สถาบนวทยาลยชมชน ส านกงานคณะกรรมการการอดมศกษา

กระทรวงศกษาธการ

เอกสารประกอบการเรยน การปรบพนฐานความรวชาคณตศาสตร

2

หนวยท 1 ระบบจ านวนจรง

ผลลพธการเรยนร 1. สามารถบอกประเภทของจ านวนเตมได 2. สามารถหาผลบวก ผลลบ ผลคณ และผลหารของจ านวนเตมได 3. สามารถหาผลบวก ผลลบ ผลคณ และผลหารของเศษสวนได 4. สามารถหาผลบวก ผลลบ ผลคณ และผลหารของทศนยมได

สาระ 1.1 ระบบจ านวน

จ านวนตรรกยะ คอ จ านวนทเขยนแทนไดดวยทศนยมซ าหรอเศษสวน ba

เมอ a และ b เปนจ านวน

เตมท b ≠ 0

ตวอยางของจ านวนตรรกยะ เชน 4 , 3.2 , -1 , 73

, 0.3151515… , 1546 . เปนตน

จ านวนอตรรกยะ คอ จ านวนทไมสามารถเขยนแทนไดดวยทศนยมซ าหรอเศษสวน ba

เมอ a และ b

เปนจ านวนเตมท b ≠ 0 ตวอยางของจ านวนอตรรกยะ เชน 0.31516561458… , 5 , π เปนตน

จ านวนเตม ประกอบดวย จ านวนเตมลบ ศนย และจ านวนเตมบวก จ านวนเตมบวก ไดแก 1, 2, 3, 4,… จ านวนเตมลบ ไดแก -1, -2, -3, -4,… ศนย ไดแก 0

ระบบจ านวน

จ านวนจรง จ านวนเชงซอน

จ านวนตรรกยะ จ านวนอตรรกยะ

ไมใชจ านวนเตม (เศษสวน, ทศนยม)

จ านวนเตม

จ านวนเตมลบ -1, -2, -3,…

จ านวนเตมศนย 0

จ านวนเตมบวก 1, 2, 3,…

3

สามารถเขยนจ านวนเตมแทนบนเสนจ านวนไดดงน

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 บนเสนจ านวนน จ านวนเตมทอยทางขวาของ 0 เปนจ านวนเตมบวก จ านวนเตมทอยทางซายของ 0 เปนจ านวนเตมลบ และจ านวนทอยทางขวาจะมากกวาจ านวนทอยทางซายเสมอ ดงน น 4 มากกวา 2 , 0 มากกวา -1 , -2 มากกวา -5 คาสมบรณและจ านวนตรงขาม คาสมบรณของจ านวนเตมใด ๆ หมายถง ระยะหางจากจ านวนน นถง 0 และจะมคาเปนบวกเสมอ สญลกษณแทนคาสมบรณ คอ

ตวอยาง 5 = 5

5 = 5

8 = 8

จ านวนทอยคนละขางของ 0 บนเสนจ านวน และมคาสมบรณเทากน เรยกวา จ านวนตรงขาม

ถา a เปนจ านวนเตมใด ๆ จ านวนตรงขามของ a เขยนแทนดวย -a

ตวอยาง -2 เปนจ านวนตรงขามของ 2 2 เปนจ านวนตรงขามของ -2 1.2 การบวกและการลบจ านวนเตม การบวกจ านวนเตม 1. การบวกจ านวนเตมบวกดวยจ านวนเตมบวก ใหน าคาสมบรณมาบวกกนแลวตอบเปนจ านวนเตมบวก เชน 4 + 3 = 7 2. การบวกจ านวนเตมลบดวยจ านวนเตมลบ ใหน าคาสมบรณมาบวกกนแลวตอบเปนจ านวนเตมลบ เชน (-4 )+ (-3) = -7 (คาสมบรณของ - 4 คอ 4 ,คาสมบรณของ - 3 คอ 3 น าคาสมบรณมาบวกกนได 4 + 3 = 7 แตตอบเปนจ านวนเตมลบ จงได -7) 3. การบวกจ านวนเตมบวกดวยจ านวนเตมลบ ใหน าจ านวนทมคาสมบรณมากกวาเปนตวต ง แลวลบดวยจ านวนทมคาสมบรณนอยกวา ผลลพธทไดเปนจ านวนเตมบวกหรอจ านวนเตมลบตามจ านวนทมคาสมบรณมากกวา เชน

1) 7 + (-2) = 5 (7 เปนตวต ง ลบดวย 2 เทากบ 5 ตอบเปนจ านวนเตมบวกตามจ านวนทมคาสมบรณมากกวา)

4

2) 2 + (-7) = -5 (7 เปนตวต ง ลบดวย 2 เทากบ 5 แตตอบเปนจ านวนเตมลบตามจ านวนทมคาสมบรณมากกวา)

การลบจ านวนเตม ใชหลกการบวกตามวธการดงน

ตวต ง - ตวลบ = ตวต ง + จ านวนตรงขางของตวลบ

ตวอยาง 1) 9 - 5 = 9 + (-5) = 4

2) 9 - (-5) = 9 + 5 = 14

3) -9 - 5 = -9 + (-5) = -14

4) -9 - (-5) = -9 + 5 = -4 1.3 การคณและการหารจ านวนเตม การคณจ านวนเตม มหลกการพจารณา ดงน

การคณ ผลลพธ 1. จ านวนเตมบวก x จ านวนเตมบวก จ านวนเตมบวก 2. จ านวนเตมลบ x จ านวนเตมลบ จ านวนเตมบวก 3. จ านวนเตมบวก x จ านวนเตมลบ จ านวนเตมลบ 4. จ านวนเตมลบ x จ านวนเตมบวก จ านวนเตมลบ

ตวอยาง 1) 10 x 4 = 40

2) (-10) x (-4) = 40 3) 10 x (-4) = -40 4) (-10) x 4 = -40

การหารจ านวนเตม การหารจ านวนเตมดวยจ านวนเตมอาจเปนการหารลงตวหรอเปนการหารไมลงตวกได

การหารจ านวนเตมดวยจ านวนเตม เราอาศยการคณตามขอตกลงดงน

ตวหารตวตง

= ผลหาร

จะได ตวหาร x ผลหาร = ตวต ง

5

ตวอยาง จงหาผลหาร

1) 420

วธท า 4 x 5 = 20

ดงน น 420

= 5

2) 6

42

วธท า 6 x 7 = 42

ดงน น 6

42 = 7

หลกการพจารณาผลหาร

การหาร ผลลพธ 1. จ านวนเตมบวก จ านวนเตมบวก จ านวนบวก

2. จ านวนเตมลบ จ านวนเตมลบ จ านวนบวก

3. จ านวนเตมบวก จ านวนเตมลบ จ านวนลบ

4. จ านวนเตมลบ จ านวนเตมบวก จ านวนลบ

ตวอยาง 1) 2

10 = 5

2) (-10) (-2) = 5 3) (-10) 2 = -5

4) 2

10

= -5

1.4 การบวกและการลบเศษสวน

เศษสวน หมายถง จ านวนทเขยนแทนดวย ba

โดยท a และ b เปนจ านวนเตมและ b 0

เรยก a วา “ตวเศษ” และเรยก b วา “ตวสวน” เชน 41

, 73

, 52

, 149

เปนตน

เศษสวน แบงออกไดเปน 3 ประเภท คอ

1. เศษสวนแท หมายถง เศษสวนทม ตวเศษ นอยกวา ตวสวน เชน 41

, 73

เปนตน

2. เศษสวนเกน หมายถง เศษสวนทม ตวเศษ มากกวา ตวสวน เชน 38

, 4

13 เปนตน

หาตวคณ 4 แลวได 20

หาตวคณ 6 แลวได 42

6

3. เศษสวนจ านวนคละ หมายถง การเขยนเศษสวนเกนใหอยในรปของการบวกกนของจ านวนเตม

และเศษสวนแท เชน 32

2 , 41

3 เปนตน

เศษสวนทเทากน วธการหาเศษสวนทเทากนท าได 2 วธ

1. การคณดวยจ านวนเดยวกนท งเศษและสวน

ตวอยาง จงหาเศษสวนทเทากบ 41

วธท า 2x42x1

= 82

3x43x1

= 123

4x44x1

= 164

ดงน น เศษสวนทเทากบ 41

ไดแก 82

, 123

, 164

2. การหารดวยจ านวนเดยวกนท งเศษและสวน

ตวอยาง จงหาเศษสวนทเทากบ 5090

วธท า 10501090

=

59

550590

=

1018

250290

=

2545

ดงน น เศษสวนทเทากบ 5090

ไดแก 59

, 1018

, 2545

การเปรยบเทยบเศษสวน สามารถพจารณาไดดวยวธดงน 1. ถาตวสวนเทากนใหน าเศษมาเปรยบเทยบกนไดเลย

เชน 43

41

72

76

7

2. ถาตวสวนไมเทากนตองท าสวนใหเทากนกอนจงจะน าตวเศษมาเปรยบเทยบกนได

เชน 42

83

เนองจาก 42

= 2x42x2

= 84

และ 4 3

ดงน น 42

83

3. ตรวจสอบไดดวยวธการคณไขว

ตวอยาง จงเปรยบเทยบเศษสวน 72

และ 114

วธท า 72

114

จะได 2 x 11 4 x 7

22 28

ดงน น 72

114

การบวกและการลบเศษสวน มหลกการดงน 1. พจารณาตวสวนวาเทากนหรอไม 2. ถาตวสวนเทากนใหน าตวเศษมาบวกหรอลบกนไดเลย 3. ถาตวสวนไมเทากนใหท าตวสวนใหเทากน แลวจงน าตวเศษมาบวกหรอลบกน ตวอยาง

1) จงหาผลลพธของ 42

+ 61

วธท า 42

+ 61

= 3x43x2

+ 2x62x1

= 126

+ 122

= 12

26

= 128

= 32

8

2) จงหาผลลพธของ 43

- 52

วธท า 43

- 52

= 5x45x3

- 4x54x2

= 2015

- 208

= 20

815

= 207

1.5 การคณและการหารเศษสวน

การคณเศษสวน

การคณเศษสวน ใหน าตวเศษคณกบตวเศษ และน าตวสวนคณกบตวสวน

ตวอยาง

1) 58

x 61

= 6x51x8

= 308

= 154

2)

32

63

75

= 7x6x35x3x2

= 12630

= 215

9

การหารเศษสวน การหารเศษสวนสองจ านวนใด ๆ ท าไดโดยคณเศษสวนทเปนตวต งดวย สวนกลบของเศษสวนทเปนตวหาร

ให a , b , c และ d แทนจ านวนใด ๆ โดยท b 0 และ d 0 จะได

dc

ba =

cd

xba

ตวอยาง 52

64

= 52

x 46

= 2012

= 53

1.6 การบวกและการลบทศนยม ทศนยม หมายถง การเขยนตวเลขแทนจ านวนทไมใชจ านวนเตม โดยใชสญลกษณ “ . ” แยกจ านวนเตมกบทศนยม ตวอยาง 512.8649

512 คอ จ านวนเตม มคาเทากบ 512 (หารอยสบสอง)

8 คอ ทศนยมต าแหนงท 1 มคาเทากบ 0.8 หรอ 108

6 คอ ทศนยมต าแหนงท 2 มคาเทากบ 0.06 หรอ 100

6

4 คอ ทศนยมต าแหนงท 3 มคาเทากบ 0.004 หรอ 1000

4

9 คอ ทศนยมต าแหนงท 4 มคาเทากบ 0.0009 หรอ 10000

9

การเปรยบเทยบทศนยม 1. ใหพจารณาเปรยบเทยบจ านวนเตมกอน 2. พจารณาตวเลขโดดในต าแหนงเดยวกน โดยเรมจากต าแหนงท 1, 2, 3, … ตามล าดบ ตวอยาง 1) 2.841 7.1396 2) 6.512 6.247 การบวกและการลบทศนยม มหลกการดงน 1. วางจดทศนยมของจ านวนทตองการบวกหรอลบใหตรงกน 2. บวกหรอลบเลขโดดในแตละต าแหนงโดยใชหลกการเชนเดยวกบการบวกหรอการลบจ านวนเตม

10

ตวอยาง 1) จงหาผลบวกของ 32.841 + 5.376 วธท า 32.841 5.376 38.217 2) จงหาผลลบของ 45.24 - 13.725 วธท า 45.240 13.725 31.515

1.7 การคณและการหารทศนยม การคณทศนยม มหลกการดงน 1. น าจ านวนสองจ านวนมาคณกนเชนเดยวกบการคณจ านวนเตม โดยไมตองค านงถงจดทศนยม 2. จ านวนต าแหนงทศนยมของผลคณ จะเทากบผลบวกของจ านวนต าแหนงทศนยมของตวต งกบ

ตวคณ เชน ตวต งเปนทศนยม 2 ต าแหนง ตวคณเปนทศนยม 3 ต าแหนง ดงน น ผลคณทไดจะเปนจ านวนทมทศนยม 5 ต าแหนง

3. การวางต าแหนงจดทศนยมใหเรมนบจากขวามอไปซายมอ ตวอยาง 1) จงหาผลคณของ 2.15 x 5.2 วธท า 215 52 430 1075 11180 ดงน น 2.15 x 5.2 = 11.180 = 11.18 2) จงหาผลคณของ 2.15 x 20 วธท า 215 20 000 430 4300 ดงน น 2.15 x 20 = 43.00 = 43 การหารทศนยม มหลกการดงน 1. การหารทศนยมดวยจ านวนเตม ถาตวหารเปนจ านวนเตม ใหใชวธการเชนเดยวกบการหาร

จ านวนเตมดวยจ านวนเตม โดยใหใสจดทศนยมของผลหารใหตรงกบตวต ง

+

-

การเตม 0 ตอทายทศนยม จะไมท าใหคาน นปลยนแปลง เชน 3.5 = 3.50 = 3.500

x

+

x

+

11

2. การหารทศนยมดวยทศนยม ถาตวหารเปนทศนยม ใหท าตวหารเปนจ านวนเตมกอน โดยน า 10, 100, 1000, …(ข นอยกบจ านวนต าแหนงทศนยม) มาคณท งตวต งและตวหาร จากน นจงใชวธการเชนเดยวกบการหารจ านวนเตมดวยจ านวนเตม

แบบฝกหด หนวยท 1

1. จงยกตวอยางจ านวนตรรกยะมา 5 จ านวน 2. จงยกตวอยางจ านวนอตรรกยะมา 5 จ านวน 3. จงหาจ านวนตรงขามของจ านวนตอไปน

1) 7 2) -2.4 3) -10 4) 5.6 5)

7

3 6) -5

2

4. จงหาคาสมบรณของจ านวนตอไปน 1) 14 2)

3

4

3) -10 4) 7.5 5) -(-5.6) 6) -(-(-8)

5. จงหาผลลพธ 1) -6 + (-7) 2) (-6) + 7 3) 6 + (-19) 4) 12 + (-20) 5) (-12) + (-8) 6) -15 + (-13) 7) -5 + 7 8) -15 + 6 9) 45 - 18 10) 120 - 65 11) 3 – 8 12) 7 - (-8) 13) -6 – 7 14) -12 - (-7) 15) 6 - (-19) 16) 16 - (-10) 17) (-8) - (-17) 18) -15 – 6 19) -5 – 7 20) 10 – (-7-(-5)) 21) -10 - (-8) 22) -(-6 + (-4) - 5) + (-15 – 4)

6. จงหาผลลพธ 1) (-6)(-7) 2) 12 x (-8) 3) (7)(-6) 4) (-5)(9) 5) (-12)(-8)(-5) 6) (-10)(4)(-5) 7) (6)(-2)(-5)(3) 8) 24 6 9) (-90) (-6) 10) (-92) 4

12

11) 70 (-5) 12) 352 8 13) -(-56) (-7) 14) 63 (-(-9)) 15)

(7)

(28)(11) 16) )(6)(-5)(-3

15)(-18)(-9)(

17) -3)(12)(-15)(

(72)(0)(-35)(245) 18) (-9)(-49)(-18)

1)(-1)(-1)(-5)(-1)(-1)(-21)(48)(

7. จงหาผลลพธ 1) (-6 + 8)(-7) 2) 2(-4) + 8 3) (-7-5) + (-6) 4) (-5)(9) - 9 5) 3(-12 + 12) + (-7-5) 6) (-10 + 5) - 4(-5) 7) 2(6 - 8) - 3(-2+5) 8) ((-10 + 5) – 4)(-5) 9)

(-3)

(3)(-2) (-2)) -(5 10) 7) - 2(12

8)(-5)(-4 3)- 4(-7

8. จงหาเศษสวนทเทากบเศษสวนทก าหนดใหตอไปน มา 5 จ านวน 1)

2

1 2) 3

2

3) 3

1 4) 5

2

9. จงใสเครองหมาย หรอ หรอ ในชอง ใหถกตอง 1)

5

3 10

6 2) 9

7 5

3

3) 5

2 7

5 4) 7

4 84

48

5) 3

2 9

7 6) 8

6 12

8

7) 7

3 9

4 8) 36

18 2

1

9) 6

5 5

4 10) 15

5 9

3

10. จงหาผลลพธ 1)

10

2 + 10

6 2) 5

4 + 10

6

3) 5

2 + 7

5 4) 7

4 + 84

48

5) 3

2 - 9

7 6) 8

6 - 12

8

7) 7

3 - 9

4 8) 36

18 - 2

1

9) 26

3 - 6

4 10) 4

13 +

2

11

13

11) 4 - 3

4 12) 5

4 - 3

11. จงหาผลลพธ 1)

5

3

2

1 2)

5

3

6

1

3) 18

15

6

5 4)

7

3

5

13

5) 4

3

9

8 6)

7

12

6

5

7) 2

1

3

4 8)

6

12

9) 73

2 10)

2

6

9

4

7

3

11) 2

13

3

11 12)

12

8

20

15

10

4

12. จงหาผลลพธ 1)

5

3

2

1 2)

5

3

6

1

3) 18

15

6

5 4)

7

3

5

13

5) 4

3

9

8 6)

7

12

6

5

7) 2

1

3

4 8)

6

12

9) 73

2 10)

2

6

9

4

7

3

11) 2

13

3

11 12)

12

8

20

15

10

4

13. จงใสเครองหมาย หรอ ในชอง ใหถกตอง 1) 5.465 3.789 2) 2.594 4

3) 3.563 3.5432 4) 0.21 0

5) 1.56 -2.438 6) -4.57 -2.789

14. จงหาผลลพธ 1) 3.471 + 5.312 2) 2.581 + 5.34

3) 5.7125 + 2.5645 4) 0.357 + 2.743

14

5) 3 + 4.65 6) 5.0124 + 10.11155

7) 6.358 + 3.6420 8) 15.71 + 2.5453

9) 5.7005 + 25.64502 10) 6.52 + 152

15. จงหาผลลพธ 1) 5.47 - 3.31 2) 7.856 - 4.34

3) 5.712 - 2.5645 4) 0.357 - 2.743

5) 4.65 - 3 6) 10.1125 - 5.0124

7) 6.358 - 3.6420 8) 15.71 - 2.5453

9) 25.64502 - 5.7005 10) 152 - 6.52

16. จงหาผลลพธ 1) 2.56 10 2) 3.16 0.20

3) 0.05 0.007 4) 2.4037 0.0001

5) 0.003 22.2222 6) 1.11 5000

7) 0.0004 0.0000025 8) 0.000001 0.0001

9) 0.050 0.0070 10) 3.16 2000

หนงสออานเพมเตม

หนงสอสาระการเรยนรพนฐานคณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 1 หนงสอสาระการเรยนรพนฐานคณตศาสตร เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 2 หนงสอเรยน คณตศาสตร พนฐาน ม.2 เทอม 2 (หลกสตรฯ 2544) ผแตง : รศ.ดร.นพพร แหยม

แสง และคณะ หนงสอคณตคดเปน ม.1-2-3 ตอน จ านวนเตม ผแตง : สวร กาญจนมยร หนงสอคณตคดเปน ตอน บวก ลบ คณ หาร เศษสวน ผแตง : สวร กาญจนมยร หนงสอคณตคดเปน ตอน บวก ลบ คณ หาร เศษสวน ผแตง : สวร กาญจนมยร

แหลงคนควาเพมเตม

http://www.ipst.ac.th/smath/

15

หนวยท 2 อตราสวนและรอยละ

ผลลพธการเรยนร

1. สามารถหาอตราสวนและรอยละได

สาระ

2.1 อตราสวน

อตราสวน เปนความสมพนธทแสดงการเปรยบเทยบสองปรมาณ ซงมหนวยเดยวกนหรอหนวยตางกนกได

อตราสวนของปรมาณ a ตอปรมาณ b เขยนแทนดวย a : b หรอ ba

เรยก “a วา จ านวนแรก

หรอ จ านวนทหนงของอตราสวน” และเรยก “b วา จ านวนหลง หรอ จ านวนทสองของอตราสวน” อตราสวน a ตอ b จะพจารณาเฉพาะกรณท a และ b เปนจ านวนบวกเทาน น

ตวอยาง - ในหมบานแหงหนงมผประกอบอาชพท านา 45 คน คาขาย 17 คน เขยนเปนอตราสวนไดคอ

45 : 17 - คาลงทะเบยนเรยนของนกศกษาวทยาลยชมชนตอ 1 ภาคเรยน เปนเงน 500 บาท เขยนเปน

อตราสวนไดคอ 1 : 500 - นกศกษาสามารถใชคอมพวเตอรไดคร งละ 2 ชวโมง เขยนเปนอตราสวนไดคอ 1 : 2

2.2 อตราสวนทเทากน

การท าอตราสวนใหเทากบอตราสวนทก าหนดให เปนไปตามหลกการหาอตราสวนทเทากน ดงน หลกการคณ เมอคณแตละจ านวนในอตราสวนใดดวยจ านวนเดยวกนโดยทจ านวนน นไมเทากบศนย

จะไดอตราสวนใหมทเทากบอตราสวนเดม ตวอยาง จงหาอตราสวนทเทากบอตราสวน 4 : 6 มาอก 3 อตราสวน โดยใชหลกการคณ

วธท า 4 : 6 = 64

= 2x62x4

= 128

4 : 6 = 64

= 3x63x4

= 1812

4 : 6 = 64

= 4x64x4

= 2416

ดงน น อตราสวนทเทากบ 4 : 6 คอ 8 : 12, 12 : 18 และ 16 : 24

16

หลกการหาร เมอหารแตละจ านวนในอตราสวนใดดวยจ านวนเดยวกนโดยทจ านวนน นไมเทากบศนย จะไดอตราสวนใหมทเทากบอตราสวนเดม

ตวอยาง จงหาอตราสวนทเทากบอตราสวน 81 : 45 มาอก 2 อตราสวน โดยใชหลกการหาร วธท า 81 : 45 = 45

81 = 345381

= 15

27

81 : 45 = 4581 = 945

981 = 5

9

ดงน น อตราสวนทเทากบ 81 : 45 คอ 27 : 15, และ 9 : 5 การตรวจสอบการเทากนของอตราสวนโดยใชการคณไขว หลกการ ถา a b c และ d เปนจ านวนใด ๆ แลว

1. ถา a x d = b x c แลว b

a = d

c

2. ถา a x d ≠ b x c แลว b

a ≠ d

c

จากหลกการขางตน สรปไดตอไปอกวา ถา

b

a = d

c แลว a x d = b x c

ตวอยาง จงตรวจสอบวาอตราสวนในแตละขอตอไปน เทากนหรอไม 1)

6

2 และ 45

15

2) 7

3 และ 10

6

วธท า 1) จากการคณไขว 6

2 45

15

จะได 2 x 45 = 90 6 x 15 = 90 ดงน น 2 x 45 = 6 x 15 แสดงวา

6

2 = 45

15

2) จากการคณไขว

7

3 10

6

จะได 3 x 10 = 30 7 x 6 = 42 ดงน น 3 x 10 ≠ 7 x 6 แสดงวา

7

3 ≠ 10

6

17

2.3 สดสวน

สดสวน คอ ประโยคทแสดงการเทากนของอตราสวนสองอตราสวน

ตวอยาง 1210

65

ในกรณทมตวแปรหรอตวทไมทราบคาอยในสดสวน สามารถหาคาตวแปรน นไดโดยใชหลกการของการหาอตราสวนทเทากน

ตวอยาง จงหาคาของ a ในสดสวน 5

3 = 20

a

วธท า เนองจาก 5

3 = 4x5

4x3 = 20

12

จะได 20

12 = 20

a

ดงน น a = 12

ตวอยาง จงหาคาของ y ในสดสวน 18

27 = y

9

วธท า เนองจาก 18

27 = 318

327

= 6

9

จะได 6

9 = y

9

ดงน น y = 6

ตวอยาง จงหาคาของ T ในสดสวน 15T

= 52

วธท า จากการคณไขว 15T

52

จะได T x 5 = 2 x 15

จะได T = 515x2

ดงน น T = 6 2.4 รอยละ

รอยละหรอเปอรเซนต เปนอตราสวนแสดงการเปรยบเทยบปรมาณใดปรมาณหนงตอ 100

ตวอยาง 1) รอยละ 60 หรอ 60% หมายถง 60 : 100 หรอ 100

60

18

2) รอยละ 9 หรอ 9% หมายถง 9 : 100 หรอ 100

9

การเขยนอตราสวนในรปรอยละ

การเขยนอตราสวนใดใหอยในรปรอยละ จะตองเขยนอตราสวนน น ใหอยในรปทมจ านวนหลงของอตราสวนเปน 100

ตวอยาง จงเขยนอตราสวนตอไปน ในรปรอยละ

1) 54

= 20x520x4

= 80%

2) 41

= 25x425x1

= 25%

3) 0.25 = 1250.

= 100x1

100x250. =

10025

= 25%

4) 1.5 = 151.

= 100x1100x51.

= 100150

= 150%

การเขยนรอยละในรปอตราสวน

การเขยนรอยละใหเปนอตราสวน ท าไดโดยเขยนเปนอตราสวนทมจ านวนหลงเปน 100

ตวอยาง จงเขยนรอยละตอไปน ในรปอตราสวน

33% = 10033

6% = 100

6 =

503

0.1% = 100

10. =

10001

210% = 100210

= 1021

19

ตวอยาง 50% ของ 8 มคาเทาไร

วธท า จาก 50% = 10050

จะได 8A=

10050

จากการคณไขว จะได 50 x 8 = A x 100

100

8x50 = A

4 = A ดงนน 50% ของ 8 มคาเทากบ 4

********************

แบบฝกหด หนวยท 2

1. จงเขยนอตราสวนจากขอความตอไปน

1) สมด 6 เลม ราคา 28 บาท

2) เส อตวละ 199 บาท

3) ขาวหอมมะล 5 กโลกรม ราคา 179 บาท

4) กหลาบ 3 ดอก ราคา 10 บาท

5) รถยนตแลนไดระยะทาง 36 กโลกรม ในเวลา 4 ชวโมง

6) 1 กโลเมตร ม 1000 เมตร

7) หนงสปดาหม 7 วน

8) น าตาลหนงโหลราคา 130 บาท

2. จงหาอตราสวนทเทากบอตราสวนทก าหนดใหมาขอละ 4 อตราสวน 1)

10

2 2) 5

4

3) 7

5 4) 7

4

20

5) 3

2 6) 8

6

7) 9

4 8) 2

1

3. จงหาคาของตวแปรจากสดสวนตอไปน 1)

6A=

32

2)

30Y=

105

3)

6R=

42

4)

23=

10T

5)

153=

5B

6)

P6=

43

7) 4 : 7 = X : 28 8) N : 12 = 3 : 6

4. จงเขยนอตราสวนตอไปน ใหอยในรปรอยละ 1)

2522

2)

43

3)

54

4)

507

5)

208

6)

23

7)

1013

8)

4032

5. จงเขยนรอยละตอไปน ใหอยในรปอตราสวน

1) 25% 2) 30%

3) 20% 4) 50%

5) 75% 6) 60%

7) 80% 8) 40%

21

6. จงหาผลลพธ 1) 50% ของ 8 2) 30% ของ 40

3) 20% ของ 15 4) 25% ของ 60

5) 75% ของ 4 6) 60% ของ 80

7) 80% ของ 500 8) 40% ของ 20

7. รานคาแหงหนงประกาศลดราคาสนคา 10% ถาสนคาราคา 160 บาท รานคาจะลดราคาใหกบาท 8. รานคาแหงหนงประกาศลดราคาสนคารอยละ 25 หากลกคาซ อสนคาต งแต 500 บาทข นไป ถานาย

ก ซ อสนคาในราคา 1000 บาท จะตองจายเงนจรงกบาท 9. ในถงใบหนงม สม 5 ผล มงคด 12 ผล และนอยหนา 3 ผล มสมคดเปนรอยละเทาไรของผลไมในถงน 10. ลงชมมบตรชาย 2 คน บตรสาว 3 คน ลงชมมบตรสาวคดเปนรอยละเทาไร

หนงสออานเพมเตม

หนงสอสาระการเรยนรพนฐานคณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 2 หนงสอเรยน เทคนคการเรยนคณตศาสตร : อตราสวนและรอยละ ผแตง : พรรณ ศลปวฒนานนท

แหลงคนควาเพมเตม http://www.ipst.ac.th/smath/ http://www.trueplookpanya.com

22

หนวยท 3 เลขยกก าลง

ผลลพธการเรยนร สามารถใชสมบตเกยวกบเลขยกก าลงได

สาระ

ถา a เปนจ านวนใด ๆ และ n เปนจ านวนเตมบวก an = a a a … a

n ตว

3.1 การหาค าตอบของเลขยกก าลง

ตวอยาง จงหาค าตอบของเลขยกก าลงตอไปน 1. 23 = 2 2 2 = 8 2. 54 = 5 5 5 5 = 625 3. (-5)4 = (-5) (-5) (-5) (-5) = 625 4. -(54) = -(5 5 5 5) = -625 5. (-2)3 = (-2) (-2) (-2) = -8 6. -(23) = -(2 2 2) = -8

3.2 การเขยนจ านวนในรปสญกรณวทยาศาสตร

ในการเขยนตวเลขแทนจ านวนทมคามาก เชน 41,900,000,000,000,000,000 หรอจ านวนทมคานอย เชน 0.00000000000000017 จะยดยาวไมสะดวก และยงยากในการเขยนและการอาน เราอาจใชเลขยกก าลงเขยนแทนจ านวนตาง ๆ เหลาน ในรปของ A 10n เมอ 1 A 10 และ n เปนจ านวนเตม คาของ A มคาต งแต 1 ถง 9.9999…

จ านวนทเขยนในรปของ A 10n เมอ 1 A 10 และ n เปนจ านวนเตม เรยกวา สญกรณวทยาศาสตร

การเขยนจ านวนทมคามากในรปสญกรณวทยาศาสตร

ตวอยาง จงเขยนจ านวนตอไปน ในรปสญกรณวทยาศาสตร 1. 4,000,000 = 4 1,000,000 = 4 106

2. 3,740,000,000 = 374 10,000,000

23

= 3.74 100 10,000,000 = 3.74 1,000,000,000 = 3.74 109

การเขยนจ านวนทมคานอยในรปสญกรณวทยาศาสตร

ตวอยาง จงเขยนจ านวนตอไปน ในรปสญกรณวทยาศาสตร 1. 0.0000004 = 4 0.0000001 = 4 10-7

2. 0.000067 = 6.7 0.00001 = 6.7 10-5

3. 0.0000678 = 6.78 0.00001 = 6.78 10-5

ตวอยาง จงหาคาของจ านวนในรปสญกรณวทยาศาสตรตอไปน 1. 4.18 108 = 4.18 100,000,000 = 418,000,000 2. 6 10-5 = 6 0.00001 = 0.00006

******************** แบบฝกหด หนวยท 3

1. จงหาค าตอบของเลขยกก าลงตอไปน

1) 33 2) 34

3) -(4)3 4) (-4)3

5) (-3)4 6) -(34)

2. จงเขยนจ านวนตอไปน ในรปสญกรณวทยาศาสตร 1) 500000000 2) 72400000000000

3) 3146000000000000 4) 65000000000000000

5) 87193000000 6) 0.00000415

7) 0.0000005167 8) 0.0000000000067

9) 0.0000000000000999 10) 0.000000000000001755

24

3. จงหาคาของจ านวนตอไปน 1) 9.1 104 2) 6.18 107

3) 8.325 108 4) 5.25 1010

5) 4.8 1015 6) 5.2 10-5

7) 6.67 10-4 8) 8.432 10-7

9) 2.3476 10-10 10) 3.4 10-13

หนงสออานเพมเตม

หนงสอสาระการเรยนรพนฐานคณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 1 หนงสอคณตสาระ ม.ตน :เลขยกก าลง สมการก าลงสอง พาราโบลา (ชดความรเพอชมชน เลมท 144)

ผแตง : ธนกาญจน ภทรากาญจน หนงสอเทคนคการเรยนคณตศาสตร เลขยกก าลง ผแตง : พรรณ ศลปวฒนานนท หนงสอคณตสาระ ม.ตน: เลขยกก าลง สมการก าลงสอง พาราโบลา ผแตง : ธนกาญจน ภทรากาญจน

แหลงคนควาเพมเตม http://www.ipst.ac.th/smath/ http://www.chontech.ac.th/~relat/sara/html/numberup.html

25

หนวยท 4 การแกปญหาทางคณตศาสตร

ผลลพธการเรยนร สามารถแกปญหาทางคณตศาสตรได

สาระ ปญหาทางคณตศาสตร หมายถง สถานการณทเกยวกบคณตศาสตรซงเผชญอยและตองการคนหาค าตอบ โดยทยงไมรวธการหรอข นตอนทจะไดค าตอบของสถานการณน นในทนท

การแกปญหาทางคณตศาสตร หมายถง กระบวนการในการประยกตความรทางคณตศาสตร ข นตอน / กระบวนการแกปญหา ยทธวธแกปญหา และประสบการณทมอยไปใชในการคนหาค าตอบของปญหาทางคณตศาสตร

กระบวนการแกปญหา ตามแนวคดของวลสนและคณะ ข นท 1 ท าความเขาใจปญหา

ขนท 2 วางแผนแกปญหา ขนท 3 ด าเนนการตามแผน ข นท 4 ตรวจสอบผล

ยทธวธแกปญหา 1. การคนหาแบบรป 2. การสรางตาราง 3. การเขยนภาพหรอแผนภาพ 4. การแจงกรณทเปนไปไดท งหมด 5. การคาดเดาและตรวจสอบ 6. การท างานแบบยอนกลบ 7. การเปลยนมมมอง 8. การแบงเปนปญหายอย 9. การใหเหตผลทางตรรกศาสตร 10. การใหเหตผลทางออม 11. การเขยนสมการ

ซงในการแกปญหาทางคณตศาสตร ในการพฒนาศกยภาพของนกศกษา จะเนนยทธวธการ แกปญหา แบบการเขยนสมการ 4.1 สมการ

สมการ หมายถง ประโยคสญลกษณทมเครองหมาย =

26

ตวอยาง 1. 30 + 12 = 40 + 2 (เปนสมการ) 2. 3a - 5 = 7 (เปนสมการ) 3. 4ก - 12 35 (ไมใชสมการ) 4. a - 5 = z (เปนสมการ) 5. 6c + 15 (ไมใชสมการ)

4.2 สมการทเปนจรง

สมการทเปนจรง หมายถง สมการทมจ านวนทอยทางซายของเครองหมาย = กบจ านวนทอยทางขวาเทากน

ตวอยาง ขอใดคอสมการทเปนจรง

1. 7 + 5 = 14 - 2 2. 15 3 = 10 + 2 3. 6 8 = 48 4. 10 - 3 = 8 ตอบ ขอ 1 และ 3 คอสมการทเปนจรง

4.3 สมการทมตวไมทราบคา

1. สมการทมตวอกษรหรอสญลกษณอนทใชแทนจ านวนอยดวย เรยกวา สมการทมตวไมทราบคา หรอ สมการทมตวแปร

2. ตวอกษรหรอสญลกษณอนทใชแทนจ านวนในสมการ เรยกวา ตวไมทราบคา หรอ ตวแปร

ตวอยาง สมการในขอใดมตวไมทราบคา

1. 30 + 12 = 40 + 2 2. 3a - 5 = 7 3. a - 5 = z ตอบ ขอ 2 และ 3 มตวไมทราบคา

27

4.4 การแกสมการ

การแกสมการ คอ การหาคาของตวแปรหรอตวไมทราบคาในสมการเพอท าใหสมการเปนจรง

การแกสมการจะใชสมบตการเทากนเกยวกบการบวก การลบ การคณ และการหาร ดงน

ให a , b และ c แทนจ านวนใด ๆ 1. จ านวนทเทากนสองจ านวน เมอน าจ านวนอกจ านวนหนงมาบวก ผลบวกยอมเทากน

ถา a = b แลว a + c = b + c (สมบตการเทากนเกยวกบการบวก)

2. จ านวนทเทากนสองจ านวน เมอน าจ านวนอกจ านวนหนงมาลบ ผลลบยอมเทากน ถา a = b แลว a - c = b - c (สมบตการเทากนเกยวกบการลบ)

3. จ านวนทเทากนสองจ านวน เมอน าจ านวนอกจ านวนหนงมาคณ ผลคณยอมเทากน ถา a = b และ c 0แลว a c = b c (สมบตการเทากนเกยวกบการคณ)

4. จ านวนทเทากนสองจ านวน เมอน าจ านวนอกจ านวนหนงมาหาร ผลหารยอมเทากน ถา a = b และ c 0แลว a c = b c (สมบตการเทากนเกยวกบการหาร)

ตวอยาง 1. จงแกสมการ y - 5 = 12

วธท า Y - 5 + 5 = 12 + 5 Y = 17 (สมบตการเทากนเกยวกบการบวก)

2. จงแกสมการ b + 4 = 26 วธท า b + 4 - 4 = 26 - 4 b = 22 (สมบตการเทากนเกยวกบการลบ)

3. จงแกสมการ = 9

วธท า × 3 = 9 × 3

X = 27 (สมบตการเทากนเกยวกบการคณ)

4. จงแกสมการ 3y = 24

วธท า =

y = 8 (สมบตการเทากนเกยวกบการหาร)

ตวอยาง การแกสมการโดยการยายขาง 1. จงแกสมการ z - 6 = 17

วธท า z = 17 + 6

28

z = 23 2. จงแกสมการ E + 12 = 40

วธท า E = 40 - 12 E = 28

3. จงแกสมการ = 8

วธท า X = 8 6 X = 48

4. จงแกสมการ 5T = 50

วธท า T =

T = 10

5. จงแกสมการ 5Y + 4 = 39 วธท า 5Y = 39 - 4

5Y = 35 Y =

Y = 7

4.5 การเปลยนโจทยปญหาใหอยในรปสมการ

1. กานดามอาย พ ป อรกญญามอายมากกวากานดา 7 ป ถาอรกญญามอาย 15 ป แลวกานดามอายเทาไร สมการคอ พ + 7 = 15

2. ฤดมาศมเงน W บาท พภทรามเงนเปน 3 เทาของฤดมาศ ถาพภทรามเงน 3,900 บาท แลวฤดมาศจะมเงนกบาท สมการ 3 x W = 3,900

3. พอมเงน D บาท แบงใหลก 3 คน ๆ ละเทา ๆ กน ถาลกแตละคนไดรบเงนคนละ 800 บาท พอมเงนกบาท สมการ D ÷ 3 = 800

4. นนทวชสอบได ก คะแนน วชดาสอบไดคะแนนนอยกวานนทวชอย 9 คะแนน ถาวชดาสอบได 85 คะแนน นนทวชสอบไดกคะแนน สมการ ก - 9 = 85

29

แบบฝกหด หนวยท 4

1. ขอใดเปนสมการ 1) 15 + 7 = 25 2) 14 + 5 15 - 2 3) 10 5 2 4) 40 4 = 16 - 6

5) 20 x 4 100 6) 20 - 5 8

7) 19 - 7 = 20 - 8 8) 17 + 3 4 x 4

9) 27 30 10 10) A 5 = 6

2. ขอใดเปนสมการทเปนจรง 1) 50 - 34 = 20 + 3 2) 30 6 = 10 2 3) 14 + 6 = 20 2 4) 12 x 4 = 40 + 8

5) 15 + 7 = 25 6) 40 4 = 16 - 6

7) 19 - 7 = 20 - 8 8) A 5 = 6

3. จงแกสมการ 1) X + 20 = 35 2) Y - 5 = 13

3) 8 A = 24 4) b 12 = 5

5) 40 = 5 + ส 6) 15 = ก - 21

7) 32 = T 4 8) 6 = s 5

9) 2B - 4 = 10 10)

2X

+ 3 = 14

11)

5d2

= 4 12)

23X

- 2 = 7

หนงสออานเพมเตม

หนงสอสาระการเรยนรพนฐานคณตศาสตร เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 1 หนงสอคณตศาสตรแฟนตาซ ล.7 ตอนกองทพแมลงสมการ ผแตง: Grimnamu

แหลงคนควาเพมเตม http://www.ipst.ac.th/smath/ http://www.nangnong.com/chonlada/kaejodpunha.htm http://edltv.thai.net

30

หนวยท 5 สถตเบองตน

ผลลพธการเรยนร สามารถหาคากลางของขอมลโดยใชความรเกยวกบสถตเบ องตน

สาระ

5.1 ขอมลสถต ขอมล (Data) คอ ขอเทจจรงเกยวกบเรองตางๆ ทสนใจศกษา โดยอาจเปนตวเลข ขอความ และ

สญลกษณตางๆ แบงออกเปน ๒ ประเภท ไดแก 1. ขอมลเชงปรมาณ (Quantitative data) เปนขอมลทสามารถวดคาไดวามากหรอนอยเพยงใด แสดง

ในลกษณะของตวเลข และสามารถน ามา บวก ลบ คณ หาร ได เชน อาย น าหนก สวนสง รายได เปนตน 2. ขอมลเชงคณภาพ (Qualitative data) เปนขอมลทอยในรปของขอความ ไมสามารถระบไดวามาก

หรอนอยเพยงใด จงไมสามารถแสดงออกมาในรปของตวเลขได เชน ชอ – นามสกล เพศ เช อชาต ศาสนาทนบถอ บานเลขท เบอรโทรศพท เปนตน 5.2 วธการเกบรวบรวมขอมล

ตองกระท าอยางมหลกเกณฑ และเหมาะสม เพอทจะไดขอมลทด นาเชอถอ ท งน ตองอาศยการวางแผนลวงหนาอยางรอบคอบ โดยทวๆไป อาจแบงวธเกบรวบรวมขอมลออกไดเปน 4 วธ ตามลกษณะของวธการทปฏบต ดงน

1. วธเกบรวบรวมขอมลจากทะเบยนประวต 2. วธเกบรวบรวมขอมลจากการส ารวจ 3. วธเกบรวบรวมขอมลจากการทดลอง 4. วธเกบรวบรวมขอมลจากการสงเกต

5.3 การวดคากลางของขอมล การวดคากลางของขอมล เปนวธการประมาณลกษณะทวไปของขอมลเมอตองการทราบวาคาของขอมลสวนใหญ มแนวโนมเขาสคาใด ซงอาจแสดงไดดวยตวเลขจ านวนเดยวคาหนงทใชเปนตวแทนของกลมขอมลเหลาน น มวธการหาไดหลายวธตาง ๆ กน ดงน

5.3.1 ฐานนยม (Mode) ฐานนยม คอ คาทเกดข นบอย หรอซ ากนมากทสด หรอคาทมความถมากทสด

เขยนสญลกษณแทนดวย Mo ตวอยาง จงหาฐานนยมของขอมลตอไปน 3 , 3 , 6 , 4 , 5 , 3 , 5

3 มความถเทากบ 2 4 มความถเทากบ 1 5 มความถเทากบ 3 6 มความถเทากบ 1

31

ดงน น ฐานนยมของขอมลชดน คอ 3 ตวอยาง จงหาฐานนยมของขอมลตอไปน 7 ,4 ,6 ,8 ,8 ,3 ,2 ,9 วธท า 2 มความถเทากบ 1 3 มความถเทากบ 1 4 มความถเทากบ 1 6 มความถเทากบ 1 7 มความถเทากบ 1 8 มความถเทากบ 2 9 มความถเทากบ 1 ดงน น ฐานนยมของขอมลชดน คอ 8

ตวอยาง จงหาฐานนยมของขอมลตอไปน 10, 14, 12, 10, 11, 13, 12, 14, 12, 10 วธท า 10 มความถเทากบ 3 11 มความถเทากบ 1 12 มความถเทากบ 3 13 มความถเทากบ 1 14 มความถเทากบ 2 ดงน น ฐานนยมของขอมลชดน คอ 10 และ 12

ตวอยาง ฐานนยมของความนยมเลอกซ อสของรถยนต จากการส ารวจความนยมเลอกซ อสรถยนตจากศนยตวแทนจ าหนายรถยนตในกรงเทพมหานคร 7ยหอ โดยใหตวแทนจ าหนายรถยตและยหอบอกสทมยอดขายมากทสดเพยงรายการเดยว โดยขอมลดงตาราง

ตาราง ความนยมเลอกซ อสรถยนต 7 ยหอ ยหอรถยนต ฮอนดา ฟอรด มาสดา โตโยตา นสสน อซซ เชฟโรเลต

ส ขาว สสม เขยว ขาว บอรนเงน ขาว ด า

จากตารางมผตอบมากทสด คอ สขาวเปนสทมยอดขายมากทสด จงเปนสทมคนนยมมากทสด ดงน นคาฐานนยมคอ สขาว

5.3.2 มธยฐาน (Median) มธยฐาน คอ คะแนนหรอขอมลทอยตรงกลาง เมอเรยงล าดบขอมลจากนอยไปมาก หรอมาก

ไปนอยแลว คามธยฐานจะแบงขอมลออกเปน 2 สวนเทา ๆ กน คอ จะมจ านวนขอมลทมากกวาคามธยฐาน เทากบจ านวนขอมลทนอยกวามธยฐาน เขยนสญลกษณแทนดวย Med

- ถาจ านวนขอมลเปนเลขค มธยฐาน คอ คาทอยตรงกลาง - ถาจ านวนขอมลเปนเลขค มธยฐาน คอ คาทตรงกลาง 2 คา รวมกนแลวหารดวย 2

ตวอยาง จงหาคามธยฐานของขอมลตอไปน 1) 2 8 3 9 6 2 4 เรยงคะแนนจากนอยไปหามาก 2 2 3 4 6 8 9

32

มธยฐาน คอ 4

2) 9 4 6 5 4 8 3 9 เรยงคะแนนจากนอยไปหามาก 3 4 4 5 6 8 9 9 มธยฐาน คอ = (N +1)/2 = (5 + 6) / 2 = 11 / 2 = 5.5 ตวอยาง จงหาคามธยฐานของขอมลตอไปน 14 13 18 16 15 19 20 เรยงคะแนนจากนอยไปหามาก 13 14 15 16 18 19 20 หาต าแหนงมธยฐาน = (N +1)/2 = (7+1)/2 = 4 ต าแหนงท 4 ตรงกบคะแนน 16 ดงน นคามธยฐาน เทากบคะแนน 16

5.3.3 คาเฉลย (Mean) คาเฉลย คอ คาทไดจากการน าขอมลท งหมดมารวมกน แลวหารดวยจ านวนขอมลท งหมด

คาเฉลย เขยนสญลกษณแทนดวย X

n∑X

X

เมอ x คอ คาเฉลย X คอ ผลรวมของขอมลท งหมด n คอ จ านวนขอมลท งหมด

ตวอยาง ขอมลไมมการแจกแจงความถ 1) จงหาคาเฉลยของขอมลตอไปน 9 4 5 4 8 6

3084549X

55

2) จงหาคาเฉลยของขอมลตอไปน 2 8 9 6 2 4.5

2726982

55X

ตวอยาง ขอมลตอไปน แสดงรายได (บาท) ตอเดอนของพนกงานบรษทแหงหนง จ านวน 8 คน

14,500 10,700 12,900 16,000 14,100 13,800 12,500 13,500 จงหารายไดเฉลยของพนกงานบรษทกลมน รายไดเฉลยของพนกงาน = 14,500 +10,700 +12,900 +….+13,500 8

= 13,500 บาท

คาเฉลยถวงน าหนก (Weighted mean) เปนคาเฉลยทไดจากการใหความส าคญกบแตละหนวยในชดขอมลแตกตางกน เขยนสญลกษณแทนดวย xw

x

wxx w

33

เมอ xw คอ คาเฉลยถวงน าหนก wx คอ ผลรวมของผลการสงเกตคณดวยน าหนกทถวงตามล าดบ w คอ ผลรวมของน าหนก

ตวอยาง การค านวณเกรดเฉลย (GPA) เกรดเฉลย = ผลคณระหวางเกรดกบจ านวนหนวยกต จ านวนหนวยกตท งหมด

วชา เกรด จ านวนหนวยกต เกรด x หนวยกต คณตศาสตร 4 3 12 ภาษาไทย 3 3 9 ภาษาองกฤษ 4 2 8 สงคมศกษา 2 3 6 วทยาศาสตร 0 2 0

รวม 13 35

เกรดเฉลย (GPA) 69.2=35

=13

แบบฝกหด หนวยท 5

1. จงหาคาฐานนยม มธยฐาน และคาเฉลยเลขคณตของขอมลตอไปน

1.1) 12 15 13 10 15 12 18 13 13 17 1.2) 2 2 3 9 9 9 8 16 2 13 2 4 2 1.3) 50 56 25 42 69 74 63 48

1.4) 7 8 9 10 11 12 13 7 14 15 8 16 17 8 18 19 20 1.5) 15 18 10 14 5 12 18 8 10 2. จากผลการเรยนตอไปน

วชา หนวยกต ระดบผลการเรยน

อรวรา อรอษา อรอนงค อรชร ภาษาไทย 2 B C+ A A ภาษาองกฤษ 3 A A C+ B คณตศาสตร 3 C A B B+ วทยาศาสตร 2 B+ B A C

2.1) จงหาระดบผลการเรยนเฉลยของนกเรยนท ง 4 คน 2.2) ใครเรยนเกงทสด

34

หนงสออานเพมเตม

หนงสอสาระการเรยนรพ นฐานคณตศาสตร เลม 2 ช นมธยมศกษาปท 5 หนงสอคณตศาสตรแฟนตาซ ล.7 ตอนกองทพแมลงสมการ ผแตง: Grimnamu หลกสถต. ผแตง: กลดร.กลยา วานชบญชา เอกสารการสอนชดวชา สถตธรกจและการวเคราะหเชงปรมาณ หนวยท 1 – 8 ผแตง :

มหาวทยาลยสโขทยธรรมาธราช สาชาวชาวทยาการจดการ สถตธรกจ ผแตง: รศ.ดร. สรชย พศาลบตร

เอกสารการสอนชด วชา 30205 คณตศาสตรและสถต ผแตง: มหาวทยาลยสโขทยธรรมาธราช. สาขาวชาวทยาการจดการ แหลงคนควาเพมเตม http://www.ipst.ac.th/smath/

35

หนวยท 6 การน าเสนอขอมลและการแปลผลขอมล

ผลลพธการเรยนร สามารถน าเสนอขอมลและแปลผลขอมลได

สาระ

6.1 การน าเสนอขอมล

การน าเสนอขอมล ขอมลทเกบรวบรวมมาได ทยงไมมการจดกระท าใดๆ เรยกวา “ขอมลดบ” ซงจะตองน ามาจดระเบยบใหอยในรปแบบทงายตอความเขาใจ สะดวก รวดเรว สามารถมองเหนภาพรวมไดในระดบหนง โดยมวธการหลายรปแบบ ในทน จะกลาวถงเฉพาะการน าเสนอขอมลในรปของตารา งแจกแจงความถ และแผนภม

6.1.1 ตาราง เปนวธการน าเสนอขอมลทไดรบความนยมมากเพราะน าเสนอขอมลไดกระชบและไดใจความครอบคลม ผอานสามารถเปรยบเทยบตวเลขจากตารางชดเจนและยงสามารถน าขอมลไปสรางรปแบบการน าเสนอขอมลอน ๆ อกได

ตาราง จ านวนนกศกษาวทยาลยชมชน ปการศกษา 2551 จ าแนกตามสาขาวชา

สาขาวชา จ านวน รอยละ

การบญช 32 22.22

การพฒนาชมชน 27 18.75

คอมพวเตอรธรกจ 40 27.78

การศกษาปฐมวย 45 31.25

รวม 144 100

36

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

การบญช การพฒนาชมชน คอมพวเตอรธรกจ การศกษาปฐมวย

สาขาวชา

6.1.2 แผนภมแทง แผนภมชนดน แสดงดวยรปแทงสเหลยม ซงอาจเขยนอยในแนวนอน หรอแนวต งกได ความสงหรอความยาวของแทงจะแทนจ านวนความถหรอรอยละของจ านวนตวเลขทตองการจะน าเสนอ ความกวางจะตองเทากนทกแทง ระยะระหวางแทงควรจะเทากน หรออาจจะเขยนตดกนกได ในกรณทมขอมลหลายประเภทในแผนภมเดยวกนควรจะระบายสแทง หรอใชสญลกษณ หรอเครองหมายอยางใดอยางหนง ใหแทนขอมลทตางพวกกน ดตางกน และควรจะเขยนก ากบไวดวยวาสญลกษณแตละอยางน นหมายถงอะไร

รปท 1 แผนภมแสดงจ านวนนกศกษาจ าแนกตามสาขาวชา 6.1.3 กราฟเสนหรอกราฟหลายเหลยมแหงความถ การเขยนกราฟหลายเหลยมแหงความถน นท าไดโดยดดแปลงจากแผนภมแทง โดยการลากเสนเชอมตอระหวางจดกลางของดานบนในแผนภมแทงแตละแทง ในกรณทตองการแสดงขอมลต งแต 2 ชดในแผนภมเดยวกน ควรเขยนเสนใหมลกษณะตางกน และเขยนก ากบไวดวยวาเสนชนดใดแทนอะไร

รปท 2 กราฟแสดงจ านวนนกศกษาจ าแนกตามสาขาวชา

จ ำนวน

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

การบญช การพฒนาชมชน คอมพวเตอรธรกจ การศกษาปฐมวย

สาขาวชา

37

6.1.4 แผนภมรปภาพ ใชภาพหรอสญลกษณแทนสงทตองการเสนอ จากตวอยาง เปนแผนภมรปภาพทแสดงใหเหนถงการแจกแจงของจ านวนนกศกษาในแตละสาขา

สาขาวชา แทน 10 คน

การบญช

การพฒนาชมชน

คอมพวเตอรธรกจ

การศกษาปฐมวย

รปท 3 แผนภมแสดงจ านวนนกศกษาจ าแนกตามสาขาวชา

6.1.5 แผนภมวงกลมหรอแผนภมกง แผนภมชนดน เหมาะส าหรบการเสนอตวเลขเปนรอยละ โดยการแบงมมทจดศนยกลางของวงกลม

360 องศา ออกเปน 100 สวน ดงตวอยาง

ตาราง จ านวนนกศกษาวทยาลยชมชน ปการศกษา 2551 จ าแนกตามสาขาวชา

สาขาวชา จ านวน รอยละ

การบญช 15 10.00

การพฒนาชมชน 30 20.00

คอมพวเตอรธรกจ 45 30.00

การศกษาปฐมวย 60 40.00

รวม 150 100

แบบฝกหด

การบญช 10%

การพฒนาชมชน 20%

คอมพวเตอรธรกจ 30%

การศกษาปฐมวย 40%

รปท 4 แผนภมแสดงจ านวนนกศกษาวทยาลยชมชน ปการศกษา 2551

38

หนวยท 6

1. จงน าเสนอขอมลตอไปน ในรปตาราง, แผนภมแทง, กราฟเสน, แผนภมรปภาพ และแผนภมวงกลม

ผลไม จ านวน (ตน)

มงคด 15

เงาะ 25

ทเรยน 10

รวม 50

2. แผนภมแทงเปรยบเทยบสวนประกอบของนมชนดตาง ๆ

1. นมชนดใดมโปรตนมากทสด 2. จากแผนภมแทงตอบค าถามตอไปน

1.นมชนดใดมโปรตนเทากบไขมน 2. นมชนดใดมไขมนนอยทสด 3. นมขนหวานมโปรตนมากกวานมเปร ยวเทาใด 4. นมชนดใดมไขมนมากทสด

ปรมาณ (กรม)

ชนดของนม

39

แผนภมรปวงกลมแสดงคาใชจายของพดซอน ในเวลา 1 เดอน พดซอนมรายได 18,500 บาท

3. จากแผนภมแทงตอบค าถามตอไปน

1. พดซอนจายคาเชาบานจ านวนกบาท 2. แตละเดอนพดซอนจายคาอาหารกบาท 3. พดซอนจายคาเครองนงหมมากกวาฝากธนาคารกบาท

หนงสออานเพมเตม

หนงสอสาระการเรยนรพ นฐานคณตศาสตร เลม 2 ช นมธยมศกษาปท 5 หนงสอคณตศาสตรแฟนตาซ ล.7 ตอนกองทพแมลงสมการ ผแตง: Grimnamu หลกสถต. ผแตง: กลดร.กลยา วานชบญชา เอกสารการสอนชดวชา สถตธรกจและการวเคราะหเชงปรมาณ หนวยท 1 – 8 ผแตง :

มหาวทยาลยสโขทยธรรมาธราช สาชาวชาวทยาการจดการ สถตธรกจ ผแตง: รศ.ดร. สรชย พศาลบตร

เอกสารการสอนชด วชา 30205 คณตศาสตรและสถต ผแตง: มหาวทยาลยสโขทยธรรมาธราช. สาขาวชาวทยาการจดการ หนงสอ หนงสอยอดคณตศาสตร เรอง สถตและความนาจะเปน ช นประถมศกษาปท 4-6 ผแตง: ฝายวชาการ พบซ แหลงคนควาเพมเตม http://www.ipst.ac.th/smath/

40

แหลงเรยนร หองสมดวทยาลยชมชน เวบไซดเพอการพฒนาทกษะทางคณตศาสตร ดงน www.kanid.com www.ipst.ac.th/smath/

www.ipst.ac.th/smath/ www.nangnong.com/chonlada/kaejodpunha.htm

www.chontech.ac.th/~relat/sara/html/numberup.html http://edltv.thai.net http://www.trueplookpanya.com

ขอเสนอแนะ เพอใหเกดการเรยนรและพฒนาทกษะทางคณตศาสตรใหไดผลเปนทพอใจ ผ สอนตองสงเสรมและสรางแรงจงใจใหผเรยนมความสนใจและตองการพฒนาทกษะทางคณตศาสตรดวยตนเองอยางตอเนอง ขยนหมนฝกฝนท าโจทย แกปญหาทางคณตศาสตรอยางหลากหลาย ไมทอแทหมดก าลงใจกบการแกโจทยปญหาทางคณตศาสตรทมความยาก กรณมเฉลยควรแนะน าผเรยนไมใหดเฉลยกอนไดทดลองท าดวยตนเองอยางเตมก าลงความสามารถ

41

บรรณานกรม หนงสอสาระการเรยนรพนฐานคณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 1 หนงสอสาระการเรยนรพนฐานคณตศาสตร เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 2 หนงสอเรยน คณตศาสตร พนฐาน ม.2 เทอม 2 (หลกสตรฯ 2544) ผแตง : รศ.ดร.นพพร แหยม

แสง และคณะ หนงสอคณตคดเปน ม.1-2-3 ตอน จ านวนเตม ผแตง : สวร กาญจนมยร หนงสอคณตคดเปน ตอน บวก ลบ คณ หาร เศษสวน ผแตง : สวร กาญจนมยร หนงสอคณตคดเปน ตอน บวก ลบ คณ หาร เศษสวน ผแตง : สวร กาญจนมยร

หนงสอสาระการเรยนรพ นฐานคณตศาสตร เลม 2 ช นมธยมศกษาปท 5 หนงสอคณตศาสตรแฟนตาซ ล.7 ตอนกองทพแมลงสมการ ผแตง: Grimnamu หลกสถต. ผแตง: ดร.กลยา วานชบญชา เอกสารการสอนชดวชา สถตธรกจและการวเคราะหเชงปรมาณ หนวยท 1 – 8 ผแตง :

มหาวทยาลยสโขทยธรรมาธราช สาชาวชาวทยาการจดการ สถตธรกจ ผแตง: รศ.ดร. สรชย พศาลบตร

เอกสารการสอนชด วชา 30205 คณตศาสตรและสถต ผแตง: มหาวทยาลยสโขทยธรรมาธราช. สาขาวชาวทยาการจดการ หนงสอ หนงสอยอดคณตศาสตร เรอง สถตและความนาจะเปน ช นประถมศกษาปท 4-6 ผแตง: ฝายวชาการ พบซ

หนงสอสาระการเรยนรพนฐานคณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 2 หนงสอเรยน เทคนคการเรยนคณตศาสตร : อตราสวนและรอยละ ผแตง : พรรณ ศลปวฒนานนท