Aksijalno pritisnuti elementi · Metalne konstrukcije 1 P5-5Proračun nosivosti poprečnih preseka na dejstvo sile pritiska N Ed proračunska vrednost sile pritiska, N c,Rd proračunska

Metalne konstrukcije 1 P5-1

Aksijalno pritisnuti elementi


Primena


Oblici poprečnih preseka


Neophodne kontrole graničnih stanja

nosivosti - ULS

– Kontrola nosivosti poprečnog preseka (Nc,Rd);

– Kontrola nosivosti pritisnutog elementa na izvijanje

(Nb,Rd);

– Kod poprečnih preseka klase 4 treba uzeti u obzir i

uticaj izbočavanja na nosivost poprečnog preseka na

pritisak (Aeff);


Proračun nosivosti poprečnih preseka

na dejstvo sile pritiska

NEd proračunska vrednost sile pritiska,

Nc,Rd proračunska nosivost preska na pritisak,

A poršina poprečnog preseka,

Aeff efektivna poršina poprečnog preseka,

fy granica razvlačenja,

gM0 parcijalni koeficijenti sigurnosti (gM0 = 1,0)

4 klase preseke za

3 i 2 1, klase preseke za

0

0

Myeff

My

RdcfA

fAN

g

g

/

/

,

RdcEd NN , 01,,

Rdc

Ed

N

Nili

Efektivan poprečni presek (klasa 4)

– Na ovaj način se obuhvata uticaj izbočavanja delova

poprečnog preseka (nožica i/ili rebara) usled normalnih

napona pritiska;

– Efektivna širina se određuje za svaki pritisnuti deo

poprečnog preseka koji je klase 4;

– Kod nesimetričnih poprečnih preseka može da dođe do

pomeranja težišta efektivnog u odnosu na bruto poprečni

presek – javljaju se dodatni momenti savijanja (DM=N e).


Pomeranje težišta efektivnog preseka


Efektivan poprečni presek - savijanje


Efektivne širine pritisnutih delova preseka - beff

– Potrebno je odrediti veličine neefektivnih zona i njihov

položaj za svaki pritisnuti deo preseka klase 4;

– U Evrokodu 3 se koriste modifikovane Vinterove krive

za određivanje koeficijenta redukcije r;

bbeff r

referentna širina dela poprečnog preseka:

= cw za rebra i unutrašnje delove nožica

= cf za konzolne delove nožica

b


Određivanje koeficijenta redukcije r


Određivanje koeficijenta redukcije r - nastavak


Efektivne širine unutrašnjih delova preseka


Efektivne širine konzolnih delova


Efektivan poprečni presek - Aeff

S275 – Aeff = 8639,2 mm2 A = 10000 mm2


Izvijanje pritisnutih elemenata

– Kod pritisnutih elemenata, usled uticaja II reda, nosivost

elementa kao celine, po pravilu je manja od nosivosti

poprečnog preseka na pritisak;

– Nosivost elementa na izvijanje zavisi od više parametara

(oblika poprečnog preseka, vitkosti elementa, graničnih

uslova, načina naprezanja);

– Razlikuju se tri vida izvijanja: fleksiono, torziono i

torziono-fleksiono;



Različiti vidovi izvijanja



Linearno-elastična teorija fleksionog izvijanja

Problem stabilnosti pritisnutih elemenata – izvijanje prvi je razmatrao

Ojler (Euler) 1744. godine;

Osnovne pretpostavke:

– materijal je homogen, izotropan i linearno elastičan

– element je idealno prav (nema geometrijskih imperfekcija),

– element je cenrično pritisnut konstantnom aksijalnom silom

pritiska (Nc=const.),

– element je zglobno oslonjen na oba kraja,

– poprečni presek elementa je konstantan (I=const) i jednodelan,

– sprečene su torzione deformacije.


Postavka problema izvijanja – uslovi

ravnoteže na deformisanom elementu

Moment savijanja usled sile pritiska)()( xvNxM c


Diferencijalna jednačina izvijanja

v deformacija (ugib) elementa,

M moment savijanja,

Nc sila pritiska,

EI krutost elementa na savijanje,

EIMxvdx

vd/)( -

2

2

Diferencijalna jednačina savijanja

0 )()( xvEI

Nxv c

02 )()( xvkxv EINk c /

)()( xvNxM c


Rešenje diferencijalne jednačine izvijanja –

Kritična sila izvijanja

kxBkxAxv cossin)(

00 )(v 0)(Lv

Pretpostavljeni oblik rešenja

Granični uslovi

LnknkLkL

0sin

EINk c /

Kritična (Ojlerova) sila izvijanja2

2

L

EINN Ecr


Definicija dužine izvijanja

Definicija u matematičkom smislu:

Dužina izviajnja je dužina između susedni, realnih

ili fiktivnih prevojnih tačaka izvijenog oblika

štapa;

Definicija u fizičko-mehaničko smislu:

Dužina izvijanja je dužina zamenjujućeg,

obostrano zglobno oslonjenog štapa, opterećenog

koncentrisanim sila pritiska na svojim krajevima,

koji ima istu kritičnu silu kao i razmatrani štap;

Dužine izvijanja Lcr (Ojlerovi slučajevi)

2

2

cr

crL

EIN



Kritičan napon izvijanja (Ojlerova hiperbola)

A površina poprečnog preseka elementa,

l vitkost elementa,

i poluprečnik inercije.

iLcr /l

AIi /

2

2

2

2

l

E

AL

EI

A

N

cr

crE


Nesavršenosti realnih elemenata

– Sopstveni ili zaostali naponi;

– Geometrijske imperfekcije (nesavršenosti);

– Nehomogenost osnovnog materijala;

– Ekscentričnost opterećenja


Sopstveni

(zaostali)

naponi

Nastaju kao posledica tehnologije proizvodnje (vrućeg valjanja,

ili zavarivanja);

Sopstveni naponi su uravnoteženi, odnosno njihov integral po

poprečnom preseku je jednak nuli!

Utiču na homogenost poprečnog preseka i redosled plastifikacije

pri dostizanju graničnih stanja;

Uticaj sopstvenih napona na krutost

pritisnutog elementa



Geometrijske imperfekcije


Izvijanje zakrivljenog elementa -

postavka problema

L

xxv sin)( 00


Ponašanje zakrivljenog (realnog) elementa

Moment savijanja

Diferencijalna jednačina

izvijanja realnog elementa

xL

EILN

xv

c

sin

/

)(

12

2

0

-

Rešenje diferencijalne jednačine

– funkcija deformacije elementa

L

xNxvNxvxvNxM ccc sin)())()(()( 00

L

x

EI

Nxvkxv c

sin)()( 02

-


Deformacije realnog elementa

Ukupna deformacija zakrivljenog štapa u sredini raspona

Dodatna deformacija zakrivljenog štapa u sredini raspona

0 početna deformacija štapa u sredini raspona,

dodatna deformacija štapa u sredini raspona,

tot ukupna deformacija štapa u sredini raspona,

Ncr kritična (Ojlerova) sila,

Nc sila pritiska.

11

2 0

2

20

-

-

ccr

c

NN

EILN

Lxv/

/

)/(

crcccr

totNNNN // -

-

1

1

1

1 0000

Naprezanja krivog elementa (štapa)

relativna vitkost na izvijanje

bezdimenzionalni koeficijent izvijanja

y

crc

cctotcc fNNW

N

A

N

W

N

A

N

-

/max

1

0

y

cru

uu fNNW

N

A

N

-

)1(

0

/

1

1

0

-

cru

plu

pl

u

NN

NN

W

A

N

N

/

/

1) )((1

/

-

crplplu

plu

pl

u

NNNN

NN

N

N

//

W

A 0

pl

u

N

N

cr

pl

N

Nl

Nu granična sila izvijanja

Npl plastična nosivost preseka


Ajrton-Perijeva formula

1 1

2

-

l

Ajrton-Perijeva formula01 1 222 - ll )(

2

2222

2

4)1(1

l

lll

--

2

1 2l Φ

2

22

2

22

2

4)2(2

l

l

l

l

--

--

ΦΦΦΦ22

1

l

-

ΦΦ

2 000030 )/(, iL Peri-Robertsonova formula


1) )((1

/

-

crplplu

plu

pl

u

NNNN

NN

N

N

//

Smanjanje nosivosti elementa na izvijanje

usled imperfekcija

Sopstveni (zaostali) naponi Geometrijske imperfekcije



Evropske krive izvijanja

– Krive izvijanja predstavljaju modifikaciju teorijskih krivih

izvijanja (Peri-Robertsonove formule);

– Definišu vezu između relativne vitkosti i bezdimenzionalnog

koeficijenta izvijanja;

– Brojna istraživanja u ECCS-u (70-ih godina); Makua i Rondal

(1978) su formulisali faktor kao:

– Proračun nesavršenosti realnih štapova preko ekvivalentnih

geometrijskih imperfekcija;

– Zbog složenosti problema uvedena je familija evropskih krivih

izvijanja (A0, A, B, C i D) koje su definisane teorijsko-

eksperimentalnim putem;

),( 20 - l


Evropske krive izvijanja

Kriva izvijanja a0 a b c d

0,13 0,21 0,34 0,49 0,76


Izbor odgovarajuće

krive izvijanja

Zavisi od:

– Oblika poprečnog preseka;

– Odnosa visina/širina;

– Ose oko koje se razmatra

izvijanje;

– Debljine lima;


Relativna vitkost na fleksiono izvijanje

crRk NN /l relativna vitkost elementa

plastična nosivost preska za klase 1, 2 i 3

)(l

2

2

cr

crL

EIN kritična sila izvijanja

12

2

1

l

l

l

y

cr

cr

y

f

EAI

L

L

EI

fA

/

yRk fAN

yeffRk fAN nosivost efektivnog preska za klasu 4

za klase 1, 2 i 3

AAeff /1l

ll za klasu 4


Vitkost na granici razvlačenja - l1

Vitkost štapa na granici razvlačenja je vitkost pri kojoj je Ojlerov kritičan napon jednak naponu na granici razvlačenja!

Za određenu vrstu čelika l1 ima konstantnu vrednost!

ll

993 121

2 ,y

ycrf

Ef

Eyf/235


Kontrola nosivosti na fleksiono izvijanje

4 klase preseke za

3 i 2 1, klase preseke za

1

1

Myeff

My

RdbfA

fAN

g

g

/

/

,

-

20 za

120 za1

22,

ΦΦ

,

ll

l

2201 50 ll - ,,Φ

01,,

Rdb

Ed

N

N

U opštem slučaju treba proveriti izvijanje oko obe glavne ose inercije

y-y i z-z. Merodavna je manja vrednost! zy ,min

Torziono izvijanje

– Karakteristično za otvorene centralnosimetrične poprečne

preseke (krstasti, zrakasti,...) koji imaju značajne krutosti

na savijanje oko obe glavne ose inercije, a malu torzionu

krutost;

– Kod ovakvih preseka potrebno je odrediti kritičnu silu za

torziono izvijanje (Ncr,T) na osnovu koje se određuje

relativna vitkost elementa;

– Kada se odredi relativna vitkost, nosivost elementa na

torziono izvijanje se određuje na isti način kao i za

fleksiono izvijanje, a kriva izvijanja se usvaja kao za

izvijanje oko slabije z-z ose;


Kritična sila torzionog izvijanja

G modul smicanja,

It torzioni moment inercije bruto poprečnog preseka,

E modul elastičnosti,

Iw sektorski moment inercije bruto poprečnog preseka,

iy poluprečnik inercije bruto poprečnog preseka oko y-y ose,

iz poluprečnik inercije bruto poprečnog preseka oko z-z ose,

yo, zo koordinate centra smicanja u odnosu na težište bruto poprečnog preseka.

2

2

20

1

T

wtTcr

L

EIGI

iN ,

)( 22222

oozyo zyiii

Tcr

Rk

N

N

,

l


222

zyo iii

Opšti slučaj

Kada se težište poklapa sa centrom smicanja (y0=z0=0)

Dalje kao

fleksiono!

Torziono-fleksiono izvijanje

– Kombinacija fleksionog i torzionog izvijanja;

– Karakteristično za monosimetrične (ili nesimetrične)

poprečne preseke kod kojih se težište i centar

smicanja ne poklapaju!

y-y osa

y-y osa


Kritična sila torziono-fleksionog izvijanja za

monosimetrične poprečne preseke (y-y osa simetrije)

Za obostrano simetrične poprečne preseke kritična

sila izvijanja se određuje kao:

-

-

ycr

Tcr

ycr

Tcr

ycr

Tcrycr

TFcrN

N

N

N

N

NNN

,

,

,

,

,

,,

, 4112

2

2

2

1o

o

i

y-

TFcrzcrcr NNN ,,min ,


Tcrzcrycrcr NNNN ,,,min , ,


Određivanje dužine izvijanja

Lcr dužina izvijanja,

L sistemna dužina elementa (štapa),

koeficijent dužine izvijanja.

Umesto kritične sile, za određivanje relativne

vitkosti na fleksiono izvijanje može da se koristi

dužina izvijanja.

Opšti izraz za određivanje dužine izvijanja:

LLcr


Dužine izvijanja stubova sa konstantnim momentom

inercije i konstantnom normalnom silom

a b c d

= 2 = 1 = 0,7 = 0,5

e f g h

2< < = 2 1< <2 = 1


Uticaj krutosti grede na dužinu izvijanja stuba


Dužine izvijanja štapova rešetkastih nosača

– Posebno se analizraju pojasni štapovi i štapovi

ispune (dijagonale i vertikale), kao i izvijanje u

ravni rešetkastog nosača i izvan ravni rešetkastog

nosača;

– Sistemna dužina u ravni rešetkastog nosača jednaka

je rastojanju između čvorova rešetkastog nosača, a

izvan ravni je jednaka osovinskom rastojanju između

tačaka bočnog proidržavanja;


Dužine izvijanja pojaseva

Generalno, dužina izvijanja pojasnog elementa u ravni i

izvan ravni jednaka je njegovoj sistemnoj dužini L ( = 1)!

Za pojasne štapove od I ili H preseka, može se usvojiti da je

dužina izvijanja u ravni jednaka 0,9L ( = 0,9), a izvan

ravni jednaka je sistemnoj dužini L ( = 1)!

Za pojasne štapove od šupljih profila, dužina izvijanja u

ravni i izvan ravni jednaka je 0,9L ( = 0,9), gde je L

sistemna dužina!

Za izvijanje izvan ravni sistemna dužina jednaka je

rastojanju tačaka bočnog pridržavanja!


Dužina izvijanja pritisnutog elementa na

elastičnim osloncima

Tipičan primer je gornji pojas otvorenih rešetkastih

mostova!

Krutost elastičnih oslonaca - “opruga” zavisi od

deformabilnosti okvirnih ukrućenja.


Dužine izvijanja štapova ispune

Generalno, dužina izvijanja štapova ispune izvan ravni

jednaka je sistemnoj dužini L.

Dužina izvijanja u ravni rešetkastog nosača jednaka je

0,9L izuzev u slučaju štapova od ugaonika.

Kod rešetkastih nosača od šupljih profila kod kojih je

veza u čvoru ostvarene direktnim zavarivanjem, i kod

kojih je odnos širine štapa ispune i širine pojasa manji od

0,6 (di/d0<0,6), dužina izvijanja u ravni i izvan ravni

jednaka je 0,75L, pod uslovom da na mestu veze u čvoru

štap ispune nije sužen, ili spljošten.


Dužine izvijanja štapova ispune od L profila

Za štapove ispune od ugaonika (L profila), kada veza sa pojasom

poseduje određen stepen uklještenja (zavarena ili sa bar 2 zavrtnja)

može se zanemariti ekscentricitet, a ugaonik se proračunava kao

centrično pritisnut element sa ekvivalentnom relativnom vitkošću:

vveff ll 70350 ,,,

yyeff ll 70500 ,,,

zzeff ll 70500 ,,,

U slučaju veze sa samo jednim zavrtnjem ekscentričnost mora da

se uzme u obzir, a dužina izvijanja je jednaka sistemnoj dužini L.

Izvijanje neuniformnih elemenata

Uniformni elementi su elementi konstantnog poprečnog

preseka opterećeni konstantno aksijalnom silom pritiska;

Neuniformni elementi su elementi kod kojih je:

– poprečni presek promenljiv duž elementa (promena

visine elementa i/ili promena dimenzija poprečnog

preseka);

– promenljiv dijagram normalne sile pritiska duž

elementa (linearno, skokovito ili na drugi način),

– promenljiv i poprečni presek i dijagram momenata.


Proračun nosivosti neuniformnih

elemenata na izvijanje

Proračun neuniformnih elemenata može da se sprovede na

dva načina:

– primenom proračuna po teoriji II reda sa početnim

geometrijskim imperfekcijama i kontrolom nosivosti

najopterećenijih preseka;

– određivanjem kritične sile Ncr, a potom primenom

algoritma za elemente konstantnog poprečnog preseka.

Kritična sila može da se odredi pomoću softvera, ili

uprošćenih postupaka za određene slučajeve (npr. metoda

ekvivalentnog momenta inercije);


Metoda ekvivalentnog momenta inercije - Ieq

rC 920080 ,,

213244320920080 )/)(,,(,, LLrrrC -

2162162050330170 )/)(,,(,,, LLrrrrC -

maxmin / IIr

maxICIeq

2

2

L

EIN

eq

eqcr ,

(L1 < 0,5L)


Kritična sila za izvijanje oko y-y ose I profila promenljive visine. Ostale

dimenzije poprečnog preseka su konstantne.

Documents

Aksijalno pritisnuti elementi · Metalne konstrukcije 1 P5-5Proračun nosivosti poprečnih preseka na dejstvo sile pritiska N Ed proračunska vrednost sile pritiska, N c,Rd proračunska