14
Algoritam optimizacije Al it ti i ij Algoritam optimizacije 26.04.2011. Algoritam optrimizacije 1 Algoritam optimizacije Algoritam optimizacije Algoritam optimizacije Cilj: Cilj: Odrediti vrednosti parametara kola p=[p 1 p 2 p ] T koje će garantovati da p [p 1 p 2 , ... p n ] koje će garantovati da odziv F(x, p ) ima željenu vrednost F * (x). Metod: Metod: Traženje minimuma funkcije greške E(x,p); (norma za kvantitativnu procenu odstupanja dobijenog od željenog odziva). E(x,p)= |F(x, p ) - F * (x) | E je nelinearna funkcija od p . 26.04.2011. Algoritam optrimizacije 2 Algoritam optimizacije Algoritam optimizacije Algoritam optimizacije 1. Određivanje početnog rešenja 2. Izračunavanje funkcije greške 3 Provera konvergencije 3. Provera konvergencije 4. Izračunavanje korekcije parametara 5. Korekcija vrednosti parametara 26.04.2011. Algoritam optrimizacije 3 Algoritam optimizacije Algoritam optimizacije Algoritam optimizacije 1. Određivanje početnog rešenja -Problemi vezani za početak iterativnog procesa -Lokalni i globalni minimum. -Gruba analiza za početak E X M 3 E X X O M 1 M 2 N X X O N 1 M 2 N 3 p O 1 N 2 26.04.2011. Algoritam optrimizacije 4

Al it ti i ijAlgoritam optimizacijeleda.elfak.ni.ac.rs/education/PEK_stari/literatura...Algoritam optimizacije Al it ti i ijAlgoritam optimizacije 26.04.2011. Algoritam optrimizacije

  • Upload
    others

  • View
    5

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

  • Algoritam optimizacije

    Al it ti i ijAlgoritam optimizacije

    26.04.2011. Algoritam optrimizacije 1

    Algoritam optimizacije

    Algoritam optimizacije

    Algoritam optimizacije

    Cilj:Cilj:Odrediti vrednosti parametara kola p=[p1 p2 p ]T koje će garantovati dap [p1 p2, ... pn] koje će garantovati da odziv F(x, p) ima željenu vrednost F*(x).

    Metod:Metod: Traženje minimuma funkcije greške E(x,p); (norma za kvantitativnu ( ,p); (procenu odstupanja dobijenog od željenog odziva).

    E(x,p)= |F(x, p) - F*(x) |E je nelinearna funkcija od p.

    26.04.2011. Algoritam optrimizacije 2

    Algoritam optimizacije

    Algoritam optimizacije

    Algoritam optimizacije

    1. Određivanje početnog rešenja

    2. Izračunavanje funkcije greške

    3 Provera konvergencije3. Provera konvergencije

    4. Izračunavanje korekcije parametaraj j p

    5. Korekcija vrednosti parametara

    26.04.2011. Algoritam optrimizacije 3

    Algoritam optimizacije

    Algoritam optimizacije

    Algoritam optimizacije

    1. Određivanje početnog rešenja

    -Problemi vezani za početak iterativnog procesa-Lokalni i globalni minimum.g-Gruba analiza za početak

    E XM3E

    X

    X

    OM1 M2 NX XON1

    M2 N3

    pO

    1

    N2

    26.04.2011. Algoritam optrimizacije 4

  • Algoritam optimizacije

    Algoritam optimizacije

    Algoritam optimizacije2. Izračunavanje funkcije greške

    1. Apsolutna greškaEj1,i=w(xi)[F*(xi)-F (xi, pj)]

    š2. Srednjekvadratna greška

    [ ]{ }∑m 2j*j )F()(F)(E [ ]{ }∑=

    −=i

    iii1

    j*j2 )p,F(x)(xF)w(xE

    [ ]{ }2b [ ]{ } dx)pF(x,(x)Fw(x)E b

    a

    j*j2 ∫ −=

    i š3. Maksimalna greška

    [ ]{ })pF(x,(x)Fw(x)maxE j*j3 −=26.04.2011. Algoritam optrimizacije 5

    [ ]{ })p( ,( )( )bxa3 ≤≤

    Algoritam optimizacije

    Algoritam optimizacije

    Algoritam optimizacije

    3. Izračunavanje korekcije parametaraRazvoj funkcije Ei(p) u red i zadržavanje na linearnom članu:

    ...)p(pp

    E(21)p(p

    pEEE

    2n

    1k

    jkk2

    k

    i2n

    1k

    jkk

    k

    ijii

    jj

    +−⋅∂

    ∂+−

    ∂∂

    += ∑=

    ∑=

    pp 1k ppk1k ppk jkkjkk

    ∂= == =

    ΔppEE)p(p

    pEEE

    n

    1k

    1jk

    ppk

    iji

    jk

    n

    1k

    1jk

    ppk

    iji

    1ji

    jkk

    jkk

    ∑=

    +

    =∑=

    +

    =

    + ⋅∂∂

    +=−⋅∂∂

    +=

    26.04.2011. Algoritam optrimizacije 6

    Algoritam optimizacije

    Algoritam optimizacije

    Algoritam optimizacije

    3. Izračunavanje korekcije parametara

    Izjednačavanje linearizovane funkcije greške Ei(p) sa nulom:

    m 1,...,i 0,pΔpEEE 1jk

    n

    1k k

    iji

    1ji

    j

    ==⋅∂∂

    += +∑=

    +

    p1k ppk jkk∂= =

    m 1,...,i ,EpΔE ji1j

    kn i =−=⋅

    ∂∂ +∑ , ,,pp ik1k ppk jkk∂= =

    26.04.2011. Algoritam optrimizacije 7

    Algoritam optimizacije

    Algoritam optimizacije

    Algoritam optimizacije

    3. Izračunavanje korekcije parametara

    ⎤⎡⎤⎡⎥⎥⎤

    ⎢⎢⎡

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    + j1j111

    EΔppE

    pE

    pE

    L

    ⎥⎥⎥⎤

    ⎢⎢⎢⎡

    =⎥⎥⎥⎤

    ⎢⎢⎢⎡

    ⋅⎥⎥⎥

    ⎢⎢⎢

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    ∂∂∂+ j

    2

    j1

    1j2

    j1

    222n21

    E

    E

    Δp

    ΔpEEEppp

    L

    ⎥⎥⎥

    ⎦⎢⎢⎢

    =

    ⎥⎥⎥

    ⎦⎢⎢⎢

    ⎥⎥⎥⎥

    ⎢⎢⎢⎢

    ∂∂∂

    ∂∂∂

    + j

    2

    1j

    2n21

    p

    EEE

    ppp MMMMMM

    ⎥⎦⎢⎣−⎥⎦⎢⎣

    ⎥⎥⎦⎢

    ⎢⎣ ∂

    ∂∂∂

    ∂∂ + jm1jn

    n

    m

    2

    m

    1

    m EΔppE

    pE

    pE

    L

    dimenzije sistema (m – jednačina)x(n-promenljivih)m=broj uslova, n=broj parametara

    26.04.2011. Algoritam optrimizacije 8

    m broj uslova, n broj parametara

  • Algoritam optimizacije

    Algoritam optimizacije

    Algoritam optimizacije

    3. Izračunavanje korekcije parametara

    Mogući slučajevi

    m = n; broj uslova jednak broju parametara =

    m > n; broj uslova veći od broja parametara =(primer: frekvencijska karakteristika data

    u velikom broju tačaka)

    m < n; broj uslova manji od broja parametara =m < n; broj uslova manji od broja parametara =(primer: DC analza dva uslova Ic i Vce a više parametara – Rb1, Rb2, Rc, Re)

    26.04.2011. Algoritam optrimizacije 9

    p b1, b2, c, e)

    Algoritam optimizacije

    Algoritam optimizacije

    Algoritam optimizacije

    4. Provera konvergencijeE

    - E

  • Algoritam optimizacijeAlgoritam optimizacije

    Tipovi problema:

    -Optimizacija u s-ravni

    - Optimizacija u frekvencijskom domenu (m=n)

    O ti i ij f k ij k d ( > )- Optimizacija u frekvencijskom domenu (m>n) (najmanji p-ti stepen, p=2)

    - Optimizacija u frekvencijskom domenu (Remezov algoritam)

    - Optimizacija nelinearnih kola u jednosmernom domenu (m

  • Poklapanje koeficijenataAlgoritam optimizacije

    p j j

    c) Traže se vrednosti elemenata kola koje daju željenu funkciju.U opštem obliku E je nelinearna funkcija od p:

    E = a (p) a *b i=0 1 2 3Ei = ai(p) - ai b, i=0, 1, 2,3.

    konstanta b uvedena je kao četvrti parametarLinearizacijom se dobija

    j p

    E 1j4 ij1j ∂ ++ 3. 2, 0,1,i 0,pΔpEEE 1jk

    1k jkpkpk

    iji

    1ji ==⋅∂

    ∂+= +

    = =

    + ∑

    3. 2, 1, 0,i ,EpΔpE j

    i1j

    kjk

    i =−=⋅∂∂ +∑

    4

    26.04.2011. Algoritam optrimizacije 17

    p1k jkpkpk∂= =

    Poklapanje koeficijenataAlgoritam optimizacije

    p j j

    c) Traže se vrednosti elemenata kola koje daju željenu funkciju.

    )p(a3 i∂ 3. 2, 1, 0,i ,EΔbapΔp

    )p(a ji

    1j*i

    1jk

    3

    1k ppk

    i

    jkk

    =−=−⋅∂

    ∂ ++∑= =

    ⎥⎤

    ⎢⎡ +−⎥

    ⎤⎢⎡⎥

    ⎥⎤

    ⎢⎢⎡

    ∂∂∂

    −∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    + *0

    jj0

    1j*0

    3

    0

    2

    0

    1

    0

    ab)p(aΔpa

    pa

    pa

    pa

    ⎥⎥⎥⎥

    ⎢⎢⎢⎢

    +

    +−

    +

    =⎥⎥⎥⎥

    ⎢⎢⎢⎢

    ⋅⎥⎥⎥⎥⎥

    ⎢⎢⎢⎢⎢

    ∂∂∂

    −∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    +

    +

    *jj

    *1

    jj1

    00

    1j

    1j2

    *222

    *1

    3

    1

    2

    1

    1

    1

    ab)p(a

    ab)p(a

    ab)p(a

    ΔpΔp

    p

    aaa

    apa

    pa

    pa

    1

    ⎥⎥⎥

    ⎦⎢⎢⎢

    ⎣ +−

    +−

    ⎥⎥⎥

    ⎦⎢⎢⎢

    ⎣⎥⎥⎥⎥

    ⎢⎢⎢⎢

    −∂∂∂

    −∂∂

    ∂∂

    ∂∂

    + *3

    jj3

    2jj

    21j

    j3

    *3

    333

    23

    2

    2

    2

    1

    2

    ab)p(a

    ab)p(aΔbΔp

    aaaa

    apa

    pa

    pa

    26.04.2011. Algoritam optrimizacije 18

    ⎥⎦

    ⎢⎣ ∂∂∂

    3321

    appp

    Poklapanje koeficijenataAlgoritam optimizacije

    p j j

    c) Traže se vrednosti elemenata kola koje daju željenu funkciju.

    rešavanjem ovog sistema jednačina određuju se vrednosti Δpkj+1 i Δbj+1;

    proverava se konvergencija:proverava se konvergencija:

    ukoliko kriterijumi nisu zadovoljeni, ažuriraju se d ti t j j+Δ j+1 k 1 2 3 ivrednosti parametara pkj=pkj+Δpkj+1 , k=1, 2, 3 i

    bj=bj+Δbj+1 i nastavlja se sa iterativnim postupkom;

    ukoliko su kriterijumi zadovoljeni optimizacija je završena.

    26.04.2011. Algoritam optrimizacije 19

    završena.

    Poklapanje koeficijenataAlgoritam optimizacije

    p j jPrimer:

    Odrediti vrednosti elemenata C1, C2 i L u kolu sa slike, tako da funkcija prenosa ima polove definisane sa s1=-1, 1.5j0.5s 2,3 ±−=

    26.04.2011. Algoritam optrimizacije 20

  • Poklapanje koeficijenataAlgoritam optimizacije

    p j jPrimer:

    a) Definisanje željene funkcije kola

    *

    T*(s) = (s+1)(s+0 5-j (1 5) ½ ) (s+0 5+j (1 5) ½ ) =

    T*(s)= (s-s1) (s-s2) (s-s3)

    T (s) = (s+1)(s+0.5-j (1,5) ) (s+0.5+j (1,5) ) =

    = 1.75 +2.75s +2s2+1s3

    ao*=1.75; a1*=2.75; a2*=2; a3*=1.

    26.04.2011. Algoritam optrimizacije 21

    Poklapanje koeficijenataAlgoritam optimizacije

    p j jPrimer:

    ao*=1.75; a1*=2.75; a2*=2; a3*=1.

    b) Određivanje funkcija kola u simboličkom obliku T(s, p)

    T(s,p)= 2Γ +[1+Γ(C1+C2)]s +(C1+C2)s2 +C1C2s3

    a0= 2Γ a1= 1+Γ(C1+C2) a2= C1+C2 a3=C1C2

    26.04.2011. Algoritam optrimizacije 22

    Poklapanje koeficijenataAlgoritam optimizacije

    p j jPrimer:

    ao*=1.75; a1*=2.75; a2*=2; a3*=1.

    a0= 2Γ a1= 1+Γ(C1+C2) a2= C1+C2 a3=C1C2

    Eo=2Γ−1.75b;

    Ei = ai(p) - ai*b, i=0, 1, 2,3.

    Eo 2Γ 1.75b;

    E1= 1+Γ(C1+C2) -2.75b;

    E2=(C1+C2 )-2b;

    E = C C 1b26.04.2011. Algoritam optrimizacije 23

    E3= C1C2 –1b.

    Poklapanje koeficijenataAlgoritam optimizacije

    p j jPrimer:

    c) Određivanje vrednosti parametara kola

    i č š1. Određivanje početnog rešenja

    2. Izračunavanje funkcije greške2. Izračunavanje funkcije greške

    ao*=1.75; a1*=2.75; a2*=2; a3*=1.

    ao= 2Γ; a1=1+Γ(C1+C2) a2=C1+C2; a3=C1C2

    E 2Γ 1 75bEo=2Γ−1.75b;E1= 1+Γ(C1+C2) -2.75b;E2=(C1+C2 )-2b;

    26.04.2011. Algoritam optrimizacije 24

    E2 (C1+C2 ) 2b;E3= C1C2 –1b.

  • Poklapanje koeficijenataAlgoritam optimizacije

    p j jPrimer:

    c) Određivanje vrednosti parametara kola

    3. Provera konvergencijeg j

    4. Izračunavanje korekcije parametara

    26.04.2011. Algoritam optrimizacije 25

    Poklapanje koeficijenataAlgoritam optimizacije

    p j jPrimer:

    c) Određivanje vrednosti parametara kola5. Korekcija vrednosti parametara

    26.04.2011. Algoritam optrimizacije 26

    Projektovanje u frekvencijskom domenu Algoritam optimizacije

    j j jbroj parametara jednbak broju uslova, n=m

    Primer: Oderditi vrednosti parametara p1, p2 i p3 tako da donja granična frekvencija bude fd, gornja fg, a da

    ½pojačanje na srednjim frekvencijama fn=(fdfg) ½ bude a=20log|Vo/Vi| =An[dB]

    Uslovi: ad=20log|Vo(fd)/Vi(fd)| = 20 log|Vo(fd)| ; ad*= An-3[dB]

    an=20log|Vo(fn)/Vi(fn)| = 20 log|Vo(fn)| ; ag=20log|Vo(fg)/Vi(fg)| = 20 log|Vo(fg)| ;

    an*= An [dB]ag*= An -3[dB]

    26.04.2011. Algoritam optrimizacije 27

    Projektovanje u frekvencijskom domenu Algoritam optimizacije

    j j jbroj parametara jednbak broju uslova, n=m

    2 I č j f k ij šk2. Izračunavanje funkcije greške

    Ed= An-3dB - 20 log|Vo(fd, p1, p2, p3)|

    En= An - 20 log|Vo(fn, p1, p2, p3)|

    E A 3dB 20 l |V (f )|Eg= An-3dB - 20 log|Vo(fg, p1, p2, p3)|

    3 j∂

    Ei = Ai*-20 log|Vo(fi, p1, p2, p3)|, g} n, {d,i ∈

    g} n, {d,i ),p,(fΕpΔp

    )p,(fΕ jii

    1jk

    3

    1k jppk

    jii ∈−=

    ∂ +

    = =

    26.04.2011. Algoritam optrimizacije 28

    jkpkp =

  • Projektovanje u frekvencijskom domenu Algoritam optimizacije

    j j jbroj parametara jednbak broju uslova, n=m

    3 I č j k k ij t3. Izračunavanje korekcije parametara

    )p(fln203j

    iV∂ ,)p,(f20logApΔ

    p

    )p,(fln

    ln(10)20 j

    io*i

    1jk

    3

    1kpp

    k

    jio

    j

    VV

    +−=∂

    ∂− +

    =∑

    pΔ)p,(f18 68589Re 1j

    3 jio =⎪⎬⎫⎪

    ⎨⎧ ∂ +∑

    V

    pp jkk =

    pΔp)p,(f

    8.68589Re jk1k

    ppkio j

    kk

    =⎪⎭⎬

    ⎪⎩⎨ ∂

    −=

    =

    ∑ V

    g}n,{d,i ,)p,(f20logA jio*i ∈+−= V

    26.04.2011. Algoritam optrimizacije 29

    Projektovanje u frekvencijskom domenu Algoritam optimizacije

    j j jbroj parametara jednbak broju uslova, n=m

    3. Izračunavanje korekcije parametara

    3.1 Analiza originalnog kola

    H UoUi1V VoVi

    3.2 Analiza pridruženog kolap g

    H 1A^

    č i i i i26.04.2011. Algoritam optrimizacije 303.3 Izračunavanje koeficijenata osetljivosti

    Projektovanje u frekvencijskom domenu Algoritam optimizacije

    j j jbroj parametara jednak broju uslova, n=m

    3 Izračunavanje korekcije parametara3. Izračunavanje korekcije parametara

    ⎪⎫

    ⎪⎧

    ⎥⎤

    ⎢⎡ ∂∂∂ )jp,d(fo1)jp,d(fo1)jp,d(fo1 VVV

    ⎥⎥⎥⎥⎤

    ⎢⎢⎢⎢⎡

    ⎥⎥⎥⎥⎤

    ⎢⎢⎢⎢⎡

    ⎪⎪⎪⎪

    ⎬⎪

    ⎪⎪⎪⎪

    ⎨⎥⎥⎥⎥⎥

    ⎢⎢⎢⎢⎢

    +−

    ++−

    =+

    +

    +

    ∂∂∂

    j

    )jp,n(fo20lognA

    )jp,d(fo20log3dBnA

    1jΔ

    1jkΔp

    1jkΔp

    3p)jp,n(fo

    )p,n(fo1

    2p)jp,n(fo

    )p,n(fo1

    1p)jp,n(fo

    )p,d(fo1

    3p)p,d(o

    )p,d(fo1

    2p)p,d(o

    )p,d(fo1

    1p)p,d(o

    )p,d(fo1

    8.68Re V

    VV

    VV

    VV

    V

    VVV

    ⎥⎦

    ⎢⎣⎥⎦⎢⎣

    ⎪⎪⎪⎪

    ⎭⎪⎪⎪⎪

    ⎩ ⎥⎥⎥⎥

    ⎦⎢⎢⎢⎢

    ++−+

    ∂ )jp,g(fo20log3dBnA

    1jkΔp

    3p)jp,g(fo

    )p,g(fo1

    2p)jp,g(fo

    )p,g(fo1

    1p)jp,g(fo

    )p,d(fo1 VV

    VV

    VV

    V

    26.04.2011. Algoritam optrimizacije 31

    Projektovanje u frekvencijskom domenu Algoritam optimizacije

    j j jbroj parametara jednbak broju uslova, n=m

    4. Provera konvergencije

    5. Korekcija vrednosti parametara

    3. 2, 1,k Δphpp 1jkkj1jkk

    =+= ++

    1h0 k ≤<

    26.04.2011. Algoritam optrimizacije 32

  • Projektovanje u frekvencijskom domenu Algoritam optimizacije

    j j jbroj parametara manji od broja uslova, n>nFrekvencijska karakteristika zadata u mnogo tačaka m>>n

    f1 fm26.04.2011. Algoritam optrimizacije 33

    1 fm

    Projektovanje u frekvencijskom domenu Algoritam optimizacije

    j j jbroj parametara manji od broja uslova, n

  • Algoritam optimizacije

    Šta treba da znamo?Elementarno (za potpis)( p p )Cilj optimizacije?

    Osnovna (za 6)I. Uvod: Šta smo naučili?

    Osnovna (za 6)1. Koraci u algoritmu optimizacije?2. Navesti moguće slučajeve optimizacije vezane

    za broj parametara, broj uslova, tipove kola id j kt j ?domene projektovanja?

    26.04.2011. 373737LEDA - Laboratory for Electronic Design Automation http://leda.elfak.ni.ac.yu/

    ŠAlgoritam optimizacije

    Šta treba da znamo?

    Ispitna pitanjaIspitna pitanja

    a) Izbor početnog rešenja.

    b) Izračunavanje funkcije greške.

    c) Izračunavanje korekcije parametara.) j j p

    d) Postupak optimizacije – metod poklapanja koeficijenata.koeficijenata.

    e) Postupak optimizacije u frekvencijskom domenu broj parametara = broju uslovaparametara = broju uslova.

    f) Postupak optimizacije broj parametara < brojauslova (Metod najmanje srednjekvadratne greške)

    LEDA - Laboratory for Electronic Design Automation http://leda.elfak.ni.ac.yu/26.04.2011. 3838

    uslova (Metod najmanje srednjekvadratne greške). 38

    Algoritam optimizacije

    Sl d ć čSledećeg časaПројектовање у фреквенцијском доменуРемезов алгоритамРемезов алгоритамПројектовање у једносмерном доменуОптимизација са ограничењемц ј р.Литература:В Л П ј (В. Литовски, Пројектовање електронских кола (стр. 208-217)

    26.04.2011. Algoritam optrimizacije 39

  • Page:2 / 5

  • Page:3 / 5

  • Page:4 / 5

  • Page:5 / 5

    09 PEK EKIS Optimizacija 3 od 4-Algoritam (2010).pdf2011-4-26 10-8-26.PDF