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Inhalt
Vorwort Stichwortverzeichnis
Hinweise und Tipps zum Landesabitur 2018
Ablauf der Prüfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I Inhalte und Schwerpunktthemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Leistungsanforderungen und Bewertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Operatoren und Anforderungsbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Methodische Hinweise und allgemeine Tipps zur schriftlichen Prüfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX
Landesabitur 2014
A1: Analysis (WTR): x
x kk e
f (x) += . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014-1
A2: Analysis (CAS): 1 x x2
k(x) C (e e )λ ⋅ −λ ⋅λ= − ⋅ + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014-10
B1: Analytische Geometrie (WTR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014-18 B2: Analytische Geometrie (WTR / GTR / CAS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014-25 C1: Stochastik (WTR / GTR / CAS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014-33 C2: Stochastik (WTR / GTR / CAS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014-42
Landesabitur 2015
A1: Analysis (WTR): 2 c ta, b, cf (t) a b t e ⋅= + ⋅ ⋅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015-1
A2: Analysis (WTR): fk(x) = sin (x) + k ⋅ x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015-7
A2: Analysis (GTR / CAS): 0,094 t
1000 0001 15 000 e
f (t) − ⋅+ ⋅= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015-15
B1: Analytische Geometrie (WTR / GTR / CAS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015-22 B2: Analytische Geometrie (WTR / GTR / CAS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015-29 C: Stochastik (WTR / GTR / CAS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015-38
Fortsetzung siehe nächste Seite
Landesabitur 2016
A1: Analysis (GTR / CAS): 2
21k t at bt c
1 2at bt cg(t) a e , f (t) , f (t) e⋅ + +
+ += ⋅ = = . . . . . 2016-1
A2: Analysis (WTR): g(x) = 0,16x3 + 0,34x + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016-8
B1: Analytische Geometrie (WTR / GTR / CAS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016-15 B2: Analytische Geometrie (WTR / GTR / CAS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016-22 C: Stochastik (WTR / GTR / CAS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2016-30
Landesabitur 2017
A1: Analysis (WTR): f(t) = r ⋅ ek ⋅ t, g(t) = (– 0,5t2 + t + 2) ⋅ e – 0,5 ⋅ t,
2,66 t
0,350,1 3,4 e
h(t) − ⋅+ ⋅= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017-1
A2: Analysis (WTR / GTR): x
ag (x) a x e 0,1 a−= ⋅ ⋅ + ⋅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017-8
A2: Analysis (CAS): f(t) = a ⋅ bt, g(t) = 8 – 326,817 ⋅ 0,63t, 0,5 t8
1 100 eh(t) − ⋅+ ⋅
= . . . . . . . 2017-14
B1: Analytische Geometrie (WTR / GTR / CAS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017-21 B2: Analytische Geometrie (WTR / GTR / CAS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017-29 C: Stochastik (WTR / GTR / CAS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017-36
Sitzen alle mathematischen Begriffe? Unter www.stark-verlag.de/mathematik-glossar/ finden Sie ein kostenloses Glossar zum schnellen Nachschlagen aller wichtigen Definitionen mitsamt hilfreicher Abbildungen und Erläuterungen.
Die CD-ROM enthält Übungsaufgaben im Stil des Landesabiturs und weitere Original-Prüfungsaufgaben der Jahre 2014 bis 2017.
Jeweils zu Beginn des neuen Schuljahres erscheinen die neuen Ausgaben der Abiturprüfungsaufgaben mit Lösungen.
Vorwort
Liebe Schülerinnen und Schüler, dieses Übungsbuch ist die ideale Hilfe bei der Vorbereitung auf das Landesabitur 2018 im Fach Mathematik in Hessen.
• Sie erhalten im ersten Teil des Buches zahlreiche Informationen zum Abitur, deren Kenntnis für die gezielte Vorbereitung auf die Abiturklausur hilfreich und wichtig ist. Dazu gehören u. a. eine komplette Aufstellung der für das Landesabitur 2018 relevanten Themen, Hinweise zum genauen Ablauf der Prüfung sowie alles Wissenswerte zur Struktur und zu den Anforderungen der Prüfungsaufgaben.
• Sie finden darüber hinaus viele praktische Hinweise, die Ihnen sowohl in der Vorberei-tung auf das Abitur als auch während der Prüfung dazu verhelfen, die Abituraufgaben gut zu lösen.
• Dieser Band enthält die offiziellen, vom hessischen Kultusministerium gestellten Original-Abituraufgaben der Jahre 2014 bis 2017. Zu jeder Aufgabe wurden von unseren Autoren ausführliche Lösungen ausgearbeitet.
• Zusätzlich finden Sie auf der beigelegten CD-ROM viele Übungsaufgaben zu den Schwer-punktthemen des Landesabiturs 2018 und alle Original-Abituraufgaben des Leistungskur-ses Mathematik von 2014 bis 2017, die nicht in diesem Band abgedruckt wurden, sodass Ihnen diese Jahrgänge komplett vorliegen.
• Bei allen Original-Abituraufgaben sowie einigen der Übungsaufgaben auf der CD-ROM wurden von unseren Autoren Hinweise und Tipps ergänzt, die Ihnen Hilfestellungen für die Lösung der Aufgabe geben. Wenn Sie mit einer Aufgabe nicht zurechtkommen, schau-en Sie deshalb nicht gleich in die Lösungen, sondern nutzen Sie schrittweise die Lösungs-tipps, um selbst die Lösung zu finden.
• Zu allen Aufgaben sind vollständige und ausführlich kommentierte Lösungsvorschläge vorhanden. Sie ermöglichen Ihnen, Ihre Lösung eigenständig zu kontrollieren und die Re-chenwege Schritt für Schritt nachzuvollziehen.
Sollten nach Erscheinen dieses Bandes noch wichtige Änderungen in der Abitur-Prüfung 2018 vom Kultusministerium bekannt gegeben werden, finden Sie aktuelle Informationen dazu im Internet unter www.stark-verlag.de/pruefung-aktuell. Die Autoren wünschen Ihnen für die Prüfungsvorbereitung und für das Abitur viel Erfolg!
I
Hinweise und Tipps zum Landesabitur 2018
Ablauf der Prüfung
Die zentrale schriftliche Abiturprüfung Seit dem Schuljahr 2006 / 2007 gibt es in Hessen im Fach Mathematik zentrale schriftliche Abiturprüfungen. Die Aufgaben werden im Auftrag des hessischen Kultusministeriums von einer Fachkommission erstellt. Die Beurteilung der Lösungen der Schüler/innen wird von den jeweiligen Fachlehrer/innen durchgeführt. Es ist auch im Abitur 2018 davon aus-zugehen, dass die Zweitkorrektur durch Kollegen/innen anderer Schulen erfolgt. Die ver-bindlichen curricularen Vorgaben, nach denen in den drei ersten Schulhalbjahren der Qua-lifikationsphase der gymnasialen Oberstufe unterrichtet wird, bestimmen Inhalte und An-forderungen der Abituraufgaben. Hinzu kommt, dass die Bildungsstandards Mathematik verstärkt in den hessischen Abschlussarbeiten, also auch beim Landesabitur, in den Mate-rialvorgaben und Fragestellungen der Aufgaben berücksichtigt werden. Abgeleitet von den verbindlichen Vorgaben können für jeden Abiturjahrgang spezifische Vorgaben für Inhalte, Themen und Methoden – die Prüfungsschwerpunkte – vorgegeben werden.
Aufbau der Prüfungsaufgaben In der Prüfung wird Ihnen ein Aufgabenvorschlag vorgelegt, von dem Sie drei Aufgaben bearbeiten müssen. Die Zusammenstellung der Prüfungsaufgabe zeigt folgende tabellari-sche Übersicht: 1. Entscheidungsbereich Beginn der Jahrgangsstufe 12 Hier geht es um die Wahl der zu verwendenden Rechnertechnologie, also • Wissenschaftlicher Taschenrechner WTR • Grafikfähiger Taschenrechner GTR • Taschenrechner mit einem Computeralgebrasystem CAS
Diese Entscheidung treffen die jeweiligen Schüler/innen eines Kurses in Abstimmung mit ihrem /ihrer Kurslehrer/in und kann durchaus in der einzelnen Schule unterschiedlich sein. Die Entscheidung der ausgewählten Rechnertechnologie wird dem hessischen Kultus-ministerium dann mitgeteilt, d. h., nur die entsprechenden Aufgabenformate werden dann zur Abiturprüfung an die jeweiligen Schulen versandt.
II
2. Entscheidungsbereich für Leistungskurs Am Tag der Abiturprüfung
Aufgabe 1 Themenbereich Analysis
Aufgabe 2 Themenbereich Analytische Geometrie / lineare Algebra
Aufgabe 3 Themenbereich Stochastik
Wahl durch die Schülerin-nen und Schüler
Wahl durch die Schülerinnen und Schüler
Im Fachgebiet Stochastik gibt es keine Wahlmöglichkeit.
Aufgabe A1 oder A2 Schwerpunkt Analysis II
Aufgabe B1 oder B2 Schwerpunkt Analytische Geometrie und lineare Algebra
Aufgabe C Schwerpunkt Stochastik
Eine Prüfungsaufgabe könnte z. B. aus den Aufgaben A2, B2 und C bestehen.
Dauer der Prüfung Für die Bearbeitung der Aufgaben stehen Ihnen im Leistungskurs 240 Minuten zur Verfü-gung. Zusätzlich erhalten Sie eine Auswahlzeit von 45 Minuten. Die nicht ausgewählten Aufgaben geben Sie dann nach der Auswahlzeit an die aufsichtsführende Lehrkraft ab.
Zugelassene Hilfsmittel Die für die schriftliche Abiturprüfung im Fach Mathematik zugelassenen Hilfsmittel sind Wörterbücher der deutschen Rechtschreibung, die jeweilige Rechnertechnologie (WTR, GTR oder CAS), die im Unterricht verwendete Formelsammlung (Tafelwerk) sowie die Schreib- und Zeichengeräte, die im Fach Mathematik Anwendung finden. Im Falle außergewöhnlicher n und p (Stochastik) werden die entsprechenden Tabellen zur Bi-nomialverteilung bzw. zur Normalverteilung zur Verfügung gestellt. Taschenrechner der Kategorie WTR müssen über erweiterte Funktionalitäten zur numeri-schen Berechnung • von Nullstellen ganzrationaler Funktionen bis dritten Grades, • der (näherungsweisen) Lösung von Gleichungen, • der Lösung eindeutig lösbarer linearer Gleichungssysteme mit bis zu drei Unbekann-
ten, • der Ableitung an einer Stelle, • bestimmter Integrale, • von Mittelwert und Standardabweichung bei statistischen Verteilungen, • des Produktes zweier Matrizen (bis 3 × 3) und • der Inversen einer Matrix (bis 3 × 3) verfügen. Darüber hinaus müssen Taschenrechner der Kategorie WTR über Funktionalitäten zur (numerischen) Berechnung von Wahrscheinlichkeiten (Binomialverteilung und Standard-normalverteilung) verfügen. Nicht zugelassen sind schulinterne Druckwerke, mathematische Fachbücher und mathe-matische Lexika. Sämtliche Entwürfe und Aufzeichnungen gehören zur Abiturarbeit und dürfen nur auf Papier, das den Stempel der Schule trägt, angefertigt werden.
Inhalte und Schwerpunktthemen
In der folgenden Übersicht sind die wesentlichen Schwerpunktthemen für die zentrale Abiturprüfung 2018 stichpunktartig aufgeführt:
2017-1
Hessen – Leistungskurs Mathematik 2017 – A1: Analysis (WTR)
Auf einem See breitet sich eine Algenart aus. Zu Beginn der Beobachtung ist etwa eine Fläche von 0,1 a des Sees mit Algen bedeckt (a steht für die Flächeneinheit Ar, 1 a entspricht einem Flächeninhalt von 100 m2). Nach zwei Monaten sind bereits 3 a des Sees mit Algen be-deckt. Das weitere Wachstum soll prognostiziert werden. Dafür liegen drei unterschiedliche Model-le A, B und C vor.
1 Im Modell A wird der Inhalt der mit Algen bedeckten Fläche durch die Funktion f mit den Parametern r und k beschrieben mit f(t) = r ⋅ ek ⋅ t, t ≥ 0, r, k > 0. Dabei gilt:
t: Zeit in Monaten nach Beginn der Beobachtung f(t): Inhalt der mit Algen bedeckten Fläche in a
1.1 Bestimmen Sie die zu den oben genannten Werten passenden Parameter r und k. (4 BE)
1.2 Ermitteln Sie unter Verwendung der Ergebnisse aus Aufgabe 1.1 für die Gleichung f(t) = r ⋅ ek ⋅ t = r ⋅ (1 + p)t den Wert von p. Deuten Sie diesen Wert im Sachzusammenhang. Falls Sie den Wert des Parameters k in Aufgabe 1.1 nicht bestimmen konnten, verwenden Sie als Ersatzwert k = 1,71. (3 BE)
2 Modell B prognostiziert ein Wachstum, bei dem die Änderungsrate des Inhalts der mit Algen bedeckten Fläche in Abhängigkeit von der Zeit t näherungsweise durch die Funk-tion g mit g(t) = (– 0,5t2 + t + 2) ⋅ e – 0,5 ⋅ t, t ≥ 0, beschrieben wird. Dabei gilt:
t: Zeit in Monaten nach Beginn der Beobachtung g(t): Änderungsrate in a pro Monat
2.1 Berechnen Sie für t ≥ 0 die Null- und Extremstellen von g. Die zweite Ableitung g ''(t) = (– 0,125t2 + 1,25t – 1,5) ⋅ e – 0,5 ⋅ t kann ohne Herleitung verwendet werden. (11 BE)
2.2 Deuten Sie die in Aufgabe 2.1 berechneten Null- und Extremstellen im Sachzusammen-hang. (5 BE)
2.3 In Material 1 ist ein Ansatz zur Ermittlung der Stammfunktionen von g angegeben. Benennen Sie die verwendete Integrationsmethode und wenden Sie die Methode erneut an, um die Herleitung der Stammfunktionen von g zu vervollständigen. [zur Kontrolle: G(t) = (t2 + 2t) ⋅ e – 0,5 ⋅ t + C] (5 BE)
2.4 Untersuchen Sie, unter welchen Bedingungen Modell B näherungsweise zu den im ein-leitenden Text beschriebenen Werten passt. (3 BE)
3 Im Modell C wird der Inhalt der mit Algen bedeckten Fläche durch die Funktion h be-schrieben mit
2,66 t
0,35h(t) , t 0.
0,1 3,4 e− ⋅= ≥
+ ⋅
2017-2
Dabei gilt: t: Zeit in Monaten nach Beginn der Beobachtung h(t): Inhalt der mit Algen bedeckten Fläche in a
Bestimmen Sie den Grenzwert
tlim h(t).→ +∞
Deuten Sie diesen Wert im Sachzusammenhang. (3 BE)
4 Im Material 2 sind drei Graphen (I), (II) und (III) abgebildet, die den Inhalt der mit Algen bedeckten Fläche in Abhängigkeit von der Zeit t über mehrere Monate für die drei Model-le A, B und C beschreiben. Ordnen Sie die Graphen den entsprechenden Modellen zu und erörtern Sie im Sachzusam-menhang, wie realistisch die drei Modelle sind. (6 BE)
Material 1
2 0,5 t 2 0,5 t 0,5 t
2 0,5 t 0,5 t
( 0,5t t 2) e dt ( 0,5t t 2) ( 2) e ( t 1) ( 2) e dt
(t 2t 4) e ( 2t 2) e dt
− ⋅ − ⋅ − ⋅
− ⋅ − ⋅
− + + ⋅ = − + + ⋅ − ⋅ − − + ⋅ − ⋅
= − − ⋅ + − + ⋅∫ ∫
∫
Material 2
2017-3
Hinweise und Tipps
Teilaufgabe 1.1 r Aus der Materialvorgabe ergeben sich die Koordinaten zweier Punkte.
r Mit den daraus resultierenden Gleichungen können die gesuchten Parameter berechnet wer-den.
Teilaufgabe 1.2 r Berechnung von p durch Einsetzen der Parameterwerte aus 1.1.
r Zur Deutung von p: p ist der „Wachstumssatz“, analog zum Zinssatz in der Zinseszinsformel.
r p wird in Prozent angegeben, d. h., p = 2 bedeutet 200 % ( )200100
.=
Teilaufgabe 2.1 r Für die Berechnung dieser Stellen gibt es notwendige und hinreichende Bedingungen. Der
Lösungsansatz zur Überprüfung der hinreichenden Bedingung für die Existenz der Extrem-stellen wird in der Materialvorgabe schon angegeben.
Teilaufgabe 2.2 r Die Funktion g beschreibt die Änderungsrate des Inhalts der mit Algen bewachsene Fläche.
g ist damit die Ableitungsfunktion einer Funktion, wie sie in Teilaufgabe 1 betrachtet wird.
Teilaufgabe 2.3 r Es handelt sich hier um die Methode der partiellen Integration.
r Bei welchen Funktionstermen muss diese Methode verwendet werden?
Teilaufgabe 2.4 r Auch für das Modell B gelten die in der Materialvorgabe benannten Anfangswerte.
Teilaufgabe 3 r Mögliche Lösungsmethoden für Grenzwertbestimmungen:
• Welche Teilterme spielen für t → ∞ keine Rolle? • Welche Teilterme (hier: e –2,66 ⋅ t) liefern für t → ∞ ein klares Ergebnis?
r Zur Deutung: Die Funktion h beschreibt, wie die Funktion f, die Fläche der Algen in Abhän-gigkeit von der Zeit. Daher ist das Ergebnis des Integrals eine Flächengröße.
Teilaufgabe 4 r Bei welcher Eigenschaft zeigen die drei Graphen tatsächliche Unterschiede?
r Reales Wachstum kann nicht unbegrenzt erfolgen.
r Reales Wachstum kann sich zurückbilden, reales Wachstum kann sich einer Obergrenze an-nähern.
2017-4
Lösung
1.1 Aus den Angaben der Materialvorgabe folgt: f (0) 0,1f (2) 3
==
Mit diesen beiden Bedingungsgleichungen können nun die Parameter berechnet werden. Berechnung von r:
00,1 r er 0,1
= ⋅=
Berechnung von k: 2k
2k
3 0,1 e
30 e
ln(30) 2k
ln(30)k
2k 1,7
= ⋅
==
=
≈
1.2 Berechnung des Parameters p 1,7 t t
t1,7 t t
1,7
1,7
0,1 e 0,1 (1 p) : 0,1
e (1 p) , t 0
e 1 p
p e 1p 4,5
⋅
⋅
⋅ = ⋅ + ⏐= + ⏐ >= += −≈
Zur Deutung des Wertes von 4,5 in diesem Sachzusammenhang bedarf es einer Analyse des Terms 0,1 ⋅ (1 + p)t. Exponentielles Wachstum, welches in dieser Aufgabenstellung vorliegt, kann auch durch
die Gleichung ( ) tz100
B(t) B(0) 1= ⋅ + beschrieben werden. Dabei bedeuten: B(t): Bestand zum Zeitpunkt t B(0): Bestand zum Beginn der Messung z: Zuwachs in Prozent t: Wachstumszeit Die Deutung im Sachzusammenhang lautet damit: Die mit Algen bedeckte Fläche des Sees nimmt mit jedem Monat um ca. 450 % zu.
2.1 Berechnung der Nullstellen für t ≥ 0 Ansatz g(t) = 0:
2 0,5 t( 0,5 t t 2) e 0− ⋅− ⋅ + + ⋅ = Auf der linken Seite der Gleichung liegt ein Produktterm vor, d. h., wir untersuchen die beiden Faktorenterme auf Nullstellen. Die Gleichung e – 0,5 ⋅ t = 0 hat aufgrund der Eigen-schaften dieser Funktionenklasse keine Lösungen. Es bleibt die Gleichung:
20,5 t t 2 0− ⋅ + + =
2017-5
Zur Anwendung der p-q-Formel bedarf es der Umformung t2 – 2 ⋅ t – 4 = 0. Die Lösungen der Gleichungen sind:
t1 ≈ 3,24
t2 ≈ –1,24
Wegen der Bedingung t ≥ 0 gibt es nur eine Nullstelle t0 ≈ 3,24.
Berechnung der Extremstellen für t ≥ 0 Notwendige Bedingung g'(t) = 0:
0,5 t 2 0,5 t
2 0,5 tg'(t) ( t 1) e ( 0,5 t t 2) ( 0,5) e
(0,25 t 1,5 t) e
− ⋅ − ⋅
− ⋅= − + ⋅ + − ⋅ + + ⋅ − ⋅= ⋅ − ⋅ ⋅
Es werden Lösungen der Gleichung 0,25 ⋅ t2 – 1,5 ⋅ t = 0 gesucht; die Begründung hierfür ist dieselbe wie zuvor bei der Berechnung der Nullstellen.
20,25 t 1,5 t 0t (0,25 t 1,5) 0
⋅ − ⋅ =⋅ ⋅ − =
Die Lösungen ergeben sich mit den Gleichungen: t 0
t 6 0=
− =
Damit können Extremstellen für t = 0 und für t = 6 vorhanden sein. Überprüfung der hinreichenden Bedingung g ''(t) ≠ 0 für die Existenz von Extremstellen: • Für t = 0:
0g''(0) 1,5 e1,5
= − ⋅= −
–1,5 < 0 ⇒ An der Stelle t = 0 liegt ein lokales Maximum, ein Hochpunkt vor. • Für t = 6:
2 3
3g''(6) ( 0,125 6 1,25 6 1,5) e
1,5 e
−
−= − ⋅ + ⋅ − ⋅= ⋅
1,5 ⋅ e–3 > 0 ⇒ An der Stelle t = 6 liegt ein lokales Minimum, ein Tiefpunkt vor.
2.2 Deutung der Nullstelle Alternative a Die Funktion g beschreibt die Änderungsrate des Inhaltes der mit Algen bedeckten Flä-che. An der Nullstelle dieser Funktion ist die Änderungsrate null. Das heißt, dass nach dem Modell B an dieser Stelle (also nach etwa 3,24 Monaten) der Inhalt der mit Algen bedeckten Fläche des Sees am größten oder am kleinsten sein kann. Alternative b Die Funktion g des Modells B stellt die Ableitungsfunktion einer Funktion wie in Mo-dell A dar. Eine Nullstelle der 1. Ableitungsfunktion bedeutet für die Ausgangsfunktion die Möglichkeit der Existenz eines Maximums oder eines Minimums. Damit ergibt sich dieselbe Deutung wie in der Alternative a.
Deutung der Extremstellen Alternative a Das Maximum bei t = 0 und das Minimum bei t = 6 der Funktion g bedeuten, dass nach dem Modell B die Änderungsrate (auch mit Wachstumsgeschwindigkeit bezeichnet) zu Beginn der Beobachtungen am größten und nach 6 Monaten am kleinsten ist.
2017-6
Alternative b Die Extremstellen der 1. Ableitungsfunktion sind die Wendestellen der Ausgangsfunk-tion. An ihren Wendestellen hat eine Funktion ihre größte bzw. kleinste Steigung. Damit ergibt sich dieselbe Deutung wie in der Alternative a.
2.3 Es wird die Methode der partiellen Integration verwendet. Es ist nun folgendes Teil-Integral zu berechnen:
( )0,5 t( 2 t 2) e dt− ⋅− ⋅ + ⋅∫
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
• Der zur Berechnung des Integrals vorliegende Funktionsterm ist ein Produktterm. Ein Produktterm, der sich aufgrund des Faktorenterms e – 0,5 ⋅ t auf keinen Fall in einen Summen- oder Differenzterm umformen lässt.
• Es muss daher auf die Methode der partiellen Integration zurückgegriffen werden:
u(t) v'(t) dt u(t) v(t) u'(t) v(t) dt⋅ = ⋅ − ⋅∫ ∫ (Diese Gleichung entsteht durch Umformungen der Ableitungsregel für Produktterme.)
• Die Anwendungsmöglichkeit dieser Integrationsmethode setzt allerdings die Durch-führung des „Prinzips Hoffnung voraus“. Dies beinhaltet, dass die Ableitung einer der beiden Faktorenterme (der Term u(t)) eine Konstante ist (u'(t) = k). Der Faktorenterm –2 ⋅ t + 2 erfüllt diese Bedingung.
( )0,5 t( 2 t 2) e dt− ⋅− ⋅ + ⋅∫ Festlegung der Teilfunktionen:
0,5 tu(t) 2 t 2v '(t) e− ⋅
= − ⋅ +=
( ) ( )0,5 t 0,5 t 0,5 t
0,5 t 0,5 t
0,5 t 0,5 t
0,5 t
( 2 t 2) e dt ( 2 t 2) ( 2) e ( 2) ( 2) e dt
(4 t 4) e 4 e dt
(4 t 4) e 4 ( 2) e c
(4 t 4) e c
− ⋅ − ⋅ − ⋅
− ⋅ − ⋅
− ⋅ − ⋅
− ⋅
− ⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ⋅
= ⋅ − ⋅ − ⋅
= ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ += ⋅ + ⋅ +
∫ ∫∫
Zusammengefasst mit der Teillösung des Materials 1 ergibt sich: 2 0,5 t 0,5 t
2 0,5 t
G(t) (t 2t 4) e (4t 4) e c
G(t) (t 2 t) e c
− ⋅ − ⋅
− ⋅= − − ⋅ + + ⋅ += + ⋅ ⋅ +
2.4 Auch für das Modell B gilt die Anfangsbedingung der Materialvorgabe. g steht für die Ableitungsfunktion einer Funktion wie in Modell A und damit beschreibt G wie f den Wachstumsvorgang der Algen im Sinne der Zuordnung „Zeit a Fläche“ der Algen. Also gilt G(0) = 0,1 und damit c = 0,1. Für das Modell ergibt sich damit die Darstellung des Inhalts der mit Algen bedeckten Fläche in diesem See mit der Funktionsgleichung G(t) = (t2 + 2 ⋅ t) ⋅ e – 0,5 ⋅ t + 0,1. Im Eingangstext wird eine zweite Beobachtung des Wachstums benannt: „Nach zwei Monaten sind bereits 3 a des Sees mit Algen bedeckt.“ Wie genau beschreibt nun das Modell B diesen Wert? Dazu wird G(2) berechnet:
1G(2) (4 4) e 0,1 3,04−= + ⋅ + ≈ Da der durch die Beobachtungen gemessene Wert bei 3 a lag, passt das Modell B hier mit einer guten Näherung.
