ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS CON COEFICIENTES ENTEROS Y FRACCIONARIOS.

 Monomios y Polinomios

Monomio Un monomio es una expresión algebraica en la que se utilizan letras, números y signos

de operaciones. Las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponente natural.

Polinomio Polinomio, en matemáticas, se denomina a la suma de varios monomios, llamados

términos del polinomio. Es una expresión algebraica constituida por una o más variables, utilizando solamente operaciones de adición, sustracción, multiplicación y

exponentes numéricos positivos. El polinomio de un sólo término se denomina monomio, el de dos binomio, el de tres trinomio.

SUMA

La suma de monomios y polinomios es asunto de combinar términos semejantes.

E J E M P L O :

Supongamos que se desea sumar  y ; es decir deseamos encontrar

Al aplicar las propiedades conmutativa, asociativa  y distributiva podemos escribir:

 

E J E M P L O :

De manera semejante, la suma de  y , se escribe como:

E J E M P L O :

Para sumar  y ; primero escribimos ambos polinomios en orden descendente, colocamos los términos semejantes en una columna y luego sumamos

E J E M P L O :

Del mismo modo que en aritmética, podemos sumar o restar más de dos polinomios.

Por ejemplo, para sumar los polinomios ,  y , escribimos cada polinomio en orden descendente con los términos semejantes en la misma columna y sumamos:

 

 

 

 

RESTA

Para restar polinomios, primero recordemos que a-(b+c)=a-b-c

Para eliminar los paréntesis de una expresión precedida por un signo menos (de resta) debemos cambiar el signo de cada término dentro del paréntesis. Esto es lo mismo que multiplicar cada término dentro de los paréntesis por -1.

 

E J E M P L O :

Efectuar la operación

SOLUCIÓN:

 

E J E M P L O :

Resolver

SOLUCIÓN:

 

E J E M P L O :

Restar  y

SOLUCIÓN:

 

E J E M P L O :

Restar  y

SOLUCIÓN:

3.4 MULTIPLICACIÓN POR POLINOMIOS

La multiplicación de polinomios es una operación algebraica que tiene por objeto hallar una cantidad llamada producto dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, de modo que el producto sea con respecto del multiplicando en signo y valor absoluto lo que el multiplicador es respecto a la unidad positiva. Tanto el multiplicando como el multiplicador reciben el nombre de factores del producto.

 

La multiplicación de polinomios cumple la propiedad distributiva. Es decir, que dados

tres polinomios cualesquiera  se cumplirá que . Esta ley acostumbra a enunciarse diciendo que los factores se pueden agrupar de cualquier manera.

 

Asimismo, el producto de polinomios también cumplía la propiedad conmutativa. Es

decir, que dados los polinomios cualesquiera , se cumplirá que . Esta ley acostumbra a enunciarse diciendo que el orden de los factores no altera el producto.

 

Por lo que respecta al signo del producto de dos factores, pueden presentarse los cuatro puntos siguientes:

a)      Si dos factores tienen el mismo signo positivo, su producto también tendrá

signo positivo.

b)      Si el multiplicador tiene  signo positivo y el multiplicando tiene signo negativo,

el producto tendrá signo negativo.

c)      Si el multiplicando tiene signo positivo y el multiplicador tiene signo negativo, el

producto tendrá signo negativo.

d)      Si dos factores tienen ambos signo negativo, su producto tendrá signo positivo.

 

Por lo que podemos concluir en la Regla de los Signos, siguiente:

+ + = ++ - = -- + = -- - = +

 

En la multiplicación algebraica pueden considerarse los tres casos siguientes:

a)      Multiplicación de monomios.

b)      Multiplicación de un polinomio por un monomio

c)      Multiplicación de polinomios

 

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS.

Para multiplicar monomios, se multiplican sus coeficientes y a continuación se escriben las letras diferentes de los factores ordenados alfabéticamente, elevadas a un exponente igual a la suma de los exponentes que cada letra tenga en los factores. El signo del producto será el que le corresponda al aplicar la regla de los signos.

 

E J E M P L O :

Multiplicar

SOLUCIÓN:

 

E J E M P L O :

Multiplicar

Solución:

 

E J E M P L O :

Multiplicar

SOLUCIÓN:

 

E J E M P L O :

Multiplicar

SOLUCIÓN:

El producto es negativo por que hay un número impar de factores negativos.

 

MULTIPLICACIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO

Para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio, teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman todos los productos parciales así obtenidos.

 

E J E M P L O :

Multiplicar

SOLUCIÓN:

 

E J E M P L O :

Multiplicar:

SOLUCIÓN:

 

E J E M P L O :

Multiplicar:

SOLUCIÓN:

E J E M P L O :

Multiplicar:  por 

SOLUCIÓN: 

 

 

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

Para multiplicar un polinomio por otro se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la regla de los signos, y a continuación se efectúa la suma algebraica de todos los productos parciales así obtenidos.

 

E J E M P L O :

Multiplicar:

 

E J E M P L O :

Multiplicar:

 

SOLUCIÓN: Se multiplican los dos primeros términos

 

A continuación el resultado obtenido lo multiplicamos por el otro polinomio.

 

3.5.2 Binomios conjugados

El producto de dos números por su diferencia es igual al cuadrado del primer número menos el cuadrado del segundo número.

 

Consideremos el producto:

Es decir

 

E J E M P L O :

Multiplicar

SOLUCIÓN:    Cuadrado del primer número:

                   Cuadrado del segundo número:

Así pues,

 

E J E M P L O :

Multiplicar

SOLUCIÓN:    Cuadrado del primer número:

                   Cuadrado del segundo número:

Así pues,

 

E J E M P L O :

Multiplicar

SOLUCIÓN:    Cuadrado del primer número:

                   Cuadrado del segundo número:

Así pues,

 

E J E M P L O :

Multiplicar

SOLUCIÓN:    Cuadrado del primer número de la diferencia:

                   Cuadrado del segundo número de la diferencia:

Así pues,

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

La división algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los factores de un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el producto de ambos factores llamado dividendo.

 

De la definición anterior se deduce que el dividendo coincide con el producto del

divisor por el cociente. Así por ejemplo, si dividimos , se cumplirá que

    

 

Si el residuo no fuera igual a cero, entonces:

 

Para efectuar una división algebraica hay que tener en cuenta los signos, los

exponentes y los coeficientes de las cantidades que se dividen.

(+)÷(+)=+

(–)÷(–)=+

(+)÷(–)=–

(–)÷(+)=–

 

 

DIVISIÓN DE UN MONOMIO POR OTRO

Para dividir dos monomios se divide el coeficiente del dividiendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben las letras ordenadas alfabéticamente, elevando cada letra a un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo  y el exponente que tiene en el divisor. El signo del cociente será el que corresponda al aplicar la regla de los signos.

 

E J E M P L O :

Dividir  

SOLUCIÓN:

 

E J E M P L O :

Dividir

SOLUCIÓN:

 

E J E M P L O :

Dividir

SOLUCIÓN:

 

En ocasiones el cociente de dos monomios es fraccionario y, por consiguiente, la división propiamente dicha no puede efectuarse en los siguientes casos:

a)      Cuando una letra está elevada a un exponente menor al que se halla elevada dicha letra en el divisor.

b)      Cuando el divisor contiene alguna letra que no se halla en el dividendo.

 

E J E M P L O :

Dividir

 

 

DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO

Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman los cocientes parciales así obtenidos.

 

E J E M P L O :

Dividir

SOLUCIÓN:

 

E J E M P L O :

Dividir

SOLUCIÓN:

 

E J E M P L O :

Dividir

SOLUCIÓN:

 

 

DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN POLINOMIO.

Para dividir dos polinomios se procede de la manera siguiente:

1)      Se ordena el dividendo y el divisor  con respecto a una misma letra.

2)      Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniéndose así el primer término del cociente

3)      Se multiplica el primer término del cociente por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, para lo cual se le cambia de signo y se escribe cada término de su semejante. En el caso de que algún término de este producto no tenga ningún término semejante en el dividendo, es escribe dicho término en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y del divisor.

4)      Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor,

obteniéndose de este modo el segundo término del cociente.

5)      El segundo término del cociente  se multiplica por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, cambiándole todos los signos.

6)      Se divide el primer término del segundo resto entre el primer término del divisor y se repiten las operaciones anteriores hasta obtener cero como resto.

 

E J E M P L O :

Dividir:

 

Para resolver la operación anterior se procedió del modo siguiente:

En primer lugar se han ordenado dividendo y divisor en orden ascendente con respecto a la letra y y en orden descendente con respecto a la letra x.

A continuación se ha dividido el primer término del dividendo, , entre el primer

término del divisor, , obteniéndose , por cada uno de los términos del divisor,

obteniéndose como resultado , que se escribe debajo de los términos semejantes del dividendo cambiando los signos de todos los términos

semejantes, obteniéndose como primer resto .

Después se ha dividido  entre  obteniéndose como cociente , que

es el segundo término del cociente. Multiplicando  por todos los términos del

divisor que se obtiene como resultado , que se escribe debajo

de los  términos semejantes del primer resto cambiando los signos de todos sus términos para efectuar la resta.

A continuación se ha procedido a efectuar la reducción de términos semejantes,

obteniéndose como segundo resto

Finalmente se ha dividido  entre , obteniéndose como cociente .

Multiplicando  por todos los términos del divisor se obtiene como producto

, que se escribe debajo de los términos semejantes del segundo resto cambiando los signos de todos lo términos para efectuar la resta. A continuación se ha procedido a efectuar la reducción de términos semejantes, obteniéndose como tercer resto 0, con lo cual queda acabada la división.

 

E J E M P L O :

Dividir:

 

SOLUCIÓN:

 

E J E M P L O :

Dividir:

SOLUCIÓN:

 

E J E M P L O :

Dividir:

SOLUCIÓN:

 

Se dice que una división de un polinomio por otro es inexacta cuando:

a)      Si después de ordenar los dos polinomios, el primer término del dividendo no es divisible entre el primer término del  divisor.

b)      Si el último término del dividendo no es divisible entre el último término del

divisor.

c)      Si en el primer término de algún dividendo parcial la letra ordenatriz tiene menor exponente que en el primer término del divisor.

 

Resta de monomios y polinomios.

Objetivo:

Explicar y ejemplificar cómo se efectúa la resta algebraica de monomios y polinomios.

Resta de monomios.

        La resta de monomios es muy parecida a la suma, sólo que hay que cambiar los números del sustraendo por su simétrico y se resuelve aplicando las reglas de la suma.

        Ahora bien, si tomamos en cuenta que el valor absoluto de un número algebraico es el valor de dicho número sin tener en cuenta su signo. tenemos entonces que:

        Ejemplo: si tenemos (8x) – (6x) =

        a) Se convierte la resta en suma cambiando el sustraendo por su simétrico.

(8x) + (-6x) =

        b) Se resuelve aplicando las reglas de la suma.

(8x) + (-6x) = (8-6) x = +2x

Ejercicios:

1. 38 ab – (-8 ab)

2. –17 x – (-3 x)

3. –8cg2 – (16 cg2)

Solución:

1.    46 ab

2.  –14 x

3.  -24 cg2

        Nota: recuerda que para suprimir paréntesis que son precedidos por el signo +, se quita el paréntesis sin alterar los signos de las cantidades contenidas dentro de él.

        Si el paréntesis es precedido por un signo –, se cambian los signos de las cantidades dentro de él, (se saca el simétrico de las cantidades contenidas en el paréntesis).

Resta de polinomios.

        Para restar polinomios se hace lo siguiente:

        a) Se convierte la resta en suma cambiando los signos de cada uno de los términos del sustraendo.

        b) Se forman columnas de términos semejantes y se suman los coeficientes de cada columna dejando la misma parte literal.

Ejemplo:

        1. Supongamos que deseas hacer la resta de ( -8x3 + 3x –2x2) – (4x2 + 8x3 -7)

        a) Se convierte la resta en suma suprimiendo el paréntesis que es precedido por el signo –.

(-8x3 + 3x –2x2) - (4x2+8x3 - 7)

(-8x3 + 3x –2x2) + (-4x2-8x3 + 7)

        b) Se forman columnas de términos semejantes y se suman los coeficientes dejando la misma parte literal.

        2. (2a – 7b + 4c) – (-3a – 5b + 4c) =

            (2a – 7b + 4c) + (3a + 5b - 4c) =

        (no es necesario poner el cero)

        Ejercicios:

1)    (6x2 – 6x3 + 5x) – (-4 + 6x2 – 3x3)

2)   (4x + 8y – 9z) – (-5x +y –z)

3)   -(-5x + 7x3 – 4 + 2 x2) – (-9 + 3x -2x2 – 5x3)

Solución:

1)      –3x3 + 5x + 4

2)     9x + 7y – 8z

3)    –2x3 + 2x +13

Sumas y restas combinadas

        En ocasiones es frecuente encontrar sumas y restas combinadas, por lo cual se deben llevar a cabo los siguientes pasos para realizar las operaciones de una forma más fácil.

        a) Se eliminan los paréntesis.

        b) Se suman los términos semejantes, tomando columnas, ordenando los polinomios.

Ejemplos:

1)  (3x3 – 5x2 + 4x -8) – (-7x + 9x3- 8 + 5x2) + (-7 + 8x – 4x3)

a) Se eliminan los paréntesis precedidos por el signo – por lo que en este caso sólo cambiaremos los signos de los términos del segundo paréntesis y los demás quedan igual.          

(3x3 – 5x2 + 4x -8) + (+7x - 9x3+ 8 -5x2) + (-7 + 8x – 4x3)

b) Se forman columnas con los polinomios ordenados en forma decreciente y sumamos los términos semejantes.

        2)  -[-5 x3 + (3x2 –2x3 + 4 - 5 x2)]

Primero eliminamos los paréntesis internos.

-[- 5x3 + (3x2 – 2x3 + 4 – 5x2 )]

Ahora eliminamos el paréntesis exterior y formamos columnas con los términos semejantes para sumar sus coeficientes.

[ + 5x3 –3x2 +2x3- 4 + 5x2]

Ejercicios:

1)   -5x2 – [+4a – 7x – (-4a -3b)]

2)  –[- (-8x + 5y – 4z) ] – [- 4 x – (-7y –2z)]

3) 18ab – [(6ab – c) + (4ab – c)]

4) 12b – [ ( 7x – b) + (6x – 4b) ]

5) – 15 ]

Solución:

1)  -5x2 + 7x – 3b - 8a

2)  -6z – 2y + 12 x

3)  –8ab +2c

4)  17b - 13x

5)  -18

lenguaje algebraicoContribuido por: Pepe Oliva

1. la mitad de un número

A) 2 · xB) x/2C) x²

2. el doble de un número más tres

A) 2 · (x + 3)B) 2x + 3C) x/2 + 3

3. el triple de un número menos cuatro

A) 3x - 4B) 3 · 4 - xC) x - 3 · 4

4. la mitad del cubo de un número

A) 3 · x /2B) 3/2 · xC) x3/2

5. siete menos un número

A) 7 - xB) 7 - 3C) x - 7

6. el doble de la suma de dos números

A) 2 · m + nB) 2 · (m + n)C) m + n · 2

7. la edad de una persona hace cinco años

A) 5 - xB) 32 - 5C) x - 5

8. el cuadrado más el triple de un número

A) 32 + 3 · xB) x2 + 3 · xC) x + 32

9. la quinta parte del triple de un número

A) 3 · x / 5B) 3 · 5 /xC) x/3 · 5

10. el triple de la suma de tres números

A) 3 + a + b + cB) 3 · (a + b + c)C) a + b + c · 3Otros exámenes de interés :AlgebraLenguaje algebraicooperaciones con fracciones

Clave

1.B  2.B  3.A  4.C  5.A  6.B  7.C  8.B  9.A  10.B  

MonomiosUn monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.

2x2 y3 z

Partes de un monomio

Coeficiente

El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables.

Parte literal

La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.

Grado

El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables.

El grado de 2x2 y3 z es: 2 + 3 + 1 = 6

Monomios semejantes

Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

2x2 y3 z es semejante a 5x2 y3 z

Polinomios Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:

P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x1 + a0

Siendo an, an -1 ... a1 , ao números, llamados coeficientes.

n un número natural.

x la variable o indeterminada.

an es el coeficiente principal.

ao es el término independiente.

Grado de un polinomio

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

Clasificación de un polinomio según su grado

Primer grado

P(x) = 3x + 2

Segundo grado

P(x) = 2x2 + 3x + 2

Tercer grado

P(x) = x3 − 2x2+ 3x + 2

Tipos de polinomios

Polinomio nulo

Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos.

Polinomio homogéneo

Es aquel polinomio en el todos sus términos o monomios son del mismo grado.

P(x) = 2x2 + 3xy

Polinomio heterogéneo

Es aquel polinomio en el que sus términos no son del miso grado.

P(x) = 2x3 + 3x2 - 3

Polinomio completo

Es aquel polinomio que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x - 3

Polinomio ordenado

Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.

P(x) = 2x3 + 5x - 3

Polinomios iguales

Dos polinomios son iguales si verifican:

1Los dos polinomios tienen el mismo grado.

2Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.

P(x) = 2x3 + 5x − 3

Q(x) = 5x − 3 + 2x3

Polinomios semejantes

Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.

P(x) = 2x3 + 5x − 3

Q(x) = 5x3 − 2x − 7

Valor numérico de un polinomio

Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

P(x) = 2x3 + 5x − 3 ; x = 1

P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 − 3 = 2 + 5 - 3 = 4

Suma de polinomios Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

P(x) = 2x3 + 5x − 3         Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3

1Ordenamos los polinomios, si no lo están.

 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

P(x) +  Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x)

2Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) +  Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3

3Sumamos los monomios semejantes.

P(x) +  Q(x) = 4x3 − 3x2 + 9x − 3

También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.

P(x) = 7x4 + 4x2 + 7x + 2        Q(x) = 6x3 + 8x +3

P(x) + Q(x) = 7x4 + 6x3 + 4x2 + 15x + 5

Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x)

P(x) −  Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x

P(x) −  Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x − 4x − 3

P(x) −  Q(x) = 3x2 + x − 3

Estimación y cálculo de volúmenesRES

Propósito

Que el alumno logre estimar y calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos.

Instrucciones generales

La unidad se divide en tres apartados:

1. Cubos 2. Prismas 3. Pirámides

Se puede navegar entre los apartados (grupos de escenas) con el menú de la parte inferior. Este menú aparece a lo largo de toda la unidad y conserva su funcionalidad.

Los tres botones que se encuentran en la parte derecha tienen la función siguiente:

Brinda acceso a la ayuda de las escenas interactivas

Herramientas de Enciclomedia

Cerrar

En la parte inferior de cada escena, generalmente habrá dos flechas, una roja y una verde; la flecha roja es para ir a una escena anterior, y la verde para continuar con la siguiente escena.

Cada uno de los tres apartados (Cubos, Prismas y Pirámides) se divide en cinco escenas:

Estimar Explorar Llenar Calcular 1 Calcular 2

Debido a la similitud de las escenas, se desarrolla detalladamente sólo el primer apartado: Cubos.

1. Cubos

Estimar

En esta escena el alumno tiene que aproximar el volumen del cubo, sin hacer uso de calculadora:

En pantalla tenemos las instrucciones y también aparecen dos cubos de diferente tamaño y color. Estos cubos se pueden mover para que se observen diferentes vistas de los cuerpos; si se usa el pizarrón, electrónico hay que colocar el dedo en la figura y arrastrarlo, si es con el ratón hay que hacer clic izquierdo, dejar presionado el botón y arrastrar la figura. En caso de que la figura quede girando, esta se puede detener haciendo un clic en la misma figura o en cualquier parte del espacio que ocupa la figura. También se puede realizar zoom, esto se hace presionando el botón derecho del ratón y arrastrando hacia abajo o hacia arriba.Se tiene también un campo en blanco en el cual se debe anotar el resultado de la pregunta que se hace. Para escribir el resultado en este campo, es necesario dar un clic dentro de él, ya sea con el ratón o con el dedo.Para comprobar la respuesta que se esta dando, hay que presionar el botón Verificar, y al hacer esto, aparecerá una retroalimentación y una figura que servirá para comparar el volumen que se dio como respuesta con el que se pide. Si la respuesta es cercana o exacta, aparecerá el bot&oacuten Otros valores, que genera otro ejercicio.

Sugerencias didácticas

En este ejercicio no se debe usar calculadora. Se pretende que los alumnos aproximen y no necesariamente den el valor exacto.

Pregunte ¿Qué es lo que ven en pantalla? Espere a que describan todos los elementos: desde el enunciado del problema, los cubos, dimensiones, el espacio en blanco, el botón Verificar, etcétera.

Pida a algún alumno que lea las instrucciones en voz alta y compruebe que TODOS entienden la pregunta: ¿Cuál, aproximadamente, es el volumen buscado?

Haga notar que conocemos las dimensiones del primer cubo, y a partir de esa información DEBEN aproximar el volumen del segundo cubo.

Explorar

Aquí, los alumnos observarán y aprenderán cómo se calcula el volumen de un cubo:

Observamos un cubo y un par de flechas amarillas que llamaremos Pulsadores, estos sirven para aumentar o disminuir el lado del cubo. Al modificarlos se puede apreciar cómo se actualizan los datos para el cubo en cuestión.

Sugerencias didácticas

Que los alumnos manipulen el lado y se familiaricen con la fórmula para encontrar el volumen puede irles preguntando ¿qué pasa cuando el lado aumenta? y viceversa.

Pregunte ¿Es el volumen igual a la longitud elevada el cubo o es el área de la base por la altura?

Concluya haciendo notar que cualquiera de las dos respuestas es correcta.

Llenar

En esta pantalla aparece un cubo con sus respectivos Pulsadores, los que permiten modificar el lado del cubo:

Se tiene una tabla con tres columnas: la primera se refiere al lado del cubo. La segunda columna es el lado elevado al cuadrado y la tercera es el lado al cubo, o sea, el volumen.Hay que llenar correctamente las dos columnas. Para esto es necesario ir dando clic en cada una de las celdas donde se tiene que colocar el resultado, y para comprobar los resultados que hemos introducido hay que presionar el botón Verificar. Las respuestas correctas aparecerán de color verde y las incorrectas de rojo. Para ver la solución, hay que presionar el botón Resolver, para limpiar la tabla sin generar nuevos valores hay que usar el botón Reiniciar y para generar otro ejercicio basta presionar el botón Otros valores. Se dispone de una calculadora como ayuda para realizar las operaciones. Para que aparezca, basta dar doble clic en cualquier campo por llenar.

Sugerencias didácticas

Una de las dificultades que podrían tener los alumnos es el trabajo con potencias, en la escena se muestra el desarrollo para calcular el volumen del cubo, puede utilizarlo para explicarles esto.

Por medio de los pulsadores y el desarrollo, puede repasar con los alumnos cómo calcular el volumen del cubo, tambien puede utilizarlo para que los alumnos comprueben sus respuestas antes de verificar o bien si al verificar tuvieron respuestas erroneas, con el desarrollo puede mostrarles porque estuvo incorrecta su respuesta.

Puede también pulsar el botón Resolver y que los alumnos analicen la información que se presenta en la tabla, usando si así lo cree conveniente el desarrollo del volumen del cubo pida que creen una estrategia de llenado.

Calcular 1 y Calcular 2

Cálculo del volumen mediante la aplicación de la fórmula. Hay que escribir el resultado de la pregunta en el espacio en blanco, pero antes habrá que activar la casilla, y eso se hace haciendo clic en ella. Si la respuesta es correcta,

entonces automáticamente se genera otro ejercicio. Si no lo es, se debe seguir intentando hasta encontrar la solución:

El botón Verificar indica si la respuesta escrita es correcta o no. Si es correcta, la barra inferior aumentará de tamaño o disminuirá en caso contrario. Si se falla varias veces aparecerá una imagen diciendo que lo reintentemos y se permanece en la misma escena, y análogamente si se obtienen varios aciertos, se avanza al escenario siguiente.

Sugerencias didácticas

Pase a los alumnos a resolver los diferentes ejercicios que se generan. En el primer caso ya aparecen los valores sustituidos en la fórmula, en el

segundo, ellos tienen que hacer esa sustitución para encontrar el volumen del cubo que se pide.

Puede organizar concursos, pida a los alumnos que resuelvan el ejercicio en su cuaderno y el primero que lo resuelva pasa a colocar su resultado al pizarrón.

2. Prismas y Pirámides

Como se dijo inicialmente, cada una de los apartados Cubos, Prismas y Pirámides se divide en cinco escenarios: Estimar, Explorar, Llenar, Calcular1 y Calcular2. Ya que las situaciones son muy similares, incluyendo las Sugerencias Didácticas, no se mencionarán detalladamente.

Cálculo del área de un polígono

En algunas escenas de los apartados de prismas y pirámides aparece un bot&oacuten que nos permite calcular el área de un polígono.

Para encontrar el área de un polígono, es necesario utilizar el Pulsador n, y también se puede modificar la longitud del lado mediante el Pulsador L. El apotema es un dato que se da al seleccionar alguno de los dos anteriores. Para terminar la escena basta con presionar el botón Cerrar.

TEMA 13: ÁREAS Y VOLÚMENES

ÁREAS

            En los cuerpos geométricos, excepto en la esfera, se distinguen tres tipos de áreas:

a) Área Lateral: es la suma de las áreas de cada cara. Se calcula el área de una cara y se multiplica por el número de caras que haya.

                        AL = n·AC  (AL : Área Lateral; n: números de caras; AC: Área de una cara).

b) Área de las Bases: es la suma de las áreas de cada base. Se calcula el área de una base y, ¡OJO!, en los prismas y cilindros se multiplica por dos.

                        AB = Área del polígono de una de las bases.

c) Área Total: es la suma del área lateral y del área de las bases.

                        AT = AL + 2AB  (en los prismas y cilindros)                                                AT = AL + 2AB   (en las pirámides y conos)

POLIEDROS REGULARES:

            Los poliedros regulares tienen fórmulas específicas para calcular su área en función de la arista. En la página 259 del libro de texto de 2º de la ESO de Bruño hay un cuadro con las fórmulas del área y del volumen de los poliedros regulares.

[Nota: Al hablar de área en los poliedros regulares nos referimos a la suma de las áreas de cada cara, o sea, al área total]

ÁREA DEL HEXAEDRO O CUBO:

            Para calcular el área del hexaedro o cubo bastará con hallar el área de uno de los cuadrados de las caras y multiplicar por 6, que son las caras que tiene un cubo. Y como el área de una cara (AC) es la arista del hexaedro al cuadrado, el área del cubo será: A = 6a2

Ejemplo: Calcula el área de un cubo de 4 cm de arista.

ÁREA DEL TETRAEDRO:

            Para calcular el área del tetraedro (AT) bastará con hallar el área de uno de los triángulos equiláteros (At) que forman las caras y multiplicar por 4, que son las caras que tiene un tetraedro. Lógicamente, para saber el área de uno de los triángulos que

forman las caras hay que calcular la altura en función de la arista del tetraedro, utilizando el teorema de Pitágoras.

Ejemplo: Calcula el área de un tetraedro de 6 cm de arista.

ÁREA DEL OCTAEDRO:

            Para calcular el área del octaedro (AO) bastará con hallar el área de uno de los triángulos equiláteros (At) que forman las caras y multiplicar por 8, que son las caras que tiene un octaedro. Lógicamente, para saber el área de uno de los triángulos que forman las caras hay que calcular la altura en función de la arista del octaedro, utilizando el teorema de Pitágoras.

Ejemplo: Calcula el área de un octaedro de 6 cm de arista.

ÁREAS DE LOS PRISMAS:

Ejemplo: Calcula el Área Total de un prisma cuadrangular regular de 3 cm de arista de la base y 5 cm de arista lateral.

ÁREAS DE LAS PIRÁMIDES:

            Se calculan igual que en los prismas, teniendo en cuenta que las caras laterales son triángulos isósceles y que sólo tienen una base.

Ejemplo: Calcula el Área Total de una pirámide cuadrangular regular de 3 cm de arista de la base y 5 cm de arista lateral.

ÁREAS DEL CILINDRO:

a) Área Lateral: Si desarrollamos (desplegamos) un cilindro, su superficie lateral se convierte en un rectángulo, cuya área es base x altura. Si tenemos en cuenta que la base de este rectángulo es la longitud de la circunferencia de la base del cilindro, el Área Lateral del Cilindro será:

b) Área de las Bases: Es el área de uno de los dos círculos de las bases.

                        AB = r2

c) Área Total: Es la suma del área lateral y del área de las dos bases.

                        AT = AL + 2AB

Ejemplo: Calcula el Área Total de un cilindro de 3 cm de radio y 5 cm de altura.

ÁREAS DEL CONO:

a) Área Lateral: Es el área del sector circular que se forma al desarrollar (desplegar) el cono.    

                (He incluido la demostración de la fórmula del Área Lateral del Cono porque no me parece muy difícil y                 considero que está al alcance de cualquier alumno que lleve el curso sin problemas)

(También podría considerarse que el sector circular es un triángulo, de base 2r y de altura g: A = b·h/2; A = 2rg/2; A = rg. Proporcionalmente: La longitud de la circunferencia, 2g, en donde estaría encuadrado el sector, (g, generatriz del cono, es el radio de la circunferencia grande) es al

área del círculo grande, como la longitud del arco del sector circular es a la superficie del sector circular: 2g/g2 = 2r/ AL . De aquí se deduce que AL = rg).

b) Área de la Base: Es el área del círculo de la base.

                        AB = r2

c) Área Total: Al área lateral se le suma el área de la base.

                        AT = AL + AB

Ejemplo: Área Total de un cono de 3 cm de radio y 5 cm de altura.

ÁREA DE LA ESFERA:

            La superficie de una esfera es igual a la del área lateral del cilindro circunscrito a ella (el radio, r, de la base de este cilindro es igual al radio, R, de la esfera y la altura, h, del cilindro es igual al diámetro, 2R, de la esfera). El área lateral de este cilindro será AL

= 2Rh = 2R · 2R, con lo que el área de la esfera, igual al área lateral del cilindro circunscrito, será:

[También la superficie de cualquier porción de la esfera comprendida entre dos planos paralelos equivale a la superficie lateral de la porción correspondiente del cilindro circunscrito]

Ejemplo: Calcula el área de una esfera de 5 cm de radio.

MEDIDA DEL VOLUMEN DE LOS CUERPOS

            El volumen es una medida de la capacidad de los cuerpos o del lugar que ocupan en el espacio. Para medir el volumen de los cuerpos se utilizan 3 dimensiones (que suelen ser: largo, ancho y alto). La unidad de volumen es el metro cúbico (m3) y sus múltiplos y submúltiplos se obtienen multiplicando o dividiendo por 1000 la unidad inmediata correspondiente:

Relación entre las unidades de volumen, capacidad y masa:

Volumen:                    m3------dm3------cm3

Capacidad:                 kl---------l---------mlMasa (agua):               t--------kg---------g

            1 dm3 = 1 l = 1 kg                  1 m3  = 1 kl = 1 t                    1 cm3  = 1 ml = 1 g

VOLUMEN DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS: En general, el volumen de los cuerpos geométricos se calcula multiplicando el área de la base por la altura del cuerpo en cuestión (este cálculo se complica un poco en las pirámides, conos y esferas).

VOLUMEN DEL CUBO: El volumen del cubo es área de la base por la altura. Como la base es un cuadrado, su área es lado al cuadrado (l2) o arista al cuadrado (a2) y multiplicado por la altura, que es igual a la arista, obtenemos que la fórmula del volumen del cubo es:

V = a3

Ejemplo: Calcula el volumen de un cubo de 4 cm de arista.

VOLUMEN DEL TETRAEDRO:

Ejemplo: Calcula el volumen de un tetraedro de 6 cm de arista.

VOLUMEN DEL ORTOEDRO: El volumen del ortoedro es área de la base por la altura. Como la base es un rectángulo, su área es largo por ancho (l · a) y multiplicado por la altura (h) se obtien la fórmula del volumen del ortoedro:

V = l · a · h

Ejemplo: Calcula el volumen de un ortoedro de 6 cm de largo, 5 cm de ancho y 2 cm de alto.

VOLUMEN DEL PRISMA: El volumen del prisma es igual al área de la base por la altura:

V = AB·h

Ejemplo: Calcula el volumen de un prisma cuadrangular regular de 3 cm de arista de la base y 5 cm de arista lateral.

VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE: Si se dispone de un recipiente con forma de pirámide que tenga la misma base y la misma altura que otro recipiente con forma de prisma, se puede comprobar que el volumen de la pirámide es un tercio del volumen del prisma, porque, si llenamos la pirámide de agua y la vertemos en el prisma, necesitaremos tres pirámides para llenar el prisma. Por lo tanto, si el volumen del prisma es área de la base por la altura, el volumen de la pirámide será un tercio del área de la base por la altura.

V = AB·h

Ejemplo: Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular regular de 3 cm de arista de la base y 5 cm de arista lateral.

[Para calcular la altura de la pirámide aplicamos el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo formado por la altura (h), la semidiagonal de la base (c) y la arista lateral (a). Primero hallaremos la diagonal (d) del cuadrado en función del lado (l) del mismo]

VOLUMEN DEL CILINDRO: El volumen del cilindro es igual al área de la base por la altura:

V = AB·h

            Como la base del cilindro siempre es un círculo y el área del círculo es r2 también podemos escribir el volumen del cilindro con la siguiente fórmula:

V = r2h

Ejemplo: Calcula el volumen de un cilindro de 3 cm de radio y 5 cm de altura.

VOLUMEN DEL CONO: Si se dispone de un recipiente con forma de cono que tenga la misma base y la misma altura que otro recipiente con forma de cilindro, se puede comprobar que el volumen del cono es un tercio del volumen del cilindro, porque, si llenamos el cono de agua y la vertemos en el cilindro, necesitaremos tres conos para llenar el cilindro. Por lo tanto, si el volumen del cilindro es área de la base por la altura, el volumen del cono será un tercio del área de la base por la altura.

            Como la base del cono siempre es un círculo y el área del círculo es r2 también podemos escribir el volumen del cono con la siguiente fórmula:

Ejemplo: Calcula el volumen de un cono de 3 cm de radio de la base y 5 cm de altura.

VOLUMEN DE LA ESFERA: Si construimos algo parecido a una pirámide con vértice en el centro de la esfera y base un trozo de la superficie esférica, veremos que esta especie de pirámide tiene como altura el radio de la esfera. Cuanto más pequeña sea la base de esta especie de pirámide más se parecerá a una pirámide (porque la base dejará de ser curva y tenderá a ser plana). Nos podemos imaginar el volumen de la esfera como la suma de los volúmenes de todas las pirámides que podamos construir dentro de ella. Así, el volumen de la esfera será:

Ejemplo: Calcula el volumen de una esfera de 5 cm de radio.