 1 + (nk+1)pkq

kq =

1 + (n+1)pk(p+q)kq = 1 + (n+1)pk

kq :

Observam capX(k)> pX(k 1)() k (n + 1)p:Deci, daca denim k2 Zprin

(n + 1)p 1< k (n + 1)p;valoarea lui pX(k) creste de la k = 0 si si atinge valoarea maxima cnd

k = k, apoi descreste. Daca (n + 1)p2 Z, valoarea maxima se atinge nambelepX(k 1) si pX(k). k este astfel un modul al acestei repartitii si senumeste adesea "cel mai probabil numar de succese".

pX(k) este tabelata ca o functie de n si p. Tabelul A.1 din gurile de maijos da valorile ei pentru n = 2; 3; :::; 10 si p = 0; 01;0; 05; :::; 0; 5:

34


35/158

35


36/158

Calculul luipX(k)devine greu cndndevine mare; se foloseste aproximareaPoisson a repartitiei binomiale.

Functia de repartitieFX(x)pentru o repartitie binomiala este data deFX(x) =

[x]Xk=0

Cknpkqnk;

unde[x]este partea ntreaga a lui x.Proprietati 4.1. Fie X B (n; p). Atuncia) mX =np;b) 2X =npq:

Demonstratie. a) mX =nX

k=0

kpX(k) =nX

k=1

kCknpkqnk =

nXk=1

k n!k!(nk)!pkqnk =nX

k=1

n (n1)!(k1)!(n1(k1))!pkqnk =npnX

k=1

Ck1n1pk1qn1(k1) k1=i= np

n1Xi=0

Cin1piqn1i =

np (p + q)n1

=np:

b) E

X2

=nX

k=0

k2pX(k) =nX

k=1

k2Cknpkqnk =np

nXk=1

kCk1n1pk1qn1(k1) =

np

" nX

k=1

(k 1) Ck1n1pk1qn1(k1) +nX

k=1

Ck1n1pk1qn1(k1)

#k1=i;a )

=

36


37/158

npn1

Xi=0 iCin1p

iqn1i + 1! =np (mY + 1)a )=np [(n 1)p + 1] ;

undeY B (n 1; p) :2X =E

X2 m2X =np [(n 1)p + 1] n2p2 =n2p2 np2 + np n2p2 =

np (1 p) = npq:Faptul ca mX = np sugereaza ca parametrul p poate estimat pe baza

valorii medii a datelor observate.O alta formulare care duce la repartitia binomiala este denirea variabilei

aleatoare Xj ; j = 1; 2;:::;n, reprezentnd rezultatul celei de-aj-a probe Bernoulli.Daca punem

Xj =

0, daca probaj este un esec,1; daca probaj este un succes,

atunciX= X1+ X2+ ::: + Xn

da numarul de succese nnprobe. Din denitie, X1; X2;:::;Xnsunt variabilealeatoare independente.DeoareceE(Xj ) = 0 q+ 1 p= p; j = 1; 2;:::;n;rezulta caE(X) = E(X1+ X2+ ::: + Xn) = E(X1)+E(X2)+:::+E(Xn) = p +p + ::: +p| {z }

n

=

np;ceea ce coincide cu proprietatea 4.1 a).Analog, deoareceE

X2j

= 02 q+ 12 p= p; j = 1; 2;:::;n;2Xj =E

X2j

[E(Xj )]2 =p p2 =p (1 p) = pq; j = 1; 2;:::;n;

din independenta lui X1; X2;:::;Xn rezulta ca

2X =nX

j=1

2Xj =pq+pq+ ::: +pq| {z }n

=npq;

ceea ce coincide cu proprietatea 4.1 b).Teorema 4.1. Fie X1 B (n1; p) si X2 B (n2; p) variabile aleatoare

independente si Y =X1+ X2:Atunci Y B (n1+ n2; p) :

4.2 Repartitia hipergeometrica

Fie Zvariabila aleatoare care da numarul de bile negre care sunt extrase cndun esantion de m bile este extras (fara revenire) dintr-un lot de n bile avndn1 bile negre si n2 bile albe (n1 + n2 = n). Functia masa de probabilitate avariabilei aleatoareZeste

pZ(k) = Ckn

1 Cmknn

1Cmn ; k= 0; 1; :::; min(n1; m) :Spunem ca Zare repartitie hipergeometrica.Se poate arata camZ=

mn1n ;

2Z= mn1(nn1)(nm)

n2(n1) :

37


38/158

4.3 Repartitia geometrica

FieXnumarul de probe Bernoulli pna la (si incluznd) prima aparitie a succe-sului. Xe variabila aleatoare discreta avnd ca valori toate numerele naturale.Functia ei masa de probabilitate este

pX(k) = P

0@F\ F\ ::: \ F| {z }k1

\ S1A =P(F) P(F) :::P(F)| {z }

k1

P(S) = qk1p; k=

1; 2; ::::Aceasta repartitie este cunoscuta ca repartitia geometricacu parametrul p,

unde numele provine de la similaritatea cu termenii progresiei geometrice. Oreprezentare a lui pX(k)e data mai jos.

Functia de repartitie corespunzatoare este

FX(x) =

[x]Xk=1

pX(k) =

[x]Xk=1

qk1p= p[x]X

k=1

qk1 = (1 q)[x]X

k=1

qk1 = 1 q[x],daca x 1

siFX(x) = 0;daca x


39/158

1p +pq

d2

dq2

1

Xk=2 qk

! = 1p +pq

d2

dq2 q1q q =

1p +pq

d2

dq2 q2

1q = 1p +pq

ddq h

2q(1q)+q2(1

q)2 i =

1p+pq

ddq

2qq2(1q)2

= 1p+pq

(22q)(1q)2+(2qq2)2(1q)(1q)4 =

1p+ q

2((1q)2+2qq2)(1q)2 =

1p +

2q(1q)2 :

2X =E

X2 [E(X)]2 = 1p+ 2qp2 1p2 = p+2q1p2 = qp2 = 1pp2 :

4.4 Repartitia binomiala negativa

O generalizare a repartitiei geometrice este repartitia variabilei aleatoare Xreprezentnd numarul de probe Bernoulli necesare pentru aparitia celui de-alr-lea succes, under 2 N este dat.

Pentru a determina pX(k)n acest caz, e A evenimentul ca primele k 1probe sa dea exact r

1succese, indiferent de ordinea lor, si B evenimentul ca

un succes sa apara la proba k . Atunci, datorita independentei,pX(k) = P(A \ B) = P(A) P(B) :AvemP(B) = psiP(A) = pZ(r 1) = Cr1k1pr1qkr;undeZ B (k 1; p) :Obtinem

pX(k) = Cr1k1p

rqkr; k= r; r+ 1;:::: (4.2)

Repartitia denita de relatia (4.2) se numeste repartitie binomiala negativasauPascal si are parametriir sip. Este adesea notata prinN B (r; p). Observam

ca ea se reduce la repartitia geometrica cnd r = 1:O varianta a acestei repartitii se obtine punnd Y = X r: Variabilaaleatoare Y este numarul de probe Bernoulli dincolo de r necesare pentru re-alizarea celui de-al r-lea succes, sau poate interpretata ca numarul de esecurinainte de cel de-al r-lea succes.

Functia masa de probabilitate a lui Y, pY (m), e obtinuta din relatia (4.2)nlocuind k prin m + r:

pY(m) = Cr1m+r1p

rqm =Cmm+r1prqm; m= 0; 1; 2; ::::

Variabila aleatoareYare p;roprietatea convenabila ca valorile ei ncep de la0 si nu de la r ca valorile lui X:

Reamintind o denitie mai generala a coecientului binomialCja =

a(a1):::(aj+1)j! ; 8a 2 R; j2 N;

avem

Cmm+r1 = (m+r

1)!

m!(r1)! = (m+r

1)(m+r

2):::r

m! = (1)m (

r)(

r1):::(

r

m+1)m! =

(1)m Cmr:De aici,

pY (m) = Cmrp

r (q)m ; m= 0; 1; 2;:::;

39


40/158

acesta ind motivul pentru numele "repartitie binomiala negativa".Media si dispersia variabilei aleatoare Xpot determinate observnd ca X

poate reprezentata prinX= X1+ X2+ ::: + Xr;unde Xj este numarul de probe dintre cel de-al (j 1)-lea si (inclusiv) cel

de-al j-lea succes. Aceste variabile aleatoare sunt independente, ecare avndrepartitie geometrica n care media este 1p si dispersia

1pp2 . De aceea media

sumei este suma mediilor si, din independenta, dispersia sumei este suma dis-persiilor, adica:

mX = rp ;

2X =

r(1p)p2 :

DeoareceY =X r, avem:mY =

rp r; 2Y = r(1p)p2 :

4.5 Repartitia multinomiala

O generalizare a probelor Bernoulli este sa relaxam cererea sa e doar douarezultate posibile pentru ecare proba. Fie r rezultate posibile pentru ecareproba, notate cuE1; E2;:::;Er si eP(Ei) = pi; i= 1; 2;:::;rcup1+p2+:::+pr =1:

Daca variabila aleatoare Xi; i = 1; 2;:::;r; reprezinta numarul de Ei ntr-osuccesiune denprobe, functia masa de probabilitate comuna a luiX1; X2;:::;Xreste data de

pX1X2:::Xr(k1; k2;:::;kr) = n!

k1!k2!:::kr!pk11 p

k22 :::p

krr ; (4.3)

undekj = 0; 1; 2;:::;j = 1; 2;:::;r; si k1+ k2+ ::: + kr = n:Demonstratia formulei 4.3. Consideram evenimentul de a avea exact k1

rezultate E1; k2 rezultate E2;:::;kr rezultate Er n n probe. Acest evenimentpoate aparea n la fel de multe moduri precum numarul de moduri de a plasak1 litere E1; k2 litere E2;:::;kr litere Er n n cutii a. . ecare cutie sa aibaexact o litera. De aici, numarul de moduri cautat este produsul dintre numarulde moduri de a plasa k1 litere E1 n n cutii, numarul de moduri de a plasa k2litere n cele n k1 cutii ramase neocupate, s.a.m.d., adica

Ck1n Ck2nk1 :::C

krnk1k2:::kr1 =

n!k1!(nk1)!

(nk1)!k2!(nk1k2)! :::

(nk1k2:::kr1)!kr !0!

=n!

k1!k2!:::kr!

si probabilitatea asociata cu ecare mod, datorita independentei, estepk11 pk22 :::p

krr :

Relatia (4.3) deneste functia masa de probabilitate comuna a repartitieimultinomiale, numita asa deoarece are forma temenului general din expansiuneamultinomiala a lui (p1+p2+ ::: +pr)

n. Repartitia multinomiala se reduce la

repartitia binomiala cnd r = 2, si cu p1 = p; p2 = q; k1 = k si k2 = n k:DeoareceXi B (n; pi), avemmXi =npi;

2Xi

=np1(1 pi) ;si se poate arata ca avemcov (Xi; Xj ) = npipj ; i; j = 1; 2; :::; r; i 6=j:

40


41/158

4.6 Repartitia Poisson

Aceasta repartitie este folosita n modelele matematice pentru a descrie, ntr-uninterval de timp specic, evenimente ca emisia de particule dintr-o substantaradioactiva, sosirile de pasageri la un aeroport, distributia particulelor de prafntr-un anumit spatiu, sosirile de masini la o intersectie, si alte fenomene simi-lare.

Pentru a xa ideile, consideram problema sosirii pasagerilor la o statie deautobuz ntr-un interval de timp specicat. Notam X(0; t) numarul de sosiridin intervalul de timp [0; t);X(0; t)e o variabila aleatoare discreta lund valoriposibile 0; 1; 2;:::, iar repartitia ei depinde det. Functia ei masa de probabilitatese scrie

pk(0; t) = P[X(0; t) = k] ; k= 0; 1; 2;:::; (4.4)

pentru a arata dependenta ei explicita det.Facem urmatoarele ipoteze de baza:1) Daca t1 < t2 < ::: < tn, atunci variabilele aleatoare X(t1; t2) ; X(t2; t3) ;:::;X(tn1; tn)

sunt independente, adica, numerele de pasageri care sosesc n intervale de timpcare nu se suprapun sunt independente unul de celalalt.

2) Pentrutsucient de mic,

p1(t; t + t) = t + o (t) ; (4.5)

undeo (t)este o functie a. .

limt!0

o (t)

t = 0: (4.6)

Aceasta ipoteza spune ca, pentru t sucient de mic, probabilitatea de a

avea exact o sosire este proportionala cu lungimeat. Parametruldin relatia(4.5) este numit densitatea mediesau rata medie a sosirilor.

3) Pentrutsucient de mic,

1Xk=2

pk(t; t + t) = o (t) : (4.7)

Aceasta conditie implica faptul ca probabilitatea de a avea doua sau maimulte sosiri ntr-un interval sucient de mic este neglijabila.

Din relatiile (4.5) si (4.7) rezulta

p0(t; t + t) = 1 1

Xk=1pk(t; t + t) = 1 t + o (t) : (4.8)

Determinam p0(0; t). Pentru a nu avea nicio sosire n intervalul [0; t + t),trebuie sa nu avem nicio sosire n ambele subintervale [0; t) si [t; t + t). Da-torita independentei sosirilor n intervale nesuprapuse avem

41


42/158

p0(0; t + t) = p0(0; t)p0(t; t + t) = p0(0; t) [1 t + o (t)] : (4.9)Rearanjnd relatia (4.9) si mpartind ambii membri prin tobtinemp0(0;t+t)p0(0;t)

t = p0(0; t)h

o(t)ti

:

Punndt ! 0, obtinem ecuatia diferentialadp0(0; t)

dt = p0(0; t) :

Solutia ei satisfacnd conditia initialap0(0; 0) = 1este

p0(0; t) = et: (4.10)

Determinarea luip1(0; t)este similara. O sosire n intervalul[0; t + t)poate

ndeplinita doar avnd 0sosiri n subintervalul [0; t) si o sosire n [t; t + t),sau o sosire n [0; t) si nicio sosire n [t; t + t). De aici avem

p1(0; t + t) = p0(0; t)p1(t; t + t) +p1(0; t)p0(t; t + t) : (4.11)

nlocuind relatiile (4.5), (4.8) si (4.10) n relatia (4.11) obtinemp1(0; t + t) = e

t (t + o (t))+p1(0; t) (1 t + o (t)) =) p1(0;t+t)p1(0;t)t =et

+ o(t)t

+p1(0; t)

+ o(t)t

:

Punndt ! 0, obtinemdp1(0; t)

dt =

p1(0; t) + e

t ; p1(0; 0) = 0; (4.12)

ceea ce conduce la

p1(0; t) = tet : (4.13)

Continund n acest fel, gasim pentru termenul general

pk(0; t) =(t)k et

k! ; k= 0; 1; 2; :::: (4.14)

Relatia (4.14) da functia masa de probabilitate a lui X(0; t), numarul desosiri n intervalul de timp [0; t)cu conditiile de mai sus si deneste o repartitiePoisson cu parametrii si t. Parametrii si t pot nlocuiti de un singurparametru = t si astfel putem scrie

pk(0; t) =ke

k! ; k= 0; 1; 2;:::: (4.15)

Media lui X(0; t)este

42


43/158

E(X(0; t)) = 1Xk=0

kpk(0; t) = e 1X

k=0

kk

k! =e 1X

k=1

k1

(k 1)! =ee =:

(4.16)Calculam si dispersia:

E

X2 (0; t)

=1X

k=0

k2pk(0; t) = e

1Xk=0

k2k

k! =e

1Xk=1

kk

(k1)! =e"1X

k=1

(k1)k(k1)! +

1Xk=1

k

(k1)!

#=

e"

21X

k=2

k2

(k2)!+ 1X

k=1

k1

(k1)!

#=e

2e + e

=2 + :

2X(0;t) = E

X2 (0; t) [E(X(0; t))]2 =: (4.17)

Din relatia (4.16) se vede ca parametrul este egal cu media numarului desosiri pe unitatea de timp; numele "rata medie a sosirilor" pentru

este astfel

justicat. n determinarea valorii acestui parametru ntr-o problema data, elpoate estimat din observatii prin m

n, unde m este numarul observat de sosiri

n n unitati de timp. Similar, deoarece = t, reprezinta numarul mediu desosiri n intervalul de timp [0; t) :

Din relatiile (4.16) si (4.17) se vede ca media si dispersia cresc cnd ratamedie creste. n gura alaturata e reprezentata functia masa de probabilitatepentru repartitia Poisson pentru

a) = 0; 5;b) = 1;c) = 4:

43


44/158

n general, daca examinam raportul pk(0;t)pk1(0;t) , cum am facut la repartitiabinomiala, se arata capk(0; t)creste si apoi descreste cnd k creste,

atingndu-si maximul cnd k = [] :

44


45/158

Tabelul A.2 din gurile de mai jos da functia masa de probabilitate a repar-titiei Poisson pentru anumite valori ale lui dintre 0; 1 si 10. Pentru = 10,

avem p23(0; t) = 0; 0002 si p24(0; t) = 0; 0001. n loc de "t" n tabelul A.2 seva citi "".

45


46/158

Teorema 4.2. Daca X si Y sunt variabile aleatoare independente avndrepartitii Poisson cu parametrii1, respectiv2, atunci variabila aleatoareY =X1+ X2 are repartitie Poisson cu parametrul 1+ 2.

Propozitie. Daca o variabila aleatoareXeste repartizata Poisson cu para-metrul , atunci o variabila aleatoare Y, care este obtinuta din X selectnddoar cu probabilitatea p ecare din itemii numarati de X, este de asemenearepartizata Poisson cu parametrul p:

Demonstratie. Dat ind ca X = r, repartitia lui Y este binomiala cuparametriir si p, deci:

P(Y =k

jX= r) = Ckrp

k (1

p)rk ; k= 0; 1; 2;:::;r:

Din teorema probabilitatii totale avem

P(Y =k) =1X

r=k

P(Y =kjX=r) P(X= r) =1X

r=k

Ckrpk(1p)rkre

r!

r=n+k=

1Xn=0

Ckn+kpk(1p)nn+ke

(n+k)! = (p)ke

k!

1Xn=0

[(1p)]nn! =

(p)kee(1p)

k! = (p)kep

k! ; k =

0; 1; 2;::::Aceasta propozitie poate folosita, de exemplu, pentru situatii n careY e

numarul de urmasi ai unei insecte cnd Xe numarul de oua depuse, sau Y enumarul de uragane dezastruoase cnd Xe numarul total de uragane care aparntr-un an dat, sau Y e numarul pasagerilor care nu pot urca la bordul unuizbor dat din cauza suprarezervarilor, cndXeste numarul de sosiri de pasageri.

4.6.1 Repartitii spatiale

Repartitia Poisson a fost data pe baza sosirilor n timp, dar acelasi argument seaplica la repartitia punctelor n spatiu. Consideram repartitia defectelorntr-un material. Numarul de defecte ntr-un anumit volum are o repartitiePoisson daca ipotezele 1-3 sunt valide, cu intervalele de timp nlocuite de volume,

46


47/158

sieste rezonabil sa presupunem ca probabilitatea de a gasi k defecte n oriceregiune depinde numai de volum si nu de forma regiunii.

Alte situatii zice n care repartitia Poisson e folosita includ numarul debacterii pe o placa Petri, repartitia fertilizatoarelor mprastiate cu avionul peun cmp si repartitia poluantilor industriali ntr-o regiune data.

4.6.2 Aproximarea Poisson a repartitiei binomiale

Fie X B (n; p).pX(k) = C

knp

k (1 p)nk ; k= 0; 1; 2;:::;n:Consideram cazul cnd n! 1 si p! 0 a. . np = ramne xat.

Observam ca este media lui X, care e presupusa a ramne constanta. AtuncipX(k) = C

kn

n

k 1 n

nk; k= 0; 1; 2;:::;n:

Deoarecen ! 1, factorialelen! si(n k)!care apar n Ckn = n!k!(nk)! pot

aproximate prin formula lui Stirlingn! =(2) 12 ennn+ 12 :Obtinem

pX(k) = (2)12 ennn+

12

k!(2)12 en+k(nk)nk+12

n

k 1 n

nk=

k

k!ek

nnk

nk+ 121 n

nk:

Deoarecelim

n!1

1 + cnn

=ec;avem

limn!1

nnk

nk+12= 1

limn!1

(1 kn )nk+1

2= 1

limn!1

(1 kn)n limn!1

nk+12

n

= 1ek

;

limn!1

1 n

nk=

hlimn!1

1 n

n

i limn!1

nkn

=e:

ObtinempX(k) = kek! ; k= 0; 1; ::::Aceasta aproximare Poisson a repartitiei binomiale usureaza calculele si se

foloseste n practica atunci cnd n > 10 si p < 0; 1. Repartitia Poisson sigaseste aplicabilitate n acest caz n probleme n care probabilitatea aparitieiunui eveniment este mica. De aceea, repartitia Poisson se mai numeste adesearepartitia evenimentelor rare.

47


48/158

5 Principalele repartitii continue, cu densitati

de repartitie si proprietatile lor5.1 Repartitia uniforma

O variabila aleatoare continua X are repartitie uniformape un interval de laa la b (b > a) daca este egal probabil sa ia orice valoare din acest interval.Densitatea lui Xeste constanta pe intervalul [a; b] si are forma

fX(x) =

c; daca x 2 [a; b] ;0; altfel.

DeoareceZ11

fX(x) dx=

Z a1

0dx +

Z ba

cdx +

Z1b

0dx= 0 + cxjba+ 0 = c (b a) ;din conditia

Z1

1 fX(x) dx= 1obtinemc= 1ba :Deci

fX(x) =

1ba ; dacax 2 [a; b] ;0; altfel.

(5.1)

Dupa cum vedem din gura de mai jos, este constant a pe [a; b] si naltimeatrebuie sa e 1ba pentru ca aria de sub densitate sa e1:

Functia de repartitie a lui Xeste

48


49/158

FX(x) =Z x1

fX(u) du=8>>>>>>>>>>>:Z

x

1

0du= 0; daca x < a;

Z a1

0du + Z xa

1ba du= 0 +

uba jxa = xaba , dacax 2 [a; b] ;Z a

10du +

Z ba

1ba du +

Z xb

0du= 0 + 1 + 0 = 1, daca x > b:

Deci

FX(x) =

8 b;

(5.2)

ceea ce este prezentat grac n gura urmatoare.

Media si dispersia lui X sunt

mX =

Z11

xfX(x) dx=

Z a1

0dx +

Z ba

xba dx +

Z1b

0dx= 0 + x2

2(ba) jba +0 = b

2a22(ba) =

a+b2 :

2X =

Z11

(x mX )2 fX(x) dx =Z a1

0dx + 1ba

Z ba

(x mX )2 dx +Z1b

0dx= 0+ 1ba (xmX)3

3 jba+0 = (bmX)3(amX)3

3(ba) = (ba)[(bmX)2+(bmX)(amX)+(amX)2]

3(ba) =

13

hba2

2

ba2

2

+

ba2

2

i= (ba)

2

12 :

Repartitia uniforma e una dintre cele mai simple repartitii si e folosita deobicei n situatii unde nu este niciun motiv de a da probabilitati inegale la valoriposibile luate de variabila aleatoare pe un interval dat. De exemplu, timpul desosire a unui zbor poate considerat uniform repartizat pe un anumit intervalde timp, sau repartitia distantei de la locul ncarcaturilor vii pe un pod laun suport terminal poate reprezentata adecvat printr-o repartitie uniforma

49


50/158

pe ntinderea podului. Adesea se ataseaza o repartitie uniforma unei anumitevariabile aleatoare din cauza unei lipse de informatie, dincolo de cunoasterea

intervalului de valori.

5.1.1 Repartitia uniforma bivariata

Fie variabila aleatoareXrepartizata uniform pe un interval [a1; b1] si variabilaaleatoareY repartizata uniform pe un interval [a2; b2]. Mai mult, presupunemca sunt independente. Atunci densitatea comuna a lui X si Y este

fXY(x; y) = fX(x) fY (y) =

1(b1a1)(b2a2) , pentrux 2 [a1; b1] si y2 [a2; b2] ;0, altfel.

(5.3)Ia forma unei suprafete plate marginita de [a1; b1] de-a lungul axei Ox si

[a2; b2]de-a lungul axei Oy.

5.2 Repartitia Gaussiana sau normala

Cea mai importanta repartitie n teorie ca si n aplicatii este repartitia Gaussianasau normala. O variabila aleatoare X este Gaussiana sau normala daca aredensitatea de forma

fX(x) = 1

p

2exp

"(x m)

2

22

#; 1 < x < 1; (5.4)

unde m si sunt doi parametri, cu > 0. Alegerea acestor simboluriparticulare ca parametri va deveni clara imediat.

Functia de repartitie corespunzatoare este

FX(x) = 1

p

2

Z x1

exp

"(u m)

2

22

#du; 1 < x < 1: (5.5)

Ea nu poate exprimata analitic, dar poate evaluata numeric pentru oricex.

Densitatea si functia de repartitie din relatiile (5.4) si (5.5) sunt reprezentategrac n gurile (a), respectiv (b) urmatoare, pentru m = 0 si = 1:

50


51/158

Gracul densitatiifX n acest caz particular este o curba n forma de clopot,simetrica n jurul originii.

Calculam media si dispersia lui X.

E(X) =Z11

xfX(x) dx= 1p2

Z11

x exph (xm)222 i dx xm =u=

1p2

Z11

(u + m)expu2

2

du = 1p

2

26664Z1

1u exp

u

2

2

| {z }

impara

du + m

Z11

expu2

2

du

37775 =1p2

0 + mp2 =m:

var (X) =

Z11

[x E(X)]2 fX(x) dx= 1p2Z11

(x m)2 exph (xm)222

idx

xm =u=

1p2

Z11

2u2 exp

u22

du = 2p

2

Z11

u2 exp

u22

du= 2p

2

Z11

u

exp

u22

0

du=

2p2u expu22 j11 Z11 expu22 du = 2p2 0 p2 =2:

Vedem astfel ca cei doi parametri m si din repartitie sunt media si re-spectiv deviatia standard a lui X. Aceasta observatie justica alegerea noastraa acestor simboluri speciale pentru ei si de asemenea pune n evidenta o pro-prietate importanta a repartitiei normale - cunoasterea mediei si dispersiei ei

51


52/158

caracterizeaza complet repartitia normala. Deoarece ne vom referi frecvent larepartitia normala, o notam cuNm; 2 :De exemplu,X N(0; 9)nseamnacaXare densitatea data de relatia (5.4) cu m = 0 si = 3.

Se poate arata ca momentele centrate ale lui X Nm; 2suntn=

0, daca n e impar,1 3 ::: (n 1) n, dacan e par. (5.6)

Coecientul de exces 2 = 4

4 3 este 0 pentru o repartitie normala. Deaceea ea este folosita ca repartitie de referinta pentru 2.

5.2.1 Teorema limita centrala

Marea importanta practica a repartitiei normale provine din teorema limitacentrala.

Teorema 5.1 (Teorema limita centrala) (Lindberg 1922). Fief

Xngun sir de variabile aleatoare independente si identic repartizate cu mediilem si

dispersiile 2. Fie

Y =nX

j=1

Xj ;

si e variabila aleatoare normalizata Zdenita ca

Z=Y nm

p

n :

Atunci functia de repartitie a luiZ,FZ(z), converge laN(0; 1)cndn ! 1pentru orice z xat.

Acest rezultat poate extins n cteva directii, incluznd cazurile n careYeste o suma de variabile aleatoare dependente si neidentic repartizate.Teorema limita centrala descrie o clasa foarte generala de fenomene aleatoare

pentru care repartitiile pot aproximate cu repartitia normala. Cnd pro-prietatea de a aleator a unui fenomen zic este cumularea a multor efectealeatoare aditive mici, el tinde la o repartitie normala, indiferent de repartitiileefectelor individuale. De exemplu, consumul de combustibil la toate automo-bilele unei anumite marci, presupus fabricate prin procese identice, difera dela un automobil la altul. Aceasta proprietate de a aleator provine de la olarga varietate de surse, incluznd, printre alte lucruri: inexactitatile inerenten procesele de fabricare, neuniformitatile n materialele folosite, diferentele ngreutate si alte specicatii, diferente n calitatea combustibilului si diferenten comportamentul soferilor. Daca se accepta faptul ca ecare dintre aceste

diferente contribuie la proprietatea de a aleator a consumului de combustibil,teorema limita centrala ne spune ca el tinde la o repartitie normala. Din acelasimotiv, variatiile de temperatura dintr-o camera, erorile de citire asociate cu uninstrument, erorile de tintire ale unei anumite arme, s.a.m.d. pot aproximaterezonabil prin repartitii normale.

52


53/158

5.2.2 Tabele de probabilitati

Datorita importantei sale, suntem adesea pusi n situatia sa evaluam probabil-itatile asociate cu o variabila aleatoare normalaX Nm; 2, caP(a < X b) = 1

p

2

Z ba

exp

"(x m)

2

22

#dx: (5.7)

Integrala de mai sus nu poate calculata analitic si este n general calcu-lata numeric. Pentru comoditate sunt date tabele care ne permit sa calculamprobabilitati ca cea din relatia (5.7).

Tabelarea functiei de repartitie pentru repartitia normala cu m = 0si = 1este data n tabelul A.3 din gura urmatoare.

O variabila aleatoare cu repartitia N(0; 1) se numeste variabila aleatoare

normala standardizata si o vom nota cu U. Tabelul alaturat da FU(u) doarpentru punctele din partea dreapta a repartitiei (adica pentru u 0). Valorilecorespunzatoare pentru u < 0 sunt obtinute din proprietatea de simetrie arepartitiei normale standardizate, din relatia

FU(u) = 1 FU(u) : (5.8)

53


54/158

Mai nti, tabelul mpreuna cu relatia (5.8) pot folosite pentru a determinaP(a < U

b)pentru orice a si b. De exemplu,

P(1; 5< U 2; 5) = FU(2; 5)FU(1; 5)(5.8)= FU(2; 5)[1 FU(1; 5)]tabel=0; 9938 1 + 0; 9332 = 0; 927:

Mai important, tabelul si relatia (5.8) sunt de asemenea suciente pentru adetermina probabilitatile asociate cu variabilele aleatoare normale cu medii sidispersii arbitrare.

Teorema 5.2. Fie X Nm; 2. Atunci Xm N(0; 1), adicaU=

X m

: (5.9)

Teorema 5.2 implica faptul ca, dacaX Nm; 2, atunciP(a < X b) = P(a < U+ m b) = Pa m < U b m : (5.10)Valoarea din membrul drept poate gasita acum din tabel cu ajutorul re-

latiei (5.8), daca este necesar.Exemplul 5.1. Sa calculam P(m k < X m + k), unde X Nm; 2.

P(m k < X m + k) (5.10)= P(k < U k) = FU(k)FU(k) (5.8)= 2FU(k)1:(5.11)

Observam ca rezultatul din exemplul 5.1 este independent de m si sieste functie doar de k. Astfel, probabilitatea caX sa ia valori ntre k deviatiistandard n jurul mediei sale depinde numai de k si este data de ecuatia (5.11).Se vede din tabel ca aproximativ 68; 3%; 95; 5% si 99; 7% din aria de sub odensitate normala se aa n zonele m ; m 2, respectiv m 3, dupa cumse vede din gurile (a)-(c) urmatoare.

54


55/158

De exemplu, sansele sunt de aproximativ99; 7%ca o mostra selectata aleatordintr-o repartitie normala sa e n regiuneam 3(gura (c)).

5.2.3 Repartitia normala multivariata

Doua variabile aleatoare X si Y se numesc comun normale daca densitateacomuna a lor are forma

fXY(x; y) = 1

2X Yp

1 2 exp(

12 (1 2)

"x mX

X

2 2 (x mX ) (y mY)

X Y+

y mY

Y

(5.12)unde (1; 1) < (x; y) < (1; 1). Relatia (5.12) descrie repartitia nor-

mala bivariata. Sunt cinci parametri asociati cu ea: mX ; mY; X(>0) ; Y(>0) ; si (jj 1). O reprezentare graca tipica a acestei densitati, pentrumX =mY = 0 si X =Yeste n gura urmatoare.

55


56/158

Densitatea marginala a variabilei aleatoare Xeste

fX(x) =Z1

1fXY(x; y) dy=

1

Xp

2exp

"(x mX )222X

#; 1 < x < 1:

Astfel, X NmX ; 2X. Similar, Y NmY; 2Y si = XYXY estecoecientul de corelatie al lui X si Y. Vedem astfel ca cei cinci parametricontinuti n densitatea bivariatafXY (x; y)reprezinta cinci momente importanteasociate cu variabilele aleatoare. De asemenea observam ca repartitia normalabivariata este complet caracterizata de momentele comune de ordinul 1 si 2 alelui X si Y.

Teorema 5.3. Corelatie zero implica independenta cnd variabilele aleatoaresunt comun normale.

Demonstratie. Punnd = 0n relatia (5.12), obtinem

fXY(x; y) =

( 1

Xp

2exp

"(x mX )

2

22X

#)( 1

Yp

2exp

"(x mY)

2

22Y

#)=fX(x) fY(y) ;

adicaX si Ysunt independente.

56


57/158

Aceasta proprietate nu este valabila n general.Avem repartitie normala multivariatacnd cazul a doua variabile aleatoare

e extins la cel implicnd n variabile aleatoare.Fienvariabile aleatoare,X1; X2;:::;Xn. Ele se numesccomun normaledaca

densitatea lor comuna e de forma

fX1X2:::Xn(x1; x2;:::;xn) = fX(x) = (2)n2 jj 12 exp

1

2(xm)T 1 (xm)

; 1 < x 0;

0, altfel. (5.15)

Relatia (5.15) arata ca Y are o repartitie unilaterala (adica ia valori numai

n zona pozitiva a lui y). Aceasta proprietate o face atractiva pentru cantitatizice care sunt restrictionate sa aiba doar valori pozitive. n plus,fY (y)ia multeforme diferite pentru valori diferite ale lui mX si X (X > 0). Dupa cum sevede din gura urmatoare, care da gracele lui fY pentru mX = 0 si 3 valoriale lui 2X , densitatea lui Y este asimetrica spre dreapta, aceasta caracteristicadevenind mai pronuntata cnd X creste.

58


59/158

ParametriimX si X care apar n densitatea lui Y sunt media si deviatiastandard a lui X, sau ln Y, dar nu ale lui Y. Pentru a obtine o pereche mainaturala de parametri pentru fY(y), observam ca, daca medianele lui X si Ysunt notate cu X , respectiv Y, denitia medianei unei variabile aleatoare da

12 =P(Y Y) = P(X ln Y) = P(X X ) ;de unde

ln Y =X :

Deoarece, datorita simetriei repartitiei normale,X =mX ;

putem scrie

mX = ln Y:

Scriind X =lnY, densitatea lui Ypoate scrisa

59


60/158

fY(y) = ( 1yln Yp2exp h 122lnY ln2 yY i , pentruy >0;0, altfel.n termeni de Y si lnY, media si dispersia lui Y sunt

mY =Y exp

2lnY2

;

2Y =m2Y

exp

2lnY

1 :5.3.1 Tabele de probabilitati

Datorita legaturii dintre repartitia normala si repartitia lognormala prin re-latia (5.14), calculele de probabilitati implicnd o variabila aleatoare repartizatalognormal pot facute cu ajutorul tabelului de probabilitati pentru variabilealeatoare normale.

Consideram functia de repartitie a lui Y . Avem

FY (y) = P(Y y) = P(X ln y) = FX(ln y) ; y >0:Deoarece media lui Xesteln Y si dispersia lui Xeste2lnY, avem

FY (y) = FU

ln y ln Y

ln Y

=FU

1

lnYln

y

Y

; y >0: (5.16)

DeoareceFU este tabelata, relatia (5.16) poate folosita pentru calcule deprobabilitati asociate cu Y, cu ajutorul tabelului probabilitatii normale.

5.4 Repartitia gamma si repartitii n legatura cu aceastaRepartitia gamma este unilaterala si densitatea asociata cu ea este

fX(x) =

()x1ex, pentrux >0;

0, altfel, (5.17)

unde ()este functia gamma:

() =

Z10

u1eudu;

care este tabelata, si

(n) = (n

1)!;

8n

2N:

Parametrii distributiei gamma sunt si ; ambii sunt pozitivi. Deoarecerepartitia gamma este unilaterala, cantitatile zice care pot lua doar valori poz-itive sunt frecvent modelate de ea, servind ca model util datorit a versatilitatiiei n sensul ca o varietate larga de forme ale densitatii gamma poate obtinutavariind valorile lui si , dupa cum arata gurile (a) si (b) urmatoare.

60


61/158

Observam din aceste guri ca determina forma repartitiei n timp ce este un parametru de scara pentru repartitie. n general, densitatea gammaeste unimodala, cu vrful n x = 0pentru

1 si nx = 1

pentru >1:

Se poate arata ca repartitia gamma este un model pentru timpul cerut pen-tru un total de exact sosiri Poisson. Datorita largii aplicabilitati a sosirilorPoisson, repartitia gamma are de asemenea numeroase aplicatii.

Functia de repartitie a variabilei aleatoare Xavnd repartitia gamma este

FX(x) =

80;

0, altfel.(5.18)

(; u)este functia gamma incompleta,

(; u) = Z u

0

x1exdx;

care este de asemenea tabelata.Media si dispersia variabilei aleatoare gamma repartizateX sunt

mX =

; 2X =

2: (5.19)

61


62/158

5.4.1 Repartitia exponentiala

Cnd = 1, densitatea gamma data de relatia (5.17) se reduce la forma expo-nentiala

fX(x) =

ex, pentrux >0;0, altfel,

(5.20)

unde > 0 este parametrul repartitiei. Functia de repartitie, media sidispersia ei se obtin din relatiile (5.18) si (5.19) punnd = 1:

FX(x) =

1 ex, pentru x 0;0, altfel,

(5.21)

mX = 1

; 2X =

1

2: (5.22)

Timpul ntre sosiri Fie variabila aleatoare X(0; t), numarul de sosiri nintervalul de timp [0; t) si presupunem ca este repartizata Poisson. Fie T vari-abila aleatoare care da intervalul de timp dintre 2 sosiri succesive. Functia eide repartitie este, din denitie

FT(t) = P(T t) =

1 P(T > t) , pentrut 0;0, altfel.

EvenimentulT > t e echivalent cu evenimentul ca nu e nicio sosire n inter-valul de timp[0; t), sau X(0; t) = 0. Deoarece, din relatia (4.10),P(X(0; t) = 0) =et , avem

FT

(t) = 1 et , pentrut

0;

0, altfel.Comparnd aceasta expresie cu relatia (5.21), putem stabili ca timpul ntre 2

sosiri Poisson succesive are o repartitie exponentiala; parametruldin repartitialui Teste rata medie a sosirilor Poisson.

Deoarece timpurile ntre sosiri Poisson sunt independente, timpul cerut pen-tru un total densosiri Poisson este o suma denvariabile aleatoare independentesi repartizate exponential. Fie Tj ; j = 1; 2;:::;n, timpul ntre sosirile j 1 si j .Timpul cerut pentru un total de n sosiri, notat cu Xn este

Xn= T1+ T2+ ::: + Tn;

unde Tj ; j = 1; 2;:::;n, sunt independente si repartizate exponential cu ace-lasi parametru . Se poate arata ca Xn este gamma repartizata cu = n si = . Astfel, repartitia gamma este potrivita pentru a descrie timpul cerutpentru un total de sosiri Poisson.

62


63/158

Fiabilitatea si legea de defectare exponentiala n studiile de abilitate,timpul pna la defectarea unui component zic sau un sistem este repartizat

exponential, daca unitatea se defecteaza imediat ce un singur eveniment, ca de-fectarea unui component, apare, presupunnd ca astfel de fenomene se ntmplaindependent.

Fie variabila aleatoare T, timpul pna la defectarea unui component sausistem. Functia care da probabilitatea de defectiune n timpul unei cresteri micide timp, presupunnd ca nicio defectiune nu a aparut nainte de acel timp enotata cu h (t) si se numeste functia hazard sau rata defectarii si este denitade

h (t) dt= P(t < T t + dtjT t) ;ceea ce da

h (t) = fT(t)1 FT(t) : (5.23)n studiile de abilitate, o functie hazard potrivita pentru multe fenomene

ia asa numita "forma de cada", aratata n gura urmatoare.

Portiunea initiala a curbei reprezinta "mortalitatea infantila", atribuibiladefectelor componente si imperfectiunilor de fabricare. Portiunea relativ con-stanta a curbei h (t) reprezinta perioada "n uz", n care defectiunea este n-tmplatoare. Defectiunea din uzura de lnga sfrsitul vietii componentului estearatata ca portiunea crescatoare a curbei h (t). Fiabilitatea sistemului poate

63


64/158

optimizata prin testarea initiala a defectelor, nainte punerea n functiune, pnala timpul t1, pentru a evita defectarea prematura, si prin nlocuirea partiala la

timpul t2 pentru a evita uzura.Aratam ca legea de defectare exponentiala este potrivita n timpul perioadei

"n uz" a vietii normale a unui sistem. nlocuindfT(t) = e

t

siFT(t) = 1 etn relatia (5.23) avem

h (t) = :

Observam ca parametrul din repartitia exponentiala joaca rolul unei ratede defectare constante.

Am vazut ca repartitia gamma este potrivita pentru a descrie timpul pentru

un total de sosiri Poisson. n contextul legilor de defectare, repartitia gammapoate gndita ca o generalizare a legii de defectare exponentiala pentru sistemece se defecteaza imediat de evenimente esueaza, presupunnd ca evenimenteleau loc n concordanta cu legea Poisson. Astfel, repartitia gamma este potrivitaca model al timpului pna la defectare pentru sisteme care au o unitate carefunctioneaza si 1unitati n standby; aceste unitati intra n functionare pernd, pe masura ce se defecteaza celelalte si ecare are o repartitie exponentialaa timpului pna la defectare.

5.4.2 Repartitia chi-patrat

Alt caz special important al repartitiei gamma este repartitia chi-patrat (2),obtinuta punnd = 12 si =

n2 n relatia (5.17), unde n2N. Repartitia 2

contine astfel un parametru n si are densitatea de forma

fX(x) =

( 1

2n2(n2 )

xn21e

x2 , pentru x >0;

0, altfel. (5.24)

Parametruln este numarul degrade de libertate. Utilitatea acestei repartitiiprovine din faptul ca o suma de patrate de n variabile aleatoare normale stan-dardizate are o repartitie 2 cu n grade de libertate; adica, daca U1; U2;:::;Unsunt independente si repartizate N(0; 1), atunci suma

X=U21 + U22 + ::: + U

2n (5.25)

are o repartitie 2 cun grade de libertate.Datorita acestei relatii, repartitia 2 este una dintre principalele unelte n

inferenta statistica si testarea ipotezelor.Densitatea din relatia (5.24) este reprezentata n gura urmatoare pentru

cteva valori ale lui n:

64


65/158

Se observa ca, cnd n creste, forma lui fX(x) devine mai simetrica. Dinrelatia (5.25), deoarece Xpoate exprimata ca o suma de variabile aleatoare

identic repartizate, ne asteptam ca repartitia 2

sa tinda la o repartitie normalacndn ! 1pe baza teoremei limita centrala.Media si dispersia unei variabile aleatoareXavnd o repartitie2 cungrade

de libertate se obtin din relatia (5.19):

mX =n; 2X = 2n:

5.5 Repartitia beta si repartitii n legatura cu aceasta

Repartitia beta este caracterizata de densitatea

fX(x) = ( (+)()()x

1 (1 x)1 , pentru 0 < x < 1;0, altfel,

(5.26)

unde parametrii si sunt pozitivi. Numele repartitiei vine de la functiabeta denita prin

B (; ) = () ()

( + ) :

65


66/158

Ambii parametri sidau forma repartitiei; diferite combinatii ale valorilorlor permit densitatii sa ia o larga varietate de forme. Cnd ; >1, repartitia

este unimodala, cu vrful n x = 1+2 :Devine n forma de U cnd ; < 1;este n forma de J cnd 1 si < 1; ia forma unui J ntors cnd < 1si 1. n sfrsit, ca un caz special, repartitia uniforma pe intervalul (0; 1)rezulta cnd = = 1. Unele din aceste forme posibile sunt n gurile (a),pentru= 2, si (b) urmatoare.

Media si dispersia unei variabile aleatoare beta repartizateXsunt

mX = + ;

2X =

(+)2(++1):

(5.27)

Datorita versatilitatii ei ca o repartitie pe un interval nit, repartitia betaeste folosita pentru a reprezenta un mare numar de cantitati zice pentru carevalorile sunt restrictionate la un interval identicabil. Cteva din ariile de apli-

care sunt limitele de toleranta, controlul calitatii si abilitatea.Presupunem ca un fenomen aleator Ypoate observat independent de nori si dupa ce aceste n observatii independente sunt ordonate crescator, ey1 y2 ::: ynvalorile lor. Daca variabila aleatoareXeste folosita pentru anota proportia din Ycare ia valori ntre yr si yns+1, se poate arata ca Xareo repartitie beta cu = n r s + 1 si = r+ s, adica

66

7/24/20

Documents

ala bala portocalaala bala portocala