A Vectorial

ANALISIS VECTORIAL

Mara del Rosario Soler Zapata.

Enero-Julio de 2013.

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Mara del Rosario Soler Zapata CONTENIDO.

Contenido.

1 Introduccion 4

2 Objetivos y metas 5

3 Justificacion 6

4 Matrices y Determinantes 74.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.1.1 Suma de matrices y multiplicacion por escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.1.2 Algunos tipos de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.1.3 El producto dos matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.1.4 Propiedades de la transpuesta y algunas matrices especiales. . . . . . . . . . . . . . . . 114.1.5 La traza de una matriz y sus propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.1.6 La inversa de una matriz. Metodo de la matriz aumentada. . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2.2 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2.3 Determinantes e inversas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5 Vectores y escalares. 185.1 La suma de vectores y sus propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.2 Producto punto y multiplicacion por escalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.3 Propiedades del producto punto y la multiplicacion por escalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.4 Vectores colineales y perpendiculares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.5 Producto cruz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.5.1 Definicion y propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.5.2 Interpretacion geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.6 Triple producto escalar y su interpretacion geometrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6 Introduccion a la diferenciacion vectorial. 266.1 Derivada de un vector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266.2 Continuidad y derivabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.3 Introduccion a trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.4 Formulas de derivacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.5 Derivadas parciales de un vector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.6 Diferencial de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.7 Gradiente, Divergencia y Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6.7.1 Gradiente de un campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.7.2 Divergencia de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.7.3 Rotacional de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.8 Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

7 Introduccion a la integracion vectorial 367.1 Integral de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367.2 Integral curvilnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.3 Superficies parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387.4 Integral de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

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Mara del Rosario Soler Zapata CONTENIDO.

7.5 Integral de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.6 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447.7 Teoreama de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.8 Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

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Mara del Rosario Soler Zapata 1 INTRODUCCION

1 Introduccion

Estas notas contienen los temas a desarrollar en el curso de Analisis Vectorial, durante el semestre actual, ascomo tambien los objetivos, justificacion y metas esperadas.

Las primeras secciones se refieren al aprendizaje y manejo de herramientas del algebra lineal, tales comola teora de matrices y determinantes; posteriormente abordamos un estudio amplio de los vectores y las op-eraciones entre ellos, que permitiran acercarnos de manera natural a la diferenciacion e integracion vectorial.

La diferenciacion en integracion vectorial que se estudiara durante el curso sera de manera introductoria,ya que para realizar un estudio profundo se requieren de conocimientos de calculo en varias variables, mismosque se estudiaran en los proximos dos semestres.

Todos las definiciones y teoremas seran abordados de manera practica para familiarizarse con la aplicacionde los mismos. El formalismo de algunos conceptos y resultados se analizaran en asignaturas paralelas y desemestres avanzados.

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Mara del Rosario Soler Zapata 2 OBJETIVOS Y METAS

2 Objetivos y metas

Objetivo general:

Presentar el material de Analisis Vectorial de una forma sencilla y practica mediante definiciones y ejemplosque permitan al estudiante detectar los conceptos fundamentales y aplicarlos de tal forma que la probabilidadde que repruebe sea casi nula.

Objetivos particulares:

1. Relacionar los conceptos algebraicos y geometricos de vectores.

2. Aplicar la teora a problemas abstractos y reales.

3. Facilitar la resolucion de problemas abstractos y aplicados.

Metas:

1. Se espera que los conocimientos adquiridos por el estudiante sea aprendizaje de vida, de tal forma quesea capaz de aplicarlos a problemas reales.

2. Se espera que el analisis vectorial permita visualizar de alguna manera los problemas abstractos paradarle un sentido.

3. Se espera que el analisis vectorial sea catalogado como divertido y aplicable a problemas reales.

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Mara del Rosario Soler Zapata 3 JUSTIFICACION

3 Justificacion

Si el hecho de sentir un cambio en el modo de vida es para muchos difcil, imagnense que se puede decir delhecho de aprender cosas nuevas de una manera en la que nunca quiza lo habamos hecho.

El paso de la preparatoria a una carrera universitaria es difcil, mas aun cuando de una carrera de cien-cias se trata. Para el estudiante resulta en su mayoria difcil cambiar de habitos de estudio, puesto que esbien sabido que para cursar una carrera de ciencias es necesario comprometerse y disciplinarse para resolverel mayor numero de problemas, as como tambien, comprender muchas de las cosas reales vistas de maneraabstracta.

Captar la atencion del estudiante y darle sentido a cuestiones que pueden ser demasiado abstractas no estarea facil, por ello, contar con notas que resuman de manera sencilla y practica el curso de analisis vectorial,sera de mucha utilidad para reducir la empata por las cuestiones abstractas y aumentar la simpata por ellas.Para ello, es necesario enfocarse en en el significado geometrico de los conceptos. Una vez dado un sentido aconceptos que en un principio son abstractos, sera mucho mas facil comprender la mayora de los conceptos.

Otra razon importante para realizar estas notas es que no todos los estudiantes tienen a la mano bibli-ografa que les permita estudiar mas alla de lo visto en clase y en ocasiones, las notaciones en otras fuentesbibliograficas pueden confundir al estudiante; por ello, es necesario contar con notas que de alguna maneraresuman la teora de tal manera que se presente a los estudiantes el uso de los distintos teoremas en la practicay en una notacion sencilla.

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Mara del Rosario Soler Zapata 4 MATRICES Y DETERMINANTES

4 Matrices y Determinantes

El objetivo principal de esta seccion es recordar herramientas elementales del algebra lineal que seran de muchaayuda para el estudio del calculo integral en varias variables. A continuacion se enlistan algunos conceptos yresultados importantes acerca de matrices y determinantes.

4.1 Matrices

Definicion 4.1. Una matriz de m n es un arreglo rectangular de mn numeros reales dispuestos en mrenglones y n columnas

A =

a11 a12 a1j a1na21 a22 a2j a2n...

......

...ai1 ai2 aij ain...

......

...am1 am2 amj amn

Al numero m n, (sin simplificar) se le llama tamano de la matriz A y la componente o elemento ij de A,denotado por aij es el numero que aparece en el renglon i y la columna j de A.

En la definicion anterior ai1, ai2, . . . ain son los elementos que forman la columna i de A y a1j , a2j , . . . amjson los elementos que forman la columna j de A. El elemento a23 de

A =(

1 2 pi2 0 23

)es 23 .

De manera abreviada la matriz A con elementos aij se escribe A = (aij).

Definicion 4.2. Sean A = (aij) y B = (bij) dos matrices, decimos que A = B si A y B son del mismotamano y las componentes correspondientes son iguales.

4.1.1 Suma de matrices y multiplicacion por escalar

En el conjunto de matrices de mn, denotado porMmn, se definen 3 operaciones de las cuales 2 se muestrana continuacion,

Definicion 4.3. Sean A = (aij) y B = (bij) dos matrices de m n. Se define la suma de A y B denotadapor A+B como

A+B = (aij + bij)

=

a11 + b11 a12 + b12 a1j + b1j a1n + b1na21 + b21 a22 + b22 a2j + b2j a2n + a2n

......

......

ai1 + bi1 ai2 + bi2 aij + bij ain + bin...

......

...am1 + bm1 am2 + bm2 amj + bmj amn + bmn

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Definicion 4.4. Sean A = (aij) Mmn y R. Se define la multiplicacion de A por el escalar , llamadamultiplicacion por escalar, como

A = (aij)

=

a11 a12 a1j a1na21 a22 a2j a2n...

......

...ai1 ai2 aij ain...

......

...am1 am2 amj amn

Dadas las operaciones anteriores, es natural preguntarse si satisfacen los axiomas que cumplen los numeros

reales, por lo que al estudiar si tienen o no sentido en el mundo de las matrices de m n, sobresalen dosmatrices especiales:

1. La matriz cero de m n cuyos elementos son todos cero.2. La matriz A cuyos elementos son los inversos aditivos de los elementos de la matriz A, es decir, si

A = (aij), entonces A = (aij).Las matrices cumplen con axiomas similares a los axiomas de campo. Sean A,B y C matrices de m n,entonces

1. A+B es una matriz de m n.2. A+B = B +A.

3. A+ (B + C) = (A+B) + C.

4. Existe 0 Mmn, tal que A+ 0 = A5. Existe A Mmn tal que A+ (A) = 0

La multiplicacion por escalar satistafe las siguientes propiedades:

6. 0A = 0

7. 1A = A

8. (A+B) = A+ B.

9. (+ )A = A+ A.

No esta de mas observar que en la propiedad 6 el cero de la izquierda es el cero real y el cero de la derecha dela matriz cero de m n.

En el mundo de las matrices de m n hay algunas que tienen el mismo numero de filas que de columnas, lasmatrices de n n, que tambien se les conoce con el nombre de matrices cuadradas.

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4.1.2 Algunos tipos de matrices

Definicion 4.5. Sea A = (aij) Mnn, decimos que1. A es triangular superior si aij = 0 para toda i > j.

2. A es triangular inferior si aij = 0 para toda i < j.

3. A es diagonal si aij = 0 para toda i 6= j.Ejemplos: Las matrices A,B y C siguientes, son triangular superior, triangular inferior y diagonal respec-

tivamente.

A =

3 0 40 7 pi0 0 0

B = pi 0 00 1 02 8 5

C = 7 0 00 4 0

0 0 1

La matriz diagonal en la que cada elemento de su diagonal es un 1, se llama matriz identidad. Por ejemplo,la matriz identidad de 3 3 es:

A =

1 0 00 1 00 0 1

La matriz que resulta de intercambiar las columnas de una matriz A por sus filas, se llama matriz transpuestade A y se denota por At, es decir, si A = (aij), At = (aji), por ejemplo, para

A =

1 22 43 5

se tiene que

At =(

1 2 32 4 5

)Considere la matriz

A =

3 pi 1pi 8 21 2 25

para la matriz A dada, se tiene que A = At, este tipo de matrices recibe un nombre especial, matricessimetricas.

Definicion 4.6. Sea A una matriz de n n, decimos que A es una matriz simetrica si A = At; si A = At,A se llama antisimetrica.

4.1.3 El producto dos matrices

Hasta ahora se han definido dos operaciones en Mmn y los diferentes tipos de matrices que resultan alestudiar las matrices cuadradas. En esta seccion recordaremos el porducto de matrices y sus propiedades.

Definicion 4.7. Sean A Mmn y B Mnp. Se define el producto de A y B, denotado por AB comola matriz AB = (cij) donde el elemento cij de AB esta dado por la multiplicacion del renglon i de A por lacolumna j de B, esto es:

cij = ai1b1j + ai2b2j + + ainbnj

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Ejemplo: Sean

A =

4 1 22 0 20 1 1

y B = 8 6 31 9 5

7 5 0

.De la definicion de multiplicacion de matrices

AB =

4 1 22 0 20 1 1

8 6 31 9 57 5 0

= c11 c12 c13c21 c22 c23

c31 c32 c33

donde cij = ai1 b1j + ai2 b2j + . . .+ ain bnj , luego

c11 = (4)(8) + (1)(1) + (2)(7) = 45c12 = (4)(6) + (1)(9) + (2)(5) = 23c13 = (4)(3) + (1)(5) + (2)(0) = 17c21 = (2)(8) + (0)(1) + (2)(7) = 2c22 = (2)(6) + (0)(9) + (2)(5) = 22c23 = (2)(3) + (0)(5) + (2)(0) = 6c31 = (0)(8) + (1)(1) + (1)(7) = 6c32 = (0)(6) + (1)(9) + (1)(5) = 4c33 = (0)(3) + (1)(5) + (1)(0) = 5

por lo tanto

AB =

45 23 172 22 66 4 5

De la definicion anterior observamos que dos matrices se pueden multiplicar si y solo si el numero de columnasde la primera matriz es igual al numero de filas de la segunda matriz, es decir, el producto de una matriz 34por una matriz de 4 2 esta definido, mientras que el producto de una matriz de 2 3 con una matriz de4 2 no lo esta.Teorema 1. Si todas las sumas y productos estan definidos, entonces

1. A(BC) = (AB)C

2. A(B + C) = AB +AC

3. (A+B)C = AC +BC

4. (AB) = (A)B = A(B)

En general AB 6= BA, por ejemplo, sean

A =(

2 31 2

)y B =

(4 10 6

),

10


entonces

AB =(

2 31 2

)(4 10 6

)=(

8 204 11

)6=(

7 146 12

)=(

4 10 6

)(2 31 2

)= BA

El ejemplo anterior muestra que el producto de matrices no es conmutativo. A continuacion damos dosejemplos que nos muestran dos propiedades que sabemos que se cumplen para los numeros reales, pero queno se cumplen en el conjunto de matrices con la operacion producto definida anterioremente.

1. Si AB = 0 no necesariamente se cumple que A = 0 o B = 0. Considere

A =(

2 34 6

)y B =

( 9 126 8

).

Claramente

AB =(

2 34 6

)( 9 126 8

)=(

0 00 0

)pero A 6= 0 y B 6= 0.

2. Si AB = AC no necesariamente se cumple que B = C. Sean

A =(

2 41 2

), B =

(1 23 4

)y C =

(4 132

92

).

Entonces

AB =(

2 41 2

)(1 23 4

)=(

14 207 10

)=(

2 41 2

)(4 132

92

)= AC

pero B 6= C.

4.1.4 Propiedades de la transpuesta y algunas matrices especiales.

En secciones anteriores se definieron las matrices diagonales, triangulares superiores e inferiores, simetricas yantisimetricas y la transpuesta de una matriz dada. Estas matrices tienen propiedades especiales respecto alas 3 operaciones definidas anteriormente.

1. La suma de dos matrices diagonales es una matriz diagonal.

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2. El producto de dos matrices diagonales es una matriz diagonal.

3. El producto de un escalar por una matriz diagonal es una matriz diagonal.

4. La suma de dos matrices simetricas(antisimetricas) es una matriz simetrica(antisimetrica).

5. El producto de dos matrices simetricas(antisimetricas) no necesariamente es una matriz simetrica (anti-simetrica).

6. El producto de un escalar por una matriz simetrica(antisimetrica) es una matriz simetrica (antisimetrica).

7. (At)t = A.

8. (A+B)t = At +Bt.

9. (AB)t = BtAt.

10. (A)t = At.

4.1.5 La traza de una matriz y sus propiedades.

Sea A = (aij) una matriz de nn, se define la traza de A, denotada por tr(A), como la suma de los elementosde su diagonal, es decir

tr(A) = a11 + a22 + + annDe la definicion de traza es facil ver que

1. tr(A+B) = tr(A) + tr(B)

2. tr(AB) = tr(A)tr(B)

3. tr(A) = tr(A)

4. tr(At) = tr(A)

4.1.6 La inversa de una matriz. Metodo de la matriz aumentada.

En el conjunto de matrices no podemos decir que si A 6= 0 entonces existe B, al que llamemos inverso de Arespecto a la operacion producto de matrices, tal que AB = BA = I sin embargo para algunas de ellas (dondetiene sentido hablar de inversos), s tienen un elemento que cumple con esa propiedad.

Definicion 4.8. Sea A una matriz de n n decimos que A tiene inversa o que A es invertible si existe unamatriz B de nn tal que AB = BA = I. B se llama la inversa de A y se denota por A1. Las matrices inversasjunto con las operaciones, suma, producto y multiplicacion por escalar satisfacen las siguientes propiedades

1. Si existe la inversa de una matriz A, A1 es unica.

2. (A1)1 = A.

3. (AB)1 = B1A1

4. (A)1 = 1A1 para toda 6= 0.

5. (An)1 = (A1)n.

6. (At)1 = (A1)t.

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Considere una matriz A de n n. Para calcular su inversa inversa se aplica el procedimiento de la matrizaumentada que consiste en:

1. Escribir la matriz aumentada (A|I).2. Se aplican operaciones elementales con renglones para llevar a la matriz A a la forma mas parecida a la

identidad.

3. Si al aplicar operaciones elementales obtuvimos la matriz aumentada (I|B), B es la matriz inversa de A.Es posible que de ninguna manera se pueda obtener (I|B); en ese caso, la matriz A no es invertible. Lasoperaciones elementales a considerar (que en general se aplican a matrices de m n) son las siguientes:

1. Sustituir el renglon i de A por un multiplo del renglon i de A. Esta operacion la denotamos por Ri cRi.2. Sustituir el renglon j de A por el renglon que resulta de sumar el renglon j de A con un multiplo del

renglon i de A. Esta operacion la denotamos por Rj Rj + cRi.3. Intercambiar el renglon i de A por el renglon j de A y el renglon j de A por el renglon i de A. Esta

operacion la denotamos por Ri Rj .

Ejemplos de aplicacion de las operaciones elementales a una matriz A: Sea A =

2 41 21 4

1. La matriz que resulta de aplicar la operacion R2 3R2, es A = 2 43 61 4

, en smbolos 2 41 21 4

R2 3R2 2 43 61 4

2. La matriz que resulta de aplicar la operacion R3 R3 + 3R2, es A = 2 41 2

2 10


R3 R3 + 3R2 2 43 61 4

3. La matriz que resulta de aplicar la operacion R1 R2, es A =

1 22 41 4


R1 R2 1 22 41 4

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Ejemplo: Calcular la inversa de la matriz, usando el metodo de la matriz aumentada.

A =

1 1 30 0 11 2 0

Para calcular la inversa de A, en caso de que exista, por el metodo de la matriz aumentada, el primer pasoconsiste en escribir la matriz (A|I), para posteriormente aplicar operaciones elementales con renglones y llevarla matriz A a la forma mas parecida a la identidad, esto es: Ejemplo: Bajo que condiciones la matriz

A =(

a11 a12a21 a22

),

tiene inversa?

Para contestar la pregunta, supongamos que

B =(

a bc d

)es la matriz inversa de A, luego

AB =(

a11 a12a21 a22

)(a bc d

)=(

a11a+ a12c a11b+ a12da21a+ a22c a21b+ a22d

)=(

1 00 1

)de donde se tienen los dos sistemas de ecuaciones lineales con dos incognitas siguientes:

a11a+ a12c = 1 y a11b+ a12d = 0a21a+ a22c = 0 a21b+ a22d = 1.

Observemos que si a11 = a12 = 0, se tiene que

AB =(

0 0a21 a22

)(a bc d

)=(

0 0a21a+ a22c a21b+ a22d

)6=(

1 00 1

)analogamente si a21 = a22 = 0, o a11 = a21 = 0 o a12 = a22 = 0, se tiene que AB 6= I. En conclusion, si Atiene una renglon o una columna de ceros, A no es invertible. Luego, para evitar que eso pase, al menos debesuceder que a11 y a22 sean distintos de cero o bien a21 y a12 sean distintos de cero. Supongamos que a21 ya12 son distintos de cero y recordemos que B debe cumplir los siguientes sistemas de ecuaciones,

a11a+ a12c = 1 y a11b+ a12d = 0a21a+ a22c = 0 a21b+ a22d = 1.

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Resolvamos los sistemas ecuaciones:Caso 1.- Si a11 = 0, de la primer ecuacion del primer sistema de ecuaciones se sigue que c = 1a12 , luego,sustituyendo c = 1a12 en la segunda ecuacion del primer sistema de ecuaciones se tiene que a = a22a12a21 . Parael segundo sistema de ecuaciones se tiene, si a11 = 0 se tiene que d = 0 y de sustituir d = 0 en la segundaecuacion, se tiene que b = 1a21 . Por lo tanto, si a12 y a21 son distintos de cero y a11 = 0 se tiene que

B =( a22

a21a121a21

1a12

0

)=

1a21a12

(a22 a12a21 0

)Caso 2.- Supongamos que a11 6= 0; de multiplicar la primer ecuacion del primer sistema por a21 y la segundaecuacion del primer sistema por a11 se tiene el sistema de ecuaciones equivalente

a21a11a+ a21a12c = a21a11a21a a11a22c = 0

Luego, sumando la primer ecuacion con la segunda ecuacion se sique que

a21a12c a11a22c = (a21a12 a11a22) c = a21por lo que si a21a12 a11a22 6= 0

c =a21

a21a12 a11a22 .Sustituyendo c = a21a21a12a11a22 en a21a a22c = 0, se concluye que

a =a22

a11a22 a21a12 .

De resolver el segundo sistema, mediante un proceso similar al anterior, se sigue que

b =a12

a11a22 a21a12y

d =a11

a11a22 a21a12 .

Por lo tanto, si a12 y a21 son distintos de cero, a11 6= 0 y a21a12 a11a22 6= 0 se tiene que

B =( a22

a11a22a21a12a12

a11a22a21a12a21

a21a12a11a22a11

a11a22a21a12

)=

1a11a22 a21a12

(a22 a12a21 a11

)Analogamente para el caso en que a11 y a22 son distintos de cero, se tiene que

B =( 1

a11a12a11a22

0 1a22

)=

1a11a22

(a22 a120 a11

)si a21 = 0 y

B =1

a11a22 a21a12

(a22 a12a21 a11

)si a21 = 0 y a11a22 a21a12 6= 0. De todos los casos se puede concluir que

A =(

a11 a12a21 a22

)tiene inversa si a11a22 a21a12 6= 0, mas aun,

A1 =1

a11a22 a21a12

(a22 a12a21 a11

)

15


4.2 Determinantes

4.2.1 Definicion

Sea A =(

a11 a12a21 a22

)una matriz de 2 2. Se define el determinante de A denotado por |A|, como

|A| = a11 a12a21 a22

= a11a22 a12a21En la seccion anterior vimos que una condicion necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada A = (aij)de 2 2 tuviera inversa era que a11a22 a12a21, con este nuevo concepto podemos decir que una matrizA = (aij) de 2 2 tiene inversa si y solo si |A| 6= 0.

Para definir el determinante de una matriz de n n, necesitamos algunas definiciones.

Definicion 4.9. Sea A una matriz de n n. Se define el menor ij de A denotado por MAij como la matrizde (n 1) (n 1) obtenida de A eliminando el renglon i y la columna j de A.

Ejemplo: Si A =

2 3 41 2 30 1 pi

, el menor 23 de A es la matriz MA23 = ( 2 30 1).

Definicion 4.10. Sea A una matriz de n n. Se define el cofactor ij de A denotado por Aij, como

Aij = (1)i+j |MAij |.

Observe que la definicion de Aij depende del determinante de una matriz mas pequena que A, por lo quepodramos pensar que el determinante en general depende de determinantes mas pequenos.

Definicion 4.11. Sea A = (aij) una matriz de nn. Se define el determinante de A, denotado por |A|, como

|A| = a11A11 + a12A12 + a13A13 + + a1nA1n =n

k=1

a1kA1k

Ejemplo: Sea A =

1 0 1 00 1 2 10 1 1 21 0 1 4

, entonces

16


|A| = a11A11 + a12A12 + a13A13 + a14A14

= 1

1 2 11 1 20 1 4

+ 00 2 10 1 21 1 4

10 1 10 1 21 0 4

+ 00 1 20 1 11 0 1

=

1 2 11 1 20 1 4

0 1 10 1 21 0 4

=(1 1 21 4

2 1 20 4+ 1 1 10 1

) (0 1 20 4 1 0 21 4

+ 1 0 11 0)

= (1(4 + 2) 2(4 + 0) + 1(1 + 0)) (0 1(0 2) + 1(0 + 1))

= (6 + 8 + 1) (2 + 1)

= 12

4.2.2 Propiedades

A continuacion se enlista las propiedades de los determinantes,

1. El determinante de una matriz A = (aij) triangular superior o triangular inferior es el producto de loselementos de su diagonal, esto es

|A| = a11 a22 a33 ann.2. |AB| = |A||B|.3. |At| = |A|.4. Sea A = (aij) entonces

|A| =n

k=1

aikAik =n

k=1

akjAkj ,

es decir, el determinante de una matriz puede expandirse por cualquier renglon o cualquier columna.

5. Si cualquier renglon o columna de A contiene solo ceros, entonces |A| = 0.6. Si el renglon i o la columna j de A, se multiplica por c y si a esta nueva matriz le llamamos B, entonces

|B| =

a11 a12 a1na21 a22 a2n...

......

cai1 cai2 cain...

......

an1 an2 ann

= c

a11 a12 a1na21 a22 a2n...

......

ai1 ai2 ain...

......

an1 an2 ann

= |A|

17

Mara del Rosario Soler Zapata 5 VECTORES Y ESCALARES.

7. Suponga que A,B y C son matrices identicas excepto por la columna j y que la columna j de C es lasuma de las jesimas columnas de A y B, entonces, |C| = |A|+ |B|. La misma afirmacion es cierta pararenglones.

8. El intercambio de cualesquiera dos renglones o columnas distintos de A tiene el efecto de multiplicar a|A| por 1.

9. Si A tiene dos renglones (o dos columnas) iguales, entonces |A| = 0.10. Si un renglon (o columna) de A es un multiplo escalar de otro renglon (o columna), entonces |A| = 0.11. Si se suma un multiplo escalar de un renglon (o columna) de A a otro renglon (o columna) de A, entonces

el determinante no cambia.

12. ai1Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn si i 6= j.

4.2.3 Determinantes e inversas.

Ademas del metodo de la matriz aumentada, hay otra forma, usando determinantes, en la que se puede cal-cular la matriz inversa de una matriz A en caso de existir. Para ello es necesario conocer la siguiente

Definicion 4.12. Sea A = (aij) una matriz de n n, se define la matriz de cofactores de A, denotada porBA como la matriz BA = (Aij) formada por todos los cofactores de A.

Definicion 4.13. Sea A = (aij) una matriz de nn, se define la matriz de adjunta de A, denotada por adj Acomo la matriz adj A = (BA)t = (Aji), es decir, la adjunta de A es la matriz de cofactores transpuesta.

Teorema 2. Si A es invertible, entonces |A| 6= 0 y

|A1| = 1|A|Teorema 3. Sea A una matriz de n n. Entonces

(A)(adj A) = |A| I.

Teorema 4. Sea A una matriz de n n. Entonces A es invertible si y solo si |A| 6= 0 y

A1 =1|A| adj A.

5 Vectores y escalares.

Las matematicas son aplicables a la fsica, y muchas de estas aplicaciones suelen relacionarse con cantidadesque poseen magnitud, direccion y sentido, por ejemplo, la fuerza, sin embargo, dependiendo de los ojos conlos que se mira, podemos dar 3 definiciones de vector, que como era de pensarse, coinciden.

Definicion 5.1 (Fsica). Un vector es Una magnitud cuya determinacion exige del conocimiento de un modulo,una direccion y un sentido. Ejemplos: El desplazamiento, la velocidad, la aceleracion, la fuerza y el mpetu.

18


Definicion 5.2 (Algebra). Un vector ~v Rn es un arreglo de la forma a1, a2, . . . , an, donde ai R parai {1, . . . , n}. Los numeros ai se llaman elementos o componentes del vector.Definicion 5.3 (Geometra). Un vector es el conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos equivalentes aun segmento de recta dirigido dado. Cualquier segmento de recta en ese conjunto se llama una representaciondel vector.

La siguiente figura muestra un conjunto de segmentos de recta dirigidos equivalentes:

Un vector tiene un representante muy especial; aquel que tiene punto inicial el orgen. Para la definicionalgebraica de vector se considera unicamente al representante del vector que tiene como punto inicial el orgen.De ese modo referirse al vector a1, a2, . . . , an equivale, geometricamente hablando, al conjunto de segmen-tos de recta dirigidos equivalentes al segmento de recta dirigido con punto inicial el orgen y punto finalP = (a1, a2, . . . , an).

0

P

Un escalar, es un numero que pertenece a un campo. En nuestro curso, un escalar sera un numero real.

5.1 La suma de vectores y sus propiedades.

Si consideramos el conjunto formado por todos los vectores, es natural preguntarse si podemos definir algunaoperacion entre vectores. La respuesta es, s.

Definicion 5.4 (Geometrica). Sean ~a,~b vectores en Rn yPQ,

RS representantes de ~a y ~b respectivamente.

Se define la suma de ~a y ~b, denotada por ~a+~b, como el conjunto de segmentos de recta dirigidos equivalentesal segmento de recta dirigido con punto inicial P y punto final S. La figura siguiente muestra como sumarvectores de manera geometrica.

Definicion 5.5 (Algebraica). Sean ~a = a1, a2, . . . , an,~b = b1, b2, . . . , bn vectores en Rn. Se define la sumade ~a y ~b, denotada por ~a+~b, como

~a+~b = a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn

19


Q

P

S

P

Q

R

R

S

En R2 consideren dos vectores ~a = a1, a2 y ~b = b1, b2. Al realizar la suma de dichos vectores en formageometrica y algebraica se observa que, al aplicar el Teorema de Pitagoras a la suma geometrica, el puntoinicial de ~a+~b es el (0, 0) y el punto final es (a1 + b1, a2 + b2).

Un proceso similar se puede realizar para vectores en Rn en general y al final concluir que la suma alge-braica y la suma geometrica, como debe de ser, coincide.

La suma de vectores satisface las siguientes propiedades:

1. ~a+~b = ~b+ ~a.

2. ~a+ (~b+ ~c) = (~a+~b) + ~c.

3. Existe ~0 = 0, . . . , 0 Rn tal que ~a+~0 = ~0 + ~a = ~a.4. Para todo ~a = a1, . . . , an Rn existe ~a = a1, . . . ,an Rn tal que

~a+ (~a) = (~a) + ~a = ~0.

5.2 Producto punto y multiplicacion por escalar.

Otra de las operaciones que puede definirse entre vectores es el producto punto y la multiplicacion por escalar.

Definicion 5.6 (Multiplicacion por escalar). Sean R y ~a = a1, . . . , an un vector en Rn, se define lamultiplicaicon por escalar, denotada por ~a como

~a = a1, . . . , an

Geometricamente hablando, cuando un vector es multiplicado por un escalar, sucede algo similar a lo quepasa cuando multiplicamos dos numeros enteros (multiplicar 2 3 equivale a sumar 2 veces 3 o 3 veces 2),por que si > 1 el vector se alarga, y si 0 < < 1 el vector se hace mas pequeo; en ambos casos conserva ladireccion de la fecha. En el caso es que < 0 la direccion de la flecha cambia en sentido contrario y ademassi < 1 el vector se alarga y si 1 < < 0 el vector se acorta.

Otra operacion que se realiza entre vectores es el producto punto.

Definicion 5.7 (Producto punto). Sean ~a = a1, . . . , an y ~b = b1, . . . , bn vectores en Rn, se define elproducto punto, denotado por ~a ~b, como

~a ~b = a1b1 + + anbn

20


A

(3/2)A

(3/2)AA

(1/2)A

(1/2)A

y

x

P=(x,y)

x2+ y2

a

b

a sen()

a2+b2 ba2 cos()

Geometricamente el producto punto esta relacionado con la longitud de un vector y el angulo entre dos vectores

De la figura anterior se observa que la longitud del vector ~P = x, y R2, tambien llamada norma de~P y denotada por ~P es ~P =

x2 + y2 =

~P ~P .

En general si ~x = x1, . . . , xn Rn se tiene que ~x =x21 + + x2n =

~x ~x.

5.3 Propiedades del producto punto y la multiplicacion por escalar.

La multiplicacion por escalar, el producto punto y la norma, junto con la suma definida anteriormente,satisfacen las siguientes propiedades:

1. (~a) = ()~a = (~a).

2. (+ )~a = ~a+ ~a.

3. (~a+~b) = ~a+ ~b.

4. ~a ~b = ~b ~a.5. ~a (~b+ ~c) = ~a ~b+ ~a ~c.6. (~a ~b) = (~a) ~b = ~a (~b).

21


7. ~a 0 para todo ~a Rn.8. ~a = 0 si solo si ~a = ~0.9. ~a = ||~a.10. |~a ~b| ~a~b11. ~a+~b ~a+ ~b.12. | ~a ~b | ~a~b.

Observemos que el producto punto unicamente puede realizarse entre dos vectores y el resultado es un numeroreal, por lo que el producto punto no es asociativo. Existe un producto muy particular para vectores en R3que se llama producto vectorial, que se realiza entre vectores y da como resultado un vector. Este productose definira y estudiara en la seccion siguiente.

El angulo entre dos vectores es el angulo mas pequeno formado por ellos, la figura muestra el angulo formado por dos vectores.

2pi

Un resultado geometrico importante acerca del producto punto es el siguiente

Teorema 5. Sean ~a,~b vectores en Rn, entonces

~a ~b = ~a~bcos .

Para demostrarlo basta considerar la ley de los cosenos al triangulo formado por los vectores ~a y ~b de longitud~a = a y ~b = b respectivamente, tal y como se muestra en la siguiente figura,

a

b

abcos()a2+b2 2

22


Observe que ~a ~b2 = a2 + b2 2abcos y como ~a ~b2 = (~a ~b) (~a ~b) = ~a2 2~a ~b + ~a2 sesigue que ~a2 2~a ~b+ ~a2 = a2 + b2 2abcos , luego ~a ~b = a b cos .

5.4 Vectores colineales y perpendiculares.

Cuando tenemos dos vectores, respecto al angulo que forman, podemos decir si son paralelos, colineales,perpendiculares o ninguno de los anteriores. Decimos que son colineales, intuitivamente hablando, si estan enuna misma lnea recta, o bien

Definicion 5.8. Dos vectores ~a,~b Rn son colineales si existe 6= 0 tal que ~a = ~b.

En terminos del angulo que forman, dos vectores son colineales si elangulo entre ellos es 0 o pi

Definicion 5.9. Dos vectores ~a,~b Rn son paralelos si existe > 0 tal que ~a = ~b.

En terminos de angulos, dos vectores son paralelos si el angulo entre ellos es 0.

Observemos que dos vectores paralelos son colineales, pero dos vectores colineales no necesariamente sonparalelos.

Por ultimo, si el angulo entre dos vectores es de pi2 , decimos que los vectores son ortogonales o perpendic-ulares. Del Teorema anterior podemos decir que

Corolario 5.1. Dos vectores son ortogonales si y solo si, su producto punto es 0.

Consideremos la siguiente figura:

Sea R tal que ~v = ~a ~b sea ortogonal a ~b, entonces

0 = ~b ~v= ~b (~a ~b)= ~b ~a (~b ~b)= ~a ~b ~b2

Luego

=~a ~b~b2

23


Al vector ~b se le llama proyeccion ortogonal de ~a sobre ~b y se denota por proy~b~a, esto es

proy~b~a =~a ~b~b2

~b

5.5 Producto cruz.

5.5.1 Definicion y propiedades.

El producto cruz, o producto vectorial esta definido unicamente para vectores en R3.

Definicion 5.10. Sean ~a = a1, a2, a3,~b = b1, b2, b3 vectore es R3. Se define el producto cruz de ~a y ~b,denotado por ~a~b como ~a~b = a2b3 a3b2, a3b1 a1b3, a1b2 a2b1.

El producto cruz satisface las siguientes propiedades

1. ~a~b = ~b ~a.2. ~a (~b+ ~c) = ~a~b+ ~a ~c.3. (~a~b) = (~a)~b = ~a (~b).4. ~a (~b ~c) 6= (~a~b) ~c.5. ~a~b es ortogonal a ~a y a ~b.

5.5.2 Interpretacion geometrica

De la definicion de producto cruz, es facil (pero tedioso) ver que

~a~b2 + |~a ~b|2 = ~a2~b2,luego,

~a~b2 = ~a2~b2 |~a ~b|2= ~a2~b2 ~a2~b2cos2= ~a2~b2(1 cos2)= ~a2~b2sen2

por lo que~a~b = ~a~b|sen | = ~a~bsen

ya que 0 < < pi.

En la siguiente figura observemos que el area del paralelogramo generado por los vectores ~a y ~b de longi-tudes ~a = a y ~b = b respectivamente

es ~a~bsen = ab sen , luego, para calcular el area del paralelogramo generado por vectores ~a y ~b bastacalcular ~a~b. En conclusion, si denotamos al area del paralelogramo generado por ~a y ~b por A~a,~b se tieneque

A~a,~b = ~a~b = ~a~bsen

24


a

a sen( )

b

5.6 Triple producto escalar y su interpretacion geometrica.

El triple producto escalar es un producto entre 3 vectores ~a = a1, a2, a3, ~b = b1, b2, b3 y ~c = c1, c2, c3 enR3, realizado de la siguiente manera: ~a (~b~c). Haciendo uso de las definiciones de producto punto, productovectorial y determinantes, se puede ver que

~a (~b ~c) =a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

Por el momento no hagamos mucho caso a la expresion anterior, puesto que en la siguiente seccion abor-

daremos a fondo la definicion de los determinantes y sus propiedades. Por ahora solo nos importa dar unainterpretacion geometrica del triple producto escalar.

Considere la siguiente figura:

Observe que el volumen del paralelepdedo generado por ~a,~b,~c denotado por V ~a,~b,~c esta dado por

V ~a,~b,~c = area de la base altura.

Como el area de la base esta dado por ~b ~c y la altura es la norma de proy(~b~c)~a = ~a(~b~c)

~b~c2~b ~c, se tiene

que

V ~a,~b,~c = ~b ~c~a (~b ~c)~b ~c2 ~b ~c

= ~b ~c

~a (~b ~c)~b ~c2 ~b ~c

=|~a (~b ~c)|~b ~c2

~b ~c2

= |~a (~b ~c)|

25

Mara del Rosario Soler Zapata 6 INTRODUCCION A LA DIFERENCIACION VECTORIAL.

Con lo anterior, podemos decir que el valor absoluto del triple producto escalar es el volumen del paraleleppedogenerado por los vectores ~a,~b y ~c, esto es

V ~a,~b,~c = |~a (~b ~c)| =a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

6 Introduccion a la diferenciacion vectorial.

6.1 Derivada de un vector.

Recordemos que fsicamente, un vector es una magnitud cuya determinacion exige el conocimiento de unmodulo, una direccion y un sentido; geometricamente, un vector es un conjunto de segmentos dirigidos equiv-alentes a uno dado y algebraicamente, es un punto p en Rn que realmente, en el sentido geometrico, significael segmento de recta dirigido con punto inicial 0 Rn y punto final p. Decir p = (p1, p2, . . . , pn), significap Rn, decir ~p = (p1, p2, . . . , pn) significa el vector con punto inicial 0 Rn y punto final (p1, p2, . . . , pn)

Para hablar de la derivada de un vector es natural pensar en que el vector tiene cierta dependencia, porlo que podramos relacionarlo con una especie de funcion. A saber, sea R(u) un vector funcion de la variableescalar u (una funcion de R en Rn), entonces

Ru

=R(u+u)R(u)

u

donde u es el incremento en la variable u.

Definicion 6.1. Si

limu0

Ru

= limu0

R(u+u)R(u)u

existe. Se define la derivada del vector R(u) respecto de u como

limu0

Ru

= limu0

R(u+u)R(u)u

y se denota por dRdu es decir

dRdu

= limu0

Ru

= limu0

R(u+u)R(u)u

26


Observemos que gracias al algebra vectorial, es natural pensar que derivar un vector se transforma en derivarcada una de las componentes del vector. En particular, si R(u) es el vector posicion r(u) = x(u) i+ y(u) j+z(u) k que une el origen O de un sistema de coordenadas con un punto (x, y, z) cualquiera, al dar valores au, se obtienen distintos valores de r(u) y el lugar geometrico de su extremo es una curva en el espacio cuyasecuaciones parametricas son x = x(u), y = y(u) y z = z(u). Bajo estas condiciones

ru

=r(u+u) r(u)

u

es un vector de la misma direccion y sentido que r. Si existe

limu0

ru

este es un vector en la direccion de la tangente a la curva en el punto (x, y, z) y viene dado por

drdu

=dx

dui+

dy

duj+

dz

duk

Ejemplo: Siendo R(u) = x(u) i+ y(u) j+ z(u) k y x, y y z funciones derivables en u, demostrar que

dRdu

=dx

dui+

dy

duj+

dz

duk

Demostracion:

dRdu

= limu0

R(u+u)R(u)u

= limu0

[x(u+u)i+ y(u+u)j+ z(u+u)k] [x(u)i+ y(u)j+ z(u)k]u

= limu0

[x(u+u) x(u)

ui+

y(u+u) y(u)u

j+z(u+u) z(u)

uk]

=dx

dui+

dy

duj+

dz

duk

Ejemplo: Siendo R(t) = sen(t) i+ cos(t) j+ 8t, hallardRdt

Solucion.- dRdt

= d(sen(t))dt i+ d(cos(t))dt j+ d(8t)dt k

= |cos(t) i+ sen(t) j+ 8 k|=cos2(t) + sen2(t) + 64

=65

27


6.2 Continuidad y derivabilidad.

Recordemos que dada f : R R decimos que f es continua en p silimxp f(x) = f(p)

o lo que es equivalentelimp0

f(p+p) = f(p).

En terminos de : Decimos que f : R R es continua en p si para todo > 0 existe > 0 tal que si|p| < , entonces |f(p+p) f(p)| < .

Esta definicion nos seguira siendo util, pero en el contexto del analisis vectorial, el nombre y notacion cambia.A saber, decimos que una funcion escalar es continua en u si para todo > 0 existe > 0 tal que si |u| < ,entonces |(u+u) (u)| < .

Analogamente para nuestra duncion de estudio,

Definicion 6.2. Una funcion vectorial R(u) = R1(u)i+R2(u)j+R3(u)k es continua en u si lo son las tresfunciones escalares R1(u), R2(u) y R3(u), o bien si

limu0

R(u+u) = R(u)

Observemos que lo que estamos aprendiendo depende muy fuertemente de lo que aprendimos en Calculo I yCalculo II, por lo que debemos recurrir a nuestros apuntes si en este momento no recordamos ciertos conceptos.

Definicion 6.3. Una funcion vectorial o escalar es derivable de orden n cuando existe su derivada nesima.

Observacion 6.1. Una funcion derivable es continua, pero si es continua, no necesariamente es diferenciable.El ejemplo favorito: f(x) = |x|.

6.3 Introduccion a trayectorias

Definicion 6.4. Una trayectoria en Rn es una funcion vectorial de la forma:

(t) : t (a, b) R (x1(t), x2(t), . . . , xn(t)) Rn

Donde x1(t), x2(t), . . . , xn(t) son las componentes. Esta trayectoria es detipo C1 (diferenciable, hasta susderivadas contnuas) en su dominio (a, b) si cadauna de sus componentes son tambien de tipo C1 en (a, b);(a), (b) son los extremos de la trayectoria y su imagen es una curva en Rn.

Entonces, (t) = (x(t), y(t), z(t)) es una trayectoria en R3 donde x(t), y(t) y z(t) son las componentes dela trayectoria, (t) es diferenciable en (a, b) si y solo si cada una de sus componentes lo son.

Ejemplo: Analizar el grafico de la funcion

(t) = (t sin t, 1 cost),

28


que es una curva plana conocida como la cicloide, formada por la trayectoria que describe un punto de uncrculo rodante de radio 1.

Solucion.- El crculo esta en el plano xy y rueda sobre el eje x, de tal forma que su centro se mueve ha-cia la derecha sobre la recta y = l y con rapidez constante de 1 radian por unidad de tiempo. El punto delcrculo rodante tiene un movimiento mas complicado y es la imagen de (t), la curva que va describiendo seconoce como cicloide, la misma que se representa en la figura de abajo

Ejemplo: Representar una circunferencia de radio r como una trayectoria en R2 y discutir su grafico.

Solucion.- El crculo de radio r es una trayectoria en R2 y esta dada por (t) = (r cos(t), r sin(t)) que esla parametrizacion de la circunferencia de radio r usando coordenadas polares. Su grafica puede apreciarse acontinuacion

6.4 Formulas de derivacion.

Sean A,B y C funciones vectoriales derivables en u, y una funcion escalar derivable en u, entonces

Proposicion 6.1. Se cumplen las siguientes propiedades,

1. ddu (A+B) =dAdu +

dBdu .

29


2. ddu (A B) = A dBdu +B dAdu .

3. ddu (AB) = A dBdu + dAdu B.

4. dduA = dAdu +

dduA.

5. ddu (A BC) = A B dCdu +A dBdu C+ dAdu BC

6. ddu (A (BC)) = A (B dCdu ) +A (dBdu C) + dAdu (BC)

Observemos que en 5 de la proposicion anterior no existen parentesis como en 6 de la misma proposicion;esto se debe a que no hay manera de confundirse si recordamos claramente que el producto punto se aplica avectores y obtenemos un escalar, mientras que el producto cruz o vectorial se aplica a vectores y obtenemosotro vector, por lo que al decir A B C se refiere a realizar las operaciones en el siguiente orden: primeroBC y al resultado obtenido se le hace producto punto con A, esto es A (BC), de otro modo no tienesentido, por ejemplo (A B)C, ya que (A B) es un escalar, y por definicion de producto cruz,no es posiblerealizar tal operacion entre un escalar y un vector.

30


Ejemplo: Sean A y B diferenciables en u, demostrar que ddu (A B) = A dBdu +B dAduSolucion.- Sean A = A1i+A2j+A3k y B = B1i+B2j+B3k, entonces

d

du(A B) = d

du(A1B1 +A2B2 +A3B3)

= A1dB1du

+dA1du

B1 +A2dB2du

+dA2du

B2 +A3dB3du

+dA3du

B3

=(A1

dB1du

+A2dB2du

+A3dB3du

)+(dA1du

B1 +dA2du

B2 +dA3du

B3

)

= A dBdu

+dAdu

B

Ejemplo: Demostrar que A dAdt = |A|d|A|dt .

Solucion.- Sabemos queA A = |A|2

entoncesd

dtA A = d

dt|A|2 = 2|A|d|A|

dt.

Por otro lado, usando la proposicion 3.1

d

dtA A = A dA

du+A dA

du= 2A dA

du

luegod

dtA A = 2|A|d|A|

dt= 2A dA

du

por lo que,

2|A|d|A|dt

= 2A dAdu

lo cual implica que

|A|d|A|dt

= A dAdu

que es lo que se quera demostrar.

31


6.5 Derivadas parciales de un vector.

En las secciones anteriores, las funciones vectoriales dependian de una sola variable. En esta seccion estudi-aremos cuestiones basicas de diferenciabilidad de funciones vectoriales de dos o mas variables.

Definicion 6.5. Sea A una funcion vectorial de n variables, esto es, A = A(x1, x2, . . . , xn). La derivadaparcial de A respecto de xi esta dada por

Axi

= limxi0

A(x1, . . . , xi1, xi +xi, xi+1, . . . , xn)A(x1, . . . , xn)xi

si existe este lmite.

para fijar ideas, supongamos que A depende de 3 variables, en ese caso se toman las variables x, y, z envez de x1, x2, x3 por comodidad. Entonces, para A = A(x, y, z), las derivadas parciales de A respecto de x, yy z son:

Ax

= limx0

A(x+x, y, z)A(x, y, z)x

Ay

= limy0

A(x, y +y, z)A(x, y, z)y

Az

= limz0

A(x, y, z +z)A(x, y, z)z

si existen.

Observacion 6.2. Es posible que exista Ax y las otras dos no. En general, no tienen por que existir todaslas derivadas parciales.

En el caso de funciones de dos o mas variables el termino derivable indica que la funcion tiene primerasderivadas continuas. Las derivadas de orden superior se definen del mismo modo que el calculo diferencialordinario, esto es

2A2x

=

x

(Ax

)2A2y

=

y

(Ay

)2A2z

=

z

(Az

)

2Axy

=

x

(Ay

)2Axz

=

x

(Az

)2Ayz

=

y

(Az

)Si A tiene segundas derivadas parciales continuas, entonces se cumple que

2Axy

=2Ayx

Las reglas de derivacion parcial de vectores son analogas a las del calculo diferencial ordinario.

32


Proposicion 6.2. Sean A y B funciones de x, y, z, entonces

1. x (A B) = A Bx + Ax B

2. x (AB) = A Bx + Ax B

3. 2

yx (A B) = y(x (A B)

)= y

(A Bx + Ax B

)= y

(A Bx

)+ y

(Ax B

)etc.

Ejemplo: Sean (x, y, z) = xy2 y A = xz i xy2 j+ yz2 k, hallar 3x2 z (A) en el punto (1, 1, 0).

Solucion.- ComoA = (xy2z)(xz i xy2 j+ yz2 k) = x2y2z2 i x2y4z j+ xy3z3 k

entonces

z(A) =

(

zx2y2z2

)i(

zx2y4z

)j+

(

zxy3z3

)k

= 2x2y2z i x2y4 j+ 3xy3z2 k.

2

x z(A) =

x(2x2y2z i x2y4 j+ 3xy3z2 k)

= 4xy2z i 2xy4 j+ 3y3z2 k.

3

2x z(A) =

x(4xy2z i 2xy4 j+ 3y3z2 k)

= 4y2z i 2y4 j.Por lo tanto

3

2x z(A) = 4y2z i 2y4 j.

Luego, en (x, y, z) = (1, 1, 0)

3

2x z(A) = 4(1)2(0) i 2(1)4 j = 2 j

6.6 Diferencial de un vector

Definicion 6.6. Dado un sistema de coordenadas y vector de posicion r . Entendemos por vector diferencialde r en el punto dr , un vector de modulo infinitesimal que permite pasar de dicho punto dr a otro puntoinfinitesimalmente proximo.

33


Las componentes cartesianas de dr son cantidades de valor infinitesimal y se designa por (dx, dy, dz):

dr = (dx, dy, dz) = dxi+ dyj + dzk

6.7 Gradiente, Divergencia y Rotacional

6.7.1 Gradiente de un campo escalar

Definicion 6.7. Un campo escalar en Rn es una funcion f : R, donde es un subconjunto de Rn.

Usualmente sera un conjunto abierto. Para n = 2 tenemos un campo escalar en el plano, que tendrala forma (x, y) f(x, y). Para n = 3 tendremos un campo escalar en el espacio, dado por la expresion(x, y, z) f(x, y, z).

Definicion 6.8. Sea f un campo escalar definido en un abierto Rn y sea a = (a1, a2, . . . , an) .Supongamos que f es diferenciable en el punto a, con lo que existen las n derivadas parciales de f en a:

f

xka =

f

xk=limt0

f(a+ tek) f(a)t

para k = 1, 2, . . . , n donde {e1, e2, . . . , en} es la base estandard de Rn. Se define el gradiente de f en el puntoa como el vector dado por:

f(a) =(f

x1(a),

f

x2(a), . . . ,

f

xn(a))=

nk=1

f

xk(a1, a2, . . . , an)ek

Si el campo f es diferenciable en todos los puntos de tendremos una funcion f : Rn que a cadapunto x hace corresponder el vector gradiente en diho punto, f(x). Es natural entonces escribir

f =(f

x1,f

x2, . . . ,

f

xn

)=

nk=1

f

xkek.

34


6.7.2 Divergencia de un campo vectorial

Definicion 6.9. Sea F un campo vectorial definido en un conjunto abierto Rn y consideremos suscordenadas F = (F1, F2, . . . , Fn). Supongamos que F es diferenciable en un punto a , lo que sabemosequivale a que todos los campos escalares Fk, con k = 1, 2, . . . , n, sean diferenciables en el punto a. De hechocada vector gradiente Fk(a) es la kesima fila de la matriz jacobiana de F en a. Pues bien, la traza e dichamatriz es, por definicion, la divergencia del campo F en el punto a, y se denota por divF (a). as pues, setendra:

divF (a) =F1x1

(a) +F2x2

(a) + . . .+Fnxn

(a) =n

k=1

Fkxk

6.7.3 Rotacional de un campo vectorial

Definicion 6.10. Sea F = PQR) un campo vectorial definido en un abierto Rn y diferenciable en unpunto a . Del mismo modo que la divergencia divF (a) se obtiene como el producto escalar smbolicoF (a), podemos pensar en el producto vectorial, tabien smbolico, F (a). El vector que as se obtiene es,por definicion, el rotacional del campo F en el punto a y se denota por rotF (a). Asi pues:

rotF (a) = F (a) =

i j kx

y

x

P (a) Q(a) R(a)

=(Ry (a) Qz (a)

)i+(Pz (a) Rx (a)

)j +

(Qx (a) Px (a)

)k

6.8 Derivadas direccionales

Definicion 6.11. Consideremos de un campo escalar f definido en un abierto Rn diferenciable en unpunto a . Fijemos el vector u = (u1, u2, . . . , un) Rn con u = 1, se define la derivada direccional de fen la direccion u como:

f

u(a) =limt0

f(a+ tu) f(a)t

=n

k=1

f

xk(a)uk =< f(a)|u > .

y mide la rapidez de variacion de f al desplazarnos desde el punto a en la direccin del vector u. Ladesigualdad de Cauchy-Schwartz nos da:

f

u=< f(a)|u > | < f(a)|u > | f(a)u = f(a)

Si f(a) 6= 0, podemos conseguir que las desigualdades anteriores sean igualdades tomando u = f(a)f(a)y tenemos una interpretacion fsica del gradiente de un campo escalar: f(a) es la maxima rapidez devariacion del campo que podemos conseguir al desplazarnos desde el punto a; esta maxima variacion se pro-duce en la direccion del vector gradiente, mas concretamente, el maximo aumento se consigue en el sentidodel vector gradiente y la maxima disminucion en sentido opuesto.

35

Mara del Rosario Soler Zapata 7 INTRODUCCION A LA INTEGRACION VECTORIAL

7 Introduccion a la integracion vectorial

En esta seccion estudiaremos algunas integrales vectoriales.

7.1 Integral de un vector

Recordemos que podemos escribir un vector en terminos de funciones con valores reales, ya sea en una o variasvariables, consideeremos en caso en que el vector depende de una variable u; la siguiente definicion muestracomo llevar a cabo su integral

Definicion 7.1. SeaR(u) = R1(u), R2(u), R3(u) un vector funcion de una variable u donde R1(u), R2(u), R3(u)son funciones continuas en un intervalo dado, entonces

R(u) du =

R1(u) du,R2(u) du,

R3(u) du

Observe que integral un vector que depende de una variable correponde a realizar el tipo de derivadas que seestudiaran en el curso de calculo II.

Ejemplo: Sea R(u) = 2u u2, 2u3,2, hallar R(u) du y 21R(u) du.

Solucion.- R(u) du =

R1(u) du,

R2(u) du,

R3(u) du

=

(2u u2) du,

2u3 du,2 du

=u2 u

3

3+ c1,

u4

2+ c2,2u+ c3

21

R(u) du =

[u2 u

3

3+ c1

]21

,

[u4

2+ c2

]21

, [2u+ c3]21

=(

22 23

3+ c1

)(12 1

3

3+ c1

),

(24

2+ c2

)(14

2+ c2

), (2(2) + c3) (2(1) + c3)

=43 23, 8 1

2,4 + 2

=23,72,2

36


7.2 Integral curvilnea

Este tipo de integrales es muy usual en fsica, puesto que de analizar el movimiento de una partcula conun determinado vector de desplazamiento, de tiene que el trabajo realizado al ir de c(t) a c(t + t) esaproximadamente

F (c(t)) s F (c(t)) c(t)tSi dividimos el intervalo [a, b] en n partes iguales a = t0 < t1 < < tn = b, con t = ti+1 ti, entonces eltrabajo realizado por F es aproximadamente

n1t=0

F (c(ti)) s =n1t=0

F (c(ti)) c(ti)t.

Luego, cuando n esta aproximacion es mucho mas acertada, de modo que es natural definir trabajocomo el lmite de la suma anterior cuando n.

Definicion 7.2. Sea F un campo vectorial en R3 continuo sobre la trayectoria C1, c : [a, b] R3. Se definela integral de lnea (a veces llamada integral curvilnea) de F a lo largo de c, denotada por

cF ds como

c

F ds = ba

F (c(t)) c(t) dt;

Para trayectorias c tales que c(t) 6= 0 hay una formula util equivalente a la integral de lneac

F ds = ba

[F (c(t)) T (t)] c(t) dt,

donde T (t) = c(t)

c(t) denota al vector tangente unitario.

Otra manera muy comun de escribir integrales de lnea esc

F ds =c

F1 dx+ F2 dy + F3 dz = ba

(F1

dx

dt+ F2

dy

dt+ F3

dz

dt

)dt,

donde F1, F2, F3 son las componentes del campo vectorial F y c(t) = (x(t), y(t), z(t)). A la expresionF1 dx+ F2 dy + F3 dz le llamamos forma diferencial.

Ejemplo: Evaluarcx2 dx+ xy dy+ dz donde c : [0, 1] R3 esta dada por c(t) = (t, t2, 1) = (x(t), y(t), z(t)).

Solucion.- Como dxdt = 1,dydt = 2t,

dzdt = 0, se tiene que

c

x2 dx+ xy dy + dz = 10

([x(t)]2

dx

dt+ [x(t) y(t)]

dy

dt+dz

dt

)dt

= 10

(t2 + 2t4) dt

=1115.

37


7.3 Superficies parametrizadas

En secciones anteriores hemos estudiado algunas superficies, a saber, las superficies obtenidas de graficar fun-ciones en dos variables de valores reales. Tambien sabemos calcular planos tangentes y localizar maximos ymnimos. En semestres anteriores hemos escrito la ecuacion de una recta dependiendo de un solo parametro;tambien hemos escrito ecuaciones de algunas otras curvas en terminos de un solo parametro. Ha llegado elturno de escribir algunas superficies en terminos de algunos parametros. Si en el caso de curvas, esto fueposible con un parametro, es natural pensar que para superficies bastan dos parametros.

Definicion 7.3. Una superficie parametrizada es una funcion : D R2 R3. La superficie S es la imagende , esto es

S = (D)

De la definicion anterior podemos decir que si (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) es diferenciable o de clase C1,S es una superficie diferenciable o C1.

Ejemplo: Parametrizar x2 + y2 z2 = 25

Solucion.- Usemos coordenadas cilndricas; en este caso la superficie a parametrizar es equivalente a

(r cos )2 + (r sen )2 z2 = r2 z2 = 25,

luego, r2 = z2 + 25 y r =z2 + 25; por lo tanto, una parametrizacion de x2 + y2 z2 = 25 es

(z, ) = (z2 + 25 cos ,

z2 + 25 sen , z)

7.4 Integral de superficie

En el caso en que f no es una funcion de valores reales sino una funcion de valores vectoriales la integral sobreuna superficie parametrizada S se define en la siguiente

Definicion 7.4. Sea F un campo vectorial definido en S, donde S = (D). Se define la integral de superficiede F sobre , denotada por

F dS, como

F dS =

D

F (Tu Tv) du dv

Ejemplo: Supongase que una funcion de temperatura esta dada por T (x, y, z) = 3x2 + 3z2. Calcular el flujode calor a traves de la superficie x2 + z2 = 2, 0 y 2 si k = 1.

Solucion.- Sabemos queF = T (x, y, z) = (6x, 0,6z).

38


En S, n(x, y, z) = 12(x, 0, z) es la normal exterior unitaria a S en (x, y, z) y

f(x, y, z) = F n

=12(6x2 6z2)

=62(x2 + z2)

=122,

as S

F dS =

S

f dS

=122

S

dS

=122

A(S)

=122

(4pi2)

= 48pi.

7.5 Integral de volumen

Consideremos una superficie cerrada que encierre un determinado volumen V del espacio. Las integrales V

A dV y

V

dV

son ejemplos de integrales de volumen.

Definicion 7.5. Sea f(x, y, z) integrable en la caja B = [a, b] [c, d] [p, q]. Entonces, si existe cualquier

39


integral iterada, es igual a la integral triple; esto es, B

f(x, y, z)dx dy dz = qp

dc

ba

f(x, y, z)dx dy dz

= qp

ba

dc

f(x, y, z)dx dy dz

= ba

qp

dc

f(x, y, z)dx dy dz

= ba

dc

qp

f(x, y, z)dx dy dz

= dc

qp

ba

f(x, y, z)dx dy dz

= dc

ba

qp

f(x, y, z)dx dy dz

Ejemplo: Integrar ex+y+z sobre la caja B = [0, 1] [0, 1] [0, 1]. Solucion.- B

ex+y+zdx dy dz = 10

10

10

ex+y+z dx dy dz

= 10

10

(ex+y+z)|1x=0 dy dz

= 10

10

(e1+y+z ey+z) dy dz

= 10

(e1+y+z ey+z)|1y=0 dz

= 10

e2+z 2e1+z + ez dz

= (e2+z 2e1+z + ez)|1z=0= e3 3e2 + 3e 1= (e 1)3.

Para poder dar la definicion de integral de volumen en regiones mas generales, es necesario dar antes algunasdefiniciones.

40


Definicion 7.6 (Region de Tipo I). Sean 1 : [a, b] R y 2 : [a, b] R tales que 1(x) 2(x) para todox [a, b]. Una region de tipo I es un conjunto D de puntos en el plano tales que x [a, b] y 1(x) y 2(x).

D

a b

y= (x)

y=1

2

(x)

y=2

y=1

(x)

(x)a bx

y

x

y

Regiones elementales de tipo I

D

Definicion 7.7 (Region de Tipo II). Sean 1 : [c, d] R y 2 : [c, d] R tales que 1(y) 2(y) para todoy [c, d]. Una region de tipo II es un conjunto D de puntos en el plano tales que y [c, d] y 1(y) x 2(y).

x=1(y)x= 2(y)x=1(y)

x= 2(y)D

x

y

x

y

d

c

D

c

d

Regiones elementales de tipo II

Definicion 7.8. Una region es una region elemental de tipo III, si es de tipo I y es de tipo II.

La figura siguiente muestra una region de tipo III, donde

1(x) = 1 x2

2(x) =1 x2

1(y) = 1 y2

2(y) =1 y2

41


Una region elemental en R3 es la que se define acotando una de las variables por dos funciones de las otrasdos variables, y que los dominios de estas dos funciones sea una region elemental en R2.

Definicion 7.9. Sea D una region elemental en R2 y sean 1, 2 : D R tales que 1(x, y) 2(x, y) paratodo (x, y) D, una region elemental W en R3 es el conjunto de puntos (x, y, z) R3 tales que (x, y) D y1(x, y) z 2(x, y).La definicion anterior se basa en D region elemental en el plano xy; definiciones similares se tienen si D esuna region elemental en el palno yz o en el plano xz.

La siguiente figura muestra dos regiones elementales en el espacio.

42


Una integral triple sobre una region elemental se puede escribir como una integral iterada en la que loslmites de integracion son funciones:

Supongamos que W es una region elemental que se describe al acotar z entre dos funciones de x y y, en-tontes

W

f(x, y, z) dx dy dz = ba

2(x)1(x)

2(x,y)1(x,y)

f(x, y, z) dz dy dx

Si f(x, y, z) = 1, se tiene que W

f(x, y, z) dx dy dz =

W

dx dy dz = Volumen de W

Ejemplo: Verificar la formula del volumen de la esfera de radio r W

dx dy dz =43pir3

donde W es el conjunto de (x, y, z) con x2 + y2 + z2 r2.

Solucion.- Observemos que W es el conjunto de las (x, y, z) R3 tales quer x r

r2 x2 y

r2 x2

r2 x2 y2 z

r2 x2 y2

luego W

dx dy dz = rr

r2x2r2x2

r2x2y2r2x2y2

dz dy dx

por lo que W

dx dy dz = rr

r2x2r2x2

z|r2x2y2

r2x2y2 dz dy dx

= rr

r2x2r2x2

2r2 x2 y2 dy dx

para obtener la siguiente integral observemos que como y es la variable de integracion, x es fija, por lo que W

dx dy dz = rr

r2x2r2x2

2r2 x2 y2 dy dx

= 2 rr

aa

a2 y2 dy dx

43


donde a =r2 x2 > 0; luego, como aaa2 y2 dy es el area de un semicrculo de radio a, se tiene que a

a

a2 y2 dy = a

2

2pi.

Por lo tanto W

dx dy dz = 2 rr

r2x2r2x2

r2 x2 y2 dy dx

= 2 rr

(r2 x2)22

pi dx

= pi rr(r2 x2) dx

= pi(r2x x3

3)|rx=r dx

=43pir3

7.6 Teorema de Green

El Teorema de Green esta relacionado con la integral de lnea a lo largo de una curva cerrada y en generalse aplica a cualquier region que aunque no se pueda escribir coo una region elemental de tipo 3 s se puedadescomponer en partes tales que cada una de ellas sea de tipo 3.

Teorema 6 (Teorema de Green). Sea D una region elemental de tipo 3 y sea C su frontera. Supongase queP : D R y Q : D R son de clase C1, entonces

C+P dx+Q dy =

D

(Q

x P

y

)dx dy

Si usamos la notacion de D para la frontera de D que no es otra cosa mas que la curva orientada C+,el Teorema de Green se puede escribir como

D

P dx+Q dy =

D

(Q

x P

y

)dx dy

Supongamos que tenemos una curva C que es simple cerrada y que acota una region; si aplicamos el teoreade Green se tiene que la region D acotada por C = D tiene area

A =12

D

x dy y dx.

La forma vectorial del teorema de Green se tiene en el siguiente

44


Teorema 7. Sea D R2 una region para la cual se aplica el teorea de Green, sea D su frontera orientadaen sentido contrario a las manecillas del reloj, y sea F = (P,Q) un campo vectorial C1 en D, entonces

D

F dS =

D

(rot F ) k dA =

D

( F ) k dA

7.7 Teoreama de Stokes

El teorema de Stokes es similar al teorema de Green, solo que el teorema de Stokes se refiere a la integral delnea a lo largo de una curva cerrada simple en R3.

Teorema 8. Sea S la superficie orientada definida por una funcion C2 z = f(x, y) donde (x, y) D y sea Fun campo vectorial C1 en S. Si S denota la curva frontera orientada de S, entonces

S

rot F dS =

S

( F ) dS =S

F dS.

Si S es una superficie parametrizada el teorema de Stokes dice lo siguiente

Teorema 9. Sea S una superficie orientada definida por una parametrizacion uno a uno : D R2 S.Si S denota la frontera orientada de S y si F es un capo vectorial C1 en S, entonces

S

( F ) dS =S

F dS.

7.8 Teorema de Gauss

El teorea de Gauss trata del flujo de un campo vectorial hacia afuera de una superficie cerrada, es en realidadun resultado paralelo al teorema de Green y al teorema de Stokes en el sentido en que relaciona una integralsobre un objeto geometrico cerrado con una integral sobre una region contenida.

Teorema 10. Sea una region elemental simetrica en el espacio. Sea la superficie cerrada orientada queacota a . Si F es un campo vectorial suave definido en , entonces

( F ) dV =

F dS.

o lo que es equivalente

(div F ) dV =

(F n) dS.

45

Mara del Rosario Soler Zapata BIBLIOGRAFIA.

Bibliografa.

[1] Jerrold E. Marsden y Anthony J. Tromba. Calculo Vectorial. Addison Wesley.

[2] Michael Spivak. Calculus. , Reverte.

[3] Murray R. Spiegel. Analisis Vectorial. Mc Graw Hill.

[4] W. Fleming Funtions of several variables. Springer-Verlag.

[5] Michael Spivak. Calculo en variedades. Reverte.

46

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