AC MATHEMATIQUES

ELLIPSE

Projet : PRENUM-AC 2013 Page 1

PR

EN

UM

-AC

MATHEMATIQUES

Terminale C

ELLIPSE


Auteur :

MOUSSITOU Ronald Reagan, Etudiant à l’Ecole Normale Supérieure

de l’Université Marien NGOUABI ….. Congo-Brazzaville…..

Encadreur : BONAZEBI YINDOULA, enseignant au lycée

Savorgnan de Brazza

Projet : PRENUM-AC « Production des ressources numériques pour l’enseignement des

Mathématiques au secondaire en Afrique Centrale »

ELLIPSE


Table des matières

1- Historique…………………………………………………………………………………………………4 2- Objectifs pédagogiques…….……………………………………………………………….............4

3- Place dans le programme……………………………………………………………………………4 3.1- Prérequis…………………………………………………………………………………..…...4 3.2- Intérêt du cours………………………………………………………………………………5 4- Répartition Horaire…………………………………………………………………………………….5 5- Différentes approches d’une ellipse……………………………………………………………...5

I- Activités Préparatoires……………………………………….……………………………..………..5 a- Enoncé de l’activité préparatoire 1…………………..……………………………..……..5

b- Enoncé de l’activité préparatoire 2……………………..…………………………………6

c- Analyse à priori……………………………….……………………..……………………………..6

d- Résolution des activités préparatoires ………………………..…………………………6

e- Analyse à postériori………………………………………………………..…………………..…8

II- Cours……………………………………………………………………………………..………………..…8 A- Définitions……………………………………………………………………………………………………...….8

1- Définition Monofocale…………………………………………………………………………………..8 2- Définition Bifocale………………………………………………………………………………………..8 3- Définition analytique……………………………………………………………………………………8

B- Eléments caractéristiques………………………………………………………………………….………9 1- Tableau récapitulatif des éléments caractéristiques……………..…………………….10 2- Groupe des isométries d’une ellipse……………………………………………………………..11 3- Cas particulier du Cercle……………………………………………………………………………..12 4- Représentation paramétrique d’une ellipse………………………………………..………..12

C- Construction d’une ellipse……………………………………………………………………..………….12 1- Construction analytique……………………………………………………………………………...12 2- Construction point par point……………………………………………………….……..………..14 3- Construction par la méthode de la Bande de papier…………………..……….………..16 4- Construction par la méthode du jardinier………………………………..………………....17

D- Equation de la tangente……………………………………………………………………….…………..18 III- Exercices………………………………………………………………………………………….………..18

Bibliographie………………………………………………………………………………………………

Avertissement : Cette Resource a été rédigée en vue d’aider les apprenants et les enseignants à avoir une maîtrise de la notion d’ellipse. Les lecteurs spécialistes voudront bien, de ce fait excuser certaines précisions qu’ils pourraient juger inutiles, mais qui ne leur sont nullement destinées.

Introduction

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INTRODUCTION

1- Historique

Le traité perdu des Coniques d'Apollonius constitue la source principale qui conduit les scientifiques dans l'invention de ce qui deviendra la Géométrie analytique par l'étude des problèmes de lieu plan. Ces problèmes ont conduit à caractériser analytiquement les coniques. Certains scientifiques ont également inventé des systèmes pour expliquer le mouvement des planètes. En effet, en 1543 paraît l'ouvrage de Nicolas COPERNIC (1473-1543) intitulé "De Revolutionibus Orbium Coelestium" qui

propose une vision héliocentrique de l'Univers : les planètes effectuent une révolution autour du Soleil

en parcourant des orbites circulaires. Cependant, Parmi les phénomènes astronomiques les mieux connus du public, figure en bonne position le fait que les planètes se déplacent autour du soleil sur des trajectoires elliptiques. Ce nom ellipse, vient d'Apollonius de Perge. Bien que les mathématiciens grecs connaissaient de nombreuses propriétés de l'ellipse, c'est KEPLER qui leurs trouva une première application pratique importante. Il utilisa l'ellipse pour décrire le mouvement des planètes autour du soleil, et affirma que les orbites des planètes sont des ellipses dont le soleil occupe l'un des foyers.

2- Objectifs Pédagogiques 2.1- Objectif général

Réaliser des activités géométriques. 2.2- Objectif spécifique Maitriser la notion d’ellipse. 2.3- Objectifs opérationnels A l'issue de ce cours, l'élève doit être capable de :

a- Donner les éléments caractéristiques de l'équation d'une ellipse ;

b- Tracer une ellipse d'équation donner ;

c- Déterminer l'équation de la tangente en un point d'une ellipse d'équation donnée.

3- Place du cours dans le programme Ce cours est une partie du cours sur les coniques. 3.1- Prérequis : - Définition générale des coniques ; - Définition et propriétés des projections et symétries ; - Définition et propriétés des applications affines.

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3.2- L'intérêt de ce cours

Ce cours permettra aux apprenants de faire assoir leurs connaissances sur la notion d’ellipse et de comprendre que le cercle qui est connu de tout le monde n’est qu’un cas particulier d’une ellipse.

4- Répartition horaire : durée du cours 3h00.

5- Différentes approches d’une ellipse

L’ellipse se défini comme l’intersection d’un cône et d’un plan. L’ellipse est un lieu géométrique des points dans le plan vérifiant une certaine équation

appelée équation focal. L’ellipse est une courbe algébrique du second degré. En fin l’approche géométrique, la définition bifocale.

Dans le développement de cette ressource, nous allons nous appesantir sur les trois dernières approches.

a- Enoncé de l’activité préparatoire 1 (Définition Monofocale)

On considère la figure ci-après :

1- Construire le cercle , ensemble des points M tels que :

2- Justifier qu’il existe deux points et de , appartenant à , où est l’ensemble

des points M du plan tels que :

, le projeté orthogonal de M sur .

3- Soit M un point de distinct de A et A’.

Démontrer que

; On remarque que M est intérieur à (C).

Soit P un point de , distinct de et , et la perpendiculaire à en P.

Construire les points M de appartenant à . (on pourra constater que

.

4- En déduire une construction point par point de .

K F

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b- Enoncé de l’activité préparatoire 2 (Définition analytique)

Soit le plan est rapporté à un repère orthonormé .

On appelle f la fonction de dans qui à tout point du plan d’affixe associe le point

d’affixe

1- On pose . Exprimer en fonction de x et de y la partie réel et la partie

imaginaire de .

2- Déterminer l’ensemble (E) des points tels que appartienne à l’axe des réels.

3- On suppose que M décrit le cercle de centre O et de rayon 2. Déterminer un support de la

trajectoire du point .

c- Analyse à priori

En traitant ces activités, l’apprenant rencontrera des difficultés sur les points suivants :

- Démonstration de :

- Résolution de la troisième question de l’activité 2, car il faut avoir l’inspiration d’écrire la

représentation paramétrique d’un cercle

d- Résolution des activités préparatoires

Solution 1

1- Construction de (C).

Comme

, on a :

.

( )( ) ,

I=bar{(F,3), (K,2)} et J=bar{(F,3), (K,-2)}

On obtient :

5 =0, donc (C) est le cercle de diamètre [IJ].

2- Justification de l’existence de A et A’.

Posons A=I et A’=J. Puisque I et J sont situés sur ( ), en projetant les deux point sur (D), on

trouve le point K. Alors

et

sont vérifiées.

3- Démontrons que

.

Puisque le triangle MHK est rectangle en H, on a : pour ( )

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, on a :

⇒

.

Puisque M est distinct de A et A’, on obtient :

.

4- Construction du point :

Le point M est un point de ( ). La distance MP est telle que : MP=√

(d’après le

théorème de Pythagore) Solution2

1-

On pose ,

(

)

On en déduit :

et

2- M appartient à l’axe des réels ,

Par conséquent, { } 3- M décrit C(O,2)

On a :

On en déduit :

et

Ainsi :

Le support de la trajectoire du point M’ est la courbe d’équation :

( )

( )

K F P

F

P

M H

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e- Analyse à postériori

A- Définitions 1- Définition Monofocale :

Soit une droite, un point du plan n’appartient pas à et e un nombre réel strictement

positif tel que . L’ensemble des points du plan dont le rapport des distances à et à

est constant et égal à , c’est-à-dire

où est le projeté orthogonal de sur , est

appelé ellipse.

2- Définition Bifocale :

On appelle ellipse, le lieu des points d’un plan dont la somme des distances à deux points fixes est

constante. C’est-à-dire : soient et deux points distincts d’un plan . L’ellipse est

l’ensemble des points du plan tel que :

3- Définition Analytique :

On considère la figure suivante :

F A A’ F’ Ω

H M

,

K

F

K

M

H

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Posons ΩA= ΩF=

On a :

Considérons le repère orthonormé , tel que :

‖ ‖

Dans ce repère, soit (

)

puisque

Posons

On obtient :

Ainsi, dans le repère ci-dessus admet pour équation :

NB : Le point Ω, l’origine du repère est centre de symétrie de En effet,

. C’est pour cette raison que l’ellipse

est une conique à centre.

B- Eléments caractéristiques 1- Tableau récapitulatif des éléments caractéristiques

Considérons l’ellipse définie par son équation réduite :

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Equation

Demi- distance focale √ √

Paramètres

Excentricité

Sommets

( ), (

) (

), (

)

Foyers ( ), (

) (

), (

)

Axes Axe focal : (AA’) Grand axe : (AA’) Petit axe : (BB’)

Axe focal : (BB’) Grand axe : (BB’) Petit axe : (AA’)

Cercles remarquables Cercle principal : Cercle secondaire :

Cercle principal : Cercle secondaire :

Proposition 1

Soit une ellipse. La définition bifocale et la définition analytique sont équivalentes.

Démonstration

On sait que si , alors :

√ √

(√ √ )

√ √ et et

et

⇒

Réciproquement, soit l’ellipse d’équation :

dans le repère orthonormé dont l’axe

focal est (ox), alors : F(c,0), F’( c,0),

, (D) : x=

et (D’) : x=

.

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Comme l’ellipse est entièrement située entre ses directrices (D) et (D’), on a pour : d(M,

(D))+ d(M, (D’))=d((D),(D’))=2

Donc, MF+MF’= d(M, (D))+ d(M, (D’))= (d(M, (D))+ d(M, (D’)))= d((D),(D’))=

2

=2

Ainsi, MF+MF’=2

Proposition : Une partie d’un plan affine euclidien (P) est une ellipse si et seulement si il existe

un repère orthonormé ( ) de (P) par rapport auquel est la courbe d’équation :

L’unicité de cette équation et des axes du repère va résulter de l’étude des isométries

qui conservent une ellipse.

2- Groupe des isométries d’une ellipse Soit une ellipse et ( ) un repère orthonormé introduit dans son étude analytique.

Dans ce repère, l’équation de est :

avec 0 . Soit M un point de de coordonnées (x, y). On a :

= = (

) (

)= ,

L’égalité étant possible seulement si M=A ou M=A’, c’est-à-dire y=0.

On a donc caractérisé géométriquement A, A’ et a : A et A’ sont les points les plus

éloignés du centre de et a est la distance maximum de O à un point de .

Soit f une isométrie qui conserve : =f( ). On a, a=OA=f(O)f(A)=Of(A) et donc

f(A) {A, A’}. L’isométrie f conserve {A, A’} c’est-à-dire que f est l’une des isométries

suivantes :

1- L’application identité ;

2- La réflexion par rapport à la droite (AA’) ;

3- La réflexion par rapport à la médiatrice de [AA’] ;

4- La symétrie centrale de centre O.

Remarquons que ces quatre isométries conservent les courbes de la forme : C( F, D, e).

Elle constituent donc le Groupe des isométries de l’ellipse .

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3- Cas particulier du cercle

Soit l’ellipse définie par son équation réduite :

Si , c’est-à-dire , alors l’équation de devient : ce qui est bien

l’équation du cercle de centre O et de rayon .

Ainsi, un cercle est une ellipse d’excentricité nulle. Les foyers sont confondus en O, centre

du cercle et dont les directrices sont repoussées à l’infini.

4- Représentation paramétrique d’une ellipse

Soit l’ellipse d’équation :

Pour tout , on a : M ⇔

⇔

⇔⇔

Ainsi, l’ellipse d’équation

a pour représentation paramétrique : {

(

C- Construction d’une ellipse

1- Construction analytique

Soit l’ellipse d’équation

.

équivaut à :

√

√

L’ellipse est donc la réunion des graphes des fonctions :

√ et

√

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Etude de

- Ensemble de définition

est définie Ainsi,

. Donc aux points A(a,0) et

A(-a,0), la courbe de admet deux demi-tangentes verticales.

- Calcul de la dérivée

√

0

+ -

0

b

0

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Définition 1: Soit une droite de et un réel non nul.

L’affinité orthogonale de base et de rapport est l’application :

Telle que :

’

A’

A

B

B’

F

O

b

a

c

A A’

B

B’

b

c

O F F’

2- Construction point par point

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Théorème 1:

L’ellipse est l’image de son cercle principal (respectivement de son cercle

secondaire ) par l’affinité orthogonale de (respectivement ) et de rapport

(respectivement

).

Plus généralement, l’image d’un cercle par une affinité orthogonale est une ellipse.

Démonstration : Soit f l’affinité orthogonale de base et de rapport

, son expression

analytique dans le repère s’écrit : {

L’équation de est : , donc celle de s’écrit :

Soit,

.

On a bien ( )

Plus généralement, soit f l’affinité orthogonale de base et de rapport .

Soit le cercle d’équation : . L’expression analytique

de f dans s’écrit : {

L’image sera d’équation :

.

Ou encore

.

On reconnaît alors l’équation réduite d’une ellipse de centre d’axe

de symétries les droites passant par et parallèles à et et de longueur de demi-

axes r | | .

= ellipse

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NB : Ce que nous venons de faire donne une méthode simple pour construire

l’ellipse point par point

Proposition 3 : Le point M(acost, bsint) de est l’image à la fois du point

(acost, asint) par l’affinité orthogonale d’axe (ox) et de rapport

et du point (bcost,

bsint) par l’affinité orthogonale d’axe (oy) et de rapport

le point M est donc à

l’intersection de la perpendiculaire à (ox) passant par et de la perpendiculaire à (oy)

passant par .

2- Construction d’une ellipse par la méthode de la

« Bande de Papier »

Proposition 4 : Soient P et Q deux points de E respectivement sur (Ox) et (Oy) de sorte

que la longueur de PQ soit constante. Soit M [PQ] tel que MP=a et MQ=b avec a et b deux

constantes telles que a+b=PQ. Alors M .

M

O

C(0,a)

C(0,b)

x

y

Q

P

H

M

O

t

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Démonstration : Soit le quatrième sommet d’un parallélogramme OQM et H le projeté

orthogonal de M sur (Ox). Comme O =a, décrit un cercle de centre O et de rayon a. D’après

le théorème de Thales, on a :

Ainsi, on déduit le point M de par l’affinité orthogonale de base (Ox) et de rapport

; celle-ci

transforme en l’ellipse d’axes (Ox) et (Oy), qui a pour demi-axes a et b.

NB : On remarque que P, Q , M sont sur le bord d’une bande de papier que l’on fait glisser de sorte

que P et Q restent respectivement sur les axes (Ox) et (Oy)

3- Construction d’une ellipse par la méthode du jardinier

Pour construire une ellipse avec la méthode du jardinier, on prend une ficèle dont la longueur est

supérieure au double de la distance entre deux piquets, pour former une boucle autour d’eux. Le

troisième piquet tendant la ficèle qui coulisse sur les deux piquets plantés, permet de tracer

l’ellipse sans interruption.

Les deux points où sont plantés les piquets sont les foyers de l’ellipse.

Q

M

P

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D- Equation de la tangente à une ellipse

Considérons l’ellipse d’équation réduite :

et P( ) .

Cherchons l’équation de la tangente (T) à en P.

Comme

, on a :

√

Premier cas : ( alors

√

)

Posons

√ , alors

√

Donc

√ et par conséquent :

(T) : =

√ =

=

=

=

=

En divisant cette équation par , on obtient :

( Car P )

Ainsi,

Deuxième cas : On procède de la même façon que dans le premier cas. On trouve :

III-

Devoir Sur table

Exercice n°1 (7 points)

Soit (P) un plan rapporté à un repère orthonormé .

A tout nombre complexe , on associe le point M(x, y), le conjugué de Z.

1- Soit (E) l’ensemble des points dont l’affixe vérifie la relation :

| |

Déterminer une équation cartésienne de (E).

2- Soit Rot la rotation de centre O dont une mesure de l’angle est

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a- Déterminer une équation cartésienne de (E’) image de (E) par Rot

b- Reconnaitre la nature de (E’)

c- Caractériser (E’)

d- Tracer (E’)

e- En déduire le tracer de (E).

Exercice n°2 ( 5 points)

Soit (E) l’ensemble de points M du plan P dans lui-même, qui à tout point M d’affixe Z associe le

point M’ d’affixe Z’ telle que :

.

1- Soit un réel et M le point d’affixe . Montrer que les coordonnées de M’ image de M

peuvent s’écrire :

{

√

(

)

√

(

)

2- Déduire que l’ensemble des points M’ lorsque décrit R est une ellipse.

3- Caractériser et construire (E).

Exercice n°3 (8 points)

Dans le plan rapporté au repère orthonormé , ; on considère l’équation :

(1)

Rappel : cette équation est de la forme :

a- Calculer . Que constatez-vous ?

b- Résoudre dans l’équation : .

c- Soit A la matrice définie par : [

]. Déterminer deux vecteurs unitaires et

dans la base tels que : avec les valeurs de x trouvées au b), et ( )

Calculer leur produit scalaire. Que dire de ces deux vecteurs ?

d- Soit √

√

et

√

√

On considère la matrice [

√

√

√

√

] dans la base . Exprimer en fonction de

tel que : [

√

√

√

√

] ( ) (

)

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e- En déduire l’équation réduite (2) en remplaçant dans (1).

Solution du devoir sur table

Exercice n°1

| |

1- Déterminons l’équation cartésienne de (E).

On sait que | |

On aura :

Ainsi l’équation de (E) est : .

2- Expression analytique de Rot(O,

) :

Rot(O,

{

√

√

√

√

Trouvons x et y en fonction de x’ et y’. on a :

{

√

√

√

√

a- Equation cartésienne de (E’) : en remplaçant x et y dans (E), on a :

√

√

(

√

√

)

(√

√

)(

√

√

)

⇒ (

) (

) (

)

⇒ (E’).

b- Reconnaissance de (E’).

D’après a) (E’) a pour équation : . On obtient :

(E’).

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Ainsi, (E’) est une ellipse.

c- Eléments caractéristiques de (E’) :

(E’) est de la forme :

avec

√

√

√

On obtient : sommets A(1,0), ; A’(-1,0), B( √

zt B’(

√

;

Foyers : F(√

, et F’(

√

; excentricité :

√

; Directrices : x=

√

et (D’) : x= √

; axe focal ; (o, ).

d- Tracer de (E’).

e- Déduisons le tracer de (E).

(E) est déduite de (E’) par la rotation de centre O et d’angle de mesure

.

A

A’

X

Y

X’

Y’

(E’)

(E)

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Exercice 2

1-

Pour , on obtient :

or, √

et √

On aura : √

√

=√

+√

Z’=√

(

)

√

(

) √ (

) √

Z’= √

(

)

√

(

)

Comme Z’=x’+iy’

On obtient : x’+iy’= √

(

)

√

(

)

Par identification, on a :

{

√

(

)

√

(

)

2- Déduisons que (E) est une ellipse.

D’après ce qui précède :

on a :

{

√

(

)

√

(

)

En élevant chaque membre de ce système au carré on obtient :

{

√

√

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Ainsi,

√

√

, car (

) (

) , ce qui a bien la forme réduite

de l’équation d’une l’ellipse.

3- Eléments caractéristiques.

(E) est de la forme :

avec

√

√

On obtient : sommets A( √

, 0) , A’(-

√

, 0), B(

√

et B’(

√

;

Foyers : F( , et F’( ; excentricité :

√

√

; Directrices : x=

et (D’) : x=

; axe focal ; (o, ).

DEVOIRS A FAIRE A LA MAISON

Devoir n°1

Exercice n°1

Soit S l’application du plan P dans lui-même qui à tout point M d’affixe Z associe le

point M’ d’affixe Z’ telle que : .

1- Donner la nature et les éléments caractéristiques de S.

2- Soit (E) l’ensemble des points M du plan ayant pour équation cartésienne :

. Déterminer l’ensemble (E’) image de (E) par S.

3- Donner la nature et les éléments caractéristiques de (E’).

Exercice n°2 Dans le plan P muni du repère orthonormé on définit les points A(1, 0), B(

,

C(

et (D) la droite d’équation : x=4.

1- Déterminer les coordonnées du point G tel que . Quelle est la nature du

quadrilatère ABGC ?

2- On note l’ensemble des points M(x, y) du plan vérifiant :

a- Montrer que est l’ensemble des points M vérifiant : √ où

désigne la distance du point M à la droite (D).

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b- En déduire la nature de et préciser ses éléments caractéristiques. Représenter

ensuite dans le repère orthonormé .

Exercice n°3

Dans le plan rapporté au repère orthonormé , on considère la courbe (E) dont une équation

cartésienne est : √ . f désigne la similitude plane directe de centre O, de

rapport

et d’angle

1- Ecrier l’expression analytique de f.

2- On désigne par (E’) l’image de (E) par f. Montrer que l’équation cartésienne de (E’) est :

3- a. Montrer que (E) est une ellipse.

b. On note A, A’, B et B’ les sommets de (E), préciser leurs coordonnées.

c. Préciser les foyers F et F’ de (E) puis tracer (E) et (E’).

Devoir n°2

Exercice n°1

Le plan (P) est rapporté à un repère .

1- On note l’affixe du point M de coordonnées .

a- Vérifier que l’ensemble des points M tels que est une

droite (D). Tracer (D)

b- Démontrer que pour tout point M, la distance de M à la droite (D) est :

| |

2- On note A le point d’affixe et (P’) le plan de (P) privé de la droite (D).

Soit E l’ensemble des points M d’affixe Z de (P’) tel que |

|

√

Démontrer que E est une ellipse dont en déterminera les éléments

caractéristiques.

Exercice n°2

Partie I : Le plan P est orienté non rapporté à un repère orthonormé. On

donne un segment [OA], A est l’image de C par la rotation de centre O et

d’angle de mesure

. B est le symétrique de C par rapport à O.

I désigne le centre de gravité du triangle ABC.

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1- Faire la figure

2- On considère l’ellipse (E) de foyer B et C passant par A.

a- Construire les points de (E) situés sur les demi-droite [CI) et [BI)

b- Tracer (E)

c- Calculer l’excentricité

3- Construire (E’) l’image de (E) par la similitude plane directe de centre C

qui transforme A en O.

Partie II : Le plan est rapporté à un repère orthonormé .

1- Ecrire l’équation cartésienne de (E).

2- Ecrire l’équation cartésienne de (E’).

Exercices d’application

Exercice 1

Le plan (P) est rapporté à un repère orthonormé .

Trouver l’équation cartésienne de l’ellipse de foyer F(0,2), de directrice (D) : x=5 et

d’excentricité

.

Exercice 2

Le plan est rapporté à un repère orthonormé.

Donner la nature et les éléments caractéristiques des courbes d’équations :

a)

b)

c) d)

Exercice 3

Tracer l’ellipse (C) d’équation : .

1- Déterminer une équation de la tangente à (C) aux points de (C) d’abscisse 4.

2- Déterminer une équation des tangentes à (C) ayant pour coefficient directeur

Exercice 4

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Dans chacun des cas suivants, donner la définition bifocale de l’ellipse (C).

a) (C) :

b) (C) :

Exercice 5

Soif F et F’ deux points du plan tels que : FF’=6

Déterminer, dans un repère convenablement choisi, l’équation réduite de l’ellipse

définie par : MF+MF’=8

Exercice 6

Dans chacun des cas suivants, déterminer une représentation paramétrique de

l’ellipse (C).

a)

b)

c)

Exercice 7

Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation de l’ellipse dont on donne

une représentation paramétrique.

a) {

b) {

Exercice 8

1- Soit

et . Déterminer une équation de l’ensemble(C) des points M

du plan tels que :

2- Déterminer une équation de l’image de (C) :

a) Par l’affinité orthogonale d’axe la droite de repère (o, ) et de rapport

;

b) Par l’affinité orthogonale d’axe la droite de repère (o, ) et de rapport 2.

Exercice 9

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Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé .

On considère l’ensemble (H) des points M(Z) tels que : | | √ | |

1- Donner la nature de (H)

2- Caractériser (H)

3- Tracer (H) et ses directrices.

Exercice 10

Le plan complexe (P) est rapporté au repère orthonormé . A tout point M du

plan d’affixe Z, , on associe le point M’ d’affixe

1- On pose où x et y sont des réels.

a- Exprimer en fonction de x et y la partie réelle x’ et la partie imaginaire y’ de

Z’.

b- Déterminer l’ensemble (E) des points M tels que M’ appartienne à l’axe des

réels

2- On suppose que M décrit le cercle de centre O et de rayon 2. On écrit Z sous la

forme ,

a- Exprimer x’ et y’ en fonction de t

b- En déduire que M’ décrit une ellipse (C) dont on déterminera le centre et

les sommets.

Exercice 11

1- Résoudre dans l’équation différentielle suivante : et déterminer les

solutions particulières vérifiant et , et .

2- Soit (П) la courbe de représentation paramétrique : {

Déterminer la nature de (П) et ses éléments caractéristiques. Tracer (П).

Exercice n°12

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé , on considère l’ensemble des points M(x, y)

tel que : { √

√

1- a- Vérifier qu’une équation cartésienne de (E) est :

b- Vérifier que l’équation (1) est équivalente à

ELLIPSE


(2)

c- Interpréter géométriquement chaque membre de (2). En déduire que (E) est une conique

dont on précisera la nature.

d- Montrer que O est centre de symétrie de (E) et préciser ses éléments : foyers, excentricité,

directrices.

2- Soit f l’application du plan orienté qui, à chaque point d’affixe Z associe le point M’ d’affixe

Z’ telle que

a- Donner la nature de f et ses éléments caractéristiques

b- Déterminer l’image de (E) par f. Préciser les éléments remarquables de cette image et la

construction.

Exercice 13

Dans le plan (P) rapporté au repère orthonormé , on considère la courbe (E) dont

une représentation paramétrique est : {

1- Définir la fonction vectorielle F associée à (E). 2- Montrer que F est périodique de période 3- a) par quelle transformation ponctuelle le point se déduit-il de

b) En déduire que F peut être étudiée sur 4- Etudier les variations de et sur 5- Dans un même tableau faire figurer les variations de et sur 6- Tracer (E).

Exercice 14

Soit (C) une ellipse de foyers F, F’ et de centre O. On note la longueur du demi

grand axe et c=OF.

Montrer que M

NB : c’est la définition trifocale de l’ellipse.

Exercice 15

Soit (C) une ellipse de centre O, soit M sur (C), on note M′ le symétrique de M par rapport à l’axe focal. La normale à M coupe (en général) la droite (OM′) en un unique point P. Quel est le lieu de P

lorsque M décrit (C) ?

ELLIPSE


Exercice 16

Soit , dans le plan muni d’un repère orthonormé direct, on considère l’ensemble de points

M de coordonnées ( ) telles que :

1- Quelle est la nature de si | | ?

2- Préciser l’ensemble .

3- Préciser les ensembles et .

4- On considère le repère obtenu par rotation d’angle de R, on note ( ) les

coordonnées de M dans ce repère. Comment choisir

pour que le terme en XY de

l’équation dans ce repère soit nulle ? quelle est alors l’équation de

5- En déduire les paramètres

.

Exercices 17

Soit (C) une ellipse de centre O, A et B deux points de (C) non alignés avec O, les tangentes en A et B se coupent en M. Montrer que M,O et le milieu I de [A,B] sont alignés.

Exercices 18

Soit ( ) une ellipse, pour M ∈ ( ) différent des sommets, la normale en M coupe le grand axe en C et le petit axe en C′. Montrer que le milieu de [C,C′] décrit également une ellipse (privée des sommets). Calculer son excentricité en fonction de celle de ( ).

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