ANALOGNA ELEKTRONIKAANALOGNA ELEKTRONIKA

Osmo predavanjeOsmo predavanjeVanr. prof. dr Abdulah Akšamović, dip.ing.el.

1

Analogni računarAnalogni računar

� Dinamički sistemi se opisuju diferencijalnim jednačinama

� Rješavanje ovakvih jednačina u opštem slučaju nije moguće u analitičkomobliku

� Potrebe analize procesa te sinteze sistema zahtjevaju rješavanjediferencijalnih jednačina kojima se isti opisuju

� U jednom periodu do pojave digitalnih računara te kvalitetnih programa zanumeričko rješavanje diferencijalnih jednačina, rješavanje istih se obavljalonumeričko rješavanje diferencijalnih jednačina, rješavanje istih se obavljaloanalognim računarom

� Termin analogni računar je formiran na osnovu principa rada istih. Naimerazličite dinamičke sisteme simuliramo analognim sistemom na bazi kog jerealiziran analogni računar. Pošto se oba sistema opisuju istim jednačinamauz iste rubne uslove i rješenja će biti ista. Analogni računar se najčešćerealizuje kao elektronski, te su veličine koje će zamijeniti veličinedinamičkog sistema struja i napon.

� Pošto je signal koji se dobije kao izlaz iz analognog računara električni, arješenje je diferencijalne jednačine sistema koji posmatramo, isti se možejednostavno ispisati na oscilografu.

2

Rješavanje običnih diferencijalnih jednačina Rješavanje običnih diferencijalnih jednačina sa konstantnim koeficijentimasa konstantnim koeficijentima� Koristimo Kelvinovu metodu:◦ Na lijevoj strani jednačine ostavimo član sa najstarijim izvodom;

◦ Pretpostavimo da imamo rješenje po najstarijem izvodu, te ga sukcesivnouvodimo u integratore dobijajući izvode za jedan niže dok ne stignemo dorješenja – izlaza;

◦ Zatim na ulaz preko sumatora vratimo sa izlaza odgovarajućih integratorapojedine članove, pri tome ih množimo odgovarajućim koeficijentima;pojedine članove, pri tome ih množimo odgovarajućim koeficijentima;

◦ Vanjski signal x (pobuda) se dovodi na ulaz zajedno sa povratnim signalima saintegratora.

3

K

Kn-1

Kn

yn-1yn yy

x

Σ

Primjer 29. Dinamički sistem je opisan datom diferencijalnom jednačinom. Nacrtati blokstrukturu rješenja sistema metodom Kelvina.

1. Izrazimo diferencijalnu jednačinu po najstarijem izvodu:

2. Obzirom da imamo y’’ trebaju nam dva integratora da bismo dobili y:

2 '' 3 ' 2y y y x− + =

3 1'' ' (*)

2 2y y y x= − +

yy’y’’

4

3. y’’ se prema jednačini (*) dobije kao zbir tri člana. Znači, treba nam sumator sa tri ulazana koji preko odgovarajučih množača dovodimo signale sa izlaza integratora, te saulaza.

yy’y’’Σ

3/2

-1/2

x

Komponente analognog računaraKomponente analognog računara

� Množač:

� Sumator:

� Integrator:

y Kx=

1 2 3 ... ny x x x x= + + + +

y xdx C= +∫

Σ

K

� Izvori signala:

� Sinusni:

� Konstanta:

� Step:

� Pila,

� Četvrtka...

5

0 sin( )x x tω ϕ= +

0x X=

0 0

0

,

0,

X t tx

t t

≥= <

x kt=

0

0

, ( 1) , 0,1,2,3,...

, ( 1) ( 2)

X nT t n T nx

X n T t n T

< < + == − + < < +

Operacioni pojačavačOperacioni pojačavač

� Za potrebe realiziranja analognog računara realiziran je elektronički sklop na bazikog je bilo moguće realizirati sve elemente potrebne za gradnju takvog računara:sumator, množač, integrator, sklop za oduzimanje, diferencijator, sklop zalogaritmiranje, sklop za antilogaritmiranje, sklop za apsolutnu vrijednost, sklop zageneriranje sinusnog signala, sklop za generiranje pilastog signala, itd.

� Navedeni sklopovi su omogučili gradnju analognih računara za potrebe rješavanjaproblema simulacije kako linearnih tako i nelinearnih sistema.

� Pošto je komponenta prvenstveno bila namijenjena za gradnju sklopova sposobnih� Pošto je komponenta prvenstveno bila namijenjena za gradnju sklopova sposobnihda obavljaju osnovnih operacija nad analognim signalima (množenje, sabiranje,integriranje...) dobila je naziv Operacioni pojačavač.

� Univerzalnost principa na kom se zasnivao rad operacionog pojačavača omogučila jenjegovu svestranu primjenu, koja se sa analognih računara proširila na sveukupnuobradu analognih signala, za potrebe gradnje sistema automatskog upravljanja,mjerne instrumentacije, medicinske dijagnostike, telekomunikacionih tehnika itd.

� Iako se danas analogni računar vrlo malo koristi, te se opčenito prelazi na digitalnuobradu signala, operacioni pojačavač je postao standardna nezamjenjiva komponentau mnogim savremenim elektroničkim sistemima.

6

Model idealnog operacionog pojačavačaModel idealnog operacionog pojačavača

� Prilikom zahtjeva za projektovanje operacionog pojačavača za potrebegradnje analognih računara postavljeni su sljedeći zahtjevi za parametretakvog pojačavača:

◦ Ulazna impedansa da ima jako visoku vrijednost,

◦ Izlazna impedansa da ima jako nisku vrijednost,

ulZ → ∞

0izlZ →

◦ Pojačanje pojačala u otvorenom da bude jako visoko,

◦ Frekventni opseg pojačala da bude jako širok.

7

uA → ∞

g df f− → ∞

Auuul

Uul1

Uul2

Zul ZizlUizl

Šta se dobija ovakvim parametrimaŠta se dobija ovakvim parametrima

� Zahtjev za ovakvim parametrima prvenstveno je motiviran jednostavnom iod parametara pojačavača neovisnom gradnjom složenih sistema.

◦ Zul ako ima beskonačno veliku vrijednost ne opterečuje prethodni stepen jer jestruja u pojačalo nula.

◦ Zizl ako ima vrijednost nula, garantuje zadržavanje postavljenog napona na izlazuneovisno od promjene opterečenja na izlazu.

◦ Beskonačna vrijednost pojačanja će omogučiti formiranje potrebnih iznosa◦ Beskonačna vrijednost pojačanja će omogučiti formiranje potrebnih iznosapojačanja vanjskom konfiguracijom koja se po želji postavlja.

◦ Beskonačan frekventni opseg garantuje linearnost u širokom krugu primjena tezanemarenje uticaja vlastite dinamike operacionog pojačala u sistemu koji seanalizira (gradi).

8

Auuul

Uul1

Uul2

Zul ZizlUizl

Linearni sklopovi na bazi operacionog Linearni sklopovi na bazi operacionog pojačavačapojačavača� Množač

- Invertovani spoj

- Neinvertovani spoj

- Naponsko sljedilo

,y Kx K= − ∞ < < +∞

, 0y Kx K= − < < +∞

, 1y Kx K= < < +∞

,y x=

n

∑� Sumator

� Sklop za oduzimanje

� Diferencijator

� IntegratorK – koeficijent pojačanja, bezdimenzioni broj

Td, Ti – vremenske konstante, jedinica sekunda9

1

, 0n

i i ii

y K x K=

= − < < +∞∑

2 2 1 1 1,2, 0y K x K x K= − < < +∞

, 0d ddx

y T Tdt

= − < < +∞

0

1, 0

t

ii

y xdt C TT

= − + < < +∞∫

Invertovani spojInvertovani spoj , 0y Kx K= − < < +∞

Uul

Uizl

R1

R2

Ukoliko je signal sa izlaza vračen na invertovani ulaz pojačala (-) onda je realizirana

10

Ukoliko je signal sa izlaza vračen na invertovani ulaz pojačala (-) onda je realizirana‘negativna povratna sprega’ te pojačalo radi u linearnom režimu. Za linearan režim vrijedi dase izlaz nalazi unutar vrijednosti ograničene naponom napajanja (znači konačan), te zbogvelikog pojačanja pojačala ulazni napon (razlika napona između ulaza (+) i (-)) mora biti mala(bliska nuli), tj:

Gornja jednačina, ako se uzme da je ε=0, daje jednakost između napona na ulazima pojačalaU(+) i U(-). Ovo je osnovna jednakost koju koristimo kod proračuna spojeva na bazioperacionih pojačala, kad je realizirana negativna povratna sprega, odnosno pojačalo radi ulinearnom režimu.

( ) ( ) 0, ,izlp izl p

u

UU U za U U U i A

Aε + −= − = → − < < + → ∞

( ) ( ) ( ) ( )0U U U Uε + − + −= − = ⇒ =

Uul

Uizl

R1

R2

Fizikalno, signal doveden na (+) ulaz je ‘stariji’, tako da se signal na (-) ulazu ravna premanjemu, odnosno jednakost ovih signala znači da će signal na (-) ulazu pratiti signal na (+)ulazu. Ukoliko signal na (+) ulazu spojimo na MASU (nulti potencijal na šemi), onda ćepotencijal (-) ulaza biti na nuli, odnosno na masi, te kažemo da na (-) ulazu imamo ‘virtuelnumasu’.Druga bitna jednakost za proračun sklopova na bazi operacionih pojačavača je iznos struje upojačalo na ulaznim stezaljkama. Ovu struju uzimamo da je nula zbog velikog ulaznog

I1

I2

11

pojačalo na ulaznim stezaljkama. Ovu struju uzimamo da je nula zbog velikog ulaznogotpora, tj:

Sada se gornji sklop na osnovu jednakosti struja (jer je struja u pojačalo nula) može opisatijednačinom:

Iz koje se dobije prenosna funkcija sklopa:

0( 0)0,p ul

ul

UI za Z

Z+ −= = → ∞

1 2

0 0ul izlU U

R R

− −=

2

1izl ul

RU U

R= −

Neinvertovani spojNeinvertovani spoj , 1y Kx K= < < +∞

Uul

Uizl

R1

R2

Pošto smo na (+) ulaz doveli ulazni signal i realizirana je negativna povratna sprega, vrijedijednakost napona na ulaznim stezaljkama (+) i (-), onda će napon na (-) ulazu biti jednak

I1

I2

12

ulaznom naponu. Sada se gornji sklop na osnovu jednakosti struja (jer je struja u pojačalonula) može opisati jednačinom:

Iz koje se dobije prenosna funkcija sklopa:

Izlazni signal je u fazi sa ulaznim signalom, minimalno pojačanje je 1.

1 2

0 ul ul izlU U U

R R

− −=

2

1

(1 )izl ulR

U UR

= +

Naponsko sljediloNaponsko sljedilo y x=

Uul

Uizl

Pošto smo na (+) ulaz doveli ulazni signal i realizirana je negativna povratna sprega, vrijedijednakost napona na ulaznim stezaljkama (+) i (-), onda će napon na (-) ulazu biti jednakulaznom naponu. Izlaz i (-) ulaz su kratko spojeni te se signal sa (+) ulaza prosljeđuje naizlaz.

U U=

13

Prenosna funkcija sklopa:

Izlazni signal je u fazi sa ulaznim signalom, pojačanje je 1. Koristi se za impedantnorazdvajanje različitih stepeni.

Zbog velikog iznosa Zul istu funkciju naponskog sljedila vrši i sklop ispod.

izl ulU U=

Uul

Uizl

R

Primjer 30. Na bazi operacionog pojačavača realizirati sklopove koji obezbjeđujupojačanja:

a) 21b) -4c) 0,3d) 1

Koristiti otpore iz 5% otporne skale (E2 niz).

5% otporna skala:12E 120E 1k2 12k 120k15E 150E 1k5 15k 150k18E ..22E ..27E ..

14

27E ..33E ..47E ..56E ..68E ..82E ..100E 1k 10k 100k 1M

Uul

Uizl

R1

R2

a)

b)

c)

Uul Uizl

R1

R2

R2

22 1 1 2

1

1 21, 20 , 1 , 20 10 10R

R R R k R k k kR

+ = ⇒ = = = = +

22 1 1 2

1

4, 4 , 1 , 4 3 9 100R

R R R k R k k ER

− = − ⇒ = = = = +

15

c)

d)

Uul

R1

R2

R

Uizl

R

22 1 1 2

1

( )( ) 0,3; 0,3 , 10 , 3 1 5 1 5R R

R R R k R k k kR R

− − = ⇒ = = = = +

1R

Uul

Uizl

SumatorSumator1

, 0n

i i ii

y K x K=

= − < < +∞∑U1

U2

Un

Uizl

R1

R2

Rn

R

I1I2

In

I

16

Realizirana je negativna povratna sprega, pojačalo radi u linearnom režimu, vrijedi jednakostnapona na ulaznim stezaljkama (+) i (-), te je napon na (-) ulazu na virtuelnoj masi 0V. Strujau pojačalo je nula, te je zbir ulaznih struja jednak struji kroz R. Na osnovu navedenog dobijese prenosna funkcija sklopa:

Ako se uzme R=R1=R2=...=Rn, onda je prenosna funkcija sistema data sa:

1 21 2 1

( .... ) ,n

izl n in ii

R R R RU U U U U

R R R R=

= − + + + = −∑

1 21

( .... ) ,n

izl n ii

U U U U U=

= − + + + = −∑

Sklop za oduzimanjeSklop za oduzimanje 2 2 1 1 1,2, 0y K x K x K= − < < +∞

R1

R2

R3

R4

U1

U2

Uizl

I3

I1

I2

I4

Struja u pojačalo je nula pa za oba čvora vrijedi:

Sada je napon na (+) ulazu dat sa:

1 2

3 4

I I

I I

==

2( ) 4

3 4

UU R

R R+ = ⋅+

Pošto pojačalo radi u linearnom režimu (realizirana negativna povratna sprega), to su naponi

17

Pošto pojačalo radi u linearnom režimu (realizirana negativna povratna sprega), to su naponi na ulazu pojačala U(+) i U(-) izjednačeni, odnosno:

Sada je prva strujna jednačina data sa:

Iz koje se dobije:

Ako se uzme R1=R2=R3=R4=R dobije se:

2( ) ( ) 4

3 4

UU U R

R R− += = ⋅+

2 21 4 4

3 4 3 4

1 2

izlU U

U R R UR R R R

R R

− ⋅ ⋅ −+ +

=

4 2 22 1

3 4 1 1

1izlR R R

U U UR R R R

= + − +

2 1izlU U U= −

DiferencijatorDiferencijator , 0d ddx

y T Tdt

= − < < +∞

C

R

Uul

Uizl

0ci i

du u

=−

UulR

L

Uizl

Li i

U

=

i

ici

iL

18

0

( 0)

c izl

ul izl

ulizl

du uC

dt Rd U U

Cdt R

dUU RC

dtRC τ

−=

−= −

= −

=

0

ulL

LL izl

ul

ulLizl

Ui

Rdi

u L Udt

Ud dUdi LRU L L

dt dt R dtL

Rτ

=

= = −

= − = − = −

=

IntegratorIntegrator0

1, 0

t

ii

y xdt C TT

= − + < < +∞∫C

RUul

Uizl

ci i=

UulR

L

Uizl

0 izl izlL

U Ui i

−= = = −

19

0

(0 )

1

( 0 )

c

ul c izl izl

t

izl ul

izl

i i

U du d U dUC C C

R dt dt dt

U U dt CRC

RC

C U t

τ

−

=−

= = = −

= − +

=

= =

∫

0

izl izlL

Lul L

izl

izlul

t

izl ul

i iR R

diU u L

dtU

d dULRU Ldt R dt

RU U dt C

L

L

Rτ

= = = −

= =

−

= = −

= − +

=

∫

Primjer 31. Mehanički sistem je opisan sljedećom diferencijalnom jednačinom. Realiziratina bazi operacionog pojačavača analogni električni sitem.

'' 3 ' 2

'' ( 3 ' 2 )

1' '' 100 10 1 ''

1' 100 10 1 '

y y y x

y y y x

y y dt RC k F s y dtRC

y y dt RC k F s y dtRC

µ

µ

− + == − − + −

= − = = ⋅ = = −

= − = = ⋅ = = −

∫ ∫

∫ ∫

20

R1

10kOhm

R2

5kOhm R3

3.33kOhm

R4

10kOhm

R5

100kOhm

R6

100kOhm

C1

10uF

C2

10uF

R7

10kOhm

R8

10kOhm

x

y

U5U3

U1

U4

Primjer 32. Sistem je opisan sljedećom funkcijom. Na bazi operacionog pojačavačarealizirati dati sistem.

1( ) ,

2 11 ( )

( )2 1 ( )

2 '

1' ( )

2

dA s s

s dty s

A ss x s

y y x

y y x

= =−

= =−

− =

= − − −

21

' ( )2

y y x= − − −

R1

5kOhm

R3

5kOhm

R4

10kOhm

R5

100kOhm

C1

10uF

R7

10kOhm

R8

10kOhm

x

y

U5U1

U4

Primjer 33. Realizirati na bazi operacionog pojačavača PID regulator.

1p d

i

z m

dey K e T edt

dt T

e x x

= + +

= −

∫

R

R1 R2

Ci

22

Xm

y

Xz

R

R

RR

R

R

Ri

Ci

Cd

Rd

e