A MATEMATIKA 2(15.06.2013, treci kolokvij)

1. Zadana je funkcija u =√

xy + e2 z/x.

a) Nadite sve prve parcijalne derivacije.b) Nadite uyz.

(15 bodova)

2. Zadana je funkcija z = 3x2 − y2 + xy.a) Ako iz tocke A(1, 2) krenete prema tocki B(−2, 3) hoce li vrijednost funkcije rasti ili padati? Kojombrzinom?b) Je li nagib grafa u tocki A(1, 2) u smjeru osi y pozitivan ili negativan?c) U kojem smjeru treba krenuti iz tocke A(1, 2) da bi rast funkcije bio najveci i koliko iznosi ta najvecabrzina rasta?

(15 bodova)

3. Zadana je funkcija dvije varijable z = cos(x − y2).a) Odredite dz i d2z.b) Odredite dz i d2z u tocki (1, 1).c) Koristeci dz i d2z izracunajte približno z(1.1, 0.9).

(20 bodova)

4. Zadana je funkcija dvije varijable z = yex − 3x − y.a) Koje su od tocaka T1(0, 0) i T2(0, 3) kriticne?b) Ispitajte je li koja od kriticnih tocaka iz a)-dijela zadatka lokalni ekstrem.

(15 bodova)

5. Zadan je integral

2∫1

x3∫

x

ey/x dy

dx.

a) Nacrtajte podrucje integracije.b) Napišite granice integracije u obrnutom poretku.c) Izracunajte zadani integral.

(20 bodova)

6. Primjenom dvostrukog integrala trebamo izracunati volumen tijela omedenog sferom x2+y2+z2 = 9, ravninomz = 0 i valjkom x2 + y2 = 5. Vidjeti sliku!

a) Nacrtajte podrucje integracije.

b) Izracunajte volumen prijelazom na polarne koordinate.

(15 bodova)

A MATEMATIKA 2(Završni zadaci)

1. a) Koristeci se poznatim razvojima razvijte u red potencija funkciju f (x) =x

(1 − x)2 (napišite prva tri clana).

b) Koliki je radijus konvergencije dobivenog reda?(25 bodova)

2. Odredite x koordinatu težišta lika, koji je omeden krivuljama y = x2, y = 0, x = 1. Skicirajte!(25 bodova)

3. Zadana je familija krivulja xy2 +Cx = 2 .a) Odredite pripadnu diferencijalnu jednadžbu .b) Odredite diferencijalnu jednadžbu ortogonalnih trajektorija.c) Odredite ortogonalnu trajektoriju zadane familije koja prolazi tockom T (0, 1) . (25 bodova)

4. Zadana je diferencijalna jednadžba y′′ + y = 2x + e−x .a) Riješite pridruženu homogenu jednadžbu.b) Odredite oblik partikularnog rješenja.

(25 bodova)

Formule

• Neki redovi potencija

11 − x

= 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + · · · , |x| < 1

(1 + x)α = 1 + α x +(α

2

)x2 +

(α

3

)x3 +

(α

4

)x4 +

(α

5

)x5 + · · · , |x| < 1

• Težište T (x, y) ploce uniformne gustoce

x =

∫ ba x dP∫ ba dP

=

∫ ba x y(x) dx∫ ba y(x) dx

, y =

∫ dc y dP∫ dc dP

=

∫ dc y x(y) dy∫ dc x(y) dy

• Homogena jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima a y′′ + b y′ + c y = 0

Ako su k1 i k2 korijeni karakteristicne jednadžbe, onda je oblik opceg rješenja:

yH = C1 ek1 x +C2 ek2 x, u slucaju kada su k1 i k2 razliciti,

yH = ekx (C1 +C2x), kada karakteristicna jednadžba ima jedan dvostruki korijen k,

yH = eαx (C1 cos βx +C2 sin βx), kada su k1 i k2 konjugirano kompleksni k1,2 = α ± β i .

B MATEMATIKA 2(15.06.2013, treci kolokvij)

1. Zadana je funkcija u = ln(

x2 + 3zy − 2

).

a) Nadite sve prve parcijalne derivacije.b) Nadite uxz.

(15 bodova)

2. Zadana je funkcija z = x2 − 3y2 − xy.a) Ako iz tocke T (2,−1) krenete prema ishodištu hoce li vrijednost funkcije rasti ili padati? Kojom brzinom?b) Je li nagib grafa u tocki T (2,−1) u smjeru osi x pozitivan ili negativan?c) U kojem smjeru treba krenuti iz tocke T (2,−1) da bi rast funkcije bio najveci i koliko iznosi ta najvecabrzina rasta?

(15 bodova)

3. Zadana je funkcija dvije varijable z = sin(x + y2).a) Odredite dz i d2z.b) Odredite dz i d2z u tocki (−1, 1).c) Koristeci dz i d2z izracunajte približno z(−0.9, 1.1).

(20 bodova)

4. Zadana je funkcija dvije varijable z = x2 + 3y2 − 2xy − 8x.a) Koje su od tocaka T1(0, 0) i T2(6, 2) kriticne?b) Ispitajte je li koja od kriticnih tocaka iz a)-dijela zadatka lokalni ekstrem.

(15 bodova)

5. Zadan je integral

1∫0

1+x2∫x2

x√

ydy

dx.

a) Nacrtajte podrucje integracije.b) Napišite granice integracije u obrnutom poretku.c) Izracunajte zadani integral.

(20 bodova)

6. Primjenom dvostrukog integrala trebamo izracunati volumen tijela unutar z = x2 + y2, a ispod ravnine z = 16.Vidjeti sliku!

a) Nacrtajte podrucje integracije.

b) Izracunajte volumen prijelazom na polarne koordinate.

(15 bodova)

B MATEMATIKA 2(Završni zadaci)

1. a) Koristeci se poznatim razvojima razvijte u red potencija funkciju f (x) =x

(1 + x)2 (napišite prva tri clana).

b) Koliki je radijus konvergencije dobivenog reda?(25 bodova)

2. Odredite x koordinatu težišta lika, koji je omeden krivuljama y = x2, y = 0, x = −1. Skicirajte!(25 bodova)

3. Zadana je familija krivulja Cy2 = ex .a) Odredite pripadnu diferencijalnu jednadžbu .b) Odredite diferencijalnu jednadžbu ortogonalnih trajektorija.c) Odredite ortogonalnu trajektoriju zadane familije koja prolazi tockom T (0, 2) . (25 bodova)

4. Zadana je diferencijalna jednadžba y′′ + 9y = −2x − e−3x .a) Riješite pridruženu homogenu jednadžbu.b) Odredite oblik partikularnog rješenja.

(25 bodova)

Formule

• Neki redovi potencija

11 − x

= 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + · · · , |x| < 1

(1 + x)α = 1 + α x +(α

2

)x2 +

(α

3

)x3 +

(α

4

)x4 +

(α

5

)x5 + · · · , |x| < 1

• Težište T (x, y) ploce uniformne gustoce

x =

∫ ba x dP∫ ba dP

=

∫ ba x y(x) dx∫ ba y(x) dx

, y =

∫ dc y dP∫ dc dP

=

∫ dc y x(y) dy∫ dc x(y) dy

• Homogena jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima a y′′ + b y′ + c y = 0

Ako su k1 i k2 korijeni karakteristicne jednadžbe, onda je oblik opceg rješenja:

yH = C1 ek1 x +C2 ek2 x, u slucaju kada su k1 i k2 razliciti,

yH = ekx (C1 +C2x), kada karakteristicna jednadžba ima jedan dvostruki korijen k,

yH = eαx (C1 cos βx +C2 sin βx), kada su k1 i k2 konjugirano kompleksni k1,2 = α ± β i .

C MATEMATIKA 2(15.06.2013, treci kolokvij)

1. Zadana je funkcija u = yz + xex +xzy.

a) Nadite sve prve parcijalne derivacije.b) Nadite uyy.

(15 bodova)

2. Zadana je funkcija z = 2x2 + 2y2.

a) Kroz tocku T( √

22 ,

√2

2

)prolazi jedna nivo-krivulja. Napišite njenu jednadžbu i skicirajte ju. Kojem nivou

C pripada?

b) Izracunajte derivaciju funkcije u tocki T( √

22 ,

√2

2

)u smjeru vektora ~s(1,−1). Skicirajte taj smjer ( na skici

iz a) ).

c) U kojem smjeru ce porast funkcije biti najveci ako krenete iz tocke T( √

22 ,

√2

2

)? Skicirajte taj smjer ( na

skici iz a) ).(15 bodova)

3. Zadana je funkcija z = ln(x2 + y2).a) Odredite dz i d2z.b) Odredite dz i d2z u tocki (0, 1).c) Koristeci dz i d2z izracunajte približno z(−0.1, 1.2).

(20 bodova)

4. Zadana je funkcija dvije varijable z = y2 − 2y cos x.a) Koje su od tocaka T1(0, 0) i T2(0, 1) kriticne?b) Ispitajte je li koja od kriticnih tocaka iz a)-dijela zadatka lokalni ekstrem.

(15 bodova)

5. Primjenom dvostrukog integrala trebamo izracunati volumen tijela ispod ravnine z = x, a iznad ravnine z = 0nad podrucjem omedenim s y = x − 2 i x = y2.

a) Nacrtajte podrucje integracije.b) Napišite integral kojim racunamo volumen u poretku x, y.c) Izracunajte volumen.d) Napišite granice integracije u poretku y, x.

(20 bodova)

6. Zadan je integral

1∫0

√1−y2∫

0

cos(x2 + y2) dxdy.

a) Nacrtajte podrucje integracije.b) Napišite integral prijelazom na polarne koordinate.c) Izracunajte integral.

(15 bodova)

C MATEMATIKA 2(Završni zadaci)

1. a) Koristeci se poznatim razvojima razvijte u red potencija funkcijux

4 + x2 (napišite prva tri clana).

b) Koristeci prva dva clana tog reda izracunajte približno∫ 0.1

0

x4 + x2 dx.

(25 bodova)

2. Odredite x koordinatu težišta lika, koji je omeden krivuljama y = x3, y = 0, x = 1. Skicirajte!(25 bodova)

3. Zadana je familija krivulja Cy2 = x .a) Odredite pripadnu diferencijalnu jednadžbu .b) Odredite diferencijalnu jednadžbu ortogonalnih trajektorija.c) Odredite ortogonalnu trajektoriju zadane familije koja prolazi tockom T (0, 1) . (25 bodova)

4. Zadana je diferencijalna jednadžba y′′ − 2y′ + y = 5x − e2x .a) Riješite pridruženu homogenu jednadžbu.b) Odredite oblik partikularnog rješenja. (25 bodova)

Formule

• Neki redovi potencija

11 − x

= 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + · · · , |x| < 1

(1 + x)α = 1 + α x +(α

2

)x2 +

(α

3

)x3 +

(α

4

)x4 +

(α

5

)x5 + · · · , |x| < 1

• Težište T (x, y) ploce uniformne gustoce

x =

∫ ba x dP∫ ba dP

=

∫ ba x y(x) dx∫ ba y(x) dx

, y =

∫ dc y dP∫ dc dP

=

∫ dc y x(y) dy∫ dc x(y) dy

• Homogena jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima a y′′ + b y′ + c y = 0

Ako su k1 i k2 korijeni karakteristicne jednadžbe, onda je oblik opceg rješenja:

yH = C1 ek1 x +C2 ek2 x, u slucaju kada su k1 i k2 razliciti,

yH = ekx (C1 +C2x), kada karakteristicna jednadžba ima jedan dvostruki korijen k,

yH = eαx (C1 cos βx +C2 sin βx), kada su k1 i k2 konjugirano kompleksni k1,2 = α ± β i .

D MATEMATIKA 2(15.06.2013, treci kolokvij)

1. Zadana je funkcija u =√

xy + sinxz+ ln (y2 + 2z).

a) Nadite sve prve parcijalne derivacije.b) Nadite uyz.

(15 bodova)

2. Zadana je funkcija z = 4x2 + 4y2.

a) Kroz tocku T(−√

22 ,

√2

2

)prolazi jedna nivo-krivulja. Napišite njenu jednadžbu i skicirajte ju. Kojem

nivou C pripada?

b) Izracunajte derivaciju funkcije u tocki T(−√

22 ,

√2

2

)u smjeru vektora ~s(1, 1). Skicirajte taj smjer ( na skici

iz a) ).

c) U kojem smjeru ce porast funkcije biti najveci ako krenete iz tocke T(−√

22 ,

√2

2

)? Skicirajte taj smjer ( na

skici iz a) ).(15 bodova)

3. Zadana je funkcija z = ex−y2.

a) Odredite dz i d2z.b) Odredite dz i d2z u tocki (1, 1).c) Koristeci dz i d2z izracunajte približno z(1.1, 0.9).

(20 bodova)

4. Zadana je funkcija dvije varijable z = xy − 2x − 2y − x2 − y2.

a) Koje su od tocaka T1(0, 0) i T2(−2,−2) kriticne?b) Ispitajte je li koja od kriticnih tocaka iz a)-dijela zadatka lokalni ekstrem.

(15 bodova)

5. Primjenom dvostrukog integrala trebamo izracunati volumen tijela ispod ravnine z = x, a iznad ravnine z = 0nad podrucjem omedenim s y = 2 − x i x = y2.

a) Nacrtajte podrucje integracije.

b) Napišite integral kojim racunamo volumen u poretku x, y.

c) Izracunajte volumen.

d) Napišite granice integracije u poretku y, x.(20 bodova)

6. Zadan je integral

1∫0

√1−y2∫

−√

1−y2

ex2+y2dxdy.

a) Nacrtajte podrucje integracije.

b) Napišite integral prijelazom na polarne koordinate.

c) Izracunajte integral.(15 bodova)

D MATEMATIKA 2(Završni zadaci)

1. a) Koristeci se poznatim razvojima razvijte u red potencija funkcijux

9 + x2 (napišite prva tri clana).

b) Koristeci prva dva clana tog reda izracunajte približno∫ 0.1

0

x9 + x2 dx.

(25 bodova)

2. Odredite x koordinatu težišta lika, koji je omeden krivuljama y = x3, y = 0, x = −1. Skicirajte!(25 bodova)

3. Zadana je familija krivulja 2x2 + y2 = C .a) Odredite pripadnu diferencijalnu jednadžbu .b) Odredite diferencijalnu jednadžbu ortogonalnih trajektorija.c) Odredite ortogonalnu trajektoriju zadane familije koja prolazi tockom T (1, 1) . (25 bodova)

4. Zadana je diferencijalna jednadžba y′′ − 6y′ + 9y = −5x − ex .a) Riješite pridruženu homogenu jednadžbu.b) Odredite oblik partikularnog rješenja. (25 bodova)

Formule

• Neki redovi potencija

11 − x

= 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + · · · , |x| < 1

(1 + x)α = 1 + α x +(α

2

)x2 +

(α

3

)x3 +

(α

4

)x4 +

(α

5

)x5 + · · · , |x| < 1

• Težište T (x, y) ploce uniformne gustoce

x =

∫ ba x dP∫ ba dP

=

∫ ba x y(x) dx∫ ba y(x) dx

, y =

∫ dc y dP∫ dc dP

=

∫ dc y x(y) dy∫ dc x(y) dy

• Homogena jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima a y′′ + b y′ + c y = 0

Ako su k1 i k2 korijeni karakteristicne jednadžbe, onda je oblik opceg rješenja:

yH = C1 ek1 x +C2 ek2 x, u slucaju kada su k1 i k2 razliciti,

yH = ekx (C1 +C2x), kada karakteristicna jednadžba ima jedan dvostruki korijen k,

yH = eαx (C1 cos βx +C2 sin βx), kada su k1 i k2 konjugirano kompleksni k1,2 = α ± β i .