BROJEVI I ALGEBRA

SKUPOVI BROJEVAN: {1, 2, 3, 4, .....} zatvorene operacije: +, xZ: {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} zatvorene operacije: +, x, -Q(racionalni): { a/b / a,b, Є Z; b Є N} zatvorene operacije: +, -, x, :I(iracionalni): broj pod korijenom R: realniC(kompleksni): z= a + bi

N Z Q R

• intervali:<a,b> , [a,b>, <a,b], [a,b]• zapis kompleksnih brojeva u standardnome i trigonometrijskome obliku:Z=a+bi ; Z= r(cos φ + i sin φ)

ELEMENTARNO RAČUNANJE• zbrajati, oduzimati, množiti, dijeliti, korjenovati, potencirati te određivati apsolutne vrijednosti• zaokruživati brojeve• rabiti džepno računalo

POSTOTCI I OMJERI (rabiti postotke i omjere)

ALGEBARSKI IZRAZI I ALGEBARSKI RAZLOMCI• provoditi operacije s potencijama i korijenima• zbrajati, oduzimati i množiti algebarske zraze• rabiti formule za kvadrat i kub binoma, razliku kvadrata i razliku i zbroj kubova• zbrajati, oduzimati, množiti i dijeliti algebarske razlomke• iz zadane formule izraziti jednu veličinu s pomoću drugih• primijeniti binomni poučak :

MJERNE JEDINICE• računati s jedinicama za duljinu, površinu, obujam, vrijeme, masu i novac• pretvarati mjerne jedinice• rabiti mjerne jedinice u geometriji i u zadatcima s tekstom

FUNKCIJEPOJAM FUNKCIJE, ZADAVANJE I OPERACIJE S NJIMA• rabiti funkcije zadane tablično, grafički, algebarski i riječima• izvoditi operacije s funkcijama (zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje,komponiranje)

LINEARNA FUNKCIJA (polinom 1.stupnja)

f ( x ) = a x + b , a 0 i b su realni brojeviGraf funkcije je pravac.Jednadžba pravca je y = a x + b

Realni broj a 0 je nagib ili koeficijent smjera pravca .za a > 0 funkcija pada.za a < 0 funkcija raste, za a = 0 funkcija je konstanta ( pravac je paralelan s x osi)

Realan broj b je odsječak pravca na osi y . ( točka ( 0,b ) na y osi )za b=0 graf funkcije je f(x)= a x , to je pravac koji prolazi ishodištem koordinatnog sustava.

Domena: f(x)= 2x

x

f nije definirana ako je nazivnik=0, tj. x+2=0 ; x= -2 -dakle, f je definirana svugdje osim tamo di je x= -2 D(f )= R \ {-2}-drugi način rješavanja: f je definirana ako je razlomak > 0, dakle brojnik i nazivnik moraju biti oba + ili oba –-iz toga slijede 2 slučaja->presjek->unija

Nultočke: presjek pravca i x osi; T( x0, 0 ) f(x) = 0 Sjecišta s koordinatnim osima: sjecište s osi x - y=0sjecište s osi y - x=0Rast/pad funkcije:-kada je koeficijent a pozitivan, funkcija raste. -kada je koeficijent a negativan, funkcija pada. -ako je a = 0 funkcija ne raste, ni ne pada. Kažemo da je konstantna.

Tijek funkcije: (Područje definicije ,Parnost, Periodičnost ,Nul-točke,Asimptote,Ekstremi, Intervali monotonosti, ntervali zakrivljenosti, Točke infleksije, Graf funkcije)Parnost: f je parna ako je : f(-x) = f(x); neparna je ako je:f(-x) = - f(x)

KVADRATNA FUNKCIJA (polinom 2.stupnja)

-graf fukncije je parabola

Domena: dobiješ kv.jednadžbu, nultočke, domena je sve osim te 2 točke; ili tražimo one x-eve ta koje je f(x)≥0 , nađi nultočke, nacrtaj parabolu, domena je unijaAko je a<0, parabola prema dolje ( rješenja unutar parabole) a > 0, parabola prema gore (rješenja izvan parabole)

Diskriminanta:D=b2-4acD>0; rješenja su realna i različitaD<0; rješenja su konjugirano kompleksi brojeviD=0; x1=x2

Minimum/maksimum(ekstremi) funkcije, odnosno tjeme parabole:

T ( )

-ako je , onda ima točke minimuma, a ako je a < 0 ima točke maksimuma

FUNKCIJA APSOLUTNE VRIJEDNOSTI

FUNKCIJA DRUGOGA KORIJENA

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE– crtati grafove polinoma (najviše 3. stupnja)– crtati grafove racionalnih funkcija (polinomi najviše 2. stupnja u brojniku inazivniku)

EKSPONENCIJALNA I LOGARITAMSKA FUNKCIJA– rabiti osnovne eksponencijalne i logaritamske identitete

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE– definirati trigonometrijske funkcije na brojevnoj kružnici– odrediti temeljni period i primijeniti svojstvo periodičnostitrigonometrijskih funkcija– primijeniti osnovne trigonometrijske identitete– primijeniti adicijske formule– primijeniti formule pretvorbe zbroja trigonometrijskih funkcija u umnožaki obrnuto– prepoznati, odnosno nacrtati grafove funkcija oblika:f (x) Asin(Bx C) Df (x) Acos(Bx C) D

NIZOVI

-aritmetički niz, sredina, suma-geometrijski niz, sredina, suma

- Niz može biti zadan općim članom i rekurzivnom formulom-formule u kojima se n-ti član niza izražava pomoću prethodnih članova-Niz parnih br.-funkcija koja prirodnom br. N pridružuje an=2n. f(n)=an.-Ar.niz je niz brojeva kod kojeg je razlika svakog člana i čl.pred njim stalan br.-Naziv ar.niz dolazi od ar.sredine, vrijedi za sve osim prvi član-svaki član je ar.sredina svog prethodnika. I sljedbenika. -kad imaš 3 uzastopna člana koristi aritmetičku sredinu-Geometrijski niz.-niz kod kojeg je količnik svakog člana i člana pred njim stalan broje .

DERIVACIJA FUNKCIJEOsnovna pravila :Ako su funkcije f i g diferencijabilne u točki x, onda vrijedi:

1.

2.

3.

4.

Derivacija složene funkcije (kompozicije):

- derivacija konstantne funkcije: c´ =0 - funkcija potenciranja: (x n)´ = n Xn-1

- trigonometrijske funkcije- derivirati zbroj, razliku, umnožak, kvocijent i kompoziciju funkcija- odrediti tangentu na graf funkcije u točki:

1.odredi ∆f(x) ∆f(x)= f (x + ∆x) – f(x)

2. odredi k k= lim (kad ∆x teži 0)

3.odredi jednadžbu pravca y= kx + l

- tangenta i normala u točki krivulje:*normala je pravac okomit na tangentu u točki dirališta, uvjet

okomitosti je kn=

Primjer zadatka: Odredi jednadžbu tangente i normale na graf funkcije f(x)= x3 – x + 2, u točki s apscisom 1.

1.nađi y : y=13 – 1 +2 = 3 T(1,2)2.nađi k (=> deriviraj f(x))

Kt= 2 ; kn=

3.napiši jednadžbu tangente (y-y1= k(x-x1) y=2x

4.napiši jednadžbu normale (y-y1= k(x-x1) y=

- rabiti derivaciju funkcije kod ispitivanja tijeka funkcije

JEDNADŽBE I NEJEDNADŽBE

LINEARNE JEDNADŽBE

-kod razlomaka- nazivnik mora biti različit od 0-Sustav lin.jednadžbi s 2 nepoznanice: Postoji nekoliko metoda rješenja sustava.

• METODA SUPSTITUCIJE : iz jedne od jednadžbi izrazimo jednu nepoznanicu

METODA SUPROTNIH KOEFICIJENATA –pomnoži jednu od jednadžbi s minusom...

sustav od 3 jednadžbe s 3 nepoznanice:

LINEARNE NEJEDNADŽBEPrimjer: sustav linearnih nejednadžbi:

( rez. )

KVADRATNE JEDNADŽBE a-vodeći koeficijentb-linearnic-slobodni

slučajevi: b=0; c=0 -> ax2=0 -> x=0b=0; c≠0 -> ax2 + c =0 -> ax2= -c b≠0; c=0 -> ax2 + bx =0 -> x(ax+b)=0 (jedno rješenje je uvijek 0)

-faktorizacija kvadratnog trinoma: ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2)

Vieteove formule:

X1 + X2 = , X1 x X2=

X2- (X1 + X2)X + X1 X2 =0 -jednadžbe koje se svode na kvadratnu-bikvadratne:rješavaju se metodom supstitucije (X->t), imaju 4 rješenja

KVADRATNE NEJEDNADŽBE

-ako je b=0: ----->

-ako su oba člana a i b pozitivna ili negativna, tada nejednadžba neće imati rješenje u skupu realnih brojeva. Ukoliko je jedan od članova negativan, nejednadžba će imati kao rješenje

skup svih vrijednosti x iz intervala: i ,

Npr: .

,

gdje se skup svih vrijednosti x koje udovoljavaju početnoj nejednadžbi nalazi unutar intervala

i ,

-ako je c=0:

što se može prikazati i kao: .

Gornji uvjet je ispunjen u dva različita slučaja:

i te

i

odakle se može zaključiti o intervalu unutar kojeg se nalazi skup svih vrijednosti x koje udovoljavaju nejednadžbi.

Npr: .

Gornji uvjet je ispunjen u dva različita slučaja:

i i

i

gdje iz a) slijedi da mora biti x<0 i x>-4, te iz b) slijedi da mora biti x>0 i x<-4 Uvjet pod b) je nemoguć, a uvjet pod a) daje sve vrijednosti x za koje je nejednadžba rješiva, gdje se skup vrijednosti x nalazi unutar intervala:

.Kvadratna nejednadžba sa svim članovima

ili

-nađi rješenje odgovarajuće kvadratne jednadžbe:

da se odredi graf funkcije:

te da se tada iz grafa funkcije odredi za koje intervale vrijednosti x je funkcija veća od nule, jednaka nuli ili manja od nule u sukladnosti sa zadatkom.

Npr: Primjer: .

U cilju nalaženja svih vrijednosti x koje koje udovoljavaju nejednadžbi, nalazimo najprije rješenje jednadžbe:

gdje su rješenja:

.

Razmatrajući funkciju (slika desno):

,

zaključujemo da su rješenja kvadratne jednadžbe nultočke (2,0) i ( − 1,0) grafa funkcije . Za sve vrijednosti x za koje je i vrijednost funkcije manja ili jednaka nuli bit će ispunjen uvjet dat u nejednadžbi da je:

Sve vrijednosti x iz intervala: bit će zato skup vrijednosti rješenja zadane nejednadžbe.

JEDNADŽBE S KORIJENOM-iracionalne jednadžbe se rješavaju uzastopnim kvadriranjem tj.potenciranjem; na kraju treba provjerit realna rješenja (koje od 2 ili više rješenja odgovara jednadžbi)

NEJEDNADŽBE S KORIJENOM-Iracionalna nejednadžba je definirana za ono područje nepoznate veličine x u kojem je izraz ispod korijena općenito veći ili jednak nuli, gdje je, na primjer, za član:

jednadžba definirana x

ili za član jednadžba definirana x

Jednostavna iracionalna nejednadžba:

Sređivanjem i kvadriranjem obje strane jednadžbe nalazimo kako slijedi:

gdje je rješenje iracionalne nejednadžbe svaki x iz intervala: .

Složenija nejednadžba:-Ima dva člana gdje se nepoznata veličina nalazi ispod korijena:

Kvadriranjem i sređivanjem iracionalne jednadžbe dobivamo:

Rješenje iracionalne nejednadžbe je, dakle, x<5 gdje valja ispuniti i uvjet da su izrazi pod korijenima veći od nule, što će s druge strane biti ispunjeno za x>-1/2, odnosno x>-4.

Rješenje date nejednadžbe biti će svaki x iz intervala: .

JEDNADŽBE S APSOLUTNIM VRIJEDNOSTIMA• Najjednostavniji oblik jednadžbi s apsolutnim vrijednostima:

|f(x)|=c

- Kad je c>0 rješavamo dvije jednadžbe: f(x)=c i f(x)= -c

- Za c=0 rješavamo jednadžbu f(x)=0, dok za c<0 jednadžba nema rješenja

• Primjer zadatka: |x-2|=3. |x-2|=3

x-2=-3 x-2=3x=2-3 ili x=2+3x=-1 x=5Jednadžba ima dva rješenja x=-1, x=5.

• Nešto složenije jednadžbe s aps. vrijednostima su jednadžbe oblika:|f(x)|=g(x), gdje su f i g funkcije

- Rješavamo ih tako da promatramo dva slučaja: f(x)≥0 i f(x)<0, tj.rješavamo odgovarajuće jednadžbe f(x)=g(x) ako je f(x)≥0, te-f(x)=g(x) ako je f(x)<0

- Na kraju treba provjeriti pripadaju li dobivena rješenja intervalu iz početnih uvjeta

-Najsloženije jednadžbe su one u kojima se javljaju dva izraza pod znakom apsolutne vrijednosti, a rješavanje se svodi na rješavanje tri linearne jednadžbe:

NEJEDNADŽBE S APSOLUTNIM VRIJEDNOSTIMA• Najjednostavniji tip nejednadžbe s aps. vrijednosti je

|f(x)|<c, |f(x)|>c• Nejednadžba je zadana na način da se nepoznata veličina x nalazi pod znakom

apsolutne vrijednosti:|x|-2>0

• Iz nejednadžbe slijedi da je: |x|>2• gdje je rješenje nejednadžbe takav skup vrijednosti x koji udovoljava nejednadžbi, te

su rješenja nejednadžbe intervali: <2,+∞>U<-∞,-2>• Nejednadžba |x|≥a

-ima rješenje x≤-a ili x≥a ako je a>0-ima rješenje za svaki realan broj x ako je a=0- ima rješenje za svaki realan broj x ako je a<0

JEDNOSTAVNIJE POLINOMSKE I RACIONALNE JEDNADŽBE I NEJEDNADŽBE• rješavati jednadžbe/nejednadžbe koje se mogu faktorizirati• rješavati jednadžbe/nejednadžbe koje se supstitucijom mogu svesti nakvadratne, primjerice, bikvadratne jednadžbe

EKSPONENCIJALNE JEDNADŽBE -to je jednadžba kod koje se nepoznanica nalazi u eksponentuRješavanje: a)koristeći jednakost potencija (svojstvo injektivnosti) am = bn a=b ; m=nb) supstitucijomc)logaritmiranjemd)izlučivanjem

EKSPONENCIJALNE NEJEDNADŽBE-ako je a>1, funkcija raste; ako je 0<a<1, funkcija padaZa a-x <0 , nema rješenjaZa a x >0 svaki x je rješenje

LOGARITAMSKE JEDNADŽBE -svojstva logaritama: logaritam umnošška=zbroj logaritama

logaritam kvocijenta=razlika logaritama

logaritam potencije=umnožak eksponenta i logaritma baze

logaritam korijena = umnožak recipročne vrijednosti eksponenta korijena i logaritma radikanta(broj pod korijenom)

-svojstvo injektivnosti

-log (x ± y) ≠ log x ± log y

-logaritmi različitih baza:

-logaritam broja je eksponent kojim treba potencirati bazu da bismo dobili broj od kojeg se traži logaritamloga y = x ax=y

LOGARITAMSKE NEJEDNADŽBE

ZA LOGARITAMSKE I EKSPONENCIJALNE:• rješavati jednadžbe/nejednadžbe s potencijama jednakih baza, primjerice:22x1 8 , 0.5x > 32• rješavati jednadžbe/nejednadžbe koje se mogu riješiti izravnomprimjenom logaritmiranja, primjerice:4x 5• rješavati jednadžbe/nejednadžbe koje se mogu riješiti izravnomprimjenom definicije logaritma, primjerice:7 log x 3• rješavati jednadžbe/nejednadžbe u kojima se rabe osnovna svojstvaračunanja s eksponentima i logaritmima, primjerice:2 2 log (x 3) log (x 2) −1 0• rješavati jednadžbe/nejednadžbe koje se supstitucijom mogu svesti nakvadratne, primjerice:9x −5⋅3x 4 0

TRIGONOMETRIJSKE JEDNADŽBE• odrediti opće rješenje trigonometrijske jednadžbe ili rješenja iz zadanogaintervala rabeći definicije trigonometrijskih funkcija, primjerice:cos 2 0.52x −• odrediti opće rješenje trigonometrijske jednadžbe ili rješenja iz zadanogaintervala rabeći trigonometrijske identitete, primjerice:2sin 2x cos x• rješavati jednadžbe koje se supstitucijom mogu svesti na kvadratne,primjerice:2tg2x −tgx −10

Primjer: sin = 1 sin x = 1

Pravila:

sin x =1 za x= + 2k Π; ke Z

sin x = -1 za x= ; ke Z

sin x = 0 za x=k Π ; ke Z

cos x =1 za x=2k Π ; ke Zcos x = -1 x= Π + 2k Π ; ke Z

cos x = 0 x= + k Π; ke Z

sin x = a ; -1≤ a ≤1 (ako je npr. sin x = 2, onda nema rješenja jer je 2 veći od 1)-nađemo takav x0 da je sin x0=a; rješenja su tada:{ X0 +2 k Π, k e Z } i { (Π- X0) +2 k Π, k e Z }

TRIGONOMETRIJSKE NEJEDNADŽBE-to su nejednadžbe oblika f(x) ≥ 0 ili f(x) > 0 , gdje je f trigonometrijska funkcija-rješavaju se tak oda se svode na osnovni oblik, primjenom trigonometrijskih identiteta i algebarskih postupaka dobijemo sin x>a ; cos x < a i slično.*kad zapisujemo interval idemo suprotno od smjera kazaljke na satu

Pr.)

SUSTAVI NAVEDENIH JEDNADŽBI I NEJEDNADŽBI

• rješavati sustave algebarski i grafički• interpretirati grafički prikaz jednadžbama

GEOMETRIJA- ELENMENTARNA

ELEMENTARNA GEOMETRIJA LIKOVA U RAVNINI

•odrediti mjeru kuta• razlikovati vrste trokuta• rabiti pojmove sukladnosti i sličnosti:

-dva su trokuta sukladna ako su im sukladne odgovarajuće stranice i ako su im sukladni odgovarajući kutovi.-dva trokuta slićna ako su im kutovi sukladni i ako su im odgovarajuće stranice proporcionalneČetiri karakteristične točke trokuta SIMETRALA DUŽINE je pravac koji je okomit na dužinu i prolazi njezinim polovištem SREDIŠTE OPISANE KRUŽNICE TROKUTA je točka u kojoj se sijeku simetrale stranica trokuta SIMETRALA KUTA je pravac koji prolazi vrhom kuta i dijeli taj kut na dva sukladna dijela.SREDIŠTE UPISANE KRUŽNICE TROKUTA je točka u kojoj se sijeku simetrale kutova trokutaTEŽIŠNICA TROKUTA je dužine koja spajaju vrh trokuta s polovištem nasuprotne straniceTEŽIŠTE TROKUTA je točka u kojoj se sijeku težišnice trokutaTežište dijeli svaku težišnicu u omjeru 2 : 1 od vrha prema stranici SREDNJICA TROKUTA je dužina koja spaja polovišta dviju stranica trokuta. i paralelna je sa stranicom trokuta i dvostruko kraća od nje.VISINA TROKUTA je okomica spuštena iz suprotnog vrha na stranicu trokutaORTOCENTAR TROKUTA je točka u kojoj se sijeku pravci na kojima leže visine trokutaSredište opisane kružnice , težište i ortocentar bilo kojeg trokuta leži na jednom pravcu, koji se zove EULEROV pravac

• rabiti poučke o sukladnosti trokuta-poučak S-S-SDva su trokuta sukladna ako se podudaraju u sve tri stranice.-poučak S-K-S Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kut među njima.-poučak K-S-KDva su trokuta sukladna ako se podudaraju u stranice i kutovima uz tu stranicu.-poučak S-S-KDva su trokuta sukladna ako se podudaraju u dvije stranice i kutu nasuprot duljoj od njih.

• rabiti poučke o sličnosti trokutaS-S-S Ako su duljine stranica dvaju trokuta proporcionalne onda su ti trokuti sličniS-K-S Ako se dva trokuta podudaraju u jednom kutu , a stranice uz taj kut su

proporcionalne onda su trokuti sličniK-K Ako se dva trokuta podudaraju u dva kutu , onda su trokuti slični

• rabiti koeficijent sličnostiDva trokuta su slična ako se podudaraju u sva tri kuta.Ako su dva trokuta slična , onda su im odgovarajuće stranice proporcionalne.Omjer duljina njihovih stranica a 1 : a = b 1 : b = c 1 : c = k zove se koeficijent sličnosti.

• rabiti Pitagorin poučak i njegov obrat

• rabiti osnovna svojstva paralelograma, trapeza i pravilnih mnogokuta

• odrediti elemente kružnice i kruga (središte i polumjer, kružni luk, kružniisječak, obodni i središnji kut, tetiva i tangenta) i rabiti njihova svojstva

• rabiti poučak o obodnome i središnjem kutu i Talesov poučakTALESOV POUČAK: Paralelni pravci na kracima kuta odsjecaju odreske proporcionalnih duljina.

• odrediti opseg i površinu

ODNOSI MEĐU GEOMETRIJSKIM OBJEKTIMA U PROSTORU

• prepoznati međusobni položaj dvaju pravaca i ravnina u prostoru

• odrediti probodište pravca i ravnine

• odrediti ortogonalnu projekciju točke i dužine

• odrediti kut pravca i ravnine te kut dviju ravnina

PRIZMA, PIRAMIDA, VALJAK, STOŽAC, KUGLA

• skicirati geometrijska tijela i prepoznati tijelo iz mreže

• prepoznati elemente tijela – osnovku (bazu), vrh, visinu, pobočke (strane) i plašt

• odrediti oplošje i obujam

TRIGONOMETRIJA TRIGONOMETRIJA PRAVOKUTNOGA TROKUTA I TRIGONOMETRIJA RAZNOSTRANIČNOGA TROKUTA

• rabiti definicije sinusa, kosinusa i tangesa kuta u pravokutnome trokutu

• rabiti poučak o sinusima i kosinusima

Poučak o sinusima:

Poučak o kosinusima: a2 = b2 + c2 – 2bc * cos ά b2= a2 + c2 – 2 ac * cos β c2 = a2 + b2 – 2 ab * cos

*možemo riješiti trokut ako je zadano: - stranica i 2 kuta (sin)- 2 stranice i kut nasuprot veće od njih (sin)- 2 stranice i kut između njih (cos)- 3 stranice (cos)

• primijeniti trigonometriju u planimetriji i stereometriji

ANALITIČKA GEOMETRIJA

KOORDINATNI SUSTAV NA PRAVCU I U RAVNINI

• prikazati točke u koordinatnome sustavu

• očitati koordinate točaka u koordinatnome sustavu

• izračunati udaljenost točaka

• izračunati koordinate polovišta dužine

VEKTORI

• zbrajati vektore, množiti vektore skalarom i skalarno množiti vektore

• rabiti koordinatni prikaz vektora

• odrediti duljinu vektora

• odrediti kut među vektorima

JEDNADŽBA PRAVCA• rabiti eksplicitni i implicitni oblik jednadžbe pravca

• odrediti jednadžbu pravca zadanoga točkom i koeficijentom smjera

• odrediti jednadžbu pravca zadanoga dvjema točkama

• odrediti kut između dvaju pravaca

• rabiti uvjet usporednosti i okomitosti pravaca

• izračunati udaljenost točke od pravca

KRIVULJE DRUGOGA REDA• odrediti jednadžbu kružnice iz zadanih elemenata i obrnuto

• odrediti jednadžbu elipse iz njezinih elemenata i obrnuto

• odrediti jednadžbu hiperbole iz njezinih elemenata i obrnuto te rabitipojam i jednadžbe asimptota

• odrediti jednadžbu parabole iz njezinih elemenata i obrnuto

• odrediti odnos između krivulje drugoga reda i pravca

• odrediti jednadžbu tangente u točki krivulje

• rabiti uvjet dodira pravca i kružnice