ACELERACIÓN - s345683fd1666195f.jimcontent.com · Figura. A.1 Aceleración normal y tangencial ... la componente normal). La magnitud y sentido de la componente deslizante se obtiene

UNIVERSIDAD DE CARABOBO FACULTAS DE INGENIERÍA

ESCUELA DE INGENIERÍA MECÁNICA DPTO. DISEÑO MECÁNICO Y AUTOMATIZACIÓN

ASIGNATURA: MECANISMOS CÓDIGO: DA5M03 Prof.: Carlos Morales Rev.: Dic 2.006

ACELERACIÓN

MANUAL DE MECANISMOS

ACELERACIÓN

UNIVERSIDAD DE CARABOBO FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA DE INGENIERÍA MECÁNICA DPTO. DISEÑO MECÁNICO Y AUTOMATIZACIÓN PÁGINA: 5-A – 1 de 16


INTRODUCCIÓN

El estudio de las aceleraciones en los mecanismos articulados coplanares se puede

abordar ya sea por métodos analíticos o por métodos gráficos. Este capítulo se

determinará las aceleraciones para cualquier punto de un mecanismo haciendo uso del

método gráfico de los Polígonos de Aceleración. Para su comprensión y desarrollo es

necesario el conocimiento y dominio de los polígonos de velocidades. La complejidad

de este tema se debe principalmente a la incorporación de nuevos conceptos, como la

aceleración de Coriolis, y la necesidad de trabajar con sistemas de ecuación

vectoriales más complejas que las utilizadas en los polígonos de velocidades. Este

último aspecto se deriva del requerimiento de desglosar los vectores de aceleración en

dos componentes para cada punto (normal y tangencial). A diferencia del análisis

gráfico de velocidad, los centros instantáneos de aceleración no serán tratados en este

manual por su poca incidencia en los estudios cinemáticos de los mecanismos.


ACELERACIÓN




ÍNDICE

ACELERACIÓN .............................................................................................................................................. 4

A.1 Polígono de Aceleración ................................................................................................................. 5

A.1.1 Aceleración Relativa / Diferencia de Aceleración ................................................................. 5

A.1.2 Aceleración Relativa / Aceleración de Coriolis ..................................................................... 6

A.2 Polígono de Aceleraciones. Ejercicio............................................................................................ 12

REFERENCIAS ......................................................................................................................................... 13


ACELERACIÓN




Lista de figuras

Figura. A.1 Aceleración normal y tangencial ................................................................................ 4

Figura. A.2 Aceleración Relativa ................................................................................................... 5

Figura. A.3 Perfil de Aceleraciones ............................................................................................... 5

Figura. A.4 Aceleración de Coriolis ............................................................................................... 6

Figura. A.5 Dirección de la Aceleración de Coriolis. Corredera curva ........................................... 8

Figura. A.6 Polígono de aceleraciones. Corredera curva ............................................................. 8

Figura. A.7 Dirección de la Aceleración de Coriolis. Corredera recta ............................................ 10

Figura. A.8 Polígono de aceleraciones. Corredera recta .............................................................. 10

Figura. A.9 Mecanismo equivalente al portador curvo .................................................................. 11

Figura. A.10 Polígono de velocidades del mecanismos de 6 barras ............................................... 12

Figura. A.11 Polígono de aceleraciones en el punto A del mecanismos de 6 barras ...................... 13

Figura. A.12 Perfil de aceleraciones en la barra 4 del mecanismos de 6 barras ............................. 14

Figura. A.13 Polígono de aceleraciones de la barra 5 del mecanismos de 6 barras........................ 14


ACELERACIÓN




ACELERACIÓN En el estudio de los mecanismos la aceleración representa un parámetro básico para la evaluación de las fuerzas de inercia. Al igual que en la velocidad, la aceleración puede determinarse a partir de métodos analíticos y por métodos gráficos. Si bien los métodos gráficos tienen sus limitaciones, su estudio es de gran importancia para la comprensión cinemática de los mecanismos y sirve como herramienta para la verificación de resultados obtenidos a partir de ecuaciones.

La aceleración se define como la razón de cambio de velocidad respecto del tiempo de un punto o partícula que pertenece a un cuerpo.

La aceleración, como la velocidad, es una cantidad vectorial; y se define como la derivada de la velocidad respecto del tiempo.

La aceleración angular se representa como α y la aceleración lineal como A, donde:

dtdω

=α dtdVA = (ec.a. 1)

A diferencia de la velocidad, la aceleración de una partícula que rota respecto a un punto tiene dos componentes; la aceleración normal o radial y la aceleración tangencial o transversal. Ver figura A.1.

Figura. A.1. Aceleración normal y tangencial

La aceleración normal nA se presenta debido a la dirección cambiante del vector de velocidad cuando un punto rota. La dirección es siempre radial y su sentido va desde el punto que se encuentra en movimiento hacia el centro de rotación de referencia. La magnitud de la aceleración normal depende de la velocidad de la particula y del radio de rotación y viene dada por las siguientes ecuaciones:

RA 2n ×ω= RV

RRV

A22

n =×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

RV

A2

n =

Un caso especial de la aceleración normal es cuando la barra se encuentra en traslación pura. Cuando un cuerpo se traslada el radio de rotación tiende a infinito y la aceleración normal es igual a cero (R=∞ ⇒ An=0).

La aceleración tangencial tA se define como la razón del cambio de la aceleración angular. La dirección es tangencial a la trayectoria (90º de la An) y el sentido está dado por la aceleración angular. La magnitud de la aceleración tangencial depende de la aceleración angular y del radio de rotación y viene dada por la siguiente ecuación:

RAt ×α= (ec.a. 4)

tn AAA += (ec.a. 2)

(ec.a. 3)


ACELERACIÓN




A.1 Polígono de Aceleración A diferencia de la velocidad, para la aceleración sólo se puede emplear el polígono de aceleraciones como método gráfico para resolver problemas.

Para la aplicación del polígono de aceleraciones se requiere la comprensión del movimiento relativo entre dos partículas.

A.1.1 Aceleración Relativa / Diferencia de Aceleración Cuando la aceleración está referida a la tierra (sistema de referencia) se denomina aceleración absoluta. En cambio, cuando la aceleración esta referida a un observador que pudiera estar en movimiento se denomina aceleración relativa. La diferencia de aceleración está referida al movimiento relativo entre dos partículas que pertenecen a un cuerpo rígido (barra). Ver figura A.2.

La ecuación de diferencia de aceleración se puede expresar de la siguiente forma

tA/B

nA/B

tA

nA

tB

nB AAAAAA +++=+ (ec.a. 6)

Perfil de Aceleraciones (P.A.) Como las partículas que pertenecen a una barra tienen la misma velocidad y aceleración angular cuando éstas están rotando, las dos componentes de la aceleración (An y At) son directamente proporcionales al radio de rotación. Como se observa en la figura A.3, la dirección del vector de aceleración siempre mantiene la misma inclinación respecto al radio y su sentido corresponde al de la aceleración angular.

Figura. A.3. Perfil de Aceleraciones

Se define perfil de aceleraciones como el lugar geométrico donde se representan todas las magnitudes de los vectores de aceleración que pertenecen a una misma barra. En los perfiles de aceleración los vectores tienen la misma dirección y sentido.

Figura. A.2. Aceleración Relativa

Por definición se tiene que:

B/AAB AAA += (ec.a. 5)

AA = aceleración absoluta del punto A observado desde la referencia

AB = aceleración absoluta del punto B observado desde la referencia

AB/A= aceleración relativa del punto B observado desde el punto A

0


ACELERACIÓN




A.1.2 Aceleración Relativa / Aceleración de Coriolis Un caso especial es el movimiento relativo entre dos puntos coincidentes en barras distintas. En este caso se va a considerar el movimiento deslizante entre dos eslabones. La aceleración relativa está compuesta por tres vectores: La aceleración normal, la aceleración deslizante (equivalente a la tangencial) y la aceleración de Coriolis. Ver figura A.4.a.

a) Corredera curva b) Corredera recta

Figura. A.4. Aceleración de Coriolis

Aceleración normal: Esta aceleración no representa la componente usual de dos puntos en el mismo cuerpo. El módulo de la aceleración normal se puede calcular a partir de la siguiente ecuación

R

VA

2Sn = (ec.a. 7)

Donde VS es el módulo de la velocidad deslizante (velocidad relativa entre dos puntos coincidentes) y R es el radio de curvatura instantáneo de la trayectoria de la corredera respecto al portador. Un caso particular es el mostrado en la figura A.4.b, donde el movimiento entre las dos superficies es lineal, es decir el portador se representa con una barra recta; en este caso R = ∞ An = 0.

La dirección y sentido de la aceleración normal de dos puntos coincidentes (deslizantes) va desde el punto en movimiento “C” hacia su centro relativo de rotación “X”.

Aceleración Deslizante: Este componente representa la derivada de la velocidad deslizante y su dirección coincide con la de la velocidad deslizante (tangente a la superficie deslizante o perpendicular a la componente normal). La magnitud y sentido de la componente deslizante se obtiene de la resolución gráfica del polígono de aceleración.

Aceleración de Coriolis: Esta aceleración se produce cuando un punto está girando y simultáneamente cambiando su radio de rotación respecto a un punto de referencia. El módulo de la aceleración de Coriolis se determina a partir de la siguiente ecuación:

SPortador

cCoriolis V2AA ×ω×== (ec.a. 8)

Como se puede observar la aceleración se presenta cuando simultáneamente la partícula está rotando (ωPortador) y está cambiando la distancia del centro de rotación VS. Si alguno de los dos componentes es igual a cero la aceleración de Coriolis desaparece (Ac = 0).

La dirección y sentido de la aceleración de Coriolis se establece de acuerdo al siguiente enunciado: La aceleración de Coriolis está 90° de la velocidad deslizante en sentido de la velocidad angular del Portador.


ACELERACIÓN




Polígono de Aceleraciones / Aceleración de Coriolis con Portador curvo En el mecanismo de cuatro barras que se muestra a continuación se aprecia como se puede desarrollar la ecuación y el polígono de aceleración cuando hay presente una corredera que genera un deslizamiento no lineal respecto al portador. El análisis considera como variables conocidas la velocidad y aceleración angular del portador.

La ecuación tiene como premisa que el polígono de velocidades se ha desarrollado con antelación y se procede a determinar la aceleración angular de la corredera (componente de aceleración tangencial).

Portador / CorrederaPortadorCorredera AAA +=

P / CPC AAA += (ec.a. 9)

Como el portador presenta una curvatura de radio conocido es necesario incorporar a la aceleración relativa la componente normal; en adición a las componentes deslizante y de Coriolis.

cP/C

nP/C

sP/C

tP

nP

tC

nC AAAAAAA ++++=+ (ec.a. 10)

Para desarrollar la ecuación vectorial del polígono de aceleraciones se debe analizar separadamente los módulos y las direcciones como si se tratara de dos ecuaciones. Si el análisis arroja dos incógnitas, ya sean módulos o direcciones, la ecuación tiene resolución vectorial.

Para el análisis suele ser conveniente expresar la aceleración angular en función de vectores de velocidad conocidos de las barras, en lugar de la velocidad angular.

V nCA + t

CA = nPA + t

PA + sP/CA + n

P/CA + cP/CA

M CQV 2

C + ? = PRV 2

P + PRP ×α

+ ? + PXV 2

P/C

+ S

P/CP V2 ×ω×

D QC →

+ CQ⊥

= RP →

+PR⊥

+

PX⊥

( )s// V + XP →

+

// PX

( )Vs

⊥

En el polígono de aceleración se desarrolla la suma vectorial de cada lado de la igualdad desde el polo, comenzando por los vectores conocidos (módulo y dirección) y dejando para el final de cada sumatoria los vectores desconocidos.

Para la figura A.5, el lado derecho de la ecuación se inicia con el vector de aceleración normal del punto C y finaliza con la dirección de la componente tangencial del mismo punto.

Para el lado derecho se inicio la suma vectorial con las componentes tangencial y normal del punto P, seguido de la componente normal y de Coriolis de la aceleración relativa y al final se indicó la dirección de la componente deslizante de la aceleración relativa (C/P).

El sentido de la aceleración tangencia tPA corresponde al sentido de la aceleración angular del portador.


ACELERACIÓN




Como se observa en la figura A.5, el sentido de la aceleración de Coriolis se determina girando el vector de la velocidad deslizante 90º en sentido de la velocidad angular del Portador.

Figura. A.5. Dirección de la Aceleración de Coriolis. Corredera curva

El orden de la sumatoria de vectores en el polígono de aceleraciones de la figura A.6 se puede alterar en caso que se desee evitar la superposición de los vectores; sin embargo, lo más adecuado es mantener la secuencia indicada en la ecuación vectorial.

Figura. A.6. Polígono de aceleraciones. Corredera curva

Como se puede observar en el polígono de aceleración de la figura A.6, la solución al sistema de ecuaciones se obtiene cuando ambos lados sistema se igualan. La solución corresponde a la intercepción de la dirección de la aceleración deslizante (lado derecho de la igualdad) con la dirección de la aceleración tangencial de la corredera (lado izquierdo de la igualdad). Una vez identificados todos los vectores se pueden obtener gráficamente las magnitudes de las aceleraciones.

A partir de la aceleración tangencial AtC se obtiene la aceleración angular αC.

CQ

AtC

C =α


ACELERACIÓN




Polígono de Aceleraciones / Aceleración de Coriolis con Portador recto En el mecanismo de cuatro barras que se muestra a continuación se puede apreciar como se desarrolla la ecuación y el polígono de aceleración cuando el portador es recto (radio infinito). El análisis considera como variables conocidas la velocidad y aceleración angular del portador.

La ecuación tiene como premisa que el polígono de velocidades se ha desarrollado con antelación (Velocidad Relativa V.3.2) y se procede a determinar el componente de aceleración tangencial de la corredera.

Al ser recto el portador, el radio de curvatura de la trayectoria es infinito y la componente normal igual a cero. De lo anterior se obtiene como componentes de la aceleración relativa la aceleración deslizante y la aceleración de Coriolis.

Portador / CorrederaPortadorCorredera AAA +=

P / CPC AAA +=

Para desarrollar la ecuación vectorial del polígono de aceleraciones se debe analizar separadamente los módulos y las direcciones como si se tratara de dos ecuaciones. Si el análisis arroja dos incógnitas, ya sean módulos o direcciones, la ecuación tiene resolución vectorial.

Para el análisis suele ser conveniente expresar la aceleración angular en función de vectores de velocidad conocidos de las barras, en lugar de la velocidad angular.

V nCA + t

CA = nPA + t

PA + sP/CA + c

P/CA

M CQV 2

C + ? =PRV 2

P + PRP ×α + ? + S

P/CP V2 ×ω×

D QC → + CQ⊥ = RP → + PR⊥ + sV// + PR⊥

En el polígono de aceleración se desarrolla la suma vectorial de cada lado de la igualdad desde el polo, comenzando por los vectores conocidos (módulo y dirección) y dejando para el final de cada sumatoria los vectores desconocidos.

Para la figura A.6, el lado derecho de la ecuación se inicia con el vector de aceleración normal del punto C y finaliza con la dirección de la componente tangencial del mismo punto.

Para el lado derecho se inició la suma vectorial con las componentes tangencial y normal del punto P, seguido de la aceleración de Coriolis y al final se indicó la dirección de la componente deslizante de la aceleración relativa.

El sentido de la aceleración tangencia tPA corresponde al sentido de la aceleración angular del portador.

0c

P/Cn

P/Cs

P/CtP

nP

tC

nC AAAAAAA ++++=+


ACELERACIÓN




Como se observa en la figura A.7, el sentido de la aceleración de Coriolis se determina girando el vector de la velocidad deslizante 90º en sentido de la velocidad angular del Portador.

Figura. A.7. Dirección de la Aceleración de Coriolis. Corredera recta.

El orden de la sumatoria de vectores en el polígono de aceleraciones de la figura A.8 se puede alterar en caso que se desee evitar la superposición de los vectores; sin embargo, lo más adecuado es mantener la secuencia indicada en la ecuación vectorial.

Figura. A.8. Polígono de aceleraciones. Corredera recta

Como se puede observar en el polígono de aceleración, la solución al sistema de ecuaciones se obtiene cuando ambos lados de la igualdad se igualan. La solución corresponde a la intercepción de la dirección de la aceleración deslizante (lado derecho de la igualdad) con la dirección de la aceleración tangencial de la corredera (lado izquierdo de la igualdad). Del polígono se puede obtener gráficamente las magnitudes de las aceleraciones antes señaladas.

A partir de la AtC se obtiene la αC.

CQ

AtC

C =α


ACELERACIÓN




Mecanismo de cuatro barras equivalente al portador curvo. Para mecanismos donde están presentes correderas con centros de curvatura conocidas se pueden emplear mecanismos equivalentes que permiten estudiar el comportamiento cinemático. Como se puede ver en la figura A.9, estos mecanismos se obtienen reemplazando el portador y la corredera por dos barras binarias. El portador es sustituido por una barra que va desde su punto de pivote hasta el centro de curvatura de la superficie del portador. El par cinemático de deslizamiento se reemplaza por una barra binaria que va desde el acople de la corredera hasta el centro de curvatura del portador. En caso de que la curvatura sea variable se debe utilizar el centro instantáneo de velocidad de la corredera respecto al portador.

Figura. A.9. Mecanismo equivalente al portador curvo


ACELERACIÓN




0n t n t s n cA2 A2 A4 A4 A2/ A4 A2/ A4 A2/ A4A A A A A A A+ = + + + +

00

A.2 Polígono de Aceleraciones. Ejercicio. A continuación se presenta una secuencia para determinar la aceleración del punto B del mecanismo indicado en la figura A.10, a partir de la velocidad conocida del punto A2. El polígono de velocidad ya desarrollado se muestra en el lado derecho del mecanismo (Polígono de velocidades V.3.3). Se debe destacar que cuando no se hace referencia a la aceleración angular de la barra motriz – barra 2 – se infiere que la velocidad angular es constante y por ende la aceleración angular es igual a cero.

Figura. A.10. Polígono de velocidades del mecanismos de 6 barras

1. El primer paso consiste en determinar todas las aceleraciones normales y de Coriolis presentes en el mecanismo. La dirección y sentido de los componentes normales van desde el punto de estudio hacia el centro de rotación respectivo. Todos los módulos son conocidos si se ha completado con antelación los polígonos de velocidades, ya que estos están en función de la velocidad y del radio.

2. Para la barra 2 – barra motriz o de entrada – la aceleración tangencial es cero debido que la aceleración angular de la barra es igual a cero (velocidad angular constante).

3. Para determinar la aceleración del punto B se debe primero determinar la aceleración del punto A4 (portador) a partir de la aceleración conocida el punto A2 (corredera). La ecuación vectorial se debe desarrollar planteando la aceleración relativa en función de la deslizante: corredera respecto al portador. Al aplicar la ecuación de aceleración relativa en las correderas se debe prestar atención que ésta se corresponda con la velocidad deslizante de la figura A.9 (relación corredera/portador).

A4A A A= +A2 A2 / A4 ⇒ ( A V↔A2 / A4 A2 / A4 )

4. Como el portador es recto, la magnitud de la aceleración relativa normal en la corredera es cero.


ACELERACIÓN




5. Al desglosar la ecuación en módulo y dirección (dos ecuaciones) se puede observar que el sistema se puede resolver ya que sólo existen dos incógnitas; que corresponden a los módulos de la componente tangencial del punto A4 y de la aceleración deslizante A2/A4.

V nA2A = n

A4A + tA4A + s

P/CA + cP/CA

M AP

V 2A2

= AQV 2

A4 + ? + ? +

SA2/A44 Vω2 ××

SA2/A4

A4V

AQV

2 ×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

D PA → = QA → + AQ⊥ +sA2/A4V//

AQ// + AQ⊥

6. La solución vectorial se observa en la figura A.11, donde primero se representaron los vectores conocidos desde el “polo” (paso 1) y posteriormente se representaron las direcciones de los vectores desconocidos (paso 2). La intersección de las dos direcciones representas la solución del sistema; siendo los segmentos los módulos de los vectores de aceleración de la componente tangencial del punto A4 y de la aceleración deslizante A2/A4 (AS).

Figura. A.11. Polígono de aceleraciones en el punto A del mecanismos de 6 barras

7. Para determinar el vector de aceleración del punto A4 se procede sumar vectorialmente sus componentes normal y tangencial como se indica en el paso 3 de la figura A.109.


ACELERACIÓN




8. El siguiente paso consiste en determinar la aceleración del punto C, para ello se desarrolla un perfil de aceleración (P.A.) en la barra 4 como se muestra en la figura A.12 (pasos 4, 5 y 6).

Figura. A.12. Perfil de aceleraciones en la barra 4 del mecanismos de 6 barras

9. Con la aceleración del punto C se procede a determinar la aceleración del punto B. Como se observa en la ecuación, se puede obtener vectorialmente la aceleración de B – junto con la componente tangencial de la aceleración relativa – a partir de la aceleración de C.

V BA = CA + nC/BA + t

CBA /

M ? = √ +BC

V 2C/B + ?

D .Sup// = √ + CB → + BC⊥

10. En la figura A.13 se observa la solución vectorial del sistema de ecuaciones planteado el cual da como resultado el módulo, la dirección y el sentido del vector de aceleración de B (pasos 7, 8 y 9).

Figura. A.13. Polígono de aceleraciones


ACELERACIÓN




NOTAS:

I. Se recomienda, en caso de no tener el valor de KA, determinar todas las aceleraciones normales y de Coriolis requeridas para resolver el problema.

II. Se debe establecer la relación entre el módulo de la aceleración y la distancia de papel (KA) tomando en cuenta los valores de aceleración calculados. Cada polo de aceleración tiene asociado un valor de KA.

III. Al aplicar la ecuación de aceleración relativa en las correderas se debe prestar atención que ésta se corresponda con la velocidad deslizante (relación corredera/portador).

IV. Si la barra es recta, la magnitud de la aceleración normal en la corredera es cero.

V. Todas las magnitudes, dirección y sentido de los vectores de aceleración normal y de Coriolis son conocidos.

VI. Para facilitar el desarrollo de los polígonos de aceleración es importante desarrollar los sistemas de ecuaciones. Estos nos permiten verificar que se tiene suficiente información para resolver el sistema de ecuaciones (dos ecuaciones – M y D – y dos incógnitas “?”)

VII. Las ecuaciones de las aceleraciones normales y de Coriolis se pueden desarrollar para ser calculadas a partir de los módulos de los vectores y no de las velocidades angulares.

VIII. Se debe tener presente que las ecuaciones de aceleración están expresada en función de valores “reales”. Para la incorporación de magnitudes de “papel” de deben tomar en cuenta los factores KS, KV y KA.

IX. Las aceleraciones de las partículas de una barra se pueden obtener empleando perfiles de aceleraciones cuando el centro de rotación es constante en el tiempo – rotación a partir de un par cinemático de rotación – y esté referido a la tierra u otra barra.

X. Cuando dos puntos pertenecen a una misma barra y su centro de rotación no es constante se debe resolver a través del polígono de aceleraciones para diferencia de aceleraciones.

XI. Cuando el portador es la barra de referencia (tierra) no hay Coriolis, ya que la velocidad angular del portador es cero (ω1=0).

XII. Se debe tener presente que los CIV no pueden ser empleados para resolver problemas de aceleraciones, ya que estos no representan a los Centros Instantáneos de Aceleración.

Papel Distancia

Realn Aceleració=Ka


ACELERACIÓN




REFERENCIAS

La revisión analítica de la derivación del vector de velocidad para obtener los vectores

de aceleración se puede realizar en la guía de Ojeda (6); sin embargo, en éste el

análisis sólo contempla las correderas rectas.

Se debe destacar que aún cuando todos los libros de mecanismos son idóneos para

abordar y profundizar el contenido de este capítulo, a continuación se reseñan algunas

recomendaciones. En los apuntes de Torrealba (1), en el Erdman (2) y en el Mabie (5)

el desarrollo del tema se ajusta más al enfoque adoptado por el manual (suma vectorial

como sistema de ecuaciones). El estudio de la aceleración de Coriolis tomando en

correderas no rectas (curvas) sólo es abordado por los apuntes de Torrealba (1), el

Shigley (4) y el Mabie (5), siendo este último el que hace referencia a los mecanismo

de cuatro barras equivalente al portador curvo. Por otro lado, en el manual se adoptó el

término deslizante – empleado en el Norton (3) – para referirnos al componente

tangencial de la aceleración relativa entre puntos coincidentes.

Documents

ACELERACIÓN - s345683fd1666195f.jimcontent.com · Figura. A.1 Aceleración normal y tangencial ... la componente normal). La magnitud y sentido de la componente deslizante se obtiene