ACT2025 - Cours 12

MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

Douzième cours

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Rappel:

• Détermination du taux d’intérêt étant donné la valeur accumulée, le nombre de paiement et le montant des paiements d’une annuité simple constante de fin de période

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Rappel:

• Détermination du taux d’intérêt étant donné la valeur accumulée, le nombre de paiement et le montant des paiements d’une annuité simple constante de fin de période

• Détermination du taux d’intérêt dans le cas d’annuité de début de période

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Rappel:

• Détermination du taux d’intérêt étant donné la valeur accumulée, le nombre de paiement et le montant des paiements d’une annuité simple constante de fin de période

• Détermination du taux d’intérêt dans le cas d’annuité de début de période

• Annuités générales

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Rappel:

• Détermination du taux d’intérêt étant donné la valeur accumulée, le nombre de paiement et le montant des paiements d’une annuité simple constante de fin de période

• Détermination du taux d’intérêt dans le cas d’annuité de début de période

• Annuités générales• Situation dans laquelle le taux d’intérêt varie avec les

périodes de paiement

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Rappel:

• Détermination du taux d’intérêt étant donné la valeur accumulée, le nombre de paiement et le montant des paiements d’une annuité simple constante de fin de période

• Détermination du taux d’intérêt dans le cas d’annuité de début de période

• Annuités générales• Situation dans laquelle le taux d’intérêt varie avec les

périodes de paiement• Situation dans laquelle le taux d’intérêt varie avec les

paiements

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Rappel:

• Détermination du taux d’intérêt étant donné la valeur accumulée, le nombre de paiement et le montant des paiements d’une annuité simple constante de fin de période

• Détermination du taux d’intérêt dans le cas d’annuité de début de période

• Annuités générales• Situation dans laquelle le taux d’intérêt varie avec les

périodes de paiement• Situation dans laquelle le taux d’intérêt varie avec les

paiements• Situation dans laquelle les périodes de paiement et de

capitalisation sont différentes

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La méthode de Newton-Raphson pour déterminer le taux d’intérêt i numériquement dans l’équation

alors que nous connaissons F, R et n nous donne

Rappel:

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et comme valeur initiale

Rappel:

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est équivalente à l’équation

Rappel:

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est équivalente à l’équation

Rappel:

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Les annuités générales seront celles pour lesquelles

• soit le taux d’intérêt varie avec les périodes de paiement

Rappel:

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Les annuités générales seront celles pour lesquelles

• soit le taux d’intérêt varie avec les périodes de paiement

• soit les périodes de paiement et de capitalisation sont différentes

Rappel:

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Les annuités générales seront celles pour lesquelles

• soit le taux d’intérêt varie avec les périodes de paiement

• soit les périodes de paiement et de capitalisation sont différentes

• soit que les paiements ne sont pas constants

Rappel:

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Soit une annuité consistant en n paiements de 1$ à la fin de chaque période. Le taux d’intérêt pour la ke période est ik et s’applique à tous les paiements de l’annuité pendant cette période. Sa valeur actuelle est

Rappel:

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Soit une annuité consistant en n paiements de 1$ à la fin de chaque période. Le taux d’intérêt pour la ke période est ik et s’applique à tous les paiements de l’annuité pendant cette période. Sa valeur actuelle est

Rappel:

Sa valeur accumulée immédiatement après le dernier

paiement est

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Soit une annuité consistant en n paiements de 1$ à la fin de chaque période. Le taux d’intérêt ik est applicable au ke paiement et est le même pour ce paiement pour chaque période. Sa valeur actuelle est

Rappel:

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Soit une annuité consistant en n paiements de 1$ à la fin de chaque période. Le taux d’intérêt ik est applicable au ke paiement et est le même pour ce paiement pour chaque période. Sa valeur actuelle est

Rappel:

Sa valeur accumulée immédiatement après le dernier paiement est

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Nous noterons ces valeurs actuelles et accumulées par analogie à ce que nous avons fait précédemment respectivement par

et

Rappel:

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Pour des annuités pour lesquelles les périodes de paiement et de capitalisation de l’intérêt sont différentes, soit la période de paiement est plus courte que celle de capitalisation de l’intérêt, soit la période de paiement est plus longue que celle de capitalisation de l’intérêt. Comme première méthode, il suffit de convertir le taux d’intérêt à un taux équivalent.

Rappel:

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Alex emprunte 10 000$ à la banque desNababs. Il remboursera ce prêt en faisant des paiements à la fin de chaque trimestre pendant 5 ans. Les versements pour les deux premières années sont de R dollars et pour les trois dernières années sont de 1.5R dollars. Le taux d’intérêt de ce prêt est le taux nominal i(12) = 9% par année capitalisé mensuellement.

Déterminons R.

Exemple 1:

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Si i(12) = 9%, alors le taux effectif d’intérêt équivalent est 9.380689767% par année. De ceci, nous obtenons que le taux nominal i(4) = 9.06766875% par année capitalisé trimestriellement est équivalent à i(12) = 9%. Conséquemment le taux d’intérêt par trimestre équivalent au taux i(12) = 9% est

Exemple 1: (suite)

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Le diagramme d’entrées et sorties est le suivant:

Exemple 1: (suite)

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L’équation de valeur à la date de comparaison t = 0 est alors

Exemple 1: (suite)

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L’équation de valeur à la date de comparaison t = 0 est alors

Exemple 1: (suite)

Nous obtenons alors R = 492.95$.

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Béatrice a accumulé 100000$. Elle utilise ce capital pour s’acheter une rente qui lui versera 1500$ par mois. Le premier versement de cette rente est fait un mois après son achat. Le taux d’intérêt est le taux effectif de i = 5% par année.

Combien de versements recevra-t-elle si elle désire utiliser tout ce capital, que tous les versements soient de 1500$, à l’exception du dernier qui sera gonflé?

Exemple 2:

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Si le taux effectif est i = 5%, alors le taux nominal d’intérêt i(12) équivalent est i(12) = 4.888948519% par année. De ceci nous obtenons que le taux d’intérêt par mois équivalent à i

est

Exemple 2: (suite)

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Dans un premier temps, nous allons déterminer n + k, avec n entier et k compris entre 0 et 1, tel que

Exemple 2: (suite)

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Nous obtenons ainsi que n + k = 77.94593822. Ainsi n = 77 et k = 0.94593822. La rente versera 76 versements de 1500$ et un dernier au montant de X dollars.

Exemple 2: (suite)

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Nous obtenons ainsi que n + k = 77.94593822. Ainsi n = 77 et k = 0.94593822. La rente versera 76 versements de 1500$ et un dernier au montant de X dollars. Le diagramme d’entrées et sorties est

Exemple 2: (suite)

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L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 0 est alors

Exemple 2: (suite)

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L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 0 est alors

Exemple 2: (suite)

Nous obtenons que X = 2913.31$. Ainsi Béatrice recevra 76 versements mensuels de 1500$ et un dernier versement de 2913.31$.

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Nous allons maintenant développer la seconde méthode. Il s’agit d’une approche théorique. Il faut distinguer les deux

cas selon que la période de paiement est plus longue ou plus courte que la période de capitalisation.

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Nous allons maintenant considérer les annuités pour lesquelles la période de paiement est plus longue que celle de

la capitalisation de l’intérêt. Nous supposerons qu’il y a k périodes de capitalisation de l’intérêt dans une période de

paiement. L’exemple 1 est dans cette situation.

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Nous noterons le terme de l’annuité, c’est-à-dire sa durée, par n et celui-ci est mesuré en périodes de capitalisation.

Le taux d’intérêt par période de capitalisation sera noté par i et (1 + i) est le facteur d’escompte.

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Il y aura (n/k) paiements parce qu’il y a k périodes de capitalisation dans une période de paiement.

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Considérons maintenant une annuité consistant en (n/k) paiements de 1$ faits à la fin de chacune des périodes de

paiement.

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Nous allons maintenant déterminer la valeur actuelle de cette annuité. Nous noterons celle-ci par L dans le diagramme

d’entrées et sorties suivant.

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Diagramme d’entrées et sorties:

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Algébriquement nous obtenons que cette valeur actuelle L est

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Algébriquement nous obtenons que cette valeur actuelle L est

Il est aussi possible de donner une explication de cette formule en termes d’annuités.

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Nous allons maintenant déterminer la valeur accumulée de cette annuité au dernier versement. Nous noterons celle-ci par

X dans le diagramme d’entrées et sorties suivant.

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Diagramme d’entrées et sorties:

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Algébriquement nous obtenons que cette valeur accumulée X est

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Algébriquement nous obtenons que cette valeur accumulée X est

Il est aussi possible de donner une explication de cette formule en termes d’annuités.

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Carole a emprunté 20 000$ qu’elle remboursera en faisant 36 paiements trimestriels égaux, le premier étant fait 3 mois après le prêt. Le taux d’intérêt de ce prêt est le taux nominal d ’intérêt i(12) = 9% par année capitalisé mensuellement. Notons par R: le montant de ces paiements trimestriels.

Nous voulons déterminer R.

Exemple 3:

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Carole a emprunté 20 000$ qu’elle remboursera en faisant 36 paiements trimestriels égaux, le premier étant fait 3 mois après le prêt. Le taux d’intérêt de ce prêt est le taux nominal d ’intérêt i(12) = 9% par année capitalisé mensuellement. Notons par R: le montant de ces paiements trimestriels.

Nous voulons déterminer R.

Dans cette situation k = 3, n = 36 x 3 = 108 périodes de capitalisation et i = 9%/12 = 0.75%.

Exemple 3: (suite)

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L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 0 est

Exemple 3: (suite)

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L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 0 est

Nous obtenons ainsi que R = 818.68$.

Exemple 3: (suite)

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Si nous avions utilisé la première méthode, il nous faudrait calculer le taux d’intérêt par trimestre équivalent au taux nominal i(12) = 9%. Nous obtenons ainsi le taux effectif équivalent au taux nominal i(12) = 9% est 9.380689764% et conséquemment le taux nominal i(4) équivalent à i(12) = 9% est i(4) = 9.06766874%. Donc le taux par trimestre équivalent au taux i(12) est 2.266917185%.

Exemple 3: (suite)

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Conséquemment l’équation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est

Nous obtenons là aussi que R = 818.68$.

Exemple 3: (suite)

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Dora dépose 20 000$ tous les ans pendant 10 ans. Les dépôts sont faits à la fin de l’année. Le taux d’intérêt de ce placement est le taux nominal i(365) = 3.65% par année capitalisé quotidiennement. Nous voulons déterminer le montant accumulé à la fin de la dixième année.

Exemple 4:

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Dora dépose 20 000$ tous les ans pendant 10 ans. Les dépôts sont faits à la fin de l’année. Le taux d’intérêt de ce placement est le taux nominal i(365) = 3.65% par année capitalisé quotidiennement. Nous voulons déterminer le montant accumulé à la fin de la dixième année.

Dans cette situation k = 365, n = 10 x 365 = 3650 périodes de capitalisation et i = 3.65%/365 = 0.01%.

Exemple 4: (suite)

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La valeur accumulée recherchée est

Exemple 4: (suite)

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Si nous avions utilisé la première méthode, il nous faudrait calculer le taux effectif d’intérêt par année équivalent au taux nominal i(365) = 3.65%. Nous obtenons ainsi que ce taux effectif équivalent au taux nominal i(365) = 3.65% est 3.717241117%. Donc la valeur accumulée recherchée est

Exemple 4: (suite)

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Reprenons l’exemple 1, mais avec cette autre approche. Alex emprunte 10000$ à la banque desNababs. Il rembourse ce prêt en faisant des paiements à la fin de chaque trimestre pendant 5 ans. Les versements pour les deux premières années sont de R dollars et pour les trois dernières années sont de 1.5R dollars. Le taux d’intérêt de ce prêt est le taux nominal i(12) = 9% par année capitalisé mensuellement.

Exemple 5:

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Il s’agit d’une annuité ayant 8 paiements de R dollars et d’une annuité différée ayant 12 paiements de 1.5R dollars. Nous allons calculer la valeur actuelle (à t = 0) de chacune des annuités.

Dans les deux cas, le taux d’intérêt par mois est (i(12)/12) = (9%/12) = 0.75%.

Exemple 5: (suite)

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Pour la première annuité, celle ayant 8 paiements trimestriels au montant de R dollars, alors k = 3 et n = 8 x 3 = 24. Sa valeur actuelle est

Exemple 5: (suite)

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Pour la deuxième annuité, celle ayant 12 paiements trimestriels au montant de 1.5R dollars, alors k = 3 etn = 12 x 3 = 36. Sa valeur actuelle est

Exemple 5: (suite)

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L’équation de valeur à t = 0 est alors

Exemple 5: (suite)

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L’équation de valeur à t = 0 est alors

Nous obtenons alors que R = 492.95$.

Exemple 5: (suite)

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Noter que pour la seconde annuité il faut escompter de 24 périodes de capitalisation, c’est-à-dire 8 périodes de paiement, la valeur

pour obtenir la valeur à t = 0.

Exemple 5: (suite)