25
บททีบทที3 3 ----------------------------------- พีชคณิตบูลีน (Boolean Algebra) หัวขอสําคัญ 3.1 พื้นฐานของพีชคณิตบูลีน 3.2 พีชคณิตบูลีนและการลดรูปวงจรลอจิก 3.3 ทฤษฎีของเดอมอแกน 3.4 ทฤษฎีการคูกัน 3.5 ตารางความจริง 3.6 รูปแบบมาตรฐานของฟงกชันบูลีน 3.7 แผนผังคารโนห 3.10 แบบฝกหัด 3.1 พื้นฐานของพีชคณิตบูลีน ทฤษฎีของบูลีน (Boolean Theory) เปนทฤษฎีที่ใชในการคํานวณทางลอจิก ซึ่งใช กับ เลขฐาน 2 ที่มีตัวแปร 0 และ 1 รวมกับการใชงานของ AND Gate, OR Gate และ NOT Gate หรือคอมพลีเมนท เนื่องจากเลขฐานสอง มีความสําคัญมากในทางวงจรลอจิกเกท กลาวคือ สัญลักษณ 0 และ 1 จะใชแสดงสภาวะสองสภาวะของวงจร หรืออุปกรณดิจิตอล คอมพิวเตอร โดยสภาวะ 0 และ 1 นีอาจจะมีลักษณะเปน ON และ OFF สวิทชปดและสวิทชเปด แรงดันไฟฟา สูงและ ต่ํา แรงดันไฟฟาบวกและลบเปนตน หลักเกณฑที่สําคัญของทฤษฎีบูลีน จะถูกนํามาเขียนเปนรูปสมการของตัวแปรแทน วงจรลอจิก เราสามารถเปลี่ยนรูปสมการบูลีนใหมีรูปใหมที่มีจํานวนเทอม และตัวแปรนอยลงได ในทํานองเดียวกัน สามารถเปลี่ยนแปลงวงจรลอจิกที่มีจํานวนเกทหลายตัว มีความซับซอนมากให มีขนาดนอยลง ขณะที่ฟงกชั่นการทํางานเหมือนเดิม ทฤษฎีของบูลีนซึ่งมีกฎตาง จึงมีประโยชนและนําไปใชงานในการเขียนสมการแทน วงจรลอจิกได และสามารถเขียนวงจรลอจิกจากสมการบูลีนได อีกทั้งสามารถลดรูปวงจร

หน่วยที่ 3 พีชคณิตบูลีน - comsci.infotps.comsci.info/algebra.pdf3.2.1 กฎของ OR ซ 4 ข งม อด งน กฎข อท1 A

  • Upload
    others

  • View
    7

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: หน่วยที่ 3 พีชคณิตบูลีน - comsci.infotps.comsci.info/algebra.pdf3.2.1 กฎของ OR ซ 4 ข งม อด งน กฎข อท1 A

บทที่ บทที่ 33 ----------------------------------- พีชคณิตบูลีน (Boolean Algebra) หัวขอสําคัญ

3.1 พื้นฐานของพีชคณิตบูลีน 3.2 พีชคณิตบูลีนและการลดรูปวงจรลอจิก 3.3 ทฤษฎีของเดอมอแกน 3.4 ทฤษฎีการคูกัน 3.5 ตารางความจริง 3.6 รูปแบบมาตรฐานของฟงกชันบูลีน 3.7 แผนผังคารโนห 3.10 แบบฝกหัด

3.1 พื้นฐานของพีชคณิตบูลีน ทฤษฎีของบูลีน (Boolean Theory) เปนทฤษฎีที่ใชในการคํานวณทางลอจิก ซึ่งใช

กับ เลขฐาน 2 ที่มีตัวแปร 0 และ 1 รวมกับการใชงานของ AND Gate, OR Gate และ NOT Gate หรือคอมพลีเมนท เนื่องจากเลขฐานสอง มีความสําคัญมากในทางวงจรลอจิกเกท กลาวคือ สัญลักษณ 0 และ 1 จะใชแสดงสภาวะสองสภาวะของวงจร หรืออุปกรณดิจิตอล คอมพิวเตอร โดยสภาวะ 0 และ 1 นี้ อาจจะมีลักษณะเปน ON และ OFF สวิทชปดและสวิทชเปด แรงดันไฟฟาสูงและ ตํ่า แรงดันไฟฟาบวกและลบเปนตน

หลักเกณฑที่สําคัญของทฤษฎีบูลีน จะถูกนํามาเขียนเปนรูปสมการของตัวแปรแทน วงจรลอจิก เราสามารถเปลี่ยนรูปสมการบูลีนใหมีรูปใหมที่มีจํานวนเทอม และตัวแปรนอยลงได ในทํานองเดียวกัน สามารถเปลี่ยนแปลงวงจรลอจิกที่มีจํานวนเกทหลายตัว มีความซับซอนมากใหมีขนาดนอยลง ขณะที่ฟงกชั่นการทํางานเหมือนเดิม

ทฤษฎีของบูลีนซึ่งมีกฎตาง ๆ จึงมีประโยชนและนําไปใชงานในการเขียนสมการแทนวงจรลอจิกได และสามารถเขียนวงจรลอจิกจากสมการบูลีนได อีกทั้งสามารถลดรูปวงจร

Page 2: หน่วยที่ 3 พีชคณิตบูลีน - comsci.infotps.comsci.info/algebra.pdf3.2.1 กฎของ OR ซ 4 ข งม อด งน กฎข อท1 A

ดิจิตอลประยุกต 31041003 พีชคณิตบูลีน พงษ พร 2

สัทธา ลอจิกที่มีจํานวนเกทมาก ๆ ซับซอนใหมีขนาดเล็กลงได เพื่อความประหยัดในการออกแบบ ลดเวลาหนวงในการทํางานของวงจรลอจิก

3.2 พีชคณิตบูลีนและการลดรูปวงจรลอจิก พีชคณิตบูลีน คือ ระบบของคณิตศาสตรทางลอจิก ซึ่งประกอบดวยกฎพื้นฐานตาง ๆ ดังนี้

3.2.1 กฎของ OR ซึ่งมี 4 ขอดังนี้ กฎขอที่ 1 A + 0 = A กฎขอที่ 2 A + 1 = 1 กฎขอที่ 3 A + A = A กฎขอที่ 4 A + A = 1

3.2.2 กฎของ AND มี 4 ขอดังนี้ คือ กฎขอที่ 5 A.0 = 0 กฎขอที่ 6 A.1 = A กฎขอที่ 7 A.A = A กฎขอที่ 8 A.A = 0

3.2.3 กฎของการคอมพลีเมนท (Laws of Complementation) กฎของการคอมพลีเมนทมีดังตอไปนี้

กฎขอที่ 9 0 = 1 กฎขอที่ 10 1 = 0 กฎขอที่ 11 ถา A = 0 แลว A จะเทากับ 1 กฎขอที่ 12 A = 1 แลว A จะเทากับ 0 กฎขอที่ 13 A = A

3.2.4 กฎของการสลับท่ี (Commutative Laws) กฎนี้เปนกฎการสลับที่ของ AND GATE และ OR GATE ซึ่งมีดังนี้คือ กฎขอที่ 14 A + B = B + A กฎขอที่ 15 A . B = B . A

3.2.5 กฎการจัดกลุม (Associative Laws)

Page 3: หน่วยที่ 3 พีชคณิตบูลีน - comsci.infotps.comsci.info/algebra.pdf3.2.1 กฎของ OR ซ 4 ข งม อด งน กฎข อท1 A

ดิจิตอลประยุกต 31041003 พีชคณิตบูลีน พงษ พร 3

สัทธา กฎการจัดกลุมเปนกฎที่ใชในการจัดกลุมของตัวแปรใหม ซึ่งมีกฎตาง ๆ ดังนี้คือ กฎขอที่ 16 A + (B + C) = (A + B) + C กฎขอที่ 17 (A + B) + (C + D) = A + B + C + D กฎขอที่ 18 A . (B . C) = (A . B) . C

3.2.6 กฎการกระจาย (Distributive Laws) กฎการกระจายมีดังตอไปนี้คือ กฎขอที่ 19 A ( B + C ) = AB + AC กฎขอที่ 20 A + BC = (A + B) (A + C) กฎขอที่ 21 A + A . B = A + B

3.2.7 กฎการลดทอน (Absorptive Laws) กฎนี้จะชวยใหสามารถลดการแสดงทางลอจิกที่ซับซอนใหอยูในรูปแบบ

อยางงายโดยลดทอนบางเทอมจากที่มีอยูเดิม ซึ่งมีกฎตาง ๆ ดังนี้ กฎขอที่ 22 A + AB = A กฎขอที่ 23 A . (A + B) = A กฎขอที่ 24 A . (A + B) = AB

ตัวอยางท่ี 3.1 ใหพิสูจนวาสมการบูลีน AB + ABC = AB เปนจริง

วิธีทํา F = AB + ABC = AB ( 1 + C) = AB . 1 : กฎขอที่ 2 ∴ F = AB : กฎขอที่ 6

∴ AB + ABC = AB เปนจริง

ตัวอยางท่ี 3.2 ใหพิสูจนวา (A + B) (A + C) + BC = A + BC วิธีทํา F = (A + B) (A + C) + BC

= AA + AC + AB + BC + BC : กฎขอที่ 19 = A + AC + AB + BC + BC : กฎขอที่ 7 = A (1 + B) + AC + BC (1+ BC ) : กฎขอที่ 19 = A + AC + BC : กฎขอที่ 2

Page 4: หน่วยที่ 3 พีชคณิตบูลีน - comsci.infotps.comsci.info/algebra.pdf3.2.1 กฎของ OR ซ 4 ข งม อด งน กฎข อท1 A

ดิจิตอลประยุกต 31041003 พีชคณิตบูลีน พงษ พร 4

สัทธา = A (1 + C)+ BC : กฎขอที่ 19 ∴ F = A + BC : กฎขอที่ 2

ตัวอยางท่ี 3.3 ใหพิสูจนวา B + AB = A + B วิธีทํา F = B + AB

= B .1 + AB : กฎขอที่ 6 = B (1 + A) + AB : กฎขอที่ 2 = B . 1 + AB + AB : กฎขอที่ 19 = B + A (B + B) : กฎขอที่ 19 = B + A . 1 : กฎขอที่ 4 = B + A : กฎขอที่ 6 ∴ F = A + B *** : กฎขอที่ 14

ตัวอยางท่ี 3.4 ใหพิสูจนสมการ (A + B) (A + B) (A + C) = AC วิธีทํา F = (A + B) (A + B) (A + C)

= (AA + AB + BA + BB) (A + C) = (A + AB + AB) (A + C) กฎขอ 22 = [A (1 + B) + AB] (A + C) = (A + AB) (A + C ) = A (1 + B) (A + C) กฎขอ 2 = A . 1 (A + C) = AA + AC ∴ F = AC : AA = 0 กฎขอ 8

3.3 ทฤษฎีของเดอมอรแกน (DeMorgan’s Theorems) 3.3.1 ทฤษฏีของเดอมอรแกน

ทฤษฎีของเดอมอรแกนเปนทฤษฎีที่ชวยลดรูปสมการที่ซับซอน ซึ่งมี 2 กฎดังนี้คือ

กฎขอท่ี 1 A + B = A . B กฎขอท่ี 2 A . B = A + B

Page 5: หน่วยที่ 3 พีชคณิตบูลีน - comsci.infotps.comsci.info/algebra.pdf3.2.1 กฎของ OR ซ 4 ข งม อด งน กฎข อท1 A

ดิจิตอลประยุกต 31041003 พีชคณิตบูลีน พงษ พร 5

สัทธา กฎขอท่ี 1 กลาวไดวา คอมพลีเมนทของผลบวกมีคาเทากับผลคูณของคอมพลีเมนท กฎขอท่ี 2 กลาวไดวา คอมพลีเมนทของผลคูณมีคาเทากับผลบวกของ คอมพลีเมนท จากกฎ 2 ขอของเดอมอรแกนนี้ มีขั้นตอนในการทําโดยใช NOT GATE ไดดังนี้คือ

1. คอมพลีเมนทสมการที่ใหมานั่นคือ ตัดเคร่ืองหมาย NOT หรือขีดออก 2. เปลี่ยน AND เปน OR และเปลี่ยน OR และ AND ในชวงการคอมพลีเมนท 3. ใสคอมพลีเมนทที่ตัวแปรทุกตัวหรือมีขั้นตอนอีกแบบหนึ่งคือทําการ

คอมพลีเมนทสมการบูลีนที่ใหมา 2 คร้ัง 4. เปลี่ยน AND เปน OR และเปลี่ยน OR เปน AND ในชวงแบงขีดหรือแบงการคอมพลีเมนท

ตัวอยางท่ี 3.5 ใหใชทฤษฎีของเดอมอรแกนลดรูปสมการ A + BC วิธีทํา A + BC = A + BC : ปลดคอมพลีเมนทออก

= A . (B + C) : เปลี่ยน AND เปน OR และเปลี่ยน OR และ AND

= A . (B + C) : ใสคอมพลีเมนท ∴ A + BC = A . (B + C) *** ดังรูปที่ 3.10

ตัวอยางท่ี 3.6 ใหลดรูปสมการ F = (A + B) (C + D) โดยใชทฤษฎีของเดอมอรแกน วิธีทํา F = (A + B) (C + D)

ใชทฤษฎีของเดอมอรแกน = (A + B) (C + D) = AB + CD ∴ F = AB + CD ***

3.4 ทฤษฎีการคูกัน (Duals Theorems) บอยคร้ังมากที่คุณสมบัติของ Boolean Algebra ใหหลักการของการคูกัน ซึ่งหลัก

การมีอยูวา ถามีการใชงานเปน AND ใหเปลี่ยน OR และมีการใชงาน OR ใหเปลี่ยนเปน AND ถามี 0 และ 1 ใหเปลี่ยนคากันคือ เดิมเปน 0 ใหเปลี่ยนเปน 1 และถาเปน 1 ใหเปลี่ยนเปน 0 ตัวอยางของการใชทฤษฎีคูกันดังนี้คือ

Page 6: หน่วยที่ 3 พีชคณิตบูลีน - comsci.infotps.comsci.info/algebra.pdf3.2.1 กฎของ OR ซ 4 ข งม อด งน กฎข อท1 A

ดิจิตอลประยุกต 31041003 พีชคณิตบูลีน พงษ พร 6

สัทธา AB และ A + B A + 0 = A และ A.1 = A = A B. 0 = 0 และ B+1 = 1 A(BC) = (AB) C และ A +(B +C) = (A +B) + C : กฎการจัดหมู A (B+C) = AB+AC และ A+BC = (A+B) (A+C) : กฎการกระจาย A+AB = A และ A(A+B) = A : กฎการลดทอน A+AB = A+B และ A(A+B) = AB : กฎการลดทอน A + B = AB และ AB = A + B : ทฤษฎีของเดอมอรแกน

ตัวอยางท่ี 3.7 ใหหาการคูกันของ (A + B) (A + B) และใหหา truth table สําหรับผลที่ไดและใหบอกวาผลที่ไดเปนเกทชนิดใด

วิธีทํา การคูกันของ (A + B) (A + B) คือ AB + AB *** truth table มีลักษณะดังตารางที่ 3.1

ตารางที่ 3.1 A B A B A B A B A B+ AB 0 0 1 1

0 1 0 1

1 1 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

1 0 1 1

1 0 0 1

3.5 ตารางความจริง (Truth Table) ตารางความจริง เปนตารางที่บอกถึงฟงกชั่นเอาทพุทของวงจรลอจิก หรือฟงกชั่นเอาทพุท

ของลอจิกเกท มีความสัมพันธกับวงจรลอจิก ความสัมพันธดังกลาว จึงมีความสําคัญ ทั้งนี้เราจะ สามารถเขียนรูปสมการจากตารางความจริงของวงจรลอจิกไดเชนเดียวกัน

3.6 รูปแบบมาตรฐานของฟงกช่ันบูลีน (Standard Forms of Boolean Functions) ตามที่กลาวมาแลวขางตนจะเห็นไดวาฟงกชั่นของเลขฐานสองของตัวแปรของเลขฐาน

สองที่กระทํากันในลักษณะ AND GATE , OR GATE และ NOT GATE จะถูกเรียกวา ฟงกชั่นบูลีนหรือบูลีนอัลจีบรา (Boolean Functions or Boolean Algebra) ตัวอยางเชน ฟงกชั่นบูลีน 2 ตัว

Page 7: หน่วยที่ 3 พีชคณิตบูลีน - comsci.infotps.comsci.info/algebra.pdf3.2.1 กฎของ OR ซ 4 ข งม อด งน กฎข อท1 A

ดิจิตอลประยุกต 31041003 พีชคณิตบูลีน พงษ พร 7

สัทธา แปร คือ A และ B มีฟงกชั่นคือ F = AB + AB ซึ่งมี truth table ดังตารางที่ 3.2 จะเห็นไดวาคุณสมบัติของ F = AB + AB มีลักษณะเปน XOR GATE

ตารางที่ 3.2 truth table ของ F = AB + AB

A B F 0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

3.6.1 ผลรวมของผลคูณ (The sum of Products) โดยทั่วๆ ไป จะกําหนดใหฟงกชั่น F ของ n ตัวแปร มีจํานวนแถวของ truth

table เทากับ 2n n คอลัมนแรกของทุกแถวจะประกอบดวยเลขฐานสองที่เรียงจาก 0 ไปถึง 2n - 1 ตัวอยางเชน ฟงกชั่น F ของ 3 ตัวแปรจะถูกอธิบายดังตารางที่ 3.3 ในลักษณะนี้สามารถเขียนฟงกชั่น F ได ตัวอยางเชน

F = ABC + ABC+ ABC + ABC จะเห็นไดวา F จะประกอบดวย 4 เทอม คือ ABC. ABC, ABC และ ABC

เราเรียกวา มินเทอม (minterms) ที่ซึ่งเราถูกรวมโดย OR เพราะวา OR ใชแทนการบวกกัน ดังนั้น F คือผลรวมของ 4 มินเทอม และถูกเรียกวาผลคูณของ 3 ตัวแปร ดวยเหตุน้ีจึงเรียกฟงกชั่น F วาเปนรูปแบบของ ผลบวกของผลคูณ (A sum of product)

ฟงกชั่นบูลีน 3 ตัวแปรจะประกอบดวย 8 มินเทอม (2n = 23 = 8) โดยหน่ึงแถวจะมี 1 มินเทอม ในตาราง truth table โดยหนึ่งมินเทอมจะมีคาอยูระหวาง 0 และ 23 - 1 = 7 มินเทอม เหลานี้จะถูกกําหนดเปน m0 , m1 , m2 , m3 , m4 , m5 , m6 และ m7 (ในกรณี 3 ตัวแปร) ถาตัวแปรมี n ตัวแปร จํานวนของมินเทอมจะมีดังนี้คือ

ทุก ๆ มเปนคอมพลีเมนทหรือไมคอ

m0, m1, m2, m3,…, mm22nn-1…เมื่อ มี n ตัวแปร

ินเทอมจะประกอบดวยผลคูณของ 3 ตัวแปร ซึ่งแตละตัวแปรอาจจะมพลีเมนทก็ได โดยถาบิทของเลขฐานสองมีคาเปน 0 ตัวมินเทอมจะ

Page 8: หน่วยที่ 3 พีชคณิตบูลีน - comsci.infotps.comsci.info/algebra.pdf3.2.1 กฎของ OR ซ 4 ข งม อด งน กฎข อท1 A

ดิจิตอลประยุกต 31041003 พีชคณิตบูลีน พงษ พร 8

สัทธา ถูกคอมพลีเมนท เชน บิทแรกของเลขฐานสอง i = 0 หรือ 1 จะทําใหตัวแปรแรกในมินเทอม mi ถูกคอมพลีเมนท และไมถูกคอมพลีเมนทตามลําดับในตารางที่ 3.4 จะแสดงเลขฐานสองที่อยูในชวง 0 ถึง 7 (ในกรณีมีตัวแปร 3 ตัวแปร) และมีมินเทอม m0 ถึง m7

ตารางที่ 3.3 truth table ของฟงกชั่นบูลีน F A B C F 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

0 1 1 0 1 0 0 1

ตารางที่ 3.4 มินเทอมของตัวแปร 3 ตัว คือ A, B และ C

เลขฐานสอง A B C มินเทอมของตัวแปร A, B, C

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

m0 = ABC m1 = ABC m2 = ABC m3 = ABC m4 = ABC m5 = ABC m6 = ABC m7 = ABC

Page 9: หน่วยที่ 3 พีชคณิตบูลีน - comsci.infotps.comsci.info/algebra.pdf3.2.1 กฎของ OR ซ 4 ข งม อด งน กฎข อท1 A

ดิจิตอลประยุกต 31041003 พีชคณิตบูลีน พงษ พร 9

สัทธา การแสดงฟงกชั่นบูลีน F จะไดมาจากการรวมกันของมินเทอมที่ใหคาของฟงกชั่น

ในแตละแถวเปน 1 ในคอลัมนที่เขียนวา F เชน ในตารางที่ 3.3 จะไดฟงกชั่นบูลีนดังนี้คือ F = m1 + m2 + m4 + m7

= ABC + ABC + ABC +ABC

3.6.2 ผลคูณของผลบวก (The Product of Sums) เราไดทราบวิธีการเขียนผลรวมของผลคูณหรือมินเทอมมาแลว ตอมาในหัวขอน้ี

จะอธิบายวิธีที่กลับกัน กอนอ่ืนขอใหพิจารณาตารางที่ 3.3 อีกคร้ัง เมื่อนํามาสรางใหมเพื่อใหมี F จะไดดังตารางที่ 3.5 ซึ่งคอลัมน F คือคอมพลีเมนทของ F ซึ่งสามารถแสดงฟงกชั่น F ไดดังนี้คือ

F = m0 + m3 + m5 + m6 = ABC + ABC + ABC + ABC

ตารางที่ 3.5 truth table ของ F และ F A B C F F 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

0 1 1 0 1 0 0 1

1 0 0 1 0 1 1 0

เมื่อใสคอมพลีเมนทของ F ทั้ง 2 ขางจะได F = ABC + ABC + ABC + ABC

ใชทฤษฎีของเดอมอรแกนจะได ∴ F = (A+B+C) (A+B+C) (A+B+C) (A+B+C)

ซึ่งจะได F เปนฟงกชั่นของผลคูณของผลรวม โดยแตละผลรวมจะถูกเรียกวา แม็กซเทอม (Maxterm) สําหรับฟงกชั่น 3 ตัวแปร จะมีแม็กเทอมทั้งหมด = 2n = 23 = 8 ตัว โดยจะมีหน่ึงตัวในแตละแถว ซึ่งจะถูกกําหนดเปน M0, M1, M2, M3, M4, M5, M6 และ M7 แตละ แม็กเทอมจะประกอบดวยผลรวมของ 3 ตัวแปร โดยแตละตัวแปรจะถูกคอมพลีเมนทหรือไมถูกคอมพลีเมนทก็ได ถาบิทแรกของเลขฐานสอง i คือ 0 หรือ 1 แลวตัวแปรแรกของแม็กเทอม Mi

Page 10: หน่วยที่ 3 พีชคณิตบูลีน - comsci.infotps.comsci.info/algebra.pdf3.2.1 กฎของ OR ซ 4 ข งม อด งน กฎข อท1 A

ดิจิตอลประยุกต 31041003 พีชคณิตบูลีน พงษ พร 10

สัทธา จะไมถูกคอมพลีเมนทและถูกคอมพลีเมนทตามลําดับ ในตารางที่ 3.6 จะแสดงเลขฐานสอง ในชวง 0 ถึง 7 และแม็กเทอมของมัน

ตารางที่ 3.6 แม็กเทอมของตัวแปร 3 ตัวแปรคือ A, B, C

เลขฐานสอง แม็กเทอมของตัวแปร A, B,C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

M0 = A + B + C M1 = A + B + C M2 = A + B + C M3 = A + B + C M4 = A + B + C M5 = A + B + C M6 = A + B + C M7 = A + B + C

ผลคูณของแม็กซเทอมจะแสดงออกมาในรูปของฟงกชั่นบูลีนเมื่อผลที่ไดของมันหรือเอาทพุทมีคาเทากับ 0 (ในที่น้ีคือคอลัมน F) ดังนั้นจากตารางที่ 3.6 จะได

F = M0 M3 M5 M6 = (A + B + C) (A + B + C)(A + B + C) (A + B + C) วงจรลอจิกของ F จะมีลักษณะดังรูปที่ 3.1

รูปท่ี 3.1 แสดงวงจรลอจิก

Page 11: หน่วยที่ 3 พีชคณิตบูลีน - comsci.infotps.comsci.info/algebra.pdf3.2.1 กฎของ OR ซ 4 ข งม อด งน กฎข อท1 A

ดิจิตอลประยุกต 31041003 พีชคณิตบูลีน พงษ พร 11

สัทธา 3.7 แผนผังคารโนห (Karnaugh Map)

แผนผังคารโนห เปนระบบที่ดัดแปลงมาจากพีชคณิตบูลีนใหอยูในรูปแบบตาราง สามารถนํามาลดรูป สมการลอจิกไดรวดเร็วและสมการที่ลดรูปไดอยูในรูปแบบที่สั้นที่สุด แผนผังคารโนหมีความสัมพันธกับตารางความจริง น่ันคือแตละชองของแผนผังคารโนหจะมีลอจิกของตัวแปรอินพุทตรงกับตารางความจริง และแผนผังคารโนหยังใชไดกับสมการในรูปแบบของ ผลคูณของผลบวกและผลบวกของผลคูณ 3.7.1 การลดรูปฟงกชั่นบูลีนโดยใช Karnaugh map

ฟงกชั่นบูลีนสามารถถูกทําใหงายขึ้นโดยใชรูปภาพแผนผังได ซึ่งวิธีการนี้จะถูกเรียกวา Karnaugh map ซึ่งถูกคนพบจากวิศวกรไฟฟาคนหนึ่งคือ Maurice Karnaugh

Karnaugh map คือ เคร่ืองมือที่สําคัญตัวหน่ึงสําหรับนักออกแบบวงจรลอจิก การใช Karnaugh จะไมยุงยากซับซอนหรือใชทฤษฎีใหม ๆ แตอยางใด จะเปนเพียงวิธีที่ทุกคนสามารถเขาใจไดงายโดยใชรูปภาพแทนตารางตัวเลข Karnaugh map

การลดทอนสมการลอจิก ใหงายโดยใชพีชคณิตของบูลีน น้ันมีขอยุงยากที่จะตองจดจําทฤษฎีบทใหไดหมดทุกทฤษฎี การใชผังคารโนหจะชวยลดขอยุงยากเหลานั้นลงได

ผังคารโนหเปนรูปแบบหนึ่งของตารางความจริงซึ่งสามารถลดทอนสมการลอจิกใหงายหรือนอยที่สุดไดโดยไมตองอาศัยสูตรทางพีชคณิตผังคารโนหเหมาะสําหรับใชกับสมการลอจิกที่มีตัวแปรไมเกิน 6 ตัวแปร

1) ผังคารโนหชนิด 2 ตัวแปร (2 Variable Karnaugh map) ก) แสดงจํานวนชอง

Page 12: หน่วยที่ 3 พีชคณิตบูลีน - comsci.infotps.comsci.info/algebra.pdf3.2.1 กฎของ OR ซ 4 ข งม อด งน กฎข อท1 A

ดิจิตอลประยุกต 31041003 พีชคณิตบูลีน พงษ พร 12

สัทธา ข) แสดงตําแหนงชอง ค) แสดงคาประจําชอง

รูปท่ี 3.2 ผังคารโนห 2 ตัวแปร

2) ผังคารโนหชนิด 3 ตัวแปร (3 variables Kv-Map)

ก) แสดงจํานวนชอง

ข) แสดงตําแหนงชอง

00 01 11 10 00 01 11 10 B

AB C 0 000 010 110 100 1 001 011 111 101

ค) แสดงรหัสประจําชอง

C

A

0 ABC ABC ABC ABC 1 ABC ABC ABC ABC ง) แสดง Min Term ประจําชอง

Page 13: หน่วยที่ 3 พีชคณิตบูลีน - comsci.infotps.comsci.info/algebra.pdf3.2.1 กฎของ OR ซ 4 ข งม อด งน กฎข อท1 A

ดิจิตอลประยุกต 31041003 พีชคณิตบูลีน พงษ พร 13

สัทธา รูปท่ี 3.3 ผังคารโนห 3 ตัวแปร

3) ผังคารโนหชนิด 4 ตัวแปร (4 Varible Karnaughmap)

ก) แสดงจํานวนชอง

ข) แสดงตําแหนงชอง ค) แสดงคาประจําชอง

รูปท่ี 3.4 ผังคารโนห 4 ตัวแปร

คุณลักษณะท่ีสําคัญของผังคารโนห 1) ผังคารโนหสําหรับตัวแปร n ตัว จะตองมีจํานวนชอง 2n ชอง 2) รหัสประจําแถวใช Gray Code (00, 01, 11, 10) 3) รหัสประจําชองไดจากการรวมกันของรหัสประจําแถวแนวตั้งและแนวนอน

Page 14: หน่วยที่ 3 พีชคณิตบูลีน - comsci.infotps.comsci.info/algebra.pdf3.2.1 กฎของ OR ซ 4 ข งม อด งน กฎข อท1 A

ดิจิตอลประยุกต 31041003 พีชคณิตบูลีน พงษ พร 14

สัทธา 4) ชอง 2 ชองใด ๆ ที่อยูติดกันบนแผนผังจะมีรหัสตางกันเพียง บิทใดบิทหนึ่ง

เพียงบิทเดียว 5) ชองใด ๆ บนแผนผัง จะมีชองขางเคียงที่มีรหัสตางกันเพียง บิท เดียวเทากับ

จํานวนตัวแปร จะเห็นวาบางชองไดแก ชองริม ๆ จะมีชองขางเคียงไมครบแตแผนผังคารโนหมีคุณสมบัติมวนไดโดยรอบ จึงทําใหทุกชองมีชองขางเคียงครบเทากับจํานวนตัวแปร

3.7.2 การแทนสมการลอจิกลงในผังคารโนห การแทนฟงกชั่น ทางลอจิก ในรูปผลบวกของผลคูณ (Min Term) ลงในชอง

ของผังคารโนหน้ันแตละเทอมจะแทนดวยตัวเลข 1 ลงในชองที่มีคุณสมบัติตรงกับ MIN TERM น้ันๆ ตามที่กําหนดไวในแผนผังคารโนห สวนฟงกชั่นทางลอจิกในรูปผลคูณของผลบวก (Max Term) จะแทนลงในตาราง ผังคารโนหดวยเลข 0 ในชองที่มีคุณสมบัติตรงกับ MAX TERM น้ัน ๆ ตามที่กําหนดไวในแผนผังคารโนห

ตัวอยางท่ี 3.8 จงเขียนตารางผังคารโนหสมการลอจิก ตอไปนี้ ก) Q1 = A.B +A.B + A.B : ข) Q2 = A.B.C + A.B.C + A.B.C. + A.B.C + A.B.C ค) Q3 = A.B.C.D. + A.B.C.D. + A.B.C.D + A.B.C.D +

A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D

รูปท่ี 3.24 แสดงการลง “1” บนผังคารโนห วิธีการรวมเทอมบนแผนผังคารโนห

Page 15: หน่วยที่ 3 พีชคณิตบูลีน - comsci.infotps.comsci.info/algebra.pdf3.2.1 กฎของ OR ซ 4 ข งม อด งน กฎข อท1 A

ดิจิตอลประยุกต 31041003 พีชคณิตบูลีน พงษ พร 15

สัทธา 1) ใส Logic 1 ในกรณีของ Min Term หรือใส Logic 0 ในกรณีของ Max Term

ลงในชองของผังคารโนหที่มีคุณสมบัติตรงกัน 2) รวมเทอมที่อยูติดกันโดยจัดกลุมไดคร้ังละ 2n ชอง (1,2,4,8,16) ใหไดมากที่

สุดเทาที่จะมากได 3) เทอมที่ถูกจับกลุมไปแลว สามาถนําไปจับกลุมกับตัวอ่ืนไดอีกเพื่อใหไดพื้น

ที่มากที่สุดจนหมดชองที่เปน 1 (หรือ ชองที่เปน 0 ในกรณีที่จับกลุม Logic 0) 4) เมื่อจับกลุมไดแลวใหมองหาผลลัพธ โดยมองวาในกลุมมีตัวแปรอะไรซ้ํากัน

บาง และนําตัวแปรที่ซ้ํากันนั้นมา AND กัน (ในกรณีจับกลุม Logic 1 ) หรือ นําตัวแปรที่ซ้ํากันน้ันมา OR กัน (ในกรณีจับกลุม Logic 0)

5) ในการจับกลุม Logic1 ผลลัพธสุดทายไดจากการนําเอาผลลัพธแตละกลุมมา OR กัน

6) ในการจับกลุม Logic 0 ผลลัพธสุดทายไดจากการนําเอาผลลัพธแตละกลุมมา AND กัน

ตัวอยางท่ี 3.9 จงลดรูปสมการลอจิก ตอไปนี้ใหนอยที่สุด โดยใชวิธีการของผังคารโนห ก) Q = A.B+A.B+A.B ข) Q = A.B + A.B. + A.B ค) Q = A.B + A.B + A.B + A.B

0 1

A B 0 1 1 B Q = A + B 1 1 A

0 1 01

01

A 1 1 B Q = BA + 1 A

0 1

A B

1 1 Q = 1 1 1

Page 16: หน่วยที่ 3 พีชคณิตบูลีน - comsci.infotps.comsci.info/algebra.pdf3.2.1 กฎของ OR ซ 4 ข งม อด งน กฎข อท1 A

ดิจิตอลประยุกต 31041003 พีชคณิตบูลีน พงษ พร 16

สัทธา 3.7.3 DON’T CARE TERMS

ชอง Don’t care หมายถึง เอาทพุท ชองที่เกิดจากการรวมกันของ อินพุทตาง ๆ ที่จะไมนํามาลงใน KV-Map ชนิด 4 ตัวแปร ซึ่งมี 16 ชอง ดังนั้นจึงมีชองเหลืออีก 6 ชอง ชองที่เหลือน้ี เราสามารถกําหนดใหเปน ลอจิก 0 หรือ ลอจิก 1 ก็ไดซึ่งเราเรียกวา Don’t care Term ใชแทนดวยอักษร d หรือเคร่ืองหมายกากบาท (X)

Don’t care Term สามารถกําหนดเปน ลอจิก 0 หรือ 1 ก็ได จึงมีประโยชนในการออกแบบวงจร ลอจิก ใหมี เกท นอยที่สุดได เพราะสามารถนําไปรวมกับ Term ขางเคียงได

ตัวอยางท่ี 3.10 จากตารางความจริง ที่กําหนดใหจงลดรูปใหไดสมการที่นอยที่สุดโดยวิธีการของ ผังคารโนห

A B C D Q

Page 17: หน่วยที่ 3 พีชคณิตบูลีน - comsci.infotps.comsci.info/algebra.pdf3.2.1 กฎของ OR ซ 4 ข งม อด งน กฎข อท1 A

ดิจิตอลประยุกต 31041003 พีชคณิตบูลีน พงษ พร 17

สัทธา

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0

1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 x x x x x x

ตัวอยางท่ี 3.11 ใหใช Karnaugh map ในการลดรูปฟงกชั่นบูลีนดังตอไปนี้ ก. F = m0, m1, m3, m4, m5, m6, m7 และใหเขียนวงจรลอจิกหลังจากลดรูป

สมการ ข. F = m0, m2, m3, m4, m7 และ ใหเขียนวงจรลอจิกหลังจากลดรูปสมการ ค. F = m0, m1, m2, m7 และใหเขียนวงจรลอจิกหลังจากลดรูปสมการ

วิธีทํา ก. ใสเลข 1 ในชอง m0, m1, m3, m4, m5, m6, และ m7 ไดดังรูปที่ 3.7 คือ

Page 18: หน่วยที่ 3 พีชคณิตบูลีน - comsci.infotps.comsci.info/algebra.pdf3.2.1 กฎของ OR ซ 4 ข งม อด งน กฎข อท1 A

ดิจิตอลประยุกต 31041003 พีชคณิตบูลีน พงษ พร 18

สัทธา

รูปท่ี 3.7 การใสเลข 1 ในชอง m0, m1, m3, m4, m5, m6, และ m7

สามารถจัดได 3 กลุมแตละกลุมมีฟงกชั่นบูลีนคือ - คอลัมน 00 จะได F1 = B

- คอลัมน 11 และ 10 จะได F2 = A - แถว 1 จะได F3 = C

∴ F = F1 + F2 + F3 + = B + A + C + A + B + C ***

ข. ใสเลข 1 ลงในชอง m0, m2, m3, m4, และ m7 ดังรูปที่ 3. 8

รูปท่ี 3.8 ใสเลข 1 ลงในชอง m0, m2, m3, m4, และ m7

∴ F = m0 + m2 + m3 + m4 + m7 = AB + BC + BC ***

หรือถาจัดกลุม 1 อีกแบบหนึ่งดังรูปที่ 3.9 จะได F = AC + BC + BC ***

Page 19: หน่วยที่ 3 พีชคณิตบูลีน - comsci.infotps.comsci.info/algebra.pdf3.2.1 กฎของ OR ซ 4 ข งม อด งน กฎข อท1 A

ดิจิตอลประยุกต 31041003 พีชคณิตบูลีน พงษ พร 19

สัทธา

รูปท่ี 3. 9 การจัดกลุม 1

วงจรลอจิกของรูปที่ 3.8 จะมีลักษณะดังรูปที่ 3.10 (ก) สวนวงจรลอจิกของรูปที่ 3.9 จะมีลักษณะดังรูปที่ 3.10 (ข)

(ก)

(ข)

รูปท่ี 3.10 วงจรลอจิกจากการลดรูป

(ค) ใสเลข 1 ลงใน m0, m2, m3, m4, m7 ดังรูปที่ 3.11

Page 20: หน่วยที่ 3 พีชคณิตบูลีน - comsci.infotps.comsci.info/algebra.pdf3.2.1 กฎของ OR ซ 4 ข งม อด งน กฎข อท1 A

ดิจิตอลประยุกต 31041003 พีชคณิตบูลีน พงษ พร 20

สัทธา

รูปท่ี 3.11 การใส 1 จะได F = AB + AC วงจรลอจิกจะมีลักษณะดังรูปที่ 3.12 คือ

รูปท่ี 3.12 วงจรลอจิกจากการลดรูป

ตัวอยางท่ี 3.12 ใหลดรูปฟงกชั่นบูลีน F = m3 + m4 + m5 + m6 + m7 โดยใช Karnaugh map และ ใหวาดรูปวงจรลอจิกดวย วิธีทํา Karnaugh map จะมีลักษณะดังรูปที่ 3.13

00 01 11 10 AB

C

0 1 1 1 1 1 1

รูปท่ี 3.13 การใส 1 ในผังคารโนห

F = A + BC

Page 21: หน่วยที่ 3 พีชคณิตบูลีน - comsci.infotps.comsci.info/algebra.pdf3.2.1 กฎของ OR ซ 4 ข งม อด งน กฎข อท1 A

ดิจิตอลประยุกต 31041003 พีชคณิตบูลีน พงษ พร 21

สัทธา จะไดวงจรลอจิกดังรูปที่ 3.14 คือ

รูปท่ี 3.14 ลอจิกไดอะแกรมที่ได

3.7.5 ผังคารโนห Karnaugh map ของฟงกชั่นบูลีน 4 ตัวแปรในรูปแบบมินเทอม Karnaugh map ของฟงกชั่นบูลีน 4 ตัวแปรในรูปแบบมินเทอมของ A, B,

C และ D จะมีลักษณะดังรูปที่ 3.15 ซึ่งประกอบดวยกลอง 16 กลองที่ใหผลเปนมินเทอมคือ m0 + m1 + m2 + m3 + m4 + m5 … m15

รูปท่ี 3.15 ตัวแปรในรูปมินเทอม

ขั้นตอนการลดรูปสมการบูลีนจะเหมือนกับการลดรูปของสมการ 3 ตัวแปร แต 4 ตัวแปรสามารถจัดกลุมของ 1 ที่อยูติดกันได 8 ตัว สวน 3 ตัวแปรจัดกลุมของ 1 ไดสูงสุดแค 4 ตัว

ตัวอยางท่ี 3.13 ใหลดรูปสมการบูลีน 4 ตัวแปรโดยใช Karnaugh map ดังตอไปนี้ F = m2 + m5 + m7 + m8 + m10 + m12 + m14

วิธีทํา Karnaugh map จะมีลักษณะดังรูปที่ 3.16

Page 22: หน่วยที่ 3 พีชคณิตบูลีน - comsci.infotps.comsci.info/algebra.pdf3.2.1 กฎของ OR ซ 4 ข งม อด งน กฎข อท1 A

ดิจิตอลประยุกต 31041003 พีชคณิตบูลีน พงษ พรสัทธา

22

00 00 01 01 11 11 10 10 00 00 1 1 01 1 11 1 10 1

∴ F = AD + ABD

รูปท่ี 3.16 แสดงการ

3.7.4 ผังคารโนห ในรูปของแม็กเทอม Karnaugh map ของแม็กเทอม

ของแม็กเทอมใหใส 0 ลงไปในกลองและถาบิทแรกขอในแม็กเทอม Mi จะไมถูกคอมพลีเมนท และคอมพลีเมและการลดรูปฟงกชั่นจะเหมือนกับของมินเทอมทุกอยเทานั้น

ตัวอยางท่ี 3.14 ใหลดรูปสมการของ F =+ M13 +

M15 โดยใช Karnaugh map วิธีทํา จะได Karnaugh map ดังรูปที่ 3.

รูปท่ี 3.

∴ F = (B + D) +( A + D) *

CD AB

11

1 1 1

+ BCD *** ลง ผังคารโนห

จะมีลักษณะคลาย ๆ กับของมินเทอม เพียงแตงเลขฐานสอง i = 0 หรือ 1 แลวตัวแปรตัวแรกนทตามลําดับขั้นตอนการทํา Karnaugh map างยกเวนวาผลที่ไดจะเปนผลคูณของผลบวก

M0 + M1 + M3 + M4 + M6 + M9 + M11

17

17

**

Page 23: หน่วยที่ 3 พีชคณิตบูลีน - comsci.infotps.comsci.info/algebra.pdf3.2.1 กฎของ OR ซ 4 ข งม อด งน กฎข อท1 A

ดิจิตอลประยุกต 31041003 พีชคณิตบูลีน พงษ พร 23

สัทธา

แบบทดสอบทายบทแบบทดสอบทายบท 1. ใหนักศึกษาออกแบบวงจรจากสมการดังนี้

1.1 y = AB + AB + CD 1.2 y = A (A+1) + AB 1.3 y = AC + BD + AD

คําชี้แจง ใหนักศึกษาทําเคร่ืองหมาย X ลงบนหัวขอ ก. ข. ค. และ ง. ซึ่งเปนคําตอบที่ถูกที่สุดเพียงคําตอบเดียว

1. สมการพีชคณิตบูลีน Y = A + A + B ลดรูปแลวคือขอใด ก. 0 ข. 1 ค. A ง. B

2. ผลของ (A⋅0⋅1)+ 1 มีคาเทากับขอใด ก. 0 ข. 1 ค. A ง. A

3. สมการ Y = (A ⋅ B)⋅ (A + B) ตรงกับขอใด ก. A + B ข. A + B ค. A ง. A

4. สมการ Y = B + DB + DC + AD ลดรูปแลวไดคําตอบดังขอใด ก. Y = B + D ข. Y = A + D ค. Y = A + B ง. Y = B + C

5. สมการ Y – (A + B) ⋅ (A + B + D) ⋅ D ลดรูปแลวไดคําตอบดังขอใด ก. Y = AD ข. Y = AB + D ค. Y = A(BD) ง. Y = BD

6. สมการ Y = (A + B + C) D เมื่อใชทฤษฎีเดอมอรแกนเปลี่ยนรูปจะไดดังขอใด ก. Y = A + B + C + D ข. Y = ABC + D

Page 24: หน่วยที่ 3 พีชคณิตบูลีน - comsci.infotps.comsci.info/algebra.pdf3.2.1 กฎของ OR ซ 4 ข งม อด งน กฎข อท1 A

ดิจิตอลประยุกต 31041003 พีชคณิตบูลีน พงษ พรสัทธา

24

ค. Y = A + B + C + D ง. Y = A ⋅B⋅C + D 7. สมการ Y = ABC + DEF เมื่อใชทฤษฎีเดอมอรแกนเปลี่ยนรูปไดดังขอใด

ก. Y = (A + B + C) (D + E + F) ข. Y = (A + B) C ค. Y = (A + B + C)(D + E + F) ง. Y = (A + B + C) + (D + E + F)

Page 25: หน่วยที่ 3 พีชคณิตบูลีน - comsci.infotps.comsci.info/algebra.pdf3.2.1 กฎของ OR ซ 4 ข งม อด งน กฎข อท1 A

ดิจิตอลประยุกต 31041003 พีชคณิตบูลีน พงษ พร 25

สัทธา