of 18 /18
BAHAGIAN 1 Rene Descartes, ahli matematik Perancis yang terkenal pada abad ke-16 menemui keindahan sistem Koordinat Cartesian ketika beliau sedang baring sambil merenung seekor labah-labah di siling. Rene Descartes dilahirkan pada 31 Mac 1596 . Beliau dilahirkan di La Haye ,France . Nama bapa beliau ialah Joachim Descartes iaitu seorang caunselor di Parlimen .Beliau mendapat pendidikan awal di Jesuit College of Henri IV , La Fleche di Anjou .Beliau mempelajari bidang sastera , matematik dan sains ketika disana semenjak berumur lapan tahun (1606) . Pada tahun 1614 , beliau sambung belajar dalam jurusan sivil danCannon Law di Poitiers . Sejurus itu , beliau menerima tauliah sarjana dalam Law  Asidedari Law Degrees . Beliau meluangkan lebih masa mempelajari falsafah , ilmu tentangketuhanan dan perubatan . Pada tahun 1637 , beliau menerbitkan geometri yang dikenalisebagai “Cartesian Geometry” . Oleh disebabkan ketokohan beliau , beliau pernah digelar Pengasas Falsafah Moden dan Bapa Matematik Moden . Beliau telah meninggal

addmath 2013

Embed Size (px)

DESCRIPTION

addmath 2013

Citation preview

Page 1: addmath 2013

7/16/2019 addmath 2013

http://slidepdf.com/reader/full/addmath-2013 1/18

BAHAGIAN 1

Rene Descartes, ahli matematik Perancis yang terkenal pada

abad ke-16 menemui keindahan sistem Koordinat Cartesian ketika

beliau sedang baring sambil merenung seekor labah-labah di

siling.

Rene Descartes dilahirkan pada 31 Mac 1596 . Beliau

dilahirkan di La Haye ,France . Nama bapa beliau ialah Joachim

Descartes iaitu seorang caunselor di Parlimen .Beliau mendapat

pendidikan awal di Jesuit College of Henri IV , La Fleche di Anjou

.Beliau mempelajari bidang sastera , matematik dan sains ketika

disana semenjak berumur lapan tahun (1606) . Pada tahun 1614 ,

beliau sambung belajar dalam jurusan sivil danCannon Law di

Poitiers . Sejurus itu , beliau menerima tauliah sarjana dalam Law

 Asidedari Law Degrees . Beliau meluangkan lebih masa

mempelajari falsafah , ilmu tentangketuhanan dan perubatan .

Pada tahun 1637 , beliau menerbitkan geometri yangdikenalisebagai “Cartesian Geometry” . Oleh disebabkan

ketokohan beliau , beliau pernah digelar Pengasas Falsafah

Moden dan Bapa Matematik Moden . Beliau telah meninggal

Page 2: addmath 2013

7/16/2019 addmath 2013

http://slidepdf.com/reader/full/addmath-2013 2/18

dunia pada 11 Febuari 1650 , ketika berusia 54 tahun akibat

penyakit pneumonia .

Rene Descartes merupakan salah seorang ahli falsafah

barat moden . Beliaudikenali sebagai ahli falsafah , ahli

matematik dan ahli sains yang terkenal . Ketinggianilmu telah

melibatkan beliau dalam pelbagai bidang ilmuwan , misalnya

bidang pendidikan , falsafah , pengiraan , dan sebagainya .

Descartes adalah salah satu pemikir utama dalam Revolusi

Saintifik dan Dunia Barat . Beliau banyak

mengeluarkanfalsafahnya sendiri dan juga menjadi pengikutaliran falsafah . Beliau mempunyaikemahiran yang tinggi dalam

bidang sains dan matematik serta banyak menyumbangdalam

bidang ini sehinggakan beliau mendapat pelbagai gelaran . Beliau

turut dihormatidengan mempunyai system koordinat Cartes yang

digunakan dalam geometri satah danalgebra .Beliau turut dikenali

sebagai Cartesius . Sebagai pereka system koordinat Cartesdan

mengasaskan geometri analisis , satu penghubung antara

algebra dan geometri adalahamat penting dalam rekaan kalkulus

dan analisis . Rene menjelajah dari utara ke selataneropah pada

tahun 1619  – 1628 , dan beliau akhirnya menerangkan bahawa

beliaumempelajari “the book of the world” . Ketika di Bohemia(1619) , beliau telah menciptageometri analitis , kaedah

menyelesaikan geometri masalah algebra dan algebra

masalahgeometrical . Di dalam matematik , system koordinat

Cartes adalah satu system yangmenilai satu titik secara unik di

Page 3: addmath 2013

7/16/2019 addmath 2013

http://slidepdf.com/reader/full/addmath-2013 3/18

dalam satu satah menerusi dua nombor , biasanyadikenali

sebagai koordinat  – x atau koordinat  – y satu titik . Bagi

mentakrifkan titik itudua garis lurus yang beserenjang (paksi-x

dan paksi-y) ditentukan bersama  – sam dengan unit panjang

yang ditandakan pada kedua  – dua paksi (lihat rajah 1) . Sistem

koordinatCartesian ini juga digunakan dalam ruang (yang mana

tiga koordinat digunakan ) dan di dalam dimensi yang lebih tinggi

.

Rajah 1 - Sistem Koordinat Cartesian. Empat titik ditandakan:

(2,3) diwarnakan hijau,(-3,1) merah, (-1.5,-2.5) diwarnakan biru

dan (0,0), asalan, diwarnakan kuning.Dengan menggunakan

sistem koordinat Cartes , bentuk  – bentuk geometri

(sebagaicontoh lengkungan ) digambarkan oleh persamaan

algebra , dinamakan persamaandipuaskan oleh koordinat  –

Page 4: addmath 2013

7/16/2019 addmath 2013

http://slidepdf.com/reader/full/addmath-2013 4/18

koordinat titik yang terletah di atas bentuk berkenaan ,contohnya

bulatan berjejari dua mungkin boleh digambarkan oleh

persamaan x2+ y2= 4

Rajah 2 - Sistem Koordinat Cartesian bulatan dengan berjejari 2

berpusatkan asalandiwarnakan merah. Persamaan bulatan

adalah x2+ y

2= 4.

Dalam geometri , beliau memberikan pendedahan analitis

geometrinya . Beliau jugamelengkapkan sistem yang dicipta oleh

Francois Viete untuk menggambarkan kuantiti berangka yang

pada mulanya hanya diketahui sebagai a,b,c,.... namun tidak

diketahuisebagai x,y, z.....dan segiempat , kiub ,sebagainya .

Perkara ini lebih memudahkan pengiraan algebra berbanding

sebelumnya . Descartes dipaksa untuk menerbitkan ideanya ,

antaranya ialah La Dioptrique , La Geometries dan Les Meteors .

Merujuk buku yangdikeluarkan Descartes , beliau lebih memilih

Page 5: addmath 2013

7/16/2019 addmath 2013

http://slidepdf.com/reader/full/addmath-2013 5/18

kepuasan dalam memperoleh ilmu pengetahuan daripada yang

dikatakan oleh logik Aristotle . Buku  – buku yang diterbitkanini

lebih menghendaki keupayaan akal fikiran bagi mendapatkan

idea baru danmenyelesaikan sesuatu masalah . Misalnya buku  – 

buku yang dihasilkan menggunakan pendekatan pemerhatian dan

menjalankan eksperimen bagi mengekalkan kesahihan ilmuyang

dikeluarkan .

Namun begitu , terdapat idea  – idea yang dikeluarkan

Descartes dikritik . Hal inidisebabkan oleh berlainan pendapat

antara tokoh  – tokoh pemikir . Misalnya dalam bukuyangditerbitkan iaitu Les Meteors , buku tersebut menerangkan

tentang meteorologi dankepentingan mengkaji cuaca pada dasar 

saintifik . Idea ini dianggap mempunyaikesalahan , dan diuji kaji

melalui eksperimen yang didemonstrasikan oleh Roger Bacon

.Roger Bacon percaya bahawa air yang telah dimasak akan

membeku dengan lebih cepat . Namun begitu Descartes

mempunyai pendapat yang berbeza serta alasan yang tersendiri

.Rene Descartes merupakan seorang tokoh yang menggunakan

akal dengan sebaiknya .Beliau mempunyai keyakinan yang tinggi

dalam melakukan sesuatu perkara .Sikapnya yang tidak mudah

menyerah kalah dan berpegang pada kata – katanyamembuatkanbeliau disegani ramai . Hal ini dapat dibuktikan melalui

perungkapannyayang jelas menggambarkan diri nya , iaitu “ I

think , therefore i’am . (cogito , ergo sum ) . Selain pengasas

dalam falsafah matematik , Rene descartes juga merupakan

Page 6: addmath 2013

7/16/2019 addmath 2013

http://slidepdf.com/reader/full/addmath-2013 6/18

salahseorang pengikut utama aliran falsafah . Aliran falsafah yang

diikiuti adalah Rasionalisme. Aliran falsafah ini turut disokong oleh

tokoh  – tokoh lain seperti Baruch Spinoza danGottfried Leibniz .

Namun begitu , aliran ini mendapat tentangan aliran

fikiranempirisisme yang disokong oleh Thomas Hobbes , John

Locke , George Berkeley danDavid Hume . Aliran falsafah

Rasionalisme merupakan aliran falsafah yang lebihmementingkan

kredibiliti fakulti akal berbanding yang lain . Rasionalisme

menyatakan bahawa segala ilmu pengetahuan tentang alam ini

diperolehi melalui fakulti akal , bukannya melalui pengalaman ,perasaan , imbasan mahupun hati / kalbu . Fahaman ini

berpendapat bahawa sekurang  – kurangnya sebahagian ilmu

manusia bersumber daripadaakal tanpa bantuan deria lain iaitu

pancaindera , hati / kalbu dan deria . Rasionalismemendapat

pegangan utuh semase di tangan Descartes , pemikir falsafah

moden Barat ,khususnya berkaitan dengan konsep ilmu sehingga

epistimologi menjadi tumpuan kajianfalsafah . Epistimologi

merupakan kajian tentang ilmu pengetahuan .

PendekatanDescartes menjadi ikutan beberapa ahli falsafah

ternama dalam pemecahan soal bagaimana akal bekerja sebagai

alat yang menghasilkan ilmu . Sebilangan ahli falsafahyang telahdipengaruhi itu dikenali sebagai “kesangsian radikal “ . Menurut

Descartes ,kebenaran adalah sesuatu yang kukuh ,tidak boleh

hancurkan dan tidak goyah keranakebenaran adalah berdasarkan

fakta dan bukti yang jelas . Kebenaran tidak boleh adakesangsian

Page 7: addmath 2013

7/16/2019 addmath 2013

http://slidepdf.com/reader/full/addmath-2013 7/18

, jika terdapat kesangsian dalam akal , maka idea tersebut perlu

ditolak .

Namun begitu , aliran falsafah rasionalisme ini mendapat

tentangan dari aliranfalsafah lain , iaitu empirisisme . Golongan

Empiris menolak pegangan golongan rasionalkerana berpendapat

bahawa ilmu yang berasaskan rasional tidak mampu

menghasilkansesuatu yang baru , sebaliknya ilmu melalui empiris

dapat menghasilkan sesuatu yang belum diketahui . Aliran

falsafah empirisisme lebih mengutamakan kredibiliti pancaindera ,

kerana bagi mereka ilmu itu lebih mudah diperolehi melaluipengalaman ,cerapan , mahupun imbasan . Namun begitu , saya

lebih memihak kepada aliran yangdipilih oleh Descartes . Hal ini

kerana , dalam alam semesta ini , terdapat juga sesuatu benda

yang bukan hanya mampu diukur berdasarkan pancaindera .

Kaedah pancaindera ,terutamanya penglihatan sering menipu

mata manusia . Selain itu , asas perkara sepertiruang , masa ,

logik dan matematik , tidak semua boleh dialami melalui

pengalaman . perkara  – perkara ini memerlukan keupayaan akal

fikiran .

Page 8: addmath 2013

7/16/2019 addmath 2013

http://slidepdf.com/reader/full/addmath-2013 8/18

BAHAGIAN 2

Persatuan Matematik, persatuan Sains dan persatuan Sejarah ditugaskan

untuk menceriakan kawasan yang diberikan kepada persatuan masing-

masing. Agihan lokasi persatuan Matematik, persatuan Sains dan

persatuan Sejarah yang diperuntukkan ialah kawasan X, Y dan Z masing-

masing seperti dalam Rajah 1. Mereka dikehendaki mengenal pasti

berbagai bentuk dan saiz kawasan yang diperuntukkan kepada mereka.

Setiap kawasan dikehendaki menanam dan menyelenggara kehijauan

tumbuh-tumbuhan di kawasan masing-masing untuk diselia sepanjang

tahun.

Di mana AED adalah berbentuk lengkung bulatan berpusat di F. Jarak BG

ialah 4m, jarak BC ialah 8m dan CD berjarak 6m, manakala AD selari

dengan BC.

(a) Tentukan luas kawasan X,Y dan Z dengan menggunakan

sekurang-kurangnya tiga kaedah yang berbeza termasuk

penggunaan kalkulus. Tentusahkan jawapan anda dengan

menggunakan perisian komputer.

Page 9: addmath 2013

7/16/2019 addmath 2013

http://slidepdf.com/reader/full/addmath-2013 9/18

(b) Jika kos semeter pagar ialah RM 30.00, berapakah jumlah kos

yang diperlukan oleh Persatuan Matematik untuk memagar 

kawasan X ?

Kawasan X

= 4.47 m + 4 m + 2 m + [

 X 2 X 

 X 4 ]

= 10.47 m + 12.57 m

= 23.04 m

Semeter = RM 30.00

23.04 m = RM X

X = 23.04 x 30

X = RM 691.20

Page 10: addmath 2013

7/16/2019 addmath 2013

http://slidepdf.com/reader/full/addmath-2013 10/18

Dengan dana sebanyak RM 350.00, bolehkah persatuan itu memagar 

kawasan tersebut? Huraikan jawapan anda.

Beri pendapat dan cadangan anda bagaimana pagar itu boleh dibina tanpa

melibatkan penambahan peruntukan dana.

Page 11: addmath 2013

7/16/2019 addmath 2013

http://slidepdf.com/reader/full/addmath-2013 11/18

(c) Semasa Minggu Matematik, ahli persatuan ingin mengikat rantai

bendera dari D ke F dan seterusnya ke satu titik E yang terletak di

atas lengkung AD supaya membentuk suatu sektor yang bersudut

1 radian

(i) Tandakan di manakah kedudukan titik E

 radian = 180o

1 radian = 180o  

 

1 radian = 57.27o

Page 12: addmath 2013

7/16/2019 addmath 2013

http://slidepdf.com/reader/full/addmath-2013 12/18

 

(ii) hitung panjang rantai bendera yang diperlukan

panjang rantai bendera

= DF + EF

DF2= 4

2+ 2

2

DF2= 20

DF =  

DF = 4.47 m

DF = EF

Panjang rantai bendera =

4.47 m + 4.47 m

= 8.94 m

Page 13: addmath 2013

7/16/2019 addmath 2013

http://slidepdf.com/reader/full/addmath-2013 13/18

BAHAGIAN 3

Persatuan Sains bercadang membina sebuah kolam di kawasan Y seperti

yang ditunjukkan dalam Rajah 2. Kolam tersebut berbentuk suku bulatan

berpusat di B dengan kedalaman 0.4 meter.

(a) Untuk kesesuaian air yang diisi   daripada isipadu kolam, hitung

isipadu air yang diperlukan.

Luas kolam =

x

x 42

= 12.571 m2 

Isipadu kolam = 12.571 m2

x 0.4 m

= 5.03 m3

daripada isipadu kolam = 5.03 m3

daripada isipadu kolam = ? m

3

x 5.03 m

= 3.78 m3

Page 14: addmath 2013

7/16/2019 addmath 2013

http://slidepdf.com/reader/full/addmath-2013 14/18

 

(b) Jika air itu dipam ke dalam kolam dengan kadar malar 0.002 m3 s-1 

Hitungkan :

(i) Kadar ketinggian paras air 

0.4 m 0.02 m3s

-1

= 200 m2s

-1

(ii) Ketinggian paras air selepas 3 minit200 m

2s

-1x 180 s

= 36000 m

(iii) Masa minimum, dalam minit, yang

diperlukan untuk air mula melimpah keluar 

daripada isipadu kolam = 5.03 m3

200 m2s

-1  s = 5.03 m

3

s = 200 m2s

-1 5.03 m3

s = 39.76 minit

Page 15: addmath 2013

7/16/2019 addmath 2013

http://slidepdf.com/reader/full/addmath-2013 15/18

(iv) Masa minimum, dalam minit, yang

diperlukan untuk air mula melimpah keluar 

 jika kolam yang di bina memenuhi semua

kawasan persatuan sains dengan

kedalaman yang sama.

daripada isipadu kolam = 5.03 m

3

200 m2 s-1  s = 5.03 m3

s = 200 m2 s-1 5.03 m3

s = 39.76 minit

Page 16: addmath 2013

7/16/2019 addmath 2013

http://slidepdf.com/reader/full/addmath-2013 16/18

 

Page 17: addmath 2013

7/16/2019 addmath 2013

http://slidepdf.com/reader/full/addmath-2013 17/18

 

(c) Persatuan Sejarah dikehendaki membina suatu tapak berjubin

berbentuk sebuah bulatan supaya ianya terterap dalam segitiga CDF.

 Anggarkan bilangan jubin yang berbentuk segi empat sama berukuran

20 cm yang perlu dibeli untuk memenuhi kawasan bulatan tersebut.

Luas XYZ = [ 6 x 8 ] +

x

x 42

= 48 m2+ 25.143 m

2

= 73.143 m2

Page 18: addmath 2013

7/16/2019 addmath 2013

http://slidepdf.com/reader/full/addmath-2013 18/18

 

Luas Y =

x 4 x 12

= 24 m2

Luas X = 25.143 m2

+

x 2 x 12

= 25.143 m2+ 12 m

2

= 37.143 m2

Luas Z = 73.143 m2- 24 m

2- 37.143 m

2

= 12 m2

Bilangan jubin yang diperlukan :

= 12 m2  [ 0.2 m x 0.2 m ]

= 12 m2  0.04 m

2

= 300 keping