Adicin y sustraccin

Adicin y sustraccinContextos y usos de la adicin y sustraccinLa operacin aritmtica como accin transformadoraNmero natural nos permite cuantificar el mundo en que vivimos de una forma ms precisa.

Operaciones aritmticas describen la realidad y actan sobre ella transformndola.

Tiene $680Se encuentra $450Tengo en total $1.130Expresa una cantidad de una determinada magnitud (dinero)Expresa otra cantidad de la misma magnitudExpresa otra situacin (transformacin de las otras dos)La cuantificacin de las situaciones que nos rodean corresponde fundamentalmente a una descripcin,mientras que las operaciones aritmticas remiten auna accin transformadora en la que dos situaciones interactan para dar lugar a una nueva situacin que, de nuevo, se describe numricamente.Importancia social y cultural de la adicin y sustraccinComo accin transformadora en la compra y venta.Los nmeros elementales (menores que 10) presentes en la medida del tiempo.Desde el punto de vista profesional:La necesidad de saber realizar clculos aritmticos de diferentes clases aparece entre las exigencias matemticas de casi todos los tipos de empleoEstos clculos se hacen, a veces, mentalmente, a veces con lpiz y papel, y otras con una calculadora (Informe Cockcroft 1985, p 126)Fenomenologa de la adicin y sustraccinAdicin proviene del latn addo, is, que significa aadir, agregarSiglo XIX XX, Sumar es reunir varios nmeros en uno slo

La operacin se define por su aplicacin a los nmeros, no por las situaciones en las que dicha aplicacin tiene lugar.Resta proviene del latn restare, que significa sobrar, quedarEn textos: La sustraccin es el anlisis de la adicin, y tiene por objeto, dada la suma de dos sumandos y uno de estos, hallar el otro

No se define por la accin que describe, sino por el hecho de que se puede entender como una suma donde se ignora uno de los sumandos.

Las operacionesLa matemticaLas accionesUn nio tiene 5 bolitas y gana otras cuatro a lo largo de una tarde. Cuntas bolitas tiene en total, al final del da?Reunir los dos nmeros en uno soloAadir una cantidadde bolitas a la otraEl objeto de conocimientoest desligado de la situacinEl objeto de conocimiento est ligado a la situacinLos smbolos de la adicin y sustraccinAntiguamente, todo se escriba con palabras.

Siglo XVI, Italia, se incorporan las palabras piu o plus (ms) y meno o minus (menos) y sus abreviaturas p. y m., respectivamente.

Widman (alemn) incorpora los smbolos + (simbolizacin del trmino et (y en latn), especficamente de la t) y (an se desconoce su origen)

Recorde, (ingls) simboliza la igualdad con el smbolo =Concepto de las operaciones de adicin y sustraccinLa adicin y la sustraccin como objetos matemticosAdicin de nmeros naturales

Definicin recursiva de adicin (Peano)

Sea : x + 0 = x x + s(y) = s(x + y)

Definicin conjuntistaDados dos nmeros, a y b naturales, se llama a + b al cardinal de A U B, siendo A y B dos conjuntos disjuntos, cuyo cardinal es a y b, respectivamente.

A

B#A = a = 3#B = b = 5#(A U B) = a + b = 3 + 5 = 82) Sustraccin de nmeros naturalesDefinicin conjuntistaDados b < a, de modo que hay un subconjunto propio B de b elementos en un conjunto A de a elementos, entonces #B = a b, donde B es el conjunto complementario de B, respecto del conjunto A, que tambin se puede escribir como A B.B#A = a = 12#B = b = 4

A

#B = #(A B) = a b = 12 4 = 8De esta manera, restar una cantidad b de otra cantidad a, es decir, calcular a b, corresponde a decir cunto ms grande es la segunda cantidad que la primera.

Esta intuicin corresponde a situarse en el nmero ms alto y ver cunto mayor es ste que el nmero menor, establecer cul es la diferencia.

Responde a la pregunta: Si quito esta cantidad de esta otra, cunto queda?Definicin sumando desconocido

Si a < b, de modo que a + = b tiene como solucin un nmero natural, entonces b a es el sumando desconocido en esta ecuacin a + = b

Esta manera de entender la resta, mira desde el nmero menor al mayor y corresponde a la pregunta: Cunto debo sumar al nmero menor para alcanzar el mayor?Cmo y cundo enseamos a sumar y a restar?Es recomendable ensear ambas operaciones en forma paralela.

En cada nivel de primer ciclo, ir desarrollando diferentes estrategias para su enseanza, considerando los aprendizajes previamente adquiridos que poseen los nios y las situaciones de la vida cotidiana donde ellos se desenvuelven.Qu considerar?Tareas matemticas: es lo que realizarn los nios para lograr los aprendizajes esperados.

Variables didcticas: aspectos que permitirn graduar la complejidad de las tareas matemticas que los nios realizan.

Procedimientos: que los nios construyen y se apropian para realizar las tareas.En primero bsicoFormalizar el aprendizaje de la estructura aditiva del nmero, mediante las combinaciones aditivas bsicas.

Relacionar acciones concretas de la vida diaria con la adicin (agregar juntar) y con la sustraccin (quitar separar)

Desarrollar estrategias de clculo mental para la adicin y sustraccin.Algunas estrategiasSumas de dobles (2 + 2, 3 + 3, 4 + 4, etc.)

Sumas de dobles ms uno (2 + 3, 3 + 4, 4 + 5, etc.)

Suma de 9, como suma de 10 158 + 9 = 58 + 10 = 68 1 = 6745 9 = 45 10 = 35 + 1 = 36

Completacin de decenas43 + 8 = 43 + 7 + 1 = (43 + 7) + 1 = 50 + 1 = 51

Estas dos ltimas estrategias, se basan en la descomposicin de los nmeros y est basado en la notacin posicional.Hay dos tipos de descomposiciones:Descomposicin cannicaDescomposicin no cannica

Descomposicin cannicaPor ejemplo, el nmero 2.345 se puede escribir como:2.345 = 2.000 + 300 + 40 + 5Esta descomposicin es el sustento del algoritmo de la suma y es conveniente practicar con ella antes de introducir el algoritmo:123 + 45 = (100 + 20 + 3) + (40 + 5) = 100 + (20 + 40) + (3 + 5) = 100 + 60 + 8 = 168

Descomposicin no cannicaPor ejemplo, el nmero 7, se puede escribir como:7 = 5 + 2Por ejemplo, consideremos la suma 35 + 17:35 + 17 = 35 + (5 + 12) = (35 + 5) + 12 = 40 + 12 = 52En donde podemos combinar descomposicin cannica (sumar 40 + 12) y no cannica.Resulta til y casi necesario practicar estas descomposiciones elementales antes de estudiar el algoritmo. Esta prctica tiene ciertos beneficios:Familiarizar al estudiante con el concepto de suma de nmeros en casos en los que se puede visualizar la operacin.

Dar fluidez al proceso de clculos con el algoritmo.

Es requisito para comprender la sustraccin o resta.

Proporciona herramientas para el clculo mental.En segundo bsicoSe agregan los conceptos de avanzar (para la suma) y retroceder (para la resta)

Se ampla el campo numrico.

Se incorpora la tabla centena, la que nos permite reconocer las regularidades numricas.01234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818283848586878889909192939495969798990123456789102030405060708090

En tercero y cuarto bsicoSe ampla el mbito numrico.

Se utilizan otras estrategias de clculo mental: tcnica del trasvasije y tcnica del traslado de la diferencia.

Tcnica del trasvasije: A un sumando, se le resta una cierta cantidad y se le suma al otro sumando.a + b = (a c) + (b + c)a + b = (a + c) + (b c)Por ejemplo: para sumar 56 + 12 56 + 12 = (56 6) + (12 + 6) = 50 + 18 = 68 o tambin: 56 + 12 = (56 + 4) + (12 4) = 60 + 8 = 68

Tcnica del traslado de la diferencia: Basada en el principio de la conservacin de la cantidad en una resta: si lo que le restamos a un nmero tambin se lo restamos al otro, o bien, si lo que le sumamos a un nmero tambin se lo sumamos al otro, la resta no se altera.a b = (a c) (b c)a b = (a + c) (b + c) Por ejemplo: 235 97 = (235 + 3) (97 + 3) = 238 100 = 138Algoritmo de la adicinAdicin sin reservaNivel concretoNivel icnicoNivel simblico1) Nivel concretoResuelven la operacin con material concreto:

Representan el primer sumando. (262)Representan el segundo sumando. (325)Reunir las cantidades de ambos sumandos: unidades con unidades, decenas con decenas, etc.El estudiante expresa con palabras el nmero que ha obtenido.Representan el resultado con el constructor numrico.2) Nivel icnicoEl nio representa, a travs de un dibujo, lo que acaba de hacer con el material concreto.

Por ejemplo, representar la adicin 262 + 325 con dibujos.3) Nivel simblicoSe transcribe simblicamente lo que se acaba de hacer en los niveles 1 y 2, siguiendo esta estructura:

Mediante algoritmo desarrollado, con descomposicin aditiva, segn lugar de posicin.2622C + 6D + 2U + 325 3C + 2D + 5U 5C + 8D + 7U = 587

b) Mediante algoritmo desarrollado con descomposicin aditiva, segn valor de posicin.

262200 + 60 + 2 + 325300 + 20 + 5500 + 80 + 7 = 587c) Mediante algoritmo abreviado

Luego, operar con el algoritmo que todos conocemos.CDU262325780500587++Algoritmo de la adicinII. Adicin con reservaNivel concretoNivel icnicoNivel simblico1) Nivel concretoEl nio representa con el material el primer sumando (327)Representa el segundo sumando (135)Rene las cantidades de ambos sumandos y canjea cuando sea necesario.Expresa con palabras el resultado.Representa el nmero con el constructor numrico. Es recomendable:Intencionar canje en las unidades.Intencionar canje en las decenas.Intencionar canje en las unidades y decenas.

2) Nivel icnico: El nio representa con dibujos lo realizado con el material concreto, por ejemplo, la suma 327 + 1353) Nivel simblicoResuelven la operacin, utilizando algoritmos desarrollados con descomposicin aditiva:

Segn lugar de posicin:3273C + 2D + 7U + 4354C + 3D + 5U7C + 5D + 12U7C + (5D + 1D) + 2U 7C + 6D + 2U = 762b) Segn valor de posicin

327300 + 20 + 7 + 435400 + 30 + 5700 + 50 + 12700 + (50 + 10) + 2 700 + 60 + 2 = 762

c) Mediante algoritmo abreviado

CDU3274351250700762++CDU327435762+11Al finalizar cuarto bsico, la reserva se memorizar y se har mental.Propiedades de la adicinConmutatividad: Si juntamos dos conjuntos y contamos los objetos de ambos, es indiferente cul conjunto consideremos primero y cul despus, en cualquier caso, nos debe dar la misma cantidad.

Para cualquier par de nmeros n y m, se cumple:

m + n = n + mAsociatividad:

Si tenemos tres conjuntos y queremos contar cuntos objetos hay en total, resulta tambin intuitivo que puedo agruparlos de distintas maneras, por ejemplo, juntar los dos primeros y a este nuevo conjunto, agregarle el tercero, o puedo hacerlo de otras maneras.Sean los nmeros n, m y q. Se cumple:

(m + n) + q = m + (n + q)

El 0 es un nmero neutro para la suma

Al reunir dos conjuntos de objetos, uno de los cuales est vaco, es claro que la cantidad de objetos que hay en total es la misma que hay en el otro conjunto.

Para cualquier nmero n, se tiene quen + 0 = nAlgoritmo de la sustraccinI. Sustraccin sin reservaNivel concretoNivel icnicoNivel simblico1) Nivel concretoLos estudiantes representan con el material el minuendo (97)Quitan del minuendo la representacin del sustraendo (62).Visualizan la representacin del sustraendo para luego observar lo que qued del minuendo y cuentan ese material.Lo construyen con el constructor numrico.Leen la operacin.2) Nivel icnicoRepresentan con dibujos el minuendo.Tachan, en la representacin del minuendo, lo que indica el sustraendo.Observan lo que qued representado en el dibujo, sin tachar.Verbalizan el resultadoVerbaliza la operacin completa.3) Nivel simblicoResuelven la sustraccin, utilizando algoritmos desarrollados:

Descomposicin del nmero de acuerdo al lugar de posicin de sus cifras.979D + 7U - 62 - 6D + 2U 3D + 5U = 35b) Descomposicin del nmero de acuerdo al valor de posicin.

9790 + 7 - 62 - 60 + 2 30 + 5 = 35

c) Mediante algoritmos abreviados

DU976235-Algoritmo de la sustraccinII. Sustraccin con reservaNivel concretoNivel icnicoNivel simblicoSituaciones de canjeCanje de 1D por 10 U

Canje de 1C por 10D

Canje de 1D por 10 U y 1C por 10 D

Minuendo que contenga ceros en decenas, unidades, etc.1) Nivel concretoRepresentan con el material el minuendo.El nio observa si esa representacin le permite quitar el sustraendo.Realizan el canje que sea necesario.Visualizan y verbalizan la nueva representacin del minuendo.Quitan o sacan le representacin del sustraendo.Representan el resultado con el constructor numrico.Leen el resultado y la operacin completa.

2) Nivel icnicoRepresentan el minuendo con los dibujos.Con un color, efectan el canje (transforman una unidad de orden superior en 10 unidades de orden inmediatamente inferior)Con otro color, quitan la cantidad del sustraendo.Leen lo que les qued sin tachar.Leen la operacin completa.3) Nivel simblicoResuelven la operacin con algoritmos desarrollados:Descomposicin de los nmeros segn lugar de posicin

434D + 3U3D + 13U - 27 - 2D + 7U - 2D + 7U 1D + 6U = 16b) Descomposicin de los nmeros segn valor de posicin.

4340 + 330 + 13 - 27 - 20 + 7 -20 + 7 10 + 6 = 16

c) Resolver mediante algoritmo abreviado

DU432716-313Situaciones aditivasSon problemas simples de adicin y sustraccin que permiten al nio conceptualizar y comprender el sentido que tienen estas operaciones, y a distinguir cundo utilizarlas.

Existen tres tipos de situaciones aditivas:Unir y separar (Intercambiar)Problemas que se refieren a una coleccin o conjunto, la que se puede considerar como una totalidad, o bien, separadas en dos subcolecciones. Estas deben estar bien definidas y no deben tener elementos en comn.

Por ejemplo, en un paquete de galletas, quedan 7. Cmo se las pueden repartir Rodolfo y Carlos?Situaciones que permiten plantear problemas de unir y separar:Colecciones de estampillas, donde hay de dos pases diferentes.Los alumnos de un curso, donde hay nios y nias.Un corral de animales, donde hay pavos y gallinas.Una cuenta, que incluye el precio de dos objetos diferentes.Una bolsa con verduras, que lleva 3 lechugas y 2 acelgas.Etc.Agregar y quitar (Combinar)Problemas que se refieren a cambios que tienen lugar a lo largo del tiempo. En ellos, se distingue un momento inicial (M.I.), una accin intermedia (agregar o quitar) y un momento final (M. F.)

La formulacin de estos problemas se puede variar, cambiando el rol de la informacin, a veces como los datos del problema y a veces como incgnitas.Momento inicialAccin de agregarMomento finalHaba 9 pasajerosSuben 3Cuntos pasajeros hay en el bus?Haba 9 pasajerosCuntos suben?Haba 12 pasajerosCuntos pasajeros hay ahora en el bus?Suben 3Iban 9Momento inicialAccin de quitarMomento finalHaba 12 pasajerosBajaron 8 pasajerosCuntos pasajeros quedaron?Haba 12 pasajerosCuntos bajaron?Quedaron 4 pasajerosCuntos pasajeros iban en el bus?Bajaron 8 pasajerosQuedaron 4 pasajerosSituaciones que permiten plantear problemas de agregar y quitar:EscenarioAgregar Quitar Un gallinerosNacen pollitosSe venden pollitosUn restauranteLlegan clientesSe van clientesEmpanadas Se hacen ms empanadasSe venden empanadasUn comercianteCompra mercaderaVende mercaderaUn vehculoSe le pone bencinaGasta bencinaUna competenciaGana puntosPierde puntosCompararProblemas donde se compara dos cantidades para encontrar la diferencia entre ambas. La pregunta puede referirse a la diferencia mayor, cuntos ms?, o a la diferencia menor, cuntos menos?

Es posible variar la formulacin de los problemas de comparar si se cambia el lugar en que se encuentran los datos y la incgnita.Por ejemplo, un pud pesa aproximadamente 10 kg. y un perro siberiano, 18 kg.PudSiberianoComparacin1018Cuntos kilos ms pesa el perro siberiano?1018Cuntos kilos menos pesa el pud?10Cuntos ?Perro siberiano pesa 8 kilos ms que el Pud.10Cuntos?Pud pesa 8 kilos menos que el perro siberiano.Cuntos?18Pud pesa 8 kilos menos que el perro siberiano.Cuntos?18Perro siberiano pesa 8 kilos ms que el pud.Situaciones que permiten plantear problemas de comparar:Estaturas de dos nios.Edad de dos personas.Precio de dos mercaderas.Distancia entre ciudades.Cantidades de objetos que tienen dos personas.Etc.Igualar Problemas que permiten igualar dos cantidades, que permiten determinar lo que le falta o le sobra a una, para llegar a la otra.Carmen tiene 13 bolitas. Juan tiene 5 bolitas. Cuntas bolitas tiene que ganar Juan para tener tantas como Carmen?Carmen tiene 13 bolitas. Juan tiene 5 bolitas. Cuntas bolitas debe perder Carmen para tener tantas como Juan?Juan tiene 5 bolitas. Si l gana 8 bolitas ms tendr tantas como Carmen. Cuntas bolitas tiene Carmen?Juan tiene 5 bolitas. Si Carmen pierde 8 bolitas, ella tendr tantas bolitas como Juan. Cuntas bolitas tiene Carmen?